Docstoc

Modul kelas X semester 1

Document Sample
Modul kelas X semester 1 Powered By Docstoc
					                             MATEMATIKA DALAM MODUL



MODUL
  1
                             Alokasi Waktu : 40 x 45 menit


  Standar Kompetensi
          Memecahkan Masalah Berkaitan Dengan Konsep
                    Operasi Bilangan Real


  Kompetensi Dasar
            Menerapkan Operasi Pada Bilangan Real
            Menerapkan Operasi Pada Bilangan Berpangkat
            Menerapkan Operasi Pada Bilangan Irasional
            Menerapkan Konsep Logaritma




Tujuan Pemelajaran

Usai pengajaran materi-materi pada kompetensi ini, kepada siswa diharapkan dapat
1. Mendiskripsikan macam-macam sistem bilangan real.
2. Mencari hasil operasi bilangan rasional.
3. Mencari hasil operasi bilangan irasional.
4. Mendiskripsikan pengertian perbandingan, skala, dan prosen.
5. Menghitung besarnya perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.
6. Menghitung besarnya skala dan ukuran sebenarnya suatu obyek pada peta.
7. Mengkonversi bentuk pecahan ke bentuk persen dan sebaliknya.
8. Menerapkan konsep perbandingan , skala, dan persen.
9. Mendiskripsikan bilangan berpangkat.
10. Mengoperasikan bilangan berpangkat.
11. Mendiskripsikan bilangan akar.
12. Mengoperasikan bilangan akar.
13. Mendiskripsikan bilangan logaritma.
14. Mengoperasikan bilangan logaritma.



       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 1
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

Mengapa perlu belajar bilangan real ?


Dalam kehidupan sehari-hari hamper tidak pernah terlepas dari kegiatan membilang
dan menghitung. Kegiatan ini selalu dilakukan dalam bidang administrasi, perniagaan
maupun perindustrian. Kegiatan seperti : menjumlah, mengurang, mengali, membagi,
sampai pada memangkatkan dan menarik akar adalah kegiatan-kegiatan yang selalu
kita jumpai. Oleh karena itu mempelajari hingga paripurna konsep bilangan real
merupakan hal yang mesti dan mutlak harus dilakukan.


A. Pengertian Bilangan


    Apakah yang di maksud dengan bilangan ? Berapakah banyaknya jari tangan
    kananmu ? jawab lima. Lima yang kalian sebut tadi adalah bilangan. Bilangan
    lima tidak kelihatan, tetapi dapat di bayangkan jumlahnya. Jadi bilangan adalah
    abtraksi dari banyaknya suatu obyek. Agar orang lain dapat menangkap dan
    menghitung banyaknya bilangan ( obyek ). Maka dibuatlah simbol untuk bilangan.
    Simbol bilangan yang digunakan adalah angka arab, yaitu 0, 1, 2, 3,….. yang
    selanjutnya disebut lambang bilangan. Jadi yang selalu kita baca, kita gunakan
    untuk perhitungan dan lain sebagainya tidak lain adalah lambang bilangan yang
    selanjutnya disebut bilangan.


B. Macam – macam Sistem Bilangan


    Bilangan yang dibicarakan adalah bilangan yang merupakan sistem, yaitu yang
    bersifat tertutup dan dapat dilakukan operasi penjumlahan dan perkalian. Sistem
    bilangan dapat dituliskan dalam tiga kelompok besar, seperti : cara himpunan, cara
    diagram venn dan cara diagram pohon.


    1. Cara Himpunan
      Bilangan yang membentuk sistem secara terurut dapat ditulis dalam bentuk
      himpunan, sebagai berikut :



       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 2
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

  a. Bilangan Asli
     Himpunan semua bilangan asli, ditulis A = { 1, 2, 3, 4,…}
  b. Bilangan Cacah
     Himpunan semua bilangan cacah, ditulis C = { 0, 1, 2, 3,…}
  c. Bilangan Bulat
      Himpunan semua bilangan bulat, ditulis B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
  d. Bilangan Rasional
     Bilangan Rasional diberi notasi Q adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai
     perbandingan antara pembilang yang terdiri atas anggota bilangan bulat dan
     penyebut anggota bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.
     Jadi Q =        ;a,b      B , dan b       .

     Dapat disimpulak bahwa bilangan itu terdiri atas bilangan bilangan bulat dan
     bilangan pecahan.
  e. Bilangan Irasional
     Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak rasional atau bilangan yang
     tidak dapat ditulis ( tidak berlaku ) dalam bentuk . Yang termasuk sebagai

     bilangan irasional adalah , I = { , bilangan akar , bilangan natural e, dan
     bilangan logaritma }
  f. Bilangan Real
    Bilangan real atau bilangan nyata adalah bilangan yang terdiri atas bilangan
    rasional dan irasional, jadi bilangan real dapat ditulis R = Q + I
  g. Bilangan Kompleks
    Bilangan kompleks adalah semua bilangan yang ada di muka bumi yang
     terdiri atas bilangan real atau nyata ( bagian nyata ) dan bilangan khayal atau
     imajiner ( bagian yang tak nyata ), dan dapat ditulis sebagai berikut :
           K = a + b i , a dan b     R, i =         = ( bilangan imajiner ).


2. Cara Diagram Venn
  Sistem bilangan real biasa juga disajikan dengan cara diagram Venn, sebagai
  berikut :




  ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 3
                           MATEMATIKA DALAM MODUL




   3. Cara Diagram Pohon
     Sistem bilangan real disajikan dengan cara diagram pohon, sebagai berikut :




C. Operasi Bilangan Real


   1. Pengertian
     Operasi adalah pengerjaan dua atau lebih bilangan real untuk mendapatkan
     bilangan real baru dengan sifat – sifat yang sama dan sahih serta memenuhi
     norma ( aturan-aturan ) pada sistem bilangan. Pada setiap melakukan operasi
     bilangan, yang harus ada didalamnya sama halnya dengan operasi yang lain,
     yaitu :
      Ada yang di operasi, yaitu bilangan real .
      Ada yang mengoperasi, yaitu bilangan real.
      Ada alat operasi.
      Ada hasil operasi, yaitu bilangan real juga, artinya harus tertutup.




     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 4
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

2. Alat operasi
   Alat-alat operasi yang digunakan dalam pengerjaan bilangan ada bebarapa ,
   antara lain adalah :
        “ + “ : untuk operasi tambah atau penambahan.
        “ – “ : untuk operasi kurang atau pengurangan.
        “ x “ : untuk operasi kali atau perkalian.
        “      “ : untuk operasi penarikan akar
        “      “ : untuk operasi perpangkatan , dan lain-lain.


3. Operasi Bilangan


       a. Operasi Penjumlahan , “ + ” :


            1) Untuk a, b             R akan berlaku a + b = c
                Contoh :
                i. 3 + 4 = 7
                ii. 7 + ( -3 ) = 4
                iii.             =(1+2)                   3
            2) Untuk bilangan pecahan
                Penjumlahan pada bilangan pecahan dapat dilakukan, hanya bila
                penyebutnya sama. Cara menyamakan penyebut pecahan adalah,

                sebagai berikut :

               Contoh:
               iv.

                         =



                         =

              v.




   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 5
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

    b. Operasi Pengurangan, “ – “


        1) Untuk a, b & c          R akan berlaku a – b = c
           Contoh:
          i. 5 – 2 = 3
         ii.


        3) Untuk bilangan pecahan
               Contoh:
          iii.

          iv.


    c. Operasi Perkalian
        1) Untuk a, b & c          R akan berlaku a x b = c atau a . b = c
           Contoh:
               i.   2x3=6
           ii.      5 . ( -4 ) = -20
        2) Untuk bilangan pecahan
               Perkalian pada bilangan pecahan dilakukan dengan cara, sebagai
               berikut :

          iii.

          iv.


    d. Operasi Pembagian
        1) Untuk a, b & c          R akan berlaku a : b = c atau = c

           Contoh:
          i.        3:4=

         ii.        5 : ( -6 ) =

        2) Untuk bilangan pecahan



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 6
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

              Contoh :
           iii.

           iv.

           Catatan khusus untuk operasi pada bilangan pecahan

                  
                                      –
                  
                  
                  


4. Sifat – sifat Operasi
    Untuk setiap a, b, & c         R pada operasi penjumlahan dan perkalian berlaku
    sifat – sifat operasi bilangan, antara lain:
       a. Tertutup, R * R = R :
                          a+b=c
                          a     b=c
                         Contoh :
                         i. 1 + 2 = 3      1, 2 & 3    R
                         ii. 2   3=6       2, 3 & 6     R
       b. Komutatif ( pertukaran ), a * b = b * a
                          a+b=b+a
                          a     b=b       a
                         Contoh:
                         i. 3 + 4 = 4 + 3
                         ii. 5   6=6       5
       c. Asosiatif ( pengelompokan / pilihan ), a * ( b * c ) = ( a * b ) * c
                          a+(b+c)=(a+b)+c
                          a     (b       c)=(a       b)    c
                         Contoh:
                         i. 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3
                         ii. 3   (4       5)=(4       5)    3



   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 7
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

    d. Distributif
           Distribusi perkalian terhadap penjumlahan
                       a       (b+c)=(a             b)+(a             c)
                      Contoh:
                      i. 2      (3+4)=(2             3)+(2             4)
                         2                7 =   6         +        8
                     ii. 3      (7+5)=(3             7)+(3             5)
                         3            12 =       21 + 15
           Distribusi perkalian terhadap pengurangan
                         a      (b       c)=(a          b)–(a          c)
                      Contoh :
                      iii. 2 x ( 10 – 6 ) = ( 2 x 10 ) – ( 2 x 6 )
                          2x          4     =       20        -    12
                      iv. 3 x ( 7 – 5 ) = ( 3 x 7 ) – ( 3 x 5 )
                          3x          2     =       21    -       15
    e. Ada Unsur Identitas, I ; a * I = I * a = a
                       a+I=I+a=a
                       a       I=I       a=a
                      Contoh:
                      i. 4 + 0 = 0 + 4 = 4
                          0     adalah identitas penjumlahan
                      ii. 3     1=1        3=3
                          1     adalah identitas perkalian
    f. Ada Invers, a-1 , a * a -1 = a-1 * a = 1
                       a + ( -a ) = ( -a ) + 1 = 0
                         -a invers penjumlahan dari a
                       a                   a=1

                              invers perkalian dari a

                      Contoh:
                      i. 3 + ( -3 ) = ( -3 ) + 3 = 0
                     ii. 4                  4=1


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 8
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

      Mengapa sifat-sifat operasi di atas hanya berlaku pada operasi penjumlahan
      dan operasi perkalian saja ? Cari penjelasan untuk itu semua !


D. Perbandingan , Skala dan Persen


 1. Perbandingan


    a. Pengertian
      Perbandingan adalah hasil dari membandingkan satu obyek dengan obyek
      yang lain. Secara umum perbandingan ditulis dalam bentuk yang paling
      sederhana dimana yang di atas disebut pembilan dan yang di bawah disebut
      penyebut. Bila diperoleh besaran yang tidak sama atau tidak terlalu benar,
      maka disamakan dahulu penyebutnya menggunakan KPK nya.
      Contoh :
      i. Ali lebih tinggi dari Budi.
      ii. Balon Ani lebih kecil dari balon Bobo.
      iii. Adi mempunyai tanah seluas 100 m2 dan Fahmi mempunyai 60 m2.
           Perbandingan luas tanah Adi dan Fahmi adalah = 100 : 60 = 5 : 3
    b. Macam Perbandingan
      Perbandingan ada dua macam, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan
      berbalik nilai.
      1) Perbandingan Senilai
          Perbandingan senilai merupakan dua buah perbandingan yang berbeda
          bentuknya, tetapi dengan nilai yang setara ( sama ).
          Contoh ;
          i. 15 : 25 = 3 : 5
          ii. 2 : 3 = 8 : 12
          iii. Dengan 5 liter bensin sebuah mobil dapat menempuh jarak 90 km.
               Berapa liter bensin diperlukan untuk menempuh jarak 360 km dengan
               mobil yang sama ?
              Jawab :
               Misal bensin yang diperlukan adalah l , dapat disusun sebagai berikut :


     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 9
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                Bensin (… liter )          Jarak tempuh ( …. Km )
                           5                              90
                            l                            360
          Dapat dipahami bahwa semakin jauh ( banyak ) jarak yang ditempuh
          maka akan semakin banyak bensin yang diperlukan dan sebaliknya
          semakin sedik bensin yang diperlukan maka semakin dekat ( sedikit)
          jarak yang ditempuhnya. Ini berarti perbandingannya adalah senilai,
          sehingga berlaku ;




                                          l = 20
          Jadi bensin yang diperlukan untuk jarak 360 km adalah 20 liter.
 2) Perbandingan Berbalik Nilai
     Perbandingan berbalik nilai merupakan dua perbandingan ( pecahan )yang
     nilainya saling berbalikan, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :


     Contoh :
     i. Dengan kecepatan 5 km/jam Amir memerlukan waktu 40 menit untuk
        tiba di sekolah. Dengan jarak yang sama Bolang memerlukan waktu 50
        menit, kecepatan Bolang adalah ……
     ii. Suatu pekerjaan dengan 10 orang pekerja dapat diselesaikan dalam
          waktu 12 hari. Jika diinginkan pekerjaan itu selesai hanya dalam wak
          tu 8 hari saja, maka jumlah tenaga kerja yang ditambahkan adalah
          sebanyak ……… orang.
     Jawab :
     i. Jarak yang ditempuh = Kecepatan kali waktu tempuh
                                S = v.t
          Dalam soal di atas, S1 = S2
                           v1 . t1 = v2 . t2
                           5 . 40 = v2 . 50


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 10
                          MATEMATIKA DALAM MODUL




                                  V2 = 4
             Jadi kecepatan si Bolang 4 km/jam.
           ii. Volume pekerjaan         = jumlah pekerja kali jumlah hari
                                   v = pxh
             Dalam soal di atas, v1 = v2
                             10 x 12 = p2 x 8



                                  p2 = 15
              Jadi jumlah tenaga yang harus ditambahkan adalah = (15 – 10) orang
                                                                          = 5 orang.
2. Skala


  a. Pengertian
      Bentuk lain dari perbandingan adalah skala. Skala adalah suatu bentuk
      perbandingan yang menggambarkan perbedaan antara bentuk atau ukuran
      yang sebenarnya dan bentuk atau ukuran dalam gambar atau peta. Skala biasa
      digunakan pada peta ataupun gambar-gambar lain yang sejenis.
      Skala diberi notasi “ a : b “, a menyatakan ukuran yang sebenarnya dan b
      menunjukkan ukuran dalam gambar. Jadi b satuan dalam gambar bernilai
      sama dengan a satuan ukuran yang sesungguhnya, atau setiap satu satuan
      ukuran dalam gambar mewakili b/a kali satuan ukuran sebenarnya.
  b. Perhitungan Skala
      Di atas sudah disebutkan bahwa untuk menggambarkan secara proporsional
      suatu gambar yang sesunggunya maka digunakan wakil sebagai pengganti
      yang sesuai yang disebut skala. Dari itu berarti ada kalanya gambar yang
      sesungguhnya digambar menjadi lebih kecil ada kalanya menjadi lebih besar.
      1) Skala Diperbesar
           Jika suatu obyek atau benda terlalu kecil agar dapat dilihat oleh pengamat
           atau orang lain maka obyek itu perlu diperbesar. Untuk hal semacam itu
           biasa digunakan alat pembesar atau lup, tetapi yang dimaksut perbesaran
           disini adalah gambarnya atau sekalanya bentuknya adalah a : b.

    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..     Page 11
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

      Contoh :
      i. Skala gambar, 500 : 1 artinya setiap 500 satuan ukuran yang
          sebenarnya mewakili oleh 1 satuan ukuran dalam gambar. Atau setiap
          1 satua ukuran dalam gambar diwakili 500 satuan ukuran yang
          sebenarnya.
      ii. Sebuah benda digambar dengan skala 5000 : 3. Jika bagian dari benda
          itu adalah 10 mm maka tentukan ukuran bagian benda itu pada gambar
         Pembahasan ;
         Skala 5000 : 3 , ukuran sebenarnya 15 micro meter ukuran dalam

          gambar adalah

         Jadi ukuran dalam gambar adalah 25000 micro meter = 25 mm.
  2) Skala Diperkecil
      Untuk menggambarkan benda-benda atau obyek yang relatif besar maka
      biasanya benda atau ukuran-ukuran dari benda itu digambar pada skala
      yang diperkecil. Seperti 1 : 5000000 , artinya setiap 1 satuan dalam
      gambar mewakili 5000000 kali ukuran yang sebenarnya, dan seterusnya.
      Skala seperti ini biasanya digunakan untuk peta dan sejenisnya.
      Contoh :
      i. Sebuah peta digambar pada skala 1 : 10 000 000. Jika jarak kota A ke
          kota B adalah 50 km maka hitunglah jarak kota itu pada peta.
      ii. Sebuah Aquarium raksasa digambar dengan skala 1 : 200. Jika dalam
          peta aquarium itu berukuran 1 x 2 x 3 cm maka hitunglah volume
         sebenarnya dari aquarium itu.
      Jawab :
      i. Skala 1 : 10 000 000
          Jarak sebenarnya = 50 km, jarak dalam peta =

                                                              = 0,000005 km
                                                              = 5 mm
          Jadi jarak kota A ke kota B pada peta digambar sejauh 5 mm.
      ii. Skala 1 : 200 , artinya setiap satu satuan dalam gambar mewakili 200
          kali satuan ukuran yang sebenarnya.



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 12
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

              Volume sebenarnya = ( panjang x leber x tinggi ) sebenarnya
                                 Vs = ps x ls x ts
                                     = ( 1 x 200 ) x ( 2 x 200 ) x ( 3 x 200 )
                                     = 48 000 000 cm3
              Jadi volume sebenarnya aquarium itu adalah 48 000 000 cm3 = 48 m3.


3. Persen
   a. Pengertian
      Persen atau prosen artinya perseratus. Persen adalah suatu bentuk
      perbandingan yang dinyatakan dengan angka perseratusan atau angka itu
      dibandingkan dengan seratus. Jadi a persen artinya a perseratus. Persen
      diberi notasi “ % “ .
   b. Perhitungan Persen
      Di atas disebutkan bahwa persen artinya adalah per seratus. Bentuk
      perbandingan semacam ini biasa digunakan untuk menyatakan dua bentuk
      berbeda yang relatif besarnya maupun bentuknya. Untuk mendapatkan
      perbandingan bentuk persen dilakukan dengan cara mengalikan bilangan itu
      dengan seratus persen.


      Contoh :
      i. Dari 1800 orang calon siswa SMK Negeri 4 Makassar yang mengikuti
          seleksi, jumlah yang diterima adalah 380 orang saja. Hitunglah prosentase
          siswa yang diterima tersebut.
       ii. Produksi barang A yang rusak sebesar 2,5 %. Jika barang yang tidak
          rusak sebesar 9.750.000 unit maka hitunglah :
            *Jumlah barang yang diproduksi
            *Jumlah barang yang tersisa jika barang yang baik terjual 90 %.
       Jawab ;
       i. Jumlah siswa diterima                = 380 orang dari 1800 orang
         Prosentase siswa yang diterima =

                                               = 21,11 %
          Jadi siswa yang lulus seleksi sebanyak 21,11 %.


    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 13
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

    ii. Jumlah barang A rusak = 2,5 % x jumlah produksi
       Jumlah barang A yang diproduksi = 100 % x
       Jumlah barang A yang baik = 1600000 unit = 100 % x - 2,5 % x
                                                        = 97,5 % x



                                                                  10 000 000
       *Jadi jumlah barang A yang diproduksi sebesar 10 000 000 unit.
           Barang baik yang tidak       = ( 100 % - 90 % ) x Jumlah barang baik
                 laku terjual          = 10 % x 9750000
                                      = 975000
       *Jadi jumlah barang A baik yang tersisa sebanyak 975 000 unit.


c. Pengubahan Bentuk Pecahan
    Di atas sudah disebutkan bahwa suatu pecahan dapat dituliskan dalam tiga,
    yaitu : pecahan biasa, pecahan decimal dan persen.
    Suatu bilangan rasional pecahan dalam bentuk                   , dengan penyebut 100

    atau per seratus. Lambang bilangan rasional dengan penyebut 100 disebut
    persen ( % ).
    Contoh :

    i. Ubah ke bentuk persen dari pecahan-pecahan :

    ii. Ubah ke bentuk pecahan biasa bilangan persen : 15 % , 30 % dan 45 %.
    Jawab :
    i. *

       *

       *

       *

    ii. * 15 % =

       * 30 % =

       * 45 % =


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 14
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

 Lembar Kerja Siswa 1


Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar.
1.

     Jawab :



                                        =

                                        =

2.

     Jawab :




                                         =

3.

     Jawab :



                                    =

                                    =

                                    =

                                    =

                                    =

4.

     Jawab :



                                =


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 15
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                                    =

                                    =   +

                                    =

                                    =

                                    =

                                    =

5.

     Jawab :



                            =

                            =

                            =

                            =

6.

     Jawab :



                                =

                                =

                                =

                                =

                                =

                                =

                                =


7. Sebuah peta digambar dengan skala 1 : 7.500.000 . Tentukan :
     a. Jarak sebenarnya, jika jarak pada peta adalah 8 cm.
     b. Jarak pada peta, jika jarak sebenarnya adalah 300 km !
     Jawab :



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 16
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

    a. Jarak sebenarnya = …. x

                                   = ….. …. …. cm
                                   = ….. km
    b. Jarak pada peta             = ….. x

                                = ….. …. …. Km
                                = ….. cm


8. Sebuah pigora kayu dengan panjang bingkai 120 cm dan lebar bingkai
    90 cm. Jika persegi panjang bagian luar dan bagian dalam dari bingkai
    itu sebangun, dan lebar bagian dalam 75 cm, hitunglah panjang bingkai
    bagian dalamnya !
    Jawab :
                                                Persegi panjang dalam dan persegi
                L’
                                             panjang luar sebanding , sehingga berlaku
         P’                    p

                                               …….   x ……..   = p   x   …..
                     l                                         p =

                                                              p     = …….
                         Jadi panjang bingkai bagian dalam adalah ….. cm.


9. Seorang pekerja bekerja selama 9 jam perhari dan digaji Rp 108.000,00.
    Hitung berapa jumlah gaji pekerja itu jika Senin sampai jum’at bekerja
    seperti biasa sedang untuk hari Sabtu dan Ahad ia hanya bekerja selama 6
    jam tanpa hitung lembur.
    Jawab ;
    Gaji pekerja perjamnya = ……… : ………
                                    = ………
    Jumlah jam kerja                = (…x …)+(…x…)
                                    = ……… jam
    Total gaji yang diterima = ….. x …..
                                    = ……


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 17
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

E. Bilangan Berpangkat


  1. Pengertian
     Bilangan berpangkat adalah suatu eksponen atas bilangan real yang bukan satu
     dan bukan nol dengan bilangan real. Bilangan berpangkat diberi notasi “ ax “,
     a disebut bilangan pokok dimana a                           , x disebut bilangan pangkat.


