Modul Transformasi Geometri 16012008

Document Sample
Modul Transformasi Geometri 16012008 Powered By Docstoc
					              TRANSFORMASI GEOMETRIK

Pendahuluan

       Pembahasan tentang Geometri kali ini akan difokuskan pada Geomeri
Euclides yang dipandang dari grup transformasinya. Pembahasan Geometri
berdasarkan grup transformasinya ini kini muncul sebagai mata kuliah tersendiri
yang   bernama     Geometri     Transformasi      atau     Transformasi   Geometrik.
Pembahasan      meliputi   uraian    materi,     contoh-contoh,   dan   latihan   soal.
Pendekatan yang digunakan dalam pembahasan grup transformasi adalah
secara sintesis (bantuan gambar-gambar, secara analitis, yaitu dengan koordinat
Cartesius, dan terakhir dengan bantuan matriks



I. TRANSFORMASI
   A. Pengertian Transformasi
       Transformasi, dalam Fisika, dipandang sebagai suatu perpindahan titik-
titik/materi. Secara matematis transformasi dipandang sebagai suatu fungsi.
Transformasi sebagai fungsi ini, dapat diperagakan dengan perpindahan titik
atau himpunan titik.
Definisi . Transformasi (dalam bidang) adalah suatu fungsi bijektif yaitu yang
          satu-satu dari himpunan titik-titik pada suatu bidang onto himpunan
          titik-titik pada bidang itu sendiri.
Misalkan transformasi tersebut adalah T : R2  R2, maka dipenuhi :
a. Fungsi T adalah satu-satu (injektif), yaitu jika setiap A1, A2  R2 dengan
   A1A2 maka T(A1)  T(A2). Pernyataan ini ekivalen dengan : jika setiap A1,
   A2  R2, T(A1) = T(A2) maka A1= A2, yakni kontraposisi dari pernyataan
   pertama.
b. Fungsi T : R2  R2 adalah onto (surjektif) yakni setiap B  R2 maka ada A
    R2 sehingga B = T(A).



                                            1
Contoh 1
Suatu fungsi F : R2R2 dinyatakan dengan rumus :
F(x,y)= (2x, y+3) adalah suatu transformasi.
Bukti:
a. F satu-satu(injektif), sebab jika F(a,b) = F(c,d)
   Maka (2a, b+3) = (2c, d+3)
                     2a = 2c dan b + 3 = d + 3
                     a=c          dan b = d
                     (a,b) =(c,d)
  b. F onto(surjektif), sebab jika diambil sebarang (c,d)  R2,          maka ada
     (a,b)  R2 yaitu (a,b) = (1/2 c, d-3) sehingga F(a,b) = F(1/2 c, d-3)= (2. ½ c,
     d-3 +3) = (c,d)
   Jadi F suatu transformasi.
  Contoh 2
         Suatu fungsi HP pada R2, didefinisikan sebagai berikut :
         HP(P) = P,

         HP(A) = A1 dengan P titik tengah ruasgaris    AA1
   Akan diselidiki HP suatu transformasi.

                                           A1

                         
                         P
           A

   Karena sudah diketahui HP suatu fungsi, maka tinggal menunjukkan bahwa
   HP bersifat :
         a. satu-satu (injektif)
         b. onto(surjektif).
a. Ambil HP(A) = A1 dan Hp (B)=B1, sehingga HP(A) = Hp (B)

  Berarti P titik tengah AA1 , P titik tengah BB 1 dan A1=B1
  Karena P titik tengah AA1 dan A1=B1



                                               2
  Maka : P titik tengah AB1
  Padahal P titik tengah BB1
  Ini berarti B1 adalah salah satu ujung ruas garis AB1 dan juga ujung ruas garis
  BB1, yang sama-sama mempunyai titik P sebagai titik tengah.
  Ruas garis yang salah satu ujungnya dan titik tengahnya tertentu, maka ujung
  yang satunya pasti tertentu pula (dengan tunggal).
  Jadi A = B.(terbukti Hp injektif)……………(1)
b. Untuk menunjukkan bahwa Hp surjektif, ambil sebarang titik pada bidang
  Euclides(R2), misalnya Y.
   Jika Y=P, maka ada X yaitu X=Y, sehingga Hp(X)=Hp(Y)= Hp (P)=P=Y. Jika
  YP, maka tentu ada titik X pada R2 sehingga P titik tengah ruas garis XY;
  berarti Y = Hp(X).(terbukti Hp surjektif) ………(2)
   Dari (1) dan (2) terbukti bahwa Hp suatu transformasi.
  Catatan: Transformasi tersebut disebut : setengah putaran (half turn)
Contoh 3. Fungsi Identitas pada R2 adalah suatu transformasi.
Fungsi identitas I pada R2 didefinisikan oleh I(P)=P untuk setiap
P  R2. Jelas bahwa I injektif dan surjektif. Jadi suatu transformasi. Transformasi
tersebu disebut transformasi identitas.
Definisi      Suatu transformasi disebut kolineasi jika bayangan garis oleh
            transformasi tersebut juga berupa garis.
Jadi jika g garis, dan T suatu kolineasi, maka T(g) juga suatu garis.


B. Hasilkali Transformasi
Definisi : Jika  dan  dua buah transformasi, maka hasilkali atau komposisi
           transformasi  dan  ditulis dengan  o  atau  didefinisikan oleh
           (A) = ((A)).
Teorema: : Jika  dan  dua buah transformasi maka hasilkali transformasi 
           juga suatu transformasi..
Bukti : Ini berarti perlu ditunjukkan bahwa  suatu fungsi yang bersifat
           a. satu-satu (injektif) dan
       b. onto (surjektif)


                                          3
Bahwa  suatu fungsi tidak perlu dibuktikan lagi, karena pada bagian
sebelumnya telah dibicarakan tentang hasilkali dua buah fungsi.
a. Akan dibuktikan bahwa  satu-satu.(injektif)
  Ambil (A) = (B).
  Maka ((A)) = ((B)).
          (A) = (B).(sebab  transformasi, sehingga injektif)
               A = B ( sebab  transformasi, sehingga injektif)
  Jadi  injektif
b. Akan dibuktikan bahwa  onto (surjektrif ).
  Ambil sebarang Z dalam R2. Karena  surjektif maka terdapat Y         dalam R
  sehingga Z = (Y). Karena  surjektif maka tentu terdapat X dalam R2,
  sehingga Y = (X). Jadi untuk sebarang Z dalam R2 terdapat X dalam R2
  sehingga Z = (Y)= ((X)).
   Jadi  surjektif.
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa  suatu transformasi juga.
Contoh:
   Diketahui    dua buah transformasi, M1: R2 R2, dan M2: R2 R2 yang
   dinyatakan dengan rumus M1(x,y)= (-x,y-4), dan M2(x,y)= (-x+2, y).
    Tentukan transformasi yang dinyatakan dengan M2M1 dan M1M2
 Jawab:
     Kebenaran bahwa M1 dan M2 adalah transformasi tidak akan dibuktikan di
  sini
     (buktikan sendiri).
     Ambil sebarang (x,y)R2.
     Misalkan M1(x,y)= (x1,y1). Maka x1= -x
                                  dan y1 = y-4
             M2(x1,y1) = (x1,y1). Maka x1= -x1+2 =-(-x)+2 = x+2
                                  dan y1=y1 = y-4
  Sehingga (M2M1)(x,y)=M2(M1(x,y))=M2(x1,y1)= (x1,y1)=(x+2,y-4)
   Jadi M2M1: R2 R2 dengan rumus (M2M1)(x,y))=(x+2,y-4)


                                         4
  Ambil sebarang (x,y)R2
   Misalkan : M2(x,y)= (x2,y2). Maka x2= -x+2
                                              y2= y
               M1(x2,y2)= (x1,y1). Maka x1= -x2 = -(-x+2) = x-2
                                           y1= y2-4 = y-4
   Sehingga M1M2(x,y)=(M1(x2,y2))= (x1,y1) = (x-2,y-4)
   Jadi M1M2: R2 R2 dengan rumus (M1 M2)(x,y))=(x-2,y-4)
   Tampak bahwa : M2M1  M1M2




Contoh 2. Tentukan hasilkali transformasi identitas (I) dengan sebarang
             transformasi .
Jawab: Transformasi identitas adalah : I((x,y))=(x,y). Misalkan transformasi 
          dinyatakan oleh ((x,y)) = (x1,y1).
           Maka (.I)((x,y))= .(I((x,y))) = .((x,y))= (x1,y1),
           dan (I)((x,y))= I((x,y))=I((x1,y1))= (x1,y1).
            Jadi I = I = .
Definisi.. Misalkan T suatu transformasi, dan T2= I (transformasi identitas). Maka
          T disebut suatu involusi.
Contoh 1. I adalah transformasi Identitas. Kita tahu bahwa I2=I.I = I.
           Maka I merupakan suatu involusi.
Contoh 2. Transformasi setengah putaran HP, seperti contoh yang lalu.
           (HP)2 = HP.HP = I.


