Docstoc

PENERAPAN TEORI KONTROL PADA MODEL DINAMIK GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN

Document Sample
PENERAPAN TEORI KONTROL  PADA MODEL DINAMIK GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN Powered By Docstoc
					           PENERAPAN TEORI KONTROL

PADA MODEL DINAMIK GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN


                          SKRIPSI

             untuk memenuhi sebagian persyaratan

                 mencapai derajat Sarjana S-1


                  Program Studi Matematika




                       Diajukan Oleh :
                      Fredy Haryanto
                          06610007

                           kepada

          PROGRAM STUDI MATEMATIKA
         FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
               UIN SUNAN KALIJAGA
                    YOGYAKARTA
                            2010
ii
iii
iv
v
                          KATA PENGANTAR

       Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan    segala   rahmat       dan   hidayah-Nya   sehingga   penulis   dapat

melaksanakan dan menyusun skripsi ini dengan baik. Shalawat dan salam semoga

senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta

keluarga, para sahabat dan para pengikutnya seluruh umat Islam hingga akhir

zaman, insyaAllah termasuk kita. Amin.

       Penyusunan    skripsi   ini    dimaksudkan    untuk   memenuhi     sebagian

persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Program Studi Matematika. Skripsi

ini berisi mengenai pembahasan penerapan teori kontrol pada model dinamik

gerak satelit tanpa gangguan. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan, bimbingan,

dan motivasi dari berbagai pihak, laporan skripsi ini tidak dapat selesai dengan

baik. Oleh karena itu ucapan terima kasih disampaikan sebesar-besarnya dan

semoga Allah memberikan ridho-Nya kepada :

   1. Dra. Maizer Said Nahdi, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

       UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

   2. Dra. Hj. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I.

   3. Sri Utami Zuliana, S.Si., M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika

       dan Penasehat Akademik yang selalu memberi pengarahan.

   4. Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah

       meluangkan waktu untuk membantu, memotivasi, membimbing serta

       mengarahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.




                                           v
   5. Sugiyanto, M.Si selaku pembimbing II yang telah membantu dan

      mengarahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan

   6. Segenap Dosen dan Karyawan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

      Kalijaga Yogyakarta.

   7. Dr. Suryadi Siregar, selaku Ketua Jurusan Astronomi Institut Teknologi

      Bandung atas keramahannya bersedia berdiskusi tentang perilaku satelit.

   8. Bos Tikus yang selalu memberi dorongan dan perhatian untuk cepat

      menyelesaikan skripsi penulis.

   9. Crew    Mathnews       yang   selalu   membuat   penulis   untuk   selalu

      mengembangkan diri dan semangat.

   10. Segenap ”teman-teman matematika 2006” yang telah memberi senyuman

      semangat dan tentunya lawakan, serta semua pihak yang telah membantu

      dalam penyelesaian penulisan skripsi ini.

      Semoga Allah SWT berkenan membalas kebaikan mereka dengan pahala

yang berlipat ganda. Hanya kepada Allah penulis menyembah dan memohon

ampunan atas segala kekurangan dan kekhilafan. Semoga skripsi ini bermanfaat

bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya.

                                                        Yogyakarta, 5 Juli 2010
                                                        Penulis




                                                        Fredy Haryanto
                                                        NIM. 06610007




                                       vi
               HALAMAN PERSEMBAHAN




Skripsi ini saya persembahkan
kepada:

                                    Kedua Orang tuaku,
               berkat belaian, kasih sayang dan doanya
                                   saya tumbuh menjadi
                                 Manusia yang tangguh


                    kakak KU
                    yang senantiasa menjadi
                    motivator terbesar




                 Teman-temanku semua
              Yang selalu memberi semangat




                            vii
                     HALAMAN MOTTO



   “Hai orang-orang beriman apabila kamu dikatakan kepadamu:
 "Berlapang-lapanglah dalam majlis", maka lapangkanlah niscaya
 Allah akan memberi kelapangan untukmu. Dan apabila dikatakan:
"Berdirilah kamu", maka berdirilah, niscaya Allah akan meninggikan
orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi
 ilmu pengetahuan beberapa derajat. Dan Allah Maha Mengetahui
           apa yang kamu kerjakan” (Al-Mujaadilah :11)




         Allah Maha Mendengar dan Maha Melihat




    PERCAYA DIRI DIMANAPUN
                   KAU BERADA




                               viii
                       DAFTAR ISI


HALAMAN JUDUL …………………………………………….                       i
SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ……………………………..                ii
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………                      iii
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ……………………..                 iv
KATA PENGANTAR ……………………………………………                       v
HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………….                     vii
HALAMAN MOTTO …………………………………………….                       viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………..                      ix
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………..                      xi
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN ………………………....               xiii
ABSTRAKSI ……………………………………………………...                      xv


BAB I : PENDAHULUAN ………………………………………                    1
     1.1. Latar Belakang ………………………………………               1
     1.2. Batasan Masalah …………………………………….              2
     1.3. Rumusan Masalah …………………………………..              3
     1.4. Tujuan Penelitian ……………………………………             3
     1.5. Manfaat Penelitian …………………………………..           3
     1.6. Tinjauan Pustaka …………………………………….             4
     1.7. Metode Penelitian ……………………………………             5


BAB II : LANDASAN TEORI ……………………………………                 6
     2.1. Derivatif ………………………………………………                 6
     2.2. Matriks ………………………………………………..                 13
        2.2.1. Operasi Matriks …………………………………           13
        2.2.2. Matriks Invertible ……………………………….        16
        2.2.3. Determinan ……………………………………...            16
        2.2.4. Rank Matriks …………………………………….            17
     2.3. Persamaan Differensial Orde-Dua ……………………..   18
        2.3.1. Masalah Nilai Awal ……………………………...       18



                             ix
     2.4. Teori Sistem Matematika ……………………………….                   19
         2.4.1. Linearisasi ……………………………………….                      21
         2.4.2. Kestabilan Sistem ……………………………….                   26
     2.5. Teori Kontrol Linear …………………………………...                   29
     2.6. Vektor ………………………………………………….                             50
         2.6.1. Vektor di Ruang …………………………………                     50
     2.7. Gerak Rotasi ……………………………………………                          53
     2.8. Hukum Kepler ………………………………………….                          56
         2.8.1. Hukum Kepler I ………………………………….                     57
         2.8.2. Hukum Kepler II …………………………………                     57
         2.8.3. Hukum Kepler III ………………………………...                  58
     2.9. Hukum Newton …………………………………………                           59
         2.9.1. Hukum Kedua Newton …………………………..                   60


BAB III : ASPEK KETERKENDALIAN DAN KETERAMATAN PADA
         MODEL DINAMIK GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN
     3.1. Satelit Sebagai Benda Langit ……………………………                61
     3.2. Persamaan Dinamik Gerak Satelit ……………………….              62
     3.3. Linearisasi ………………………………………………..                        71
     3.4. Keterkendalian ……………………………………………                        73
     3.5. Keteramatan ………………………………………………                          77


BAB IV : DESAIN FEEDBACK DAN DESAIN OBSERVER PADA
           PERSAMAAN GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN
   4.1. Desain Feedback pada Persamaan Gerak Satelit Tanpa Gangguan.82
   4.2. Desain Observer pada Persamaan Gerak Satelit Tanpa Gangguan.101


BAB V : PENUTUP …………………………………………………..                             105
     5.1. Kesimpulan ………………………………………………                           105
     5.2. Saran ……………………………………………………..                            106


DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………                                108



                                   x
                           DAFTAR GAMBAR




Gambar 1. Ilustrasi sistem ………………………………………                               18

Gambar 2. Open-loop control system ……………………………                           37

Gambar 3. Closed-loop control system ………………………….                         37

Gambar 4. Diagram observer …………………………………….                               47

Gambar 5. Letak dari suatu titik ditentukan letaknya dengan melihat jaraknya

           terhadap ketiga bidang istimewa ……………………...                   50

Gambar 6. Penjumlahan vektor di ruang dengan menggunakan aturan empat

           persegi panjang seperti di bidang …………………..…                  51

Gambar 7. Roda yang sedang berotasi dengan arah berlawanan dengan jarum jam

           terhadap sumbu yang melalui pusat roda pada titik O. Garis melingkar

           yang terputus-putus merupakan lintasan titik P ……..           52

Gambar 8. Planet mengelilingi matahari ………………….……..                      57

Gambar 9. Orbit satelit …………………………………………..                               60

Gambar 10. Satelit bumi ……………….………………………….                               62

Gambar 11. Vektor 1���� dan 1���� …………………………………….                            62

Gambar 12. Pergerakan jarak satelit dengan pusat bumi tanpa kontrol      90

Gambar 13. Pergerakan kecepatan satelit tanpa kontrol ………….              91

Gambar 14. Pergerakan sudut satelit dengan pusat bumi tanpa kontrol      91

Gambar 15. Pergerakan kecepatan sudut satelit tanpa kontrol ……           92

Gambar 16. Pergerakan jarak satelit dengan pusat bumi setelah diberi pengontrol



                                       xi
             feedback ……………………………………………                                 96

Gambar 17. Pergerakan kecepatan satelit setelah diberi pengontrol

           feedback …………………………………………….                                  97

Gambar 18. Pergerakan sudut satelit dengan pusat bumi setelah diberi pengontrol

           feedback ……………………………………………..                                 97

Gambar 19. Pergerakan kecepatan sudut satelit dengan pusat bumi setelah diberi

             pengontrol feedback ………………………………                           98




                                       xii
      ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN



ε       : epsilon

����      : delta

∈       : elemen/ anggota himpunan

⟹       : implikasi (jika … maka … )

⟺       : biimplikasi (… jika dan hanya jika … )

∀       : untuk setiap

∃       : ada/ terdapat

=       : sama dengan

≠       : tidak sama dengan

≈       : pembulatan

⊂       : himpunan bagian

        : harga mutlak

        : norm vektor

Im      : image himpunan

∆����     : delta x (perubahan nilai x )

Df      : turunan dari fungsi f

����      : jarak

����      : kecepatan radial

����      : sudut

����      : kecepatan tangensial

����      : kecepatan sudut

                          xiii
����         : nilai eigen

A-1        : invers dari matriks A

R          : himpunan bilangan real

Rn         : himpunan semua bentuk (����1 , ����2 , … , �������� ) dengan ����1 ∈ ����

I          : matriks identitas

����������������   : percepatan tangensial

��������       : percepatan radial

v          : kecepatan linear

t          : waktu dalam detik

P          : periode planet

k          : konstanta

G          : 6,67 x 10-11 Nm2/kg

g          : 9,807 m/s2

1����        : vektor satuan pada arah radial

1����        : vektor satuan pada arah radial




                              xiv
               PENERAPAN TEORI KONTROL
   PADA MODEL DINAMIK GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN

                                   ABSTRAKSI

                                  Fredy Haryanto
                                  NIM. 06610007


        Satelit yang diletakkan pada posisi yang tepat di langit digunakan sebagai
sarana komunikasi telepon dan TV, memandu pelayaran kapal dan pesawat,
perkiraan cuaca, dll. Satelit tersebut disebut satelit geostationary. Pada prinsipnya
orbit geostationary dapat dicapai dengan mengendalikan gaya yang ada pada
satelit sedemikian sehingga satelit terletak pada orbit yang diinginkan. Gaya
tersebut dapat dihasilkan dengan alat jet kecil yang membawa satelit. Satelit akan
bergerak pada lintasannya sesuai waktu dan sudut yang diinginkan. Satelit
memerlukan suatu sistem yang dapat mengendalikannya agar selalu tepat pada
lintasan yang diinginkan yaitu sistem kontrol.
        Penelitian ini akan membahas tentang konstruksi model matematika
persamaan dinamik gerak satelit tanpa gangguan yang dibentuk dari beberapa
gaya yang mempengaruhinya. Selanjutnya akan dianalisa keterkendalian dan
keteramatan dinamika gerak satelit tersebut. Di akhir pembahasan akan didesain
kendali linear feedback yang akan menstabilkan gerak satelit agar tetap berada
pada orbit yang diinginkan.

Kata kunci : persamaan dinamik gerak satelit tanpa gangguan, kestabilan,
            keterkendalian, keteramatan, feedback, dan observer.




                                         xv
                                                                               1



                                      BAB I

                              PENDAHULUAN



1.1. Latar Belakang


          Zaman globalisasi ini menuntut manusia untuk selalu berpikir ke

   depan dan mengembangkan keahliannya untuk mendapat pengetahuan dan

   teknologi yang lebih canggih. Perkembangan teknologi di dunia ini semakin

   tahun semakin meningkat sesuai dengan fungsinya untuk memudahkan

   manusia dalam menyelesaikan pekerjaannya. Kehidupan sehari-hari juga

   diperlukan   adanya   pengontrol agar      dapat   menjaga   kestabilan   dan

   keterkendalian pada diri manusia. Di samping itu, teknologi informasi dan

   komunikasi membutuhkan adanya satelit. Satelit yang diletakkan pada posisi

   yang tepat di langit digunakan sebagai sarana komunikasi telepon dan TV,

   memandu pelayaran kapal dan pesawat, perkiraan cuaca, dan lain-lain. Satelit

   tersebut disebut satelit geostationary. Pada prinsipnya orbit geostationary

   dapat dicapai dengan mengendalikan gaya yang ada pada satelit sedemikian

   sehingga satelit terletak pada orbit yang diinginkan. Gaya tersebut dapat

   dihasilkan dengan alat jet kecil yang membawa satelit. Satelit akan bergerak

   pada lintasannya sesuai waktu dan sudut dari pusat bumi dengan satelit

   tersebut sesuai yang diinginkan.

          Satelit memerlukan suatu sistem yang dapat mengendalikannya agar

    selalu tepat pada lintasan yang diinginkan yaitu sistem kontrol. Sistem

    kontrol yang dibahas dalam skripsi ini adalah sistem kontrol linier pada
                                                                              2



   gerakan unit massa satelit yang kinerjanya didasarkan pada inverse square

   law force field yang dipengaruhi oleh suatu pasangan persamaan diferensial

   orde dua pada jari-jari r dan sudut ����. Selain itu akan dibahas pengertian

   controllability (keterkendalian), observability (keteramatan), dan desain

   feedback (umpan balik), sehingga dapat dianalisis apakah model persamaan

   gerak satelit stabil, controllable (terkendali), observable (teramati), serta

   dapat dibuat desain feedback dan desain observernya.



1.2. Batasan Masalah

   Permasalahan pada satelit sebenarnya sangatlah kompleks maka perlu adanya

   pembatasan dalam penelitian ini. Adapun batasan masalah adalah sebagai

   berikut:

       1. Membentuk model persamaan dinamik gerak satelit tanpa gangguan.

       2. Menganalisis keterkendalian dan keteramatan dinamika gerak satelit

          tanpa gangguan.

       3. Mendesain pengontrol tipe feedback pada persamaan gerak satelit

          tanpa gangguan.

       4. Mendesain observer pada persamaan gerak satelit tanpa gangguan.
                                                                             3



1.3. Rumusan Masalah

    Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas dapat dirumuskan

    permasalahan sebagai berikut :

    1. Bagaimanakah bentuk model persamaan dinamik gerak satelit tanpa

       gangguan?

    2. Apakah sistem dinamik gerak satelit tanpa gangguan terkendali dan

       teramati?

    3. Bagaimana desain feedback dan desain observer pada persamaan dinamik

       gerak satelit tanpa gangguan?



1.4. Tujuan Penelitian

    Tujuan penelitian ini yaitu:

   1. Menurunkan model persamaan dinamik gerak satelit tanpa gangguan.

   2. Menganalisa keterkendalian dan keteramatan sistem dinamik gerak satelit

       tanpa gangguan.

   3. Mendesain feedback sistem dinamik gerak satelit tanpa gangguan.

   4. Mendesain observer sistem dinamik gerak satelit tanpa gangguan.



1.5. Manfaat Penelitian

    Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain:

       a. Memberikan pengetahuan tentang penerapan teori kontrol linear pada

           model persamaan gerak satelit.
                                                                              4



       b. Membantu dalam memecahkan masalah penstabilan gerak satelit agar

          tetap berada pada posisi dan orbit yang diinginkan dengan

          memanfaatkan teori kontrol linear.

       c. Memberikan motivasi kepada para pembaca untuk lebih banyak

          mengembangkan suatu ilmu dan mengaitkannya dengan ilmu-ilmu

          lain sehingga mendapatkan sesuatu yang baru serta berguna bagi

          perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.



1.6. Tinjauan Pustaka

          Buku yang berjudul “Mathematical System Theory” yang ditulis oleh

   Prof. Dr. G. J. Olsder. Buku ini memberikan materi tentang dasar-dasar teori

   sistem dan terkontrol. Dalam buku ini dijelaskan definisi dan teorema tentang

   keterkendalian dan keteramatan serta aplikasinya dan contoh soal.

          Buku yang berjudul “Applied Mathematical Sciences (AMS) series”

   yang ditulis oleh J.W. Polderman. Buku ini menjelaskan tentang dinamika

   gerak satelit, faktor-faktor yang mempengaruhi pada gerak satelit serta

   menurunkan persamaan dinamik gerak satelit sampai dengan persamaan

   dinamik gerak satelit tanpa gangguan.

          Skripsi yang berjudul “Aplikasi Teori Kontrol dalam Linearisasi

   Model Persamaan Gerak Satelit” yang ditulis oleh Swesti Yunita Purwanti

   mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Padjajaran Bandung. Skripsi ini

   memberikan gambaran pada penulis dalam melakukan studi literatur tentang

   model persamaan gerak satelit. Pembahasan yang dilakukannya mengenai
                                                                                5



    model persamaan gerak satelit serta menganalisanya dengan teori kontrol

    linear. Untuk itu penulis akan meneliti lebih lanjut dan berusaha memberikan

    penjelasan secara lebih detail serta menambahkan beberapa unsur yang

    diperlukan.

            Skripsi yang berjudul “Analisis Perubahan Setengah Sumbu Panjang

    dan Eksentrisitas Orbit Satelit Rendah Akibat Gaya Hambatan Atmosfer

    Bumi” yang ditulis oleh E. E. Yusri mahasiswa Astronomi ITB Bandung.

    Skripsi yang ditulis menjelaskan tentang persamaan gerak satelit dengan

    pendekatan ilmu astronomi serta fisika mekanika.

            Jurnal yang berjudul “Numerical Homotopy Algorithms for Satellite

    Trajectory Control by Pole Placement” yang ditulis Jan Verschelde dan

    Yusong Wang. Jurnal ini memberikan salah satu alternatif nilai eigen agar

    dinamika gerak satelit selalu berada pada orbit yang diinginkan.



1.7. Metode Penelitian

    Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian studi literatur, dimana

    penulis akan mempelajari beberapa sumber tertulis tentang system and

    control theory dan aplikasinya pada satellite dinamics. Sifat penelitian dalam

    studi literatur ini adalah kualitatif. Sumber data yang digunakan dalam

    penelitian ini adalah sumber-sumber tertulis yang dapat berupa buku, ,skripsi,

    jurnal, makalah, artikel maupun hasil penelitian lain yang mendukung

    penelitian ini.
                                                                                     6



                                             BAB II

                                LANDASAN TEORI



2.1. Derivatif

    Definisi 2.1.1. (Wikaria Gazali dan Soedadyatmodjo, 2007 : 69)

    Diberikan fungsi ����: ���� → ����, turunan atau derivatif f terhadap x adalah fungsi

    ���� ′ (����) yang nilainya untuk sembarang x = c adalah

                                            ���� ���� + ���� − ����(����)
                           ���� ′ ���� = lim                       .
                                       ����→0          ����
    Secara umum untuk ���� = ����, dan ���� = ∆����, maka :

                                              ���� ���� + ∆���� − ����(����)
                           ���� ′ ���� = lim                           .
                                        ∆����→0          ∆����
    Jika penambahan kecil x sebesar ∆����, mengakibatkan bertambahnya y sebesar

    ∆����, sehingga y = f(x) menjadi y + ∆���� = f(x+∆����) maka kesepadanan

    penulisan atau arti derivatif f(x) adalah :

             ��������                          ∆����         ���� ���� + ∆���� − ����(����)
                  = ���� ′ = ���� ′ ���� = lim       = lim                        .
             ��������                    ∆����→0 ∆����   ∆����→0          ∆����

       Selanjutnya rumus-rumus yang didapat dituliskan dalam notasi

                                                                            ��������
                                 ���� ′ , ���� ′ , �������� ����, �������� ����, ����������������        .
                                                                            ��������



    Teorema 2.1.2.: Derivatif Fungsi Konstan (Endang Dedy, 2003 : 140)

    Jika ���� ���� = ���� (suatu konstan) untuk semua x, maka ����′ ���� = 0 untuk semua x,

    yaitu : �������� ���� = 0.
                                                                                           7



Bukti :

Karena ���� ���� + ���� = ���� ���� = ����, maka didapat

                                     ���� ���� + ���� − ����(����)        ���� − ����
                     ���� ′ ���� = lim                       = lim          = 0.
                               ���� →0           ����          ���� →0 ����




Teorema 2.1.3.: Derivatif Fungsi Linear (Endang Dedy, 2003 : 140)

Jika ���� ���� = �������� + ����, ���� ≠ 0, maka ���� ′ ���� = ����, yaitu �������� �������� + ���� = ����.

