math461t_2

Å Ø ½ Ì Ò Â ÖÖÝ À Ò Æ Ø Ò ÓÓ ¿º½ Ö×Ø Ñ Ø Ó ÈÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ ×ÙÔÔÓ× Ú ÖÝ ÓÜ ÓÒØ Ò ½ Ó Ø¸ Ø Ò Ø Ö Û ÐÐ Ø ÑÓ×Ø Æ Ó Ø× ØÓØ Ð¸ Û ÓÒØÖ Ø× ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ö Æ·½ Ó Ø׺ Ë ÓÒ Ñ Ø Ó ÈÖÓÓ Ý Ò Ù Ø ÓÒ × × Æ ½¸ Ó Ú ÓÙ×Ðݸ × Ò Ø Ö Ö ØÛÓ Ó Ø× Ò ÓÒÐÝ ½ Óܸ Ø Ø ÓÜ ÑÙ×Ø ÓÒØ Ò Ü ØÐÝ ¾ Ó Ø× Û × Ö Ø ÖØ Ò½ ××ÙÑ ØÖÙ ÓÖ Æ Å¸ Ø Ò ÓÖ Ø × Æ Å·½¸ Û Ú Å · ½ ÓÜ × Ò Å·¾Ó Ø׸ ×ÙÔÔÓ× Û Ô ÓÙØ ÓÒ Óܸ Ò Ø Ø ÓÜ × ØÛÓ Ó Ø׸ Ø Ò Û Ö ÓÒ ¸ ÓÛ Ú Ö¸ Ø Ø ÓÜ × ½ Ó Ø ÓÖ Ð ×׸ Û Ö Ö Ù ØÓ Ø Æ Å × ÒØ ØÛ Ú Ø Ð ×Ø Å · ½ Ó Ø× ØÓ ×ØÖ ÙØ ÑÓÒ ×Ø Å ÓÜ ×¸ Ý Ø Ò Ù Ø Ú ÝÔÓØ × ×¸ Û ÓÒ ÐÙ Ø Ø Ø Ð ×Ø ÓÒ ÓÜ Û ÐÐ ÓÒØ Ò ØÛÓ Ó Ø׺ ¿º¾ Ú Ò × Ø Ó Æ ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö׸ ÓÒ× Ö Ø × Ø Ó ÓÒ× ÙØ Ú Ô ÖØ Ð ×ÙÑ׸ {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , ..., a1 + a2 + ... + aN }º ËÙÔÔÓ× ÓÙØ Ó Ø × ×Ø Ò Ø ÒØ Ö׸ ÒÓÒ Ó Ø Ñ × Ú × Ð Ý Æ¸ Ø Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ Æ¹½ ÔÓ×× Ð Ú ÐÙ × ÓÖ Ø Ñ ÑÓ ÙÐÓ Æ¸ ÓÛ Ú Ö¸ × Ò Ø Ö Ö Æ ×Ø Ò Ø Ô ÖØ Ð ×ÙÑ׸ ØÛÓ Ó Ø Ñ ÑÙ×Ø Ú Ø × Ñ Ú ÐÙ ÑÓ ÙÐÓ Æ¸ Ø × Ñ Ò× Ø Ø Ø Ö ÖÒ ¸ ÒÓØ Ö Ô ÖØ Ð ×ÙѸ × Ú × Ð Ý Æº Ë Ò Ø × ØÖÙ ÓÖ ÒÝ Æ¸ Ø ÑÙ×Ø ØÖÙ ÓÖ Æ ¾¼¼½º p 1 1 × Ø Ó Ú ÐÙ × ¿º¿ |α − q | ≤ q(Q+1) =⇒ |αq − p| ≤ Q+1 ¸ Ð Ø Ù× ÓÒ× Ö Ø 1 α, 2α, 3α, ..., Qαº Á Ð Ñ Ø Ø Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø Ó× Ú ÐÙ × × Û Ø Ò Q+1 Ó Ò 1 ÒØ Öº ÈÖÓÓ ×ÙÔÔÓ× ÒÓÒ Ó Ø Ú ÐÙ × Ö Û Ø Ò Q+1 Ó Ò ÒØ Ö¸ Ø Ò ÐÐ Q 1 Ó Ø Ñ ÑÙ×Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ô ÖØ Ö Ø Ö Ø Ò Q+1 Ò Ð ×× Ø Ò Q+1 º Ä Ø Ù× Q 1 1 Ú Ø ÒØ ÖÚ Ð ( Q+1 , Q+1 ) ÒØÓ ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ Ð× Ó Ð Ò Ø Q+1 ¸ Ø Ö Ö Q−1 ×Ù ÒØ ÖÚ Ð׸ ÙØ Ø Ö Ö Q Ú Ð٠׸ ×Ó ØÛÓ Ú ÐÙ × mα Ò nα ÑÙ×Ø Û Ø Ò Ø × Ñ ÒØ ÖÚ Ð¸ Û Ø 1 ≤ m < n ≤ Qº Ì × Ñ Ò× (n − m)αÑÙ×Ø ÛØ Ò 1 Ò ÒØ Ö¸ Ò (n − m)α × ÓÒ Ó α, 2α, 3α, ..., Qα¸ × 1 ≤ n − m < Q¸ Q+1 Ó 1 ×Ó Ø × ÓÒØÖ Ø× ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø ÒÓÒ Ó Ø Ú ÐÙ × Ö Û Ø Ò Q+1 Ó Ò 1 ÒØ Ö¸ ×Ó Û Ò ÐÛ Ý× Ô Ò ÒØ Ö1 ≤ q ≤ Q ×Ù Ø Ø αq × Û Ø Ò Q+1 Ó Ò ÒØ Öº 1 1 ¿º ËÙÔÔÓ× α = Q+1 ¸ Ø Ò |α − p | ≥ q(Q+1) Ý ½º½¿¸ Ò Û ÓÒÐÝ Ø q Ò × Ø Ø ¿º¿ ÒÒÓØ ÑÔÖÓÚ ÕÙ Ð ØÝ Û Ò p = 1 Ò q = Qº ËÓ Û Öº ¿º ËÙÔÔÓ× α × Ò ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Öº È Ò Ö ØÖ ÖÝ Q1 ∈ N¸ Ý ¿º¿ 1 1 Ø Ö Ü ×Ø p1 ∈ Q ×Ù Ø Ø |α − p1 | ≤ q1 (Q11 +1) < q12 ºË Ò α × ÖÖ Ø ÓÒ Ð¸ q q 1 1 1 |α − p1 | > 0º ËÓ Û Ò Ô Q2 ∈ N Ð Ö ÒÓÙ ×Ó Ø Ø |α − p1 | > Q21+1 q q p2 p2 1 º Ò¸ Ý ¿º¿ Ø Ö Ü ×Ø q2 ∈ Q ×Ù Ø Ø |α − q2 | ≤ q2 (Q2 +1) < q12 º 2 p1 1 2 ×Ø Ò Ø ÖÓÑ p2 Ù× Ó Ø Ö ×Ø Ò Ø ×Ø Ò ÖÓÑ αº |α − p1 | > q1 × q q p2 1 1 q2 ≥ 1º Ë Ò Û Ò ÓÒØ ÒÙ ÐÐÝ Ö ÔÔÐÝ Ø × Q2 +1 ≥ q2 (Q2 +1) ≥ |α − q2 |¸ × Ò p Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Ø Ö ÑÙ×Ø Ü ×Ø Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ q ∈ Q ×Ù Ø Ø |α − p | < q12 º q ½ ÁØ ÛÓÙÐ ×Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ¾ ×Ø Ø Ñ ÒØ× ´½µ Á α × ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ø Ò Ü ×Ø Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ p Ø Ø × Ø × Ý Ø ÚÒ q ÓÒ Ø ÓÒ ´¾µ Á Ø Ö Ö Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ p Ø Ø × Ø × Ý Ø Ú Ò ÓÒ Ø ÓÒ¸ Ø Ò α × q ÖÖ Ø ÓÒ Ðº ´½µ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ ¿º ¸ Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø ÓÒØÖ ÔÓ× Ø Ú Ó ´¾µº ËÙÔÔÓ× α × Ö Ø ÓÒ Ð¸ Ø Ò α = a ¸ Û Ö a ∈ Z,b ∈ N Ö Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÔÖ Ñ º ËÓ |α − p | = b q 1 1 | a − p | ≥ bq ¸ ×Ó Ò ÓÖ Ö ÓÖ bq ≤ | a − p | < q1 ¸ Ø × ÑÔ Ö Ø Ú Ø Ø b > q º 2 b q b q ËÓ Ø × Ñ Ò× Ø Ø Ø