     Contoh :
     i. 53

     ii.


  2. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat


     a. Difinisi


           Bilangan berpangkat bilangan bulat , ditulis “ an “ , didifinisikan sebagai
           perkalian berulang atas bilangan pokok a sebanyak n kali ( faktor ).
           Jadi an = a x a x a x a x …. x a
                      Sebanyak n faktor
           Keterangan :
                 a = bilangan pokok ( dasar )
                 n = pangkat ( eksponen )          bilangan bulat


           Contoh ;
           i. 53 = 5 x 5 x 5 = 125
           ii. 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
           iii. 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000


     b. Operasi bilangan berpangkat


           Seperti halnya bilangan real yang lain, bilangan berpangkat juga dapat
           dioperasikan tetapi dengan aturan-aturan tertentu.


      ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 18
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

   1) Penjumlahan dan Pengurangan
       Dua atau lebih bilangan berpangkat dapat dijumlahkan atau dikurangkan
       hanya bila bilangan-bilangan itu memiliki bilangan pokok dan pangkat
       yang sama. Dan hasil penjumlahan atau pengurangannya adalah hasil
       penjumlahan atau pengurangan atas koefisien-koefisiennya dengan di
       ikuti bilangan berpangkatnya.

                      * p.an + q.an = ( p + q ). an

                      * p.an – q.an = ( p – q ). an

    Contoh :
      i. 5 x3 + 2 x3 = ( 5 + 2 ) x3 = 7 x3
      ii. 7.45 + 2.45 = ( 7 + 2 ) 45 = 9.45
      iii. 9.32 – 5.32 = ( 9 – 5 ) 32 = 4.32


   2) Perkalian dan Pembagian
       Perkalian atau pembagian pada bilangan berpangkat dapat dilakukan bila
       bilangan pokok dan pangkat sama, atau bila bilangan pangkatnya sama,
       atau bila bilangan pokoknya sama. Dengan aturan sebagai berikut :

                   * p.an x q.an = p . q . a2n           *) p.an : q.an = p : q

                   * p.an x q.bn = p . q . ( a . b )n    *) p.an : q.bn =

                   * p.an x q.am= p . q . an+m          *) p.an : q.am =

      Contoh :

      i.   5 x2 . 3 x2 = ( 5 . 3 ) x2 = 15 x4

      ii. 3 x2 . 5 y2 = 3 . 5 ( x. y )2 = 15 ( xy )2

      iii. a 35 . b 34 = a.b . 35+4 = a.b. 39

      iv. 5 x2 : 3 x2 =

      v. 3 x2 : 5 y2 =

      vi. 3 a6 : 5 a2 =


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..    Page 19
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

3. Bilangan Berpangkat Bilangan Pecahan

   a. Pengertian

     Bilangan berpangkat bilangan rasional pecahan, mempunyai pengertian sama
     dengan pangkat bilangan bulat. Bentuk bilangan berpangkat bilangan pecahan

     adalah :         , didifinisikan sebagai akar pangkat n dari bilangan pokok a ber
     pangkat m. Jadi
                                      =          ,



     Contoh :
     i.
     ii.

  b. Operasi

     Operasi yang dapat dilakukan pada bilangan berpangkat bilangan pecahan
     sama seperti pada pangkat bilangan bulat.


     Contoh :
     i.
     ii.
     iii.                    =

4. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

   Dari beberapa operasi pada bilangan berpangkat, seperti di atas untuk bilangan
   pokok tidak sama dengan nol maka dapat dirangkumkan dalam bentuk sifat-sifat
   operasi pada bilangan berpangkat, sebagai berikut :

   a. a m x a n = a m + n …………… ( bilangan pokok sama )
      Bukti :
      amx an = a x a x a x … x a x a x a x a x a x … x a
                       m faktor                n faktor
              = a xa x ax … x … x a
                      m + n faktor
                   m+n
              =a           ………………………………. Terbukti.


    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 20
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

     Contoh :
     i. 35 x 37 = 35+7 = 312
     ii. 53 x 54 = 53 + 4 = 57


b.

     Bukti :


                                n faktor

                    = a-1 x a-1 x a-1 x … x a-1
                                n faktor
                         –n
                   = a           ………………………. Terbukti.

     Contoh :
     i.

     ii. 2. 5-3 =



c.                                         …………. ( bilangan pokok sama )

     Contoh :
     i. 35 : 34 = 3 5 – 4 = 31
     ii. 53 : 54 = 5 3 – 4 = 5-1 = 1/5


d. ao = 1 …………. semua bilangan yang tidak nol bila dipangkatkan nol
                              hasilnya dalah satu.
     Contoh :
     i. 30 = 1
     ii. 150 = 1
e. 1n = 1 ………… satu dipangkatkan berapapun hasilanya tetap satu
     Contoh :
     i. 15 = 1
     ii. 115 = 1
f. a1 = a ……… semua bilangan dipangkatkan satu hasilnya adalah bilangan
                      itu sendiri

 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 21
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

g. ( a m )n = a m . n
    Bukti :
    ( a m ) n = ( a x a x a x … x a )n
                         m faktor


              = ( a x a x a x … x a )x ( a x a x a x … x a )x … x ( a x a x a x … x a )
                        m faktor                    m faktor              m faktor

                                                      n faktor


              = ( a x a x a x … x … xa )
                         m x n faktor


              = a m x n ……………………... terbukti.


    Contoh :
    i. 82 = ( 23 )2 = ( 2 x 2 x 2 ) ( 2 x 2 x 2 )
                    = 26 = 2 3 x 2
    ii. ( 53 )4 = 53 x 4 = 512


h. ( a . b )m = am x bm            ………………. ( pangkat sama )
    Bukti :
    ( a . b )m = ( a .b )x ( a . b ) x ( a . b ) x … x ( a . b )
                                        m faktor

               = a xa x a x… x a x b x b x b x … x b
                        m faktor                   m faktor


               = am x bm ………………………. terbukti
    Contoh :
    i. 65 = ( 2 x 3 )5 = 25 x 35
    ii. ( 52 )3 = 52 x 3 = 56


i. ( )m =               ……………………….. ( pangkat sama )

    Contoh :

    i.

    ii.


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..       Page 22
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

5. Kesamaan Bilangan Berpangkat

   a. Pengertian


      Dua atau lebih bilangan berpangkat dikatakan sama ( mempunyai nilai yang
      sama ) hanya bila bilangan pokok dan bilangan pangkat dari bilangan itu
      adalah sama. Jadi
                                   am = bn          a = b dan m = n

      Contoh :
      i. 53 = a3      a = 5, karena pangkat sama maka bilangan pokok harus sama
      ii. 75 = 7 x     x = 5, karena bilangan pokok sama maka pangkat harus sama


   b. Penggunaan Kesamaan Bilangan Berpangkat


      Konsep kesamaan pada bilangan berpangkat, digunakan untuk menentukan
      besarnya komponen dari bilangan berpangkat, seperti bilangan pokok atau
      bilangan pangkat. Konsep yang dipakai adalah untuk dua atau lebih bilangan
      berpangkat sama, jika bilangan pokoknya sama maka pangkat harus sama
      begitu juga sebaliknya jika bilangan pangkat sama maka bilangan pokoknya
      harus sama.


      Contoh :
      i. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan, 34x = 243.
      ii. Jika 35a- 1 - 27a + 3 = 0 , maka a = …
      iii. Jika ( 0,1 )p – 6 = ( 0,01 )4 - 3 p maka p = ….
      Jawab :
      i. 34x = 243          34x = 35      4x = 5 ……… ( karena bilangan pokok sama

                                           x=              maka pangkat harus sama )

      ii. 35a – 1 - 27a + 3 = 0        35a-1 = 27a +3
                                       35a-1 = ( 33)a +3
                                     35a - 1 = 33a + 9
                                   5a–1= 3a+9



   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 23
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

                                 5a – 3a = 9 + 1
                                         2 a = 10
                                          a =

   iii. ( 0,1 )p – 6 = ( 0,01 4 – 3 p
                    = ( 0,12) 4 -   3p


                    = ( 0,1 )8 – 6 p       p–6 =8–6p
                                           p + 6p = 8 + 6
                                                7 p = 14
                                                 p=



   Lembar Kerja Siswa 2


   Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar !
   1. Jika p = 5 dan q = -10 , maka tentukan nilai dari :
       a. p2 q-3

       b.

       Jawab :

       a. p2 q-3      = ( … )2 ( … )-3
                      = ….. x ….
                      = ……

       b.

                     =

                     =

                     =
                                            –
   2. Bentuk sederhana dari                           adalah …

       Jawab :




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 24
                      MATEMATIKA DALAM MODUL




                                                = … - …

   3. Jika x = 216 dan y = 64 maka nilai dari                      adalah …..
       Jawab :




                                     = ( …… )… . ( …… ) …
                                     = ( … .. x … ) . ( …… x … )
                                     = …… . ……
                                     = ……….

   4. Tentukan nilai x dari kesamaan 52 .

       Jawab :

       52 .

                                       52


                                                               = …. -2




                                                        ….. = -2

                                                          x =          = ….

   5. Jika ( 256 ) 2 a =         maka nilai a adalah …….

       Jawab :
       ( 256 ) 2a =

                                        … = ….
                                         a =

                                            = …..



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 25
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

F. Bilangan Akar


  1. Pengertian


     Seperti sudah disebutkan di atas bahwa bilangan akar merupakan bilangan
     irasional. Akar merupakan lawan atau proses kebalikan dari pangkat yang
     dimiliki oleh suatu bilangan, yaitu suatu hasil yamg menunjukkan pangkat dari
     bilangan tersebut dibagi oleh indeks ( pangkat ) yang terdapat dalam akar.
     Secara umum dapat dituliskan :


                                           , m = pangkat dan
                                             n = indeks
     Dari bentuk di atas, akar sebenarnya adalah bilangan pangkat yang tersamar,
     sehingga biasa juga disebut sebagai bilangan berpangkat tidan sebenarnya.


     Contoh ;

     i.

     ii.
     Catatan :
     a. Indeks dua atau akar pangkat dua, indeks dua tidak dituliskan. Jadi

           ditulis
     b. Akar pangkat dua suatu bilangan ada atau didifinisikan hanya apabila
           bilangan yang ditarik akar itu adalah bilangan positif. Jadi               ada apabila
           a         atau tidak didifinisikan pada a < 0 ( negatif ).


  2. Operasi Pada Bilangan Akar


     Karena bilangan akar merupakan bilangan berpangkat yang tidak sebenarnya,
     maka operasi pada akar juga mempunyai sifat-sifat sama seperti pada bilangan
     berpangkat, yaitu :
     a.                                  ….. indeks sama


     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..      Page 26
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

     Contoh :
     i.
     ii.
                                      =
                                      =
                                      = 5



b.                  ……….. indeks sama

     Contoh :

     i.


     ii.



c.
     Contoh :

     i.

     ii.



d.

     Contoh :

     i.

     ii.


e. p                                        …… indeks sama dan yang ditarik akar
                                                  juga sama
     Contoh :
     i. 4
     ii. 9


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 27
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

3. Menyederhanakan Bentuk Akar Ganda


   Dari sifat-sifat operasi bilangan akar poin d di atas,                                 ,

   dibaca “ akar dari akar suatu bilangan berpangkat adalah akar dari bilangan
   itu yang pangkatnya sama dengan pangkat bilangan itu dibagi hasil kali
   pangkat ( indeks ) dari akar-akarnya “



   Contoh :
   Sederhanakan bentuk-bentuk akar ganda berikut ini :
   i.            =…

   ii.


   iii.


   iv.

   Jawab :

   i.

   ii.

                    =

                    =
                    =


  iii.

             Untuk menyederhanakan bentuk tak hingga seperti di atas, akan lebih
                mudah jika dimisalkan dahulu nilainya dengan x .

          x =                      kedua ruas dikuadratkan, maka didapatlah


          x2 = 3.




   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 28
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

                          x
         x2 = 3 x
         x2 – 3x = 0
         x( x – 3 ) = 0
         x = 0 atau x – 3 = 0
                          x =3


         Jadi                            =3


   iv.

         Misalkan hasilnya adalah sama dengan x

                                          ……… kedua ruas dikuadratkan, didapat :


         6 +                                x2

         6      +          x            = x2
                           x2 - x - 6 = 0
                        (x–3)(x+2) = 0
                    x – 3 = 0 atau x + 2 = 0
                        x =3         x = -2 …… … -2 tidak memenuhi, mengapa ?

         Jadi


4. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar


   Terhadap bilangan irasional dengan penyebut berbentuk bilangan akar dapat
   diubah atau disederhanakan bentuknya menjadi penyebut yang rasional. Cara
   ini biasa disebut sebagai merasionalkan pecahan bentuk akar. Yang digunakan
   dalam merasionalkan penyebut bentuk akar adalah konsep-konsep berikut :

                    
                     (

   Perhatikan cara merasionalkan penyebut bentuk akar pada pecahan berikut :



   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 29
                      MATEMATIKA DALAM MODUL


a.               =

b.

c.


Contoh :
Rasionalkan penyebut-penyebut bentuk akar dari pecahan berikut ini :
i.

ii.

iii.

iv.

Jawab :

i.

       =

ii.

             =

             = (

iii.

            =

            =          - 1

iv.

            =

            =

            =




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 30
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

    Lembar Kerja Siswa 3

    Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan singkat !
    1. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana soal berikut ini :
        a.                                            c.
        b.                                           d. 5
        Jawab :
        a.                                           c.
                     =                                             =
                     = …                                            = …
        b.                                           d. 5
                     =                                             = 5
                     = …                                           = 5x…x
                                                                   = …
    2. Selesikan soal-soal berikut ini :
        a.
        b.
        Jawab :
        a.
                                            = 3
                                            = 3x…x
                                            = …
                                            = (…-…+…-…)

                                            = (…+…)
                                            = ….
        b.
                                           =
                                           = …
                                           = (…+…-…)
                                           = …



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 31
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

    3. Jika p = 3 -         dan q = 3 +         ,tentukan nilai dari :
        a. p + q
        b. p2 – q2
        Jawab :
        a. p + q = ( … - … ) + ( … + … )
                    = …+… -…+…
                    = …
        b. p2 + q2 = ( … - … ) ( … + … )
                      = (…-…-…-…)(…-…+…+…)
                       = ( -…        )(…)
                       = -…
    4. Rasionalkan pecahan berikut ini :

        a.

        b.

        c.

        Jawab :

        a.

                      =

                      =

        b.

                      =

                      =

        c.

                      =

                      =

    5. Tentukan nilai dari akar-akar ganda berikut ini :




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 32
                       MATEMATIKA DALAM MODUL



        a.

        b.

        c.        –      –

        Jawab :

        a.                          =    ….



             Misal                            =   x …….. kedua ruas dikuadratkan

                      7 ……………                 = x2 atau
                              x2             = 7…
                              … - … =0
                        …(…-…)=0
                       ….. = 0 atau …. - …. = 0
                       ….. = ….                         …. = ….
             Jadi nilai dari ……………. adalah …..

        b.                                        =   …..


             Misal                                         =   x
                      12 + …………                         = x2 atau
                                        x2              =7 +…
                                   x2 - … - … = 0
                       ( … + … )( … - … ) = 0
                 …+…=0                  atau … - … = 0
                          …=…                         … = …
             Jadi nilai dari ………………. adalah …..

        c.        –      –                    = …..



             Misal        –         –                  =       x ……. Kedua ruas dikuadratkan

                               x2                      = 56 - …………….


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..        Page 33
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

                     x2                       = 56 - …
                      2
                     x + …        - … = 0
                  ( … + … )( … - … ) = 0
                  …+…=0           atau … - … = 0
                       … =…                       …=…
                  Jadi nilai dari ………………. adalah …..


G. Bilangan Logaritma


  1. Diskripsi Logaritma


    Pada konsep bilangan berpangkat di atas sudah dipelajari bilangan-bilangan
    berpangkat, seperti : 35 = … , 53 = … , 102 = … , 91/2 = …, dan seterusnya.
    Hasil perpangkatan itu dapat dengan mudah diartikan karena bilangan pokok
    dan bilangan pangkatnya sudah diketahui. Masing-masing penyelesaiannya
    adalah : 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 , 53 = 5 x 5 x 5 = 125 , 102 = 10 x 10 = 100
    dan 91/2 =            .
    Bagaimana cara menentukan bilangan pangkat,                  jika yang diketahui adalah
    bilangan pokok dan hasil perpangkatannya ? , misalnya : 3… = 243, 5… = 125,
    10… = 100 , 9… = 3 , dan seterusnya. Untuk menentukan besarnya bilangan
    pangkat dari soal-soal di atas diperlukan suatu alat operasi lain yang disebut
    sebagai logaritma.
    Perhatikan bilangan berpangkat berikut 53 = 125 “ dibaca 3 adalah eksponen
    suatu bilangan-bilangan berpangkat ( dalam hal ini adalah 5 ) yang nilainya 125
    bila 5 dipangkatkan dengan eksponen tersebut. Selanjutnya dapat juga disebut
    bahwa 3 adalah logaritma dari bilangan 125 dengan bilangan pokok 5, maka
    ditulis :       53 = 125            3
                                            log 125 = 5
    Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan bahwa jika logaritma suatu bilangan b
    dengan bilangan pokok a adalah c maka ac = b dan dapat ditulis :

                                  a
                                      log b = c     ac = b , a dan b > 0




     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 34
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

  Keterangan :
               a
                   log b = c dibaca logaritma dari bilangan b dengan basis a adalah c.
               a       = bilangan pokok ( basis )
               b       = bilangan yang dicari logaritmanya ( numeris )
               c       = hasil logaritma b dengan basil a


  Contoh :
  i. Tuliskan dalam bentuk logaritma
     a. 34 = 81                  b. 53 = 125           c. 72 = 49
  ii. Tuliskan dalam bentuk pangkat
           3
     a.        log 81 = 4             b. 2log 16 = 4        c. 5log 625 = 4
  Jawab :
  i. a. 34 = 81             3
                                log 81 = 4
    b. 53 = 125             5
                                log 125 = 3
    c. 72 = 49              7
                                log 49 = 2
  ii. a. 3log 81 = 4               34 = 81
    b. 2log 16 = 4                 24 = 16
    c. 5log 625 = 4               54 = 625
  Catatan :
   Untuk logaritma dengan basis sepuluh, basis sepuluh tidak dituliskan.
               10
    Jadi            log a = c ditulis log a = c , a
   Log 1 = 0


2. Operasi Pada Logaritma


  Dari konsep logaritma di atas terlihat bahwa logaritma itu sesungguhnya
  merupakan proses balik dari suatu bilangan berpangkat, sehingga sering juga
  ada menyebut logaritma itu sebagai bilangan berpangkat tidak sebenarnya.
  Operasi-operasi pada logaritma sama seperti pada bilangan berpangkat, hanya
  saja disini menggunakan proses kebalikannya.
  Pada Bilangan berpangkat yang ditentukan adalah hasil perpangkatan yang
  dilakukan. Sedangkan pada logaritma yang lazim dicari adalah besarnya pokok


   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 35
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   atau basis yang digunakan dalam logaritma tersebut. Untuk operasi pada
   logaritma dapat ditunjukkan oleh sifat-sifat logaritma.


   a. Operasi Penjumlahan

                             p. alog b + q. alog b = ( p + q ) a log b

       Penjumlahan pada logaritma hanya dapat dilakukan bila basis atau bilangan
       pokok dan bilangan yang dilogaritmakan besarnya sama.


       Contoh :
       i. 3.2log 5 + 4.2log 5 = ( 3 + 4 ) 2log 5
                                    = 7. 2log 5
       ii. 3log 7 + 2. 3log 7 = ( 1 + 2 ) 3log 7
                                    = 3 . 3log 7


   b. Operasi Pengurangan

                            p. alog b - q. alog b = ( p – q ) alog b

       Pengurangan pada logaritma hanya dapat dilakukan bila basis atau bilangan
       pokok dan bilangan yang dilogaritmakan besarnya sama.


       Contoh :
       i. 2. 3log 5 – 5.3log 5 = ( 2 – 5 ) 3log 5
                                  = -3. 3log 5
       ii. 5. 2log 4 - 2log 4 = ( 5 – 1 ) 2log 4
                                  = 4. 2log 4


3. Sifat-sifat Logaritma


   Untuk memudahkan perhitungan yang menggunakan bentuk-bentuk logaritma,
   maka digunakan sifat-sifat logaritma, sebagai berikut :




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 36
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

     a
a.       log 1 = 0, a      0


     Karena setiap bilangan yang tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan
     nol hasilnya adalah satu, a0 = 1, maka bentuk logaritmanya adalah alog 1= 0
     Contoh :
           2
     i.        log 1 = 0 , karena 20 = 1
     ii. 3log 1 = 0 , karena 30 = 1
     iii. ½ log 1 = 0, Karena ½0 = 1


     a
b.       log a = 1
     Karena setiap bilangan yang tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan
     satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri, a1 = a , maka bentuk logaritmanya
     adalah alog a = 1.


     Contoh :
           2
     i.        log 2 = 1 , karena 21 = 2
     ii. 3log 3 = 1 , karena 31 = 3
     iii. ½log ½ = 1 , karena ½1 = ½


     a
c.       log x.y = alog x + alog y
     Bukti :
     Dari difinisi logaritma dapat diturunkan, sebagai berikut :
     a
         log x     = c     ac = x
     a
         log y = d         ad = y                  Dari bentuk-bentuk ini diperoleh :
     a
         log xy = p        ap =xy                  x.y = a c . a d
                                                   a p = a c+d
                                                  p    =c+d
                                             a
                                                 log xy = alog x + alog y …… terbukti


     Contoh :
           3
     i.        log 2 . 5 = 3log 2 +   3
                                          log 5
     ii. 2log 20         = 2log 5.4


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..         Page 37
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL

                            = 2log 5 + 2log 4


     a
d.       log         = alog x - alog y

     Bukti :
     Dari difinisi logaritma dapat diturunkan, sebagai berikut :
     a
         log x        = c          ac = x
     a
         log y        = d          ad = y                  Dari bentuk-bentuk ini diperoleh :
     a
         log          = p          ap =

                                                          a p = a c–d
                                                                      –
                                                      a           a
                                                          log         log x – alog y …… terbukti

     Contoh :
           3                3
     i.        log              log 1 - 3log 3

                       = 0 - 1 = -1
     ii. 2log          = 2log 10 - 2log 6


     a
e.       log x n = n . alog x
     Bukti :
     a
         log x n = alog ( x . x . x . … . x )
                                          n faktor


                     = alog x + alog x + alog x + … + alog x … … … difinisi
                                                     n faktor


                     = n . alog x ………………………………………….. terbukti


     Contoh :
           3
     i.        log 52 = 3log 5 . 5
                        = 3log 5 + 3log 5
                        = 2. 3log 5
     ii. 5log 73 = 3. 5log 7




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..                 Page 38
                                    MATEMATIKA DALAM MODUL

     a
f.       log     = - alog x

     Bukti :
     a
         log         = alog 1 - alog x …………. Sifat d.

