Modul 10 Logika Matematika

Description

Modul Matematika

Shared by: ammilacer

Tags

Stats

views:: 536
posted:: 6/29/2012
language:: Malay
pages:: 40

Public Domain

Document Sample

Modul 8

Standar Kompetensi
Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan
dengan pernyataan majemuk dan pernyatan berkuantor

Kompetensi Dasar
*Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan ( kalimat terbuka )
*Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
*Mendeskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi
*Mendeskripsikan pernyataan berkuantor eksistensial dan universal
*Menerapkan modus ponens, modus tollens, dan silogisme dalam proses
penarikan kesimpulan

Isi Inti Modul
A. Pernyataan Matematika
B. Kalimat Berkuantor
C. Penarikan Kesimpulan

TUJUAN PEMELAJARAN
TUJUAN PEMELAJARAN

Kriteria kinerja yang diharapkan dikuasai siswa setelah paripurnanya pengajaran materi

ini, adalah agar siswa dapat :

1. Mendeskripsikan pengertian pernyataan matematika

2. Membuat negasi dari suatu pernyataan yang diberikan kepadanya

3. Menunjukkan arti dan merangkai kalimat majemuk

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 1
Modul 8

4. Memberikan kalimat negasi dari kalimat majemuk yang dibuat

5. Mendeskripsikan bentuk-bentuk implikasi kalimat majemuk

6. Menyusun kalimat konvers, invres dan kontraposisi dari implikasi yang ada

7. Menyusun kalimat-kalimat majemuk ekuivalen

8. Menarik kesimpulan dari premis-premis yang disajikan kepadanya

9. Menerapkan konsep logika matematika pada kehidupan sehari-hari.

Kemampuan Prasyarat
Kemampuan Prasyarat

Dalam mempelajari modul ini diharapkan siswa telah mempunyai ketrampilan dasar

tentang : Operasi bilangan riil, persamaan dan pertidaksamaan dan kemampuan dasar

berbahasa.

Uji Kompetensi Awal
Uji Kompetensi Awal

Sebelum mempelajarai bab-bab dalam modul logika matematika ini, kerjakanlah soal-soal

berikut :

1. Buatlah lima pernyataan atau kalimat yang mempunyai nilai benar.

2. Buatlah lima pernyataan yang mempunyai nilai salah.

3. Tentukan penyelesaian dari persamaaan berikut ini :

a. 2 x + 3 = 7 , untuk x bilangan asli

b. 3 x – 5 1 , untuk x bilangan bulat

c. x2 – 3 x – 10 = 0, untuk x bilangan riil

d. x2 + 2 x +1 0 , untuk x bilangan rasional

e. 2 x2 = 18 , untuk x bilangan cacah.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 2
Modul 8

A. Pernyataan Matematika

1. Pernyataan Tunggal

a. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang masih mengandung variabel

(peubah) sehinga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Nilai kebenaran

ada dua yaitu bernilai benar dan atau benilai salah.

Contoh:

i. Siapakah presiden Indonesia sekarang ?

ii. 3x + 5y = 3

b. Kalimat tertutup

Kalimat tetutup atau penyataan adalah kalimat matematika yang sudah dapat

ditunjuk atau ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka dapat diubah

menjadi kalimat tertutup dengan cara mengganti variabelnya dengan sebarang

nilai dalam semesta pembicaraannya. Pengganti variabel yang menyebabkan

nilai benar disebut penyelesaian dan kumpulan dari semua penyelesaian yang

ada disebut himpunan penyelesaiaan.

Contoh:

i. X = 5

ii. Ani anak yang pintar

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 3
Modul 8

c. Negasi / ingkaran

Negasi adalah suatu bentuk sanggahan atau sangkalan dari suatu pernyataan

asal atau pernyataan semula. Negasi dibuat dengan cara menyusupkan kata

bukan atau tidak atau tidak benar pada pokok pernyataan semula, Negasi diberi

notasi “ p“ atau “ “( dibaca : tidak p atau bukan p atau tidak benar p ).

Contoh:

i. Pernyataan , p : “Amir pergi ke sekolah”

Negasi , : “Tidak benar Amir pergi ke sekolah”, atau

, : “Amir tidak pergi ke sekolah”, atau

, : “Amir pergi bukan ke sekolah”

ii. Pernyataan , p : “3x + 2y 5”

Negasi , : “3x + 2y 5”

d. Tabel Kebenaran

Jika suatu pernyataan bernilai benar pastilah negasinya bernilai salah atau

sebaliknya jika suatu pernyataan bernilai salah maka ingkarannya akan bernilai

benar, karena tidak mungkin suatu pernyataan yang bertolak belakang itu

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Nilai kebenaran suatu pernyataan dan negasinya selanjutnya dapat disajikan

dalam suatu tabel yang disebut dengan “ tabel kebenaran “.. Tabel kebenaran

dari kedua pernyataan yang bertolak belakang itu adalah sebagai barikut:

