Docstoc

VEKTOR MODUL 14

Document Sample
VEKTOR MODUL 14 Powered By Docstoc
					                                                                  MODUL KD. 31



                              VEKTOR
        Standar Kompetensi
                Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan
                 masalah



        Kompetensi Dasar
                Menerapkan konsep vektor pada bidang datar
                Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang.



                                         ISI INTI MATERI

                               A. Vektor pada dimensi dua, R.2
                               B. Vektor pada dimensi tiga, R.3
                               C. Penerapan Vektor

Tujuan Pemelajaran


Usai pengajaran materi vektor ini diharapkan siswa mampu :

    1. Mendiskripsikan vektor pada bidang datar ( dimensi dua ).
    2. Menentukan komponen-komponen vektor.
    3. Menyelesaikan kesamaan vektor.
    4. Melakukan operasi penjumlahan vektor.
    5. Menunjukkan hasil perkalian vektor-vektor.
    6. Menerapkan konsep vektor pada bidang datar.
    7. Mendiskripsikan vektor pada bangun ruang ( dimensi tiga ).
    8. Menentukan hasil opersai vektor-vektor pada bangun ruang.
    9. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang.



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                             Page 1
                                                                 MODUL KD. 31


DESKRIPSI

Seperti sudah kita ketahui semua bahwa setiap saat manusia itu selalu
dihadapkan pada kegiatan yang diberi nama mengukur. Setiap melakukan
pengukuran pastilah melibatkan dua hal pokok yaitu besar dan arah
pengukuran. Kedua komponen itu berkaitan erat dan menjadi satu kesatuan
yang disebut vektor.


Jarak dari kota A ke kota B 40 km dengan arah 0300, jarak dari kota B kota
C 60 km dengan arah 0600. Pertanyaan yang muncul adalah ;
     Benarkah jarak dari kota A ke kota C sama dengan 100 km ? Kapan
         jarak 100 km itu dipenuhi ?
     Mungkinkah jarak dari kota A ke kota C lebih dari 100 km ? Bisakah
         jarak itu kurang dari 1oo km ?
     Berapa derajatkah arah dari kota A kota C ?

Hal-hal semacam di atas merupakan kejadian sehari-hari yang menjadi
bahasan dalam kompetensi ini.

Selain itu juga pada kompetensi vektor ini akan dikupas tentang vektor di
dimensi dua ( R.2 ), vektor di demensi tiga/ruang ( R.3 ), dan penerapan vek
tor pada bidang lain khususnya ilmu-ilmu fisik seperti fisika.




A. Vektor Pada Ruang Berdimensi Dua

    1. Pengertian Besaran
         Diketahui bahwa pada setiap besaran terdiri atas dua hal pokok ,
         yaitu : besaran skalar atau menyangkut kuantitatif dan besaran
         vektor menyangkut kualitatifnya.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                            Page 2
                                                                   MODUL KD. 31

         a. Besaran Skalar
             Skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja.
             Atau besaran yang hanya punya satu macam ukuran saja yakni
             besar atau kuntitatifnya.
             Contoh :
             i. Panjang 5 cm
             ii. Waktu 30 detik
             iii. Berat 75 gram.
             iv. Suhu 370 C
         b. Besaran Vektor
             Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.
             Secara geometris vektor didifinisikan sebagai suatu ruas garis
             yang mempunyai arah. Vektor biasa dinotasikan dengan tanda
             panah di atas huruf yang menunjukkan arah vektor.
                                                        B   Vektor AB menjukkan
                                 A     a                    arah yaitu dari A ke B.
             Vektor AB, ditulis A B atau a
                      Titik A : titik awal ( asal ) vektor
                      Titik B : titik ujung vektor
             Besar dan panjang vektor a dapat ditulis dengan simbol, sebagai
             berikut : a atau a.
             Hal berbeda untuk vektor BA , jelaskan !
             Pada umumnya jika vektor a = ( x , y ), maka panjang vektor a
             dapat dicari dengan menggunakan rumus :




             Contoh :
             Tentukan panjang dari vektor-vektor berikut ini :
             i. a = ( 3 , 4 )
             ii. b = ( 12 , 5 )



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                    Page 3
                                                                        MODUL KD. 31

             Jawab :
             i. a = ( 3 , 4 )
                                                =
                                                =
                                                = 5
                Jadi panjang vektor a = ( 3 , 4 ) adalah 5
             ii. b = ( 12 , 5 )

                                                =
                                                =
                                                = 13
                Jadi panjang vektor b = ( 12 , 5 ) adalah 13.


    2. Pengertian Phasor
         a. Difinisi
             Phasor adalah sebuah vektor yang berputar. Phasor merupakan
             suatu besaran yang mempunyai besar ( panjang ) yang ditunjuk
             kan dengan panjang ruas garis dan arah yang ditunjukkan oleh
             besar sudut δ yang dibentuk terhadap garis satuannya.
             Perhatikan gambar sinusoida berikut ini :



                          3                             3
                     4          2                   2       4

                                  1
                 5              1111     1                      5

                     6                                              6        8
                          7     8                                        7

             Gambar di atas adalah gambar sinusoida dari salah satu besaran
             listrik arus bolak-balik.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                    Page 4
                                                                      MODUL KD. 31

         b. Notasi phasor
             Secara umum sebuah phasor atau vektor yang bergerak dapat
             dinyatakan dengan notasi :
                                                  r       δ
             Keterangan :
                  r = besar ( panjang ) phasor
                        = sudut yang ditempuh, yang merupakan fungsi dari t, yaitu
                         fungsi dari waktu, atau δ =
             Bentuk di atas dikenal sebagai bentuk rectangular.
         c. Bentuk Polar
             Sebuah phasor selain dinyatakan dalam bentuk rectangular dapat
             pula dinyatakan dalambentuk polar , yaitu :

                                          a +bi

         d. Hubungan antara bentuk polar dan rectangular
             Besar dan arah sebuah phasor dapat digambarkan pada koordinat
             kartesius atau pasangan sumbu koordinat ( R , J ) sebagai berikut:
                   J                       (a,-bi)            a = r cos δ dan
                                      A                       b = r sin δ maka didapat
                                                      a + bi = r cos δ + r sin δ . i
                    b                                           = r ( cos δ + I sin δ )
                             δ                                  = r   δ
                    0            a                    R
             Jadi diperoleh hubungan :

                                                a+bi=r


             Dari hubungan di atas dapat diartikan, sebagai berikut :
                       Sebuah phasor yang dinyatakan dengan 3 + 4 i , artinya
                       phasor itu terletak pada perpotongan arah R sejauh 3
                       satuan dan arah J sejauh 5 satuan.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                         Page 5
                                                                        MODUL KD. 31

                         Bentuk polar 5           300 , artinya panjang phasor itu 5 satuan
                         dan arah phasor sebesar 300 dihitung dari sumbu horizontal
                         ( sumbu J ).

             Contoh :

             i. Nyatakan 1 +              . i ke bentuk polar

             ii. Nyatakan 5           600 ke bentuk rectangular !

             Jawab :

             i. 1 + 2 i , artinya a = 1 dan b = 2

                r=


                     =

                     =

                     = 2

               Tan         =

                           =          δ = arc. Tan

                                          = 600

                Jadi 1 +            i=2     600

             ii. 5       300 , artinya r = 5 dan δ = 300

                maka a = r cos δ

                                = 5 cos 300

                                = 5.

                                =

                               b = r sinδ

                                = 5 . sin 300



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                         Page 6
                                                                 MODUL KD. 31

                           = 5.½

                           =

                Jadi 5     300 =          +



    3. Operasi Vektor

         a. Operasi Penjumlahan
             Jumlah dua buah vektor atau lebih disebut vektor hasil atau
             resultan. Ada beberapa cara untuk menentukan resultan dari dua
             buah vektor, tiga diantaranya adalah : cara segitiga, cara jajaran
             genjang dan cara analitis.


