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									                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




La régression linéaire

La régression linéaire est une technique statistique qui permet de mettre en relation une
ou plusieurs variables indépendantes (ou explicatives) avec une variable dépendante (ou
expliquée). En tant que méthode de prévision, la régression linéaire est une méthode
explicative. Le comportement de la variable à prévoir est, en effet, expliqué par le
comportement des ou de la variable indépendante. Par exemple, les ventes de certains
articles de Meublex pourraient dépendre des budgets en publicité, du nombre de vendeurs
constituant l’équipe de vente, du temps de publicité à la télévision ou à la radio, etc.

Le principe d’une régression consiste à établir un lien quantitatif entre les données se
rapportant aux variables indépendantes et celles se rapportant à la variable dépendante.
Ce lien quantitatif prend la forme d’une droite (que l’on appelle droite de régression) qui
suit le modèle suivant :

                          Yt = 0 + 1X1,t + 2X2,t + … + kXk,t + et

Cette droite de régression nous indique que la valeur de la variable dépendante Y à la
période t (Yt) est déterminée en partie par un niveau moyen de base (0) et par les valeurs
que prennent les différentes variables indépendantes pour cette même période t
(Xi,t, i=1, …, k). De plus, les valeurs des coefficients i, i=1, …, k représentent la
contribution marginale de chacune des variables indépendantes par rapport aux valeurs
prises par Yt. On remarque également la présence du terme et; ce terme est appelé le
terme d’erreur et représente la partie de Yt qui n’est pas expliquée par b0 et par les
différentes valeurs des Xi,t. En effet, puisque Yt est une variable aléatoire, il en résulte
que les différentes valeurs prises par cette variable sont expliquées non seulement par les
valeurs correspondantes des variables dépendantes mais aussi par des fluctuations
aléatoires qui sont inexplicables.

Le principal problème dans l’utilisation d’une régression linéaire consiste à estimer les
meilleures valeurs possibles pour le niveau moyen de base 0 et pour les coefficients i,
i=1, …, k.


La régression linéaire simple

La régression linéaire simple met en relation une variable dépendante avec une seule
variable indépendante. Le modèle de la régression linéaire simple est donc :

                                          Yt = 0 + 1Xt + et

En statistiques, il existe un résultat important concernant la régression linéaire simple qui
peut être énoncé comme suit :



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     62
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      Si la relation entre la variable dépendante Y et la variable indépendante X
      est linéaire, alors il existe des estimateurs de 0 et 1 qui minimisent la
      somme des erreurs au carré.

Ces estimateurs sont notés b0 et b1 et se calculent comme suit :

                                       X  Y –  X  XY
                                       n        n           n      n
                                             2
                                             i         i          i      i   i
                                      i=1      i=1         i=1     i=1
                               b0 =                                  2
                                             n  X2 –        X
                                                n             n
                                                  i                i
                                                 i=1        i=1



                                           n  XiYi –       X Y
                                             n              n      n
                                                                  i      i
                                            i=1            i=1     i=1
                                  b1 =                               2
                                             n  X2 –       X
                                                  n           n
                                                  i                i
                                                 i=1        i=1


Les calculs peuvent toutefois être simplifiés; en effet la relation suivante demeure
toujours vraie :

                                            Y = b 0 + b 1X

Connaissant l’une des valeurs de b0 ou de b1, l’autre valeur peut donc être calculée à
partir de la moyenne de la variable dépendante (Y ) et de la moyenne de la variable
indépendante (X ) :

                                            b 0 = Y – b 1X

                                                       Y – b0
                                             b1 =
                                                         X

À partir des valeurs de b0 et de b1, on peut formuler la droite de régression empirique :

                                            Yi = b0 + b1Xi

Cette droite de régression stipule que pour chaque valeur de la variable indépendante X, il
est possible de calculer une estimation de la valeur que prendra la variable dépendante Y.


Exemple 1.10
Concernant les ventes d’étagères de rangement, modèle E-929 (voir exemple 1.6), une
analyse doit être faite pour vérifier le lien existant entre le volume mensuel des ventes des
12 derniers mois et le budget mensuel en publicité. Le tableau suivant (tableau 1.19)
présente les données pertinentes pour cette analyse. À partir de ces données, déterminez
les valeurs de b0 et de b1 et spécifiez l’équation pour la droite de régression. Quelle
interprétation donnez-vous à la droite de régression?


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                    63
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                                          Tableau 1.19

    Demande des 24 derniers mois pour les étagères E-929 et budget publicitaire
                                   mensuel

                                                            budget
                           période         demande       publicitaire ($)
                              1              1191            30000
                              2              1239            25000
                              3              1235            30000
                              4              1330            40000
                              5              1342            35000
                              6              1332            40000
                              7              1374            40000
                              8              1402            40000
                              9              1504            45000
                             10              1502            35000
                             11              1588            50000
                             12              1607            45000

Solution, exemple 1.10 :

Pour travailler avec une régression linéaire, la première chose à faire est de déterminer
quelle est la variable dépendante et quelle est la variable indépendante. La variable
indépendante est toujours celle à partir de laquelle on cherche à expliquer le
comportement de la variable dépendante. Dans ce cas-ci, puisque que l’on cherche à
expliquer la demande à partir du budget publicitaire mensuel, il s’ensuit que la variable
indépendante sera le montant du budget mensuel en publicité (X) et la variable
dépendante sera la demande (Y). La figure 1.21 illustre la relation entre la variable
indépendante X et la variable dépendante Y.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                        64
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                                                             Figure 1.21

        Graphique de la demande par rapport au budget publicitaire mensuel

                           1700
                           1600
                           1500
                 demande




                           1400
                           1300
                           1200
                           1100
                           1000
                              25000            30000          35000        40000       45000         50000
                                                         budget publicitaire mensuel



Le tableau suivant (tableau 1.20) présente les différentes étapes des calculs pour b0 et b1
afin de déterminer la droite de régression. Il est à noter que pour simplifier les calculs, les
valeurs de la variable indépendante X ont été divisées par 1 000. De telles simplifications
sont possibles mais il faudra toutefois en tenir compte dans la formulation de l’équation
de la droite de régression.

                                                          Tableau 1.20

                                              Calculs pour détermine b0 et b1

                    i                 Xi (x 1 000)             Yi            Xi2                 XiYi
                    1                      30                 1191          900                 35 730
                    2                      25                 1239          625                 30 975
                    3                      30                 1235          900                 37 050
                    4                      40                 1330          1600                53 200
                    5                      35                 1342          1225                46 970
                    6                      40                 1332          1600                53 280
                    7                      40                 1374          1600                54 960
                    8                      40                 1402          1600                56 080
                    9                      45                 1504          2025                67 680
                   10                      35                 1502          1225                52 570
                   11                      50                 1588          2500                79 400
                   12                      45                 1607          2025                72 315
                 sommes                   455                16 646        17 825              640 210


                   X2  Yi –               Xi  XiYi
             n               n         n       n

            i=1
                     i
                            i=1       i=1      i=1           (17 825)(16 646) – (455)(640210)
     b0 =                                                =                                    = 788.276
                                                 2
                                                                    12(17 825) – (455)2
                           n  X2 –    X
                             n           n
                                i              i
                            i=1        i=1




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                          65
                                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)




                  n XiYi –        X Y
                    n              n       n

                   i=1            i=1
                                          i
                                           i=1
                                                 i       12(640 210) – (455)(16 646)
           b1 =                                      =                               = 15,795
                                             2
                                                             12(17 825) – (455)2
                    n  X2 –        X
                         n           n
                         i                 i
                        i=1         i=1


Tel que mentionné précédemment, il aurait été possible de calculer une ou l’autre des
valeurs de b0 ou de b1 en n’en connaissant qu’une seule et en connaissant la moyenne de
X et de Y. Par exemple, après avoir calculé b0, il aurait été possible de calculer b1 comme
suit :

                              Y – b 0 16 646 12 – 788,276
                                b1 =   =        455 12     = 15,795
                                 X
De même, à partir de b1, il aurait été possible de calculer b0 de la façon suivante :

                              b 0 = Y – b 1X = 16 646 12 – 15,795(        ) =788,27
                                                                     455 12



À partir des valeurs de b0 et de b1, nous obtenons la droite de régression suivante :

                                  Y = b0 + b1X = 788,27 + 0,015795X

Il est à noter que la valeur de b1 (la pente de la droite de régression) est divisée par 1 000 ;
puisque les calculs ont été faits à partir du budget publicitaire mensuel divisé par 1 000, il
faut appliquer le même facteur de conversion à b1. Par contre, la valeur de b0 demeure
inchangée.

L’équation de la droite de régression s’interprète alors comme suit : pour chaque $ de
budget publicitaire mensuel, la demande prévue augmente de 0,015795 unité à partir
d’une demande de base de 788,27 unités (quand le budget est de 0).



Pour effectuer des prévisions à partir d’une régression linéaire simple, il est nécessaire de
spécifier une valeur pour la variable indépendante. Une fois cette valeur spécifiée, celle
de la variable dépendante peut être calculée à partir de l’équation de la droite de
régression. Pour l’exemple précédent, si le budget publicitaire du prochain mois s’établit
à 45 000 $, les ventes de ce mois (période 13) pourront être estimées à :

                             Y13 = 788,27 + 0,015795(45 000) = 1 499 unités


Coefficient de corrélation

Avec la régression linéaire simple se pose le problème d’évaluer dans quelle mesure la
variable X contribue à expliquer les variations observées pour la variable dépendante Y.
Puisque la régression linéaire constitue une modèle qui suppose une lien linéaire entre X


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                  66
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et Y, la mesure utilisée est une mesure de corrélation linéaire appelée coefficient de
corrélation (r). Le coefficient de corrélation se calcule de la façon suivante :

                                            
                                             n
                                                  Xi – X Yi – Y
                                            i=1
                             r=
                                                          
                                       n                    n
                                                      2                   2
                                             Xi – X              Yi – Y
                                      i=1                  i=1


La valeur de r est toujours un nombre compris entre –1 et 1; une valeur de r = -1 implique
une corrélation linéaire négative parfaite entre X et Y et une valeur de r = 1 implique une
corrélation linéaire positive parfaite entre X et Y. Plus la valeur de r est près de 0, plus la
corrélation entre X et Y est faible.

Une propriété intéressante du coefficient de corrélation linéaire r est que si cette valeur est
élevée au carré, la valeur de r2 ainsi obtenue (appelée coefficient de détermination)
représente le pourcentage de variation de Y expliquée par les variations de X.

Le coefficient de corrélation r ou le coefficient de détermination r2 sont particulièrement
utiles pour choisir, parmi un ensemble de variables explicatives possibles, celle qui
constitue la meilleure variable X à utiliser dans un modèle de régression pour fins de
prévisions.


La décomposition

L’élimination de la tendance

De façon générale, une série d’observations non stationnaires (mais sans effets
saisonniers) peut être rendue stationnaire en effectuant ce que l’on appelle une
différenciation de premier ordre. Pour des données ne comportant qu’une tendance (à la
hausse ou à la baisse), sans variations saisonnières, il est donc possible de transformer la
série des observations originales (notée Xt) en une série exempte de tendance (notée X’t)
par différenciation de la façon suivante :

                                  X’t = Xt – Xt-1 ,       t = 2, …, T

Dans l’équation précédente, T est le nombre de périodes pour lequel des données
historiques sont disponibles.

Si une première différenciation ne suffit pas à produire une nouvelle série X’t stationnaire,
une deuxième différenciation de premier ordre peut être faite sur la série X’t déjà
différenciée pour produire une nouvelle série X’’t :

                                X’’t = X’t – X’t-1 ,      t = 3, …, T

Ces deux différenciations successives constituent une différenciation de second ordre.


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                 67
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L’avantage de procéder à une décomposition par différenciation sur des données
comportant une tendance est que les données de la série X’t ou X’’t sont des données
stationnaires et que des méthodes de prévision simples peuvent par la suite être utilisées
pour obtenir des estimations de la demande pour des périodes futures. Rappelons que les
méthodes de prévisions appropriées pour des séries d’observations stationnaires sont les
méthodes basées sur une moyenne, le lissage exponentiel simple ou encore, le lissage
exponentiel adaptatif.

Pour le cas de la différenciation de premier ordre, une fois les prévisions obtenues sur la
série X’t, il faut refaire l’inverse de la différenciation pour obtenir les prévisions de la
demande des périodes futures. Puisque la série X’t a été obtenue en prenant la différence
entre deux observations consécutives, il s’ensuit que la dernière valeur de X’t calculée
est :

                                          X’T = XT – XT-1

Les prévisions effectuées à partir de la série X’t sont donc pour les périodes T+1 et les
suivantes. Notons P’t une prévision pour la période t à partir de la série X’t. Ainsi, P’T+1
est la prévision pour la période T+1 de la valeur X’T+1. Or :

                                          X’T+1 = XT+1 - XT

Ne connaissant pas la valeur de X’T+1 mais disposant de sa prévision P’T+1, on obtient :

                                          P’T+1 = XT+1 - XT

De cette dernière équation, on trouve :

                                          XT+1 = P’T+1 +XT

Mais puisque la demande réelle de la période T+1 n’est pas encore connue, la partie
P’T+1 + XT représente en fait la prévision, pour la série originale Xt, de la demande pour la
période T+1 :

                                          PT+1 = P’T+1 +XT


Exemple 1.11
À partir des données de l’exemple 1.6 pour les étagères E-929, effectuez une
différenciation des données pour obtenir une série stationnaire sur laquelle vous utiliserez
le lissage exponentiel simple afin d’obtenir une prévision pour la demande de la période
25. Utilisez comme constante de lissage la valeur =0,2 et intialisez la méthode de
prévision en prenant P’2 = X’2.



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    68
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Solution, exemple 1.11 :

                                          Tableau 1.21

                  Différenciation et prévisions sur la série différenciée

                       période       demande        X't           P't
                          1            1 091
                          2            1 006        -85         -85,00
                          3            1 105        99          -85,00
                          4            1 034        -71         -48,20
                          5            1 095        61          -52,76
                          6            1 081        -14         -30,01
                          7            1 136        55          -26,81
                          8            1 116        -20         -10,45
                          9            1 109         -7         -12,36
                         10            1 199        90          -11,28
                         11            1 209        10            8,97
                         12            1 232        23            9,18
                         13            1 191        -41          11,94
                         14            1 239        48            1,35
                         15            1 235         -4          10,68
                         16            1 330        95            7,75
                         17            1 342        12           25,20
                         18            1 332        -10          22,56
                         19            1 374        42           16,05
                         20            1 402        28           21,24
                         21            1 504        102          22,59
                         22            1 502         -2          38,47
                         23            1 588        86           30,38
                         24            1 607        19           41,50
                         25                                      37,00

Pour les périodes t = 2 , …, 24, la série X’t est calculée comme suit :

X’2 = X2 – X1 = 1 006 – 1 091 = -85
X’3 = X3 – X2 = 1 105 – 1 006 = 99
…

X’24 = X24 – X23 = 1 607 – 1 588 = 19

À partir de la série X’t, il reste à faire les prévisions à l’aide du lissage exponentiel. La
quatrième colonne du tableau donne les résultats obtenus. Ainsi, la prévision pour la
période 25 sur la série différenciée est P’25 = 37,5. La prévision finale, pour la période 25
de la série originale sera alors :
                           P25 = P’25 + X24 = 37,0 + 1 607 = 1 644




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     69
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




Il faut noter que les valeurs de X’t représentent le taux de croissance (ou de décroissance)
des observations. Les valeurs de P’t représentent donc une estimation du taux moyen de
croissance de sorte que si une prévision est requise pour plus d’une période dans le futur,
il faut ajouter autant de fois la dernière valeur de P’t calculée. Ainsi, de façon générale :

                                      PT+m = mP’T+1 + XT

où m représente le nombre de périodes, après la période de la dernière observation
(période T), pour lequel une prévision est requise.

De la sorte, pour l’exemple 1.11, si une prévision pour la période 26 était requise, nous
aurions :

                      P26 = P24+2 = 2P’25 + X24 = 2(37) + 1 607 = 1 681.

Avec la différenciation, il faut toutefois faire attention au type de tendance qui affecte les
données. On se rappelle que la tendance peut être additive ou multiplicative (voir figures
1.7 a et b). Une tendance est additive si le taux moyen d’augmentation ou de diminution
des observations est constant alors qu’une tendance est multiplicative si le taux moyen
d’augmentation ou de diminution s’accentue ou diminue dans le temps. Pour les données
de l’exemple 1.11 (voir figure 1.22), on peut constater qu’en fait, les observations ont une
légère propension à augmenter de plus en plus avec les temps; la tendance serait donc
multiplicative plutôt que additive.