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 4
Modul 8

p p

B S

S B

Contoh:

i. P : “ Negara Indonesia adalah Negara kesatuan yang berbentuk

Republik “ …. ( B )

P : “Tidak benar Negara Indonesia Negara kesatuan yang

berbentuk Republik … (S)

ii. P : “ 5+3 ”… ( S )

p : “5+3 ”… ( B )

1. Dari kalimat-kalimat berikut ini, tentukan mana yang merupakan kalimat

terbuka dan mana yang merupakan kalimat tertutup ( pernyataan ), tentukan

pula kebenarannya ( benar atau salah !

a. Megawati adalah Presiden Indonesia ke lima .

b. 8 – 2 = 10

c. 2 merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap

d. Indonesia adalah negara agraris

e. 3x + 5 = 2

f. Jika x bilangan negatif maka x2 merupakan bilangan positif.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 5
Modul 8

Jawab :

……………………………………………………………………………………

2. Berikan masing-masing tiga buah contoh untuk :

a. Kalimat bukan pernyataan

b. Pernyataan yang bernilai benar

c. Pernyataan yang bernilai salah

Jawab :

……………………………………………………………………………………

3. Carilah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini :

a. 3x + 5 = 7, dimana x bilangan rasional.

b. x2 – 3x + 2 = 0, dimana x bilangan bulat.

c. x < 15, dimana x bilangan prima.

Jawab :

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 6
Modul 8

……………………………………………………………………………………

4. Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut ini :

a. 2 x2 + 3 x -5 = 0, x R

b. 3 – x3 + 2 x = 0 , x B

Jawab :

……………………………………………………………………………………

5. Buatlah ingkaran/ negasi dari setiap pernyataan berikut ini dan tentukan nilai

kebenarannya :

a. 2 adalah bilangan cacah dan prima.

b. Makassar adalah ibu kota propinsi Sulawesi selatan.

c. Tidak ada bilangan asli yang genap.

d. Jika x = 2 maka 2x + 5 = 10

e. Ada ikan yang tidak bisa berenang.

f. Semua yang bernyawa pasti akan binasa.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 7
Modul 8

Jawab :

………………………………………………………………………………

2. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah pernyataan matematika yang terdiri atas dua atau

lebih pernyataan tunggal dimana antara pernyataan tunggal yang satu dan

pernyataan tunggal yang lain dihubungkan dengan beberapa macam kata

penghubung, seperti : dan, atau, jika … maka…, jika dan hanya jika, dan lain

sebagainya.

a) Konjungsi

1) Pengertian

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang memisahkan pernyataan-

pernyataan tunggalnya dengan menggunakan kata hubung ”dan”.

Konjungsi di beri notasi “  “ . Jadi “ p “ dibaca “ p dan q “.

Contoh:

P : “ Amir rajin belajar ”

Q : “ Nilai Amir lumayan baik ”

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 8
Modul 8

Konjungsinya , p q : “Amir rajin belajar dan nilainya lumayan baik”

Pernyataan majemuk ini merupakan suatu konjungsi yang bernilai benar .

2) Nilai Kebenaran Konjungsi

Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai

benar, atau konjungsi bernilai salah hanya jika salah satu dari kedua

pernyataan tunggalnya bernilai salah.

Selanjutnya dengan tabel kebenaran dapat disajikan sebagai berikut:

p q p q

B B B

B S S

S B S

S S S

b) Disjungsi

1) Pengertian

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang memisahkan pernyataan-

pernyataan tunggalnya menggunakan kata hubung “ atau ”. Disjungsi

diberi notasi “ “. Jadi “ p q “ dibaca : p atau q.

Contoh:

p : “ Hari turun hujan ”

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 9
Modul 8

q : “ para pejalan kaki memilih berteduh ”

Disjungsinya, p q : “ Hari turun hujan atau para pejalan kaki

memilih berteduh ”

Pernyataan majemuk ini merupakan suatu disjungsi yang bernilai benar.

2) Nilai Kebenaran Disjungsi

Disjungsi ada dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

Disjungsi inklusif, suatu disjungsi bernilai benar hanya bila salah satu

atau kedua pernyataan tunggalnya benilai benar atau disjungsi bernilai

salah hanya bila kedua pernyataan tunggalnya bernilai salah. Disjungsi

inklusif diberi notasi “ “.

Contoh :

i. Andi diminta memilih antara membeli baju atau sepatu, disjungsi

ini bernilai salah bila tidak satupun yang Andi beli.

ii. Untuk x2 – 3 x – 4 = 0, berninlai benar bila x = -x atau x = 4.

