Modul 10 Logika Matematika by ammilacer

VIEWS: 536 PAGES: 40

More Info
									                                                                              Modul 8




   Standar Kompetensi
   Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan
   dengan pernyataan majemuk dan pernyatan berkuantor



    Kompetensi Dasar
    *Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan ( kalimat terbuka )
    *Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
    *Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi
    *Mendeskripsikan pernyataan berkuantor eksistensial dan universal
    *Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan silogisme dalam proses
     penarikan kesimpulan



                        Isi Inti Modul
                            A. Pernyataan Matematika
                            B. Kalimat Berkuantor
                            C. Penarikan Kesimpulan

       TUJUAN PEMELAJARAN
        TUJUAN PEMELAJARAN

Kriteria kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah paripurnanya pengajaran materi

ini, adalah agar siswa dapat :


1. Mendeskripsikan pengertian pernyataan matematika

2. Membuat negasi dari suatu pernyataan yang diberikan kepadanya

3. Menunjukkan arti dan merangkai kalimat majemuk



         ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 1
                                                                               Modul 8

4. Memberikan kalimat negasi dari kalimat majemuk yang dibuat

5. Mendeskripsikan bentuk-bentuk implikasi kalimat majemuk

6. Menyusun kalimat konvers, invres dan kontraposisi dari implikasi yang ada

7. Menyusun kalimat-kalimat majemuk ekuivalen

8. Menarik kesimpulan dari premis-premis yang disajikan kepadanya

9. Menerapkan konsep logika matematika pada kehidupan sehari-hari.

       Kemampuan Prasyarat
      Kemampuan Prasyarat

Dalam mempelajari modul ini diharapkan siswa telah mempunyai ketrampilan dasar

tentang : Operasi bilangan riil, persamaan dan pertidaksamaan dan kemampuan dasar

berbahasa.

      Uji Kompetensi Awal
      Uji Kompetensi Awal

Sebelum mempelajarai bab-bab dalam modul logika matematika ini, kerjakanlah soal-soal

berikut :

1. Buatlah lima pernyataan atau kalimat yang mempunyai nilai benar.

2. Buatlah lima pernyataan yang mempunyai nilai salah.

3. Tentukan penyelesaian dari persamaaan berikut ini :

   a. 2 x + 3 = 7 , untuk x bilangan asli

   b. 3 x – 5   1 , untuk x bilangan bulat

   c. x2 – 3 x – 10 = 0, untuk x bilangan riil

   d. x2 + 2 x +1    0 , untuk x bilangan rasional

   e. 2 x2 = 18 , untuk x bilangan cacah.


            ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                        Page 2
                                                                         Modul 8

A. Pernyataan Matematika


  1. Pernyataan Tunggal

    a.   Kalimat Terbuka

         Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang masih mengandung variabel

         (peubah) sehinga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Nilai kebenaran

         ada dua yaitu bernilai benar dan atau benilai salah.

         Contoh:

         i. Siapakah presiden Indonesia sekarang ?

         ii. 3x + 5y = 3



    b.   Kalimat tertutup

         Kalimat tetutup atau penyataan adalah kalimat matematika yang sudah dapat

         ditunjuk atau ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka dapat diubah

         menjadi kalimat tertutup dengan cara mengganti variabelnya dengan sebarang

         nilai dalam semesta pembicaraannya. Pengganti variabel yang menyebabkan

         nilai benar disebut penyelesaian dan kumpulan dari semua penyelesaian yang

         ada disebut himpunan penyelesaiaan.

          Contoh:

         i. X = 5

         ii. Ani anak yang pintar



         ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                        Page 3
                                                                               Modul 8

c.   Negasi / ingkaran

     Negasi adalah suatu bentuk sanggahan atau sangkalan dari suatu pernyataan

     asal atau pernyataan semula. Negasi dibuat dengan cara menyusupkan kata

     bukan atau tidak atau tidak benar pada pokok pernyataan semula, Negasi diberi

     notasi “    p“ atau “ “( dibaca : tidak p atau bukan p atau tidak benar p ).

     Contoh:

     i. Pernyataan          , p : “Amir pergi ke sekolah”

        Negasi              ,    : “Tidak benar Amir pergi ke sekolah”, atau

                            ,    : “Amir tidak pergi ke sekolah”, atau

                            ,    : “Amir pergi bukan ke sekolah”

     ii. Pernyataan         , p : “3x + 2y    5”


        Negasi          ,       : “3x + 2y   5”


d.   Tabel Kebenaran

     Jika suatu pernyataan bernilai benar pastilah negasinya bernilai salah atau

     sebaliknya jika suatu pernyataan bernilai salah maka ingkarannya akan bernilai

     benar, karena tidak mungkin suatu pernyataan yang bertolak belakang itu

     mempunyai nilai kebenaran yang sama.

