Docstoc

Modul 1 Bilangan real

Document Sample
Modul 1 Bilangan real Powered By Docstoc
					                            MATEMATIKA DALAM MODUL



MODUL
  1
                            Alokasi Waktu : 40 x 45 menit


  Standar Kompetensi
          Memecahkan Masalah Berkaitan Dengan Konsep
                    Operasi Bilangan Real


  Kompetensi Dasar
            Menerapkan Operasi Pada Bilangan Real
            Menerapkan Operasi Pada Bilangan Berpangkat
            Menerapkan Operasi Pada Bilangan Irasional
            Menerapkan Konsep Logaritma




Tujuan Pemelajaran

Usai pengajaran materi-materi pada kompetensi ini, kepada siswa diharapkan dapat
1. Mendiskripsikan macam-macam sistem bilangan real.
2. Mencari hasil operasi bilangan rasional.
3. Mencari hasil operasi bilangan irasional.
4. Mendiskripsikan pengertian perbandingan, skala, dan prosen.
5. Menghitung besarnya perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.
6. Menghitung besarnya skala dan ukuran sebenarnya suatu obyek pada peta.
7. Mengkonversi bentuk pecahan ke bentuk persen dan sebaliknya.
8. Menerapkan konsep perbandingan , skala, dan persen.
9. Mendiskripsikan bilangan berpangkat.
10. Mengoperasikan bilangan berpangkat.
11. Mendiskripsikan bilangan akar.
12. Mengoperasikan bilangan akar.
13. Mendiskripsikan bilangan logaritma.
14. Mengoperasikan bilangan logaritma.



       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 1
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

Mengapa perlu belajar bilangan real ?


Dalam kehidupan sehari-hari hampir tidak pernah terlepas dari kegiatan membilang
dan menghitung. Kegiatan ini selalu dilakukan dalam bidang administrasi, perniagaan
maupun perindustrian. Kegiatan seperti : menjumlah, mengurang, mengali, membagi,
memangkatkan dan menarik akar sampai pada operasi logarima adalah kegiatan-
kegiatan yang selalu kita jumpai. Oleh karena itu mempelajari hingga paripurna konsep
operasi pada bilangan real merupakan hal yang mesti dan mutlak harus dilakukan.


A. Pengertian Bilangan


    Apakah yang di maksud dengan bilangan ? Berapakah banyaknya jari tangan
    kananmu ? jawab lima. Lima yang kalian sebut tadi adalah bilangan. Bilangan
    lima tidak kelihatan, tetapi dapat di bayangkan jumlahnya. Jadi bilangan adalah
    abtraksi dari banyaknya suatu obyek. Agar orang lain dapat menangkap dan
    menghitung banyaknya bilangan ( obyek ). Maka dibuatlah simbol untuk bilangan.
    Simbol bilangan yang digunakan adalah angka arab, yaitu 0, 1, 2, 3,….. yang
    selanjutnya disebut lambang bilangan. Jadi yang selalu kita baca, kita gunakan
    untuk perhitungan dan lain sebagainya tidak lain adalah lambang bilangan yang
    selanjutnya disebut bilangan.


B. Macam – macam Sistem Bilangan


    Bilangan yang dibicarakan adalah bilangan yang merupakan sistem, yaitu yang
    bersifat tertutup dan dapat dilakukan operasi penjumlahan dan perkalian. Sistem
    bilangan dapat dituliskan dalam tiga kelompok besar, seperti : cara himpunan, cara
    diagram venn dan cara diagram pohon.


    1. Cara Himpunan
       Bilangan yang membentuk sistem secara terurut dapat ditulis dalam bentuk him
       punan, sebagai berikut :



       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 2
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

  a. Bilangan Asli
     Himpunan semua bilangan asli, ditulis A = { 1, 2, 3, 4,…}
  b. Bilangan Cacah
     Himpunan semua bilangan cacah, ditulis C = { 0, 1, 2, 3,…}
  c. Bilangan Bulat
      Himpunan semua bilangan bulat, ditulis B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
  d. Bilangan Rasional
     Bilangan Rasional diberi notasi Q adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai
     perbandingan antara pembilang yang terdiri atas anggota bilangan bulat dan
     penyebut anggota bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.
     Jadi Q =       ;a,b      B , dan b      .

     Dapat disimpulkan bahwa bilangan rasional itu terdiri atas bilangan bulat
     dan bilangan pecahan atau tidak bulat.
  e. Bilangan Irasional
     Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak rasional atau bilangan yang
     tidak dapat ditulis ( tidak berlaku ) dalam bentuk . Yang termasuk sebagai

     bilangan irasional adalah , I = { , bilangan akar , bilangan natural e, dan
     bilangan logaritma }
  f. Bilangan Real
    Bilangan real atau bilangan nyata adalah bilangan yang terdiri atas bilangan
    rasional dan irasional, jadi bilangan real dapat ditulis R = Q + I
  g. Bilangan Kompleks
    Bilangan kompleks adalah semua bilangan yang ada di muka bumi yang
     terdiri atas bilangan real atau nyata ( bagian nyata ) dan bilangan khayal atau
     imajiner ( bagian yang tidak nyata ), dan dapat ditulis sebagai berikut :
          K = a + b i , a dan b     R, i =        = ( bilangan imajiner/khayal ).


2. Cara Diagram Venn
  Sistem bilangan real biasa juga disajikan dengan cara diagram Venn, sebagai
  berikut :




  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..         Page 3
                        MATEMATIKA DALAM MODUL




3. Cara Diagram Pohon
  Sistem bilangan real disajikan dengan cara diagram pohon, sebagai berikut :




Selain dengan ketiga cara di atas, bilangan real dapat pula disajikan pada garis
koordinat. Istilah koordinat selalu dikaitkan dengan koordinat kartesius, karena
pada tahun 1637 Rene’ Descartes’ pertama kali memperkenalkan metode ini
melalui karyanya berjudul Discourse on the Methode of rightly Conducting the
Reason, dimana dalam karyanya ini Rene’ Descartes’ menghubungkan aljabar
dengan geometri yang merupakan kreasi baru dan disebut geometri analitik.


Dalam geometri analitik, bilangan real dinyatakan dengan titik pada sebuah garis.
Pada garis tersebut dipilih sebarang titik sebagai acuan nol ( 0 ) yang disebut titik
asal. Dari titik acuan ini ke arah kanan ditandai dengan anak panah sebagai
penunjuk arah positif, sebaliknya ke arah kiri dari 0 ditandai sebagai penunjuk
arah negatif. Garis ini selanjutnya disebut garis bilangan/ garis koordinat.
                                  0
                             Titik Awal


   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 4
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

   Contoh :
   Tempatkan bilangan-bilangan berikut ini pada garis koordinat.
                   3  3
          -3 , -     , ,       2 ,  , dan 5.
                   2  4
   Jawaban :
   Gambarlah garis koordinat, kemudian tandai titik-titik pada garis koordinat
                                                         3    3
   dengan koordinat bilangan-bilangan -3 , -               ,0, ,        2 ,  , dan 5, seperti :
                                                         2    4

                                             -3/2               ¾

                   -5     -4     -3     -2          -1      0       1        2      3     4        5


C. Operasi Bilangan Real


   1. Pengertian
     Operasi adalah pengerjaan dua atau lebih bilangan real untuk mendapatkan
     bilangan real baru dengan sifat – sifat yang sama dan sahih serta memenuhi
     norma ( aturan-aturan ) pada sistem bilangan. Pada setiap melakukan operasi
     bilangan, yang harus ada didalamnya sama halnya dengan operasi yang lain,
     yaitu :
      Ada yang di operasi, yaitu bilangan real .
      Ada yang mengoperasi, yaitu bilangan real.
      Ada alat operasi.
      Ada hasil operasi, yaitu bilangan real juga, artinya harus tertutup.


   2. Alat operasi
      Alat-alat operasi yang digunakan dalam pengerjaan bilangan ada bebarapa ,
      antara lain adalah :
          “ + “ : untuk operasi tambah atau penambahan.
          “ – “ : untuk operasi kurang atau pengurangan.
          “ x “ : untuk operasi kali atau perkalian.
          “        “ : untuk operasi penarikan akar
          “        “ : untuk operasi perpangkatan , dan lain-lain.


      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..               Page 5
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

3. Operasi Bilangan


     a. Operasi Penjumlahan , “ + ” :


          1) Penjumlahan pada Bilangan Bulat
              Untuk a, b            B akan berlaku a + b = c. Dengan menggunakan
              garis bilangan, akan menjadi lebih mudah melakukan penjumlahan
              pada bilangan bulat. Cara melakukan penjumlahan, sebagai berikut :
              * Tandai angka a pada garis bilangan.
              * Langkahkan ke kanan sebanyak/ sejauh b kali untuk b bilangan
                bulat positif atau ke kiri sejauh b kali untuk b bulat negatif, maka
                c akan menunjukkan hasil penjumlahan tersebut.
              Contoh :
              i. 3 + 4 = 7
              ii. 7 + ( -3 ) = 4
              Jawaban :
              i. Bilangan 3 adalah bilangan pertama dan 4 bilangan kedua.
                 * Tandai angka pada garis bilangan.
                 * Karena bilangan kedua positif, maka langkahkan ke kanan
                   sebanyak 4 langkah, sehungga diperoleh angka 7.


                    0      1       2      3      4       5       6       7    8
              ii. Bilangan 7 adalah bilangan pertama dan -3 bilangan kedua.
                 * Tandai 7 pada garis bilangan.
                 * Karena bilangan kedua negatif, maka langkahkan ke kiri sejauh
                   3 langkah ke kiri, sehingga diperoleh angka 4.


                    0      1       2      3      4       5       6       7    8
          2) Penjumlahan Bilangan Pecahan
              Penjumlahan pada bilangan pecahan dapat dilakukan, hanya bila
              penyebutnya sama. Cara menyamakan penyebut pecahan adalah,

              sebagai berikut :


  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 6
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

               Contoh:
               i.

               ii.

               Jawaban :
               i. Karena kedua pecahan mempunyai penyebut yang tidak sama,
                     maka dicari dahulu factor persekutuan terkecil dari kedua
                     penyebutnya. FPK dari 2 dan 4 adalah 8.



                           =



                           =

               ii. Penyebut kedua pecahan tidak sama, maka dicari dahulu factor
                     persekutuan terkecilnya. FPK dari 3 dan 7 adalah 21.



                           =




   b. Operasi Pengurangan, “ – “


        1) Untuk a, b & c          R akan berlaku a – b = c
           Contoh:
          i. 5 – 2 = 3
         ii.


        3) Untuk bilangan pecahan
               Contoh:

          iii.

         iv.



………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 7
                           MATEMATIKA DALAM MODUL



   c. Operasi Perkalian
        1) Untuk a, b & c          R akan berlaku a x b = c atau a . b = c
           Contoh:
               i.   2x3=6
           ii.      5 . ( -4 ) = -20
       2) Untuk bilangan pecahan
               Perkalian pada bilangan pecahan dilakukan dengan cara, sebagai
               berikut :

          iii.

          iv.


   d. Operasi Pembagian
        1) Untuk a, b & c          R akan berlaku a : b = c atau = c

           Contoh:
          i.        3:4=

         ii.        5 : ( -6 ) =

       2) Untuk bilangan pecahan

           Contoh :
        iii.

        iv.

       Catatan khusus untuk operasi pada bilangan pecahan

                
                                       –
                
                

                                      atau




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 8
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

4. Sifat – sifat Operasi
    Untuk setiap a, b, & c        R pada operasi penjumlahan dan perkalian berlaku
    sifat – sifat operasi bilangan, antara lain:
      a. Tertutup, R * R = R :
                         a+b=c
                         a     b=c
                        Contoh :
                        i. 1 + 2 = 3     1, 2 & 3    R
                       ii. 2    3=6      2, 3 & 6    R
      b. Komutatif ( pertukaran ), a * b = b * a
                         a+b=b+a
                         a     b=b      a
                        Contoh:
                        i. 3 + 4 = 4 + 3
                       ii. 5    6=6      5
      c. Asosiatif ( pengelompokan / pilihan ), a * ( b * c ) = ( a * b ) * c
                         a+(b+c)=(a+b)+c
                         a     (b     c)=(a        b)       c
                        Contoh:
                        i. 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3
                       ii. 3    (4     5)=(4        5)       3
      d. Distributif
              Distribusi perkalian terhadap penjumlahan
                         a     (b+c)=(a            b)+(a            c)
                        Contoh:
                        i. 2    (3+4)=(2            3)+(2            4)
                           2           7 =     6         +       8
                       ii. 3    (7+5)=(3            7)+(3            5)
                           3          12 =      21 + 15
              Distribusi perkalian terhadap pengurangan
                           a    (b    c)=(a        b)–(a            c)



   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 9
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

                          Contoh :
                          iii. 2 x ( 10 – 6 ) = ( 2 x 10 ) – ( 2 x 6 )
                              2x        4     =     20          -    12
                          iv. 3 x ( 7 – 5 ) = ( 3 x 7 ) – ( 3 x 5 )
                              3x        2     =    21       -       15
        e. Ada Unsur Identitas, I ; a * I = I * a = a
                           a+I=I+a=a
                           a       I=I     a=a
                          Contoh:
                          i. 4 + 0 = 0 + 4 = 4
                              0     adalah identitas penjumlahan
                          ii. 3     1=1      3=3
                              1     adalah identitas perkalian
        f. Ada Invers, a-1 , a * a -1 = a-1 * a = 1
                           a + ( -a ) = ( -a ) + 1 = 0
                             -a invers penjumlahan dari a
                           a                 a=1

                                  invers perkalian dari a

                          Contoh:
                          i. 3 + ( -3 ) = ( -3 ) + 3 = 0
                         ii. 4                4=1

      Mengapa sifat-sifat operasi di atas hanya berlaku pada operasi penjumlahan
      dan operasi perkalian saja ? Cari penjelasan untuk itu semua !