Disjungsi eksklusif, suatu disjungsi bernilai benar hanya bila salah satu

dan bukan kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar atau disjungsi

bernilai salah hanya bila kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar atau

keduanya bernilai salah. Disjungsi ekslusif diberi notasi “ ”.

Contoh :

i. Joko sedang makan atau tidur, disjungsi ini bernilai salah bila Joko

makan dan juga tidur atau tidak makan juga tidak tidur.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 10
Modul 8

ii. Marlina mendapatkan nilai yang baik bila dan hanya bila dia rajin

belajar.

Nilai kebenaran kedua macam disjungsi itu dapat ditunjukkan dengan

p q Inklusif Eksklusif
p p q
B B B S

B S B B

S B B B

S S S S

Selanjutnya dalam pembahasan yang digunakan untuk disjungsi adalah

yang inklusif dan dikenal dengan nama disjungsi dengan notasi ” ”.

c) Implikasi

1) Pengertian Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung

“jika....,maka…”.Implikasi diberi notasi ” ”.

Jadi “ p dibaca “ jika p maka q “.

Pernyataan awal disebut anteseden dan pernyataan berikutnya disebut

konsekuen.

Contoh:

Anteseden, p : “ Ali sakit ” dan konsekuen, q :“ Ali minum obat ”

Implikasinya, “p q” : “ jika Hadi sakit, maka ia minum obat ”.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 11
Modul 8

2) Kebenaran suatu implikasi

Suatu implikasi bernilai benar hanya bila antesedennya bernilai benar

dan konsekuensinya bernilai benar atau suatu implikasi bernilai benar

hanya bila antesedennya bernilai salah. Atau suatu implikasi bernilai

salah hanya jika antesedennya bernilai benar dan ( tetapi )

konsekuensinya bernilai salah.

Contoh :

i. Jika Amanda sakit maka ia minum obat.

ii. Jika x2 – x – 2 = 0 maka x = 2 atau x = -1.

Selanjutnya nilai kebenaran suatu implikasi dengan tabel kebenaran

dapat ditunjukkan, sebagai berikut :

P q p q

B B B

B S S

S B B

S S B

3) Macam implikasi

Bentuk-bentuk implikasi ada beberapa macam, yaitu : konvers, invers,

kontraposisi dan biimplikasi.

Misal dipunyai suatu implikasi “ jika p , maka q “ ditulis “ p q “.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 12
Modul 8

Konvers nya adalah “ jika q maka p ” ditulis “ q p”.

Invers nya adalah ” jika maka “ ditulis “ ”

Kontraposisi nya adalah “ jika maka “ ditulis “ ”

Biimplikasi nya adalah “ jika p maka q dan jka q maka p “ ditulis

”p q q atau “p jika dan hanya jika q” ditulis “ p q ”.

Contoh :

Dari anteseden, p : “ Ali giat belajar ” dan konsekuen, q : “ Ali pandai ”.

Buatlah : implikasi, konvers, invers, kontraposisi dan biimplikasinya !

Jawab :

*Implikasi, : “ jika Ali giat belajar, maka ia pandai ”

*Konvers, q p : “ jika Ali pandai, maka ia giat belajar ”

*Invers, : “ Jika Ali tidak giat belajar, maka ia tidak pandai”

*Kontraposisinya ; : “ jika Ali tidak pandai, maka ia malas belajar”

*Biimplikasinya ; p q : “Ali giat belajar jika dan hanya jika ia pandai”

4) Biimplikasi atau Ekuivalensi

a) Pengertian

Biimplikasi atau biasa disebut Ekuivalensi adalah suatu pernyataan

majemuk yang merupakan implikasi dua ( dwi ) arah. Biimplikasi

diberi notasi “ p ” dibaca : “ jika p maka q dan jika q maka p”

atau “ p jika dan hanya jika q “.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 13
Modul 8

b) Nilai Kebenaran Biimplikasi

Karena biimplikasi merupakan implikasi dua arah, yaitu berupa

konjungsi antara implikasi dan konvers maka dapat ditunjukkan bahwa

suatu biimplikasi bernilai benar hanya jika implikasi dan konversinya

bernilai benar. Dapat pula disebutkan bahwa biimplikasi bernilai

benar hanya bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai logik

yang sama ( sama-sama bernilai benar atau sama-sama bernilai salah ).

Atau biimplikasi bernilai salah hanya bila implikasi atau konversinya

bernilai salah, atau biimplikasi bernilai salah hanya bila pernyataan

tunggalnya mempunyai nilai logik yang berbeda.