     Nilai kebenaran suatu pernyataan dan negasinya selanjutnya dapat disajikan

     dalam suatu tabel yang disebut dengan “ tabel kebenaran “.. Tabel kebenaran

     dari kedua pernyataan yang bertolak belakang itu adalah sebagai barikut:



     ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                Page 4
                                                                       Modul 8

               p    p

            B       S

               S    B



   Contoh:

   i. P            : “ Negara Indonesia adalah Negara kesatuan yang berbentuk

                        Republik “ …. ( B )

           P       : “Tidak benar Negara Indonesia Negara kesatuan yang

                        berbentuk Republik … (S)

   ii. P           : “ 5+3       ”… ( S )

           p       : “5+3        ”… ( B )




1. Dari kalimat-kalimat berikut ini, tentukan mana yang merupakan kalimat

   terbuka dan mana yang merupakan kalimat tertutup ( pernyataan ), tentukan

   pula kebenarannya ( benar atau salah !

   a. Megawati adalah Presiden Indonesia ke lima .

   b. 8 – 2 = 10

   c. 2 merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap

   d. Indonesia adalah negara agraris

   e. 3x + 5 = 2

   f. Jika x bilangan negatif maka x2 merupakan bilangan positif.

  ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 5
                                                                         Modul 8

   Jawab :


   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………


2. Berikan masing-masing tiga buah contoh untuk :

   a. Kalimat bukan pernyataan

   b. Pernyataan yang bernilai benar

   c. Pernyataan yang bernilai salah


   Jawab :


   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………


3. Carilah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini :

   a. 3x + 5 = 7, dimana x bilangan rasional.

   b. x2 – 3x + 2 = 0, dimana x bilangan bulat.

   c. x < 15, dimana x bilangan prima.


   Jawab :


  ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                               Page 6
                                                                     Modul 8

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………


4. Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut ini :

   a. 2 x2 + 3 x -5 = 0, x   R

   b. 3 – x3 + 2 x = 0 , x   B


   Jawab :


   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………


5. Buatlah ingkaran/ negasi dari setiap pernyataan berikut ini dan tentukan nilai

   kebenarannya :

   a. 2 adalah bilangan cacah dan prima.

   b. Makassar adalah ibu kota propinsi Sulawesi selatan.

   c. Tidak ada bilangan asli yang genap.

   d. Jika x = 2 maka 2x + 5 = 10

   e. Ada ikan yang tidak bisa berenang.

   f. Semua yang bernyawa pasti akan binasa.


  ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                           Page 7
                                                                          Modul 8

          Jawab :

          ………………………………………………………………………………

          ………………………………………………………………………………

          ………………………………………………………………………………

          ………………………………………………………………………………



2. Pernyataan Majemuk

  Pernyataan majemuk adalah pernyataan matematika yang terdiri atas dua atau

  lebih    pernyataan tunggal dimana antara pernyataan tunggal yang satu dan

  pernyataan tunggal yang lain dihubungkan dengan beberapa macam kata

  penghubung, seperti : dan, atau, jika … maka…, jika dan hanya jika, dan lain

  sebagainya.

  a) Konjungsi

      1) Pengertian

           Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang memisahkan pernyataan-

           pernyataan tunggalnya dengan menggunakan kata hubung ”dan”.


           Konjungsi di beri notasi “  “ . Jadi “ p   “ dibaca “ p dan q “.


           Contoh:


           P    : “ Amir rajin belajar ”

           Q : “ Nilai Amir lumayan baik ”



    ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 8
                                                                         Modul 8

      Konjungsinya , p        q : “Amir rajin belajar dan nilainya lumayan baik”


       Pernyataan majemuk ini merupakan suatu konjungsi yang bernilai benar .


   2) Nilai Kebenaran Konjungsi

       Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai

       benar, atau konjungsi bernilai salah hanya jika salah satu dari kedua

       pernyataan tunggalnya bernilai salah.

      Selanjutnya dengan tabel kebenaran dapat disajikan sebagai berikut:

               p        q    p   q

               B        B        B

               B        S        S

               S        B        S

               S        S        S



b) Disjungsi

   1) Pengertian

      Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang memisahkan pernyataan-

      pernyataan tunggalnya menggunakan kata hubung “ atau ”. Disjungsi

      diberi notasi “       “. Jadi “ p   q “ dibaca : p atau q.

      Contoh:


      p         : “ Hari turun hujan ”


 ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                Page 9
                                                                       Modul 8

    q        : “ para pejalan kaki memilih berteduh ”

    Disjungsinya, p    q : “ Hari turun hujan atau para pejalan kaki

                               memilih berteduh ”

    Pernyataan majemuk ini merupakan suatu disjungsi yang bernilai benar.

 2) Nilai Kebenaran Disjungsi

    Disjungsi ada dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

    Disjungsi inklusif, suatu disjungsi bernilai benar hanya bila salah satu

    atau kedua pernyataan tunggalnya benilai benar atau disjungsi bernilai

    salah hanya bila kedua pernyataan tunggalnya bernilai salah. Disjungsi

    inklusif diberi notasi “     “.

    Contoh :

    i.     Andi diminta memilih antara membeli baju atau sepatu, disjungsi

           ini bernilai salah bila tidak satupun yang Andi beli.

    ii.    Untuk x2 – 3 x – 4 = 0, berninlai benar bila x = -x atau x = 4.

    Disjungsi eksklusif, suatu disjungsi bernilai benar hanya bila salah satu

    dan bukan kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar atau disjungsi

    bernilai salah hanya bila kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar atau

    keduanya bernilai salah. Disjungsi ekslusif diberi notasi “    ”.

    Contoh :

    i.     Joko sedang makan atau tidur, disjungsi ini bernilai salah bila Joko

           makan dan juga tidur atau tidak makan juga tidak tidur.



ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                              Page 10
                                                                          Modul 8

      ii.      Marlina mendapatkan nilai yang baik bila dan hanya bila dia rajin

               belajar.

      Nilai kebenaran kedua macam disjungsi itu dapat ditunjukkan dengan

                  p              q            Inklusif        Eksklusif
                                                p              p q
                  B              B                B              S

                  B              S               B                B

                  S              B               B                B

                  S              S               S                 S

     Selanjutnya dalam pembahasan yang digunakan untuk disjungsi adalah

     yang inklusif dan dikenal dengan nama disjungsi dengan notasi ”          ”.


c) Implikasi


  1) Pengertian Implikasi

       Implikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung

       “jika....,maka…”.Implikasi diberi notasi ”        ”.

       Jadi “ p           dibaca “ jika p maka q “.


       Pernyataan awal disebut anteseden dan pernyataan berikutnya disebut

       konsekuen.


       Contoh:

       Anteseden, p : “ Ali sakit ” dan konsekuen, q :“ Ali minum obat ”

       Implikasinya, “p       q” : “ jika Hadi sakit, maka ia minum obat ”.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                  Page 11
                                                                       Modul 8

 2) Kebenaran suatu implikasi

      Suatu implikasi bernilai benar hanya bila antesedennya bernilai benar

      dan konsekuensinya bernilai benar atau suatu implikasi bernilai benar

      hanya bila antesedennya bernilai salah. Atau suatu implikasi bernilai

      salah hanya jika            antesedennya bernilai benar dan ( tetapi )

      konsekuensinya bernilai salah.

      Contoh :

       i.        Jika Amanda sakit maka ia minum obat.

       ii.       Jika x2 – x – 2 = 0 maka x = 2 atau x = -1.

      Selanjutnya nilai kebenaran suatu implikasi dengan tabel kebenaran

      dapat ditunjukkan, sebagai berikut :

                 P            q             p       q

                 B            B                 B

                 B            S                 S

                 S            B                 B

                 S            S                 B



 3)   Macam implikasi

      Bentuk-bentuk implikasi ada beberapa macam, yaitu : konvers, invers,

      kontraposisi dan biimplikasi.

      Misal dipunyai suatu implikasi “ jika p , maka q “ ditulis “ p   q “.



ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                              Page 12
                                                                           Modul 8

            Konvers nya adalah “ jika q maka p ” ditulis “ q       p”.

            Invers nya adalah ” jika      maka    “ ditulis “          ”

            Kontraposisi nya adalah “ jika       maka    “ ditulis “         ”

            Biimplikasi nya adalah “ jika p maka q dan jka q maka p “ ditulis

            ”p     q    q       atau “p jika dan hanya jika q” ditulis “ p       q ”.

     Contoh :

     Dari anteseden, p : “ Ali giat belajar ” dan konsekuen, q : “ Ali pandai ”.

     Buatlah : implikasi, konvers, invers, kontraposisi dan biimplikasinya !

     Jawab :

     *Implikasi,         : “ jika Ali giat belajar, maka ia pandai ”

     *Konvers, q       p : “ jika Ali pandai, maka ia giat belajar ”

     *Invers,            : “ Jika Ali tidak giat belajar, maka ia tidak pandai”

     *Kontraposisinya ;          : “ jika Ali tidak pandai, maka ia malas belajar”

     *Biimplikasinya ; p       q : “Ali giat belajar jika dan hanya jika ia pandai”



 4) Biimplikasi atau Ekuivalensi

     a) Pengertian

       Biimplikasi atau biasa disebut Ekuivalensi adalah suatu pernyataan

       majemuk yang merupakan implikasi dua ( dwi ) arah. Biimplikasi

       diberi notasi “ p        ” dibaca : “ jika p maka q dan jika q maka p”

       atau “ p jika dan hanya jika q “.


ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                  Page 13
                                                                        Modul 8

       b) Nilai Kebenaran Biimplikasi

         Karena biimplikasi merupakan implikasi dua arah, yaitu berupa

         konjungsi antara implikasi dan konvers maka dapat ditunjukkan bahwa

         suatu biimplikasi bernilai benar hanya jika implikasi dan konversinya

         bernilai benar. Dapat pula disebutkan bahwa biimplikasi bernilai

         benar hanya bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai logik

         yang sama ( sama-sama bernilai benar atau sama-sama bernilai salah ).

         Atau biimplikasi bernilai salah hanya bila implikasi atau konversinya

         bernilai salah, atau biimplikasi bernilai salah hanya bila pernyataan

         tunggalnya mempunyai nilai logik yang berbeda.

         Contoh :

         i. Ali masuk sekolah jika dan hanya jika hari ini hari libur …….( S )

         ii. 2 + 3 = 10       3 – 5 = 15 ………………………………..........( B )

 5) Tabel Kebenaran Bentuk-bentuk Implikasi

   Nilai kebenaran dari semua bentuk-bentuk implikasi di atas adalah :

                                                            Kontra   Biimpli
                      Implikasi       Konvers     Invers
   p     q                                                  posisi    kasi
                          p       q    q p
                                                                     p    q
   B     B   S   S            B         B           B         B         B

   B     S   S   B            S         B           B         S         S

   S     B   B   S            B         S               S     B         S

   S     S   B   B            B         B           B         S         B

                                            EKUIVALEN




ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                Page 14
                                                                                  Modul 8

