Docstoc

คณิตศาสตร์ 1 O Net

Document Sample
คณิตศาสตร์ 1 O Net Powered By Docstoc
					เซต (Set)
1. เซต
ในทางคณิตศาสตรใชเซต เพื่อใหเกิดแนวคิดของการอยูรวมกันเปนกลุม โดยสามารถระบุไดแนนอนวาสิ่งๆ นั้นอยูในเซตหรือไม เรียกสิ่งที่อยูในเซตวา สมาชิก ใชอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพใหญ A, B, C, ... แทนชื่อเซต และใชอักษรตัวพิมพเล็กแทนสมาชิกในเซต สําหรับเซต A ใดๆ เราจะเขียน a ∈ A แทนขอความ “a เปนสมาชิกของ A” a ∉ A แทนขอความ “a ไมเปนสมาชิกของ A” n(A) แทนจํานวนสมาชิกของ A เราสามารถเขียนบรรยายถึงเซตไดสองวิธี คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายปกกา และมีเครื่องหมายจุลภาค (,) ขั้นระหวาง สมาชิกแตละตัว 2. แบบบอกเงื่อนไข เขียนตัวแปรแทนสมาชิก แลวบรรยายสมบัติของตัวแปรนั้น

2. ประเภทของเซตที่สําคัญ
1. เซตจํากัด (Finite Set) หมายถึง เซตที่สามารถหาจํานวนสมาชิกได 2. เซตอนันต (Infinite Set) หมายถึง เซตที่มีจํานวนสมาชิกมากมายมหาศาล 3. เซตวาง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไมมีสมาชิกอยูเลย แทนดวย φ หรือ { } 4. เอกภพสัมพัทธ (Relative Universe) หมายถึง เซตที่กําหนดขอบเขตของสมาชิกของเซตที่เราตองการ ศึกษา เขียนแทนดวย U

คณิตศาสตร (2)_______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

3. ความสัมพันธระหวางเซต
A=B 1. การเทากันของเซต เซต A เทากับเซต B ก็ตอเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว เขียนแทนดวย 2. สับเซต (Subset) เซต A เปนสับเซตของ B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B เขียน แทนดวย A ⊆ B ถา A เปนสับเซตของ B และ A ≠ B แลวเราจะกลาววา A เปนสับเซตแทของ B 3. พาวเวอรเซต (Power Set) พาวเวอรเซตของเซต A หมายถึง เซตของสับเซตทั้งหมดของ A เขียน แทนดวย P(A) 1. 2. 3. 4. 5. 6.
φ ⊆ A และ A ⊆ A φ ∈ P(A) และ A ∈ P(A) φ ⊆ P(A) ถา A ⊆ B แลว P(A) ⊆ P(B)

4. ขอสังเกต

P(A) I P(B) = P(A I B) ถา A มีสมาชิก m ตัว แลวจํานวนสมาชิกของ P(A) มีทั้งหมด 2m ตัว นั่นคือ n (P(A)) = 2m

5. การกระทําทางเซต
1. ยูเนียน (Union) เซต A ยูเนียน B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A หรือเซต B เขียนแทน ดวย A U B 2. อินเตอรเซกชัน (Intersection) อินเตอรเซกชันของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิก ของเซต A และเซต B ที่ซ้ํากัน เขียนแทนดวย A I B 3. ผลตาง (Difference) ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ที่ ไมเปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดวย A - B 4. คอมพลีเมนต (Complement) คอมพลีเมนตของเซต A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเอกภพ สัมพัทธ U แตไมเปนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย A′

6. สมบัติบางประการของเซต
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. AIB ⊆ A ⊆ AUB ⊆ U ถา A ⊆ B แลว A U B = B และ A I B = A ถา A ⊆ B และ C ⊆ D แลว (A I C) ⊆ (B I D) และ (A U C) ⊆ (B U D) φ U A = A และ φ I A = φ U U A = U และ U I A = A A U A = A และ A I A = A φ′ = U และ U′ = φ ถา A ⊆ B แลว B′ ⊆ A′ (A′)′ = A
φ ⊆
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

_______________________________ คณิตศาสตร (3)

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

(A U B)′ = A′ I B′ และ (A I B)′ = A′ U B′ A - B = A I B′ A U A′ = U และ A I A′ = φ A U B = B U A และ A I B = B I A (A U B) U C = A U (B U C) และ (A I B) I C = A I (B I C) A I (B U C) = (A I B) U (A I C) และ A U (B I C) = (A U B) I (A U C) n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B) n(A - B) = n(A) - n(A I B) n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C)

ตัวอยางขอสอบ
1. ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว A I B เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้ 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} 2. ในการสอบถามพอบานจํานวน 300 คน พบวามีคนไมดื่มทั้งชาและกาแฟ 100 คน มีคนดื่มชา 100 คน และ มีคนที่ดื่มกาแฟ 150 คน พอบานที่ดื่มทั้งชาและกาแฟมีจํานวนเทาใด 3. กําหนดให A และ B เปนเซตซึ่ง n(A U B) = 88 และ n[(A - B) U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55 4. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเสื้อสีเหลืองหรือสีฟาอยางนอยสีละหนึ่งตัว ถานักเรียน 39 คน มีเสื้อสีเหลือง และ 19 คน มีเสื้อสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มีทั้งเสื้อสีเหลืองและเสื้อสีฟามีจํานวนเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12 5. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 50 คน มี 32 คนไมชอบเลนกีฬาและไมชอบฟงเพลง ถา มี 6 คน ชอบฟงเพลงแต ไมชอบเลนกีฬา และมี 1 คน ชอบเลนกีฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนักเรียนในกลุมนี้ที่ชอบเลนกีฬาและ ชอบฟงเพลงมีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน 6. ถากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปนี้ เซต จํานวนสมาชิก AUB 25 AUC 27 BUC 26 AUBUC 30 4) 26 AIBIC 7

แลวจํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 23 2) 24 3) 25 คณิตศาสตร (4)_______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

การใหเหตุผล (Reasoning)
1. การใหเหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปผลในการคนหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้งจากกรณี ยอยแลวนํามาสรุปเปนความรูแบบทั่วไป 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปขอเท็จจริงโดยการนําความรูพื้นฐาน ความเชื่อ ขอตกลง หรือบทนิยาม ซึ่งเปนสิ่ง ที่รูมากอนและยอมรับวาเปนจริง เพื่อหาเหตุผลนําไปสูขอสรุป การใหเหตุผลแบบนิรนัยประกอบดวยสองสวน คือ เหตุ หรือ สมมติฐาน และ ผล ถาการยอมรับ สมมติฐานสามารถนําไปสูการสรุปสวนที่เปนผลไดอยางสมเหตุสมผล (Valid) จะถือวาการสรุปผลนั้นถูกตอง โดยการตรวจสอบการสมเหตุสมผลสามารถใชการวาดแผนภาพตามสมมติฐาน แลวพิจารณาวาแผนภาพแตละกรณี แสดงผลสรุปตามผลที่ตั้งไวหรือไม ถาทุกกรณีของแผนภาพแสดงผลตามที่กําหนด จะไดวาการสรุปผลนั้นสมเหตุสมผล ถามีแผนภาพบางกรณีไมสอดคลองกับผลที่สรุป จะไดวาการสรุปผลนั้นไมสมเหตุสมผล ขอความ สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B ไมมีสมาชิกตัวใดของ A เปนสมาชิกของ B มีสมาชิกบางตัวของ A เปนสมาชิกของ B มีสมาชิกบางตัวของ A ไมเปนสมาชิกของ B มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวที่เปนสมาชิกของ B มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวที่ไมเปนสมาชิกของ B แผนภาพ นิรนัย การใหเหตุผลทางคณิตศาสตรที่สําคัญมีอยู 2 วิธี ไดแก การใหเหตุผลแบบอุปนัย และการใหเหตุผลแบบ