Contoh :

i. Ali masuk sekolah jika dan hanya jika hari ini hari libur …….( S )

ii. 2 + 3 = 10 3 – 5 = 15 ………………………………..........( B )

5) Tabel Kebenaran Bentuk-bentuk Implikasi

Nilai kebenaran dari semua bentuk-bentuk implikasi di atas adalah :

Kontra Biimpli
Implikasi Konvers Invers
p q posisi kasi
p q q p
p q
B B S S B B B B B

B S S B S B B S S

S B B S B S S B S

S S B B B B B S B

EKUIVALEN

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 14
Modul 8

6) Negasi Pernyataan majemuk

Untuk pernyataan majemuk negasinya adalah, sebagai berikut :

Negasi dari konjungsi,: adalah atau

Negasi dari disjungsi ,: adalah atau

Negasi dari implikasi ,: adalah p atau p

karena p q q maka

Negasi konvers :

Negasi invers : q

Negasi kontraposisi : p

Negasi biimplikasi :

(p )

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini :

i. Jika Ali sakit, maka ia minum obat.

ii. Jika hari tidak hujan , maka Amir pergi ke sekolah.

iii. Bagus berpakaian mewah bila dan hanya ia anak orang kaya

Jawab :

i. Ali sakit dan ia tidak minum obat

ii. Hari tidak hujan dan Amir tidak pergi ke sekolah

iii. Bagus berpakaian mewah dan ia bukan anak orang kaya atau Bagus

tidak berpakaian mewah tetapi ia bukan anak orang kaya.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 15
Modul 8

Uji Kompetensi 2

1. Tentukan negasi dari pernyataan di bawah ini

a. Budi orang kaya tetapi dia tidak pandai

b. Sisi pergi ke Bali bila dan hanya bila ia dapat cuti dari kantor.

c. 3x + 5 = 2 bila dan hanya bila x = -1.

Jawab :

…………………………………………………………………………………

………………………………………................................................

2. Lengkapi tabel di bawah ini !

p q p (p ) ( )

B B ……… ……… ……… ……… ……………

B S ……… ……… ……… ……… ……………

S B ……… ……… ……… ……… ……………

S S ……… ……… ……… ……… ……………

3. Dengan tabel kebenaran tunjukkan bahwa { p (p q) q adalah suatu

bentuk implikasi yang logis.

Jawab :

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 16
Modul 8

……………………………………………………………………………………

…………………………………………...............................................................

4. Buatlah konvers, invers , kontraposisi dan biimplikasi dari implikasi : “ jika

Aco tidak rajin belajar, maka ia akan mempunyai nilai tidak baik ”.

Jawab :

……………………………………………………………………………………

…………………………………………...............................................................

5. Tentukan x, agar biimplikasi berikut ini bernilai benar

a. 3x - 2 = 5 bila dan hanya bila Komeng seorang pelawak.

b. Andi pergi umroh ke Mekkah jika dan hanya jika x2 – x – 2 = 0, x R

c. 2x – 4 = 8 jika dan hanya jika 2 + 3 = 10

Jawab :

……………………………………………………………………………………

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 17
Modul 8

B . Kalimat Berkuantor

Kalimat berkuantor adalah kalimat atau pernyataan matematika majemuk yang

menggunakan kata depan : ada, beberapa, sebagian, seluruh, semua setiap dan

lain-lain yang sejenis. Ada dua macam kalimat berkuantor, yaitu eksistensial dan

universal.

1. Eksistensial ( Kuantor Khusus )

a. Pengertian

Eksistensial adalah kalimat matematika yang memakai kata “ ada”

atau ” beberapa ” atau “ada tepat satu”. Eksistensial diberi notasi “ ”.

Jadi ( dibaca ada x sedemikian sehingga berlaku P(x) atau

beberapa x bersifat P (x).

Contoh :

i. ( 3x2 -2 x- 1= 0 di baca ada x sedemikian hingga berlakulah

3x2 - 2 x – 1= 0

ii. ( x!) . 7 x- 3 = 5 di baca ada tepat satu x sedemikian hingga berlaku

7 x- 3 = 5.

b. Nilai Kebenaran Eksistensial

Eksistensial bernilai benar hanya jika dapat ditunjukkan satu saja elemen

yang memenuhi atau menyebabkan pernyataanya bernilai benar. Atau

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 18
Modul 8

eksistensial akan bernilai salah hanya jika tidak ada satupun elemen yang

memenuhi pernyataannya.

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan di bawah ini

i. Ada x  B yang memenuhi persamaan 3x2 + 2x – 1 = 0

ii. ( . 15x – 3 = 16 +17 x, x

Jawab :

i. Soal di atas dapat ditulis ( . 3 x2 + 2x – 1 = 0

Bernilai benar , sebab 3 x2 + 2 x - 1 = 0

(3 x – 1 ) ( x + 1 ) = 0

3x–1=0 atau x + 1 = 0

x= B x = -1

Jadi HP = { x / x = -1 }

ii. Bernilai salah , sebab 15x - 3 = 16 + 17x

15 x – 17 x = 16 + 3

-2 x = 19

x=- B … tidak memenuhi

2. Universal ( Kuantor Umum )

a. Pengertian Universal

Universal adalah suatu bentuk pernyataan yang menggunakan kata semua,

atau seluruh atau setiap atau segala. Universal diberi nutasi ( ditulis ) .