D. Perbandingan , Skala dan Persen


 1. Perbandingan


    a. Pengertian
      Perbandingan adalah hasil dari membandingkan satu obyek dengan obyek
      yang lain. Secara umum perbandingan ditulis dalam bentuk yang paling


     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 10
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

  sederhana dimana yang di atas disebut pembilan dan yang di bawah disebut
  penyebut. Bila diperoleh besaran yang tidak sama atau tidak terlalu benar,
  maka disamakan dahulu penyebutnya menggunakan KPK nya.
  Contoh :
  i. Ali lebih tinggi dari Budi.
  ii. Balon Ani lebih kecil dari balon Bobo.
  iii. Adi mempunyai tanah seluas 100 m2 dan Fahmi mempunyai 60 m2.
       Perbandingan luas tanah Adi dan Fahmi adalah = 100 : 60 = 5 : 3
b. Macam Perbandingan
  Perbandingan ada dua macam, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan
  berbalik nilai.
  1) Perbandingan Senilai
      Perbandingan senilai merupakan dua buah perbandingan yang berbeda
      bentuknya, tetapi dengan nilai yang setara ( sama ).
      Contoh ;
      i. 15 : 25 = 3 : 5
      ii. 2 : 3 = 8 : 12
      iii. Dengan 5 liter bensin sebuah mobil dapat menempuh jarak 90 km.
          Berapa liter bensin diperlukan untuk menempuh jarak 360 km dengan
          mobil yang sama ?
          Jawab :
          Misal bensin yang diperlukan adalah l , dapat disusun sebagai berikut :
                 Bensin (… liter )       Jarak tempuh ( …. Km )
                           5                            90
                           l                            360
          Dapat dipahami bahwa semakin jauh ( banyak ) jarak yang ditempuh
          maka akan semakin banyak bensin yang diperlukan dan sebaliknya
          semakin sedik bensin yang diperlukan maka semakin dekat ( sedikit)
          jarak yang ditempuhnya. Ini berarti perbandingannya adalah senilai,
          sehingga berlaku ;




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 11
                     MATEMATIKA DALAM MODUL



                                                           = 20

         Jadi bensin yang diperlukan untuk jarak 360 km adalah 20 liter.
 2) Perbandingan Berbalik Nilai
     Perbandingan berbalik nilai merupakan dua perbandingan ( pecahan )yang
     nilainya saling berbalikan, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :


     Contoh :
     i. Dengan kecepatan 5 km/jam Amir memerlukan waktu 40 menit untuk
       tiba di sekolah. Dengan jarak yang sama Bolang memerlukan waktu 50
       menit, kecepatan Bolang adalah ……
     ii. Suatu pekerjaan dengan 10 orang pekerja dapat diselesaikan dalam
         waktu 12 hari. Jika diinginkan pekerjaan itu selesai hanya dalam wak
         tu 8 hari saja, maka jumlah tenaga kerja yang ditambahkan adalah
         sebanyak ……… orang.
     Jawab :
     i. Jarak yang ditempuh = Kecepatan kali waktu tempuh
                            S = v.t
         Dalam soal di atas, S1 = S2
                         v1 . t1 = v2 . t2
                          5 . 40 = v2 . 50
                                 =

         Jadi kecepatan si Bolang 4 km/jam.
     ii. Volume pekerjaan            = jumlah pekerja kali jumlah hari
                               v = pxh
         Dalam soal di atas, v1 = v2
                         10 x 12 = p2 x 8



                              p2 = 15
         Jadi jumlah tenaga yang harus ditambahkan adalah = (15 – 10) orang
                                                                   = 5 orang.


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 12
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

2. Skala


  a. Pengertian
      Bentuk lain dari perbandingan adalah skala. Skala adalah suatu bentuk
      perbandingan yang menggambarkan perbedaan antara bentuk atau ukuran
      yang sebenarnya dan bentuk atau ukuran dalam gambar atau peta. Skala biasa
      digunakan pada peta ataupun gambar-gambar lain yang sejenis.
      Skala diberi notasi “ a : b “, a menyatakan ukuran yang sebenarnya dan b
      menunjukkan ukuran dalam gambar. Jadi b satuan dalam gambar bernilai
      sama dengan a satuan ukuran yang sesungguhnya, atau setiap satu satuan
      ukuran dalam gambar mewakili b/a kali satuan ukuran sebenarnya.
  b. Perhitungan Skala
      Di atas sudah disebutkan bahwa untuk menggambarkan secara proporsional
      suatu gambar yang sesunggunya maka digunakan wakil sebagai pengganti
      yang sesuai yang disebut skala. Dari itu berarti ada kalanya gambar yang
      sesungguhnya digambar menjadi lebih kecil ada kalanya menjadi lebih besar.
      1) Skala Diperbesar
           Jika suatu obyek atau benda terlalu kecil agar dapat dilihat oleh pengamat
           atau orang lain maka obyek itu perlu diperbesar. Untuk hal semacam itu
           biasa digunakan alat pembesar atau lup, tetapi yang dimaksut perbesaran
           disini adalah gambarnya atau sekalanya bentuknya adalah a : b.
           Contoh :
           i. Skala gambar, 500 : 1 artinya setiap 500 satuan ukuran yang
             sebenarnya mewakili oleh 1 satuan ukuran dalam gambar. Atau setiap
             1 satua ukuran dalam gambar diwakili 500 satuan ukuran yang
             sebenarnya.
           ii. Sebuah benda digambar dengan skala 5000 : 3. Jika bagian dari benda
             itu adalah 10 mm maka tentukan ukuran bagian benda itu pada gambar
             Pembahasan ;
             Skala 5000 : 3 , ukuran sebenarnya 15 micro meter ukuran dalam

             gambar adalah

             Jadi ukuran dalam gambar adalah 25000 micro meter = 25 mm.


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 13
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

      2) Skala Diperkecil
          Untuk menggambarkan benda-benda atau obyek yang relatif besar maka
          biasanya benda atau ukuran-ukuran dari benda itu digambar pada skala
          yang diperkecil. Seperti 1 : 5000000 , artinya setiap 1 satuan dalam
          gambar mewakili 5000000 kali ukuran yang sebenarnya, dan seterusnya.
          Skala seperti ini biasanya digunakan untuk peta dan sejenisnya.
          Contoh :
          i. Sebuah peta digambar pada skala 1 : 10 000 000. Jika jarak kota A ke
             kota B adalah 50 km maka hitunglah jarak kota itu pada peta.
          ii. Sebuah Aquarium raksasa digambar dengan skala 1 : 200. Jika dalam
             peta aquarium itu berukuran 1 x 2 x 3 cm maka hitunglah volume
             sebenarnya dari aquarium itu.
          Jawab :
          i. Skala 1 : 10 000 000
             Jarak sebenarnya = 50 km, jarak dalam peta =

                                                          = 0,000005 km
                                                          = 5 mm
             Jadi jarak kota A ke kota B pada peta digambar sejauh 5 mm.
          ii. Skala 1 : 200 , artinya setiap satu satuan dalam gambar mewakili 200
             kali satuan ukuran yang sebenarnya.
             Volume sebenarnya = ( panjang x leber x tinggi ) sebenarnya
                              Vs = ps x ls x ts
                                  = ( 1x200)x(2x200)x(3x200)
                                  = 48 000 000 cm3
             Jadi volume aquarium itu adalah 48 000 000 cm3 = 48 m3.


3. Persen


   a. Pengertian
      Persen atau prosen artinya perseratus. Persen adalah suatu bentuk
      perbandingan yang dinyatakan dengan angka perseratusan atau angka itu




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 14
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

   dibandingkan dengan seratus. Jadi a persen artinya a perseratus. Persen
   diberi notasi “ % “ .


b. Perhitungan Persen
   Di atas disebutkan bahwa persen artinya adalah per seratus. Bentuk
   perbandingan semacam ini biasa digunakan untuk menyatakan dua bentuk
   berbeda yang relatif besarnya maupun bentuknya. Untuk mendapatkan
   perbandingan bentuk persen dilakukan dengan cara mengalikan bilangan itu
   dengan seratus persen.


   Contoh :
   i. Dari 1800 orang calon siswa SMK Negeri 4 Makassar yang mengikuti
       seleksi, jumlah yang diterima adalah 380 orang saja. Hitunglah prosentase
       siswa yang diterima tersebut.
   ii. Produksi barang A yang rusak sebesar 2,5 %. Jika barang yang tidak
       rusak sebesar 9.750.000 unit maka hitunglah :
        *Jumlah barang yang diproduksi
        *Jumlah barang yang tersisa jika barang yang baik terjual 90 %.
   Jawab ;
   i. Jumlah siswa diterima             = 380 orang dari 1800 orang
       Prosentase siswa yang diterima =

                                       = 21,11 %
       Jadi siswa yang lulus seleksi sebanyak 21,11 %.
   ii. Jumlah barang A rusak = 2,5 % x jumlah produksi
       Jumlah barang A yang diproduksi = 100 % x
       Jumlah barang A yang baik = 1600000 unit = 100 % x - 2,5 % x
                                                     = 97,5 % x



                                                               10 000 000
       *Jadi jumlah barang A yang diproduksi sebesar 10 000 000 unit.
        Barang baik yang tidak        = ( 100 % - 90 % ) x Jumlah barang baik



 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 15
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                laku terjual         = 10 % x 9750000
                                    = 975000
        *Jadi jumlah barang A baik yang tersisa sebanyak 975 000 unit.


c. Pengubahan Bentuk Pecahan
     Di atas sudah disebutkan bahwa suatu pecahan dapat dituliskan dalam tiga,
     yaitu : pecahan biasa, pecahan decimal dan persen.
     Suatu bilangan rasional pecahan dalam bentuk               , dengan penyebut 100

     atau per seratus. Lambang bilangan rasional dengan penyebut 100 disebut
     persen ( % ).
     Contoh :

     i. Ubah ke bentuk persen dari pecahan-pecahan :

     ii. Ubah ke bentuk pecahan biasa bilangan persen : 15 % , 30 % dan 45 %.
     Jawab :
     i. *

       *

       *

       *

     ii. * 15 % =

       * 30 % =

       * 45 % =




  Lembar Kerja Siswa 1


Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar.
1.

     Jawab :



 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 16
                     MATEMATIKA DALAM MODUL




                                           =

                                           =

2.

     Jawab :




                                           =

3.

     Jawab :



                                   =

                                   =

                                   =

                                   =

                                   =

4.

     Jawab :



                               =

                               =

                               =       +

                               =

                               =

                               =



………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 17
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

                                  =

5.

     Jawab :



                          =

                          =

                          =

                          =

6.

     Jawab :



                              =

                              =

                              =

                              =

                              =

                              =

                              =


7. Sebuah peta digambar dengan skala 1 : 7.500.000 . Tentukan :
     a. Jarak sebenarnya, jika jarak pada peta adalah 8 cm.
     b. Jarak pada peta, jika jarak sebenarnya adalah 300 km !
     Jawab :
     a. Jarak sebenarnya = …. x

                              = ….. …. …. cm
                              = ….. km
     b. Jarak pada peta       = ….. x

                              = ….. …. …. Km


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 18
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

                                    = ….. cm
     8. Sebuah pigora kayu dengan panjang bingkai 120 cm dan lebar bingkai
         90 cm. Jika persegi panjang bagian luar dan bagian dalam dari bingkai
         itu sebangun, dan lebar bagian dalam 75 cm, hitunglah panjang bingkai
         bagian dalamnya adalah !
         Jawab :
                                        Persegi panjang dalam            persegi panjang dalam
                         L’
                                    p
                P’                                …….              = p        …..
                                                          x ……..          x

                                                                   p =

                     l                                p     = …….
     9. Seorang pekerja bekerja selama 9 jam perhari dan digaji Rp 108.000,00.
         Hitung berapa jumlah gaji pekerja itu jika Senin sampai jum’at bekerja
         seperti biasa sedang untuk hari Sabtu dan Ahad ia hanya bekerja selama 6
         jam tanpa hitung lembur.
         Jawab ;
         Gaji pekerja perjamnya = ……… : ………
                                        = ………
         Jumlah jam kerja               = (…x …)+(…x…)
                                        = ……… jam
         Total gaji yang diterima = ….. x …..
                                        = ……
E. Bilangan Berpangkat


  1. Pengertian
     Bilangan berpangkat adalah suatu eksponen atas bilangan real yang bukan satu
     dan bukan nol dengan bilangan real. Bilangan berpangkat diberi notasi “ ax “,
     a disebut bilangan pokok dimana a                             , x disebut bilangan pangkat.


     Contoh :

     i. 53                    ii.



      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..         Page 19
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

2. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat


   a. Difinisi


       Bilangan berpangkat bilangan bulat , ditulis “ an “ , didifinisikan sebagai
       perkalian berulang atas bilangan pokok a sebanyak n kali ( faktor ).
       Jadi an = a x a x a x a x …. x a
                   Sebanyak n faktor
       Keterangan :
              a = bilangan pokok ( dasar )
              n = pangkat ( eksponen )         bilangan bulat
       Contoh ;
       i. 53 = 5 x 5 x 5 = 125
       ii. 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
       iii. 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000


   b. Operasi bilangan berpangkat


       Seperti halnya bilangan real yang lain, bilangan berpangkat juga dapat
       dioperasikan tetapi dengan aturan-aturan tertentu.
       1) Penjumlahan dan Pengurangan
           Dua atau lebih bilangan berpangkat dapat dijumlahkan atau dikurangkan
           hanya bila bilangan-bilangan itu memiliki bilangan pokok dan pangkat
           yang sama. Dan hasil penjumlahan atau pengurangannya adalah hasil
           penjumlahan atau pengurangan atas koefisien-koefisiennya dengan di
           ikuti bilangan berpangkatnya.        * p.an + q.an = ( p + q ). an

                                                * p.an – q.an = ( p – q ). an

        Contoh :
          i. 5 x3 + 2 x3 = ( 5 + 2 ) x3 = 7 x3
          ii. 7.45 + 2.45 = ( 7 + 2 ) 45 = 9.45
          iii. 9.32 – 5.32 = ( 9 – 5 ) 32 = 4.32


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 20
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

          2) Perkalian dan Pembagian
             Perkalian atau pembagian pada bilangan berpangkat dapat dilakukan bila
             bilangan pokok dan pangkat sama, atau bila bilangan pangkatnya sama,
             atau bila bilangan pokoknya sama. Dengan aturan sebagai berikut :

                       * p.an x q.an = p . q . a2n           *) p.an : q.an = p : q

                       * p.an x q.bn = p . q . ( a . b )n    *) p.an : q.bn =

                       * p.an x q.am= p . q . an+m           *) p.an : q.am =

            Contoh :

            i.   5 x2 . 3 x2 = ( 5 . 3 ) x2 = 15 x4

            ii. 3 x2 . 5 y2 = 3 . 5 ( x. y )2 = 15 ( xy )2

            iii. a 35 . b 34 = a.b . 35+4 = a.b. 39

            iv. 5 x2 : 3 x2 =


            v. 3 x2 : 5 y2 =

            vi. 3 a6 : 5 a2 =

3. Bilangan Berpangkat Bilangan Pecahan

   a. Pengertian

     Bilangan berpangkat bilangan rasional pecahan, mempunyai pengertian sama
     dengan pangkat bilangan bulat. Bentuk bilangan berpangkat bilangan pecahan

     adalah :          , didifinisikan sebagai akar pangkat n dari bilangan pokok a ber
     pangkat m. Jadi

                                 =         ,



     Contoh :
     i.
     ii.


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..         Page 21
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

  b. Operasi

        Operasi yang dapat dilakukan pada bilangan berpangkat bilangan pecahan
        sama seperti pada pangkat bilangan bulat.


        Contoh :
        i.
        ii.
        iii.                         =

4. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

   Dari beberapa operasi pada bilangan berpangkat, seperti di atas untuk bilangan
   pokok tidak sama dengan nol maka dapat dirangkumkan dalam bentuk sifat-sifat
   operasi pada bilangan berpangkat, sebagai berikut :

   a. a m x a n = a m + n …………… ( bilangan pokok sama )
      Bukti :
      amx an = a x a x a x … x a x a x a x a x a x … x a
                             m faktor              n faktor
                    = a xa x ax … x … x a
                           m + n faktor
                        m+n
               =a                ………………………………. Terbukti.
         Contoh :
             i. 35 x 37 = 35+7 = 312
             ii. 53 x 54 = 53 + 4 = 57


   b.

