Modul Geometri SMK kelas XI

Document Sample
Modul Geometri SMK kelas XI Powered By Docstoc
					                                                                               Modul Geometri




  Standar Kompetensi

                Menentukan kedudukan , jarak , dan besar sudut yang melibatkan
                titik, garis , dan bidang dalam ruang dimensi dua


     Kompetensi Dasar
                Mengidentifikasi sudut
                Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar
                Menerapkan transformasi bangun datar



                                         ISI INTI MATERI
                                       A.   Identifikasi Sudut
                                       B.   Benda-benda Bangun Datar
                                       C.   Melukis Bangun Datar
                                       D.   Keliling dan Luas Daerah
                                       E.   Transformasi Geometri


        TUJUAN PEMELAJARAN

Kriteria kinerja yang diharapkan dikuasai siswa usai penyajian materi Geometri Dimensi
Dua ini, adalah agar siswa dapat :
1. Mendeskripsikan pengertian Geometri Dimensi Dua
2. Mengidentifikasi sudut , besaran dan ukuran serta mengkonversikannya
3. Mengklasifikasikan benda-benda bangun datar yang ada disekitar
4. Menentukan ukuran-ukuran komponen-komponen benda bidang datar
5. Melukis dengan benar benda-benda geometri dimensi dua
6. Menghitung besarnya keliling dan luas daerah benda-benda bidang datar
7. Mentransformasikan bangun-bangun bidang datar.


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   1
                                                                                Modul Geometri

Berdasarkan kriteria kinerja di atas konsep-konsep Geometri dimensi dua sangat perlu
untuk dikaji mengingat benda-benda ini selalu dijumpai setiap saat. Bentuk-bentuk benda
datar, seperti : segi tiga, segi empat dan lingkaran merupakan bangun-bangun yang hampir
setiap saat dijumpai. Mempelajari secara menyeluruh tentu akan berguna untuk menguak
lebih jauh sifat dan kekhususan yang ada pada bangun-bangun datar tersebut.
Pada bagian akhir dari kompetensi ini, konsep-konsep transformasi dipelajari secara tuntas
sampai pada macamnya, seperti : translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi. Sehingga tidak lagi
menjadi asing dengan benda-benda bidang datar dan perubahannya yang ada di sekitar.

            KEMAMPUAN PRASYARAT
                 Prasyarat untuk mempelajari kompetensi ini adalah :
                          Operasi bilangan riil, teorema Pythagoras,
                               Koordinat kartesius dan matriks.


    Uji Kompetensi Awal
               Sebelum mempelajari bab-bab dalam kompetensi ini,
               kerjakan soal-soal berikut ini :
                 1. Perhatikan gambar !
                               A                Hitung : a. AD dan DC
                                                         b. Luas   ABC

                            5         t              12

                                3
                      B          D                                   C
                    2. Hitunglah :
                                A               3. Hitung luas bangun datar berikut ini :
                                                                              25 cm
                                    450
                        D
                                                 6 cm             10 cm                                12 cm


                B                                             6 cm                    19 cm
                           C
                 ‫ ے‬ACB = … ‫ ے‬CBD = …



          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK           2
                                                                            Modul Geometri
A. IDENTIFIKASI SUDUT

    Geometri Dimensi dua adalah bangun-bangun yang ada disekitar kita yang
    mempunyai dua ukuran berbeda dengan permukaan datar atau rata sehingga
    mempunyai luas daerah. Selanjutnya Geometri dimensi dua biasa disebut benda-
    benda bidang datar, seperti : sudut, segitiga, segiempat, lingkaran dan lain-lain.


  1. Pengertian Sudut
    a. Difinisi
      Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk oleh dua buah sinar yang berimpit pada
      salah satu pangkalnya, seperti pada gambar A.1
      Sinar-sinar itu selanjutnya disebut kaki sudut .


                             R                  Keterangan :
                                                PQ, PR = Kaki Sudut (dua sinar)
              P                                 P           = Titik pangkal atau persekutuan
                                                antara sinar PR dan snar PQ.
                             Q
             Gambar I.A.1
   b. Istilah-istilah Pada Sudut
      Dalam sudut, terdapat tiga istilah penting yaitu : kaki sudut, titik sudut, dan
      besar sudut ( daerah sudut ), lihat gambar A.2
                              R            Keterangan :
                                           PQ dan PR = kaki sudut
        P                                   P              = titik sudut
                                           Daerah diarsir adalah daerah atau besar sudut
            Gambar I.A.2          Q
      1) Kaki sudut adalah garis-garis pembentuk sudut yang berasal dari sinar-sinar.
      2) Titik sudut adalah titik persekutuan antara kedua kaki sudut.




      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   3
                                                                        Modul Geometri
  3) Besar sudut atau daerah sudut adalah daerah yang dibatasi oleh kedua kaki
       sudut atau daerah yang dibentuk oleh dua sinar yang berimpit pada pangkal.
c. Nama Sudut
  Sudut diberi notasi dengan  ( dibaca : sudut ). Untuk menunjuk suatu sudut
  maka digunakan tiga cara penamaan sudut, yaitu :
  1) Menggunakan Titik Sudut
       Sudut dinamai dengan menggunakan titik sudutnya secara langsung, yaitu
       titik persekutuan dari kedua kaki sudutnya. Pada gambar A.3 nama sudut
                             R                   nya adalah P. Dengan demikian, nama
                                                 sudut tersebut adalah  P.
        P
            Gambar I.A.3       Q
  2) Menggunakan Kaki-kaki Sudut
       Sudut sering dinamai dengan menggunakan kaki-kai sudutnya, memakai tiga
       huruf kapital. Titik sudutnya diapit oleh dua titik lainnya. Pada gambar A.4 di
                              R               Samping P adalah titik sudut yang diapit
                                                 Q dan R sebagai dua titik lainnya. Dengan
       P                                         demikian nama sudut tersebut adalah :
            Gambar I.A.4       Q                   QPR atau  RPQ
  3) Memberi Nama Sudut Secara Langsung
     Pemberian nama sudut yang lain adalah secara langsung, umumnya
      menggunakan hurf-huruf Yunani seperti alfa: (α),beta (β), gamma (γ), tetta (θ)
                                               delta (δ) dan lain-lain. Dengan
                                               demikian nama sudut pada gambar A.5
              β                                adalah  β.
             Gambar I.A.5




  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   4
                                                                          Modul Geometri
2. Besaran sudut
  Besar sudut adalah ukuran daerah sudut itu. Untuk menandai besarnya sudut secara
  umum digunakan dua buah ukuran satuan sudut, yaitu : ukuran satuan derajat dan
  ukuran satuan radian.
  a) Ukuran Derajat :
    Derajat diberi notasi “ …0 ” dan ditulis di atas bilangan ( seperti pangkat ).
    Satuan ini disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu satuan ukuran sudut yang
    membagi keliling lingkaran menjadi 360 bagian yang sama besar. Jadi dalam
    satu putaran penuh besar sudut yang dibentuk ditandai = 360° atau :
    360°                             = 1 putaran
                                          1                    a
    1°                               =       putaran dan a° =     putaran
                                         360                  360
    Jadi 1 derajat adalah besarnya daerah yang dibentuk oleh kaki-kaki sudut yang
                          1
    bergerak sejauh          putaran.
                         360

                                     1             1
                             10 =       putaran =     keliling lingkaran
                                    360           360
    Sudut diukur dengan arah berlawanan arah putar jarum jam. Dalam keseharian
    derajat ditandai sama dengan jam. Derajat selanjutnya dibagi dalam 60 menit
    dilambangkan dengan ( ‘) dan setiap menit dibagi dalam 60 detik yang
    dilambangkan dengan ( “) atau dalam setiap satu jam dibagi dalam 3600 detik.
    Jadi 10 = 60’ dan 1’ = 60 “ atau 10= 3600”.
    Contoh :
    i.    Nyatakan sudut berikut dalam bentuk derajat-desimal.
          a.       100 10’ 10”
          b.       500 30”
    ii.        Nyatakan sudut berikut dalam bentuk derajat-menit-detik.
          a.       10,30
          b.       20,360


    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   5
                                                                      Modul Geometri
Jawab :
i.    a. 100 10’ 10” = 100 + 10’ + 10”
                                            1 
                        = 100 + 10’ + 10 x  '
                                            60  
                                      1
                        = 100 + 10’ +  '
                                      6
                                    1
                        = 100 + 10   ’
                                    6

                                 61 
                        = 100 +  '
                                 6
                                61 1 
                       = 100 +  x  0
                                6 60 
                       = 100 + 0,170
                       = 10,170
       100 10’ 10” = 10,170
                                     1    1 0
     b. 500 30”       = 500 +  30 x    x    
                                    60   60 

                                1 0
                       = 500 +      
                                120 
                       = 500 + 0,0830
                       = 50,0830
ii. a. 10,30           = 100 + 0,30
                       = 100 + ( 0,3 x 10 )
                       = 100 + ( 0,3 x 60’)
                       = 100 + 18’
        10,30         = 100 18’
     b. 20,360        = 200 + 0,360
                      = 200 + ( 0,36 x 60’ )
                      = 200 + 21,6’


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   6
                                                                        Modul Geometri
                         = 200 + 21’ + 0,6’
                         = 200 + 21’ + ( 0,6 x 60” )
                         = 200 + 21’ + 36”
           20,360         = 200 21’ 36”
b) Ukuran Radian / Radial
    Ukuran besaran sudut yang lain adalah radian. Radian diberi notasi “rad”.
    Dalam satu putaran penuh besar sudut yang dibentuk ditandai = 2 radian
                                                Jadi satu radian adalah besarnya daerah
                                                (lintasan)     yang      dibentuk      sudut   pusat
                                                lingkaran dimana panjang busur di depan
                                                sudut itu sama dengan jari-jari lingkaran.
   P         Gambar I.A.6                   Gambar A.6 Jika panjang busur di depan P
                                         sama dengan panjang jari-jarinya maka
                                         besar  P = 1 radian.
    Perhatikan gambar A.7 ! Panjang busur suatu lingkaran = keliling lingkaran
               π                            Panjang busur              = 2π x r
                                                                      = 2π radian
                     P
                                                                             1
                                             Jadi 1 radian              =      kel lingkaran
                 π                                                          2
               Gambar I.A. 7                                      1
                 π                                1 radian =        putaran
                                                                 2
             Contoh :
                   i. 2 putaran = 2 x 2 rad
                                    = 4 radian
                         2            2      1
                   ii.      rad    =   x      putaran
                         3            3     2
                                   = 1/3 putaran
                                      3
              iii. 3 radian        =     putaran
                                     2




  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK           7
                                                                        Modul Geometri
c). Konversi Ukuran Sudut
    Di atas dikatakan bahwa dalam satu putaran penuh besar daerah yang dilalui
    adalah 360° atau 2 radian.
                 360°       = 2 rad
                  360
                            =              1800 = π radian
                   2


                                                         180 0
                                              1 Rad =
                                                            
                  180                        22
                            = 1 rad,  =         = 3,14
                                             7
                  180
                            = 1 rad
                  3,14
                 57,3°      = 1 rad                1 rad = 57,30
                                 
                       1°   =       rad atau
                                180
                                    1                                1
                       1°   =            rad jadi          10 =           Rad
                                  57 ,3                           57 ,30
         Contoh :
                        2               2
                  i.       rad     =     x 180°
                        3               3
                                    = 120°
                  ii. 3 rad         = 3 x 57,3°
                                    = 171,9°
                                                
                  iii. 150°         = 150 x        rad
                                               180
                                        5
                                    =      rad
                                        6




  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   8
                                                                                    Modul Geometri
        3. Melukis Sudut
           Untuk melukis sudut dengan benar khususnya sudut-sudut istimewa digunakan alat-
           alat seperti berikut : jangka, mistar dan pensil. Sedang untuk sudut yang tidak
           istimewa digunakan busur derajat.
           Dimaksut sudut istimewa adalah sudut-sudut yang besarnya merupakan faktor dari
           1800 atau kelipatannya , seperti : 1500 , 1200 , 900 , 600 , 450 , 300 , 22,50 dan 150.
           1) Melukis Sudut 180°
                                                              Melukis :

                                                              1. Buat garis
                                                                       1
                                                              2. Buat     lingkaran
                                          +                            2
                           Gambar I.A. 8
                                                              3. 180° terlukis
          2) Melukis Sudut 90°
                            C                           Melukis :                               Meluk
                                                 1.   Tarik garis AB                             1.
                                                 2.   Buat busur AB dengan pusat P
                                                 3.   Buat busur AC dan busur BC
                                                 4.   Tarik garis PC
A                  A         P           B       5.   Sudut 900 terlukis.



    Tugas !
       i. Lukis sudut : 600 ; 22,50 ; 112,50 dan 67,50 .
       ii. Buat sudut lancip dan sudut tumpul sebarang besarnya, kemudian pindahkan sudut-
           sudut itu ke sisi tempat yang lain !


    Lembar Kerja Siswa 1.1
    1. Nyatakan ukuran sudut berikut ini menjadi derajat desimal
      a. 450 30’ 30”
      b. 20 45’ 30”
      c. 300 15’


              Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   9
                                                                               Modul Geometri
  Jawab :
  a. 450 30’ 30 “ = ----0 + ….’. + ……”
                     = ….. 0 + …. (           )0 + …. (       )0

                     =    ….0 + ….0 + …….0
                     = …… 0
  b. 20 45’ 30”     =     …..0
  c. 300 15’        =     ….. 0
2. Nyatakan ukuran sudut berikut ini menjadi derajat menit
  a. 12,350                          b. 45,250                           c. 70,150
  Jawab :
  a. 12,350 = …. 0 + 0, … 0
               = …. 0 + ( ….. x …... )’
               = …. 0 + …. ‘ + ( …. x …. )”
               = …. 0 …. ‘ …. “
  b. 45,250 = …. 0 + 0, ….0
              = …. 0 …. ‘ …. “
  c. 70,150 = …. 0 …. ‘ …. “
3. Nyatakan ukuran sudut berikut ini menjadi ukuran radian
  a. 20,150
  b. 15,450
  c. 60,200
  Jawab :
  a. 20,150 = …. , ….0 x (              rad

              = …..

  b. 15,450 = …. 0 x (

              = …. Rad
  c. 60,200 = …. x ….. rad
              = …. rad


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   10
                                                                                  Modul Geometri
4. Nyatakan ukuran sudut berikut ini menjadi ukuran derajat
                                                                            2
  a. 1,5 radian                   b. 1,5 π radian                      c.      radian
                                                                            3
  Jawab :
  a. 1,5 radian = ….         x   57,32 0
                    = …. 0
  b. 1,5            = …. x 1800
                    = …. 0
  c.                =     x ….

                    = …. 0
5. Ubahlah ukuran sudut berikut ini ke ukuran yang diminta !
  a. 500 20’ 30” = …. 0
  b. 20,1250        = …. 0 …. ‘ ….”
  c. 50,400         = …. Rad
  d. 3,5            = …. 0
  Jawab :
  a. 500 20’ 30” = …. 0 + ( …. x              )0 + ( …. x         )0

                    = …. 0 + …. 0 + …. 0
                    = …. 0
  b. 20,1250        = …. 0 + …. 0
                    = …. 0 + ( …. x … )’
                    = …. 0 + …. ‘ + ( …. x …. )”
                    = …. 0 ….’ …. “
  c. 50,400         = …. x

                    = …. Rad
  d. 3,5            = …. x …. 0
                    = …. 0




           Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   11
                                                                             Modul Geometri
B. BENDA-BENDA BIDANG DATAR


  Yang dimaksut dengan bidang datar adalah benda-benda yang ada di alam, disekitar
  kita yang mempunyai permukaan rata (datar) dengan banyak sisi n dan sudut dalam
  sebanyak n buah pula. Jumlah sudut dalam untuk segi n adalah ( n – 2 ) 1800.Jadi untuk
  bangun datar atau segi-n berlakulah :

                                   Jumlah Besarnya Sudut Dalam = ( n – 2 ) 1800


  1. Macam-macam Benda Bangun Datar
  Ada beberapa macam benda datar, diantaranya adalah : segitiga , segi empat , segi
  lima, segi enam , segi delapan, dan lain-lain. Diantara macam-macam benda-benda
  bidang datar di atas ada beberapa yang mempunyai sifat-sifat khusus ( istimewa ),
  seperti : sama sisi, sama sudut , sepasang sisi sejajar dan lain-lain.


  a. Segitiga :
     1) Pengertian
     Segitiga adalah kurva (bangun) tertutup sederhana yang terdiri atas tiga buah sisi
     dan tiga buah sudut dalam yang jumlahnya 1800. Jadi jumlah sudut dalam segi tiga
     ( gambar B.1 ) adalah :

                                        A  B  C = 1800

     2) Bentuk Segitiga
                        C                               Keterangan :
                                                     *A , B , & C = titik-titik sudut
                                                     *a , b dan c = sisi-sisi segitiga, dimana a
                                                       sisi di depan  A atau a = BC, b = AC
     A           Gambar I.B.1                B           dan dan c = AB.



       Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   12
                                                                        Modul Geometri
3) Syarat segitiga :
   a)     Jumlah dua buah sisi harus lebih panjang dari sisi ketiga ;
                     a + b  c , a + c > b dan b + c > a
   b)     Jumlah ketiga sudut dalam = 1800   A +  B +  C = 1800.
4) Macam-macam Segitiga :
   Segitiga mempunyai komponen utama yang menyusunnya, yaitu: tiga buah sisi
   dan tiga buah sudut dalam. Dilihat dari komponen-komponen yang ada, segitiga
   dapat dibedakan, seperti dalan tabel B.1 berikut :
                                    Tabel B.1

                 Sisi             1 sisi sama                2 sisi sama             3 sisi sama
    Sudut                       ( ∆ sebarang )            ( ∆ sama kaki )          ( ∆ sama sisi )
        Sudut lancip,
             < 900
    Sudut siku-siku,
                                                                                      tidak ada
             = 900
        Sudut tumpul ,
                                                                                      tidak ada
              900
          Jadi segitiga terbagi atas 7 macam.
   3) Melukis Segitiga istimewa
        a. Segitiga sama kaki
                                            Cara melukis :
                B                           *Buat sebarang sudut dengan mistar, misal kaki
                                                sudutnya AB dan AC
                                            *Buat busur yang memotong ke dua kaki sudut
                                    C       *Hubungkan kedua titik potongnya
         A           Gambar I.B.2               *Segitiga ABC sama kaki terlukis


         Cara lain ( gambar 2.B.3 )
                                           *Buat sepotong garis, letakkan dua buah titik


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK         13
                                                                          Modul Geometri
                      C                         *Buat goresan ( busur ) dengan pusat titik A
                                                *Buat goresan dengan ukuran yang sama dari
                                                 titik B, berpotongan di titik C.
                                                *Tarik garis AC dan garis BC.
     A         Gambar I.B. 3               B    *Segitiga ABC sama kaki terlukis.