Bukti :

                            ���� ���� + ���� − ����(����)         ���� ���� + ���� + ���� − (�������� + ����)
           ���� ′ ���� = lim                        = lim
                      ���� →0          ����           ���� →0              ����

                             �������� + �������� + ���� − �������� − ����        ��������
                    = lim                                 = lim       = lim ���� = ����
                       ���� →0              ����                ���� →0 ����    ���� →0




Teorema 2.1.4.: Derivatif Fungsi Pangkat (Endang Dedy, 2003 : 141)

Jika n bilangan bulat positif dan ���� ���� = ���� ���� maka ���� ′ ���� = �������� ����−1 atau

�������� ���� ���� = �������� ����−1 .

Bukti :
           ����
 ���� + ����        = ���� ���� + �������� ����−1 ���� + ����2 ����(����) dimana ����(����) adalah polinom dalam h

yang berderajat n – 2.

                                                ���� ���� + ���� − ���� ����
                               ���� ′ ���� = lim
                                          ���� →0           ����

                                              ���� + ���� ���� − ���� ����
                                      = lim
                                        ���� →0        ����

                                               ���� ���� + �������� ����−1 ���� + ����2 ����(����) − ���� ����
                                      = lim
                                         ���� →0                      ����
                                                                                          8



                                               ����[(�������� ����−1 ) + ���� ���� ����]
                                     = lim
                                         ���� →0               ����

                                     = lim [(�������� ����−1 ) + ���� ���� ����]
                                         ���� →0


                                      = �������� ����−1 + 0

                                      = �������� ����−1 .



Teorema 2.1.5.: Derivatif pada Kombinasi Linear Fungsi (Endang Dedy,

2003 : 142)

Jika f dan g adalah fungsi yang terdeferensialkan, a dan b adalah konstanta

real, maka ���� �������� ���� + �������� ����         = �������� ���� ����     + ��������(���� ���� ).

Bukti :

                                      �������� ���� + ���� + ��������(���� + ����) − �������� ���� + ��������(����)
  ���� �������� ���� + �������� ����    = lim
                             ���� →0                            ����
                                            ���� ����+���� −����(����)           ���� ����+���� −����(����)
                           = ���� lim                          + ���� lim
                                     ����→0          ����             ����→0        ����

                           = ������������ ���� + ������������ ���� .



Teorema 2.1.6.: Derivatif Hasil Kali Fungsi (Endang Dedy, 2003 : 143)

Jika f dan g masing-masing adalah fungsi yang terdeferensialkan di x maka fg

adalah terdeferensialkan di x, dan

                   ���� ���� ���� . ���� ����      = ���� ′ ���� . ���� ���� + ���� ���� . ����′ (����)

                                          = ���� ���� �������� ���� + ���� ���� ��������(����)

Bukti :

���� ���� ���� . ���� ����
                                                                                                 9




          ���� ���� + ���� . ���� ���� + ���� − ���� ���� . ���� ���� + ���� + ���� ���� . ���� ���� + ���� − ���� ���� . ���� ����
  = lim
     ����→0                                          ����
        ���� ���� + ���� . ���� ���� + ���� − ���� ���� . ���� ���� + ����         ���� ���� . ���� ���� + ���� − ���� ���� ����(����)
= lim                                                + lim
  ���� →0                        ����                      ���� →0                  ����

              ���� ���� + ���� − ����(����)                                 ���� ���� + ���� − ����(����)
    = lim                         . lim ���� ���� + ���� + ����(����) lim
         ����→0           ����          ���� →0                   ���� →0           ����

  = ���� ′ ���� ���� ���� + ���� ���� ����′(����)

  Dalam bukti di atas diaplikasikan teorema penjumlahan dan teorema

  perkalian limit dan definisi untuk ���� ′ ���� dan ����′ (����), serta fakta bahwa

                                     lim ���� ���� + ���� = ���� ����
                                     ���� →0


  Dari hasil di atas terlihat bahwa :

  Turunan hasil kali tidak sama dengan hasil kali turunan-turunan.



  Teorema 2.1.7.: Derivatif Fungsi Kebalikan (Endang Dedy, 2003 : 144)

  Jika f terdeferensialkan di x dan ���� ���� ≠ 0 untuk ���� ∈ �������� maka

                                1            ���� ′ (����)              1         ��������
                      ����             =−               2
                                                          atau ����        =−
                            ����(����)           ����(����)                 ����        ���� 2

  Bukti :

  Dengan menggunakan definisi turunan dan teorema perkalian limit, didapat

                                  1            1       1          1
                           ����          = lim                  −
                                ����(����)   ���� →0 ���� ����(���� + ����)   ����(����)
                                                                                                            10



                    ���� ���� − ����(���� + ����)
            = lim
              ���� →0 ���� ���� + ���� + ����(����)


                                  1                                         ���� ���� + ���� − ����(����)
            = − lim                                                  lim
                      ����→0 ���� ���� + ���� ����(����)                         ����→0                ����

                      ���� ′ (����)
            =−                2
                                  .
                    ����(����)




Teorema 2.1.8.: Derivatif Fungsi Hasil Bagi (Endang Dedy, 2003 : 145)

Jika f dan g terdeferensial di x dan ����(����) ≠ 0 untuk ���� ∈ �������� maka f / g

terdeferensial di x, dan

                         ����(����)   ���� ���� ���� . ���� ���� − ���� ���� ����(���� ���� )
                 ����             =
                         ����(����)                 ����(����) 2

                                                     ����������������

Jika ���� = ����(����) dan ���� = ����(����) maka

                                             ���� ′ ����′ ���� − ��������′
                                                 =
                                             ����         ���� 2

Bukti :

                                                    ����(����)                         1
Gunakan aturan hasil kali terhadap                           = ���� ���� .                   , maka diperoleh
                                                    ����(����)                      ����(����)

                           ����(����)                            1                           1
                    ����                = �������� ���� ���� ���� + ���� ���� ���� ����(����)
                           ����(����)


                                          ����′(����)                           ����′ (����)
                                      = ����(����) + ����(����) − ����(����) 2

                                          ���� ′ ���� ����(����)−����(����)���� ′ (����)
                                      =                          2
                                                      ����(����)

                                           ����(���� ���� ���� ���� −���� ���� ����(���� ���� )
                                      =                               2
                                                         ����(����)
                                                                                    11




Derivatif Tingkat Dua (Wikaria Gazali dan Soedadyatmodjo, 2007 : 72)

Diberikan fungsi ���� = ����(����). Derivatif tingkat dua dari fungsi y terhadap x

ditulis dengan

                 ���� 2 ����       ����(���� ′ )
                           =               = ���� ′′ = ���� ′′ (����) adalah fungsi
                 �������� 2          ��������

                                                      ����′ ���� + ���� − ����′(����)
                               ���� ′′ ���� = lim                                   .
                                               ����→0                 ����

Selanjutnya dalam skripsi ini penotasian turunan menggunakan notasi sebagai

berikut :

                                  ��������                   ���� 2 ����
                                           = ���� ���� ,               = ����(����),
                                  ��������                   �������� 2

                                   ��������                  ���� 2 ����
                                           = ���� ���� ,               = ���� (����),
                                   ��������                  �������� 2

                                  ��������                   ���� 2 ����
                                           = ���� ���� ,               = ���� (����),
                                   ��������                  �������� 2

                                   ��������                  ���� 2 ����
                                           = ���� ���� ,               = ����(����).
                                   ��������                  �������� 2

2.1.9. Derivatif Vektor Fungsi (Noeniek Soemartojo, 1982 : 19)

Derivatif dari vektor fungsi ���� = ���� (����) didefinisikan:

                           ��������       ���� ���� + ∆���� − ����(����)         ∆����
                                = lim                      = lim
                           �������� ∆����→0          ∆����           ∆����→0 ∆����


asalkan limitnya ada. Vektor ���� digambarkan oleh vektor �������� dengan O tetap.

Pembilang ���� ���� + ∆���� − ���� ���� = ∆���� dinyatakan oleh vektor ��������1 , yang

merupakan pemindahan dari titik P dalam interval t sampai ���� + ∆����. Besaran
                                                                                                     12



∆���� adalah vektor. Maka ∆����/∆���� adalah vektor dan jika diambil limitnya untuk

∆���� → 0 maka diperoleh

                                                           ∆���� ��������
                                                     lim       = .
                                                     ∆����→0 ∆����  ��������



                                                                                   ��������
                                                                                   ��������
                                                                      ∆����




Misalkan : ���� ���� = ���� ���� ���� + ���� ���� ���� + ����(����)����,

maka diperoleh

���� ���� + ∆���� − ���� ���� = ���� ���� + ∆���� − ���� ���� ���� + ���� ���� + ∆���� − ����(����) ���� +
                                                                                                 (2.1.9)
{���� ���� + ∆���� − ����(����)}����

Persamaan (2.1.9) dibagi dengan ∆���� maka untuk ∆���� → 0, diperoleh

                ��������                                        ������������      ������������      ������������
                     = ���� ′ ���� ���� + ����′ ���� ���� + ����′ ���� ���� =        ���� +        ���� +        ����.
                ��������                                         ��������        ��������        ��������

Sifat sifat derivatif vektor:

         ����                       ��������        ��������
    1.           ���� + ���� =                +
         ��������                     ��������        ��������

         ����                        ��������       ��������
    2.           ����. ���� = ����.             +           . ����
         ��������                      ��������       ��������

         ����                                ��������         ��������
    3.           ���� × ���� = ���� ×                   +            × ����
         ��������                              ��������         ��������

         ����                    ��������        ��������
    4.           �������� = ����             +          ����, dengan ���� = ����(����) fungsi skalar dalam ����
         ��������                   ��������       ��������
                                                                                                               13



         5. Jika ���� vektor tetap dan c skalar tetap, maka
              ��������                        ����                     ��������                  ����                      ��������
                     = 0,                        ����. ���� = ����.           ,                     ���� × ���� = ���� ×
              ��������                        ��������                   ��������                  ��������                    ��������

              ����              ��������                   ����                     ��������
                     �������� =          ����          ;          �������� = ����              .
              ��������            ��������                   ��������                   ��������




2.2. Matriks

    Pengertian Matriks (W.S. Budhi, 1995 : 16)

        Matriks adalah jajaran bilangan berbentuk empat persegi panjang. Matriks

    yang mempunyai m baris dan n kolom dituliskan sebagai matriks m x n.

    Bilangan yang terdapat pada matriks disebut elemen matriks. Matriks

    biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B,…. Elemen matriks A

    dinyatakan dengan huruf kecil yang berkaitan dan diberi dua indeks. Elemen

    yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dinyatakan

    sebagai ������������ .

        Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan yang

    mempunyai satu kolom saja disebut matriks kolom atau vektor. Matriks yang

    banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks bujur

    sangkar.



    2.2.1. Operasi Matriks

            Definisi 2.2.1.1.: Jumlah Dua Matriks (W.S. Budhi, 1995 : 39)

            Misalkan ���� = (������������ ) dan ���� = (������������ ) merupakan dua matriks berukuran

            sama ���� × ����. Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah matriks
                                                                           14



berukuran ���� × ���� dengan elemennya merupakan jumlah elemen yang

seletak dari kedua matriks.

Dalam hal ini ditulis

                          ���� + ���� = ������������ + ������������ .

Notasi ini mempertegas bahwa elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j

dari matriks ���� + ���� adalah ������������ + ������������ yang kita peroleh sebagai jumlah

elemen seletak dari masing-masing matriks.



Definisi 2.2.1.2.: Perkalian Matriks dengan Bilangan (W.S. Budhi,

1995 : 40)

Diketahui matriks A dan c merupakan bilangan. Matriks cA adalah

matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks A

dengan c. Dalam hal ini ditulis

                               �������� = ���������������� .

Berdasarkan definisi di atas, diperoleh

       −���� = −1 ����                ������������           ���� − ���� = ���� + (−����).



Definisi 2.2.1.3.: Perkalian Matriks (W.S. Budhi, 1995 : 43)

Diketahui matriks A berukuran ���� × ���� dan matriks B berukuran ���� × ����.

Hasil perkalian matriks A dan B ditulis AB, adalah matriks berukuran

���� × ���� dengan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah perkalian

matriks antara baris ke-i dari A dan kolom ke-j dari B.
                                                                                15



      Teorema 2.2.1.4.: Invers dari Matriks berukuran 2 x 2 (W.S.

      Budhi, 1995 : 57)

      Matriks berukuran 2 x 2

                                                ����   ����
                                         ���� =
                                                ����   ����

      mempunyai invers jika dan hanya jika �������� − �������� ≠ 0 dan invers dari

      matriks A adalah

                                              1      ����    −����
                                ����−1 =
                                         �������� − �������� −����   ����

    Definisi 2.2.1.5.: Operasi Baris Elementer (W.S. Budhi, 1995 : 18)

    Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi

    yang berupa:

    1) Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.

    2) Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

    3) Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan

        kelipatan baris lain.

    Notasi dari ketiga operasi tersebut adalah

                     Operasi Baris                                Notasi

Menukar baris ke-i dan ke-j                                      �������� ↔ ��������

Mengalikan baris ke-i dengan bilangan ����, ���� ≠ 0                    ������������

Mengganti baris ke-i dengan baris ke-i ditambah c kali
                                                                 �������� +������������
baris ke-j
                                                                                      16



2.2.2. Matriks Invertibel

     Definisi Matriks Invertibel (David Poole, 2003 : 161)

     Jika A adalah matriks n x n, invers dari A adalah matriks ����′ berukuran

     ���� x ���� dengan sifat yang

                                             ��������′ = ���� dan ����′���� = ����

     dimana ���� = �������� adalah matriks identitas n x n.

     Jika ����′ ada, maka ���� disebut matriks yang invertibel.



2.2.3.Determinan

     Nilai �������� − �������� disebut determinan matriks A yang berordo 2 x 2 dan

     ditulis sebagai berikut (W.S. Budhi, 1995 : 77):

                                                           ����   ����
                                      ������������ ���� = ������������           = �������� − ��������
                                                           ����   ����



     Definisi 2.2.3.1.: Minor dan Kofaktor dari determinan (W.S. Budhi,

     1995 : 89).

     Diketahui matriks A berukuran n x n. Minor ������������ adalah determinan dari

     matriks berukuran ���� − 1 × ���� − 1 yang diperoleh dari matriks A

     dengan menghapus baris ke-i                       dan kolom ke-j. Sedangkan kofaktor

                   ����+����
     ������������ = −1           ������������ .
                                                                                                            17



     Teorema 2.2.3.2.: Determinan Matriks Berukuran ���� × ���� (W.S.

     Budhi, 1995 : 90)

     Diketahui matriks A berukuran n x n. Nilai determinan matriks A dapat

     dihitung dengan cara perluasan baris ke-i

     det ���� = ��������1 ��������1 + ��������2 ��������2 +…+������������ ������������

                         ����+1                      ����+2                        ����+����
               = −1             ��������1 ��������1 + −1          ��������2 ��������2 +…+ −1           ������������ ������������ .

     Perhatikan bahwa pada penjumlahan minor, tanda aljabar silih berganti

     antara + dan -. Sedangkan perluasan untuk kolom ke-j adalah

     ��������t ���� = ����1���� ����1���� + ����2���� ����2���� +…+������������ ������������

                         1+����                      2+����                          ����+����
               = −1             ����1���� ����1���� + −1          ����2���� ����2���� +…+ −1              ������������ ������������ .



2.2.4.: Rank Matriks

     Definisi 2.2.4.1.: Rank Matriks (Howard Anton, 2000 : 261)

     Pada umumnya dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari matriks

     A disebut rank dari A dan dilambangkan oleh rank (A). Dimensi ruang

     nol A disebut nullitas A dan dilambangkan dengan null (A).

     rank (A) juga merupakan jumlah maksimum kolom-kolom yang bebas

     linear dalam A dengan berordo m x n.

     Contoh : rank dari suatu matriks satuan yang berordo n adalah n, sebab

                                                              0
                                                              ⋮
     I = (e1,…..,en) dan ei adalah bebas linear dengan �������� = 1 dengan
                                                              ⋮
                                                              0

     elemen ke-i adalah 1 (G.Hadley, 1983 : 118).
                                                                                                       18




         Teorema 2.2.4.2. (Howard Anton, 2000 : 261)

         Untuk setiap matriks A, rank (A) = rank (�������� ).

         Bukti :

         rank (A) = dim (ruang baris dari A) = dim (ruang kolom �������� ) =

         rank(�������� ).



2.3. Persamaan Diferensial Orde-Dua

   Persamaan diferensial linear orde-dua mempunyai bentuk

                                   ���� 2 ����              ��������
                        ���� ����                + ���� ����           + ���� ���� ���� = ����(����)             (2.1)
                                   �������� 2               ��������


   dengan P, Q, R, dan G adalah fungsi-fungsi kontinu. Jika ���� ���� = 0 maka

   persamaan (2.1) menjadi

                        ���� 2 ����                ��������
              ���� ����               + ���� ����             + ���� ���� ���� = 0                              (2.2)
                        �������� 2                 ��������


   Persamaan (2.2) disebut dengan persamaan linear homogen. Demikian juga

   dengan Jika ����(����) ≠ 0 maka persamaan (2.1) disebut persamaan linear

   takhomogen (James Stewart, 2003 : 609).



   2.3.1. Masalah Nilai Awal

         Diberikan persamaan (2.1), selanjutnya mencari solusi dari persamaan

         (2.1) yang juga memenuhi syarat awal

                                        ���� ����0 = ����0                           ���� ′ ����0 = 0,

         disebut masalah nilai awal. (James Stewart, 2003 : 609).
                                                                              19



2.4. Teori Sistem Matematika

   Pengertian Teori Sistem Matematika (G. J. Olsder, 1994 : 2)

             Sistem merupakan bagian dari realita (kehidupan) yang dapat

   dipandang sebagai unit yang terpisah dari realita tersebut. Realita di luar

   sistem disebut dengan lingkungan sekitar (surrounding). Antara sistem dan

   surrounding terjadi interaksi yang dinyatakan melalui sebuah kuantitas, yaitu

   fungsi atas waktu yang disebut fungsi input dan fungsi output. Fungsi input

   akan mempengaruhi sistem, sedangkan fungsi output akan mempengaruhi

   surrounding.




                          Gambar 1. Ilustrasi Sistem


   Sistem yang dibahas pada skripsi ini adalah sistem dinamik dengan bentuk

                         ���� (����) = ���� ���� ���� ���� + ���� ���� ���� ����
                                                                 (2.3)
                         ���� ���� = ���� ���� ���� ���� + ���� ���� ����(����)

   dengan ���� ∈ 0, ∞ , yang lebih dikenal dengan bentuk persamaan ruang

   keadaan (state space) dari suatu sistem.

   Berikut ini adalah keterangan dari masing-masing kuantitas di atas.

   ���� ���� adalah vektor kolom time varying berdimensi n yang bernilai real
                                                                                 20



                                      ����1 (����)
                                      ���� (����)
                              ���� ���� = 2         ∈ �������� ,
                                          ⋮
                                      �������� (����)

���� ���� menyatakan variabel state dari sistem.

Sehingga

                                     ����
                                         ���� ����
                                    �������� 1              ����1 ����
                            ����       ����
                                                        ���� ����
                    ���� ���� = ���� ���� = �������� ����2 ����       = 2       .
                           ��������                             ⋮
                                           ⋮
                                     ����                 �������� ����
                                         ���� ����
                                    �������� ����

���� ���� adalah vektor kolom time varying berdimensi m yang bernilai real

                                     ����1 (����)
                                     ���� (����)
                             ���� ���� = 2         ∈ �������� ,
                                         ⋮
                                     �������� (����)

���� ���� disebut variabel input dari sistem.

����(����) adalah vektor kolom time varying berdimensi p yang bernilai real

                                      ����1 (����)
                                      ���� (����)
                              ���� ���� = 2         ∈ �������� ,
                                           ⋮
                                      �������� (����)

����(����) disebut variabel output dari sistem.

���� ���� , ���� ���� , ���� ���� , ����(����) adalah matriks-matriks dengan waktu yang bervariasi

dan real dan dengan dimensi yang sesuai dengan persamaan dalam sistem.

dengan :

���� ���� = matriks state

���� ���� = matriks input
                                                                                21



���� ���� = matriks output

����(����) = matriks penyeimbang input dan output

                                      ���� ���� ∈ �������� × �������� ,

                                     ���� ���� ∈ �������� × �������� ,
                                                                           (2.4)
                                      ���� ���� ∈ �������� × �������� ,

                                     ���� ���� ∈ �������� × �������� ,

Sistem dinamik (2.3) disebut sistem linear time varying.

Jika pada sistem (2.3) diambil matriks-matriks konstan A, B, C, D maka

sistem (2.3) menjadi

                              ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                          (2.5)
                              ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

Sistem (2.4) disebut sistem linear time invariant.

Bentuk persamaan sistem (2.4) dan (2.5) disebut bentuk persamaan ruang

keadaan (bentuk persamaan state space).

2.4.1. Linearisasi

      Diberikan sistem dinamik non linear

                     ���� (����) = ����(���� ���� , ���� ���� , ����)                   (2.6)

      dengan syarat awal untuk t = t0, x(t0) = x0.                      (2.7)

      Misalkan ���� (����) adalah penyelesaian dari sistem (2.6) dan (2.7) dengan

      input ����(����). ���� (����) disebut nominal trayektori dan ����(����) disebut nominal

      input.

