Help for GeoGebra 2 - DOC by S724LnGK

VIEWS: 25 PAGES: 48

• pg 1
									Pomoć za program Gebra 3.0

Autori
Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org
Judith Preiner, judith@geogebra.org

Hrvatska verzija: Šime Šuljić, sime.suljic@pu.htnet.hr i
Ela Rac Marinić Kragić, ela.rac-marinic-kragic@zg.htnet.hr

GeoGebra online
Webstranica: www.geogebra.org
Pomoć: GeoGebra Pomoć
Pomoć za program Gebra 3.0 .................................................................................... 1
GeoGebra online ........................................................................................................ 1
1. Što je GeoGebra? ................................................................................................... 4
2. Primjeri ................................................................................................................... 5
2.1. Trokut i kutovi ................................................................................................... 5
2.2. Linearna jednadžba y = k x + d ........................................................................ 5
2.3. Težište triju točaka A, B, C ............................................................................... 6
2.4. Podijeli dužinu AB u omjeru 7 : 3 ..................................................................... 6
2.5. Sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice ............................................... 6
2.6. Tangenta na funkciju po x ................................................................................ 7
2.7. Istraživanje polinoma ....................................................................................... 7
2.8. Integrali ............................................................................................................ 8
3. Geometrijski unos ................................................................................................... 9
3.1. Opće napomene............................................................................................... 9
3.1.1. Skočni izbornik .......................................................................................... 9
3.1.2. Pokaži i sakrij............................................................................................. 9
3.1.3. Trag ........................................................................................................... 9
3.1.4. Zoom ....................................................................................................... 10
3.1.5. Omjer koordinatnih osi ............................................................................. 10
3.1.6. Opis konstrukcije ..................................................................................... 10
3.1.7. Traka za korake konstrukcije ................................................................... 10
3.1.8. Redefiniranje ........................................................................................... 10
3.1.9. Dijaloški okvir svojstva ............................................................................. 11
3.2. Načini ............................................................................................................. 11
3.2.1. Opći načini ............................................................................................... 11
3.2.2. Točka ....................................................................................................... 13
3.2.3. Vektor ...................................................................................................... 13
3.2.4. Dužina ..................................................................................................... 13
3.2.5. Zraka ....................................................................................................... 14
3.2.6. Mnogokut ................................................................................................. 14
3.2.7. Pravac ..................................................................................................... 14
3.2.8. Konike ..................................................................................................... 15
3.2.9. Luk i isječak ............................................................................................. 15
3.2.10. Broj i kut ................................................................................................ 16
3.2.11. Logički ................................................................................................... 17
3.2.12. Lokus ..................................................................................................... 17
3.2.13. Geometrijske transformacije .................................................................. 18
3.2.14. Tekst ...................................................................................................... 18
3.2.15. Slike ....................................................................................................... 19
3.2.16. Svojstva slike ......................................................................................... 19
4. Algebarski unos .................................................................................................... 21
4.1. Opće napomene............................................................................................. 21

2
4.1.1. Izmjena vrijednosti ................................................................................... 21
4.1.2. Animacija ................................................................................................. 21
4.2. Izravan unos .................................................................................................. 22
4.2.1. Brojevi i kutevi ........................................................................................ 22
4.2.2. Točke i vektori ......................................................................................... 22
4.2.3. Pravac ..................................................................................................... 23
4.2.4. Konike ..................................................................................................... 23
4.2.5. Funkcija po x ........................................................................................... 24
4.2.6. Lista objekata .......................................................................................... 24
4.2.7. Aritmetičke operacije ............................................................................... 24
4.2.8. Logičke varijable ...................................................................................... 25
4.2.9. Logički operatori ...................................................................................... 26
4.3. Naredbe ......................................................................................................... 26
4.3.1. Opće naredbe .......................................................................................... 26
4.3.2. Logičke naredbe ...................................................................................... 27
4.3.3. Broj .......................................................................................................... 27
4.3.4. Kut ........................................................................................................... 29
4.3.5. Točka ....................................................................................................... 29
4.3.6. Vektor ...................................................................................................... 30
4.3.7. Dužina ..................................................................................................... 31
4.3.8. Zraka ....................................................................................................... 31
4.3.9. Mnogokut ................................................................................................. 31
4.3.10. Pravac ................................................................................................... 31
4.3.11. Konike ................................................................................................... 33
4.3.12. Funkcija ................................................................................................. 33
4.3.13. Parametarske krivulje ............................................................................ 34
4.3.14. Luk i isječak ........................................................................................... 34
4.3.15. Slika ....................................................................................................... 35
4.3.16. Tekst ...................................................................................................... 35
4.3.17. Lokus ..................................................................................................... 36
4.3.18. Niz ......................................................................................................... 36
4.3.19. Geometrijske Transformacije ................................................................. 36
5. Ispis i izvoz ........................................................................................................... 39
5.1. Ispis................................................................................................................ 39
5.1.1. Crtaća ploha ............................................................................................ 39
5.1.2. Opis konstrukcije ..................................................................................... 39
5.2. Crtaća ploha kao crtež ................................................................................... 39
5.3. Crtaća ploha u međuspremnik ....................................................................... 40
5.4. Opis konstrukcije kao web-stranica ................................................................ 40
5.5. Dinamični uradak kao web-stranica .............................................................. 41
6. Postavke ............................................................................................................... 42
6.1. Vezivanje točke na mrežu .............................................................................. 42
6.2. Kutna mjera .................................................................................................... 42
6.3. Decimalna mjesta........................................................................................... 42
6.4. Neprekidnost .................................................................................................. 42
6.5. Oblik točke ..................................................................................................... 42
6.6. Oblik pravog kuta ........................................................................................... 42
6.7. Koordinate ...................................................................................................... 42
6.8. Označavanje .................................................................................................. 43
6.9. Veličina fonta ................................................................................................. 43
3
6.10. Jezik ............................................................................................................. 43
6.11. Crtaća ploha ................................................................................................. 43
6.12. Spremanje postavki ...................................................................................... 43
7. Alati i alatna traka ................................................................................................. 44
7.1. Korisnički definirani alati ................................................................................. 44
7.2. Prilagodba alatne trake .................................................................................. 44
8. JavaScript sučelje ................................................................................................. 45
Indeks ....................................................................................................................... 46

1. Što je GeoGebra?
Program GeoGebra je matematički softver koji povezuje geometriju, algebru i
analizu. Razvio ga je Markus Hohenwarter - sveučilište Florida Atlantic University - za
poučavanje matematike u školama.

S jedne strane, program GeoGebra je program dinamične geometrije. Možemo raditi
konstrukcije s točkama, vektorima, dužinama, pravcima, konikama kao i s funkcijama
i zatim ih dinamički mijenjati.

S druge strane, jednadžbe i koordinate možemo unositi izravno. Na taj način
program GeoGebra je u mogućnosti baratati s varijablama za brojeve, vektore i
točke, tražiti derivacije i integrale funkcija, kao i ponuditi naredbe poput Nultočka i
Ekstrem.

Ova dva pristupa su obilježja programa GeoGebra: izraz u algebarskom prozoru
odgovara objektu u geometrijskom prozoru i obratno.

4
2. Primjeri
Pogledajmo nekoliko primjera da dobijemo utisak koje mogućnosti ima program
GeoGebra.

2.1. Trokut i kutovi
Za početak izaberimo način        Nova točka u alatnoj traci i kliknimo tri puta na crtaću
plohu kako bismo kreirali tri vrha A, B i C trokuta.
Izaberimo način      Mnogokut i kliknimo redom na točke A, B, C i ponovo na A kako
bismo kreirali trokut poly1. U algebarskom prozoru vidi se površina trokuta.

Da dobijemo kutove našeg trokuta izaberimo način         Kut u alatnoj traci i kliknimo na
trokut.

Sada izaberimo način         Pomicanje i povlačimo vrhove kako bismo dinamički
mijenjali trokut. Ukoliko ne trebamo algebarski prozor i koordinatne osi, sakrijmo ih
uporabom izbornika Pogled .

2.2. Linearna jednadžba y = k x + d
Obratit ćemo pažnju na značenje k i d u linearnoj jednadžbi y = kx + d isprobavajući
različite vrijednosti za k i d. Kako bismo to postigli možemo upisati sljedeće retke u
polje za unos na dnu prozora (pritisni tipku Enter na kraju svakog retka).
k = 1
d = 2
y = k x + d

Sada možemo mijenjati k i d u algebarskom prozoru: desni klik miša,          Redefiniraj,
(MacOS: Apple + klik) ili u polju za unos. Iskušaj slijedeće vrijednosti za k i d.
k = 2
k = -3
d = 0
d = -1
Možemo mijenjati k i d vrlo jednostavno
 sa strelicama na tipkovnici (vidi Animacija)
   klizačima: desni klik (MacOS: Apple + klik) na k ili d, Pokaži objekt; (izaberi
Pokaži / sakrij objekt - vidi način Klizač)

Na sličan način možemo istraživati jednadžbe konika kao što su
   elipse:       x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
   hiperbole:    b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 ili
   kružnice:     (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

5
2.3. Težište triju točaka A, B, C
Konstruirat ćemo težište triju točaka upisujući sljedeće retke u polju za unos (pritisni
Enter na kraju unosa svakog retka). Naravno, možemo koristiti miš za ovu
konstrukciju koristeći načine (vidi Načini) u alatnoj traci.
A = (-2, 1)
B = (5, 0)
C = (0, 5)
M_a = Polovište [B, C]
M_b = Polovište [A, C]
s_a = Pravac [A, M_a]
s_b = Pravac [B, M_b]
S = Sjecište [s_a, s_b]

Alternativno računamo težište izravno ovako S1 = (A + B + C) / 3 i
uspoređujemo oba rezultata pomoću naredbe Veza[S, S1].

Posebno možemo eksperimentirati je li S = S1 istinito za različite položaje točaka
A, B, C. Ovo radimo izborom načina         Pomicanje (dugme sasvim lijevo na alatnoj
traci) pomoću miša i povlačimo točke.

2.4. Podijeli dužinu AB u omjeru 7 : 3
Kako nam program GeoGebra omogućuje da računamo s vektorima? Vrlo
jednostavno. Unesite slijedeće retke u polje za unos i pritisnite Enter nakon svakog
unosa.
A = (-2, 1)
B = (3, 3)
s = Dužina[A, B]
T = A + 7/10 (B - A)
Drugačije, može i ovako:
A = (-2, 1)
B = (3, 3)
s = Dužina [A, B]
v = Vektor [A, B]
T = A + 7/10 v

U narednom koraku možemo uvesti broj t koristeći se klizačem         Klizač i redefinirati
točku T kao T = A + t v (vidi       Redefiniraj). Mijenjajući t uočavamo da se T
kreće po pravcu, kojeg sada možemo uvesti i u parametarskom obliku (vidi Pravac):
g: X = T + s v

2.5. Sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
Linearne jednadžbe po x i y možemo interpretirati kao pravce. Algebarsko rješenje je
sjecište dvaju pravaca. Unesi slijedeće linije u polje za unos i pritisni Enter nakon
svakog unosa:

6
g: 3x + 4y = 12
h: y = 2x - 8
S = Sjecište[g, h]
Možemo na dva načina mijenjati jednadžbu: uređivanjem - desni klik,      Redefiniraj
(MacOS: Apple + click) i pomicati pomoću   Pomicanje ili vrtiti pravac pomoću miša
Rotacija oko točke.

2.6. Tangenta na funkciju po x
GeoGebra nudi naredbu za tangentu na funkciju f(x) u njenoj točki s apscisom x = a.
Unesi slijedeće retke u polje za unos i pritisni Enter nakon svakog unosa:
a = 3
f(x) = 2 sin(x)
t = Tangenta[a, f]
Animiramo li broj a (vidi Animaciju) tangenta će kliziti duž grafa f.

Drugi način da se ovo napravi u nekoj točki T funkcije f mogao bi biti:
a = 3
f(x) = 2 sin(x)
T = (a, f(a))
t: X = T + s (1, f'(a))
Dobit ćemo točku T na grafu f. Tangenta t je dana u parametarskom obliku.