             1) Penjumlahan Vektor dengan cara segitiga
                 Dimaksud cara ini vektor hasil ( resultan ) penjumlahan, yaitu :
                 a + b , diperoleh dengan cara menempatkan (menyekutukan)
                 titik awal ( ujung ) dari salah satu vektor ke salah satu titik akhir
                 ( pangkal ) vektor yang lainnya. Sebagai resultannya adalah
                 titik awal vektor yang satu dan titik akhirnya adalah titik akhir
                 vektor yang lainnya.


                 Contoh :
                 Diketahui vektor               a       dan vektor b     .


                 Tentukan a + b




                 Jawab :             a + b
                                                    b
                                           a




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                   Page 7
                                                                    MODUL KD. 31

             2) Penjumlahan vektor dengan cara jajar genjang
                 Dimaksud cara ini resultan atau vector hasil penjumlahan dipe
                 roleh dari diagonal jajar genjang yang dibentuk oleh titik awal
                 kedua vektor yang diimpitkan, kemudian dibuat vektor-vektor
                 yang sejajar dengan vektor semula sehinga terbentuklah
                 sebuah jajar genjang. Diagonal yang melalui titik pangkal
                 keduanya adalah resultan vektor yang dimaksut.


                 Contoh :
                 Diketahui vektor           a   dan vektor            b
                 Tentukan          a + b
                 Jawab :
                         a
                               a + b


                                   b




             3) Penjumlahan vektor secara analitis
                 Dimaksud cara ini dua buah vektor yang akan ditentukan
                 resultannya, jika titik awalnya ( ujung ) dimpitkan maka kedua
                 nya akan menapit sebuah sudut selanjutnya disebut sudut apit.
                 Dengan menggunakan aturan sinus dan atau aturan cosinus
                 akan diperoleh vektor rusultannya.


                 a) Aturan Sinus
                                                             δ : sudut apit antara
                           a                                     a dan b
                               δ       a + b                 θ : sudut apit antara
                                        θ                        b dan ( a + b )
                                        b                    θ dapat dicari dengan :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                        Page 8
                                                                   MODUL KD. 31




                 b) Aturan cosinus
                     Dengan aturan kosinus δ dapat dicari sebagai berikut :




                     Contoh :
                     Hitunglah jumlah vektor dan arah sudut yang dibentuk      =1
                     dan              dengan sudut apit :
                     i. δ = 300
                     ii. δ = 600
                     Jawab :


                                300     θ




                                            12 +   2
                                                       +2.1.   . cos 300

                                       =1+3+2

                                       =4+1= 5
                           (           =

                        Jadi jumlah vektor a dan vektor b adalah =




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                 Page 9
                                                                            MODUL KD. 31


                                                sin θ =


                                                        =

                                                        = 0,223
                                                    θ = arc. sin 0,223
                                                        = 12,890
                        Jadi besar                          dan arahnya membentuk sudut

                        12,890 terhadap         .
                     ii. (           )2 =   2
                                                +   2
                                                        + 2.      . cos δ
                                       = 12 +           2
                                                            +2.1.     . cos 600
                                       = 1+3+2

                                       = 4 +

                        (        )     =
                                       = 2,394




                                                 sin θ =

                                                 sin θ =

                                                        = 0,361
                                                    θ = arc. sin 0,361
                                                    = 21,160

                        Jadi besar (                = 2,394 dan arahnya membentuk
                        sudut 21,160 terhadap




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                       Page 10
                                                                       MODUL KD. 31



             4) Sifat-sifat penjumlahan vektor
                 Penjumlahan dua atau lebih vektor , mempunyai sifat-sifat :
                 a) Sifat komutatif
                     Untuk setiap vektor a dan vektor b berlaku sifat komutatif :




                     Contoh :

                     Diketahui titik A =        , titik B =          dan titik C =

                     Tunjukkan bahwa , jika          =                        maka akan
                     berlaku
                     Jawab :

                                        =
                                                –

                         

                         

                                                              =




                                                              =

                     Jadi                                     , atau bersifat komutatif.

                 b) Sifat asosiatif
                     Untuk setiap vektor-vektor a , b dan c akan berlaku sifat
                     asosiatif :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                        Page 11
                                                                    MODUL KD. 31

                   c) Elemen Identitas
                        Pada   penjumlahan      vektor   terdapat    unsur   identitas
                        sedemikian sehingga untuk setiap vektor a akan berlaku :




                   d) Invers tambah
                        Seperti halnya penjumlahan pada bilangan real, pada vector
                        juga terdapat invers tambah yaitu –a . Sehingga berlakulah :




                        Vektor –a mempunyai besar yang sama dengan vektor a,
                        tetapi arahnya berlawanan.


         b. Operasi pengurangan
             Pengurangan vektor a oleh vektor b didifinisikan sebagai
             penjumlahan vektor a dengan vektor lawan vektor b ( - b ). Ditulis :

                                 –

             Pengurangan dilakukan dengan cara sama seperti penjumlahan
             vektor.


             Contoh :
             Diketahui vektor                     dan vektor


             Tentukanlah :

             i.     –
             ii.    –
             Jawab :
             i.                                   ii.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                  Page 12
                                                                                MODUL KD. 31



                                    -
                             –                                            –        -


                          Terlihat bahwa        –                  –   , artinya tidak komutatif.
         c. Operasi perkalian
             1) Perkalian skalar dengan vektor
                Jika suatu bilangan real k dan suatu vektor                      , maka perkalian
                k         adalah suatu vektor yang panjangnya                      k kali panjang
                vektor      . Untuk setiap bilangan real k                     real, maka ada tiga
                kemungkinan, yaitu :
                       Bila k > 0 , maka k          adalah vektor yang panjangnya k kali
                       a dan searah dengan            .
                       Bila k = 0 , maka k      adalah vektor nol.
                       Bila k < 0 , maka k          adalah vektor yang panjangnya k kali
                       a dan arahnya berlawanan dengan                     .


                Contoh :
                Diketahui vektor                          .
                Tentukanlah :
                i. 2
                ii. ½
                iii. -2
                Jawab :
                i.                                   2


                ii.                             ½


                iii.                                          -2




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                                Page 13
                                                                 MODUL KD. 31

             2) Sifat-sifat perkalian vektor
                Perkalian antara scalar dan vector memenuhi beberapa sifat,
                seperti berikut :
                      k.(-a )=-(k.a )=-k.a
                      k . ( m . a ) = ( k.m ) . a
                      k. a + m . a = ( k + m ) . a
                      k.a +k.b=k.(a + b )


                Contoh :
                i.   3.–
                ii. 2 ( 3
                iii. 2 .
                iv. 5 .