             Bukti :


                                        n faktor

                          = a-1 x a-1 x a-1 x … x a-1
                                        n faktor
                                –n
                          = a               ………………………. Terbukti.




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 22
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

     Contoh :
     i.

     ii. 2. 5-3 =



c.                                        …………. ( bilangan pokok sama )

     Contoh :
     i. 35 : 34 = 3 5 – 4 = 31
     ii. 53 : 54 = 5 3 – 4 = 5-1 = 1/5


d. ao = 1 …………. semua bilangan yang tidak nol bila dipangkatkan nol
                          hasilnya dalah satu.
     Contoh :
     i. 30 = 1
     ii. 150 = 1
e. 1n = 1 ………… satu dipangkatkan berapapun hasilanya tetap satu
     Contoh :
     i. 15 = 1
     ii. 115 = 1
f. a1 = a ……… semua bilangan dipangkatkan satu hasilnya adalah bilangan
                    itu sendiri
g. ( a m )n = a m . n
     Bukti :
     ( a m ) n = ( a x a x a x … x a )n
                          m faktor


               = ( a x a x a x … x a )x ( a x a x a x … x a )x … x ( a x a x a x … x a )
                         m faktor              m faktor                    m faktor

                                                 n faktor


               = ( a x a x a x … x … xa )
                          m x n faktor


               = a m x n ……………………... terbukti.




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..             Page 23
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

       Contoh :
       i. 82 = ( 23 )2 = ( 2 x 2 x 2 ) ( 2 x 2 x 2 )
                        = 26 = 2 3 x 2
       ii. ( 53 )4 = 53 x 4 = 512


   h. ( a . b )m = am x bm           ………………. ( pangkat sama )
       Bukti :
       ( a . b )m = ( a .b )x ( a . b ) x ( a . b ) x … x ( a . b )
                                       m faktor

                  = a xa x a x… x a x b x b x b x … x b
                          m faktor                m faktor


                  = am x bm ………………………. terbukti
       Contoh :
       i. 65 = ( 2 x 3 )5 = 25 x 35
       ii. ( 52 )3 = 52 x 3 = 56


   i. ( )m =              ……………………….. ( pangkat sama )

       Contoh :

       i.

       ii.


5. Kesamaan Bilangan Berpangkat

   a. Pengertian


       Dua atau lebih bilangan berpangkat dikatakan sama ( mempunyai nilai yang
       sama ) hanya bila bilangan pokok dan bilangan pangkat dari bilangan itu
       adalah sama. Jadi             am = bn         a = b dan m = n
       Contoh :
       i. 53 = a3      a = 5, karena pangkat sama maka bilangan pokok harus sama
       ii. 75 = 7 x     x = 5, karena bilangan pokok sama maka pangkat harus sama



    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 24
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

b. Penggunaan Kesamaan Bilangan Berpangkat


   Konsep kesamaan pada bilangan berpangkat, digunakan untuk menentukan
   besarnya komponen dari bilangan berpangkat, seperti bilangan pokok atau
   bilangan pangkat. Konsep yang dipakai adalah untuk dua atau lebih bilangan
   berpangkat sama, jika bilangan pokoknya sama maka pangkat harus sama
   begitu juga sebaliknya jika bilangan pangkat sama maka bilangan pokoknya
   harus sama.


   Contoh :
   i. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan, 34x = 243.
   ii. Jika 35a- 1 - 27a + 3 = 0 , maka a = …
   iii. Jika ( 0,1 )p – 6 = ( 0,01 )4 - 3 p maka p = ….
   Jawab :
   i. 34x = 243           34x = 35         4x = 5 ……… ( karena bilangan pokok sama

                                            x=              maka pangkat harus sama )

   ii. 35a – 1 - 27a + 3 = 0            35a-1 = 27a +3
                                        35a-1 = ( 33)a +3
                                       35a - 1 = 33a + 9
                                    5a–1= 3a+9
                                    5a – 3a = 9 + 1
                                          2 a = 10
                                           a =

   iii. ( 0,1 )p – 6 = ( 0,01 4 – 3 p
                    = ( 0,12) 4 -   3p


                    = ( 0,1 )8 – 6 p         p–6 =8–6p
                                            p + 6p = 8 + 6
                                                 7 p = 14
                                                  p=




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..         Page 25
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

   Lembar Kerja Siswa 2


   Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar !
   1. Jika p = 5 dan q = -10 , maka tentukan nilai dari :
       a. p2 q-3

       b.

       Jawab :

       a. p2 q-3 = ( … )2 ( … )-3
                   = ….. x ….
                   = ……

       b.

                    =

                    =

                    =
                                        –
   2. Bentuk sederhana dari                       adalah …

       Jawab :



                                            = … - …

   3. Jika x = 216 dan y = 64 maka nilai dari                   adalah …..
       Jawab :




                                = ( …… )… . ( …… ) …
                                = ( … .. x … ) . ( …… x … )
                                = …… . ……
                                = ……….




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 26
                           MATEMATIKA DALAM MODUL


        4. Tentukan nilai x dari kesamaan 52 .

            Jawab :

            52 .

                                          52




                                                           ….. =     -2

                                                             x   =        = ….

        5. Jika ( 256 ) 2 a =        maka nilai a adalah …….

            Jawab :
            ( 256 ) 2a =

                                           … = ….
                                            a =        = …..

F. Bilangan Akar


  1. Pengertian


     Seperti sudah disebutkan di atas bahwa bilangan akar merupakan bilangan
     irasional. Akar merupakan lawan atau proses kebalikan dari pangkat yang
     dimiliki oleh suatu bilangan, yaitu suatu hasil yamg menunjukkan pangkat dari
     bilangan tersebut dibagi oleh indeks ( pangkat ) yang terdapat dalam akar.
     Secara umum dapat dituliskan :                                   , m = pangkat dan
                                                                          n = indeks
     Dari bentuk di atas, akar sebenarnya adalah bilangan pangkat yang tersamar,
     sehingga biasa juga disebut sebagai bilangan berpangkat tidan sebenarnya.



     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..         Page 27
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

   Contoh ;

   i.

   ii.
   Catatan :
   a. Indeks dua atau akar pangkat dua, indeks dua tidak dituliskan. Jadi

         ditulis
   b. Akar pangkat dua suatu bilangan ada atau didifinisikan hanya apabila
         bilangan yang ditarik akar itu adalah bilangan positif. Jadi          ada apabila
         a         atau tidak didifinisikan pada a < 0 ( negatif ).


2. Operasi Pada Bilangan Akar


   Karena bilangan akar merupakan bilangan berpangkat yang tidak sebenarnya,
   maka operasi pada akar juga mempunyai sifat-sifat sama seperti pada bilangan
   berpangkat, yaitu :
   a.                                  ….. indeks sama
         Contoh :
         i.
         ii.
                                          =
                                          =
                                          = 5



   b.                     ……….. indeks sama

         Contoh :

         i.


         ii.

   c.                     , untuk n = 2 ingat akar pangkat dua selalu bernilai positif


   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..      Page 28
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

        Contoh :

        i.

        ii.

   d.

        Contoh :

        i.

        ii.
   e. p                                      …… indeks sama dan yang ditarik akar
                                             juga sama
        Contoh :
        i. 4
        ii. 9


3. Menyederhanakan Bentuk Akar Ganda


  Dari sifat-sifat operasi bilangan akar poin d di atas,                             ,

  dibaca “ akar dari akar suatu bilangan berpangkat adalah akar dari bilangan

        itu yang pangkatnya sama dengan pangkat bilangan itu dibagi hasil kali
        pangkat ( indeks ) dari akar-akarnya “


        Contoh :
        Sederhanakan bentuk-bentuk akar ganda berikut ini :
        i.         =…

        ii.


        iii.


                     iii.

                     iv.


   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 29
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   Jawab :

   i.

   ii.

                      =

                      =
                      =


    iii.

           Untuk menyederhanakan bentuk tak hingga seperti di atas, akan lebih
           mudah jika dimisalkan dahulu nilainya dengan x .

           x =                     kedua ruas dikuadratkan, maka didapatlah


           x2 = 3.

                              x
           x2 = 3 x
           x2 – 3x = 0
           x( x – 3 ) = 0
           x = 0 atau x – 3 = 0
                            x =3


           Jadi                          =3


    iv.

           Misalkan hasilnya adalah sama dengan x

                                         ……… kedua ruas dikuadratkan, didapat :


           6 +                              x2

           6 +            x          = x2
                          x2 - x - 6 = 0
                     (x–3)(x+2) = 0


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 30
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

                          x – 3 = 0 atau x + 2 = 0
                           x =3          x   = -2 …… … tidak memenuhi, mengapa ?

               Jadi


4. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar


   Terhadap bilangan irasional dengan penyebut berbentuk bilangan akar dapat
   diubah atau disederhanakan bentuknya menjadi penyebut yang rasional. Cara
   ini biasa disebut sebagai merasionalkan pecahan bentuk akar. Yang digunakan
   dalam merasionalkan penyebut bentuk akar adalah konsep-konsep berikut :

                 
                  (

   Perhatikan cara merasionalkan penyebut bentuk akar pada pecahan berikut :

   a.                 =

   b.

   c.


        Contoh :
        Rasionalkan penyebut-penyebut bentuk akar dari pecahan berikut ini :
        i.

        ii.

        iii.

        iv.

        Jawab :

        i.

                  =



   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 31
                          MATEMATIKA DALAM MODUL


   ii.

                    =

                    = (

   iii.

                =

                =             - 1

   iv.

                =

                =

                     =


   Lembar Kerja Siswa 3

   Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan singkat !
   1. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana soal berikut ini :
          a.                                       c.
          b.                                       d. 5
          Jawab :
          a.                                       c.
                        =                                       =
                        = …                                     = …
          b.                                       d. 5
                        =                                       = 5
                        = …                                     = 5x…x
                                                                = …
   2. Selesikan soal-soal berikut ini :
          a.


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 32
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

        b.
        Jawab :
        a.
                                          = 3
                                          = 3x…x
                                          = …
                                          = (…-…+…-…)

                                          = …
        b.
                                         =
                                         = …
                                         = (…+…-…)
                                         = …
   3. Jika p = 3 -         dan q = 3 +        ,tentukan nilai dari :
        a. p + q
        b. p2 – q2
        Jawab :
        a. p + q = ( … - … ) + ( … + … )
                   = …+… -…+…
                   = …
        b. p2 + q2 = ( … - … ) ( … + … )
                     = (…-…-…-…)(…-…+…+…)
                      = ( -…       )(…)
                      = -…
   4. Rasionalkan pecahan berikut ini :

        a.

        b.

        c.

        Jawab :




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 33
                      MATEMATIKA DALAM MODUL


        a.

                      =

                      =

        b.

                      =

                      =

        c.

                      =

                      =

   5. Tentukan nilai dari akar-akar ganda bnerikut ini :

        a.

        b.

        c.        –       –

        Jawab :

        a.                     =   ….



             Misal                      =   x …….. kedua ruas dikuadratkan

             x2       = 7 ……………
             x2       = 7…
             … - … =0
             …(…-…)=0
             ….. = 0 atau …. - …. = 0
                                   …. = ….
             Jadi nilai dari ……………. adalah …..




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 34
                                MATEMATIKA DALAM MODUL


              b.                               =   …..


                   Misal                               =   x
                   x2                = 7 + …………
                   x2                =7 +…
                   x2 - … - … = 0
                   ( … + … )( … - … ) = 0
                   … + … = 0 atau … - … = 0
                           …=…             … = …
                   Jadi nilai dari ………………. adalah …..

              c.        –        –           = …..



                   Misal         –     –           =     x ……. Kedua ruas dikuadratkan

                   x2                 = 56 - …………….
                   x2                 = 56 - …
                   x2 + … - … = 0
                   ( … + … )( … - … ) = 0
                   …+…=0              atau … - … = 0
                        … =…                 …=…
                   Jadi nilai dari ………………. adalah …..
G. Bilangan Logaritma


  1. Diskripsi Logaritma


     Pada konsep bilangan berpangkat di atas sudah dipelajari bilangan-bilangan
     berpangkat, seperti : 35 = … , 53 = … , 102 = … , 91/2 = …, dan seterusnya.
     Hasil perpangkatan itu dapat dengan mudah diartikan karena bilangan pokok
     dan bilangan pangkatnya sudah diketahui. Masing-masing penyelesaiannya
     adalah : 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 , 53 = 5 x 5 x 5 = 125 , 102 = 10 x 10 = 100
     dan 91/2 =             .




      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 35
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

Bagaimana cara menentukan bilangan pangkat,                         jika yang diketahui adalah
bilangan pokok dan hasil perpangkatannya ? , misalnya : 3… = 243, 5… = 125,
10… = 100 , 9… = 3 , dan seterusnya. Untuk menentukan besarnya bilangan
pangkat dari soal-soal di atas diperlukan suatu alat operasi lain yang disebut
sebagai logaritma.
Perhatikan bilangan berpangkat berikut 53 = 125 “ dibaca 3 adalah eksponen
suatu bilangan-bilangan berpangkat ( dalam hal ini adalah 5 ) yang nilainya 125
bila 5 dipangkatkan dengan eksponen tersebut. Selanjutnya dapat juga disebut
bahwa 3 adalah logaritma dari bilangan 125 dengan bilangan pokok 5, maka
ditulis :            53 = 125             3
                                              log 125 = 5
Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan bahwa jika logaritma suatu bilangan b
dengan bilangan pokok a adalah c maka ac = b dan dapat ditulis :
                                   a
                                       log b = c      ac = b , a dan b > 0
Keterangan :
            a
                log b = c dibaca logaritma dari bilangan b dengan basis a adalah c.
            a       = bilangan pokok ( basis )
            b       = bilangan yang dicari logaritmanya ( numeris )
            c       = hasil logaritma b dengan basil a


Contoh :
i. Tuliskan dalam bentuk logaritma
   a. 34 = 81                 b. 53 = 125              c. 72 = 49
ii. Tuliskan dalam bentuk pangkat
        3
   a.       log 81 = 4             b. 2log 16 = 4           c. 5log 625 = 4
Jawab :
i. a. 34 = 81            3
                             log 81 = 4
  b. 53 = 125            5
                             log 125 = 3
  c. 72 = 49             7
                             log 49 = 2
ii. a. 3log 81 = 4              34 = 81
  b. 2log 16 = 4                24 = 16
  c. 5log 625 = 4              54 = 625
Catatan :


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..            Page 36
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   Untuk logaritma dengan basis sepuluh, basis sepuluh tidak dituliskan.
            10
     Jadi        log a = c ditulis log a = c , a
   Log 1 = 0


2. Operasi Pada Logaritma


   Dari konsep logaritma di atas terlihat bahwa logaritma itu sesungguhnya
   merupakan proses balik dari suatu bilangan berpangkat, sehingga sering juga
   ada menyebut logaritma itu sebagai bilangan berpangkat tidak sebenarnya.
   Operasi-operasi pada logaritma sama seperti pada bilangan berpangkat, hanya
   saja disini menggunakan proses kebalikannya.
   Pada Bilangan berpangkat yang ditentukan adalah hasil perpangkatan yang
   dilakukan. Sedangkan pada logaritma yang lazim dicari adalah besarnya pokok
   atau basis yang digunakan dalam logaritma tersebut. Untuk operasi pada
   logaritma dapat ditunjukkan oleh sifat-sifat logaritma.


   a. Operasi Penjumlahan

                            p. alog b + q. alog b = ( p + q ) a log b

       Penjumlahan pada logaritma hanya dapat dilakukan bila basis atau bilangan
       pokok dan bilangan yang dilogaritmakan besarnya sama.