C. Titik Invarian dan Garis Invarian
Definisi : Misalkan A titik pada R2 dan oleh transformasi T, T(A) = A maka
          dikatakan bahwa A adalah titik invarian oleh transformasi T.
 Jadi A dikatakan titik invarian oleh suatu transformasi T jika titik A tidak berubah
      oleh transformasi T tersebut. Demikian juga garis yang tidak berubah
      oleh suatu transformasi disebut garis invarian. Titik/garis invarian disebut



                                          5
      juga titik/garis tetap. Besar sudut, hubungan dua garis, luas daerah, dsb.
      yang tidak berubah oleh suatu transformasi juga sering disebut invarian.
      Jika besar sudut/ kesejajaran garis/luas daerah, dsb. invarian oleh suatu
      transformasi maka disebut juga transformasi tersebut mempertahankan
      besar sudut/kesejajaran/luas daerah, dsb.
Contoh 1
  Pada transformasi setengah putaran, yaitu HP: R2 R2 , yang didefinisikan
  oleh : HP(P)=P dan untuk A P, HP(A)=A1 dengan P titik tengah ruas garis
  AA1. Maka P adalah titik invarian.
   Jika A  P dan HP(A)=A1 sedemikian hingga P titik tengah AA1 maka tentu A
   A1. Jadi P adalah satu-satunya titik invarian untuk HP.
Contoh 2
   Suatu transformasi  : R2 R2 didefinisikan oleh (x,y)=(x3,y3).
   Tentukan titik invarian dari .
Jawab:Kebenaran bahwa           suatu transformasi      tidak ditunjukkan di sini (
       tunjukkan!)
   Misalkan titik invarian tersebut (a,b).
   Maka (a,b) = (a,b)
            (a3,b3)= (a,b)
            a3 = a dan b3 = b.
            a = 0, -1, atau 1 dan b= 0, -1, atau 1
    Jadi titik invarian tersebut adalah : (0,0), (0,-1), (0,1), (-1,0), (-1,-1), (-1,1),
                                              (1,0), (1,-1), dan (1,1).


Contoh 3
 Transformasi I didefinisikan oleh I(A)=A, untuk setiap titik A dalam bidang
 Cartesius R2.
 Jelas bahwa semua titik dalam R2 adalah titik invarian.dari I.




                                          6
D. Isometri
 Jika T suatu transformasi, maka ruas garis AB belum tentu sama panjang
 dengan bayangannya. Bahkan mungkin bayangan ruas garis AB bukan berupa
 ruas garis.
 Definisi :Misalkan U suatu transformasi U(A)=A1, U(B)=B1 dan A1B1=AB maka
           dikatakan U suatu isometri.
           Dengan kata lain isometri             adalah suatu transformasi yang
 mempertahankan jarak atau tidak mengubah jarak (panjang ruas garis). Suatu
 ruas garis sama panjang dengan bayangannya.
 Contoh 1. Suatu fungsi F : R2R2 didefinisikan oleh F((x,y))=(-x,-y).
           Apakah F suatu isometri ?
  Untuk menunjukkan bahwa F suatu transformasi diserahkan kepada pembaca.
  Ambil sebarang A(x1,y1) dan B(x2,y2).
  Maka     AB = ((x2-x1)2+(y2-y1)2)
Misalkan bayangan A adalah A1 dan bayangan B adalah B1, maka diperoleh A1(-
x1, -y1) dan B1(-x2,-y2) sehingga :
A1B1= ((-x2+x1)2+(-y2+y1)2) =((x2-x1)2+(y2-y1)2).
Tampak bahwa A1B1 = AB. Jadi F suatu isometri.
Contoh 2. Fungsi identitas I, dengan sendirinya adalah isometri. Sebab
           bayangan ruas garis AB adalah ruas garis AB itu sendiri..
Teorema: Isometri adalah kolineasi.
Teorema : Isometri mempertahankan keantaraan.
           Dengan kata lain, jika titik       C terletak diantara   A dan B, maka
           bayangan titik C oleh suatu isometri pasti terletak diantaraa bayangan
           A dan bayangan B oleh isometri tersebut.
Teorema : Isometri mempertahankan besar sudut.
Akibat:    Isometri mempertahankan ketegaklurusan.
           Oleh isometri U, jika g  h. U(g) = g1, dan U(h) = h1, maka g1h1.
Akibat :   Oleh isometri U, jika U(ABC) = A1B1C1 maka ABC A1B1C1
Teorema: Isometri mempertahankan kesejajaran.



                                          7
Teorema : Hasilkali dua isometri adalah isometri, dan hasilkali dua kolineasi

             adalah kolineasi .


E. Arah orientasi
Kita perhatikan dua buah isometri berikut :

( ABC) =  A1B1C1           dan  ( ABC) =  A2 B2 C2 yang dinyatakan tampak
dalam gambar berikut:
                               C1




                         A1               B1
         C
                                               C2



    A                    B
                                  B2                A2
        Tampak bahwa arah membaca (arah orientasi) untuk  A1B1C1 dan 
ABC adalah sama, yaitu urutan A – B- C dan A1- B1 - C1 berlawanan dengan
arah perputaran jarum jam. Sedangkan untuk                A2 B2 C2 arah orientasinya
berbeda dengan arah orientasi  ABC, yaitu urutan A2 - B2 - C2 searah dengan
arah perputaran jarum jam.
Definisi : Isometri yang memetakan suatu segitiga ke segitiga yang sama arah
             orientasinya disebut isometri searah atau isometri langsung.
             Sedangkan isometri yang memetakan suatu segitiga ke segitiga yang
             berbeda arah orientasinya disebut isometri berlawanan arah atau
             isometri tak langsung.
Catatan: 1) Isometri searah juga disebut isometri genap, sedang isometri
              berlawanan arah juga disebut isometri ganjil.
         2) Istilah searah dan berlawanan arah juga berlaku untuk transformasi
              pada umumnya, bukan hanya untuk isometri.


                                           8
E.Rangkuman
            Dalam Geometri, transformasi (dalam bidang) didefinisikan sebagai
fungsi    bijektif atau korespondensi satu-satu dari titik-titik onto titik-titik dlm
bidang itu sendiri.
            Dalam transformasi dikenal istilah isometri, yaitu tranformasi yang
tidak mengubah jarak (panjang ruas garis), sedangkan kolineasi adalah
transformasi yang tidak mengubah garis, yaitu bayangan suatu garis adalah juga
berupa garis. Oleh suatu transfomasi tertentu, ada titik yang           bayangannya
adalah titik itu sendiri maka titik yang demikian disebut titik invarian (titik tetap).
Hasilkali dua transformasi diartikan sebagai komposisi dua trnsformasi, yaitu
transformasi yang dilanjutkan transformasi yang lain. Ternyata hasilkali dua
transformasi pastilah suatu transformasi, hasilkali dua isometric      pastilah suatu
isometri, dan hasilkali dua kolinesi adalah kolineasi. Jika hasilkali dua buah
transformasi adalah suatu transformasi identitas, naka dikatakan transformasi
yang dikalikan tersebut yang satu merupakan invers dari transformasi yang
satunya. Jadi jika fg = I maka f = g-1 dan g = f-1


F. Soal Latihan 1:
1. Tunjukkan manakah fungsi-fungsi dalam R2 berikut yang                  merupakan
    transformasi
   a.  ((x,y)) = ( 2x-3, x+2)
   b.  ((x,y)) = (x,y)
   c.  ((x,y)) = (x2, y2)
   d.  ((x,y)) = (-y, -x)
   e.  ((x,y)) = ( x3, y3)
   f.     ((x,y)) = (x+y, x)
   g.  ((x,y)) = (2x +3, x)
   h.  ((x,y)) = (sin x, cos x)



                                          9
   i.     ((x,y)) = (3x,5)
   j.     ((x,y)) = (x, 2y)
   k.  ((x,y))= ( x + 5, y-4)
   l.     ((x,y)) = (4x,4y)
2. Tentukan titik invarian untuk transformasi-transformasi pada soal 1) di atas.
3. Manakah diantara transformasi-transformasi         pada soal 1) di atas yang
   merupakan isometri, manakah yang merupakan kolineasi ?
4. Diberikan suatu garis g.
  Disusun pemetaan T sbb.:
  Jika A pada g maka T(A) = A, jika B tidak pada g, maka T(B) = B 1 sedemikian
 hingga BB1  g, dan jarak berarah (B1, g) sama dengan setengah dari jarak
 berarah (B,g).
    a. Buktikan bahwa T merupakan transformasi.
    b. Buktikan bahwa T berupa kolineasi.
    c. Tentukan garis invariannya, jika ada.
5. Diketahui isometri T, dengan T(A) = A1 dan T(B) = B1 seperti terlihat pada
  gambar berikut. Lukiskan C1 = T(C).
   a. Jika T isometri yang searah.
   b. Jika T isometri berlawanan arah.