      Karena ���� (����) adalah penyelesaian dari sistem (2.6) dan (2.7) dengan

      input ����(����), maka state ���� (����) dan input ����(����) memenuhi
                                                                             22



                 ���� (����) = ����(���� ���� , ���� ���� , ����)                    (2.8)

dan

                 ���� ���� = ���� ����0 .                                    (2.9)



Definisi 2.4.1.1.: Linearisasi State Sistem Dinamik Nonlinear

(Olsder, 1994 : 30)

Diberikan sistem dinamik nonlinear dengan bentuk

      ���� (����) = ����(���� ���� , ���� ���� , ����)                               (2.6)

dengan syarat awal

      x(t0) = x0.                                                    (2.7)

Misalkan ���� (����) adalah penyelesaian dari sistem (2.6) (2.7) dengan input

����(����).

Linearisasi adalah proses                  menyederhanakan sistem yang sulit

dikarakterisasi dengan tidak menghilangkan sifat asli dari sistem (2.6)

dengan mengambil nilai awal/ nominal trayektori ���� ����0 = ����0 + ����0 dan

fungsi input/ nominal input ���� ���� = ���� ���� + ����(����) dimana ����0 + ����0 berada

dalam persekitaran dari ����0 dan ���� ���� + ����(����) berada dalam persekitaran

dari ���� ���� , yaitu dengan mengasumsikan ����0 dan ����(����) cukup kecil.

Karena ����0 dan ����(����) cukup kecil, maka dapat diasumsikan ���� ���� sebagai

penyelesaian dari sistem (2.6) (2.7) berbentuk

      ���� ���� = ���� ���� + ���� ���� ,                                         (2.10)

dimana ����(����) masih harus ditentukan.
                                                                                                23



Karena (2.9) adalah solusi dari sistem (2.6) (2.7), maka (2.10)

memenuhi

           ���� ���� = ���� ���� + ����(����)
                                                                                             (2.11)
                = ����(���� ���� + ����(����), ���� ���� + ����(����), ����)

 dan

               ���� ����0 = ����0 + ����0 .                                                          (2.12)

Ekspansikan (2.11) dalam deret Taylor diperoleh

���� ���� =

                         ����                                          ����
���� ���� ���� , ���� ���� , ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� +

suku dengan order yang lebih tinggi.

dengan

                                    ����               ����                        ����
                                              ����1              ����1    …              ����
                                   �������� 1           �������� 2                    �������� ���� 1
                                     ����               ����                        ����
 ����                                      ����               ����          …              ����
       ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� =     �������� 1 2         �������� 2 2                  �������� 2����     (2.13)
��������
                                          ⋮                ⋮          ⋱              ⋮
                                    ����               ����               …        ����
                                              ����
                                               ����              ����
                                                                ����                   ����
                                  �������� 1            �������� 2                    �������� ���� ����

disebut jacobian fungsi ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� terhadap variabel x(t).

Dan

                                     ����               ����                        ����
                                              ����1              ����1        …          ����
                                   �������� 1           �������� 2                    �������� ���� 1
                                     ����               ����                        ����
 ����                                      ����               ����              …          ����
       ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� =     �������� 1 2         �������� 2 2                  �������� 2 ����    (2.14)
��������
                                          ⋮                ⋱              ⋱          ⋮
                                     ����               ����                  …     ����
                                         ����               ����                         ����
                                   �������� 1 ����        �������� 2 ����                 �������� ���� ����

disebut jacobian fungsi ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� terhadap variabel u(t).

Berdasarkan persamaan (2.8), (2.11), dan (2.10) diperoleh
                                                                                               24



           ����                                      ����
���� ���� = �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ����                (2.15)

Persamaan (2.15) dapat ditulis sebagai

           ���� ���� = ���� ���� ���� ���� + ���� ���� ����(����)                                              (2.16)

dengan

                ����                                           ����
���� ���� =              ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� dan ���� ���� =             ���� ���� ���� , ���� ���� , ����
            ��������                                            ��������

Persamaan (2.16) menunjukkan bahwa sistem terlinearisasi ���� ���� adalah

sistem linear time varying.

Definisi 2.4.1.2.: Linearisasi Persamaan Output (Olsder, 1995 : 30)

Diberikan sistem dinamik nonlinear dengan bentuk

                     ���� (����) = ����(���� ���� , ���� ���� , ����)                                  (2.6)

dengan syarat awal

                     x(t0) = x0                                                        (2.7)

dan persamaan output

                      ���� ���� = ���� ���� ���� , ���� ���� , ����                                    (2.17)

                               ����1 (���� ���� , ���� ���� )
                               ���� (���� ���� , ���� ���� )
dengan ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� = 2                     .
                                          ⋮
                               �������� (���� ���� , ���� ���� )

Dengan masing-masing �������� ���� ���� , ���� ����                 adalah fungsi berharga real i =

1,..,m.

Misalkan solusi dari persamaan (2.17) adalah

     ����(����) = ���� ���� ���� , ���� ���� , ����                                                    (2.18)

maka penyelesaian y(t) berbentuk

    ���� ���� = ���� ���� + ����(����)                                                             (2.19)
                                                                                                                25



dimana w(t) masih harus ditentukan.

Karena (2.19) adalah solusi dari persamaan output (2.17), maka (2.19)

memenuhi

         ���� ���� = ���� ���� + ����(����)
                                                                                                        (2.20)
               = ���� ���� ���� + ���� ���� , ���� ���� + ����(����), ����

dan

         ���� ����0 = ����0 + ����0 .                                                                           (2.21)

Ekspansikan (2.20) dalam deret Taylor, dihasilkan

���� ���� =

                          ����                                             ����
���� ���� ���� , ���� ���� , ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ����(����)

+ suku dengan orde yang lebih tinggi.                                                                  (2.22)

dengan

                                     ����                ����                           ����
                                              ����1               ����1           …               ����1
                                   �������� 1            �������� 2                       �������� ����
                                     ����                ����                            ����
 ����                                           ����2               ����2           …          ����
       ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� =     �������� 1            �������� 2                       �������� ���� 2            (2.23)
��������
                                          ⋮                 ⋮                 ⋱           ⋮
                                     ����               ����                      …     ����
                                              ��������              ��������                          ��������
                                   �������� 1            �������� 2                       �������� ����

disebut jacobian fungsi ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� terhadap variabel x(t).

Dan


                                     ����                ����                            ����
                                              ����1                 ����1         …                 ����1
                                    �������� 1           �������� 2                       �������� ����
                                      ����               ����                            ����
 ����                                           ����2                 ����2         …           ����
       ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� =      �������� 1           �������� 2                        �������� ���� 2           (2.24)
��������
                                          ⋮                   ⋮               ⋱             ⋮
                                     ����                ����                     …      ����
                                              ��������                ��������                          ��������
                                   �������� 1            �������� 2                       �������� ����
                                                                                                    26



     disebut Jacobian fungsi ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� terhadap variabel u(t).

     Sehingga

     ���� ���� = ���� ���� + ���� ����

                                      ����                                    ����
         = ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ����

           + suku dengan orde yang lebih tinggi

                      ����                                 ����
         = ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ����

           + suku dengan orde yang lebih tinggi.

     Jadi diperoleh

                ����                                  ����
     ���� ���� = �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ���� + �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� ���� ����             (2.25)

     Persamaan (2.25) dapat ditulis sebagai

                     ���� ���� = ���� ���� ���� ���� + ���� ���� ����(����)                                      (2.26)

     dengan

                ����                                             ����
     ���� ���� = �������� ���� ���� ���� , ���� ���� , ���� dan ���� ���� =                  ���� ���� ���� , ���� ���� , ����   (2.27)
                                                              ��������

     Persamaan (2.26) menunjukkan bahwa persamaan output terlinearisasi

     w(t) adalah sistem linear time varying.



2.4.2. : Kestabilan Sistem (Olsder, 1994 : 51)

     Diberikan sistem linear time invariant autonomous (tidak memiliki

     sistem input)

                     ���� ���� = ���� ����(����) .                                                     (2.28)

     Penyelesaian dari sistem (2.28) dengan syarat awal ���� 0 = ����0 , ditulis

     dengan ����(����, ����0 ).
                                                                        27




Definisi 2.4.2.1.

Diberikan sistem linear time invariant autonomous

              ���� ���� = ���� ����(����) .                                  (2.28)

Vektor ���� (����) yang memenuhi

              ���� ���� ����   =0                                        (2.29)

disebut titik equilibrium dari sistem (2.28).

Untuk sistem linear time invariant

              ���� ���� = ��������(����)                                     (2.30)

maka untuk titik x(t) = 0 berakibat ���� ���� = �������� ���� = ����. 0 = 0. Sehingga

titik x(t) = 0 adalah titik equilibrium dari sistem (2.30).

Jika matriks A tidak invertible maka terdapat titik equilibrium selain

����(����) = 0.



Definisi 2.4.2.2.

Diberikan sistem linear time invariant autonomous

              ���� ���� = ���� ����(����)                                    (2.28)

dengan nilai awal ���� 0 = ����0 . Titik equilibrium ���� (����) dikatakan stabil

jika setiap bilangan ���� > 0 terdapat bilangan ���� > 0 sedemikian sehingga

jika ����0 − ���� (����) < ���� maka ���� ����, ����0 − ���� (����) < ���� untuk semua ���� ≥ 0.



Definisi 2.4.2.2. di atas mengatakan bahwa titik equilibrium ���� (����) stabil

jika penyelesaian dari sistem tersebut akan selalu berada dalam
                                                                            28



persekitaran (lingkungan) dari titik equilibrium ���� (����) jika diambil awal

����0 yang berada dalam persekitaran dari ���� (����).

Berdasarkan definisi 2.4.2.2., untuk sistem linear time invariant

            ���� ���� = ��������(����)                                           (2.30)

karena x(t) = 0 adalah titik equilibrium dari sistem (2.30) dan ���� ���� =

���� �������� ����0 adalah solusi dari sistem (2.30), maka sistem (2.30) stabil jika

dan hanya jika

            ∀���� > 0 ∃���� > 0 ∋       ����0 < ����       ���� �������� ����0 < ����.



Definisi 2.4.2.3.: Stabil Asimtotik

Diberikan sistem linear time invariant autonomous

            ���� ���� = ���� ����(����)                                          (2.28)

dengan nilai awal ���� 0 = ����0 . Titik equilibrium ���� (����) dikatakan stabil

asimtotik jika ���� (����) stabil dan jika terdapat bilangan ����1 > 0 sedemikian

sehingga

                        lim ���� ����, ����0 − ���� (����) = 0
                        ����→∾


Asalkan bahwa ���� ����, ����0 − ���� (����) < ����1 .



Definisi 2.4.2.3. di atas mengatakan bahwa titik equilibrium ���� (����) stabil

asimtotik jika penyelesaian dari sistem tersebut konvergen ke titik

equilibrium.



Berdasarkan definisi 2.4.2.3., untuk sistem linear time invariant
                                                                                     29



                          ���� ���� = ��������(����)                                      (2.30)

           Karena ���� ���� = 0 adalah titik equilibrium dari sistem 2.4.2.3. dan

           ���� ���� = ���� �������� ����0 adalah solusi dari sistem 2.4.2.3., maka sistem 2.4.2.3.

           stabil asimtotik jika dan hanya jika

                           ∃����1 > 0 ∋        ����0 < ����1   lim ���� �������� ����0 < 0.
                                                         ����→∾




           Definisi 2.4.2.4.: Ketidakstabilan

           Titik equilibrium ���� (����) dikatakan tidak stabil jika ���� (����) tidak sesuai

           dengan definisi 2.4.2.1. dan definisi 2.4.2.2.



           Teorema 2.4.2.5.: (G. J. Olsder, 1994 : 52)

           Diberikan sistem linear time invariant

                          ���� ���� = ��������(����)                                      (2.31)

           dengan matriks Anxn mempunyai nilai-nilai karakteristik ����1,.…,k dengan

           ���� ≤ ����. Maka sistem (2.31) dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya

           jika ��������(�������� ) < 0 untuk ���� = 1, … ����.



2.5. Teori Kontrol Linear

    Definisi 2.5.1.: Keterkendalian (Kemin Zhou, 1998 : 28)

    Sistem dinamik linear time invariant

    ����(����) = ��������(����) + ��������(����),   ���� ����0 = ����0                                (2.32)
                                                                                   30



dikatakan terkendali jika untuk semua nilai awal ���� 0 = ����0 , ����1 > 0 dan

penyelesaiannya ����1 , terdapat fungsi input kontinu sepotong-potong ����(����)

sedemikian sehingga solusi persamaan (2.32) memenuhi ���� ����1 = ����1 .



Definisi 2.5.2.: Matriks Keterkendalian (Olsder, 1994 : 58)

Diberikan sistem dinamik linear time invariant

����(����) = ��������(����) + ��������(����),      ���� ����0 = ����0                               (2.32)

Matriks ��������×���� = ����        ��������    ����2 ���� … �������� −1 ���� disebut matriks keterkendalian

(controllability matrix).



Teorema 2.5.3.: Caley-Hamilton (Howard Anton, 2004 : 413)

Jika

                     ����0 + ����1 ���� + ����2 ����2 +…+��������−1 �������� −1 + �������� = 0

adalah persamaan karakteristik matriks A, maka

                    ����0 ���� + ����1 ���� + ����2 ����2 +…+��������−1 �������� −1 + �������� = 0



Lemma 2.5.4. (Olsder, 1994 : 58)

                                   �������� �������� ���� ⊂ �������� ����, ∀����



Bukti :

Untuk k = 0,1,2,3,……,n – 1.

Misalkan          ���� ���� = �������� + ��������−1 �������� −1 + … + ����0 = det⁡ − ��������)
                                                               (����             adalah

polinomial karakteristik dari A. Maka menurut teorema Caley Hamilton
                                                                                             31



                   ���� ���� = 0 ⟺ �������� + �������� −1 �������� −1 + … + ����0 = 0.

Sehingga

                             �������� = −�������� −1 �������� −1 − … − ����0 .

Jadi �������� adalah kombinasi linear dari �������� untuk j = 0,1,…., n - 1. Kalikan

kedua ruas dengan A didapat

�������� +1 = −�������� −1 �������� − … − ����0 ����

        = −�������� −1 −�������� −1 �������� −1 − … − ����0 ���� − �������� −2 �������� −1 − … − ����1 ����2 − ����0 ����.

Jadi �������� +1 juga merupakan kombinasi linear dari �������� untuk j = 0,1,…., n - 1.

Terbukti �������� �������� ���� ⊂ �������� ����, ∀����.



Teorema 2.5.4. (Olsder, 1994 : 59)

Diberikan sistem linear time invariant dalam bentuk state space

                              ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                                         (2.5)
                              ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

Maka, pernyataan-pernyataan berikut ekivalen :

   i.     Sistem (2.5) dapat dikendalikan.

  ii.     Matriks keterkendalian (controllability matrix)

                              ��������×�������� = ���� �������� ����2 ���� … �������� −1 ����

          mempunyai rank n.

Bukti :

���� ⟹ �������� :

Andaikan rank R ≠ n, akan ditunjukkan bahwa sistem (2.5) tidak terkendali.

Untuk sembarang ���� ���� , 0 ≤ ���� ≤ ����1 dengan ����1 > 0 maka
                                                                                                              32



                    ���� 0
���� ����1 , 0, ���� =   0
                             ���� ����   ���� 1 −����
                                                �������� ���� ��������

                    ���� 0                                              ����2
              =    0
                               ���� + ���� ����1 − ���� +                            ����1 − ���� 2 +. . . �������� ���� ��������
                                                                      2!

                            ���� 0                                      ���� 0
              = ����         0
                                   ����(����) �������� + ��������                0
                                                                             ����1 − ���� ���� ���� �������� +

                                    ���� 0 ���� 1 −���� 2
                   ����2 ����          0
                                                         ���� ���� �������� + ⋯
                                             2!


Jadi, ���� ����1 , 0, ����(����) adalah kombinasi linear dari ����, ��������, ����2 ����, …

Jika rank R < n, maka �������� ���� ≠ �������� , sehingga ada titik di �������� yang tidak dapat

dicapai. Sehingga sistem (2.5) tidak terkendali.

�������� ⟹ ���� :

Misalkan rank R = n. Akan dibuktikan bahwa dimulai dari titik ����0 = 0 maka

sembarang titik ����1 ∈ �������� dapat dicapai dalam waktu ����1 > 0.

Didefinisikan matriks
                                                              ���� 1
                                                                                            ����
                                                ���� =                 ���� −�������� ������������ ���� −���� ���� ��������
                                                            0

Selanjutnya akan dibuktikan matriks K mempunyai invers. Andaikan K tidak

mempunyai invers, maka K.a = 0, untuk suatu ���� ≠ 0. Sehingga

                                                �������� �������� = 0
                                                  ���� 1                                 ����
                                                 0
                                                         �������� ���� −�������� ������������ ���� −���� ���� ������������ = 0

                                                  ���� 1
                                                 0
                                                          �������� ���� −�������� ����      2
                                                                                    �������� = 0

                                                �������� ���� −�������� ���� = 0, ∀���� ∈ 0, ����1

Turunkan hasil di atas sebanyak n – 1 kali, didapat

                                                             �������� ���� −�������� ���� = 0
                                                             �������� �������� −�������� ���� = 0
                                                                        ⋮
                                                               ���� ���� −1 −��������
                                                             ���� ���� ���� ���� = 0
                                                                                                               33



karena ���� −�������� , maka

                                                             �������� ���� = 0

                                                           �������� �������� = 0

                                                                      ⋮

                                                        �������� �������� −1 ���� = 0,

atau �������� ���� = 0. Hal ini tidak mungkin sebab rank R = n. Jadi matriks K

mempunyai invers untuk sembarang titik ����1 ∈ �������� dan ����1 > 0.

Didefinisikan
                                                                 ����
                                      ���� ���� = �������� ���� −���� ���� ���� −1 ���� −�������� 1 ����1

Jika input ini adalah aplikasi dari sistem dengan kondisi nilai awal ����0 = 0,

maka
                    ���� 1
���� ����1 , 0, ���� =   0
                           ���� ����    ���� 1 −����
                                               �������� ���� ��������

                    ���� 1                                    ����
             =     0
                           ���� ����   ���� 1 −����
                                               ������������ ���� −���� ���� ���� −1 ���� −�������� 1 ����1 ��������

                                    ���� 1                         ����
             = ���� ��������1            0
                                           ���� −�������� ������������ ���� −���� ���� �������� ���� −1 ���� −�������� 1 ����1

             = ���� ��������1 �������� −1 ���� −�������� 1 ����1

             = ����1 .

Untuk ����0 sembarang, lihat state ����1 − ���� ��������1 ����0 . Maka terdapat fungsi ���� ����

sedemikian sehingga
                                                                      ���� 0
                                   ���� ����1 , 0, ����(����) =                      ���� ����   ���� 1 −����
                                                                                                �������� ���� ��������
                                                                      0


                                                         = ����1 − ���� ��������1 ����0 .

Sehingga
                                                                                                                    34



                                            ���� 0
                           �������� 1
                ����1 = ����            ����0 +          ���� ����   ���� 1 −����
                                                                      �������� ���� �������� − ���� ����1 , 0, ����(����) .
                                            0


Terbukti bahwa dimulai dari titik ����0 = 0 maka sembarang titik ����1 ∈ �������� dapat

dicapai dalam waktu ����1 > 0.

Artinya sistem terkendali.



Lemma 2.5.4.1.:

Suatu sistem dikatakan terkendali, jika salah satu input tidak operatif.



Lemma 2.5.4.1.:

Jika input 1 tidak operatif maka sistem dikatakan terkontrol. Sebaliknya, jika

input 2 tidak operatif maka sistem dikatakan tidak terkontrol.



Definisi 2.5.5.: Keteramatan (Observability) (Olsder, 1994 : 69)

Diberikan sistem linear time invariant

                                       ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                                                            (2.5)
                                       ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

dengan syarat awal

                                       x(t0) = x0.                                                          (2.7)

Sistem (2.5) dikatakan terobservasi atau teramati (observable) jika terdapat

����1 > 0 sedemikian sehingga untuk suatu input                                                ����(����) berlaku jika

���� ����1 , ����0 , ���� = ����(����1 , ����1 , ����) maka ����0 = ����1 .
                                                                                     35



Lemma 2.5.6.:

Jika �������� = ������������ = …= ������������−1 ���� = 0 maka ������������ ���� = 0 untuk k = 0, 1, 2, …,

n – 1,n,…

Bukti :

Berdasarkan teorema Cayley Hamilton �������� adalah kombinasi linear dari ��������

untuk j = 0, 1, 2, …,n – 1,n dan ���� ≥ ����. Maka

                    ������������ = ����0 ���� + ����1 �������� +…+�������� −1 ������������ −1 .

Sehingga

              ������������ ���� = ����0 �������� + ����1 ������������ +…+��������−1 ������������−1 ���� = 0.



Definisi 2.5.7.:

Diberikan sistem linear time invariant

                              ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                             (2.5)
                              ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

Matriks

                                               ����
                                              ��������
                                ���� ����
                                  ��������    =
                                                ⋮
                                            ������������ −1

disebut matriks keteramatan (observability matrix).



Teorema 2.5.6.:

Diberikan sistem linear time invariant

                              ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                             (2.5)
                              ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)
                                                                                                            36



Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen :

      i. Sistem (A, B, C, D) teramati

      ii. Rank W = n

Bukti :

���� ⟹ �������� :

Misalkan rank W < n, akan dibuktikan sistem (A, B, C, D) tidak teramati.