Dans un tel cas, la différenciation simple (X’t = Xt – Xt-1) ne permet pas de prendre en
compte l’augmentation du taux moyen de croissance des observations. Pour ce faire, il
faut avoir recours à une différenciation de second ordre, c’est-à-dire une deuxième
différenciation des données différenciées. Cette deuxième différenciation permet
d’obtenir une série X’’t de la façon suivante :

                                          X’’t = X’t – X’t-1

Pour les données de l’exemple 1.11, les résultats des différenciations d’ordre 1 et d’ordre
2 sont présentées au tableau 1.22.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     70
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)




                                           Figure 1.22

                                 Demande pour les étagères E-929
                 1650
                 1550
                 1450
       demande




                 1350
                 1250
                 1150
                 1050
                  950
                        1   3     5   7    9     11   13    15   17       19   21   23
                                                  période



                                          Tableau 1.22

      Différenciation d’ordre 1 et d’ordre 2 pour les données de l’exemple 1.11

                            période    demande        X't          X''t
                               1         1 091
                               2         1 006        -85
                               3         1 105        99           184
                               4         1 034        -71          -170
                               5         1 095        61           132
                               6         1 081        -14           -75
                               7         1 136        55            69
                               8         1 116        -20           -75
                               9         1 109         -7           13
                              10         1 199        90            97
                              11         1 209        10            -80
                              12         1 232        23            13
                              13         1 191        -41           -64
                              14         1 239        48            89
                              15         1 235         -4           -52
                              16         1 330        95            99
                              17         1 342        12            -83
                              18         1 332        -10           -22
                              19         1 374        42            52
                              20         1 402        28            -14
                              21         1 504        102           74
                              22         1 502         -2          -104
                              23         1 588        86            88
                              24         1 607        19            -67
                              25




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      71
                                                                    Gestion des stocks (GPO-1004)


Comme on peut le constater à la figure 1.23, une seule différenciation ne permet pas
d’éliminer l’effet multiplicatif de la tendance. On constate en effet que le graphique de la
série X’t représente des valeurs qui, en moyenne, croissent encore. Cet effet de
croissance, qui demeure malgré une différenciation de premier ordre, constitue
l’indication que le taux de croissance n’est pas constant mais qu’il augmente dans le
temps (la série X’t n’est donc pas stationnaire).

                                             Figure 1.23

                          Valeurs de X’t pour les données de l’exemple 1.11

                 150

                 100


                   50
           X't




                    0
                        1             6           11          16            21
                  -50

                 -100
                                                   périodes




                                             Figure 1.23

                          Valeurs de X’’t pour les données de l’exemple 1.11

                 250
                 200
                 150
                 100
                  50
          X''t




                   0
                  -50 1              6            11          16            21
                 -100
                 -150
                 -200
                                                   périodes




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                       72
                                                                      Gestion des stocks (GPO-1004)


Une deuxième différenciation permet d’éliminer l’effet de l’augmentation du taux de
croissance; la figure 1.23 montre bien que les valeurs de X’’t ne sont plus que des
variations aléatoires autour d’un niveau moyen constant (la série X’’t est donc
stationnaire).

En présence de données qui comportent une tendance multiplicative, il faut donc effectuer
une différenciation d’ordre 2 et utiliser une méthode de prévision pour données
stationnaires afin d’obtenir une prévision à partir de la série X’’t. La prévision de la
demande pour une période future sera alors obtenue de la façon suivante :
                                              
                                  PT + m = m2PT + 1 + mXT + XT

À partir du tableau 1.22, on peut donc obtenir les prévisions pour les 4 prochaines
périodes (périodes 25, 26, 27 et 28) de la façon suivante (la prévision P’’25 = -2,25 a été
obtenue à partir d’une moyenne mobile d’ordre 4) :
                   
P25 = P24 + 1 = m2P25 + 1X24 + X24 = – 2,25 + 19 + 1607 = 1623,75
                   
P26 = P24 + 2 = m2P25 + 2X24 + X24 = –2,25(4)+ (2)19 + 1607 = 1636
                   
P27 = P24 + 3 = m2P25 + 3X24 + X24 = –2,25(9)+ (3)19 + 1607 = 1643,75
                   
P28 = P24 + 4 = m2P25 + 4X24 + X24 = –2,25(16)+ (4)19+ 1607 = 1647


La désaisonnalisation

Pour des séries de consommation sans tendance mais avec des variations saisonnières, il
est possible d’effectuer une transformation des données originales (Xt) en des données
exemptes de variations saisonnières (X’t). Cette transformation se fait à l’aide d’une
moyenne mobile d’ordre L, où L est la longueur des cycles saisonniers.

                               Xt = 1  Xt – i + 1 ,
                                          L
                                                        t = L, …, T
                                     Li = 1

La nouvelle série X’t est ainsi constituée des observations désaisonnalisées à partir
desquelles des prévisions (P’t) peuvent être effectuées en utilisant une des méthodes pour
séries stationnaires. Pour obtenir les prévisions finales (pour la série Xt), il faut par la
suite corriger les prévisions sur la série X’t en les multipliant par l’indice saisonnier de la
période pour laquelle une prévision est requise. Le calcul des indices saisonniers
s’effectue en 2 étapes :




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                         73
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)




1. Calcul du ratio saisonnier Rt pour les périodes t = L, …, T :
                                  Rt = Xt / X’t ,   t = L, …, T

2. Calcul des indices saisonniers pour les L périodes constituant la longueur d’un cycle
   saisonnier :
               Ii = Moyenne [Rt : (t mod L) = i, t = L, …, T] ,   i = 1, …, L-1
                       IL = Moyenne [Rt : (t mod L) = 0, t = L, …, T]

Une fois que les indices saisonniers des L périodes constituant un cycle saisonnier sont
calculés, une prévision pour une période future quelconque sera obtenue de la façon
suivante :
                           PT+m = P’T+m I(T+m mod L), T+m mod L  0
                               PT+m = P’T+m IL, T+m mod L = 0

Ainsi, une prévision pour m périodes après la période T (période de la dernière
observation disponible) est obtenue en multipliant la prévision de la demande
désaisonnalisée (P’T+m) par l’indice saisonnier correspondant à la position de cette période
dans le cycle saisonnier.


Exemple 1.12
Le tableau 1.23 reprend les données de l’exemple 1.8 pour le modèle de chaises C-848.
Effectuez une décomposition par désaisonnalisation pour obtenir une prévision de la
demande pour les 4 prochaines périodes. La longueur du cycle saisonnier est L=4
périodes. Pour prévoir la demande désaisonnalisée, utilisez la moyenne mobile d’ordre 2.

                                          Tableau 1.23

                  Demande des 12 derniers mois pour les chaises C-848

                                          période demande
                                             1      362
                                             2      385
                                             3      432
                                             4      341
                                             5      382
                                             6      409
                                             7      445
                                             8      335
                                             9      360
                                            10      375
                                            11      440
                                            12      355




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      74
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




Solution, exemple 1.12 :

La première chose à faire est de désaisonnaliser les données originales à partir d’une
moyenne mobile d’ordre L ; puisque pour cet exemple, la longueur du cycle saisonnier est
de 4 périodes, une moyenne mobile d’ordre 4 sera donc utilisée (voir tableau 1.24 et
figure 1.24). Une fois la série désaisonnalisée X’t obtenue, les ratios saisonniers Rt sont
calculés en divisant, pour les périodes 4 à 12, la série originale Xt par la série
désaisonnalisée X’t.

                                          Tableau 1.24

            Désaisonnalisation des données et calcul des indices saisonniers

                période       demande      X’t = MM(4)     Rt             Ii
                   1            362
                   2            385
                   3            432
                   4            341          380,00      0,8974
                   5            382          385,00      0,9922
                   6            409          391,00      1,0460
                   7            445          394,25      1,1287
                   8            335          392,75      0,8530
                   9            360          387,25      0,9296      I1 = 0,9609
                   10           375          378,75      0,9901      I2 = 1,0181
                   11           440          377,50      1,1656      I3 = 1,1471
                   12           355          382,50      0,9281      I4 = 0,8928


C’est à partir des ratios Rt que les indices saisonniers sont par la suite calculés. Chaque
indice saisonnier est la moyenne de tous les ratios saisonniers pour les périodes
positionnées à la même place dans les cycles saisonniers. Ainsi, l’indice saisonnier I1
sera la moyenne des ratios R5 et R9 :

I1 = (R5 + R9)/2 = (0,9922 + 0,9296)/2 = 0,9609

Les indices I2 et I3 sont calculés de la même façon :

I2 = (R6 + R10)/2 = (1,0460 + 0,9901)/2 = 1,0181
I3 = (R7 + R11)/2 = (1,1287 + 1,1656)/2 = 1,1471

Pour ce qui est de I4, puisque 3 ratios saisonniers sont disponibles (R4, R8 et R12), sa
valeur sera donc la moyenne de ces 3 ratios :

I4 = (R4 + R8 + R12)/3 = (0,8974 + 0,8530 + 0,9281)/3 = 0,8928


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     75
                                                                      Gestion des stocks (GPO-1004)




                                             Figure 1.24

                      Données originales et désaisonnalisées pour l’exemple 1.12

                500

                450

                400
      demande




                350

                300

                250                                                      série originale
                                                                         série désaisonnalisée
                200
                      1           3           5            7              9                11
                                                    périodes


Une fois les indices saisonniers calculés, il faut effectuer une prévision sur les données
désaisonnalisées. Avec la moyenne mobile d’ordre 2, cette prévision sera :

                            P’13 = (X’11 + X’12)/2 = (377,5 + 382,5)/2 = 380

Puisque la série X’t est stationnaire, les prévisions P’14, P’15 et P’16 seront identiques à la
prévision P’13.

Pour obtenir les valeurs finales des prévisions, incluant la saisonnalité, il suffit de
multiplier les prévisions désaisonnalisées par les indices saisonniers correspondant aux
périodes 13, 14, 15 et 16. Ainsi :

                                 P13 = P’13 I1 = 380 (0,9609) = 365,14
                                 P14 = P’14 I2 = 380 (1,0181) = 386,88
                                 P15 = P’15 I3 = 380 (1,1471) = 435,90
                                 P16 = P’16 I4 = 380 (0,8928) = 339,26




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                          76
                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)




Décomposition en présence d’une tendance et d’un effet saisonnier

Lorsque les données comportent à la fois une tendance et un effet saisonnier, la
décomposition devient une démarche plus complexe. Le processus de prévision, dans ce
cas, comporte les 7 étapes suivantes.

Étape 1 :
Déterminer la longueur L du cycle saisonnier. Généralement, il s’agit de 12 mois ou de
52 semaines selon l’unité de temps utilisée. Il se peut toutefois que la longueur du cycle
saisonnier ne soit pas un an; plus loin dans ce chapitre, une section est consacrée à
l’analyse des données en vue de déterminer la longueur d’un cycle saisonnier.

Étape 2 :
Éliminer les effets saisonniers en calculant une moyenne mobile d’ordre L à partir des
données originales.

Une attention particulière doit être portée à cette étape. Puisque les observations
originales comportent à la fois une tendance et des variations saisonnières, le calcul de la
moyenne mobile aura pour effet d’éliminer les effets saisonniers mais pas la tendance. En
présence d’une tendance, une moyenne mobile d’ordre L estime le niveau moyen des
observations pour un moment dans le temps, situé à mi chemin entre la première et la
dernière période incluse dans le calcul de la moyenne mobile. La figure 1.25 illustre le
fait que la moyenne des 4 dernières observations procure une estimation de la demande
moyenne pour la période 13,5, soit la position centrale entre la période 15 (dernière
période incluse dans le calcul de la moyenne mobile) et la période 12 (première période
incluse dans le calcul de la moyenne mobile).

Pour les calculs de la moyenne mobile d’ordre L permettant de désaisonnaliser les
observations, deux situations se présentent selon que la longueur L de la saisonnalité est
paire ou impaire.

Si L est impair :

                                      t+ L–1

                    X = MMt L = 1  Xi , t = L + 1 , ... , T – L – 1
                                          2
                     
                     t
                                Li = t – L – 1 2                 2
                                           2


Si L est pair :

                                          t+L

                         MM L = 1  Xi , t = L , ... , T – L
                                            2
                              a
                              t
                                Li = t – L + 1 2           2
                                            2




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   77
                                                                                              Gestion des stocks (GPO-1004)


                                                  t+L –1

                                MM L = 1  Xi , t = L +1, ... , T – L + 1
                                                    2
                                        b
                                        t
                                       Li=t– L      2               2
                                                        2


                                        MMa(L) + MMb(L)
                                Xt =     t        t
                                                        , t = L + 1, ... , T – L
                                               2              2                2


                                                            Figure 1.25

 Position dans le temps de X’t calculé à partir d’une moyenne mobile d’ordre L sur
                     des observations comportant une tendance

                                                                L=4

       La moyenne des 4 dernières périodes estime le niveau
                    moyen à la période 13,5                                                           L=4
                     1300

                     1250
                                                                                                         x
                     1200
         de m ande




                     1150

                     1100

                     1050

                     1000

                      950
                            1    2      3     4    5        6   7       8       9   10   11    12   13       14   15

                                                                    pé rio de



                                                       X’t = (X12 + X13 + X14 + X15)/4




Étape 3 :
Calculer les ratios saisonniers :

                                            , t = L + 1 , ... , T – L – 1 si L est impair
                                        Xt
                                Rt =
                                        Xt         2                 2

                                            Xt
                                     Rt =       , t = L + 1 , ... , T – L si L est pair
                                            Xt       2                 2



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                                 78
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




Étape 4 :
Calculer les indices saisonniers :

               Ii = Moyenne [Rt : (t mod L) = i, t = L, …, T] ,   i = 1, …, L-1
                       IL = Moyenne [Rt : (t mod L) = 0, t = L, …, T]


Étape 5 :
Déterminer la pente sur les données désaisonnalisées pour l’estimation de la tendance
(taux d’accroissement de la demande par unité de temps).

Cette étape se réalise en effectuant une régression linéaire sur les données
désaisonnalisées (X’t). Pour ce faire, la variable indépendante est la période (t) et la
variable dépendante est la demande désaisonnalisée (X’t). Une fois les coefficients de
régression calculés, la valeur de b1, la pente de la droite de régression, constituera une
bonne estimation de la tendance (se référer à la section La régression linéaire pour les
formules permettant de calculer les valeurs de b0 et de b1 pour une régression linéaire
simple).


Étape 6 :
À partir de la régression obtenue à l’étape 5, effectuer les prévisions de la demande
désaisonnalisée. La droite de régression est de la forme :

                                          Pt = Yt = b0 + b1t

Pour obtenir une prévision pour une période t donnée, il suffit de remplacer t, dans
l’équation précédente, par la période pour laquelle une prévision est requise et d’effectuer
le calcul à partir des valeurs de b0 et de b1 pour obtenir P’t.


Étape 7 :
Une fois les prévisions P’t obtenues, il reste à les ajuster en fonction de l’indice saisonnier
qui correspond à la position de la période t à l’intérieur du cycle saisonnier :

                           PT+m = P’T+m I(T+m mod L), T+m mod L  0
                               PT+m = P’T+m IL, T+m mod L = 0




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     79
                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)




Exemple 1.13
À partir des données de l’exemple 1.9 pour le modèle de chaises C-949, appliquez la
méthode de décomposition pour des séries avec tendance et saisonnalité afin d’obtenir
des prévisions pour les 4 prochaines périodes.

Solution, exemple 1.13 :

À partir de la figure 1.26, on constate que la demande des chaises C-949 subit l’effet
simultané d’une tendance et d’une saisonnalité. De plus, une analyse préliminaire des
données nous indique que la longueur d’une cycle saisonnier est de 4 périodes. Pour
éliminer cet effet saisonnier, il sera donc nécessaire de travailler avec une moyenne
mobile d’ordre 4.

                                          Figure 1.26

        Graphique des données pour la demande du modèle de chaises C-949

                    650
                    600
                    550
                    500
          demande




                    450
                    400
                    350
                    300
                                           L=4
                    250
                    200
                          1   2   3   4   5      6     7   8   9   10    11     12
                                                 période

Mais puisque que la longueur de la saisonnalité est paire (4 périodes), il faudra combiner
deux moyennes mobiles afin d’obtenir les niveaux moyens avec tendance centrés à mi-
chemin entre les périodes utilisées pour le calcul de la moyenne mobile. Le tableau 1.25
présente les résultats des calculs pour la décomposition.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                  80
                                                                          Gestion des stocks (GPO-1004)




                                           Tableau 1.25

                        Résultats des calculs pour la décomposition

                                    a        b
              période    demande MM t (4) MM t (4)            X't         Rt        It
                  1        362
                  2        385                   380,0
                  3        432         380,0     385,0    382,50        1,1294
                  4        341         385,0     391,0    388,00        0,8789
                  5        382         391,0     407,5    399,25        0,9568
                  6        409         407,5     419,0    413,25        0,9897
                  7        498         419,0     441,8    430,38        1,1571    1,1433
                  8        387         441,8     467,8    454,75        0,8510    0,8649
                  9        473         467,8     488,8    478,25        0,9890    0,9729
                 10        513         488,8     510,5    499,63        1,0268    1,0082
                 11        582         510,5
                 12        474

Une fois la désaisonnalisation effectuée, nous obtenons les valeurs X’t (série
désaisonnalisée) ainsi que les indices saisonniers : I3 = 1,1433 (puisque la période 7
correspond à la troisième période d’une cycle saisonnier), I4 = 0,8649, I1 = 0,9729 et
I2 = 1,0082.