        Uji Kompetensi 1
        Selesaikan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
        1. Diketahui limas T.ABCD seperti berikut ini :
                                             T



                             F       D           E
                                                         C
                     A                   P           H
                                 G               B
             a. Nyatakanlah            sebagai jumlah dua garis dengan 3 cara
             b. Nyatakanlah            sebagai jumlah tiga garis dengan 3 cara
             c. Nyatakanlah            sebagai jumlah empat garis dengan 3 cara
             Jawab :
             _____________________________________________________
             _____________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                    Page 14
                                                              MODUL KD. 31

             _____________________________________________________
             _____________________________________________________


        2. Dari soal nomer 1 di atas lengkapilah soal berikut ini :
            a. TP + PG + … = TA
            b. TE + … + PF = TF
            c. PH + HC + CD = …
            Jawab :
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________


        3. Lukislah suatu ruas garis berarah AB yang panjangnya 3 cm,
            kemudian lukislah :
            a. 2 AB
            b. -2 AB
            c. 1/3 AB
            Jawab :
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________


        4. Nyatakan ukuran-ukuran berikut ke bentuk polar !
            a. 4 + 2 i
            b. 2 - 2 i
            c. 3 + 3 i
            Jawab :
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                         Page 15
                                                             MODUL KD. 31

            _____________________________________________________
            _____________________________________________________


        5. Nyatakan ukuran-ukuran berikut ke bentuk rectangular !
            a. 10         450
            b. 5          1200
            c. 2          00
            Jawab :
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________
            _____________________________________________________




    4. Operasi Dua Phasor


        a. Penjumlahan dua phasor
            Penjumlahan dua buah phasor sama dengan penjumlahan pada
            dua buah vector, sehingga sifat-sifat penjumlahan yang berlaku
            pada vector juga berlaku pada phasor. Secara umum penjumlahan
            dua buah phasor dapat dituliskan, sebagai berikut :

                            (a+bi)+(p+qi)=(a+p)+(b+q)i


            Contoh :
            Tentukan hasil penjumlahan phasor-phasor berikut ini :
            i. 10       600 + 20         300
            ii. 4       450 + 10         450
            Jawab :
            i. * 10        600        r = 10, δ = 600


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                        Page 16
                                                                        MODUL KD. 31

                       a = r cos       = 10 cos 600
                                       = 10 . 0,5
                                       = 5
                       b = r sin δ = 10 sin 600
                                       = 10 . ½
                                       = 5
               Jadi       10      600 = 5 + 5            i
               * 20      300          r = 20 , δ = 300
                       a = r .cos δ = 20 cos 300
                                          = 20 . ½
                                          = 20 . ½
                                          = 10
                       b = r. sin δ = 20 . sin 300
                                          = 20 . ½
                                          = 10
               Jadi 20            300 = 10           + 10 .i
               Jadi 10         600 + 20         300 = 5 + 5    i + 10     + 10 i
             ii. *4       450             r = 4 , δ = 450
                      a = r . cos δ = 4 cos 450

                                      = 4.

                                      = 2
                      b = r . sin δ = 4 sin 450

                                      = 4.

                                      =
                Jadi 4          450 =
                *10        450            r = 10 , δ = 450
                      a = r. cos δ = 10 . cos 450

                                      = 10.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                      Page 17
                                                                          MODUL KD. 31

                                          =
                       b = r. sin δ       = 10. sin 450

                                          = 10 .

                                          =
                   Jadi 10          450       =
                   Jadi 4          450 + 10           450 =
                                                         =
                                                         =
        b. Perkalian dan pembagian
            Perkalian terhadap dua buah atau lebih phasor mempunyai sifat
            yang sama dengan cara perkalian dan pembagian pada bilangan
            real. Perkalian dan pembagian phasor ditunjukkan, sebagai berikut

                         ( a + b.i ).( p + q.i ) = a.p + a.q.i + p.b.i – b.q
                                                  –
                                     =

                            ( r1




             Contoh :
             Tentukan hasil operasi phasor berikut ini ;

             i. ( 3 – 2 . i ) ( 4 + 5 . i )                   ii.

             Jawab :
             i. ( 3 – 2 . i ) ( 4 + 5 . i ) = 3 x 4 + 3 x 5 xi + (-2) x 4 x i – (-2) x 5
                                                  = 12 + 15 i – 8 i +10
                                                  = 22 + 7 i
                   Jadi ( 3 – 2i) ( 4 + 5i ) = 22 + 7 i

             ii.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                          Page 18
                                                                     MODUL KD. 31

                            =

                Jadi


        c. Resultan dua phasor
            1) Dua phasor searah
                Jika dua buah phasor searah ( sudutnya sama besar ) maka
                kedua phasor dapat disusun menjadi satu phasor tunggal
                dengan cara menjumlahkan panjang phasornya.

                                 (a

                Contoh :
                Tentukan resultan dari phasor-phasor berikut ini :
                i. 3
                ii.
                Jawab :
                i. Resultan dari 3         200 dan 5   200 = 3     200 + 5       200
                                                            =(3+5)         200
                                                            = 8    200
                      Jadi resultan dari 3      200 dan 5   200 adalah 8
                ii. Resultan dari                           =
                                                            =
                                                            = 17
                      Jadi resultan dari
            2) Dua phasor saling berpelurus
                Jika dua buah phasor saling berpelurus ( membentuk sudut
                1800 ) maka selisih kedua phasor tersebut arahnya menuju ke
                phasor yang terpanjang.

                                  P1 = a θ , P 2 = b   δ , P1 dan P2 berpelurus
                                  maka R = ( a – b )   δ , a < b dan θ + δ =




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                          Page 19
                                                                   MODUL KD. 31

                Contoh :
                Tentukan resultan dari dua phasor yang berpelurus berikut ini :
                i.
                ii.
                Jawab :
                i.


                                = 10 + 0 . i
                                = 10
                      Jadi resultan dari
                ii.


                                =   9 +0.i
                                =
                      Jadi resultan dari


            3) Dua phasor berpenyiku
                Jika dua buah phasor saling berpenyiku ( membentuk sudut siku
                siku ) maka resultannya dapat disusun dengan cara mengubah-
                nya kebentuk rectangular trlebih dahulu.
                               Resultan dari
                                 R=r            , r=           dan β = arc. tan




                Contoh :
                Jabarkan                               menjadi resultan dua phasor !
                Jawab :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                     Page 20
                                                                       MODUL KD. 31

                   (

                                 r=

                                          r=        = 4

                               tan β =

                                                  β = 600
                Jadi


            4) Dua phasor membentuk sudut δ
                Jika dua buah phasor membentuk sudut bebas ( = δ ) maka
                resultannya adalah hasil penjumlahan bentuk recatanguler dari
                kedua phasornya.


                Contoh :
                Jabarkan resultan phasor                                 !
                Jawab :


                                    a = r cos θ     a = 10 . cos 300

                                                       = 10 .

                                                       = 5
                                    b = r sin θ     b = 10 . sin 300
                                                       = 10 . ½
                                                       = 5
                                      Didapat bentuk




                                                                =
                                                                =




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                  Page 21
                                                              MODUL KD. 31




                                    Untuk bagian nyata    =
                                    dan bagian imajiner   =
                    Jadi


        Uji Kompetensi 2


        Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini !
        1. Tentukan hasil penjumlahan phasor-phasor berikut ini !
            a.
            b.             +
            c.
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        2. Selesaikan soal-soal berikut ini :
            a. 10
            b. 25
            c. 5
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                         Page 22
                                                         MODUL KD. 31

        3. Hitunglah perkalian phasor berikut ini :
            a. ( 2 + i ) ( 2 – i )
            b. ( 2 + 3
            c. ( 4
            d. ( 3
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
        4. Tentukan hasil pembagian di bawah ini !

            a.

            b.

            c.

            d.
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
        5. Tentukan hasil operasi phasor berikut ini !
            a. ( 8 + 2 i ) ( 5 – i )

            b.

            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            _____________________________________________________



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                    Page 23
                                                                  MODUL KD. 31


B. Vektor Pada Ruang Dimensi Tiga , R.3

    1. Pengertian Vektor pada R. 3
         Dalam pembahasan vektor pada bidang dimensi dua di atas telah
         dimengerti tentang hubungan antara vektor-vektor dalam bidang, yaitu
         vektor-vektor dalam ruang berdimensi dua. Seperti telah diketahui
         bahwa vektor-vektor tidak selalu dapat diwakili oleh garis-garis meski
         garis-garis itu berada dalam satu bidang, sedangkan vektor-vektor itu
         dapat juga digunakan dalam ruang berdimensi tiga.