    Tugas ! Lukis segitiga sama kaki cara 2 sudut sama !


    b. Segitiga Sama Sisi
                               Melukis
                  C                   Buat garis, letak titik pada garis
                                      Buat goresan sebarang ( jarum di A ) hingga memotong
                                       garis di B
    A Gambar I.B. 4 B        *     Buat goresan yang sama ( jarum di B dan pinsil di A )
                                       hingga berpotongan dengan goresan awal di titik C
                                      Hubungan garis AC dan BC
                                      Segitiga sama sisi terlukis.
    Tugas ! Lukis segitiga sama sisi dengan cara membuat sudut 60  !


b. Segiempat :
  1). Pengertian
    Segiempat adalah bangun tertutup sederhana yang terdiri atas 4 buah sisi dan 4
    buah sudut dalam yang jumlahnya 360 derajat. Sepasang-sepasang sisi saling
    berhadapan dan sepasang-sepasang sudut dalam saling berhadapan. Gambar B.5
                      C
     D
                                                A +  B +  C +  D = 360 
                                   B
             A     Gambar I.B. 5




    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   14
                                                                        Modul Geometri
2). Macam-macam Segiempat
  Dilihat dari komponen utama yaitu 4 buah sisi dan 4 buah sudut serta ciri-ciri
  khusus yang ada didalamnya maka segiempat dapat dibedakan menjadi bebarapa
  macam bentuk, diantaranya adalah ; trapesium, jajar genjang, persegi panjang,
  persegi, belah ketupat, layang-layang dan lain-lain.
     a) Trapesium
                                        Trapesium adalah bangun segiempat dengan sepasang
                                        sisi berhadapan sejajar. Trapesium ada tiga macam
                                        yang berbeda, seperti ; trapezium sama kaki ( gb. B.7)
           Gambar I.B.6                  trapesium siku-siku ( gambar B.8 )
                                         Trapesium sama kaki adalah trapesium dengan sepa-
                                         sang sisi berhadapan sama panjang.
           Gambar I.B.7

                                        Trapesium siku-siku adalah trapesium dimana salah
                                        satu sudutnya siku-siku ( = 900 ).
           Gambar I.B.8

  b) Jajar Genjang
                                C       Jajar genjang adalah bangun segiempat tertutup seder
                                        hana dimana sepasang-sepasang sisi berhadapan seja-
  D                                     jar. Gambar B.9
                            B           Akibatnya :
                                        *Sisi sejajar sama panjang, AB = CD dan AD = BC
 A         Gambar I.B.9                 *Sudut berhadapan sama besar ,  A =  C dan
                                         B = D
  c) Persegi Panjang
       D                        C       Persegi panjang adalah trapesium sama kaki dimana
                                        salah satu sudutnya adalah siku-siku ( = 900 ).
                                        Akibatnya ke empat sudutnya siku-siku. Atau
       A   Gambar I.B. 10           B



  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     15
                                                                          Modul Geometri
         Persegi panjang adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya siku-siku.
         Akibatnya ke empat sudutnya siku-siku.
         Jadi : AB = CD , AD = BC , dan A  B  C  D  900
    d) Persegi / Bujur Sangkar
           D                  C       Persegi atau bujur sangkar adalah persegi panjang
                                      dimana sisi bersebelahan sama panjang.
                                      Akibatnya keempat sisinya sama panjang. Gbr. B.11
          A                   B
                Gambar I.B.11

     e) Belah Ketupat
                  D                   Belah ketupat adalah kurva tertutup sederhana bersi
                                      si empat dimana diagonal yang satu menjadi sumbu
                                      diagonal yang lain. Gambar B.12
     A             E          C       AC  BD , AE = EC dan BE = ED
                                      Akibatnya ke empat sisinya sama panjang dan sudut
                                      yang berhadapan sama besar.
                  B                   AB = BC = CD = DA dan A  C dan B  D
            Gambar I.B.12             Jika kedua diagonalnya sama panjang atau salah satu
                                      sudut belah ketupat siku-siku maka bangun bidang
                                      datarnya menjadi persegi atau bujur sangkar.
    f) Layang-Layang
                D                     Layang-layang adalah kurva tertutup sederhana bersi
                                      si empat dimana sebuah diagonalnya menjadi sumbu
                                      diagonal yang satu. Gambar B.13
A                                 C
                  E                    AC  BD dan BE = ED
                                      Akibatnya sisi-sisi bersebelahan sama panjang dan se

                       B              pasang sudut berhadapan sama besar.
              Gambar I.B.13           Sisi AB = AD dan BC = CD serta B  D
    Jika diagonal-diagonalnya saling sumbu , maka bangunnya menjadi belah ketu


    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   16
                                                                        Modul Geometri
3). Melukis Segi Empat


  a) Jajaran Genjang
                                                        Melukis :
                                            *Buat garis AB
         D                       C          *Buat/ tarik sudut A
                                            *Buat goresan pada kaki sudut A,buat yang
                                             sama melalui titik B
    A   Gambar I.B.14      B               *Ukur lebar  A, lakukan pada kaki titik B
                                           *Tarik garis melalui titik B dan  A terben
                                             tuk ( berpidah ) dan besarnya =  B
                                            *Ukur panjang kaki A ( di D = sisi AD ),
                                             lakukan pada kaki B ( di C = sisi BC )
                                            *Hubungkan garis DC,maka bangun jajar
                                             genjang ABCD terlukis.




  b) Persegi Panjang                                             Melukis :
                                                *Buat garis melalui titik A dan titik B
         D                              C         *Buat sudut siku-siku melalui titik A titik,
                                                 dan juga melalui titik B
                                                *Ukur AD dan BC
                                                *Hubungkan DC
         A        Gambar I. B.15       B       *Persegi panjang ABCD terlukis.

  Tugas !
  Lukislah bangun-bangun :
  Persegi, Belah ketupat, dan Layang – layang pada kertas HVS.




  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     17
                                                                          Modul Geometri
c. Segi - n Beraturan
  1. Pengertian
    Segi –n beraturan adalah kurva (bangun datar) tertutup sederhana yang memiliki
    n buah sisi sama panjang dan n buah sudut sama besar serta mempunyai n buah
    simetri tingkat n. Pada segi-n beraturan berlakulah :
                               Jumlah Sudut Dalam == ( n – 2 ).1800


    Dan
                       Besar Sudut Dalam Tiap Titik Sudut =
                                                                             n  2180 0
                                                                                   n
  2. Macam – Macam Segi – n Beratuan
    a) Segitiga Beraturan/ Segitiga Sama Sisi
              C                                Segitiga beraturan di sebut juga segitiga sama
                                               sisi atau segitiga sama sudut. Spesifikasinya :
                                              *Jumlah sudut dalam = ( 3 – 2 ). 1800 = 1800.
                                              *Besar tiap sudut dalam  A =  B =  C
                                                                                    = 1800 : 3 = 600
    A                        B                *Garis tinggi = garis bagi = garis berat
            Gambar I.B.16                     *Mempunyai simetri tingkat 3.
    b) Segiempat Beraturan
        D                            C        Segiempat beraturan disebut juga persegi atau
                                              bujur sangkar. Spesifikasinya :
                                              *Jumlah sudut dalam = ( 4 – 2 ) .1800 = 3600
                                              *Besar tiap sudut dalamA = B = C =  D
        A                            B                                           = 3600 : 4 = 900
                  Gambar I.B.17               *Mempunyai simetri tingkat 4.
    c) Segilima Beraturan
                                         Segilima beraturan adalah kurva tertutup sederhana
                                         atau bangun datar dengan n buah sisi sama panjang



    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK         18
                                                                           Modul Geometri
                                         dan n buah sudut yang sama besar. Spesifikasinya :
                                              *Jumlah sudut dalam = ( 5 – 2 ) .1800 = 5400
                                              * A =  B =  C =  D = E = 1080
                                              *Mempunyai sumbu simetri tingkat 5
                       P                         Melukis :
                                               *Buat garis tengah pada lingkaran O
                                               *Buat sudut siku-siku ( di puncak P )
 A                                           B*Bagi salah satu jari-jarinya ( didapat titik Q )
                                               *Buat busur PS dengan titik Q sebagai titik pu-
              S        O          Q
                                                sat busur
                                               *Ukur panjang tali busur PS sebagai sisi segi-5
                                                beraturan didapat titik A dan titik B
         C                        D           *Ulangi langkah di atas melalui titik A dan
                  Gambar I.B.18                 titik B, didapat titik C dan titik D
                                               *Hubungkan ACDBP
                                               *Segilima beraturan ACDBP terlukis.
  Tugas !
  Lukis segienam beraturan dengan dua cara dan segi delapan pada kertas HVS.


d. Lingkaran
  1) Pengertian :
       Lingkaran adalah suatu lintasan yang merupakan tempat kedudukan titik – titik
       yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Jarak sama selanjutnya disebut
       jari – jari = r dan titik tetap disebut pusat lingkaran P. Gambar B.19


                        r                   Dalam hal yang lain lingkaran merupakan bentuk
                       P                    istimewa dari ellips, yaitu ellips yang mempunyai
                                            sumbu panjang sama dengan sumbu pendek.



     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   19
                                                                                Modul Geometri
                  Gambar I.B.19

         2) Bagian-bagian Lingkaran
                 C                               Perhatikan gambar B.20 !
                                                    *OA=OB = OC=OD
                                                      = jari – jari lingkaran = r
                                               B          * EB , EC, FG, AD = tali busur
                                                         * AD        = garis tengah / diameter = 2 r
D                       O                 A     A                     = tali busur terpanjang
                                         G
                                                   *A            B      = Busur AB
            E
                   F                                * F                  G = Tembereng
                Gambar I.B.20                                               C
                                                           * O                     = Juring lingkaran
                                                                             D
                                                          *  BEC          =  = Sudut keliling
                                                          *  BOC         =  = Sudut pusan = 2 
         Apotema
         Sudut pusat besarnya dua kali sudut lingkaran yang menghadapi busur yang sama.
Contoh :
Sebutkan nama bangun datar dengan kondisi, sebagai berikut :
    i. Aku adalah bangun datar, sepasang-sepasang sisiku berhadapan sejajar dan
          sama panjang, salah satu sudutku siku-siku. Siapakah aku ?
    ii. Aku adalah bangun datar, sisi bersebelahanku sama panjang, sudutku yang
          berhadapan salah satunya sama besar. Siapakah aku ?
    iii. Aku adalah bangun datar, diagonal-diagonalku saling menjadi sumbu, salah
           satu sudutku besarnya 900 . Siapakah aku ?
    Jawab :
    i.     Persegipanjang atau jajar genjang siku-siku


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     20
                                                                               Modul Geometri
      ii. Layang-layang
      iii. Persegi atau bujur sangkar atau belah ketupat siku-siku.


Lembar kerja Siswa 1.2
1. Lukis belah ketupat dengan diagonal pendek 3 cm dan diagonal panjang 4 cm !
      Jawab :
                                                           Melukis :
                                                            Buat garis ……
                                                            Buat sudut siku-siku di ….
                                                            Tarik garis ……
                                                            Ukur panjang ….
                                                            Ukur panjang ….
                                                            Hubungkan …. , …. , …. , dan ….
                                                            ……          terlukis,


2. Lukis jajaran genjang dengan  A = 450, AB = 5 cm dan AD = 3 cm !
      Jawab :
                                                           Melukis :
                                                            Buat garis ……. Panjang …..
                                                            Buat sudut siku-siku di … dan di …
                                                            Bagi sudut …. dan sudut ….
                                                            Tarik garis …. dan garis ….
                                                            Ukur panjang …. dan panjang ….
                                                            Hubungkan titik … dan titik …
                                                            ………… terlukis


3. Lukis segilima beraturan dengan jari-jari lingkaran sebagai acuan adalah 3 cm !
      Jawab :



         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   21
                                                                               Modul Geometri
      …………………………………………………………………………………………
      …………………………………………………………………………………………
      …………………………………………………………………………………………
      …………………………………………………………………………………..……
4. Lukislah lingkaran luar dan lingkaran dalam sebuah segitiga sama sisi dengan sisi
   segitiga 5 cm!
  Catatan : pusat lingkaran adalah titik persekutuan antara ketiga garis berat/ garis bagi/
  dan garis tinggi segitiga sama sisi.
     Jawab :
                                                           Melukis :
                                                            Buat garis …… ukur panjang …..
                                                            Goreskan ….. dan …..
                                                            Segi ……… terbentuk
                                                            Bagi garis …. , garis …. , dan garis …
                                                            Hubungkan garis … , … , dan ….
                                                            Buat lingkaran dengan pusat ….
                                                            ……… terlukis .
5. Lukislah sebuah lingkaran yang menyinggung bagian dalam bujur sangkar dengan
    panjang sisi 5 cm .
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………………………..




         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   22
                                                                             Modul Geometri
C. KELILING DAN LUAS BANGUN DATAR
  1. Keliling
       Keliling bangun datar merupakan panjang lintasan luar dari bangun itu. Pada
       umumnya untuk bangun-bangun bidang datar keliling merupakan jumlah semua
       panjang sisi-sisinya.
       Jadi untuk segitiga ABC kelilingnya adalah AB + BC + CA dan untuk segi
       empat ABCD kelilingnya adalah AB + BC + CD + DA dan seterusnya.
  2. Luas
       Luas bangun datar yang dimaksut merupakan daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi
       bidang datar. Pada umumnya luas bidang datar adalah hasil kali antara panjang
       sisi alas dan tingginya, kecuali segitiga lingkaran.
       Jadi luas segi empat ABCD adalah AB x CD dan seterusnya.
  3. Tabel Keliling dan Luas Bangun Datar
       Keliling dan luas beberapa bangun datar selanjutnya dirangkum dalam tabel C.1
       berikut ini :
                                                     Tabel B.2

  No         Nama Bangun                      Keliling                     Luas                Keterangan
  1.    Segitiga            C                                    L = ½ x alas x tinggi
                    C                                            L = ½ x AB x t                K= Keliling

              b             a            K = AB + BC + CA        L = 1 /2 x c x t               t = tinggi
                        t                  =a+b+c                                              L = luas
                                                                 L=

                                                                    ss  as  bs  c s = ½ keliling
          A         D           B
                  Gambar C.1

  2.    Persegi Panjang
         D                          C                            L = alas x tinggi
                                        K = AB + BC + CD + DA                                  p = panjang
                                                                    = AB x BC
                                l       K=2(p+l)                                               l = lebar
                                                                    =pxl
         A                      B
                    p




       Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK            23
                                                                                Modul Geometri
3.    Bujur Sangkar /
      Persegi
          D                           C                               L = AB x BC
                                              K = AB + BC + CD + DA                          a = sisi
                                      a                                = a2
                                                =4a                                                persegi
                              B
          A                           B
                 Gambar C.3

4     Belah Ketupat
                                                                                             d1 = diagonal
                         d2
                                       C                                                              pendek
         A           d
                         1                    K = AB+BC+CD+DA         L = ½ x AC x BD        d2 = diagonal

                 a                                                                                    panjang
                                                =4a                    = ½ x d1 x d2
                         B                                                                   a = sisi jajar
                 Gambar C.4                                                                       genjang
5     Trapesium
             D                    C

                 t                            K = AB+BC+CB+ DA               1               t = tinggi
                                                                       L=      (AB+DC) x t
                                                                             2                    trapesium
      A                                   B
                 Gambar C.5
6     Jajar genjang
             A                            B K = AB+BC+CD+DA                  1               t    =     tinggi
                                                                       L=      (AB+CD) x t
         b       t                             = 2a+2b                       2               jajar genjang
     C                            D            =2(a+b)
                     a
                 Gambar C.6

7     Layang-Layang                                                                          d1 = diagonal
                                                                           1                          pendek
                                                                      L=     x AC x BD
                                              K = AB+BC+CD+DA              2                 d2 = diagonal
                                                                            1                         panjang
                                                                       =      x d1 x d2
                                                                            2
                 Gambar C.6




     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK                  24
                                                                             Modul Geometri
8     Lingkaran

                                  K = 2 r                     L=r
                                                                         2                   r = jari-jari
                                                                                                  lingkaran
                      P   r            =d
                                                                                             d = diameter
                                                                                               22  3,14
                                                                                                   7
            Gambar C.8




Contoh :
i. Keliling suatu persegi panjang 90 cm dengan panjang 27,5 cm. Tentukan :
     a. Lebar persegi panjang.
     b. Luas persegi panjang.
ii. Luas suatu bujur sangkar adalah 196 cm2 . Hitunglah :
     a. Panjang sisinya
     b. Keliling persegi.
iii. Sebuah belah ketupat mempunyai panjang sisi 10 cm dan panjang salah satu
     diagonalnya 16 cm. Hitunglah :
     a. Panjang diagonal yang lain
     b. Luasnya.
Jawab :
i.                p                     a. K = 2 p + 2 l  2 l = K – 2 p
                                                                             K 2p
                              l    l                                 l=
                                                                               2
                                                                             90  2(27,5)
                                                                        =
                                                                                   2
                                                                        90  55 35
                                                                    =          
                                                                           2     2
                                                                    = 17,5
                                            Jadi lebar persegi panjang = 17,5 cm.




     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK               25
                                                                             Modul Geometri
                                       b. L = p x l = 27,5 x 17,5
                                                      = 481,25
                                          Jadi luas persegi panjang = 481,25 cm2


ii.             a                        a. L = a2  a =           L
                                                            =    196
           196 cm2
                                                            = 14
                                            Jadi sisi bujur sangkar = 14 cm
                                         b. K = 4 a = 4 x 14
                                                      = 56
                                            Jadi keliling persegi = 56 cm
iii.                D                       a. Misal BD = 16 cm               AC = … ?
           10                                Lihat  AEC , siku-siku di E
       A                  C                      AE2 = AD2 – DE2
                    E
                                                     = 102 - 82
                                                     = 100 - 64
                    B                                = 36          AE =      36
                                                                       = 6
                                            AC = 2 x AE
                                                =2x6
                                                = 12
                                            Jadi panjang diagonal yang lain = 12 cm
                                         b. L = ½ x AC x BD
                                              = ½ x 12 x 16
                                              = 96
                                            Jadi luas belah ketupat = 96 cm2




      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   26
                                                                               Modul Geometri
Lembar Kerja Siswa 1.3
1. Sebuah sepeda dengan roda berdiameter 84,7 cm. jika roda telah diputar sebanyak 100
   putaran penuh, maka hitunglah panjang lintasan yang telah dilalui roda sepeda tersebut.
   Jawab:
   Panjang lintasan = ……… roda x …….
                    = x …. x …..
                    =    x ….
                    = ……
2. Diketahui ABC, a = 5 cm, b = 6 cm dan c = 7 cm. Hitunglah luas daerah  ABCD.
   Jawab:
                                                     S=½(…+…+…)
                                                     L                =
                                                                      =
                                                                      =
                                                                      = …..
3. Diketahui lingkaran P dengan jari-jari = 3,5 cm dan < ACB = 30°.
                                                Hitunglah
            B                   A
                                                a. Luas jaring A O B
                      O                         b. Panjang busur AB
                                                c. Besar < C O A

 Jawab :          C
   a. Luas juring AOB =             x Luas lingkaran
                       =
                       =
                       =       …..
   b. Panjang busur AB =          x ……
                       =           x …..
                       =       …. x ….
                       =       …..
   c. Besar            =       ….



         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   27
                                                                                  Modul Geometri
4. Diketahui persegi panjang ABCD dengan AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Dari titik-titik
   tengah persegi panjang dihubungkan garis hingga membentuk belah ketupat. Hitunglah
   luas belah ketupat !
   Jawab:
        D                  R                 C          LPQRS = ½ x ….. x ……
                                                                = ½ x …… x …..
        S                                     Q                 = ……..
                                                                = …….


        A                  P                 B


5. Seutas kawat sepanjang 84 cm akan dibentuk bangun datar. Hitunglah luas bangun
   yang terjadi jika bangun itu adalah :
   a. Segitiga sama sisi
   b. Lingkaran
   Jawab:
   a.                            Keliling = 3 x sisi = …..
                                                     sisi = ….. : 3
                                                        = …..
                                 ½ keliling = S = ½       x   …. = ….
                                 Luassegitiga =
                                                 =
                                                 =
                                                 = ….
   b.




            Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   28
                                                                               Modul Geometri
6. Sebuah segi empat layang-layang ABCD mempunyai panjang sisi AB = BC = 20 cm,
  CD = DA = 15 cm. Jika diagonal AC dan diagonal BD berpotongan di E sedemikian
  hingga AE = CE = 12 cm maka hitunglah :
  a. Panjang BD dan
  b. Luas ABCD
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………


7. Hitung luas daerah yang diarsir dari gambar berikut ini :
                                        Jawab :
                                       Luasarsiran = …… - ( ….. + ….. )
                            14cm                   =…x…-(

                                                   = …. - ( ….. + ….. )
             14 cm                                 = ….. - ……
                                                   = …..




D. TRANSFORMASI GEOMETRI

    1. Pengertian




         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   29
                                                                          Modul Geometri
  Transformasi adalah suatu cara untuk melakukan perpindahan suatu obyek atau
  benda bidang datar dari tempat asal ke tempat yang baru. Pemindahan selanjutnya
  dikenal sebagai pemetaan dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain : per
  geseran, pencerminan, perputaran, dan pergandaan atau perkalian.
  Pemindahan atau pemetaan terhadap benda atau obyek yang dilakukan haruslah
  tidak mengubah bentuk benda, hanya arah atau ukuran yang diupayakan boleh
  berubah.
2. Jenis-jenis Transformasi


  Di atas sudah disebutkan bahwa ada empat jenis transformasi yang dapat dilakukan
  terhadap suatu obyek, yaitu : Pergeseran ( translasi ), pencerminan ( refleksi ),
  perputaran ( rotasi ) dan Perkalian ( dilatasi ).
  a. Pergeseran / Translasi
        1) Pengertian :
               Pergeseran atau translasi adalah suatu bentuk transformasi yang
               memindahkan tiap titik yang berada dalam bidang dari tempat awal ke
               tempat baru dengan arah dan jarak tertentu.
               Jarak dan arah tertentu selanjutnya dapat diwakili oleh suatu ruas garis
                                                                               a 
               berarah, misalnya garis AB atau oleh pasangan bilangan terurut   .
                                                                               b 
                                                                               
               Translasi atau pergeseran diberi notasi “ T “.
        2) Hasil Translasi
               Perhatikan gambar D.1.
               Jika sebuah titik P( x , y ) ditranslasikan oleh :


               Y
                        P’(x+a,y+b)            a 
        y
        y+b                 *             T =   maka bayangan atau hasil translasinya
                                               b 
                                               
       b
         y         *P(x,y)
    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   30

           0       x     x+a     x
                        a
                                                                       Modul Geometri
                  P(x+a,y+b)           adalah titik P’( x’ , y’ ) dimana x’ = x + a dan
                                       y’ = y + b. Jadi secara umum pemetaan hasil suatu
                                                                            a
                                       translasi sebuah titik P(x,y) oleh T   dapat ditulis
                                                                            b
                                                                             
                                           a
                                       T =   : P( x, y)  p ' ( x' , y' )  P' ( x  a, y  b)
                                           b
                                            


Contoh :
i. Tentukan bayangan titik A( 1 , 2 ), titik B( -2, 3 ), dan titik C( -1, -2 ) oleh suatu
                  2
   translasi T =  
                  1
                  
ii. Translasi T memetakan P( 2 , -4 ) ke titik P’( 3, 1 ). Tentukanlah :
   a.             Translasi T itu.
   b.             Bayangan titik Q( -2 , 3 ) dan R ( 3 , -2 ) oleh T !
                                                           3 
iii. Tentukan bayangan garis y = x – 2 oleh translasi T =  
                                                           1 
                                                           
Jawab :
i. Untuk titik A( 1 , 2 ) :
        2
   T =   : A( 1 , 2 )  A’( 2 + 1 , (-1) + 2 ) = A’ ( 3 , 1 )
        1
        
   Untuk titik B( -2 , 3 ) :
        2
   T =   : B( -2 , 3 )  B’( 2 + (-2) , (-1) + 3 ) = B’( 0 , 2 )
        1
        
   Untuk titik C( -1 , -2 ) :

   T =  2  : C( -1 , -2 )  C’( 2 + (-1) , (-1) + (-2) ) = C’ ( 1 , -3 )
        
        
           1
   Jadi bayangan dari titik A( 1 , 2 ) , titik B( -2 , 3 ) dan titik C( -1 , -2 ) oleh

   translasi T =   adalah A’( 3 , 1 ) , B’( 0 , 2 ) dan C’( 1 , -3 ).
                  2
                  
                  
                     1


 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK        31
                                                                        Modul Geometri
                            a 
ii. Misalkan translasi T =   : P( 2 , -4 )  P’( 3 , 1 )
                            b 
                            

       a. T =  a  : P( 2 , -4 )  P’( 3 , 1 )
               
               
                b 
           diperoleh suatu kesamaan : a + 2 = 3              dan    b + (-4) = 1
                                            a      =3–2             b          =1+4
                                                   =1                          =5
                                       1
           Jadi translasi T adalah T =  
                                       5
                                        
       b. Untuk titik Q( -2 , 3 ) :

           T =  1  : Q( -2 , 3 )  Q’( 1 + (-2) , 5 + 3 ) = Q’ ( -1 , 8 )
                
                
               5
           Untuk titik R( 3 , - 2 ) :

           T =  1  : R( 3 , -2 )  R’( 1 + 3 , 5 +(-2) ) = R’( 4 , 3 )
                
                
                 5

           Jadi bayangan titik Q( -2 , 3 ) dan titik R(3 , -2) oleh translasi T =  
                                                                                               1
                                                                                   
                                                                                  5
                                                                                   
           adalah Q’(-1 , 8 ) dan R’( 4 , 3 )

iii.       T =  3  : P( x , y )  P’( x’ , y’ ) dimana x’ = x + 3 dan y’ = y +1
                
                1
                 

                                                           x = x’ – 3         y = y’ -1
           Dengan mensubstitusikan nilai x = x’ – 3 dan nilai y = y’ – 1 dalam
           persamaan garis        y       = x – 2, diperoleh :
                                  y‘ – 1 = x’ - 3 – 2
                                  y’      = x’ - 3 – 2 + 1
                                  y’ = x’ – 4

           Jadi bayangan garis y = x – 2 oleh translasi  3  adalah y = x’ – 4 .
                                                         
                                                         
                                                                1

b. Pencerminan / Refleksi


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       32
                                                                      Modul Geometri
1) Pengertian
    Pencerminan atau refleksi adalah suatu bentuk transformasi yang memetakan
    atau memindahkan setiap titik dalam bidang semula ke bidang bayangan
    dengan menggunakan sifat-sifat bayangan cermin.
    Pencerminan diberi notasi “Mp” , dimana p adalah indeks yang menyatakan
    sumbu darai penceminan yang dilakukan.