À partir de la série X’t, il faut maintenant effectuer une régression linéaire simple afin de
déterminer la pente, ce qui constituera l’estimation de la tendance. Le tableau 1.26
présente les étapes des calculs de b0 et de b1 pour l’estimation de la droite de régression.
Dans les calculs, la période constitue la variable indépendante (X) et la demande
désaisonnalisée constitue la variable dépendante (Y).

                                           Tableau 1.26

                                       Calculs pour b0 et b1

                         période (X)       X't (Y)     Xi2             XiYi
                              3            382,50      9            1 147,500
                              4            388,00      16           1 552,000
                              5            399,25      25           1 996,250
                              6            413,25      36           2 479,500
                              7            430,38      49           3 012,625
                              8            454,75      64           3 638,000
                              9            478,25      81           4 304,250
                             10            499,63     100           4 996,250
                             52           3 446,00   380,00         23 126,38




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                             81
                                                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)



                 X  Y –  X  XY
                 n       n              n           n
                      2
                i=1
                      i
                        i=1
                                  i
                                       i=1
                                                   i
                                                    i=1
                                                               i   i       380(3 446) – 52(23 126,38)
         b0 =                                         2                =                      2       = 318,18
                      n  X2 –           X                                      8(380) – 52
                         n                n
                           i                        i
                       i=1               i=1



                      n  XiYi –             X Y
                        n                    n           n

                       i=1                  i=1
                                                        i
                                                         i=1
                                                                   i       8(23 126,38) – 52(3 446)
              b1 =                                         2           =                     2      = 17,32
                        n  X2 –              X                                8(380) – 52
                              n                n
                             i                           i
                            i=1               i=1


À partir de b0, on aurait également pu calculer b1 de la façon suivante :

                                                 Y – b0                3 446 8   – 318,18
                                       b1 =             =                        52 8       = 17,32
                                                   X

La régression linéaire simple, avec comme variable dépendante X’t et comme variable
indépendante t, nous a donc permis de déterminer que la tendance était d’environ 17,32
unités par période.

À partir de la droite de régression, on peut maintenant obtenir des prévisions
désaisonnalisées pour les 4 prochaines périodes, soit les périodes 13, 14, 15 et 16 :

                                        P’13 = 318,18 + 17,32(13) = 543,34
                                        P’14 = 318,18 + 17,32(14) = 560,66
                                        P’15 = 318,18 + 17,32(15) = 577,98
                                        P’16 = 318,18 + 17,32(16) = 595,30

Pour obtenir les prévisions finales (pour la série originale), il suffit de multiplier les
prévisions désaisonnalisées par l’indice saisonnier correspondant à leur position dans le
cycle saisonnier :

                                      P13 = P’13 I1 = 543,34(0,9729) = 528,61
                                      P14 = P’14 I2 = 560,66(1,0082) = 565,26
                                      P15 = P’15 I3 = 577,98(1,1433) = 660,80
                                      P16 = P’16 I4 = 595,30(0,8649) = 514,87




Correction des données
Il arrive fréquemment que certaines des données à partir desquelles les prévisions doivent
être obtenues ne soient pas directement utilisables. Les deux principales raisons rendant
nécessaire la correction de certaines données sont que des valeurs aberrantes peuvent être
observées ou enregistrées, ou que les données sont agrégées selon des unités de temps qui
ne comportent pas le même nombre de sous-unités de base.


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                                     82
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




Les valeurs aberrantes

Une valeur est dite aberrante lorsque celle-ci est d’un ordre de grandeur disproportionné
par rapport à l’ordre de grandeur habituel des observations. Les causes de cette
disproportion sont généralement de deux types : il peut s’agir d’une erreur de saisie des
données (par exemple 1 000 au lieu de 100) ou d’un événement exceptionnel qui a fait en
sorte que l’observation réelle ne reflète pas le niveau habituel des données. Un exemple
classique se rapportant à cette dernière situation concerne la demande des différentes
pièces de rechange pour les installations de transport et de distribution d’électricité
d’Hydro-Québec lors de la tempête de verglas de janvier 1998. La figure 1.27 présente le
cas de la demande d’un transformateur utilisé sur les lignes de transport de l’électricité,
modèle AMC 14,4 – 120/240. On y constate que la demande du mois de janvier 98
(période 25) est plus de 7 fois plus importante que la demande moyenne normale.

                                          Figure 1.27

            Demande mensuelle pour le transformateur AMC 14,4 – 120/240

     2000

     1800

   1600
 C
 o
 n 1400
 s
 o 1200
 m
 m 1000
 a
 t 800
 i
 o
 n 600
      400

      200
        0
            1      4       7       10      13    16       19     22      25      28      31
                                                 mois

Une donnée comme celle de la période 25 à la figure 1.27 ne peut être utilisée
directement dans le processus normal de prévision. Si aucun ajustement n’était apporté,
les prévisions de la demande pour les périodes suivantes seraient anormalement gonflées.

Pour corriger une telle situation, il existe plusieurs possibilités selon la nature de la série
d’observations. Si la série chronologique ne comporte pas de saisonnalité, la valeur


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                       83
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)


aberrante peut être remplacée par la moyenne de l’observation qui la précède et de celle
qui la suit. Si une saisonnalité est présente, comme c’est le cas à la figure 1.27, il faut en
tenir compte en remplaçant la valeur aberrante par la moyenne de la demande des
périodes qui occupent la même position dans le cycle saisonnier ou par toute autre valeur
qui représente bien le niveau normal de la demande à cette période.


Les jours ouvrables

Généralement, les prévisions sont obtenues à partir de données historiques qui sont
regroupées mensuellement ou hebdomadairement. Dans la réalité, les mois ne
comportent pas tous le même nombre de jours et les semaines ne sont pas toujours
constituées du même nombre de jours ouvrables. Il est donc nécessaire d’effectuer
certains ajustements afin d’obtenir des prévisions qui tiennent compte du fait que l’unité
de temps selon laquelle les données sont amassées ne se divise pas en un même nombre
de sous-unités de base. Le tableau suivant (tableau 1.27) présente des données pour les
mois de février 1998 à juillet 1998 avec, pour chaque mois, le nombre de jours
correspondant.

                                            Tableau 1.27

                  Demande pour les mois de février 1998 à juillet 1998

                                     Nombre de                     Demande
                         Mois          jours             Demande   corrigée
                   Février 1998          28               1 224    1 311,43
                   Mars 1998             31               1 567    1 516,45
                   Avril 1998            30               1 438    1 438,00
                   Mai 1998              31               1 778    1 720,64
                   Juin 1998             30               1 700    1 700,00
                   Juillet 1998          31               1 692    1 637,42

Une façon de corriger la demande de chacun des mois pour tenir compte du nombre
différent de jours est de choisir un nombre de jours de référence et d’exprimer la demande
de tous les mois en fonction de ce nombre de jours. Supposons que ce nombre de jours
de référence soit 30. La demande du mois de février 1998 étant de 1 224 pour 28 jours,
nous avons donc une demande de 43,714 unités par jour qu’il suffit de multiplier par 30
pour obtenir la demande corrigée sur la base de 30 jours par mois :

            Demande corrigée pour février 1998 = (1 224 / 28) x 30 = 1 311,43

La demande corrigée peut donc être calculée selon la formule suivante :

                                          X’t = (Xt / nt) x nb




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      84
                                                                      Gestion des stocks (GPO-1004)


X’t représente la demande corrigée pour le mois t, Xt est la demande réelle du mois t, nt
est le nombre de jours dans le mois t et nb est le nombre de jours de base choisi.

Une fois la demande corrigée obtenue, les prévisions P’t sont effectuées sur la série
corrigée et la prévision finale, qui tient compte du nombre réel de jours dans le mois, sera
obtenue en divisant P’t par nb et multipliant par le nombre de jours dans le mois pour
lequel une prévision est faite. Pour les données du tableau 1.27, une moyenne mobile
d’ordre 4 nous donnerait, comme prévision pour la demande corrigée du mois d’août
1998 :

          P’août 1998 = (1 438,00 + 1 720,64 + 1 700,00 + 1 637,42) / 4 = 1 624,01

Puisque le mois d’août comporte 31 jours, la prévision finale sera :

                          Paoût 1998 = (P’août 1998 / 30) x 31 = 1 678,14

La formule générale pour la prévision finale est donc :

                                          Pt = (P’t / nb ) x nt


Les erreurs de prévision
Les erreurs de prévision sont une source utile d’information pour quatre raisons :

            1.   pour l’ajustement des modèles de prévision et de leurs paramètres;
            2.   pour l’évaluation des prévisions;
            3.   pour l’estimation de l’écart-type de la demande;
            4.   pour la détermination du stock de sécurité.

En ce qui concerne l’ajustement des modèles de prévision et de leurs paramètres, il s’agit
d’une étape importante du processus de prévision (voir figure 1.1). Pour effectuer des
prévisions à partir d’une série de consommations, plusieurs méthodes peuvent être
utilisées et pour la plupart des méthodes, un ou plusieurs paramètres (ordre de la moyenne
mobile, constantes de lissage, …) doivent être choisis. Pour effectuer ces choix,
l’approche la plus répandue consiste à tester les méthodes de prévisions et les paramètres
envisagés sur les données historiques en effectuant des prévisions comme si la demande
de la période suivante n’était pas encore connue. Différentes statistiques sur les erreurs
de prévision peuvent alors être calculées. En testant différentes méthodes et différentes
valeurs pour les paramètres, il est alors possibles de comparer les statistiques sur les
erreurs de prévision et de choisir la méthode et les paramètres qui ont donné les meilleurs
résultats sur les données historiques.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                         85
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)


Pour l’évaluation des prévisions, les statistiques sur les erreurs de prévision vont
permettre d’évaluer la performance de la méthode de prévision utilisée au fur et à mesure
qu’elle génère de nouvelles prévisions pour les périodes futures.

Mentionnons également que les erreurs de prévision vont également fournir les
informations nécessaires pour permettre d’estimer l’écart-type de la demande, qui est une
mesure de la variabilité imprévisible de la demande, donc de l’incertitude qui se rattache
aux prévisions. Plus cet écart-type est faible, moins la variabilité imprévisible de la
demande est grande et plus cet écart-type est grand, plus la variabilité imprévisible de la
demande est grande. Cette mesure de l’incertitude est importante car elle met en relation
le processus de prévision avec la détermination du stock de sécurité dans le processus de
gestion des stocks.

Dans les sections suivantes, plusieurs statistiques sur les erreurs de prévisions seront
examinées. Chacune d’entre elle fournie une information particulière et souvent
complémentaire à d’autres statistiques.


L’erreur moyenne (EM)

L’erreur moyenne est la moyenne périodique des erreurs de prévision. Il s’agit
d’additionner tous les termes d’erreurs disponibles et de diviser par le nombre de termes
additionnés :

                                          EM = 1  ei
                                                  n

                                               ni = 1

avec

            ei = Xi - Pi

L’erreur moyenne est essentiellement une mesure du biais dans les prévisions. Un biais
est un écart systématique entre les objectifs visés et les résultats obtenus, de sorte que si
les prévisions sousestiment systématiquement la demande, un biais positif sera observé
(valeur de EM positive et significative) alors que si les prévisions surestiment
systématiquement la demande, un biais négatif sera observé (valeur de EM négative et
significative).

La figure 1.28 illustre ce à quoi peut ressembler une série d’erreurs de prévision non
biaisée. Les caractéristiques pour des prévisions non biaisées sont les suivantes :
               il n’y pas d’allure distinctive dans les erreurs de prévision;
               les erreurs sont centrées à 0;
               il y a à peu près autant de termes d’erreur positifs que négatifs.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      86
                                                                 Gestion des stocks (GPO-1004)




                                           Figure 1.28

                             Erreurs de prévision non biaisées

           500



                0
                    0              10             20         30                40

          -500




L’erreur moyenne absolue (EMA)

Un problème avec l’erreur moyenne est que cette statistique fait en sorte que les erreurs
positives sont annulées par les erreurs négatives. Cette propriété est désirable pour
mesurer le biais mais elle ne permet pas d’avoir une idée de la distance moyenne qui
sépare une prévision pour une période donnée avec la demande réelle. L’erreur moyenne
absolue permet de mesurer, sans égard au signe des erreurs de prévision, l’écart moyen
entre la demande réelle d’une période et la prévision pour cette même période qui avait
préalablement été faite :

                                          EMA = 1  ei
                                                  n

                                                ni = 1

avec

             ei : valeur absolue de ei.

Les deux statistiques, EM et EMA, sont donc complémentaires dans la mesure où elles
fournissent deux informations différentes concernant les erreurs de prévision. La
première donne une indication du biais et la seconde permet de se faire une idée de
combien, en moyenne, on se trompe lorsqu’une prévision est générée.


L’erreur moyenne absolue lissée (EMAt)

Une statistique qui est fréquemment utilisée par les systèmes de gestion des ressources
matérielles comme SAGEM est l’erreur moyenne absolue lissée. Cette statistique est




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    87
                                                                 Gestion des stocks (GPO-1004)


calculée en effectuant un lissage exponentiel simple sur les erreurs de prévision, en valeur
absolue, pour chaque période :

                                EMA t =  et + 1 –  EMA t – 1

avec

             : constante de lissage (0    1).

L’avantage d’utiliser la statistique EMAt est double : elle permet d’effectuer une simple
mise à jour, à chaque période, de l’erreur moyenne absolue et elle permet d’obtenir une
estimation de l’écart moyen entre les prévisions et la demande réelle qui s’ajuste mieux à
mesure que de nouveaux termes d’erreur sont observés. Comme dans le cas de n’importe
quelle méthode basée sur un lissage exponentiel, une constante de lissage comprise entre
0 et 1 est utilisée et plus la valeur de cette constante est grande, plus les valeurs de EMAt
vont varier rapidement en fonction des nouveaux termes d’erreur enregistrés.


Le pourcentage moyen d’erreur absolue (PMEA)

Un problème avec les statistiques sur les erreurs de prévision vues précédemment est
qu’elles sont dépendantes de l’ordre de grandeur des observations pour lesquelles des
prévisions ont été obtenues. Ainsi, une erreur moyenne EM = -23 ne signifie pas la même
chose si l’ordre de grandeur des observations est dans les milliers d’unités ou dans les
centaines. Une valeur de EM = -23 pour des données dans les milliers d’unités n’est pas
très significative alors que pour des données dans les centaines, elle peut s’avérer très
importante. Comme il est souvent difficile de se faire une idée de l’importance réelle que
représente les valeurs de EM, EMA ou EMAt, il est justifié d’utiliser une méthode qui
procure une mesure relative, c’est-à-dire indépendante de l’ordre de grandeur des
observations.     Le pourcentage moyen d’erreur absolue permet de mesurer, en
pourcentage, l’écart moyen entre les prévisions et les observations correspondantes :

                                                     ei
                                     PMEA = 100 
                                                 n

                                             n i = 1 Xi



Exemple 1.14
À partir du tableau 1.9 se rapportant aux données de l’exemple 1.4, calculez les valeurs
de EM, de EMA, de EMAt avec une constante de lissage =0,2 et de PMEA. Pour les
calculs se rapportant à EMAt, utilisez EMA1 = |e1|.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    88
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Solution, exemple 1.14 :

                                          Tableau 1.28

                     Calcul des valeurs de EM, EMA, EMAt et PMEA

                  Demande Prévisions
         mois       (Xt)     (Pt)           et           |et|   |et|/Xt     EMAt
              1     75         80,0        -5,0           5,0   0,0667       5,00
              2     86         79,0        7,0            7,0   0,0814       5,40
              3     84         80,4        3,6            3,6   0,0429       5,04
              4     78         81,1        -3,1           3,1   0,0397       4,65
              5     83         80,5        2,5            2,5   0,0301       4,22
              6     72         81,0        -9,0           9,0   0,1250       5,18
              7     81         79,2        1,8            1,8   0,0222       4,50
              8     79         79,6        -0,6           0,6   0,0076       3,72
              9     75         79,4        -4,4           4,4   0,0587       3,86
             10     77         78,6        -1,6           1,6   0,0208       3,41
             11     77         78,2        -1,2           1,2   0,0156       2,96
             12     84         78,0        9,0            9,0   0,1071       4,17
                              Somme         -1           48,8   0,6178



EM = 1  ei = –1 = –0,083
         n

     ni = 1   12

EMA = 1  ei =
         n
               48,8
      ni = 1        = 4,07
                12

                ei
PMEA = 100 
            n
                     100
        n i = 1 Xi = 12 0,6178 = 5,15%

EMAt = |et| + (1-)EMAt-1

EMA2 = 0,2(7,0) + 0,8(5) = 5,40
EMA3 = 0,2(3,6) + 0,8(5,40) = 5,04
…
EMA12 = 0,2(9,0) + 0,8(2,96) = 4,17

À la lumière de ces résultats, on constate que les prévisions sont à toute fin pratique non
biaisées (EM = -0,0833 est très près de 0 et non significatif par rapport à l’ordre de
grandeur des données) ; de plus, la valeur de EMA nous indique que en moyenne, l’écart
entre une prévision et l’observation correspondante est d’environ 4, ce qui représente à
peine 5% en terme de pourcentage d’écart absolu (PMEA = 5,15%). Finalement, la
valeur EMA12 = 4,17 indique sensiblement la même chose que la statistique EMA.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   89
                                                                              Gestion des stocks (GPO-1004)




Le PMEA ajusté (PMEAA)

La statistique PMEAA évalue les erreurs de prévision non pas par rapport à
l’observations réelle des périodes correspondantes mais par rapport à la moyenne entre ce
qui a été prévu et ce qui s’est réalisé. L’idée est de comparer l’erreur de prévision de
chacune des périodes avec une estimation du niveau moyen de la demande qui élimine en
partie les variations aléatoires non prévisibles :

                                                            ei
                                   PMEAA = 100 
                                                    n

                                            n i=1         Xi + Pi
                                                                    2


En comparaison avec la statistique PMEA, le PMEAA fait en sorte qu’une sous-
estimation de la demande aura un plus grand impact qu’une surestimation identique en
valeur absolue. Cette mesure peut donc être avantageusement utilisée s’il existe de
bonnes raisons de croire qu’une surestimation dans les prévisions est préférable à une
sous-estimation.