         Diberikan suatu vektor r dan 3 buah vektor lain yang sebidang, yaitu
         a , b dan c , maka keempat vektor itu disebut koplamar. Jika dua
         atau lebih vektor terletak pada garis yang sama maka disebut
         kolonier. Setiap vektor di R. 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi
         linear
         Perhatikan gambar berikut ini :
                    C




                                   B
             A
                        membentuk basis untuk vektor di R. 3. Selanjutnya untuk
         setiap vektor a di R . 3 dapat dinyatakan sebagai tripel bilangan dalam

         bentuk vektor baris ( rx , ry , rz ) atau vektor kolom     .

    2. Penjumlahan vektor
         a) Pengertian
             Penjumlahan dua buah vektor atau lebih dalam dimensi tiga, tepat
             sama seperti penjumlahan vektor dalam dimensi dua, karena
             kedua vektor itu merupakan wakil dua buah ruas garis yang dapat


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                             Page 24
                                                                      MODUL KD. 31

             dipilih yang mempunyai titik persekutuan. Perhatikan gambar
             berikut ini :
                                    C              adalah wakil dari vector u dan       wa-
                                            kil dari vektor v, B adalah titik persekutuan
                                                   adalah vektor hasil penjumlahan yang
                              B             mewakili jumlah dari u dan v ditulis “u + v”.
         A                                  Jadi
             Dari penjumlahan vektor dalam dimansi dua seperti gambar di
             atas, juga berlaku pula dalam ruang dimensi tiga.
             Perhatikan gambar berikut :
                                    C
                                                              adalah wakil dari vektor
                                        Z
             B                                                adalah wakil dari vektor
                     y                          Timbul petanyaan apakah benar bahwa
                                                             adalah vektor yang sama ?
                 X

             Bukti :
                                 adalah wakil-wakil dari vektor yang sama sehingga
                 ABYX adalah suatu jajaran genjang. Jadi AX sama dan sejajar
                 dengan BY …………………(1)
                                 adalah wakil-wakil dari vektor yang sama sehingga
                 BCZY adalah suatu jajaran genjang. Jadi BY sama dan sejajar
                 dengan CZ …………………(2)
              Dari (1) dan (2) berlakulah                      sebagai wakil dari vektor
                 yang sama . Terbukti.
         b) Basis untuk Vektor di R.3
             Diberikan suatu vector                        dan 3 buah vektor yang tidak
             sebidang , yaitu                                                       , seperti
             tampak pada gambar berikut ini :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                         Page 25
                                                                       MODUL KD. 31



                        C                                 Dari gambar di samping :
                                          R               Jika             adalah vektor-
                                                          vektor yang panjangnya satu
                         o                             B satuan maka ada bilangan riil
            A                                            rx , ry dan rz sedemikian hingga
                               berlakulah :

                               dan                                    , karena
                                                                     dan               maka


                                                =                      .
             Selanjutnya                      disebut sebagai komponen vektor          .
             Disimpulkan bahwa untuk setiap vektor                 dalam ruang dimensi
             tiga , R.3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tiga buah
             vektor basis                   yang tidak sebidang dalam bentuk :




             Setiap vektor         dapat dinyatakan sebagai tripel bilangan dalam
             bentuk :
                       Vektor baris ( rx , ry , rz )

                       Vektor kolom



             Contoh :
             Diketahui titik A( 1 , 3 , 0 ) , titik B( 0 , 2 , 1 ) dan titik C( -3 , -1 , 4 ).
             Perlihatkan bahwa A , B dan C segaris , dan tentukan nilai AB : BC
             Jawab :

             Misal :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                          Page 26
                                                                        MODUL KD. 31


             jika


             juga


                                                               =3

             Diperoleh                  . Ini berarti bahwa titik A, titik B dan itik C ber
             ada pada satu garis lurus ( kolinear ). Dan perbandingan antara ke
             duanya, yaitu                                          .


    3. Beberapa vektor khusus


         a. Besar atau panjang vektor


             Jika a( ax , ay , az ) maka besar ( panjang ) vektor a islah             ada
             lah suatu jarak antara titik pusat O dan satu titik yang berkoordinat
             ( ax , ay , az ) . Jadi panjang vektor a adalah :




             Jika titik A( x1 , y1 , z1 ) dan titik B( x2 , y2 , z2 ) maka vektor AB ditu
             lis     , adalah :




             Dan panjang vektor AB adalah :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                       Page 27
                                                                    MODUL KD. 31

             Contoh :
             Diketahui titik A( 2 , -1 , 4 ) dan titik B( -1 , 2 , 1 ). Tentukanlah :
             i. Koordinat dan panjang vektor AB
             ii. Koordinat dan panjang Vektor BA
             Jawab :

             i.   Vektor AB =


                               =


                  Jadi arah vektor AB =

                  Panjang vektor AB =

                                                =
                                                =
                  Jadi panjang vektor AB adalah

             iii. Vektor BA =


                               =


                  Jadi arah vektor BA =

                  Panjang vektor BA =
                                         =
                                         =
                  Jadi panjang vektor BA adalah


             Dari kedua contoh di atas ternyata bahwa vektor AB dan vektor BA
             arahnya tidak sama tetapi panjangnya tetap sama.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                      Page 28
                                                                    MODUL KD. 31

         b. Vektor satuan


             Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan.
             Perhatikan gambar berikut ini :


                            z                        Keterangan :
                                                      = vektor satuan pada sumbu x
                                                      = vektor satuan pada sumbu y
                                                 y    = vektor satuan pada sumbu z


                 x
             Vektor satuan yang searah dengan vektor a dapat didifinisikan
             sebagai berikut :


                                           e =

             Keterangan :
                         e = vektor satuan
                            = vektor a
                            = besar vektor a
             Contoh :
             Tentukan vektor satuan dari vektor a = ( 1 , 2 , -2 ) !
             Jawab :
             Besar vektor a ,
                                       =
                                       = 3

             Vektor satuan dari vektor a adalah , e =

                                                          =

             Jadi vektor satuan dari vektor a( 1 , 2 , -2 ) adalah, e = (




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                  Page 29
                                                                    MODUL KD. 31

         c) Vektor posisi


             Pada setiap hal khususnya dalam geometri selalu terkait dengan
             yang namanya vektor dan suatu garis dari bangun. Seringkali lebih
             berguna ( mudah ) bila menghubungkan titik-titik pada bangun
             dengan suatu titik O, yang disebut titik pangkal. Jadi setiap titik A ,
             B , C , …. , dikawankan denganm vector-vektor a , b , c , … ,
             sedemikian rupa sehingga a , b , c , … diwakili oleh

             Jika A( x1 , y1 , z1 ) maka a =              . Koordinat-koordinat titik A

             adalah komponen-komponen vektor posisinya.
             Jadi vektor posisi titik a adalah suatu vector a yang titik awalnya
             O( 0 , 0) dan titik ujungnya ( a1 , a2 , a3 ) maka ( a1 , a2 , a3 ) adalah
             komponen-komponen dan vektor posisi a.


         d) Perbandingan dalam bentuk vektor dan koordinat


             1) Pembagian ruas garis dalamperbandingan m : n
                 Suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n
                 jika m : n = AP : PB . Ada kemungkinan, sebagai berikut :
                     P diantara AB            n       B
                               m                          berlakulah ;
                                         P                AP : PB = m : n dan
                        A                                 AP : AB = m : ( m + n )
                     P pada perpanjangan AB
                                   m                      berlakulah :
                         A         B     -n       P       AP : PB = m : -n dan
                                                          AP : AB = m : ( m – n )
                  Jika P merupakan titik tengan AB maka m = n.
             2) Pembagian dalam bentuk vektor
                 Perhatikan gambar berikut ini .