2) Sifat-sifat Pencerminan
    Pada transformasi pencerminan ada tiga sifat utama, yaitu :
         Jarak antara titik asal dan sumbu pencerminan ( cermin ) sama dengan
             jarak antara titik bayangan dan sumbu pencerminan.
          Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak
             lurus terhadap sumbu pencerminan .
          Bentuk benda sama dengan bentuk bayangan tetapi dengan arah yang
             berhadapan ( berlawanan ).
3) Macam-macam Pencerminan
    a) Pencerminan Terhadap Sumbu x
       Perhatikan gambar D.2 Jika titik A( x , y ) dicerminkan terhadap sumbu x
                  y                                  Maka bayangannya adalah A’( x’,y’)
                  y            P(x,y)                dimana x’ = x dan y’ = -y . Secara
                                                     pemetaan dapat dituliskan berbentuk :
                  O                     X
                  -y                              Mx : A( x , y )  A’(x’, y’)= P ( x , -y)
                              P’(x, -y)
                    Gambar D.2

       Jika x’ = x dan y’= -y dituliskan dalam bentuk :
            x’ = x = 1. x + 0. y
            y’ = -y = 0. x + -1. y maka dalam bentuk matriks koefisiennya adalah :
                                   x'   1    0  x 
                                   
                                   y'   0           
                                              1  y 
                                                       


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK    33
                                                                      Modul Geometri


       Jadi bentuk matriks  1          0
                                    0 1
                                            adalah matriks yang bersesuaian dengan
                                          
                                         
       pencerminan terhadap sumbu x.


       Contoh :
       Tentukan bayangan pencerminan dengan sumbu x titik-titik berikut ini :
       i.       A( 3 , -2 )
       ii.      B( -2 , -3 )
       Jawab :
       i.       Mx : A( 3 , -2 )  A’( x’ , y’ ) = A’ ( x , -y )
                                                      = A’( 3 , 2 )
                Jadi bayangan A( 3 , -2 ) adalah A’( 3 , 2 )
       ii.      Mx : B( -2 , -3 )  B’( x’ , y’ )
                Dengan menggunakan perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan,
                sebagai berikut :
                  x'   1 0   x 
                  y'   0  1  y 
                            
                             
                  x'   1 0    2 
                  
                  y '   0  1   3 
                                  
                               
                  x'   1.(2)  0.(3) 
                  
                  y '   0(2)  (1)(3) 
                                            
                                         
                  x'    2 
                   
                  y'   3 
                    
                Jadi bayangan titik B( -2 , -3 ) oleh pencerminan terhadap sumbu x
                adalah B’( -2 , 3 )


    b) Pencerminan Tehadap Sumbu y
       Perhatikan gambar D.3 Jika titik A( x , y ) dicerminkan terhadap sumbu y


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   34
                                                                       Modul Geometri
                                                    maka bayangannya adalah A’( x’ , y’ )
                         y
                 P’(-x,y)         p(x,y)            dimana x’ = -x dan y’ = y . Secara pe-

                                        X           metaan dapat dituliskan dalam bentuk:
                -x       O         x
                                                    My: A( x , y )  P’( x’, y’)= P’(-x, y)
                     Gambar D.3

       Jika x’ = -x dan y’ = y dituliskan dalam bentuk :
       x’ = - x = -1. x + 0. y
       y’ = y = 0. x +1.y maka dalam bentuk matriks koefisien adalah :
                                             x'    1 0   x   
                                             
                                             y'   0 1   y
                                                                 
                                                                   
                                                              

                                       1 0
       Jadi bentuk matriks 
                           
                           0               adalah matriks yang bersesuaian dengan
                                         1
                                           
       pencerminan terhadap sumbu y.
       Contoh :
       Tentukan bayangan pencerminan dengan sumbu y titik-titik berikut ini :
       i.       A( -2 , 5 )
       ii.      B( 4 , -1 )
       Jawab :
       i.       My : A( -2 , 5 )  A’( x’ , y’ ) = A’( -x , y )
                                                     = A’( 2 , 5 )
                Jadi bayangan A( -2 , 5 ) oleh pencerminan sumbu y adalah A’( 2 ,5)
       ii.      My : B( 4 , -1 )  B’( x’ , y’ )
                Dengan memakai perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan sebagai
                berikut ;
                      x'    1 0   x 
                      y'   0 1   y 
                                 
                                  




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK    35
                                                                      Modul Geometri
                 x'    1 0   4 
                 
                 y'   0 1    1
                                
                             
                 x'   (1).4  0.(1) 
                 
                 y'   0.4  1.(1)   
                                      
                 x'    4 
                  
                 y'    1 
                   
                Jadi bayangan B(4 , -1) oleh pencerminan sumbu y adalah B’(-4,-1)


    c) Pencerminan Terhadap Titik Potong Sumbu O( 0 , 0 )
       Perhatikan gambar D.4 Jika titik A( x , y ) dicerminkan terhadap titik
                           y                             potong sumbu koordinat atau titik asal
                           y        A(x,y)
                                                         maka bayangannya adalah A’( x’ , y’),
                                                         dimana x’ = -x dan y’ = -y. Secara pe-
                      -x       0    x          x
                                                         metaan dapat dituliskan dalam bentuk
                 A’(-x,-y)     -y
                                                         Mo : A( x, y )  A’(x’, y’)=P’(-x,-y)
                      Gambar D.4

       Jika x’ = -x dan y’ = -y dituliskan dalam bentuk :
       x’ = -x = -1 . x + 0. y
       y’ = -y = 0. x + (-1). y maka dalam bentuk matriks koefisien adalah :

                                                    x'    1 0   x 
                                                    
                                                    y'   0  1  y 
                                                                   
                                                                


       Jadi bentuk matriks                1 0  adalah   matriks yang bersesuaian dengan
                                        
                                         0  1
                                               

       pencerminan terhadap titik potong sumbu koordinat atau titik asal.


       Contoh :
       Tentukan bayangan pencerminan oleh titik asal titik-titik berikut ini :



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK        36
                                                                      Modul Geometri
       i.       A( 2 , -3 )
       ii.      B( -3 , -2 )
       Jawab :
       i.       M0 : A( 2 , - 3 )  A’( x’ , y’ ) = A’( -x , -y )
                                                     = A’( -2 , 3 )
                Jadi bayangan A(2 , -3) pada pencerminan titik asal adalah A’(-2 , 3)
       ii.      M0 : B( -3 , -2 )  B’( x’ , y’ )
                Dengan perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan sebagai berikut :
                  x'    1 0   x 
                  
                  y '   0  1  y 
                                    
                                 
                  x'    1 0    3 
                  
                  y '   0  1   2 
                                    
                                 
                  x'   (1).(3)  0.(2) 
                  
                  y '   0.(3)  (1).(2) 
                                              
                                           
                  x'   3 
                   
                  y'  2 
                    
                Jadi bayangan titik B(-2,-3) oleh pencerminan titik O adalah B’(2, 3)
    d) Pencerminan Terhadap Garis y = x
       Perhatikan gambar D.5 Jika titik A( x , y ) dicerminkan terhadap garis y = x
                    y                y=x               maka bayangannya dalah A’( x’ , y‘ )
                         P’(y,x)
                                                       dimana x’ = y dan y’ = x. Secara pe-
                                   P(x,y)              metaan dituliskan sebagai berikut :
                   O                         x
                                                 My = x:A(x, y)  A’(x’, y’)=A’(y,
                        Gambar D.5
        Jika x’ = y dan y’ = x , dituliskan dalam bentuk :       x)
        x’ = y = 0. x + 1. y
        y’ = x = 1. x + 0.y maka dalam bentuk matriks koefisiennya adalah :
                                                    x'   0 1   x      
                                                    
                                                    y'   1 0   y
                                                                         
                                                                           
                                                                      




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK    37
                                                                  Modul Geometri
       Jadi matriks  0 1  bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = x
                         
                       1       0
                                


       Contoh :
       Tentukan bayangan pencerminan terhadapgaris y = x titik berikut ini :
       i.       A( -2 , 3 )
       ii.      B( -3 , -2 )
       Jawab :
       i.       My = x : A( -2 , 3 )  A’( x’ , y’ ) = A’( y , x )
                                                      = A’( 3 , -2 )
              Jadi bayangan A( -2 , 3 ) oleh pencerminan terhadap garis y = x
              adalah A’( 3 , -2 )
       ii.      My = x : B( -3 , -2 )  B’( x’ , y’ )
              Dengan perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan sebagai berikut :
                  x'   0 1   x 
                  
                  y'  1 0   y 
                                      
                                   
                  x'   0 1    3 
                              
                  y'   1 0    2 
                                   
                  x '   0.(3)  1.(2) 
                                         
                  y '   1.(3)  0.(2) 
                                         
                  x'    2 
                            
                  y'    3 
                            

              Jadi bayangan B( -3 , -2 ) oelh pencerminan terhadap garis y = x
              adalah B’( -2 , -3 ).


   e) Pencerminan Terhadap Garis y = -x
       Perhatikan gambar D.6 Jika titik A(x , y) dicerminkan terhadap garis y = -x

              y = -x        y                       maka bayangannya adalah A’( x’,y’ )
                            y    A(x,y)
                                                    dimana x’ = -y dan y’ = -x. Secara pe
                                                    metaan dituliskan sebagai berikut :
                                           x
                 -y         O        x

                A’(-y,-x)
Erman -----------------------------D.6
                        Gambar Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       38
                                                                      Modul Geometri

                                                       My = -x:A(x,y)  A’(x’,y’)=A’(-y,-x)



       Jika x’ = -y dan y’ = -x , dituliskan dalam bentuk :
       x’ = -y = 0.x + (-1).y
       y’ = -x = (-1).x + 0.y , maka matriks koefisiennya adalah :
                                               x'   0  1  x 
                                               
                                               y'    1 0   y 
                                                                 
                                                              

                     0  1
                      1 0  adalah matris satuan yang bersesuaian dengan
       Jadi matriks        
                           
       pencerminan terhadap garis y = -x.


       Contoh :
       Tentukan bayangan pencerminan terhadap garis y = -x titik-titik berikut ini :
       i.       A( -2 , 3 )
       ii.      B( -3 , -2 )
       Jawab :
       i.       My = -x : A( -2 , 3)  A’( x’ ,y’ ) = A’( -y , –x )
                                                       = A’( -3 , 2 )
               Jadi bayangan A( -2,3) pencerminan oleh garis y = -x adalah A’(-3,2)
       ii.      My = -x : B( -3 , -2 )  B’( x’ , y’ )
       Dengan perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan sebagai berikut :




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK    39
                                                                      Modul Geometri
        x '   0  1  x 
        
        y'   1 0   y 
                          
                       
        x '   0  1   3 
        y'   1 0    2 
                      
                       
        x'   0.(3)  (1).(2) 
        y '   (1).(3)  0.(2) 
                                
                                 
        x'   2 
         
        y'  3 
          
       Jadi bayangan titik B(-3 , -2 ) oleh pencerminan terhadap garis y = -x
       adalah B’( 2 , 3 ).


  Selanjutnya semua pemetaan hasil pencerminan dan matriks-matriks yang
  bersesuaian dengan semua macam pencerminan di atas dapat dirangkum dalam
  tabel D.1 , sebagai berikut :


                                                 Tabel D.1
            JENIS
                                                  PEMETAAN                          MATRIKS
        PENCERMINAN
                                                                                      1 0 
                                         Mx : A( x , y )  A’( x , -y )               
                                                                                       0 1
      Pencerminan Terhadap
                                                                                            
            Sumbu x                                                                        
                                                                                       1 0
                                          My : A( x , y )  A’( -x , y )              
                                                                                       0 1
      Pencerminan Terhadap
                                                                                            
            Sumbu y                                                                        
                                                                                      1 0 
      Pencerminan Terhadap               Mo : A( x , y )  A’( -x , -y )              0  1
                                                                                           
          Titik Asal O                                                                     
                                                                                      0 1
                                         My = x: A( x , y )  A’( y , x )             
                                                                                      1 0
      Pencerminan Terhadap
                                                                                          
           Garis y = x                                                                   
                                                                                      0  1
      Pencerminan Terhadap             My = -x : A( x , y )  A’( -y , -x )           1 0 
                                                                                           
           Garis y = -x                                                                    




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK      40
                                                                        Modul Geometri
c. Perputaran / Rotasi
    1) Pengertian
        Perputaran atau rotasi adalah suatu bentuk transformasi yang memindahkan
        atau setiap titik dalam bangun bidang datar dari tempat awal ke tempat baru
        dengan cara mamutar bangun atau titik-titik tersebut sejauh α terhadap suatu
        titik pusat perputaran dengan arah yang sudah ditentukan.
        Perputaran atau rotasi diberi notasi “R”.
        Perhatikan gambar D.7 !

                 y       P’(x cos α – y sin α ,        Keterangan :
                               x sin α+ y cos α)              α     = sudut perputaran
                                                              O     = pusat perputaran
                                   P(x,y)
                     α                                        PP’ = arah sudut perputaran
               O                      x
                         Gambar D.7


        Sudut Perputaran, adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik asal
        dan pusat perputaran dengan garis yang menghubungkan titik bayangan dan
        pusat perputaran.
        Besar sudut perputaran, adalah ukuran jauhnya titik atau bangun datar
        dilakukan perputaran. Arah perputaran, adalah tempat yang akan dituju saat
        melakukan rotasi atau perputaran dengan ketentuan : bertanda positif jika
        berlawanan dengan arah putar jarum jam dan sebaliknya bertanda negatif
        jika arah bersesuaian dengan arah putar jarum jam.
        Pusat perputaran, adalah sebuah titik tetap yang digunakan sebagai acuan
        dalam melakukan perputaran.
        Ada tiga komponen penting pada perputaran pada bidang datar, yaitu :
                   Titik pusat perputaran / rotasi
                   Besarnya sudut perputaran / rotasi
                   Arah sudut perputaran / rotasi.



  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   41
                                                                      Modul Geometri
2) Macam Perputaran

   a) Rotasi Terhadap Titik Pusat O( 0 , 0 )

      Perhatikan gambar D.8 Jika titik A( x , y ) diputar sejauh ( sebesar ) β dimana
      arah putar berlawanan arah putar jarum jam dengan pusat O( 0 , 0 ), diberi
      notasi “R( O , β )” maka bayangan dari titik tersebut adalah A’( x’ , y’ )

              y A’(x cos β - y sin β,          x’ = x cos β – y sin β dan
                       x sin β+ y cosβ )
                                               y’ = x sin β + y cos β , secara pemetaan
                                               dapat dituliskan dalam bentuk :
                                A(x,y)
                  β
                                  x               R( O , β ): A( x , y )  A’ ( x’ , y’ )
             O                                  = A’( x cos β – y sin β , x sin β + y cos β
                  Gambar D.8




      Secara matriks dapat dituliskan dalam bentuk :

                                       x'   cos         sin    x 
                                       
                                       y'   sin                 
                                                         cos    y 
                                                                    

               cos         sin  
      Matriks 
               sin                 merupakan matriks yang bersesuain dengan rotasi
                            cos  
      R( O , β ). Sudut β merupakan besarnya sudut perputaran.
      Selanjutnya untuk hasil perputaran atau rotasi dengan pusat titik O( 0 , 0 ),
      dengan sudut putar yang istimewa disajikan dalam tabel D.2 berikuti ini :

                                                Tabel D.2

         PERPUTARAN                              PEMETAN                          MATRIKS

      Perputaran Terhadap                                                           0  1
      Titik Pusat O( 0 , 0 ) R(O,900): A( x , y )  A’( -y , x )                   
                                                                                   1 0  
                                                                                         
      Sebesar 900


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK    42
                                                                      Modul Geometri

      Perputaran Terhadap                                                            0 1
      Titik Pusat O( 0, 0 ) R(O,-900): A( x , y )  A’( y , -x)                      1 0
                                                                                         
                                                                                         
      Sebesar-900atau 2700

      Perputaran Terhadap                                                           1 0 
      Titik Pusat O( 0, 0 ) R(O,1800) :A( x , y)  A’(-x , -y)                     
                                                                                    0  1
                                                                                          
                                                                                         
      Sebesar 1800

      Perputaran Terhadat R(O,β) : A( x , y )  A’ (x’, y’ )                      cos   sin  
                                                                                  sin  cos  
                                                                                                
      Titik Pusat O( 0 , 0) x’ = x cos β – y sin β dan y’                                       
      Sebesar β             = x sin β + y cos β


      Contoh :
      Tentukan bayangan titik A( -2 , -3 ) dirotasikan terhadap titik O( 0 , 0 )
      i.       Sebesar 900
      ii.      Sebesar 1800
      iii.     Sebesar 450
      iv.      Sebesar -900.
      Jawab :
      i.       R( O , 900) : A( -2 , -3 )  A’( x’ , y’ ) = A’( -y , x )
                                                                = A’( 3 , -2 )
               Jadi bayangan A( -2 , -3 ) oleh rotasi R( O , 900 ) adalah A’( -2 , -3 )
      ii.      R( O , 1800 ) : A( -2 , -3 )  A’( x’ , y’ ) = A’( -x , -y )
                                                                   = A’( 2 , 3 )
               Jadi bayangan A( -2 , -3 ) oleh rotasi R( O, 1800) adalah A’( 2 , 3 )
      iii.     R( O , 450 ) : A( -2 , -3 )  A’( x’ , y’ )
               Dengan perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan sebagai berikut :




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK           43
                                                                      Modul Geometri

                                                       3   
                                          x'    2  2 2 
                                          
                                          y'              
                                            2  3 2 
                                                           
                                                       2   
                                                 1    
                                          x'   2 2 
                                          
                                          y'         
                                            5 2 
                                                      
                                                 2    

                                                                                    1      5
                Jadi bayangan A(-2,-3) oleh rotasi R(O,450 ) adalah A’(               2 ,   2)
                                                                                    2      2

      iv.       R( O , -900 ) : A( x , y )  A’( x’ , y’ ) = A’ ( y , -x )

                                                                  = A’( -3 , 2 )

                Jadi bayangan A( -2 , -3 ) oleh rotasi R( O , -900 ) adalah R( -3 , 2 )


    b) Rotasi Terhadap Titik Pusat P( a , b )
       Perhatikan gambar D.9 Jika titik A (x , y) diputar sebesar β berlawanan arah
                                                          putar jarum jam terhadap titik pusat
                      y
                           A’(x’,y’)                      P( a , b ) maka bayangannya adalah
                                                          adalah A’( x’ , y’ ) dimana :
                                  β        A(x,y)
                          (a,b)                         x’ – a = ( x – a ) cos β – ( y – b ) sin β
                      O                         x         x’ = (x-a) cos β – (y-b) sin β + a
                          Gambar D.9
                                                        y’- b = ( x – a ) cos β + ( y – b ) cos β
                                                          y’ = (x-a) cos β + (y-b) cos β + b
           Secara matriks dapat dituliskan dalam bentuk :

                                        x'   cos       sin    x  a   a 
                                        
                                        y'   sin                       
                                                        cob   y  b   b 
                                                                            

      Contoh :
      Tentukan bayangan titik A( -2 , -3 ) oleh rotasi :
      i.        R( O , 900 )


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK           44
                                                                      Modul Geometri
      ii.      Terhadap titik ( 1 , 4 ) sejauh 900
      Jawab :
      i.       R( O , 900 ) : A( -2 , -3 )  A’( x’ , y’)
               Dengan perkalian matriks x’ dan y’ ditentukan sebagai berikut :
                        x'   0  1   x 
                        
                        y'   1 0   y 
                                        
                                     
                        x'   0  1    2 
                        y'   1 0    3 
                                         
                                          
                        x'   0.(2)  (1).(3) 
                        y '   1.(2)  0.(3) 
                                               
                                                
                        x'   3 
                        
                        y'    2 
                                    
                                 
               Jadi bayangan A( -2 , -3 ) oleh Rotasi R( O , 900 ) adalah A’( 3 , -2 )
      ii.      R    1,4)  90  : A( -2 , -3 )  a' ( x' , y' )
                                 0



               Dengan perkalian matriks x’ dan y’ ditentukan sebagai berikut :
                            x'   0  1   x  a   a 
                         
                                                 
                            y'   1 0   y  b   b 
                                                    
                            x '   0  1   (  2)  1   1 
                         
                                                     
                            y '   1 0   (3)  4   4 
                                                        
                            x'   0  1    3   1 
                         
                                               
                            y'   1 0    7   4 
                                                  
                            x'   0.(3)  (1).(7)   1 
                         
                                                    
                            y '   1.(3)  0.(7)   4 
                                                       
                            x'   7   1 
                         
                                     
                            y'    3   4 
                                        
                            x'   8 
                               
                         
                            y'   1 
                                  
               Jadi bayangan titik A( -2 , -3 ) oleh rotasi berpusat di titik ( 1 , 4 )
               dengan sudut putar 900 adalah A’( 8 , 1 ).