       Contoh :
       i. 3.2log 5 + 4.2log 5 = ( 3 + 4 ) 2log 5
                                  = 7. 2log 5
       ii. 3log 7 + 2. 3log 7 = ( 1 + 2 ) 3log 7
                                  = 3 . 3log 7


   b. Operasi Pengurangan

                           p. alog b - q. alog b = ( p – q ) alog b




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 37
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

        Pengurangan pada logaritma hanya dapat dilakukan bila basis atau bilangan
        pokok dan bilangan yang dilogaritmakan besarnya sama.


        Contoh :
        i. 2. 3log 5 – 5.3log 5 = ( 2 – 5 ) 3log 5
                                    = -3. 3log 5
        ii. 5. 2log 4 - 2log 4 = ( 5 – 1 ) 2log 4
                                    = 4. 2log 4


3. Sifat-sifat Logaritma


   Untuk memudahkan perhitungan yang menggunakan bentuk-bentuk logaritma,
   maka digunakan sifat-sifat logaritma, sebagai berikut :


        a
   a.       log 1 = 0, a     0


        Karena setiap bilangan yang tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan
        nol hasilnya adalah satu, a0 = 1, maka bentuk logaritmanya adalah alog 1= 0
        Contoh :
              2
        i.        log 1 = 0 , karena 20 = 1
        ii. 3log 1 = 0 , karena 30 = 1
        iii. ½ log 1 = 0, Karena ½0 = 1


        a
   b.       log a = 1
        Karena setiap bilangan yang tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan
        satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri, a1 = a , maka bentuk logaritmanya
        adalah alog a = 1.


        Contoh :
              2
        i.        log 2 = 1 , karena 21 = 2
        ii. 3log 3 = 1 , karena 31 = 3
        iii. ½log ½ = 1 , karena ½1 = ½


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 38
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL



     a
c.       log x.y = alog x + alog y
     Bukti :
     Dari difinisi logaritma dapat diturunkan, sebagai berikut :
     a
         log x       = c         ac = x
     a
         log y = d               ad = y                  Dari bentuk-bentuk ini diperoleh :
     a
         log xy = p              ap =xy                  x.y = a c . a d
                                                         a p = a c+d
                                                        p    =c+d
                                                   a
                                                       log xy = alog x + alog y …… terbukti


     Contoh :
           3
     i.        log 2 . 5 = 3log 2 +         3
                                                log 5
     ii. 2log 20            = 2log 5.4
                            = 2log 5 + 2log 4


     a
d.       log         = alog x - alog y

     Bukti :
     Dari difinisi logaritma dapat diturunkan, sebagai berikut :
     a
         log x        = c          ac = x
     a
         log y        = d          ad = y                Dari bentuk-bentuk ini diperoleh :
     a
         log          = p          ap =

                                                        a p = a c–d
                                                                     –
                                                   a             a
                                                       log           log x – alog y …… terbukti

     Contoh :
           3                3
     i.        log              log 1 - 3log 3

                       = 0 - 1 = -1
     ii. 2log          = 2log 10 - 2log 6




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..                    Page 39
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

     a
e.       log x n = n . alog x
     Bukti :
     a
         log x n = alog ( x . x . x . … . x )
                                          n faktor


                     = alog x + alog x + alog x + … + alog x … … … difinisi
                                                     n faktor


                     = n . alog x ………………………………………….. terbukti


     Contoh :
           3
     i.        log 52 = 3log 5 . 5
                        = 3log 5 + 3log 5
                        = 2. 3log 5
     ii. 5log 73 = 3. 5log 7


     a
f.       log     = - alog x

     Bukti :
     a
         log         = alog 1 - alog x …………. Sifat d.

                     = 0 - alog x     ………………. Sifat a.
                     = - alog x ………………………………………………terbukti


     Contoh :
           2
     i.        log      = - 2log 5

     ii. 3log           = - 3log 9

                            = - 3log 32
                            = -2 . 3 log 3
                            = -2


                        n
     a                      log x
g.       log x =        n
                            log a
     Bukti :
     a
         log x = p              a p = x …………… difinisi


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 40
                                  MATEMATIKA DALAM MODUL

                          n
                              log a p = nlog x ……………. Kedua ruas dilogaritmakan
                       p. nlog a = nlog x ………. Sifat e.
                                              n
                                                  log x
                              p           =   n
                                                  log a
                                              n
                          a                       log x
                              log x =         n
                                                        …………… terbukti
                                                  log a
     Contoh :
           3
     i.        log 5 =

     ii. 5log 8 =


                              m
h.   an
           log b m                   a
                                          log b
                              n
     Bukti :
                              log b m
     an
           log b m                   ………. Sifat g
                              log a n

                        =                  ……….. sifat e
                                  a
                        =             log b ……… terbukti


     Contoh :
           23
     i.         log 7 5 =

                              =
                                      2
                              =           log 7

     ii.       52
                    log 7 3 

                              =
                                      5
                              =           log 7


     a
i.       log b . blog c . clog d = alog d




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 41
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

       Bukti :
       a
           log b = k           ak = b
       b
           log c = m           bm= c                          Menurut sifat bilangan berpangkat, diperoleh
       c
           log d = n           cn = d                           d = cn
                                                                   = ( bm )n
                                                                   =   bm.n
                                                                   =   ( ak ) m. n
                                                                d =    a k . m . n …….. dilogaritmakan   a
                                                                                                             log
                                                  a                    a
                                                          log d =           log a k. m. n.
                                                                                 a
                                                                 = k. m. n.          log a
                                                                   = k. m . n . 1
                                                  a                    a
                                                      log d =              log b. blog c. clog d … … terbukti


      Contoh :
            2
      i.        log 3. 3log 4. 4log 5 =               2
                                                          log 5
      ii. 5log 7 . 3 log 5 =          3
                                          log 5 . 5 log 7
                                      3
                                 =        log 7
      iii. 5 log 6 .     6
                             log 25       =   5
                                                      log 25
                                              5
                                          =       log 52
                                                          5
                                          = 2.                log 5
                                          = 2

4. Penerapan Logaritma


   Salah satu pemakaian konsep logaritma adalah untuk menyelesaikan persamaan
   yang berbentuk atau mengandung logaritma. Dalam menyelesaikan masalah
   seperti ini penguasaan akan sifat-sifat logaritma sangatlah diperlukan.


   Contoh :
   i. Jika log 2 = p dan 3 = q, maka tentukan nilai dari log 0,30
   ii. Jika 3log 2 = x , maka tentukan nilai dari 9log 8 dan 8log 9



    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..                        Page 42
                                   MATEMATIKA DALAM MODUL

   iii. Untuk 2log 5 = a, maka hitung nilai          4
                                                         log   1/25
   Jawab :
   i. log 0,30 = log 3/10
                     = log 3 – log 10
                     = q–1
         9               32
   ii.       log 8   =        log 23
                               3
                     =             log 2

                     =

         8                      1
             log 9   =   8
                              log 9

                     =

                     =

   iii. 4log         =   22
                              log 53
                         3 2
                          . log 5
                         2
                              3
                              a
                              2




5. Tabel Logaritma



   a. Pengertian
         Di atas sudah ditunjukkan beberapa sifat-sifat logaritma, dimana salah satu
         fungsinya adalah untuk membantu menyelesaikan operasi logaritma. Untuk
         menentukan hasil operasi suatu logaritma dapat pula digunakan dengan cara
         lain, yaitu tabel logaritma dengan basis bilangan 10. Sedangkan untuk basis




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 43
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

   selain sepuluh digunakan sifat-sifat atau dapat juga dengan kalkulator yang
   memiliki program logaritma didalamnya.
   Daftar logaritma didalamnya berisi sebarisan angka-angka, untuk membaca
   tabel ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, antara lain adalah :

   1) Daftar logaritma biasa menggunakan bilangan pokok atau basis 10, dan
       basis 10 ini tidak ditulis dalam daftar.

   2) Di dalam daftar memuat bilangan yang dituliskan disebut radikan , dan
       bagian decimal disebut mantisa dari hasil penarikan logaritma.

   3) Untuk bagian bulat disebut karakteristik dari hasil penarikan logaritma
       ditentukan dengan cara :
       a) Untuk logaritma bilangan yang lebih dari 1 ( > 1 )
          Karakteristiknya sama dengan banyaknya angka-angka di depan
          nama dikurangi satu.
       b) Untuk logaritma bilangan antara 0 dan 1 ( 0 < x < 1 )
          Karakteristiknya sama dengan negative banyaknya nol di depan
          angka tidak nol yang pertama.



b. Menggunakan Tabel Logaritma
   Untuk mencari logaritma dari suatu bilangan dengan menggunakan tabel
   logaritma, digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
   1) Nyatakan numeris dalam 3 angka signifikan ( penting )
      Untuk tabel logaritma bilangan terletak antara 10 dan 99, maka numeris
      dinyatakan sampai dua tempat decimal.
   2) Cari dua angka penting yang penting dari numeris pada kolom pertama
      pada tabel tersebut.
   3) Tarik garis horizontal dari 2 angka penting pertama dan garis vertikal dari
      angka ketiga numeris. Pertemuan dari keduanya mewnghasilkan mantisa.
   Perhatikan tabel logaritma biasa brikut ini :
                                          10
                                            log x


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 44
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

         N     0          1     2      3        4       5       6        7     8     9
         10    .000     004    009    013     017     021      025      029   033   037
         11    .041     045    049    053     057     061      064      068   072   076
         12    .079     083    086    090     093     097      100      104   107   111
         13    .114     117    121    124     127     130      134      137   140   143
         14    .146     149    152    155     158     161      164      167   170   173


         15    .176     179    182    185     188     190      193      196   199   201
         16    .204     207    210    212     215     217      220      223   225   228
         .
         .
         99    .996     996    997    997     997     998      998      999   999 1.000

                                        Tabel 1 Tabel logaritma biasa


   Contoh :
   Dengan menggunakan tabel 1 di atas tentukan nilai-nilai dari logaritma :
   i. log 1,35                ii. Log 13,2                  iii. Log 162
   Jawab :
   i.   log 1,35 = 0,130 ………. Caranya : * log 1,35 tulis dulu = 0, …
                                                 * lihat numerik 13 dan kolom 5
                                                 * didapat 130. Jadi log 1,35 = 0,130
   ii. log 13,2 = 1,121
   iii. log 162 = 2,210



c. Tabel Antilogaritma


   Jika logaritma suatu bilangan sudah diketahui maka untuk menentukan
   besarnya bilangan yang dilaritmakan itu digunakan proses kebalikannya
   yang disebut anti logaritma. Seperti contoh-contoh di atas, misalnya suatu
   bilangan mempunyai logaritma 0,310 maka bilangan yang dimaksut oleh
   logaritma itu adalah 1,35. Ditulis log x = 0,310 maka x = 1,35.

………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..           Page 45
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

   Selain dengan cara tabel biasa, untuk menentukan suatu bilangan yang nilai
   logaritmanya sudah diketahui dapat pula digunakan tabel antilogaritma.Lihat
   tabel antilogaritma berikut ini.
           N        0       1      2       3         4       5     6        7    8      9
            .       .
            .       .
            .       .
           .53    339      340 340        341       342     343    344   344    345     346
           .54    347      348 348        349       350     351    352   352    353     354


           .55    355       356   356 357           358     359    360   361    361     362
           .56    363      364    365     366       366     367    368   369    370     371
           .57    372      372 373        374       375     376    377   378    378     379
           .58    380      381    382     383       384     385    385   386    387     388
           .59    389      390 391        392      393       394   394   395    396     397


            .       .
            .       .
            .       .


           .99   1.000 1,000 1,000 1,000           1,000 1,000 1,000     1,000 1,000 1,000

                                  Tabel 2 . Tabel Antilogaritma


   Untuk menentukan besarnya bilangan yang dilogaritmakan atau numeris
   dengan tabel antilogaritma, digunakan langkah-langkah, sebagai berikut :

   Cari dua angka signifikan mantisa dalam kolom pertama.

   Cari satu angka terakhir pada mantisa dalam baris pertama.

   Tarik garis horizontal dari dua angka signifikan dan garis vertical dari
      satu angka mantisanya.
  Catatan :
  1) Untuk logaritma bilangan dengan nilai antara satu dan nol, ( 0 < x < 1 ),


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..            Page 46
                                    MATEMATIKA DALAM MODUL

             bentuk nilai 0, … maka mantisanya adalah satuan. Jadi x = satuan.
        2) Untuk logaritma bilangan dengan nilai antara 1 dan 9 , ( 1 < x < 9 ),
             bentuk nilainya 1, …. maka mantisanya adalah puluhan.

        4) Untuk nilai 2, …. maka mantisanya adalah ratusan dan seterusnya.
        Contoh :
        Dengan menggunakan tabel antilogaritma, tentukan besarnya bilangan yang
        dilogaritmakan yang hasilnya dalah sebagai berikut :
        i.   log x = 0,533                             iii. Log x = 1,567
        ii. log x = 2,561                            iv. log x = 3,598
        Jawab :
        i. log x = 0,533 … diduga bilangan yang dilogaritmakan adalah satuan.
                     x = 3,41

        ii. log x = 2,561

                 x = 364

        iii. log x = 1,567

                     x =           36,9

        iv, log x = 3,598

                      x = 3960



Lembar Kerja Siswa 4

   Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini :

    1. Tuliskan dalam bentuk logaritma soal-soal berikut :

             3
       a. 2  2
             2
                           2

                 3
       b.     3 3             3


     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 47
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

   Jawab :
            3
   a. 2 2  2         2      .....
                                       ..........  .....

                3
   b.       3 3       3       ....
                                       ......... .......

2. Tuliskan dalam bentuk bilangan berpangkat dari soal-soal berikut :
        ½
   a.       log 2 = - 1
        5
   b.       log 1/25 = -2

   Jawab :

   a.   1/2
                log 2 = - 1             ……… = ……
   b.   5
            log 1/25 = -2                  ……… = ……
3. Tentukan nilai x , untuk x bilangan real dari soal-soal di bawah ini :
   a. 3log 27 = x
   b. 5log 25 = x2 – 2
   c. 4. 2log 4 = 3 x - 1
   Jawab :
                              …
   a.   3
            log 27 = x            log …… = x
                                       …
                              …            log … = x
                              … . …                 = x
                                           …
   b.   5                2
            log 25 = x – 2                     log …… = …… - 2
                                            … …log … = …… - 2
                                                    …       = …… - 2
                                        … + … = ……
                                               …… = ……
                                                x    = …..
   c. 4. 2log 4 = 3 x – 1                      4. …log …… = …… - 1
                                               4 . …..          = ….. - 1
                                               …… + 1           = x
                                                            x   = …..
4. Tentukan x, jika x         bilangan real positif
  a. 2log ( 2log x ) = -1


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 48
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

 b. log ( x + 1 ) – log ( x – 1 ) = log 3

 c. 3log 2 + 3log ( x + 4 ) = 2

 Jawab :

      2
 a.       log ( 2log x ) = -1
                          = 2log ……             2
                                                    log x = ……
                                                         = …
                                                         = 2log ……
                                                     x   = …..
 b. log ( x + 1 ) – log ( x – 1 ) = log 3
                           log        = log ……

                                          …..