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                       Page 30
                                                                       MODUL KD. 31

                                                           p adalah vektor posisi titik P
                                 B
                                                           yang membagi AB dengan
                                     n
                                                           perbandingan m : n maka :
                                         P
                                                                 p=
                                             m

                   O                             A         Rumus ini adalah rumus pem
                                                           bagian dalam bentuk vektor.
                 Bukti :
                       Untuk semua letak P pada AB, baik di dalam maupun di
                       luar, berlakulah :
                       AP : PB = m : n                  AP : AB = m : ( m + n )
                       n                         atau
                       n(p – a ) = m(b – p )

                     n p – n a = m b – mp                     p= a+

                     (m + n )p = m b + n a                    p=




                  Contoh :
                  Tentukan vektor letak titik-titik P dan Q yang membagi AB di
                  dalam dan di luar dengan perbandingan 5 : 2 !
                  Jawab :
                  Untuk P, m : n = 5 : 2 ( P di dalam atau antara AB )
                  maka

                             =

                  Untuk Q, m : n = 5 : -2 ( Q di luar atau pada perpanjangan AB)
                  maka

                             =




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                       Page 31
                                                                                MODUL KD. 31

             3) Pembagian dalam bentuk koordinat
                 Jika diketahui vektor posisi A( x1 , y1 , z1 ) dan B( x2 , y2 , z2 )
                 yang membagi garis yang menghubungkan AB dengan perban-
                 dingan m : n . Maka untuk mencari vektor posisi r digunakan
                 rumus, sebagai berikut :




                  Dari rumus di atas, dipenuhi oleh :

                  xr =                    ; yr =                   ;   zr =

                  Dalam geometri analitik rumus tadi disebut rumus pembagian
                  Untuk memudahkan mengingat urutan perkalian perhatikan
                  gambar berikut ini :



                                 A(x1,y1,z1)           P                B(x2,y2,z2)
                                                          *                *
                                                   m           n

                  Dalam bidang XY, maka koordinat z sama dengan nol.
                  Jadi jika titik R( xr , yr ) membagi garis hubung A( xa , ya ) dan
                  B( xb , yb ) dengan perbandingan m : n adalah :

                          xr =                     dan yr =

                  Contoh :
                  Tentukan koordinat titik-titik P dan Q yang membagi garis
                  hubung A( 1 , 3 , 6 ) dan B( 0 , 1 , 2 ) di dalam dan di luar
                  dengan perbandingan 3 : 1.
                  Jawab :
                         A(1, 3, 6)       B(0, 1, 2)                   A(1, 3, 6)     B(0, 1, 2)



                          3                1                             3            -1



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                                Page 32
                                                                         MODUL KD. 31

                  Koordinat titik P ( berada diantara AB )
                            xp =                , yp =         , zp =

                  Jadi koordinat P( , , 2 )

                  Koordinat titik Q ( berada di luar AB )
                            xq =                , yq =          , zp =

                  Jadi koordinat Q(


    4. Hasil Operasi Vektor di R.3
         a. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
             Bila a dan b adalah dua buah vektor yang bukan vektor nol, maka
             a dan b dapat diwakili oleh                          . Seperti tampak pada
             gambar berikut ini :

                                         Z

                                                 B(b1,b2,b3)     y



                                             δ                 A(a1,a2,a3)
                                       O                               x

             1) Hasil kali skalar dari a dan b adalah bilangan real ( skalar )
                 yang besarnya ditentukan oleh hasil kali antara besar a, besar
                 b dan kosinus δ ( sudut antara dua vektor a dan vektor b ).
                  Atau dapat dinyatakan dalam rumus :

                                         a .b =

                Dari rumus di atas terdapat beberapa kemungkinan , yaitu :
                     Bila a = 0 atau b = 0, sudut δ tidak tertentu dan didifinisikan
                     a . b = 0. Jadi jika a. b = 0 maka sudut δ tidak didifinisikan.
                     a = 0 atau b = 0, salah satu vektornya adalah vektor nol.
                     Jika a        dan b          maka q =



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                     Page 33
                                                                          MODUL KD. 31

             2) Bentuk komponen dari perkalian skalar
                 Jika vektor a dan vektor b dinyatakan dengan komponen-

                 komponennya, misalnya seperti :

                 maka hasil kali skalar dua vektor itu adalah, sebagai berikut :

                                            a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3


                 Atau :


                 Jadi


                 Bukti :
                 Perhatikan gambar dua vektor di atas, dengan rumus jarak




                                        =
                  Dalam            , dengan menggunakan aturan kosinus,
                                   AB2 = OA2 + OB2 – 2 .                          Jadi,




                  Jadi a . b =           cos δ atau a. b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 dapat
                  dipakai sebagai difinisi perkalian skalar a dan b , sedangkan
                  persaman yang lain diturunkan dari difinisi ini.


                  Dari difinisi di atas ternyata bahwa, a . b adalah bilangan real
                  yang tanda bilangannya ditentukan oleh besarnya sudut yang
                  dibentuk oleh dua vektor yaitu sudut δ.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                     Page 34
                                                                         MODUL KD. 31

                  Ada 3 kemungkinan tentang besarnya δ, yaitu sebagai berikut :
                     i.                      ii.                  iii.


                              δ                                                  δ


                  Keterangan :
                  i. Karena cos δ = cos (-δ) maka arah pengukuran dari a ke b
                     atau dari b ke a sama saja.
                  ii. Karena δ = 900 = ½              a . b = 0 juga
                                                     a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0


                  Contoh :
                  Ditentukan P( 1, 3 , 2 ) , Q( 0 , 1 , 4 ) dan R( 3 , -2 , 1 ). Bila
                  wakil dari u dan          wakil dari v , maka hitung u . v !
                  Jawab :

                  u=         =


                             =


                  v=         =


                             =


                  u.v=

                          = ( -1 . 3 ) + (-2).(-1) + (2) . (-3)
                          = -3 + 2 – 6
                          = -7




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                        Page 35
                                                                           MODUL KD. 31

         b. Sudut Antara Dua Vektor
             Perhatikan gambar berikut ini :


                                  A                dan       adalah dua buah vektor yang
                                               bukan vektor 0 .
                  O     δ                      Sudut AOB = δ = sudut antara vektor

                                      B                              vektor   , 00 < δ < 1800.
             Dari difinisi di atas, a . b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
                                               =                  diperoleh

                                      cos δ =

                                               =

             Jadi sudut antara dua vektor adalah :




             Contoh :
             i. Diketahui a = i + 2 j + 2 k dan b = 2 i + 3 j – 6 k.
                  Hitunglah : * a . b
                                 * besar sudut antara a dan b
             ii. Ditentukan A( 1 , 2, 0 ) , B( 1 , 3 , 5 ) dan C( -1 , 3 , 1 ). Dengan
                  menggunakan perkalian skalar buktikan bahwa                      ABC = 900 !
             Jawab :

             i.   a = i + 2j + 2 k        a=             dan b = 2 i + 3 j – 6 k


                  *a . b =

                            = 1. 2 + 2 . 3 + 2. (- 6)
                            = 2 + 6 – 12       = -4
                  Jadi a . b = - 4


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                             Page 36
                                                                      MODUL KD. 31


                 *cos δ =

                                    =

                                    =                  = - 0,190

                                    = arc. cos -0,190
                                    = 1010
                 Jadi besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah 101 0.
                 ii. Misalkan           wakil dari a dan           wakil dari b , serta δ
                       adalah sudut antara AB dan BC (                ). Diperoleh :

                                                        –               dan


                                                            –




                                  = 0+0+0=0
                Sehingga cos δ =                =

                                    = 0         δ = arc. cos 0
                                                    = 900
                Jadi                    terbukti .
         c. Sifat-sifat Perkalian Skalar
             Perkalian skalar vektor dengan vektor mempunyai sifat-sifat yang
             hampir sama dengan pengerjaan bilangan real yang lain, yaitu :
             bersifat komutatif dan bersifat distributif.
             1) Sifat Komutatif
                 Pada perkalian skalar vektor dengan vektor berlaku sifat
                 komutatif, sebagai berikut :