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   45
                                                                        Modul Geometri
d. Perkalian / Dilatasi
  1) Pengertian
      Perkalian atau dilatasi adalah suatu bentuk transformasi memetakan semua
      titik pada bangun datar asal ke bangun yang baru dengan bentuk yang sama,
      dengan cara mengubah ukurannya menjadi lebih besar ( diperbesar ) atau
      menjadi lebih kecil (diperkecil).
      Dua komponen utama dalam perkalian atau dilatasi adalah :
               Pusat dilatasi, berupa sebuah atau sebuah garis yang tetap dan
               Faktor perkalian atau factor skala , k.
      Dilatasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan faktor skala k diberi notasi O, k 
      Dilihat dari besarnya faktor skala k, bangun bayangan hasil perkalian dapat di
      tentukan sebagai berikut :
      a) Jika k > 1 maka bangun bayangannya akan diperbesar dan terletak sepihak
          terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Lihat gambar D.10
      b) Jika 0 < k < 1 maka bangun bayangannya akan diperkecil dan terletak
          sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Lihat gambar D.11
      c) Jika -1< k < 0 maka bangun bayangannya diperkecil dan terletak berlainan
          pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Lihat gambar D,12
      d) Jika k < -1 maka bangun bayangannya diperbesar dan terletak berlainan
          pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Lihat gambar D.13


                               C’                                                   C
                      C                                                 C’
              O                B                 B’          O                     B’          B
                       A                                                 A’
                                    A’                                                  A
                      Gambar I.D.10                                      Gambar I. D.11




  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       46
                                                                          Modul Geometri
                                             C

                          A’                            B            A’                   C
               B’                                                                                    B
                     C’               A                         B’
                      Gambar I.D.12                                            C’             A

                                                                              Gambar I.D.13


2) Macam Perkalian
    a) Dilatasi Terhadap Titik Pusat O( 0, 0 ) dan Faktor Skala k
       Jika titik A( x , y ) diperkalikan / didilatasikan terhadap titik pusat O( 0 , 0 )
       Dengan faktor skala k maka bayangannya adalah titik A’( x’ , y’ ) dimana
       x’ = k x dan y’ = k y.
       Secara pemetaan dapat dituliskan dalam bentuk :

                     O , k  : A( x , y )  A' ( x' , y' )  A' ( kx, ky )


       Selanjutnya x’ dan y’ jika dituliskan dalam bentuk :
       x’ = k x + 0 y dan
       y’ = 0 x + k y , maka bentuk koefisiennya adalah :

                     x'   k 0   x 
                     
                     y'   0 k   y 
                                  
                               
               k o
       Matriks 
                o k  adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi
                                                                                                  O, k 
                    

    b) Dilatasi Terhadap Titik Pusat P( a , b )
       Jika titik A( x , y ) didilatasikan terhadap titik pusat P( a , b ) dengan faktor
       skala k maka bayangannya adalah A’( x’ , y’ ) dimana
       x’ - a = k ( x – a )  x’ = k ( x – a ) + a dan
       y’ - b = k ( y – b )        y’ = k ( y – b ) + b


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK                   47
                                                                      Modul Geometri
       Maka bentuk matriks koefisiennya adalah :

                              x'   k 0   x  a   a 
                               
                              y'   0 k   y  b    b 
                                                    
                                                 



       Contoh :
       Tentukan bayangan titik A( -2 , -3 ) oleh dilatasi :
       i.        O,5 
       ii.       Titik pusat P( 1 , 4 ) dengan faktor skala 5.
       Jawab :
       i.         O , 5  : A( -2 , -3 )  A’( x’ , y’ )
                 Dengan menggunakan perkalian matriks, x’ dan y’ ditentukan
                 sebagai berikut ;
                    x'   k o   x 
                 
                             
                    y'   o k   y 
                               
                    x'   5 0    2 
                 
                                  
                    y'   0 5    3 
                                    


                  x'   5.(2)  0.(3) 
                  
                  y '   0.(2)  5.(3) 
                                           
                                        
                  x'    10 
                  
                  y '    15 
                                
                             
                 Jadi bayangan A( -2 , -3 ) oleh dilatasi  O , 5  adalah A’( -10 , -15 )
       ii.        Rotasi titik A( -2 , -3 ) dengan pusat P( 1 , 4 ) dan skala 5 , adalah
                 A’( x’ , y’ ). Dengan perkalian matriks, ditentukan sebagai berikut :




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   48
                                                                                  Modul Geometri

                                                  x'   5 0    3   1 
                                                 
                                                  y'    0 5    7    4 
                                                                       
                                                                      
                                                  x '   5.(3)  0.(7)   1 
                                                 
                                                  y '    0.(3)  5.(7)    4 
                                                                             
                                                                            
                                                  x '    15   1 
                                                  y '     35    4 
                                                                 
                                                                 
                                                  x '    15  1           
                                                  y '     35  4
                                                                           
                                                                              
                                                                           
                                                  x '    14 
                                                  y '     31 
                                                               
                                                               
                            Jadi bayangan A( -2 , -3 ) oleh dilatasi berpusat di P( 1 , 4 ) dengan
                            skala 5 adalah A’( -14 , -31 ).


Uji Kompetensi 1.4
1. Tentukan bayangan dari titik-titik berikut ini dengan pencerminannya :
     a. Titik A( -7, -5 ) oleh pencerminan pada sumbu x
     b. Titik B( 8 , -7 ) oleh pencerminan pada sumbu y
     c. Titik C( -5 , 6 ) oleh pencerminan pada titik asal O
     d. Titik D( -7, -1) oleh pencerminan pada garis y = x
     e. Titik E( 6 , -3 ) oleh pencerminan pada garis y = -x
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………


                                    2 
2.                                   5  . Tentukan koordinat bayangan titik berikut ini :
     Translasi dinyatakan oleh T =      
                                        
     a. Titik A( 0 , -3 )


           Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   49
                                                                                 Modul Geometri
     b. Titik B( -3 , 5 )
     c. Titik C( -5 , -7 )
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………


3.   Tentukan bayangan segitiga ABC dengan A( 2 , 1 ), B( 5 , 4 ) dan C( 3 , 8 ) jika diputar
     sejauh -900 dengan :
     a. Pusat O( 0 , 0 )
     b. Pusat P( -3 , 4 )
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………


4.   Dipunyai sebuah titik A( -1 , 3 ) dan P( 2 , 5 ). Tentukan bayangan titik A oleh dilatasi
     a. [ P , 2 ]
     b. [ P , -2 ]
     c. [ P , 0 ]
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………




           Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   50
                                                                                Modul Geometri
5.   Tentukan bayangan segiempat ABCD dengan titik-titik sudut : A( 2 , 6 ) , B( -1 ,6 ) ,
     C( 4 , 1 ) dan D( 1 , 1 ) oleh :
     a. Pencerminan terhadap garis y = x
                       0
     b. Pergeseran T =  
                       5
                        
     c. Perputaran pusat P( 0 , 5 ) sejauh 1800
     d. Perkalian pusat P( 0 , 5 ) dengan skala 3
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………




          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   51
                                                                                  Modul Geometri

   Rangkuman Bab I
Sudut dapat dibentuk oleh dua buah sinar                   Bagian-bagian Lingkaran
yang bersekutu pada pangkalnya, bagiannya                   D                C          Jari-jari lingkaran = AO=OB
                                                                                        Diameter = AB = tali busur maks
a. Kaki sudut adalah garis pembentuk sudut                                              DE, EF, EC = tali busur
b. Titik sudut adalah titik perpotongan                    A         O            B     COD = juring lingkaran

   antara kedua kaki sudut                                                        F     ‫ے‬COD = 2 ‫ے‬DOC
                                                                                        EF = tembereng
c. Daerah sudut adalah daerah yang ter                               E                   ‫ے‬COB,‫ے‬AOD = sudut pusat
   bentuk atau dibatasi oleh kedua kaki sudut                                           CD = busur
Ukuran Besar Sudut                                         Transformasi adalah pemetaan titik-titik
a. Derajat (…0). Satu derajat adalah satuan                dalam bidang datar ke tempat baru yang
    besaran sudut yang besarnya adalah seper               disebut sebagai bayangan titik itu.
    360putaran. 10 = 1/360 putaran.                        Macam Tranformasi
b. Radian (… Rad). Satu Radian adalah satu                 a. Pencerminan atau refleksi adalah sua
   an sudut yang besarnya ½ π putaran. Su                     tu bentuk transformasi yang memeta-
   dut 1 radian adalah sudut pusat lingkaran                  kan setiap titik dalam bidang dengan
   dimana panjang busur di depan sudut itu                    sifat bayangan cermin. Matrkisnya :
   sama dengan panjang jari-jarinya.                            Pencerminan             Pemetaan            Matiks
                                                                Pencerminan           Mx : A( x , y )
c. Hubungan Derajat dan Radian                                  Terhadap Sb.x             A’( x , -y )
  1 π radian = 1800  10 = 180/π Radian                         Pencerminan           My : A( x , y )
Segi-n adalah kurva tertutup sederhana yang                     Terhadap Sb. y            A’( -x , y )
mempunyai n buah sisi dan n buah sudut da                       Penceminan            My = x : A( x , y )
                                                                Terhadap y = x           A’( y , x )
lam, jumlah sudut dalam = ( n – 2 ) 1800                        Pencerminan           My = -x :A( x , y )
Segi-n adalah bangun datar dengan n buah                        Terhadap y = -x         A’( -y , -x )
                                                                Pencerminan           MO : A( x , y )
sisi sama panjang dan n buah sudut sama be                      Terhadap O(0,0)         A’( -x , -y )
sar. Besarnya sudut dalam = 1/n (n–2).1800                 b. Pergeseran atau translasi adalah sua
Keliling adalah jumlah semua panjang sisi’                    tu transformasi yang memindahkan ti
Luas adalah bujur sangkar daerah bangun bi                    ap titik dengan arah dan jarak terten-
dang datar pada umumnya sama dengan pan                       tu. T =
jang sisi alas kali tingginya.                             c. Perputaran atau rotasi adalah suatu
Macam-macam Bangun Datar                                      transformasi yang memindahkan ttk
Macam bangun datar, seperti : segitiga, segi                  dengan cara memutar sejauh β terha-
empat, segilima, kerucut dan lingkaran.                       dap titik pusat rotasi.
                                                                1)   R( O , 900 ) : A( x , y ) A’( -y , x )
Lingkaran adalah tempat kedudukan yang                          2)   R( O , -900 ) : A( x , y ) A’( y , -x )
                                                                3)   R( O , 1800) : A( x , y ) A’( -x , -y )
berjarak sama ( disebut jari-jari ) terhadap se                 4)   R( O , β ) : A( x , y ) A’( x’ , y, ) , dimana
buah titik tetap ( disebut pusat lingkaran ).                        x’ = x cos β – y sin β dan y’ = x sin β + y sin β
                                                           d. Perkalian atau dilatasi adalah suatu
Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling
                                                              transformasi yang mengubah ukuran
yang menghadapi busur yang sama.
                                                              menjadi lebih besar atau kecil tetapi
Keliling lingkaran = 2π r = 2 π d
                                                              tanpa mengubah bentuk.
Luas Lingkaran = π r2 satuan luas.



       Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK                         52
                                                                           Modul Geometri

      PETA KONSEP


                                     GEOMETRI DIMENSI DUA


         SUDUT                                BANGUN DATAR                             TRANSFORMASI




Pengertian         Besaran             Benda Bidang               Komponen                   Macam
  Sudut             Sudut                 Datar                  Bidang Datar             Transformasi
*Difinisi         *Satuan
*Istilah            Derajat                                                             *Pergeseran /
                                     1.Segitiga                       *Panjang
 Sudut            *Satuan            2.Segiempat                      *Lebar             Translasi
*Nama              Radian               a. Trapesium                  *Tinggi           *Pencerminan /
 Sudut            *Konver               b. Jajaran genjang            *Jari-jari         Refleksi
*Melukis           si Uku               c. Persegi panjang            *Keliling         *Perputaran /
 Sudut             ran Su               d. Persegi                    *Luas
                                                                                         Rotasi
                   dut                  e. Belah ketupat
                                        f. Layang-layang                                *Perkalian /
                                     3. Segi-n Beraturan                                 Dilatasi
                                        a. Segi-3 beraturan
                                        b. Segi-4 beraturan
                                        c. Segi-5 beraturan
                                        d. Segi-6 beraturan
                                        e. Segi-8 beraturan
                                     4. Lingkaran
                                        a. Pengertian
                                        b. Bagian lingkaran




     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK          53
                                                                                Modul Geometri
Penilaian Kompetensi
Kompetensi : Geometri Dimensi Dua
Program           : Bisnis dan Teknologi
Waktu             : 90 Menit

1. Ubahlah ukuran-ukuran sudut berikut ini :
   a. 75,3°              = ……. rad
   b. 115,8°             = …..  rad
          3
   c. 1      rad        = ……. °
          4
   d. 5,3 rad            = ……. °
   Jawab :
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________


2. Lukislah segi enam beraturan dengan panjang sisi 3 cm.
   Jawab :
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________


3. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran 45 m x 30 m ditanami rumput
   sedang ditepi bagian dalam keliling taman akan dibuat parit selebar 2 m. Jika biaya
   setiap meter persegi taman dalah Rp 50.00,00 maka hitunglah biaya yang diperlukan
   untuk menanami ruput taman trsebut !



          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   54
                                                                               Modul Geometri

   Jawab:
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________


4. Perhatikan gambar layang - layang di bawah ini. Panjang BD = 6cm, DC = 2 cm dan
   AD = 5cm.
   Hitunglah :             a. Luas ∆ AOB
                          b. Luas layang – layang
   Jawab :
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   _____________________________________________________________________


5. Sebuah lingkaran tepat berada didalam bangun bujur sangkar. Jika jari-jari lingkaran 7
   cm, maka hitunglah :
                                            a. Keliling lingkaran
                                            b. Luas persegi
              O
                   7                        c. Panjang diagonal bidang

                    7
    Jawab :
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________




         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   55
                                                                               Modul Geometri
6. Seutas kawat sepanjang 105 cm akan dibentuk menjadi bangun datar. Hitunglah luas
   bangun yang terbentuk, jika bangun itu adalah :
   a. Segitiga sama sisi
   b. Lingkaran
   c. Persegi
   Jawab :
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________
   ______________________________________________________________________


7. Diketahui belah ketupat dengan panjang diagonal pendek = 6 cm dan diagonal
   panjang 8 = cm. Hitunglah : a. Keliling belah ketupat
                                        b. Luas belah ketupat
    Jawab :
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________


8. Hitunglah luas bangun di samping :


                          1
                         16 cm




              6 cm
    Jawab:
    _____________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   56
                                                                                 Modul Geometri
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________


9.   Sebuah segitiga ABC dengan A( 3 , 4 ) , B( -1 , 5 ) dan C( 1 , 1 ). Tentukan bayangan
     segitiga itu oleh :
     a. Pencerminan oleh garis y = x
     b. Perputaran R( O , β )
     c. Dilatasi dengan pusat P( 0 , 4 ) dengan skala 5
     Jawab:
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________


10. Perhatikan gambar di bawah :
                                                 C        ABC siku-siku di B. Panjang AC = 25 cm
                                    D                    panjang BC = 13 cm, panjang AD = 20 cm.
                                                     Hitunglah :
     A                                               a. Panjang CD
                                                     b. Luas segitiga ADB !
                                        B
     Jawab:
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________
     _____________________________________________________________________




           Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   57
                                                                               Modul Geometri
                                               Bab II
                      Geometri Dimensi Tiga
   StandarKompetensi           Menentukan kedudukan jarak, dan besar sudut
         yang melibatkan titik , garis dan bidang dalam dimensi tiga.


   Kompetensi Dasar
            Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya
            Menghitung luas permukaan bangun ruang
            Menerapkan Konsep volum bangun ruang
            Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang


                                               ISI MATERI INTI
                                       A. Pengertian Bangun Ruang
                                       B. Macam-macam Bangun Ruang
                                       C. Luas dan Volume
                                       D. Jaring-jaring Bangun

Tujuan Pembelajaran

Kriteria kinerja yang diharapkan dapat dicapai siswa usai pemaparan materi
ini,antara lain adalah agar siswa dapat :
1. Mendiskripsikan pengertian geometri dimensi tiga
2. Mengklasifikasi benda-benda ruang sebagai ruang geometri tiga
3. Menguasai komponen-komponen benda-benda ruang sederhana
4. Menentukan jaring-jaring,benda-benda ruang
5. Mencari besar luas pemukaan bangun ruang
6. Menghitung besarnya volume benda-benda ruang
7. Menggambar dengan benar benda-benda ruang
8. Mendiskripsikan benda ruang terpacung
9. Menentukan bentuk akhir benda ruang terpacung


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   58
                                                                              Modul Geometri
Berdasarkan unjuk kinerja di atas,memang benar bahwa geometri dimensi tiga
atau dikenal sebagai benda-benda ruang merupakan hal nyata yang akrab dan
ada disekeliling kita. Untuk itu kegiatan mempelajari geometri dimensi tiga menjadi
sangat penting, khususnya pemahaman secara mendalam dan paripurna tentang
benda-benda ruang seperti : kubus, balok, prisma, tabung dan bola.                                   Karena
pengetahuan yang benar tentang benda-benda ruang itu akan sangat membantu
dalam menjawab masalah yang timbul karenanya.


A. Bangun – bangun Ruang


    1. Pengertian

      Geometri dimensi tiga adalah semua bangun yang ada dialam dengan
      permukaan datar atau rata yang mempunyai tiga ukuran berbeda atau
      dimensi sehingga mempunyai rongga. Benda itu membentuk suatu ruang
      tertutup akibatnya ada volume ruang atau isi. Selanjutnya geometri dimensi
      tiga biasa disebut sebagai bangun ruang. Benda-benda ruang yang dibahas
      disini adalah benda-benda yang mempunyai ciri-ciri , sebagai berikut :
            Permukaan datar / rata
            Bidang sisi berupa benda bidang datar
            Bidang-bidang yang berhadapan kongruen, kecuali bola.
            Sisi atau rusuk berupa garis, kecuali tang dan bola.


      Contoh :
      Yang termasuk benda-benda ruang diantaranya , adalah :
      i. Kelompok Limas
      ii. Kelompok Prisma
      iii. Bola ,


        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK            59
                                                                         Modul Geometri
2. Macam-macam Bangun Ruang :


 a. Limas :


   1) Pengertian
         Limas adalah bangun ruang tertutup sederhana yang terdiri atas
         bidang alas berupa segi banyak serta selimut berupa segitiga yang
         bersekutu pada titk puncak , seperti tampak pada gambar berikut ini

                T                                        T : Titik puncak
                                                         Garis pelukis
                                                         Selimut ( berupa segi tiga )
                                                          Alas ( berupa segi banyak )


         Gambar II.A .1

         Limas diberi nama menurut titik puncak dan alasnya.
         Contoh:
         i. Limas T.ABC … ( puncak T dan alasnya segitiga ABC )
         ii. Limas P.ABCD ...( puncak P dan alasnya segiempat ABCD )
         iii. Limas T.KLMNO …( puncak T dan alasnya segilima KLMNO )


   2) Macam-macam limas


       a) Limas segi tiga
          Limas segi tiga adalah bangun ruang tertutup sederhana yang
          alasnya berupa segitiga.