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 19
Modul 8

Jadi ( x) . p (x) : dibaca untuk semua x berlakulah p(x).

Contoh :

i. Semua siswa SMK berseragam putih abu-abu.

ii. ( . x2 atau semua bilangan riil kuadratnya positif.

b. Nilai Kebenaran Universal

Universal bernilai benar hanya jika semua elemennya bernilai benar

atau memenuhi pernyataannya . Atau universal bernilai salah bila dapat

diperlihatkan satu saja elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak

memenuhi syarat ( yang menyebabkan pernyataan bernilai benar ).

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini :

i. ( x) . x2 0,x

ii. ( x) . x2 + 3x – 4 = 0 ,x

iii. (

Jawab :

i. Bernilai benar, sebab semua bilangan real bila dikuadratkan akan

menghasilkan bilangan positif ( ≥ 0 ), atau tidak satupun bilangan real

yang jika dikuadratkan tidak menghasilkan bilangan positif.

ii. Bernilai salah, sebab x2 + 3 x – 4 = 0

(x+4) (x–1) =0

x+4=0 x–1=0
x = -4 x=1

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 20
Modul 8

Artinya persamaan x2 + 3x – 4 = 0 bernilai benar hanya

berlaku untuk x = - 4 dan x = 1 saja, sedang bilangan riil

yang lain tidak berlaku.

iii. Bernilai salah, sebab x + 2 = 5 hanya berlaku untuk x = 3 saja

sedang untuk bilangan real yang lain tidak berlaku.

b. Negasi Pernyataan Berkuantor

Secara umum dapat dikatakan bahwa ingkaran dari eksitensial adalah

universal dan sebaliknya ingkaran untuk universal adalah eksistensial.

Jadi a. ( x ). ( x ) dan

b. ( (x)

Contoh:

Tentukan ingkaran dari pernyataan – pernyataan di bawah ini :

i. Ada siswa kelas satu yang jenius

ii. Semua makhluk bernyawa pasti akan binasa

Jawab:

i. “Ada siswa kelas satu yang jenius “ . negasinya adalah : “semua siswa

kelas satu tidak jenius “ atau “ tidak ada siswa kelas satu yang jenius“.

ii. “Semua makhluk bernyawa pasti binasa” negasinya adalah :“ada

makhluk bernyawa yang tidak pasti binasa” atau “tidak semua makhluk

bernyawa pasti binasa”.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 21
Modul 8

Uji Kompetensi 3

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini ;

a. ( . 3x + 2 = 7, A =

b. . 2x – 3 ≥ 5, B

c. . x2 – 3x + 2 ,C=

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………..…

2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini :

a. . 3x + 2 = 7, A =

b. . 2x – 3 ≥ 5, B =

c. . x2 -3x + 2 ≤ 0, C =

Jawab :

………………………………………………………………………………………

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 22
Modul 8

3. Diketahui pernyataan berkuantor universal . 3x – 5 merupakan bilangan

genap. Tentukan nilai kebenarannya jika semestanya adalah :

a. Himpunan bilangan asli

b. Himpunan bilangan rasional

c. Himpunan bilangan riil.

d. Himpunan bilangan bulat

Jawab :

………………………………………………………………………………………

4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut ini :

a. Ada penjaga gudang yang menemukan mesin tik rusak diluar gudang.

b. Beberapa siswa SMK bekerja pparuh waktu.

c. Semua kendaraan bermotor di Sulawesi selatan berplat nomor DD.

d. Setiap pagi hari siswa SMK berlari pagi di halaman sekolah.

Jawab :

………………………………………………………………………………………

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 23
Modul 8

………………………………………………………………………………………

5. Jika x , maka tentukan nilai negasi dari pernyataan berkuantor berikut ini :

a. ( x2 – 4x = 0 )

b. ( x2 + 6x + 9 ≥ 0 )

c. ( 3x – 5 = 7 – x )

d. ( x2 – 3x – 10 ≤ 0 )

Jawab :

………………………………………………………………………………………

C. Penarikan Kesimpulan

1. Pengertian

Pada setiap data-data atau argumentasi-argumentasi yang ada dan telah

dikumpulkan, pasti dapat ditarik suatu kesimpulan sebagai bagian akhir

dari hasil analisa dan buah pemikiran. Dalam matematika penarikan

kesimpulan mulai dari proses awal hingga proses akhir harus memenuhi

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 24
Modul 8

langkah-langkah yang logis ( dapat diterima akal ) atau sahih dan dapat

dipertanggung jawabkan.

Pernyataan-pernyataan awal yang ada sebagai data acuan disebut premis.