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

_______________________________ คณิตศาสตร (5)

ตัวอยางขอสอบ
1. เหตุ 1. ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน 2. มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง 3. มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง ผลในขอใดตอไปนี้ที่เปนการสรุปผลจากเหตุขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล 1) มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง 2) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน 3) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4) มีคนตกงานที่เปนคนขยัน 2. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี ข. คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี ค. ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขอขางตน เมื่อจุดแทนภราดร 2) 1)

3)

4)

3. จากแบบรูปตอไปนี้ โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย 2a - b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 7 14 21 77 1 2 4 2 4 8 3 6 12 ... a b c 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 4. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คนตีกอลฟเกงทุกคนเปนคนสายตาดี ข. คนที่ตีกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคนเปนคนสายตาดี ค. ธงชัยตีกอลฟเกงแตตีไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขางตนเมื่อกําหนดจุดแทนธงชัย 2) 1)

3)

4)

คณิตศาสตร (6)_______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

จํานวนจริง (Real Number)
จํานวนจริง (R) จํานวนอตรรกยะ (Q′) จํานวนตรรกยะ (Q) จํานวนเต็ม (I) จํานวนเต็มศูนย (0) จํานวนเต็มบวก (I+) จํานวนนับ (N)

จํานวนตรรกยะที่ไมใชจํานวนเต็ม (I′) จํานวนเต็มลบ (I-)

1. สมบัติของจํานวนจริง17
สมบัติของการเทากัน 1. สมบัติการสะทอน : a = a 2. สมบัติการสมมาตร : ถา a = b แลว b = a 3. สมบัติการถายทอด : ถา a = b และ b = c แลว a = c 4. สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน : ถา a = b แลว a + c = b + c 5. สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน : ถา a = b แลว ac = bc สมบัติการบวกและการคูณในระบบจํานวนจริง สมบัติ ปด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุม การมีเอกลักษณ การมีอินเวอรส การบวก ถา a, b ∈ R แลว a + b ∈ R a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง -a ที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) การคูณ ถา a, b ∈ R แลว a ⋅ b ∈ R a⋅b = b⋅a a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c มีจํานวนจริง 1 และ 1 ≠ 0 ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 สําหรับจํานวนจริง a ที่ a ≠ 0 จะมีจํานวนจริง a-1 ที่ a-1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a-1

สมบัติการแจกแจง เมื่อ a, b, c ∈ R, a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

_______________________________ คณิตศาสตร (7)

2. การแกสมการและอสมการ
การแยกตัวประกอบ ผลตางกําลังสอง A2 - B2 = (A + B)(A - B) ผลตางกําลังสาม A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) ผลบวกกําลังสาม A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2) กําลังสองสมบูรณ (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 สมบัติของการไมเทากัน 1. สมบัติการถายทอด : ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบัติการบวกดวยจํานวนจริงที่เทากัน : ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบัติการคูณดวยจํานวนจริงที่เทากัน : ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ขอควรระวัง b2 1. สมการพหุนามกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 จะได x = -b ± 2a - 4ac (x ∈ R เมื่อ b2 - 4ac ≥ 0) 2. หามนําศูนยคูณตลอดทั้งสมการและอสมการ 3. ถานําจํานวนลบคูณตลอดทั้งอสมการ ตองเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเปนตรงขาม 4. ถานําจํานวนบวกคูณตลอดทั้งอสมการ ไมตองเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

3. คาสัมบูรณของจํานวนจริง
นิยาม |Δ| =
Δ -Δ

เมื่อ Δ ≥ 0 เมื่อ Δ < 0

เมื่อ a เปนจํานวนบวกแลว (i) |x| < a ก็ตอเมื่อ -a < x < a (ii) |x| ≤ a ก็ตอเมื่อ -a ≤ x ≤ a เมื่อ a เปนจํานวนบวกแลว (i) |x| > a ก็ตอเมื่อ x < -a หรือ x > a (ii) |x| ≥ a ก็ตอเมื่อ x ≤ -a หรือ x ≥ a

4. รากที่ n ของจํานวนจริง
นิยาม ให n เปนจํานวนจริงเต็มบวกที่มากกวา 1 a และ b เปนจํานวนจริง b เปนรากที่ n ของ a ก็ตอเมื่อ bn = a (เรียก n a วา คาหลักรากที่ n ของ a) ขอสรุปเกี่ยวกับคาหลักรากที่ n ของจํานวนจริง a หรือ n a 1. ถา a = 0, n a = 0 2. ถา a > 0, n a เปนจํานวนบวก 3. ถา a < 0, n เปนจํานวนคี่ n a < 0 4. ถา a < 0, n เปนจํานวนคู n a ∉ R คณิตศาสตร (8)_______________________________
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

สมบัติของรากที่ n (เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1) ให a, b เปนจํานวนจริงที่มีรากที่ n และ n เปนจํานวนเต็มบวก 1. ( n a ) n = a เมื่อ n a ∈ R a เมื่อ a ≥ 0 2. n a n = a เมื่อ a < 0 และ n เปนจํานวนคี่บวก |a| เมื่อ a < 0 และ n เปนจํานวนคูบวก
ab = n a n b n 4. n a = n a , b ≠ 0 b b นิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริง n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มีรากที่ n จะไดวา a1/n = n a นิยาม ให a เปนจํานวนจริง m, n เปนจํานวนเต็มที่ n > 0 และ m เปนเศษสวนอยางต่ํา จะไดวา n

3.

n

am/n = (am)1/n = (a1/n)m = ( n a ) m

ตัวอยางขอสอบ
1.
2.

( 2+ 8 1) 60
5 -32 3 27

+

18 + 32 ) 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 60 2 3) 100 2
3) 2 3

4) 200

6 + 23/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 64 13 2) - 5 1) - 24 6

4) 19 24

3. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริงใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ถา a < b แลวจะได a2 < b2 2) 3) ถา |a| < |b| แลวจะได a < b 4) 4. อสมการในขอใดเปนจริง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 600 < 10300 < 21000 3) 3 4) 5. ถา x = sin 65° แลวอสมการในขอใดตอไปนี้เปนจริง x 1) x < x2 < 1 + x 2)
3) x2 < x <

ถา a < b < 0 แลวจะได ab < a2 ถา a2 < b2 แลวจะได a < b 3600 < 21000 < 10300 10300 < 21000 < 3600
2

x2 1 + x2

x x < 1+ x < x 2 1+ x 2 4) x 2 < x2 < x 1+ x

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

_______________________________ คณิตศาสตร (9)

⎧ ⎫ -1 6. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม และ A = ⎪ x ∈ Ι |x|x -|1| 1 ≤ 2 ⎪ แลว n(A) เทากับขอใดตอไปนี้ ⎨ 3⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

1) 4 7.

2) 5

3) 6

4) 7

8.

9. 10. 11.