Možemo konstruirati tangentu i geometrijski:
 Izaberimo način      Nova točka i kliknimo na graf funkcije f da dobijemo točku
A koja pripada funkciji f.
   Izaberimo način     Tangenta i kliknimo na graf funkcije f i tada na točku A
koju smo malo prije kreirali.
Sada izaberimo način       Pomicanje i mičimo točku A duž grafa funkcije uz pomoć
miša. Tangenta se mijenja dinamički.

2.7. Istraživanje polinoma
Pomoću programa GeoGebra možemo istraživati korjene, lokalne ekstreme i točke
pregiba polinoma. Unesi slijedeće linije u polje za unos i pritisni Enter nakon svakog
unosa:
f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1
R = Nultočka[f]
E = Ekstrem[f]
I = TočkaPregiba[f]

U načinu     Pomicanje možemo povlačiti funkciju pomoću miša. S tog su gledišta
interesantne prva i druga derivacija funkcije f. Možemo ih dobiti ovako:
Derivacija[f]
Derivacija[f, 2]

7
2.8. Integrali
Kako bismo se upoznali s integralima program GeoGebra nudi mogućnost predodžbe
donje i gornje sume funkcije pomoću pravokutnika. Unesi slijedeće linije u polje za
unos i pritisni Enter nakon svakog unosa:
f(x) = x^2/4 + 2
a = 0
b = 2
n = 5
L = DonjaSuma [f, a, b, n]
U = GornjaSuma [f, a, b, n]
Animirajući a, b ili n (vidi Animacija; vidi način    Klizač) možemo utjecati na ove
parametre vizualno. Za povećavanjenje broja n za 1 možemo izabrati vrijednost 1 za
Korak - desni klik na n, (MacOS: Apple + klik), Svojstva.

Određeni integral ćemo prikazati ovako: Integral[f, a, b], neodređeni integral
F kreiramo koristeći: F = Integral[f].

8
3. Geometrijski unos
Ovdje ćemo objasniti kako se koristi miš u kreiranju i izmjeni objekata u programu
GeoGebra.

3.1. Opće napomene
U geometrijskom prozoru (desni prozor) prikazane su nacrtane točke, vektori,
dužine, mnogokuti, grafovi funkcija, zrake, pravci i konike. Uvijek kada mišem
prelazimo preko nekog objekta javlja se njegov opis u žutom okviru, a sam objekt je
istaknut.
Napomena: Ponekad ćemo geometrijski prozor nazivati i crtaća ploha.

Postoji nekoliko načina kojima program GeoGebra reagira na unose mišem (nova
točka, sjecište, kružnica kroz tri točke,…). Detaljnije ćemo to objasniti kasnije (vidi
Načini). Npr. klikanjem miša na crtaću plohi kreirat ćemo točku (vidi način        Nova
točka), sjecište objekata (vidi način    Sjecište dvaju objekata), ili kreirati kružnicu
(vidi   Kružnica, načini).

Napomena: Dvostrukim klikom miša na objekt u algebarskom prozoru otvara se
polje za uređivanje objekta.

3.1.1. Skočni izbornik
Desnim klikom miša na objekt otvara se skočni izbornik u kojem se može izabrati
algebarski zapis (polarne ili kartezijeve koordinate, implicitna ili eksplictna
jednadžba,…). Također možete naći naredbe kao što su                      Preimenuj,
Redefiniraj ili Izbriši.

Izborom "Svojstva" otvara se dijaloški prozor u kojem možete mijenjati boju, veličinu,
debljinu crte, vrstu crte, i ispunu objekta.

3.1.2. Pokaži i sakrij
Geometrijski objekti mogu biti vidljivi (pokaži) ili nevidljivi (sakrij). Upotrebom dugmeta
Pokaži / sakrij objekt ili Skočnog izbornika mijenja se stanje objekta. Ikona koja
se nalazi lijevo od objekta u algebarskom prozoru govori nam o stanju vidljivosti
objekta. ( “nevidljiv” ili    “vidljiv”).
Napomena: Možete koristiti i način Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata u
svrhu pokazivanja ili skrivanja nekoliko objekata.

3.1.3. Trag
Geometrijski objekti mogu ostavljati trag na zaslonu kada se miču. Upotrebom
Skočnog izbornika možete uključiti ili isključiti trag.
Napomena: Naredba Osvježi iz izbornika Pogled čisti sve tragove.

9
3.1.4. Zoom
Kliknete li desnom tipkom miša (MacOS: Apple + klik) na crtaću plohu skočni izbornik
imate mogućnost povećanja (vidi način     Povećanje) ili smanjenja crteža (vidi način
Smanjenje). To isto možete napraviti gumbima za povećanje i smanjenje.

Napomena: Za određivanje prozora zumiranja držite desnu tipku miša (MacOS:
Apple + klik) i povlačite po crtaćoj plohi.

3.1.5. Omjer koordinatnih osi
Desni klik na crtaću plohu daje skočni izbornik u kojem možete:
 mijenjati omjer x-osi i y-osi
 odvojeno skriti / pokazati koordinatne osi
 mijenjati izgled osi (npr. podjele, boju, vrstu crte).

3.1.6. Opis konstrukcije
Interaktivni opis konstrukcije (izbornik Pogled, Opis konstrukcije) je tabela koja
prikazuje sve konstrukcijske korake. Pomoću nje možete ponoviti konstrukciju korak
po korak. Možete gotovu konstrukciju vraćati korak po korak sve do samog početka
korištenjem Trake za korake konstrukcije na dnu prozora. Čak je moguće ubaciti
konstrukcijski korak ili mijenjati njihov redoslijed. Više detalja možete naći u izborniku
Pomoći opisa konstrukcije

Napomena: Korištenjem stupca Kontrolna točka u izborniku Pogled opisa
konstrukcije možete postaviti neke korake konstrukcije kao kontrolne točke što
omogućava grupiranje objekata. Kada prolazimo kroz konstrukciju pomoću trake za
korake konstrukcije grupe objekata će se pokazati istovremeno.

3.1.7. Traka za korake konstrukcije
GeoGebra omogućava upravljanje koracima konstrukcije pomoću trake za korake
konstrukcije. Izaberi Traka za korake konstrukcije u izborniku Pogled pa će se
pokazati traka za korake konstrukcije na dnu geometrijskog prozora.

3.1.8. Redefiniranje
Neki objekt može biti redefiniran upotrebom Skočnog izbornika. To je vrlo korisno za
naknadne izmjene u vašoj konstrukciji. Možete također otvoriti dijaloško polje
Redefiniraj pomoću       Pomicanje i dvostrukim klikom miša na zavisni objekt u
algebarskom prozoru.

Primjeri:
Želite li slobodnu točku A položiti na pravac h, izaberite Redefiniraj za točku A i
unesite Točka[h]. Želite li da ona više ne pripada pravcu, već da bude slobodna,
redefinirajte ju s nekim koordinatama kao npr. (3,2).

10
Drugi primjer je pretvaranje pravca kroz dvije točke A i B u dužinu: izaberi Redefiniraj
i unesite Dužina[A, B] u polju za unos dijaloškog okvira. To možete napraviti i u
obrnutom smjeru.

Redefiniranje objekata je vrlo zgodan alat za naknadnu promjenu konstrukcije. Na
ovaj način mogu koraci konstrukcije mijenjati redosljed u Opisu konstrukcije.

3.1.9. Dijaloški okvir svojstva
Dijaloški okvir svojstva omogućava mijenjanje svojstava objekata (npr. boju, oblik
crte). Možete ga otvoriti ili desnim klikom miša (MacOS: Apple + klik) na objekt i
izabrati Svojstva ili izborom Svojstva u izborniku Uređivanje.

U dijaloškom okviru svojstva objekti su organizirani po tipovima (npr., točke, pravci,
kružnice) što olakšava baratanje mnogobrojnim objektima. Možete mijenjati svojstva
izabranih objekata preko tablica na desnoj strani. Zatvorite dijaloški okvir kada ste
načinili željene izmjene svojstava objekta.

3.2. Načini
Klikom na ikone u alatnoj traci možemo odabrati opisane načine crtanja. Klikom na
malu strelicu pored ikone otvaraju se ostali načini.
Napomena: U svim konstrukcijskim načinima mogu se crtati nove točke jednostavnim
klikom na crtaću plohu.

Odabiranje objekta
Odabrati neki objekt znači kliknuti na njega mišem.

Preimenovanje objekta
Kako bi preimenovali odabrani ili novi objekt samo treba početi tipkati u Preimenuj
dijaloškom okviru za taj objekt.

3.2.1. Opći načini

Pomicanje
U ovom načinu možete povlačiti i ispuštati nezavisne objekte pomoću miša.
Odaberite objekt klikom na njega dok ste u načinu    Pomicanje, a zatim možete:
 brisati ga tipkom Delete
 pomicati ga pomoću strelica na tipkovnici (vidi Animaciju)
Napomena: Pritiskom tipke Esc možete također aktvirati Pomicanje.

Držite pritisnutu tipku Ctrl da bi odabrali nekoliko objekata istovremeno.

Drugi način kako možete odabrati više objekata je pritiskom i držanjem lijeve tipke
miša za određivanje područja odabira. Možete pomicati odabrane objekte
povlačenjem jednog od njih mišem.

11
Područje odabira možemo koristiti za ispis, izvoz slike ili izvoz dijela crtaće plohe kao
apleta (vidi Ispis i izvoz).

Rotacija oko točke
Najprije izaberite točku za središte vrtnje. Potom možete slobodno zakretati objekt
oko središta povlačeći ga mišem.

Veza
Označe se dva objekta da se dobije informacija o njihovom međusobnom odnosu
(također pogledaj naredbu Veza).

Pomicanje crtaće plohe
Povlači i ispuštaj da bi promijenio položaj ishodišta koordinatnog sustava.
Napomena: Crtaću plohu možete pomicati i istovremenim pritiskom tipke Shift (PC:
također i Ctrl ) i povlačenjem miša.

U ovom načinu možete i rastezati koordinatne osi povlačeći ih mišem.
Napomena: Rastezanje osi moguće je i u bilo kojem drugom načinu pritiskom i
držanjem tipke Shift (PC: također i Ctrl) dok povlačite osi.

Povećanje
Kliknite bilo gdje na crtaću plohu da bi je povećali (vidi Zoom)

Smanjenje
Kliknite bilo gdje na crtaću plohu da bi je smanjili (vidi Zoom)

Pokaži / sakrij objekt
Kliknite na objekt da bi ga pokazali odnosno sakrili.
Napomena: Svi objekti odabrani za skrivanje bit će naglašeni. Promjena nastupa
kada kliknete na bilo koje drugi gumb u alatnoj traci.

Pokaži / sakrij oznaku
Kliknite na objekt da bi pokazali odnosno sakrili njegovu oznaku.

Prenositelj oblikovanja
Ovaj način vam omogućuje prenošenje vizualnih svojstava objekata (npr boja,
veličina, oblik crte) s jednog objekta na nekoliko drugih. Da bi to izveli prvo odaberite
objekt čija svojstva želite kopirati. Nakon toga kliknite na sve objekte kojima ćete
pridijeliti ta svojstva.

Brisanje objekta
Kliknite na objekt koji želite obrisati.

12
3.2.2. Točka

Nova točka
Klikom na crtaću plohu kreira se nova točka.
Napomena: Točki se pridružuju koordinate u algebarskom prozoru čim pustimo tipku
miša.
Klikom na dužinu, zraku, pravac, koniku ili graf funkcije crta se točka koja pripada
tom objektu (vidi naredbu Točka). Klikom na sjecište dvaju objekata crta se presječna
točka Sjecište dvaju objekata).

Sjecište dvaju objekata
Do sjecišta dvaju objekata može se doći na dva načina.
 Odaberete li dva objekta sva će sjecišta biti kreirana ako je to moguće.
 Klikom na mjesto na ekranu gdje se sijeku dva objekta dobivamo samo to
određeno sjecište.

Za dužine, zrake ili lukove možete naglasiti želite li omogućiti sjecište u produžetku
(vidi dijaloški okvir svojstva). Tako možete dobiti sjecište koje leži na produžetku
objekta. Na primjer, produžetak dužine ili zrake je pravac.