                  ……… x …….. = …..

                       ……. + …… = …..

                                   x = ….
 c. 3log 2 + 3log ( x + 4 ) = 2
                  3
                      log -----    = 3log ……
                        --------   = …….
                 ….. x ……          = ……..
                        …….        = ….




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 49
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

PENILAIAN KOMPETENSI

Program              : Semua Program
Kelas/ Semester : X / 1
Waktu                : 120 menit


Soal Penilaian :

1.   Andi berangkat dari kota A ke kota B berkendaraan dengan kecepatan 80 Km/jam
     membutuhkan waktu 90 menit. Dengan kecepatan 60 Km/jam waktu yang
     dibutuhkan Andi adalah …. Jawaban : 120 menit.

Jawab:

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________

2    Ami memiliki cukup uang untuk membeli 48 buah buku dengan harga Rp
     2.500,00/buah. Bila ia ingin memesan buku dengan harga Rp 2.000,00/buah maka
     dengan uang yang dimilikinya tesebut buku yang diperoleh adalah …. Jawaban :
     60 buah

Jawab :

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________

3.   Adi membeli 5 buku dan 3 pensil, dia membayar tak kurang dari Rp. 14.500,00.
     Jika harga buku Rp. 2.000,00 per buahnya, maka hitung harga 5 buah pensil !

Jawab:




         ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 50
                             MATEMATIKA DALAM MODUL


4.   Bentuk sederhana dari             adalah …. Jawaban : 12            - 17.




        ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 51
                           MATEMATIKA DALAM MODUL




  MODUL
    2



      Standar Kompetensi
          Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep
          aproksimasi kesalahan



      Kompetensi Dasar
         1. Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
         2. Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran


Tujuan Pemelajaran

Usai pemelajaran materi aproksimasi kesalahan kepada siswa diharapkan
akan menguasai, antara lain :
1. Melaksanakan kegiatan yang berbeda antara membilang dan mengukur.
2. Kegiatan pembacaan dan pembulatan hasil suatu pengukuran.
3. Menentukan besarnya salah mutlak suatu hasil pengukuran.
4. Menentukan besarnya salah relatif suatu hasil pengukuran.
5. Menentukan besarnya prosestase kesalahan.
6. Memberikan besarnya batas toleransi suatu ukuran.
7. Mencari batas-batas hasil pengukuran.
8. Menghitung jumlah maksimum dan minimum hasil pengukuiran.


      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 52
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

9. Menghitung selisih maksimum dan minimum hasil pengukuran.
10.Menghitung hasil kali maksimum dan minimum hasil pengukuran.


Untuk mencapai tujuan kegiatan pemelajaran di atas maka diperlukan suatu
usaha yang menyeluruh dan mendalam tentang pengajaran materi-materi,
khususnya pada penerapan konsep ini pada dunia kerja yang ada. Memahami
materi konsep aproksimasi kesalahan akan sangat membantu bagaimana
seharusnya suatu ukuran atau pengukuran itu dilakukan.
A.Pengukuran


  Dalam kegiatan keseharian, kita sering diperhadapkan pada suatu perbua
  tan mengukur, membilang dan menghitung. Ketiganya nampak sama, tetapi
  sebenarnya ketiganya mempunyai perbedaan yang sangat mencolok. Untuk
  itu marilah sekarang kita kupas satu persatu, hal-hal yang tampak mirip
  tersebut di atas.


  1. Pengertian


     a. Mengukur
       Perhatikan dengan seksama kegiatan berikut ini. Coba kamu ukur
       berapa jengkal panjang meja dihadapanmu, sekarang gunakan buku
       untuk mengetahui panjang mejamu itu dan seterusnya. Ternyata untuk
       benda yang sama jika digunakan alat berbeda akan menghasilkan
       hasil yang berbeda pula. Dalam kegiatan itu dikatakan jengkal dan
       buku atau yang lainnya adalah alat yang digunakan untuk mengukur
       (mengetahui) panjang meja atau dengan kata lain berfungsi sebagai
       acuan / patokan / tolok ukur.
       Jadi mengukur adalah suatu kegiatan membandingkan antara suatu
       obyek ( benda yang ditera ) dan suatu patokan ( standar ) yang
       digunakan sebagai acuan pembakuan.
       Contoh :
       i. Panjang lantai adalah 15 ubin, disini ubin bertindak sebagai alat tera


      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 53
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

    ii. Lebar ruang adalah 4 meter, disini alat teranya adalah meteran.


 b. Membilang
    Kegiatan lain yang hampir sama dengan mengukur adalah membilang.
    Membilang dalam keseharian disetarakan dengan menghitung adalah
    suatu kegiatan pasti ( eksak ) untuk menetapkan besarnya atau
    banyaknya suatu obyek.Didalam membilang biasa digunakan bilangan
    cacah, sehingga membilang sering disebut dengan mencacah.
 c. Membulatkan
    Didalam melakukan suatu pengukuran ada kegiatan lain yang selalu
    menyertainya yaitu membulatkan, baik itu pada saat melakukan, atau
    pun pada saat meneranya. Jadi Membulatkan adalah suatu kegiatan
    mengukur maupun membilang baik dalam pembacaan, penulisan
    maupun mengoperasi hasil pengukuran ke sebuah angka tertentu
    yang dikehendaki atau kegiatan untuk menghapus/menghilangkan
    satu atau bebarapa angka untuk dijadikan satu ke angka yang
    dikehendaki.
    Pembulatan yang terjadi pada peristiwa pengukuran yang masih dapat
    diterima adalah berada pada batas-batas toleransi, selanjutnya disebut
    aproksimasi. Jadi aproksimasi adalah batas-batas toleransi yang
    dilakukan dan masih dapat disetujui pada suatu pembulatan.


2. Pembulatan


 a. Aturan Pembulatan
    Secara umum didalam melakukan pembulatan ada 2 aturan, sebagai
    berikut :
    1) Jika angka yang akan dibulatkan ( dihilangkan ) besarnya sama
        dengan lima atau lebih maka, dibulatkan menjadi satu dan ditam-
        bahkan ke angka di depannya.
    2) Jika angka yang akan dibulatkan kurang dari lima maka angka itu
        dibuang atau dihargai sama dengan nol.


   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 54
                      MATEMATIKA DALAM MODUL



  Contoh :
  i. 234,5638 dibulatkan menjadi 234,565                angka 8 dibulatkan menjadi
                1 dan ditambahkan ke angka 3.
  ii. 234,5638 dibulatkan menjadi 234,56              angka 3 dihilangkan.
  iii.234,5638 dibulatkan menjadi 235             angka 5 dibulatkan menjadi 1
                 dan ditambahkan ke angka 4.


b. Cara Pembulatan
  Untuk melakukan pembulatan ada 3 cara yang biasa digunakan, yaitu :
  pembulatan ke satuan ukuran terdekat, pembulatan ke banyaknya
  angka desimal, dan pembulatan ke banyaknya angka penting.
  1) Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat
      Satuan ukuran terdekat yang dimaksut adalah yang dikehendaki,
      yakni satuan ukuran tertentu. Dan semua bilangan yang akan
      dibulatkan biasanya berada di belakang koma, karena bilangan
      sebelum koma adalah angka satuan.


      Contoh :
      i. 123,456 m dibulatkan menjadi 123 m dibulatkan ke meter.
      ii. 123,456 m = 123,5 m dibulatkan ke dm atau ke 0,1 meter.
      iii. 123,456 m = 123,46 m dibulatkan ke cm atau ke 0,01 m.
  2) Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal.
      Desimal berarti basis sepuluh, bilangan yang kita gunakan dalam
      membilang adalah sepuluh. Angka desimal disini yang dimaksut
      adalah bilangan persepuluhan atau angka-angka dibelakan koma.
      Perhatikan nilai basis berikut ini :
      Bilangan a b c , d e f nilai lokasinya adalah
                                menyatakan seperseribuan = 0,001 = 10-3
                                menyatakan seperseratusan = 0,01 = 10-2
                                menyatakan sepersepuluhan = 0,1 = 10-1
                                menyatakan satuan = 100


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 55
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

                               menyatakan puluhan = 101 dan seterusnya.
     Selanjutnya untuk memudahkan pembahasan, yang dimaksut
     dengan angka decimal adalah banyaknya angka di belakang koma.
     Contoh :
     i. 234,456 kg dibulatkan menjadi 234,5 kg pembulatan ke-1 angka
                       desimal
     ii. 234,456 m dibulatkan menjadi 234,46 m pembulatan ke-2 angka
                      desimal.
 3) Pembulatan ke Banyaknya Angka Penting
     Angka penting atau angka signifikan adalah angka berarti. Asumsi
     yang dipakai bahwa semua angka pada dasarnya adalah angka
     penting. Secara umum ada dua kelompok angka penting, yaitu :
     a) Angka Bukan Nol
         Semua angka yang bukan angka nol adalah angka penting.
         Contoh :
         i. 2,456 cc mempunyai 4 angka penting
         ii. 12,516 kg mempunyai 5 angka penting
         iii. 124,321 m mempunyai 6 angka penting.
     b) Angka Nol
         Untuk angka nol berlaku 4 ketentuan khusus, sebagai berikut :
            Semua angka nol yang berada diantara angka penting
            adalah angka penting.
            Contoh :
            i. 2,301605 km mempunyai 7 angka penting
            ii. 30,0001 g mempunyai 6 angka penting
            iii. 5,102 cc mempunyai 4 angka penting.
            Semua angka nol di belakang angka angka penting hasil
            pembulatan adalah angka penting.
            Contoh :
            i. 4,300 kg mempunyai 4 angka penting, nol di belakang
                            koma menunjukkan bahwa berat diukur ke perse
                            ribuan kilogram terdekat.



………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 56
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

                ii. 102,30 m mempunyai 5 angka penting, angka nol yang ter
                                akhir menunjukkan bahawa panjang diukur hing-
                                ga perseratusan meter terdekat = 1 cm.
                Semua angka nol di belakang angka penting adalah bukan
                angka penting, kecuali yang diberi tanda khusus.
                Contoh :
                i. 32,40 m mempunyai 3 angka penting.
                ii. 451,2300 kg mempunyai 7 angka penting.
                      Semua angka nol di depan angka penting adalah bukan
                      angka penting.
                      Contoh :
                      i. 0,0315 l mempunyai 3 angka penting
                      ii. 0,203 kg mempunyai 3 angka penting.


Lembar Kerja Siswa 1


Kerjakan soal-soal berikut ini dengan jelas dan benar !
1. Sebutkan persamaan dan perbedaan antara mengukur dan membilang.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


2. Bulatkan hasil-hasil pengukuran berikut ini ke satuan terdekat yang
   dikehendaki
   a. 543,0012 kg dibulatkan ke g = …….
   b. 32,4535 m dibulatkan ke cm = ……
   c. 4,6328 cc dibulatkan ke sepersepuluh cc terdekat = …..
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 57
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


3. Bulatkan angka-angka berikut ke banyaknya angka disimal dimaksut.
   a. 35,71523 l = …….. pembulatan ke 2 angka desimal
   b. 654,3172 g = ……. pembulatan ke 3 angka desimal
   c. 401,5062 m = …… pembulatan ke 2 angka desimal.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


4. Bulatkan angka-angka hasil pengukuran berikut ini ke banyaknya angka
   penting yang dimaksut.
   a. 15,05200 m = ……. pembulatan hingga ke 4 angka penting.
   b. 0,20300 kg = ……. pembulatan hingga ke 2 angka penting.
   c. 0,002010 cc = …… pembulatan hingga ke 4 angka penting.
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………..


5. Tuliskan banyaknya angka penting dari hasil pengukuran berikut ini :
   a. 712,00301 kg
   b. 4,01200 cc
   c. 5,32400 m
   d. 0,0031200 detik
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 58
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

    ……………………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………………..




B. Kesalahan


 1. Pengertian
   Kesalahan adalah adanya perbedaan atau selisih antara ukuran obyek
   yang sebenarnya dan hasil pengukuran. Pada waktu kita melakukan
   pengukuran akan selalu terdapat perbedaan ( kesalahan ) meski secang
   gih apapun alat yang digunakan. Penyebab adanya kesalahan itu antara
   lain adalah ;
   a. Alat ukur yang digunakan
       Semakin kecil ukuran skala pada alat ukur yang dipakai semakin teliti
       alat tersebut, karena pendekatan yang digunakan semakin dekat
       dengan kebenaran.
       Contoh :
       i. 3,530 detik ( diukur hingga seperseribu detik ) lebih teliti dibanding-
          kan dengan 3,53 detik ( diukur hingga seperseratus detik ).
       ii. 4,05 meter ( diukur hingga cm ) lebih teliti dibandingkan dengan 4,5
          meter ( diukur hingga dm ).
   b. Obyek yang diukur
       Obyek atau benda yang akan diukur bentuk dan sifat yang ada
       padanya akan mempengaruhi hasil pengukuran. Benda yang datar
       akan lebih mudah dikur dibandingkan benda yang tidak teratur. Benda
       yang padat lebih mendekati benar bila diukur dibandingkan benda
       yang kenyal atau cair.
   c. Subyek atau pelaku


     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 59
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

     Tingkat kecerdasan dan ketelitian subyek atau orang yang melkukan
     pengukuran akan mempengaruhi hasil pengukuran.
 d. Keadaan
     Situasi dan kondisi saat pengukuran mempunyai pengaruh yang
     cukup besar dalam hasil pengukuran. Situasi yang tidak menentu
     seperti kondisi alam, kondisi pengukur seperti emosi dan lain-lain turut
     berpengaruh dalam hasil pengukuran.