 6) Negasi Pernyataan majemuk

   Untuk pernyataan majemuk negasinya adalah, sebagai berikut :

      Negasi dari konjungsi,:            adalah           atau

      Negasi dari disjungsi ,:           adalah       atau

      Negasi dari implikasi ,:            adalah p        atau                p

                           karena p        q         q maka

      Negasi konvers             :

      Negasi invers              :                                       q

      Negasi kontraposisi        :                                   p

      Negasi biimplikasi             :

                                                     (p          )

  Contoh :

  Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini :

  i. Jika Ali sakit, maka ia minum obat.

  ii. Jika hari tidak hujan , maka Amir pergi ke sekolah.

  iii. Bagus berpakaian mewah bila dan hanya ia anak orang kaya

  Jawab :

  i. Ali sakit dan ia tidak minum obat

  ii. Hari tidak hujan dan Amir tidak pergi ke sekolah

  iii. Bagus berpakaian mewah dan ia bukan anak orang kaya atau Bagus

    tidak berpakaian mewah tetapi ia bukan anak orang kaya.


ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                        Page 15
                                                                              Modul 8

Uji Kompetensi 2


1. Tentukan negasi dari pernyataan di bawah ini

   a. Budi orang kaya tetapi dia tidak pandai

   b. Sisi pergi ke Bali bila dan hanya bila ia dapat cuti dari kantor.

   c. 3x + 5 = 2 bila dan hanya bila x = -1.

    Jawab :

    …………………………………………………………………………………

    …………………………………………………………………………………

    …………………………………………………………………………………

    ………………………………………................................................


 2. Lengkapi tabel di bawah ini !


     p      q                           p                      (p    )    (     )

     B      B   ………        ………         ………        ………               ……………

     B      S   ………        ………         ………        ………               ……………

     S      B   ………        ………         ………        ………               ……………

     S      S   ………        ………         ………        ………               ……………



3. Dengan tabel kebenaran tunjukkan bahwa { p             (p    q)       q adalah suatu

   bentuk implikasi yang logis.

  Jawab :


  ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                   Page 16
                                                                         Modul 8

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   …………………………………………...............................................................

4. Buatlah konvers, invers , kontraposisi dan biimplikasi dari implikasi : “ jika

   Aco tidak rajin belajar, maka ia akan mempunyai nilai tidak baik ”.

  Jawab :

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   …………………………………………...............................................................

5. Tentukan x, agar biimplikasi berikut ini bernilai benar

   a. 3x - 2 = 5 bila dan hanya bila Komeng seorang pelawak.

   b. Andi pergi umroh ke Mekkah jika dan hanya jika x2 – x – 2 = 0, x R

   c. 2x – 4 = 8 jika dan hanya jika 2 + 3 = 10

   Jawab :

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………

   ……………………………………………………………………………………




  ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 17
                                                                           Modul 8

B . Kalimat Berkuantor

   Kalimat berkuantor adalah kalimat atau pernyataan matematika majemuk yang

  menggunakan kata depan : ada, beberapa, sebagian, seluruh, semua setiap dan

  lain-lain yang sejenis. Ada dua macam kalimat berkuantor, yaitu eksistensial dan

  universal.


  1. Eksistensial ( Kuantor Khusus )

     a. Pengertian

         Eksistensial adalah kalimat matematika yang memakai kata “ ada”

         atau ” beberapa ” atau “ada tepat satu”. Eksistensial diberi notasi “    ”.

         Jadi (                   dibaca ada x sedemikian sehingga berlaku P(x) atau

         beberapa x bersifat P (x).

         Contoh :

         i. (          3x2 -2 x- 1= 0 di baca ada x sedemikian hingga berlakulah

               3x2 - 2 x – 1= 0

         ii. ( x!) . 7 x- 3 = 5 di baca ada tepat satu x sedemikian hingga berlaku

               7 x- 3 = 5.


      b. Nilai Kebenaran Eksistensial


         Eksistensial bernilai benar hanya jika dapat ditunjukkan satu saja elemen

         yang memenuhi atau menyebabkan pernyataanya bernilai benar. Atau




    ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                               Page 18
                                                                         Modul 8

     eksistensial akan bernilai salah hanya jika tidak ada satupun elemen yang

     memenuhi pernyataannya.

     Contoh:

     Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan di bawah ini

    i. Ada x  B yang memenuhi persamaan 3x2 + 2x – 1 = 0

   ii. (     . 15x – 3 = 16 +17 x, x

     Jawab :

   i. Soal di atas dapat ditulis (            . 3 x2 + 2x – 1 = 0

     Bernilai benar , sebab 3 x2 + 2 x - 1 = 0

                       (3 x – 1 ) ( x + 1 ) = 0

                       3x–1=0          atau x + 1 = 0

                             x=        B          x = -1

                        Jadi HP = { x / x = -1 }

   ii.     Bernilai salah , sebab 15x - 3 = 16 + 17x

                            15 x – 17 x = 16 + 3

                                     -2 x = 19

                                       x=-         B … tidak memenuhi

2. Universal ( Kuantor Umum )

  a. Pengertian Universal

      Universal adalah suatu bentuk pernyataan yang menggunakan kata semua,

      atau seluruh atau setiap atau segala. Universal diberi nutasi ( ditulis )   .

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                Page 19
                                                                         Modul 8

    Jadi ( x) . p (x) : dibaca untuk semua x berlakulah p(x).