1 - 1 - 2 - 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2 2 1) 3 - 22 2) 22 - 3 3) 5 - 3 2 2 4) 3 2 2 - 5 2 2 2 2 82/3 ⋅ (18)1/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 144 6 2) 3 3) 2 4) 3 1) 2 3 2 (1 - 2 )2 (2 + 8 )2 (1 + 2 )3 (2 - 8 )3 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 2 ถา x ≤ 5 แลว ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) x2 ≤ 25 2) |x| ≤ 5 3) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 25 ถา x = - 1 เปนรากของสมการ ax2 + 3x - 1 = 0 แลวรากอีกรากหนึ่งของสมการนี้ มีคาเทากับขอใด 2 ตอไปนี้ 1 1 3) 5 4) 5 1) -5 2) - 5
2) ( 0.9 ) ( 4 0.9 ) < 0.9 4) 300 125 < 200 100

12. ขอใดตอไปนี้ผิด 1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 3) ( 0.9 ) ( 3 1.1 ) < ( 1.1 ) ( 3 0.9 )
⎛ ⎜ ⎜ ⎝

5 - 2 ⎞ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ⎟ 13. 6 15 ⎟ ⎠ 3 7 2) 10 3) 5 - 2 1) 10 14. ( 18 + 23 -125 - 3 4 4 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -1,000 2) 1,000 3) 2 5 - 5 2 15. เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + x ≤ 1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1- 2 1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1]
2

2

4)

6 -2

4) 5 2 - 2 5

4) [3 - 2 2 , 2]

2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 16. จํานวนสมาชิกของเซต {x ⎜x = ⎜ a + |1|⎟ - ⎛|a| - 1 ⎞ เมื่อ a เปนจํานวนจริงซึ่งไมเทากับ 0} เทากับ ⎜ ⎟ a ⎠ ⎝ a⎠ ⎝ ขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรือเทากับ 4

คณิตศาสตร (10)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

17. ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 18. ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 + 1
19. แมคานําเมล็ดมะมวงหิมพานต 1 กิโลกรัม ถั่วลิสง 3 กิโลกรัม และเมล็ดฟกทอง 4 กิโลกรัม มาผสมกัน แลว แบงใสถุง ถุงละ 100 กรัม ถาแมคาซื้อเมล็ดมะมวงหิมพานต ถั่วลิสง และเมล็ดฟกทองมาในราคากิโลกรัม ละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลําดับ แลวแมคาจะตองขายเมล็ดพืชผสมถุงละ 100 กรัมนี้ ใน ราคาเทากับขอใดตอไปนี้จึงจะไดกําไร 20% เมื่อขายหมด 2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท 1) 10 บาท

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (11)

ฟงกชัน (Function)
1. ความสัมพันธและฟงกชัน
นิยาม กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian Product) ของ A และ B คือ A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B)} ขอสังเกต 1. ผลคูณคารทีเซียนของเซต A และ B เปนเซต ดังนั้นจึงสามารถพูดถึงนิยามตางๆ ของเซตได 2. n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) = n(B × A) 3. A × B เทียบเทา B × A แต A × B ไมจําเปนตองเทากับ B × A 4. ถา A = φ หรือ B = φ จะไดวา A × B = φ นิยาม กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ความสัมพันธจาก A ไป B (Relation from A to B) คือ สับเซต ของ A × B เรียก r วาเปน ความสัมพันธ ถา r เปนความสัมพันธจาก R ไป R เรียก r วาเปน ความสัมพันธบน A ถา r เปนความสัมพันธจาก A ไป A ขอสังเกต 1. จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B มีจํานวน 2n(A) ⋅ n(B) ความสัมพันธ 2. φ และ A × B เปนความสัมพันธจาก A ไป B เสมอ นิยาม กําหนดให r เปนความสัมพันธใดๆ เรานิยาม โดเมน (Domain) ของ r คือ เซต Dr = {x | มี y ซึ่งทําให (x, y) ∈ r} เรนจ (Range) ของ r คือ เซต Rr = {y | มี x ซึ่งทําให (x, y) ∈ r} ขอสังเกต 1. อาจคิดงายๆ ไดวา โดเมนของ r ก็คือ เซตที่เก็บสมาชิกตําแหนงแรกของ r และ เรนจของ r ก็คือ เซตที่เก็บสมาชิกตําแหนงหลังของ r 2. ในการหาโดเมนของความสัมพันธ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป y = f(x) จากนั้นจึงพิจารณาคา x ที่ เปนไปไดทั้งหมด สวนในการหาเรนจของความสัมพันธ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป x = g(y) จากนั้นจึง พิจารณาคา y ที่เปนไปไดทั้งหมด นิยาม ฟงกชัน คือ ความสัมพันธซึ่งในสองคูอันดับใดๆ ของความสัมพันธนั้น ถามีสมาชิกตัวหนาเทากัน แลวสมาชิกตัวหลังตองเทากันดวย ขอสังเกต เราอาจตรวจสอบวาการเปนฟงกชันไดโดยใชกราฟ กลาวคือ เมื่อวาดกราฟของความสัมพันธ แลวสามารถหาเสนตรงที่ขนานกับแกน y ที่ตัดกราฟอยางนอยสองจุด จะกลาวไดวาความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน เพราะจุดตัดที่พบนั้นก็คือ สมาชิกในความสัมพันธที่มีสมาชิกตัวหนาเหมือนกัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน ฟงกชัน ƒ คือ ความสัมพันธ ซึ่งถามี (x, y) ∈ ƒ และ (x, z) ∈ ƒ แลว y = z

คณิตศาสตร (12)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

2. ฟงกชันประเภทตางๆ
ฟงกชันเชิงเสน (Linear Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R ฟงกชันคงที่ (Constant Function) คือ ฟงกชันเชิงเสนที่มี a = 0 กราฟของฟงกชันจะเปนเสนตรง ขนานกับแกน X ฟงกชันกําลังสอง (Quadratic Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มีจุดวกกลับเปนจุดต่ําสุดของฟงกชัน และถา a < 0 กราฟคว่ํา มีจุดวกกลับเปน จุดสูงสุดของฟงกชัน ⎞ ⎛ b ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R จุดวกกลับอยูที่ ⎜ -2a , f ⎛ -b ⎞ ⎟ หรือ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ 2a ⎠
⎝ ⎠

4a ⎟ ⎠ ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = a(x - h)2 + k เมื่อ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จุดวกกลับอยูที่ (h, k) การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณีที่กราฟไมตัดแกน X จะไมมีคําตอบของสมการที่เปนจํานวนจริง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน X ที่จุด (-c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน X ที่จุด (c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = c 2 3. นอกเหนือจากนี้กราฟตัดแกน X สองจุด โดยพิจารณาจากการแกสมการ หรือสูตร x = -b ± b - 4ac 2a x เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = a ฟงกชันคาสัมบูรณ (Absolute Value Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = |x - a| + c เมื่อ a, c ∈ R ฟงกชันขั้นบันได (Step Function) คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนสับเซตของ R และมีคาฟงกชันคงตัวเปน ชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชันจะมีรูปคลายบันได

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

b -2a ,

4ac - b2 ⎞ ⎟

ตัวอยางขอสอบ
1. กําหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชันในขอใดตอไปนี้ เปนฟงกชันจาก B ไป A 1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2) {(0, b), (1, a), (1, c)} 3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)} 2 + 4x - 10 ขอความในขอใดตอไปนี้ถูกตอง 2. กําหนดให f (x) = -x 2) f มีคาสูงสุดเทากับ 6 1) f มีคาต่ําสุดเทากับ -6 ⎞ ⎛ 3) f ไมมีคาสูงสุด 4) f ⎜ 9 ⎟ < -6 ⎜ 2⎟
⎝ ⎠

3. ถา P เปนจุดวกกลับของพาราโบลา y = -x2 + 12x - 38 และ O เปนจุดกําเนิด แลวระยะทางระหวางจุด P และ จุด O เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย 1) 10 หนวย
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (13)

4.
y = f(x) (0, 1) -1 0 1

ฟงกชัน y = f(x) ในขอใดมีกราฟดังรูปตอไปนี้ 1) f(x) = 1 - |x| 2) f(x) = 1 + |x| 3) f(x) = |1 - x| 4) f(x) = |1 + x|

2 4x 5. คาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 2 x = 2 4 เทากับขอใดตอไปนี้ 4

1) 2 2) 3 3) 4 6. ถา f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แลว f(2) + f(3) มีคาเทาใด 7. ถา 4a = 2 และ 16-b = 1 แลว a + b มีคาเทากับเทาใด 4