2. Macam Kesalahan
 Didalam setiap pengukuran, baik itu saat membaca alat ukur maupun
 saat menuliskan hasilnya selalu terdapat suatu kesalahan. Kesalahan-
 kesalahan itu ada yang pasti ( mutlak ) karena dibuat, dan adapula yang
 tidak pasti ( relatif ) atau nisbi atau semu karena tersamar.


 a. Kesalahan Mutlak, SM
     1) Pengertian
         Kesalahan mutlak adalah suatu kesalahan dalam pengukuran
         yang pasti terjadi baik itu saat pembacaan, penulisan maupun saat
         mengoperasikan hasil pengukurannya. Kesalahan mutlak biasa di
         beri notasi “ SM “.
     2) Besarnya Salah Mutlak
         Setiap kali kita melakukan pengukuran pasti ada kesalahan mutlak
         nya yang besarnya adalah seperdua dari satuan ukuran terkecil
         yang digunakan sebagai acuan tera. Karena pada saat orang
         mengukur atau membaca skala selalu menggunakan bila hasilnya
         kurang dari seperdua ukuran maka dibuang. Dan sebaliknya bila
         hasilnya lebih dari setengah ukuran teranya maka dibulatkan satu.
         Jadi besarnya kesalahan mutlak adalah :

                                            SM =       SUT

         Keterangan :
                     SM = Salah Mutlak


   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 60
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                   SUT = Satuan ukuran terkecil yang digunakan menera.
      Catatan :
      Satuan ukuran terkecil dapat dilihat ( ditujukkan oleh ) pada nilai
      letak dari angka terakhir hasil pengukuran.
      Contoh :
      Tentukan kesalahan mutlak dari hasil-hasil pengukuran berikut ini ;
      i. 5,317 m
      ii. 162,65 kg
      Jawab :
      i. 5,317 m , SUT nya adalah seperseribu meter atau 0,001 m
                          ( nilai letak dari posisi angka terakhir )
                          SM = ½ x 0,001 m
                               = 0,0005 m
                          Jadi salah mutlak dari 5,317 m adalah 0,0005 m.
      ii.   162,65 kg , SUT nya seperseratus kg atau 0,01 kg
                          SM = ½ x 0,01 kg
                               = 0,005 kg
                          Jadi salah mutlak dari 162,65 kg adalah 0,005 kg.
  3) Batas-batas Kesalahan Mutlak
      Selanjutnya antara hasil pengukuran dan kesalahan mutlaknya
      biasa dituliskan secara bersamaan dengan bentuk, sebagai berikut

                                    Hasil = HP       SM

      Bentuk di atas biasa disebut sebagai batas-batas pengukuran,
      dengan ketentuan, sebagai berikut :
      Batas atas pengukuran , BA = HP + SM dan
      Batas bawah pengukuran, BB = HP – SM
      Contoh :
      Tentukan batas-batas pengukuran dari hasil pengukuran berikut ini
      i. 17,03 g
      ii. 5,312 m
      Jawab :



………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 61
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

       i. 17,03 g      SUT = 0,01 g
                       SM = ½ x 0,01 g
                             = 0,005 g
                        BA = 17.03 g + 0,005 g
                             = 17,035 g
                        BB = 17,03 g – 0,005 g
                             = 17,025 g
          Jadi batas dari 17,03 g adalah 17,035 g dan 17,025 g.
       ii. 5,312 m       SUT = 0,001 m
                        SM = ½ x 0,001 m
                              = 0,0005 m
                        BA = 5,312 m + 0,0005 m
                             = 5,3125 m
                        BB = 5,312 m – 0,0005 m
                             = 5,3115 m
             Jadi batas-batas dari 5,312 m adalah 5,3125 m dan 5,3115 m


b. Kesalahan Relatif, SR
   1) Pengertian
       Kesalahan relatif atau kesalahan nisbi adalah suatu kesalahan
       yang tidak pasti, sesuatu kelihatan seperti wajar tidak bernoda teta
       pi bila dicermati dengan seksama ternyata ada suatu kesalahan
       didalamnya. Kesalahan ini menjadi tersamar dan kecil bahkan bila
       dibandingkan dengan hasil pengukurannya yang cukup besar dan
       dengan satuan ukurannya yang kecil maka kesalahan ini menjadi
       hamper nihil ( nisbi ).
   2) Nilai Salah Relatif
       Kesalahan relatif adalah suatu nilai perbandingan antara besar
       kesalahan relatif dan hasil pengukurannya.
       Jadi besarnya kesalahan relatif suatu hasil pengukuran adalah :

                          SR =



 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 62
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

       Contoh :
       Hitung besarnya kesalahan relatif dari suatu pengukuran berikut ini
       i. 12,50 m
       ii. 45 kg
       Jawab :
       i. 12,50 m         SUT = 0,01 m
                          SM = ½ x 0,01 m
                               = 0,005 m
                           SR =

                                =

                                = 0,0004
          Jadi salah relatif dari 12,50 m adalah 0,0004
       ii. 45 kg        SUT = 1 kg
                        SM = ½ x 1 kg
                              = 0,5 kg
                        SR =

                              =

                              = 0,011
          Jadi salah relatif dari 45 kg adalah 0.011 .


c. Prosentase Kesalahan , PK
   Besarnya kesalahan dari hasil suatu pengukuran biasanya disajikan
   dalam, bentuk prosentase atau desimal perseratusan.Nilai prosentase
   kesalahan sama dengan besarnya salah relative kali seratus persen.
   Jadi prosentase kesalahan adalah :
                                                 atau
                    PK = SR x 100 %                            PK =          x 100 %

   Contoh :
   Tentukan prosentase kesalahan dari hasil pengukuran berikut ini :
   i. 258,75 kg
   ii. 0,25 cc


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..        Page 63
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

   Jawab :
   i. 258,75 kg         SUT = 0,01 kg
                        SM = ½ x 0,01 kg
                             = 0,005 kg
                         SR =

                                =

                             = 1,9324 . 10-5
                        PK = SR x 100 %
                             = 1,9324 . 10-5 x 100 %
                             = 1,9324 . 10-3 %
                            = 0,019 %
   ii. 0,25 cc       SUT = 0,01 cc
                      SM = ½ x 0,01 cc
                            = 0,005 cc
                      SR =

                            =

                            = 0,02
                      PK = SR x 100 %
                           = 0,02 x 100 %
                           = 2%
      Jadi prosentase kesalahan dari 0,25 cc adalah 2 %.


d. Toleransi
   Satu hal hal lagi yang juga sangat diperlukan dalam setiap proses
   pengukuran, yaitu suatu batasan yang masih dapat diakui kebenaran-
   nya serta masih dianggap sahih. Nilai batasan itu disebut toleransi.
   Jadi Toleransi adalah batas-batas mana suatu pengukuran itu masih
   dapat diterima, yaitu selisih antara batas atas pengukuran dan batas
   bawah pengukuran. Selanjutnya dapat dituliskan :

                            Toleransi = BA - BB



 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 64
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

  Toleransi =       BA       -      BB
               = (HP + SM) – (HP - SM)
               = 2 SM
               = SUT
  Jadi Toleransi besarnya sama dengan dua kali kesalahan mutlak dan
  sama dengan satuan ukuran terkecil yang digunakan dalam
  pengukuran.
  Contoh :
  Hitunglah besarnya toleransi dari hasil-hasil pengukuran berikut ini :
  i. 15,025 m
  ii ( 17,5     0,25 ) cc
  Jawab :
  i. 15,025 m       SUT = 0,001 m
                     SM = ½ x 0,001 m
                          = 0,0005 m
                     BA = HP + SM
                          = 15,025 m + 0,0005 m
                          = 15,0255 m
                     BB = HP – SM
                          = 15,025 m – 0,0005 m
                          = 15,0245 m
               Toleransi = BA – BB
                          = 15,0255 m – 15,0245 m
                          = 0,001 m = SUT
      Jadi toleransi dari 15,025 m = 0,001 m = Satuan ukuran terkecil.
  ii. ( 17,5     0,25 ) cc       Toleransi = BA – BB
                                          = (17,5 + 0,25 ) – ( 17,5 – 0,25 ) cc
                                          = 0,50 cc
      Jadi toleransi dari ( 17,5         0,25 ) cc adalah 0,50 cc.
      Catatan :
              * 0,25 cc adalah besarnya kesalahan mutlak .
              * Toleransi ternyata dapat juga dicari dengan cara :


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 65
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

              Toleransi = 2 x SM
                          = 2 x 0,25 cc
                          = 0,50 cc.
  Dapat disimpulkan bahwa besarnya toleransi dari suatu pengukuran
  atau batas-batas hasil pengukuran yang masih diperkenankan dalam
  suatu pengukuran besarnya              adalah sama dengan satuan ukuran
  terkecil yang digunakan atau dibawahnya.
  Lembar Kerja Siswa 2


  Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
  1. Tentukan satuan pengukuran terkecil dari hasil-hasil pengukuran
      di bawah ini :
      a. 125 m
      b. 12,05 cc
      c. 12,0 kg
      d. 12,005 dt
      Jawab :
      a. 125 m satuan ukuran terkecilnya adalah ………………………
      b. 12,05 cc satuan ukuran terkecilnya adalah ……………………
      c. 12,0 kg satuan ukuran terkecilnya adalah …………………….
      d. 12,005 dt satuan ukuran terkecilnya adalah ………………….
  2. Hitunglah salah mutlak, salah relative, dan prosentase kesalahan
      dari hasil-hasil pengukuran berikut ini :
      a. 4,5 kg
      b. 30 m
      c. 2,50 cc
      Jawab :
      a. Hasil pengukuran 4,5 kg
          Satuan ukuran terkecil = ………………
          Salah mutlak                  = ……………...
          Salah relatif                = ………………
          Prosentase kesalahan = ………………


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 66
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

      b. Hasil pengukuran 30 m
          Satuan ukuran terkecil = ……………..
          Salah mutlak                 = ……………..
          Salah relatif                = ……………..
          Prosentase kesalahan = …………….
      c. Hasil pengukuran 2,50 cc
          Satuan ukuran terkecil = ……………..
          Salah mutlak                   = ………………
          Salah relatif                  = …………..….
          Prosentase kesalahan = ………….…..
  3. Jangkauan pengukuran antara 8,8 m dan 9,4 m mempunyai
      toleransi 0,6 m dapat ditulis ( 9,1             0,3 ) m. Dengan cara yang
      sama, tentukanlah toleransinya dan nyatakan dengan bentuk yang
      sama pula untuk ukuran-ukuran berikut ini :
      a. 15,3 cc sampai 16,3 cc
      b. 25,2 kg sampai 26,06 kg
      c. 10,20 m sampai 11,82 m
      Jawab :
      a. Toleransi            = …….. - …….. = ……
          Jangkauan          = ( ……          …… )
                              = ( .…..      …… )
      b. Toleransi            = …….. - ……... = …..
          Jangkauan          = ( ……          …... )
                              = ( ……         …… )
      c. Toleransi            = ……… - ……. = ……
          Jangkauan          = ( …….         …… )
                             = ( …….          …… )
  4. Diketahui hasil suatu pengukuran adalah 15,015 ton. Hitunglah :
      a. Salah mutlak
      b. Salah relatif
      c. Prosentase kesalahan
      d. Toleransinya.


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 67
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

           Jawab :
           Hasil pengukuran = 15,015 ton
           SUT                   = …….
           a. Salah mutlak = ½ x ……. = .……
           b. Salah relatif       =              = …….

           c. Prosentase kesalahan = ……. x …. % = ….. %
           d. Toleransi           = 2 x ……. = …….
C. Operasi Hasil Pengukuran


  1. Operasi Penjumlahan


     a. Pengertian
         Dua atau lebih hasil pengukuran jika dijumlahkan, maka akan
         diperoleh batas-batas penjumlahan yang mungkin dihasilkan, yaitu
         jumlah terbesar (maksimum) dan jumlah terkecil (minimum). Antara
         jumlah terbesar dan jumlah terkecil itulah hasil penjumlahan suatu
         pengukuran yang masih dianggap sahih.


     b. Hasil Penjumlahan
         Di atas sudah disebutkan bahwa setiap hasil pengukuran pasti ada
         salah mutlaknya, sehingga diperoleh hasil pengukuran maksimum
         dan hasil pengukuran minimum. Karena hasil pengukuran ada dua
         macam, maka bila dilakukan penjumlahan juga ada dua hasil,yaitu :
         1) Hasil penjumlahan maksimum
              Jumlah terbesar adalah hasil pengukuran terbesar ditambah
              hasil pengukuran terbesar, dan salah mutlaknya sama dengan
              salah mutlak hasil pengkuran semula.
              Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :

                              Jumlahmaks = HP1 maks + HP2 maks

         2) Hasil penjumlahan minimum



     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 68
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

         Jumlah terkecil adalah hasil pengukuran terkecil ditambah hasil
         pengukuran terkecil.
         Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :

                           Jumlahmin = HP1 min + HP 2 min

         Selanjutnya batas-batas penjumlahan dari dua hasil pengukuran
         dapat digambarkan secara diagram panah, sebagai berikut :



                      HP 1 maks
          HP1
                                                      Jumlah maks = HP1 maks + HP2 maks
                      HP 1 min


                      HP 2 maks
         HP2                                            Jumlah min = HP1 min + HP2 min
                      HP 2 min


         Contoh :
         Tentukan jumlah maksimum dan minimum dari hasil-hasil
         pengukuran berikut ini :
         i. 15,3 m dan 17,7 m
         ii. ( 20,5     1,2 ) cc dan ( 22,2       0,6 ) cc.
         Jawab :
         i. HP1 = 15,3 m                               HP2 = 17,7 m
            SUT1 = 0,1 m                              SUT2 = 0,1 m
            SM1 = 0,05 m                               SM2 = 0,05 m
            HP1 maks = 15,3 m + 0,05 m                 HP2 maks = 17,7 m + 0,05 m
                       = 15,35 m                                  = 17,75 m
            HP1 min = 15,3 m – 0,05 m                  HP2 min = 17,7 m – 0,05 m
                       = 15,25 m                                  = 17,65 m
            Jumlah maks = HP1 maks + HP2 maks
                          = 15,35 m + 17,75 m
                          = 33,10 m


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..        Page 69
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

              Jumlah min = HP1 min + HP2 min
                            = 15,25 m + 17,65 m
                            = 32,90 m
              Jadi jumlah maksimum dari 15,3 m dan 17,7 m = 33,10 m ,
              minimumnya = 32,90 m. Jadi batas-batas penjumlahannya
              adalah 33,10 meter dan 32,90 meter.
           ii. ( 20,5    1,2 ) cc + ( 22,2      0,6 ) cc =
              Jumlah maks = ( 20,5 + 1,2 ) + ( 22,2 + 0,6 )
                             = 21,7 + 22,8
                              = 44,5 cc
              Jumlah min       = ( 20,5 – 1,2 ) + ( 22,2 – 0,6 )
                              = 19,3 + 21,6
                              = 40,9 cc
              Jadi jumlah maksimum dari ( 20,5               1,2 ) + ( 22,2   0,6 ) cc
              adalah 44,5 cc dan minimumnya adalah 40,9 cc. Jadi batas-
              batas penjumlahannya adalah 44,5 cc dan 40,9 cc.