    Contoh :

    i.     Semua siswa SMK berseragam putih abu-abu.

    ii. (               . x2     atau semua bilangan riil kuadratnya positif.

 b. Nilai Kebenaran Universal

    Universal bernilai benar hanya jika semua elemennya bernilai benar

    atau memenuhi pernyataannya . Atau universal bernilai salah bila dapat

    diperlihatkan satu saja elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak

    memenuhi syarat ( yang menyebabkan pernyataan bernilai benar ).

    Contoh:

    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini :

     i.     ( x) . x2   0,x

     ii. ( x) . x2 + 3x – 4 = 0 ,x

     iii. (

    Jawab :

         i. Bernilai benar, sebab     semua bilangan real bila dikuadratkan akan

            menghasilkan bilangan positif ( ≥ 0 ), atau tidak satupun bilangan real

            yang jika dikuadratkan tidak menghasilkan bilangan positif.

         ii. Bernilai salah, sebab   x2 + 3 x – 4 = 0

                                (x+4) (x–1) =0

                                x+4=0 x–1=0
                                  x = -4 x=1

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                 Page 20
                                                                        Modul 8

                      Artinya persamaan x2 + 3x – 4 = 0 bernilai benar hanya

                      berlaku untuk x = - 4 dan x = 1 saja, sedang bilangan riil

                      yang lain tidak berlaku.

  iii.    Bernilai salah, sebab x + 2 = 5 hanya berlaku untuk x = 3 saja

           sedang untuk bilangan real yang lain tidak berlaku.



 b. Negasi Pernyataan Berkuantor

    Secara umum dapat dikatakan bahwa ingkaran dari eksitensial adalah

    universal dan sebaliknya ingkaran untuk universal adalah eksistensial.

    Jadi a.                   ( x ).   ( x ) dan

           b.                 (        (x)

    Contoh:

    Tentukan ingkaran dari pernyataan – pernyataan di bawah ini :

    i. Ada siswa kelas satu yang jenius

    ii. Semua makhluk bernyawa pasti akan binasa

    Jawab:

    i. “Ada siswa kelas satu yang jenius “ . negasinya adalah : “semua siswa

         kelas satu tidak jenius “ atau “ tidak ada siswa kelas satu yang jenius“.

    ii. “Semua makhluk bernyawa pasti binasa” negasinya adalah :“ada

         makhluk bernyawa yang tidak pasti binasa” atau “tidak semua makhluk

         bernyawa pasti binasa”.



ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                               Page 21
                                                                           Modul 8

Uji Kompetensi 3

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini ;

   a. (            . 3x + 2 = 7, A =

   b.              . 2x – 3 ≥ 5, B

   c.              . x2 – 3x + 2       ,C=


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   …………………………………………………………………………………..…


2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini :

   a.           . 3x + 2 = 7, A =

   b.            . 2x – 3 ≥ 5, B =

   c.            . x2 -3x + 2 ≤ 0, C =


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………



        ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                           Page 22
                                                                         Modul 8

3. Diketahui pernyataan berkuantor universal         . 3x – 5    merupakan bilangan

   genap. Tentukan nilai kebenarannya jika semestanya adalah :

   a. Himpunan bilangan asli

   b. Himpunan bilangan rasional

   c. Himpunan bilangan riil.

   d. Himpunan bilangan bulat


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………


4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut ini :

   a. Ada penjaga gudang yang menemukan mesin tik rusak diluar gudang.

   b. Beberapa siswa SMK bekerja pparuh waktu.

   c. Semua kendaraan bermotor di Sulawesi selatan berplat nomor DD.

   d. Setiap pagi hari siswa SMK berlari pagi di halaman sekolah.


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………



      ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                           Page 23
                                                                             Modul 8

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………


5. Jika x     , maka tentukan nilai negasi dari pernyataan berkuantor berikut ini :

   a.        ( x2 – 4x = 0 )

   b.        ( x2 + 6x + 9 ≥ 0 )

   c.        ( 3x – 5 = 7 – x )

   d.        ( x2 – 3x – 10 ≤ 0 )


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………




C. Penarikan Kesimpulan

    1. Pengertian

         Pada setiap data-data atau argumentasi-argumentasi yang ada dan telah

         dikumpulkan, pasti dapat ditarik suatu kesimpulan sebagai bagian akhir

         dari hasil analisa dan buah pemikiran. Dalam matematika penarikan

         kesimpulan mulai dari proses awal hingga proses akhir harus memenuhi


        ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 24
                                                                      Modul 8

  langkah-langkah yang logis ( dapat diterima akal ) atau sahih dan dapat

  dipertanggung jawabkan.

  Pernyataan-pernyataan awal yang ada sebagai data acuan disebut premis.

  Premis terbagi dua yaitu premis mayor (utama) dan premis minor

  ( pendukung ), sedang kesimpulannya disebut konklusi.

2. Macam-macam Metode Penarikan Kesimpulan

  Ada beberapa macam metode penarikan kesimpulan, diantaranya adalah :

  modus ponens. Modus tollens, silogisme, Barbara dan tautologi.



a. Modus ponens

  Modus ponens adalah suatu proses penarikan kesimpulan yang didasarkan atas

  premis mayor berupa implikasi yang bernilai benar dan premis minor berupa

  anteseden dari implikasinya juga bernilai benar ( dipenuhi ). Dan sebagai

  konklusinya ( kesimpulan ) adalah konsekuennya pastilah bernilai benar (

  dipenuhi ), sebab jika konsekuennya salah ( tidak dipenuhi ), maka akan

  bertentangan dengan premis awal ( implikasi ) yang ada.