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                          Page 37
                                                                     MODUL KD. 31

                 Bukti :

                 Misalkan ,




                                      *



                 Karena perkalian bilangan-bilangan real mempunyai sifat
                 komutatif, maka a1 . b1 = b1 . a1 dan seterusnya.
                 Jadi terbukti bahwa                       bersifat komutatif.
             2) Sifat Distributif
                 Perkalian      skalar     terhadap    penjumlahan    vektor     bersifat
                 distributif, sebagai berikut :



                                       –               –

             Untuk sifat-sifat operasi yang lain tidak berlaku pada perkalian
             skalar vektor dengan vektor.
         d. Vektor dan Matriks
             Dari beberapa pembahasan di atas terlihat bahwa vektor-vektor
             kolom dapat dijumlahkan seperti matriks. Dan suatu vektor juga
             dapat dijumlahkan seperti perkalian matriks dengan suatu skalar.
             Misalkan ;

                                                     penjumlahan vektornya adalah




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                     Page 38
                                                                   MODUL KD. 31


                                              , terlihat bahwa hasilnya sama seperti

                 penjumlahan matriks.

             

                 Untuk perkalian matriks baris dengan matriks kolom, sebagai
                 berikut :




         Terlihat bahwa perkalian dua vektor sama dengan perkalian matriks
         kolom dengan matriks baris, untuk elemen-elemen yang sama.


         e. Proyeksi Vektor Pada Vektor Lain
             1) Proyeksi skalar dari suatu vkctor ke vektor lain
                 Besar proyeksi skalar vector b pada vektor a dapat ditentukan
                 dengan rumus, sebagai berikut :

                           Proyeksi Skalar b pada a =

                 Secara geometris dapat diperlihatkan, sebagai berikut :
                                          B              Keterangan :
                                                         OB’ = proyeksi pada OA
                             δ
                 O                      B’        A
                  Dengan cara yang sama besar ( panjang ) proyeksi skalar dari
                  vektor a ke vektor b dapat ditentukan dengan rumus :

                                 Proyeksi Skalar a pada b =

             2) Proyeksi vektor dari suatu vektor ke vektor lain
                 Besar proyeksi vektor dari vektor b pada vektor a dapat dicari
                 dengan menggunakan rumus, sebagai berikut :


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                 Page 39
                                                                    MODUL KD. 31


                            Proyeksi Vektor b pada vektor a =

                  Dengan cara yang sama, besarnya proyeksi vektor dari vektor
                  a pada vektor b dapat dicari dengan rumus , sebagai berikut :

                               Proyeksi Vektor a pada vektor b =



        Uji Sub Kompetensi 3

        Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini :
        1. Bila panjang vector a adalah 10, maka tentukan nilai a. a !
            Perhatikan : *)                                   , walaupun berlaku
                            **)
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        2. Jika                        dan sudut antara a dan b adalah 600 , maka
            hitunglah :
            a. a . ( b + a )
            b. b. ( a + b )
            Jawab :
            _____________________________________________________-
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________



        3. Diketahui :                                          .




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                Page 40
                                                                  MODUL KD. 31

            Hitunglah :
            a. a . ( b + c )
            b. b . ( a + c )
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        4. Jika     a = 2 u + 3 v dengan u adalah vektor-vektor satuan dan
            membentuk sudut 600 , maka hitunglah :
            a. u . v
            b. v . u
            c. a . a dan
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        5. Vektor-vektor a = 4 i – 3 j + 2 k , b = 2 I – 2 j + 6 k, c = 3 I + 4 j + 5 k
            Adalah vektor-vektor posisi dari titik-titik sudut A , B dan C dari
                        Pergunakan perkalian skalar untuk membuktikan
            adalah segitiga siku-siku. Dan sebutlah titik sudut dari sudut siku-
            siku itu.
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                    Page 41
                                                                       MODUL KD. 31

        6. Dengan a . b =                                , tentukanlah a . b , agar :
            a. a = i + 2 j + 5 k, b = -i + j – 2 k
            b. a = 3 i – 2 j + k , b = 2 i – 2 j – k
            Jawab ;
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
        7. Tentukan koordinat suatu titik yang membagi garis hubung A(2, -3)
            dan B( -3 , 5 ) di dalam dan di luar denga perbandingan 3 : 5.
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
        8. Dalam             ,     wakil dari            wakil b dan     wakil dari c . L
            dan M adalah titik-titik tengah BC dan CA.
            a. Tunjukkan bahwa             adalah wakil dari ½ ( a + b )
            b. Nyatakan vektor yang diwakili oleh             dalam suku-suku a dan b
                kemudian sebutlah hubungan antara
            c. Tuliskan hubungan antara LM dan BA, bunyinya “ garis hubung
                titik-titik dua sisi segitiga adalah ….. “
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
        9. Sama sepeti soal nomor 8 di atas. Jika sebuah garis melalui M
            sejajar dengan CB dan memotong AB di titik N.
            a. Perlihatkan bahwa                adalah wakil dari ½ b+ kc untuk semua k




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                      Page 42
                                                                     MODUL KD. 31

            b. Tunjukkan bahwa              wakil dari l a untuk suatu l.
            c. Dengan a + b + c = 0 buktikan bahwa ( l + ½ ) b + ( l + k ) c = 0,
                karena itu k = ½ dan l = -1/2 . Tuliskan kesimpulanmu.
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        10. Hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik sudut A( 1 , 4 , 1 ), titik
            B( 0 , 1 , 3 ) dan titik C( 3 , 1 , 4 )
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            _____________________________________________________


        11. Hitunglah u x v jika u = 3 i – 2 j + k dan v = 4 i + 2 j – 3 k !
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            _____________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                  Page 43
                                                                     MODUL KD. 31


C. Penerapan Vektor dan Phasor


    Vektor dan phasor seringkali digunakan pada materi ilmu-ilmu fisik,
    seperti fisika. Penggunaan vektor paling banyak adalah pada perhitungan
    gaya, momen , energi dan sebagainya. Karena pada materi-materi ini
    arah dan besar suatu bahasan menjadi idea sentralnya.


    Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan F yang besarnya | F | pada arah
    partikel dari P ke Q pada suatu garis besarnya adalah, sebagai berikut :

                          W = gaya x jarak =


    Bukti :
    Perhatikan gambar berikut ini :
                        F                 Jika gaya F konstan dan membentuk sudut
                                          delta terhadap gerakan, maka kerja yang
                                          dilakukan oleh F didifinisikan :
     P      |F| cos            Q           W = ( |F|. cos       ).
     dimana |F|. cos         adalah komponen gaya dalam arah gerakan.


    Contoh :
    i. Posisi sebuah perahu layar yang terdeteksi dan tampil pada monitor
         berada pada koordinat 12 + 8 i . Tentukan koordinat perahu tersebut
         dengan gambar !
         Jawab :
                   i
                   8




                                                            R
                   0                        12




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                Page 44
                                                                  MODUL KD. 31

    ii. Sebuah trolly ditarik dengan arah horizontal dengan gaya yang kontinu
        sebesar 20 Lb pada pegangan yang membentuk sudut 60 0 dengan
        arah horizontal. Hitunglah berapa kerja yang dilakukan untuk
        menggerakkan gerobak tersebut sejauh 100 feet ?
        Jawab :
                                                    Dengan koordinat xy, trolly ber
                           20 Lb   F               gerak dari P(0 , 0) ke Q(100,0)
                                600                 sepanjang sumbu x. Berlaku :
                                                        = 100 i   dan
        P(0,0)                         Q(100,0)   F = ( 20 cos 600) i + ( 20 sin 600)
                                                    = 20. ½ . i + 20.