Polovište ili središte
Kliknite na ...
 dvije točke da bi dobili njihovo polovište.
 dužinu da bi dobili njezino polovište.
 koniku da bi dobili njeno središte.

3.2.3. Vektor

Vektor između dviju točaka
Samo odaberite početak i kraj vektora.

Vektor iz točke
Odaberite točku A i vektor v da bi dobili točku B = A + v i novi vektor iz A u B.

3.2.4. Dužina

Dužina između dviju točaka
Odabirom dviju točaka A i B nacrta se dužina između točaka A i B. U algebarskom
prozoru zapisana je duljina te dužine.

13
Dužina zadane duljine iz točke
Kliknite na točku A koja će biti prva rubna točka dužine. Unesite željenu duljinu
dužine u dijaloško polje.

Napomena: Rezultat će biti dužina zadane duljine s drugom rubnom točkom B.
Rubna točka B može se vrtiti s dugmetom Pomicanje oko početne točke A.

3.2.5. Zraka

Zraka kroz dvije točke
Odabirom točke A i točke B crta se zraka s početkom u točki A koja prolazi točkom B.
U algebarskom prozoru vidi se jednadžba pravca nositelja te zrake.

3.2.6. Mnogokut

Mnogokut
Odaberite najmanje tri točke, jednu po jednu i ponovo kliknite na početnu. U
algebarskom prozoru vidjet će se površina mnogokuta.

Pravilni mnogokut
Odabirom dviju točaka A i B i upisom broja n u tekstualno polje dijaloškog prozora
dobit ćemo pravilni mnogokut s n vrhova (uključujući točke A i B).

3.2.7. Pravac

Pravac kroz dvije točke
Odabirom dviju točaka A i B u ovom načinu nacrtat ćemo pravac kroz točke A i B.
Smjer pravca je vektor (B - A).

Usporednica
Odabirom pravca g i točke A zadan je pravac kroz A usporedan s g. Smjer je jednak
smjeru pravca g.

Okomica
Odabirom pravca g i točke A dobiva se pravac kroz A okomit na g. Smjer je jednak
smjeru vektora okomitog na g (vidi također naredbu Okomiti Vektor).

Simetrala dužine
Simetrala dužine se zadaje dužinom s ili dvjema točkama A i B. Smjer je jednak
smjeru vektora okomitog na dužinu s ili AB (vidi naredbu Okomiti Vektor).

14
Simetrala kuta
Simetrala kuta može se zadati na dva načina.
 Odabir triju točaka A, B, C dat će simetralu kuta kojeg čine ove tri točke, gdje
je B vrh.
 Odabir dvaju pravaca dat će dvije simetrale kuta zadanog para pravaca.
Napomena: Vektor smjera svih simetrala kuta ima duljinu 1.

Tangente
Tangente na konike možemo zadati na dva načina.
 Odabir točke A i konike c daje sve tangente na c koje prolaze kroz A.
 Odabir pravca g i konike c daje sve tangente na c koje su usporedne s g.

Odabir točke A i funkcije f daje sve tangente od f u diralištu s apscisom x=x(A).

Polara ili konjugirani promjer
Ovaj način daje polaru, odnosno konjugirani promjer konike.
 Odabirom točke i konike dobit ćemo polaru.
 Odabirom pravca ili vektora i konike dobit ćemo pravac nositelj konjugiranog
promjera.

3.2.8. Konike

Kružnica određena središtem i jednom točkom
Odabirom točke M i točke P definiramo kružnicu sa središtem u M koja prolazi kroz
P. Polumjer ove kružnice je udaljenost MP.

Kružnica određena središtem i polumjerom
Odabirom točke M određeno je središte, a u otvoreno dijaloško polje unesite duljinu
polumjera.

Kružnica kroz tri točke
Odabir triju točaka A, B, C određuje kružnicu kroz te tri točke. Ako tri točke leže na
jednom pravcu kružnica degenerira u taj pravac.

Konika kroz pet točaka
Odabir pet točaka proizvodi koniku kroz njih.
Napomena: Ako bilo koje četiri od ovih pet točaka ne leže na pravcu, konika je
određena.

3.2.9. Luk i isječak
Napomena: Algebarska vrijednost luka je njegova duljina, a isječka površina.

15
Polukružnica
Odabir točaka A i B daje polukružnicu nad dužinom AB.

Kružni luk određen središtem i dvjema točkama
Odabir triju točaka M, A i B daje kružni luk sa središtem M, početnom točkom A i
krajnjom točkom B.
Napomena: točka B ne mora ležati na luku.

Kružni isječak određen središtem i dvjema točkama
Odabir triju točaka M, A i B daje kružni isječak sa središtem M, početnom točkom A i
krajnjom točkom B.
Napomena: točka B ne mora ležati na isječku.

Luk opisan trima točkama
Odabirom tri točake dobiva se luk opisan tim točkama.

Isječak opisanog luka trima točkama
Odabirom tri točke dobiva se kružni isječak koji pripada kružnom luku kroz te tri
točke.

3.2.10. Broj i kut

Udaljenost ili duljina
Ovim načinom dobit ćemo udaljenost između dviju točaka, dvaju pravaca ili točke i
pravca. On također daje duljinu dužine ili opseg kružnice.

Površina
Ovaj način daje površinu mnogokuta, kružnice ili elipse kao dinamični tekst u
geometrijskom prozoru.

Nagib
Ovaj način daje nagib pravca kao dinamični tekst u geometrijskom prozoru.

Klizač
Napomena: U programu GeoGebra klizač nije ništa drugo nego grafička predodžba
nezavisnog broja ili kuta.

Kliknite na slobodnu površinu na crtaćoj plohi da bi kreirali klizače za brojeve ili
kutove. Dijaloški prozor tražit će određivanje intervala [min, max] broja, odnosno
kuta, kao i položaj i širinu klizača (u pikselima).

16
Napomena: Uvijek možete lako kreirati klizač za svaki slobodan broj odnosno kut
izborom pokazivanja objekta (desni klik, Skočni izbornik; vidi način Pokaži / sakrij
objekt).

Položaj klizača može biti apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu
(vidi Svojstva odgovarajućih brojeva i kutova).

Kut
Ovim načinom kreiramo …
 kut između tri točke
 kut između dvije dužine
 kut između dva pravca
 kut između dva vektora
 sve unutarnje kutove mnogokuta

Svi ovako dobiveni kutovi nalaze se u intervalu od 0 do 360°. Ako želite ograničiti
veličinu kuta na 180°, maknite oznaku Dozvoli izbočeni kut u dijaloškom prozoru
Svojstva, kartica Dodatno.

Nakon označavanja dviju točki A i B otvorit će se dijaloško polje koje će tražiti veličinu
kuta. Dobivate točku C i kut α, gdje je α kut ABC.

3.2.11. Logički

Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata
Klikom na crtaću plohu kreira se kontrolni okvir (logičkih varijabli) za izbor ili skrivanje
jednog ili više objekata. U prozoru koji se pojavi možete specificirati na koje objekte
želite utjecati iz kontrolnog okvira.

3.2.12. Lokus

Lokus
Najprije odaberite točku Q čiji lokus želite dobiti. Potom kliknite na točku P o kojoj je
točka Q zavisna.
Napomena: točka P je točka na nekom objektu (pravac, dužina, kružnica…)
Primjer:
 Upišite f(x) = x^2 – 2 x – 1 u polje za unos.
 Smjestite točku A na x-os (vidi način      Nova točka; vidi naredbu Točka).
 Kreirajte točku B = (x(A), f’(x(A))) koja ovisi o točki A.
 Izaberite način     Lokus i prvo kliknite na točku točka B pa na točku A.
Povlačite točku A duž x-osi i promatrajte pomicanje točke B duž njenog lokusa -
pravca.

17
3.2.13. Geometrijske transformacije
Geometrijske transformacije odnose se na točke, pravce, konike, mnogokute i slike.

Zrcaljenje objekta preko točke
Odaberite objekt za zrcaljenje, a potom kliknite na točku preko koje će se zrcaliti
(središte simetrije).

Zrcaljenje objekta preko pravca
Odaberite objekt za zrcaljenje, a potom kliknite na pravac (os simetrije) preko kojeg
zrcalite.

Rotacija objekta oko točke za kut
Odaberite objekt koji ćete rotirati, a potom kliknite na točku koja će biti središte
rotacije. U otvoreno dijaloško polje upišite kut rotacije.

Translacija objekta za vektor
Odaberite objekt i kliknite na vektor.

Rastezanje objekta iz točke
Odaberite objekt, a zatim kliknite na točku koja će biti središte rastezanja
(homotetije). Otvara se dijaloško polje u koje se upisuje faktor rastezanja.

3.2.14. Tekst

Tekst
U ovom načinu možete kreirati tekst ili LaTeX formule.u geometrijskom prozoru.
 Klikom na crtaću plohu kreira se novi tekst na tom mjestu.
 Klikom na točku kreira se tekst čiji je položaj vezan uz tu točku.

Nakon toga, otvara se dijaloško polje u koje možete unositi tekst.
Napomena: Moguće je također koristiti vrijednosti objekata i tako kreirati dinamični
tekst.

Unos                                       Opis
“Ovo je tekst”              obični tekst (statičan)
“Točka A = ” + A            dinamični tekst korištenjem vrijednosti točke A
“a =” + a + “ cm”           dinamični tekst korištenjem vrijednosti dužine a

Položaj teksta može biti apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu
(vidi Svojstva teksta).

18
LaTeX Formule
U programu GeoGebra možete pisati i matematičke formule. Kako bi to napravili
trebate označiti okvir za LaTeX formule dijaloškog okvira u načinu Tekst i upisati
formulu u sintaksi programa LaTeX. Ovdje su objašnjene neke važne naredbe
programa LaTeX. Pogledajte bilo koju LaTeX dokumentaciju za vašu potpunu
informaciju.

LaTeX unos               Rezultat
a \cdot b                a b
a
\frac{a}{b}
b
\sqrt{x}                   x
\sqrt[n]{x}              n
x

\vec{v}                  v
\overline{AB}            AB
x^{2}                    x2
a_{1}                    a1
\sin\alpha + \cos\beta   sin   cos 
b
\int_{a}^{b} x dx         xdx
a

 i
n      2
\sum_{i=1}^{n} i^2               i 1

3.2.15. Slike

Umetanje slike
Ovaj način omogućuje vam umetanje slika u vašu konstrukciju.
 Klikom na crtaću plohu odredili ste položaj lijevog donjeg ugla slike.
 Klikom na točku odredili ste točku na koju se vezuje lijevi donji ugao slike.
Nakon toga otvara se dijaloški prozor za otvaranje datoteka u kojem odabirete
željenu sliku.

3.2.16. Svojstva slike
Položaj
Položaj slike može biti apsolutan na zaslonu ili relativan u koordinatnom sustavu (vidi
Svojstva slike). To se postiže određivanjem tri točke koje se pridružuju uglovima
slike. To vam daje i mogućnost smanjenja ili povećanje, zakretanja i ukošenja slike.
 1. ugao: položaj lijevog donjeg ugla slike.
 2. ugao (desni donji)
Napomena: njega se može podesiti jedino ako je prethodno određen 1. ugao.
2. ugao kontrolira širinu slike.
 4. ugao (gornji lijevi)
Napomena: njega se može podesiti jedino ako je prethodno određen 1. ugao.
Kontrolira visinu slike.
Napomena: Vidi naredbu Ugao

19
Primjeri:
Nacrtajte tri točke A, B i C i istražite učinak pridruživanja tih točaka uglovima slike.
 Postavite točku A kao prvi i B kao drugi ugao vaše slike. Povlačenjem točaka
A i B u načinu       Pomicanje otkrit ćete njihov učinak vrlo lako.
 Podesite sada točku A kao prvu i C kao četvrtu.
 I na kraju postavite sve tri točke na uglove slike, pa uočite kako povlačenje
točaka utječe na sliku.

Vidjeli ste kako utjecati na položaj i veličinu slike. Ako želite priključiti sliku točki A i
odrediti njezinu širinu na 3 i visinu na 4 jedinične dužine, napravite sljedeće:
 1. Ugao: A
 2. Ugao: A + (3, 0)
 4. Ugao: A + (0, 4)
Napomena: Kada budete povlačili točku A alatom           Pomicanje, slika neće
mijenjati veličinu.