  Secara matematika dapat dituliskan :

     Premis , P1     : p    q ……………………(B)

     Premis , P2     : p    …………………… (B)

     Konklusi        :     q …………………… (B)

  Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis menjadi :


 ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 25
                                                                            Modul 8



  Selanjutnya dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran, sebagai berikut :



        p       q                                 q

       B        B           B                 B                B

       B        S           S                 S                B

        S       B           B                 S                B

       S        S         B            S                  B
    Dari tabel diatas, terbukti bahwa modus ponens sah karena semuanya

    bernilai benar. Jadi argumentasi itu juga benar adanya.

    Contoh :

    i. P1           :   “Jika Ali rajin belajar, maka nilainya akan baik”


      P2            :   “Ali rajin belajar”

     Konkulasi :        Nilai Ali akan baik

   ii. P1   : Jika Nomo sakit , maka ia minum obat .

      P2       : Ternyata Nomo sakit

      Kesimpulannya : Nomo minum obat.

b. Modus Tollens

   Modus Tollens adalah suatu proses penarikan kesimpulan yang didasar- kan

   atas premis mayor berupa implikasi yang bernilai benar dan premis minor

   berupa ingkaran konsekuensi dari implikasinya bernilai benar. Sebagai


 ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                 Page 26
                                                                      Modul 8

 konklusinya negasi antesedenya pastilah benar. Sebab jika ingkaran anteseden

 salah artinya anteseden benar, maka implikasinya akan salah yang berarti

 bertentangan dengan implikasi semula yang ada.

 Secara matematika dapat ditulis

    Premis , P1       : p     q … (B)

    Premis , P2       :        … (B)

    Konklusinya, :              … (B)

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis sebagai berikut :




Selanjutnya modus tollens dapat dibuktikan keabsahannya dengan tabel

kebenaran, sebagai berikut :

   p     q

   B     B        S       S     B          S                   B

   B     S        S       B     S          S                   B

   S     B        B       S     B          S                   B

   S     S        B       B     B          B                   B



Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa modus tollens sah karena semuanya

bernilai benar. Jadi argumen di atas benar adanya.




ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                              Page 27
                                                                       Modul 8

  Contoh :

    i. P1             : Jika Ali sakit, maka minum obat

        P2            : Ali tidak minum obat

        Konklusinya : Ali tidak sakit

   ii. P1             : Jika hari hujan , maka pepohonan menjadi basah.

        P2            : ternyata pohon tidak basah

        Konklusinya : hari tidak hujan



c. Silogisme

   Silogisme adalah proses penarikan kesimpulan yang didasarkan atas premis-

   premis berupa implikasi-implikasi yang saling berkaitan bernilai benar, maka

   disimpulkan suatu implikasi baru yang sah dimana         anteseden nya adalah

   anteseden dari implikasi awal sedang konsekuensinya adalah konsekuen

   implikasi terakhir.

   Secara matematika dapat dituliskan :

   P1         : p     q       ……………………………….. (B)

   P2         :          r    … …………………………… (B)

   P3         :   r   s       ………………………………. (B)

   Konklusinya :      p      ……………………………………. (B)

   Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis sebagai berikut :




 ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                             Page 28
                                                                               Modul 8

 Silogisme argumentasinya ( premisnya ) dapat terdiri atas dua atau lebih

 implikasi-implikasi yang saling bertautan, tetapi kesimpulannya tetap sama,

 yaitu berupa suatu implikasi baru dimana antesedennya adalah anteseden

 implikasi awal dan konsekuennya adalah konsekuen implikasi terakhir.

 Selanjutnya silogisme dengan dua implikasi bertautan secara umum dapat

 dibuktikan keabsahannya dengan tabel kebenaran, sebagai berikut :

      p        q   r

      B        B   B      B         B        B             B                 B

      B        B   S      B         S        S             S                 B

      B        S   B       S        B        B             S                 B

      B        S   S       S        B        S             S                 B

      S        B   B      B         B        B             B                 B

      S        B   S      B         S        B             S                 B

      S        S   B      B         B        B             B                 B

      S        S   S      B         B        B             B                 B

     Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa silogisme sahih karena semuanya

     bernilai benar. Jadi argumentasi itu bernilai benar.


 Contoh :

i.        P1           : Jika Ali rajin belajar, maka ia menjadi pandai .

          P2           : Jika Ali menjadi pandai, maka nilainya menjadi baik

          Konklusinya : Jika Ali rajin belajar, maka nilainya menjadi baik

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                       Page 29
                                                                                      Modul 8

        ii. Ani lebih tinggi dari Budi, tetapi Budi lebih tinggi dari Cici, dan Cici lebih

            tinggi dari Dono.

            Kesimpulannya : Ani lebih tinggi dari Dono.