          A                                   B1 
                        C
   B                                                 A1 




   KUNCI JAWABAN LATIHAN 1
   1.Yang merupakan transformasi adalah :
        b, d, e, k, l


                                         10
   2. b. semua titik dalam bidang.
      d. semua titik pada garis dengan persamaan y =-x
      e.(0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (1,1),-1,1), (0,-1,(1,-1), (-1,-1)
      k. tidak mempunyai titik invariant
      l. (0,0)
   3. Isometri : b,d,k   Kolineasi : b,d,k,l

   4.: gambarlah suatu garis . Ambillah beberapa titik sebarang kemudian cari
      titik bayangannya.

      Selidiki adakah dua titik berbeda yang mempunyai bayangan yang sama?

      Adakah titik yang tidak menjadi bayangan suatu titik ?

   5. Petunjuk jawaban.

      Lukiskan segitiga A1B1C1 yang konkruen dengan segitiga ABC yang

   diketahui

      Maka akan diperoleh dua buah segitiga, yang satu searah dengan

     segitiga ABC, misalkan segitiga a’B’C’ dan yang satu berlawanan arah

     dengan segitiga ABC,misalnya segitiga A”B”C”. Maka C’ adalah

     bayangan C oleh isometric searah dan C’ adalah bayangan C oleh isometric

     tak langsung (berlawanan arah}


II. ISOMETRI
Setelah mempelajari subtopic ini diharapkan saudara mempunyai kompetensi :
   1. menjelaskan arti dari translasi.
   2. mencari bayangan suatu titik oleh translasi tertentu.
   3. mencari bayangan suatu garis oleh translasi tertentu
   4. translasi.
   5. menjelaskan pengertian refleksi
   6. mencari bayangan suatu titik dan garis oleh refleksi tertentu.



                                            11
   7. menjelaskan sifat-sifat refleksi.
   8. menjelaskan bahwa setiap translasi dapat dinyatakan sebagai hasilkali dua refleksi
   9. menjelaskan pengertian rotasi
   10. mencari bayangan suatu titik oleh rotasi tertentu.
   11. mencari bayangan suatu garis oleh        rotasi tertentu
   12. menjelaskan sifat-sifat rotasi
   13. menjelaskan bahwa setiap rotasi dapat dinyatakan sebagai hasilkali dua refleksi
   14. menjelaskan bahwa himpunan rotasi dengan titik pusat yang sama membentuk
       suatu grup.
   15. menjelaskan bahwa setiap isometri selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali
       sebanyak berhingga dari refleksi.
   16. menjelaskan pengertian refleksi geser.
   17. menjelaskan sifat-sifat refleksi geser


A . TRANSLASI
    1. Pengertian Translasi

        Rumah kita sering dipergunakan untuk pertemuan-pertemuan, seperti
arisan, rapat pengurus kampung, pengajian, dsb. Untuk kepentingan tersebut
biasanya kita harus memindahkan beberapa perabot rumah tangga                   seperti
meja, kursi, almari dsb. Dalam pemindahan tersebut kadang-kadang kita cukup
menggeser dengan cara mendorong atau menarik benda-benda tersebut
sehingga meja yang semula menghadap ke barat tetap menghadap ke barat,
almari yang semula menghadap ke timur tetap menghadap ke timur dst. Coba
amati, apa yang tetap atau sama dalam pemindahan tersebut. Bandingkan
bagaimana meja/kursi tersebut sebelum dan sesudah dipindah ! Sifat-sifat apa
lagi yang dapat saudara temukan ?

      Fenomena-fenomena            seperti yang terjadi pada pemindahan perabot

rumah tangga di atas dapat diformalkan sebagai suatu konsep dalam

transformasi yang disebut translasi.




                                           12
Definisi      Misalkan v suatu vektor. Fungsi Tv: R2R2 disebut translasi dengan
              vektor v,jika Tv (A) = B maka AB = v ( AB wakil dari v).


                                       B
                      v


      A

       Vektor suatu translasi juga dapat dinyatakan dengan wakilnya, sehingga
dapat ditulis sebagai TAB, TCD, dst.
Karena injektif dan surjektif, maka Tv suatu transformasi.
Teorema : Translasi adalah suatu isometri
Bukti : Misalkan Tv suatu translasi , dengan Tv (A) = A1 dan Tv(B) = B1
          Maka : AA1 = v dan BB1 = v
     
                AA1 = BB1
    a. Untuk A, A1, B, dan B1 tidak segaris, maka :
          AA1 = BB1 dan AA1 // BB1
      Jadi AA1B1B suatu jajargenjang, sehingga A1B1= AB.

                            A1              B1




     A                      B


     b. Untuk A, A1, B, dan B1 segaris, maka :


                                                 B1
                                 B               
                          A1     
          A               
          

     A1B1 = AB1 – AA1
              = AB1 – BB1 (sebab AA1 = BB1 )
              = AB



                                           13
      Terbukti bahwa Tv suatu isometri.
Teorema . Setiap translasi adalah kolineasi.
Akibat: Setiap translasi memetakan suatu bangun ke suatu bangun yang
kongruen.
Oleh translasi TV, bayangan ABC adalah A1B1C1.



                              C1                Maka: ABC  A1B1C1
                                                    dan AB//A1B1
      C
                                                        AC//A1C1
                                                        BC//B1C1
                                             Tampak pula bahwa arah orientasinya
                          1
                          A                B tidak berubah.
                                           1


                  B
  A


Teorema . Translasi tidak mengubah arah orientasi.


Teorema . Hasilkali dua translasi TV dengan TW adalah suatu translasi TU
              dengan          u = v + w.
Bukti :
                                B

                                      W
                      V                         C
              A           U=
                          V+W
TV(A) = B
               (TWTV) (A) =TW(TV( A))= TW(B) = C
TW (B) = C

v + w =u      TU(A) = TV+W (A) = C
 Jadi     (TWTV) = TU =TV+W




                                           14
Jika v =0, maka TV=T0 .
Untuk sebarang translasi TV, maka TV T0 = T0 +V = TV dan                            T0TV = T
                                               V+ 0   = TV
Jadi T0 = I (transformasi identitas)
       Jika AB wakil dari v, maka BA adalah wakil dari -v
Untuk sebarang translasi TV. maka T-V TV = TV+ (-V) = T0 = I dan
                                    TV T-V = T(-V) +V = T0 = I
Jadi invers dari TV adalah T-V atau (Tv)-1 = T-V.

Apakah TV TW = TW TV ?
TV TW = TW +V ( teorema )
     = T V + W (sifat komutatif penjumlahan vektor)
     = TW TV (teorema )
Dengan demikian maka teorema berikut ini telah terbukti:
Teorema . Himpunan translasi dengan operasi hasilkali transformasi menyusun
                grup abel.
Translasi pada umumnya tidak mempunyai titik invarian. Akan tetapi jika diambil
titik-titik A dan B pada suatu garis g yang sejajar vektor v maka bayangan A dan
B adalah sbb.

                                                      TV (A) = A1, dan A1 pada g.
                                    g
                v                                     TV (B) = B1, dan B1 pada g.
                             B1
                                                     Jadi TV(g) = g, berarti g yakni garis
                    A1
                                                     yang    sejajar   vektor    translasi
           B
                                                     merupakan garis invarian.
   A
   

Ini berarti teorema berikut telah terbukti :
Teorema. Translasi , yang bukan Identitas, tidak mempunyai titik invarian, garis
                invariannya adalah garis-garis yang sejajar dengan vektor
                translasi.