4) 5

8. กําหนดให n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A ถา r1 = {(-1, -2), (0, -1), (1, 2), (2, -3), (3, 4)} และ r2 = {(x, y)|| y + 1| = x} แลว n(r1 I r2) เทากับเทาใด = 16 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 81 2 1 1 2) - 9 3) - 9 4) 9 10. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ r เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 8 2) 10 3) 12 4) 16 11. พาราโบลารูปหนึ่งมีเสนสมมาตรขนานกับแกน Y และมีจุดสูงสุดอยูที่จุด (a, b) ถาพาราโบลารูปนี้ตัดแกน X ที่จุด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มีคาเทากับเทาใดตอไปนี้ 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 12. ถา 8x - 8(x + 1) + 8(x + 2) = 228 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 1) 1 2) 2 3) 3 4) 5 3 3 3
⎜ 9. ถา ⎛ 3 + 3 ⎞ 8⎟ ⎝ ⎠ 4 1) - 9

3x

13. กําหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตัว} ถา A = {2, 3, 5} แลวความสัมพันธ r จะเปนฟงกชัน เมื่อ B เทากับเซตใดตอไปนี้ 1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9} 14. กราฟของฟงกชันในขอใดตอไปนี้ ตัดแกน X มากกวา 1 จุด x ⎜ ⎟ 1) y = 1 + x2 2) y = |x| - 2 3) y = |x - 1| 4) y = ⎛ 1 ⎞ ⎝2⎠ 15. ถากราฟของ y = x2 - 2x - 8 ตัดแกน X ที่จุด A, B และมี C เปนจุดวกกลับแลว รูปสามเหลี่ยม ABC มี พื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย

คณิตศาสตร (14)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

16. เซตของจํานวนจริง m ซึ่งทําใหสมการ x2 - mx + 4 = 0 มีรากเปนจํานวนจริง เปนสับเซตของเซตใด ตอไปนี้ 1) (-5, 5) 2) (-∞, -4) U [3, ∞) 3) (-∞, 0) U [5, ∞) 4) (-∞, -3) U [4, ∞) 17. กําหนดให a และ x เปนจํานวนจริงใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ถา a < 0 แลว ax < 0 2) ถา a < 0 แลว a-x < a 3) ถา a > 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > a 2 1 18. เซตคําตอบของอสมการ 4(2x - 4x - 5) ≤ 32 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1) ⎡-5 , 5 ⎤ 2) ⎡-5 , 1⎤ 3) ⎡-1, 1⎤ 4) ⎡-1 , 5 ⎤ ⎢ 2 2⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
8 ⎞ = ⎛ 16 ⎞ 1/x แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ⎟ ⎜ ⎟ 125 ⎟ ⎝ 625 ⎠ ⎠ 4 1) 3 2) 2 3) 3 4) 3 4 3 2 20. สมการในขอใดตอไปนี้ มีคําตอบเปนจํานวนจริงมากกวา 2 คําตอบ 2) (x2 + 2)(x2 - 1) = 0 1) (x - 2)2 + 1 = 0 3) (x - 1)2 (x2 + 2) = 0 4) (x2 - 1)(x + 2)2 = 0 21. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12} S = {(a, b) ∈ A × B | b = 2a + a } จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับขอใดตอไปนี้ 2

19. ถา

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

4

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 22. ทุก x ในชวงใดตอไปนี้ที่กราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยูเหนือแกน X ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1) ⎛ -2, -1 ⎞ 2) ⎛ -5 , -3 ⎞ 3) ⎛ 1 , 6 ⎞ 4) ⎛ 1, 3 ⎞ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝4 7⎠ ⎝2 2⎠ 23. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถากราฟของ y ฟงกชัน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx มีลักษณะดัง y 2 = 1 + b x y1 = 1 + a x แสดงในภาพตอไปนี้แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) 1 < a < b 2 2) a < 1 < b 3) b < 1 < a 1 x 0 4) b < a < 1 24. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมื่อ k เปนจํานวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทากับขอใดตอไปนี้ 2) 0 3) 6 4) 14 1) -4 25. กําหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) f(x) ≥ - 17 ทุกจํานวนจริง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 )
โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (15)

อัตราสวนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio)
1. อัตราสวนตรีโกณมิติ
เมื่อ ABC เปนสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีดานตรงขามมุม A, B และ C เปน a, b และ c ตามลําดับ โดยมี มุม C เปนมุมฉาก sin(A) = a , cos(A) = b , tan(A) = a , csc(A) = c , sec(A) = c , tan(A) = b c c b a b a
มุม (θ) sinθ cosθ tanθ

0 0 1 0

⎜ ⎟ 30 ⎛ π ⎞ ⎝6⎠

1 2 3 2 1 3

⎜ ⎟ 45 ⎛ π ⎞ ⎝4⎠

2 2 2 2 1

⎜ ⎟ 60 ⎛ π ⎞ ⎝3⎠

3 2 1 2

⎜ ⎟ 60 ⎛ π ⎞ ⎝2⎠

1 0 ไมนิยาม

3

2. การประยุกตอัตราสวนตรีโกณมิติ
มุมกม (Angle of Depression) และมุมเงย (Angle of Elevation) เปนมุมที่เกิดจากแนวเสนระดับ สายตา และแนวเสนจากตาไปยังวัตถุ ถาวัตถุอยูใตแนวเสนระดับสายตา มุมที่ไดเรียกวา มุมกม หากถาวัตถุอยูสูง กวาแนวเสนระดับสายตามุมที่ไดเรียกวา มุมเงย

ตัวอยางขอสอบ
1. กําหนดให ABC เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุม B เปนมุมฉาก มีมุม A เทากับ 30° และมีพื้นที่เทากับ 24 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย 2. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาวเทากับ 10 3 หนวย และดาน AB ยาวเทากับ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปตั้งฉากกับดาน AB ที่จุด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากับ ขอใดตอไปนี้ 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 1) 5 2 หนวย 3. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 15 ตารางหนวย มีมุม C เปนมุมฉาก ถา sin (B) = 3 sin (A) แลวดาน AB ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย 1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย

คณิตศาสตร (16)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

4. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี B เปนมุมฉาก ถา cot A = 12 แลว 10 csc A + 12 sec A 5 มีคาเทาใด 3 5. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี B เปนมุมฉาก ถา cos A = 5 แลว cos (B - A) มีคาเทาใด 6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และดาน BC ยาว 6 นิ้ว ถา D เปนจุดบนดาน ˆ ˆ AC โดยที่ BDC = 70° และ ABD = 10° แลวดาน AB ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 3 นิ้ว 2) 5 3 นิ้ว 3) 8 นิ้ว 4) 10 นิ้ว 7. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุม A เปนมุมฉาก และมีมุม B = 30° ถา D และ E เปนจุดบนดาน AB และ BC ตามลําดับ ซึ่งทําให DE ขนานกับ AC โดยที่ DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย 8. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 6 หนวย และ A, B และ C เปนจุดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานˆ ศูนยกลางของวงกลม และ CAB = 60° แลวพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย 3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย 9. ถารูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งมีความสูง 1 หนวย แลวดานของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 4 2) 2 33 หนวย 3) 3 หนวย 1) 23 หนวย 4) 3 หนวย 2 2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลว 10. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และ cos B = 3 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 55 ตารางหนวย 2) 45 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 25 ตารางหนวย ˆ 11. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพื้นที่เทากับ 12 ตารางหนวย และ tan ABD = 1 ถา AE 3 ตั้งฉากกับ BD ที่จุด E แลว AE ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 10 10 2 3 2) 5 10 หนวย 3) 2 หนวย 4) 5 10 หนวย 1) 3 หนวย ˆ ˆ 12. พิจารณาสามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่มุม CFE , CAB , C ˆ ˆ AEB และ EDB ตางมุมฉาก ขอใดตอไปนีผิด ้ ˆ ˆ 1) sin( 1 ) = sin( 5 ) ˆ ˆ 2) cos( 3 ) = cos( 5 ) ˆ ˆ 3) sin( 2 ) = cos( 4 ) ˆ ˆ 4) cos( 2 ) = sin( 3 ) 1 E F 2 34 5 B A D