Uji kompetensi 4

1. Tentukan konklusi dari prewmis-premis berikut ini :

  a. Premis 1 : Jika Anton rajin belajar maka nilainya akan baik

       Premis 2 : nilai Anton jelek.

  b. Premis 1 : Jika hari turun hujan maka pepohonan menjadi basah

       Premis 2 : Jika pohon-pohon basah maka udara menjadi lembab

  c.   Premis 1 : Jika matahari mulai bersinar maka hari menjadi siang

       Premis 2 : matahai mulai bersinar

  Jawab :

  ………………………………………………………………………………………

  ………………………………………………………………………………………

  ………………………………………………………………………………………

  ………………………………...................................................................................


2. Tentukan sah atau tidak argumen berikut dan tuliskan macam modusnya.

   a. Premis 1 : Jika Aldo naik kelas maka ia akan berdarmawisata ke bali

       Premis 2 : Aldo tinggal di rumah saja

       Konklusinya : Aldo tidak punya uang

       ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                       Page 30
                                                                                  Modul 8

b. Premis 1 : Jika Susi memakan roti maka ia memakai selai

   Premis 2 : Susi memakan roti

   Konklusinya : Susi memakai fla

c. Premis 1 : Jika Andi rajin bekerja maka upahnya akan naik

    Premis 2 : Jika badan Andi sehat maka ia rajin bekerja

    Konklusinya : Jika badan Andi sehat maka upahnya akan naik

Jawab :

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

…………………………………...............................................................................

3. Tentukan kesimpulan pernyataan berikut ini dengan tabel kebenaran !

   a.   Premis 1 : p                        c. Premis 1 : p

        Premis 2 : p                           Premis 2 :

        Konklusinya : q                        Konklusinya : p

   b.   Premis 1 :                          d. Premis 1 :

        Premis 2 :                             Premis 2 :          r

        Konklusinya : p                         Konklusinya : p

 Jawab :

 ………………………………………………………………………………………

 ………………………………………………………………………………………



    ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                     Page 31
                                                                                                          Modul 8

………………………………………………………………………………………

………........................................................................................................................

4. Buatlah kesimpulan yang sahih dari pernyataan berikut : Jika a, b dan c sisi

     segitiga , maka akan berlaku a + b                         ,b+c          a dan ada sisi a           b+c

     Konsekuensinya adalah ....................................................

Jawab

..…………………………………………………………………………………..…

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

……………………………………............................................................................

5. Selidiki kebenaran pernyataan berikut ini ;

     a. (         . x2 + x – 12              untuk x          R

     b. ( x) . 3x + 3            2–1         4x – 5 , x

     c. Premis 1 : Jika Andi membeli kemeja maka Budi membeli celana

         Premis 2 : Jika Budi tidak membeli celana maka Cici membeli baju

         Konklusinya : Jika Andi membeli kemeja maka Cici tidak membeli baju

  Jawab :

  ……………………………………………………………………………………

  ……………………………………………………………………………………

  ……………………………………………………………………………………

  …………………………………………...............................................................



   ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                                             Page 32
                                                                   Modul 8

                           RANGKUMAN

 Pernyataaan atau kalimat tertutup adalah kalimat matematika yang sudah dapat
  ditentukan nilai kebenarannya, yaitu bernilai benar atau bernilai salah.
 Kalimat terbuka kalimat matematika yang masih memuat variabel ( peubah ),
  sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.
 Negasi atau ingkaran adalah suatu bentuk pernyataan sangkalan atau sanggahan
  dari pernyataan yang ada, dan nilainya berlawanan dengan nilai pernyataan
  semula.
 Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri atas dua atau lebih
  pernyataan tunggal yang dirangkai menjadi satu dan menggunakan kata hubung
  logika, seperti : dan, atau , jika … maka… , dan … jika dan hanya jika … .
 Ada 4 macam pernyataan majemuk, yaitu :
  a. Konjungsi, memakai kata hubung dan , diberi notasi
  b. Disjungsi, memakai kata hubung atau , diberi notasi
  c. Implikasi, memakai kata hubung jika … maka … , diberi notasi
  d. Biimplikasi, memakai kata hubung … jika dan hanya jika …, diberi notasi
 Jika dipunyai sebuah implikasi          maka berlakulah :
  a. Konversnya adalah               ;
  b. Inversnya adalah              ;
  c. Kontraposisinya adalah             ;
  d. Biimplikasinya adalah
 Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri atas n buah pernyataan tunggal yang
  berbeda maka banyaknya baris tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran 2n.
 Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan itu
  mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan ditulis p        .
 Bentuk-bentuk ekuivalensi diantaranya , adalah :
  a. Hukum identitas
  b. Hukum komutatif
  c. Hukum asosiatif
  d. Hukum distributif
  e. Hukum de morgan.
 Pernyataan berkuantor ada dua, yaitu :
  a. Kuantor universal, diberi notasi dibaca untuk semua atau untuk setiap
  b. Kuantor eksistensial, diberi notasi dibaca ada atau beberapa atau ada
      sekurang-kurangnya satu.


     ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                      Page 33
                                                                                   Modul 8

       Ingkaran atau negasi dari pernyataan majemuk :
        a. Ingkaran dari konjungsi,
        b. Ingkaran dari disjungsi,
        c. Ingkaran dari implikasi,
        d. Ingkaran dari biimplikasi,
        e. Ingkaran dari kuantor universal,        =
        f. Ingkaran dari kuantor eksistensial,       =   . (x)
       Metode penarikan kesimpulan
        a. Modus Ponens
           Penarikan kesimpulan berdasarkan premis mayor     dan premis minor p
           menghasilkan kesimpulan ( konklusi ) q.
        b. Modus Tollens
           Penarikan kesimpulan berdasarkan premis mayor p     dan premis minor
              menghasilkan kesimpulan
        c. Silogisme
           Penarikan kesimpulan berdasarkan premis-premis            dan
           menghasilkan kesimpulan          .