Možete podesiti sliku da bude pozadinska slika (vidi Svojstva slike). Pozadinska slika
leži iza koordinatnih osi i ne može se odabrati pomoću miša.
Napomena Za promjenu svojstava pozadinske slike potrebno je izabrati Svojstva u
izborniku Uređivanje.

Prozirnost
Slika se može učiniti transparentnom tako da se vide koordinatne osi ili slika koja leži
iza nje. Možete podesiti transparentnost slike određujući vrijednost ispune između
0% i 100% (vidi Svojstva slike).

20
4. Algebarski unos
Ovdje ćemo objasniti kako se upotrebljava tipkovnica za unos podataka u programu
GeoGebra.

4.1. Opće napomene
Vrijednosti, koordinate i jednadžbe nezavisnih i zavisnih objekata prikazani su u
algebarskom prozoru na lijevoj strani. Nezavisni objekti ne zavise o bilo kojem
drugom objektu i mogu se izravno mijenjati.

Unositi se može u polje za unos na dnu GeoGebrinog prozora. To će biti detaljno
opisano kasnije u poglavljima Izravan unos i Naredbe.
Napomena: Uvijek pritisnite tipku Enter nakon upisivanja jednadžbi i naredbi u polje
za unos.

4.1.1. Izmjena vrijednosti
Nezavisni objekti mogu se mijenjati, zavisni ne. Vrijednost nezavisnih objekata
možemo mijenjati tako da unesemo novu vrijednost u tekstualnom polju za unos kako
je opisano u Izravnom unosu).
Primjer: Želite li promijeniti vrijednost već postojećeg broja a = 3, unesite a = 5 u
polje za unos i pritisnite tipku Enter.

Napomena: Druga je mogućnost da to napravimo odabirom Redefiniraj u Skočom
izborniku ili dvostrukim klikom na objekt načinom           Pomicanje u algebarskom
prozoru.

4.1.2. Animacija
Želimo li neprekidno mjenjati neki broj ili kut trebamo u načinu   Pomicanje odabrati
broj ili kut i pritiskati tipke + ili -.

Primjer: Držimo li jednu od tih tipki dobit ćemo animaciju. Na primjer, ako koordinte
točke zavise o broju k kao u P = (2 k, k), točka će se pomicati uzduž pravca dok se k
neprekidno mijenja.

Sa strelicama možemo pomicati bilo koji nezavisni objekt u načinu          Pomicanje
(vidi Animaciju; vidi način Pomicanje).
Napomena: Korak povećanja možemo podesiti u dijaloškom prozoru Svojstva tog
objekta.

Kratice:
 Ctrl + strelica daje korak veličine 10 * veličina pomaka
 Alt + strelica daje korak veličine 100 * veličina pomaka

21
Napomena: Točka na krivulji također se može pomicati koristeći tipke + ili -. (vidi
Animaciju).

4.2. Izravan unos
U program GeoGebra možemo rukovati brojevima, kutovima, točkama, vektorima,
dužinama, pravcima i konikama. Objasnit ćemo kako ove objekte upisujemo pomoću

Napomena: Također možemo koristiti indekse u nazivu objekata:, na primjer A1 ili
SAB unosimo kao A_1 ili s_{AB}.

4.2.1. Brojevi i kutevi
Brojevi i kutovi koriste znak “.” Kao decimalnu točku.

Primjer: možemo dobiti broj r unosom r = 5.32.

Napomena: Možete koristiti konstantu π i Eulerovu konstantu e u izrazima i
izračunima ako ih izaberete iz padajućeg izbornika pokraj polja za unos.

Kutovi se zadaju u stupnjevima (°) ili radijanima (rad). Konstanta π je korisna kod
radijana i možemo je upisati i kao pi.

Primjer: Kut α možemo unijeti u stupnjevima (α = 60) ili u radijanima (α = pi/3).

Napomena: Program GeoGebra sve interne proračune izvodi u radijanima. Znak °
nije ništa drugo neko konstanta π/180 koja prebacuje stupnjeve u radijane.

Klizači i strelice
Nezavisne brojeve i kutove možemo prikazati kao klizače na crtaćoj plohi (vidi
Klizač). Pomoću strelica možemo mijenjati brojeve i kutove u algebarskom prozoru
(vidi Animaciju).

Granične vrijednosti intervala
Nezavisni brojevi i kutovi mogu se ograničiti intervalom [min, max] (vidi Svojstva). Taj
se interval također koristi kod klizača  Klizač.

Za svaki zavisni kut možemo naznačiti želimo li omogućiti izbočeni kut ili ne (vidi
Svojstva).

4.2.2. Točke i vektori
Točke i vektori mogu se upisivati u kartezijevim ili polarnim koordinatama (vidi Brojevi
i kutevi).

Napomena: Točke označavamo velikim a vektore malim slovima.

22
Primjeri:
 Za upisivanje točke P ili vektora v u kartezijevim koordinatama koristite P =
(1, 0) ili v = (0, 5).
 Ako ih želite upisati u polarnim koordinatama ukucajte P = (1; 0°) ili v =
(5; 90°).

4.2.3. Pravac
Pravac zadajemo u obliku linearne jednadžbe s dvije nepoznanice x i y, ili u
parametarskom obliku. U oba slučaja možemo koristiti prethodno definirane varijable
(brojeve, točke, vektore).
Napomena: Oznaka za pravac mora biti zadana na početku unosa odvojena
dvotočkom.

Primjeri:
 Unesite g : 3x + 4y = 2 da bi dobili pravac g pomoću njegove linearne
 Definirajte parameter t (t = 3) prije nego unesete pravac g u parametarskom
obliku koristeći g: X = (-5, 5) + t (4, -3).
 Za početak definirajte parametre m = 2 i b = -1. Tada možete upisati
jednadžbu g: y = m x + b da bi dobili pravac u eksplicitnom obliku.

xOs i yOs
Obje koordinatne osi možemo koristiti u naredbama pozivajući njihove nazive
pomoću xOs i yOs.
Primjer: Naredba Okomica[A, xOs] konstruira pravac točkom A okomit na x os.
Napomena: Nazive xOs i yOs upisujte upravo kao jednu riječ bez razmaka i s velikim
slovom O.

4.2.4. Konike
Konike upisujemo kao jednadžbe drugog stupnja po x i y. Možemo koristiti prethodno
definirane varijable (brojeve, točke, vektore). Oznaka za koniku mora se zadati na
početku unosa odvojena dvotočkom.

Primjeri:
 elipsa el:          el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144
 hiperbola hip:      hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144
 parabola par:       par: y^2 = 4 x
 kružnica k1:        k1: x^2 + y^2 = 25
 kružnica k2:        k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25

Napomena: Neka je npr. zadano a = 4 i b = 3 Tada možemo
zadati elipsu el ovako el: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

23
4.2.5. Funkcija po x
Zadavati funkciju možemo već prethodno zadanim varijablama (brojevima, točkama,
vektorima i drugim funkcijama.

Primjeri:
 funkcija f:                 f(x) = 3 x^3 – x^2
 funkcija g:                 g(x) = tan(f(x))
 bezimena funkcija:          sin(3 x) + tan(x)

Sve interne funkcije (poput sin, cos, tan itd.) opisane su u poglavlju o aritmetičkim
operacijama (vidi Aritmetičke operacije).

U programu GeoGebra možete koristiti naredbe za Integral i Derivaciju funkcije.

Također možete koristiti f’(x) ili f’’(x),… za derivacije prethodno zadane
funkcije f(x).
Primjer: Za početak zadajte funkciju f ovako: f(x) = 3 x^3 – x^2. Tada upišite
g(x) = cos(f’(x + 2)) da bi dobili funkciju g.

Funkciju možemo pomicati za zadani vektor (vidi naredbu Translacija) a nezavisnu
funkciju možemo pomicati mišem (vidi način  Pomicanje).

Ograničenje funkcije na interval
Da bi ograničili funkciju unutar zadanog intervala [a, b] treba koristiti naredbu
Funkcija (vidi naredbu Funkcija).

4.2.6. Lista objekata
Koristeći se vitičastim zagradama možete kreirati listu nekoliko objekata (npr. točaka,
dužina, kružnica).

Primjeri:
 L = {A, B, C} daje listu koja se sastoji od tri prethodno definirane točke A,
B, i C.
 L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} stvara listu unešenih točaka, iako su
one neimenovane.

4.2.7. Aritmetičke operacije
Zadavati brojeve, jednadžbe i koordinatne točke (vidi Izravan unos) možemo i
pomoću aritmetičkih izraza sa zagradama. Slijedeće su operacije dostupne u
GeoGebri:

Operacija                                     Unos
zbrajanje                                     +
oduzimanje                                    -
množenje                                      * ili razmaknica
skalarni produkt                              * ili razmaknica

24
Operacija                                        Unos
dijeljenje                                       /
potenciranje                                     ^ ili 2
faktorjela                                       !
gamma funkcija                                   gamma( )
x-koordinata                                     x( )
y-koordinata                                     y( )
apsolutna vrijednost                             abs( )
predznak                                         sgn( )
kvadratni korijen                                sqrt( )
kubni korijen                                    cbrt( )
slučajan broj između 0 i 1                       random( )
eksponencijalna funkcija                         exp( ) ili ℯx
logaritam (prirodni po e)                        ln( ) ili log( )
logaritam po 2                                   ld( )
logaritam po 10                                  lg( )
kosinus                                          cos( )
sinus                                            sin( )
tangens                                          tan( )
arkus kosinus                                    acos( )
arkus sinus                                      asin( )
arkus tangens                                    atan( )
kosinus hiperbolni                               cosh( )
sinus hiperbolni                                 sinh( )
tangens                                          tanh( )
Area kosinus hiperbolni                          acosh( )
Area sinus hiperbolni                            asinh( )
Area tangens hiperbolni                          atanh( )
najveće cijelo manje od ili jednako              floor( )
najmanje cijelo veće od ili jednako              ceil( )
zaokruženo                                       round( )

Primjeri:
 Polovište M između A i B može se upisati kao M = (A + B) / 2.
 Duljinu vektora v možemo izračunati koristeći l = sqrt(v * v).

Napomena: U programu GeoGebra možemo raditi i proračune s točkama i vektorima.

4.2.8. Logičke varijable
U GeoGebri možemo koristiti logičke varijable “true” (istina) i “false” (laž).

Primjer: Upišite a = true ili b = false u polje za unos i pritisnite tipku Enter.

Kontrolni okvir i strelice
Nezavisne logičke varijable bit će prikazane kao kontrolni okvirići (vidi način
Kontrolni okvir za prikaz i skrivanje objekata). Pomoću strelica gore / dolje možete
mijenjati Logičke varijable u algebarskom prozoru (vidi Animaciju).

25
4.2.9. Logički operatori
Možete koristiti slijedeće logičke operatore u programu GeoGebra:

Operacija            Primjer                  Tipovi
brojevi, točke, pravci,
jednako                  ≟ ili ==    a ≟ b ili a == b       konike a, b
brojevi, točke, pravci,
nije jednako              ≠ ili !=   a ≠ b ili a != b
konike a, b
manje od                    <        a < b                  brojevi a, b
veće od                     >        a > b                  brojevi a, b
manje ili jednako          ili <=   a  b ili a <= b       brojevi a, b
veće ili jednako          ili >=    a  b ili a >= b       brojevi a, b
i                                   a  b                  logički a, b
ili                                 a  b                  logički a, b
ne                       ¬ ili !     ¬a ili !a              logički a
usporedan                  ||        a || b                 pravci a, b
okomit                              a  b                  pravci a, b

4.3. Naredbe
Pomoću naredbi možemo stvarati nove ili mijenjati postojeće objekte. Rezultat
naredbe možemo imenovati oznakom iza koje slijedi “=”. U sljedećem primjeru
rezultat je nova točka nazvana S.

Primjer: Da bi dobili sjecište dvaju pravaca g i h upišite S = Sjecište[g,h] (vidi
naredbu Sjecište).