Exemple 1.15
Pour une période donnée, la demande observée a été de 100 unités. Calculez MPEA-A si
pour cette même période une prévision Pt=50 unités avait été préalablement obtenue et
refaire le calcul de MPEA-A si Pt=200 unités; commentez les résultats obtenus.

Solution, exemple 1.15 :

Pour Pt=50, nous avons:
                                            ei
                   PMEAA = 100 
                                     n

                            n i=1                 = 100          50          = 66,67%
                                          Xi + Pi    1       100 + 50
                                                                         2

                                             2
Pour Pt=200, nous avons:
                                            ei
                   PMEAA = 100 
                                     n

                            n i=1                 = 100        100           = 66,67%
                                          Xi + Pi    1       100 + 200
                                                                         2

                                             2

On constate dans ce cas-ci que lorsque la prévision est de 50 unités, nous avons une sous-
estimation de la demande de 50 unités, ce qui conduit à une valeur de MPEA-A de
66.67%. Mais lorsque la prévision est de 200 unités, la demande est surestimée par 100
unités et la valeur de MPEA-A demeure à 66.67%. Il s’avère donc qu’une surestimation
de la demande de l’ordre de 100% a le même impact sur la valeur de MPEA-A qu’une
sous-estimation de l’ordre de 50%.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                 90
                                                                    Gestion des stocks (GPO-1004)




La statistique U de Theil (U)

La statistique U de Theil compare la variation relative quadratique prévue pour la
prochaine période selon la méthode de prévision utilisée avec la variation relative
quadratique qui aurait été prévue si, pour chaque période, la prévision avait été obtenue
en prenant la demande réelle de la période précédente (dite méthode naïve).
                                               n–1
                                             i=1
                                                   ei + 1
                                                          Xi
                                                             2

                                  U=        n–1
                                            
                                                                2
                                                Xi + 1 – Xi
                                                             Xi
                                            i=1


L’interprétation de la statistique U se fait par rapport à une valeur U* = 1. Si la valeur de
U calculée est égale à 1, cela signifie que la méthode naïve aurait donnée d’aussi bons
résultats que la méthode de prévision utilisée. Pour une valeur de U < 1, on peut dire que
la méthode de prévision utilisée a donné de meilleurs résultats que si l’on avait utilisé la
méthode naïve et pour U > 1, la méthode naïve aurait donné de meilleurs résultats que la
méthode utilisée.

Exemple 1.16
À partir des prévisions du tableau 1.11 se rapportant à l’exemple 1.5, calculez la
statistique U et interprétez le résultat obtenu.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                       91
                                                                             Gestion des stocks (GPO-1004)




Solution, exemple 1.16 :

                                             Tableau 1.29

                                 Calculs pour la statistique U
                     t      Xt         Pt              et     (et+1/Xt)2   [(Xt+1-Xt)/Xt]2
                     1      90        95,00          -5,00     0,0178          0,0278
                     2     105        93,00          12,00     0,0001          0,0091
                     3      95        96,00          -1,00     0,0226          0,0249
                     4     110        95,72          14,28     0,0014          0,0186
                     5      95        99,08          -4,08     0,0085          0,0028
                     6      90        98,75          -8,75     0,0078          0,0278
                     7     105        97,07           7,93     0,0453          0,0204
                     8     120        97,65          22,35     0,0094          0,0000
                     9     120       108,37          11,63     0,0000          0,0017
                    10     115       115,29          -0,29     0,0074          0,0076
                    11     125       115,12           9,88     0,0030          0,0064
                    12     115       121,82          -6,82     0,0013          0,0000
                    13     115       119,07          -4,07     0,0037          0,0076
                    14     125       118,04           6,96     0,0021          0,0064
                    15     115       120,77          -5,77     0,0000          0,0019
                    16     120       119,82           0,18     0,0000          0,0000
                    17     120       119,85           0,15     0,0154          0,0156
                    18     105       119,88         -14,88     0,0551          0,0204
                    19      90       114,65         -24,65     0,0013          0,0031
                    20      95        98,29          -3,29     0,0217          0,0249
                    21     110        96,02          13,98     0,0013          0,0186
                    22      95        98,97          -3,97     0,0057          0,0111
                    23     105        97,85           7,15     0,0062          0,0204
                    24      90        98,30          -8,30
                                                   Somme       0,2369         0,2770

                                     n–1
                                   i=1
                                         ei + 1
                                                Xi
                                                   2
                                                              0,2369
                     U=           n–1                     =          = 0,9248
                                                             0,2770
                                                      2
                                      Xi + 1 – Xi
                                                   Xi
                                  i=1


Puisque la valeur de U est légèrement inférieure à 1, la méthode de prévision utilisée a
donné de meilleurs résultats que si l’on avait utilisé la méthode naïve.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                92
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




L’erreur quadratique moyenne (EQM)

L’erreur quadratique moyenne est une statistique fréquemment utilisée en prévision car
elle sert de point de départ au calcul de l’écart-type des erreurs de prévision. Si les
prévisions sont non biaisées, l’erreur moyenne (EM) aura une valeur près de 0; dans ce
cas, la valeur de EQM peut servir à estimer la variance des erreurs de prévision et c’est
justement cette variance qui sert à calculer l’écart-type. EQM est tout simplement la
moyenne des erreurs au carré :

                                          EQM = 1  e2
                                                        n

                                                ni = 1 i


L’erreur quadratique moyenne lissée (EQMt)

Tout comme dans le cas de l’erreur moyenne absolue (EMA), il est possible d’effectuer
un lissage exponentiel simple pour mettre à jour, d’une période à l’autre, l’erreur
quadratique moyenne. Les calculs de EQMt sont identiques à ceux de EMAt à l’exception
que l’erreur quadratique est utilisée (plutôt que l’erreur absolue) :

                                EQM t = et2 + 1 –  EQM t – 1


Estimation de l’écart-type (ET)

L’écart-type des erreurs de prévision est une statistique très importante. Elle sert
directement à calculer, pour la gestion des stocks, la valeur du stock de sécurité faisant en
sorte de maintenir un niveau désiré spécifié selon une mesure de service donnée. La
valeur de ET se calcule directement à partir de EQM ou de EQMt :

                                    ET =       EQM           n
                                                            n–1

                                                   ou

                                          ET t =    EQM t



Exemple 1.17
À partir des données de l’exemple 1.16, calculez EQM, EQMt, ET et ETt. Pour les
calculs de EQMt, utilisez la constante de lissage =0,1 et la valeur initiale EQM1 = e12.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     93
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)




Solution, exemple 1.17 :

                                           Tableau 1.30

                                  Calculs pour EQM et EQMt
                     t       Xt        Pt         et        e t2    EQMt
                     1       90       95,00     -5,00     25,00      25,00
                     2      105       93,00     12,00    144,00      36,90
                     3       95       96,00     -1,00      1,00      33,31
                     4      110       95,72     14,28    203,92      50,37
                     5       95       99,08     -4,08     16,65      47,00
                     6       90       98,75     -8,75     76,56      49,95
                     7      105       97,07      7,93     62,88      51,25
                     8      120       97,65     22,35    499,52      96,08
                     9      120      108,37     11,63    135,26      99,99
                    10      115      115,29     -0,29      0,08      90,00
                    11      125      115,12      9,88     97,61      90,76
                    12      115      121,82     -6,82     46,51      86,34
                    13      115      119,07     -4,07     16,56      79,36
                    14      125      118,04      6,96     48,44      76,27
                    15      115      120,77     -5,77     33,29      71,97
                    16      120      119,82      0,18      0,03      64,78
                    17      120      119,85      0,15      0,02      58,30
                    18      105      119,88    -14,88    221,41      74,61
                    19       90      114,65    -24,65    607,62     127,91
                    20       95       98,29     -3,29     10,82     116,21
                    21      110       96,02     13,98    195,44     124,13
                    22       95       98,97     -3,97     15,76     113,29
                    23      105       97,85      7,15     51,12     107,08
                    24       90       98,30     -8,30     68,89     103,26
                                              Somme     2 578,43

Puisque la somme des erreurs au carré est de 2 578,43, on obtient :

                                  EQM = 2 578,43 / 24 = 107,43

À partir de EQM, on peut calculer ET de la façon suivante :

                         ET =     EQM      n  =     107,43 24 = 10,59
                                          n–1              23

Pour ce qui est de ETt, il suffit de prendre la racine carrée de la valeur de EQMt. Pour la
période 24, nous aurons :

                                    ET24 = 103,26 = 10,16




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      94
                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)


Le pourcentage de prévisions réussies (PPR)

La statistique PPR sert à évaluer dans quelle mesure un objectif ou un événement
prédéfini est atteint dans le processus de prévision. Un tel objectif pourrait être, par
exemple, d’obtenir des prévisions qui se situent à ± un certain pourcentage de la demande
réelle (par exemple, des prévisions à ± 10% de la demande réelle). L’idée est donc de
calculer le nombre de fois que cet objectif est atteint et d’exprimer ce résultat en
pourcentage par rapport au nombre total de prévisions effectuées :

                                          PPR = 100  ri
                                                      n

                                                 n i=1

avec

            ri = 1 si E est vrai et ri = 0 si E est faux;
            E : un événement prédéfini.


Exemple 1.18
À partir des prévisions présentées au tableau 1.30 de l’exemple précédent, calculez le
pourcentage de prévisions réussies si le critère pour considérer qu’une prévision est
réussie est qu’elle se situe à ± 8% de la demande réelle pour la période à laquelle elle se
rapporte.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   95
                                                                      Gestion des stocks (GPO-1004)




Solution, exemple 1.18 :

                                              Tableau 1.31

                                          Calcul de PPR

                  t       Xt       Pt             et    Xt – 8%   Xt + 8%     rt
                  1       90      95,00         -5,00    82,80      97,20      1
                  2      105      93,00         12,00    96,60     113,40      0
                  3       95      96,00         -1,00    87,40     102,60      1
                  4      110      95,72         14,28   101,20     118,80      0
                  5       95      99,08         -4,08    87,40     102,60      1
                  6       90      98,75         -8,75    82,80      97,20      0
                  7      105      97,07          7,93    96,60     113,40      1
                  8      120      97,65         22,35   110,40     129,60      0
                  9      120     108,37         11,63   110,40     129,60      0
                 10      115     115,29         -0,29   105,80     124,20      1
                 11      125     115,12          9,88   115,00     135,00      1
                 12      115     121,82         -6,82   105,80     124,20      1
                 13      115     119,07         -4,07   105,80     124,20      1
                 14      125     118,04          6,96   115,00     135,00      1
                 15      115     120,77         -5,77   105,80     124,20      1
                 16      120     119,82          0,18   110,40     129,60      1
                 17      120     119,85          0,15   110,40     129,60      1
                 18      105     119,88        -14,88    96,60     113,40      0
                 19       90     114,65        -24,65    82,80      97,20      0
                 20       95      98,29         -3,29    87,40     102,60      1
                 21      110      96,02         13,98   101,20     118,80      0
                 22       95      98,97         -3,97    87,40     102,60      1
                 23      105      97,85          7,15    96,60     113,40      1
                 24       90      98,30         -8,30    82,80      97,20      0
                                                                  Somme       15


                          PPR = 100  ri = 100 x (15/24) = 62,5%
                                          n

                                 n i=1




La détermination de la longueur d’un cycle saisonnier

Un problème important dans le domaine des prévisions consiste à déterminer la bonne
méthode de prévision à utiliser selon le type de données qui constitue la série
d’observations pour laquelle des prévisions doivent être obtenues. Dans le cas où cette
série comporte des variations saisonnières, on sait déjà que des méthodes comme le
lissage exponentiel à trois paramètres, ou la décomposition, seront des méthodes
appropriées. Cependant, dans ces deux cas, il est essentiel de déterminer, avant


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                         96
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d’effectuer des prévisions, la longueur du cycle saisonnier. Quelques fois, une analyse
visuelle du graphique des observations peut permettre d’identifier la longueur d’une
saisonnalité mais cette approche a ses limites. La plus contraignante est qu’il peut
s’avérer impossible d’inspecter visuellement toutes les séries de consommations pour
déterminer la présence d’une saisonnalité et la longueur du cycle saisonnier. La plupart
des entreprises ont à effectuer des prévisions sur une quantité telle de séries de
consommation qu’un traitement aussi lent qu’une inspection visuelle rend la démarche
inapplicable. Une autre limite de l’inspection visuelle est qu’il peut s’avérer difficile de
détecter la présence et la longueur d’une saisonnalité car les variations saisonnières
peuvent être de faible amplitude.

La plupart des systèmes permettant d’effectuer des prévisions, comme SAGEM, sont
dotés d’outils d’analyse qui rendent possible une analyse statistique informatisée des
données afin de détecter la présence d’un cycle saisonnier et la longueur de celui-ci. Les
deux méthodes les plus souvent utilisées sont l’analyse des autocorrélations et la
statistique de Durbin-Watson.

L’analyse des autocorrélations

L’autocorrélation est une mesure du degré de dépendance entre les observations d’une
série chronologique et ces mêmes observations décalées d’un certain nombre de
périodes :

                                          
                                          T
                                                Xi – X Xi – k – X
                                        i=k+1
                                 rk =
                                                
                                                T
                                                               2
                                                      Xi – X
                                                i=1


Dans l’équation précédente, k représente l’ordre de l’autocorrélation calculée, les Xi
représentent les observations originales et les Xi-k+1 représentent ces mêmes observations
décalées de k prériodes. Il est à noter que la valeur de rk est un nombre qui est toujours
compris entre –1 et 1. Plus la valeur de rk est près de 0, plus l’autocorréaltion est faible et
plus elle est près de –1 ou de 1, plus elle est forte; une autocorrélation négative indique
que les valeurs de la série originale varient en sens inverse des valeurs de la série décalée
alors qu’une autocorrélation positive indique que les valeurs de la série originale varient
dans le même sens que les valeurs de la série décalée. De plus, une autocorrélation de –1
ou de 1 est une autocorrélation parfaite, indiquant que les deux séries (originale et
décalée) forment une droite sur le graphique qui les met en relation.

Le tableau 1.32 présente, pour les données de l’exemple 1.13, les données originales ainsi
que ces mêmes données décalées pour des valeurs de k=1, k=2, k=3 et k=4. À partir de
ces informations, il est alors possible de calculer, pour les quatre valeurs de k, les
autocorrélations r1, r2, r3 et r4 (voir exemple 1.19).