   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   60
                                                                      Modul Geometri

                 T                    Keterangan :
                                            Alas : ∆ ABC
                                            Sisi : ∆ TAB, ∆ TBC, ∆ TAC
                C                     Jika sisi limas berupa segi tiga sama sisi, maka
    A                         B           bidang selimut akan berupa tiga buah segitiga
           Limas T. ABC                   yang kongruen.
            Gambar II.A .2




    Contoh :
    Diketahui limas segitiga T.ABC dengan bidang alas segitiga siku-siku
    di titik B. Jika AB = 3 cm , BC = 4 cm dan tinggi limas, BT = 10 cm .
    Hitunglah :
    i. Panjang sisi AC
    ii. Panjang sisi TA
    iii. Panjang sisi TC
    Jawab :
           T                                            siku-siku di B
                                               i. AC2 = AB2 + BC2
           10                     C                   = 32 + 42
                         4                            = 25
           B         3                 A         AC =           =5
                                                 Jadi panjang sisi AC = 5 cm.
    ii.           siku-siku di B
                                                 =
                                                 =
                                             Jadi panjang sisi AT =                 cm.
    iii.          siku-siku di B


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   61
                                                                      Modul Geometri
                                                =
                                                =
                         Jadi panjang sisi TC =             cm.


    b) Bidang empat


           Bidang empat adalah limas segi tiga istimewa dengan bidang alas
           dan bidang selimut berupa segi tiga sama sisi yang kongruen . Atau
           bidang empat adalah bangun ruang tertutup sederhana istimewa
           yang terdiri atas empat buah segi tiga sama sisi yang kongruen.
                 D
                                      Dari gambar di sebelah adalah bidang empat
       A
                                    C Bidang-bidang yang kongruen adalah :
                                        ∆ ABC  ∆ ABD  ∆ CDA  ∆ BCD
                 B
             Gambar II.A. 3


    c) Limas segiempat
           Limas segi empat adalah limas yang alasnya berupa segiempat dan
           bidang selimut berupa 4 buah segitiga
                     T                *Jika alas berupa persegi panjang maka bidang
                                       selimut akan terdiri atas dua pasang segitiga
                                       sama kaki yang kongruen, yaitu :


            D                   C     * Jika alas berupa persegi atau bujur sangkar,
                                      maka bidang sisinya berupa empat buah segi
   A                     B             tiga sama kaki yang kongruen.
       Limas T.ABCD
       Gambar II.A. 4




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   62
                                                                      Modul Geometri
    Contoh :
    Diketahui limas segi empat T.ABCD , bidang alas berupa persegi
    panjang dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Jika tinggi limas = 10 cm
    maka :
    i. Gambarlah limasnya.
    ii. Hitung panjang garis pelukisnya.
    iii. Hitung panjang TG , G adalah titik tengah BC
    Jawab :


    i. Gambar limas                  T.ABCD


                                 t
                      D                                 C
                                     E          G
         A                               B
    II. Lihat segi tiga ABC , siku-siku di B


                             =
                             =
        Panjang diagonal AC = BD = 10 cm ( kenapa AC = BD ? )
        Lihat segi tiga TEB , siku-siku di E


                             =
                             =
                        Jadi panjang garis pelukis adalah                      cm.
    iii. Titik G tengah-tengah BC sehingga EG = ½ AB = 3 cm
       Lihat segitiga TEG , siku-siku di E




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   63
                                                                       Modul Geometri
                                   =
                                   =
                             Jadi panjang garis TG =                 cm.


     d) Kerucut
          Kerucut adalah suatu limas istimewa dimana alasnya berupa
                               T             lingkaran       dan     selimut      berupa      juring
                                             lingkaran dengan panjang busur sama
                                             dengan keliling lingkaran alasnya.
                                                Garis pelukis ( apotema )
                               r
                    Gambar II.A. 5

b. Prisma


  1) Pengertian
     Prisma adalah bangun ruang tertutup sederhana yang terdiri dari
     bidang alas dan bidang atas berupa segi banyak yang kongruen dan
     selimut ( bidang sisi ) berupa segi empat yang sepasang-sepasang sisi
     berhadapan sejajar ( jajar genjang ).
               T        S
                                   R   Bidang alas ABCDE  bidang atas PQRST
     P             Q
                                        Bidang selimut berupa segi empat
           E            D          C    ( jajar genjang )
     A                                 Bidang alas berupa segi banyak
                    B
            Gambar II.A. 6




 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK            64
                                                                         Modul Geometri
       Prisma diberi nama menurut bidang alas dan bidang atasnya. Jadi
       untuk prisma di atas diberi nama prisma ABCDE.PQRST. Prisma ada
       dua macam, yaitu : prisma bebas , seperti gambar di atas dan prisma
       tegak , yaitu prisma yang bidang sisinya ( bidang selimut ) berupa
       persegi panjang tegak yang saling berimpit pada setiap bidang sisinya.




3. Prisma Tegak


       a) Difinisi
             Prisma tegak adalah suatu prisma dengan bidang alas dan
             bidang atas berupa segi banyak yang kongruen serta selimut
             berupa persegi panjang-persegi panjang.
             Macam-macam prisma tegak dibedakan menurut bidang alas
             sekaligus juga nama untuk prismanya, seperti : prisma tegak segi
             tiga, prisma tegak segi empat ( balok ) dan seterusnya.


       b) Prisma Tegak Segitiga
                        R                Prisma tegak segitiga adalah prisma tegak
         P                   Q           dengan bidang alas dan bidang atas berupa
                                        segitiga yang kongruen.
                                          * Jika bidang alas dan bidang atas berupa
                    C                     segitiga sama sisi yang kongruen, maka bi
        A                     B           dang selimut berupa empat persegi panjang
               Gmbar 2. 7
                                         yang kongruen.
             Dari gambar di atas bidang-bidang sisi yang kongruen tersebut
             adalah : ABPQ  BCRQ  ACRP




   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   65
                                                                      Modul Geometri
 c) Prisma Tegak Segiempat
                 S                    R Prisma tegak segi empat adalah prisma tegak
         P                        Q       dengan bidang alas dan bidang atas berupa
                                          segi empat yang kongruen.
                                           Jika bidang alas dan bidang atas berupa
                 D                    C persegi panjang, maka bidang selimut terdiri
     A                            B       atas empat persegi panjang dengan sepasang-
                 Gambar II.A. 8
                                          sepasang sisi yang berhadapan kongruen.
      Untuk prisma tegak dengan bidang alasnya berupa persegi panjang
      selanjutnya prismanya disebut balok. Sedang untuk prisma tegak
      yang alasnya berupa persegi atau bujur sangkar maka prismanya
      disebut kubus.
      Prisma tegak segi empat secara khusus terbagi atas dua macam
      sesuai dengan bidang alas dan atasnya, yaitu : balok dan kubus
      Selanjutnya prisma tegak segi empat dapat dirinci sebagai berikut :


      1). Balok
                                          Balok adalah prisma tegak tertutup sederhana
                                          dengan alas berupa persegi panjang.
             S                        R
                                          Spesifikasi Balok :
         P
                                  Q          Mempunyai       12     rusuk,      dengan      rusuk
                                            berhadapan sejajar dan sama panjang
                                             Mempunyai 6 bidang sisi berupa persegi
             D                        C     panjang, dengan sisi berhadapan kongruen
                                             Mempunyai 12 diagonal bidang, dimana di
                                            agonal bidang yang berhadapan akan sama
         A                        B
                 Gambar II.A. 9
                                            panjang.



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK           66
                                                                      Modul Geometri
            Mempunyai empat buah diagonal ruang yang                            sama panjang,
             yaitu : AR = BS = CP = DQ .
            Mempunyai enam bidang diagonal terdiri atas tiga pasang yang
             kongruen, yaitu : ACRP               BDSQ , AQRD              BPSC dan ABRS
             DCQP


      2). Kubus
           Kubus adalah prisma tegak tertutup sederhana dengan bidang
           alas dan bidang atas serta bidang selimut berupa persegi ( bujur
           sangkar ) yang kongruen .
      H                        G                Spesifikasi kubus :
 E                       F
                                            Mempunyai 12 rusuk sama panjang
                    a                       Mempunyai 6 buah bidang sisi sama luas
       D                      C             ( kongruen ) berupa bujur sangkar
                                            Ke 12 buah diagonal bidang sama panjang
                                            masing-masing adalah         satuan
  A                     B                   Mempunyai 4 buah diagonal ruang sama
                                            panjang , masing-masing =        satuan
   Kubus ABCD.EFGH
                                            Mempunyai simetri tingkat empat
      Gambar II.A. 10
                                            Keenam bidang diagonalnya kongruen



  Contoh :
  Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dengan AB = 3 cm , BC = 4 cm
  dan AE = 8 cm. Hitunglah :
  i. Panjang diagonal bidang ABFE dan bidang BCGF
  ii. Panjang diagonal ruangnya
  iii. Buatlah semua bidang diagonalnya
  Jawab :
  i. Lihat segi tiga ABF , siku-siku di B




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       67
                                                                      Modul Geometri
                                       =


      Lihat segi tiga BCF , siku-siku di C


                                       =
                                       =


      Jadi panjang diagonal bidang ABFE =                               dan panjang diagonal
      bidang BCGF =
  ii. Lihat segi tiga BDH , siku-siku di D


                                   =
                                   =              .
       Jadi panjang diagonal ruang , BH = DF = CE = AG =
  iii. Bidang diagonalnya adalah :
                         H                                      G
                 E                                     F


                                                                 C
                         D
                 A                                      B

         Bidang diagonal:




      c) Silinder / Tabung
         Silinder adalah prisma tegak tertutup sederhana dengan bidang
         atas dan bidang alas berupa lingkaran dan bidang sisi ( selimut )
         berupa persegi panjang.



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     68
                                                                      Modul Geometri

                                           t           = Tinggi tabung
                                          R            = Jari-jari alas

                  t                        p       = apotema
                                          Luas permukaan tabung
                                                   L = 2  R (R + t) satuan luas.
                      R
                                          Volume tabung
             Gambar II.A. 11
                                                       V=      R2 t satuan isi




      Contoh :
      Diketahui sebuah silinder dengan diameter 90 cm dan tinggi silinder 5
      cm. Silinder dipotong secara miring dengan ketinggian dari alas 1 cm
      dan dari atas 1 cm juga .
      i.       Lukis gambar silindernya
      ii.      Hitung panjang apotemanya.
      Jawab :
      i.
                               1




                                                   4
                 4
                                               1




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   69
                                                                       Modul Geometri
C. Bola
  Bola adalah bangun ruang sederhana dengan bidang alas dan semua
  bidang sisi atau permukaan yangh melingkupinya berupa garis lengkung.
  Semua irisan yang dilakukan pada bola akan menghasilkan lingkaran.


                                    Perhatikan gambar !
                                    O : Pusat bola
                                    R : Jari-jari bola
                                    Luas permukaan bola , L
              0          R          L=
                                    Volume Bola , V
                                    V=
       Gambar II.A. 12




  Contoh :
  Sebuah bola karet dengan diameter 14 cm dipangkas seperempat
  bagiannya.
  i. Buatlah gambar bola yang tersisa.
  ii. Hitung volume bola yang terbuang.
  Jawab :
  i.




 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   70
                                                                               Modul Geometri
          ii.     Volume bola terbuang = ¼ volume bola
                                                  =

                                                  =

                                                  =

                Jadi volume bola terbuang =


Uji Kompetensi 2.1
Kerjakan soal-soal berikut dengan singkat dan jelas !
1. Gambarlah sebuah kerucut berdiameter alas 10 cm yang tepat berada di dalam
     tabung.
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………
2.    Diketahui sebuah prisma tegak segi empat dengan                            alas persegi panjang
     dengan ukuran 3 x 4 cm. Jika tinggi prisma adalah 10 cm maka hitunglah :
     a. Panjang diagonal bidang
     b. Panjang diagonal ruangnya.
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………
3. Sebuah kubus dengan panjang rusuk 5 cm tepat berada di dalam tabung Jika
     tinggi tabung juga 5 cm , maka :
     a. Hitunglah panjang diagonal ruang kubus



         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     71
                                                                              Modul Geometri
   b. Gambarlah bangun ruangnya.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………...


4. Sebuah balok dengan ukuran 3 cm x 4 cm x 10 cm tepat berada di dalam di
   dalam sebuah tabung ( titik-titik sudut balok ) meyinggung dinding-dinding
   badian dalam tabung
   a. Gambarlah bangun ruangnya.
   b. Panjang diagonal ruang balok
   c. Panjang garis pelukisnya.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………


5. Diketahui sebuah balok dengan ukuran 8 cm x 6 cm x 10 cm .
   a. Gambarlah semua bidang diagonalnya
   b. Hitunglah panjang diagonal bidangnya
   c. Hitunglah panjang diagonal ruangnya.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………




        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   72
                                                                                Modul Geometri
6. Perhatikan gambar berikut ini :
               S                           R
                        T                      2
              P                                Q
    D                               C      6


   A              8             B

   Hitunglah :
   a. Panjang TA
   b. Panjang TC
   c. Luas TAB
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………..…………………………………




B. Jaring-jaring Bangun Ruang
  1. Pengertian
       Jaring-jaring adalah suatu rangkaian bidang datar yang berimpit salah satu
       sisinya ( rusuknya ) dan bila bidang-bidang itu ditangkupkan maka sisi
       lainnya berimpit dengan sisi bidang yang lain sehinga akan membentuk suatu
       bangun ruang.


       Contoh :
       i. Syarat jaring-jaring, satu rusuk berimpit secara penuh , seperti :




          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   73
                                                                              Modul Geometri
  ii. Bukan jarring-jaring




2. Jaring-jaring Bangun
      a. Limas                                                            T
                 T


                 t                                                        t
          D                   C
                                                        D                           C
  A                      B
      Gambar II.B.2
                              T                  t                                         t       T


                                                        A                           B
                                                                          t




                                                                      T

      b. Kubus
                     H                   G           Kubus suatu bangun ruang yang
      E                                              terdiri atas enam buah bidang sisi
                              F
                                                     berupa persegi atau bujur sangkar.
                                                      Jaring-jaring kubus berupa rangka
                     D                   C           ian 6 bujur sangkar dengan syarat
      A                       B                      syarat seperti tersebut di atas.
              Gambar II.B.3




      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   74
                                                                         Modul Geometri
    H                   G                      Gambar di sebelah adalah salah satu
                                           dari 11 jaring-jaring kubus yan dapat
    D                   C      G                H             D        dibuat. Silahkan ca
                                                                  ri 10 bentuk jarring-
                                                                   kubus yang lain !
   A                    B       F               E             A



    E                   F
Contoh :
Buatlah semua jaring-jaring untuk kubus !
Jawab :
Jaring-jaring kubus ada 11 buah , sebagai berikut :
         1)                              2)                              3)




             4)                                5)                 6)




        7)                          8)                             9)




                  10)                                              11)




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   75
                                                                      Modul Geometri

c. balok




      Gambar II.B.4




    Balok terdiri dari 6 bidang sisi berupa 3 pasang persegi panjang.
    Jaring-jaring balok(dengan menggunakan model seperti pada kubus)
    karena balok tersusun oleh 3 pasang persegi panjang berarti untuk
    balok dapat dibuat ( 11  6 ) = 66 model jaring-jaring. Karena setiap
    pergerakan sebuah bidang sisi yang berupa persegi panjang akan
    menghasilkan model atau bentuk jaring-jaring yang berbeda pula.


    Contoh :
    Buatlah jaring-jaring balok dengan model kubus nomer 3.1 !
    Jawab :
    Model kubus No. 3                Jaring-jaring balok model No. 3. 1




    Tugas !
    Buat jaring-jaring untuk balok dengan model yang berbeda !




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   76
                                                                         Modul Geometri
C. Luas dan Volume Bangun Ruang


  1. Pengertian


    a. Luas Bangun
       Yang dimaksud luas disini adalah luas seluruh permukaan bangun,
       yaitu terdiri dari luas alas, luas atas ( tutup ) dan luas selimut ( sisi ).
       Jadi luas permukaan suatu bangun ruang merupakan jumlah semua
       luas bidang-bidang sisi yang menyelimuti atau bagian bidang terluar
       bangun tersebut.
       Contoh :
       Sebuah kubus dengan panjang rusuk 10 cm tepat berada di dalam
       silinder ( titik-titik sudut kubus menyinggung bagian dalam silinder ).
       Hitunglah :
       i.   Luas permukaan silinder.
       ii. Luas permukaan kubus.
       Jawab :
       i. Kubus tepat berada di dalam silinder, berarti diagonal ruang kubus
            sama dengan diameter slinder dan sama dengan tingginya. Jadi
            diagonal ruang kubus = tinggi silinder = diameter alas.
            Panjang rusuk kubus = 10 cm
            Maka panjang diagonal ruang = 10                    cm                  cm
            Jari-jari alas tabung = 5
            Ls = 2.       r(r+t)
               = 2 . 3,14 . 5
               = 31,4
               = 1413
            Jadi luas permukaan silinder = 1413 cm2


   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   77
                                                                      Modul Geometri
    ii. Luas permukaan kubus, Lk = 6 . s2
                                            = 6 . 102
                                            = 600
       Jadi luas permukaan kubus = 600 cm2.


b. Volume / Isi
    Volume atau isi adalah kapasitas rongga yang ada dalam bangun
    ruang. Kerena bangun ruang secara umum hanya ada tiga kelompok
    ( macam ) saja, yaitu : limas , prisma dan bola maka rumus volume
    untuk bangun ruang juga dapat dikelompokkan menjadi tiga , yaitu :
    1) Kelompok Limas
        Secara umum volume bangun ruang untuk kelompok limas adalah
        sepertiga dari perkalian antara luas alas dan tinggi.
         Jadi volume limas , Vl rumusnya adalah :




        Yang termasuk kelompok limas , diantaranya adalah : limas segi
        tiga , bidang empat , limas segi empat , limas segi lima dan
        kerucut.
    2) Kelompok Prisma
        Secara umum volume bangun ruang untuk kelompok prisma
        adalah perkalian antara luas alas dan tingginya . Jadi rumus
        volumenya adalah :




       Yang termasuk kelompok prisma diantaranya adalah : prisma segi
       tiga , prisma segi empat , balok , kubus dan silinder.




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   78
                                                                      Modul Geometri
    3) Kelompok Bola
        Yang masuk dalam kelompok ini hanya bola saja. Rumus Volume
        Bola adalah, sebagai berikut :




    Contoh :
    Sebuah bola tepat berada di dalam kubus. Jika diameter bola= 14 cm
    maka hitunglah :
    i. Volume bola
    ii. Volume kubus
    Jawab :
    i. Volume bola, Vb =

                                =

                              = 1437

       Jadi volume bola = 1437 cm3

    ii. Bola tepat berada di dalam kubus berarti diagonal ruang kubus
        sama dengan diameter bola.
        Misal rusuk = s maka                         =14
                                       s     =

        Volume kubus = s3

                            =

                            = 327

        Jadi volume kubus = 327




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   79
                                                                             Modul Geometri
2. Tabel
     Untuk memudahkan mempelajari rumus-rumus luas dan volume bangun-
     bangun ruang maka disajikan ke dalam sebuah tabel II.C.1, berikut ini :
                                   Tabel II.C.1



No.       Nama Bangun                  Luas permukaan                        Volume           Keterangan

1.      Limas                       L = Lalas + Lselimut                     1                L = luas
                                                                     V=         Lalas  t
                                                                             3                V = volume
                                                                                              t   =     tinggi
                                                                                              bangun


2.      Kerucut                     L = Lalas + Lselimut                     1                R = jari-jari
                                                                     V=         Lalas  t
                                       =  R2 +  R. p                       3                alas

                                       = R(R+p)                             1                p   =     garis
                                                                         =      R2. t
                                                                             3                pelukis
3.      Prisma
                                    L = Lalas+ Latas+ Lselimut       V = Lalas  t            t   =     tinggi
                                                                                              prisma


4.      Kubus                                                                                 s = panjang
                                    L = 6  bidang sisi              V = s3                   sisi (rusuk)
                                       =6.s2


5.      Balok                       L = 2 ( Lalas + Lsamping +                                p = panjang
                                             Ldepan )                V = p   t              = lebar
                                       = 2( p.  + p.t +  .t )




     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK                  80
                                                                            Modul Geometri
6.      Tabung                      L = Lalas + Latas +                                        t = tinggi
                                    Lselimut                           V = Lalasx tinggi
                                      =  R +  R + 2  Rt
                                               2          2
                                                                         =  R2 . t
                                      = 2 R ( R + t )


7.      Bola
                                    L = 4  R2                              4                  R = Jari-jari
                                                                       V=      R3
                                                                            3




Untuk      gangun-bangun            ruang          atau       bangun   berdimensi       tiga      dengan
permukaan non datar tidak dibahas.




     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK                81
                                                                              Modul Geometri
Uji kompotensi 2.2
Kerjakan soal-soal berikut dengan singkat dan jelas !
   1. Tuliskan komponen-komponen dari bangun :
     a. Balok
     b. prisma tegak segitiga
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………..………………………
   2. Buatlah jaring-jaring dari
     a. kubus
     b. balok dengan model kubus no 7 , no 10dan no 11 !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………..………………………
   3. Hitung panjang diagonal ruang dari balok depan ukuran ( 3  5  6 ) cm
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………..………………………
   4. Diketahui limas segiempat T.ABCD. alas limas berupa persegi panjang
     dengan AB = 8 cm dan BC = 6 cm jika tinggi limas = 12 cm, maka hitunglah :
     a. luas permukaan limas
     b. volume limas



        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   82
                                                                           Modul Geometri
 Jawab :
 ……………………………………………………….…………………………………
 …………………………………………..………………………………………………
 …………………………………………..………………………………………………
5. Sebuah balok mempunyai volume 350 cm 3 jika panjang balok = 7 cm dan
 tingginya = 5 cm maka hitunglah :
 a. lebar balok
 b. luas permukaan balok
 Jawab :
 …………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………
6. Diketahui panjang diagonal ruang kubus =                   27 cm hitunglah :
 a. panjang rusuk kubus
 b. luas permukaan kubus
 c. volume kubus
 Jawab :
 …………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………
7. Diketahui sebuah tabung dengan keliling alas = 44 cm. jika tinggi tabung =
 10 cm, maka hitunglah :
 a. luas permukaan tabung
 b. volume tabung
 Jawab :
 …………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………



     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   83
                                                                             Modul Geometri
D. Bangun Ruang Terpacung


 1. Pengertian
   Bangun ruang terpacung atau irisan bangun adalah suatu bangun ruang
   tertutup sederhana yang dipotong atau diiris oleh bidang datar dan
   menghasilkan bidang datar lain yang berupa : segitiga, segiempat, elips atau
   lingkaran dan sebagainya.
   Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam melukis irisan bangun antara lain :
   a. Pengertian titik dan garis.