Karena rank W < n, maka terdapat dua vektor ����0 dan ����1 dengan ����0 ≠ ����1

sedemikian sehingga ����0 − ����1 ∈ ����������������, sehingga ���� ����0 − ����1 = 0. Maka

                                               ����
                                              ��������
                                                         ����0 − ����1 = 0
                                                ⋮
                                            ������������ −1

                     ���� ����0 − ����1 = �������� ����0 − ����1 =…= ������������ −1 ����0 − ����1 = 0

Dari lemma 2.5.6 didapat ������������ ���� = 0 untuk k = 0, 1, 2, …, n – 1,n,…

Maka
                                    ∞
              ��������
                                           ���� ����
       ��������          ����0 − ����1 =                 ������������ ����0 − ����1 = 0           �������������������� �������������������� ����.
                                           ����!
                                   ���� =0


Yaitu ���� ����, ����0 , ���� = ����(����, ����1 , ����),           ∀���� ∈ 0, ����1 .

Jadi sistem tidak teramati.



�������� ⟹ ���� :

Misalkan rank W = n. ambil sembarang ����1 > 0 dan ����(����). Asumsikan

���� ����, ����0 , ���� = ����(����, ����1 , ����),        ∀���� ∈ 0, ����1 . Selanjutnya akan dibuktikan ����0 = ����1

                                           ���� ����, ����0 , ���� = ����(����, ����1 , ����)
                                                                                                                        37



                            ����                                                    ����
             ��������                     ���� ����−����                         ��������
          �������� ����0 +             ����              �������� ���� �������� = �������� ����1 +             ���� ����   ����−����
                                                                                                       �������� ���� ��������
                           0                                                      0


                                                  �������� �������� ����0 = �������� �������� ����1

                                      �������� �������� ����0 − ����1 = 0

untuk semua ∀���� ∈ 0, ����1 . Turunkan terhadap t sejumlah n – 1 kali, diperoleh

                    �������� �������� ����0 − ����1 = 0                     ���� = 0 ⟹ ���� ����0 − ����1 = 0

               ������������ �������� ����0 − ����1 = 0                        ���� = 0 ⟹ �������� ����0 − ����1 = 0

                                                               ⋮

          ������������−1 ���� �������� ����0 − ����1 = 0                        ���� = 0 ⟹ ������������−1 ����0 − ����1 = 0

atau

                                                   ���� ����0 − ����1 = 0.

Karena rank W = n (atau ker W = 0) maka diperoleh ����0 = ����1 .

Dualitas Keterkendalian dan Keteramatan

        Keterkendalian dan keteramatan adalah dua konsep yang saling dual

dan saling berkaitan satu dan lainnya seperti pada teorema berikut:

Teorema 2.5.7.: Dualitas Keterkendalian dan Keteramatan (Olsder, 1994

: 72)

         Sistem (A, B) terkendali jika dan hanya jika sistem (BT, AT) teramati.

         Sistem (C, A) teramati jika dan hanya jika sistem (AT, CT) terkendali.

Bukti :

         Sistem (A, B) terkendali ⟺ ���������������� ���� �������� ����2 ���� … ��������−1 ���� = ����

                                                    ⟺ ���������������� ���� �������� ����2 ���� … �������� −1 ����                  ����
                                                                                                                 = ����
                                                                                          38



                                                   ��������
                                                 �������� ��������
                                  ⇔ ����������������                = ����
                                                     ⋮
                                             �������� �������� ����−1

                                 ⟺ �������� , �������� teramati.

                                             ����
                                            ��������
       Sistem (C, A) teramati ⇔ ����������������           = ����
                                              ⋮
                                          ������������ −1
                                                        ����
                                              ����
                                             ��������
                                ⇔ ����������������                   = ����
                                               ⋮
                                           ������������ −1

                                ⇔ ���������������� ���� ���� �������� ���� ���� …       ��������   ����−1
                                                                                  ���� ����

                                ⇔ �������� , ���� ���� terkendali.

2.5.8.: Sistem Kontrol (S. K. Battacharya, 2005 : 3)

Klasifikasi pada sistem kontrol dibagi menjadi dua yaitu: sistem kontrol

lingkar terbuka (open-loop control system) dan sistem kontrol lingkar tertutup

(closed-loop control system).



       2.5.8.1.: Sistem Kontrol Lingkar Terbuka

       Sistem kontrol lingkar terbuka adalah sistem kontrol yang kerja

       pengontrolnya independent/ tidak tergantung pada output dari sistem.




                        Gambar 2. Open-loop control system
                                                                         39



2.5.8.2.: Sistem Kontrol Lingkar Tertutup

Sistem kontrol lingkar tertutup adalah sistem kontrol yang kerja

pengontrolnya tergantung pada output dari sistem. Closed-loop control

system lebih dikenal dengan istilah feedback control system.




                 Gambar 3. Closed-loop control system


Perbedaan antara open-loop control system dan closed-loop control

system, dapat dilihat pada tabel berikut:

         Open-loop system                    Closed-loop system

                                      Adanya feedback untuk mem-

Tidak memakai feedback                bandingkan     antara     kebutuhan

                                      output dan keterangan dari input

                                      Closed-loop system dapat menjadi
Open-loop system biasanya stabil
                                      tidak stabil dalam keadaan tertentu

Ketepatan sistem ditentukan oleh Sistem        kompleks.      Menyulitkan

pencocokan     unsur-unsur     yang untuk konsep dan mahal

terkait. Mudah untuk konsep dan

murah.
                                                                              40



      Dipengaruhi oleh non-linearitas di Mengatur atau membetulkan dari

      sistem                                   pengaruh non-linearitas saat di

                                               dalam sistem



2.5.9.: Feedback (Umpan Balik) dan Penstabilan Sistem

Diberikan sistem linear time invariant berbentuk persamaan state space

                          ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                             (2.5)
                          ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

diasumsikan (2.5) tidak stabil. Dalam hal ini akan dianalisa kemungkinan

sistem (2.5) dibawa ke titik asal (dikendalikan ke titik asal) jika sistem diberi

gangguan. Jika sistem dapat dibawa ke titik asal maka berarti untuk waktu

yang semakin lama sistem akan menuju ke titik asal, yang berarti sistem dapat

distabilkan.

Untuk tujuan tersebut, sistem (2.5) diberi kendali feedback linear

���� ���� = ��������(����), dengan F adalah matriks yang harus ditentukan. Asumsikan

C = I, D = 0 (artinya sistem terobservasi penuh), persamaan sistem (2.5)

menjadi

                          ���� (����) = �������� ���� + �������� ����

                                = �������� ���� + ������������ ����                    (2.33)

                                = ���� + �������� ���� ���� .

Berdasarkan persamaan (2.32) dan definisi kestabilan sistem, maka sistem

(2.32) dikatakan stabil jika matriks A + BF memenuhi kriteria kestabilan

sistem. (G.J. Olsder, 1994 : 78)
                                                                                      41




Definisi 2.5.9.1.: (G.J. Olsder, 1994 : 79)

Diberikan sistem linear time invariant

            ���� (����) = ���� + �������� ����(����)                                         (2.33)

Sistem (2.33) dapat distabilkan jika terdapat matriks �������� ���� sedemikian

sehingga semua nilai eigen dari ���� + �������� mempunyai bagian real negatif.



Lemma 2.5.9.2.: (G. J. Olsder, 1994 : 81)

Diberikan sistem linear time invariant

                            ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                              (2.5)
                            ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

Jika sistem (2.5) terkendali, maka basis transformasi S ada, dengan ������������ ���� ≠ 0

sedemikian     sehingga      matriks      ���� = ������������ −1   dan   ���� = ��������   berbentuk

keterkendalian kanonik yaitu

                        0        1            0 …    0
                        ⋮        0            1       ⋮
                        ⋮        ⋮             ⋱ ⋱    ⋮
                  ���� =
                        ⋮        ⋮             ⋮   ⋱ 0
                        0        0           0 … 0 1
                       −����0     −����1        −����2 … … −�������� −1

                                              0
                                              ⋮
                                         ���� = 0
                                              0
                                              1

dengan �������� , ���� = 0, … , ���� − 1 adalah koefisien dari polinomial karakteristik

dari ���� yaitu det �������� − ���� = �������� + �������� −1 �������� −1 +…+����0
                                                                                 42



Teorema 2.5.9.4.: Pole-assigment (G. J. Olsder, 1994 : 79)

Diberikan sistem linear time invariant

           ���� ���� = ���� + �������� ���� ���� .                                       (2.33)

Sistem (2.33) dikatakan terkendali (controllable) jika dan hanya jika untuk

setiap polinomial karakteristik

           ���� ���� = �������� + ��������−1 �������� −1 +…+����0                           (2.34)

dengan �������� ∈ �������� , ���� = 0,1, … , ���� − 1, terdapat matriks �������� ×���� sedemikian

sehingga

                          det �������� − ���� + ��������      = ���� ���� .



Berdasarkan teorema di atas, jika sistem (2.33) terkendali maka nilai eigen

matriks A + BF dapat diletakkan dimana saja sesuai dengan keinginan.

Dengan demikian jika dipilih untuk meletakkan nilai-nilai eigen dari matriks

A + BF dengan bagian real negatif, maka sistem (2.33) menjadi sistem yang

stabil. Dengan kata lain dapat disimpulkan :

“jika sistem (2.33) terkendali penuh maka sistem (2.33) dapat

distabilkan”

Bukti :

 ⟸ : Diketahui untuk sembarang polinomial karakteristik

            ���� ���� = �������� + ��������−1 �������� −1 +…+����0                          (2.34)

terdapat matriks �������� ×���� sedemikian sehingga det �������� − ���� + ��������   = ����(����).

Andaikan sistem (2.34) tidak terkendali yaitu matriks keterkendalian

                      ��������×���� = ����     ��������   ����2 ���� … �������� −1 ����
                                                                                                     43



mempunyai ���������������� < ����. Sehingga basis di �������� dapat diperoleh sedemikian

sehingga matriks A dan B mempunyai bentuk

                                    ����11     ����12                          ����1
                            ���� =                  ,                ���� =        .
                                     0       ����22                           0

Partisi matriks feedback �������� ���� menjadi ����1                    ����2 , maka

                                           ����11   ����12  ����
                       ���� + �������� =                     + 1 ����1                ����2
                                            0     ����22   0

                                           ����11 + ����1 ����1        ����21 + ����1 ����2
                                     =                                          .
                                                0                     ����22

Polinomial karakteristik dari ���� + �������� adalah

                            �������� − (����11 + ����1 ����1 )        −(����21 + ����1 ����2 )
det ���� + �������� = ������������
                                       0                       �������� − ����22

                            �������� − ����11 + ����1 ����1           0
              = ������������
                                      0                     ����
                                                                  −1                                −1
                 . ������������ ����        �������� − ����11 + ����1 ����1              ����21 + ����1 ����2 �������� − ����22
                          0                                             ����

                            ����           0
                 . ������������
                            0      �������� − ����22

              = ������������ �������� − ����11 + ����1 ����1 . ������������ �������� − ����22 .

Sehingga apapun matriks �������� ×���� yang dipilih, bentuk polinomial ������������ �������� −

����22 selalu menjadi bagian dari polinomial ���� + �������� . Sehingga polinomial

���� + �������� tidak dapat dipilih sembarang. Pengandaian salah, sehingga yang

benar adalah sistem (2.33) terkendali.



 ⟹ : Diketahui sistem (2.32) terkendali. Akan dibuktikan untuk setiap

polinomial karakteristik

   ���� ���� = �������� + ��������−1 �������� −1 +…+����0                                                        (2.34)
                                                                            44



dengan �������� ∈ �������� , ���� = 0,1, … , ���� − 1, terdapat matriks �������� ×���� sedemikian

sehingga

                             det �������� − ���� + ��������   = ����(����)

Menurut Lemma 2.5.9.2. karena sistem (2.33) terkendali, maka terdapat

transformasi koordinat S sedemikian sehingga matriks ���� dan ���� berbentuk

                          0       1          0 …    0
                          ⋮       0          1       ⋮
                          ⋮       ⋮           ⋱ ⋱   ⋮
                    ���� =
                          ⋮       ⋮          ⋮    ⋱ 0
                          0       0         0 … 0 1
                         −����0    −����1      −����2 … … −�������� −1

                                             0
                                             ⋮
                                        ���� = 0 .
                                             0
                                             1

Ambil matriks ���� = ����0 − ����0 ����1 − ����1 … �������� −1 − ��������−1 maka didapat

              0        1           0 …    0
              ⋮        0           1       ⋮
              ⋮        ⋮            ⋱ ⋱   ⋮
���� + ���� ���� =
              ⋮        ⋮           ⋮    ⋱ 0
              0        0          0 … 0 1
             −����0     −����1       −����2 … … −�������� −1

             0
             ⋮
           + 0 ����0 − ����0 ����1 − ����1 … �������� −1 − ��������−1
             0
             1

           0          1           0 …    0
           ⋮          0           1       ⋮
           ⋮          ⋮           ⋱ ⋱    ⋮
        =                                        .
           ⋮          ⋮           ⋮    ⋱ 0
           0          0          0 … 0 1
          −����0       −����1       −����2 … … −��������−1
                                                                                          45



Dapat     dibuktikan     det �������� − ���� + ��������         = ����(����).    Karena        transformasi

koordinat ke bentuk kanonik tidak merubah nilai eigen, maka

det �������� − ���� + ��������    = det �������� − ���� −1 ���� + �������� ���� = ������������ �������� − ���� + ��������

                 = ���� ���� .

Jadi terdapat matriks ���� = ����0 − ����0 ����1 − ����1 … �������� −1 − ��������−1                 sedemikian

sehingga ������������ �������� − ���� + ��������      = ����(����).



2.5.9.5.: Rumus Ackermann untuk Feedback

Diberikan sistem linear time invariant

           ���� ���� = �������� ���� + �������� ����                                                   (2.5)

dan diasumsikan sistem terkendali penuh. Misalkan diinginkan meletakkan

pole (nilai eigen) dari sistem di ����1 = ����1 , ����2 = ����2 ,…,�������� = �������� . Diinginkan

pula memberikan kendai feedback pada sistem yang berupa fungsi linear

���� ���� = −��������(����). Maka, persamaan sistem (2.5) menjadi

                                  ���� ���� = �������� ���� + �������� ����

                                        = �������� ���� − ������������(����)                       (2.35)

                                        = ���� − �������� ���� ���� .

Misalkan dinotasikan ���� = ���� − ��������. Berdasarkan teorema pole-assigment

persamaan karakteristik yang diinginkan adalah

           det �������� − ���� = det ���� = ���� − ����1 . ���� − ����2 … . ���� − ��������

                             = �������� + ����1 �������� −1 + … + �������� −1 ���� + �������� = 0.

Berdasarkan teorema Caley-Hamilton matriks ���� adalah akar dari persamaan

karakteristik, yaitu
                                                                                                 46



             ���� ���� = �������� + ����1 �������� −1 + … + �������� −1 ���� + �������� ���� = 0.                (2.36)

Untuk memudahkan pembahasan ditinjau terlebih dahulu kasus n = 3.

Dalam hal ini didapat

���� = ����

���� = ���� − ��������

����2 = ���� − ��������     2
                        = ����2 − ������������ − ������������

����3 = ���� − ��������     3
                        = ����3 − ����2 �������� − ���������������� − ������������2

Sehingga

����3 ���� + ����2 ���� + ����1 ����2 + ����3 = ����3 ���� + ����2 ���� − �������� + ����1 ����2 − ������������ − ������������

                                    +����3 − ����2 �������� − ���������������� − ������������2

                        = ����3 ���� + ����2 ���� + ����1 ����2 + ����3 − ����2 �������� − ����1 ������������ − ����1 ������������

                         −����2 �������� − ���������������� − ������������2 .

Misalkan ���� ���� = ����3 ���� + ����2 ���� + ����1 ����2 + ����3 , maka berdasarkan persamaan

(2.36) diperoleh

0 = ���� ���� = ���� ���� − ����2 �������� − ����1 ������������ − ����1 ������������ − ����2 �������� − ���������������� − ������������2 .

Sehingga

          ���� ���� = ����2 �������� + ����1 ������������ + ����1 ������������ + ����2 �������� + ���������������� + ������������2

                 = ���� ����2 ���� + ����1 �������� + ��������2 + �������� ����1 ���� + �������� + ����2 ��������

                                  ����2 ���� + ����1 �������� + ��������2
                 = ���� �������� ����2 ����        ����1 ���� + ��������      .
                                               ����

Karena sistem terkendali, maka matriks keterkendalian ���� = ���� �������� ����2 ����

mempunyai invers. Sehingga
                                                                                     47



                                              ����2 ���� + ����1 �������� + ��������2
                          2      −1
                 ���� �������� ���� ����        ���� ���� =        ����1 ���� + ��������
                                                           ����

Kalikan kedua ruas di atas dengan matriks 0 0 1

                                                    ����2 ���� + ����1 �������� + ��������2
                          2      −1
       0 0 1 ���� �������� ���� ����            ���� ���� = 0 0 1        ����1 ���� + ��������
                                                                 ����

diperoleh

            ���� = 0 0 1 ���� �������� ����2 ����       −1
                                                 ���� ���� .                        (2.37)

Persamaan (2.37) di atas disebut rumus Ackermann untuk feedback.

Kasus di atas dapat diperumum untuk matriks A yang berukuran ���� × ����,

sehingga didapat rumus Ackermann untuk feedback

  ���� = 0 0 … 0 1 ���� �������� … �������� −1 ����             −1
                                                       ���� ����                    (2.38)



2.5.10.: Observer

Observer (G.J. Olsder, 1994 : 88)

     Dalam teori kontrol terkadang diperlukan mendesain state observer,

dimana state observer merupakan sistem buatan untuk memberikan perkiraan

kondisi sistem internalnya. Pada prakteknya dalam beberapa kasus sering

dapat ditemukan keadaan fisik dari sistem tidak dapat ditentukan dengan

pengamat langsung. Dalam hal ini state awal dari sistem diamati dengan cara

mengawali sistem output. Salah satu contoh sederhana adalah kendaraan yang

berada di dalam terowongan. Kendaraan tersebut memiliki tingkat kecepatan

sewaktu masuk dan keluar dari terowongan dapat diamatai secara langsung,

tetapi state yang tepat dalam terowongan hanya dapat diperkirakan.
                                                                            48



Diberikan sistem linear time invariant

                             ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                        (2.5)
                             ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

Observer dari sistem (2.4) dengan mengambil D = 0 adalah sistem dinamik

dengan realisasi state space

          ���� ���� = �������� ���� + �������� ���� + ��������(����)
                                                                        (2.39)
          ���� (����) = �������� ���� + �������� ���� + ��������(����)

Dengan z adalah state dari observer (2.39) dan P, Q, R, S, T, K adalah

matriks-matriks yang masih harus ditentukan.




                            Gambar 4. Diagram Observer

          Dalam diagram alir di atas diperoleh hubungan antara pengamat

(observer) dan sistem. Vektor z adalah state sistem observer. Akan dibangun

pengamat (observer) yang mana S = I, T = R = 0, ini menghasilkan ���� = ���� dan

keadaan pengamat yang memiliki peran sebagai pendekatan kepada state x.

Maka diperoleh

                   ����
                         ���� − ���� = �������� + �������� − �������� − �������� − ��������
                  ��������


                                 = �������� + �������� − �������� − �������� − ������������

                                 = ���� − �������� ���� − �������� + ���� − ���� ����
                                                                                                     49



Syarat formulasi pertama di atas menghasilkan

                                        ���� = ���� ;             ���� − �������� = ����.

Bentuk persamaan sistem observernya diperoleh:

 ���� (����) = �������� ���� + ��������(����) + ���� ����(����) − ����(����) dengan ���� = �������� (����)                         (2.40)



Teorema 2.5.10.1.: (G.J. Olsder 1994, : 89)

Untuk setiap polinomial ���� ���� = �������� + �������� −1 �������� −1 +…+����1 ���� + ����0 dengan

koefisien real, terdapat matriks berukuran ���� × ���� sedemikian sehingga

det �������� − ���� − ��������             = ����(����) jika dan hanya jika (C, A)                           teramati

(observable).

Bukti :

                                                          ����
                                                         ��������
Sistem (C, A) teramati jika dan hanya jika ���������������� ����           = ����.
                                                           ⋮
                                                       ������������ −1

               ����
              ��������
���������������� ����           = ���� jika dan hanya jika
                ⋮
            ������������ −1

���������������� ���� ���� �������� ���� ���� …      ��������   ���� −1
                                                ���� ���� = ����.

���������������� ���� ���� �������� ���� ���� …      ��������   ���� −1
                                                ���� ���� = ���� jika dan hanya jika sistem �������� , ���� ����

terkendali.

Berdasarkan Teorema 2.5.9.4. sistem �������� , ���� ���� terkendali jika dan hanya jika

setiap polinomial karakteristik

                              ���� ���� = �������� + �������� −1 �������� −1 +…+����1 ���� + ����0
                                                                                     50



    terdapat matriks �������� ×���� sedemikian sehingga det �������� − �������� + ���� ���� ����   = ����(����).

    Jika dipilih ���� = −���� ���� maka det �������� − ���� − ��������    = det⁡ − �������� − ���� ���� ���� ���� )
                                                               (��������

    = w(����).