L’autocorrélation est une statistique très importante en prévision car elle permet
d’effectuer une analyse sur les données afin de déterminer la longueur d’un cycle


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                       97
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saisonnier en identifiant l’ordre de l’autocorrélation la plus élevée. Le principe est que si
des observations sont affectées par la présence d’un cycle saisonnier, l’autocorrélation
d’ordre L (la longueur du cycle saisonnier) sera, parmi toutes les autres autocorrélations
d’ordre k, la plus importante. Pour déterminer la longueur d’un éventuel cycle saisonnier,
il suffit donc de calculer les autocorrélations de différents ordres et de les comparer à
l’aide d’un graphique ou de considérer directement les résultats numériques obtenus.
Généralement, les autocorrélations d’ordre k = 1, …, 12 sont calculées puisque la plupart
du temps, la longueur des cycles saisonniers est d’au plus 12 périodes si les données sont
exprimées en mois.

                                          Tableau 1.32

                 Demandes décalées pour les données de l’exemple 1.13

                période     demande       k=1      k=2       k=3          k=4
                   1          362
                   2          385         362
                   3          432         385      362
                   4          341         432      385       362
                   5          382         341      432       385          362
                   6          409         382      341       432          385
                   7          445         409      382       341          432
                   8          335         445      409       382          341
                   9          360         335      445       409          382
                  10          375         360      335       445          409
                  11          440         375      360       335          445
                  12          355         440      375       360          335



Exemple 1.19
À partir des données du tableau 1.32, calculez les coefficients d’autocorrélation rk pour
des valeurs de k=1, …, 4. Tracez le graphique des autocorrélations calculées et indiquez
à quelle conclusion vous en arrivez.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      98
                                                                             Gestion des stocks (GPO-1004)




Solution, exemple 1.19 :

                                                 Tableau 1.33

                     Calculs pour les autocorrélations d’ordre k=1, …, 4

                                                                                                2
           période     demande            r1           r2          r3          r4      Xi – X

              1            362                                                           532,84
              2            385             1,92                                           0,01
              3            432            -3,91     -1 082,99                           2 201,17
              4            341         -2 068,24       3,67      1 017,59               1 943,34
              5            382           135,92      -144,66       0,26       71,17       9,51
              6            409           -73,74     -1 054,33    1 122,09     -1,99      572,01
              7            445         1 433,01      -184,74    -2 641,33   2 811,09    3 590,01
              8            335         -3 000,83    -1 197,83     154,42    2 207,84    2 508,34
              9            360         1 256,26     -1 502,91    -599,91      77,34      629,17
             10            375           252,92       505,01     -604,16    -241,16      101,67
             11            440          -553,74     -1 377,49   -2 750,41   3 290,42    3 015,84
             12            355         -1 652,08      303,34      754,59    1 506,67     905,01
           moyenne        385,08       -4 272,51    -5 732,93   -3 546,85   9 721,39   16 008,92

                            rk         -0,2669       -0,3581     -0,2216    0,6072



                                                   Figure 1.29

                                   Graphique des autocorrélations

                0,8000

                0,6000

                0,4000

                0,2000
           rk




                0,0000
                                   1                   2                3               4
                -0,2000

                -0,4000

                -0,6000
                                               ordre k des autocorrélations




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                99
                                                                     Gestion des stocks (GPO-1004)


Les résultats présentés au tableau 1.33 et à la figure 1.29 indiquent bien qu’une
autocorrélation positive importante (plus de 0,6) se retrouve pour k = 4. Cette
constatation permet de supporter l’hypothèse selon laquelle un cycle saisonnier de
longueur L = 4 périodes contribue à expliquer les fluctuations observées dans les données.
De plus, une autocorrélation négative d’ordre 2 de près de 0,4 indique la présence d’un
lien inverse relativement important entre les observations comprises dans le creux des
cycles et celles comprises dans le haut des cycles (voir figure 1.24).



L’analyse de l’autocorrélation peut également être utilisée pour détecter la présence d’une
tendance dans les observations. Cette fois-ci, les autocorrélations d’ordre 1 seront plutôt
considérées. En effet, si une tendance additive existe (taux d’augmentation ou de
diminution constant), il existera un lien entre les observations de la série originale et
celles de la série décalée d’une période; un coefficient d’autocorrélation d’ordre 1 élevé
sera alors observé.       Si la tendance est du type multiplicatif, une importante
autocorrélation d’ordre 2 sera également observée si l’effet multiplicatif est significatif.


La statistique de Durbin-Watson (D-W)

Afin d’évaluer une méthode de prévision, il est important de s’assurer, entre autres
choses, que les erreurs de prévision sont indépendantes les unes des autres. Une
technique qui est fréquemment utilisée en ce sens est le test de Durbin-Watson. Ce test
consiste à vérifier si l’autocorrélation des erreurs de prévision peut être considérée
comme étant statistiquement nulle. Définissons la statistique D-W comme suit:

                                             
                                              n                  2
                                                   ei – ei – 1
                                     D–W = i = 2
                                                   e
                                                    n
                                                         2
                                                         i
                                                   i=1


Si D-W<2, il y a une autocorrélation positive dans les erreurs de prévision et si D-W>2, il
y a une autocorrélation négative dans les erreurs de prévision. La statisque D-W doit être
près de 2 pour qu’il n’y ait pas d’autocorrélation. Mais la notion de près de 2 étant une
notion floue, un test statistique est nécessaire pour déterminer si la valeur de D-W
calculée est significativement différente de 2 ou non. La figure suivante (figure 1.30)
illustre la distribution de la statistique de Durbin-Watson.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                       100
                                                                    Gestion des stocks (GPO-1004)




                                               Figure 1.30

                              Distribution pour la statistique D-W




                          0   dL dU                 2         4-dU 4-dL 4


Afin de déterminer si la statistique de Durbin-Watson est significativement différente de
2, il faut premièrement calculer D-W. Ensuite, il faut aller lire dans la table ci-dessous
(tableau 1.33), les valeurs de dL et dU en fonction du nombre k de variables indépendantes
et en fonction de T, le nombre d’observations. Dans le cas des méthodes de prévision de
ce chapitre, le nombre de variables indépendantes est toujours k=1 puisque les prévisions
sont obtenues à partir d’une seule variable, à savoir les observations passées. Une fois les
valeurs de dL et dU trouvées, il faut calculer les valeurs 4-dU et 4-dL. La régle de décision
pour déterminer si la statistique D est significativement différente de 2 sera alors:
            si dU < D-W < 4-dU, D-W n’est pas significativement différent de 2;
            si D-W < dL ou D-W > 4-dL, D-W est significativement différent de 2;
            si dL < D-W < dU ou 4-dU < D-W < 4-dL, on ne peut conclure.


Exemple 1.20
Considérez les données suivantes qui présentent les erreurs de prévision pour les 16
dernières périodes et calculez la statistique de Durbin-Watson. Est-ce que ces erreurs de
prévision dénotent une autocorrélation significative?

                                               Tableau 1.32

                                 Données pour l’exemple 1.20

                      t                  et              t          et
                      1               -63,82             9        -27,85
                      2               -56,44            10        -20,06
                      3               -14,79            11        -17,06
                      4                -9,31            12        -17,35
                      5                 7,62            13         8,38
                      6                12,86            14        13,55
                      7                29,57            15        23,19
                      8                34,61            16        41,87




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      101
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




                                          Tableau 1.33

  Valeurs de dL et dU (à un seuil de 90% ) pour le test sur la statistique de Durbin-
                                       Watson
                          (pour k=1 variable indépendante)

                        T                  dL                   dU
                        12                1,00                 1,33
                        13                1,02                 1,34
                        14                1,05                 1,35
                        15                1,08                 1,36
                        16                1,10                 1,37
                        17                1,13                 1,38
                        18                1,16                 1,39
                        19                1,18                 1,40
                        20                1,20                 1,41
                        21                1,22                 1,42
                        22                1,24                 1,43
                        23                1,26                 1,44
                        24                1,27                 1,45
                        25                1,29                 1,45
                        26                1,30                 1,46
                        27                1,32                 1,47
                        28                1,33                 1,48
                        29                1,34                 1,48
                        30                1,35                 1,49
                        31                1,36                 1,50
                        32                1,37                 1,50
                        33                1,38                 1,51
                        34                1,39                 1,51
                        35                1,40                 1,52
                        36                1,41                 1,52
                        37                1,42                 1,53
                        38                1,43                 1,54
                        39                1,43                 1,54
                        40                1,44                 1,54
                        45                1,48                 1,57
                        50                1,50                 1,59
                        55                1,53                 1,60
                        60                1,55                 1,62
                        65                1,57                 1,63
                        70                1,58                 1,64
                        75                1,60                 1,65
                        80                1,61                 1,66
                        85                1,62                 1,67
                        90                1,63                 1,68
                        95                1,64                 1,69
                       100                1,65                 1,69
Source: Durbin J. et Watson G.S., “Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression”,
        Biometrica, vol. 38, pp.159-177, 1951.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    102
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Solution, exemple 1.20
Le tableau 1.34 présente les calculs pour la statistique D-W. La troisième colonne
représente le carré de la différence entre les termes d’erreur de deux périodes
consécutives et la quatrième colonne représente le carré des erreurs de chaque période.

                                          Tableau 1.34

                              Calculs pour la statistique D-W

                          t         et        (et - et-1)2       (et)2
                          1     -63,82                        4 072,99
                          2     -56,44       54,46            3 185,47
                          3     -14,79           1 734,72      218,74
                          4     -9,31        30,03              86,68
                          5      7,62       286,62              58,06
                          6     12,86        27,46             165,38
                          7     29,57       279,22             874,38
                          8     34,61        25,40            1 197,85
                          9     -27,85           3 901,25      775,62
                         10     -20,06       60,68             402,40
                         11     -17,06        9,00             291,04
                         12     -17,35        0,08             301,02
                         13      8,38       662,03              70,22
                         14     13,55        26,73             183,60
                         15     23,19        92,93             537,78
                         16     41,87       348,94            1 753,10
                                Somme            7 539,58    14 174,36

La statistique de Durbin-Watson est donc: D-W = 7 539,58÷14 174,36 = 0,5319.

Le tableau de la page précédente nous donne les valeurs de dL=1,10 et dU=1,37 pour T=16
observations. Puisque la valeur de D-W est plus petite que dL, on conclut que
D-W=0,5319 est significativement plus petit que 2 et que les erreurs de prévision sont
positivement corrélées entre elles.



Il est à noter que lorsque la présence d’autocorrélation dans les erreurs de prévision est
détectée (D-W < dL ou D-W > 4-dL, D-W est significativement différent de 2), il faut
effectuer une analyse des autocorrélations dans les observations pour déterminer s’il n’y a
pas la présence d’une tendance ou d’une saisonnalité, principaux facteurs qui expliquent
que les erreurs de prévisions sont elles aussi autocorrélées.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    103
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)




Signal d’alerte
Dans le processus de prévision, il se peut que le choix de la méthode de prévision soit à
revoir si les nouvelles observations font en sorte que les données ne correspondent plus à
la méthode initialement sélectionnée. Par exemple, une série stationnaire pour laquelle
un lissage exponentiel simple avait été choisi peut se transformer, avec le temps, en une
série avec une tendance ou avec des variations saisonnières. Il est important de pouvoir
détecter de tels changements dans la structure des données afin, s’il y a lieu, de procéder à
une modification de la méthode utilisée ou de la valeur de l’un ou plusieurs de ses
paramètres. Le recours à un signal d’alerte permet d’effectuer un suivi sur les erreurs de
prévision afin de détecter de tels changements structurels.

Un premier signal d’alerte consiste à comparer la somme des erreurs de prévision jusqu’à
une période t avec la valeur de EMAt (pour la même période t) :

                                                  
                                                   t
                                                        Xi – Pi
                                                  i=1
                                          TSt =
                                                       EMA t

Normalement, si la bonne méthode de prévision est utilisée par rapport au type de
données pour lesquelles des prévisions sont effectuées, les erreurs de prévisions devraient
être non biaisées de sorte que la somme des erreurs de prévision sera près de 0. Dans ce
cas, les valeurs de TSt seront elles aussi faibles, reflétant le fait que la méthode de
prévision semble donner des résultats satisfaisants. Si, pour une raison quelconque, les
données changent de comportement et deviennent incompatibles avec la méthode de
prévision utilisée, des erreurs de prévision du même signe vont commencer à être
observées d’une période à l’autre et la somme de ces erreurs s’éloignera de 0 (un biais
positif ou négatif sera observé). La valeur de TSt augmentera alors et cette augmentation
sera d’autant plus rapide et importante que les erreurs de même signe seront grandes
(donc que la méthode de prévision sera inadéquate par rapport aux données.

Pour opérationnaliser l’utilisation du signal d’alerte TSt, il faut comparer les valeurs
obtenues à chaque période avec une valeur critique à ne pas dépasser. Généralement,
cette valeur est de TS* = 4. Ainsi, si |TSt| > TS*, l’utilisateur devra envisager une révision
de la méthode de prévision utilisée (ou de l’un des paramètres) ou encore trouver la cause
permettant d’expliquer le comportement des données qui fait en sorte que la valeur de
TS* est excédée (par exemple, la présence d’une valeur aberrante dans une des nouvelles
observations).

Un autre signal d’alerte qui est d’une grande utilité est le signal de Trigg :

                                           SAt = |Et / Mt|

                                      Et = et + (1-)Et-1


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     104
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                                     Mt = |et| + (1-)Mt-1

avec 0 <  < 1.

Le signal de Trigg effectue le même travail que le signal TSt mais d’une façon différente.
En fait, le signal de Trigg fonctionne de la même manière que le lissage exponentiel
simple adaptatif pour le calcul des valeurs de t (voir exemple 1.5) et l’idée de base réside
toujours dans la comparaison du biais avec l’erreur absolue. Toutefois, les valeurs de SAt
sont calculées à partir d’un lissage exponentiel simple des erreurs de prévision (Et) et des
erreurs absolues (Mt). C’est le ratio de ces deux valeurs qui donne, d’une période à
l’autre, la valeur du signal d’alerte SAt (tout comme dans le cas du lissage exponentiel
adaptatif, ce ratio fournissait la valeur de t).

Dans le cas du signal de Trigg, des valeurs de =0,1 ou =0,2 sont généralement utilisées.
L’avantage d’utiliser le signal de Trigg tient au fait que des probabilités peuvent être
associées à certaines valeurs de SAt calculées selon la constante de lissage utilisée. Ainsi,
la valeur de SAt indique des erreurs de prévision non aléatoires avec :

                 une probabilité de 95% si la valeur de SAt excède 0,51 pour
                  une constante de lissage =0,1;
                 une probabilité de 95% si la valeur de SAt excède 0,74 pour
                  une constante de lissage =0,2.

Par conséquent, plus la valeur de SAt est grande pour une valeur de  donnée, plus le
seuil de confiance est élevé et pour une valeur de SAt donnée, plus la valeur de  est
grande, moins le seuil de confiance est élevé.


Exemple 1.21
À partir des données de l’exemple 1.5, calculez les valeurs de TSt et de SAt pour toutes
les périodes. Pour les calculs de EMAt, utilisez une constante de lissage =0,1 et une
valeur initiale EMA1 = |e1|. Pour les calculs de SAt, utilisez =0,2 comme constante de
lissage et les valeurs initiales E1 = e1 ainsi que M1 = |e1|.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   105
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Solution, exemple 1.21 :

                                          Tableau 1.35

                        Calculs pour les signaux d’alerte TSt et SAt

        t     Xt     Pt        et      |et|   EMAt      Et      Mt      et    TSt    SAt
        1     90    95,00    -5,00      5      5,00   -5,00    5,00     -5    -1,00   1,00
        2    105    93,00   12,00      12      5,70   -1,60    6,40      7    1,23    0,25
        3     95    96,00    -1,00      1      5,23   -1,48    5,32      6    1,15    0,28
        4    110    95,72   14,28    14,28     6,14   1,67     7,11   20,28   3,31    0,24
        5     95    99,08    -4,08    4,08     5,93   0,52     6,51    16,2   2,73    0,08
        6     90    98,75    -8,75    8,75     6,21   -1,33    6,95    7,45   1,20    0,19
        7    105    97,07    7,93     7,93     6,38   0,52     7,15   15,38   2,41    0,07
        8    120    97,65   22,35    22,35     7,98   4,89    10,19   37,73   4,73    0,48
        9    120   108,37   11,63    11,63     8,35   6,23    10,48   49,36   5,91    0,60
       10    115   115,29    -0,29    0,29     7,54   4,93     8,44   49,07   6,51    0,58
       11    125   115,12    9,88     9,88     7,77   5,92     8,73   58,95   7,58    0,68
       12    115   121,82    -6,82    6,82     7,68   3,37     8,35   52,13   6,79    0,40
       13    115   119,07    -4,07    4,07     7,32   1,88     7,49   48,06   6,57    0,25
       14    125   118,04    6,96     6,96     7,28   2,90     7,38   55,02   7,56    0,39
       15    115   120,77    -5,77    5,77     7,13   1,17     7,06   49,25   6,91    0,16
       16    120   119,82    0,18     0,18     6,44   0,97     5,69   49,43   7,68    0,17
       17    120   119,85    0,15     0,15     5,81   0,80     4,58   49,58   8,54    0,18
       18    105   119,88   -14,88   14,88     6,71   -2,33    6,64    34,7   5,17    0,35
       19     90   114,65   -24,65   24,65     8,51   -6,80   10,24   10,05   1,18    0,66
       20     95    98,29    -3,29    3,29     7,99   -6,09    8,85    6,76   0,85    0,69
       21    110    96,02   13,98    13,98     8,59   -2,08    9,88   20,74   2,42    0,21
       22     95    98,97    -3,97    3,97     8,12   -2,46    8,70   16,77   2,06    0,28
       23    105    97,85    7,15     7,15     8,03   -0,54    8,39   23,92   2,98    0,06
       24     90    98,30    -8,30     8,3     8,05   -2,09    8,37   15,62   1,94    0,25

Pour le signal d’alerte TSt, le tableau 1.35, avant-dernière colonne, montre bien qu’à
partir de la période 8, la valeur critique TS* = 4 est excédée. En examinant la colonne des
termes d’erreur (et), on constate effectivement qu’à partir de la période 8, de nombreuses
erreurs de prévision sont positives et importantes, faisant en sorte que la valeur de TSt
augmente. Pour ce qui est du signal de Trigg, on observe que pour ces mêmes périodes,
les valeurs de SAt sont elles aussi importantes. Même si elles n’excèdent pas le seuil de
0,74 qui correspond à une probabilité de 95% que les erreurs de prévision ne soient pas
aléatoires lorsque =0,2, on peut quand même penser que les valeurs de SAt sont
suffisamment importantes pour constituer un avertissement quant à la présence de
variations, dans les données, qui ne sont pas prises en compte par la méthode de prévision
utilisée.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                        106
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La sélection d’une méthode de prévision et de ses paramètres à partir des
données historiques et des statistiques sur les erreurs de prévision
La plupart des systèmes de gestion des ressources matérielles qui effectuent des
prévisions se basent sur l’ajustement des prévisions aux données historiques pour
déterminer la méthode à utiliser ainsi que la valeur des paramètres. L’approche est
relativement simple mais nécessite le recours à un ordinateur pour effectuer la grande
quantité de calculs requis.