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (17)

ลําดับและอนุกรม (Sequence and Series)
1. ลําดับ
คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนนับ n ตัวแรก (ลําดับจํากัด) หรือเซตของจํานวนนับ (ลําดับอนันต) การเขียนลําดับ เขียนได 3 แบบ คือ เขียนแบบเซต เขียนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลําดับ เขียนแบบพจนทั่วไป ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มีผลตางของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกผลตางที่คงที่นี้วา ผลตางรวม แทนดวย d(d = an+1 - an) พจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต : an = a1 + (n - 1)d ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีผลตางของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกอัตราสวนที่คงที่นี้วา อัตราสวนรวม a แทนดวย r(r = n + 1 ) พจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต : an = a1 ⋅ rn - 1 an

2. อนุกรม
คือ ลําดับของผลบวกยอย เรียก sn วาผลบวกยอย n พจนแรกของลําดับ (an) อนุกรมที่เกิดจาก ลําดับจํากัด เรียก อนุกรมจํากัด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ a i อนุกรมเลขคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต : sn = n (2a1 + (n - 1)d) = n (a1 + an) 2 2 อนุกรมเรขาคณิต a (1 - r n ) ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต : sn = 1 1 - r เมื่อ r ≠ 1
i=1 n

คณิตศาสตร (18)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

ตัวอยางขอสอบ
1. ลําดับเรขาคณิตในขอใดตอไปนี้มีอัตราสวนรวมอยูในชวง (0.3, 0.5) 4 8 1) 2, 3 , 9 , ... 2) 3, 5 , 25 , ... 3) 4, 3, 9 , ... 4 48 4

4) 5, 4, 16 , ... 5 2. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรมหนึ่งคือ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนที่ 10 ของอนุกรมนี้มีคาเทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 57 2) 82 3) 117 4) 302
3. 4.
50 k ∑ (1 + (-1) )k k =1

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

5.

6.

7.

8. 9. 10.

1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 1450 ปาจุขายขนมครกในวันที่ 3 มกราคม ในวันแรกขายไดกําไร 100 บาท และในวันตอๆ ไปจะขายไดกําไร เพิ่มขึ้นจากวันกอนหนาวันละ 10 บาททุกวัน ขอใดตอไปนี้เปนวันที่ของเดือนมกราคมที่ปาจุขายไดกําไร เฉพาะในวันนั้น 340 บาท 1) วันที่ 24 2) วันที่ 25 3) วันที่ 26 4) วันที่ 27 ถาผลบวกและผลคูณสามพจนแรกของลําดับเลขคณิตที่มี d เปนผลตางรวมเทากับ 15 และ 80 ตามลําดับ แลว d2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 4 3) 9 4) 16 ถา a เปนจํานวนจริงลบ และ a20 + 2a - 3 = 0 แลว 1 + a + a2 + a3 + ... + a19 มีคาเทากับขอใด ตอไปนี้ 1) -2 2) -3 3) -4 4) -5 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 ลําดับในขอใดตอไปนี้ เปนลําดับเรขาคณิต 2 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n 4) an = (2n)n 1 1 พจนที่ 16 ของลําดับเรขาคณิต 625 , 1 , 125 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 125 5 2) 125 3) 125 5 4) 625 1) 25 5 กําหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากับผลบวกของจํานวนคี่ทั้งหมดใน S และ b เทากับ ผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดใน S แลว b - a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (19)

1 1 1 11. พจนที่ 31 ของลําดับเลขคณิต - 20 , - 30 , - 60 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 5 9 7 1) 12 2) 13 3) 20 4) 15 30 12. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 13. กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนที่ 9 ของอนุกรมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 16 2) 20 3) 26 4) 32 3 3 3 3
14. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 คาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 15. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต พิจารณาสามลําดับตอไปนี้ ก. a1 + a3, a2 + a4, a3 + a5, ... ข. a1a2, a2a3, a3a4, ... ค. a1 , a1 , a1 , ...

มี

ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ทั้งสามลําดับเปนลําดับเรขาคณิต 3) มีสองลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต

1

2

3

2) มีหนึ่งลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต 4) ทั้งสามลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต

คณิตศาสตร (20)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

ความนาจะเปน (Probability)
1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
กฎการบวก ถาการทํางานหนึ่งอยางแบงออกเปน n กรณียอยโดยในแตละกรณีเปนการทํางานที่เสร็จสิ้น จํานวนวิธีในการทํางานจะเทากับผลรวมของจํานวนวิธีของทุกกรณี กฎการคูณ 1. ถางานที่ทําแบงออกเปนสองขั้นตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทํางานได n1 วิธี และในแตละวิธีในการ เลือกทํางานอยางแรกนี้สามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานชิ้นนี้ คือ n1n2 วิธี 2. ถางานที่ทําแบงออกเปน k ขั้นตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีในการเลือก ทํางานอยางแรกนี้สามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี ในแตละวิธีในการเลือกทํางานอยางที่สองสามารถ เลือกทํางานอยางที่สามได n3 วิธี ฯลฯ จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานชิ้นนี้ คือ n1n2n3 ...nk วิธี นิยาม กําหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1

2. ความนาจะเปน
การทดลองสุม คือ การทดลองใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทํานายผล ลวงหนาได แซมเปลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเปนผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม เหตุการณ คือ สับเซตของแซมเปลสเปซ ความนาจะเปนของเหตุการณ E แทนดวย P(E) = n(E) n(S) สมบัติบางประการของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0 3. P(S) = 1 4. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2) 5. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) + P(E1 I E2 I E3) 6. P(E) = 1 - P(E′)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (21)

ตัวอยางขอสอบ
1. ขอสอบชุดหนึ่งมีสองตอน ตอนที่ 1 มี 5 ขอ ใหเลือกตอบวาจริงหรือเท็จ ตอนที่ 2 มี 5 ขอ เปนขอสอบแบบ 4 ตัวเลือก ถาตองทําขอสอบชุดนี้ทุกขอโดยไมเวนแลว จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตางๆ กันทั้งหมดเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 52 × 54 วิธี 2) 52 × 45 วิธี 3) 25 × 45 วิธี 4) 25 × 54 วิธี 2. ในการออกรางวัลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนที่รางวัลเลขทายสองตัวจะออกหมายเลขที่มีหลักหนวย เปนเลขคี่และหลักสิบมากกวาหลักหนวยอยู 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.25 3. สรางตัวเลขสามหลัก จากเลขโดด 1 ถึง 7 โดยที่เลขโดดทั้งสามหลักไมซ้ํากัน จะสรางตัวเลขเหลานี้ที่แสดง จํานวนคี่ไดกี่วิธี 4. มีกลอง 2 ใบ แตละใบมีลูกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 อยูอยางละลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกลองทั้งสองใบนี้กลองละลูกแลว ความนาจะเปนที่จะไดลูกบอลเลขตางกันเทากับเทาใด 5. จากการสํารวจนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 100 คน ไดขอมูลวามีนักเรียนที่สวมรองเทาขนาดตางๆ ดังนี้ เบอรรองเทา จํานวนนักเรียน 5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 คน

เมื่อเลือกนักเรียนหนึ่งคนจากนักเรียนกลุมนี้ ความนาจะเปนที่จะเลือกไดนักเรียนสวมรองเทาเบอร 6 หรือ เบอร 7 เทากับเทาใด 6. ความนาจะเปนที่รางวัลเลขทาย 2 ตัว ของสลากกินแบงรัฐบาลจะออกเลขทั้งสองหลักเปนเลขเดียวกัน เทากับขอใดตอไปนี้ 1 2 1 2 2) 10 3) 9 4) 9 1) 10
7. โยนลูกเตา 3 ลูก ความนาจะเปนที่ลูกเตาจะขึ้นแตมคี่อยางนอย 1 ลูก เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 5 3) 3 4) 7 1) 2 3 8 4 8