Premis terbagi dua yaitu premis mayor (utama) dan premis minor

( pendukung ), sedang kesimpulannya disebut konklusi.

2. Macam-macam Metode Penarikan Kesimpulan

Ada beberapa macam metode penarikan kesimpulan, diantaranya adalah :

modus ponens. Modus tollens, silogisme, Barbara dan tautologi.

a. Modus ponens

Modus ponens adalah suatu proses penarikan kesimpulan yang didasarkan atas

premis mayor berupa implikasi yang bernilai benar dan premis minor berupa

anteseden dari implikasinya juga bernilai benar ( dipenuhi ). Dan sebagai

konklusinya ( kesimpulan ) adalah konsekuennya pastilah bernilai benar (

dipenuhi ), sebab jika konsekuennya salah ( tidak dipenuhi ), maka akan

bertentangan dengan premis awal ( implikasi ) yang ada.

Secara matematika dapat dituliskan :

Premis , P1 : p q ……………………(B)

Premis , P2 : p …………………… (B)

Konklusi : q …………………… (B)

Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis menjadi :

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 25
Modul 8

Selanjutnya dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran, sebagai berikut :

p q q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B
Dari tabel diatas, terbukti bahwa modus ponens sah karena semuanya

bernilai benar. Jadi argumentasi itu juga benar adanya.

Contoh :

i. P1 : “Jika Ali rajin belajar, maka nilainya akan baik”

P2 : “Ali rajin belajar”

Konkulasi : Nilai Ali akan baik

ii. P1 : Jika Nomo sakit , maka ia minum obat .

P2 : Ternyata Nomo sakit

Kesimpulannya : Nomo minum obat.

b. Modus Tollens

Modus Tollens adalah suatu proses penarikan kesimpulan yang didasar- kan

atas premis mayor berupa implikasi yang bernilai benar dan premis minor

berupa ingkaran konsekuensi dari implikasinya bernilai benar. Sebagai

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 26
Modul 8

konklusinya negasi antesedenya pastilah benar. Sebab jika ingkaran anteseden

salah artinya anteseden benar, maka implikasinya akan salah yang berarti

bertentangan dengan implikasi semula yang ada.

Secara matematika dapat ditulis

Premis , P1 : p q … (B)

Premis , P2 : … (B)

Konklusinya, : … (B)

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis sebagai berikut :

Selanjutnya modus tollens dapat dibuktikan keabsahannya dengan tabel

kebenaran, sebagai berikut :

p q

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa modus tollens sah karena semuanya

bernilai benar. Jadi argumen di atas benar adanya.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 27
Modul 8

Contoh :

i. P1 : Jika Ali sakit, maka minum obat

P2 : Ali tidak minum obat

Konklusinya : Ali tidak sakit

ii. P1 : Jika hari hujan , maka pepohonan menjadi basah.

P2 : ternyata pohon tidak basah

Konklusinya : hari tidak hujan

c. Silogisme

Silogisme adalah proses penarikan kesimpulan yang didasarkan atas premis-

premis berupa implikasi-implikasi yang saling berkaitan bernilai benar, maka

disimpulkan suatu implikasi baru yang sah dimana anteseden nya adalah

anteseden dari implikasi awal sedang konsekuensinya adalah konsekuen

implikasi terakhir.

Secara matematika dapat dituliskan :

P1 : p q ……………………………….. (B)

P2 : r … …………………………… (B)

P3 : r s ………………………………. (B)

Konklusinya : p ……………………………………. (B)

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis sebagai berikut :

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 28
Modul 8

Silogisme argumentasinya ( premisnya ) dapat terdiri atas dua atau lebih

implikasi-implikasi yang saling bertautan, tetapi kesimpulannya tetap sama,

yaitu berupa suatu implikasi baru dimana antesedennya adalah anteseden

implikasi awal dan konsekuennya adalah konsekuen implikasi terakhir.

Selanjutnya silogisme dengan dua implikasi bertautan secara umum dapat

dibuktikan keabsahannya dengan tabel kebenaran, sebagai berikut :

p q r

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B

Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa silogisme sahih karena semuanya

bernilai benar. Jadi argumentasi itu bernilai benar.

Contoh :

i. P1 : Jika Ali rajin belajar, maka ia menjadi pandai .

P2 : Jika Ali menjadi pandai, maka nilainya menjadi baik

Konklusinya : Jika Ali rajin belajar, maka nilainya menjadi baik

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 29
Modul 8

ii. Ani lebih tinggi dari Budi, tetapi Budi lebih tinggi dari Cici, dan Cici lebih

tinggi dari Dono.

Kesimpulannya : Ani lebih tinggi dari Dono.

