Ch 2 D�monstration par r�currence � Suites num�riques by jAz2ic

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									Ch 2 Démonstration par récurrence – Suites numériques

Correction des exercices type bac

Exercice 1 :
Partie I
Pour chaque affirmation répondre, sans justification, par Vrai ou Faux :
    (A) Toute suite bornée est convergente FAUX
    (B) Pour toutes suites (un) et (vn) à valeurs strictement positives qui tendent vers +  , la
                         u
suite de terme général n converge vers 1 FAUX
                         vn
    (C) Toute suite décroissante non minorée tend vers –  VRAI
Partie II
Justification de chacune des propositions de la 1ère partie avec un contre-exemple si elle est
fausse ou une démonstration si elle est vraie :
    (A) Contre-exemple avec la suite (un) de terme général un = (–1)n ; on a –1  un  1
        Cette suite est bornée mais n’a pas de limite.
   (B) Contre-exemple avec la suite (un) de terme général un = 2n +1 et la suite (vn) de terme
                                                                 u
général vn = n +1 .On a bien lim un = lim vn = +  mais lim n =2 car
                                                                 vn
                             1          1                                    1
                       n( 2  ) 2                                       2
        u n 2n  1           n         n et comme lim 1 =0 on a lim         n=2.
                    
        vn     n 1          1          1                 n                  1
                        n(1  ) 1                                       1
                             n          n                                    n
    (B) Démonstration : soit (un) une suite décroissante non minorée ;
        Etant donné un nombre r quelconque, comme (un) est non minorée, il existe forcément
        un rang n0 pour lequel u n0  r .
Comme (un) une suite décroissante , les termes u n0 , u n0 1 , u n0  2 , u n0  3 … sont dans l’intervalle ]
–  ; r ] , ce qui prouve que lim un = –  .


Exercice 2 : ex 1 du sujet BacS Antilles-Guyane de Juin 2004
                                                                      1
                                                             a n 1  3 (2a n  bn )
                                                             
Les suites (an) et (bn) sont définies par a0 = 1 , b0 = 7 et 
                                                             b  1 ( a  2b )
                                                              n 1 3 n
                                                             
                                                                                  n


On considère, pour tout n  N, les points An d’abscisse an et Bn d’abscisse bn .
   1) Figure




      2) Soit ( un ) la suite définie par un = bn – an pour tout n  N.
Démontrer que ( un ) est une suite géométrique :
                        1               1               1      1
                          (a n  2bn )  (2a n  bn )     bn  a n
 u n 1 bn 1  a n 1 3                3                             1
                                                    3       3    
  un       bn  a n                bn  a n               bn  a n    3
                                                      1
( un ) est donc une suite géométrique de raison et de 1er terme u0 = b0–a0 = 6
                                                      3
                                                    1          1
Expression de un en fonction de n : un = u0  ( ) n  6  ( ) n .
                                                    3          3
    3) D’après l’expression de un en fonction de n , on a un > 0 d’où bn > an
Etude du sens de variation de la suite ( an ) :
            1                      1       1      1            1
an+1 – an = (2a n  bn )  a n  bn  a n  (bn  a n )  u n  0 donc (an) est croissante.
            3                      3       3      3            3
Etude du sens de variation de la suite ( bn ) :
             1                         1     1        1               1
 bn+1 – bn = (a n  2bn )  bn   bn  a n   (bn  a n )   u n  0 donc (bn) est
             3                         3     3        3               3
décroissante.
Interprétations géométriques :
Pour tout n le point Bn est placé à droite de An car bn > an ;
Lorsque n augmente, les points An se déplacent vers la droite et les points Bn vers la gauche
    4) Démontrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes :
D’après le 3) la suite (an) est croissante et (bn) est décroissante.
                                                           1                  1
D’après le 2) on a un = bn – an = 6  ( 1 ) n et, comme  1 , on a lim ( ) n = 0 d’où
                                           3               3                  3
Lim (bn – an) = 0 ; on peut conclure que (an) et (bn) sont adjacentes .
    5) Soit ( vn ) la suite définie pour tout n par vn = an + bn .
Démontrer que (vn) est constante :
                                         1              1
vn+1 – vn = a n1  bn1  (a n  bn )  (2a n  bn )  (a n  2bn )  a n  bn  0 donc (vn) est
                                         3              3
constante ; pour tout n , vn = v0 = a0 + b0 = 1 + 7 = 8 .
                                                      a  bn v n
Le milieu du segment [ An Bn ] a pour abscisse n                    4 , pour tout n .
                                                         2      2
Donc tous les segments [ An Bn ] ont le même milieu I d’abscisse 4 .
    6) D’après le 4) , les suites (an) et (bn) sont adjacentes donc elles sont convergentes et
convergent toutes les deux vers la même limite  .
On sait d’après le 5) que, pour tout n, an + bn = 8 .
Par passage à la limite on en déduit que     8 d’où   4 .
Interprétation géométrique :
Lorsque n tend vers +  , les points An et Bn tendent vers le point I .