                     = 0 - alog x           ………………. Sifat a.
                            a
                     = - log x ………………………………………………terbukti


     Contoh :
           2
     i.        log      = - 2log 5

     ii. 3log           = - 3log 9

                            = - 3log 32
                            = -2 . 3 log 3
                            = -2


                        n
     a                      log x
g.       log x =        n
                            log a
     Bukti :
     a
         log x = p                  a p = x …………… difinisi
                            n
                                log a p = nlog x ……………. Kedua ruas dilogaritmakan
                      p. nlog a = nlog x ………. Sifat e.
                                            n
                                                log x
                                p       =   n
                                                log a
                                            n
                            a                   log x
                                log x =     n
                                                      …………… terbukti
                                                log a
     Contoh :
           3
     i.        log 5 =

     ii. 5log 8 =


                                m
h.   an
          log b m                  a
                                        log b
                                n
     Bukti :


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 39
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

                         log b m
     an
           log b m              ………. Sifat g
                         log a n

                     =                ……….. sifat e
                             a
                     =           log b ……… terbukti


     Contoh :
           23
     i.         log 7 5 =

                         =
                                 2
                         =           log 7

     ii.    52
                 log 7 3 

                         =
                                 5
                         =           log 7


     a
i.       log b . blog c . clog d = alog d


     Bukti :
     a
         log b = k               ak = b
     b
         log c = m               bm= c            Menurut sifat bilangan berpangkat, diperoleh
     c
         log d = n           cn = d                 d = cn
                                                       = ( bm )n
                                                       =   bm.n
                                                       =   ( ak ) m. n
                                                    d =    a k . m . n …….. dilogaritmakan   a
                                                                                                 log
                                             a             a
                                                 log d =        log a k. m. n.
                                                                     a
                                                     = k. m. n.          log a
                                                       = k. m . n . 1
                                             a             a
                                                 log d =       log b. blog c. clog d … … terbukti




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..          Page 40
                                    MATEMATIKA DALAM MODUL

        Contoh :
              2
        i.        log 3. 3log 4. 4log 5 =               2
                                                            log 5
        ii. 5log 7 . 3 log 5 =              3
                                                log 5 . 5 log 7
                                            3
                                       =        log 7
        iii. 5 log 6 .     6
                                log 25          =   5
                                                        log 25
                                                    5
                                                =       log 52
                                                            5
                                                = 2.            log 5
                                                = 2

4. Penerapan Logaritma


  Salah satu pemakaian konsep logaritma adalah untuk menyelesaikan persamaan
  yang berbentuk atau mengandung logaritma. Dalam menyelesaikan masalah
  seperti ini penguasaan akan sifat-sifat logaritma sangatlah diperlukan.


  Contoh :
  i. Jika log 2 = p dan 3 = q, maka tentukan nilai dari log 0,30
  ii. Jika 3log 2 = x , maka tentukan nilai dari 9log 8 dan 8log 9
  iii. Untuk 2log 5 = a, maka hitung nilai                              4
                                                                            log   1/25
  Jawab :
  i. log 0,30 = log 3/10
                       = log 3 – log 10
                       = q–1
        9                  32
  ii.       log 8      =        log 23
                                3
                       =            log 2

                       =

        8                        1
            log 9      =   8
                               log 9

                      =

                      =


   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..        Page 41
                            MATEMATIKA DALAM MODUL


  iii. 4log     =    22
                          log 53
                     3 2
                      . log 5
                     2
                          3
                          a
                          2


5. Tabel Logaritma



  a. Pengertian
      Di atas sudah ditunjukkan beberapa sifat-sifat logaritma, dimana salah satu
      fungsinya adalah untuk membantu menyelesaikan operasi logaritma. Untuk
      menentukan hasil operasi suatu logaritma dapat pula digunakan dengan cara
      lain, yaitu tabel logaritma dengan basis bilangan 10. Sedangkan untuk basis
      selain sepuluh digunakan sifat-sifat atau dapat juga dengan kalkulator yang
      memiliki program logaritma didalamnya.
      Daftar logaritma didalamnya berisi sebarisan angka-angka, untuk membaca
      tabel ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, antara lain adalah :

      1) Daftar logaritma biasa menggunakan bilangan pokok atau basis 10, dan
          basis 10 ini tidak ditulis dalam daftar.

      2) Di dalam daftar memuat bilangan yang dituliskan disebut radikan , dan
          bagian decimal disebut mantisa dari hasil penarikan logaritma.

      3) Untuk bagian bulat disebut karakteristik dari hasil penarikan logaritma
          ditentukan dengan cara :
          a) Untuk logaritma bilangan yang lebih dari 1 ( > 1 )
              Karakteristiknya sama dengan banyaknya angka-angka di depan
              nama dikurangi satu.
          b) Untuk logaritma bilangan antara 0 dan 1 ( 0 < x < 1 )
              Karakteristiknya sama dengan negative banyaknya nol di depan
              angka tidak nol yang pertama.


   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 42
                         MATEMATIKA DALAM MODUL


b. Menggunakan Tabel Logaritma
   Untuk mencari logaritma dari suatu bilangan dengan menggunakan tabel
   logaritma, digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
   1) Nyatakan numeris dalam 3 angka signifikan ( penting )
      Untuk tabel logaritma bilangan terletak antara 10 dan 99, maka numeris
      dinyatakan sampai dua tempat decimal.
   2) Cari dua angka penting yang penting dari numeris pada kolom pertama
      pada tabel tersebut.
   3) Tarik garis horizontal dari 2 angka penting pertama dan garis vertikal dari
      angka ketiga numeris. Pertemuan dari keduanya mewnghasilkan mantisa.
   Perhatikan tabel logaritma biasa brikut ini :
                                             10
                                              log x
         N        0        1      2      3         4      5       6        7      8     9
         10       .000    004   009     013       017   021      025      029    033   037
         11       .041    045   049     053       057   061      064      068    072   076
         12       .079    083   086     090       093   097      100      104    107   111
         13       .114    117   121     124       127   130      134      137    140   143
         14       .146    149   152     155       158   161      164      167    170   173


         15       .176    179   182     185       188   190      193      196    199   201
         16       .204    207   210     212       215   217      220      223    225   228
         .
         .
         99       .996    996   997     997       997   998      998      999    999 1.000

                                          Tabel 1 Tabel logaritma biasa


   Contoh :
   Dengan menggunakan tabel 1 di atas tentukan nilai-nilai dari logaritma :
   i. log 1,35
   ii. log 13,2
   iii. log 162


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..         Page 43
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

   Jawab :
   i.   log 1,35 = 0,130 ………. Caranya : * log 1,35 tulis dulu = 0, …
                                                         * lihat numerik 13 dan kolom 5
                                                         * didapat 130. Jadi log 1,35 = 0,130
   ii. log 13,2 = 1,121
   iii. log 162 = 2,210

c. Tabel Antilogaritma
   Jika logaritma suatu bilangan sudah diketahui maka untuk menentukan
   besarnya bilangan yang dilaritmakan itu digunakan proses kebalikannya
   yang disebut anti logaritma. Seperti contoh-contoh di atas, misalnya suatu
   bilangan mempunyai logaritma 0,310 maka bilangan yang dimaksut oleh
   logaritma itu adalah 1,35. Ditulis log x = 0,310 maka x = 1,35.
   Selain dengan cara tabel biasa, untuk menentukan suatu bilangan yang nilai
   logaritmanya sudah diketahui dapat pula digunakan tabel antilogaritma.Lihat
   tabel antilogaritma berikut ini.
               N        0        1        2       3         4          5     6       7    8      9
           .       ..
           .53      339         340 340          341       342     343       344   344   345     346
           .54      347         348 348          349       350     351       352   352   353     354


           .55      355          356     356 357           358     359       360   361   361     362
           .56      363         364     365      366       366     367       368   369   370     371
           .57      372         372 373          374       375     376       377   378   378     379
           .58      380         381     382      383       384     385       385   386   387     388
           .59      389         390 391          392      393          394   394   395   396     397
               .        .
               .        ..
           .99     1.000 1,000 1,000 1,000                1,000 1,000 1,000        1,000 1,000 1,000

                                       Tabel 2 . Tabel Antilogaritma




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..                Page 44
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

   Untuk menentukan besarnya bilangan yang dilogaritmakan atau numeris
   dengan tabel antilogaritma, digunakan langkah-langkah, sebagai berikut :

   Cari dua angka signifikan mantisa dalam kolom pertama.

   Cari satu angka terakhir pada mantisa dalam baris pertama.

   Tarik garis horizontal dari dua angka signifikan dan garis vertical dari
        satu angka mantisanya.
   Catatan :
   1) Untuk logaritma bilangan dengan nilai antara satu dan nol, ( 0 < x < 1 ),
        bentuk nilai 0, … maka mantisanya adalah satuan. Jadi x = satuan.
   2) Untuk logaritma bilangan dengan nilai antara 1 dan 9 , ( 1 < x < 9 ),
        bentuk nilainya 1, …. maka mantisanya adalah puluhan.

   4) Untuk nilai 2, …. maka mantisanya adalah ratusan dan seterusnya.
   Contoh :
   Dengan menggunakan tabel antilogaritma, tentukan besarnya bilangan yang
   dilogaritmakan yang hasilnya dalah sebagai berikut :
   i.   log x = 0,533                              iii. Log x = 1,567
   ii. log x = 2,561                            iv. log x = 3,598
   Jawab :
   i. log x = 0,533 … diduga bilangan yang dilogaritmakan adalah satuan.
            x = 3,41

   ii. log x = 2,561

           x = 364

   iii. log x = 1,567

             x =     36,9

   iv, log x = 3,598

              x = 3960



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 45
                                    MATEMATIKA DALAM MODUL

Lembar Kerja Siswa 4

   Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini :

    1. Tuliskan dalam bentuk logaritma soal-soal berikut :

                3
       a. 2  2 2
                            2

                        3
       b.        3 3           3

       Jawab :
                3
      a. 2 2  2            2       .....
                                              ..........  .....

                    3
      b.        3 3        3         ....
                                              ......... .......

   2. Tuliskan dalam bentuk bilangan berpangkat dari soal-soal berikut :
            ½
      a.        log 2 = - 1
            5
      b.        log 1/25 = -2

      Jawab :

      a.    1/2
                    log 2 = - 1                ……… = ……
      b.    5
                log 1/25 = -2                     ……… = ……
   3. Tentukan nilai x , untuk x bilangan real dari soal-soal di bawah ini :
      a. 3log 27 = x
      b. 5log 25 = x2 – 2
      c. 4. 2log 4 = 3 x - 1
      Jawab :
                                     …
      a.    3
                log 27 = x               log …… = x
                                              …
                                     …            log … = x
                                     … . …                = x
                                                  …
      b.    5
                log 25 = x2 – 2                       log …… = …… - 2
                                                   … …log … = …… - 2
                                                           …       = …… - 2
                                                   … + … = ……


     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 46
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

                                      …… = ……
                                       x   = …..
   c. 4. 2log 4 = 3 x – 1            4. …log …… = …… - 1
                                     4 . …..            = ….. - 1
                                     …… + 1             = x
                                               x        = …..
4. Tentukan x, jika x         bilangan real positif
  a. 2log ( 2log x ) = -1

  b. log ( x + 1 ) – log ( x – 1 ) = log 3

  c. 3log 2 + 3log ( x + 4 ) = 2

  Jawab :

       2
  a.       log ( 2log x ) = -1
                           = 2log ……               2
                                                       log x = ……
                                                            = …
                                                            = 2log ……
                                                        x   = …..
  b. log ( x + 1 ) – log ( x – 1 ) = log 3
                            log         = log ……

                                           …..


                   ……… x …….. = …..

                        ……. + …… = …..

                                    x = ….
   c. 3log 2 + 3log ( x + 4 ) = 2
                   3
                       log -----    = 3log ……
                         --------   = …….
                  ….. x ……          = ……..
                         …….        = ….




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 47
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

5. Nyatakan tiap bentuk berikut ini dengan menggunakan notasi logaritma :
   a. 35 = 243
   b. 70 = 1
   c. 2- 5 = 1/32
   d. 91/2 = 3
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
6. Nyatakan tiap bentuk berikut ini dengan menggunakan notasi eksponen :
        2
  a.        log ½ = -1
   b. log 100 = 2
        1/5
   c.         log 25 = -2
        1/2
   d.         log 1/64 = 6
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
7. Hitunglah nilai dari tiap logaritma berikut ini :
   a. 3log 729
        64
   b.       log ½
        V2
   c.        log 1/16
        1/2
   d.         log 1/128
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………….




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 48
                       MATEMATIKA DALAM MODUL



                                  RANGKUMAN
*Bilangan riil adalah semua bilangan
yang ada di alam yang dapat dihitung,
ditulis dan digambar yang terdiri atas
semua bilangan rasional dan irasional.

* Untuk setiap a,b,c       berlakulah :

a. Komutatif, terhadap operasi penjumla
   han dan perkalian. a * b = b * a
b. Asosiatif, terhadap operasi penjumla-
   han dan perkalian. a *(b*c) = ( a*b)*c
c. Distributif, perkalian terhadap penju-
   hand an pengurangan.
        a* ( b + c ) = a*b + a* c
        a* ( b – c ) = a* b – a* c
d. Memiliki identitas, I . a * I = I * a = a
e Mempunyai elemen invers, terhadap
   operasi penjumlagan dan perkalian.
   a * a-1 = a-1 * a = I




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 49
                            MATEMATIKA DALAM MODUL


  MODUL
    2



      Standar Kompetensi
           Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep
           aproksimasi kesalahan



      Kompetensi Dasar
         1. Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
         2. Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran


Tujuan Pemelajaran

Usai pemelajaran materi aproksimasi kesalahan kepada siswa diharapkan
akan menguasai, antara lain :
1. Melaksanakan kegiatan yang berbeda antara membilang dan mengukur.
2. Kegiatan pembacaan dan pembulatan hasil suatu pengukuran.
3. Menentukan besarnya salah mutlak suatu hasil pengukuran.
4. Menentukan besarnya salah relatif suatu hasil pengukuran.
5. Menentukan besarnya prosestase kesalahan.
6. Memberikan besarnya batas toleransi suatu ukuran.
7. Mencari batas-batas hasil pengukuran.
8. Menghitung jumlah maksimum dan minimum hasil pengukuiran.
9. Menghitung selisih maksimum dan minimum hasil pengukuran.
10.Menghitung hasil kali maksimum dan minimum hasil pengukuran.


Untuk mencapai tujuan kegiatan pemelajaran di atas maka diperlukan suatu
usaha yang menyeluruh dan mendalam tentang pengajaran materi-materi,
khususnya pada penerapan konsep ini pada dunia kerja yang ada. Memahami
materi konsep aproksimasi kesalahan akan sangat membantu bagaimana
seharusnya suatu ukuran atau pengukuran itu dilakukan.


      ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 50
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

A.Pengukuran


 Dalam kegiatan keseharian, kita sering diperhadapkan pada suatu perbua
 tan mengukur, membilang dan menghitung. Ketiganya nampak sama, tetapi
 sebenarnya ketiganya mempunyai perbedaan yang sangat mencolok. Untuk
 itu marilah sekarang kita kupas satu persatu, hal-hal yang tampak mirip
 tersebut di atas.


 1. Pengertian


   a. Mengukur
      Perhatikan dengan seksama kegiatan berikut ini. Coba kamu ukur
      berapa jengkal panjang meja dihadapanmu, sekarang gunakan buku
      untuk mengetahui panjang mejamu itu dan seterusnya. Ternyata untuk
      benda yang sama jika digunakan alat berbeda akan menghasilkan
      hasil yang berbeda pula. Dalam kegiatan itu dikatakan jengkal dan
      buku atau yang lainnya adalah alat yang digunakan untuk mengukur
      (mengetahui) panjang meja atau dengan kata lain berfungsi sebagai
      acuan / patokan / tolok ukur.
      Jadi mengukur adalah suatu kegiatan membandingkan antara suatu
      obyek ( benda yang ditera ) dan suatu patokan ( standar ) yang
      digunakan sebagai acuan pembakuan.
      Contoh :
      i. Panjang lantai adalah 15 ubin, disini ubin bertindak sebagai alat tera
      ii. Lebar ruang adalah 4 meter, disini alat teranya adalah meteran.


   b. Membilang
      Kegiatan lain yang hampir sama dengan mengukur adalah membilang.
      Membilang dalam keseharian disetarakan dengan menghitung adalah
      suatu kegiatan pasti ( eksak ) untuk menetapkan besarnya atau
      banyaknya suatu obyek.Didalam membilang biasa digunakan bilangan
      cacah, sehingga membilang sering disebut dengan mencacah.


     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 51
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

 c. Membulatkan
    Didalam melakukan suatu pengukuran ada kegiatan lain yang selalu
    menyertainya yaitu membulatkan, baik itu pada saat melakukan, atau
    pun pada saat meneranya. Jadi Membulatkan adalah suatu kegiatan
    mengukur maupun membilang baik dalam pembacaan, penulisan
    maupun mengoperasi hasil pengukuran ke sebuah angka tertentu
    yang dikehendaki atau kegiatan untuk menghapus/menghilangkan
    satu atau bebarapa angka untuk dijadikan satu ke angka yang
    dikehendaki.
    Pembulatan yang terjadi pada peristiwa pengukuran yang masih dapat
    diterima adalah berada pada batas-batas toleransi, selanjutnya disebut
    aproksimasi. Jadi aproksimasi adalah batas-batas toleransi yang
    dilakukan dan masih dapat disetujui pada suatu pembulatan.


2. Pembulatan


 a. Aturan Pembulatan
    Secara umum didalam melakukan pembulatan ada 2 aturan, sebagai
    berikut :
    1) Jika angka yang akan dibulatkan ( dihilangkan ) besarnya sama
        dengan lima atau lebih maka, dibulatkan menjadi satu dan ditam-
        bahkan ke angka di depannya.
    2) Jika angka yang akan dibulatkan kurang dari lima maka angka itu
        dibuang atau dihargai sama dengan nol.


    Contoh :
    i. 234,5638 dibulatkan menjadi 234,565                   angka 8 dibulatkan menjadi
                   1 dan ditambahkan ke angka 3.
    ii. 234,5638 dibulatkan menjadi 234,56                 angka 3 dihilangkan.
    iii.234,5638 dibulatkan menjadi 235               angka 5 dibulatkan menjadi 1
                    dan ditambahkan ke angka 4.




   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 52
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

b. Cara Pembulatan
  Untuk melakukan pembulatan ada 3 cara yang biasa digunakan, yaitu :
  pembulatan ke satuan ukuran terdekat, pembulatan ke banyaknya
  angka desimal, dan pembulatan ke banyaknya angka penting.
  1) Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat
      Satuan ukuran terdekat yang dimaksut adalah yang dikehendaki,
      yakni satuan ukuran tertentu. Dan semua bilangan yang akan
      dibulatkan biasanya berada di belakang koma, karena bilangan
      sebelum koma adalah angka satuan.


      Contoh :
      i. 123,456 m dibulatkan menjadi 123 m dibulatkan ke meter.
      ii. 123,456 m = 123,5 m dibulatkan ke dm atau ke 0,1 meter.
      iii. 123,456 m = 123,46 m dibulatkan ke cm atau ke 0,01 m.
  2) Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal.
      Desimal berarti basis sepuluh, bilangan yang kita gunakan dalam
      membilang adalah sepuluh. Angka desimal disini yang dimaksut
      adalah bilangan persepuluhan atau angka-angka dibelakan koma.
      Perhatikan nilai basis berikut ini :
      Bilangan a b c , d e f nilai lokasinya adalah
                                 menyatakan seperseribuan = 0,001 = 10-3
                                 menyatakan seperseratusan = 0,01 = 10-2
                                 menyatakan sepersepuluhan = 0,1 = 10-1
                                 menyatakan satuan = 100
                                 menyatakan puluhan = 101 dan seterusnya.
      Selanjutnya untuk memudahkan pembahasan, yang dimaksut
      dengan angka decimal adalah banyaknya angka di belakang koma.
      Contoh :
      i. 234,456 kg dibulatkan menjadi 234,5 kg pembulatan ke-1 angka
                         desimal
      ii. 234,456 m dibulatkan menjadi 234,46 m pembulatan ke-2 angka
                        desimal.



 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 53
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

 3) Pembulatan ke Banyaknya Angka Penting
     Angka penting atau angka signifikan adalah angka berarti. Asumsi
     yang dipakai bahwa semua angka pada dasarnya adalah angka
     penting. Secara umum ada dua kelompok angka penting, yaitu :
     a) Angka Bukan Nol
          Semua angka yang bukan angka nol adalah angka penting.
          Contoh :
          i. 2,456 cc mempunyai 4 angka penting
          ii. 12,516 kg mempunyai 5 angka penting
          iii. 124,321 m mempunyai 6 angka penting.
     b) Angka Nol
          Untuk angka nol berlaku 4 ketentuan khusus, sebagai berikut :
             Semua angka nol yang berada diantara angka penting
             adalah angka penting.
             Contoh :
             i. 2,301605 km mempunyai 7 angka penting
             ii. 30,0001 g mempunyai 6 angka penting
             iii. 5,102 cc mempunyai 4 angka penting.
             Semua angka nol di belakang angka angka penting hasil
             pembulatan adalah angka penting.
             Contoh :
             i. 4,300 kg mempunyai 4 angka penting, nol di belakang
                              koma menunjukkan bahwa berat diukur ke perse
                              ribuan kilogram terdekat.
             ii. 102,30 m mempunyai 5 angka penting, angka nol yang ter
                              akhir menunjukkan bahawa panjang diukur hing-
                              ga perseratusan meter terdekat = 1 cm.
             Semua angka nol di belakang angka penting adalah bukan
             angka penting, kecuali yang diberi tanda khusus.
             Contoh :
             i. 32,40 m mempunyai 3 angka penting.
             ii. 451,2300 kg mempunyai 7 angka penting.



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 54
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

                       Semua angka nol di depan angka penting adalah bukan
                       angka penting.
                       Contoh :
                       i. 0,0315 l mempunyai 3 angka penting
                       ii. 0,203 kg mempunyai 3 angka penting.