Napomena: Možemo koristiti i indekse u nazivu objekata: A1 ili SAB upišimo ovako:
A_1 ili s_{AB}.

4.3.1. Opće naredbe
Veza
Veza[objekt a, objekt b]Pokazuje poruku u kakvoj su vezi objekt a i objekt b.
Napomena: Ova nam naredba omogućuje da odredimo jesu li dva objekta
jednaka, leži li točka na pravcu ili konici i u kojem su međusobnom položaju
pravac i konika (tangenta, sekanta, pravac bez zajedničkih točaka, ili
asimptota konike).

Izbriši
Izbriši[objekt a]: Izbriše dani objekt i sve one koji su od njega zavisni.

Element
Element[lista L, broj n]: n-ti element liste L

26
4.3.2. Logičke naredbe
Ako[uvjet, a, b]: dat će kopiju objekta a ako je uvjet ispunjen, tj. logička mu je
vrijednost true, tj. kopiju objekta b ako je ta vrijednost false.
Ako[uvjet, a]: dat će kopiju objekta a ako je uvjet ispunjen, tj. logička mu je
vrijednost true, odnosno nedefinirani objekt ako je ta vrijednost false.

4.3.3. Broj
Duljina
Duljina[vektor v]: Duljina vektora v
Duljina [točka A]: Duljina radijvektora točke A
Duljina [funkcija f, broj x1, broj x2]: Duljina grafa funkcije f na
intervalu x1 i x2
Duljina[Funkcija f, točka A, točka B]: Duljina grafa funkcije f između
dviju točaka A i B koje leže na grafu.
Duljina[krivulja c, broj t1, broj t2]: Duljina krivulje c između brojeva
t1 i t2
Duljina[krivulja c, točka A, točka B]: Duljina krivulje c između dviju
točaka A i B na krivulji.
Duljina[lista L]: Duljina liste L (broj elemenata liste)

Površina
Površina[točka A, točka B, točka C, ...]: Površina mnogokuta zadanog
točkama A, B, C,…
Površina[konika c]: Površina konike c (kružnica ili elipsa).

Udaljenost
Udaljenost[točka A, točka B]: Udaljenost dviju točaka A i B
Udaljenost[točka A, pravac g]: Udaljenost točke A i pravca g
Udaljenost[pravac g, pravac h]: Udaljenost pravaca g i h. Napomena:
Udaljenost pravaca koji se sijeku je 0. Ova naredba je interesantna za
usporedne pravce.

Modulo funkcija
OstatakDijeljenja[broj a, broj b]: Ostatak pri dijeljenju broja a brojem b

Cjelobrojno dijeljenje
CjelobrojnoDijeljenje[broj            a,    broj    b]: daje cjelobrojni količnik pri
djeljenju broja a brojem b

Nagib
Nagib[pravac g]: Nagib pravca g. Napomena: Ova naredba također i crta nagib
kao trokut ispod ili iznad pravca, čiju veličinu možemo mijenjati (vidi Svojstva).

Zakrivljenost
Zakrivljenost[točka A, funkcija f]: Zakrivljenost funkcije f u točki A
Zakrivljenost[točka A, krivulja c]: Zakrivljenost krivulje c u točki A

27
Polumjer
Polumjer[kružnica c]: Polumjer kružnice c

Opseg
Opseg[konika c]: daje opseg konike c (kružnica ili elipsa)

Opseg
Opseg[Mnogokut poly]: Opseg mnogokuta poly

Parametar
Parametar[parabola p]: Parametar parabole p (udaljenost ravnalice i žarišta)

Glavna poluos
GlavnaPoluos[konika c]: Duljina glavne poluosi konike c.

Sporedna poluos
SporednaPoluos[konika c]: Duljina sporedne poluosi konike c.

Ekscentricitet
Ekscentricitet[konika c]: Ekscentricitet konike c.

Integral
Integral[funkcija f, broj a, broj b]: Određeni integral funkcije f(x) od
broja a do b. Napomena: Ova funkcija crta i površinu između grafa funkcije i x-
osi.
Integral[funkcija f, funkcija g, broj a, broj b]: Određeni integral
od f(x)-g(x) od a do b. Napomena: Ova naredba također crta površinu između
grafova funkcija f i g.

Napomena: Vidi Neodređeni integral

Donja suma
DonjaSuma [funkcija f, broj a, broj b, broj n]: donja suma funkcije f
na intervalu [a, b] s n pravokutnika. Napomena: Ova naredba također crta
pravokutnike donje sume.

Gornja suma
GornjaSuma[funkcija f, broj a, broj b, broj n]: gornja suma funkcije
f na intervalu [a, b] s n pravokutnika. Napomena: Ova naredba također crta
pravokutnike gornje sume.

Iteracija
Iteracija[funkcija f, broj x0, broj n]: Radi iteraciju funkcije f n puta
koristeći kao početnu vrijednost x0.
Primjer: Nakon definicije f(x) = x^2 naredba Iteracija[f, 3, 2] dat
će rezultat (32)2 = 81.

Minimum i maksimum
Minimum[broj a, broj b]: Minimum zadanih brojeva a i b

28
Maksimum[broj a, broj b]: Maksimum zadanih brojeva a i b

Afini omjer
AfiniOmjer[točka A, točka B, točka C]: Daje afini omjer λ triju kolinearnih
točaka A, B, i C, gdje je C = A + λ * AB

Dvostruki omjer
DvostrukiOmjer [točka A, točka B, točka C, točka D]: Dvostruki
omjer λ četiri kolinearne točke A, B, C, i D, gdje je λ = AfiniOmjer [B, C, D] /
AfiniOmjer [A, C, D]

4.3.4. Kut
Kut
Kut[vektor v1, vektor v2]: Kut između vektora v1 i v2 (između 0 i 360°)
Kut[pravac g, pravac h]: Kut između vektora smjera dvaju pravaca g i h
(između 0 i 360°)
Kut[točka A, točka B, točka C]: Kut kojeg zatvaraju BA i BC (između 0 i
360°). Točka B je vrh.
Kut[točka A, točka B, kut alfa]: Kut veličine α crtan iz točke A kroz vrh B.
Napomena: Također je kreirana točka Rotacija[B, A, α].
Kut[konika c]: Kut zakreta glavne osi konike c (vidi naredbu Osi)
Kut[vektor v]: Kut između x- osi i vektora v
Kut[točka A]: Kut između x - osi i radij vektora točke A
Kut[broj n]: Pretvara broj n u kut (rezultat je između 0 i 2pi)
Kut[mnogokut poly]: Svi unutarnji kutovi mnogokuta poly.

4.3.5. Točka
Točka
Točka[pravac g]: Točka na pravcu g
Točka[konika c]: Točka na konici c (npr. kružnici, elipsi, hiperboli)
Točka[Funkcija f]: Točka na grafu funkcije f
Točka[Mnogokut poly]: Točka koja pripada rubu mnogokuta poly
Točka[vektor v]: Točka na vektoru v
Točka[točka P, vektor v]: Točka P + v

Polovište i središte
Polovište[točka A, točka B]: Polovište A i B
Polovište[Dužina s]: Polovište dužine s
Središte[konika c]: Središte konike c (npr. kružnice, elipse, hiperbole)

Žarište
Žarište[konika c]: (Sva) žarišta konike c

Tjeme
Tjeme[konika c]: (Sva) tjemena konike c

29
Težište
Težište[mnogokut poly]: Težište vrhova mnogokuta poly

Sjecište
Sjecište[pravac g, pravac h]: Sjecište pravaca g i h
Sjecište[pravac g, konika c]: Sva sjecišta pravaca g i konike c (najviše. 2)
Sjecište[pravac g, konika c, broj n]: n-to sjecište pravca g i konike c
Sjecište[konika c1, konika c2]: Sva sjecišta od c1 i c2 (najviše 4)
Sjecište[konika c1, konika c2, broj n]: n-to sjecište od c1 i c2
Sjecište[polinom f1, polinom f2]: Sva sjecišta od f1 i f2
Sjecište[polinom f1, polinom f2, broj n]: n-to sjecište od f1 i f2
Sjecište[polinom f, pravac g]: Sva sjecišta od f i g
Sjecište[polinom f, pravac g, broj n]: n -to sjecište od f i g
Sjecište[funkcija f, funkcija g, točka A]: sjecište od f i g sa početnom
vrijednošću A (za Newtonovu metodu)
Sjecište[funkcija f, pravac g, točka A]: Sjecište od f i g sa početnom
vrijednošću A (za Newtonovu metodu)

Napomena: Također vidi način    Sjecište dvaju objekata

Nultočka
Nultočka[polinom f]: Svi korjeni polinoma f (kao točke)
Nultočka[funkcija f, broj a]: Nultočka funkcije f sa početnom vrijednošću a
(Newtonova metoda)
Nultočka[funkcija f, broj a, broj b]: Nultočka funkcije f na intervalu [a,
b] (regula falsi)

Ekstrem
Ekstrem[polinom f]: Svi lokalni ekstremi polinoma f (kao točke)

Točka pregiba
TočkaPregiba[polinom f]: Sve točke pregiba polinoma f

4.3.6. Vektor
Vektor
Vektor[točka A, točka B]: Vektor od A do B
Vektor[točka A]: Radijvektor točke A

Vektor smjera
VektorSmjera[pravac g]: Vektor smjera pravca g. Napomena: Pravac s
jednadžbom ax + by = c ima vektor smjera (b, - a).

Jedinični vektor
JediničniVektor[pravac g]: Vektor smjera danog pravca g duljine 1
JediničniVektor[vektor v]: Vektor duljine 1, jednakog smjera i orijentacije kao
i dani vektor v

30
Okomiti vektor
OkomitiVektor[pravac g]: Okomiti vektor u odnosu na dani pravac g.
Napomena: Pravac jednadžbe ax + by = c ima okomiti vektor (a, b).
OkomitiVektor[vektor v]: Okomiti vektor na dani vektor v. Napomena: Vektor s
koordinatama (a, b) ima okomiti vektor (- b, a).

Jedinični okomiti vektor
JediničniOkomitiVektor[pravac g]: Okomiti vektor na dani pravac g duljine
1
JediničniOkomitiVektor[vektor v]: Vektor duljine 1, okomit na dani vektor v

Vektor zakrivljenosti
VektorZakrivljenosti[točka A, funkcija f]: Vektor zakrivljenosti funkcije
f u točki A
VektorZakrivljenosti[točka A, krivulja c]: Vektor zakrivljenosti krivulje
f u točki A
Napomena: Zakrivljenost je recipročna duljini polumjera kružnice zakrivljenosti, pa je
tako i duljina vektora zakrivljenosti recipročna duljini polumjera kružnice
zakrivljenosti!

4.3.7. Dužina
Dužina
Dužina[točka A, točka B]: Dužina između točaka A i B
Dužina[točka A, broj a]: Dužina duljine a s početnom točkom A. Napomena:
Također će biti kreirana i krajnja točka dužine.

4.3.8. Zraka
Zraka
Zraka[točka A, točka B]: Zraka s početkom u A kroz B

4.3.9. Mnogokut
Mnogokut
Mnogokut[točka A, točka B, točka C,...]: Mnogokut definiran zadanim
točkama A, B, C,…
Mnogokut[točka A, točka B, broj n]: Pravilni mnogokut s n vrhova
(uključujući točke A i B)

4.3.10. Pravac
Pravac
Pravac[točka A, točka B]: Pravac kroz dvije točke A i B
Pravac[točka A, pravac g]: Pravac kroz A paralelan s g
Pravac[točka A, vektor v]: Pravac kroz A sa vektorom smjera v

31
Okomica
Okomica[točka A, pravac g]: Pravac kroz A okomit na g
Okomica[točka A, vektor v]: Pravac kroz A okomit na v

Simetrala dužine
SimetralaDužine [točka A, točka B]: Simetrala dužine AB
SimetralaDužine [Dužina s]: Simetrala dužine s

Simetrala kuta
SimetralaKuta[točka A, točka B, točka C]: Simetrala kuta A, B, i C.
Napomena: Točka B je vrh ovog kuta.
SimetralaKuta[pravac g, pravac h]: Obje simetrale kutova koje zatvaraju g
i h.