    Teorema di atas memberikan syarat perlu dan cukup agar pole dari matriks

    ���� − �������� dapat dipilih sekehendak. Demikian juga teorema di atas menjadi

    syarat cukup agar pole dari matriks A – KC dapat diletakkan di setengah

    bidang kiri (left half plane) sehingga sistem stabil asimtotik, tetapi bukan

    merupakan syarat perlu.



2.6. Vektor

    Pengertian Vektor (Giancoli, 2001 : 56)

    Besaran seperti kecepatan, yang memiliki arah disamping besar, merupakan

    suatu besaran vektor.



    2.6.1. Vektor di Ruang (W.S. Budhi, 1995 : 120)

          Koordinat dengan sumbu yang saling tegak lurus di bidang dengan

          mudah dapat diperumum untuk koordinat di ruang. Suatu titik di ruang

          dapat ditentukan letaknya dengan melihat posisinya terhadap tiga

          sumbu yang saling tegak lurus berpotongan di titik O. Ketiga sumbu

          tersebut biasa disebut sebagai sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z dengan

          anak panah menunjukkan arah positif. Susunan sumbu tersebut disebut

          sistem kanan jika keempat jari bergerak dari arah sumbu X positif ke
                                                                        51



sumbu Y positif melalui sudut terkecil maka ibu jari menunjuk ke arah

sumbu Z positif.

Ketiga sumbu ini membentuk tiga bidang penting, yaitu:

a. Bidang horizontal X –Y, bidang yang dibentuk oleh sumbu X dan Y

b. Bidang vertikal Y – Z, bidang yang dibentuk oleh sumbu Y dan Z

c. Bidang vertikal X – Z, bidang yang dibentuk oleh sumbu X dan Z

Kemudian titik P dengan koordinat (x, y, z) adalah titik yang

mempunyai tiga hal berikut:

a. Mempunyai jarak bertanda x terhadap bidang Y – Z

b. Mempunyai jarak bertanda y terhadap bidang X – Z

c. Mempunyai jarak bertanda z terhadap bidang X – Y




                                 Gambar 5.
   Letak dari suatu titik ditentukan letaknya dengan melihat jaraknya
                    terhadap ketiga bidang istimewa


Seperti pada bidang, semua titik di ruang dapat disajikan sebagai tiga

bilangan terurut (x, y, z) dan semua tiga bilangan terurut dapat disajikan

sebagai suatu titik di ruang. Sedangkan semua titik di ruang dapat
                                                                                        52



ditentukan pula letaknya dengan suatu vektor yang berpangkal pada

titik O dan berujung pada titik tersebut.

Oleh karena itu untuk selanjutnya tulisan
                        ����
���� = (x, y, z) dan ���� = ����
                        ����

menyatakan dua hal yang sama, yaitu suatu vektor di ruang yang

berpangkal di titik O dan berujung pada titik dengan koordinat (x, y, z).

Karena semua elemen vektor di ruang dapat disajikan sebagai tiga

bilangan terurut, ruang juga ditulis sebagai ����3 .

Operasi penjumlahan dua vektor dan perkalian vektor dengan skalar di

ruang didefinisikan seperti pada bidang, yaitu per komponen. Misalkan

���� = (����1 , ����2 , ����3 ) dan ���� = (����1 , ����2 , ����3 ), jumlah kedua vektor:

���� + ���� = (����1 + ����1 , ����2 + ����2 , ����3 + ����3 ).

Karena dua vektor selalu terletak pada suatu bidang, maka penjumlahan

dua vektor ini dapat menggunakan aturan penjumlahan seperti pada

bidang.

Misalkan s merupakan bilangan real. Perkalian skalar vektor ���� = (����1 ,

����2 , ����3 ) dengan salar s ditulis s����, adalah vector s���� = (��������1 , ��������2 , ��������3 ).

Sedangkan panjang suatu vektor ����, ditulis ���� , dapat dihitung dengan

rumus:

                         ���� = (����1 )2 + (����2 )2 +(����3 )2 .
                                                                            53




                                    Gambar 6.
      Penjumlahan vektor di ruang dengan menggunakan aturan empat persegi
                             panjang seperti di bidang




2.7.: Gerak Rotasi

     Gerak Rotasi (Giancoli, 2001 : 247)

              Gerak rotasi murni adalah semua titik pada benda bergerak dalam

     lingkaran, seperti titik P pada roda di gambar 8 dan pusat semua lingkaran

     ini berada pada sebuah garis yang disebut sumbu rotasi.




                                               ����




                                         Gambar 7.
                  Roda yang sedang berotasi dengan arah berlawanan
               dengan jarum jam terhadap sumbu yang melalui pusat roda
              pada titik O. Garis melingkar yang terputus-putus merupakan
                                      lintasan titik P
                                                                             54



           Sebuah titik pada benda (seperti P pada gambar 8) yang bergerak

melalui sudut ���� ketika menempuh jarak l yang diukur sepanjang keliling

lintasan melingkarnya. Sudut biasanya dinyatakan dalam derajat, tetapi

matematika gerak melingkar jauh lebih mudah jika digunakan radian

sebagai ukuran sudut. Satu radian (rad) didefiniskan sebagai sudut yang

ujung-ujungnya dihubungkan oleh busur yang panjangnya sama dengan

radius. Sebagai contoh, pada gambar, titik P berada pada jarak r dari sumbu

rotasi, dan telah bergerak sejauh l sepanjang busur lingkaran. Busur dengan

panjang l dikatakan “menghubungkan” sudut ����. Jika l = r, maka ���� tepat

sama dengan 1 rad. Secara umum, setiap sudut ���� dinyatakan dengan

                                            ����
                                     ���� = ����                            (2.41)

dimana :

    r       : radius lingkaran.

    l       : panjang busur yang menghubungkan ujung-ujung sudut ���� yang

             dinyatakan dalam radian.

Pada lingkaran penuh ada 3600, yang tentu saja harus berhubungan dengan

pajang busur pada keliling lingkaran, l = 2 π r. Dengan demikian
                                       ����        2 ���� ����
                                  ���� = ���� =                = 2 ���� rad
                                                   ����


sehingga

                                      3600 = 2 π rad.

Satu radian dengan demikian sama dengan

                                  3600 3600
                                       =      = 57,30
                                   2����   6,28
                                                                                       55



          Kecepatan sudut didefinisikan dengan analoginya terhadap

kecepatan linear biasa. Jika biasanya menggunakan perpindahan linear,

sekarang menggunakan perpindahan sudut. Dengan demikian kecepatan

sudut rata-rata didefinisikan sebagai berikut

                                         ∆����
                                  ���� =                                            (2.42)
                                         ∆����


dimana ∆���� adalah sudut yang dilalui benda dalam rotasinya selama waktu

∆����. Kecepatan sudut biasanya dinyatakan dalam radian per sekon (rad/ s).

          Percepatan sudut, dengan analogi terhadap percepatan linear biasa,

didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi waktu yang

diperlukan untuk terjadinya perubahan.                        Percepatan sudut   rata-rata

didefinisikan sebagai

                          ���� −���� 0       ∆����
                  ���� =               =         .                                 (2.43)
                            ∆����          ∆����


          Percepatan sudut α berhubungan dengan percepatan linear

tangensial αtan dari partikel pada benda yang berotasi dengan cara

                          ∆����            ∆����
             ���������������� =          = ����                                            (2.44)
                          ∆����            ∆����

                  atau

             ���������������� = ��������.                                                    (2.45)

Percepatan linear total dari sebuah partikel adalah jumlah vektor dari dua

komponen :

                  ���� = ���������������� + ��������                                           (2.46)

dimana:

                          ���� 2          ��������   2
                �������� =            =                = ����2 ����                      (2.47)
                           ����             ����
                                                                                    56



    dengan

        ����               : radius lingkaran di mana partikel bergerak

        ����������������         : percepatan tangensial

        ��������              : percepatan radial dan arahnya menuju pusat lintasan

                          melingkar partikel

        ����                : kecepatan sudut

        ����                : percepatan sudut



2.8. Hukum Kepler

   Sejarah Hukum Kepler (Suryadi Siregar, 2008)

                   Pengamatan astronomis yang merupakan tiang penyangga teori

   heliosentrik (planet bergerak mengelilingi Matahari) adalah pengamatan

   Galileo (1546-1642) dari Italia. Pada tahun 1610 Masehi, Galileo

   menerbitkan         bukunya    “Sideris     Nunclus”.   Dalam        buku   tersebut

   dikemukakannya bahwa permukaan bulan terlihat berpola dan berkerut.

                   Galileo juga memberikan pernyataan bahwa permukaan matahari

   kadang-kadang dikotori oleh bintik hitam yang dapat berubah menjadi besar

   atau kecil dan berpindah tempat. Laporan tersebut berarti secara langsung

   menyanggah konsep sebelumnya mengenai keadaan benda langit, suatu

   konsep yang telah dipegang oleh umat manusia 20 abad sebelumnya. Dalam

   hal itu Galileo menunjukkan bahwa planet venus dari waktu ke waktu dapat

   berubah bentuk. Perubahan itu oleh Galileo diterangkan dengan menunjukkan

   anggapan bahwa planet, seperti juga bulan bersinar hanya karena
                                                                           57



memantulkan cahaya, berputar mengedari matahari, maka secara bergantian

terdapat bagian-bagian yang terkena cahaya Matahari, tergantung dari

kedudukan relatif antara Matahari-Bumi dan Venus.

          Astronom lain yang ikut membentuk dan menyempurnakan teori

heliosentrik ialah Johanes Kepler. Dia menghitung jarak planet-planet dengan

mempergunakan lintasan eliptis planet yang telah diketahui. Data yang

dipergunakan oleh Kepler berasal dari astronom Denmark, Tycho Brahe

(1546-1601). Pengamatan yang diteliti secara sistematis mendorong Kepler

meninjau teori episikel yang diciptakan oleh Ptelemeus (100-178). Episikel

sudut tidak dapat lagi dipergunakan untuk menerangkan kedudukan planet-

planet seperti yang didapatkan oleh Tycho Brahe. Setelah bekerja selama

beberapa tahun Kepler menunjukkan bahwa bidang lintasan planet ternyata

melalui Matahari. Pada tahun 1609 diumumkanlah hukum Elip dan hukum

luas tempuhan planet-planet. Hukum tersebut kemudian terkenal sebagai

hukum Kepler pertama dan kedua, dengan bunyi sebagai berikut:



2.8.1. Hukum Kepler I

Lintasan planet merupakan sebuah elip. Matahari terletak pada salah satu titik

apinya.



2.8.2. Hukum Kepler II

Vektor radius, garis hubung planet matahari, membuat luas yang sama, untuk

satuan waktu yang sama.
                                                                           58




2.8.3. Hukum Kepler III

Pangkat dua periode planet sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu

panjang lintasan planet. Hukum Kepler III ini sering disebut dengan Hukum

Harmoni.




                                Gambar 8.

           Gambar 8 menjelaskan planet mengelilingi matahari berbentuk

sebuah elip. Matahari sebagai salah satu titik fokus. Dalam satuan waktu yang

sama luas daerah yang disapu oleh radius vektor r, mempunyai harga yang

tetap. Dalam selang waktu dt, kedua daerah yang diarsir mempunyai luas

yang sama.

           Hukum ketiga Kepler, dapat ditulis dalam bentuk matematis

               ����2 = ��������3                                        (2.48)

          dimana :

          P       : periode planet

          k       : konstanta

          a          : hubungan periode dan setengah sumbu panjang lintasan

                     planet
                                                                                          59



                  Dalam    pembahasan            berikutnya   akan   diperlihatkan    bahwa

         perumusan ini bukan hanya berlaku lintasan planet. Untuk satelit buatan

         yang mengorbit mengelilingi bumi, hal ini dapat juga diterapkan.



2.9. Hukum Newton

         Newton dengan caranya sendiri menemukan hubungan gravitasi universal,

mengujinya pada gerakan bulan dan menjelaskannya pada lintasan planet secara

mendalam. Hukum Newton dapat ditulis dalam lambang matematik (Suryadi

Siregar, 1976),

                                   �������� 1 ���� 2
                          ���� = −                                                     (2.49)
                                      ���� 2

dengan

         ����               : gaya gravitasi

         ����1 dan ����2      : massa kedua partikel

         G                : 6,668 x 10−8 ���������������� ��������2 ����������������−2 = 6,67 × 10−11 ��������2 /��������

         ����               : jarak antara ����1 dan ����2

         Simbol di atas mempunyai arti bahwa gaya tarik menarik dua titik massa

����1 dan ����2 berbanding terbalik dengan jarak kuadrat antaranya. Tanda minus

menunjukkan makin besar jarak kedua massa tersebut, makin kecil pula pengaruh

gaya gravitasinya. Arah gaya gravitasi tersebut jelas terdapat sepanjang garis

hubung kedua benda yang bersangkutan. Hasil pengukuran empiris menunjukkan

bahwa besar konstanta G adalah 6,668 x 10−8 ���������������� ��������2 ����������������−2 . Untuk tujuan

astronomis sering dipergunakan massa matahari dan jarak rata-rata matahari bumi
                                                                               60



sebagai satuan. Dalam dimensi terakhir ini konstanta gravitasi G menjadi k =

0,0170202098985. Angka ini juga disebut sebagai konstanta Gauss.

       Di dekat permukaan bumi, sebuah benda akan selalu mengalami gaya

gravitasi yang menariknya menuju pusat, yang besarnya

                      ��������
               ���� =          .                                            (2.50)
                      ���� 2

       Dengan memasukkan data mengenai massa dan radius bumi yang besarnya

masing-masing 5,977 x 1027 ���������������� dan 6,23 x 107 ��������, maka gaya gravitasi rata-

rata yang menarik benda ke pusat bumi adalah 9,807 meter/���� 2 . Tetapi karena

bumi tidak bulat sempurna, radius ekuatornya 6,37817 x 107 �������� dan 6,35679 x

107 �������� untuk radius polar, maka diperoleh g = 978,98 cm/ ���� 2 , untuk tempat-

tempat di ekuator dan g = 986,58 cm/���� 2 bagi daerah kutub. Oleh sebab itu sebuah

benda yang jatuh bebas di daerah kutub akan lebih dulu tiba dipermukaan bumi,

daripada kalau ia jatuh bebas di daerah ekuator.



2.9.1. Hukum kedua Newton

          Gaya gravitasi bumi yang bekerja pada beberapa objek inersia massa m

akan proposional ke massa. Menurut hukum kedua Newton tentang gerak (Grant

R.F. and George L. Casiday, 2005 : 222),
                                 ����
               ���� ������������ = ���� ���� 2 = ���� ���� = ���� ����.
                ����                                                        (2.51)
                                                                             61



                                      BAB III

           ASPEK KETERKENDALIAN DAN KETERAMATAN

   PADA MODEL DINAMIK GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN



3.1. Satelit sebagai Benda Langit

       Orbit merupakan elemen dasar dalam setiap misi ruang angkasa. Roket

yang terbang ke angkasa luar, satelit yang bergerak bebas dapat dijelaskan dari

persamaan gerak yang telah dikembangkan oleh Copernicus, Kepler, dan Newton

yang semuanya tercakup dalam pengetahuan mekanika benda langit. Sekali posisi

dan kecepatan sebuah objek diketahui, sebagai akibat sifat gaya gravitasi, orang

dapat memprediksi dengan tepat dimana posisi objek dalam beberapa waktu

mendatang, dalam orde menit maupun tahun. Ada beberapa jenis orbit yang dapat

dirancang untuk meletakkan satelit pada posisinya. Berikut gambaran umum orbit

satelit dapat dilihat pada gambar 9 berikut.




                                     Gambar 9.

       Tipe orbit ada bermacam-macam seperti orbit parking, transfer orbit, dan

final orbit. Sebuah satelit umumnya memulai kala hidup pada lintasan parking,

dari lintasan ini kemudian stage teratas roket digunakan sebagai booster untuk
                                                                             62



menempatkan satelit di orbitnya. Untuk menempati posisi yang diharapkan,

diperlukan beberapa kali dorongan. (Suryadi Siregar, 2008 : 2-1)

       Satelit juga menjumpai adanya gaya gangguan yang mempengaruhinya.

Gaya gangguan dapat dibedakan dalam dua kategori yang didasarkan pada

sifatnya yaitu

   a. Gravitasional

       Gaya ganggu gravitasional datang dari bentuk bumi yang tidak simetri dan

       rapat massa yang berbeda di satu tempat dengan tempat lain. Untuk satelit

       yang orbitnya jauh dari Bumi, gaya ganggu bulan juga turut berperan,

       demikian pula halnya dengan manuver wahana maupun batu-batu angkasa

       yang mendekati Bumi.

   b. Non-gravitasional

       Gaya ganggu non-gravitasional dapat dating dari pengereman atmosfer

       maupun tekanan radiasi Matahari, yang berbeda pada saat satelit melintasi

       bayang-bayang Bumi dibandingkan ketika satelit menerima sinar langsung

       dari Matahari.



3.2. Persamaan Dinamik Gerak Satelit

       Dalam memperoleh persamaan dinamik gerak satelit diperlukan empat

jenis gaya berikut (J.W. Polderman, 2006 : 387) :

           1. Gaya inersia ������������ .

           2. Gaya tarik gravitasi bumi ���� .
                                         ����


           3. Gaya eksternal pada jet pendorong satelit ���������������� .
                                                                               63



           4. Gaya yang berupa gaya gangguan pada posisi satelit karena

              pengaruh gaya gravitasi bulan dan matahari �������� .




                              Gambar 10.
                             Satelit di bumi


       Posisi satelit dapat digambarkan dengan sistem koordinat kutub (����, ����, ����)

ditunjukkan pada gambar 11. jika diambil Ψ = 0, hasil geometri dapat ditunjukkan

pada gambar dibawah ini :




                                 Gambar 11.
                               Vektor 1���� dan1���� .


Dimana :
                                                                                                64



1����       : vektor satuan pada arah radial

1����       : vektor satuan pada arah tangensial

����(����)    : jarak antara permukaan bumi dan satelit yang dipengaruhi oleh waktu

����(����)    : sudut antara permukaan bumi dengan jarak

����1       : massa bumi

����2       : massa satelit

          Pada pembahasan berikutnya, dikarenakan massa bumi (m1) tidak

diperlukan dalam memodelkan persamaan dinamik gerak satelit maka massa

satelit (m2) ditulis sebagai m. Selanjutnya akan ditemukan persamaan gerak

dengan menggunakan empat jenis gaya yang di atas. Untuk keperluan tersebut

didefinisikan

                                    ���� = ����. 1����                                            (3.1)

Untuk mempermudah penulisan, selanjutnya notasi ����(����) ditulis sebagai r dan ����(����)

ditulis sebagai ����.