En fait, la sélection d’une méthode de prévision et de ses paramètres basée sur
l’ajustement des prévisions aux données historiques consiste à générer des prévisions à
partir des observations passées pour un certain nombre de périodes dont la demande réelle
est connue. Par exemple, si une série chronologique de 24 périodes est disponible, les 12
premières périodes peuvent servir à initialiser la méthode de prévision et à amorcer les
calculs afin que les conditions initiales n’aient plus d’impact et les 12 dernières périodes
peuvent être utilisées pour générer des prévisions une période en avant comme si, à
chaque fois, la demande de cette période n’était pas encore connue. De cette façon,
plusieurs méthodes de prévision peuvent être testées et des centaines de valeurs
différentes, pour les paramètres, peuvent être essayées et combinées. En bout de ligne, la
méthode de prévision et les paramètres qui seront retenus pour effectuer les vraies
prévisions seront celles ayant procuré les meilleurs résultats, sur la base des différentes
statistiques sur les erreurs de prévision.


Exemple 1.22
Reprenons les données de l’exemple 1.21. À partir des statistiques EM, EMA et PMEA,
quelle méthode de prévision, parmi celles énumérées ci-dessous, choisiriez-vous pour
effectuer les prévisions pour les périodes 25 et suivantes :

                          moyenne mobile d’ordre 3;
                          moyenne mobile d’ordre 4;
                          lissage exponentiel simple avec  = 0,2;
                          lissage exponentiel simple avec  = 0,3;
                          lissage exponentiel adaptatif avec  = 0,1.

Pour les deux méthodes de lissage exponentiel simple, utilisez comme valeur initiale
P1=X1. Pour le lissage exponentiel adaptatif, utilisez P1 = X1, E1=e1, M1=|e1| et 1 = 0,2.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    107
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Solution, exemple 1.22 :

Le tableau suivant (tableau 1.36) présente les prévisions obtenues sur les données
historiques à partir des 5 méthodes à tester.

                                          Tableau 1.36

                       Prévisions pour les cinq méthodes à analyser

       t        Xt       MM(3)            MM(4)     LES(=0,2)   LES(=0,3)   LEA(=0,1)
       1       90                                      90,00        90,00        90,00
       2       105                                     90,00        90,00        90,00
       3       95                                      93,00        94,50       105,00
       4       110            96,67                    93,40        94,65       103,51
       5       95            103,33       100,00       96,72        99,26       105,77
       6       90            100,00       101,25       96,38        97,98       105,14
       7       105            98,33        97,50       95,10        95,58        99,68
       8       120            96,67       100,00       97,08        98,41       100,79
       9       120           105,00       102,50      101,66       104,89       103,94
      10       115           115,00       108,75      105,33       109,42       109,56
      11       125           118,33       115,00      107,27       111,09       111,74
      12       115           120,00       120,00      110,81       115,27       118,43
      13       115           118,33       118,75      111,65       115,19       116,94
      14       125           118,33       117,50      112,32       115,13       116,18
      15       115           118,33       120,00      114,86       118,09       120,32
      16       120           118,33       117,50      114,88       117,16       118,44
      17       120           120,00       118,75      115,91       118,01       119,02
      18       105           118,33       120,00      116,73       118,61       119,39
      19       90            115,00       115,00      114,38       114,53       118,26
      20       95            105,00       108,75      109,50       107,17       110,63
      21       110            96,67       102,50      106,60       103,52       104,52
      22       95             98,33       100,00      107,28       105,46       106,20
      23       105           100,00        97,50      104,83       102,32       101,83
      24       90            103,33       101,25      104,86       103,13       102,90

À partir de ce tableau, les statistiques sur les erreurs de prévision ont été calculées pour
les 5 méthodes à partir de la période 13 jusqu’à la période 24. Les résultats obtenus sont
les suivants :

                     MM(3)            MM(4)        LES(=0,2)    LES(=0,3)     LEA(=0,1)
     EM              -3,75            -4,38         -4,07         -4,44           -5,80
    EMA               8,19             8,75          8,89          8,42            9,14
   PMEA               8,23             8,75          8,92          8,49            9,27

On constate que pour les trois statistiques sur les erreurs de prévision, la méthode qui
semble donner les meilleurs résultats est la moyenne mobile d’ordre 3.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    108
                                                                 Gestion des stocks (GPO-1004)




Sélection d’une méthode de prévision pour un produit sans historique
Un problème qui se pose fréquemment en prévision est celui de prévoir la demande pour
des produits sans historique de consommation. De tels cas sont relativement fréquents et
il n’existe pas de façon formelle de les traiter. Le gestionnaire confronté à une telle
situation n’a qu’un choix limité d’approche. Une possibilité consiste à prévoir la
demande des produits sans historique en se basant uniquement sur des études de marché.
Il s’agit peut-être de la façon la plus efficace mais si de nombreux produits sont
considérés, la démarche peut s’avérer fastidieuse. Ce pourrait être le cas, par exemple,
d’une entreprise qui commence à effectuer des prévisions à l’aide d’un système de gestion
des ressources matérielles nouvellement implanté alors que dans le passé, les données
portant sur la demande des produits n’ont pas été amassées et sauvegardées.

Une autre possibilité consiste à utiliser, comme données historiques, une série
d’observations pour un produit dont le niveau moyen de la demande et le comportement
de celle-ci sont semblables à ceux du produit pour lequel il n’existe pas d’historique. Il
faut toutefois demeurer prudent avec une telle approche car elle ne repose sur aucun
principe scientifique et seule l’expérience et le jugement du gestionnaire chargé d’établir
les prévisions sont garants de la qualité des résultats obtenus.

La troisième possibilité est de demander, si la situation rend possible cette approche, aux
vendeurs des produits concernés de fournir leur propre prévisions des ventes qu’ils
effectueront. Cette approche peut s’avérer valable si les estimations fournies par les
vendeurs ne sont pas en conflit avec des objectifs personnels de ceux-ci comme, par
exemple, une rémunération basée sur l’atteinte de certains quotas. Dans un tel cas, il se
pourrait que les prévisions fournies par l’équipe de vente soient très conservatrices afin de
faciliter l’atteinte des objectifs de vente.


Lien entre la distribution des erreurs de prévision et la distribution de la
demande
Au début de la section portant sur les erreurs de prévision, il a été mentionné que celles-ci
étaient une source utile d’information pour quatre raisons. Une de celles-ci est que les
erreurs de prévision, sous certaine conditions, servent à estimer l’écart-type de la
demande des produits correspondants. Nous allons donc examiner quelles sont ces
conditions et comment, en général, les erreurs de prévision permettent d’estimer la
distribution de la demande.

La première condition a déjà été mentionnée plus tôt dans ce chapitre. Pour que la
distribution des erreurs de prévision constitue une bonne approximation à la distribution
de la demande, il faut premièrement que les prévisions soient non biaisées, c’est-à-dire


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   109
                                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)


une valeur de EM près de 0 et non significativement différente de 0. Cette condition est
relativement facile à vérifier : la valeur de EM permet d’évaluer directement la présence
d’un biais dans les prévisions et pour déterminer si cette valeur est significativement
différente de 0 ou non, il n’y a qu’à la comparer avec l’ordre de grandeur des données
pour lesquelles des prévisions ont été effectuées et sur la base desquelles la statistique
EM a été calculée. Par exemple, une valeur de EM = 20 représente un biais moyen de 2%
pour des données dont l’ordre de grandeur est dans les milliers d’unités (ce qui est non
significatif) alors que ce biais est de 20% pour des données dont l’ordre de grandeur est
dans les centaines (ce qui est significatif). De façon générale, un biais inférieur à 10%
pourrait être considéré comme non significatif.

La deuxième condition est que les erreurs de prévision doivent être distribuées
aléatoirement alentour de 0 (si l’erreur moyenne indique un biais non significatif, on
suppose que la valeur de EM n’est pas significativement différente de 0). Il existe des
tests statistiques pour tester l’hypothèse selon laquelle cette deuxième condition est
respectée mais généralement, une inspection visuelle du graphique des erreurs de
prévision permet de voir rapidement si les erreurs de prévision sont réparties
aléatoirement. Pour pouvoir dire, à partir d’une inspection visuelle, si les erreurs de
prévision sont distribuées aléatoirement, il faut constater que celles-ci sont dispersées
sans allure spécifique (répétitions cycliques, tendance, beaucoup plus d’erreurs d’un signe
que de l’autre). La figure 1.31 illustre ce qui, typiquement, peut être considéré comme
des erreurs de prévision distribuées aléatoirement alentour de 0.

                                                         Figure 1.31

                                 Erreurs de prévision distribuées aléatoirement alentour de 0

                               100,00
                                80,00
                                60,00
       erreurs de prévision




                                40,00
                                20,00
                                 0,00
                               -20,00   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
                               -40,00
                               -60,00
                               -80,00
                              -100,00
                                                                 période



Enfin, la troisième condition est que la meilleure méthode de prévision possible ait été
utilisée. Cette condition est souvent difficile à vérifier car il n’existe pas de moyen de
savoir dans quelle mesure de meilleures prévisions auraient pu être obtenues dans le passé


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                  110
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)


et surtout si, pour les périodes futures, de meilleurs résultats pourraient être obtenus en
utilisant une autre méthode de prévision; après tout, le futur est incertain et rien ne permet
de savoir, a priori, si l’utilisation d’une méthode de prévision en particulier vaut mieux
qu’une autre. Toutefois, il est possible de se faire une idée quant à l’adéquation entre la
méthode de prévision utilisée et le type de données sur laquelle elle est utilisée en
considérant le PMEA. En effet, plus le pourcentage moyen d’erreur absolue est bas,
meilleure sont les chances que la méthode de prévision soit adéquate.

Si les trois conditions énumérées précédemment sont respectées (prévisions non biaisées,
erreurs de prévision distribuées aléatoirement alentour de 0 et PMEA le plus petit
possible), la distribution de la demande peut être caractérisée de la façon suivante :

Demande moyenne pour une période t : Pt
Écart-type de la demande pour une période t : ET =       EQM     n      ou ET t = EQM t
                                                                n–1

L’écart-type de la demande pour une période t peut aussi être estimé à partir de l’erreur
moyenne absolue de la façon suivante si on suppose que les erreurs de prévision suivent
une distribution normale :

                            ET = 1,25 EMA ou ETt = 1,25 EMAt

Il reste maintenant à spécifier la forme de la distribution des erreurs de prévision. Deux
cas sont généralement considérés : la demande se rapporte à un produit à forte circulation
(fast mover) ou la demande se rapporte à un produit à faible circulation (slow mover;
demande moyenne par période inférieure ou égale à 10 unités).

Pour les produits à forte circulation, on suppose généralement que les erreurs de prévision
suivent une distribution normale de moyenne 0 et de variance EQM (ou EQMt). Pour ce
qui est de la distribution de la demande à une période t, elle suivra alors une distribution
normale de moyenne Pt et de variance EQM (ou EQMt).

Pour les produits à faible circulation, on suppose généralement que la demande suit une
distribution de Poisson de moyenne Pt (la distribution de Poisson étant caractérisée par le
seul paramètre qu’est la moyenne).

Le chapitre portant sur la gestion des stocks reprend ces considérations pour permettre
d’effectuer les calculs nécessaires à la détermination du stock de sécurité.


Intervalles de confiance pour les prévisions
Dans le processus de prévision, il est important de pouvoir disposer d’une estimation
ponctuelle de la demande future (valeur prévue pour une période donnée). Pour des fins
de gestion et d’analyse, il peut également s’avérer important de pouvoir spécifier, à un


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    111
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)


seuil de confiance donné, un intervalle qui, selon toute vraisemblance, contiendra la
demande réelle de la période pour laquelle une prévision est effectuée. Pour établir de
tels intervalles, trois cas sont considérés : le cas où la distribution des erreurs de prévision
est connue, le cas où la distribution des erreurs de prévision est inconnue et le cas où la
méthode de prévision utilisée est la régression linéaire simple.

Cas où la distribution des erreurs de prévision est connue

Lorsque la distribution des erreurs de prévision est connue, un intervalle de confiance
pour la demande réelle d’une période t basée sur une prévision Pt est obtenue de la façon
suivante :

                                 Pt – Z/2   Xt  Pt + Z/2 

Pt est la prévision effectuée pour la période t, Z/2 est une valeur lue dans la table de la
distribution normale centrée-réduite, 1- est le seuil de confiance pour l’intervalle (
étant la probabilité que la demande réelle se situe à l’extérieur de l’intervalle) et  est
l’écart-type de la demande (voir section précédente). Le tableau suivant donne les valeurs
de Z/2 pour différentes valeurs de pour d’autres valeurs de /2, voir la table de la
distribution normale en annexe).

                                          Tableau 1.37

                       Valeurs de z/2 pour différentes valeurs de 

                                                   Z/2
                                    0,001             3,100
                                    0,005             2,575
                                    0,010             2,327
                                    0,025             1,960
                                    0,050             1,645
                                    0,075             1,439
                                    0,100             1,281


Dans le cas où la demande se rapporte à des articles à faible circulation, il faut utiliser la
distribution de Poisson pour établir un intervalle de confiance. Selon cette distribution, la
probabilité d’observer une demande mensuelle Xt égale à une certaine valeur x étant
donné que la demande mensuelle moyenne est de  unités est donnée par l’expression
(voir aussi les tables de la distribution de Poisson en annexe) :

                                  P(Xt = x | ) = (e- x) / x!




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     112
                                                                     Gestion des stocks (GPO-1004)


Pour déterminer, à un seuil 1-, un intervalle de confiance avec la distribution de Poisson
(connaissant ), il faut en premier déterminer la borne inférieure de l’intervalle en
trouvant la plus grande valeur de xinf telle que :

                                    P(Xt  xinf | )  1 - /2

Une fois la borne inférieure trouvée, il faut déterminer la borne supérieure en cherchant la
plus petite valeur de xsup telle que :

                                     P(Xt  xsup | )  /2

L’intervalle de confiance sera alors :

                                          xinf  Xt  xsup


Cas où la distribution des erreurs de prévision est inconnue

Lorsque la distribution des erreurs de prévision est inconnue et qu’il ne semble pas
approprié de poser l’hypothèse qu’elles suivent la distribution normale ou la distribution
de Poisson, il est quand même possible de déterminer un intervalle de confiance pour la
demande réelle Xt :

                           Prob Pt – k   Xt  Pt + k   1 – 12
                                                               k

Dans cette expression, k est un multiple de l’écart-type et  est l’écart-type de la
demande. Connaissant Pt et , il est alors possible de définir un intervalle de confiance
pour Xt à ± k écart-types de la prévision et la probabilité que la demande Xt soit dans cet
intervalle est d’au moins 1 – 1/k2.

Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Chebychev et elle est valide peu
importe la distribution de la demande, pour autant que l’on dispose de la prévision et
d’une estimation pour . L’intervalle de confiance ainsi obtenu n’est pas aussi précis que
si l’on utilisait la vraie distribution de la demande mais puisque que dans certaines
situations, cette distribution est inconnue, l’utilisation de l’inégalité de Chebychev permet
au moins d’obtenir une approximation suffisante.

Dans le cas où la distribution exacte des erreurs de prévision demeure inconnue mais
qu’une analyse de celles-ci permet de considérer comme plausible l’hypothèse qu’elles
sont distribuées symétriquement alentour de 0, l’inégalité de Camp-Meidel permettra
d’obtenir un intervalle de confiance plus précis :

                         Prob Pt – k   Xt  Pt + k   1 –        1
                                                                 2,25 k2



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                       113
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




Exemple 1.23
Pour le modèle de chaises C-262 (voir exemple 1.1), Meublex a obtenu comme prévision
pour la période 13 la valeur P13 = 575 chaises. Une analyse des erreurs de prévision a
révélé que l’erreur quadratique moyenne est de EQM = 2 500 unités2 (calculée à partir de
10 prévisions).

a) En supposant qu’aucune autre information n’est disponible, déterminez un intervalle
   de confiance à 95% pour la demande de la période 13.
b) En supposant que la distribution des erreurs de prévision est symétrique alentour de
   0, refaites une estimation de l’intervalle de confiance à 95% pour la demande de la
   période 13.
c) En supposant que les erreurs de prévision suivent une distribution normale,
   recalculez l’intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 13.
d) Le modèle de chaises C-262 peut aussi être fabriqué avec l’option de dossier
   inclinable. Toutefois la demande de cette option est relativement faible et se situe à
   environ 5 unités par mois. À partir de cette information, déterminez un intervalle de
   confiance à 90% pour la demande de cette option pour la période 13.

Solution, exemple 1.23 :

a) Pour la question a), puisque aucune information concernant la distribution des erreurs
   de prévision n’est disponible sauf la valeur de EQM, il faut utiliser l’inégalité de
   Chebychev pour calculer les bornes de l’intervalle de confiance.

    Puisque l’on veut un intervalle de confiance à 95%, il s’ensuit que :

                        Prob Pt – k   Xt  Pt + k   1 – 12 = 0,95
                                                            k

    De l’égalité 1 - 1/k2 = 0,95 on trouve k = 4,47.

    De plus, puisque EQM = 2 500, on peut calculer l’écart-type ET (ou ) de la façon
    suivante :

                       ET =  =       EQM    n  =        2 500 10 = 52,7
                                            n–1                9

    L’intervalle de confiance à 95% sera alors :

                                      Pt – k  Xt  Pt + k 

                             575 – 4,47(52,7)  Xt  575 + 4,47(52,7)



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    114
                                                                        Gestion des stocks (GPO-1004)


                                           339  Xt  811

b) Puisque l’on spécifie que la distribution des erreurs de prévision est symétrique,
   l’intervalle de confiance à 95% peut être déterminé en utilisant l’inégalité de Camp-
   Meidel.

                         Prob Pt – k   Xt  Pt + k   1 –          1
                                                                   2,25 k2

    De la même façon qu’en a), on trouve cette fois-ci une valeur de k = 2,98 et
    l’intervalle de confiance sera alors :

                             575 – 2,98(52,7)  Xt  575 + 2,98(52,7)

                                           418  Xt  732

c) Si les erreurs de prévision suivent une distribution normale, l’intervalle de confiance
   à 95% est :

                                 Pt –Z/2   Xt  Pt + Z/2 

    Puisque l’intervalle est à 95%, la valeur de  sera de 5% et on aura /2 = 0,025.
    Pour /2 = 0,025, le tableau 1.37 nous donne une valeur de Z/2 = 1,96. L’intervalle
    de confiance est alors :

                             575 – 1,96(52,7)  Xt  575 + 1,96(52,7)

                                           472  Xt  678

d) Pour l’option de dossier inclinable, la demande mensuelle moyenne n’est que de  =
   5 unités. Il faut donc déterminer l’intervalle de confiance en utilisant la loi de
   Poisson pour la distribution de la demande de cette option. Ici aussi,  = 0,05 d’où
   /2 = 0,025. Il faut premièrement déterminer la borne inférieure de l’intervalle de
   confiance de telle sorte que :

                                    P(Xt  xinf | )  1 - /2

    Pour  = 5, la distribution de Poisson nous donne les probabilités suivantes que la
    demande soit supérieure ou égale à des valeurs allant de 1 à 14 :

                     x        P(X  x |  = 5)       x           P(X  x |  = 5)
                     1            0,993              8               0,133
                     2            0,960              9               0,068
                     3            0,875             10               0,032
                     4            0,735             11               0,014



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                          115
                                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)


                     5              0,560                12                  0,005
                     6              0,384                13                  0,002
                     7              0,238                14                  0,001

    À partir de ces probabilités, on trouve que la plus grande valeur de x qui fait en sorte
    que P(Xt  xinf | )  1 - /2 est xinf = 1. Pour la borne supérieure, on trouve que la
    plus petite valeur de x qui fait en sorte que P(Xt  xsup | )  /2 est xsup = 11.
    L’intervalle de confiance sera alors :

                                                1  Xt  11




Intervalles de confiance pour les prévisions à partir d’une régression linéaire simple

Lorsque la méthode de prévision est la régression linéaire simple, l’obtention d’un
intervalle de confiance pour les prévisions nécessite le recours à des formules spécifiques
à cette méthode. On se rappelle que dans le cas d’une régression linéaire simple, la droite
de régression empirique est :

                                            Yt = b0 + b1Xt

Dans cette expression, Y est la variable dépendante (variable pour laquelle des prévisions
doivent être faites) et X est la variable indépendante (variable à partir de laquelle les
prévisions seront obtenues).

Pour les intervalles de confiance à partir d’une régression, deux cas sont possibles; soit la
prévision a été obtenue à partir d’une valeur déjà observée pour la variable indépendante
(X), soit à partir d’une valeur de X qui n’a jamais été observée. Pour une valeur de X
déjà observée, l’intervalle de confiance s’établit comme suit :

                                Yt – t 2;n – 2 s  Yt  Yt – t 2;n – 2 s

                                                                     2
                                                 1+         Xt – X
                               s=               n
                                                       
                                                        n
                                                                         2
                                                              Xi – X
                                                       i=1



Yt est la prévision de la variable dépendante Y pour la période t obtenue à partir de la
droite de régression et de la valeur de la variable indépendante X pour la même période t :

                                            Yt = b0 + b1Xt

s est l’écart-type de la prévision Yt et est obtenu à partir des n valeurs de X ayant servi à
déterminer la droite régression et à partir de X , la moyenne de X.


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                 116
                                                                                 Gestion des stocks (GPO-1004)




La valeur t/2;n-2 est lue dans une table de la distribution de Student (voir en annexe) où n
est le nombre d’observations et  est la probabilité spécifiée que l’intervalle de confiance
ne contienne pas la valeur réelle de Yt.

Pour une valeur de X jamais observée, l’intervalle de confiance s’établit comme suit :

                               Yt – t 2;n – 2 s  Yt  Yt – t  2;n – 2 s

                                                                         2
                                                                Xt – X
                             s =             1+ 1 +
                                                  n
                                                           
                                                            n
                                                                             2
                                                                 Xi – X
                                                           i=1



La seule différence entre le cas d’une valeur de X déjà observée et une valeur de X jamais
observée est que dans ce dernier cas, la droite de régression a été établie sans tenir compte
de cette information (puisque la valeur de X servant à obtenir la prévision est une
nouvelle observation), ce qui résulte en un écart-type de Yt (valeur de s) plus grand que
dans le cas où la valeur de X a déjà été observée.


Exemple 1.24

À partir des données de l’exemple 1.10 concernant les vente d’étagères E-929, effectuez
une prévision des ventes pour le prochain mois (période 13) si le budget publicitaire
prévu est de 45 000 $ et déterminez un intervalle de confiance à 95% pour les ventes de la
période 13. Refaites la même chose pour un budget publicitaire de 38 000 $.

Solution, exemple 1.24 :

L’équation de la droite de régression est :

                                      Y = 788,27 + 0,0158 X

La variable Y représente les ventes et la variable X, le budget publicitaire. Si le budget
publicitaire pour la période 13 est de 45 000 $, les ventes prévues seront alors :

                        Y13 = 788,27 + 0,0158(45 000) = 1 499 unités

Pour calculer un intervalle de confiance pour les ventes réelles de la période 13 (Y13), il
faut en premier calculer l’écart-type  des erreurs de prévision (voir tableau 1.38). Les
erreurs de prévision se calculent en prenant la différence, pour chaque valeur de X, entre
la valeur de Y correspondante et la valeur de Y calculée à l’aide de la droite de régression
empirique pour la même valeur de X.



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                   117
                                                                                      Gestion des stocks (GPO-1004)




                                                  Tableau 1.38

                      Calcul de l’écart-type des erreurs de prévision

          période      Yt                Xt                Yt              et      e t2       (Xi - X )2
              1       1 191            30 000             1 262           -71      5 041     62 678 889
              2       1 239            25 000             1 183            56      3 136    166 848 889
              3       1 235            30 000             1 262           -27       729      62 678 889
              4       1 330            40 000             1 420           -90      8 100      4 338 889
              5       1 342            35 000             1 341             1         1       8 508 889
              6       1 332            40 000             1 420           -88      7 744      4 338 889
              7       1 374            40 000             1 420           -46      2 116      4 338 889
              8       1 402            40 000             1 420           -18       324       4 338 889
              9       1 504            45 000             1 499             5        25      50 168 889
             10       1 502            35 000             1 341           161     25 921      8 508 889
             11       1 588            50 000             1 578            10       100     145 998 889
             12       1 607            45 000             1 499           108     11 664     50 168 889
      Note : X = 37 917



L’écart-type des erreurs de prévision est la racine carrée de la variance des erreurs avec
une erreur moyenne de 0:

                                                         
                                   n                       n
                                                  2                  2
                                        ei – e                  ei
                        2 =      i=1
                                                      =   i=1
                                                                         = 64 901 = 6 490
                                        n–2                n–2               10

Donc,  = 80,56.

Une fois l’écart-type des erreurs de prévision calculé, on peut calculer l’écart-type s de Yt
en utilisant la formule de s pour une valeur de X déjà observée :

                                          2                                                       2
                                 Xt – X                                       45 000 – 37 917
      s=            1+                               = 80,56             1 +                         = 33,3
                     n
                            
                             n
                                              2                           12    572 916 668
                                  Xi – X
                            i=1



Pour un intervalle de confiance à 95%, on a  = 0,05 et /2 = 0,025. Pour /2 = 0,025 et
n-2 = 10, on peut lire, dans la table de la distribution de Student la valeur t0,025;10 = 2,228.
L’intervalle de confiance sera alors :

                                    Yt – t 2;n – 2 s  Yt  Yt – t 2;n – 2 s

                      1 499 – 2,228(33,3)  Y13  1 499 + 2,228(33,3)

                                              1 425  Y13  1 573



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                        118
                                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)




Pour un budget publicitaire de 38 000 $, il faut utiliser s’ comme écart-type de Yt puisque
cette valeur de X n’a jamais été observée :

                                                2
                                       Xt – X
         s =          1+ 1 +
                           n                            = 80,56       1 + 1 + 0,0876 = 87,2
                                  
                                   n
                                                    2                     12
                                        Xi – X
                                  i=1



L’intervalle de confiance sera alors :

                               Yt – t 2;n – 2 s  Yt  Yt – t  2;n – 2 s

                      1 499 - 2,228(87,2)  Y13  1 499 + 2,228(87,2)

                                        1 305  Y13  1 693




Questions et exercices
1.   Concernant la gestion des opérations, à quoi servent les prévisions?


2.   Est-ce que les prévisions obtenues à partir de méthodes objectives sont toujours
     utilisables directement, sans tenir compte d’autres considérations?


3.   En quoi le genre de données est-il un facteur important à considérer dans le choix
     d’une méthode de prévision?


4.   Quels sont les effets de la surestimation et de la sous-estimation de la demande?


5.   Quels sont les facteurs à considérer lors du choix d’une méthode de prévision?


6.   Un des facteurs importants à considérer pour les prévisions est la structure de la
     demande. Qu’entend-t-on par structure de la demande? Quels sont les principaux
     éléments qui composent la demande (expliquez brièvement chacun d’eux)?




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                                 119
                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)


7.   Généralement, est-il réaliste de faire des prévisions à long terme lorsqu’une tendance
     est observée sur les données passées? Pourquoi?


8. Quelle est la différence entre des méthodes de prévisions objectives et subjectives?
   Entre des méthodes d’extrapolation et des méthodes explicatives?


9. En quoi le niveau d’agrégation des données est-il un facteur qui influence la précision
   des prévisions?


10. Un des éléments de la structure de la demande est les variations aléatoires. Que sont
    ces variations et quel rôle joue une méthode de prévision par rapport à celles-ci?


11. Quelle est la différence entre une tendance additive et une tendance multiplicative?
    Entre des effets saisonniers additifs et des effets saisonniers multiplicatifs?


12. Quelle est la différence entre une méthode de prévision de séries chronologiques et
    une méthode causale?


13. Dans quelle catégorie de méthodes de prévision peut-on classer la régression linéaire
    simple?


14. Tracez le graphique se rapportant aux données du tableau suivant. Vous semble-t-il
    approprié d’utiliser les méthodes de prévisions basées sur les moyennes afin
    d’obtenir une prévision pour la période 13 (justifiez votre réponse)?
                                          t         Xt
                                          1       11 280
                                          2       10 750
                                          3       11 340
                                          4       11 000
                                          5       11 240
                                          6       10 950
                                          7       10 850
                                          8       10 900
                                          9       11 370
                                          10      11 200
                                          11      10 700
                                          12      11 100




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                  120
                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)




15. À partir des données du problème précédent, effectuez une prévision pour la période
    13 en utilisant:

      a) la moyenne simple;
      b) les moyennes mobiles simples d’ordre 3 et 5;
      c) la moyenne mobile pondérée d’ordre 3 avec les poids w10=0,6, w11=0,2 et
         w12=0,2;
      d) la moyenne mobile pondérée d’ordre 4 avec les poids w9=0,1, w10=0,1, w11=0,3
         et w12=0,5.


16. À partir des données suivantes, effectuez une prévision pour la période 7 en utilisant
    un lissage exponentiel simple avec =0.2 et P1= 5 200 et un lissage exponentiel
    simple avec =0,4 et P1=5 220. Pour les deux valeurs de  spécifiées, à partir de
    quelle période les prévisions obtenues sont-elles indépendantes des conditions
    initiales? Que pouvez-vous conclure?

                                          t             Xt
                                          1           5 240
                                          2           5 200
                                          3           5 210
                                          4           5 190
                                          5           5 200
                                          6           5 230



17. Avec les données de la question précédente, des prévisions de 5 206.45295 et de 5
    213.51707 furent obtenues pour les périodes 6 et 7 respectivement à partir d’un
    lissage exponentiel simple. Quelle est la valeur de la constante de lissage utilisée
    pour obtenir ces prévisions?


18. À partir des données de la question 16, effectuez une prévision pour la période 7 avec
    le lissage exponentiel adaptatif. Utilisez la constante de lissage  = 0,1 ainsi que les
    valeurs initiales P1 = X1, 1 = 0,2, E1 = e1 et M1 = |e1|.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                  121
                                                                  Gestion des stocks (GPO-1004)




19. Considérez les données suivantes:

                                          t               Xt
                                           1            10 000
                                           2            10 250
                                           3            10 200
                                           4            10 350
                                           5            10 525
                                           6            10 475
                                           7            10 850
                                           8            10 900
                                           9            11 240
                                          10            11 200
                                          11            11 350
                                          12            11 300

Tracez le graphique de ces observations. Peut-on utiliser les méthodes de prévision
basées sur les moyennes ou le lissage exponentiel simple pour obtenir une prévision pour
la période 13? Sinon, effectuez une transformation (décomposition) appropriée et utilisez
la moyenne mobile simple d’ordre 3 pour obtenir la prévision de la période 13.


20. À partir des données de la question 19, effectuez des prévisions pour les périodes 13,
    14 et 15 à l’aide du lissage exponentiel à deux paramètres pour une tendance.
    Utilisez les constantes de lissage  = 0,2 et  = 0,2; pour l’initialisation de la méthode
    de prévision, utilisez les valeurs S1 = X1 et b1 = X2 – X1.