Tangenta
Tangenta[točka A, konika c]: (Sve) tangente kroz A na c
Tangenta[pravac g, konika c]: (Sve) tangente na c koje su paralelne s g
Tangenta[broj a, funkcija f]: Tangenta na f(x) za x=a (a je apscisa
dirališta)
Tangenta[točka A, funkcija f]: Tangenta na f(x) za x = x(A) (x(A) je apscisa
dirališta)
Tangenta[točka A, krivulja c]: Tangenta na krivulju c u točki A

Asimptota
Asimptota[hiperbola h]: Obje asimptote hiperbole h

Ravnalica
Ravnalica[parabola p]: Ravnalica parabole p

Osi
Osi[konika c]: Glavna i sporedna os konike c

Glavna os
GlavnaOs [konika c]: Glavna os konike c

Sporedna os
SporednaOs[konika c]: Sporedna os konike c

Polara
Polara[točka A, konika c]: Polara točke A (A je pol) konike c

Konjugirani promjer
KonjugiraniPromjer[pravac g , konika c]: Konjugirani dijametar paralelan
s g konike c
KonjugiraniPromjer[vektor v, konika c]: Konjugirani diajmetar sa
smjerom v konike c

32
4.3.11. Konike
Kružnica
Kružnica[točka M, broj r]: Kružnica sa središtem u M i polumjerom r
Kružnica[točka M, Dužina s]: Kružnica sa središtem u M i polumjerom koji je
jednak Duljina[s]
Kružnica[točka M, točka A]: Kružnica sa središtem u M kroz A
Kružnica[točka A, točka B, točka C]: Kružnica kroz A, B i C

Kružnica zakrivljenosti
KružnicaZakrivljenosti[točka A, funkcija f]: Kružnica zakrivljenosti
funkcije f u točki A
KružnicaZakrivljenosti[točka A, krivulja c]: Kružnica zakrivljenosti
krivulje c u točki A

Elipsa
Elipsa[točka F, točka G, broj a]: Elipsa sa žarištima F, G i glavnom
poluosi duljine a. Napomena: Uvjet: 2a > Udaljenost[F, G]
Elipsa[točka F, točka G, Dužina s]: Elipsa sa žarištima F, G i glavnom
poluosi duljine Dužina s (a = Duljina[s]).

Hiperbola
Hiperbola[točka F, točka G, broj a]: Hiperbola sa žarištima F, G i
glavnom poluosi duljine a. Napomena: Uvjet: 0 < 2a < Udaljenost[F, G]
Hiperbola[točka F, točka G, Dužina s]: Hiperbola sa žarištima F, G i
glavnom poluosi duljine Dužina s (a = Duljina[s])

Parabola
Parabola[točka F, pravac g]: Parabola sa žarištem F i ravnalicom g

Konika
Konika[točka A, točka B, točka C, točka D, točka E]: Konika kroz
pet točaka A, B, C, D, i E. Napomena: niti koje četiri točke ne smiju ležati na
istom pravcu

4.3.12. Funkcija
Derivacija
Derivacija[funkcija f]: Derivacija funkcija f(x)
Derivacija[funkcija f, broj n]: n – ta derivacija funkcije f(x)

Napomena: Možete koristiti f’(x) umjesto Derivacija[f] kao i f’’(x) umjesto
Derivacija[f, 2].

Integral
Integral[Funkcija f]: Neodređeni integral za f(x)

Napomena: Vidi Određeni integral

33
Polinom
Polinom[funkcija f]: Funkciju f prikazuje kao polinom u kanonskom zapisu f.

Primjer: Polinom[(x - 3)^2] daje x2 - 6x + 9

Taylorov polinom
TaylorovPolinom[funkcija f, broj a, broj n]: Red potencija za funkciju
f u okolini točke s apscisom x=a reda n

Funkcija
Funkcija[funkcija f, broj a, broj b]: Proizvodi funkciju jednaku funkciji f
na intervalu [a, b] koja nije definirana izvan [a, b]

Uvjetna funkcija
Možete koristiti uvjetnu naredbu Ako (vidi naredbu Ako) kako bi kreirali uvjetnu
funkciju. Napomena: Možete koristiti derivacije i integrale takvih funkcija kao i
njihova sjecišta na isti način kao i kod “običnih” funkcija.

Primjer:
f(x) = Ako[x < 3, sin(x), x^2] dat će funkciju koja je jednaka
 sin(x) za x < 3 i
 x2 za x ≥ 3.

4.3.13. Parametarske krivulje
Krivulja[izraz e1, izraz e2, parametar t, broj a, broj b]:
Parametarska krivulja u kartezijevom koordinatnom sustavu danog izraza za
x-izraz e1 i za y-izraz e2 (koristeći parametar t) unutar zadanog intervala [a, b]
Primjer: c = Krivulja[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]

Derivacija[krivulja c]: Derivacija krivulje c

Napomena: Parametarske krivulje možemo koristiti poput funkcija u aritmetičkim
izrazima.
Primjer: Unos c(3) daje točku za parametar 3 na krivulji c.

Napomena: Korištenjem miša također možete zadati točku na krivulji uz pomoć
načina       Nova točka (vidi način Nova točka; također vidi naredbu Točka). Kako bi a
i b bili dinamični možete koristiti klizač ovdje (vidi način Klizač).

4.3.14. Luk i isječak
Napomena: Algebarska vrijednost luka je njegova duljina, a isječka njegova površina.

Polukružnica
Polukružnica[točka A, točka B]: Polukružnica nad promjerom AB.

34
Kružni luk
KružniLuk[točka M, točka A, točka B]: Kružni luk određen središtem M
između dviju točaka A i B. Napomena: točka B ne mora ležati na luku.

Luk opisan trima točkama
OpisaniLuk[točka A, točka B, točka C]: Kružni luk kroz tri točke A, B, i C

Luk
Luk[konika c, točka A, točka B]: Luk konike između točaka A i B koje
pripadaju konici c (kružnica ili elipsa)
Luk[konika c, broj t1, broj t2]: Luk konike između dvaju parametarskih
vrijednosti t1 i t2 koje su zadane u slijedećem obliku:
o kružnica: (r cos(t), r sin(t)) gdje je r kružni radijus
o elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gdje su a i b duljine prve i druge poluosi

Kružni isječak
KružniIsječak[točka M, točka A, točka B]: Kružni isječak sa središtem M
omeđen točkama A i B. Napomena: točka B ne mora ležati na luku.

Isječak opisanog luka
IsječakOpisanogLuka[točka A, točka B, točka C]: Kružni isječak kroz tri
točke A, B, i C

Isječak
Isječak[konika c, točka A, točka B]: Isječak konike između dviju točaka
A i B koje pripadaju konici c (kružnica ili elipsa)
Isječak[konika c, broj t1, broj t2]: Kružni isječak između dvaju
parametarskih vrijednosti t1 i t2 koje su zadane u slijedećem obliku:
o kružnica: (r cos(t), r sin(t)) gdje je r kružni radijus
o Elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gdje su a i b duljine prve i druge poluosi

4.3.15. Slika
Ugao
Ugao[slika pic, broj n]: daje n-ti ugao slike pic - najviše 4 ugla.

4.3.16. Tekst
Ime
Ime[objekt]: Tekst koji pokazuje ime danog objekta.
Napomena: Koristite ovu naredbu kod dinamičnog teksta za objekte koje bi
mogli preimenovati

35
4.3.17. Lokus
Lokus
Lokus[točka Q, točka P]: daje krivulju lokusa točke Q, koja je zavisna od točke
P. Napomena: Točka P je točka koja pripada nekom objektu (pravcu,
dužini, kružnici,...)

4.3.18. Niz
Niz
Niz[izraz e, varijabla i, broj a, broj b]: Lista objekata kreiranih
koristeći izraz e i indeks i koji se mijenja na intervalu od a do b.
Primjer: L = Niz[(2, i), i, 1, 5] kreira listu točaka čije su y-
koordinate od 1 do 5.
Niz[izraz e, varijabla i, broj a, broj b, broj s]: Lista objekata
kreiranih koristeći izraz e i indeks i koji se mijenja na intervalu od a do b s
korakom povećanja s.
Primjer: L = Niz[(2, i), i, 1, 5, 0.5] kreira listu točaka čije su y-
koordinate od 1 do 5 s korakom povećanja 0.5.

Napomena: Da bi parametri a i b bili dinamični možete koristiti klizač za promjenu
varijabli.

Ostale prateće naredbe uz niz
Element[lista L, broj n]: n - ti element liste L
Duljina[lista L]: Duljina liste L
Minimum[lista L]: Minimalni element liste L
Maksimum[list L]: Maksimalni element liste L

Iteracija
IteracijskaLista[funkcija f, broj x0, broj n]: Lista L duljine n+1 čiji
elementi su iteracije funkcije f s početnom vrijednošću x0.
Primjer: Nakon definiranja funkcije f(x) = x^2 naredba L =
IteracijskaLista[f, 3, 2] daje listu L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}

4.3.19. Geometrijske Transformacije
Ako pridružimo svakoj od slijedećih naredbi neki objekt, napravit ćemo kopiju (sliku)
početnog objekta.
Napomena: Naredba Zrcaljenje[A, g] zrcali točku A preko pravca g i mijenja
položaj točke A. Upisom B = Zrcaljenje[A, g] stvaramo novu točku B dok A
ostaje nepromijenjena.

Translacija
Translacija[točka A, vektor v]: Translatira točku A za vektor v
Translacija[pravac g, vektor v]: Translatira pravac g za vektor v
Translacija[konika c, vektor v]: Translatira koniku c za vektor v
Translacija[funkcija c, vektor v]: Translatira funkciju f za vektor v

36
Translacija[mnogokut poly, vektor v]: Translatira mnogokut poly za
vektor v. Napomena: Novi vrhovi i dužine su kreirani.
Translacija[slika pic, vektor v]: Translatira sliku pic za vektor v
Translacija[vektor v, Točka P]: Translatira vektor v do točke P

Napomena: Također vidi način   Translacija objekta za vektor

Rotacija
Rotacija[točka A, kut phi]: Rotira točka A za kut φ oko ishodišta
koordinatnog sustava
Rotacija[vektor v, kut phi]: Rotira vektor v za kut φ oko ishodišta
koordinatnog sustava
Rotacija[pravac g, kut phi]: Rotira pravac g za kut φ oko ishodišta
koordinatnog sustava
Rotacija[konika c, kut phi]: Rotira koniku c za kut φ oko ishodišta
koordinatnog sustava
Rotacija[mnogokut poly, kut phi]: Rotira mnogokut poly za kut φ oko
ishodišta koordinatnog sustava. Napomena: Novi vrhovi i dužine bit će
kreirani.
Rotacija[slika pic, kut phi]: Rotira slika pic za kut φ oko ishodišta
koordinatnog sustava
Rotacija[točka A, kut phi, točka B]: Rotira točku A za kut φ oko točke B
Rotacija[pravac g, kut phi, točka B]: Rotira pravac g za kut φ oko točke
B
Rotacija[konika c, kut phi, točka B]: Rotira koniku c za kut φ oko točke
B
Rotacija[mnogokut poly, kut phi, točka B]: Rotira mnogokut poly za kut
φ oko točke B. Napomena: Novi vrhovi i dužine bit će kreirani.
Rotacija[slika pic, kut phi, točka B]: Rotira sliku pic za kut φ Novi
vrhovi i dužine bit će kreirani.