Uji kompetensi 4

1. Tentukan konklusi dari prewmis-premis berikut ini :

a. Premis 1 : Jika Anton rajin belajar maka nilainya akan baik

Premis 2 : nilai Anton jelek.

b. Premis 1 : Jika hari turun hujan maka pepohonan menjadi basah

Premis 2 : Jika pohon-pohon basah maka udara menjadi lembab

c. Premis 1 : Jika matahari mulai bersinar maka hari menjadi siang

Premis 2 : matahai mulai bersinar

Jawab :

………………………………………………………………………………………

………………………………...................................................................................

2. Tentukan sah atau tidak argumen berikut dan tuliskan macam modusnya.

a. Premis 1 : Jika Aldo naik kelas maka ia akan berdarmawisata ke bali

Premis 2 : Aldo tinggal di rumah saja

Konklusinya : Aldo tidak punya uang

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 30
Modul 8

b. Premis 1 : Jika Susi memakan roti maka ia memakai selai

Premis 2 : Susi memakan roti

Konklusinya : Susi memakai fla

c. Premis 1 : Jika Andi rajin bekerja maka upahnya akan naik

Premis 2 : Jika badan Andi sehat maka ia rajin bekerja

Konklusinya : Jika badan Andi sehat maka upahnya akan naik

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………...............................................................................

3. Tentukan kesimpulan pernyataan berikut ini dengan tabel kebenaran !

a. Premis 1 : p c. Premis 1 : p

Premis 2 : p Premis 2 :

Konklusinya : q Konklusinya : p

b. Premis 1 : d. Premis 1 :

Premis 2 : Premis 2 : r

Konklusinya : p Konklusinya : p

Jawab :

………………………………………………………………………………………

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 31
Modul 8

………………………………………………………………………………………

………........................................................................................................................

4. Buatlah kesimpulan yang sahih dari pernyataan berikut : Jika a, b dan c sisi

segitiga , maka akan berlaku a + b ,b+c a dan ada sisi a b+c

Konsekuensinya adalah ....................................................

Jawab

..…………………………………………………………………………………..…

………………………………………………………………………………………

……………………………………............................................................................

5. Selidiki kebenaran pernyataan berikut ini ;

a. ( . x2 + x – 12 untuk x R

b. ( x) . 3x + 3 2–1 4x – 5 , x

c. Premis 1 : Jika Andi membeli kemeja maka Budi membeli celana

Premis 2 : Jika Budi tidak membeli celana maka Cici membeli baju

Konklusinya : Jika Andi membeli kemeja maka Cici tidak membeli baju

Jawab :

……………………………………………………………………………………

…………………………………………...............................................................

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 32
Modul 8

RANGKUMAN

 Pernyataaan atau kalimat tertutup adalah kalimat matematika yang sudah dapat
ditentukan nilai kebenarannya, yaitu bernilai benar atau bernilai salah.
 Kalimat terbuka kalimat matematika yang masih memuat variabel ( peubah ),
sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.
 Negasi atau ingkaran adalah suatu bentuk pernyataan sangkalan atau sanggahan
dari pernyataan yang ada, dan nilainya berlawanan dengan nilai pernyataan
semula.
 Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri atas dua atau lebih
pernyataan tunggal yang dirangkai menjadi satu dan menggunakan kata hubung
logika, seperti : dan, atau , jika … maka… , dan … jika dan hanya jika … .
 Ada 4 macam pernyataan majemuk, yaitu :
a. Konjungsi, memakai kata hubung dan , diberi notasi
b. Disjungsi, memakai kata hubung atau , diberi notasi
c. Implikasi, memakai kata hubung jika … maka … , diberi notasi
d. Biimplikasi, memakai kata hubung … jika dan hanya jika …, diberi notasi
 Jika dipunyai sebuah implikasi maka berlakulah :
a. Konversnya adalah ;
b. Inversnya adalah ;
c. Kontraposisinya adalah ;
d. Biimplikasinya adalah
 Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri atas n buah pernyataan tunggal yang
berbeda maka banyaknya baris tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran 2n.
 Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan itu
mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan ditulis p .
 Bentuk-bentuk ekuivalensi diantaranya , adalah :
a. Hukum identitas
b. Hukum komutatif
c. Hukum asosiatif
d. Hukum distributif
e. Hukum de morgan.
 Pernyataan berkuantor ada dua, yaitu :
a. Kuantor universal, diberi notasi dibaca untuk semua atau untuk setiap
b. Kuantor eksistensial, diberi notasi dibaca ada atau beberapa atau ada
sekurang-kurangnya satu.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 33
Modul 8

 Ingkaran atau negasi dari pernyataan majemuk :
a. Ingkaran dari konjungsi,
b. Ingkaran dari disjungsi,
c. Ingkaran dari implikasi,
d. Ingkaran dari biimplikasi,
e. Ingkaran dari kuantor universal, =
f. Ingkaran dari kuantor eksistensial, = . (x)
 Metode penarikan kesimpulan
a. Modus Ponens
Penarikan kesimpulan berdasarkan premis mayor dan premis minor p
menghasilkan kesimpulan ( konklusi ) q.
b. Modus Tollens
Penarikan kesimpulan berdasarkan premis mayor p dan premis minor
menghasilkan kesimpulan
c. Silogisme
Penarikan kesimpulan berdasarkan premis-premis dan
menghasilkan kesimpulan .