21. À partir des données de la question 19, effectuez des prévisions pour les période 13,
    14 et 15 à l’aide du lissage exponentiel double. Utilisez une constante de lissage
     = 0,15 ainsi que les valeurs initiales S’1 = X1 et S’’1 = X1.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                    122
                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)




22. Tracez le graphique qui correspond aux observations suivantes (la longueur du cycle
    saisonnier est L=12) :

                           t               Xt           T              Xt
                           1              10 000        13            10 025
                           2              10 250        14            10 225
                           3              10 300        15            10 325
                           4              10 225        16            10 200
                           5              10 120        18            10 145
                           6               9 990        18             9 965
                           7               9 900        19             9 925
                           8               9 750        20             9 775
                           9               9 680        21             9 675
                          10               9 850        22             9 875
                          11               9 925        23             9 900
                          12              10 100        24            10 125

a)   Ces observations ont-elles une allure particulière?     Effectuez la décomposition
     appropriée.

b) Quelle est, à l’aide d’une moyenne mobile pondérée d’ordre 3, la prévision pour la
   période 25 sur les données décomposées? Utilisez les poids w24=0,6, w23=0,25 et
   w22=0,15.

c) Effectuez les calculs appropriés pour obtenir les prévisions pour les 4 prochaines
   périodes à partir de la prévision sur la série décomposée obtenue en b).


23. À partir des données de la question 22, utilisez le lissage exponentiel à deux
    paramètres pour une saisonnalité afin d’obtenir une prévision pour les périodes 25,
    26, 27 et 28. Utilisez les constantes de lissage  = 0,15 et  = 0,25.


24. Il arrive fréquemment que la demande de certains produits soit caractérisée à la fois
    par une tendance et à la fois par des variations saisonnières. C’est le cas des chaises
    C-747 de Meublex. Depuis quelques trimestres, la grande popularité de ces chaises
    fait en sorte que les ventes croissent régulièrement. De plus, la demande pour celles-
    ci suit un cycle saisonnier avec une hausse marquée de la demande au printemps et à
    l’automne et un ralentissement à l’été et à l’hiver. Le tableau suivant présente la
    demande des chaises pour les 12 derniers mois.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                 123
                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)




                                          t             Xt
                                          1             390
                                          2             460
                                          3             510
                                          4             490
                                          5             450
                                          6             410
                                          7             450
                                          8             525
                                          9             570
                                          10            550
                                          11            500
                                          12            480

a) Tracez le graphique de la demande pour les chaises C-747.

b) En vous basant sur une inspection visuelle des données, quelle est la longueur du
   cycle saisonnier?

c) Effectuez la décomposition appropriée pour permettre de faire des prévisions pour les
   quatre prochaines périodes en utilisant un lissage exponentiel simple avec =0,25 ; la
   valeur initiale pour le lissage exponentiel est la moyenne des trois premières périodes
   disponibles de la série différenciée et désaisonalisée.


25. À partir des données de la question 24, utilisez le lissage exponentiel à trois
    paramètres pour obtenir les prévisions des périodes 13, 14, 15 et 16. Les constantes
    de lissage à utiliser sont  = 0,2,  = 0,1 et  = 0,2.


26. Meublex fabrique également des étagères vitrées (modèle E-V88). Depuis deux
    semestres, la demande de ce produit est stable et le directeur des ventes a remarqué
    qu’elle ne subissait pas l’effet de variations saisonnières. Il conclut donc que pour
    effectuer ses prévisions, il peut utiliser directement les méthodes basées sur la
    moyenne ou encore le lissage exponentiel simple. Toutefois, après avoir discuté avec
    un spécialiste de la gestion des stocks, il se demande comment déterminer la méthode
    la plus appropriée. Sachant que vous connaissez un peu le domaine des prévision, il
    vous confie la tâche d’analyser la situation et de lui faire une recommandation. Voici
    les données mises à votre disposition.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                 124
                                                                   Gestion des stocks (GPO-1004)




                                             t              Xt
                                             1             1 230
                                             2             1 140
                                             3             1 210
                                             4             1 160
                                             5             1 190
                                             6             1 200
                                             7             1 170
                                             8             1 150
                                             9             1 180
                                            10             1 190
                                            11             1 220
                                            12             1 170

Après réflexion, vous décidez d’évaluer trois méthodes de prévision: la moyenne mobile
simple d’ordre 4, le lissage exponentiel simple avec =0,1 et le lissage exponentiel
simple avec =0,8. En basant votre recommandation sur l’erreur moyenne (EM) et la
moyenne du pourcentage d’erreur absolue (MPEA), quelle méthode recommandez-vous
d’utiliser? Pour les lissages exponentiels simples, utilisez P1=1 185.


27. Meublex France veut essayer de déterminer l’impact du nombre de minutes de
    publicité par semaine à la radio sur ses ventes. N’ayant pas de données historiques
    concernant ses nouvelles opérations en France, la directrice adjointe au marketing et
    aux ventes, madame Ally Spruce, suggère d’analyser les données de l’usine de
    Vancouver. Le tableau suivant présente les données se rapportant aux 15 dernières
    semaines.

                                 temps hebdomadaire            ventes
                      semaine    de publicité à la radio   hebdomadaires
                         1                 50                 128 000
                         2                 64                 159 000
                         3                 76                 158 000
                         4                 64                 119 000
                         5                 74                 133 000
                         6                 60                 112 000
                         7                 69                  96 000
                         8                 68                 126 000
                         9                 56                 132 000
                        10                 48                 118 000
                        11                 57                 107 000
                        12                 59                 106 000
                        13                 46                  82 000
                        14                 45                 103 000
                        15                 65                 104 000

a) Quelle est la variable dépendante et la variable indépendante?


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                     125
                                                                 Gestion des stocks (GPO-1004)




b) Déterminez les valeurs de b0 et de b1.

c) Quelle est l’estimation du coefficient de corrélation et du coefficient de
   détermination? Comment interprète-t-on le coefficient de détermination?

d) Si, pour la prochaine semaine, il est prévu de faire passer 50 minutes de publicité à la
   radio, quelle est l’estimation des ventes hebdomadaires qui en résulte?

e) Si pour la prochaine semaine, il est prévu de faire passer 70 minutes de publicité à la
   radio, quelle est l’estimation des ventes hebdomadaires qui en résulte?

f)   À partir des résultats obtenus en d) et en e), établissez un intervalle de confiance à
     90% pour les ventes de la prochaine semaine.


27. La directrice adjointe au marketing et aux ventes, madame Ally Spruce, croit que les
    ventes mensuelles des étagères E-929 sont liées aux ventes de deux autres produits :
    les bureaux B-444 et les classeurs K-555. Le tableau suivant présente la demande
    des 12 dernières semaines pour ces trois produits.

                 semaine      étagères E-929   bureaux B-444   classeurs K-555
                    1              412              220              510
                    2              310              175              490
                    3              405              235              520
                    4              375              200              480
                    5              420              235              500
                    6              340              195              480
                    7              438              260              520
                    8              390              210              510
                    9              450              265              490
                   10              382              210              520
                   11              350              195              480
                   12              425              230              500

a) Quelle est la variable dépendante et quelles pourraient être les variables
   indépendantes?

b) À partir des données présentées au tableau précédent, quelle variable indépendante
   choisiriez-vous pour formuler le meilleur modèle de régression possible?

c) Déterminez, pour la variable indépendante choisie en b), la droite de régression
   empirique.

d) Pour la prochaine semaine, les ventes prévues pour les bureaux B-444 sont de 215
   unités et pour les classeurs K-555, elles sont de 495 unités. Selon la variable
   indépendante retenue en b), quelle serait la prévision de la demande pour les étagères


Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   126
                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)


     E-929? Établissez un intervalle de confiance à 95% pour la demande de la prochaine
     semaine en étagères E-929.


27. Les classeurs K-303 sont des produits dorénavant fabriqués par Meublex France et
    qui proviennent du carnet de commande de Uni-Meubles. La demande des 24
    derniers mois est présentée au tableau suivant.

                           t                Xt      t            Xt
                           1              2 832    13          3 592
                           2              2 938    14          3 727
                           3              2 644    15          3 354
                           4              2 569    16          3 258
                           5              2 489    17          3 157
                           6              2 298    18          2 915
                           7              1 935    19          2 455
                           8              2 308    20          2 927
                           9              2 467    21          3 129
                          10              3 182    22          4 036
                          11              3 246    23          4 117
                          12              3 522    24          4 466



a)   À partir d’une analyse des autocorrélations, déterminez si cette demande subit l’effet
     de variations saisonnières et d’une tendance. Quelle est, le cas échéant, la longueur
     du cycle saisonnier?

b) Effectuez la ou les décompositions appropriées pour obtenir une série transformée
   exempte de saisonnalité et de tendance.

c)   À l’aide de la méthode de décomposition présentée aux pages 73 à 75, effectuez les
     calculs appropriés pour générer des prévisions de la demande pour les périodes 25 à
     30 inclusivement.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                  127
                                                               Gestion des stocks (GPO-1004)




30. Le tableau suivant présente la demande des 36 derniers mois pour les chaises C-111.
    Effectuez une analyse de ces données afin, s’il y a lieu, d’apporter des correctifs et
    d’effectuer les ajustements nécessaires pour tenir compte du nombre de jours
    ouvrables par mois.

                               nombre de               nombre de               nombre de
année     mois       demande     jours   année demande   jours   année demande   jours
                               ouvrables               ouvrables               ouvrables
1996      janvier      655         21    1997    643       21    1998    603       20
          février      679         21            711       20            654       20
            mars       538         21            574       21            533       22
            avril      529         20            592       18            576       20
            mai        552         21            175       21            487       21
            juin       467         20            452       20            937       21
           juillet     400         22            368       22            368       22
            août       451         21            421       21            468       22
        septembre      514         20            490       20            497       21
         octobre       550         22            554       22            613       21
        novembre       609         21            632       21            555       21
        décembre       636         21            591       21            643       21



31. Considérez les données suivantes ainsi que les prévisions qui ont été obtenues à
    partir d’une méthode quelconque de prévision:

                                 t           Xt               Pt
                                  1         5 540            5 650
                                  2         5 600            5 606
                                  3         5 700            5 604
                                  4         5 550            5 642
                                  5         5 530            5 605
                                  6         5 710            5 575
                                  7         5 650            5 629
                                  8         5 550            5 637
                                  9         5 670            5 602
                                 10         5 580            5 629
                                 11         5 700            5 610
                                 12         5 670            5 646

Calculez les statistiques suivantes : EM, EMA, et PMEA.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                 128
                                                                    Gestion des stocks (GPO-1004)




32. Le tableau suivant reprend les données du problème précédent mais avec des
    prévisions différentes. Calculez l’erreur moyenne et commentez le résultat obtenu.

                                    t               Xt               Pt
                                    1              5 540            5 800
                                    2              5 600            5 797
                                    3              5 700            5 795
                                    4              5 550            5 794
                                    5              5 530            5 792
                                    6              5 710            5 789
                                    7              5 650            5 789
                                    8              5 550            5 787
                                    9              5 670            5 785
                                   10              5 580            5 784
                                   11              5 700            5 782
                                   12              5 670            5 781



33. Le tableau suivant présente les prévisions obtenues à partir de deux méthodes
    différentes (M1 et M2). Évaluez, pour ces deux méthodes, la moyenne du
    pourcentage d’erreur absolue (PMEA). Quelle méthode choisiriez-vous pour obtenir
    des prévision pour la prochaine période et pourquoi?

                           t               Xt              Pt M1            Pt M2
                           1              11 280           11 000           11 500
                           2              10 750           11 003           11 498
                           3              11 340           11 000           11 490
                           4              11 000           11 004           11 489
                           5              11 240           11 004           11 484
                           6              10 950           11 006           11 481
                           7              10 850           11 005           11 476
                           8              10 900           11 004           11 470
                           9              11 370           11 003           11 464
                          10              11 200           11 007           11 463
                          11              10 700           11 008           11 461
                          12              11 100           11 005           11 453



34. À partir des données de la question précédente, et pour les deux méthodes de
    prévision, calculez les statistiques suivantes : PMEAA, EMAt, U, EMQ, EMQt,
    l’écart-type à partir de EMQ et l’écart-type à la période 12 à partir de EMQt. Pour
    EMAt et EMQt, utilisez la constante de lissage  = 0,15 ainsi que les valeurs initiales
    EMA1 = |e1| et EMQ1 = e12.




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                      129
                                                                 Gestion des stocks (GPO-1004)


35. À partir des données du tableau de la question 33, calculez PPR si l’événement E est
    l’obtention de prévisions à ±2% des valeurs observées. Laquelle des deux méthodes
    M1 et M2 vous semble préférable selon le PPR?


36. À partir des données de l’exemple 1.9, effectuez une analyse pour déterminer la
    longueur du cycle saisonnier à l’aide du graphique des autocorrélations.


37. À partir des données de l’exemple 1.6, vérifiez la présence d’une tendance
    multiplicative en recourant à l’analyse des autocorrélations.


38. À partir des observations (Xt) et des prévisions (Pt) du tableau 1.13 de l’exemple 1.6,
    calculez la valeur de la statistique de de Durbin-Watson. Que pouvez-vous conclure?


39. À partir des résultats de l’exemple 1.4 (tableau 1.9), effectuez les calculs nécessaires
    pour déterminer les valeurs des signaux d’alerte TSt et SAt pour les périodes1 à 12.
    Pour le signal TSt, calculez les valeurs de EMAt en utilisant une constante de lissage
    =0,1 et une valeur initiale EMA1 = |e1|. Pour le signal SAt, utilisez une constante de
    lissage =0,2 et les valeurs initiales E1 = e1 et M1 = |e1|.

    Dans le cas du signal TSt, si la valeur critique TS* est de ± 4, à quelles périodes cette
    valeur est-elle excédée? Dans le cas du signal SAt, à quelles périodes semble-t-il que
    des erreurs de prévision non aléatoires sont enregistrées et à combien en estimez-
    vous la probabilité?


40. Comment l’erreur de prévision sert-elle à évaluer l’incertitude de la demande?


41. Pour le modèle de chaises C-262, la prévision de la demande pour la période 14 est
    de 600 unités. De plus, pour les 13 périodes précédentes, l’erreur quadratique
    moyenne a été estimée à EQM = 2 750 unités2. À partir de ces seules informations,
    quel serait un intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 14? Si
    une analyse des erreurs de prévision révélait que celles-ci sont symétriquement
    réparties autour de leur moyenne, quel serait l’intervalle de confiance à 95% pour la
    demande de la période 14 compte tenu de cette nouvelle information?


42. Pour les armoires de rangement A-888, la prévision de la demande pour la prochaine
    période est de 214 unités. À partir des données historiques, il a été estimé que les
    erreurs de prévision suivent une distribution normale de moyenne =0 et de variance



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                   130
                                                                Gestion des stocks (GPO-1004)


    2 = 4 225 unités2. À partir de ces information, déterminez un intervalle de
    confiance à 90% pour la demande de la prochaine période.


43. Meublex va également fabriquer un repose-pieds en bois. La demande pour cet
    article devrait être relativement faible, soit de l’ordre de 10 unités par mois en
    moyenne. Il semble donc approprier d’utiliser la distribution de Poisson pour cette
    situation. A partir des probabilités apparaissant au tableau suivant, déterminez un
    intervalle de confiance à 90% pour la demande des repose-pieds.

                       x         P(X=x | =10)     x      P(X=x | =10)
                       1            0,001         12         0,095
                       2            0,002         13         0,072
                       3            0,007         14         0,053
                       4            0,019         15         0,034
                       5            0,038         16         0,022
                       6            0,063         17         0,013
                       7            0,090         18         0,007
                       8            0,113         19         0,004
                       9            0,125         20         0,001
                      10            0,125         21         0,001
                      11            0,114         22         0,001



44. Meublex France estime que la demande pour les armoires A-888 est liée à la
    demande des tables T-1001. Le tableau suivant présente la demande de ces deux
    produits pour les 12 derniers mois.

                             t            A-888        T-1001
                             1             170           75
                             2             195           86
                             3             200           84
                             4             170           78
                             5             205           83
                             6             160           72
                             7             190           81
                             8             175           79
                             9             160           75
                            10             175           77
                            11             150           77
                            12             210           84

a) À partir de ces données, déterminez les valeurs de b0 et de b1 et spécifiez l’équation
   de la droite de régression empirique.

b) Quelle est la valeur du coefficient de corrélation? Quelle interprétation en faites-
   vous?



Chapitre 1 : La prévision de la demande                                                  131
                                                           Gestion des stocks (GPO-1004)


c) Si la demande des tables T-1001 est estimée à 78 unités pour la prochaine période,
   quelle serait la prévision de la demande pour les armoires A-888 et quel serait un
   intervalle de confiance à 98% pour cette demande?

d) Si la demande des tables T-1001 est estimée à 80 unités pour la prochaine période,
   quelle serait la prévision de la demande pour les armoires A-888 et quel serait un
   intervalle de confiance à 98% pour cette demande?




Chapitre 1 : La prévision de la demande                                             132

								
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