Napomena: Također vidi način   Rotacija objekta oko točke za kut

Zrcaljenje
Zrcaljenje[točka A, točka B]: Zrcaljenje točke A preko točke B
Zrcaljenje[pravac g, točka B]: Zrcaljenje pravca g preko točke B
Zrcaljenje[konika c, točka B]: Zrcaljenje konike c preko točke B
Zrcaljenje[mnogokut poly, točka B]: Zrcaljenje mnogokuta poly preko
točke B. Napomena Novi vrhovi i dužine bit će također kreirani.
Zrcaljenje[slika pic, točka B]: Zrcaljenje slike pic preko točke B
Zrcaljenje[točka A, pravac h]: Zrcaljenje točke A preko pravca h
Zrcaljenje[pravac g, pravac h]: Zrcaljenje pravca g preko pravca h
Zrcaljenje[konika c, pravac h]: Zrcaljenje konike c preko pravca h
Zrcaljenje[mnogokut poly, pravac h]: Zrcaljenje mnogokuta poly preko
pravca h. Napomena: Novi vrhovi i dužine bit će također kreirani.
Zrcaljenje[slika pic, pravac h]: Zrcaljenje slike pic preko pravca h

Napomena: Također vidi način    Zrcaljenje objeta preko točke; način   Zrcaljenje
objekta preko pravca

37
Rastezanje
Rastezanje[točka A, broj f, točka S]: Homotetično preslika ("rasteže")
točku A iz središta homotetije točke S s koeficijentom - faktorom rastezanja f
Rastezanje[pravac h, broj f, točka S]: Homotetično preslika ("rasteže")
pravac h iz točke S za faktor rastezanja f
Rastezanje[konika c, broj f, točka S]: Homotetično preslika ("rasteže")
koniku c iz točke S za faktor rastezanja f
Rastezanje[mnogokut poly, broj f, točka S]: Homotetično preslika
("rasteže") mnogokut P iz točke S za faktor f. Napomena: Kreirani su novi
vrhovi i dužine.
Rastezanje[slika pic, broj f, točka S]: Homotetično preslika ("rasteže")
sliku p iz točke S za faktor f
Napomena: Također vidi način         Rastezanje objekta preko točke za vektor

38
5. Ispis i izvoz

5.1. Ispis

5.1.1. Crtaća ploha
U izborniku Datoteka kliknite na Pregled ispisa. U otvorenom prozoru možete navesti
naslov, autora, nadnevak i mjerilo ispisa. (u cm).

Napomena: Kliknite Enter nakon svake promjene da bi vidjeli učinak.

5.1.2. Opis konstrukcije
Da bi otvorili prozor pregleda ispisa Opisa konstrukcije u izborniku Pogled otvorite
najprije Opis konstrukcije. U novom prozoru pod izbornikom Datoteka nađite Pregled
ispisa. Napomena: možete uključiti ili isključiti različite stupce opisa konstrukcije kao
što su Ime, Definicija, Naredba, Algebra, i Kontrolna točka (vidi izbornik Pogled opisa
konstrukcije).

U prozoru Pregled ispisa možete navesti naslov, autora i nadnevak.

Naći ćete traku na dnu prozora opisa konstrukcije. Ona vam omogućava odvrtiti
konstrukciju korak po korak (vidi Traka za korake konstrukcije).
Napomena: Koristeći stupac Kontrolna točka (izbornik Pogled) možete zadati
određene korake konstrukcije kao kontrolne točke što omogućava grupiranje
objekata. Kada prolazite konstrukcijom pomoću Trake za korake konstrukcije grupe
objekata će se prikazati istovremeno.

5.2. Crtaća ploha kao crtež
U izborniku Datoteka, Izvoz, naći ćete Crtaća ploha kao crtež. Ovdje možete zadati
mjerilo prikaza (u cm) i rezoluciju (u dpi, točkica po inču) izlazne datoteke. Stvarna
veličina izvezene slike je prikazana na dnu prozora. Kada izvozite crtaću plohu kao
ctež možete izabrati jedan od slijedećih formata:

PNG – Portable Network Graphics
Ovo je grafički format u pikselima (točkicama). Viša rezolucija (dpi), znači i bolju
kvalitetu (300 dpi je najčešće dovoljna kvaliteta). Naknadno smanjivanje ili
uvećavanje PNG crteža obično dovodi do smanjenja kvalitete.

PNG grafičke datoteke su prikladne za korištenje na web-stranicama (html) i s
programom Microsoft Word.
Napomena: Uvijek kada umetnete PNG grafičku datoteku u Word dokument (izbornik
Umetanje, Slike iz datoteke) morate biti sigurni da je veličina postavljena na 100%,
inače će dano mjerilo (u cm) biti izmijenjeno.

39
EPS – Encapsulated Postscript
Ovo je vektorski zadan grafički format. EPS crteže možemo povećavati ili smanjivati
bez gubitka kvalitete. EPS grafičke datoteke su prikladne za korištenje s vektorskim
grafičkim programima kao što su Corel Draw ili profesionalni tekst procesor sustav
LATEX.

Rezolucija EPS grafičkih datoteka je uvijek 72dpi. Ova vrijednost se odnosi samo za
izračun stvarne veličine crteža u cm i nema učinka na njegovu kvalitetu.

Napomena: učinci transparentnosti kao što su ispuna mnogokuta ili konika nisu
mogući s EPS formatom.

SVG – Scaleable Vector Graphic
(vidi EPS format iznad)

EMF – Enhanced Meta Format
(vidi EPS format iznad)

PSTricks
za LaTeX

5.3. Crtaća ploha u međuspremnik
U izborniku Datoteka, Izvoz, nalazi se Crtaća ploha u međuspremnik. Time prenosite
crtaću plohu u sistemski međuspremnik kao PNG crtež. (vidi PNG format) Ovaj crtež
možete unijeti u druge programe (npr. Microsoft Word dokument).

Napomena: Da bi prenjeli vašu konstrukciju u odgovarajućem mjerilu (u cm) koristite
podizbornik Crtaća ploha kao crtež u izborniku Datoteka, Izvoz. (vidi Crtaća ploha
kao crtež).

5.4. Opis konstrukcije kao web-stranica
Kako bi otvorili prozor Izvoz Opisa konstrukcije prvo morate otvoriti Opis konstrukcije
u izborniku Pogled. Tada pronađite Opis konstrukcije kao web-stranica u izborniku
Datoteka.

Napomena: možete uključiti i isključiti različite stupce opisa konstrukcije (vidi izbornik
Pogled opisa konstrukcije).

U prozoru za Pogled možete upisati naslov, autora i nadnevak konstrukcije i izabrati
želite li prenijeti crtež s crtaće plohe i algebarski prozor zajedno s ispisom koraka
konstrukcije.

Napomena: Prebačenu HTML datoteku možete gledati bilo kojim web-preglednikom
(npr. Mozilla, Internet Explorer) kao i urediti raznim tekst preocesorima (npr.
Frontpage, Word).

40
5.5. Dinamični uradak kao web-stranica
U izborniku Datoteka, Izvoz naći ćete karticu Dinamični uradak kao web-stranica
(html). Riječ je o web-stranici s ugrađenim apletom.
U prozoru za izvoz možete upisati naslov, autora i napomene iznad i ispod dinamične
konstrukcije (npr. Opis konstrukcije ili neke zadatke). Konstrukciju samu možete
uključiti izravno u web-stranicu ili otvoriti klikom na dugme.

Kartica Osnovno omogućuje dodavanje teksta iznad i ispod konstrukcije (npr. Opis
konstrukcije i neke zadatke). Sama konstrukcija može biti direktno uključena u web
stranicu ili otvorena pomoću gumba.

Kartica Dodatno omogućuje izmjenu dinamičnosti konstrukcije (npr. reset ikona,
dvostruki klik za otvaranje programskog prozora) kao i izmjenu korisničkog sučelja
(npr. pokazivanje alatne trake, izmjenu visine i širine).
Napomena: nemojte zadavati prevelike dimenzije dinamičnom uratku kako bi bio u
cijelosti vidljiv web-preglednikom.

Izvozom dinamičnog uratka kreirat ćete nekoliko datoteka:
 html datoteka, (npr. Kruznica.html) - ova datoteka sadrži sam crtež.
 ggb datoteka (npr. Kruznica_worksheet.ggb) – ova datoteka sadrži vašu
konstrukciju programom GeoGebra
 geogebra.jar (nekoliko datoteka) – ove datoteke sadrže program GeoGebra i
omogućavaju interaktivnost vašem uratku.

Sve tri datoteke (npr. Kruznica.html, Kruznica_worksheet.ggb i geogebra.jar
datoteke) moraju biti u istoj mapi (direktoriju) kako bi dinamični uradak (aplet) radio.
Naravno da možete kopirati sve tri datoteke u drugu mapu.

Napomena: Prebačenu HTML datoteku (npr. Kružnica.html) možete gledati s bilo
kojim web-preglednikom (npr. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Kako biste omogućili
dinamičnom uratku da radi morate imati instaliran program Java na računalu.
Program Java možete besplatno preuzeti s http://www.java.com. Ako želite koristiti
uradak na školskom računalu ili mreži, zamolite sistemskog administratora da
instalira program Java na računalu.

Napomena: Također možete uređivati tekst uratka raznim tekst procesorima (npr.
Frontpage, Word) otvaranjem već prebačene HTML datoteke.

41
6. Postavke
Opće postavke mogu se mijenjati u izborniku Postavke. Za mijenjanje postavki
objekta koristite Skočni izbornik koji se pojavi desnim klikom miša na dani objekt.

6.1. Vezivanje točke na mrežu
Određuje je li Vezivanje točke za čvorove koordinatne mreže uključeno / isključeno.

6.2. Kutna mjera
Određuje prikazuju li se kutovi u stupnjevima (°) ili radijanima (rad).
Napomena: Unos kuta je uvijek moguć na oba načina (stupnjevi i radijani).

6.3. Decimalna mjesta
Decimalna mjesta se mogu podesiti na: 0, 1, …, 5.

6.4. Neprekidnost
GeoGebra omogućava uključivanje / isključivanje heurističkog pristupa neprekidnosti
traženja sjecišta u izborniku Postavke. Program koristi metodu blisku heurističkoj
kako bi pri pomicanju zadržao sjecišta (pravac-konika, konika-konika) blizu njihovih
starih pozicija i tako izbjegava preskakanje sjecišta. U nekim situacijama ta metoda
daje neželjene rezultate pa ju zato sada možete uključiti ili isključiti.

Napomena: Ova heuristika je početno isključena. Za korisnički definirane alate (vidi
korisnički definirani alati) neprekidnost je uvijek isključena.

6.5. Oblik točke
Određuje hoće li točka biti prikazana kao kružić ili križić.

6.6. Oblik pravog kuta
Određuje hoće li pravi kut biti prikazan kao pravokutnik, s točkom, ili kao ostali kutovi.

6.7. Koordinate
Određuje hoće li koordinate točkaka biti prikazane kao A = (x, y) ili A(x | y).
42
6.8. Označavanje
Možete specificirati hoće li se oznake novokreiranih objekata prikazati ili ne.
Napomena: Postavka Automatski pokazuje oznake kada je algebarski prozor otvoren
dok kreirate nove objekte.

6.9. Veličina fonta
Određuje veličinu fonta u točkama (pt).

6.10. Jezik
Program GeoGebra je višejezičan. Ovdje možemo promijeniti važeći jezik. To utječe
na sve unose uključujući nazive naredbi i sve izlaze.

6.11. Crtaća ploha
Otvaranjem prozora sa svojstvima ctaće plohe (koordinatne osi, koordinatna mreža,
boja pozadine…) ta se svojstva mogu oblikovati.

6.12. Spremanje postavki
Program GeoGebra pamti vaše omiljene postavke (postavke u izborniku Postavke,
trenutnu alatnu traku i crtaću plohu) ako odaberete Spremi postavke u izborniku
Postavke.

43
7. Alati i alatna traka

7.1. Korisnički definirani alati
Na temelju postojeće konstrukcije u GeoGebri možete napraviti svoje vlastite alate.
Nakon pripreme konstrukcije vašeg alata odaberite Izrada novog alata u izborniku
Alati. U otvorenom dijaloškom okviru navedite izlazne i ulazne objekte vašeg alata,
izaberite naziv i ikonu za alatnu traku, te naziv naredbe.

 Konstruirajte kvadrat počevši s dvije točke A i B. Konstruirajte ostale vrhove i
spojite ih alatom     Mnogokut tako da dobijete kvadrat poly1.
 Odaberite Izrada novog alata u izborniku Alati.
 Navedite izlazne objekte: kliknite na kvadrat ili ih odaberite u padajućem
izborniku.
 Navođenje ulaznih objektata: GeoGebra automatski navodi ulazne objekte za
vas. U ovom slučaju točke A i B. Ali također možete precizno odrediti ulazne
objekte koristeći padajući izbornik ili klikanjem na objekte u vašoj konstrukciji.
 Navedite naziv alata i naziv naredbe za vaš novi alat. Naziv alata pojavljivat će
se u alatnoj traci programa, a naziv naredbe u polju za unos.
 Možete izabrati i neku sliku za ikonu u alatnoj traci. GeoGebra će automatski
promijeniti veličinu slike na veličinu gumba alatne trake.