                                                    =                   , sehingga ker
        ja yang dilakukan sebesar : W = F.
                                                    = 1000 feet pound
    iii. Perhatikan gambar berikut ini :
                                       F = 10 N   Gaya sebagai besaran vektor di-
                                                  berikan untuk mengangkat batu.
                                                  Hitunglah besarnya momen ga-
                                2m                ya yang diberikan !


        Jawab :
        Momen gaya = F . s
                         = 10 . 2
                         = 20
        Jadi besarnya momen gaya yang diberikan untuk mengangkat batu itu
        adalah 20 Nm.
    iv. Seorang perenang hendak berenang menyeberangi sungai. Jika arus
        air sungai bergerak 5 mil/jam dan kecepatan perenang dalam air yang
        diam adalah 4 mil/jam, maka tentukan arah dan perpindahan perenang
        itu dalam sungai tersebut !



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                   Page 45
                                                                      MODUL KD. 31

        Jawab :
        Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini :
             v1          v1 + v2            v1 = aliran arus sungai
                                                v2 = kecepatan perenang dalam air diam
                                       v1 + v2 = diagonal dari persegi panjang meru
                               v2                   pakan gabungan dua kecepatan
        Gabungan dari vektor yang dihasilkan oleh perenang tersebut besar-
        nya ditentukan dengan Teorema Phytagoras, didapat :


                                                           dan




        Jadi perenang tersebut bergerak dengan kecepatan 6,40 mil/jam dan
        arahnya kira-kira 51,340 relatif terhadap tepi sungai.
    v. Sebuah mobil Derek menarik mobil seperti tampak pada gambar
        berikut ini :




        Gaya (F) yang dilakukan sebesar 60 N dan posisi derek terhadap jalan
        sebesar 450. Tentukan besarnya usaha mobil derek itu jika mobil
        bergerak sejauh 200 meter !
        Jawab :
        Gaya mendatar = F cos θ
                             = 60 . cos 450


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                   Page 46
                                                                        MODUL KD. 31

                              = 60 .

                              =
        Usaha ( W )           = F . s . cos θ
                              = 60 . 200 . cos 450
                              = 12000 .

                              =
        Jadi besar usaha yang terjadi pada mobil derek adalah                          Nm.
    vi. Posisi sebuah perahu layar yang terdeteksi dan tampil pada monitor
        berada pada koordinat 12 + 8 i . Tentukan koordinat perahu tersebut
        dengan gambar !
        Jawab :
                      i
                  8




                   0                        12                R
    vii.Sebuah beban seberat 100 newton digantung
                                                                           0       0
        dengan dua tali, seperti pada gambar di sam-                     60     45

        ping. Hitunglah besarnya tegangan yang ada
        pada masing-masing tali !
        Jawab :
        Beban berat W dan tegangan pada masing-masing tali dapat
        ditunjukkan,seperti berikut ini :
                                                Dari gambar di samping, untuk keadaan
                   u                  v         seimbang besarnya gaya ke kiri = gaya
                          0       0
                      60      45                ke kanan, dan besarnya gaya ke atas = gaya ke
                              W                 bawah. Jadi | u|cos 600 = |v| cos 450
                                                |u| sin 600 + |v| sin 450 = | W |= 100

                                                |u| sin 600 + |u|




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                           Page 47
                                                                      MODUL KD. 31

                                                |u| =

                                                |u| =                    N

                         Selanjutnya            |v| =

                                                                 = 51,772 N
    viii.Sebuah barang bekas keras hendak direcah dan ditarik oleh tiga alat
        penarik dengan arah dan sudut yang berbeda-beda, seperti terlihat
        pada gambar beriktu ini :               y
                               18 N                     20 N


                                      450           600
                                            0       300
                                                          10 N
        Hitung resultan gayanya !
        Jawab :
                                                y
                               18 N                     20 N


                                      450           600
                                            0       300
                                                          10 N




        Jumlah gaya pada arah mendatar ( arah sumbu x )
                = 20 . cos 600 + 10 . cos 300 – 18 . cos 450
                = 20 . ½ + 10 .

                = 10 +
               = 10 + 8,66 – 12,73 = 5,93
        Jumlah gaya arah vertical ( arah sumbu y )
                = 20 . sin 600 + 10 . sin 300 – 18 . sin 450




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                 Page 48
                                                           MODUL KD. 31

                = 20 .         + 10 . ½ - 18 .

                =
                = 17,32 + 5 - 12,73
                = 9,59
        Resultan gaya dari sumbu x dan arah sumbu y adalah :




                = 11,32
        Jadi resultan dari ketiga gaya yang berbeda itu adalah 11,32 N.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                             Page 49
                                                              MODUL KD. 31

        Uji Sub Kompetensi 4


        Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
        1. Dua buah gaya tarik yang saling berhadapan arah masing-masing
            adalah 7 N dan 24 N. Hitunglah selisih kedua gaya itu dan tentukan
            pula kemana arah dari resultannya !
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
        2. Sebuah gergaji sawmill yang melingkar berputar pada roda asnya
            dengan gaya putar sebesar 120 N. Jika jari-jari roda adalah 77 cm,
            maka hitunglah besarnya momen putarnya !
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            _____________________________________________________
        3. Tuliskan semua gaya yang ada ( mendatar dan vertical ) dari tiap-
           tiap tegangan tali pada gambar berikut ini !

                                                          δ
                           T2                        T1
                                T2              T1
                                       T
                                       T



            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                           Page 50
                                                                           MODUL KD. 31

            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        4. Perhatikan gambar tali timba di bawah ini :




                                                          Momen gaya T2 = k . T2 dan
                                   T1           T2         momen gaya T1 = k . T1.
                                                           Jika dihasilkan T1 > T2 ten-
                                                           tukan kemana arah katrol
                                                           berputar ?
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________


        5. Perhatikan gambar di bawah ini !
                                  300




                      75 N              125 N        Tentukan besar dan arah gaya yang
                                                     Terjadi di tiik O !




                               O
            Jawab :
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            ______________________________________________________
            _____________________________________________________



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                        Page 51
                                                                      MODUL KD. 31

Soal-soal Latihan Kompetensi Vektor

Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini !

1.   Jika A( 1 , 3 ) , B( 0 , -2 ) dan C( 2 , 4 ). Nyatakanlah vektor-vektor yang
     diwakili oleh oleh                         dalam bentuk pasangan bilangan dan
     buktikan bahwa

     Jawab :

     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________




2.   Jika P( 4 , 3 ) dan          mewakili vektor         . Tentukanlah dalam bentuk

     komponen vektor yang diwakili oleh             , dan hitunglah     .

     Jawab :

     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________

3. Diketahui titik-titik : A( 2 , 5 , 0 ), B( 5 , 8 , 3 ) dan C( 4 , 7 , 2 ). Buktikan
     bahwa ketiga titik itu segaris, dan hitung pula angka perbandingannya !

     Jawab :

     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________


ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                  Page 52
                                                                MODUL KD. 31

4. a. Perlihatkan bahwa garis hubung A( 2 , 1 , -1 ) dan B( 4 , 2 , -2 ) melalui
        titik asal.

    b. Perlihatkanlah garis hubung P( 5 , 3 , -2 ) dan Q( 9 , 5 , -2 ) sejajar
        dengan garis hubung K( 2, 2 , 3 ) dan L( 4 , 3 , 3 ).

    Jawab :

    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________


5. Dipunyai,


    Tentukanlah nilai a , b dan c !

    Jawab :

    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________

6. Buktikan bahwa segitiga dengan titik-titik sudut A( 1 , 0 , 0 ), B( 1 , 1 , 1 )

    dan C( 0 , 1 , 1 ) adalah segitiga siku-siku !