Ö Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ó × ÓÖ q º ÓÖ ÔÓ×× Ð q Ø Ö Ö Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÔÓ×× Ð Ú ÐÙ ÓÖ p Ù× | a − p | < q12 =⇒ −1 < b q aq2 − pq < 1 =⇒ −1 + aq < p < 1 + aq º ËÓ Ø Ö ÑÙ×Ø ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ p b q b q b q p a 1 Ø Ø × Ø × × | b − q | < q2 º 1 ¿º Ý ¾º ¸ |ad − bc| = 1 ×Ó| a − a+c | = |a(b+d)−b(a+c)| = |ad−bc| = b(b+d) ¸ b b+d b(b+d) b(b+d) 1 c | d − a+c | = |c(b+d)−d(a+c)| = |cb−ad| = d(b+d) º ËÓ ÐÐ Û Ú Ð Ø ØÓ ÔÖÓÚ b+d d(b+d) d(b+d) a+c × Ø Ø b + d ≥ Q + 1º ËÙÔÔÓ× b + d ≤ Q¸ Ø Ò b+d ∈ FQ ¸ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó c c Ø ÓÙÖ Ò Ö Ð Øݸ ××ÙÑ a < d º Ë Ò a < a+c < d Ý ¾º ¸ Ø × ÛÓÙÐ ÓÒØÖ b b b+d a c ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø b Ò d Ö ÒØ Ð Ñ ÒØ׺ ØÛ Ò ØÛÓ ÒØ Ð Ñ ÒØ× Ò ¿º Ú Ò α¸ Ò Ú Ò Q ∈ N¸ αÑÙ×Ø a c c 1 FQ º Ä Ø Ø Ó× Ð Ñ ÒØ× Ò d ¸ Û Ø a < d º Ý ¿º ¸ | a − a+c | ≤ b(Q+1) b b b b+d 1 c c Ò | d − a+c | ≤ d(Q+1) º Ë Ò Ø Ö α ∈ [ a , a+c ) ÓÖ α ∈ [ a+c , d ]¸ Ø ÑÙ×Ø b+d b b+d b+d 1 c 1 c Ø Ø × Ø Ø Ø Ö |α− a | ≤ | a − a+c | ≤ b(Q+1) ÓÖ |α− d | ≤ | d − a+c | ≤ d(Q+1) b b b+d b+d √ √ 2 2 ¿º Á Û Ð Ö Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ׸ Û Ø xy 5 ≥ x + y Ò x(x + y) 5 ≥ x2 + (x + y)2 º Ò Ø ØÛÓ√ÕÙ Ø ÓÒ× Ò ÑÓÚ Ò Ú √ Ò ØÓ Ø Ö Ø × ÖÝØ √ √ 2 5−1 2 Ý Ð × 0 ≥ (3 − 5)x + (2 − 2 5)xy + 2y =⇒ 0 ≥ (3 − 5)(x − 3−√5 y)2 ¸ ×Ó Ø √ 5−1 ÓÒÐÝ ×ÓÐÙØ ÓÒ × x = 3−√5 y ¸ ÙØ Ø × × Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø ÓØ Ü Ò Ý Ö ÒØ Ö׸ ×Ó Ø ÑÓ×Ø ÓÒ Ó Ø ¾ Ò Ø Ð Ò ÕÙ Ð Ø × ÓÐ º ¿º½¼ ÁØ ×Ù × ØÓ ÔÖÓÚ Ø × ÓÖ 0 < α ½¸ × Ò α>1Ø ÒÛ Ò p p α = {α} Ò q = q − α º È ÒÝ n ∈ N¸ Û Ø n > 2¸ Ø Ö ÑÙ×Ø Ø c c ØÛÓ ÒØ Ð Ñ ÒØ× Ó Fn ¸ a Ò d ¸ ×Ù Ø Ø a < α < d º Ì Ø b b a √ 1 ¸ |α − c | < √ 1 ¸ Ò |α − a+c | < √ 1 Ò ÕÙ Ð