PETA KONSEP

LOGIKA MATEMATIKA

PERNYATAAN KALIMAT PENARIKAN MACAM
BERKUANTOR EKUIVALENSI
KESIMPULAN

PERNYATAAN TUNGGAL
*UNIVERSAL *IDENTITAS
*MODUS PONENS *KOMUTATIF
* EKSISTENSIAL
*MODUS TOLLENS *ASOSIATIF
PERNYATAAN MAJEMUK *SILOGISME *DISTRIBUTIF
*DE MORGAN

KONJUNGSI DISJUNGSI IMPLIKASI BIIMPLIKASI

* Konvers, p
* Invers,
*Kontraposisi,

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 34
Modul 8

Penilaian Kompetensi
PENILAIAN KOMPETENSI

Kompetensi : Logika matematika

Program : Bisnis dan teknologi

Kelas : XI

Waktu : 75 Menit

1. Buat negasi dari pernyataan berikut ini

a. Jika Ali sedang gembira, maka ia menangis

b. Semua politikus adalah anggota Dewan Perwakilan Daerah

c. Ada sekawanan bangau yang terbang rendah di kaki bukit.

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………................................................................................

2. Buktikan ekuivalensi: (p q ) dengan tabel kebenaran

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………................................................................................

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 35
Modul 8

3. Buatlah nilai dalam tabel kebenaran pernyataan-pernyataan di bawah ini:

a. P (q )

b. ( p q)

c. ( ) q

Jawab :

………………………………………………………………………………………

4. Diketahui suatu implikasi “ Jika mobil melaju kencang , maka mobil itu memakai

banyak BBM “. Buatlah:

a. Inversnya

b. Konversnya

c. Kontraposisinya

d. Biimplikasinya

Jawab :

………………………………………………………………………………………

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 36
Modul 8

………………………………………………………………………………………

5. Tuliskan pernyataan yang ekuivalen bunyinya dengan pernyataan berikut ini :

a. Hari masih terang tetapi burung-burung sudah kembali ke sarang

b. Jika ada asap maka pastilah ada api

c. Ada dunia lain selain dunia yang kita huni sekarang

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………................................................................................

6. Buatlah Invers, Konvers dan kontra posisi dari Implikasi ( q)

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………................................................................................

7. Tentukan kesimpulan untuk premis-premis berikut ini :

a. Premis 1 : Jika manusia bersayap maka pastilah bisa terbang

Premis 2 : Manusia tidak bias terbang

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 37
Modul 8

b. Premis 1 : Jika Ani rajin bekerja maka pimpinannya menjadi senang

Premis 2 : Jika upah kerja tinggi maka Ani menjadi rajin bekerja

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………................................................................................

8. Jika 14 + 5 = 9 , maka 17 : 3 = 5. Tentukan nilai kebenaran dari inversnya,

konversnya , kontraposisinya dan biimplikasinya.

Jawab :

………………………………………………………………………………………

…………………………………................................................................................

9. Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa pernyataan-pernyataan

berikut ini merupakan pernyataan yang ekuivalen.

Jawab :

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 38
Modul 8

………………………………………………………………………………………

10. Tentukan nilai x pernyataan berikut ini agar bernilai benar untuk semesta

himpunan bilangan riil.

a. x2 = x

b. x2 – 2 x

Jawab :

………………………………………………………………………………………

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 39
Modul 8

DAFTAR PUSTAKA

Rawuh, dkk, .1986 . Matenatika SMA Jilid 2 b Program IPS- Pengetahuan Budaya dan
Ilmu-ilmu Agama . Jakarta . Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik
Indonesia.

Adi Gunawan ,K , Drs . 2004. Tangkas Matematika SMU . Surabaya . Kartika.

Gawatri, UR, dkk . 2002 . Matematika SMK I . Jakarta . Yudhistira.

Andi Hakim Nasution, dkk . 1999 . Matematika 1 SMU . Jakarta . Departemen Pendidikan
dan Kebudayaan.

BNSP . 2006 . Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran
Matematika Sekolah Menemgah Kejuruan / Madrasah Aliyah Kejuruan Kelompok Sosial ,
Administrasi Perkantoran dan Akuntansi , Teknologi . Jakarta . Departemen Pendidikan
Nasional.

Abdurahman , M. 2000 , Matematika SMA Tingkat II . Bandung . Armico.

ERMAN ………………LOGIKA MATEMATIKA……………SMK Page 40