    Jawab :

    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                Page 53
                                                                MODUL KD. 31

7. Diketahui : m = 3 i + 4 j + 12 k dan n = 2 i + 2 j + k. Hitunglah :

     a.                      b.                 c.

     Jawab :

     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________

8. Jika OABC dan OPQR adalah belah ketupat dengan P dan R sebagai titik
     titik tengah OA dan OC. Nyatakanlah b dan q denga a dan c. Kemudian
     buktikan bahwa O, Q dan B segaris dan bahwa Q adalah titik tengah AB.

     Jawab :

     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________

9.   Vektor-vektor posisi dari A, B dan C adalah a , b dan 3 a + b. Tentukan
     vektor posisi D , E dan F yang merupakan titik-titik tengah dari BC, CA
     dan AB dari                  G dan H masing-masing membagi AD dan BE
     menjadi tiga bagian yang sama. Letak G dan H lebih dekat ke D dan E.
     Buktikanlah bahwa G dan H mempunyai vektor posisi yang sama.
     Nyatakanlah vektor posisi titik berat           dengan a dan b.

     Jawab :

     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________
     __________________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                            Page 54
                                                              MODUL KD. 31


10. Diketahui :                                         . Jika panjang p adalah

    satu satuan dan p membentuk sudut 450 dengan vektor q , tunjukkanlah
    bahwa a =              Jika vector p tegak lurus pada vektor r perlihatkanlah

    bahwa c = 0 dan bahwa ada dua nilai dari b yang mungkin.
    Perlihatkanlah bahwa dua vektor yang ditentukan dengan nilai-nilai a , b
    dan c ini tegak lurus sesamanya.

    Jawab :

    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________
    __________________________________________________________


11. Diketahui :                                 Jika      maka hitung nilai k !


    Jawab :

______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_____________________________________________________________




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                              Page 55
                                                                           MODUL KD. 31


                                         Rangkuman

       Besaran terdiri atas dua macam,yaitu  Setiap vektor dalam ruang dapat di
        *Besaran Skalar, yaitu bearan yang     nyatakan secara tunggal degan tiga
          hanya mempunyai besar saja.          vektor yang tidak sebidang u,v,&w
        *Besaran Vektor, yaitu besaran yang    yang membentuk suatu basis untuk
          mempunyai besar dan arah.            seluruh vektor. Jika r = lu+mv+nw
       Panjang vektor , jika vektor a = (x,y) maka l,m dan n adalah komponen-
        maka panjang vektor dicari dengan
                                               komponen dari r, dan r =
        rumus :
       Penjumlahan vektor, hasil penjumla-  Tiga vector satuan yang tegak lurus
        han dua vektor atau labih disebut re-  sesamanya seringkali dipakai seba-
        sultan. Ada dua metode yang sering     gai basis dengan sumbu-sumbu tegak
        digunakan, yaitu :                     Vektor-vektor itu ditulis I , j , dan k.
        *Metode Segitiga, dilakukan dengan  Vektor posisi dari suatu titik A adala
          cara menempatkan titik awal suatu         vektor yang diwakili oleh     = a.
          vektor pada ujung vektor lainnya.        Rumus pembagian
                                                    *Vektor posisi titik P yang membagi
                                                      AB dengan perbandingan m : n
                                                      p=
         *Metode Jajaran Genjang, dilakukan
                                                    *Dalam bentuk koordinat, P(xp,yp,zp)
          dengan cara menarik diagonal dari 2
                                                     membagi garis hubung A(x1,y1,z1)
          vektor yang diimpitkan titik awalnya
                                                     dan B(x2,y2,z2) dengan perbanding
                                                      m:n,             maka   xp=
                              R

       Basis vektor di R.2 , jika dalam bentuk            B

        komponen penjumlahan vektor seba
                                                               P       A       B
         gai berikut : A=                                                           δ
                                                                   A
                                              Perkalian skalar dua vektor a dan b
                                               *a.b =
       Beasar tau panjang vektor, jika vek-    a.0 = 0 . b = 0
        tor a( ax , ay ) maka panjangnya       *a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
         adalah :                                   *cos δ =
       Suatu vektor dalam tiga dimensi bisa               =
        diwakili oleh ruas garis berarah AB
        dan dapat didifinisikan dengan tripel       Perkalian skalar adalah komutatif
                                                    dan distributif terhadap penjumlahan.
         bilangan, seperti




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                           Page 56
                                                                         MODUL KD. 31


    Peta Konsep

                                                  VEKTOR




              Vektor di R.2                            Vektor di R. 3           Penerapan
                                                                                  Vektor




          Vektor              Phasor              Basis Vektor di R.3           *Gaya
                                                                                *Momen
                                                                                *Resultan




        Pengertian              Operasi               Bahasan           Operasi Vektor
     *Besaran Skalar           Vektor dan         *Panjang Vektor       *Hasil Kali Skalar
     *Besaran vektor             Phasor           *Vektor Satuan         Dua Vektor
                                                  *Vektor Pisisi        *Sudut Antara
                                                  *Perbandingan          Dua Vektor
                                                                        *Proyeksi Vektor
                                                   bagian Vektor


         Macam Operasi
         Macam Operasi            Sifat Operasi
                                 Sifat Operasi

         *Penjumlahan            *Komutatif
         *Pengurangan            *Asosiatif
         *Perkalian              *Distributif
         *Pembagian




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                            Page 57
                                                                     MODUL KD. 31


PENILAIAN KOMPETENSI


Kompetensi                       : Vektor
Program                          : Teknologi Komputer dan Jaringan
Kelas/Semester                   : XI / 2
Waktu                            : 120 menit
Soal Penilaian                   :




Kunci Jawaban
Uji Sub Kompetensi 1 hal 14-15

1a.

 b.

 c.

2a.

3a.

4a.

5a.



Uji Sub Kompetensi 2 hal. 22-23

1a.
2a. 10 – 3 . i            b. -10 + 25 . i            c. 14 + 0 . i

3a. 5 + i           b.

4a. -10             b. 180 – 20 . i             c.



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                                Page 58
                                                MODUL KD. 31



Uji Kompetensi 3 hal. 40-43
1. a.a = 100

2a.

3a. 11                b. 23
4. Cukup jelas

5.
6a. a.b = -8             b. a.b = 9

7a. P(

8. Cukup jelas.
Uji Kompetensi 4 hal. 49-51
Cukup jelas.


Uji Komptensi hal.53-57

1.

2.


3.


4.
5. a = 0 , b = 1 , c = 1


6.


      Jadi   sudut antara

7.
                         C
8.                R

                          Q



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI           Page 59
                                                        MODUL KD. 31

          O                            B
                  P
                         A

9.



      Jadi OABC jajaran genjang, terbukti.

10.




11.



                               DAFTAR PUSTAKA


      Abdurahman, Maman Drs, . 1999 . Matematika SMK Teknologi Jilid 2.
      Bandung . Armico .




      Kodir, M Abdul, dkk, . 1985 . Metematika untuk SMA Program Ilmu-ilmu
      Fisik dan Biologi Jilid 3a . Jakarta . Departemen Pendidikan dan
      kebudayaan Republik Indonesia.




      Gunawan, K Adi, Drs, 2002 . Tangkas Matematika SMU . Surabaya.
      Kartika.




      BNSP . 2006 . Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata
      Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan / Madrasah Aliyah



ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                       Page 60
                                                            MODUL KD. 31

    Kejuruan Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntansi, dan
    Teknologi . Jakarta . Departemen Pendidikan Nasional.




ERMAN …. SK VEKTOR ….. SMK KELOMPOK TEKNOLOGI                       Page 61

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:642
posted:6/29/2012
language:Malay
pages:61
Description: Modul Matematika