                    *A                      *B           = Sebuah garis
                                                         A = Titik diluar garis
                    Gambar II.D.1                          B = Titik pada (dalam) garis)
   b. Pengertian titik dan bidang
                                                          = Bidang datar
                         B
                                                         A = Titik pada bidang
                              A                          B = Titik diluar bidang
            
            Gambar II.D.2



   c. Pengertian garis dan bidang
                                                          = Bidang datar
                m        n                       
                                    g
                                                           = garis diluar bidang
                                        k
                                                     k,g      = garis pada ( dalam ) bidang
                                                        n = garis memotong bidang
                                                         m = garis menembus bidang
            Gambar II.D.3




       Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   84
                                                                             Modul Geometri
    d. Pengertian bidang dengan bidang


                                                Bidang memotong bidang, perpotongan
                                                bidang berupa garis.



                 Gambar II.D.4


2. Irisan bangun
  Ketentuan yang perlu diperhatikan, sebagai berikut :
      Bidang frontal harus digambar sesuai bentuknya.
      Bidang dapat diperpanjang sesuai yang dikehendaki, misalnya papan
           tulis pada dinding dikatakan dinding dan papan tulis sebidang.
      Garis pada bidang bila diperpanjang tetap berada pada bidang.


  a. Irisan Kubus / Balok
    Contoh :
    Sebuah kubus ABCD.EFGH, bidang ABFE frontal. Titik P pada garis AE
                           1
    sehingga AP =            PE, titik Q pada BF dimana QF = FB = 1 : 4. Tentukan irisan
                           2
    kubus dengan bidang PQG !
    Jawab :
            H                             G        Bayangkan bidang PQG sebagai gergaji,
       E                         FF                hasil potongan kubus dengan bidang pas
                                                   ti akan berupa bidang pula ( perkiraan ha
             R                        Q            sil potongan adalah bidang PQGR ). Ber-
                                                   arti tinggal mencari titik R yang terletak
            D
       P                                  C        pada garis DH. Untuk menentukan titik R
       A                          B                digunakan cara, sebagai berikut :
                 Gambar II.D.5




       Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   85
                                                                             Modul Geometri
                                   H                              G
                                                                        Melukis :

                          E                            F                1)Buat garis pelukis, seba-

                                   R                                      gai pemandu melalui ga-
                                                           Q              ris-garis yang sudah dike
                                                                          tahui yaitu garis PQ pada
                      P                                                   bidang ABFE.
                                   D                              C
                                                                               Tarik garis QP dan

                          A                            B                       tarik garis BA, kedua-
X                                                                              nya berpotongan di ti
                                                                               tik X.
                                                                           Garis QG pada bidang
        Z                                                                  BCGF.
                                                                               Tarik garis GQ dan
                                                                               garis CB, keduanya
               Y                                                               berpotongan di titik Y
                                                                           Tarik garis yang melalui
                              Y                                            titik x dan titik Y, maka
                   Garis Pelukis
                                                                           garis pelukis terbentuk.
                   Gambar II.D.6


    2) Menentukan titik pada garis DH. DH berada pada bidang ADHE dan
      bidang DCGH ( silahkan pilih )
       Tarik garis DA ( pada bidang ADHE ) hingga memotong garis pelukis
       dititik z
       Tarik garis ZP hingga memotong garis DH dititik R ( terbentuk garis PR )
    3) Hubungan ( buat ) garis GR
    4) Bidang PQGR adalah irisan bangun yang dimaksud, yaitu irisan antara
      kubus ABCD.EFGH dan bidang PQG.




       Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       86
                                                                                        Modul Geometri
        b. Irisan Prisma
         Contoh :
          Tentukan irisan prisma ABCDE.FGHIJ dengan bidang KLM !
                   J
                                  I             Jawab :
    F                                                 Bidang KLMNO adalah irisan bidang dimaksud.
                                N
              G                       H                                            Langkah-langkah :
O                                                                1) Tarik garis KL dan BC ( Bid. BCHG )
                                                                   2) Tarik ML dan DC ( Bidang CDIH )
                                               M                   3) Tarik garis melalui XY sebagai
                                                                       garis pelukis.
          K                                                      4) Tarik garis ED hingga memotong
                                                                    garis pelu kis di titik Z.
                            E                                                          5) Tarik ZM memotong
                                      L        D                                           EJ di titik N
    A                                                                                  6) Tarik AB memotong
                                                                      Z
          B                           C               X                                    garis pelukis dititik Q
                                                                                      7) Tarik garis QK hingga
                        Y       P
                                                                               memotong garis AF dititik O
                            Gambar II.D.7
                                                                                            8) Hubungkan garis
                                                                    ON, bidang KLMNO                 adalah irisan
                                                                    bangun yang dimaksut.


    Uji Kompetensi 3
    Kerjakan dengan singkat dan jelas soal-soal berikut ini !
    1. Diketahui limas T. ABCDEF, Bidang TAD frontal dengan panjang diagonal AD =
        7 cm. Titik P terletak pada TA sehingga TP = PA, Titik Q pada TB dengan BQ :
                                                                                         1
        BT = 1 : 3, dan titik R pada garis CT sehingga CR =                                RT. Tentukan irisan
                                                                                         4
        kerucut dengan bidang PQR !


                  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK         87
                                                                              Modul Geometri
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………………..…


2. Pada kubus ABCD.EFGH bidang ABFE frontal, panjang rusuk = 7cm. Titik K
  pada garis E dengan panjang EK = 1 cm, Titik L pada garis BF sehingga BL :
                                                                               1
  BF = 2 : 7 dan titik M pada garis CG sehingga GM =                             MC. Tentukan irisan
                                                                               2
  kubus dengan bidang KLM !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  …………………………………………………………………………………………..


3. Diketahui prisma tegak ABCDE.PQRST dengan bidang ADSP frontal. Titik K
  pada tengah-tengah AP, titik L pada garis BQ dengan BL : BQ = 1 : 3 dan titik M
  pada garis CR dengan CM = MR. Tentukan irisan prisma dengan bidang KLM
  ( rusuk prisma bebas ).
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………………..…


4. Sebuah prisma ABCDE.KLMNO dengan alas berupa persegi panjang dan
  ukurannya adalah ( 2 x 4 x 5 ) cm. Prisma itu dipotong setinggi 2 cm dari K,


        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     88
                                                                            Modul Geometri

1 cm dari L dan 1 cm dari M.
a. Hitung volume prisma tersisa
b. Gambar irisan bangunnya.
Jawab :
………………………………………………………..…………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………………………………




      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   89
                                                                              Modul Geometri

                                   RANGKUMAN
 Geometri dimensi tiga adalah semua                  Luas dan Volume
  benda yang ada alam dengan tiga                      *Luas Permukaan Bangun Ruang :
  ukuran yang berbeda ( dimensi )                        Semua bangun ruang luas pemu-
  sehingga ada ruang atau rongga                         kaannya adalah jumlah semua luas
  sehingga mempunyai volume.                             bidang-bidang sisinya.
 Geometri dimensi tiga selanjutnya                      Jadi luas permukaan prisma segi-4
  disebut sebagai bangun ruang.                          dengan sisi persegi atau kubus = 6
 Bangun-bangun ruang dibedakan atas :                   kali bidang alas = 6.s2 sat. luas.
 *Kelompok limas, seperti ; limas segi-n               *Volume benda ruang : Semua besar
  dan kerucut.                                           benda ruang volumenya = luas bid.
 *Kelompok prisma seperti; prisma segi-n                 alas x tinggi.
  dan silinder atau tabung.                           Jaring-jaring bangun ruang
 *Kelompok bola.                                       Jaring-jaring adalah rangkaian bid.
 Kubus adalah bangun ruang yang                       dimana bila ditangkupkan akan men
  terdiri atas enam buah bujur sangkar                 jadi bangun ruang yang dimaksut.
  yang kongruen. Spesifikasinya :                      *Jaring-jaring kubus, contoh :
              *Terdiri atas 6 persegi yang
               kongruen.
              *Mempunyai 3 pasang bid.
               diagonal yang kongruen.                   *Jaring-jaring balok, contoh :
  *Ke 4 diagonal ruangnya kongruen.
 Balok adalah bangun ruang yang terdiri
  atas 6 buah persegi panjang. Spesifikasi
                  *3 pasang bidang sisi
                    Berhadapan kongruen.              Irisan Bangun adalah bangun benda
                  *3pasang bidang diago-               ruang yang dipotong oleh bidang da
                    nal kongruen.                       tar dengan arah tertentu sehingga di
  *Ke 4 diagonal ruangnya kongruen.                    peroleh hasil perpotongan berupa bi-
 Bola adalah bangun ruang yang semua                  dang datar. Untuk melukiskan hasil
  sannya berupa lingkaran.                             irisan yang benar digunakan bantuan
                    *Luas permukaan bola               garis pelukis. Contoh :
                        L=                                             garis pelukis
                    *Volume bola :
                        V=




        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   90
                                                                                     Modul Geometri

PETA KONSEP


                                                   Geometri
                                                 Dimensi Tiga




              Bangun                    Luas dan                 Jaring-jaring              Irisan
              Ruang                     Volume                     Bangun                  Bangun




 Pengertian       Macam           Luas          Volum           Limas               Limas          Prisma
                  Bangun                        e                                                  a
                  Ruang



                                                                         Prisma                Kubus        Balok


               Limas           Limas          Limas
               *Limas        L= LA+LS
                                             V=
               *Kerucut
               Prisma          Prisma
                             L=2LA+LS        Prisma
               *Balok                        V = LA .t          Kubus            Balok
               *Kubus          Bola
               *Prisma       L=               Bola
               *Tabung                       V=
               Bola
               *Bola




               Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK           91
                                                                                Modul Geometri
Penilaian Kompetensi
Kompetensi           : Geometri Dimensi Tiga
Program              : Teknologi
Kelas/ Semester : XI / 2
Waktu                : 120 Menit.


1. Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi panjang. Jika panjang diagonal
   alas = 14 cm dan tinggi limas = 24 cm, maka hitung volume limas Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   …………………………………………..………………………………………………


2. Panjang diagonal alas suatu prisma segiempat beraturan 10 2 cm dan tinggi
   prisma 5 cm. Hitunglah luas permukaan prisma !
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………..…………………………………………


3. Sebuah bola tepat berada di dalam tabung ( bola menyentuh alas, atas dan
   dinding tabung ). Tentukan perbandingan volume bola dan volume tabung !
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………..………………………………………



          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   92
                                                                              Modul Geometri
4. Sebuah kubus tepat berada didalam bola. Jika jari-jari bola = 14 cm, maka
   hitunglah :
   a. Luas permukaan kubus.
   b. Volume bola.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………..………………………………………


5. Diketahui balok dengan ukuran ( 2+1 ) cm  (a+2 ) cm  ( 3a -5 ) cm.
   Jika panjang seluruh rusuk balok = 112 cm, maka hitunglah :
   a. Panjang diagonal ruang balok
   b. Volume balok.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………..………………………………………


6. Diketahui sebuah balok dengan volume 216 cm 3. Jika perbandingan antara
  panjang : lebar : tinggi = 4 : 2 : 1, maka hitunglah luas permukaan balok.
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………..……………………………………


7. Sebuah bola tepat berada dalam kubus ( tepi bola menyinggung dinding-


        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   93
                                                                              Modul Geometri
   dinding bagian dalam kubus ). Jika diagonal ruang kubus = 7 3 cm, maka
   hitunglah volume bola !
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………………….
   …………………………………………………………………………………………..
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………


8. Diketahui prisma tegak ABCDEF.PQRSTU, bidang ADSP frontal.

   Panjang AD = 6,5 cm, AP = 8,5 cm dan BC = 3,5 cm. Titik K pada garis BQ
   dengan BK = 2 KQ dan titik O pada garis DS dengan 3 OS = OD. Tentukan
   irisan prisma dengan bidang KRO !

   Jawab :

   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………..…………



9. Buatlah jaring-jaring balok dengan model no. 8.3 dan no.10.2
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………..…………




        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   94
                                                                              Modul Geometri
10. Sebuah balok berukuran ( 5 x 6 x 10 ) cm dipotong seperti tampak pada
  gambar berikut ini :
                S                     R
                         Q
        P                Q
            5         YX               Z

                           8           3
       X          D                   C
        A                B


    a. Tentukan irisan balok di atas.
    b. Hitung luas permukaan balok terpacung.
    Jawab :
    …………………………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………………………
    ………………………………………………………………………………………..




        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   95
                                                                              Modul Geometri
                                                Bab III
                                        VEKTOR
      Standar Kompetensi
             Menerapkan konsep vector dalam pemecahan
              masalah



      Kompetensi Dasar
             Menerapkan konsep vektor pada bidang datar
             Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang.



                                          ISI INTI MATERI

                               A. Vektor pada dimensi dua, R.2
                               B. Vektor pada dimensi tiga, R.3
                               C. Penerapan Vektor


Tujuan Pemelajaran
Usai pengajaran materi vector ini diharapkan siswa mampu :
   1. Mendiskripsikan vektor pada bidang datar ( dimensi dua ).
   2. Menentukan komponen-komponen vektor.
   3. Menyelesaikan kesamaan vektor.
   4. Melakukan operasi penjumlahan vektor.
   5. Menunjukkan hasil perkalian vektor-vektor.
   6. Menerapkan konsep vektor pada bidang datar.
   7. Mendiskripsikan vektor pada bangun ruang.
   8. Menentukan hasil opersai vektor-vektor pada bangun ruang.
   9. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang.



        Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   96
                                                                            Modul Geometri
A. Vektor Pada Ruang Berdimensi Dua

  Seperti sudah kita ketahui semua bahwa setiap saat manusia itu selalu
  dihadapkan pada kegiatan yang diberi nama mengukur. Setiap melakukan
  pengukuran pastilah melibatkan dua hal pokok yaitu besar dan arah
  pengukuran. Kedua komponen itu berkaitan erat dan menjadi satu kesatuan
  yang disebut vektor.


  1. Pengertian
     Diketahui bahwa pada setiap besaran terdiri atas dua hal pokok , yaitu :
     besaran skalar dan besaran vektor.
     a. Besaran Skalar
        Skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja. Atau
        besara yang hanya punya satu macam ukuran saja yakni besar.
        Contoh :
        i. Panjang 5 cm
        ii. Waktu 30 detik
        iii. Berat 75 gram.
        iv. Suhu 370 C
     b. Besaran Vektor
        Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.
        Secara geometris vektor didifinisikan sebagai suatu ruas garis yang
        mempunyai arah. Vektor biasa dinotasikan dengan tanda panah di
        atas huruf yang menunjukkan arah vektor.
                                                         B        Vektor AB menjukkan
                             A        a                           arah yaitu dari A ke B.
                              Gambar III.A.i
                                                               Vektor AB, ditulis A B atau a
        Titik A : titik awal ( asal ) vector dan Titik B : titik ujung vektor


      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   97
                                                                         Modul Geometri
     Besar dan panjang vektor a dapat ditulis dengan simbol, sebagai
     berikut : a atau a.
     Pada umumnya jika vektor a = ( x , y ), maka panjang vector a dapat
     dicari dengan menggunakan rumus :




     Contoh :
     Tentukan panjang dari vektor-vektor berikut ini :
     i. a = ( 3 , 4 )
     ii. b = ( 12 , 5 )
     Jawab :
     i. a = ( 3 , 4 )
                                          =
                                          =
                                          = 5
         Jadi panjang vektor a = ( 3 , 4 ) adalah 5
     ii. b = ( 12 , 5 )

                                          =
                                          =
                                          = 13
         Jadi panjang vektor b = ( 12 , 5 ) adalah 13.


2. Phasor
  a. Difinisi
     Phasor adalah sebuah vector yang berputar. Phasor merupakan suatu
     besaran yang mempunyai besar ( panjang ) yang ditunjuk kan dengan
     panjang ruas garis dan arah yang ditunjukkan oleh besar sudut δ yang
     dibentuk terhadap garis satuannya.


   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   98
                                                                       Modul Geometri
   Perhatikan gambar sinusoida berikut ini :

                  3                               3
                       2                                4
       4                                2
                          1
       5               1111
                                1                       5
                                                                   6            8
       6          7    8                                                  7
   Gambar di atas adalah gambar sinusoida dari salah satu besaran listrik
   arus bolak-balik.


b. Notasi phasor
   Secara umum sebuah phasor atau vektor yang bergerak dapat
   dinyatakan dengan notasi :
                                              r          δ
   Keterangan :
           r = besar ( panjang ) phasor
             = sudut yang ditempuh, yang merupakan fungsi dari t, yaitu
               fungsi dari waktu, atau δ =
   Bentuk di atas dikenal sebagai bentuk rectangular.


c. Bentuk Polar
   Sebuah phasor selain dinyatakan dalam bentuk rectangular dapat pula
   dinyatakan dalambentuk polar , yaitu :

                                                      a +bi

d. Hubungan antara bentuk polar dan rectangular
   Besar dan arah sebuah phasor dapat digambarkan pada koordinat
   kartesius atau pasangan sumbu koordinat ( R , J ) sebagai berikut:



 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   99
                                                                      Modul Geometri
           J                        (a,-bi)               a = r cos δ dan
                               A                          b = r sin δ maka didapat
                                                    a + bi = r cos δ + r sin δ . i
           b                                                 = r ( cos δ + I sin δ )
                      δ                                      = r     δ
           0              a                        R
  Jadi diperoleh hubungan :

                                          a+bi=r


  Dari hubungan di atas dapat diartikan, sebagai berikut :
               Sebuah phasor yang dinyatakan dengan 3 + 4 i , artinya phasor
               itu terletak pada perpotongan arah R sejauh 3 satuan dan arah J
               sejauh 5 satuan.
               Bentuk polar 5        300 , artinya panjang phasor itu 5 satuan dan
               arah phasor sebesar 300 dihitung dari sumbu horizontal ( sumbu
               J ).

  Contoh :
  i. Nyatakan 1 +        . i ke bentuk polar
                         0
  ii. Nyatakan 5 60 ke bentuk rectangular !
  Jawab :
  i. 1 + 2 i , artinya a = 1 dan b = 2
      r=

       =
     =
     = 2
    Tan =
                =   δ = arc. Tan
                      = 600
      Jadi 1 +   i = 2 600
  ii. 5 300 , artinya r = 5 dan δ = 300



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   100
                                                                         Modul Geometri
        maka a = r cos δ
               = 5 cos 300
               = 5.
                     =
                   b = r sinδ
                     = 5 . sin 300
                     = 5.½
                     =
        Jadi 5       300 =            +

3. Operasi Vektor

  a. Operasi Penjumlahan
     Jumlah dua buah vektor atau lebih disebut vektor hasil atau resultan.
     Ada beberapa cara untuk menentukan resultan dari dua buah vektor,
     tiga diantaranya adalah : cara segitiga, cara jajaran genjang dan cara
     analitis.


     1) Penjumlahan Vektor dengan cara segitiga
          Dimaksud cara ini vektor hasil ( resultan ) penjumlahan, yaitu : a +
          b , diperoleh dengan cara menempatkan (menyekutukan) titik awal (
          ujung ) dari salah satu vektor ke salah satu titik akhir ( pangkal )
          vektor yang lainnya. Sebagai resultannya adalah titik awal vektor
          yang satu dan titik akhirnya adalah titik akhir vektor yang lainnya.


          Contoh :
          Diketahui vektor                 a                dan vektor b          .


          Tentukan hasil dari a + b




   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   101
                                                                      Modul Geometri

       Jawab :                a + b
                                             b
                                  a


  2) Penjumlahan vektor dengan cara jajar genjang
       Dimaksud cara ini resultan atau vector hasil penjumlahan dipe roleh
       dari diagonal jajar genjang yang dibentuk oleh titik awal kedua vektor
       yang diimpitkan, kemudian dibuat vektor-vektor yang sejajar dengan
       vektor semula sehinga terbentuklah sebuah jajar genjang. Diagonal
       yang melalui titik pangkal keduanya adalah resultan vektor yang
       dimaksut.


       Contoh :
       Diketahui vektor            a       dan vektor                   b
       Tentukan         a + b
       Jawab :
                a
                      a + b


                        b




  3) Penjumlahan vektor secara analitis
       Dimaksud cara ini dua buah vektor yang akan ditentukan
       resultannya, jika titik awalnya ( ujung ) dimpitkan maka kedua nya
       akan menapit sebuah sudut selanjutnya disebut sudut apit. Dengan
       menggunakan aturan sinus dan atau aturan cosinus akan diperoleh
       vektor rusultannya.