Exercice 3 :
                                                                            1
( U n ) est la suite définie par : U0 = 9 et , pour tout n de N , U n+1 =     Un + 2 .
                                                                            3
                                          1
f est la fonction définie sur R+ par f(x) =   x + 2 .On note C la courbe représentative de f
                                          3
dans un repère orthonormé direct ( O ; i ; j ) .L’unité graphique est 2 cm .
    1. Construire sur l’axe ( O ; i ) les quatre premiers termes de la suite ( U n ) .
Comme U n + 1 = f( Un ) , le point de coordonnées (Un ; U n + 1) est situé sur la courbe C
                                                              1
représentative de f, c’est à dire sur la droite d’équation y = x + 2 .
                                                              3
Pour ramener tous les termes de la suite sur l’axe des abscisses, on projette d’abord le point
situé sur C de coordonnées (Un ; U n + 1) sur la droite D d’équation y = x parallèlement à l’axe
des abscisses pour obtenir le point de coordonnées (Un + 1 ; U n + 1) . Puis on projette ce
nouveau point sur l’axe des abscisses parallèlement à l’axe des ordonnées pour obtenir le
point de coordonnées (Un + 1 ; 0) .
Quelle conjecture peut-on réaliser ?
La suite (Un) semble être décroissante
 donc majorée par U0 = 9 , minorée
 par 3 l’abscisse du point d’intersection
 de D et de C et converger vers 3 .
    2. Démontrer que la suite ( U n ) n’est ni arithmétique ni géométrique .
                  1                       1             11
U0 = 9 ; U1 =  9 + 2 = 5 ; U2 =  5 + 2 =                 .
                  3                       3              3
                                        11
U1 – U0 = 5 – 9 = – 4 ; U2 – U1 = – 5  – 4 donc (Un) n’est pas arithmétique .
                                         3
                     11
U1 5 U 2                   11 5
      ;           3         donc (Un) n’est pas géométrique .
U 0 9 U1              5 15 9
    3. a) Démontrer par récurrence , que pour tout n de N , 3 < U n  9 .
Initialisation : Comme U0 = 9 , on a bien 3 < U0  9
Hérédité : On suppose que pour un certain entier naturel p, 3 < Up  9 .
On va démontrer que : 3 < U p + 1  9 .
La fonction f étant la restriction à R+ d’une fonction affine strictement croissante, l’hypothèse
de récurrence devient f(3) < f(Up)  f(9) c’est à dire 3 < U p + 1  5 .
Or 5  9 donc on a bien 3 < U p + 1  9 .
Conclusion : Pour tout entier n , 3 < Un  9 .
         b) En déduire le sens de variation de la suite ( Un ).
On étudie le signe de U n + 1 – Un :
                 1                    2              2
U n + 1 – Un = Un + 2 – Un = – Un + 2 = – ( Un – 3)
                 3                    3              3
D’après le 3.a) , pour tout entier naturel n, Un – 3 > 0 et alors U n + 1 – Un < 0.
La suite (Un) est donc strictement décroissante comme on l’avait conjecturer.
    4. Pour tout n de N, on pose Vn = Un – 3 .
             a) Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on déterminera le
                   terme général Vn en fonction de n .
On compare V n + 1 et Vn en espérant trouver un coefficient constant.
                         1                 1           1           1
V n + 1 = U n + 1 – 3 = Un + 2 – 3 = Un – 1 = ( Un – 3 ) = Vn .
                         3                 3           3           3
                                                      1
Donc la suite (Vn) est géométrique de raison de premier terme V0 = U0 – 3 = 9 – 3 = 6.
                                                      3
                                      1 n       1 n
Son terme général est Vn = V0 ( ) = 6( ) .
                                      3         3
             b) En déduire le terme général Un de la suite (Un) en fonction de n, puis calculer
                   la limite de la suite (Un) .
                                    1
On a Un = Vn + 3 d’où Un =6( )n + 3 .
                                    3
D’après la question 3), la suite (Un) est décroissante et minorée par 3 donc elle converge.
                              1                      1
Quand n tend vers +  , ( )n tend vers 0 car < 1
                              3                      3
Donc (Un) converge vers 3 ( théorème des limites sur les produits et sommes )
             c) Calculer V0 + V1 + V2 + … + V10
D’après la formule de la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, on a :
                                     1                1
                                1  ( )11        1  ( )11
V0 + V1 + … + V10 = V0              3  6            3  6  3  (1  ( 1 )11 )  9  9  3 11  9  3 9
                                      1              2         2          3
                                  1
                                       3             3
                                  n
            d) Calculer Sn =     U
                                 k 0
                                        k   = U0 + U1 + U2 + … + Un .

Sn = (V0 + 3) + (V1 + 3) + (V2 + 3) + …+ (Vn + 3) = ( V0 + V1 + V2 + …+ Vn ) + 3(n + 1)
               1                              1
          1  ( ) n 1                   1  ( ) n 1
               3                              3                       3        1
Sn = V0                 3(n  1)  6                3(n  1)  6   (1  ( ) n 1 )  3(n  1)
                 1                            2                       2        3
             1
                 3                            3
                       1 n+1
Donc Sn = 9 ( 1 – ( )         ) + 3( n + 1)
                       3

								
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