Berdasarkan definisi di atas didapat:

          ����             ��������              ����              ��������
                1���� =          1���� dan          1���� = −          1����                       (3.2)
          ��������           ��������             ��������             ��������

       ���� = ����. 1���� dengan ���� = ���� (t), ���� = ����(����), 1���� = 1���� (����), dan 1���� = 1���� (����)

          ���� = ����. 1���� diturunkan terhadap t maka didapat:

                 misal :

                                  ���� = ����                                  ���� = 1����

                                          ��������                                     ����
                                  ����′ =                                  ���� ′ =       1
                                          ��������                                    �������� ����
                                                                                                                                                                      65



            ����                      ��������                        ����
                   ���� =                    1���� + ����                     1����
            ��������                    ��������                       ��������

            ����                   ��������                          ��������
    ∴              ���� =                    1���� + ����                    1����                                                                                    (3.3)
           ��������                  ��������                          ��������

    ����                    ��������                          ��������
           ���� =                    1���� + ����                    1���� diturunkan terhadap t maka didapat :
    ��������                  ��������                          ��������

     ���� 2                      ����          ��������                       ����               ��������
              ���� =                                1���� +                         ����             1����
    �������� 2                     ��������        ��������                       ��������             ��������

                                                                             ��������
                Turunan pertama dari                                               1����
                                                                             ��������

    misal :

                   ��������
    ���� =                                                                                                               ���� = 1����
                   ��������

                   ����2 ����                                                                                                             ����
    ����′ =                                                                                                              ���� ′ = �������� 1����
                   ��������2

    diperoleh :

     ����          ��������                         ���� 2 ����                  �������� ����
                        1���� =                           1���� +                   1
    ��������         ��������                         �������� 2                   �������� �������� ����

                                                                                ��������
                Turunan pertama dari ���� �������� 1����

     misal :

                                                                                                               ��������
     ���� = ����                                                                                           ���� =            1����
                                                                                                               ��������


                    ��������                                                                                              ����       ��������
     ����′ = ��������                                                                                        ���� ′ =                         1����
                                                                                                                  ��������         ��������


                                                                                                                      ���� 2                  �������� ����
                                                                                                           =                   1���� +                    1����
                                                                                                                      �������� 2                �������� ��������


    diperoleh :

      ����                ��������                        �������� ��������                                 ���� 2             �������� ����
                  ����             1���� =                                1���� + ����                         1���� +                   1����
     ��������               ��������                        �������� ��������                                 �������� 2           �������� ��������
                                                                                                                                                                             66



                                                      �������� ��������                     ���� 2                     �������� ����
                                            =                     1���� +����                  1 + ����
                                                                                          2 ����
                                                                                                                           1����
                                                      �������� ��������                    ��������                      �������� ��������


        Maka diperoleh :

        ���� 2                 ���� 2 ����                     �������� ����                  �������� ��������                      ���� 2                         �������� ����
               2
                 ���� =                1 +
                                    2 ����
                                                                      1���� +                    1���� +����                    1���� + ����                           1����
        ��������                 ��������                        �������� ��������                 �������� ��������                  �������� 2                          �������� ��������


                              ���� 2 ����                     �������� ��������                 �������� ��������                     ���� 2                             �������� ����
                       =              1 +
                                     2 ����
                                                                         1���� +                    1���� +����                 1 + ����
                                                                                                                         2 ����
                                                                                                                                                               1����
                              ��������                        �������� ��������                  �������� ��������                    ��������                             �������� ��������


                              ���� 2 ����                          �������� ��������                   ���� 2                         �������� ����
                       =              1 +2
                                     2 ����
                                                                           1���� +����                  1���� + ����                          1����
                              ��������                             �������� ��������                   �������� 2                        �������� ��������


                              ���� 2 ����                          �������� ��������                   ���� 2                         ��������            ��������
                       =              1 +2
                                     2 ����
                                                                           1���� +����               1 + ����                           −                1����
                              ��������                             �������� ��������                   �������� 2 ����    ��������                                ��������

                              ���� 2 ����                          �������� ��������                   ���� 2                         �������� ��������
                       =              1 +2
                                     2 ����
                                                                           1���� +����                  1���� − ����                          1����
                              ��������                             �������� ��������                   �������� 2                        �������� ��������


                              ���� 2 ����                          �������� ��������                   ���� 2                            �������� 2
                       =              1 +2
                                     2 ����
                                                                           1���� +����                 1 − ����
                                                                                                  2 ����
                                                                                                                                        1����
                              ��������                             �������� ��������                   ��������                            ��������


                                 ���� 2 ����                       �������� 2                               ���� 2                  �������� ��������
                       =                   2
                                             − ����                            1���� + ����                         +2                              1����
                                    ��������                       ��������                                 �������� 2                �������� ��������


                      ���� 2                           ���� 2 ����               �������� 2                                 ���� 2                  �������� ��������
                 ∴           2
                               ���� =                            − ����                        1���� + ����                            +2                            1����     (3.4)
                      ��������                           �������� 2                ��������                                  �������� 2                 �������� ��������


       Gaya inersia ������������ diperoleh dengan mengalikan massa satelit m pada kedua

ruas persamaan (3.3) yaitu:

               ���� 2                        ���� 2 ����                �������� 2                               ���� 2 ����                 �������� ��������
       ���� �������� 2 ���� = ����                             − ����                         1���� + ����(���� �������� 2 + 2 ��������                               )1���� ,                   (3.5)
                                           �������� 2                 ��������                                                               ��������


atau

                                      �������� = ���� ���� − �������� 2 1���� + ���� �������� + 2�������� 1����

Gaya tarik gravitasi bumi untuk satelit ���� diberikan dengan inverse square law
                                         ����

                                                                      ����
                                              ���� = −���� ���� 2 1����,
                                               ����                                                                                                                    (3.6)
                                                                                                                              67



dengan ���� = 4. 1014 ����3 /������������ 2 , yang diperoleh dengan mengalikan konstanta gaya

gravitasi bumi dengan massa bumi.

       Menyesuaikan dengan koordinat gerak satelit, gaya ���������������� didekomposisi

menjadi gaya �������� dalam arah radial dan gaya �������� dalam arah tangensial. Demikian

gaya gangguan �������� didekomposisi menjadi gaya �������� dalam arah radial dan ��������

dalam arah tangensial.

Maka diperoleh :

                                   ���������������� = �������� 1���� + �������� 1����                                                     (3.7)

                                   �������� = �������� 1���� + �������� 1����                                                         (3.8)

Berdasarkan hukum kedua Newton, dinyatakan bahwa jumlah gaya yang bekerja

pada satelit adalah nol.

Sehingga didapat

                                                                  ���� = ���� ����

                                            ���������������� + �������� + ���� = ������������
                                                               ����


                                                      ������������ − ���� = ���������������� + ��������
                                                                ����

                                                         ����
                                      ���� ���� − −���� ���� 2 1���� = ���������������� + ��������

                                               ���� 2 ����     ����
                                          ����        2
                                                       + ���� 2 1���� = ���������������� + ��������
                                               ��������        ����
                                      2
          ���� 2 ����      ��������                                   ���� 2 ����    �������� ��������         ����
       ����      2
                  − ����                     1���� + ���� ����             2
                                                                      +2           1���� + ���� 2 1���� = ���������������� + ��������
          ��������         ��������                                   ��������       �������� ��������         ����

           ���� 2 ����          �������� 2                      ���� 2 ����        �������� ��������              ����
    ∴ ����             − ����              1���� + ���� ����                +2               1���� + ����          1���� = �������� 1���� + �������� 1���� +
           �������� 2           ��������                         �������� 2        �������� ��������              ���� 2


       �������� 1���� + �������� 1����                                                                                            (3.9)
                                                                                                                                                                                      68



Bagi ruas kanan dan ruas kiri persamaan (3.8) dengan m, maka didapat:

 ���� 2 ����          �������� 2                       ���� 2 ����               �������� ��������                                  ����                   ���� ����           ���� ����         ����
                                                                                                                                                                    ����        ���� ����
           − ����               1���� + ���� �������� 2 + 2 ��������                                       1���� + ���� 2 1���� =                                1���� +           1���� + ���� 1���� +           1���� (3.10)
 �������� 2           ��������                                                         ��������                                                  ����              ����                       ����


Pisahkan komponen persamaan (3.10) dalam arah radial dan tangensial didapat

                             ���� 2 ����               �������� 2                             ����                       ���� ����          ����     ����
                                       − ����                        1���� + ���� 2 1���� =                                    1���� + ���� 1����                                      (3.11)
                             �������� 2                ��������                                                        ����


                                  ���� 2 ����           �������� ��������                              ���� ����                     ���� ����
                             ���� �������� 2 + 2 ��������                      1���� =                          1���� +                    1����                                         (3.12)
                                                            ��������                           ����                        ����


Bagi ruas kanan dan kiri persamaan (3.11) dengan 1���� dan ruas kanan dan ruas kiri

persamaan (3.12) dengan 1���� , maka diperoleh:

                             ���� 2 ����                    �������� 2                        ����                   ���� ����             ���� ����
                                        − ����                             +                         =                +
                              �������� 2                      ��������                    ���� 2                     ����                ����


                             ���� 2 ����                      �������� 2                 ����                   ���� ����            ���� ����
                         ⇔               = ����                          −                    +                 +                                                          (3.13)
                             �������� 2                       ��������                  ���� 2                  ����                ����

                                    ���� 2 ����                �������� ��������                       ���� ����              ���� ����
                             ����               +2                               =                      +
                                     �������� 2                �������� ��������                        ����                 ����

                              ���� 2 ����                       �������� ��������                 ���� ����                 ���� ����
                    ����                     = −2                          +                         +
                              �������� 2                         �������� ��������                 ����                     ����

                                                   �������� ��������
                         ���� 2 ����              −2                       ���� ����                  ���� ����
                                      =           �������� ��������
                                                                 +               +                                                                                       (3.14)
                           �������� 2                  ����                ��������                    ��������

Persamaan differensial (3.11) dan (3.12) memberikan persamaan dinamik yang

menghubungkan variabel ����, ���� untuk gaya �������� , �������� dan gaya gangguan �������� , �������� .

Persamaan (3.13) dan (3.14) disebut persamaan dinamik gerak satelit yaitu �������� = 0

yang berakibat �������� = 0 dan �������� = 0. Maka Persamaan (3.13) dan (3.14) menjadi

                           ���� 2 ����                  �������� 2                 ����                      ���� ����
                                       = ����                        −                  +                                                                                  (3.15)
                           �������� 2                   ��������                  ���� 2                     ����
                                                                                                     69



                                     �������� ��������
               ���� 2 ����       −2 �������� ��������            ���� ����
                         =                       +                                              (3.16)
               �������� 2                ����              ��������

               atau

                                                                     ����             ���� ����(����)
               ���� ���� = ���� ���� ���� 2 (����) −                                       +                (3.17)
                                                                  ���� 2    ����          ����

                                                                     1             ���� θ (t)
               ���� ���� = −2���� ���� ���� ���� .                                         +                (3.18)
                                                                  ���� ����            ����(����)����

Selanjutnya akan dicari solusi khusus persamaan (3.17) dan (3.18), dikarenakan

tidak ada gangguan maka dapat diasumsikan jari-jari orbit satelit adalah konstan,

misalkan ditulis :

       ���� ���� = ����                                                                               (3.19)

Persamaan (3.19) merupakan syarat awal untuk mendapatkan solusi khusus

persamaan (3.17) dan (3.18) dapat diketahui dengan hukum kedua Newton

tentang gerak. Berdasarkan persamaan (2.51) konstanta k pada persamaan (3.6)

didapat.

Sehingga menyubstitusikan persamaan (2.51) ke persaman (2.47), maka didapat

                                    ����                 (�������� )2
                             ����            = ����
                                    ���� 2                     ����

                             ����
                                    = ����2 ����
                             ���� 2

                      ���� = ���� 3 ����2 .                                                          (3.20)

Substitusikan persamaan (3.19) ke (3.20) didapat

                             ���� = ���� 3 ����2                                                      (3.21)
                                                                                  70



        Dari �������� ���� = ����θ t = 0 yang diperoleh dengan jika tidak ada gaya ���������������� ,

persamaan (3.19), dan (3.21), maka persamaan (3.17) dan (3.18) mempunyai

solusi khusus:

                        ���� ���� = ����                           (���� konstan)    (3.22)

                        ���� ���� = ��������                         (���� konstan)    (3.23)

Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut:

Jika ���� ���� = ���� maka ���� ���� = 0 dan ���� ���� = 0                                 (3.24)

Jika ���� ���� = �������� maka ���� ���� = ���� dan ���� (����) = 0                            (3.25)

Substitusikan (3.24) dan (3.25) ke persamaan (3.17), maka diperoleh :

                                              ����          ���� ���� ����
                   ���� ���� = ��������2 −                   +                       (3.26)
                                             ���� 2            ����

Substitusikan (3.21) dan �������� ���� = 0 ke persamaan (3.26) didapat:

                                            ���� 3 ���� 2
                  ���� ���� = ��������2 −                         +0
                                              ���� 2

                        = ��������2 − ��������2 = 0                                  (3.27)

Substitusikan (3.24) dan (3.25) ke persamaan (3.18), maka diperoleh :

                                       1            uθ t
                 ���� ���� = −20����. +                                            (3.28)
                                       ����            ��������

Substitusikan �������� ���� = 0 ke persamaan (3.28) didapat:

                                        1            0
                 ���� ���� = −2.0. ����. + = 0                                     (3.29)
                                        ����           ����

Jadi ���� ���� = 0 dan ����(����) = 0
                                                                                 71



3.3. Linearisasi

       Pada persamaan (3.17) dan (3.18) merupakan sistem persamaan yang

nonlinear yang sulit mengkarakterisasi keterkendalian dan keteramatan maka

perlu dilinearisasi dengan cara mengambil disekitar titik equilibrium. Adapun

state-state yang diambil sebagai berikut:

                                           ����1 = ���� − ����

                                           ����2 = ����

                                           ����3 = ���� ���� − ��������

                                           ����4 = ����(���� − ����)

Maka diperoleh :

               ����1 = ����                                                     (3.30)

               ����2 = ���� = 0                                                 (3.31)

Substitusikan persamaan (3.26) ke (3.31) didapat:

                                           ����            ���� ����
               ����2 = ���� ���� ���� 2 ���� − ���� 2            + ����
                                                ����     ����

                                            ���� ����
                   = ��������2 − ��������2 + ����
                                     ����

                                                                 ���� ����
                   = ����2 ���� − ���� + �������� ���� − ���� + ����
                                                  ����

                                                                    ���� ����
                   = 3����2 ���� − ���� + 2�������� ���� − ���� + ����                      (3.32)
                                                    ����

               ����3 = ���� ���� − ����                                             (3.33)

               ����4 = ��������                                                   (3.34)

Substitusikan persamaan (3.18) ke persamaan (3.34), diperoleh :

                                      1              ���� θ t
               ����4 = ���� −2�������� . +
                                      ����             ���� ���� ����
                                                                                          72



                      −2�������� ���� ����+�������� ����
                  =
                              ��������

                      −2�������� ���� ���� +�������� ����
                  =
                              ��������

                                      ���� θ t
                  = −2�������� +                                                         (3.35)
                                        ����

Sehingga dapat dibentuk sistem linear time varying menjadi:

                                      ����
               ����1                                ����
                     3���� ���� − ���� + 2�������� ���� − ���� + ����
                        2
               ����2                                ����
                   =
               ����3              ���� ���� − ����
               ����4                        ����
                                −2�������� + θ           ����

                                                              ���� − ����         0
                      0               1        0 0                            ��������
                     3����2             0        0 2����             ����           ����
                   =                  0                   ���� ���� − ��������    +
                      0                        0 1                            0
                      0              −2����                  ���� ���� − ����         ����θ
                                               0 0
                                                                              ����

                                                          ����1    0
                      0               1        0 0              ��������
                     3����2             0        0 2����      ����2   ����
                   =                  0                   ����3 + 0
                      0                        0 1
                      0              −2����                 ����4   ����θ
                                               0 0
                                                                   ����

                      0               1        0 0        ����1   0         0
                                                                1         0
                     3����2             0        0 2����      ����2
                   =                  0                   ����3 + ���� �������� + 0 ��������
                      0                        0 1              0         1
                      0              −2����      0 0        ����4   0         ����


                         0            1        0    0           0        0
                            2         0
                                                                1        0
              ���� (����) = 3����           0
                                               0   2���� ����(����) + ����
                                                                         0 ����(����)    (3.36)
                         0                     0    1           0        1
                         0           −2����      0    0           0        ����


       Persamaan (3.36) merupakan bentuk persamaan state space :

                                 ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)
                                                                                   73



dimana :

                         0         1         0 0          0          0
                            2      0
                                                          1          0
                   ���� = 3����        0
                                             0 2���� , ���� = ����
                                                                     0 ,
                         0                   0 1          0          1
                         0        −2����       0 0          0         ����

                                 ���� − ����
                                    ����                       �������� (����)
                     ���� ���� = ���� ���� − ��������      dan ���� ���� =
                                                             �������� (����)
                              ���� ���� − ����



3.4. Keterkendalian (Controllability)

       Berdasarkan definisi 2.5.1. sistem kontrol linear berdimensi–n yang

berbentuk:

                ���� ���� = ����(����)���� ���� + ����(����)����(����)

                ���� ���� = ���� ���� ����(����)

dikatakan terkendali jika matriks ���� �������� … �������� −1 ���� mempunyai ���������������� ���� (Roger W.

Brockett, 1970 : 80).

Dalam pembahasan ini akan ditentukan keterkendalian pada persamaan dinamik

gerak satelit yang sistemnya diberikan dalam persamaan berikut:

Sistem linear time invariant pada model gerak satelit:

                                                           0        0
                        0        1       0      0          1        0
                           2     0
               ���� ���� = 3����       0
                                         0     2���� ���� ���� +
                                                           ����       0 ����(����)
                        0                0      1                   1
                                −2����                       0
                        0                0      0
                                                           0        ����

       Sebagai langkah pertama, akan dicari matriks keterkendalian

                                ���� = ���� �������� ����2 ���� ����3 ����
                                                                                              74



Diketahui :

      0        1         0 0            0                  0
         2     0
                                        1                  0
���� = 3����       0
                         0 2���� dan ���� = ����
                                                           0
      0                  0 1            0                  1
      0       −2����       0 0            0                  ����




Maka diperoleh :

              0           1       0     0   0                1           0     0
                 2        0            2���� 3����2              0
����2 = �������� = 3����          0
                                  0
                                                             0
                                                                         0    2����
              0                   0     1   0                            0     1
              0          −2����     0     0   0               −2����         0     0

             3����2          0          0  2����
          =   0           −����2        0   0
              0           −2����        0   0
            −6����3          0          0 −4����2

                3����2        0         0     2����             0        1              0    0
                 0         −����2       0      0             3����2      0              0   2����
����3 = ����2 ���� =                                                       0
                 0         −2����       0      0              0                       0    1
               −6����3        0         0    −4����2            0       −2����            0    0

                 0         −����2       0     0
                −3����4       0         0    −2����3
              =
                −6����3       0         0    −4����2
                 0         2����3       0     0
                                                           1
                                       0    0                      0
        0          1      0      0 1                       ����
                   0                        0              0
                                                                  2����
�������� = 3����2               0     2���� ����
        0          0      0      1 0        0 =            0
                                                                  ����
                                            1                     1
        0         −2����    0      0 0        ����
                                                      −2����
                                                                  ����
                                                           ����      0
                                                                              2����
                                                                   0
          3���� 2
                     0        0  2����             0    0                        ����
                                                 1    0           −���� 2
                                                                               0
����2 ���� =   0        −����2      0   0
           0        −2����      0   0
                                                 ����   0 =          ����
                                                                               0
                                                 0    1           −2����
         −6����3       0        0 −4����2            0    ����           ����
                                                                             −4���� 2

                                                                   0          ����
                                                                                                             75



                                                                           −���� 2
                                                                                          0
          0        −����2       0         0           0         0             ����
              4               0        −2����3
                                                    1         0             0           −2���� 3
����3 ���� = −3����3      0                               ����        0 =                        ����
         −6����       0         0        −4����2        0          1            0           −4���� 2
          0        2����3       0         0           0         ����
                                                                           2���� 3
                                                                                         ����
                                                                            ����
                                                                                          0

Bentuk matriks keterkendalian,

                                              1                                    2���� −���� 2
                                                         0          0                              0
                                  0     0 ����                                       ����     ����
                                  1     0 0              2����       −���� 2
                                                                                   0      0      −2���� 3
               2       3
���� = ���� �������� ���� ���� ���� ���� =        ����    0 0              ����         ����                            ����
                                  0     1                1         −2����            0      0      −4���� 2
                                             −2����                             −4���� 2 2���� 3
                                  0     ����
                                              ����
                                                         ����         ����                             ����
                                                         0          0              ����     ����
                                                                                                   0

Rank dari R diperoleh dengan menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu :

           0   0  1           0   0                  2���� −����2                       0
     1     1   0  0          2���� −����2                 0    0                       −2����3
���� = ����
           0   0  0           1 −2����                  0    0                       −4����2
           0   1 −2����         0   0                 −4����2 2����3                      0

           0   0  1           0   0                  2���� −����2                       0            ����1 → ����3
     1     1   0  0          2���� −����2                 0    0                       −2����3         ����2 → ����1
  = ����
           0   0  0           1 −2����                  0    0                       −4����2         ����3 → ����4
           0   1 −2����         0   0                 −4����2 2����3                      0            ����4 → ����2

           0   0  1           0   0                  2���� −����2                       0
     1
  = ����
           1   0  0          2���� −����2                 0    0                       −2����3 ����1 − 2��������4
           0   0  0           1 −2����                  0    0                       −4����2 ����2 + 2��������3
           0   1 −2����         0   0                 −4����2 2����3                      0

           1   0   0       0  ����2         0   0                     2����3
     1     0   1   0       0  0           0   0                      0
  = ����
           0   0   1       0  0          2���� −����2                    0
           0   0   0       1 −2����         0   0                    −4����2

          Diperoleh rank (R) = 4 sehingga dapat disimpulkan sistem persamaan

gerak satelit terkendali. Akan dibuktikan lemma 2.5.4.1.: bahwa sistem persamaan

gerak satelit dikatakan terkendali, jika salah satu input tidak operatif (�������� = 0 atau

�������� = 0).
                                                                                                  76



Bukti :

                                                                   0
                                                                   0
Jika �������� = 0 (�������� tidak operatif), mengakibatkan B menjadi ����2 = 0 , maka :
                                                                                  1
                                                                                  ����


                                                   0    0      2����     0
                                              1    0   2����      0     −2����3
���� = ����2      ��������2       ����2 ����2   ����3 ����2 = ����   0    1       0     −4����2
                                                   1    0     −4����2    0

          0     0          2����        0                         1 0       −4����2         0
      1   0    2����          0        −2����3 ����4 → ����1  1         0 1         0          −4����2 ���� →
  = ����    0     1                         2 ���� → ���� = ����        0 2����
                            0        −4����     3    2                        0          −2����3 4
          1     0         −4����2       0                         0 0        2����          0

����3

          1     0         −4����2       0       1
          0     1                                 ����
      1                     0        −4���� 2  2���� 3
  = ����    0     0                               1
                           2����        0     − 2���� 3 ����4
          0    2����          0        −2���� 3


          1      0             −4����2      0
                                                        2
  = ����
      1   0      1              0        −4����2 ����1 + 4���� ����3
          0      0              1         0    ����2 + 4����2 ����4
          0    −1/����2           0         1

          1   0                0    0                  1       0      0   0
      1   0  −3                0    0 − 1 ���� = 1       0       1      0   0 ���� + 1 ����
  = ����    0   0                                        0       0
                               1    0   3 2    ����                     1   0 4 ���� 2 2
          0 −1/����2             0    1                  0     −1/����2   0   1

          1    0      0     0
      1   0    1      0     0 mempunyai rank 4.
  = ����    0    0      1     0
          0    0      0     1

                                                                                  0
                                                                                  1
Jika �������� = 0 (�������� tidak operatif), mengakibatkan B menjadi ����1 =                ����   , maka :
                                                                                  0
                                                                                  0
                                                                                          77



                                                  0  1      0     −����2
                                             1    1  0     −����2    0
���� = ����1       ��������1     ����2 ����1   ����3 ����1 = ����   0  0     −2����    0
                                                  0 −2����    0     2����3

           0      1          0       −����2
           1      0                        ����2 → ����1
     1
���� = ����                     −����2      0       1
           0      0         −2����      0         ����
                                            −2���� 3
           0     −2����        0       2���� 3


          1      0         −����2      0
          0      1                       ���� + ����2 ����3
     1
  = ����                      0       −����2 1 1
          0      0          1        0           ����
                                            2���� 3 4
          0     −2����        0       2����3

          1   0                0    0                      1     0       0   0
     1    0   1                0   −����2 ���� + ����2 ���� = 1    0     0       0   0 ���� → ����
  = ����    0   0                           2        4       0     0
                               1    0                 ����                 1   0 4      2

          0 −1/����2             0    1                      0   −1/����2    0   1

          1       0            0   0
     1    0     −1/����2         0   1 mempunyai rank 3.
  = ����    0       0            1   0
          0       0            0   0

          Karena �������� radial dan �������� tangensial, menurut lemma 2.5.4.2. jika suatu

input radial tidak operatif maka sistem dikatakan terkontrol. Sebaliknya, jika suatu

input tangensial tidak operatif maka sistem dikatakan tidak terkontrol.