Lembar Kerja Siswa 1


Kerjakan soal-soal berikut ini dengan jelas dan benar !
1. Sebutkan persamaan dan perbedaan antara mengukur dan membilang.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


2. Bulatkan hasil-hasil pengukuran berikut ini ke satuan terdekat yang
   dikehendaki
   a. 543,0012 kg dibulatkan ke g = …….
   b. 32,4535 m dibulatkan ke cm = ……
   c. 4,6328 cc dibulatkan ke sepersepuluh cc terdekat = …..
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


3. Bulatkan angka-angka berikut ke banyaknya angka disimal dimaksut.
   a. 35,71523 l = …….. pembulatan ke 2 angka desimal
   b. 654,3172 g = ……. pembulatan ke 3 angka desimal
   c. 401,5062 m = …… pembulatan ke 2 angka desimal.
   Jawab :


    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 55
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


4. Bulatkan angka-angka hasil pengukuran berikut ini ke banyaknya angka
   penting yang dimaksut.
   a. 15,05200 m = ……. pembulatan hingga ke 4 angka penting.
   b. 0,20300 kg = ……. pembulatan hingga ke 2 angka penting.
   c. 0,002010 cc = …… pembulatan hingga ke 4 angka penting.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


5. Tuliskan banyaknya angka penting dari hasil pengukuran berikut ini :
   a. 712,00301 kg
   b. 4,01200 cc
   c. 5,32400 m
   d. 0,0031200 detik
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 56
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

B. Kesalahan


 1. Pengertian
   Kesalahan adalah adanya perbedaan atau selisih antara ukuran obyek
   yang sebenarnya dan hasil pengukuran. Pada waktu kita melakukan
   pengukuran akan selalu terdapat perbedaan ( kesalahan ) meski secang
   gih apapun alat yang digunakan. Penyebab adanya kesalahan itu antara
   lain adalah ;
   a. Alat ukur yang digunakan
       Semakin kecil ukuran skala pada alat ukur yang dipakai semakin teliti
       alat tersebut, karena pendekatan yang digunakan semakin dekat
       dengan kebenaran.
       Contoh :
       i. 3,530 detik ( diukur hingga seperseribu detik ) lebih teliti dibanding-
          kan dengan 3,53 detik ( diukur hingga seperseratus detik ).
       ii. 4,05 meter ( diukur hingga cm ) lebih teliti dibandingkan dengan 4,5
          meter ( diukur hingga dm ).
   b. Obyek yang diukur
       Obyek atau benda yang akan diukur bentuk dan sifat yang ada
       padanya akan mempengaruhi hasil pengukuran. Benda yang datar
       akan lebih mudah dikur dibandingkan benda yang tidak teratur. Benda
       yang padat lebih mendekati benar bila diukur dibandingkan benda
       yang kenyal atau cair.
   c. Subyek atau pelaku
       Tingkat kecerdasan dan ketelitian subyek atau orang yang melkukan
       pengukuran akan mempengaruhi hasil pengukuran.
   d. Keadaan
       Situasi dan kondisi saat pengukuran mempunyai pengaruh yang
       cukup besar dalam hasil pengukuran. Situasi yang tidak menentu
       seperti kondisi alam, kondisi pengukur seperti emosi dan lain-lain turut
       berpengaruh dalam hasil pengukuran.



     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 57
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

2. Macam Kesalahan
 Didalam setiap pengukuran, baik itu saat membaca alat ukur maupun
 saat menuliskan hasilnya selalu terdapat suatu kesalahan. Kesalahan-
 kesalahan itu ada yang pasti ( mutlak ) karena dibuat, dan adapula yang
 tidak pasti ( relatif ) atau nisbi atau semu karena tersamar.


 a. Kesalahan Mutlak, SM
     1) Pengertian
         Kesalahan mutlak adalah suatu kesalahan dalam pengukuran
         yang pasti terjadi baik itu saat pembacaan, penulisan maupun saat
         mengoperasikan hasil pengukurannya. Kesalahan mutlak biasa di
         beri notasi “ SM “.
     2) Besarnya Salah Mutlak
         Setiap kali kita melakukan pengukuran pasti ada kesalahan mutlak
         nya yang besarnya adalah seperdua dari satuan ukuran terkecil
         yang digunakan sebagai acuan tera. Karena pada saat orang
         mengukur atau membaca skala selalu menggunakan bila hasilnya
         kurang dari seperdua ukuran maka dibuang. Dan sebaliknya bila
         hasilnya lebih dari setengah ukuran teranya maka dibulatkan satu.
         Jadi besarnya kesalahan mutlak adalah :

                                              SM =        SUT

         Keterangan :
                      SM = Salah Mutlak
                      SUT = Satuan ukuran terkecil yang digunakan menera.
         Catatan :
         Satuan ukuran terkecil dapat dilihat ( ditujukkan oleh ) pada nilai
         letak dari angka terakhir hasil pengukuran.
         Contoh :
         Tentukan kesalahan mutlak dari hasil-hasil pengukuran berikut ini ;
         i. 5,317 m
         ii. 162,65 kg


   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 58
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

      Jawab :
      i. 5,317 m , SUT nya adalah seperseribu meter atau 0,001 m
                           ( nilai letak dari posisi angka terakhir )
                           SM = ½ x 0,001 m
                                = 0,0005 m
                           Jadi salah mutlak dari 5,317 m adalah 0,0005 m.
      ii.    162,65 kg , SUT nya seperseratus kg atau 0,01 kg
                           SM = ½ x 0,01 kg
                                = 0,005 kg
                           Jadi salah mutlak dari 162,65 kg adalah 0,005 kg.
  3) Batas-batas Kesalahan Mutlak
      Selanjutnya antara hasil pengukuran dan kesalahan mutlaknya
      biasa dituliskan secara bersamaan dengan bentuk, sebagai berikut

                                     Hasil = HP         SM

      Bentuk di atas biasa disebut sebagai batas-batas pengukuran,
      dengan ketentuan, sebagai berikut :
      Batas atas pengukuran , BA = HP + SM dan
      Batas bawah pengukuran, BB = HP – SM
      Contoh :
      Tentukan batas-batas pengukuran dari hasil pengukuran berikut ini
      i. 17,03 g
      ii. 5,312 m
      Jawab :
      i. 17,03 g       SUT = 0,01 g
                        SM = ½ x 0,01 g
                             = 0,005 g
                        BA = 17.03 g + 0,005 g
                             = 17,035 g
                        BB = 17,03 g – 0,005 g
                             = 17,025 g
            Jadi batas dari 17,03 g adalah 17,035 g dan 17,025 g.


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 59
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

       ii. 5,312 m        SUT = 0,001 m
                         SM = ½ x 0,001 m
                               = 0,0005 m
                         BA = 5,312 m + 0,0005 m
                              = 5,3125 m
                         BB = 5,312 m – 0,0005 m
                              = 5,3115 m
              Jadi batas-batas dari 5,312 m adalah 5,3125 m dan 5,3115 m


b. Kesalahan Relatif, SR
   1) Pengertian
       Kesalahan relatif atau kesalahan nisbi adalah suatu kesalahan
       yang tidak pasti, sesuatu kelihatan seperti wajar tidak bernoda teta
       pi bila dicermati dengan seksama ternyata ada suatu kesalahan
       didalamnya. Kesalahan ini menjadi tersamar dan kecil bahkan bila
       dibandingkan dengan hasil pengukurannya yang cukup besar dan
       dengan satuan ukurannya yang kecil maka kesalahan ini menjadi
       hamper nihil ( nisbi ).
   2) Nilai Salah Relatif
       Kesalahan relatif adalah suatu nilai perbandingan antara besar
       kesalahan relatif dan hasil pengukurannya.
       Jadi besarnya kesalahan relatif suatu hasil pengukuran adalah :

                           SR =

       Contoh :
       Hitung besarnya kesalahan relatif dari suatu pengukuran berikut ini
       i. 12,50 m
       ii. 45 kg
       Jawab :
       i. 12,50 m          SUT = 0,01 m
                           SM = ½ x 0,01 m
                                 = 0,005 m


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 60
                       MATEMATIKA DALAM MODUL


                            SR =

                                 =

                                 = 0,0004
           Jadi salah relatif dari 12,50 m adalah 0,0004
       ii. 45 kg          SUT = 1 kg
                         SM = ½ x 1 kg
                                = 0,5 kg
                         SR =

                                =

                               = 0,011
           Jadi salah relatif dari 45 kg adalah 0.011 .


c. Prosentase Kesalahan , PK
   Besarnya kesalahan dari hasil suatu pengukuran biasanya disajikan
   dalam, bentuk prosentase atau desimal perseratusan.Nilai prosentase
   kesalahan sama dengan besarnya salah relative kali seratus persen.
   Jadi prosentase kesalahan adalah :
                                                   atau
                     PK = SR x 100 %                              PK =       x 100 %

   Contoh :
   Tentukan prosentase kesalahan dari hasil pengukuran berikut ini :
   i. 258,75 kg
   ii. 0,25 cc
   Jawab :
   i. 258,75 kg           SUT = 0,01 kg
                         SM = ½ x 0,01 kg
                               = 0,005 kg
                          SR =

                                =

                               = 1,9324 . 10-5


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 61
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                         PK = SR x 100 %
                              = 1,9324 . 10-5 x 100 %
                              = 1,9324 . 10-3 %
                              = 0,019 %
   ii. 0,25 cc        SUT = 0,01 cc
                       SM = ½ x 0,01 cc
                             = 0,005 cc
                       SR =

                             =

                             = 0,02
                       PK = SR x 100 %
                            = 0,02 x 100 %
                            = 2%
      Jadi prosentase kesalahan dari 0,25 cc adalah 2 %.


d. Toleransi
   Satu hal hal lagi yang juga sangat diperlukan dalam setiap proses
   pengukuran, yaitu suatu batasan yang masih dapat diakui kebenaran-
   nya serta masih dianggap sahih. Nilai batasan itu disebut toleransi.
   Jadi Toleransi adalah batas-batas mana suatu pengukuran itu masih
   dapat diterima, yaitu selisih antara batas atas pengukuran dan batas
   bawah pengukuran. Selanjutnya dapat dituliskan :

                             Toleransi = BA - BB

   Toleransi =        BA       -      BB
               = (HP + SM) – (HP - SM)
               = 2 SM
               = SUT
   Jadi Toleransi besarnya sama dengan dua kali kesalahan mutlak dan
   sama dengan satuan ukuran terkecil yang digunakan dalam
   pengukuran.



 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 62
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

  Contoh :
  Hitunglah besarnya toleransi dari hasil-hasil pengukuran berikut ini :
  i. 15,025 m
  ii ( 17,5     0,25 ) cc
  Jawab :
  i. 15,025 m        SUT = 0,001 m
                      SM = ½ x 0,001 m
                           = 0,0005 m
                      BA = HP + SM
                           = 15,025 m + 0,0005 m
                           = 15,0255 m
                      BB = HP – SM
                           = 15,025 m – 0,0005 m
                           = 15,0245 m
               Toleransi = BA – BB
                           = 15,0255 m – 15,0245 m
                           = 0,001 m = SUT
      Jadi toleransi dari 15,025 m = 0,001 m = Satuan ukuran terkecil.
  ii. ( 17,5     0,25 ) cc      Toleransi = BA – BB
                                            = (17,5 + 0,25 ) – ( 17,5 – 0,25 ) cc
                                            = 0,50 cc
      Jadi toleransi dari ( 17,5         0,25 ) cc adalah 0,50 cc.
      Catatan :
              * 0,25 cc adalah besarnya kesalahan mutlak .
              * Toleransi ternyata dapat juga dicari dengan cara :
               Toleransi = 2 x SM
                           = 2 x 0,25 cc
                           = 0,50 cc.
  Dapat disimpulkan bahwa besarnya toleransi dari suatu pengukuran
  atau batas-batas hasil pengukuran yang masih diperkenankan dalam
  suatu pengukuran besarnya                adalah sama dengan satuan ukuran
  terkecil yang digunakan atau dibawahnya.


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 63
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

  Lembar Kerja Siswa 2


  Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
  1. Tentukan satuan pengukuran terkecil dari hasil-hasil pengukuran
      di bawah ini :
      a. 125 m
      b. 12,05 cc
      c. 12,0 kg
      d. 12,005 dt
      Jawab :
      a. 125 m satuan ukuran terkecilnya adalah ………………………
      b. 12,05 cc satuan ukuran terkecilnya adalah ……………………
      c. 12,0 kg satuan ukuran terkecilnya adalah …………………….
      d. 12,005 dt satuan ukuran terkecilnya adalah ………………….
  2. Hitunglah salah mutlak, salah relative, dan prosentase kesalahan
      dari hasil-hasil pengukuran berikut ini :
      a. 4,5 kg
      b. 30 m
      c. 2,50 cc
      Jawab :
      a. Hasil pengukuran 4,5 kg
           Satuan ukuran terkecil = ………………
           Salah mutlak                   = ……………...
           Salah relatif                 = ………………
           Prosentase kesalahan = ………………
      b. Hasil pengukuran 30 m
           Satuan ukuran terkecil = ……………..
           Salah mutlak                  = ……………..
           Salah relatif                 = ……………..
           Prosentase kesalahan = …………….
      c. Hasil pengukuran 2,50 cc
           Satuan ukuran terkecil = ……………..


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 64
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

           Salah mutlak                    = ………………
           Salah relatif                   = …………..….
           Prosentase kesalahan = ………….…..
  3. Jangkauan pengukuran antara 8,8 m dan 9,4 m mempunyai
      toleransi 0,6 m dapat ditulis ( 9,1                0,3 ) m. Dengan cara yang
      sama, tentukanlah toleransinya dan nyatakan dengan bentuk yang
      sama pula untuk ukuran-ukuran berikut ini :
      a. 15,3 cc sampai 16,3 cc
      b. 25,2 kg sampai 26,06 kg
      c. 10,20 m sampai 11,82 m
      Jawab :
      a. Toleransi             = …….. - …….. = ……
           Jangkauan           = ( ……          …… )
                               = ( .…..        …… )
      b. Toleransi             = …….. - ……... = …..
           Jangkauan           = ( ……          …... )
                               = ( ……          …… )
      c. Toleransi             = ……… - ……. = ……
           Jangkauan           = ( …….          …… )
                              = ( …….           …… )
  4. Diketahui hasil suatu pengukuran adalah 15,015 ton. Hitunglah :
      a. Salah mutlak
      b. Salah relatif
      c. Prosentase kesalahan
      d. Toleransinya.
      Jawab :
      Hasil pengukuran = 15,015 ton
      SUT                    = …….
      a. Salah mutlak = ½ x ……. = .……
      b. Salah relatif        =               = …….

      c. Prosentase kesalahan = ……. x …. % = ….. %
      d. Toleransi            = 2 x ……. = …….


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 65
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

C. Operasi Hasil Pengukuran


  1. Operasi Penjumlahan


     a. Pengertian
          Dua atau lebih hasil pengukuran jika dijumlahkan, maka akan
          diperoleh batas-batas penjumlahan yang mungkin dihasilkan, yaitu
          jumlah terbesar (maksimum) dan jumlah terkecil (minimum). Antara
          jumlah terbesar dan jumlah terkecil itulah hasil penjumlahan suatu
          pengukuran yang masih dianggap sahih.


     b. Hasil Penjumlahan
          Di atas sudah disebutkan bahwa setiap hasil pengukuran pasti ada
          salah mutlaknya, sehingga diperoleh hasil pengukuran maksimum
          dan hasil pengukuran minimum. Karena hasil pengukuran ada dua
          macam, maka bila dilakukan penjumlahan juga ada dua hasil,yaitu :
          1) Hasil penjumlahan maksimum
              Jumlah terbesar adalah hasil pengukuran terbesar ditambah
              hasil pengukuran terbesar, dan salah mutlaknya sama dengan
              salah mutlak hasil pengkuran semula.
              Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :

                               Jumlahmaks = HP1 maks + HP2 maks

          2) Hasil penjumlahan minimum
              Jumlah terkecil adalah hasil pengukuran terkecil ditambah hasil
              pengukuran terkecil.
              Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :

                                  Jumlahmin = HP1 min + HP 2 min

              Selanjutnya batas-batas penjumlahan dari dua hasil pengukuran
              dapat digambarkan secara diagram panah, sebagai berikut :



     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 66
                       MATEMATIKA DALAM MODUL


                        HP 1 maks
           HP1
                                                         Jumlah maks = HP1 maks + HP2 maks
                        HP 1 min


                        HP 2 maks
          HP2                                              Jumlah min = HP1 min + HP2 min
                        HP 2 min


          Contoh :
          Tentukan jumlah maksimum dan minimum dari hasil-hasil
          pengukuran berikut ini :
          i. 15,3 m dan 17,7 m
          ii. ( 20,5     1,2 ) cc dan ( 22,2         0,6 ) cc.
          Jawab :
          i. HP1 = 15,3 m                                 HP2 = 17,7 m
             SUT1 = 0,1 m                                SUT2 = 0,1 m
             SM1 = 0,05 m                                SM2 = 0,05 m
             HP1 maks = 15,3 m + 0,05 m                   HP2 maks = 17,7 m + 0,05 m
                        = 15,35 m                                    = 17,75 m
             HP1 min = 15,3 m – 0,05 m                    HP2 min = 17,7 m – 0,05 m
                        = 15,25 m                                    = 17,65 m
             Jumlah maks = HP1 maks + HP2 maks
                            = 15,35 m + 17,75 m
                            = 33,10 m
             Jumlah min = HP1 min + HP2 min
                            = 15,25 m + 17,65 m
                            = 32,90 m
             Jadi jumlah maksimum dari 15,3 m dan 17,7 m = 33,10 m ,
             minimumnya = 32,90 m. Jadi batas-batas penjumlahannya
             adalah 33,10 meter dan 32,90 meter.
          ii. ( 20,5    1,2 ) cc + ( 22,2        0,6 ) cc =
             Jumlah maks = ( 20,5 + 1,2 ) + ( 22,2 + 0,6 )


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..      Page 67
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

                               = 21,7 + 22,8
                               = 44,5 cc
               Jumlah min       = ( 20,5 – 1,2 ) + ( 22,2 – 0,6 )
                                = 19,3 + 21,6
                                = 40,9 cc
               Jadi jumlah maksimum dari ( 20,5                 1,2 ) + ( 22,2     0,6 ) cc
               adalah 44,5 cc dan minimumnya adalah 40,9 cc. Jadi batas-
               batas penjumlahannya adalah 44,5 cc dan 40,9 cc.


2. Operasi Pengurangan


  a. Pengertian
       Jika dua atau lebih hasil pengukuran akan dikurangkan, maka
       batas-batas pengurangan yang ada adalah selisih terbesar dan
       selisih terkecil. Sebagai asumsinya selisih terbesar tentu jika ukuran
       paling besar dikurangi dengan ukuran paling kecil. Dan sebaliknya
       selisih terkecil akan diperoleh jika ukuran paling besar terkecil
       dikurangi ukuran paling kecil terbesar, artinya bersilang.


  b. Hasil Pengurangan
       Karena di atas sudah disebutkan bahwa operasi pengurangan berla
       ku silang, maka akan lebih mudah dipahami jika dipakai batas-batas
       pengukurannya. Hasil pengurangan terbesar atau selisih terbesar
       adalah selisih antara batas atas terbesar dan batas bawah terendah
       Dan hasil pengurangan terkecil adalah selisih antara batas atas ter-
       kecil dan batas bawah terbesar. Salah mutlak hasil pengurangan
       sama dengan salah mutlak hasil-hasil pengukuran semula.
       Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :
       1) Selisih Terbesar
                                     Selisih maks = BAmaks - BBmin

       2) Selisih Terkecil
                                     Selisih min       = BA min - BB maks



  ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 68
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

        Selanjutnya batas-batas operasi pengurangan dapat ditunjukkan
        dengan diagram panah, sebagai berikut :

                     BA maksimum

                                                                    Selisih maksimum
                     BA minimum

                                                                    Selisih minimum
                     BB maksimum

                     BB minimum



           Contoh :
           Tentukan batas-batas selisih dari hasil pengukuran berikut ini :
           i. 15,3 m dan 17,7 m
           ii. ( 20,5    1,2 ) cc dan ( 22,2         0,4 ) cc
           Jawab :
           i. 15,3 m         HP1 maks = 15,35 m             BB maks
                            HP1 min = 15,25 m              BB min
              17,7 m         HP2 maks = 17,75 m           BA maks
                             HP2 min = 17,65 m            BA min
              Selisih maks = BA maks – BB min
                              = 17,75 m – 15,25 m
                             = 2,50 m
              Selisih min     = BAmin - BBmaks
                              = 17,65 m – 15,35 m
                              = 2,30 m
              Jadi batas-batas selisih antara 15,3 m dan 17,7m adalah
               2,50 m dan 2,30 m.
           ii. HP1 = ( 20,5        1,2 ) cc     HP1 maks = 21,7 cc           BB maks
                                              HP1 min     = 20,3 cc        BB min
              HP2 = ( 22,2         0,4 ) cc     HP2 maks = 22,8 cc          BA maks
                                               HP2 min = 21,8 cc           BA min


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..         Page 69
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

                Selisih maks = BA maks - BB min
                                = 22,8 cc – 20,3 cc
                                = 2,5 cc
                Selisih min      = BA min – BB maks
                                = 21,8 cc – 21,7 cc
                                = 0,1 cc
                Jadi batas-batas selisih dari (20,5             1,2) cc dan (22,2     0,4)
                 cc adalah 2,5 cc dan 0,1 cc.