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   102
                                                                      Modul Geometri
       a) Aturan Sinus
                                                            δ : sudut apit antara
                 a                                              a dan b
                     δ         a + b                        θ : sudut apit antara
                                θ                               b dan ( a + b )
                                b                           θ dapat dicari dengan :




       b) Aturan cosinus
           Dengan aturan kosinus δ dapat dicari sebagai berikut :




           Contoh :
           Hitunglah jumlah vektor dan arah sudut yang dibentuk                              = 1 dan
                      dengan sudut apit :
           i. δ = 300
           ii. δ = 600
           Jawab :


                         300    θ




                                 12 +      2
                                               +2.1.         . cos 300

                               =1+4+2

                               =5+1
                               =6


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK             103
                                                                         Modul Geometri
                   (           =

               Jadi jumlah vektor a dan vektor b adalah =




                                          sin θ =


                                                      =

                                                  = 0,317
                                              θ = arc. sin 0,549
                                                  = 18,4950
               Jadi besar                                    dan arahnya membentuk sudut

               18,4950 terhadap               .
           ii. (             )2 =     2
                                          +       2
                                                      + 2.     . cos δ
                               = 12 +                 2
                                                          +2.1.    . cos 600
                               = 1+3+2

                               = 4 +

               (         )      =
                               = 2,394




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   104
                                                                      Modul Geometri



               sin θ =

               sin θ =

                       = 0,549
                    θ = arc. sin 0,549
                     = 33,300

               Jadi besar (                  = 2,39 dan arahnya membentuk sudut
               33,300 terhadap


  4) Sifat-sifat penjumlahan vektor
       Penjumlahan dua atau lebih vektor , mempunyai sifat-sifat :
       a) Sifat komutatif
           Untuk setiap vektor a dan vektor b berlaku sifat komutatif :




           Contoh :

           Diketahui titik A =              , titik B =            dan titik C =

           Tunjukkan bahwa , jika                     =                               maka akan
           berlaku
           Jawab :

                                 =
                                             –

                

                



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK        105
                                                                       Modul Geometri
                                                          =

                  

                                                          =

            Jadi                                          , atau bersifat komutatif.

        b) Sifat asosiatif
            Untuk setiap vektor-vektor a ,                    b   dan c akan berlaku sifat
            asosiatif :




        c) Elemen Identitas
            Pada penjumlahan vektor terdapat unsur identitas sedemikian
            sehingga untuk setiap vektor a akan berlaku :




        d) Invers tambah
            Seperti halnya penjumlahan pada bilangan real, pada vector juga
            terdapat invers tambah yaitu –a . Sehingga berlakulah :




            Vektor –a mempunyai besar yang sama dengan vektor a, tetapi
            arahnya berlawanan.


b. Operasi pengurangan
   Pengurangan vektor a oleh vektor b didifinisikan sebagai penjumlahan
   vektor a dengan vektor lawan vektor b ( - b ). Ditulis :

                         –


 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   106
                                                                       Modul Geometri

   Pengurangan dilakukan dengan cara sama seperti penjumlahan vektor.


   Contoh :
   Diketahui vektor                             dan vektor


   Tentukanlah :

   i.        –
   ii.       –
   Jawab :
   i.                                            ii.




                             -
                       –                                        –          -




c. Operasi perkalian
   1) Perkalian skalar dengan vektor
         Jika suatu bilangan real k dan suatu vektor                    , maka perkalian k
         adalah suatu vektor yang panjangnya                     k kali panjang vektor        .
         Untuk setiap bilangan real k            real, maka ada beberapa kemungkinan
         :
                 Bila k > 0 , maka k       adalah vektor yang panjangnya k kali a dan
                 searah dengan         .
                 Bila k = 0 , maka k       adalah vektor nol.



 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       107
                                                                      Modul Geometri
             Bila k < 0 , maka k         adalah vektor yang panjangnya k kali a dan
             arahnya berlawanan dengan                    .


      Contoh :
      Diketahui vektor                           .
      Tentukanlah :
      i. 2
      ii. ½
      iii. -2
      Jawab :
      i.                                     2


      ii.                              ½


      iii.                                           -2

  2) Sifat-sifat perkalian vektor
      Perkalian antara scalar dan vector memenuhi beberapa sifat, seperti
      berikut :
              k.(-a )=-(k.a )=-k.a
              k . ( m . a ) = ( k.m ) . a
              k. a + m . a = ( k + m ) . a
              k.a +k.b=k.(a + b )


      Contoh :
      i.     3.–
      ii. 2 ( 3
      iii. 2 .
      iv. 5 .


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   108
                                                                        Modul Geometri
Uji Kompetensi 3.1
Selesaikan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
1. Diketahui limas T.ABCD seperti berikut ini :
                                       T



                      F        D            E
                                                    C
           A                       P            H
                          G                B
    a. Nyatakanlah               sebagai jumlah dua garis dengan 3 cara
    b. Nyatakanlah               sebagai jumlah tiga garis dengan 3 cara
    c. Nyatakanlah               sebagai jumlah empat garis dengan 3 cara
    Jawab :
    _________________________________________________________
    _________________________________________________________
    _________________________________________________________
    _________________________________________


2. Dari soal nomer 1 di atas lengkapilah soal berikut ini :
   a. TP + PG + … = TA
   b. TE + … + PF = TF
   c. PH + HC + CD = …
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________
3. Lukislah suatu ruas garis berarah AB yang panjangnya 3 cm, kemudian


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   109
                                                                        Modul Geometri
   lukislah :
   a. 2 AB
   b. -2 AB
   c. 1/3 AB
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________


3. Nyatakan ukuran-ukuran berikut ke bentuk polar !
   a. 4 + 2 i
   b. 2 - 2 i
   c. 3 + 3 i
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________


4. Nyatakan ukuran-ukuran berikut ke bentuk rectangular !
   a. 10           450
   b. 5            1200
   c. 2            00
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   110
                                                                         Modul Geometri
3. Operasi Dua Phasor


 a. Penjumlahan dua phasor
    Sifat-sifat penjumlahan dua buah phasor sama dengan penjumla
    han pada dua buah vektor. Secara umum penjumlahan dua buah phasor
    dapat dituliskan, sebagai berikut :

                      (a+bi)+(p+qi)=(a+p)+(b+q
                                 )i

    Contoh :
    Tentukan hasil penjumlahan phasor-phasor berikut ini :
    i. 10        600 + 20            300
    ii. 4        450 + 10            450
    Jawab :
    i. *10          600         r = 10, δ = 600
                a = r cos         = 10 cos 600
                                  = 10 . 0,5
                                  = 5
                b = r sin δ = 10 sin 600
                                  = 10 . ½
                                  = 5
        Jadi 10         600 = 5 + 5             i
        *20         300              r = 20 , δ = 300
                a = r .cos δ = 20 cos 300
                                   = 20 . ½
                                   = 20 . ½
                                   = 10
                b = r. sin δ = 20 . sin 300


   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   111
                                                                      Modul Geometri
                                   = 20 . ½
                                   = 10
     Jadi 20             300 = 10             + 10 .i
     Jadi 10        600 + 20           300 = 5 + 5         i + 10         + 10 i
  ii. *4         450               r = 4 , δ = 450
            a = r . cos δ = 4 cos 450

                               = 4.

                               = 2
            b = r . sin δ = 4 sin 450

                               = 4.

                               =
      Jadi 4           450 =
      *10         450              r = 10 , δ = 450
            a = r. cos δ = 10 . cos 450

                               = 10.

                               =
            b = r. sin δ       = 10. sin 450

                               = 10 .

                               =
      Jadi 10            450       =
      Jadi 4           450 + 10        450 =
                                           =
                                           =




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   112
                                                                       Modul Geometri
b. Perkalian dan pembagian


  Perkalian terhadap dua buah atau lebih phasor mempunyai sifat yang
  sama dengan cara perkalian dan pembagian pada bilangan real.
  Perkalian dan pembagian phasor ditunjukkan, sebagai berikut


             ( a + b.i ).( p + q.i ) = a.p + a.q.i + p.b.i – b.q
                                    –
                         =

             ( r1
            



   Contoh :
   Tentukan hasil operasi phasor berikut ini ;

   i. ( 3 – 2 . i ) ( 4 + 5 . i )               ii.

   Jawab :
   i. ( 3 – 2 . i ) ( 4 + 5 . i ) = 3 x 4 + 3 x 5 xi + (-2) x 4 x i – (-2) x 5
                                        = 12 + 15 i – 8 i +10
                                        = 22 + 7 i
         Jadi ( 3 – 2i) ( 4 + 5i ) = 22 + 7 i

   ii.

                  =

         Jadi




 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   113
                                                                       Modul Geometri
c. Resultan dua phasor


  1) Dua phasor searah
       Jika dua buah phasor searah ( sudutnya sama besar ) maka kedua
       phasor dapat disusun menjadi satu phasor tunggal dengan cara
       menjumlahkan panjang phasornya.

                         (a

       Contoh :
       Tentukan resultan dari phasor-phasor berikut ini :
       i. 3
       ii.
       Jawab :
       i. Resultan dari 3          200 dan 5        200 = 3        200 + 5        200
                                                           =(3+5)           200
                                                           = 8      200
             Jadi resultan dari 3       200 dan 5        200 adalah 8
       ii. Resultan dari                                  =
                                                           =
                                                           = 17
             Jadi resultan dari


  2) Dua phasor saling berpelurus
       Jika dua buah phasor saling berpelurus ( membentuk sudut 180 0 )
       maka selisih kedua phasor tersebut arahnya menuju ke phasor yang
       terpanjang.

                           P1 = a θ , P2 = b δ , P1 dan P2
                           berpelurus
                           maka R = ( a – b ) δ , a < b dan θ + δ =


 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   114
                                                                      Modul Geometri

      Contoh :
      Tentukan resultan dari dua phasor yang berpelurus berikut ini :
      i.
      ii.
      Jawab :
      i.


                       = 10 + 0 . i
                       = 10
            Jadi resultan dari
      ii.


                       =    9 +0.i
                       =
            Jadi resultan dari


 3) Dua phasor berpenyiku
      Jika dua buah phasor saling berpenyiku ( membentuk sudut siku siku
      ) maka resultannya dapat disusun dengan cara mengubah- nya
      kebentuk rectangular trlebih dahulu.

                      Resultan dari
                      R=r       , r=                           dan β = arc. tan



      Contoh :
      Jabarkan                                    menjadi resultan dua phasor !
      Jawab :



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   115
                                                                      Modul Geometri



         (

                         r=

                                   r=          = 4

                      tan β =

                                            β = 600
      Jadi


 4) Dua phasor membentuk sudut δ
      Jika dua buah phasor membentuk sudut bebas ( = δ ) maka
      resultannya adalah hasil penjumlahan bentuk recatanguler dari kedua
      phasornya.


      Contoh :
      Jabarkan resultan phasor                                             !
      Jawab :
                        
                            a = r cos θ         a = 10 . cos 300

                                                   = 10 .

                                                   = 5
                            b = r sin θ         b = 10 . sin 300
                                                   = 10 . ½
                                                   = 5
                              Didapat bentuk
                        



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   116
                                                                        Modul Geometri

                                                                =
                                                                =




                           Untuk bagian nyata               =
                              dan bagian imajiner           =
              Jadi


Uji Kompetensi 3.2


Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini !
1. Tentukan hasil penjumlahan phasor-phasor berikut ini !
   a.
   b.              +
   c.
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________
2. Selesaikan soal-soal berikut ini :
   a. 10
   b. 25
   c. 5



  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   117
                                                                        Modul Geometri

   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________
3. Hitunglah perkalian phasor berikut ini :
   a. ( 2 + i ) ( 2 – i )
   b. ( 2 + 3
   c. ( 4
   d. ( 3
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________
4. Tentukan hasil pembagian di bawah ini !

   a.

   b.

   c.

   d.
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   _______________________________________________________


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   118
                                                                           Modul Geometri
B. Vektor Pada Ruang Dimensi Tiga , R.3

  1. Pengertian
    Dalam pembahasan vektor pada bidang dimensi dua di atas telah
    dimengerti tentang hubungan antara vektor-vektor dalam bidang, yaitu
    vektor-vektor dalam ruang berdimensi dua. Seperti telah diketahui bahwa
    vektor-vektor tidak selalu dapat diwakili oleh garis-garis meski garis-garis
    itu berada dalam satu bidang, sedangkan vector-vektor itu dapat juga
    digunakan dalam ruang berdimensi tiga.
    Diberikan suatu vektor r dan 3 buah vektor lain yang sebidang, yaitu a ,
    b dan c , maka keempat vector itu disebut koplamar.
    Jika dua atau lebih vektor terletak pada garis yang sama maka disebut
    kolonier. Setiap vektor di R. 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear




    Perhatikan gambar berikut ini :
               C




                                B
        A
                      membentuk basis untuk vektor di R. 3. Selanjutnya untuk
    setiap vektor a di R . 3 dapat dinyatakan sebagai tripel bilangan dalam
    bentuk vektor baris ( rx , ry , rz ).


  2. Penjumlahan vektor
    a) Pengertian



     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   119
                                                                          Modul Geometri
      Penjumlahan dua buah vektor atau lebih dalam dimensi tiga, tepat sama
      seperti penjumlahan vektor dalam dimensi dua, karena kedua vektor itu
      merupakan wakil dua buah ruas garis yang dapat dipilih yang
      mempunyai titik persekutuan. Perhatikan gambar berikut ini :
                                C              adalah wakil dari vector u dan                wa-
                                        kil dari vektor v, B adalah titik persekutuan
                                               adalah vektor hasil penjumlahan yang
                          B             mewakili jumlah dari u dan v ditulis “u + v”.
A                                       Jadi
      Dari penjumlahan vector dalam dimansi dua seperti gambar di atas,
      juga berlaku pula dalam ruang dimensi tiga. Perhatikan gambar berikut :
      C
                                                             adalah wakil dari vektor
                                    Z
      B                                                      adalah wakil dari vektor
              y                            Timbul petanyaan apakah benar bahwa
                                                             adalah vektor yang sama ?
          X

       Bukti :
                             adalah wakil-wakil dari vektor yang sama sehingga
          ABYX adalah suatu jajaran genjang. Jadi AX sama dan sejajar
          dengan BY …………………(1)
                             adalah wakil-wakil dari vektor yang sama sehingga
          BCZY adalah suatu jajaran genjang. Jadi BY sama dan sejajar
          dengan CZ …………………(2)
       Dari (1) dan (2) berlakulah                             sebagai wakil dari vektor yang
          sama . Terbukti.
b) Basis untuk Vektor di R.3



    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK     120
                                                                         Modul Geometri
  Diberikan suatu vector                                 dan 3 buah vektor yang tidak
  sebidang , yaitu                                                                         , seperti
  tampak pada gambar berikut ini :
            C                                       Dari gambar di samping :
                                  R                 Jika                  adalah vektor-
                                                    vektor yang panjangnya satu
              o                                B satuan maka ada bilangan riil
 A                                                  rx , ry dan rz sedemikian hingga
                     berlakulah :

                     dan                                            , karena
                                                                   dan                 maka


                                         =                           .
  Selanjutnya                         disebut sebagai komponen vektor                  .
  Disimpulkan bahwa untuk setiap vektor                         dalam ruang dimensi tiga ,
  R.3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tiga buah vektor
  basis                    yang tidak sebidang dalam bentuk :




  Setiap vector         dapat dinyatakan sebagai tripel bilangan dalam bentuk :
           Vektor baris ( rx , ry , rz )

           Vektor kolom




  Contoh :




Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK             121
                                                                         Modul Geometri
     Diketahui titik A( 1 , 3 , 0 ) , titik B( 0 , 2 , 1 ) dan titik C( -3 , -1 , 4 ).
     Perlihatkan bahwa A , B dan C segaris , dan tentukan nilai AB : BC
     JawaB :

     Misal :


     jika


     juga


                                                                 =3

     Diperoleh                      . Ini berarti bahwa titik A, titik B dan itik C ber ada
     pada satu garis lurus ( kolinear ). Dan perbandingan antara ke duanya,
     yaitu                                                .


3. Beberapa vektor khusus


  a. Besar atau panjang vektor
     Jika a( ax , ay , az ) maka besar ( panjang ) vektor a islah                               ada lah
     suatu jarak antara titik pusat O dan satu titik yang berkoordinat ( ax , ay ,
     az ) . Jadi panjang vector a adalah :




     Jika titik A( x1 , y1 , z1 ) dan titik B( x2 , y2 , z2 ) maka vektor AB ditu
     lis       , adalah :




   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK             122
                                                                      Modul Geometri


  Dan panjang vektor AB adalah :




  Contoh :
  Diketahui titik A( 2 , -1 , 4 ) dan titik B( -1 , 2 , 1 ). Tentukanlah :
  i. Koordinat dan panjang vektor AB
  ii. Koordinat dan panjang Vektor BA
  Jawab :

  i. Vektor AB =


      Jadi arah vektor AB =

      Panjang vektor AB =

                                           =
                                           =
      Jadi panjang vektor AB adalah

  ii. Vektor BA =


      Jadi arah vektor BA =

      Panjang vektor BA =
                                 =
                                 =


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   123
                                                                       Modul Geometri
       Jadi panjang vektor BA adalah


   Dari kedua contoh di atas ternyata bahwa vektor AB dan vektor BA
   arahnya tidak sama tetapi panjangnya tetap sama.


b. Vektor satuan
   Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan.
   Perhatikan gambar berikut ini :


                    z                           Keterangan :
                                                   = vektor satuan pada sumbu x
                                                   = vektor satuan pada sumbu y
                                           y      = vektor satuan pada sumbu z


        x
   Vektor satuan yang searah dengan vekator a dapat didifinisikan sebagai
   berikut :


                                  e =

   Keterangan :
                 e = vektor satuan
                    = vektor a
                    = besar vektor a
   Contoh :
   Tentukan vektor satuan dari vector a ( 1 , 2 , -2 ) !
   Jawab :
   Besar vektor a ,



 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   124
                                                                       Modul Geometri
                                =
                                = 3

   Vektor satuan dari vektor a adalah , e =

                                                        =

   Jadi vektor satuan dari vektor a( 1 , 2 , -2 ) adalah, e = (


c) Vektor posisi
   Pada setiap hal khususnya dalam geometri selalu terkait dengan yang
   namanya vektor dan suatu garis dari bangun. Seringkali lebih berguna (
   mudah ) bila menghubungkan titik-titik pada bangun dengan suatu titik
   O, yang disebut titik pangkal. Jadi setiap titik A , B , C , …. , dikawankan
   denganm vector-vektor a , b , c , … , sedemikian rupa sehingga a , b , c
   , … diwakili oleh

   Jika A( x1 , y1 , z1 ) maka a =                     . Koordinat-koordinat titik A adalah

   komponen-komponen vektor posisinya.
   Jadi vektor posisi titik a adalah suatu vector a yang titik awalnya O( 0 ,
   0) dan titik ujungnya ( a1 , a2 , a3 ) maka ( a1 , a2 , a3 ) adalah komponen-
   komponen dan vektor posisi a.


d) Perbandingan dalam bentuk vector dan koordinat


   1) Pembagian ruas garis dalamperbandingan m : n
        Suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n jika
        m : n = AP : PB . Ada kemungkinan, sebagai berikut :
         P diantara AB               n            B
                       m                                berlakulah ;



 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   125
                                                                      Modul Geometri
                                    P                  AP : PB = m : n dan
              A                                        AP : AB = m : ( m + n )
        P pada perpanjangan AB
                           m                           berlakulah :
                 A        B      -n         P          AP : PB = m : -n dan
                                                       AP : AB = m : ( m – n )
       Jika P merupakan titik tengan AB maka m = n.


  2) Pembagian dalam bentuk vektor


       Perhatikan gambar berikut ini .
                                                      p adalah vektor posisi titik P
                                                      yang membagi AB dengan
                                                      perbandingan m : n maka :
                          B
                                n
                                        P
                                                             p=
                                            m
         O                                            Rumus ini adalah rumus pem
         A                                            bagian dalam bentuk vektor.




       Bukti :
             Untuk semua letak P pada AB, baik di dalam maupun di luar,
             berlakulah :
             AP : PB = m : n                       AP : AB = m : ( m + n )
             n                              atau
             n(p – a ) = m(b – p )

           n p – n a = m b – mp                           p= a+

           (m + n )p = m b + n a                          p=


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   126
                                                                      Modul Geometri



       Contoh :
       Tentukan vektor letak titik-titik P dan Q yang membagi AB di dalam
       dan di luar dengan perbandingan 5 : 2 !
       Jawab :
       Untuk P, m : n = 5 : 2 ( P di dalam atau antara AB )
       maka

                    =

       Untuk Q, m : n = 5 : -2 ( Q di luar atau pada perpanjangan AB)
       maka

                    =


  3) Pembagian dalam bentuk koordinat
       Jika diketahui vektor posisi A( x1 , y1 , z1 ) dan B( x2 , y2 , z2 ) yang
       membagi garis yang menghubungkan AB dengan perban- dingan m
       : n . Maka untuk mencari vektor posisi r digunakan rumus, sebagai
       berikut :




       Dari rumus di atas, dipenuhi oleh :

       xr =                     ; yr =                    ;   zr =

       Dalam geometri analitik rumus tadi disebut rumus pembagian
       Untuk memudahkan mengingat urutan perkalian perhatikan gambar
       berikut ini :


                        A(x1,y1,z1)               P                                          127
                                    Geometri )
Erman ----------------------------- B(x y ,z Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK
                                      2, 2 2
                                                 *
                                *
                                                                          Modul Geometri




           Dalam bidang XY, maka koordinat z sama dengan nol.
           Jadi jika titik R( xr , yr ) membagi garis hubung A( xa , ya ) dan B( xb ,
           yb ) dengan perbandingan m : n adalah :

                    xr =                    dan yr =

           Contoh :
           Tentukan koordinat titik-titik P dan Q yang membagi garis hubung A(
           1 , 3 , 6 ) dan B( 0 , 1 , 2 ) di dalam dan di luar dengan
           perbandingan 3 : 1.
           Jawab :
                  A(1, 3, 6)        B(0, 1, 2)                 A(1, 3, 6)        B(0, 1, 2)



                 3              1                   3                           -1
           Koordinat titik P ( berada diantara AB )
                       xp =               , yp =              , zp =

           Jadi koordinat P( , , 2 )

           Koordinat titik Q ( berada di luar AB )
                       xq =               , yq =               , zp =

           Jadi koordinat Q(




4. Vektor di R.3
  a. Hasil Kali Skalar Dua Vektor



    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   128
                                                                       Modul Geometri
  Bila a dan b adalah dua buah vektor yang bukan vektor nol, maka a
  dan b dapat diwakili oleh                               . Seperti tampak pada gambar
  berikut ini :

                                   Z
                                            B(b1,b2,b3)            y

                                      δ
                            A(a1,a2,a3)
                               O
                            x


  1) Hasil kali skalar dari a dan b adalah bilangan real ( skalar ) yang
       besarnya ditentukan oleh hasil kali antara besar a, besar b dan
       kosinus δ ( sudut antara dua vektor a dan vektor b ).
       Atau dapat dinyatakan dalam rumus :

                                  a .b =

      Dari rumus di atas terdapat beberapa kemungkinan , yaitu :
           Bila a = 0 atau b = 0, sudut δ tidak tertentu dan didifinisikan a . b
           = 0. Jadi jika a. b = 0 maka sudut δ tidak didifinisikan.
           a = 0 atau b = 0, salah satu vektornya adalah vektor nol.
           Jika a          dan b           maka q =
  2) Bentuk komponen dari perkalian skalar
       Jika vektor a dan vektor b dinyatakan dengan komponen-

       komponennya, misalnya seperti :                                                       maka

       hasil kali skalar dua vektor itu adalah, sebagai berikut :

                                       a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK          129
                                                                           Modul Geometri
       Atau :


       Jadi


       Bukti :
       Perhatikan gambar dua vektor di atas, dengan rumus jarak




                                 =
       Dalam               , dengan menggunakan aturan kosinus,
                           AB2 = OA2 + OB2 – 2 .                                        Jadi,




       Jadi a . b =                  cos δ atau a. b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 dapat
       dipakai sebagai difinisi perkalian scalar                       a    dan   b , sedangkan
       persaman yang lain diturunkan dari difinisi ini.
       Dari difinisi di atas ternyata bahwa, a . b adalah bilangan real yang
       tanda bilangannya ditentukan oleh besarnya sudut yang dibentuk
       oleh dua vektor yaitu sudut δ.
       Ada 3 kemungkinan tentang besarnya δ, yaitu sebagai berikut :
           i.                         ii.                       iii.