3.5. Keteramatan (Observability)

                       Berdasarkan definisi 2.5.7. sistem dinamik linear berdimensi-n

    yang berbentuk

          ���� ���� = ����(����)���� ���� + ����(����)����(����)

          ���� ���� = ���� ���� ����(����)
                                                                               78



                                                   ����
                                                  ��������
dikatakan observable atau teramati jika matriks          mempunyai rank n
                                                    ⋮
                                                ������������−1

(Roger W. Brockett, 1970 : 90).

           Dalam mencari suatu keteramatan pada model persamaan gerak

satelit ini dibutuhkan matriks C yang merupakan matriks output sistem

persamaan gerak satelit. Matriks C dapat diperoleh dengan mengandaikan

bahwa jarak antara pusat force field dan sudut dapat diukur, sehingga

����1 = ���� − ���� dan ����3 = ����(���� − ��������) dapat diukur, dengan �������� sebagai pengukuran

jarak dan �������� sebagai pengukuran sudut (Purwanti, 2006). Maka diperoleh:

                                                   ����1
                         ��������   1 0          0   0 ����2
                         �������� = 0 0          1   0 ����3
                                                   ����4

Sehingga diperoleh

                  1   0 0       0
   matriks ���� =                   .
                  0   0 1       0



           Persamaan sistem linear time invariant model persamaan gerak

satelit dapat ditunjukkan sebagai berikut :

                                                        0    0
                   0         1        0      0          1    0
                  3����2       0        0     2���� ���� ���� +      0 ����(����)
          ���� ���� =            0                          ����
                   0                  0      1               1
                            −2����                        0
                   0                  0      0
                                                        0    ����

                      1 0   0     0
           ���� ���� =                  ���� ����
                      0 0   1     0

   Akan diselidiki keteramatan sistem di atas.

   Diketahui :
                                                                                79



             0       1     0 0
       ���� = 3����
                2    0     0 2���� dan ���� = 1 0        0   0
             0       0     0 1            0 0        1   0
             0      −2����   0 0

       Maka diperoleh :

       3����2      0     0    2����
����2 =   0       −����2   0     0
        0       −2����   0     0
      −6����3      0     0   −4����2

       0        −����2   0    0
           4           0   −2����3
����3 = −3����3      0
      −6����       0     0   −4����2
       0        2����3   0    0

                     0         1     0    0
       1    0   0 0 3����2       0     0   2���� = 0 1       0   0
�������� =                         0
       0    0   1 0  0               0    1    0 0       0   1
                     0        −2����   0    0

                    3����2         0       0    2����
        1   0   0 0                                       2
                                                   = −3����
                     0          −����2     0     0                  0     0 2����
��������2 =
        0   0   1 0  0          −2����     0     0      0          −2����    0 0
                    −6����3        0       0   −4����2

                     0          −����2     0    0
        1   0   0 0 −3����4        0       0   −2����3     0         −����2    0 0
��������3 =                                           2 =
        0   0   1 0 −6����3        0       0   −4����     −6����3       0     0 −4����2
                     0          2����3     0    0



Bentuk matriks keteramatan,

                                   1          0     0   0
                                   0          0     1   0
                           ����      0          1     0   0
                          ��������     0          0     0   1
                    ���� =      2 = −3����2
                         ��������                 0     0  2����
                         ��������3     0         −2����   0   0
                                   0         −����2   0   0
                                  −6����3       0     0 −4����2

Rank dari W diperoleh dengan menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu :
                                                                           80



      1         0      0   0       1             0      0   0
      0         0      1   0       0             0      1   0
      0         1      0   0       0             1      0   0
      0         0      0   1       0             0      0   1
���� = −3����2                      = −3����2
                0      0  2����                    0      0  2���� ����2 → ����3
      0        −2����    0   0       0            −2����    0   0
      0        −����2    0   0       0            −����2    0   0
     −6����3      0      0 −4���� 2
                                  −6����3          0      0 −4����2

      1         0      0   0
      0         1      0   0
      0         0      1   0
      0         0      0   1
   = −3����2      0      0  2����
      0        −2����    0   0
      0        −����2    0   0
     −6����3      0      0 −4����2

        Diperoleh rank (W) = 4 sehingga dapat disimpulkan sistem persamaan

gerak satelit teramati dimana �������� sebagai pengukuran radial dan �������� sebagai

pengukuran sudut. Untuk meminimumkan pengukuran maka didapat :

Jika �������� tidak diukur maka ����2 = 0   0   1   0 , maka diperoleh:

       ����2      0          0     1  0
      ����2 ����    0          0     0  1
���� =         =  0         −2����
     ����2 ����2                     0  0
     ����2 ����3   −6����3       0     0 −4����2

      0         0      1  0
      0         0      0  1    ����4 → ����1
   =  0        −2����    0  0    ����3 → ����2
     −6����3      0      0 −4����2

    −6����3       0     0 −4����2
  =  0         −2����   0  0    ����4 → ����3
     0          0     0  1
     0          0     1  0

    −6����3       0     0 −4����2    1          1       0   0 2/3����
                              − 6���� 3 ����1   0       1
  =  0         −2����   0  0                = 0           0   0 ���� − 2 ����
     0          0     1  0       1
                              − 2���� ����2             0   1   0   1 3���� 4
     0          0     0  1                  0       0   0   1
                                                                             81



    1     0   0   0
    0     1   0   0 mempunyai rank 4.
  = 0     0   1   0
    0     0   0   1

Jika �������� tidak diukur maka ����1 = 1     0 0   0 , maka diperoleh:

       ����1      1         0     0      0
      ����1 ����    0         1     0      0
���� =       2 =            0
     ����1 ����    3����2             0     2����
     ����1 ����3    0        −����2   0      0

      1        0     0    0   1         1         0    0   0
���� =
      0        1     0    0 2���� ����3 =   0         1    0   0 ���� − 3 ��������
     3����2      0     0   2���� − 1 ����   3����/2       0    0   1 3 2        1

      0       −����2   0    0    ���� 2 4   0         1    0   0

     1    0   0   0
     0    1   0   0 mempunyai rank 3.
   = 0    0   0   1
     0    1   0   0

        Apabila pengukuran sudut tidak diukur maka sistem persamaan gerak

satelit tidak observable, sebaliknya apabila pengukuran radial tidak diukur maka

sistem persamaan gerak satelit dikatakan observable.
                                                                              82



                                    BAB IV

                DESAIN FEEDBACK DAN DESAIN OBSERVER

     PADA PERSAMAAN GERAK SATELIT TANPA GANGGUAN



4.1. Desain Feedback pada Persamaan Gerak Satelit tanpa Gangguan

                Kendali feedback merupakan closed-loop control system, sistem

   kontrol yang kerja pengontrolnya tergantung pada output dari sistem.

   Feedback dapat mereduksi pengaruh gangguan di dalam sistem.

                Feedback dalam sistem satelit diperlukan untuk mengendalikan

   dan membetulkan secara otomatis pada posisi/ kedudukan satelit sehingga

   tetap berada pada orbit yang diinginkan. Dalam hal ini akan ditentukan desain

   feedback pada persamaan gerak satelit tanpa gangguan (S.K. Bhattacharya,

   2005 : 5).

   Diberikan persamaaan state space ���� ���� = �������� ���� + ��������(����) dengan

                            0       1     0    0           0
                               2    0                      0
                      ���� = 3����      0
                                          0   2����    ����2 = 0               (4.1)
                            0             0    1
                                                            1
                            0      −2����   0    0            ����

   Akan didesain kendali feedback yang dapat menstabilkan posisi satelit.

   Karena sistem terkendali maka sistem dapat distabilkan. Menurut Teorema

   2.5.9.4. sistem dapat distabilkan dengan cara mencari matriks F sedemikian

   sehingga semua nilai eigen dari A + BF mempunyai bagian real negatif.

   Misalkan diinginkan nilai-nilai eigen A + BF adalah −2 + ����, −2 − ����, −5, −7

   (Jan Verschelde, 2000) (artinya sistem stabil), maka polinomial karakteristik

   dari A + BF adalah
                                                                                                        83



���� ���� = ���� − (−2 + ����) ���� − (−2 − ����) ���� − (−5) ���� − (−7)

      = ���� − (−2 + ����) ���� − (−2 − ����) ���� + 5 ���� + 7

      = ����2 − −2 + ���� + −2 − ���� ���� + −2 + ���� (−2 − ����) ���� + 5 ���� + 7

      = ����2 + 4���� + 5 (����2 + 12���� + 35)

      = ����4 + 12����3 + 35����2 + 4����3 + 48����2 + 140���� + 5����2 + 60���� + 175

����(����) = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175.

Agar sistem stabil harus dicari matriks F sedemikian sehingga

                              ������������ �������� − (���� + ��������) = ���� ���� .

Misalkan ���� = ����1       ����2    ����3         ���� 4 , maka


                                                ����        0 0            0        0      1      0    0
                                                0         ���� 0           0 −     3����2    0      0   2���� +
������������ �������� − (���� + ��������) = ������������              0         0 ����                           0
                                                                         0        0             0    1
                                                0         0 0            ����       0     −2����    0    0


                                0
                                0
                                0 ����1                  ����2         ����3    ���� 4
                                1
                                ����



                        ���� 0         0          0                   0         1     0    0
                        0 ����         0          0 −                3����2       0     0   2���� +
            = ������������    0 0                                                   0
                                     ����         0                   0               0    1
                        0 0          0          ����                  0        −2����   0    0


                               0          0          0       0
                               0          0          0       0
                               0          0          0       0
                              ����1         ����2        ����3     ����4
                              ����          ����         ����      ����
                                                                                                      84



                                                       0             1            0       0
                        ���� 0         0      0
                                                      3����2           0            0      2����
                        0 ����         0      0 −        0             0            0       1
          = ������������      0 0          ����     0           ����1              ����2     ����3     ����4
                        0 0          0      ����        −       −2���� +
                                                        ����               ����      ����      ����

                        ����           −1            0         0
                       3����2           ����           0       −2����
          = ������������      0             0            ����       −1
                         ����1             ����2        ����3        ����4
                       − ����        2���� − ����       − ����    ���� − ����

          = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175

didapat

                        ����           0          −2����      −3����2           0         −2����
                        0            ����           −1       0              ����          −1
               ����            ����2      ����3           ����4 +   ����1            ����3          ����4
                     2���� −          −          ���� −       −              −         ���� −
                             ����       ����            ����      ����             ����           ����

              = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175



            ����           −1              0                  ����                    ����          −1
  ���� ����      ����3           ����4 − 2����       ����2               ����3     − 3����2        ����3          ����4
           −          ���� −           2���� −                 −                     −         ���� −
             ����            ����              ����                ����                    ����           ����

                                     0          ����
                        − 2����         ����1        ����3 = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175
                                    −          −
                                      ����         ����



                      ��������4 ����3                ��������2                                     ��������4 ����3
    ���� ���� ����2 −            −    − 2���� −2�������� +                       − 3����2 ����2 −             −
                       ����    ����                 ����                                        ����    ����

                                          ��������1
                             − 2����              = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175
                                           ����
                                                                                     85



                 ����2 ����4 ��������3 2������������2                        3����2 ��������4 3����2 ����3
      ���� ����3 −          −     −         + 4����2 ���� − 3����2 ����2 +           +
                   ����     ����     ����                               ����        ����

                           2������������1
                       −            = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175
                             ����



       4
           ����3 ����4 ����2 ����3 2��������2 ����2      2 2      2 2
                                                          3����2 ��������4 3����2 ����3
      ���� −        −       −           + 4���� ���� − 3���� ���� +           +
             ����      ����       ����                             ����        ����

                            2������������1
                        −            = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175
                              ����



  4
        ����4 3     ����3 2��������2     2  2
                                       3����2 ����4 2��������1      3����2 ����3
 ���� + −     ���� + − −         + ���� ���� +         −       ���� +
        ����        ����   ����                ����      ����           ����

= ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175

sehingga

                            ����4
                        −       = 16 … … … … … … … . … … (4.2)
                            ����

                           ����3 2��������2
                       −      −       + ����2 = 88 … … … … (4.3)
                           ����   ����

                        3����2 ����4 2��������1
                                −       = 200 … … … … . . (4.4)
                          ����      ����

                        3����2 ����3
                                 = 175 … … … … … … … … . (4.5)
                          ����



Substitusikan persamaan (4.2) ke persamaan (4.4) diperoleh

                                               2��������1
                                −3����2 . 16 −          = 200
                                                ����

                                                     2��������1
                                −3����2 . 16 − 200 =
                                                      ����
                                                                               86



                                      −48����2 − 200 ����1
                                                  =
                                          2����       ����

Persamaan (4.5) diubah dapat menjadi :

                                            ����3 175
                                               =     .
                                            ���� 3���� 2

Substitusikan hasil di atas ke persamaan (4.3) diperoleh

                                  175 2��������2
                              −         −    + ����2 = 88
                                  3���� 2   ����

                                  175                2��������2
                              −       2
                                        − 88 + ����2 =
                                  3����                 ����

                                      175
                                  −         − 88 + ����2 ����2
                                      3���� 2           =
                                            2����         ����

                                      175 88 ���� ����2
                                  −        −   + = .
                                      6���� 3 2���� 2 ����

diperoleh

                    −48���� 2 −200 ����
            ����1 =
                            2����

                        175           88       ����
            ����2 = −           3
                                −          +        ����
                        6����         2����        2
                                                                       (4.6)
                    175����
            ����3 =
                    3���� 2

            ����4 = −16����.

            Dengan kata lain persamaan gerak satelit tanpa gangguan tersebut

memiliki desain feedback sebagai berikut:

        −48����2 − 200 ����                    175 88 ����          175����
 ���� =                                 −         −   +  ����              −16����
             2����                           6���� 3 2���� 2         3���� 2
                                                                         87



Dapat dibuktikan bahwa dengan pemilihan matriks F di atas nilai-nilai eigen

dari matriks ���� + �������� yang merepresentasikan sistem persamaan dinamik

gerak satelit tanpa gangguan adalah −7, −5, −2 + ����, −2 − ����.

Pengaruh kendali feedback pada sistem dinamik gerak satelit

Selanjutnya akan disajikan gambaran dengan bentuk grafik fungsi tentang

pengaruh kerja kendali feedback untuk menstabilkan gerak satelit.

Data yang dipakai adalah data dari “LIVE REAL TIME SATELLITE AND

SPACE       SHUTTLE         TRACKING             AND   PREDICTIONS”     dari

http://www.n2yo.com . Pengambilan data pada 21 Juni 2010 pukul 17:32:12,

diperoleh data sebagai berikut:

����1 ���� = ���� = jarak antara satelit dengan pusat massa bumi = 347,6

����2 ���� = ���� = kecepatan satelit = 7,44

����3 (����) = ���� = sudut antara satelit dengan pusat massa bumi = 215,99   (4.7)

����4 (����) = ���� = kecepatan tangensial satelit = 4,62

���� = kecepatan sudut = 4,62

Terlebih dahulu akan diperlihatkan gambaran (dalam bentuk fungsi) sistem

dinamik satelit sebelum diberi kendali feedback. Untuk keperluan tersebut,

akan dicari solusi sistem dinamik gerak satelit tanpa gangguan

                    ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)                          (2.5)

   dengan

                          0        1       0      0          0
                         3����2      0       0     2����         0
                    ���� =           0                   ����2 = 0 .
                          0                0      1
                                                             1
                          0       −2����     0      0          ����
                                                                                                                                        88



Sistem tersebut mempunyai solusi yang berbentuk
                                                                           ����
                         ���� ���� = ���� ����(����−����0 ) ����0 +                     ���� 0
                                                                                 ���� ����   ����−����
                                                                                                 �������� ���� ��������.

Berikut ini dipaparkan proses mencari solusi sistem di atas. Hal pertama

yang dikerjakan adalah mencari ���� �������� .

                                   ���� −�������� +���� �������� −2                           ���� ��������            1       ���� ��������     ���� −��������
���� �������� = ���� + ���������������� +                                  ����2 ���� 2 +                        − ���� 2 ���� 2 − 2���� 3 ���� 3 − 2���� 3 ���� 3 ����3 ���� 3
                                          ��������                                   ���� 3 ���� 3


            ���� �������� 11    ���� �������� 12        ���� �������� 13          ���� �������� 14
            ���� ��������       ���� �������� 22        ���� �������� 23          ���� �������� 24
���� ��������   = �������� 21
            ���� 31         ���� �������� 32        ���� �������� 33          ���� �������� 34
            ���� �������� 41    ���� �������� 42        ���� �������� 43          ���� �������� 44

dengan

���� �������� 11 = 1 + 3������������ −�������� + 3������������ �������� − 6��������

                         ���� ��������                 ���� ��������       ���� −��������
���� �������� 12 = �������� 2 −              + ���� +                  +
                           ����                    2����            2����


���� �������� 13 = 0

���� �������� 14 = 2�������� −�������� + 2�������� �������� − 4����
                                                                          3                      3
���� �������� 21 = 3����2 ���� 2 − 3�������� �������� + 3����2 ���� + 2 �������� �������� + 2 �������� −��������

���� �������� 22 = 1 − ������������ −�������� − ������������ �������� + 2��������
                                                                                                                               (4.8)
���� �������� 23 = −������������ −�������� − ������������ �������� + 2��������

���� �������� 24 = 2����2 ���� 2 − 2���� −�������� + 2�������� + ���� �������� + ���� −��������

���� �������� 31 = −6���� �������� + 6�������� + 3���� �������� + 3���� −��������

���� �������� 32 = −2�������� −�������� − 2�������� �������� + 4����

���� �������� 33 = 1 − 2�������� −�������� − 2�������� �������� + 4����

���� �������� 34 = �������� 2 − 4���� �������� + 4�������� + 2���� �������� + 2���� −��������

���� �������� 41 = −6����2 �������� −�������� − 6����2 �������� �������� + 12����2 ����
                                                                                    89



���� �������� 42 = −2����2 ���� 2 + 2���� �������� − 2�������� − ���� �������� − ���� −��������

���� �������� 43 = 0

���� �������� 44 = 1 − 4������������ −�������� − 4���� �������� + 8��������

Kemudian dengan memasukkan data pada persamaan (4.7) ke persamaan

(4.8) diperoleh

���� �������� 11 = 1 + 3 4,62 �������� −4,62���� + 3 4,62 �������� 4,62���� − 6 4,62 ����

                          ���� 4,62����          ���� 4,62����   ���� −4,62����
���� �������� 12 = 4,62���� 2 −               + ���� + 2(4,62) + 2(4,62)
                           4,62


���� �������� 13 = 0

���� �������� 14 = 2�������� −4,62���� + 2�������� 4,62���� − 4����
                                                                      3
���� �������� 21 = 3(4,62)2 ���� 2 − 3 4,62 ���� 4,62���� + 3 4,62 2 ���� + 2 4,62 ���� 4,62���� +

            3
                 (4,62)���� −4,62����
            2


���� �������� 22 = 1 − 4,62�������� −4,62���� − 4,62�������� 4,62���� + 2(4,62)����

���� �������� 23 = −4,62�������� −4,62���� − 4,62�������� 4,62���� + 2(4,62)����

���� �������� 24 = 2(4,62)2 ���� 2 − 2���� −4,62���� + 2(4,62)���� + ���� 4,62���� + ���� −4,62����

���� �������� 31 = −6���� 4,62���� + 6(4,62)���� + 3���� 4,62���� + 3���� −4,62����                 (4.9)

���� �������� 32 = −2�������� −4,62���� − 2�������� 4,62���� + 4����

���� �������� 33 = 1 − 2�������� −4,62���� − 2�������� 4,62���� + 4����

���� �������� 34 = 4,62���� 2 − 4���� 4,62���� + 4(4,62)���� + 2���� 4,62���� + 2���� −4,62����

���� �������� 41 = −6(4,62)2 �������� −4,62���� − 6(4,62)2 �������� 4,62���� + 12(4,62)2 ����

���� �������� 42 = −2 4,62 2 ���� 2 + 2���� 4,62���� − 2 4,62 ���� − ���� 4,62���� − ���� −4,62����

���� �������� 43 = 0

���� �������� 44 = 1 − 4 4,62 �������� −�������� − 4���� 4,62���� + 8 4,62 ����
                                                                                                                  90



Solusi sistem tersebut yaitu:

                          347,6                                0
                          7,44           ����                    0
���� ���� = ���� ����(����−����0 )          +              ���� ����   ����−����
                                                               0 ���� ���� ��������
                         215,99         ���� 0
                                                               1
                          4,62                                 ����


dengan mengambil u(s) = 0 (karena sistem belum mendapatkan kendali),

didapat

                                                                                           0
                                         347,6
                                         7,44
                                                                      ����                   0
                  ���� ���� = ���� ����(����−0)          +                           ���� ����   ����−����   0 . 0. ��������
                                        215,99                      ���� 0                   1
                                         4,62
                                                                                           ����

                                    347,6
                                     7,44
                  ���� ���� = ���� ��������          .                                                             (4.10)
                                    215,99
                                     4,62

Dengan memasukkan entri-entri dari matriks ���� �������� pada persamaan (4.8) ke

                                                 ����1 (����)
                                                 ���� (����)
persamaan (4.10) diperoleh solusi sistem ���� ���� = 2        dengan
                                                 ����3 (����)
                                                 ����4 (����)

����1 ���� =

347,6 + 4826,976�������� −4,62���� + 4826,976�������� 4,62���� + 9654,952���� +

34,3728���� 2 − 0,805194805���� 4,62���� + 0,805194805���� −4,62����

����2 ���� =

7,44 − 898,3328�������� −4,62���� − 898,3328�������� 4,62���� + 24365,12232���� +

22455,16258���� 2 − 2413,488���� 4,62���� + 2413,488���� −4,62����

����3 ���� =                                                                                                  (4.11)

215,99 − 446,86�������� −4,62���� − 446,86�������� 4,62���� + 10614,5696���� +

21,3444���� 2 − 1052,04���� 4,62���� + 1052,04���� −4,62����
                                                                                91



����4 ���� =

4,62 − 44601,25824�������� −4,62���� − 44534,36064�������� 4,62���� + 99133,77088���� −

317,604672���� 2 + 7,44���� 4,62���� − 7,44���� −4,62����



Berikut      disajikan    grafik     ����1 ���� , ����2 ���� , ����3 ���� , dan   ����4 ����   yang

merepresentasikan kondisi dinamik gerak satelit yang tidak diberi

pengontrol. Proses pembuatan grafik tersebut menggunakan bantuan

software Scilab.




