Der Kreis by 062i2NQ

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									Der Kreis

1.Definition des Kreises und seiner Winkel

2. Lagebeziehungen von Kreis und Gerade

3. Tangentenkonstruktionen

4. Umkreis und Inkreis eines Dreiecks

5. Umkreis bei Vierecken

6. Peripheriewinkelsatz und Zentri – Peripheriewinkelsatz

7. Satz des Thales

8. Umkehrung des Satz des Thales

9. Anwendungen
1. Definition des Kreises und seiner Winkel

Definition:

Eine geometrische Figur, bei der alle Punkte P den gleichen Abstand r zu einem festen
Punkt M besitzen, nennt man Kreis.

M Mittelpunkt des Kreises
r Radius des Kreises

Konstruktion eines Kreises mit dem Radius r=4 cm mit dynageo




d Durchmesser (Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte durch den Mittelpunkt
Kreisbogen, Zentriwinkel




                                         M

                A                             98 °
                                             Zentriwinkel AMB
                           Kreisausschnitt




             Kreisbogen AB                      B




2. Besondere Linien am Kreis


Passante, Sekante, Sehne, Tangente
                                                                        Tangente




                                              Durchmesser
                                                                                   Sekante


                                             Sehne




                                                                                             Passante




Uebung:




3. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis


  Konstruktion einer Tangente an den Kreis




                                                            m
                                                                    B

                               A



                                                                t
Konstruktionsbeschreibung einfuegen




4. Umkreis und Inkreis am Dreieck


Umkreis                                       Inkreis

Ein Kreis, der durch die drei Eckpunkte       Der Kreis, der die Seiten eines Dreiecks
des Dreiecks geht, heisst Umkreis.            beruehrt, nennt man Inkreis.

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis.          Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Der
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten        Mittelpunkt des Inkreises ist
ist der Mittelpunkt des Umkreises.            Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.




Konstruktionen einfuegen mit Konstruktionsbeschreibungen




5. Umkreis bei Vierecken

Definitition:
Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, nennt man Sehnenviereck.

Satz:
In jedem Sehnenviereck sind gegenueberliegende Winkel zusammen 180 Grad gross.


Beweis des Satzes: (siehe Mitschriften)

6. Zentri – Peripheriewinkelsatz

Definition:
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Schenkel durch die
Kreispunkte A, B gehen, nennt man Peripheriewinkel ueber dem Bogen AB.

Satz:
Wenn zwei Peripheriewinkel ueber dem gleichen Bogen liegen, dann sind die Winkel
gleich gross.




                  B




                                    34 °




       A




                           34 °




Satz:
Der Zentriwinkel ueber einem Bogen ist doppelt so gross wie jeder Peripheriewinkel
ueber demselben Bogen.

                             60 °




                                    120 °
Anwenden der Saetze
  - Konstruktion von Sehnen
     1. Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius 2,5 cm. Konstruiere eine Sehne AB, zu
     der der Peripheriewinkel ueber dem Bogen AB von 70 Grad gehoert.
     2. Zeichne einen Kreis mit r= 3cm. Konstruiere eine Sehne AB des Kreises, so
     dass fuer den Peripheriewinkel  ueber dem Bogen AB gilt:
     =80 Grad
     3. Zeichne eine Strecke AB der angegebenen Laenge. Konstruiere dann einen
     Kreis mit AB als Sehne so, dass die Peripheriewinkel ueber dem Bogen AB die
     Groesse  besitzen.

   -   Sehwinkel
       Die Wandtafel ist 4 m lang. Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen
       aus man die Tafel unter einem Sehwinkel von 30 Grad sieht.

Weitere Uebungen
4. Konstruiere zum Dreieck A(2;3) B(7:4) und C(5;-2) den Umkreis und den Inkreis.
5. Konstruiere zum Kreis mit dem Mittelpunkt M(-10;1) und dem Radius 5 durch den
Punkt (-6;4) die Tangente.
6. Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M (0;7) und dem Radius 5.
Der Punkt A hat die Koordinaten (0;2),  ist 70 Grad, die Sehne AB hat die Laenge 3cm,
 ist 80 Grad.
Konstruiere das Sehnenviereck.

								
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