3. Operasi Perkalian


   a. Pengertian
       Dua atau lebih hasil pengukuran dapat pula dkalikan atau diganda-
       kan. Karena sifat perkalian bilangan real sama dengan penjumlahan
       maka seperti halnya pada penjumlahan perkalian hasil pengukuran
       akan berlaku lurus. Artinya hasil perkalian terbesar akan diperoleh
       jika hasil pengukuran terbesar dikali dengan hasil pengukuran
       terbesar. Sebaliknya hasil perkalian terkecil akan diperoleh jika hasil
       pengukuran terkecil dikali hasil pengukuran terkecil.


   b. Hasil Perkalian
       Di atas sudah digambarkan bahwa operasi perkalian pada hasil-
       hasil pengukuran berlaku lurus, mudahnya besar kali besar
       menghasilkan paling besar dan kecil kali kecil menghasilkan paling
       kecil. Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :
       1) Hasil Kali Terbesar
                               Hasil Kali maks = HP1 maks x HP2 maks


       2) Hasil Kali Terkecil

                               Hasil Kali min = HP1 min x HP2 min




  ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 70
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

    Selanjutnya batas-batas hasil perkalian dua buah hasil pengukuran
    dapat digambar dengan diagram panah, sebagai berikut :
                          HP1 maks
                                                                   Hasil Kali maksimum
                           HP1 min


                          HP2 maks                                 Hasil Kali minimum
                                                                   minimum
                           HP2 min


    Contoh :
    Tentukan batas-batas luas persegi panjang yang panjang sisinya
    i. 12 cm dan 20 cm
    ii. ( 10,4      0,6 ) cm dan ( 20,2         0,8 ) cm
    Jawab :
    i. p = 12 cm          pmaks = 12 cm + 0,5 cm
                                = 12,5 cm
                         pmin = 12 cm – 0,5 cm
                                =11,5 cm
        l = 20 cm         l maks = 20,5 cm
                         l min = 19,5 cm
        Luasmaks = pmaks x l maks
                     = 12,5 cm x 20,5 cm
                     = 256,25 cm2
        Luasmin      = pmin x l min
                     = 11,5 cm x 19,5 cm
                     = 224,25 cm2
        Jadi batas-batas luas persegi panjang dengan sisi 12 cm dan 20
        cm adalah 256,25 cm2 dan 224,25 cm2 .
    ii. p = ( 10,4       0,6 ) cm      pmaks = 10,4 cm + 0,6 cm
                                              = 11,0 cm
                                      pmin = 10,4cm – 0,6 cm
                                              = 9,8 cm


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..    Page 71
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

        l = ( 20,2      0,8 ) cm        l maks = 20,2 cm + 0,8 cm
                                               = 21,0 cm
                                       l min   = 20,2 cm + 0,8 cm
                                               = 19,4 cm
        Luasmaks = pmaks x l maks
                     = 11,0 cm x 21,0 cm
                     = 231,00 cm2
        Luasmin       = pmin x l min
                     = 9,8 cm x 19,4 cm
                     = 190,12 cm2.
        Jadi batas-batas luas daerah persegi panjang yang mempunyai
        sisi ( 10,4       0,6 ) cm dan ( 20,2          0,8 ) cm adalah 231,00 cm2
        dan 190,12 cm2.


 Lembar Kerja Siswa 3


 Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini :
  1. Hitunglah jumlah maksimum dan minimum serta hitung pula salah
      mutlaknya dari hasil-hasil pengukuran berikut ini :
      a. 5 g dan 9 g
      b. 5,5 m dan 17,3 m
      c. 25,0 cc dan 20,80 cc
      Jawab :
      a. Ukuran pertama             =5g                       Ukuran kedua = 9 g
           HP1 maks                = 5,5 g                    HP2 maks           = …..
           HP1 min                  = 4,5 g                    HP2 min           = …..
           Jumlah maksimum = ………. + ……… = …..
           Jumlah minimum = ………. + ……... = …..
           Salah mutlak            = ……… + ……… = ……
      b. Ukuran pertama                = …………                  Ukuran kedua         = …..
           HP1 maks                  = …………                   HP2 maks             = …..
           HP1 min                   = …………                   HP2 min              = …..


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..      Page 72
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

           Jumlah maksimum = ………...
           Jumlah minimum            = …………
           Salah mutlak              = …………
      c. Ukuran pertama               = …………                   Ukuran kedua       = …..
           HP1 maks                  = …………                   HP2 maks           = …..
           HP2 min                  = …………                   HP2 min             = …..
           Jumlah maksimum = ………… + ………. = ………
           Jumlah minimum            = ………… + ………. = ……….
           Salah mutlak              =…          = ..………

  2. Seutas tali sepanjang 128 m dipotong menjadi 4 bagian dengan
      panjang masing-masing adalah 38 cm, 38 cm, 26 cm dan 26 cm.
      Keempat potongan tali selanjutnya dibentuk menjadi segi empat
      persegipanjang, hitunglah :
      a. Luas maksimum
      b. Luas minimum
      c. Keliling maksimum
      d. Keliling minimum
      Jawab :
      Tali potongan panjang = 38 m
      Salah mutlak              =           = ………….

      Panjang maksimum = ……. + …….. = …….
      Panjang minimum = ……. - …..…. = ……
      Tali potongan lebar = 26 m
      Salah mutlak              =           = ………….

      Lebar maksimum            = ……... + ……. = ……
      Lebar minimum             = ……… - ……. = ……
      a. Luas maksimum = …….. x ……… = …….
      b. Luas minimum = …….. x ……… = …….
      c. Keliling maksimum = …. ( ….. x ….. ) = ….
      d. Keliling minimum = …. ( ….. x ….. ) = …..
  3. Balok sepanjang 35 cm dipotong sepanjang 1,6 cm. Tentukan
      panjang sisa balok yang mungkin.


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..    Page 73
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

      Jawab :
      Panjang balok = 35 cm
      Salah mutlak = ……….
      Panjang maksimum = ………. + …….. = …….
      Panjang minimum              = ………. - …….. = …….
      Dipotong           = 1,6 cm
      Potongan maksimum = ……… + ……… = ……
      Potongan minimum             = ………. - ……… = ……
      Sisa maksimum                = ……. - ……… = ………
      Sisa minimum                 = ……. - ……… = ………
  4. Tiga batang kawat masing-masing 5,25 cm; 7,6 cm; dan 9 cm
      disambung dengan las menjadi satu. Hitung batas-batas panjang
      kawat yang mungkin !
      Jawab :
      p1 = 5,25 cm                   p2 = 7,6 cm                    p3 = 9 cm
      pi maks = …. + … = …           p2 maks = ….+….= ….. p 3maks = ... + ... = …
      P1 min = …. - …. = …           p2 min = … - … = …            p3 min = … - … = …
      Jumlahmaks = ….. + ….. + ….. =…..
      Jumlah min = ….. + ….. + ….. = …..
  5. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 17,0 cm. Hitung
      batas-batas keliling yang mungkin !
      Jawab :
      Panjang sisi = 17,0 cm
      Pmaks = …. + ….. = …..
      Pmin = …. - ….. = …..
      Keliling maks = ….. + ….. + …..
                       = …….
      Keliling min = …… + ….. + ….
                       = …….




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 74
                      MATEMATIKA DALAM MODUL


                                 Rangkuman

 Membilang atau menghitung                  Operasi penjumlahan
 adalah sesuatu kegiatan yang                 *Jumlah maks = HP1 maks + HP2 maks
 hasilnya eksak atau nyata, misal             *Jumlah min = HP1 min + HP2 min
 menghitung banyaknya komputer di            Operasi pengurangan
 ruang laboratorium.                          *Selisih maks = BA maks - BB mijn
 Mengukur adalah suatu kegiatan              *Selisih min = BA min - BB maks
 membandingkan antara obyek atau             Operasi perkalian
 benda yang diukur dan suatu acuan            *Hasil kali maksimum = luas maks
 atau alat yang digunakan untuk                Luas maks = HP1 maks x HP2 maks
 menera.                                      *Hasil kali miminum = luas min
 Pembulatan atau pendekatan                   Luas min = HP1 min x HP2 min
 yang disebut aproksimasi adalah
 suatu kegiatan dalam pembacaan,                    HP 1 maks
                                                                          Jml maks
 pencataan atau pengoperasian hasil
 pengukuran ke suatu angka yang                     HP 1 min

 dikehendaki. Pendekatan berarti                                          Jml min
                                                    HP 2 maks
 kesalahan yang disengaja. Ada 3
 cara         pembulatan,       yaitu               HP 2 min
 pembulatan:
 * Ke satuan ukuran terdekat
                                                    BA maks
 * Ke banyaknya angka desimal, dan
 * Ke banyaknya angka penting atau                                        Sls maks
                                                    BA min
   signifikan.
 Salah mutlak adalah suatu                                               Sls min
 kesalahan yang pasti terjadi yang                  BB maks

 besarnya seper- dua dari satuan
 ukuran terdekat yang digunakan.                    BB min

 Salah relatif atau nisbi adalah su
 atu kesalahan yang tidak pasti yang                HP 1 maks
 merupakan perbandingan antara sa
 lah mutlak dan hasil pengukurannya                                       Luas maks
                                                    HP 1 min
 Prosentase kesalahan adalah
 salah relatif kali 100 %.                          HP 2 maks             Luas min
 SM = ½ HP , SR =           , PK = SR
 .100%                                              HP 2 min
 Toleransi adalah selisih antara ha
 sil pengukuran terbesar dan
 terkecil.
 Toleransi = HPmaks - HP min



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..        Page 75
                      MATEMATIKA DALAM MODUL



                               Peta Konsep

                                   APROKSIMASI




        Pembulatan                     Kesalahan               Operasi Hasil
                                      Pengukuran               Pengukuran




   Mengukur              Salah Mutlak                       Penjumlahan

                                                               Jmax = Hmaks + Hmaks

                                                               Jmin = Hmin + Hmin

                         Salah Relatif                      Pengurangan
    Membilang

                                                             Smax = BAmax - BBmin

                                                               Smin = BAmin - BBmax

                         Prosentase                         Perkalian
         Cara            Kesalahan
     Pembulatan
    *Ke SUT                                                 Lmax = HP 1 max x HP 2max
    *Ke Desimal
    *Ke Angka
     Penting              Toleransi                         Lmin = HP1 min x HP2 min




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..          Page 76
                          MATEMATIKA DALAM MODUL


Penilaian Kompetensi

Kompetensi : Aproksimasi Kesalahan
Program          : Teknologi Komputer dan Jaringan
Kelas/Smt       : X/1
Waktu           : 90 menit
Kerjakan soal-soal berikut dengan singkat dan benar !
1. Tentukan batas pengukuran yang dapat diterima ( toleransi ) dari hasil
  pengukuran 15,7 m dengan toleransi 0,08 m !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


2. Sebuah botol dengan volume 2 liter soda akan dipindahkan ke botol-botol
  kecil yang bervolume 15 ml. Hitunglah sisa air soda dalam botol yang
  mungkin !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


3. Suatu pengukuran menghasilkan 4,51738 kg. Tuliskan dalam :
  a. 3 angka penting
  b. Gram terdekat
  c. Dua angka decimal
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 77
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

  ……………………………………………………………………………………


4. Sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang 15,8 cm dan lebar 5 cm.
  Hitunglah batas-batas luasnya !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


5. Jangkauan hasil pengukuran yang dapat diterima adalah (17,58                       0,68)
  g. Tentukanlah :
  a. Batas-batas pengukurannya.
  b. Toleransinya.
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


6. Hitung besarnya salah relative dan prosentase kesalahannya dari hasil
  pengukuran berikut ini :
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


7. Suatu pengukuran mempunyai salah mutlak 0,08 m. Bila prosentase
  kesalahannya 7,5 %, maka tentukan hasil pengukurannya !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………


    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 78
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


8. Hasil pengukuran sebuah balok adalah ( 5,0                   0,15 ) m. Jika balok itu di
  potong sepanjang ( 3,25            0,68 ) m, maka tentukan batas-batas sisanya !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


9. Hitung keliling suatu segitiga dengan ukuran panjang : 14,5 cm ; 13 cm ;
  dan 1,82 cm !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


10.Sebuah kawat baja sepanjang 5,60 m dipotong masing-masing 2,05 m ;
  1,73 m ; dan 1,82 m. Potongan kawat dirangkaikan membentuk sebuah
  segitiga. Hitunglah :
  a. Batas-batas luasnya.
  b. Batas-batas kelilingnya.
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 79
                             MATEMATIKA DALAM MODUL




                        Alokasi Waktu : 40 x 45 menit

   Standar Kompetensi
                   Memecahkan masalah berkaitan dengan system persamaan
                   dan pertidaksamaan linier dan kuadrat



   Kompetensi Dasar

              *Menentukan himpunan penyelesaian persamaan
               dan pertidaksamaan linear
              *Menentukan himpunan penyelesaian persamaan
               dan pertidaksamaan kuadrat
              *Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat


                                          ISI INTI MATERI

                                  A. Persamaan Linear
                                  B. Persamaan Kuadrat
                                  C. Sistem Persamaan
                                  D. Pertidaksamaan
                                  E. Penerapan Persamaan


TUJUAN PEMELAJARAN

Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai usai pemelajaran kompetensi ini , adalah
agar siswa dapat:

   1. Mendefinisikan persamaan dan pertidaksamaan
   2. Menyelesaikan persamaan linear
   3. Mencari penyelesaian sistem persamaan linear
   4. Menyelesaikan persamaan kuadrat
   5. Menyusun persamaan kuadrat baru
   6. Menyelesaikan pertidaksamaan linear
   7. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
   8. Menerapkan konsep persamaan dalam masalah verbal.



       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 80
                             MATEMATIKA DALAM MODUL




Berdasarkan spesifikasi kinerja di atas,                aplikasi terhadap persamaan dan
pertidaksamaan dalam kehidupan sehari – hari menjadi menarik dan dimungkinkan
,dengan pendekatan ingkuari dan deduktif diharapkan dapat memacu siswa menjadi
lebih kreatif. Untuk itu metode demonstrasi, pemberian tugas, diskusi dan problem
solving perlu ditekankan agar menjadi lebih mudah dalam memahami ini, konsep-
konsep persamaan dan tidak persamaan.


                 Kemampuan Prasyarat

                      Prasyarat untuk mempelajarai kompetensi ini adalah :
                      Operasi aljabar, aritmatika dan bilangan real.


  Uji Kompetensi Awal

        Sebelum mempelajari bab-bab dalam kompetensi ini,

        kerjakan soal-soal berikut :

        1. Sederhanakan bentuk-bentuk                  3. Saya adalah bilangan asli
            aljabar di bawah ini :                       , saya termasuk bilangan

            a. 3 x + 2 x2 – 4x2 + x                       genap. Besarku antara bi
            b. 2 – (3 n – 5) + 4 n                         langan lima dan sepuluh.
            c. 5( p + 3 ) – 4 ( 2 – p )                    Siapakah saya ?
            d.    4 a – 2( a + 7 ) + 5                  4. Aku berada diantara kata
            e.    15 y – 3 xy + 5 x                       miskin. Aku bearada dite
        2. Tentukan nilai x di bawah ini                  ngah-tengah air, dan juga
            a. 5 x = 15                                   tinggal di tepi pantai. Sia
            b. 2 x – 4 = 3                                pakah aku dan ada berapa
            c. -5 x + 2 x – 3 = 4                         diriku ?
            d. 3( 2 x – 5 ) + 4 x = 5
            e. 12 – 7 x = 2 – 4 x




       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 81
                          MATEMATIKA DALAM MODUL


I. PERSAMAAN


A. PERSAMAAN LINEAR



 1. Pengertian

   a. Kalimat Terbuka

     Kalimat terbuka adalah kalimat matematika ( kalimat bermakna ) yang
     masih mengandung variabel ( peubah ), sehingga belum dapat ditentukan
     nilai kebenarannya. Nilai kebenaran ada dua yaitu bernilai benar atau bernilai
     salah.

     Contoh :

     i.       Dimanakah letak kota anging mamiri ?
     ii.      2x+5=3
     iii.     3 x2 – 4 x + 5 > 6



   b. Kalimat Tertutup

     Kalimat tertutup atau pernyataan adalah kalimat matematika yang sudah
     dapat ditentukan ( ditunjuk ) nilai kebenarannya.

     Contoh :

     i.       Indonesia adalah Negara kesatuan yang berbentuk republik.
     ii.      x=5
     iii.     Jika x = 2, maka 3 x – 5 = 10
     Kalimat terbuka dapat diubah menjadi kalimat tertutup dengan cara
     mengubah atau mengganti variabelnya dengan sebarang elemen dari
     semesta pembicaraan nya. Pengganti variabel yang menyebabkan nilai
     benar disebut penyelesaian, dan kumpulan dari semua penyelesaian yang
     disebut himpunan penyelesaian.




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 82
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

 c. Persamaan

    Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang dihubungkan dengan

    tanda sama dengan “( = )”.

    Contoh :

    i. 2 x + 3 y = 4

    ii. x2 + 2 x + 3 = 0

    iii. 2 p + 3 q – 4 r = 5




2. Persamaan Linear

  a) Pengertian

    Persamaan linear adalah persamaan dengan derajat atau pangkat atas
    peubah (variabel) nya tertinggi adalah satu.

    Contoh :

    i. 3x = 5

    ii. 3x + 2y = 5

    iii. 2 x2 – 3 x + 5 = 0




 b) Persamaan Linear Satu Peubah ( Variabel )


    1) Bentuk Umum
       a x + b = c ; a, b dan c € R, a ≠ o

       Keterangan :

                a,b, dan c = konstanta

                x = variabel ( peubah ).


   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 83
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

    Contoh :

    i. 2 b – 3 = 5

    ii. 4 - 3x = x + 5

    iii. 3 p + 5 = 6 – 4 p




 2) Penyelesaian

    Menyelesaikan persamaan berarti mencari nilai-nilai pengganti atas
    variabel nya dengan sebarang bilangan dalam semesta pembicaraan
    sehingga di dapat satu kesamaan yang bernilai benar. Pada waktu
    mengerjakan atau mencari pengganti nilai variabel harus digunakan
    langkah-langkah yang sesuai dengan aturan pengerjaan bilangan dan
    aljabar.




    Contoh :

    Tentukan penyelasaian dari persamaan linear berikut ini

    i. 3x + 5 = 6, x  B

    ii. 2x – 3 = 5 – 3x

    Jawab :

    i. 3 x + 5 = 6

         3 x + 5 + ( -5 ) = 6 + ( – 5 ) …………….. ( kedua ruas ditambah – 5 )



            3x=1

                       . 1 ……………………………. ( kedua ruas dikali dengan                     )

                               1
                         x =       B
                               3

       Jadi x = { }


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 84
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

     ii. 2 x – 3 = 5 – 3 x

         2x – 3 + 3 = 5 – 3 x + 3 ………………….. ( kedua ruas ditambah 3 )

                2x =8–3x

        2 x + 3 x = 8 – 3 x + 3 x ……………… ( kedua ruas ditambah 3 x )

               5x =8

                                ……………..….…. ( kedua ruas dikali dengan               )




              Jadi


c. Persamaan Linear Dua Peubah



 1) Bentuk Umum
     Ada dua macam bentuk umum persamaan linear dua peubah, yaitu :

     *a x + b y = c ; a & b  R ,b  0 ……………… bentuk implisit

       Contoh :

     i. 2 x + 3 y = 5
     ii. 2 x – 7 = 3y – 9
     iii. 5 – 3 x + 2 y = 0
     *y = m x + n ……………………………….....… bentuk explisit

                  Contoh :

      i. y = 5 x - 3

      ii. y = 3 – 2 x

      iii. 3 y = 5 – 2 x




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 85
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

2) Penyelesaian
    Penyelesaian persamaan linear dua peubah berupa pasangan bilangan
    (x, y). Jika nilai x diambil sebarang dari semesta pembicaraan sedemikian
    hingga diperoleh nilai-nilai pengganti y. Dalam hal seperti itu x disebut
    “variabel bebas” dan y disebuat “variabel tak bebas ( terikat )”.

    Himpunan penyelesaian untuk persamaan linear dua variabel dengan
    semesta bilangan riil akan berupa grafik garis lurus. Untuk membuat grafik
    dapat dilakukan dengan mengambil dua buah titik yang mudah yang
    koordinatnya memenuhi persamaan kemudian menghubungkannya.
    Kedua titik mudah itu biasanya adalah titik potong grafik dengan sumbu
    koordinat.

    Contoh :

    Tentukan penyelesaian dari persamaan linear berikut ini :

    i. 3 x – 2 y = 7 pada x {1, 2, 3, 4}

    ii. 2 x – y = 4 dengan x , bilangan riil

    Jawab :

    i. 3 x – 2 y = 7, x = {1, 2, 3, 4}

       Untuk x = 1 → 3 ( 1 ) – 2 y = 7

                                  -2 y = 7 – 3

                                            4
                                     y =
                                           2

                                     y = -2,

                          Jadi ( x , y ) = ( 1 , -2 )




        Untuk x = 2 → 3( 2 ) – 2 y = 7

                                -2y      =1




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 86
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                                             1
                                    y    =      ,
                                             2

                                                    1
                          Jadi ( x , y ) = ( 2 ,          )
                                                    2

        Untuk x = 3 → 3 (3) – 2 y = 7

                                                   -2 y = 2

                                         y = 1,

                           Jadi ( x , y ) = ( 3 , 1 )

        Untuk x = 4 → 3 (4) - 2 y = 7

                                  - 2 y = -5

                                             5
                                     y =       ,
                                             2

                                                    5
                        Jadi ( x , y ) = ( 4 ,        )
                                                    2

                                         1             5
        Jadi HP = { ( 1 , -2 ) , ( 2 ,      ),(3,1),(4,   )}
                                         2              2

  ii. 2 x – y = 4 dengan x , y bilangan riil

          Titik potong dengan sumbu x diperoleh jika y = 0
                 2x–y=4
            2x–(0)=4
                   2x =4
                      x=2
         sehingga koordinat titik potongnya adalah ( 2 , 0 )
          Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika x = 0
                2x – y = 4

           2(0)–y=4

                      -y = 4




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 87
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

                          y = -4

             sehingga koordinat titik potongnya adalah ( 0 , -4 )

               Jika dinyatakan dalam bentuk tabel, sebagai berikut :

                     x             0         2
                      y            -4        0
                  (x,y)       (0 , -4 )   (2,0)



             Dengan menghubungkan titik ( 0 , -4 )

             dan titik ( 2 , 0 ) diperoleh grafik seperti

             di samping yang merupakan himpunan

             penyelesaian dari persamaan 2 x – y = 4.




Uji Kompetensi 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut ini :
   a. 3x + 9 = 15 – 23
   b. 5 – 4x = 2x – 3
   c. 4x + = 2x -

   Jawab :

   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………

2. Dodi berumur 15 tahun, ia mempunyai adik laki-laki yang berumur 3 tahun.
   Setelah berapa tahunkah umur Dodi menjadi 3 kali umur adiknya ?
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………...……………



     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 88
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini :
   a. 3x – 2y = 15 , x = { 1 , 2 , 3 , 4 }
   b. 5x = 4 – 2y , x = { x / -2 < x < 2 , x          }
   c. 2x + y = 5
  Jawab :

  ………………………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………..………………




 3. Sistem Persamaan Linear



    a. Pengertian

      Sistem persamaan linear adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas dua
      atau lebih persamaan linear yang dituliskan dengan cara memisahkan
      dengan tanda koma atau ditulis ke bawah dengan dirangkai oleh tanda … }.

      Bentuk Umum :

      a1 x + b1 y = c , a2 x + b2 y = c2 , a3 x + b3 y = c3 , … atau

      a1 x + b1 y = c1

      a2 x + b2 y = c2

      a3 x + b3 y = c3

      Contoh :

      i.    3x–2y=5

            x + 3 y = -2

      ii. 4x + 5y = 1, 2 x + 3 y = 1         iii. x – 5 y = 6

                                                 3x + 2y = 1



     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 89
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

b. Penyelesaian
  Sistem persamaan linear diselesaikan secara simultan bersamaan atau
  sekaligus, nilai pengganti variabel persamaan yang satu sekaligus akan
  menjadi pengganti variabel persamaan yang lain. Sistem persamaan dapat
  diselesaikan dengan beberapa cara,                 antara lain : eliminasi, subtitusi,
  gabungan eliminasi – subtitusi, determinan, invers matriks dan grafik.