                                  Gambar 12
          Perbedaaan jarak satelit yang seharusnya dengan jarak yang
                  tidak seharusnya sebelum diberi feedback
                                                               92




                      Gambar 13
          Kecepatan radial satelit tanpa feedback




                         Gambar 14
Perbedaan sudut satelit yang seharusnya dengan sudut satelit
          yang tidak seharusnya tanpa feedback
                                                                               93




                                Gambar 15
            Pergerakan kecepatan tangensial satelit tanpa feedback


Selanjutnya akan diperlihatkan gambaran (dalam bentuk grafik fungsi) sistem

dinamik gerak satelit setelah diberi kendali feedback

                                     ���� = ����(����)

dengan

          −48����2 − 200 ����            175 88 ����          175����
   ���� =                          −        −   +  ����              −16����     .
               2����                   6���� 3 2���� 2         3���� 2

Untuk keperluan tersebut akan dicari solusi sistem dinamik gerak satelit

setelah diberi feedback

                  ���� (����) = ���� + �������� ���� ����                           (2.33)

dengan

                      0                            1         0        0
                     3����2                          0         0       2����
    ���� + �������� =       0                            0         0
                −24����2 − 100                   ���� 44 175    175       1
                                      −2���� +     −  −                −16
                      ����                       2 ���� 3���� 2   3���� 2
                                                                  94



                   0            1           0       0
               64,0332          0           0      9,24
           =       0            0                       .
                                            0       1
             −132,5250216 −16,74958412 2,732957278 −16

Dengan menggunakan program komputer scilab diperoleh nilai eigen dari

sistem adalah

                                     ����1 = −7

                                     ����2 = −5,0000001 ≈ −5

                                     ����3 = −2 + ����

                                     ����4 = −2 − ����

Sedangkan vektor eigennya adalah

                 −0,1337496
                  0,9642472
           ����1 =
                 −0,0320163
                  0,2241144

                  0,1498068
                 −0,7490324
           ����2 =
                  0,1265680
                 −0,6328398

                 −0,1303737 + 0,0085444����
                  0,2522029 − 0,1474626����
           ����3 =
                 −0,3459438 − 0,1729719����
                        0,8648594

                 −0,1303737 − 0,0085444����
                  0,2522029 + 0,1474626����
           ����4 =
                 −0,3459438 + 0,1729719����
                        0,8648594

  Untuk mendapatkan solusi sistem, dibentuk fungsi

           ����1 ���� = ���� ���� 1 ���� ����1
                                                                               95



                  −0,1337496���� −7����
                   0,9642472���� −7����
                =
                  −0,0320163���� −7����
                   0,2241144���� −7����

         ����2 ���� = ���� ���� 2 ���� ����2

                     0,1498068���� −5����
                    −0,7490324���� −5����
                  =
                     0,1265680���� −5����
                    −0,6328398���� −5����

         ����3 ���� = ���� ���� 3 ���� ����3

                                   −0,1303737                 0,0085444
                                    0,2522029                 0,1474626
                  = ���� −2���� cos ����            +���� −2���� sin ����           +
                                   −0,3459438                 0,1729719
                                    0,8648594                     0

                                     −0,1303737                  0,0085444
                                      0,2522029                  0,1474626
                   ���� ���� −2���� sin ����            + ���� −2���� cos ����
                                     −0,3459438                  0,1729719
                                      0,8648594                      0

         ����4 ���� = ���� ���� 4 ���� ����4

                                   −0,1303737                 −0,0085444
                                    0,2522029                 0,1474626
                  = ���� −2���� cos ����            +���� −2���� sin ����            +
                                   −0,3459438                 0,1729719
                                    0,8648594                      0

                                    −0,0085444                    −0,1303737
                                     0,1474626                    0,2522029
                  ���� ���� −2���� cos ����            − ���� −2���� sin ����
                                     0,1729719                    −0,3459438
                                         0                        0,8648594

Untuk memperoleh penyelesaian yang bernilai real pada ����3 ���� dan ����4 ����

dapat dicari sebagai berikut
                    1
        ����5 ���� = 2 �������� ����3 ����     + ��������(����4 ���� )
                                                                                     96



                                 −0,1303737                  −0,0085444
                                 0,2522029                    0,1474626
                = ���� −2���� cos ����            + ���� −2���� sin ����
                                 −0,3459438                   0,1729719
                                 0,8648594                        0



                    1
           ����6 ���� = 2 �������� ����3 ����   − ��������(����4 ���� )

                                 0,0085444                            −0,1303737
                                 −0,1474626                            0,2522029
                = ���� −2���� cos ����            + ���� −2���� sin ����                     .
                                 −0,1729719                           −0,3459438
                                      0                                0,8648594

Bentuk dari solusi sistem (2.33) adalah

        ���� ���� = ����1 ����1 ���� + ����2 ����2 ���� + ����3 ����5 ���� + ����4 ����6 (����)            (4.12)

dengan memasukkan nilai awal pada persamaan (4.7) ke dalam persamaan

(4.12) diperoleh

                               ����1 = −29592,209

                               ����2 = −54680,999

                               ����3 = −32337,802

                               ����4 = 28892,789.

                                         ����1 (����)
                                         ���� (����)
Sehingga diperoleh solusi sistem ���� ���� = 2        dengan
                                         ����3 (����)
                                         ����4 (����)

����1 ���� =

4076,314953���� −7���� − 8191,585481���� −5���� + 4462,870443���� −2���� cos ���� −

3490,55269���� −2���� sin ����
                                                                                97



����2 ���� =

−28534,20467���� −7���� + 40957,93834���� −5���� − 12416,29323���� −2���� cos ���� +

2518,228814���� −2���� sin ����

����3 ���� =

947,433041���� −7���� − 6920,864681���� −5���� + 6189,4215���� −2���� cos ���� −

15588,81227���� −2���� sin ����

����4 ���� =

−6632,040165���� −7���� + 34604,31247���� −5���� − 27967,65204���� −2���� cos ���� +

24988,20016���� −2���� sin ����.

Berikut     disajikan       grafik   ����1 ���� , ����2 ���� , ����3 ���� , dan   ����4 ����   yang

merepresentasikan kondisi persamaan dinamik gerak satelit setelah diberi

kendali feedback. Proses pembuatan grafik tersebut menggunakan bantuan

software Scilab.




                               Gambar 16
       Perbedaan jarak satelit yang tidak seharusnya dengan jarak
               yang seharusnya setelah diberi feedback
                                                                     98




                          Gambar 17
              Kecepatan radial satelit setelah diberi
                     pengontrol feedback




                           Gambar 18
Perbedaan sudut satelit yang tidak seharusnya dengan sudut satelit
            yang seharusnya setelah diberi feedback
                                                                                    99




                               Gambar 19
             Kecepatan tangensial satelit setelah diberi feedback



Berikut akan dibandingkan perilaku sistem sebelum dan sesudah diberi

kontrol feedback.




                Gambar 12                                     Gambar 16
  Perbedaaan jarak satelit yang seharusnya   Perbedaan jarak satelit yang tidak seharusnya
     dengan jarak yang tidak seharusnya             dengan jarak yang seharusnya
          sebelum diberi feedback                       setelah diberi feedback
                                                                                        100




            Gambar 13                                          Gambar 17
Kecepatan radial satelit tanpa feedback       Kecepatan radial satelit setelah diberi feedback




               Gambar 14                                        Gambar 18
 Perbedaan sudut satelit yang seharusnya        Perbedaan sudut satelit yang tidak seharusnya
dengan sudut satelit yang tidak seharusnya          dengan sudut satelit yang seharusnya
             tanpa feedback                               setelah diberi feedback




              Gambar 15                                           Gambar 19
Kecepatan tangensial satelit tanpa feedback     Kecepatan tangensial satelit setelah diberi feedback
                                                                                          101



   Grafik-grafik di atas menjelaskan pengaruh kinerja feedback pada kestabilan

   sistem. Sistem satelit akan stabil setelah diberi feedback ditunjukkan dengan

   adanya grafik fungsi yang pada akhirnya akan menuju nol.



4.2 Desain Observer pada Persamaan Gerak Satelit tanpa Gangguan

   Diberikan sistem linear time invariant

                                 ���� (����) = �������� ���� + �������� ����
                                                                                       (2.5)
                               ���� ���� = �������� ����

   dengan

                  0        1       0     0         0

            ���� = 3����2      0       0    2���� , ���� = 0 , dan ���� = 0
                  0        0       0     1         0              0           1   0.
                                                   1
                  0       −2����     0     0         ����

    Jika informasi awal (posisi satelit pada saat tertentu) dari sistem (2.5) tidak

   diketahui maka dapat dibuat desain observer yang dapat menstabilkan

   persamaan dinamik error dari persamaan (2.5).

   Persamaan observer untuk sistem (2.5) diberikan oleh persamaan

    ���� (����) = �������� ���� + ��������(����) + ���� ����(����) − ����(����) dengan ���� = �������� (����)            (2.40)

   dengan persamaan dinamik error

                        ���� ���� = ���� − �������� ����(����)                                       (4.13)

   Misalkan diinginkan meletakkan pole dari sistem di −2 + ����, −2 − ����, −5, −7

   (Jan Verschelde, 2000). Berdasarkan teorema 2.5.10.1. karena sistem (2.5)

   teramati (observable) maka dapat dicari matriks K sedemikian sehingga
                                                                               102



matriks (���� − ��������) adalah persamaan (2.40) stabil asimtotik. Hal ini akan

berakibat persamaan dinamik error dari sistem stabil.

Berikut akan diuraikan langkah mencari K. Berdasarkan penempatan pole

dari sistem yang diinginkan, diperoleh persamaan karakteristik

   ���� ���� = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175                                 (4.14)

Berdasarkan teorema 2.5.10.1. matriks K dicari dengan menyelesaikan

persamaan

   ������������ �������� − (���� − ��������) = ���� ���� .                                       (4.15)

                      ����1
                      ����
Misalkan matriks ���� = 2
                      ����3
                      ����4

             0        1        0     0    ����1
���� − �������� = 3����
                2     0        0    2���� − ����2 0
             0        0        0     1    ����3             0 1      0
             0       −2����      0     0    ����4

            0         1        0 0     0            0    ����1   0
               2      0        0 2���� − 0            0    ����2   0
         = 3����        0                0            0
            0                  0 1                       ����3   0
            0        −2����      0 0     0            0    ����4   0

            0         1        −����1       0
           3����2       0        −����2      2����
         =            0
            0                  −����3       1
            0        −2����      −����4       0

                   ����     0    0      0    0             1     −����1     0
                   0      ����   0      0 − 3����2           0     −����2    2����
�������� − ���� − �������� = 0      0                              0
                               ����     0    0                   −����3     1
                   0      0    0      ����   0            −2����   −����4     0

                    ����          −1          ����1      0
                        2        ����         ����2     −2����
                 = −3����          0
                    0                    ���� + ����3    −1
                    0           2����         ����4       ����
                                                                                             103



                                       ����        −1           ����1        0
                                      −3����2       ����          ����2       −2����
������������ �������� − (���� − ��������) = ������������                0
                                       0                   ���� + ����3     −1
                                       0         2����          ����4        ����

   ����         −1    ����1           0
  −3����2        ����   ����2          −2����
=              0 ���� + ����3
   0                              −1
   0          2����   ����4            ����

=

        ����      ����2      −2����  −3����2               ����2       −2����
    ���� 0     ���� + ����3     −1 +  0               ���� + ����3      −1 +
       2����      ����4        ����   0                  ����4         ����

      −3����2       ����     −2����
  ����1  0          0      −1
       0         2����      ����

          ���� + ����3     −1           ����2        −2����        ���� + ����3             −1
= ���� ����                    + 2����                    − 3����2                          +
             ����4        ����       ���� + ����3       −1            ����4                ����

                 0      −1
    ����1 −3����2
                2����      ����

= ���� ���� ����2 + ��������3 + ����4 + 2���� −����2 + 2�������� + 2��������3                 − 3����2 ����2 + ��������3 +

    ����4 + ����1 −3����2 2����

= ����4 + ����3 ����3 + ����4 + 4����2 − 3����2 ����2 + −2��������2 + 4����2 ����3 − 3����2 ����3 ���� +

    −3����2 ����4 − 6����3 ����1 .



Didapat

����4 + ����3 ����3 + ����4 + 4����2 − 3����2 ����2 + −2��������2 + 4����2 ����3 − 3����2 ����3 ���� +

 −3����2 ����4 − 6����3 ����1 = ����4 + 16����3 + 88����2 + 200���� + 175.

Sehingga diperoleh

                                             −48���� − 175
                                     ����1 =
                                                6���� 3
                                                                          104



                                         8����2 − 100
                                 ����2 =
                                              ����

                                 ����3 = 16

                                 ����4 = 88 − ����2 .

Dengan demikian diperoleh matriks

                                    −48���� − 175
                                       6���� 3
                                       2
                               ���� = 8���� − 100 .
                                         ����
                                         16
                                     88 − ����2

Persamaan sistem observer pada gerak satelit tanpa gangguan yaitu :

���� ���� = �������� ���� + �������� ���� + ����(���� − �������� ���� )

             0        1      0     0          0
                2     0           2���� ���� ���� + 0 ���� ����
          = 3����       0
                             0
             0               0     1          0
             0       −2����    0     0          1

                            −48���� − 175
                               6���� 3
                               2
                          + 8���� − 100 ���� − 0            0 1   0 ���� ���� .
                                 ����
                                 16
                             88 − ����2
                                                                                    105



                                      BAB V

                                  PENUTUP



5.1 Kesimpulan

   Berdasarkan hasil studi literatur yang dilakukan tentang penerapan teori

   kontrol terhadap persamaan gerak satelit tanpa gangguan berikut :

      1. Model persamaan gerak satelit tanpa gangguan dipengaruhi oleh suatu

          pasangan persamaan diferensial orde dua:

                                       ����               ���� ����   ����
          ���� ���� = ���� ���� ���� 2 ���� −                 +                  ,
                                    ���� 2    ����            ����

                                       1              ���� θ (t)
          ���� ���� = −2���� ���� ���� ���� .                +                   .
                                    ���� ����            ����(����)����

          Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial non

          linear, melalui proses linearisasi di sekitar titik equilibrium didapatkan

          sistem dinamik yang linear. Berdasarkan analisa diperoleh sistem

          linear time invariant dalam bentuk persamaan state space

                                    ���� ���� = �������� ���� + ��������(����)

                                                 ���� ���� = ��������(����)

          dengan


                           0       1                0            0             0
                              2    0                                           0
                     ���� = 3����      0
                                                    0           2����      ����2 = 0   (4.1)
                           0                        0            1
                                                                              1
                           0      −2����              0            0            ����


                                     ���� = [0 0 1 0]
                                                                                106



            terkendali dan teramati, untuk ���� = 4,62. Persamaan gerak satelit

            tanpa gangguan terkendali dan teramati maka dapat dicari desain

            feedback dan desain observer dengan mengambil nilai-nilai eigen.

       2. Desain kendali feedback untuk model gerak satelit tanpa gangguan

            (4.1) dilakukan dengan menempatkan nilai eigen sebagai berikut:

            −2 + ����, −2 − ����, −5, −7 dan dihasilkan matriks kendali feedback.

                     −48����2 − 200 ����          175 88 ����        175����
              ���� =                        −        −   +  ����            −16����
                          2����                 6���� 3 2���� 2       3���� 2

            Demikian juga dengan penempatan nilai eigen −2 + ����, −2 − ����, −5, −7

            diperoleh matriks observer.

                                         −48���� − 175
                                            6���� 3
                                            2
                                    ���� = 8���� − 100 .
                                              ����
                                              16
                                          88 − ����2



5.2 Saran

               Berdasarkan pada proses penelitian yang dilakukan tentang

   penerapan teori kontrol terhadap persamaan gerak satelit tanpa gangguan,

   maka saran-saran yang dapat disampaikan oleh peneliti adalah :

   1. Penelitian ini dapat dikembangkan untuk menelaah aspek-aspek teori

      kontrol (keterkendalian, keterobservasian, desain kendali feedback dan

      observer) pada sistem dinamik gerak satelit dengan gangguan.

   2. Desain kendali pada Sistem Dinamik Satelit dapat dikembangkan untuk

      mendapatkan kendali yang lebih baik yaitu desain kendali yang tahan
                                                                          107



   terhadap gangguan dan ketidakpastian atau mampu menyesuaikan

   dinamika sistem.


          Demikian saran-saran yang dapat disampaikan oleh peneliti.

Semoga    skripsi   ini   dapat   menjadi   inspirasi   bagi   pembaca   untuk

mengembangkan lebih lanjut tentang gerak satelit.
                                                                              108



                             DAFTAR PUSTAKA


Gazali, Wikaria dan Soedadyatmodjo.2007.KALKULUS Edisi kedua.Yogyakarta :
         GRAHA ILMU

Polderman, J.W..2006. Applied Mathematical Sciences (AMS) series. Enschede,
         Groningen

Olsder, G.J..1994.Mathematical Systems Theory. Netherlands: Faculty of
        Technical Mathematics and Informatics Delft University of Technology

Budhi, Wono Setya.1995.Aljabar Linear.Jakarta: PT Gramedia

Soemartojo, Noeniek.1982.Analisa Vektor.Jakarta: Erlangga

Bhattacharya,S.K..2005.Control System Engineering. Singapura : Pearson
         Education

Ayres      JR. PhD.,Frank.1984.Seri Buku      Schaum    Teori     dan   Soal-soal
            MATRIKS.Jakarta: Erlangga

Giancoli, Douglas C.2001.FISIKA Edisi kelima.Jakarta: Erlangga

Brockett, R.W..1970.Finite Dimensional Lynear Systems.New York: John Wiley
          and Sons, Inc.

Stewart, James.1999.Calculus, Fourth Edition. A division of International
         Thomson Publishing Inc.

Alih bahasa : Drs. I Nyoman Susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D.

Flowers,     Grant R. Fowles and Cassiday, George               L..2005.Analytical
            Mechanics.America : Thomson Learning, Inc

Dedy, Endang dkk.2003.KALKULUS I.Bandung : JICA

G.Hadley.1983.Aljabar Linear edisi revisi.Jakarta Erlangga

David Poole.2003. Linear Algebra a Modern Introduction.America: the
      Wadsworth group, a division of thomson learning,Inc

Siregar, Suryadi.2008.LINTASAN SATELIT.Bandung : ITB
                                                                            109



Siregar,     Suryadi.2008.DASAR-DASAR         GERAK        DAN       LINTASAN
           SATELIT.Bandung : ITB

Jan Verschelde dan Yusong Wang. 2000. Numerical Homotopy Algorithms for
         SatelliteTrajectory Control by Pole Placement. Chicago : Department
         of Mathematics, Statistics, and Computer Science University of Illinois
         at Chicago 851 South Morgan (M/C 249)

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags: skripsi, math
Stats:
views:269
posted:7/1/2012
language:Malay
pages:125
Description: Skripsi S1 Jurusan Matematika