                                          15
2. Persamaan Translasi
     Berikut akan dibicarakan translasi secara analitis (dengan pendekatan
Geometri Analitik) yakni dengan menggunakan bantuan sistem koordinat,
khususnya sistem koordinat Cartesius.

                    a
       Misalkan v=   . Misalkan pula A(x,y) sebarang titik, dan TV(A)=A1 atau
                    b
                     
TV((x,y))= (x1,y1).
                            Y

                                                    A1(x1,
                                                    y1)
                                                    b
                                           a
                                   A(x,y
                                   )                         X
                            O



Maka diperoleh hubungan          x1= x + a
                                 y1= y + b
                                                                  a
Persamaan ini disebut persamaan translasi dengan vektor translasi  
                                                                  b
                                                                   
                                                x1   x   a 
Persamaan tersebut dapat pula ditulis sebagai:  1       
                                                y   y b
                                                    
     Jika A dan B titik berlainan , maka ada translasi tunggal TAB yang
memetakan titik A ke B.
                                          x x 
Misalkan A(x1,y1) dan B(x2,y2), maka AB =  2 1 
                                          y  y 
                                           2   1


Jadi persamaan translasi TAB : x1= x + (x2-x1)
                                   y1= y + (y2-y1)
Contoh : Suatu translasi memetakan titik A(-3,4) ke B(2,7).
         Maka persamaan translasi tersebut adalah :
           x1 = x + (2+3)       atau    x1 = x + 5


                                               16
       y1 = y + (7-4)            y1 = y + 3
  Bayangan titik C(4,-2) dan garis g: 2x-3y+5=0 dapat dicari sbb:
 Misalkan bayangan C adalah C1(x1,y1), maka x1= 4+ 5 = 9
                                                  y1= -2+3 = 1
 Jadi C1(9,1).
       Untuk mencari bayangan suatu garis dapat dilakukan dengan

mengubah persamaannya sbb:

            x1 = x + 5         x = x1 - 5
            y1 = y + 3          y = y1 – 3


 Bayangan g: 2x-3y+5=0 adalah: 2(x1-5) –3(y1–3)=0
                                  2x1-3y1-1=0
 Karena dalam susunan sumbu yang sama, maka tanda aksen (1) dapat
  dihilangkan. Jadi persamaan bayangannya adalah :
      g1: 2x–3y-1=0`.
Oleh karena translasi adalah kolineasi, maka bayangan garis g, juga dapat
diperoleh sbb.: Ambil sebarang dua buah titik P dan Q pada g, Misalkan
bayangan P dan Q oleh translasi tersebut adalah P 1 dan Q1                Maka
persamaan bayangan garis g adalah persamaan garis melalui P 1 dan Q1.
Dengan menggunakan persamaan ini dengan mudah dapat dibuktikan
beberapa teorema tentang translasi. Misalnya tentang hasilkali dua
translasi, translasi adalah isometri, translasi adalah kolineasi, translasi
adalah dilatasi, dsb.
Contoh (1) : Dibuktikan bahwa hasilkali dua translasi adalah translasi.
                   a               c
      Misalkan v =   , dan w =
                   b                
                                     d 
                                    
     Maka : TV :    x1= x + a
                    y1= y + b

      dan TW :      x1= x + c
                    y1= y + d



                                     17
                       A1(x1, y1)
                                    w
             v                                  A1(x1, y1)


A(x,y)


TV : A(x,y)  A1(x1,y1)
   dengan        x1= x + a
              y1 = y + b


TW: A1(x1,y1)  A1 (x ,y1)
   dengan        x1= x1 + c
              y1 = y1 + d
Jadi TW TV : A(x,y)  A1 (x ,y1)
    Dengan        x1= x1 + c = (x+a)+ c =x+(a+c)
                  y1 = y1 + d = (y+b)+ d =y+(b+d)
                                    a c
                                    b  d 
Tampak bahwa TW TV = TU, dengan u =       
                                          
                                        a c
                                        b  d 
                                    u=       
                                              
                                          a  c 
                                     u =   
                                          b d 
                                             
                                     u= v+w
         Terbukti bahwa : TW TV= T v + w
Contoh (2). Secara analitis, dibuktikan bahwa translasi adalah kolineasi.
          Misalkan g suatu garis dengan persamaan Ax + By + C = 0.
          TV :     x1= x + a             x= x1 - a
                   y1= y + b atau        y= y1 - b


                                           18
          TV(g)  A(x1-a)+B(y1-b)+C=0

           g1  Ax1+By1+ (C–Aa-Bb)=0
          Ini adalah persamaan garis lurus.

          Ambil titik K(x1,y1) pada g, maka dipenuhi Ax1 + By1 + C = 0.
          Bayangan K oleh translasi tersebut adalah K1(x1,y1)  K1(x1 + a , y1+ b)
          Substitusi koordinat-koordinat K1 terhadap persamaan g1 diperoleh :
      A(x1 + a) + B(y1+ b)+ C-Aa-Bb = Ax1+By1+Aa+Bb+C-Aa-Bb
                                          = Ax1+By1+ C
                                          =0
      Jadi K1(x1,y1) pada g1.(bukti lengkap)
          Dari bukti tersebut    tersirat pula bukti bahwa translasi adalah suatu
dilatasi; yakni dengan melihat bahwa gradien dari g1 sama dengan gradien g,
           A
yaitu :
           B
Soal-Soal Latihan
1. Diketahui : ABC, dan ruas garis PQ.
   Lukiskan A1B1C1=TPQ (ABC)

                C
                                               Q


                           P



          A                 B



2. Diketahui titik-titik A, B, C, D, dan P, serta garis g.

                                               Lukiskan :
                    B
                                     D             a) TCDTAB (P)
     A
                                                   b) TCDTBA(g)
                                          C        c) t hingga TABTDC (t) = g
              P
                                 g                  d) (TAB)3(P)
                                               19
3. Buktikan secara analitis bahwa translasi adalah isometri
4. Buktikan secara analitis bahwa terhadap translasi yang bukan identitas tidak
     terdapat titik invarian, dan garis invariannya adalah garis-garis yang sejajar
     vektor translasi.
5. Buktikan bahwa translasi mempertahankan besar sudut.
6. Tebing-tebing sebuah sungai digambarkan sebagai dua garis sejajar t dan s.

                                                 Di atas sungai akan dibangun jembatan. Menurut ahli
               s              B
                                         jembatan harus tegaklurus arah sungai. .
          t
                                                 Pada titik mana dari tebing-tebing sungai harus dibangun

                                         jembatan agar jalan penghubung dari tempat A ke tempat B
     A
                                         sependek mungkin.


Kunci jawaban Latihan
1. Petunjuk : Buatlah ruas-ruas garis berarah yang berpangkal masing-masing
di A, B, dan C, berujung berturut-turut di A’,B’,dan C’ serta AA’, BB’,CC’ sama
dengan PQ
2.
                                                                      x'  x a
3. Misalkan persamaan tranlasi : Tv :`
                                                                  y'  y  b
     Ambil A(x1,y1) dan B(x2,y2) Misalkan Tv(A) = A’(x1’,y1’) dan Tv(B) = A’(x2’,y2’)
      Maka x1’= x1+a                  y1’= y1+b, dan x2’= x2+a,                   y2’= y2+b

      AB =    (x  x )
                   1          2
                                  2
                                      (y 
                                             1
                                                 y)2
                                                       2
                                                           dan

     A’B’ =   (( x          a )  ( x  a )) 2  (( y  b)  ( y  b)) 2                (x  x )2
                                                                                                      2
                                                                                                          (y    y)   2
                       1                 2                   1               2                1              1     2


      Sehingga AB = A’B’ Terbukti translasi adalah suatu isometri.


                                                                 20
4. .Misalkan titik invariannya (p,q), maka p +a = p    dan    q+b=q .   Ini tidak
   mungkin ada p dan q yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Jadi tidak
   ada titik invariant.
   Misalkan garis invariannya g: Ax + By+C = 0 maka g’ : A(x-a)+B(y-b)+C = 0
   Atau Ax +By –Aa-Bb+C = 0      Karena g garis invariant maka g’  g
  Sehingga diperoleh C = -Aa-Bb+C atau Aa=-Bb

           B b
  Atau      yaitu gradien g sama dengan gradient v =  a  . Berarti g//v
           A a                                          
                                                       b
                                                        
 5. Dari soal no 4 diperoleh bahwa Tv(g) =g’
    Dengan g : Ax +By +C =         dan g’ :    Ax +By –Aa-Bb+C = 0         Yang
    mempunyai gradien sama
    Jadi translasi adalah suatu dilatasi, yaitu memetakan suatu garis yang
    sejajar dengan garis bayangannya.
      Misalkan diketahui < BAC dan Tv(< BAC) = <B’A’C’ Karena AB//A’B’ dan
    AC//A’C’ maka m< BAC =m<B’A’C’
 6. Petunjuk:Translasikan B sepanjang lebar sungai tegaklurus tepi sungai
    dari arah s ke t.




 B. REFLEKSI
 1.Pengertian Refleksi
      Pada pembicaraan tentang transformasi , refleksi akan tampak sangat
dominan. Pada pembicaraan di sini pencerminan atau refleksi yang dimaksud
adalah pencerminan terhadap suatu garis, yang mempunyai keistimewaan a.l
dapat untuk bercermin dari dua arah.
Definisi : Misalkan c suatu garis. Pencerminan terhadap garis c adalah suatu
           fungsi Mc sedemikian hingga untuk setiap titik P pada bidang dipenuhi
           sbb:
            (1) Jika P c maka Mc(P)=P

           (2) Jika P  c maka M(P)=P1 sedemikian hingga c adalah sumbu PP1 .