คณิตศาสตร (22)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

8. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่ง จํานวน 30 คน พบวามีนักเรียนไมชอบรับประทานปลา 12 คน และชอบ รับประทานปลาหรือกุง 23 คน ถาสุมนักเรียนมา 1 คน ความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่ชอบรับประทานกุง เพียงอยางเดียวมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 2 3 2) 5 3) 5 4) 5 1) 6 9. ครอบครัวหนึ่งมีพี่นอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีที่จะจัดใหคนทั้งหกยืนเรียงกันเพื่อถายรูป โดยใหชายสองคนยืนอยูริมสองขางเสมอเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 วิธี 2) 24 วิธี 3) 36 วิธี 4) 48 วิธี 10. กลอง 12 ใบ มีหมายเลขกํากับเปนเลข 1, 2, ..., 12 และกลองแตละใบบรรจุลูกบอล 4 ลูก เปนลูกบอลสีดํา สีแดง สีขาว และสีเขียว ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลูก แลวความนาจะเปนที่จะหยิบได ลูกบอลสีแดงจากกลองหมายเลขคี่ และไดลูกบอลสีดําจากกลองหมายเลขคูเทากับขอใดตอไปนี้ 2 12 12 4 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ 2) ⎛ 1 ⎞ 3) ⎛ 1 ⎞ 4) ⎛ 12 ⎞ 1) ⎛ 12 ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎠ 11. กําหนดให A = {1, 2, 3}, B = {5, 6 , ... , 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสุมหยิบคู อันดับ 1 คู จากความสัมพันธ r แลวความนาจะเปนที่จะไดคูอันดับ (m, n) ซึ่ง 5 หาร n แลวเหลือเศษ 3 เทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 1 3 2) 10 3) 5 4) 5 1) 15 12. ชางไฟคนหนึ่งสุมหยิบบันได 1 อันจากบันได 9 อัน ซึ่งมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟุต แลวนํามาพาดกับกําแพง โดยใหปลายขางหนึ่งหางจากกําแพง 3 ฟุต ความนาจะเปนที่บันไดจะทํามุมกับ พื้นราบนอยกวา 60° มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1 2 3 4 2) 9 3) 9 4) 9 1) 9 13. ถาสุมตัวเลขหนึ่งตัวจากขอมูลชุดใดๆ ซึ่งประกอบดวยตัวเลข 101 ตัว แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน < 1 2 2) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต < 1 2 1 3) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน > 2 4) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต > 1 2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (23)

สถิติ (Statistics)
1. สถิติและขอมูล
สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) เปนศาสตรที่วาดวยวิธีการสรุปแตละชุดที่เราสนใจดวย การวัดคาแนวโนมเขาสูสวนกลาง คาวัดการกระจาย การแจกแจงความถี่ของขอมูล และการนําเสนอผลสรุปดวย ตาราง แผนภูมิแทง แผนภาพการกระจาย และกราฟเสนเพื่ออธิบายขอมูลชุดนั้น สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) เปนศาสตรที่วาดวยวิธีการที่ดีในการเลือกตัวแทน (ตัวอยาง) จากขอมูลทั้งหมด (ประชากร) หรือวิธีการออกแบบแผนการทดลองที่ดีที่จะทําใหสามารถวิเคราะหเพื่อตอบคําถาม ที่ตองการได องคประกอบของสถิติศาสตร 1. การเก็บรวบรวมขอมูล 2. การวิเคราะหขอมูล 3. การนําเสนอขอมูล ขอมูล คือ ขอความจริงหรือสิ่งที่บงบอกถึงสภาพ สถานการณ หรือปรากฏการณใดๆ โดยขอมูลอาจเปน ตัวเลขหรือขอความก็ได สารสนเทศหรือขาวสาร (Information) คือ ขอมูลที่ผานการวิเคราะหเบื้องตนหรือชั้นสูงแลว ประเภทของขอมูล แบงตามวิธีการเก็บ 1. ขอมูลปฐมภูมิ คือ ขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมเอง เชน การสํามะโน(Census), การสํารวจกลุมตัวอยาง (Sample Survey) ซึ่งสามารถเก็บไดโดย การสัมภาษณ สอบถามทางไปรษณีย สอบถามทางโทรศัพท การสังเกต การทดลอง 2. ขอมูลทุติยภูมิ คือ ขอมูลที่ผูใชไมไดเก็บรวบรวมเอง แตไดมาจากขอมูลที่มีผูเก็บรวบรวมไวแลว เชน รายงานตางๆ ของหนวยราชการ หรือเอกชน พิจารณาความนาเชื่อถือจากตัวบุคคลผูเขียนรายงาน การ เปรียบเทียบจากหลายแหลงลักษณะของขอมูลที่อาจสงผลเสียตอผูใหขอมูลมีความนาเชื่อถือนอย และถาขอมูลที่ รวบรวมผานขั้นตอนการวิเคราะหทางสถิติตองตรวจสอบวิธีในการเลือกกลุมตัวอยาง ขนาด และการวิเคราะห ขอมูล แบงตามลักษณะของขอมูล 1. ขอมูลเชิงปริมาณ คือ ขอมูลที่ใชแทนขนาดหรือปริมาณซึ่งวัดออกมาเปนจํานวนที่สามารถนํามา เปรียบเทียบกันได 2. ขอมูลเชิงคุณภาพ คือ ขอมูลที่ไมสามารถวัดออกมาเปนจํานวนไดโดยตรง แตอธิบายลักษณะหรือ คุณสมบัติเชิงคุณภาพได

คณิตศาสตร (24)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

2. การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน
ขอมูลเชิงปริมาณที่ใชในการวิเคราะหทางสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่ ซึ่งจะเห็นคา ของขอมูลทุกตัวและขอมูลที่แจกแจงความถี่ จะเห็นเปนอันตรภาคชั้น ความกวางของอันตรภาพชั้น = ขอบบน - ขอบลาง จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮิสโทแกรม คือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากวางเรียงตอกันบนแกนนอน โดยมีแกนนอนแทนคาของตัวแปร ความกวาง ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความกวางของอันตรภาคชั้น และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความถี่ของแตละ อันตรภาคชั้น ซึ่งถาความกวางของทุกชั้นเทากัน ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมจะแสดงความถี่ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวิธีการสรางแผนภาพเพื่อแจกแจงความถี่และวิเคราะห ขอมูลเบื้องตน โดยเริ่มจากการนําขอมูลมาแบงกลุม โดยใชเลขหลักสิบ แลวนํามาสรางเปนลําตน (Stem) แลวใช เลขโดดในหลักหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf) 1. การวัดตําแหนงของขอมูล : มีสองขั้นตอน คือ การหาตําแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 3 ตัว 2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนน ของตัวแบงทั้ง 9 ตัว 3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, ..., P99 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 99 ตัว การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r(N 4+ 1) + ตําแหนงของ Dr คือ r(N10 1) ตําแหนงของ Pr คือ r(N + 1) 100 การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค หมายเหตุ เมื่อหาคาขอมูลที่มีคาสูงสุด ต่ําสุด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนํามาสรางแผนภาพกลอง (Boxand-Whisker Plot หรือ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทําใหเราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล 2. การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต, Mean, x
x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x= N x=
N ∑ xi i=1

k ∑ fi x i i=1

N

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (25)

ขอสังเกต 1. ∑ x i = N x 2. 3.
i=1 N ∑ (x i i=1 N ∑ (x i i=1

N

- x) = 0 - a ) 2 มีคานอยที่สุดเมื่อ a = x

4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x k N x +N x 5. x รวม = 1N 1 + N2 2 2. มัธยฐาน, Median, Me Me สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ + Me = คาของขอมูลตําแหนงตรงกลาง (ตัวที่ N 2 1 ) เมื่อเรียงลําดับขอมูลแลว ขอสังเกต 1. การหามัธยฐานมีสองขั้นตอน คือ หาตําแหนง และหาคาโดยใชสูตรหรือการเทียบบัญญัติไตรยางค
2 2

