formule geometrie

							                                                                                      http://matematica.noads.biz
                                                Formule de geometrie

1) Teorema lui Pitagora
Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:
                                       cateta 2  cateta 2  ipotenuza 2

2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului)
Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
                                  BC 2  AB2  AC 2  2  AB  AC  cos A
3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este:
                                                              l2 3
                                                     Aria 
                                                                4

4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele):
                                                          AB  AC  sin A
                                                Aria 
                                                                2
5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi):
                               S  p( p  a)( p  b)( p  c) formula lui Heron
            abc
   unde p           este semiperimetrul.
                2

6)Aria triunghiului dreptunghic este:
                                                          cateta  cateta
                                                 Aria 
                                                                2
7)Teorema sinusurilor
Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
                                             a     b     c
                                                            2R
                                           sin A sin B sin C
     unde a,b,c sunt laturile triunghiului
     A,B,C sunt unghiurile triunghiului
     R este raza cercului circumscris triunghiului

8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment):
Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este:
                                           AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
9)Mijlocul unui segment:
Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este

                                                   x  x y  y2 
                                                 M 1 2, 1       
                                                   2       2 
10)Vectorul de poziţie al unui punct:
Dacă A(x,y) atunci OA  x  i  y j
                                                                                          http://matematica.noads.biz
11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB este dat de formula:
                                              AB  ( x2  x1 )i  ( y2  y1 ) j
12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date
Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula:
                                                    x  x1   y  y1
                                                           
                                                    x2  x1 y2  y1
sau cu formula:
                                                          x    y   1
                                                       x1     y1 1  0
                                                       x2     y2 1

13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A( x0 , y0 ) şi are panta dată m
Este dată de formula:
                                             y  y0  m( x  x0 )

14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan
Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan.
Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă
                                                       x1     y1 1
                                                      x2      y2 1  0
                                                      x3      y3 1
15)Aria unui triunghi
Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan.
Aria triunghiului ABC este dată de formula
                                                                   1
                                                       AABC        
                                                                   2
unde  este următorul determinant
                                                              x1   y1 1
                                                        x2       y2 1
                                                              x3   y3 1
16)Distanţa de la un punct la o dreaptă
Dacă A( x0 , y0 ) este un punct şi d : ax  by  c  0 este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d
este dată de formula:
                                                                ax  by0  c
                                                 dist ( A, d )  0
                                                                   a 2  b2
17)Panta unei drepte
Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:
                                                               y2  y1
                                                      m
                                                               x2  x1
18)Condiţia de coliniaritate a doi vectori in plan:
Fie v1  a1i  b1 j şi v2  a2 i  b2 j doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a vectorilor v1 şi v2 este:
                                                            a1 b1
                                                              
                                                            a2 b2
                                                                                         http://matematica.noads.biz
19)Condiţia de perpendicularitate a doi vectori in plan:
Fie v1  a1i  b1 j şi v2  a2 i  b2 j doi vectori in plan.Avem:
                                 v1  v2  a1  a2  b1  b2  0 (produsul scalar este 0)
20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan
Două drepte d 1 şi d 2 sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică:
                                                  d1 d 2  md  md  1   2




Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: d1 : a1 x  b1 y  c1  0 şi d 2 : a2 x  b2 y  c2  0
                                    a    b
atunci dreptele sunt paralele dacă 1  1 .
                                    a2 b2
21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan
Două drepte d 1 şi d 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu 1 adică:
                                               d1  d 2  md1  md2  1