  1) Cara Eliminasi

     Eliminasi berarti menghapus ( membuang). Dimaksud cara, ini salah satu
     variabelnya dihilangkan untuk mendapat nilai variabel yang lain setelah
     menyamakan terlebih dahulu koefesiennya. Untuk mendapatkan nilai
     variabel x, koefisien variabel y disamakan terlebih dahulu, begitu juga
     untuk mendapatkan nilai variabel y maka koefisien x disamakan terlebih
     dahulu.

     Dari bentuk umum di atas, untuk menentukan nilai variabel x dan variabel
     y dengan cara eliminasi adalah, sebagai berikut

     a1 x + b2 y = c1      x b2        a1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2

     a2 x + b2 y = c2      x b1       a2 b1 x + b2 b2 y = c2 b1

                                        ( a1 b2 – a2 b1 ) x = c1 b2 – c2 b1

                                                               b2 c1  b1 c2
                                                          x=
                                                               a1 b2  a2 b1

     untuk mendapatkan nilai variabel y , koefesien variabel x disamakan
     terlebih dahulu :

     a1 x + b1 y = c x a2           a1 a2 x + a2 b1 y = a2 c1

     a2 x + b2 y = c    x a1        a1 a2 x + a1 b2 y = a1 c2


                                      a2 b1  a1 b2  y  a2 c1  a1 c2

 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 90
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                             a2 c1  a1 c2
                                                        y=
                                                             a2 b1  a1 b2

                   Jadi                         b2 c1  b1 c2 a2 c1  a1 c2
                                 ( x, y ) = (                ,              )
                                                a1 b2  a2 b1 a2 b1  a1 b2




    Contoh :

    Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :

    i. 3 x – 2 y = 5
            x+y=5
    ii. 2 x + y = 1 , x – 3 y = 4
    Jawab:

    i.   3x – 2y = 5        x1            3x–2y =5

          x+y =5            x2            2 x + 2 y =10

                                                 5x     = 15

                                                       15
                                          x        =
                                                        5

                                          x        =3

         3x – 2y = 5        x1            3x–2y=5

          x+ y=5            x3            3 x + 3 y = 15

                                                   -5y = -10

                                                  10
                                          y=
                                                 5

                                          y=2

                          Jadi    (x,y) = (3,2)

    ii. 2 x + y = 1         x3                  6x+3y=3



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 91
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

          x – 3y = 4         x1                x–3y =4

                                              7x         =7

                                                     x =

                                                        =1

          2x+y =1            x1              2x+y =1

           x–3y=4             x2             2 x – 6y = 8

                                                    7 y = -7

                                                     y=

                                                     y = -1

                                        Jadi ( x , y ) = ( 1 , - 1 )




 2) Cara substitusi

    Subtitusi berarti memasukkan (menggantikan). Dimaksud cara ini untuk
    mendapatkan nilai salah satu variabelnya dilakukan dengan cara
    mengganti variabel lainnya dengan variabel yang satu sedemikian hingga
    diperoleh suatu persamaan linear dalam bentuk satu variabel, begitu
    seterusnya hingga semua variabelnya diperoleh penggantinya. Agar
    menjadi lebih mudah maka peda

    setiap persamaan yang diperoleh diberi nomor. Dari bentuk sistem
    persamaan di bawah dengan cara substitusi dilakukan, sebagai berikut :

                       ax+by=p

                       cx+dy=q

          ax+by=p            ……………………………………………. ( 1 )

          cx+dy=q            ………………………………………….… ( 2 )

    ( 1 ) diubah menjadi : b y = p – a x


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 92
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                                    y=    -     x .……………………….……. ( 3 )

    ( 3 ) disebstitusikan ke ( 2 ), sehingga ( 2 ) menjadi :

                    cx+d(                )= q


                    cx+                  = q




                                –               –



                                                 –
                                                 –
                                                     ……….……………..... ( 4 )


    ( 4 ) disubstitusikan ke ( 3 ), sehingga ( 3 ) menjadi :

                                                         –
                                         y=                   ....................... ( 5 )
                                                         –


    Contoh:

    Tentukan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan substitusi :

    i. 4 x + 5 y = 1, 2 x + 3 y = 1
    ii. 2 x – 3 y = 7 , 3 x + y = 5
    Jawab:

    Perhatikan ! Setiap persamaan yang ada diberi nomor

    i. 4 x + 5 y = 1 , 2 x + 3 y = 1
            4 x + 5 y = 1 ………………………………………. (1)

            2 x + 3 y = 1 ………………………………………. (2)

    Pilih mana yang diubah bentuknya ( petunjuk, sebaiknya variabel dengan
    koefisien terkecil layak jadi pilihan)

              (2)        2x+3y =1

                           2x        =1- 3y




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..            Page 93
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                                           1 3
                            x          =    - y ……………………… (3)
                                           2 2

                                    1 3
              (3)       (1) : 4 (    - y)+5y=1
                                    2 2

                                      2–6y+5y=1

                                                       -y = 1 – 2

                                                   -y = -1

                                                            1
                                                       y=
                                                            1

                                                       y = 1 ………...………. (4)

                                       1 3
              (4)        (3) : x =      - .1
                                       2 2

                                x = -1

                    jadi ( x , y ) = ( -1 , 1 )

    ii. 2 x – 3 y = 7 , 3 x + y = 5
        2 x – 3 y = 3 …………………………………………. (1)
       3x+ y          = 5 …………………………………………. (2)
       (2)          y = 5 – 3 x ……………………………………. (3)
       (3)          (1) : 2 x – 3 ( 5 – 3 x ) = 7
                         2 x – 15 + 9 x           =7
                                    2 x + 9 x = 7 + 15
                                           11 x = 22
                                             x =

                                              x = 2 ………….………… (4)

        (4)         (3): y = 5 – 3 ( 2 )

                           =5-6

                           = -1



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 94
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

            Jadi ( x , y ) = ( 2 , - 1 )




 3) Cara Gabungan Eliminasi –Substitusi

    Dimaksud cara ini, nilai salah satu variabel ditentukan dengan eliminasi
    kemudian variabel yang lain digunakan cara subtitusi untuk mencarinya.

    Contoh:

    Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :

    i. 2 x – 3 y = 10 , x + 2 y = -2
    ii. – 3 x + y = 6 , 2 x – 3 y = -11
    Jawab:

    i. 2 x – 3 y = 10       x2             4 x – 6 y = 20
          x + 2 y = -2      x3             3 x + 6 y = -6

                                            7x       = 14

                                                         14
                                                   x =
                                                          7

                                                   x =2

    selanjutnya nilai x = 2 disubtitusikan ke salah satu persamaan (pilih)
    untuk

    mendapatkan nilai pengganti variabel y

         x=2                2 (2) – 3 y = 10

                                   - 3 y = 10 – 4

                                   -3y=6

                                              6
                                       y=
                                              3

                                       y = -2

                           jadi ( x , y ) = ( 2 , -2 )


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 95
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

    ii. – 3 x + y = 6         x3             -9 x + 3 y = 18
        2 x – 3 y = - 11       x1              2 x - 3 y = - 11
                                                 -7 x     =7
                                                        x =

                                                        x = -1
        nilai x = -1 disubstitusikan ke salah satu persamaan asal, dan diperoleh
        x=-1          -3 ( -1 ) + y = 6
                              3 +y=6
                                     y=6–3
                                     y=3
                        Jadi ( x , y ) = ( -1 , 3 )




    3) Cara Determinan
        Dimaksut        cara determinan (matriks) system persamaan diubah
        bentuknya menjadi matriks koefisien, kemudian ditentukan nilai
        determinan matriksnya.

        Dari system persamaan :

           ax+by=p

           cx+dy=q


        Matriks koefisiennya                               nilai determinannya adalah


                                     D=


        Selanjutnya ditentukan nilai determinan untuk variabel x ( Dx ) dengan
        cara

        mengganti semua koefisien variabel x dengan nilainya terlebih dahulu,
        seperti




         Begitu juga dengan determinan untuk variabel y ( Dy ) .



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 96
                       MATEMATIKA DALAM MODUL




        Kemudian nilai variabelnya ditentukan dengan rumus :


                                  x=      dan y =



        Contoh :

        Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut ini
        dengan determinan :

        i.    2 x + 3 y = 12 , -3 x + 5 y = 1

        ii. 3 x – 5 y = 19 , 4 x + 3 y = 6 !

        Jawab :

        i.    2 x + 3 y = 12
              -3 x + 5 y = 9

              Matriksnya :

              Nilai determinannya : D =

                                                     = 10 + 9
                                                     = 19

             Determinan variabel x :

                                                        = 60 – 3
                                                        = 57

             Determinan variabel y :

                                       = 2 + 36
                                       = 38

                               dan

                   = 3                         = 2

                  Jadi ( x , y ) = ( 3 , 2 )

        ii. 3 x – 5 y = 19, 4 x + 3 y = 6


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 97
                       MATEMATIKA DALAM MODUL


              Matriks koefisiennya adalah :

              Determinanya,

                               = 9 + 20
                               = 29

              Determinan x :

                                                  = 57 + 30
                                                  = 87

              Determinan y :

                                                  = 18 – 76
                                                  = - 58

                                                   dan

                                         =3                    = -2

                                 Jadi ( x , y ) = ( 3 , -2 )




    4) Cara Grafik
        Dimaksut cara ini kedua persamaan linear pendukung sistem
        persamaan linear digambar dalam satu diagram, sehingga diperoleh
        titik potong antara kedua garis. Pasangan koordinat ( x , y ) merupakan
        penyelesaian dari system persamaan linear yang dimaksut.
        Seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini :
                   y                 l                   l:ax+by=p
                               (x,y)                     g:cx+dy=q
                   O             g            x   ( x , y ) : penyelesaian


        Contoh :
        Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut dengan
        grafik
        i.        x-y=1,4x–2y=8
        ii.       3 x + 2 y = 6 , 3 x + 2 y = 12
        Jawab :



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 98
                                  MATEMATIKA DALAM MODUL

           i.             x- y=1
                          x              0          1
                          y          -1             0
                 (x,y)           (0 , -1      (1,0)
                                 )
                          4x–2y=8

                      x              0          2
                      y              -4         0
                 (x,y)           (0 , -4      (2,0)
                                 )



                  Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa kedua garis berpotongan di
                  titik ( 3 , 2 ). Jadi himpunan penyelesaiannya adalah = { ( 3 , 2 ) }.

           ii.            3x+2y=6                                     y
                      x                   0             2
                      y                   3             0
             (x,y)               (0,3)         (2,0)
                              3 x + 2 y = 12                                           x

                  x                       0             4
                  y                       6             0
             (x,y)               (0,6)         (4,0)



                               Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa kedua garis itu
                  sejajar.

                               Jadi himpunan penyelesaiannya adalah = { }, karena tidak
                  ada

                              titik potongnya.

                 Selanjutnya untuk cara determinan akan dibicarakan kembali pada

                  kompetensi matriks sedang cara grafik akan dibahas lebih lanjut
dalam




   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 99
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

                    kompetensi fungsi.




  Uji kompetensi ke 2

  1. Hadi membayar untuk              5 kg jeruk dan 2 kg lansat sebesar Rp 40.000,00.
Ditempat

     sama Ali harus membayar Rp 39.000,00 untuk 4 kg jeruk dan 3 kg lansat.
Hitung

    berapa harga 1 kg jeruk dan harga 1 kg langsat.

     Jawab:

     ________________________________________________________________
     ________________________________________________________________
     ________________________________________________________________
     ________________________________________________________________
     ___________




2. Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut dengan eliminasi .

  a. 4 x – 3y = 5 , 2 x + y = 5

  b. 2 x + 5 y = -1 , -3 x + 2 y = 11

  Jawab:

  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  ______

  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  ______




         ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 100
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

3. Tentukan koordinat titik potong tiap pasangan berikut dengan substitusi.

  a.       y = -2 x + 1

          y=x+2

  b.      -4 x + 5 y = 8

          7x+5y=1

  Jawab:

  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  ____________




4. Tentukan penyelesaian tiap sistem persamaan di bawah ini dengan cara gabungan.

  a. 2 x – 3 y = 5

       3x+ y =2

  b. 11 m + 2 n = 37

       5 m + 2 n = 19

  Jawab:
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ____________




5. Tentukan himpunan penyeleaian sistem persamaan di bawah ini dengan
determinan.

  a. 8 x + 3 y = 40


         ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 101
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

     -8 x + 5 y = 16

     b. 2 x + 5 y = 23

      -3 x + 5 y = -17

     Jawab:

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ______

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ______

B.   PERSAMAAN KUADRAT


     1. Pengertian



        Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan derajat atau pangkat tertinggi
       atas variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat yang dibahas di sini adalah
       persamaan kuadrat dengan satu variabel.

       Bentuk umum :

                       a x2 + b x + c = 0 ; a, b & c  R, a,  0

       Keterangan :

              x = Peubah ( variabel )

         a, b, c = Konstanta

              a = Koefisien x2  0 ( mengapa ? )

              b = Koefisien x

              c = Konstanta



         ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 102
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

     Contoh :

     i. - x2 – 4 x + 3 = 0

     ii. 2 x2 – 3 x = 0

     iii. 3 x2 + 5 = 0




2. Penyelesaian



 Perhatikan ilustrasi berikut ini :
  32 = 9 dan ( -3 )2 = 9
        = 3 ( bernilai positif meskipun 9 = 32 = ( -3 )2
  a2 = 9                a =              a =                              a = 3 atau a = -3
 Dari ilustrasi di atas, terlihat bahwa bilangan berpangkat dua ( kuadrat ) akan ada
 mempunyai dua penyelesaian yang didapat dari hasil penarikan akar. Selanjutnya
 menyelesaikan persamaan kuadrat dikatakan juga dengan menentukan akar-akar
 persamaan kuadrat. Untuk                menyelesaikan persamaan kuadrat digunakan
 beberapa cara, antara lain : faktorisasi ,melengkapkan kuadrat, rumus pq , rumus
 abc dan grafik.




  a. Cara Faktorisasi.



     Dimaksud cara ini persamaan kuadrat diubah bentuknya sedemikian hingga
     menjadi perkalian atas faktor– faktor seperti ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0. Dalam hal
     seperti itu berlakulah :                           x - x1 = 0 atau x - x2 = 0

                                              x = x1            x = x2

     x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat dimaksud.




       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 103
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

1) Memfaktorkan Bentuk a x2 + b x + c = 0 , a

  Contoh :

  Tentukan akar – akar persamaan kuadrat berikut dengan eliminasi :

  i.     x2 – 4 x + 3 = 0

  ii. 2 x2 + 3 x – 5 = 0

  Jawab :

  i. x2 - 4 x + 3           =0                 ? x ? =3                      -1 x -3 = 3


       ( x …. ) ( x……. ) = 0                   ? + ? =4               ( -1 ) + ( -3 ) = -4

       (x–1)(x–3) =0

         x - 1 = 0 atau x - 3 = 0

               x=1          x=3

       jadi akar – akar dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 1 dan 3.

       Perhatikan faktor – faktor di atas ! -1 dan -3 diperoleh dari suku tengah
       yang          direkayasa sehingga cara ini sering disebut sebagai cara
       memecah suku tengah.

        Jadi    a x2 + b x + c = 0          ? x ? = a .c        dan

                                           ? + ? =b

  ii. Akar – akar dari persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0 , adalah :

          2 x2 + 3 x – 5 = 0

          (2x+       )(x +       )   =0           diperoleh dari : 2 . ( -5 ) = -10

          2 x2 – 2 x + 5 x – 5       =0                     cari    … x … = -10

          ( 2x2 – 2x ) + ( 5x – 5 ) = 0                     tetapi … + … = 3

          2 x ( x - 1 ) + 5 ( x -1 ) = 0                   didapat -2 x 5 = -10



 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..     Page 104
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

        (2x+5)( x-1)               =0                   jadi 3 x dipecah menjadi

        2x + 5 = 0 atau x – 1 = 0                         -2 x + 5 x = - 3 x

            2 x = -5             x=1

                   5
             x =
                   2

                                                              5
     Jadi akar – akar dari 2 x2 + 3 x - 5 = 0 adalah             dan 1
                                                              2

2) Memfaktorkan Bentuk a x2 + b x = 0 , a

  Faktor dari persamaan a x2 + b x = 0 adalah sebagai berikut :

                          x ( a x + b ) = 0 dalam hal seperti itu berlakulah

                        x = 0 atau a x + b = 0

                                            a x = -b

  Contoh :

  Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini :

  i. x2 + 4 x = 0

  ii. 3 x2 – 15 x = 0

  iii. 8 x – 2 x2 = 0

  Jawab :

  i. x2 + 4 x = 0

      x(x+4)=0

      x = 0 atau x + 4 = 0

                        x=-4

      Jadi akar-akar dari x2 + 4 x = 0 adalah x = 0 dan x = -4

  ii. 3 x2 – 15 x = 0


 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 105
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL

              3 x ( x – 5) = 0

              3 x = 0 atau x – 5 = 0

                x=0               x=5

            Jadi akar-akar dari 3 x2 - 15 x = 0 adalah x = 0 dan x = 5

          iii. 8 x – 2 x2 = 0

              2x(4–x)=0

              2 x = 0 atau 4 – x = 0

                 x=0             - x = -4

                                  x=4

            Jadi akar-akar dari 8 x – 2 x2 = 0 adalah x = 0 dan x = 4

            Dari ketiga contoh di atas terlihat bahwa akar-akar dari persamaan kuadrat
            bentuk      a x2 + b x = 0, salah satu akarnya adalah x = 0.




     3) Memfaktorkan Bentuk a x2 + c = 0 , a

          Persamaan kuadrat bentuk a x2 + c = 0 artinya koefisien x = 0, faktornya
adalah

                                        a x2 = -c

                                                x2 =


                                                   x=            didifinisikan bila nilai


           Jadi persamaan kuadrat bentuk a x2 + c = 0 mempunyai akar hanya jika



   Contoh :

   Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini :




         ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..     Page 106
                                  MATEMATIKA DALAM MODUL

    i.    x2 – 4 = 0

    ii. 2 x2 – 18 = 0

    iii. 3 x2 + 6 = 0

    Jawab :

    i. x2 – 4 = 0

            x2 = 4

              x=

               x=       , dipenuhi oleh x = 2 atau x = -2

   Cara lain :

                    x2 - 4 = 0

                    x2 - 22 = 0

                    (x-2)(x+2)=0

                x - 2 = 0 atau x + 2 = 0

                   x =2             x = -2

   Jadi akar-akar dari x2 – 4 = 0 adalah x = 2 atau x = -2

ii. 2 x2 – 18 = 0

         2 x2 = 18

            x2 =


              x=

              x=

    Jadi akar-akar dari 2 x2 – 18 = 0 adalah x = 3 atau x = -3

iii. 3 x2 + 6 = 0

          3 x2 = -6


          ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 107
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

           x2 =     = -2


             x=              , tidak didifinisikan

    Jadi akar-akar dari 3 x2 + 6 = 0 adalah imajiner atau khayal atau tidak ada.




b. Cara Kuadrat Sempurna.

  Dimaksut cara ini persamaan kuadrat diubah bentuknya menjadi kuadrat sempurna

  terlebih dahulu, cara ini biasa disebut juga sebagai melengkapkan kuadrat

  Perhatikan ilustrasi berikut ini :

    * x2 = a  x =         a                x1 =   a

                                             x2 = - a


    *( x – a )2 =  x – a =         b

                            x = a b                    x1 = a  b


                                                        x2 = a  b

                                 2
     * ( x + a )2 = x2 + 2a x + a ……… bentuk kuadrat sempurna

                                             2
                                     2a 
     * ( x + a )2 = x2 + 2a x +         
                                     2 

                        2                2
                 a      a
     * x + a x +   = x  
       2

                 2      2

     * x2 + a x +       = (x+         )2 ,       diisi koefisien x , yaitu :   a )2 .

  Jadi agar persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat yang sempurna maka
  koefisien x atau koefisien suku kedua dijadikan patokan untuk penambahan angka
  pada suku akhir

  Contoh :


       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 108
                                   MATEMATIKA DALAM MODUL

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat

i.    x2 – 7x + 12 = 0

ii. x2 + x – 2 = 0

iii. x2 + p x + q = 0

iv. a x2 + b x + c = 0

Jawab :

 i.       x2 – 7 x + 12 = 0

           x2 - 7 x               = -12


       x2 -7x +               =           – 12 ……. Kedua ruas ditambah


                                   49 48   1
                              =     -   =
                                   4   4   4

                           7          1
                     x-     = 
                           2          4

                                   7 1                     7 1
                           x   =                  x1 =     +       =4
                                   2 2                     2 2

                                                           7 1
                                                    x2 =    -  3
                                                           2 2

       jadi akar – akar dari x2 – 7x + 12 = 0 adalah 3 dan 4.

 ii. x2 + x – 2 = 0

        x2 + x        =2


      x2 + x +


           ( x + )2 = 2 +


                 x+        =




        ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 109
                                     MATEMATIKA DALAM MODUL


                      x     =                             x1   =        =1




                          x =                              x2 =           = -2

        Jadi akar-akar dari x2 + x – 2 = 0 adalah 1 dan -2.

iii.   x2 + p x + q = 0
          x2 + p x         =-q

        x2 + p x +




       Jadi akar-akar dari x2 + p x + q = 0 adalah                                         , selanjutnya

akar-
       akar ini dikenal sebagai rumus pq.
       Untuk persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 akar-akarnya ditentukan dengan rumus
       Yang disebut rumus pq, yaitu :




iv. a x2 + b x + c = 0          xa   ………… kedua ruas dikalikan dengan a
         x2 +              =0

               x2 +

        x2 +          +




        Jadi akar-akar dari a x2 + b x + c = 0 adalah

       Selanjutnya disebut rumus abc.



          ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..       Page 110
                              MATEMATIKA DALAM MODUL



c. Cara Rumus abc



Jika x1 dan x2 adalah akar – akar dari persamaan kuadrat                ax2 + bx + c = 0, a
maka

x1 dan x2 dapat dihitung dengan rumus abc :




Keterangan : a = koefisien x2

              b = koefisien x

              c = konstanta

Contoh :

Tentukan akar–akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus abc !

i. x2 + 2 x – 8 = 0

ii. 3 x2 – x + 1 = 0

iii. 2 x2 + 4 x + 2 = 0

jawab :

i. x2 + 2 x – 8 = 0

   a=1,b=2,c=-8


                         b  b 2  4ac
                   =
                              2.a

                         2  2 2  4.1( 8)
                    =
                               2.1

                         2  4  32
                    =
                              2


       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 111
                        MATEMATIKA DALAM MODUL


                  2  36
             =
                     2

                 26                       26
             =                       x1 =
                  2                          2

                                         =2

                                            26
                                    x2 =
                                             2

                                        =-4

          Jadi akar – akar dari x2 + 2x – 8 = 0 adalah -4 dan 2

      ii. 3 x2 – x + 1 = 0

          a = 3, b = - 1, c = 1


                    ( 1)  ( 1) 2  4.3.1
                 =
                             2.3

                     1  1  12
                 =
                         6

                     1   11
                 =              11 tidak didifinsikan
                         6

        Jadi akar–akar dari 3 x2 - x + 1 = 0 adalah imajiner ( tidak ada )




      iii. 2 x2 + 4 x + 2 = 0

          a = 2, b = 4, c = 2


                    4  4 2  4.2.2
                 =
                         2.2

                     4 0
                 =
                       4




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 112
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

                           4
                       =
                           4

                       = -1

Jadi akar – akar dari 2x2 + 4x + 2 = 0 adalah 1 ( akar sama atau kembar ).




3. Jenis-jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat



  Dari contoh–contoh di atas akar–akar persamaan kuadrat ada atau tidak adanya
  ternyata ditentukan oleh besarnya bilangan yang ditarik akar, yaitu b2 – 4 a c yang
  selanjutnya disebut diskriminan ( pembatas ), dan diberi notasi “ D “.

  Jadi diskriminan ,            D = b2 – 4 a.c


  Dilihat dari besarnya nilai diskriminan, akar-akar persamaan kuadrat dibedakan
  menjadi 3 jenis, yaitu :

  a. Akar-akar Riil dan Berlainan

     Jika diskriminan positif, maka akar-akar persamaan kuadrat riil dan berlainan.
     Atau     jika D       0, maka x1 ≠ x2 .

  b. Akar-akar Riil dan Kembar

     Jika diskriminan sama dengan nol, maka akar-akar persamaan kuadrat riil dan
     kembar. Atau jika D = 0, maka x1 = x2.

  c. Akar-akar Imajiner

     Jika diskriminan negatif, maka akar-akar persamaan kuadrat imajiner/ khayal
     atau tidak ada . Atau jika D < 0, maka x1 dan x2 imajiner/ tidak ada / khayal.




     Contoh :

     Tentukan jenis-jenis akar-akar dari persamaan kuadrat di bawah ini :




       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 113
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

    i. 5x2 + x – 1 = 0

    ii. 3x2 + 2x + 4 = 0

    iii. 4 + x2 – 4x =0

    Jawab :

    i.     5 x2 + x – 1 = 0
          a = 5, b = 1, c = 1

               D = b2 - 4 a c

                = 12 - 4.5. ( -1 )

                = 21 > 0, akar-akar real dan berlainan.

    ii. 3x2 + 2x + 4 = 0

         a=3,       b=2, c=4

               D = b2 - 4 a. c

                  = 22 - 4. 2. 4

                  = -7 < 0, akar-akar imajiner/ khayal

    iii. 4 + x2 – 4 x = 0

           a = 1, b = -4, c = 4

              D = b2 - 4 a. c

                 = ( -4 )2 – 4 . 1. 4

                 = 0, akar-akar riil dan kembar/ sama




4. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat




         ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 114
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0, maka

                                            b  b 2  4ac           b  b 2  4ac
dari rumus      abc di atas           x1 =                 dan x2 =
                                                 2.a                      2.a
berlakulah :

a. Rumus jumlah dua akar :


                b  . b 2  4ac    b  b 2  4ac
   x1 + x2 =                     +
                      2.a                2.a

                2b
           =
                2a
                                               b
                                 x1 + x2 = -
                Jadi                           a

b. Rumus Selisih Dua Akar


              b  . b 2  4ac  b  b 2  4ac
   x1 – x2 =                  -
                    2.a              2.a

             2 b 2  4ac   2 D
           =             =
                2.a         a


                 x1 + x2 =        D
       Jadi                      a




c. Rumus Hasil Kali Akar – Akar


                b  . b 2  4ac      b  b 2  4ac
   x1 . x2 = (                   ).(                 )
                      2.a                  2.a


           =
                   
               b 2  b 2  4ac
                               =
                                 
                                 4ac
                     4a  2
                                 4a 2


                 x1 . x2 = c
                             a
       Jadi


   ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 115
                                  MATEMATIKA DALAM MODUL




Contoh:

Jika  dan  adalah akar–akar dari 2 x2 + 5 x – 1 = 0, maka tentukanlah

       1       1                                                      1    1
i.                 ....             ii.  2   2  ....   iii.             .......
                                                                   3  3

Jawab:

2 x2 + 5 x – 1 = 0, mempunyai akar-akar  dan 

a = 2, b = 5 , c = -1

                   b 5
+ =                
                   a   2

               c 1
 .            
               a   2

               5
   1 1  
i.          2
       .   1
               2

                             =5

ii. 2 + 2 = ( + )2 – 2. .

                                  2
                         5      1  25
                      =   - 2   =   1
                         2      2   4

                            29
                      =
                            4

         1     1     3  3              6
iii.             =                =
         3   3   3   3    .  3     9




     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..       Page 116
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

                                 5             17
                                    6      
                          =      2         =    2
                             1      5       16
                              3    9
                             2     2

                                17
                          =-
                                32




5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru



 Jika x1 dan x2 adalah akar – akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan
 kuadrat di maksud adalah:
                               ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0
                                                           atau



                               x2 – ( x1.x2 ) x - ( x1 .x2 ) = 0




Contoh:

                                                                         1
 i. Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya                         dan -3. !
                                                                         2

                   1
   Jawab: x1 =       , x2 = -3
                   2

             PK : x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 )             =0

                              1                1
                    x2 – (      + (-3 ) ) x + ( .(-3 ) ) = 0
                              2                2

                              5         3
                    x2 – (-     ) x + (- )                         = 0
                              2         2




      ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 117
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

                            5     3
                   x2 – -     x -                        = 0        x2
                            2     2

               Jadi PK = 2 x2 + 5 x - 3

ii. Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya tiga lebihnya dari akar – akar

   persamaan kuadrat; 3 x2 – 2 x – 4 = 0

   Jawab: 3x2 – 2x – 4 = 0, akar – akarnya  dan .

             a = 3, b = (-2), c = - 4

                         b   2
             +=-         =
                         a   3

                       c    4
              .=       =-
                       a    3

  persamaan kuadrat yang akar- akarnya 3 lebihnya dari akar - akar persamaan
  kuadrat 3x2 – 2x – 4 = 0, adalah.

  PK : x2 – (  + 3 +  + 3 ) x + (  + 3 ) . (  + 3 )      =0

              x2 – (  +  + 6 ) x + { .  + 3(  +  ) + 9} = 0

                       2             4     2
              x2 – (      6) x + { - + 3 ( ) + 9 }                  =0
                       3             3     3

                                                 20    29
                                          x2 -      x-    =0
                                                 3     3

                                                                    x3


                                                 3 x2 - 20 x - 29    =0

    iii. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat 3 x2 – 6 x + 1 = 0 maka

       tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2α – 3 dan 2β – 3.

       Jawab :

       3 x2 – 6 x + 1 = 0




     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 118
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

         a=3,b=-6,c=1

         α +β=          =                   αx β =

                 = 2

         ( 2 α -3 ) + ( 2 β – 3 ) = 2 ( α + β ) – 6

                                   =2(2)–6

                                   = -2

         (2α–3)(2β–3)               = 4αβ–6α–6β+9

                                   = 4αβ–6(α+β)+9

                                       = 4x –6x 2+9


                                       =    -3


                                       =


        Persamaan kuadratnya : x2 - ( -2 ) x +             = 0 dikali 3, menjadi 3x2 + 6x – 5 =

    0

        Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 α – 3 dan 2 β – 3 adalah :

                       3 x2 + 6 x – 5 = 0




 Uji Kompetensi 2

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini dengan faktorisasi :
   a. x2 -5 x – 21 = 0

   b. 2 x2 + 7 x + 5 = 0

   c. – 3 x2 + 2 x + 1 = 0

Jawab:




        ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 119
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________

___________________________________________________________________
___

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan
   kuadrat:
   a. x2 - 4 x – 12 = 0
   b. 3 x2 + 5 x – 2 = 0
   c. 2 x2 + 7 x + 3 = 0
Jawab :
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________




3. Tentukan akar – akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus abc :

  a. 5 x2 + x – 1    =0

  b. 3 x2 – 5 x + 2 = 0

  c. 2 x2 – 3 x – 6 = 0

Jawab:

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________




      ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 120
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

4. Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar – akar persamaan berikut ini :

     a. x2 – 3 x - 4    =0

     b. 2 x2 + 3 x – 5 = 0
Jawab:

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________

___________________________________________________________________
___

5.    Selidiki Jenis – jenis akar persamaan kuadrat di bawah ini :
      a. 5 x2 – 3 x – 4 = 0

      b. 2 x2 + 5 x + 4 = 0

      c. 2 x2 – 8 x + 3 = 0

      d. –x2 + 4 x – 4 = 0

      e. -3 x2 – 5 x + 2 = 0

        Jawab :

        ______________________________________________________________
        ______________________________________________________________
        ______________________________________________________________
        ______________________________________________________________
        _______________




6.    Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2 + 5x – 4 = 0, maka
      hitunglah
           1 1                                      1      1
      a.         ...                       b.                 ...
           x1 x2                                  x1  5 x2  5




        ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 121
                                  MATEMATIKA DALAM MODUL

              1    1
       c.      2
                  2  ...                       d. x1  x2  ...
                                                     3    3

              x1 x2

        Jawab :

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 _______________




 8. Akar-akar dari 4x2 + 5x – 1 = 0 adalah  dan . Tentukan persamaan kuadrat
yang

      akar-akarnya adalah  + 5 dan  + 5 !

      Jawab :

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ________

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ________

 9.    Dua bilangan real yang berbeda jumlahnya = 7. Jika hasil kali dua bilangan itu
       adalah -18, maka tentukan kedua bilangan itu !

       Jawab :

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 _______________

 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :



            ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 122
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   3 x2 + 2 y = 5, 2 x2 – y = 1 !

   Jawab :

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________




                         II. PERTIDAKSAMAAN



A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR



  1. Pertidaksamaan

     a. Pengertian

       Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat tanda
       tidak sama dengan ( “  ” ). Tanda tidak sama dengan dapat berarti :

      > dibaca : lebih dari atau lebih besar dari.
        Contoh :

        i. 3x + 2 > 5 – 2x
        ii. 5x2 + 3x – 1 > 0
      < dibaca : kurang dari atau lebih kecil dari
        Contoh :

        i. 5 – 3x < 4x + 1 < 2x + 9
        ii. 2x2 – 5x – 1 < 0




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 123
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

 ≥ dibaca : lebih besar dari sama dengan atau minimum atau paling sedikit
atau
  tak kurang dari atau sekurang-kurangnya.

    Contoh :

    i. 2 – 3x ≥ 5x – 3
    ii. 3x2 + 5x + 1 ≥ 0
 ≤ dibaca : kurang dari sama dengan atau maksimal atau paling banyak atau
  sebanyak-banyaknya atau tak lebih dari.

    Contoh :

    i. 7x – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5x – 1
    ii. 5x2 - 4x – 3 ≤ 0



b. Penyelesaian

   Penyelesaian pertidaksamaan berupa suatu daerah yang berada di kanan (
   atas ) atau berada di kiri ( bawah ) dari suatu elemen yang merupakan
   penyelesaian dari persamaan nya. Jika elemen itu lebih dari satu maka
   daerah penyelesaiannya berada di luar atau berada di antara elemen-
   elemen itu.

   Contoh :

   i. Bilangan yang berada di atas 2, dengan lambang ditulis x > 2 . Bilangan
       yang dimaksut jika diperlihatkan dengan garis bilangan adalah, sebagai

                                        2
       berikut

   ii. x > 5 atau x < 1, dengan garis bilangan sebagai berikut                   1    5

        dibaca : di atas 5 atau di bawah 1

   iii. 1 < x < 5 , dengan garis bilangan sebagai berikut                        1    5

        dibaca : diantara 1 dan 5




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 124
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

2. Pertidaksamaan Linear

 Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat atau derajat
 tertinggi atas variabel ( peubah ) nya adalah satu.




 a. Pertidaksamaan Linear Satu Peubah



   1). Bentuk Umum

       ax+b≠c

      Contoh:

      i. 2 x – 3 ≥ 13

      ii. 5 x + 1 ≤ 4x – 5 ≤ 2x – 1

   2) Penyelesaian

      Penyelesaian pertidaksamaan linear satu peubah berupa suatu daerah
      yang berada di kanan atau di kiri sebuah bilangan yang memenuhi
      persamaannya. Yang diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan
      linear adalah, sebagai berikut :

           Jika ruas kiri dan ruas kanan ditambah atau dikurang dengan
      bilangan
           yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap ( tidak berubah ).
           Jika ruas kiri dan ruas kanan dikali atau dibagi dengan bilangan positif
           yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap ( tidak berubah )
           Jika ruas kiri dan ruas kanan dikali atau dibagi dengan bilangan
      negatif
           yang sama, maka tanda pertidaksamaan berubah.



      Contoh :

      Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini


  ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 125
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

        i.    3x–5>4

        ii. 2 x + 3 < 5 – 3 x

        iii. 7x – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5x – 1

        iv. 5 – 3 x < 4 x + 1 < 2 x + 9

        Jawab :

        i.    3x–5 > 4

              3x       > 4+5

                    x >

                    x>3

        ii.   2x+3        < 5–3x

              2x+3x< 5–3

                    5x< 2

                       x<

       iii.   7 x – 5 ≤ 3 x + 2 ≤ 5 x – 1, dikerjakan secara simultan, sebagai berikut
:

              7x–5≤3x+2                         3x+2 ≤5x-1

              7x – 3x ≤ 2 + 5                    3x – 5x ≤ -1 – 2

                   4x ≤ 7                          - 2x ≤ -3

                          7                                 3
                    x≤                                x≥       … tanda berubah, pembagi
                          4                                 2
        negatif

                                                     3
                                                x≥
                                                     2




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 126
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                                  3       7
                    HP = { x /      ≤ x ≤   }
                                  2       4

     iv. 5 – 3 x  4 x + 1  2 x + 9

           5–3x4x+1                           4x+12x+9

           -4x - 3x  1 - 5                    4x - 2x  9 - 1

              -7 x  -4                            2x8

                       4                                 8
                 x >                                 x
                       7                                 2

                       4
                 x >                                 x4
                       7

                 HP = {x                   }




b. Pertidaksamaan Linear dua Peubah



  1) Bentuk Umum

        a x + b y ≠ c ; a b dan c




     Contoh:

    i. 2 x + 5 y  10

     ii. 3 x – 2 y ≤ 8

     iii. 5 x + 3 y < 15

     iv. x – 5 y ≥ 0




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 127
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

 2) Penyelesaian

    Penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah berupa suatu daerah
    (bidang ) yang berada atas ( di kanan ) atau di bawah ( di kiri ) suatu garis
    yang merupakan grafik dari persamaannya. Jadi untuk menentukan
    himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear a x + b y                    , maka
    terlebih dahulu digambar garis untuk persamaan : a x + b y = c. Kemudian
    baru ditetapkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaannya yaitu
    daerah bagian kanan garis untuk “lebih besar dari” atau daerah bagian kiri
    garis untuk “lebih kecil dari” dengan cara mengarsirnya.

    Perhatiakan gambar berikut ini, daerah di kanan garis adalah untuk lebih
    besar dari dan daerah di kiri garis untuk lebih kecil dari.

                      y

                                  ax + by = c


       ax + by < c
                                      ax + by > c




                           O                          x




    Contoh:

    Tentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut
    ini :

    i. 2 x – 5 y ≥ 10

    ii. 3 x + y < 6




    Jawab:

    i. 2 x – 5 y ≥ 10


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 128
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

          Gambar dulu persamaannya, yaitu garis 2x – 5y = 10

          Titik potong depan sumbu x → y = 0                             y
          2 x - 0 = 10

                      10
                 x=      = 5 didapat titik ( 5 , 0 )                                       2x – 5y
                       2
      = 10

          Titik potong dengan sumbu y → x = 0                        O                 5          x
             0 – 5 y = 10                                                -2                DP

                       10
                  y=      = -2 didapat titik ( 0.-2 )
                       5

             Gambar kedua titik pada kooordinat kartesius
             Arsir bagian kanan ( atas ) grafik sebagai daerah penyelesaian
      ii. 3 x + y < 6

           Gambar dulu persamaannya, yaitu garis 3 x + y = 6                   y

             Titik potong dengan sumbu x
                 3x+0=6                                                       6

                       x=           didapat titik ( 2 , 0 )

             Titik potong dengan sumbu y                                                   DP
             0 + y = 6 didapat titik ( 0 , 6 )
             Gambar kedua titik pada pada koordinat kartesius                      O              2
      x
             Arsir bagian kiri ( bawah ) garis sebagai daerah penyelesaian                      3x +
      y=6




3. Pertidaksamaan Kuadrat



 a. Pengertian:



  ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..       Page 129
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

   Pertidaksaman kuadrat adalah pertidaksaman dengan pangkat (derajat )
   atas variabel atau peubahnya tertinggi adalah dua.

   Bentuk Umum : a x2 + b x + c ≠ 0

   Contoh:

   i. 2 x2 – 3 x - 1 ≥ 0

   ii. 3 x2 + 5 x + 1  0

   iii. x2 – 4 x + 3 > 0

   iv. 4 x – 3 ≤ x2




b) Penyelesaian

   Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berupa suatu daerah yang berada
   diluar atau diantara dua buah titik yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat.
   Dua buah titik dimaksut adalah titik potong dengan sumbu x atau akar-akar
   dari persamaan kuadratnya.

   Langkah - langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebagai
   berikut:

   1) Ubah pertidaksamaan kuadrat ke bentuk umum : ax2 + bx + c ≠ 0 ,
      tentukan akar-akar              persamaan kuadratnya ( jika ada ), kemudian
      letakkan pada garis bilangan seperti berikut :

                                                 x1         x2

 2) Tentukan tanda - tanda pada daerah intervalnya, dengan ketentuan
     sebagai
     berikut:

      i.    ++        --         ++     , untuk bentuk soal dimana a > 0 ( positif )

                 x1         x2

      ii.   ++        ---        ++     , untuk bentuk soal dimana a < 0 ( negatif )



………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 130
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

     3) Tentukan daerah penyelesaiannya, yaitu daerah interval yang bertanda
         positif untuk soal lebih besar dari atau daerah interval yang bertanda
         negatif untuk soal kurang dari.

     4) Tuliskan himpunan penyelesaiannya, dengan ketentuan sebagai berikut:

           HP = { x / x > x2 atau x < x1 } , untuk                                        dan
           HP = { x / x , < x < x2 }, untuk
                                                                       x1        x2

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaiannya dari pertidaksamaan kuadrat di bawah
ini:

i.     x2 – 2 x – 3 ≥ 0

ii. -2 x2 + 3 x + 5 < 0

iii. 2 x2 + 3 x – 5 ≤ 0

Jawab:

i.     x2 – 2 x – 3 ≥ 0

           x2 – 2x – 3 ≥ 0, cari akar – akar dari x2 – 2x – 3 = 0
          (x+1)(x–3)=0

          x + 1 = 0 atau x – 3 = 0                    -1           3

              x = -1         x=3

           Tentukan tanda–tanda pada daerah interval
       karena a = 1 > 0 intervalnya adalah :         ++      ---            ++
           Tentukan daerah penyelesaiannya                      -1              3
       karena soalnya ≥ 0 ( lebih besar dari )

       penyelesaian pada interval bertanda positif         -1               3

           Tuliskan himpunan penyelesaiannya, sebagai berikut :
                             HP = { x / x ≤ -1 atau x ≥ 3 }

ii. -2x2 + 3x = 5 < 0


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..        Page 131
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

               Akar – akar dari persamaan -2 x2 + 3 x + 5 = 0 , adalah :
                                       ( -2 x + 5 ) ( x + 1 ) = 0

                                    -2x + 5 = 0 atau x + 1 = 0

                                         2x=5                  x = -1

                                                5
               --        ++   --       x=
                                                2

                              5
                    -1
                              2

                                              5
               HP = { x / x < -1 atau x >       }
                                              2
       iii. 2 x2 + 3 x – 5 ≤ 0

               Akar – akar dari persamaan 2 x2 + 3 x – 5 = 0
                                         (2x+5)(x–1)=0

                                     2x + 5 = 0 atau x – 1 = 0

                                                    5
                                           x=-                x=1
                                                    2

                                                    5
                                                -         1
                                                    2

                              5
               HP = { x / -     ≤ x ≤1}
                              2



Uji Kompetensi 3

1. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini :
    a. 5 – 3 x < -4
    b. 7x + 3 ≤ 9x – 11
    c. 5x – 7 < 6x 3 + < 9x – 2
    Jawab:




       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 132
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     ___________




2. Tentukan himpunan penyelesaian dari petidaksamaan berikut ini :
     a.


     b.

     Jawab:

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     ___________




3.   Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksaman berikut ini :
     a.
     b. 3 x2 + x – 5 ≥ 2 x2 + 4 x + 1
     Jawab :

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     ___________




4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
     a.    -3x2 – 4x + 4 ≥ 0
     b. 5x2 – 3x – 2 > 0



          ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 133
                               MATEMATIKA DALAM MODUL


    c.

    Jawab:

    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    ___________




5. Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat di bawah ini adalah….
    a. 2x2 + 4x ≤ 3
    b. 5 – 2x2 > 3x

    c.

    Jawab:

    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    ___________




                                    III. PENERAPAN



A. APLIKASI PERSAMAAN



    1. Pengertian


         ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 134
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

        Persamaan linear baik yang tunggal maupun yang jamak dan membentuk
        system biasa digunakan pada masalah-masalah verbal. Pada pembahasan
        kali ini masalah verbal yang dimaksut adalah yang berkaitan dengan program
        bidang studi.




        Contoh :

        i.     Aku sebuah bilangan riil yang dapat disederhanakan menjadi 3/4 .Bila
        penyebut

             ku ditambah dengan 6 dan pembilangku dikurangi 3 maka nilaiku menjadi
        1/3 .

              Berapakah sebenarnya aku ?

        ii. Jika dua kali umur Ali ditambah empat kali umur Budi sama dengan 70
        tahun.

             Tetapi jika 5 kali umur Budi dikurangi 3 kali umur Ali sama dengan 27 tahun.

              Berapakah umur Ali dan umur Budi ?

        iii. Harga 5 buah pinsil dan 3 buah penggaris adalah Rp 12.700,00. Adapun
harga

              3 buah pinsil dan 7 buah penggaris adalah Rp 14.900,00. Berapakah
harga

              untuk 2 buah pinsil dan 4 buah penggaris ?