Ø × |α − b | < 5b2 º Á 2 2 d b+d 5d 5(b+d) Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ó× Ò ÕÙ Ð Ø × × ØÖÙ º ÈÖÓÓ ¸ ×ÙÔÔÓ× ÐÐ Ø Ö Ò ÕÙ Ð Ø × 1 1 1 c Ö Ð× ¸ Ø Ò |α − a | ≥ √5b2 ¸ |α − d | ≥ √5d2 ¸ Ò |α − a+c | ≥ √5(b+d)2 b b+d c 1 1 Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ ËÙÔÔÓ× α < a+c ¸ Ø Ò ´½µα − a ≥ √5b2 ¸ ´¾µ d − α ≥ √5d2 Ò ´¿µ b+d b 1 a+c 1 √ 1 ¸ Ò ´½µ Ò ´¾µ Ý Ð × bd ≥ √5 ( b12 + d12 ) ¸ Ò ´½µ b+d − α ≥ 5(b+d)2 1 1 1 √ ( 1 + Ò ´¿µ Ý Ð × b(b+d) ≥ 5 b2 (b+d)2 )º Ý ¿º ¸ Ø ÑÓ×ØÐÝ ÓÒ Ó Ø Ó× × ØÖÙ ¸ 1 ×Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ Û Ø ××ÙÑÔØ ÓÒº ËÙÔÔÓ× α > a+c ¸ Ø Ò ´½µα − a ≥ √5b2 ¸ b+d b c 1 1 Ò¸ Ò ´½µ Ò ´¾µ Ý Ð × ´¾µ d − α ≥ √5d2 Ò ´¿µ α − a+c ≥ √5(b+d)2 º b+d 1 1 1 1 1 1 1 √ ( 2 + 2 ) ¸ ÙØ ÒÓÛ Ò ´¾µ Ò ´¿µ Ý Ð × d(b+d) ≥ √5 ( d12 + (b+d)2 )º bd ≥ d 5 b Ý ¿º ¸ Ø ÑÓ×ØÐÝ ÓÒ Ó Ø Ó× × ØÖÙ ¸ ×Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ Û Ø ××ÙÑÔØ ÓÒº ËÓ 1 1 c Û Ö ÛÖÓÒ Ò Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø ÒÓÒ Ó |α − a | < √5b2 ¸ |α − d | < √5d2 ¸ b ¿º ¾ 1 Ò |α − a+c | < √5(b+d)2 × ØÖÙ º Ï Ò ÐÛ Ý× Ô n2 ×Ù Ø Ø Ø ØÛÓ b+d a2 c2 c c 2 ÒØ Ð Ñ ÒØ× Ó Fn2 ¸ b2 Ò d2 ¸ × Ø × Ý a < a2 < α < d2 < d ¸ Ò Ø Ø b b 2 a+c Ù× Ø Ö Ø ÓÒ Ð× Ö Ò× Ò Ø Ö Ð׸ Ò × Ò α / a2 c2 b+d ∈ b2 , d2 ¸ Ø × × × ÖÖ Ø ÓÒ Ð¸ Ø ÒÒÓØ ÕÙ Ð ÒÝ Ó Ø Ó× Ö Ø ÓÒ׺ ËÓ Û Ò Ò Ò Ø ÐÝ Ö Ô Ø 1 Ø × Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ô n3 , n4 ¸ Ø ¸ Ò Ò×Û Ö Û Ø ÓÖ |α − p | < √5q2 q ÑÙ×Ø Ò ×× Ö ÐÝ ×Ø Ò Øº |a − b − ab + b2 | ≥ b1 2 1 ¯ φ| ´√µ ËÙÔÔÓ× | a − √ < mb2 Ø √ Ý Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ | a − φ| = | a − Ò b b b a 1 φ + 5| ≤ | b − φ| + | 5| < mb2 + 5 √ ¿º½¾ Ä Ø φ = 1+ 5 Ò ×ÙÔÔÓ× Ø Ø ÓÖ Ø × φ¸ Ø Ö Ü ×Ø× Ö Ð ÔÓ× Ø Ú 2 1 ÒÙÑ Ö m ×Ù Ø Ø |φ − aii | < mb2 ÓÐ × ÓÖ Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ×Ø Ò Ø ai /bi º × b i i → ∞¸ Û ÛÓÙÐ ÜÔ Ø bi → ∞ Ù× ×ÙÔÔÓ× bi Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ×Ø Ò Ø Ú Ð٠׸ Ø Ò ÓÖ ÔÓ×× Ð bi ¸ Ø Ö Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ai Û Ø Ò Ü ×Ø Ò ØÓ bi φ¸ ×Ó Ø Ö ÛÓÙÐ ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ai /bi ¸ ÓÒ Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ×Ø Ò Ø Ú Ð٠׸ Ø Ò Ø × ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÙØ bi Ò Ø 1 2 b2 |a b | ÒÒÓØ ÕÙ Ð ¼ − ab + b | = Ù× ×ÙÔÔÓ× ¯ ¸ Ø Ò Ø Ö | a − φ| = 0 ÓÖ | a − φ| = 0¸ Û ÓÒØÖ Ø× b b ¯ ÛØ Ø Ø Ø Ø ÓØ φ Ò φ Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ðº ¯ ´ µ × Ò b12 |a2 − ab + b2| ÒÒÓØ ÕÙ Ð ¼¸ |a2 − ab + b2| ≥ 1 ×Ó | a − φ|| a − φ| = b b 1 2 b2 |a − ab + a ¯ φ|| b − φ| = 0 2 1 2 b2 |a ´ µ ¯ ¯ ¯ ¿º½½´ µ | a −φ|| a − φ| = |( a2 − a (φ+ φ)+ φφ)| = | a2 − a +1| = b b b b b b 2 2 1 2 2 b2 |a −ab+b | 2 Ò ÚØ Ð Ø Ø Ø ÓÑ × Ö ØÖ Ö ÐÝ Ð Ö º √ 1 1 ¯ Ý ¿º½½¸ b12 ≤ | bai − φ|| bai − φ| ≤ ( mb2 )( mb2 + 5) =⇒ i i i √ √ √ 1 5) =⇒ m ≤ ( mb2 + 5) × bi → ∞¸ Û Øm≤ 5 Ï Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó ÙÖØ Ö i 1 b2 i 1 1 ≤ ( mb2 )( mb2 + i i ÐÐ Ò | p | ≤ 1º Ù× ×ÙÔÔÓ× | p | > 1 Ò | r | < 1¸ Ø Ò min{| p |} = Q+1 ¸ Ò q q s q Q 1 1 | r − p | > || r | − | p || > |1 − Q+1 | = Q > q(Q+1) ¸ Ø × ÓÒØÖ Ø× Û Ø ÓÙÖ s q s q Q 1 ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Û Ò Ò p ×Ù Ø Ø | r − p | ≤ q(Q+1) º ×Ó × Ò | p | ≤ 1¸ Û q s q q Ú ÔÖÓÚ Ø Ø max{|p|, |q|} ≤ Q º É º 1 =⇒ | r q − p| ≤ Q+1 . Ý |rq − sp| ≤ Ö Ð Ø³× Ø ÓÖ Ñ¸ Û s 1 1 Ò Ô 0 < q ≤ Q¸ Ò p ∈ Z ×Ù Ø Ø | r − p | ≤ q(Q+1) º ÆÓÛ |s|q ≤ s q 1 Ø × Ø Ø | r − p | ≤ q(Q+1) =⇒ |s| ≥ Q + 1º Ë Ò | r | < 1¸ Ø ÑÙ×Ø s q s max{|r|,|s|} Q+1 Ò Ö Ð ØÝ ××ÙÑ |r| < |s| ¸ Ø Ò ¿