                                       21
                                                                 c
                                  B1= MC(B)
                                               
               A                                D=MC(D)


                                           B

                    A1=
                   MC(A)
      Bukti bahwa pencerminan tersebut adalah suatu transformasi diangkat

sebagai soal dalam latihan.

Pencerminan adalah transformasi yang mengubah arah orientasi.


                           C                                         C1



               A                                                              A1

                                          B             B1

                                    c
Sifat-sifat lain dari pencerminan akan disajikan dalam teorema-teorema berikut.

Teorema 5.1. Pencerminan adalah suatu isometri.
Bukti : Misalkan A1=Mc(A) dan B1= Mc(B).
       Dipandang beberapa kasus khusus letak A dan B terhadap cermin (garis
        c ).
       A
                                                             B                     B         A
                       A              B                                                                    B1
                                                                     A
      B            c                          A=                 c                     c c
c
      B1                                      A1                                                 D     C   E
                                                                          1
                       A   1
                                      B1                                  A                                B
                                                             1
                                                             B                     B1        A1
       A1
      (i)                      (ii)             (iii)                     (iv)                       (v)



                                                        22
    Kasus (i) A,A1, B, B1 segaris. Misalkan garis ini memotong garis c di D.
             A1D = AD, dan B1D = BD.
            A1D- B1D = AD-BD A1B1 = AB
Kasus (ii) ABB1A1 adalah jajargenjang, sehingga A1B1=AB.
Kasus (iii) Misalkan BB1 memotong c di D. Maka  A1B1D  ABD(s-sd-s)
             Jadi A1B1 = AB    B
                                                ADE  A1DE (S-Sd-S)
Kasus (iv)
                       A                       Akb. AE = AE1, mAED =mA1ED
                                      c        Sehingga mAEB =mA1EB1
                           D   E
                    A1                         Jadi  ABE  A1B1E (S-Sd-S)

                               B1              Akibatnya AB = A1B1

Kasus (v)  ADC A1D C (s-sd-s) akibatnya AC = A1C
            BCE  B1CE (s-sd-s) akibatnya BC = B1C
          Jadi AC+ BC = A1C + B1C atau AB = A1B1
Untuk kasus Adan B pada cermin c, jelas , sebab AB berimpit A 1B1.
Teorema 5.2. Pencerminan adalah suatu kolineasi.
Bukti : (Sebab pencerminan adalah isometri)
Teorema 5.3 Pencerminan adalah involusi.
Bukti :
Untuk P c, maka Mc(P)= P, sehingga Mc2(P)=Mc(Mc(P))= Mc(P)= P

Untuk P c, Mc(P)= P1 dengan c sumbu PP1 yang berarti c juga sumbu P1 P .
                  Sehingga Mc(P1)=P dan Mc2(P)=Mc(Mc(P))= Mc(P1)= P.
Jadi untuk setiap P, Mc2(P)= P, yang berarti Mc2 = I atau Mc involusi.
Karena involusi ini, maka juga Mc-1 = Mc.
Teorema: 5.4. Titik invarian pada pencerminan adalah titik-titik pada cermin,
             dan garis invariannya adalah cermin dan garis-garis yang tegaklurus
             cermin.




                                          23
Bukti : Dari definisi jelas bahwa titik-titik pada cermin adalah titik invarian.
         Akibatnya cermin tersebut juga merupakan garis invarian.

                                    Misalkan         g garis invarian dari Mc dan g  c
                                    Ambil titik A pada g. Maka A1 = Mc(A) juga pada
                                    g sebab g garis invarian.

                                    Jadi garis AA1 = g. Karena c sumbu AA1 maka
     A             A  1
                               g
                                        AA1  c yang berarti g tegaklurus c. Atau garis
                                    invarian tegaklurus cermin.
            c




2. Hasilkali dua pencerminan
        Telah diketahui bahwa hasilkali dua cermin yang sama adalah suatu
identitas. Atau McMc = I. Untuk dua cermin yang berbeda c dan t, khususnya jika
t c dan t //c akan dibahas berikut ini.
Teorema 5.5.            Hasilkali dua pencerminan dengan dua cermin saling
            tegaklurus adalah suatu setengah putaran dengan titik pusatnya
            adalah titik potong kedua cermin tersebut.
Teorema tersebut secara singkat dapat ditulis sbb.
Jika c  t dan P =(c,t ) maka MtMc= HP.
                                                 MtMc(A)=Mt (Mc(A))= Mt(A1)=A1.

                                   A            Pandang segitiga AA1A1.
                P                          c     P pada AA1 dan PQ // AA1
  A1                          A                A1P : PA = A1Q : QA1 = 1:1
                    Q
                               1
                                                      P titik tengah AA1
                t                                    Jadi MtMc = HP




                                                24
Teorema 5.6. Hasilkali dua pencerminan dengan kedua cermin sejajar,
         adalah suatu translasi dengan vektor tegak lurus kedua cermin
         dari cermin pertama ke cermin kedua Secara singkat : Jika c//t,
         maka MtMc = TV, dengan v  c dari c ke t, dan /v/ = 2 d(c,t).
Bukti : Buat garis pc, memotong c di K dan memotong t di L.




         A                             A
                                         1
                        A
                        1                          p
                K                   L

                        A2
                    c           t
MtMc = Mt I Mc ( sebab I identitas)
     = Mt MS MS Mc (teorema 5.3)
     = (Mt MS)(MS Mc ) (assosiatif)
     = HLHK ( teorema 5.5)
     = TV , dengan v = 2 KL (teorema 4.6)
Kebalikan teorema ini juga berlaku.
Teorema 5.7. Setiap translasi TV dapat dinyatakan sebagai hasilkali dua
         pencerminan MtMc dengan t//c dan c v             sedang jarak t dan c
         setengah v.
Contoh: Diketahui titik-titik A dan B. Suatu translasi TV memetakan titik A ke B.
         Lukiskan garis a dan b sehingga TV = MbMa.
Jawab : Akan dilukis garis-garis a dan b , dengan a//b, a  b. Garis a terletak di
         sebelah kiri b berjarak ½ AB.

                                        B

                 A


                 ½ AB
                            b
                a


                                              25
Catatan : Lukisan ini tidak tunggal. Jika salah satu garis tertentu, garis yang lain
         dapat ditentukan.
Hasilkali dua pencerminan dg. dua cermin yang berpotongan di T dan
         membentuk sudut 
Misalkan diketahui gris s dan t yang membentuk sudut 
                                                 s
                               A
                                                          Ms(A)= A1 sehingga
                               ●
                                   M                        TA=TA1 dan <ATM=<A1TM
                                           A1             Mt(A1)= A1 sehingga
                       T                   ●                 TA1= TA1dan< A1TN=A1TN

                                       N                  Mt Ms(A)= A1

                             A1                          t Dari data di atas diperoleh
                              ●
                                                          AT = AT1 dan <ATA1= 2 


Yang terakhir ini merupakan definisi suatu transformasi yang disebut rotasi yang
         akan dibahas setelah subtopic refleksi /pencerminan ini.


3. Persamaan untuk Refleksi
Akan dicari persamaan transformasi untuk pencerminan Mc, jika c mempunyai
persamaan Ax + By + C = O.
Misalkan Mc(T) =T1 dengan T(x,y) dan T1(x1,y1).



                 M                              Garis c sumbu TT1. Titik tengah TT1
                            T1(x1,y1)
       T (x,y)                                              x  x1 y  y1
                                                adalah M(         ,       ).
                                                              2      2
                                                M pada c maka :

                  c                                             x  x1        y  y1
                                                          A(          ) + B(        )+ C = 0.
                                                                  2             2
                                                          A(x+x1)+B(y+y1)+2C = 0.
                                                      Ax1 + By1= -Ax-By-2C ……….(1)


                                                26
                                                              B
TT 1 tegaklurus c, maka persamaan TT 1 : y – y1=                (x-x1)
                                                              A
                                               A(y-y1) = B(x-x1)
                                               Bx1- Ay1=Bx-Ay ……………..(2)
(1)   Ax1 + By1= -Ax-By-2C               x A
(2)   Bx1- Ay1=Bx-Ay                     xB
      -------------------------------------
      (A2+B2)x1 = (-A2+B2)x-2ABy-2C
                  = (A2+B2)x - 2A(Ax + By+C)
                      ( A2  B 2 ) x  2 A( Ax  By  C )
            x1    =
                                     A2  B 2
                           2 A( Ax  By  C )
                  = x-
                                A2  B 2


(3)   Ax1 + By1= -Ax-By-2C               x B
(4)   Bx1- Ay1=Bx-Ay                     x (-A)
      -------------------------------------
      (A2+B2)y1 = -ABx-B2y-2BC-ABx+A2y
                 = (A2-B2)y-2ABx-2BC
                 = = A2 y+B2y – 2B2y -2ABx –-2BC
                 = (A2+B2)y – 2B(Ax + By+C)
                      ( A2  B 2 ) y  2 B( Ax  By  C )
            y1    =
                                     A2  B 2
                           2 B( Ax  By  C )
                  = y-
                                A2  B 2
Jadi persamaan untuk pencerminan dengan cermin c: Ax + By + C = 0, adalah :
                  2 A( Ax  By  C )
        x1 = x -
                       A2  B 2
Mc :
                  2 B( Ax  By  C )
         y1 = y -
                        A2  B 2




                                                    27
4. Beberapa pencerminan khusus:

                  Y             Y=
   Y=-
                                x
   x

                 O                      X




   a. Pencerminan terhadap sumbu X
   Persamaan sumbu X adalah y = 0. Jadi persamaan refleksi thd sb.X
                         2 A( Ax  By  C )
           x1 = x -
                              A2  B 2
MC :
                2 B( Ax  By  C )
              y1 = y -
                     A2  B 2
dengan A=0, B=1 dan C=0
                     x1 = x
       MX :
            y1 = - y
b.Pencerminan terhadap sumbu Y.
   Persamaan sumbu Y adalah x=0
   Dengan substitusi A=1,B=0,C=0 pada rumus umum pencerminan diatas
   diperoleh persamaan pencerminan terhadap sumbu Y adalah :
                     x1 = -x
       My :
            y1 = y
c.Pencerminan terhadap garis bagi kuadran pertama.
   Persamaan garis tersebut adalah y=x.atau x-y=0
   Dengan substitusi A=1, B=-1, dan C= 0 pada rumus umum persamaan
   pencerminan diperoleh:
                      x1 = y
       My=x :
                      y1 = x




                                              28
   d.Pencerminan terhadap garis bagi kuadran kedua
   Persamaan garis ini y =-x atau x + y = 0.
   Dengan substitusi A=1, B=1, C=0 pada persamaan umum pencerminan
   diperoleh:


                x1 = - y
    My=-x :
                y1 = -x

e..Pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu Y.
 Persamaan garis ini adalah x = k, dengan k konstanta.
 Dengan substitusi x = 1, B=0 dan C=-k diperoleh persamaan yang dimaksud :
                x1 = -x+ 2k
    Mx=k :
                y1 = y

f. .Pencerminan terhadap garis sejajar sumbu X.
   Garis ini mempunyai persamaan y=h, dengan h konstanta.
   Persamaan pencerminan ini diperoleh dengan substitusi pada persamaan
   umum pencerminan dengan A=0, B=1, C=-h. Sehingga diperoleh :


                  x1 = x
    My=h :
                  y1 = -y + 2h



5. Contoh Penyelesaian soal
Contoh 1. Suatu pencerminan memetakan titik A(2,-3) ke A1(4,5).
         Tentukan persamaan pencerminan tersebut, kemudian tentukan pula
              bayangan titik B(4,-4) oleh pencerminan tersebut.

Jawab : Cermin dari pencerminan tersebut adalah sumbu AA1 .

       Titik tengah AA1 adalah M(3,4)




                                         29
                           5  (3)
Gradien AA1 adalah                   4.
                             42


                           1
Maka sumbu AA1 bergradien - .
                           4
                                             1
Sehingga persamaan cermin tersebut: y - 4 = - (x-3) x + 4y -19 = 0
                                             4


6. Persamaan pencerminan :

                            2( x  4 y  19)
               x1 = x -
                                12  42
     Mc :
                           8( x  4 y  19)
               y1 = y -
                               12  42

     atau
                     15x  8 y  38
              x1 =
                          17
    Mc :
                      8 x  13 y  152
              y1 =
                             17


Misalkan bayangan B(4,-4) adalah B1(x1,y1) maka :

            15.4  8(4)  38 130    11
   X1 =                          7
                   17          17    17


           8.4  13(4)  152 68
   y1 =                           4
                   17           17
                11
   Jadi B1( 7      , 4)
                17




                                               B
               A

                                                    30
                                                         s
7. Soal-soal
1. Diketahui dua titik Adan B. Lukiskan suatu garis s sedemikian hingga
   MS(A)=B. Kemudian tentukan MS(B).
2. Jika A(1,3) dan B(-2,-1) dua buah titik yang diketahui. Tuliskan persamaan
   garis s sehingga MS(A)=B.
3. Diketahui garis s : x= -3.
  (a) Tentukan A1=MS(A), jika A(2,5).
  (b) Tentukan C sedemikian hingga MS(C)= (-1,7)
  (c) Jika P(x,y) sebarang titik, tentukan MS(P)
4. Diketahui garis s: y+2x=3 dan A(2,k). Berapakah k jika MS(A)=A.
5. Diketahui garis c : kx -3y+1=0 dan B(3,-1). Tentukan k jika MC(B)=B.
6. Diketahui garis c dan titik-tittik A, A1, B, C seperti tampak pada gambar di
   bawah ini. Misalkan A1= MC(A).

                        A                         c

               C
                                             B

                             A
                             1




 (a). Dengan hanya sebuah penggaris, lukiskan B1=MC(B) dan C1= MC(C).

 (b). Buktikan bahwa lukisan Anda benar.

7. Diketahui garis-garis s dan t seperti tampak pada gambar. Dengan penggaris

dan jangka, lukiskan t1= MS(t).


               t



                                        31
                    s
8. Diketahui garis t , segitiga ABC dan lingkaran L, seperti tampak pada gambar

  berikut. Lukiskan Mt( ABC) dan Mt(L).



                      L          C
              
              P

                                       B
                  A                             t



9. Diketahui garis t.
   (a) Lukiskan suatu segitiga yang dipetakan ke dirinya sendiri oleh Mt.
   (b) Lukiskan suatu lingkaran yang dipetakan kedirinya sendiri oleh Mt
   (c) Lukiskan suatu belahketupat yang dipetakan ke dirinya sendiri oleh Mt.
10.Jika s : y=-x dan t: 3y=x+3. Tentukan apakah titik A(-2,-4) terletak pada t1=
    MS(t).
11. Diketahui 5 buah garis s, s1, t, t1, dan c, sedemikian hingga s1=Mc(s), t1=
    Mc(t). Jika s1//t1, buktikan bahwa s//t.
12. Diketahui garis-garis t, s, dan s1 dengan s1=Mt(s). Tentukan manakah
    pernyataan-pernyataan berikut yang benar.
   (a) Jika s1//s, maka s //t.
   (b) Jika s1=s, maka s=t.
   (c) Jika s1s = {A} maka A t.
13. Jika s : y=2x+3 dan t : y=2x+1, tuliskan persamaan untuk t 1=MS(t).
14. Berapa macam refleksi garis yang memetakan :


                                           32
     (a) Suatu segitiga samasisi onto dirinya sendiri
      (b) Suatu persegipanjang onto dirinya sendiri
      (c ) Suatu segi-n beraturan onto dirinya sendiri.
15. Diketahui titik-titik A,B dan C seperti tampak pada gambar. Lukiskan (a) s
    dan t sehingga MS(B)=B dan HA=MSMt
           (b) u dan v sehingga MU-1(C)=C, dan HA=Mu MV

                    A


                                                 C
                          B
16. Jika A(-4,3) dan c : y=-x. Tentukan :

   (a) McHA(2,-1)                     (c ) McHA(P) jika P(x,y)
   (b) Apakah McHA = HA Mc?           (d) (McHA)-1(P)


17. Jika A(-1,0) tentukan persamaan s dan t sehingga B(3,4) s dan HA=MSMt.


18. Seorang penggembala sapi di A,bersama sapi-sapinya setelah sore akan
     pulang kandang ke B. Tetapi sebelumnya harus mampir dulu di sungai s
     untuk minum dan mandi. Pada bagian mana dari s agar perjalanan dari A
     ke s terus ke B sependek mungkin

                                            ●B
                     A●
                                                                 s



C.ROTASI (PUTARAN)

1. Pengertian

       Suatu putaran memerlukan titik pusat dan sudut putaran.