2. ∑| x i - a | มีคานอยสุดเมื่อ a = Me 3. ฐานนิยม, Mode, Mo Mo สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ Mo = คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด ขอสังเกต ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ 3. การวัดการกระจายของขอมูล 1. พิสัย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) S.D. =
ขอสังเกต 1. 2. 3. 4.
2 = N N -x ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 S.D. ≥ 0 S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x ถา x1, x2, ..., xn มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2 N 2 ∑ (x i - x) i=1 N 2 ∑xi i =1

N

i=1

คณิตศาสตร (26)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

5. The 95% Rule กลาววา มีจํานวนขอมูลที่อยูในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจํานวนขอมูลทั้งหมด 6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ Range 4 ความสัมพันธของ x , Me และ Mo
x = Me = Mo โคงปกติ x > Me > Mo โคงเบขวา x < Me < Mo โคงเบซาย

3. การสํารวจความคิดเห็น
1. ขอบเขตของการสํารวจ กําหนดดวยพื้นที่ ลักษณะผูใหขอมูล การมีสวนไดสวนเสียกับขอมูล 2. วิธีเลือกตัวอยาง การสุมตัวอยาง (Sampling) การเลือกตัวอยางแบบชั้นภูมิ การเลือกตัวอยาง แบบหลายขั้นและการเลือกตัวอยางแบบกําหนดโควตา 3. การสรางแบบสํารวจความคิดเห็น แบบสํารวจที่ดีประกอบดวย ลักษณะของผูตอบที่คาดวามีผล ตอการแสดงความคิดเห็น ความคิดเห็นของผูตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคําถามที่ชี้นํา และมีจํานวนไมมากเกินไป ตลอดจนความสอดคลองของความรูของผูใหขอมูลกับเรื่องที่สอบถาม 4. การประมวลผลและวิเคราะหความคิดเห็น 1. รอยละของผูตอบแบบสํารวจความคิดเห็นในแตละดานที่เกี่ยวของ 2. ระดับความคิดเห็นเฉลี่ย

ตัวอยางขอสอบ
1. ถาขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 ขอความในขอใดตอไปนี้เปนเท็จ สําหรับขอมูลชุดนี้ 1) มัธยฐาน เทากับ 12 2) ฐานนิยม นอยกวา 12 3) ฐานนิยม นอยกวา คาเฉลี่ยเลขคณิต 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต มากกวา 12 2. เมื่อพิจารณาผลการสอบคณิตศาสตรของนักเรียน 39 คน พบวา เปอรเซ็นไทลที่ 25 ของคะแนนสอบเทากับ 35 คะแนน และมีนักเรียน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 80 คะแนน ถามีนักเรียนที่สอบได 35 คะแนนเพียงคนเดียว แลวจํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนในชวง 35 - 80 คะแนน เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (27)

3. ตารางแสดงน้ําหนักของนักเรียนจํานวน 50 คน เปนดังนี้ ขอสรุปในขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง น้ําหนัก (กิโลกรัม) จํานวน (คน) 1) นักเรียนกลุมนี้สวนใหญมีน้ําหนัก 60-69 กิโลกรัม 30-39 4 2) นักเรียนที่มีน้ําหนักต่ํากวา 50 กิโลกรัม มี 9 คน 40-49 5 3) นักเรียนที่มีน้ําหนักในชวง 50-59 กิโลกรัม มี 26% 50-59 13 60-69 17 4) นักเรียนที่มีน้ําหนักมากกวา 80 กิโลกรัม มี 10% 70-79 6 80-89 5 4. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 4 คน บุตร 2 คน มีน้ําหนักเทากันและมีน้ําหนักนอยกวาบุตรอีก 2 คน ถาน้ําหนักของ บุตรทั้ง 4 คน มีคาฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัย เทากับ 45, 47.5 และ 7 กิโลกรัม ตามลําดับ แลวคาเฉลี่ย เลขคณิตของน้ําหนักของบุตรทั้ง 4 คน มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 46 กิโลกรัม 2) 47 กิโลกรัม 3) 48 กิโลกรัม 4) 49 กิโลกรัม 5. ถาในป พ.ศ. 2547 คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุพนักงานของบริษัทแหงหนึ่งเทากับ 23 ป ในปตอมาบริษัท ไดรับพนักงานเพิ่มขึ้นอีก 20 คน ทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุพนักงานในป พ.ศ. 2548 เทากับ 25 ป และ ผลรวมของอายุของพนักงานเพิ่มขึ้นจากป พ.ศ. 2547 อีก 652 ป เมื่อสิ้นป พ.ศ. 2548 บริษัทแหงนี้ มีพนักงานทั้งหมดจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 76 คน 2) 96 คน 3) 326 คน 4) 346 คน 6. ถาน้ําหนัก (คิดเปนกิโลกรัม) ของนักเรียน 2 กลุม กลุมละ 6 คน เขียนเปนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้ นักเรียนกลุมที่ 1 นักเรียนกลุมที่ 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0 ขอสรุปในขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) น้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวาน้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุมที่ 1 2) ฐานนิยมของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวาฐานนิยมของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 3) มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวามัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 4) มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนทั้งหมด มากกวามัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 7. มีขอมูล 5 จํานวนซึ่งเรียงจากนอยไปมากคือ x1, x2, x3, x4 และ x5 โดยมี x1 = 7 คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ x และความแปรปรวนเทากับ 16 ถากําหนดตารางแสดงคาของ xi - x ดังนี้ i 1 2 3 4 5 xi - x 7- x -3 -1 3 6 แลวคาของ x เทากับขอใด 1) 10 2) 10.5 3) 12 4) 12.5

คณิตศาสตร (28)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

8. จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนจําแนกตามเพศเปนดังนี้
คะแนนสอบของนักเรียนหญิง คะแนนสอบของนักเรียนชาย 100

0

คะแนนสอบ

ขอสรุปขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) คะแนนสอบเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชายสูงกวาคะแนนสอบเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง 2) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชายมีการกระจายเบขวา 3) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิงมีการกระจายมากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชาย 4) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิงมีการกระจายเบขวา 9. ขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํานวน ประกอบดวยจํานวนตอไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอรไทล ที่สามของขอมูลชุดนี้มีคาเทาใด 10. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบไปดวย 19 จํานวน ตอไปนี้ 6, 8, 9, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 30 ควอรไทลที่ 3 มีคาตางจากเปอรเซ็นไทลที่ 45 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 11. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เปนดังนี้ รหัสวิชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202 จํานวนหนวยกิต 1 1.5 1 1.5 เกรด 2.5 3 3.5 2 แลวเกรดเฉลี่ยของวิชาคณิตศาสตรของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.60 2) 2.65 3) 2.70 4) 2.75 12. อายุเฉลี่ยของคนกลุมหนึ่งเทากับ 31 ป ถาอายุเฉลี่ยของผูหญิงในกลุมนี้เทากับ 35 ป และอายุเฉลี่ยของ ผูชายในกลุมนี้เทากับ 25 ป แลวอัตราสวนระหวางจํานวนผูหญิงตอจํานวนผูชายในกลุมเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5 13. ความสัมพันธระหวางกําไร (y) และราคาทุน (x) ของสินคาในรานคาแหงหนึ่ง เปนไปตามสมการ y = 2x - 30 ถาราคาทุนของสินคา 5 ชนิด คือ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําไรในการขาย สินคา 5 ชนิดนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 25 บาท 2) 30 บาท 3) 35 บาท 4) 40 บาท 14. ตารางแจกแจงความถี่ แสดงจํานวนนักเรียนในชวงอายุตางๆ ของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้ ชวงอายุ (ป) 1-5 6-10 11-15 116-20 ความถี่ (คน) 4 9 2 5 อายุเฉลี่ยของนักเรียนกลุมนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 ป 2) 9.5 ป 3) 10 ป 4) 10.5 ป