2. Operasi Pengurangan


  a. Pengertian
      Jika dua atau lebih hasil pengukuran akan dikurangkan, maka
      batas-batas pengurangan yang ada adalah selisih terbesar dan
      selisih terkecil. Sebagai asumsinya selisih terbesar tentu jika ukuran
      paling besar dikurangi dengan ukuran paling kecil. Dan sebaliknya
      selisih terkecil akan diperoleh jika ukuran paling besar terkecil
      dikurangi ukuran paling kecil terbesar, artinya bersilang.


  b. Hasil Pengurangan
      Karena di atas sudah disebutkan bahwa operasi pengurangan berla
      ku silang, maka akan lebih mudah dipahami jika dipakai batas-batas
      pengukurannya. Hasil pengurangan terbesar atau selisih terbesar
      adalah selisih antara batas atas terbesar dan batas bawah terendah


  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 70
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

    Dan hasil pengurangan terkecil adalah selisih antara batas atas ter-
    kecil dan batas bawah terbesar. Salah mutlak hasil pengurangan
    sama dengan salah mutlak hasil-hasil pengukuran semula.
    Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :
     1) Selisih Terbesar
                                  Selisih maks = BAmaks - BBmin

     2) Selisih Terkecil
                                  Selisih min     = BA min - BB maks

       Selanjutnya batas-batas operasi pengurangan dapat ditunjukkan
       dengan diagram panah, sebagai berikut :

                    BA maksimum

                                                                 Selisih maksimum
                    BA minimum

                                                                 Selisih minimum
                    BB maksimum

                    BB minimum



          Contoh :
          Tentukan batas-batas selisih dari hasil pengukuran berikut ini :
          i. 15,3 m dan 17,7 m
          ii. ( 20,5    1,2 ) cc dan ( 22,2       0,4 ) cc
          Jawab :
          i. 15,3 m        HP1 maks = 15,35 m            BB maks
                           HP1 min = 15,25 m            BB min
             17,7 m        HP2 maks = 17,75 m          BA maks
                           HP2 min = 17,65 m           BA min
             Selisih maks = BA maks – BB min
                            = 17,75 m – 15,25 m
                           = 2,50 m
             Selisih min    = BAmin - BBmaks


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..           Page 71
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                              = 17,65 m – 15,35 m
                              = 2,30 m
               Jadi batas-batas selisih antara 15,3 m dan 17,7m adalah
                2,50 m dan 2,30 m.
            ii. HP1 = ( 20,5      1,2 ) cc     HP1 maks = 21,7 cc         BB maks
                                              HP1 min    = 20,3 cc       BB min
               HP2 = ( 22,2       0,4 ) cc      HP2 maks = 22,8 cc        BA maks
                                               HP2 min = 21,8 cc         BA min
               Selisih maks = BA maks - BB min
                               = 22,8 cc – 20,3 cc
                               = 2,5 cc
               Selisih min     = BA min – BB maks
                               = 21,8 cc – 21,7 cc
                               = 0,1 cc
               Jadi batas-batas selisih dari (20,5            1,2) cc dan (22,2      0,4)
                cc adalah 2,5 cc dan 0,1 cc.


3. Operasi Perkalian


   a. Pengertian
      Dua atau lebih hasil pengukuran dapat pula dkalikan atau diganda-
      kan. Karena sifat perkalian bilangan real sama dengan penjumlahan
      maka seperti halnya pada penjumlahan perkalian hasil pengukuran
      akan berlaku lurus. Artinya hasil perkalian terbesar akan diperoleh
      jika hasil pengukuran terbesar dikali dengan hasil pengukuran
      terbesar. Sebaliknya hasil perkalian terkecil akan diperoleh jika hasil
      pengukuran terkecil dikali hasil pengukuran terkecil.


   b. Hasil Perkalian
      Di atas sudah digambarkan bahwa operasi perkalian pada hasil-
      hasil pengukuran berlaku lurus, mudahnya besar kali besar




  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 72
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

    menghasilkan paling besar dan kecil kali kecil menghasilkan paling
    kecil. Secara matematis dapat dituliskan, sebagai berikut :
    1) Hasil Kali Terbesar
                            Hasil Kali maks = HP1 maks x HP2 maks


    2) Hasil Kali Terkecil

                            Hasil Kali min = HP1 min x HP2 min


    Selanjutnya batas-batas hasil perkalian dua buah hasil pengukuran
    dapat digambar dengan diagram panah, sebagai berikut :
                         HP1 maks
                                                                Hasil Kali maksimum
                          HP1 min


                         HP2 maks                               Hasil Kali minimum
                                                                minimum
                          HP2 min


    Contoh :
    Tentukan batas-batas luas persegi panjang yang panjang sisinya
    i. 12 cm dan 20 cm
    ii. ( 10,4     0,6 ) cm dan ( 20,2        0,8 ) cm
    Jawab :
    i. p = 12 cm        pmaks = 12 cm + 0,5 cm
                               = 12,5 cm
                        pmin = 12 cm – 0,5 cm
                               =11,5 cm
        l = 20 cm       l maks = 20,5 cm
                        l min = 19,5 cm
        Luasmaks = pmaks x l maks
                    = 12,5 cm x 20,5 cm
                    = 256,25 cm2
        Luasmin     = pmin x l min


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..      Page 73
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                     = 11,5 cm x 19,5 cm
                     = 224,25 cm2
        Jadi batas-batas luas persegi panjang dengan sisi 12 cm dan 20
        cm adalah 256,25 cm2 dan 224,25 cm2 .
    ii. p = ( 10,4      0,6 ) cm         pmaks = 10,4 cm + 0,6 cm
                                               = 11,0 cm
                                       pmin = 10,4cm – 0,6 cm
                                               = 9,8 cm
        l = ( 20,2      0,8 ) cm        l maks = 20,2 cm + 0,8 cm
                                               = 21,0 cm
                                       l min   = 20,2 cm + 0,8 cm
                                               = 19,4 cm
        Luasmaks = pmaks x l maks
                     = 11,0 cm x 21,0 cm
                     = 231,00 cm2
        Luasmin       = pmin x l min
                     = 9,8 cm x 19,4 cm
                     = 190,12 cm2.
        Jadi batas-batas luas daerah persegi panjang yang mempunyai
        sisi ( 10,4      0,6 ) cm dan ( 20,2         0,8 ) cm adalah 231,00 cm2
        dan 190,12 cm2.


 Lembar Kerja Siswa 3


 Kerjakan dengan singkat dan benar soal-soal berikut ini :
  1. Hitunglah jumlah maksimum dan minimum serta hitung pula salah
      mutlaknya dari hasil-hasil pengukuran berikut ini :
      a. 5 g dan 9 g
      b. 5,5 m dan 17,3 m
      c. 25,0 cc dan 20,80 cc
      Jawab :
      a. Ukuran pertama            =5g                     Ukuran kedua = 9 g


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 74
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

          HP1 maks                 = 5,5 g                 HP2 maks         = …..
          HP1 min                  = 4,5 g                  HP2 min         = …..
          Jumlah maksimum = ………. + ……… = …..
          Jumlah minimum = ………. + ……... = …..
          Salah mutlak             = ……… + ……… = ……
      b. Ukuran pertama             = …………                  Ukuran kedua       = …..
          HP1 maks                  = …………                 HP2 maks           = …..
          HP1 min                   = …………                 HP2 min            = …..
          Jumlah maksimum = ………...
          Jumlah minimum            = …………
          Salah mutlak              = …………
      c. Ukuran pertama             = …………                  Ukuran kedua       = …..
          HP1 maks                  = …………                 HP2 maks           = …..
          HP2 min                  = …………                 HP2 min             = …..
          Jumlah maksimum = ………… + ………. = ………
          Jumlah minimum            = ………… + ………. = ……….
          Salah mutlak              =…         = ..………

  2. Seutas tali sepanjang 128 m dipotong menjadi 4 bagian dengan
      panjang masing-masing adalah 38 cm, 38 cm, 26 cm dan 26 cm.
      Keempat potongan tali selanjutnya dibentuk menjadi segi empat
      persegipanjang, hitunglah :
      a. Luas maksimum
      b. Luas minimum
      c. Keliling maksimum
      d. Keliling minimum
      Jawab :
      Tali potongan panjang = 38 m
      Salah mutlak             =          = ………….

      Panjang maksimum = ……. + …….. = …….
      Panjang minimum = ……. - …..…. = ……
      Tali potongan lebar = 26 m
      Salah mutlak             =          = ………….


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..      Page 75
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

      Lebar maksimum           = ……... + ……. = ……
      Lebar minimum            = ……… - ……. = ……
      a. Luas maksimum = …….. x ……… = …….
      b. Luas minimum = …….. x ……… = …….
      c. Keliling maksimum = …. ( ….. x ….. ) = ….
      d. Keliling minimum = …. ( ….. x ….. ) = …..
  3. Balok sepanjang 35 cm dipotong sepanjang 1,6 cm. Tentukan
      panjang sisa balok yang mungkin.
      Jawab :
      Panjang balok = 35 cm
      Salah mutlak = ……….
      Panjang maksimum = ………. + …….. = …….
      Panjang minimum            = ………. - …….. = …….
      Dipotong          = 1,6 cm
      Potongan maksimum = ……… + ……… = ……
      Potongan minimum           = ………. - ……… = ……
      Sisa maksimum              = ……. - ……… = ………
      Sisa minimum               = ……. - ……… = ………
  4. Tiga batang kawat masing-masing 5,25 cm; 7,6 cm; dan 9 cm
      disambung dengan las menjadi satu. Hitung batas-batas panjang
      kawat yang mungkin !
      Jawab :
      p1 = 5,25 cm                 p2 = 7,6 cm                   p3 = 9 cm
      pi maks = …. + … = …          p2 maks = ….+….= ….. p 3maks = ... + ... = …
      P1 min = …. - …. = …          p2 min = … - … = …          p3 min = … - … = …
      Jumlahmaks = ….. + ….. + ….. =…..
      Jumlah min = ….. + ….. + ….. = …..
  5. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 17,0 cm. Hitung
      batas-batas keliling yang mungkin !
      Jawab :
      Panjang sisi = 17,0 cm
      Pmaks = …. + ….. = …..


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 76
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

      Pmin = …. - ….. = …..
      Keliling maks = ….. + ….. + …..
                     = …….
      Keliling min = …… + ….. + ….
                     = …….




                              Rangkuman

 Membilang atau menghitung  Operasi penjumlahan
 adalah sesuatu kegiatan yang            *Jumlah maks = HP1 maks + HP2 maks
 hasilnya eksak atau nyata, misal        *Jumlah min = HP1 min + HP2 min
 menghitung banyaknya komputer di  Operasi pengurangan
 ruang laboratorium.                     *Selisih maks = BA maks - BB mijn
 Mengukur adalah suatu kegiatan         *Selisih min = BA min - BB maks
 membandingkan antara obyek atau  Operasi perkalian
 benda yang diukur dan suatu acuan       *Hasil kali maksimum = luas maks
 atau alat yang digunakan untuk            Luas maks = HP1 maks x HP2 maks
 menera.                                 *Hasil kali miminum = luas min
 Pembulatan atau pendekatan               Luas min = HP1 min x HP2 min
 yang disebut aproksimasi adalah
 suatu kegiatan dalam pembacaan,             HP 1 maks
                                                                    Jml maks
 pencataan atau pengoperasian hasil
 pengukuran ke suatu angka yang              HP 1 min

 dikehendaki. Pendekatan berarti                                    Jml min
                                             HP 2 maks
 kesalahan yang disengaja. Ada 3
 cara         pembulatan,       yaitu        HP 2 min
 pembulatan:
 * Ke satuan ukuran terdekat
                                             BA maks
 * Ke banyaknya angka desimal, dan
 * Ke banyaknya angka penting atau                                  Sls maks
                                             BA min
   signifikan.
 Salah mutlak adalah suatu                                         Sls min
 kesalahan yang pasti terjadi yang           BB maks

 besarnya seper- dua dari satuan
 ukuran terdekat yang digunakan.             BB min

 Salah relatif atau nisbi adalah su
 atu kesalahan yang tidak pasti yang         HP 1 maks
 merupakan perbandingan antara sa
 lah mutlak dan hasil pengukurannya                                 Luas maks
                                             HP 1 min
 Prosentase kesalahan matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..
………………. …. ERMAN ……..……….…..   adalah                                         Page 77
 salah relatif kali 100 %.                   HP 2 maks              Luas min
 SM = ½ HP , SR =         , PK = SR
                     MATEMATIKA DALAM MODUL




                              Peta Konsep

                                 APROKSIMASI




       Pembulatan                    Kesalahan              Operasi Hasil
                                    Pengukuran              Pengukuran




   Mengukur             Salah Mutlak                     Penjumlahan

                                                            Jmax = Hmaks + Hmaks

                                                            Jmin = Hmin + Hmin

                        Salah Relatif                    Pengurangan
   Membilang

                                                           Smax = BAmax - BBmin

                                                            Smin = BAmin - BBmax

                        Prosentase                       Perkalian
        Cara            Kesalahan
    Pembulatan
   *Ke SUT                                               Lmax = HP 1 max x HP 2max
   *Ke Desimal
   *Ke Angka
    Penting             Toleransi                        Lmin = HP1 min x HP2 min
………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..            Page 78
                         MATEMATIKA DALAM MODUL




Penilaian Kompetensi

Kompetensi : Aproksimasi Kesalahan
Program         : Teknologi Komputer dan Jaringan
Kelas/Smt       : X/1
Waktu          : 90 menit
Kerjakan soal-soal berikut dengan singkat dan benar !
1. Tentukan batas pengukuran yang dapat diterima ( toleransi ) dari hasil
  pengukuran 15,7 m dengan toleransi 0,08 m !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


2. Sebuah botol dengan volume 2 liter soda akan dipindahkan ke botol-botol
  kecil yang bervolume 15 ml. Hitunglah sisa air soda dalam botol yang
  mungkin !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 79
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

3. Suatu pengukuran menghasilkan 4,51738 kg. Tuliskan dalam :
  a. 3 angka penting
  b. Gram terdekat
  c. Dua angka decimal
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


4. Sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang 15,8 cm dan lebar 5 cm.
  Hitunglah batas-batas luasnya !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


5. Jangkauan hasil pengukuran yang dapat diterima adalah (17,58                  0,68)
  g. Tentukanlah :
  a. Batas-batas pengukurannya.
  b. Toleransinya.
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


6. Hitung besarnya salah relative dan prosentase kesalahannya dari hasil
  pengukuran berikut ini :
  Jawab :




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 80
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


7. Suatu pengukuran mempunyai salah mutlak 0,08 m. Bila prosentase
  kesalahannya 7,5 %, maka tentukan hasil pengukurannya !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


8. Hasil pengukuran sebuah balok adalah ( 5,0                 0,15 ) m. Jika balok itu di
  potong sepanjang ( 3,25           0,68 ) m, maka tentukan batas-batas sisanya !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


9. Hitung keliling suatu segitiga dengan ukuran panjang : 14,5 cm ; 13 cm ;
  dan 1,82 cm !
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………


10.Sebuah kawat baja sepanjang 5,60 m dipotong masing-masing 2,05 m ;
  1,73 m ; dan 1,82 m. Potongan kawat dirangkaikan membentuk sebuah
  segitiga. Hitunglah :


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 81
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

  a. Batas-batas luasnya.
  b. Batas-batas kelilingnya.
  Jawab :
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………………




                     Alokasi Waktu : 40 x 45 menit

 Standar Kompetensi
               Memecahkan masalah berkaitan dengan system persamaan
               dan pertidaksamaan linier dan kuadrat



 Kompetensi Dasar

           *Menentukan himpunan penyelesaian persamaan
            dan pertidaksamaan linear
           *Menentukan himpunan penyelesaian persamaan
            dan pertidaksamaan kuadrat
           *Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat


                                     ISI INTI MATERI

                             A. Persamaan Linear
                             B. Persamaan Kuadrat
                             C. Sistem Persamaan
                             D. Pertidaksamaan
                             E. Penerapan Persamaan


TUJUAN PEMELAJARAN



    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 82
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

Spesifikasi kinerja yang diharapkan dikuasai usai pemelajaran kompetensi ini , adalah
agar siswa dapat:

   1. Mendefinisikan persamaan dan pertidaksamaan
   2. Menyelesaikan persamaan linear
   3. Mencari penyelesaian sistem persamaan linear
   4. Menyelesaikan persamaan kuadrat
   5. Menyusun persamaan kuadrat baru
   6. Menyelesaikan pertidaksamaan linear
   7. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
   8. Menerapkan konsep persamaan dalam masalah verbal.