                                         33
Definisi . Putaran dengan pusat P dan sudut putar  adalah suatu pemetaan
                 R(P, ) yang memenuhi :
                (1) R(P, )(P)=P
                (2) R(P, )(A)=A1 dengan PA1=PA dan mAPA1= .
                  A1


                                   A


                      

                  P



Sudut putar  positif jika arah putaran berlawanan dengan arah jarum jam.
      Jika  = 0, maka R(P, ) = I (transformasi identitas), sedangkan jika  =
1800, maka rotasi berupa setengah putaran,                         yakni R(P, 180 0)=HP
      Dari definisi jelas bahwa titik pusat rotasi merupakan titik invariant. Yakni
R(P, )(P)=P.                                                 B1
                                                             B1
Teorema : Rotasi adalah suatu isometri.
                                                                            A1
Bukti: Misalkan R(P, )(A)=A1                                              A1
       dan R(P, )(B)=B1

Maka PA1=PA dan mAPA1= ……… (1)
                                                                                        B
Dan   PB1=PB dan mBPB1= ………(2)                                                    B

Pandang: Δ PAB dan ΔPA1B1                            
                                                 
                                                         
          1(
 PA = PA definisi)
                                                                                           A
  PB =PB1(definisi) dan                                                                 A
M< APB = m<A1P B1( 180o _ m<BPA1
Jadi Δ PAB ≈ ΔPA1B1
Akibatnya AB = A1B1        Sehingga terbukti bahwa rotasi adalah suatu isometri.
Dengan demikian rotasi adalah juga kolineasi.
Teorema: Rotasi adalah suatu kolineasi.
Teorema: Rotsi tidak mengubah arah orientasi


                                        34
Teorema : Rotasi yang bukan identitas, hanya mempunyai titik invarian di titik
               pusat rotasi.
Half turn (setengah putaran ) tidk lain adalah rotasi dengan sudut putar 180 o atau
               -180o
Jadi     HP  R(P,180o)  R(P,-180o)


2. Hasilkali dua buah rotasi
a. Hasilkali dua rotasi dengan titik pusat yang sama.
Misalkan rotasi-rotasi tersebut R(P,) dan R(P,).
 Hasilkali dua rotasi R(P,) R(P,) yaitu rotasi R(P,) dilanjutkan R(P,) dapat
dicari sbb.
                    A1              R(P, ) (A) = A1
                    A

                               A1   R(P, )(A1) = A1
                                     R(P, ) R(P, ) (A) = R(P, )(A1) = A1
                               A
                                     PA1 = PA, dan mA1PA = +
                
                                     Jadi R(P, ) R(P, ) = R (P, +)
    P


Sifat-sifat:
a. Dari rumus hasilkali dua rotasi di atas dapat diperoleh:
   R(P, ) R(P, ) = R (P, +) = R (P, +), sebab +)=+.
   Jadi perkalian rotasi dengan pusat yang sama bersifat komutatif.
b. R(P,)(R(P, ) R(P, ))=R(P, ) R(P, +) = R(P,(+)+  ) =R(P, ++ )
  (R(P,) R(P, )) R(P, ))=R(P, +)R(P, ) = R(P,(+(+)) =R(P, ++ )
   Jadi perkalian rotasi dengan pusat yang sama bersifat assosiatif.
c. R(P, )R(P,0)=R(P,0)R(P, )=R(P, )
   Jadi R(P,0) = I ( transformasi identitas)
d. R(P, -) R(P, ) = R (P, -+) = R(P,0)=I
 R(P, ) R(P, - ) = R (P, +(-)) = R(P,0)=I
 Jadi R-1(P, ) = R(P,- )




                                            35
Dengan demikian himpunan rotasi dengan titik pusat yang sama menyusun
suatu grup. Apakah grupnya komutatif ?
Bagaimana jika titik pusatnya tidak sama?
Di depan telah ditunjukkan bahwa hasilkali dua pencerminan yang kedua
cerminnya membentuk sudut  adalah sama dengan rotasi dengan pust titik
potong kedua cermin dengan sudut putar 2                                  yakni :         MsMt = R(P,2  ).
Sebaliknya, setiap rotasi pasti dapat dinyatakan sebagai hasilkali dua buah
pencerminan: R(P,              )= MsMt dengan s dan t berpotongan di P dan membentuk
                1
sudut sebesar     .                                                  s
                2
                                                                      Jadi R(Q,  ) R(P,             )=
        Q
       MpMtMtMs                                  P
                                                                           t
                                                                                                       = MpMs
A
                                                              1
                                                              2   
                                                                                                       = R(A,
        + )                                        p


                  1
                  2    1 + 1 
                        2    2


`                                        `




    3. Persamaan rotasi
    Beberapa rotasi khusus:
    1. Rotasi dengan pusat O(0,0 dan sudut rotasi 90o, yaitu R(O,90o)

                                              Y`
                                 A ’(-y,x)



                            x
                                                                                A (x,y)
                                                                               y
                                                                  x                               X
                                     y       O
                                                                                                  `

                                                         36
R(O,90o):(x,y)  (x’,y’)  (-y,x)
                                          x'   y
Jadi persamaan untuk R(O,90o) :
                                             y'  x


Dengan cara serupa dapat diperoleh persamaan untuk HO=R(O,180o) :
x'   x
y'   y
                                    x'  y
Persamaan untuk R(O,270o):
                                    y'   x


4. Soal-soal latihan.
1.Diketahui titik-titik A dan P seperti pada gambar berikut.
  Lukiskan :
a. R(A,90o)(P)           b. R(A,-45o)(P)              c. R(A,150o)(P)
d. Titik Q sedemikian hingga R(A,30o)(Q)= P



                                        P

         A

2. Sederhanakan perkalian rotasi –rotasi berikut.
   a. R(A,20o) R(A,60o)       b R(A,-60o) R(A,120o)              c R(A,-150o) R(A,-
120o)

3. Tuliskan bayangan titik A(2.-3) dan garis 2x +3y-4 = 0 oleh rotasi dengn
pusat O dan sudut rotasi 90o
4. Turunkan rumus untuk rotasi dengan pusat P(a,b) dengan sudut rotasi 90o


D. REFLEKSI GESER /GLIDE
1. Pengertian
      Pada sub topic Isometri telah dibicarakan translasi, refleksi dan rotasi,
termasuk transformasi identitas. Hasilkali dua buah isometric adalah isometri
juga (beberapa telah ditunjukkan) Masih ada satu lagi isometri , yang


                                             37
merupakan hasilkali isometri-isometri di atas, tetapi bukan translasi, rotasi
maupun refleksi. Ia adalah Refleksi Geser (Glide) .

Refleksi Geser adalah Refleksi yang dilanjutkan translasi yang sejajar
cermin.

G = TvMt , dengan v//t




2. Beberapa sifat dari refleksi geser ini antara lain :

1. Relfleksi geser adalah isometri

2. Refleksi Geser mengubah arah.

3. Refleksi geser tidak mempunyai titik invariant

4. Titik tengah ruas garis yang menghubungkan suatu titik dengan
   bayangannya terletak pada cermin.

3. Soal Latihan

1 Tunjukkan Sifat-sifat refleksi geser tersebut sebagai latihan

2 Tunjukkan bahwa jika  isometri maka ia pasti satu diantara translasi,
 refleksi, rotasi, refleksi geser, atau transformasi identitas



                                      38
3 Tunjukkan bahwa untuk sebarang vector CD dan garis t dengan CD tidak
    tegaklurus t maka pasti ada refleksi geser G sehingga sedemikian hingga
    G = TCDMt.

4. a. Tunjukkan bahwa setiap isometri pasti dapat dinyatakan sebagai
    hasilkali dari beberapa pencerminan,

     b. Apa yang terjadi jika banyaknya pencerminan tersebut ganjil ?. dan
    bagaimana jika genap ?

E. Operasi Simetri
     1. Pengertian
      Misalkan B suatu bangun, dan  suatu transformasi isometri,
     Jika  (B) = B, maka dikatakan bahwa  adalah suatu operasi simetri
     dari bangun B.
     Contoh :1. Operasi simetri pada persegi panjang ABCD

                                            Garis garis a dan b masing-
     D                          C           masing adalah sumbu sisi
                                            persegipanjang yang berpotongan
                                            di P.
                                            a
                       P
                                            Ma : ABCD  DCBA

     A                          B           Mb : ABCD  BADC
                                            R(P,180o): ABCD  CDAB dan
                                            I : ABCD  ABCD
                   b
`
Tampak bahwa oleh isometri-isometri tersebut, bayangan persegi panjang
ABCD adalah persegipanjang itu sendiri ( invarian, meskipun tidak titik
pertitik) maka ke empat isometri tersebut adalah operasi=operasi simetri pada
persegi panjang ABCD.