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (29)

15. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่ง คือ 10, 3, x, 6 และ 6 ถาคาเฉลี่ยของขอมูลชุดนี้ มีคาเทากับมัธยฐาน แลว x มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 16. แผนภาพตน-ใบ ของขอมูลแสดงน้ําหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้

4 5 6

2 0 0

1 8 3

0 3 1

2 4

2

เมื่อสุมเลือกนักเรียนมา 1 คน จากกลุมนี้ ความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่มีน้ําหนักนอยกวาฐานนิยมของ กลุมมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 5 1) 1 2) 1 3) 12 4) 1 4 3 2 17. กําหนดใหตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนนักเรียนหองหนึ่งเปนดังนี้
ชวงคะแนน 30-39 40-49 50-59 60-69 ความถี่สะสม 1 11 18 20

ขอสรุปในขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) นักเรียนที่ไดคะแนน 40-49 คะแนน มีจํานวน 22% 2) นักเรียนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน 3) นักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มีจํานวนนอยกวานักเรียนที่ไดคะแนน 40-49 คะแนน 4) นักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มีจํานวนมากกวานักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน 18. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวน ถาควอรไทลที่หนึ่ง ควอรไทลที่สอง และ ควอรไทลที่สาม เทากับ 18, 25 และ 28 ตามลําดับ แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 23.4 2) 23.7 3) 24.0 4) 24.3 19. เมื่อสองปกอนนักเรียนหองหนึ่งมี 30 คน แบงออกไดเปนสองกลุม กลุมที่หนึ่งมี 10 คน ทุกคนมีอายุ 10 ป และกลุมที่สองมี 20 คน มีอายุเฉลี่ย 8.5 ป ถาความแปรปรวนของอายุนักเรียนในกลุมที่สองเทากับ 0 แลว ในปจจุบัน ความแปรปรวนของอายุนักเรียนหองนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ 2) 2 3) 5 4) 8 1) 1 2 3 2 3

คณิตศาสตร (30)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

20. จากการทดลองนักเรียนจํานวน 100 คน ใน 2 รายวิชา แตละรายวิชามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถาผลการ ทดสอบทั้งสองรายวิชา เขียนเปนแผนภาพกลองไดดังนี้
คะแนนสอบรายวิชาที่ 1 คะแนนสอบรายวิชาที่ 2 0 20 40 60 80 100 120 140

ขอสรุปขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) คะแนนสอบทั้งสองรายวิชามีการแจกแจงแบบปกติ 2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 1 มากกวาจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 2 3) คะแนนสูงสุดที่อยูในกลุม 25% ต่ําสุดของผลการสอบรายวิชาที่ 1 นอยกวาคะแนนสูงสุดที่อยูในกลุม 25% ต่ําสุดของผลการสอบรายวิชาที่ 2 4) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 60-80 คะแนน ในการสอบรายวิชาที่ 2 นอยกวาจํานวนนักเรียนที่ได คะแนนในชวงเดียวกัน ในการสอบรายวิชาที่ 1 21. คะแนนของผูเขาสอบ 15 คน เปนดังนี้ 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80 และ 81 ถาเกณฑในการสอบผานคือ ตองไดคะแนนไมต่ํากวาเปอรเซ็นไทลที่ 60 แลวขอใดตอไปนี้เปนคะแนนต่ําสุด ของผูที่สอบผาน 1) 68 คะแนน 2) 70 คะแนน 3) 72 คะแนน 4) 73 คะแนน 22. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 80 คน ซึ่งมี ลําเจียก ลําดวน และลําพู รวมอยูดวย ปรากฏผลการสอบดังนี้ ลําเจียกไดคะแนนเปนลําดับที่ 30 เมื่อเรียงคะแนนจากมากไปหานอย ลําดวนไดคะแนนตรงกับควอรไทลที่ 3 ลําพูไดคะแนนตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 50 ขอใดตอไปนี้เปนการเรียงรายชื่อของผูที่ไดคะแนนนอยไปหาผูที่ไดคะแนนมาก 1) ลําพู ลําเจียก ลําดวน 2) ลําพู ลําดวน ลําเจียก 3) ลําเจียก ลําพู ลําดวน 4) ลําเจียก ลําดวน ลําพู 23. กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย x1, x2, ..., x10 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ x และขอมูลชุดที่สองซึ่ง ประกอบดวย y1, y2, ..., y20 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ y โดยที่
20 ∑ (y i i=1 10 ∑ (x i i=1

- x ) 2 = 160 และ

- y ) 2 = 110 และ x = y ถานําขอมูลสองชุดนี้มารวมเปนชุดเดียวกันแลว สวนเบี่ยงเบน

มาตรฐานของขอมูลชุดใหมเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 2) 5

3) 7

4) 9

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009

______________________________ คณิตศาสตร (31)

24. ขอมูลชุดหนึ่ง ถาเรียงจากนอยไปมากแลว ไดเปนลําดับเลขคณิตตอไปนี้ 2, 5, 8, ..., 92 ควอรไทลที่ 3 ของ ขอมูลชุดนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 68 2) 69 3) 71 4) 72 25. ในการทดสอบความถนัดของนักเรียนกลุมหนึ่ง มีตารางแจกแจงความถี่ของผลการสอบดังนี้ ชวงคะแนน 0-4 5-9 10-14 15-19 ความถี่ (คน) 4 5 x 7

ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทากับ 11 แลวนักเรียนที่สอบไดคะแนนในชวง 5-14 คะแนน มีจํานวน คิดเปนรอยละของนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 46.67% 2) 56.67% 3) 63.33% 4) 73.33% 26. กําหนดแผนภาพตน-ใบของขอมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 0 1 2 3 3 6 0 0 7 4 2 1 5 3 1

2

สําหรับขอมูลชุดนี้ ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม 27. ในการแขงขันกีฬามหาวิทยาลัยโลกครั้งที่ 24 ซึ่งประเทศไทยเปนเจาภาพ มีการสงรายชื่อนักกีฬาจาก ประเทศไทย 379 คน มีอายุเฉลี่ย 22 ป ถามีการถอนตัวนักกีฬาไทยออก 4 คน ซึ่งมีอายุ 24, 25, 25 และ 27 ป และมีการเพิ่มนักกีฬาไทยอีก 5 คน ซึ่งมีอายุเฉลี่ย 17 ป แลวอายุเฉลี่ยของนักกีฬาจากประเทศไทยจะ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21.6 ป 2) 21.7 ป 3) 21.8 ป 4) 21.9 ป 28. พนักงานโรงงานแหงหนึ่งจํานวน 1,000 คน ไดรับเงินเดือนเฉลี่ยคนละ 8,000 บาท มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1,000 บาท ถาการกระจายเงินเดือนของพนักงานโรงงานแหงนี้เปนแบบปกติแลว ขอสรุปในขอใด ตอไปนีผิด ้ 1) พนักงานจํานวนนอยกวา 100 คน ไดรับเงินเดือนนอยกวา 6,000 บาท 2) พนักงานอยางมาก 930 คน ไดรับเงินเดือนมากกวาหรือเทากับ 6,000 บาท 3) พนักงานที่ไดรับเงินเดือนมากกวา 10,000 บาท มีจํานวนนอยกวา 70 คน 4) ถาในปตอไปพนักงานไดรับเงินเดือนเพิ่มขึ้นคนละ 400 บาท แลวสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือน พนักงานโรงงานนี้ยังคงเทาเดิม

คณิตศาสตร (32)______________________________

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2009


				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:1553
posted:10/2/2009
language:Thai
pages:31
Description: โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ 2009