             PETA KONSEP

                                         LOGIKA MATEMATIKA


                    PERNYATAAN                   KALIMAT           PENARIKAN               MACAM
                                               BERKUANTOR                                EKUIVALENSI
                                                                  KESIMPULAN


                PERNYATAAN TUNGGAL
                                                  *UNIVERSAL                              *IDENTITAS
                                                                  *MODUS PONENS           *KOMUTATIF
                                                 * EKSISTENSIAL
                                                                  *MODUS TOLLENS          *ASOSIATIF
                PERNYATAAN MAJEMUK                                  *SILOGISME            *DISTRIBUTIF
                                                                                          *DE MORGAN



KONJUNGSI   DISJUNGSI     IMPLIKASI      BIIMPLIKASI

                        * Konvers, p
                        * Invers,
                        *Kontraposisi,



            ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                              Page 34
                                                                                        Modul 8

         Penilaian Kompetensi
          PENILAIAN KOMPETENSI

Kompetensi : Logika matematika

Program           : Bisnis dan teknologi

Kelas             : XI

Waktu             : 75 Menit

  1. Buat negasi dari pernyataan berikut ini

        a. Jika Ali sedang gembira, maka ia menangis

        b. Semua politikus adalah anggota Dewan Perwakilan Daerah

        c. Ada sekawanan bangau yang terbang rendah di kaki bukit.


        Jawab :


        ………………………………………………………………………………………

        ………………………………………………………………………………………

        ………………………………………………………………………………………

        …………………………………................................................................................

  2. Buktikan ekuivalensi: (p                            q ) dengan tabel kebenaran

        Jawab :

        ………………………………………………………………………………………

        ………………………………………………………………………………………

        ………………………………………………………………………………………

        …………………………………................................................................................


          ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                      Page 35
                                                                      Modul 8


3. Buatlah nilai dalam tabel kebenaran pernyataan-pernyataan di bawah ini:

   a. P      (q       )

   b. ( p    q)

   c. (       )   q


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………


4. Diketahui suatu implikasi “ Jika mobil melaju kencang , maka mobil itu memakai

   banyak BBM “. Buatlah:

   a. Inversnya

   b. Konversnya

   c. Kontraposisinya

   d. Biimplikasinya


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………



     ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                         Page 36
                                                                                   Modul 8

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………


5. Tuliskan pernyataan yang ekuivalen bunyinya dengan pernyataan berikut ini :

   a. Hari masih terang tetapi burung-burung sudah kembali ke sarang

   b. Jika ada asap maka pastilah ada api

   c. Ada dunia lain selain dunia yang kita huni sekarang


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   …………………………………................................................................................


6. Buatlah Invers, Konvers dan kontra posisi dari Implikasi (            q)

   Jawab :

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   …………………………………................................................................................

7. Tentukan kesimpulan untuk premis-premis berikut ini :

   a. Premis 1 : Jika manusia bersayap maka pastilah bisa terbang

       Premis 2 : Manusia tidak bias terbang


     ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                      Page 37
                                                                                   Modul 8

   b. Premis 1 : Jika Ani rajin bekerja maka pimpinannya menjadi senang

         Premis 2 : Jika upah kerja tinggi maka Ani menjadi rajin bekerja

   Jawab :

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   …………………………………................................................................................



8. Jika 14 + 5 = 9 , maka 17 : 3 = 5. Tentukan nilai kebenaran dari inversnya,

   konversnya , kontraposisinya dan biimplikasinya.

   Jawab :

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   …………………………………................................................................................

9. Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa pernyataan-pernyataan

   berikut ini merupakan pernyataan yang ekuivalen.

   a.

   b.

   c.


   Jawab :


        ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                                   Page 38
                                                                  Modul 8

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………


10. Tentukan nilai x pernyataan berikut ini agar bernilai benar untuk semesta

   himpunan bilangan riil.

   a.        x2 = x

   b.        x2 – 2   x


   Jawab :


   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………

   ………………………………………………………………………………………




        ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                  Page 39
                                                                          Modul 8


                                DAFTAR PUSTAKA




Rawuh, dkk, .1986 . Matenatika SMA Jilid 2 b Program IPS- Pengetahuan Budaya dan
Ilmu-ilmu Agama . Jakarta . Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik
Indonesia.



Adi Gunawan ,K , Drs . 2004. Tangkas Matematika SMU . Surabaya . Kartika.



Gawatri, UR, dkk . 2002 . Matematika SMK I . Jakarta . Yudhistira.

Andi Hakim Nasution, dkk . 1999 . Matematika 1 SMU . Jakarta . Departemen Pendidikan
dan Kebudayaan.

BNSP . 2006 . Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran
Matematika Sekolah Menemgah Kejuruan / Madrasah Aliyah Kejuruan Kelompok Sosial ,
Administrasi Perkantoran dan Akuntansi , Teknologi . Jakarta . Departemen Pendidikan
Nasional.

Abdurahman , M. 2000 , Matematika SMA Tingkat II . Bandung . Armico.




         ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK                         Page 40

								
To top