Himpunan operasi simetri persegipanjang adalah

    { Ma, Mb, R(O,180o, R(O,360o  I } atau { Ma, Mb, R, R2= I}



                                       39
     2.Grup Operasi simetri

Tabel hasilkali (komposisi) transformasi

     o       I            Ma     Mb      R

 I               I        Ma     Mb      R

 Ma          Ma            I      R      Mb

Mb           Mb            R      I      Ma

 R               R        Mb     Ma          I


     Dari tabel tersebut tampak bahwa
     a. Himpunan operasi simetri pada persegipanjang , tertutup terhadap
           komposisi transformasi

     b. Assosiatif

         Misalnya : Ma(MbR) = MaMa = I

                     dan (MaMb) R = RR = I

     c. I adalah elemen identitas 9tampak pada kolom 2, dan juga pada baris 2)

     d. I-1 = I, Ma-1 = Ma, Mb-1 = Mb, dan R-1= R. Jadi setiap elemen mempunyai
          invers
     Jadi himpunan operasi simetri untuk persegipanjang, menyusun suatu grup.
     Grup operasi simetri untuk persegi panjang disebut grup dihedral (D2)
     Tampak bahwa o(D2) = 4


     Contoh 2. Operasi simetri untuk bangun berikut

                                             Himpunan operasi simetri dari bangun
                                             tersebut adalah :
                                             {R(O,120o), R(O,240o), R(O,360o)=I}
                                             Atau { R, R2, R3= I } dengan R = R(O,120o)
                           O•




                                                 40
     `
     Dapat ditunjukkan bahwa himpunan operasi simetri ini menyusun suatu grup


     Tabel komposisi tranformasinya
           I         R    R2
 I         I         R    R2
 R         R         R2   I
     2         2
 R         R         I    R


     Dari tabel dapat ditunjukkan bahwa himpunan tersebut,
     1,. Tertutup oleh operasi komposisi
     2. Assosiatif
     3. ada elemen identitas yaitu I  R3  R(O,360o)
     4. setiap elemen mempunyai invers yaitu : I-1 = I, R-1=R2, (R2)-1=R.
     Jadi himpunan operasi simetri tersebut membentuk suatu grup.
     Grupnya disebut grup siklik (C3)
     Di sini tampak bahwa o(C3) = 3


3. SOAL-SOAL LATIHAN
     1. Tuliskan himpunan operasi simetri untuk :
            a. segitiga samakaki
            b. segitiga samasisi
            c. persegi
            d. segilima beraturan
     2. Apa nama grup simetri untuk
            a. segitiga samakaki
            b. segitiga samasisi
            c. persegi
            d. huruf H, T, Z , M, N, S
     3. Tunjukkan bahwa o(Dn ) = 2n
     4. Tunjukan bahwa Cn  Dn


                                           41
     F. Grup Operasi Simetri tak Hingga
         1. Pengertian
           Hasilkali 2 refleksi pada cermin-cermin sejajar adalah suatu reffleksi.
     Jika operatornya suatu refleksi maka grup tak hingganya disebut C~

     Grup tak hingga dengan operator dua reflksi dinyatakan dengan D~
     Jika opratornya T (translasi ) maka elemen-elemen grup tak hingganya
     adalah ……….T-2, T-1,I, T, T2, T3, ………..
     Jika R dan R1 operatornya , maka elemen-elemen grup taaaak hingganya
     adalah : ………….. RR1R, R1R, R, I, R1, RR1, ………….
     2. Macam-macam grup simetri tak hingga
          Ada 7 cara berlainan untuk mengulang suatu pattern (pola) suatu lajur .
     Tujuh cara tersebut menentukan 7 macam grup simetri tak hingga yaitu :


     Pattern (Pola)                           Generator                     Nama grup
                                                                            abstraknya
1, L      L    L   L ...............       1 translasi                       C~
2.                          ............   1 refleksi geser                  C~
3. V V V V            ..............       2 refleksi                        D~
4. N N N N ...............                 2 setengah putaran                D~
5.                 ............        1 setengah putaran +1 refleksi     D~
6. D D D D.................                1 translasi + 1 refleksi         C~ x D1
7. H H H H .................               3 refleksi                       D~ x D1


3. Soal-soal
. Apakah nama grup simetri dari pola berikut:
1. ......... b b b b ...........
2. ………b p b p ………
3. ………b d             b d ………
4. ……….b q            b q ………




                                                   42
III. SIMILARITAS

    Kompetensi yang diharapkan setelah belajar subtopic ini adalah :
    1. Menyebutkan pengertian transformasi similaritas
    2. Menyebutkan transformasi-transformasi yang termasuk similaritas.
    3. Menentukan bayangan suatu titik /garis oleh similaritas tertentu.
    4. Menentukan hasilkali dilasi dengan isonetri tertentu
    5. Menyebutkan sifat-sifat dilasi, refleksi dilatif dan rotasi dilatif.


 Isometri memetakan suatu bangun yang konkruen dengan bangun bayangannya.

 Sedangkan tranasformasi yang memetakan suatu bangun yang sebangun dengan
bangun bayangannya disebut transformasi similaritas

Karena setiap dua bangun yang konkruen pasti sebangun, maka setiap isometri pasti
similaritas.

Salah satu similaritas yang bukan isometri adalah dilasi (dilatasi sentral)

A. Dilasi

1. Pengertian

Definisi: Misalkan P suatu titik, dan suatu bilangn real k  0,suatu fungsi [P,k] disebut
dilasi dengan pusat P dan factor skala k jika :

 [P,k] (P) = P,

 [P,k] (A)= B sedemikian hingga PB =kPA.

Di sekolah dilasi ini biasa disebut dengan dilatasi.

Jika k>0, maka bangun dan bayangannya sepihak terhadap titik pusat dilasi.

Jika k<0 , maka bayangan bangun di lain fihak dengan bangun tersebut.

Coba selidiki bagaimana hubungan suatu bangun dengan bayangannya jika k>1,
dan bagaimana jika-1<k<1


                                          43
[P,2]: A  A'




2. Sifat-sifat Dilasi
Selidiki sifat-sifat dilasi berikut:

a. Dilasi adalah transformasi

b. Dilasi adalah kolineasi

c. Dilasi adalah suatu similaritas.

d. Dilasi mempunyai titik invariant yaitu titik pusat dilasi.

e. Dilasi adalah dilatasi.

f. bagaimana hasilkali dua dilasi ?




                                       44
g..Hasilkali dua buah dilasi dengan pusat yang sama adalah suatu dilasi juga

   [P,k][P,t] = [P,kt]

h. Hasilkali dilasi dengan suatu isometri adalah similaritas.

3. Persamaan Dilasi

a. Dilasi dengan pusat O dan faktor skala k atau [ O,k]


                                                     A(x’,y’)
                    A’y


                    Ay              •A(x,y)

                                                          X
                           O        Ax              A’x




[O,k] : A(x,y)  A(x’,y’)

OA’x : OAx = OA’ :OA = OA’ y : OA’y = k:1

 x’ = kx. dan y’ = ky

                                         x'  kx
Persamaan transformasinya {
                                         y '  ky

Persamaan Dilasi

a. Dilasi dengan pusat P(a,b) dan faktor skala k atau [ P,k]


            A’y                                      A(x’,y’)


            Ay                      •A(x,y)

            Py             P(a,b)


                                                              X
              O           Px    Ax                  A’x
                                           45
OA’x = a +PxA’x = a + k. PxAx

x’ = a + k( x-a)

OA’y = b +PyA’y = a + k. PyAy

y’ = b + k(y-b)

                                                           x'  a  k ( x  a )
jadi persamaan transformasi [P,k], dengan P(a,b) adalah
                                                           y '  b  k ( y  b)




B. REFLEKSI DILATIF
    Refleksi dilatif adalah dilasi yangdilanjutkan refleksi dengan cermin
melalui pusat dilasi

Dm=[P,k]Mt = Mt [P,k]




=[P,k] : ABC   A,B,C,          Mt :  A,B,C,   A’B’C’,

    Mt[P,k] : ABC   A’B’C’

Sifat-sifat :

-Refleksi dilatif mengubah arah


                                     46
   -Refleksi dilatif merupakan suatu similaritas

   -Setiap similaritas yang mengubah arah dan bukan isometri adalah refleksi
   dilatif



   B. ROTASI DILATIF /SIMILARITAS SPIRAL
       Rotasi dilatif atau yang biasa disebut Similaritas spiral adalah dilasi yang
       dilanjutkan rotasi dengan pusat sama dengan pusat dilasi

DR= [ P,k] R(P,  ) = R(P,  ) [ P,k]




   R(P,  ) : ABC   A,B,C,           [ P,k] :  A,B,C,       A’B’C’

   [ P,k] R(P,  ): ABC   A’B’C’

   SIfat-sifat:

   -   Rotasi dilatif tidak mengubah arah

   -   Rotasi dilatif adalah suatu similaritas




                                           47
   -   Similaritas yang tidak mengubah arah dan bukan isometri pastilah rotasi
       dilatif

  Setiap pasang segitiga yang sebangun pasti hanya ada tepat satu similaritas
   yang memasangkan segitiga yang satu dengan yng lainnya.

.Himpunan similaritas menyuasun suatu grup




                                      48

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:4663
posted:6/29/2012
language:Malay
pages:48
Description: Modul Matematika