                   δ                                                                δ
       Keterangan :
       i. Karena cos δ = cos (-δ) maka arah pengukuran dari a ke b atau
           dari b ke a sama saja.


Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK        130
                                                                       Modul Geometri
        ii. Karena δ = 900 = ½                  a . b = 0 juga
                                                a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0
        Contoh :
        Ditentukan P( 1, 3 , 2 ) , Q( 0 , 1 , 4 ) dan R( 3 , -2 , 1 ). Bila
        wakil dari u dan             wakil dari v , maka hitung u . v !
        Jawab :

        u=          =


        v=         =


        u.v=

               = ( -1 . 3 ) + (-2).(-1) + (2) . (-3)
               = -3 + 2 – 6
               = -7


b. Sudut Antara Dua Vektor
   Perhatikan gambar berikut ini :
                         A                dan       adalah dua buah vektor yang
                                      bukan vektor 0 .
       O      δ                       Sudut AOB = δ = sudut antara vektor

                             B                                vektor      , 00 < δ < 1800.
   Dari difinisi di atas, a . b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
                                      =                   diperoleh

                             cos δ =

                                      =



 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   131
                                                                      Modul Geometri
  Jadi sudut antara dua vektor adalah :




  Contoh :
  i. Diketahui a = i + 2 j + 2 k dan b = 2 i + 3 j – 6 k.
       Hitunglah : * a . b
                      * besar sudut antara a dan b
  ii. Ditentukan A( 1 , 2, 0 ) , B( 1 , 3 , 5 ) dan C( -1 , 3 , 1 ). Dengan
       menggunakan perkalian skalar buktikan bahwa                         ABC = 900 !
  Jawab :

  i.   a = i + 2j + 2 k         a=            dan b = 2 i + 3 j – 6 k


       *a . b =

              = 1. 2 + 2 . 3 + 2. (- 6)
              = 2 + 6 – 12 = - 4
       Jadi a . b = - 4

       *cos δ =

                            =

                            =                 = - 0,190

                           = arc. cos -0,190
                            = 1010
       Jadi besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah 101 0.
  ii. Misalkan           wakil dari a dan              wakil dari b , serta δ adalah sudut
       antara AB dan BC (                    ). Diperoleh :



Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   132
                                                                       Modul Geometri

                                                  –                      dan


                                                         –




                           = 0+0+0=0
       Sehingga cos δ =                =

                             = 0        δ = arc. cos 0
                                           = 900
       Jadi                      terbukti .


c. Sifat-sifat Perkalian Skalar
   Perkalian skalar vektor dengan vektor mempunyai sifat-sifat yang
   hamper sama dengan pengerjaan bilangan real yang lain, yaitu :
   bersifat komutatif dan bersifat distributif.
   1) Sifat Komutatif
        Pada perkalian skalar vektor dengan vektor berlaku sifat komutatif,
        sebagai berikut :




        Bukti :

        Misalkan ,




 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   133
                                                                       Modul Geometri

                                *



        Karena perkalian bilangan-bilangan real mempunyai sifat komutatif,
        maka a1 . b1 = b1 . a1 dan seterusnya.
        Jadi terbukti bahwa                                bersifat komutatif.
   2) Sifat Distributif
        Perkalian scalar terhadap penjumlahan vector bersifat distributive,
        sebagai berikut :



                                –                     –

   Untuk sifat-sifat operasi yang lain tidak berlaku pada perkalian skalar
   vektor dengan vektor.
d. Vektor dan Matriks
   Dari beberapa pembahasan di atas terlihat bahwa vektor-vektor kolom
   dapat dijumlahkan seperti matriks. Dan suatu vektor juga dapat
   dijumlahkan seperti perkalian matriks dengan suatu skalar.
   Misalkan ;

                                               penjumlahan vektornya adalah




                                       ,   terlihat       bahwa     hasilnya       sama       seperti

        penjumlahan matriks.




 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK             134
                                                                       Modul Geometri

   

        Untuk perkalian matriks baris dengan matriks kolom, sebagai berikut
        :




Terlihat bahwa perkalian dua vektor sama dengan perkalian matriks kolom
dengan matriks baris, untuk elemen-elemen yang sama.
e. Proyeksi Vektor Pada Vektor Lain
   1) Proyeksi skalar dari suatu vkctor ke vektor lain
        Besar proyeksi skalar vector b pada vektor a dapat ditentukan
        dengan rumus, sebagai berikut :

                  Proyeksi Skalar b pada a =

        Secara geometris dapat diperlihatkan, sebagai berikut :
                                   B                    Keterangan :
                                                       OB’ = proyeksi pada OA
                   δ
       O                        B’           A
        Dengan cara yang sama besar ( panjang ) proyeksi skalar dari
        vektor a ke vektor b dapat ditentukan dengan rumus :

                       Proyeksi Skalar a pada b =

   2) Proyeksi vektor dari suatu vektor ke vektor lain
        Besar proyeksi vektor dari vektor b pada vektor a dapat dicari
        dengan menggunakan rumus, sebagai berikut :

                     Proyeksi Vektor b pada vektor a =



 Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   135
                                                                        Modul Geometri
          Dengan cara yang sama, besarnya proyeksi vektor dari vektor a
          pada vektor b dapat dicari dengan rumus , sebagai berikut :

                       Proyeksi Vektor a pada vektor b =

Uji Kompetensi 3

Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini :
1. Bila panjang vector a adalah 10, maka tentukan nilai a. a !
   Perhatikan : *)                                                 , walaupun berlaku
                     **)
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________


2. Jika                          dan sudut antara a dan b adalah 600 , maka
   hitunglah :
   a. a . ( b + a )
   b. b. ( a + b )
   Jawab :
   -
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   ______________________________________________



3. Diketahui :                                                       . Hitunglah :

   a. a . ( b + c )



  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   136
                                                                        Modul Geometri
   b. b . ( a + c )
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________


4. Jika      a = 2 u + 3 v dengan u adalah vector-vektor satuan dan
   membentuk sudut 600 , maka hitunglah :
   a. u . v
   b. v . u
   c. a . a dan
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________


5. Vektor-vektor a = 4 i – 3 j + 2 k , b = 2 I – 2 j + 6 k, c = 3 I + 4 j + 5 k
   Adalah vektor-vektor posisi dari titik-titik sudut A , B dan C dari
   Pergunakan perkalian skalar untuk membuktikan                                   adalah segitiga
   siku-siku. Dan sebutlah titik sudut dari sudut siku-siku itu.
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________


6. Dengan a . b =                                     , tentukanlah a . b , agar :


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK         137
                                                                        Modul Geometri
   a. a = i + 2 j + 5 k, b = -i + j – 2 k
   b. a = 3 i – 2 j + k , b = 2 i – 2 j – k
   Jawab ;
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________
7. Tentukan koordinat suatu titik yang membagi garis hubung A(2, -3) dan
   B( -3 , 5 ) di dalam dan di luar denga perbandingan 3 : 5.
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________
8. Dalam              ,     wakil dari              wakil b dan           wakil dari c . L dan M
   adalah titik-titik tengah BC dan CA.
   a. Tunjukkan bahwa                 adalah wakil dari ½ ( a + b )
   b. Nyatakan vektor yang diwakili oleh                          dalam suku-suku a dan b
        kemudian sebutlah hubungan antara
   c. Tuliskan hubungan antara LM dan BA, bunyinya “ garis hubung titik-
        titik dua sisi segitiga adalah ….. “
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________
9. Sama sepeti soal nomor 8 di atas. Jika sebuah garis melalui M sejajar
   dengan CB dan memotong AB di titik N.



  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK       138
                                                                            Modul Geometri
        a. Perlihatkan bahwa                adalah wakil dari ½ b+ kc untuk semua k
        b. Tunjukkan bahwa                 wakil dari l a untuk suatu l.
        c. Dengan a + b + c = 0 buktikan bahwa ( l + ½ ) b + ( l + k ) c = 0,
             karena itu k = ½ dan l = -1/2 . Tuliskan kesimpulanmu.
        Jawab :
        __________________________________________________________
        __________________________________________________________
        __________________________________________________________
        __________________________________________
C. Penerapan Vektor dan Phasor


  Vektor dan phasor seringkali digunakan pada materi ilmu-ilmu fisik, seperti
  fisika. Penggunaan vektor paling banyak adalah pada perhitungan gaya,
  momen , energi dan sebagainya. Karena pada materi-materi ini arah dan besar
  suatu bahasan menjadi idea sentralnya.


  Contoh :
  i. Perhatikan gambar berikut ini :
                                    F = 10 N           Gaya sebagai besaran vector di-
                                                       berikan untuk mengangkat batu.
                                                       Hitunglah besarnya momen ga-
                            2m                         ya yang diberikan !


  Jawab :
    Momen gaya = F . s
                     = 10 . 2
                     = 20




      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   139
                                                                          Modul Geometri
  Jadi besarnya momen gaya yang diberikan untuk mengangkat batu itu
  adalah 20 Nm.
ii. Sebuah mobil Derek menarik mobil seperti tampak pada gambar berikut ini :




 Gaya ( F ) yang dilakukan sebesar 60 N dan posisi derek terhadap jalan
  Sebesar 450 . Tentukan besarnya usaha mobil derek itu jika mobil bergerak
  sejauh 200 meter !
Jawab :
  Gaya mendatar = F cos θ
                       = 60 . cos 450
                       = 60 .

                       =
  Usaha ( W )          = F . s . cos θ
                       = 60 . 200 . cos 450
                       = 12000 .

                       =
  Jadi besar usaha yang terjadi pada mobil derek adalah                                 Nm.
iii. Posisi sebuah perahu layar yang terdeteksi dan tampil pada monitor berada
  pada     koordinat 12 + 8 i . Tentukan koordinat perahu tersebut dengan
  gambar !
Jawab :       i


    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   140
                                                                          Modul Geometri

            8




                                                            R
            0                          12
iv. Sebuah barang bekas keras hendak direcah dan ditarik oleh tiga alat
  penarik dengan arah dan sudut yang berbeda-beda, seperti terlihat pada
  gambar beriktu ini :             y
                           18 N                    20 N


                                  450           600
                                            0   300
  Hitung resultan gayanya !                           10 N
Jawab :
                                            y
                           18 N                    20 N


                                  450           600
                                            0   300
                                                       10 N




  Jumlah gaya pada arah mendatar ( arah sumbu x )
          = 20 . cos 600 + 10 . cos 300 – 18 . cos 450
          = 20 . ½ + 10 .

          = 10 +
          = 10 + 8,66 – 12,73



    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   141
                                                                        Modul Geometri
        = 5,93
Jumlah gaya arah vertical ( arah sumbu y )
        = 20 . sin 600 + 10 . sin 300 – 18 . sin 450

        = 20 .           + 10 . ½ - 18 .

        =
        = 17,32 + 5 - 12,73
        = 9,59
Resultan gaya dari sumbu x dan arah sumbu y adalah :




        = 11,32
Jadi resultan dari ketiga gaya yang berbeda itu adalah 11,32 N.


Uji Kompetensi 4


Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
1. Dua buah gaya tarik yang saling berhadapan arah masing-masing
   adalah 7 N dan 24 N. Hitunglah selisih kedua gaya itu dan tentukan pula
   kemana arah dari resultannya !
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________




  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   142
                                                                        Modul Geometri


2. Tuliskan semua gaya yang ada ( mendatar dan vertical ) dari tiap-
   tiap tegangan tali pada gambar berikut ini !

                                                         δ
                      T2                            T1
                           T2                  T1
                                   T
                                   T

   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________________________
   __________________________________________
3. Sebuah gergaji sawmill yang melingkar berputar pada roda asnya
   dengan gaya putar sebesar 120 N. Jika jari-jari roda adalah 77 cm, maka
   hitunglah besarnya momen putarnya !
   Jawab :
   __________________________________________________________
   __________________________________________________
   __________________________________________________________
   _________________________________________________
4. Perhatikan gambar tali timba di bawah ini :




                                                     Momen gaya T2 = k . T2 dan
                            T1            T2          momen gaya T1 = k . T1.
                                                      Jika dihasilkan T1 > T2 ten-
                                                      tukan kemana arah katrol


  Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   143
                                                                         Modul Geometri
                                                       berputar ?
      Jawab :
      __________________________________________________________
      __________________________________________________________
      __________________________________________________________
      __________________________________________
 5. Perhatikan gambar di bawah ini !
                           300




                 75 N               125 N      Tentukan besar dan arah gaya yang
                                                Terjadi di tiik O !



                           O

      Jawab :
      __________________________________________________________
      __________________________________________________________
      ______________________________________________
      _____________________________________________________


                                      Rangkuman
 Besaran       terdiri        atas       dua  Setiap vektor dalam ruang dapat
  macam,yaitu                                      di
  *Besaran Skalar, yaitu bearan                    nyatakan secara tunggal degan
  yang                                             tiga
    hanya mempunyai besar saja.                    vektor yang tidak sebidang
  *Besaran Vektor, yaitu besaran                   u,v,&w yang membentuk suatu
  yang                                             basis untuk seluruh vektor. Jika r
    mempunyai besar dan arah.                      = lu+mv+nw
 Panjang vektor , jika vektor a =                 maka l,m dan n adalah
  (x,y)                                            komponen- komponen dari r, dan
  maka panjang vektor dicari dengan
                                                   r=
  rumus :
 Penjumlahan           vektor,          hasil  Tiga vector satuan yang tegak
   Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   144
  penjumla- han dua vektor atau                    lurus sesamanya seringkali
  labih disebut re- sultan. Ada dua                dipakai seba- gai basis dengan
  metode yang sering digunakan,
                                                                          Modul Geometri




Peta Konsep

                                            VEKTOR




         Vektor di                                 Vektor di R. 3                Penerapa        145
    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK
           R.2                                                                   n Vektor
                                                                                Modul Geometri




PENILAIAN KOMPETENSI
Kompetensi               : Vektor
Program                  : Teknologi Komputer dan Jaringan
Kelas/Semester : XI / 2
Waktu                    : 90 menit

Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini !
1.   Jika A( 1 , 3 ) , B( 0 , -2 ) dan C( 2 , 4 ). Nyatakanlah vektor-vektor yang
     diwakili oleh oleh                          dalam bentuk pasangan bilangan dan
     buktikan bahwa
     Jawab :
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     ___________________________________________




          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   146
                                                                                Modul Geometri
2.    Jika P( 4 , 3 ) dan                mewakili vektor               . Tentukanlah dalam bentuk

     komponen vektor yang diwakili oleh                  , dan hitunglah            .
     Jawab :
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     ___________________________________________
3. Diketahui titik-titik : A( 2 , 5 , 0 ), B( 5 , 8 , 3 ) dan C( 4 , 7 , 2 ). Buktikan bahwa
     ketiga titik itu segaris, dan hitung pula angka perbandingannya !
     Jawab :
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     ___________________________________________
4. a. Perlihatkan bahwa garis hubung A( 2 , 1 , -1 ) dan B( 4 , 2 , -2 ) melaui titik
       asal.
     b. Perlihatkanlah garis hubung P( 5 , 3 , -2 ) dan Q( 9 , 5 , -4 ) sejajar dengan
       garis hubung K( 2, 2 , 3 ) dan L( 4 , 3 , 3 ).
     Jawab :
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     _______________________________________________________________
     ___________________________________________

5. Dipunyai,

     Tentukanlah nilai a , b dan c !
     Jawab :




          Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   147
                                                                               Modul Geometri
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________
6. Buktikan bahwa segitiga dengan titik-titik sudut A( 1 , 0 , 0 ), B( 1 , 1 , 1 )
    dan C( 0 , 1 , 1 ) adalah segitiga siku-siku !
    Jawab :
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________
7. Diketahui : m = 3 i + 4 j + 12 k dan n = 2 i + 2 j + k. Hitunglah :
    a.                       b.                      c.
    Jawab :
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________
8. Jika OABC dan OPQR adalah belah ketupat dengan P dan R sebagai titik titik
    tengah OA dan OC. Nyatakanlah b dan q denga a dan c. Kemudian buktikan
    bahwa O, Q dan B segaris dan bahwa Q adalah titik tengah AB.
    Jawab :
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________
9. Vektor-vektor posisi dari A, B dan C adalah a , b dan 3 a + b. Tentukan vektor
    posisi D < E dan F yang merupakan itik-titik tengah dari BC, CA dan AB dari
            G dan H masing-masing membagi AD dan BE menjadi tiga bagian yang


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   148
                                                                               Modul Geometri
    sama. Letak G dan H lebih dekat ke D dan E. Buktikanlah bahwa G dan H
    mempunyai vektor posisi yang sama. Nyatakanlah vektor posisi titik berat
           dengan a dan b.
    Jawab :
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________

10. Diketahui :                                                      . Jika panjang p adalah satu

    satuan dan p membentuk sudut 450 dengan vektor q , tunjukkanlah bahwa a =
          Jika vector p tegak lurus pada vektor r perlihatkanlah bahwa c = 0 dan

    bahwa ada dua nilai dari b yang mungkin. Perlihatkanlah bahwa dua vektor
    yang ditentukan dengan nilai-nilai a , b dan c ini tegak lurus sesamanya.
    Jawab :
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________

11. Diketahui :                                          Jika           maka hitung nilai k !

    Jawab :
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    ___________________________________________

                                     DAFTAR PUSTAKA


         Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   149
                                                                          Modul Geometri
Abdurahman, Maman Drs, . 1999 . Matematika SMK Teknologi Jilid 2.
Bandung . Armico .


Kodir, M Abdul, dkk, . 1985 . Metematika untuk SMA Program Ilmu-ilmu Fisik
dan Biologi Jilid 3a . Jakarta . Departemen Pendidikan dan                               kebudayaan
Republik Indonesia.


Gunawan, K Adi, Drs, 2002 . Tangkas Matematika SMU . Surabaya. Kartika.


BNSP . 2006 . Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata
Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan / Madrasah Aliyah
Kejuruan Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntansi, dan
Teknologi . Jakarta . Departemen Pendidikan Nasional.




    Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK        150
                                                                           Modul Geometri




                           DAFTAR PUSTAKA


Abdurahman , Maman Drs. , 1999 , Metematika Teknik Jilid 1 – 2. Bandung .
Armico.


Depdiknas , 2006 , Silabus Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi ,
Jakarta , Dirjen Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Ditna SMK.


Gunawan , K. Adi Drs , 2004 , Tangkas Matematika SMU, Surabaya , Kartika.


Surjadi P. A dkk. Drs , 1985 , Matematika Untuk SMA Jilid 4 Program Ilmu-ilmu
Fisik dan Biologi, Jakarta , Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik
Indonesia




     Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   151
                                                                            Modul Geometri

Gawatri, U.R., dkk . 2002 . Matematika SMK I . Jakarta . Yudhistira.



BNSP . 2006 . Standar Kompetensi dan Kompetensi dasar 2006 Mata Pelajaran
Matematika Sekolah Menengah Kejuruan/ Madrasah Aliyah Kejuruan Kelompok
Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntansi, Teknologi . Jakarta .
Departemen Pendidikan Nasional.


Yusuf, Muhamad . 2008 . Matematika SMK Kelompok Sosial, Administrasi
Perkantoran dan Akuntansi Jilid 2 . Bandung . Grafindo Media Pratama.




      Erman ----------------------------- Geometri Kelas XI TKJ ---------------------------- SMK   152

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:3933
posted:6/29/2012
language:Malay
pages:152
Description: Modul Matematika