Napomena: Vaš se alat može koristiti na oba načina, pomoću miša iz alatne trake i
kao naredba iz polja za unos. Svi alati se automatski spremaju u pripadnu “ggb”
datoteku.

U izborniku Upravljanje alatima (pod Alati) možete izbrisati alat ili promijeniti mu
naziv i ikonu. Također možete spremiti odabrani alat kao GeoGebrinu alatnu
datoteku (“ggt”). Tu datoteku možete koristiti kasnije u nekoj drugoj konstrukciji.
Učitajte ju izbornikom Datoteka > Otvori.
Napomena: Otvaranjem “ggt” datoteke ne mijenja se vaša trenutna konstrukcija, za
razliku od “ggb” datoteke.

7.2. Prilagodba alatne trake
Vi možete prilagoditi alate GeoGebrine alatne trake odabirom izbornika Prilagodba
alatne trake (Alati). Ovo je naročito korisno pri izradi dinamičnih web-stranica u
kojima želite ograničiti broj dostupnih alata u alatnoj traci.
Napomena: Trenutne postavke alatne trake spremljene su s vašom konstrukcijom u
“ggb” datoteci.

44
8. JavaScript sučelje
Napomena: GeoGebrino JavaScript sučelje zanimljivo je korisnicima koji imaju nešto
iskustva u uređivanju HTML koda.

Da bi poboljšali vaše dinamične web-stranice i povećali njihovu interaktivnost,
GeoGebrini apleti podržavaju JavaScript sučelje. Na primjer, možete kreirati gumb za
randomsko postavljanje vaše konstrukcije.

Molimo vas, pogledajte dokumente GeoGebra Applets i JavaScript gdje su dani
primjeri i informacije o korištenju JavaScripta u GeoGebrinim apletima.

45
Indeks
A                                           G
afini omjer, naredba, 30                     gamma funkcija, 26
ako, naredba, 35                             geometrijski prozor, 10
alati, korisnički definirani, 45             glavna os, naredba, 33
alati, upravljanje, 45                       glavna poluos, duljina, naredba, 29
alatna traka, prilagodba, 45                 gornja suma, naredba, 29
animacija, 22                                granična vrijednost, vrijednost broja, 23
apsolutna vrijednost, 26                     granična vrijednost, vrijednost kuta, 23
aritmetičke operacije, 25
asimptota, naredba, 33
H
B                                          hiperbola, naredbe, 34

boja, 10
brisanje, objekt, način, 13                   I
broj, 23                                     indeks, 23, 27
broj, granična vrijednost, 23                integral, naredba, 34
integral, naredbe, 29
C                                          integral, određeni, 29
isječak, 35
cjelobrojno dijeljenje, naredba, 28          isječak opisanog luka, naredba, 36
crta, debljina crte, 10                      isječak, naredbe, 36
crta, vrsta crte, 10                         ispis, 40
crtaća ploha, 10                             ispis, crtaća ploha, 40
crtaća ploha, izvoz, 40                      ispis, opis konstrukcije, 40
crtaća ploha, postavke, 44                   ispuna, 10
crtaća ploha, u međuspremnik, 41             iteracija, 37
iteracija, naredba, 29
izbriši, 10
D                                          izbriši, naredba, 27
decimalna mjesta, postavke, 43               izvoz, 40, 41, 42
derivacija, naredbe, 34
dijeljenje, 26
J
donja suma, naredba, 29                      JavaScript, 46
duljina, naredbe, 28                         jedinični okomiti vektor, naredbe, 32
dužina, između dviju točaka, način, 14       jedinični vektor, naredbe, 31
dužina, naredba, 32                          jezik, postavke, 44
dužina, pretvori u pravac, redefiniraj, 12
dužina, simetrala dužine, naredbe, 33
dužina, zadane duljine iz točke, način, 15    K
dvostruki omjer, naredba, 30                 Kartezijeve, koordinate, 23
klizač, način, 17
E                                          konika, kroz pet točaka, način, 16
konika, naredba, 34
ekscentricitet, naredba, 29                  konike, 24
eksponencijalna funkcija, 26                 konjugirani promjer, naredbe, 33
ekstrem, naredba, 31                         kontrolna točka, 11, 40
element, naredba, 27                         kontrolni okvir, za prikaz i skrivanje objekata, 18
elipsa, naredbe, 34                          koordinate, oblik, postavke, 43
koordinate, y-koordinata, 26
koordinatel, x-koordinata, 26
F                                          koordinte, 23
faktorjela, 26                               koraci konstrukcije, izvoz, 41
formula, 20                                  korisnički definirani alati, 45
funkcija, 25                                 kosinus, 26
funkcija, eksponencijalna, 26                krivulja, 35
funkcija, naredba, 34, 35                    kružni isječak, naredba, 36
funkcija, ograničenje na interval, 25        kružni isječak, određen središtem i dvjema točkama,
način, 17

46
kružni isječak, određen trima točkama, način, 17          opći načini, način, 12
kružni luk, naredba, 36                                   opis, 11
kružni luk, određen središtem i dvjema točkama, način,    opis konstrukcije, 11
17                                                     opis konstrukcije, izvoz, 41
kružni luk, određen trima točkama, način, 17              opseg, naredba, 29
kružnica zakrivljenosti, 34                               osi, naredba, 33
kružnica, kroz tri točke, način, 16                       osi, omjer, 11
kružnica, naredbe, 34                                     osi, xOs, yOs, 24
kružnica, određena središtem i jednom točkom, način, 16   ostatak, 28
kružnica, određena središtem i polumjerom, način, 16      označavanje, postavke, 44
kubni korijen, 26
kut, 23
kut, granična vrijednost, 23                                P
kut, izbočeni, 23                                         parabola, naredba, 34
kut, mjera, 43                                            parametar, naredba, 29
kut, način, 18                                            parametarska krivulja, 35
kut, naredbe, 30                                          područje odabira, 12
kut, zadane veličine, način, 18                           pojednostavni, polinom, 35
kvadratni korijen, 26                                     pokaži, 10
pokaži / sakrij, objekt, način, 13
L                                                        pokaži / sakrij, oznaka, način, 13
polara ili konjugirani promjer, način, 16
lista, 25                                                 polara, naredba, 33
logaritam, 26                                             polarne, koordinate, 23
logički, naredbe, 28                                      polinom, naredba, 35
logički, operatori, 27                                    polje za unos, 23
logički, varijable, 26                                    polovište, način, 14
lokus, 18                                                 polovište, naredbe, 30
lokus, način, 18                                          polukružnica, način, 17
lokus, naredba, 37                                        polukružnica, naredba, 35
luk opisan trima točkama, naredba, 36                     polumjer, naredba, 29
luk, naredbe, 36                                          pomicanje, crtaća ploha, način, 13
pomicanje, način, 12
postavke, 43
M                                                        potenciranje, 26
maksimum, naredba, 29                                     površina, između dviju funkcija, 28
minimum, naredba, 29                                      površina, način, 17
mnogokut, način, 15                                       površina, naredbe, 28
mnogokut, naredbe, 32                                     površina, određeni integral, 28
mnogokut, pravilni, način, 15                             pozadinska slika, 21
množenje, 25                                              pravac, 24
modulo funkcija, naredba, 28                              pravac, kroz dvije točke, način, 15
pravac, naredbe, 32
pravac, pretvori u dužinu, redefiniraj, 11
N                                                        pravilni mnogokut, način, 15
predznak, 26
načini, 12                                                preimenuj, 10
nagib, način, 17                                          prenositelj oblikovanja, način, 13
nagib, naredba, 28                                        prilagodba alatne trake, 45
najmanje cijelo, 26                                       proširi, polinom, 35
najveće cijelo, 26                                        prozirnost, slika, 21
naredbe, 27
neprekidnost, postavke, 43
niz, 37                                                     R
niz, prateće naredbe, 37
nova točka, način, 14                                     rastezanje, naredbe, 39
nultočka, naredbe, 31                                     rastezanje, objekta iz točke, način, 19
ravnalica, naredba, 33
redefiniraj, 11
O                                                        rotacija, naredbe, 38
rotacija, objekta oko točke, način, 19
oblik pravog kuta, postavke, 43                           rotacija, oko točke, način, 13
oblikovanje, kopiraj, 13
oblikovanje, prenositelj oblikovanja, 13
oduzimanje, 25                                              S
ograničenje, funkcije na interval, 25
okomica, način, 15                                        sakrij, 10
okomica, naredbe, 33                                      simetrala dužine, način, 15
okomiti vektor, vektor, naredbe, 32                       simetrala kuta, način, 16
simetrala kuta, naredbe, 33

47
sinus, 26
sjecište, dvaju objekata, način, 14
U
sjecište, naredbe, 31                                    udaljenost, način, 17
skalarni produkt, 25                                     udaljenost, naredba, 28
skočni izbornik, 10                                      ugao, naredba, 36
slika, 20                                                umetanje, slike, način, 20
slika, položaj, 20                                       umetanje, teksta, 19
slika, pozadinska, 21                                    upravljanje alatima, 45
slika, prozirnost, 21                                    uradak, dinamični, 42
slika, ugao, 36                                          usporednica, način, 15
slika, umetanje, 20                                      uvjetna funkcija, naredba, 35
slučajan, 26
sporedna os, naredba, 33
sporedna poluos, duljina, naredba, 29                     V
spremanje postavki, postavke, 44                         vektor, 23
svojstva, 12                                             vektor smjera, naredba, 31
svojstva, dijaloški okvir, 12                            vektor, iz točke, način, 14
vektor, između dviju točaka, način, 14
T                                                       vektor, naredbe, 31
veličina, 10
tangens, 26                                              veličina fonta, postavke, 44
tangenta, način, 16                                      veza, način, 13
tangenta, naredbe, 33                                    veza, naredba, 27
taylorov polinom, naredba, 35                            vrijednosti, izmjena, 22
tekst, 19
tekst, način, 19
težište, naredba, 31                                      X
tjeme, naredba, 30                                       x-koordinata, 26
točka, 23                                                xOs, 24
točka pregiba, naredba, 31
točka, brisanje s pravca, redefiniraj, 11
točka, naredbe, 30                                        Y
točka, oblik, postavke, 43
točka, položi na pravac, redefiniraj, 11                 y-koordinata, 26
točka, vezivanje, postavke, 43                           yOs, 24
trag, 10
traka za korake konstrukcije, 11, 40
transformacije, geometrijske, 37
Z
translacija, 37                                          zagrade, 26
translacija, naredbe, 37                                 zakrivljenost, naredbe, 28
translacija, objekta za vektor, način, 19                zakrivljenost, vektor, naredba, 32
trigonometrijske funkcije, 25                            zaokruženo, 26
trigonometrijske funkcije, Area kosinus hiperbolni, 26   žarište, naredba, 30
trigonometrijske funkcije, Area sinus hiperbolni, 26     zbrajanje, 25
trigonometrijske funkcije, Area tangens hiperbolni, 26   zoom, 11
trigonometrijske funkcije, arkus kosinus, 26             zoom, povećanje, način, 13
trigonometrijske funkcije, arkus sinus, 26               zoom, smanjenje, način, 13
trigonometrijske funkcije, arkus tangens, 26             zraka, kroz dvije točke, način, 15
trigonometrijske funkcije, kosinus, 26                   zraka, naredba, 32
trigonometrijske funkcije, kosinus hiperbolni, 26        zrcaljenje, naredbe, 38
trigonometrijske funkcije, sinus, 26                     zrcaljenje, objekta preko pravca, način, 19
trigonometrijske funkcije, sinus hiperbolni, 26          zrcaljenje, objekta preko točke, način, 19
trigonometrijske funkcije, tangens, 26
trigonometrijske funkcije, tangens hiperbolni, 26

48


To top