   2. Penyelesaian

             Untuk menyelesaikan masalah verbal, akan lebih mudah bila soal yang ada
             diubah ke model matematika yaitu dengan memisalkan komponen utamanya
             dengan menggunakan lamban-lambang, biasanya adalah x dan y yang
             selanjutnya disebut variabel. Sehingga soal verbal yang ada menjadi sebuah
             persamaan linear atau system persamaan linear yang berbentuk aljabar.



        ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 135
                      MATEMATIKA DALAM MODUL




 Contoh :

 Tentukan penyelesaian dari contoh-contoh soal di atas !

 Jawab :

 i. Misal bilangan itu adalah bilangan rasional




        Karena keduanya berupa system maka dikerjakan dengan cara berikut
    :

                      4x–3y=0                 x   1           4x–3y=0

                      3x–y        = 15        x   3           9 x – 3 y = 45

                                                              -5 x     = -45

                                                                     x =

                                                                     x = 9 jadi pembilangnya
    =9

                      x=9        3 ( 9 ) – y = 15

                                              - y = 15 – 27

                                                  y=

                                                  y = 12 jadi penyebutnya = 12

        Jadi bilangan rasional dimak sut adalah

 ii. Misal umur Ali = x dan umur Budi = y, maka didapat system persamaan
    linear

                 2 x + 4 y = 70       x   5            10 x + 20 y = 350

                 -3x + 5 y = 27       x   4            -12 x + 20 y = 108


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..     Page 136
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                           22 x         = 242

                                                                     x =

                                                                     x = 11 jadi umur Ali 11
tahun

                         x = 11      2 ( 11 ) + 4 y = 70

                                                   4 y = 70 – 22

                                                    y=      = 12 jadi umur Budi 12 tahun

         iii. Misal : harga 1 buah pinsil = x dan harga 1 buah penggaris = y

                 5 x + 3 y = 12700         x   7          35 x + 21 y = 88900

                 3 x + 7 y = 14900         x   3           9 x + 21 y = 44700

                                                           26 x         = 44200

                                                                     x =

                                                                      x = 1700

                 x = 1700          5( 1700 ) + 3 y = 12700

                                                   3 y = 12700 - 8500

                                                     y=

                                                     y = 1400

                2 x + 4 y = 2( 1700 ) + 4( 1400 )

                            = 3400 + 5600

                            = 9000

             Jadi harga 2 buah pinsil dan 4 buah penggaris adalah Rp 9.000,00




        ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 137
                         MATEMATIKA DALAM MODUL




3. Sistem Persamaan Satu Linear dan Satu Kuadrat

 a. Bentuk Umum :

    y=mx+n                    ………….. bagian linear

    y = a x2 + b x + c       ………….. bagian kuadrat, a ,b , c , p , q




   Contoh :

   i.    Tentukan penyelesaian dari system persamaan berikut :
         y = x2 – 5 x + 4

         x=4y+1

    ii. Selesaiakan system persamaan berikut ini ;

          3 x + 2 y = 4 , y = - x2 + x + 1




  b. Penyelesaian
        Untuk menyelesaikan system persamaan berbentuk satu linear satu
        kuadrat secara umum dapat dilakukan dua langkah, sebagai berikut :
        1) Langkah 1
           Substitusikan bagian linear y = m x + n ke bagian kuadrat y = ax2 + bx
           +c
           diperoleh :    a x2 + b x + c                   =mx+n
                          a x2 + b x + c – m x – n         =0
                          a x2 + ( b – m ) x + ( c – n ) = 0
           persamaan kuadrat dalam x.
        2) Langkah 2
           Nilai-nilai variabel x yang diperoleh pada langkah 1 (jika ada)
           selanjutnya disubstitusikan ke persamaan linear y = m x + n untuk
           mendapatkan y.

        Contoh :


  ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 138
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

   Tentukan penyelesaian dari system persamaan berikut ini :

   i. y = x2 + 2 x – 5 , x = 3 y + 7

   ii. 3 x + 2 y = 4

         y = - x2 + x + 1

   Jawab ;

   i. y = x2 + 2 x – 5 ………………………………………………. ( 1 )

         x = 3 y + 7 ……………………………………………………. ( 2 )

   (2)     (1) : y = ( 3 y + 7 )2 + 2 ( 3 y + 7 ) – 5

                 y = 9 y2 + 42 y + 49 + 6 y + 14 -5

                 y = 9 y2 + 48 y + 58

                 9 y2 + 47 y + 58        =0

                 ( 9y + 29 )( y + 2 ) = 0

                 9 y + 29 = 0 atau y + 2 = 0

                 9y          = -29           y = -2

                         y =


   Untuk y =


                             =

                             =       diperoleh ( x , y ) = (        )

   Untuk y = -2        x = 3 .( -2 ) + 7
                            = -6 + 7
                            = 1 diperoleh ( x , y ) = ( -2 , 1 )

   Jadi himpunan penyelesaian adalah, HP = { ( -2 , 1 ) , (                      }

   ii. 3 x + 2 y = 4 ……………………………………. ( 1 )
         y = - x2 + x + 1 …………………………………. ( 2 )
   (1)      3x+2y=4


………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..       Page 139
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

                3x          =4–2y

                         x =             ………………………. ( 3 )

       (3)     (2): y=-(                 )2 + (            )+1

                        y=

                        y=                             …. ( dikalikan dengan 9 )

                        4 y2 + 9 y – 10 y – 5 = 0
                        4 y2 – y – 5              =0
                        ( 4 y - 5 ) .( y + 1 )    =0
                         4 y – 5 = 0 atau y + 1 = 0
                         4y       = -5            y = -1

                               y =

       Untuk y =                            )




       Untuk y = - 1

                               = 2 , diperoleh ( x , y ) = ( 2 , -1 )

       Jadi himpunan penyelesaiannya, HP =




B. APLIKASI PERTIDAKSAMAAN



  1. Pengertian
    Pertidaksamaan biasanya diaplikasikan untuk masalah-masalah verbal
    ekonomi, khususnya pada program linear dan yang semacamnya. Dalam hal
    semacam itu pertidaksamaan difungsikan untuk menentukan nilai optimum
    dari fungsi sasaran yang tidak lain adalah terjemahan dari tujuan masalah
    verbal ekonomi yang dihadapinya, misalnya untuk memaksimumkan
    keuntungan atau meminimumkan biaya.


    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 140
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

Contoh :
1. Seorang aquarium ikan hias menggunakan gerobak kecil untuk
     menawarkan dagangannya. Ikan mas kecil dijual seharga Rp 3.000,00 /
     ekor dan ukuran sedang dijual seharga Rp 5.000,00/ekor. Dengan modal
     sebesar Rp. 800.000 dan aquariumnya cuma mampu menampung 200
     ekor. Jika keuntungan tiap ekor ikan mas kecir Rp 750,00 dan ikan mas
     sedang Rp 1.000,00 maka buat model matematikanya dan hitung
     keuntungan yang kemungkinan dapat diperolehnya.
  ii. Suatu romongan darmawisata terdiri tak kurang dari 40 orang siswa akan

    mengadakan kunjungan ke suatu daerah wisata. Di tempat tersebut siswa
    menginap di dua penginapan berbeda sedikitnya 9 kamar. Kamar jenis I
    dapat menampung 3 orang dan kamar jenis II dapat menampung 5 orang.
    Jika sewa kamar jenis I Rp 75.000,00 dan kamar jenis II Rp 100.000,00
    semalam maka hitunglah berapa banyak kamar masing-masing harus
    disewa agar biaya yang dikeluarkan adalah seminimal mungkin.




2. Penyelesaian
     Untuk menyelesaikan masalah verbal dilakukan dengan cara mengubah
     terlebih dahulu soal ke bentuk model matematika yang biasanya berupa
     system pertidaksamaan. Kemudian menggambar semua pertidaksamaan
     yang ada dalam satu diagram, sehingga dapat ditentukan daerah
     penyelesaiannya.
     Contoh :
     i. Harga tiket Makassar Bone menggunakan angkot Rp 25.000,00 sedang
        untuk bus Rp 20.000,00 per penumpang. Jika dari 200 lembar tiket
        terjual diperoleh uang tak kurang dari Rp 4.600.000,00 maka tentukan
        berapa banyaknya tiket angkot dan tiket bus yang terjual pada hari itu.
     ii. Harga 2 kg lengkeng, dan 1 kg langsat tak kurang Rp 70.000,00 sedang
        harga 2 kg lengkeng dan 3 kg langsat tak lebih dari               Rp 130.000,00 .
        Jika harga 1 kg lengkeng dan 3 Kg langsat tak kurang dari                     Rp
        90.000,00 maka hitunglah harga 1 kg langsat !
     Jawab :




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 141
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

       i. Misal banyaknya tiket angkot = x lembar dan tiket bus = y lembar, maka
         :
         petidaksamaannya adalah :
          25000 x + 20000 y ≥ 4600000                   5 x + 4 y ≥ 920…………..( 1 )
          x + y = 200           x = 200 – y .....………………………………….. ( 2 )

             (2)    ( 1 ) : 5 ( 200 – y ) + 4 y ≥ 920

                                1000 – 5 y + 4 y ≥ 920

                                           -y      ≥ 920 – 1000
                                              - y ≥ -80 ………………………… ( 3 )
                                                y ≤ 80 (banyaknya tiket bus maksimal 80
lbr)
             (3)    ( 2 ) : x = 200 – 80
                             x = 80 ( banyaknya tiket anggkot 120 lembar )
                     Jadi       banyaknya tiket anggkot terjual adalah           120 lembar
                     sedang banyaknya tiket bus maksimal 80 lembar.
       ii. Model pertidaksamaannya :
             2 x + y ≥ 70000 …………………………………………… ( 1 )
             2 x + 3 y ≤ 120000 ……………………………………………( 2 )

              x + 3 y ≥ 90000 ……………………………………………..( 3 )

             digambar pada diagram cartesius, sebagai berikut :

                                 y

                    70000

                                                            Koordinat HP :

                     40000                    HP              A ( 30000 , 20000 )

                   30000                  B                         B ( 22500 , 45000 )

                                     C      A                  C ( 24000 , 22000 )




                            0            35000      60000         90000




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..      Page 142
                            MATEMATIKA DALAM MODUL




                   Jadi harga 1 kg langsat antara Rp 20.000,00 dan Rp 22.000,00




Uji Kompetensi 4

  1. Umur Amir 5 tahun yang lalu tak lebih 3 tahun lebihnya dari umur Budi. Jika
     umur Budi sekarang 15 tahun maka hitung berapa umur Amir sekarang !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
  2. Harga 2 batang pinsil dan 3 buah buku tak lebih dari Rp 10.200,00 sedang
     untuk 5 batang pinsil dan 4 buah buku tak kurang dari Rp 17.100,00. Hitunglah
     berapa perkiraan harga 1 batang pinsil dan harga I buah buku !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………………
  3. Tentukan himpunan penyelesaian dari system berikut ini :
     a. 3 x + y = 15 , y = - x2 + 4 x + 3
     b. 2 x – y = 4 , y = 2 x2 + x – 5
     c. x + 5 y = 3 , y = x2 + 2 x + 1
     Jawab ;

     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………………

  4. Tentukan koordinat titik potong dari pertidaksamaan berikut ini :
     a. 5 x – y = 4
         y = x2 - 2 x + 2
     b. 2 x + y = - 3
         y = - x2 – x + 3


     ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 143
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   c. x – y = 3
        y = 2 x2 – 3 x – 3

   Jawab :

   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………….……
   ……………………………………………………………………………..




5. Seorang aquarium ikan hias menggunakan gerobak kecil untuk menawarkan
   dagangannya. Ikan mas kecil dijual seharga Rp 3.000,00 / ekor dan ukuran
   sedang dijual seharga Rp 5.000,00/ekor. Dengan modal sebesar Rp. 800.000
   dan aquariumnya cuma mampu menampung 200 ekor. Jika keuntungan tiap
   ekor ikan mas kecir Rp 750,00 dan ikan mas sedang Rp 1.000,00 maka buat
   model matematikanya dan hitung keuntungan yang kemungkinan dapat
   diperolehnya.
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………………




6. Suatu romongan darmawisata terdiri tak kurang dari 40 orang siswa akan

   mengadakan kunjungan ke suatu daerah wisata. Di tempat tersebut siswa
   menginap di dua penginapan berbeda sedikitnya 9 kamar. Kamar jenis I dapat
   menampung 3 orang dan kamar jenis II dapat menampung 5 orang. Jika sewa
   kamar jenis I Rp 75.000,00 dan kamar jenis II Rp 100.000,00 semalam maka
   hitunglah berapa banyak kamar masing-masing harus disewa agar biaya yang
   dikeluarkan adalah seminimal mungkin.

   Jawab :




    ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 144
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………



                                    RANGKUMAN
Persamaan adalah kalimat matematika             Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
terbuka yang menggunakan tanda “ = “            Ada tidaknya akar-akar persamaan
                                                kuadrat ditentukan oleh besarnya nilai
                                                                   2
Persamaan linear adalah persamaan               diskriminan, D = b – 4.a .c . Dilihat dari
dengan derajat atau pangkat tertinggi           besarnya nilai diskriminan D jenis-jenis
atas peubah ( variabel ) nya adalah satu.
                                                akar-akar persamaan kuadrat, adalah :
a. Persamaan Linear Satu Peubah
     ax+b=c
                                                a.   Jika D>0 maka akar-akar riil dan
b. Persamaan Linear Dua Peubah                       berlainan, x1 x2
    a x + b y = c ….. bentuk implisit           b.   Jika D = 0 maka akar-akar riil dan
                                                     kembar ( sama ) , x1 = x2
     y = m x + n …… bentuk eksplisit            c.   Jika D < 0 maka akar-akar imajiner
                                                     atau khayal, x1 dan x2 tidak ada.


Sistem Persamaan Linear, bentuk umum            Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat
a. a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 atau
                                                a. Rumus jumlah akar : x1 + x2 =
b. a1 x + b1 y = c1
     a2 x + b 2 y = c 2                         b.   Rumus hasil kali akar : x1. x2 =


Penyelesian Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear diselesaikan            Jika α dan β Akar-akar Pk, maka :
                                                a.         ( x – α ).( x – β ) = 0 atau
dengan 5 cara , yaitu :                                    2
                                                b. PK x – ( α + β ) x + ( α . β ) = 0
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
                                                Pertidaksamaan Linier
c. Metode Gabungan Eliminasi-Substit
                                                Bentuk Umum :
d. Metode Determinan
e. Metode Grafik                                a. a x + b c , satu peubah
                                                b. a x + b y c, dua peubah
Persamaan Kuadrat adalah persamaan
dengan derajat tertinggi peubahnya dua.
                                                Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Bentuk Umum :
   2
                                                Yang perlu diperhatikan dalam
a x + b x + c = 0; a , b & c ,a
                                                menyelesaikan pertidaksamaan linear :
                                                a. Jika kedua ruas ditambah atau diku
Penyelesaian Persamaan Kuadrat                      rang bilangan yang sama tanda
Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan              tetap
dengan 5 cara, yaitu :                          b. Jika kedua ruas dikali atau dibagi de
a. Faktorisasi , ( x – x1) ( x – x2 ) = 0           ngan bilangan positif tanda tetap
b. Melengkapkan kuadrat                         c. Bila kedua ruas dikali atau dibagi de
                          2
c. Rumus pq , untuk x + p x + q = 0                 ngan bilangan negarif maka tanda
                                                    pertidaksamaan berubah
     akar-akarnya :
                         2
d.   Rumus abc, untuk a x + b x + c = 0,
                                                 Pertidaksamaan Kuadrat
                                                    2
   akar-akarnya :                                a x x b x + c SMK ………………..
………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas + …………..….. 0, Penyelesaiannya :Page 145
e. Metode Grafik                                 a. HP = { x / x< x1 atau x > x2 } atau
                                                 b. HP = { x / x1 < x < x2 , x R }
                               MATEMATIKA DALAM MODUL




  Peta Konsep
   PETA KONSEP


                              PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN




                          Persamaan                                       Pertidaksamaan




             Linear                     Kuadrat                       Linear             Kuadrat




                                                                                   Penyelesaiann
*Menggunakan garis bilangan
        Penyelesaian        Akar-akar                                                    n
     Sistem Persamaan

*Menggunakan sketsa grafik :
     2
                                                                                  *Menggunakan
y = ax + bx + c
                                                                                  garis bilangan



                                                                                    *Menggunakan
         Metode Eliminasi           Faktorisasi           Jenis Akar-akar           sketsa grafik :
         Metode                     Kuadrat               *D > 0, x1 x2
                                                                                          2
         Substitusi                 Sempurna              *D = 0 , x1 = x2          y = ax + bx + c
                                    Rumus pq              *D < 0 , Khayal
         Gabungan Elimi-
                                    Rumus abc
         nasi Substitusi                                  Sifat-sifat Akar
                                    Cara Grafik
          ………… …. ERMAN ……..……..
         Cara Determinan           matematika non teknologi kelasxx …………..….. SMK ………………..
                                                          *x1 + 2 =                              Page 146
         Metode Grafik                                   *x1 . x2 =
                                                         PK Baru :
                                                       (x – x1)(x – x2) = 0
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL




PENILAIAN KOMPETENSI



Program             : Semua Program

Kelas/ Semester : X / 1

Waktu              : 120 menit




Soal Penilaian :

1.    Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini :
           3    3      3
      a.     x   4x  , x = …
           2    5      7
            1
      b.    2  5     , x=…
             2      5
         3  x 2x 
             3      3
      Jawab:




           ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 147
                                    MATEMATIKA DALAM MODUL

          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          ________________




2.        Cari penyelesaian dari persamaan sistem persamaan berikut ini:
          a. 5x – 2y = 16 ,       3x + 5y = -9
          b. 2x – 3y = 2      ,   2x2 + 2y = 20
          Jawab:

          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          ________________




     3.      Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan berikut ini:
          3x – 2y + z = 12 , 2x + 3y + 2z = 9 , -x + 5y – 3z = 19

          Jawab:

          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          ________________




     4.     Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat di bawah ini :
          a. 7x2 + 5x – 2 = 0
          b. 3x2 – 11x – 4 = 0
          Jawab:




              ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 148
                                         MATEMATIKA DALAM MODUL

          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          ____________



                                     2
5.        Jika x1 dan x2 akar            dari persaman kuadrat 4x2 + x – 5 = 0, maka tentukan
          persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3x1 + 2 dan 3x2 – 2 !
          Jawab:

          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          ____________




     6.        Jika  dan  akar – akar dari persaman kuadrat 6x2 + 7x – 3 = 0, maka hitunglah
          :
                  1    1
          a.              ......            b.  2   2  ......      c.  3   3  ......
                 2  2

          Jawab:

          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          ____________




                                                                         3      2
7.        Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya                   dan - !
                                                                         5      3
          Jawab:




                 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 149
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      ____________




8.    Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga kali akar-akar persaman
      kuadrat    3x2 - 20x - 7 = 0 !
      Jawab:

      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      ____________




                                  19                      6
9.    Dua bilangan jumlahnya         dan hasilnya adalah    . Tentukan kedua bilangan itu
                                  15                     15
      !
      Jawab:

      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      ____________




10.   Untuk memproduksi meubel diperlukan biaya Rp. 450.000,00 perunitnya dengan
      biaya tetap sebesar Rp. 7.500.000,00 sebulan. Meubel dijual seharga Rp.
      950.000,00 perunit. Hitunglah banyaknya meubel yang harus dibuat dan laku
      terjual perbulannya, agar:
      a. Memperoleh laba minimal Rp. 3.000.000,00 sebulan.
      b. Mnderita rugi tak lebih Rp. 150.000,00 sebulan.


          ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 150
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

     Jawab:

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ____________

11. Nita, Yuni, dan Ida berbelanja di swalayan. Nita membeli 12 kg jeruk , 4 kg anggur,
     dan 7 kg apel harus membayar Rp 111.000,00. Yuni membeli 5 kg jeruk , 3 kg
     anggur dan 8 kg apel seharga Rp 73.500,00. Ida membeli 12 kg jeruk, 6 kg anggur,
     dan 10 kg apel harus membayar Rp 138.000,00.

     a. Berapakah harga setiap kg untuk jeruk, anggur, dan apel

     b. Jika Nita membeli 3 kg jeruik, 4 kg anggur, dan 7 kg apel, berapakah jumlah
     uang

        yang harus di bayarkan ?

     Jawab :

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ____________




12. Adi membeli 5 buku dan 3 pensil, dia membayar tak kurang dari Rp. 14.500,00. Jika
     harga buku Rp. 2.000,00 per buahnya, maka hitung harga 5 buah pensil !

     Jawab:

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     _________




                                 DAFTAR PUSTAKA
          ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 151
                             MATEMATIKA DALAM MODUL




Surbakty, BM . 1993. Matematika Bisnis dan Ekonomi Untuk SLTA . Jakarta . Dharma
Karsa Utama.




Proyek Pengembangan Pendidikan Akuntansi . 1993 . Petunjuk Guru Matematika
Bisnis dan Ekonomi . Jakarta . Departemen Pendidikan dan Kebudayaan .




Suryadi, dkk . 1985. Matematika untuk SMA 4 Program Ilmu-ilmu Fisik dan Biologi.
Jakarta . Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.




Gawatri, U.R., Dra , dkk . 2002. Matematika SMK Jilid I . Jakarta . Yudhistira.




Adi Gunawan, K , Drs . 2004 . Tangkas Matematika SMU . Surabaya . Kartika.




BNSP. 2006 . Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran
Matematika Sekolah Menengah Kejuruan / Madrasah Aliyah Kejuruan Kelompok
Sosial , Admistrasi Perkantoran dan Akuntansi , Teknologi . Jakarta . Departemen
Pendidikan Nasional.




Apriliyana , SM, S.Pd.. 2007. LKS Matematika Sekawan I . Palur . Cipta Pustaka.




Abdurahman, M . 2000 . Matematika SMK Tingkat I . Bandung . Armico.




       ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 152
                       MATEMATIKA DALAM MODUL




                                Daftar Pustaka


Bambang, SP Drs, . 2007 . Modul Matematika untuk SMK Kelas 1 .
Surakarta . Cahaya Mentari.


Sumadi, dkk, 1994 . Matematika SMU . Surakarta . Tiga Serangkai.


Depdiknas . 2006 . Silabus Mata Pelajaran Matematika Kelompok
Teknologi . Jakarta. Ditjen Managemen Dikdasmen Ditna SMK.


Gunawan, K. Adi , Drs, . 2002 . Tangkas Matematika untuk SMU .
Surabaya . Kartika.




 ………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 153
                      MATEMATIKA DALAM MODUL




………… …. ERMAN ……..…….. matematika non teknologi kelas x …………..….. SMK ………………..   Page 154

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:2847
posted:6/29/2012
language:Malay
pages:154
Description: Modul Matematika