Berdasarkan spesifikasi kinerja di atas,              aplikasi terhadap persamaan dan
pertidaksamaan dalam kehidupan sehari – hari menjadi menarik dan dimungkinkan
,dengan pendekatan ingkuari dan deduktif diharapkan dapat memacu siswa menjadi
lebih kreatif. Untuk itu metode demonstrasi, pemberian tugas, diskusi dan problem
solving perlu ditekankan agar menjadi lebih mudah dalam memahami ini, konsep-
konsep persamaan dan tidak persamaan.


                 Kemampuan Prasyarat

                      Prasyarat untuk mempelajarai kompetensi ini adalah :
                      Operasi aljabar, aritmatika dan bilangan real.


  Uji Kompetensi Awal

        Sebelum mempelajari bab-bab dalam kompetensi ini,

        kerjakan soal-soal berikut :

        1. Sederhanakan bentuk-bentuk                3. Saya adalah bilangan asli
            aljabar di bawah ini :                    , saya termasuk bilangan

            a. 3 x + 2 x2 – 4x2 + x                     genap. Besarku antara bi
            b. 2 – (3 n – 5) + 4 n                      langan lima dan sepuluh.
            c. 5( p + 3 ) – 4 ( 2 – p )                  Siapakah saya ?
            d.   4 a – 2( a + 7 ) + 5                 4. Aku berada diantara kata



       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 83
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

            e.     15 y – 3 xy + 5 x                 miskin. Aku bearada dite
     2. Tentukan nilai x di bawah ini               ngah-tengah air, dan juga
            a. 5 x = 15                              tinggal di tepi pantai. Sia
            b. 2 x – 4 = 3                           pakah aku dan ada berapa
            c. -5 x + 2 x – 3 = 4                    diriku ?
            d. 3( 2 x – 5 ) + 4 x = 5
            e. 12 – 7 x = 2 – 4 x




I. PERSAMAAN


A. PERSAMAAN LINEAR



 1. Pengertian

   a. Kalimat Terbuka

     Kalimat terbuka adalah kalimat matematika ( kalimat bermakna ) yang
     masih mengandung variabel ( peubah ), sehingga belum dapat ditentukan
     nilai kebenarannya. Nilai kebenaran ada dua yaitu bernilai benar atau bernilai
     salah.

     Contoh :

     i.          Dimanakah letak kota anging mamiri ?
     ii.         2x+5=3
     iii.        3 x2 – 4 x + 5 > 6



   b. Kalimat Tertutup

     Kalimat tertutup atau pernyataan adalah kalimat matematika yang sudah
     dapat ditentukan ( ditunjuk ) nilai kebenarannya.

     Contoh :


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..      Page 84
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

    i.     Indonesia adalah Negara kesatuan yang berbentuk republik.
    ii.    x=5
    iii.   Jika x = 2, maka 3 x – 5 = 10
    Kalimat terbuka dapat diubah menjadi kalimat tertutup dengan cara
    mengubah atau mengganti variabelnya dengan sebarang elemen dari
    semesta pembicaraan nya. Pengganti variabel yang menyebabkan nilai
    benar disebut penyelesaian, dan kumpulan dari semua penyelesaian yang
    disebut himpunan penyelesaian.




 c. Persamaan

    Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang dihubungkan dengan

    tanda sama dengan “( = )”.

    Contoh :

    i. 2 x + 3 y = 4

    ii. x2 + 2 x + 3 = 0

    iii. 2 p + 3 q – 4 r = 5




2. Persamaan Linear

  a) Pengertian

    Persamaan linear adalah persamaan dengan derajat atau pangkat atas
    peubah (variabel) nya tertinggi adalah satu.

    Contoh :

    i. 3x = 5

    ii. 3x + 2y = 5

    iii. 2 x2 – 3 x + 5 = 0



   ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 85
                       MATEMATIKA DALAM MODUL




b) Persamaan Linear Satu Peubah ( Variabel )


  1) Bentuk Umum
     a x + b = c ; a, b dan c € R, a ≠ o

     Keterangan :

                a,b, dan c = konstanta

                x = variabel ( peubah ).

     Contoh :

     i. 2 b – 3 = 5

     ii. 4 - 3x = x + 5

     iii. 3 p + 5 = 6 – 4 p




  2) Penyelesaian

     Menyelesaikan persamaan berarti mencari nilai-nilai pengganti atas
     variabel nya dengan sebarang bilangan dalam semesta pembicaraan
     sehingga di dapat satu kesamaan yang bernilai benar. Pada waktu
     mengerjakan atau mencari pengganti nilai variabel harus digunakan
     langkah-langkah yang sesuai dengan aturan pengerjaan bilangan dan
     aljabar.




     Contoh :

     Tentukan penyelasaian dari persamaan linear berikut ini

     i. 3x + 5 = 6, x  B

     ii. 2x – 3 = 5 – 3x

     Jawab :


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 86
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

     i. 3 x + 5 = 6

         3 x + 5 + ( -5 ) = 6 + ( – 5 ) …………….. ( kedua ruas ditambah – 5 )



            3x=1

                       . 1 ……………………………. ( kedua ruas dikali dengan                  )

                              1
                        x =         B
                              3

        Jadi x = { }

     ii. 2 x – 3 = 5 – 3 x

        2x – 3 + 3 = 5 – 3 x + 3 ………………….. ( kedua ruas ditambah 3 )

               2x =8–3x

        2 x + 3 x = 8 – 3 x + 3 x ……………… ( kedua ruas ditambah 3 x )

               5x =8

                                  ……………..….…. ( kedua ruas dikali dengan        )




              Jadi


c. Persamaan Linear Dua Peubah



 1) Bentuk Umum
     Ada dua macam bentuk umum persamaan linear dua peubah, yaitu :

     *a x + b y = c ; a & b  R ,b  0 ……………… bentuk implisit

       Contoh :

     i. 2 x + 3 y = 5
     ii. 2 x – 7 = 3y – 9


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 87
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

    iii. 5 – 3 x + 2 y = 0
    *y = m x + n ……………………………….....… bentuk explisit

                 Contoh :

     i. y = 5 x - 3

     ii. y = 3 – 2 x

     iii. 3 y = 5 – 2 x




2) Penyelesaian
    Penyelesaian persamaan linear dua peubah berupa pasangan bilangan
    (x, y). Jika nilai x diambil sebarang dari semesta pembicaraan sedemikian
    hingga diperoleh nilai-nilai pengganti y. Dalam hal seperti itu x disebut
    “variabel bebas” dan y disebuat “variabel tak bebas ( terikat )”.

    Himpunan penyelesaian untuk persamaan linear dua variabel dengan
    semesta bilangan riil akan berupa grafik garis lurus. Untuk membuat grafik
    dapat dilakukan dengan mengambil dua buah titik yang mudah yang
    koordinatnya memenuhi persamaan kemudian menghubungkannya.
    Kedua titik mudah itu biasanya adalah titik potong grafik dengan sumbu
    koordinat.

    Contoh :

    Tentukan penyelesaian dari persamaan linear berikut ini :

    i. 3 x – 2 y = 7 pada x {1, 2, 3, 4}

    ii. 2 x – y = 4 dengan x , bilangan riil

    Jawab :

    i. 3 x – 2 y = 7, x = {1, 2, 3, 4}

       Untuk x = 1 → 3 ( 1 ) – 2 y = 7

                                -2 y = 7 – 3




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 88
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

                                             4
                                   y =
                                            2

                                   y = -2,

                        Jadi ( x , y ) = ( 1 , -2 )




       Untuk x = 2 → 3( 2 ) – 2 y = 7

                               -2y      =1

                                            1
                                  y     =      ,
                                            2

                                                   1
                        Jadi ( x , y ) = ( 2 ,           )
                                                   2

       Untuk x = 3 → 3 (3) – 2 y = 7

                                                  -2 y = 2

                                        y = 1,

                          Jadi ( x , y ) = ( 3 , 1 )

       Untuk x = 4 → 3 (4) - 2 y = 7

                                - 2 y = -5

                                            5
                                    y =       ,
                                            2

                                                   5
                       Jadi ( x , y ) = ( 4 ,        )
                                                   2

                                        1             5
       Jadi HP = { ( 1 , -2 ) , ( 2 ,      ),(3,1),(4,   )}
                                        2              2

  ii. 2 x – y = 4 dengan x , y bilangan riil

         Titik potong dengan sumbu x diperoleh jika y = 0
                2x–y=4


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 89
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

                 2x–(0)=4
                          2x =4
                           x=2
              sehingga koordinat titik potongnya adalah ( 2 , 0 )
               Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika x = 0
                    2x – y = 4

                2(0)–y=4

                           -y = 4

                          y = -4

             sehingga koordinat titik potongnya adalah ( 0 , -4 )

               Jika dinyatakan dalam bentuk tabel, sebagai berikut :

                     x             0        2
                      y            -4       0
                  (x,y)      (0 , -4 )   (2,0)



             Dengan menghubungkan titik ( 0 , -4 )

             dan titik ( 2 , 0 ) diperoleh grafik seperti

             di samping yang merupakan himpunan

             penyelesaian dari persamaan 2 x – y = 4.




Uji Kompetensi 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut ini :
   a. 3x + 9 = 15 – 23
   b. 5 – 4x = 2x – 3
   c. 4x + = 2x -

   Jawab :




     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 90
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………

2. Dodi berumur 15 tahun, ia mempunyai adik laki-laki yang berumur 3 tahun.
   Setelah berapa tahunkah umur Dodi menjadi 3 kali umur adiknya ?
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………...……………
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini :
   a. 3x – 2y = 15 , x = { 1 , 2 , 3 , 4 }
   b. 5x = 4 – 2y , x = { x / -2 < x < 2 , x        }
   c. 2x + y = 5
  Jawab :

  ………………………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………………………
  ……………………………………………………………………………..………………




 3. Sistem Persamaan Linear



    a. Pengertian

      Sistem persamaan linear adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas dua
      atau lebih persamaan linear yang dituliskan dengan cara memisahkan
      dengan tanda koma atau ditulis ke bawah dengan dirangkai oleh tanda … }.

      Bentuk Umum :

      a1 x + b1 y = c , a2 x + b2 y = c2 , a3 x + b3 y = c3 , … atau

      a1 x + b1 y = c1



     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 91
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

  a2 x + b2 y = c2

  a3 x + b3 y = c3

  Contoh :

  i.   3x–2y=5

        x + 3 y = -2

  ii. 4x + 5y = 1, 2 x + 3 y = 1       iii. x – 5 y = 6

                                           3x + 2y = 1

b. Penyelesaian
  Sistem persamaan linear diselesaikan secara simultan bersamaan atau
  sekaligus, nilai pengganti variabel persamaan yang satu sekaligus akan
  menjadi pengganti variabel persamaan yang lain. Sistem persamaan dapat
  diselesaikan dengan beberapa cara,              antara lain : eliminasi, subtitusi,
  gabungan eliminasi – subtitusi, determinan, invers matriks dan grafik.




  1) Cara Eliminasi

       Eliminasi berarti menghapus ( membuang). Dimaksud cara, ini salah satu
       variabelnya dihilangkan untuk mendapat nilai variabel yang lain setelah
       menyamakan terlebih dahulu koefesiennya. Untuk mendapatkan nilai
       variabel x, koefisien variabel y disamakan terlebih dahulu, begitu juga
       untuk mendapatkan nilai variabel y maka koefisien x disamakan terlebih
       dahulu.

       Dari bentuk umum di atas, untuk menentukan nilai variabel x dan variabel
       y dengan cara eliminasi adalah, sebagai berikut

       a1 x + b2 y = c1     x b2      a1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2

       a2 x + b2 y = c2     x b1     a2 b1 x + b2 b2 y = c2 b1

                                      ( a1 b2 – a2 b1 ) x = c1 b2 – c2 b1




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 92
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                                    b2 c1  b1 c2
                                                               x=
                                                                    a1 b2  a2 b1

    untuk mendapatkan nilai variabel y , koefesien variabel x disamakan
    terlebih dahulu :

    a1 x + b1 y = c x a2              a1 a2 x + a2 b1 y = a2 c1

    a2 x + b2 y = c    x a1           a1 a2 x + a1 b2 y = a1 c2


                                        a2 b1  a1 b2  y  a2 c1  a1 c2
                                                               a2 c1  a1 c2
                                                          y=
                                                               a2 b1  a1 b2

                   Jadi                           b2 c1  b1 c2 a2 c1  a1 c2
                                   ( x, y ) = (                ,              )
                                                  a1 b2  a2 b1 a2 b1  a1 b2




    Contoh :

    Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :

    i. 3 x – 2 y = 5
           x+y=5
    ii. 2 x + y = 1 , x – 3 y = 4
    Jawab:

    i.   3x – 2y = 5          x1            3x–2y =5

          x+y =5           x2               2 x + 2 y =10

                                                   5x     = 15

                                                         15
                                            x        =
                                                          5

                                            x        =3

         3x – 2y = 5       x1               3x–2y=5


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..           Page 93
                      MATEMATIKA DALAM MODUL

          x+ y=5          x3          3 x + 3 y = 15

                                              -5y = -10

                                             10
                                       y=
                                            5

                                       y=2

                        Jadi     (x,y) = (3,2)

    ii. 2 x + y = 1        x3               6x+3y=3

          x – 3y = 4        x1               x–3y =4

                                            7x         =7

                                                    x =

                                                      =1

         2x+y =1            x1              2x+y =1

           x–3y=4           x2              2 x – 6y = 8

                                                   7 y = -7

                                                    y=

                                                    y = -1

                                      Jadi ( x , y ) = ( 1 , - 1 )




 2) Cara substitusi

    Subtitusi berarti memasukkan (menggantikan). Dimaksud cara ini untuk
    mendapatkan nilai salah satu variabelnya dilakukan dengan cara
    mengganti variabel lainnya dengan variabel yang satu sedemikian hingga
    diperoleh suatu persamaan linear dalam bentuk satu variabel, begitu
    seterusnya hingga semua variabelnya diperoleh penggantinya. Agar
    menjadi lebih mudah maka peda


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 94
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

    setiap persamaan yang diperoleh diberi nomor. Dari bentuk sistem
    persamaan di bawah dengan cara substitusi dilakukan, sebagai berikut :

                     ax+by=p

                     cx+dy=q

         ax+by=p            ……………………………………………. ( 1 )

         cx+dy=q            ………………………………………….… ( 2 )

    ( 1 ) diubah menjadi : b y = p – a x

                                   y=    -     x .……………………….……. ( 3 )

    ( 3 ) disebstitusikan ke ( 2 ), sehingga ( 2 ) menjadi :

                   cx+d(                )= q


                   cx+                  = q




                               –               –



                                                –
                                                –
                                                    ……….……………..... ( 4 )


    ( 4 ) disubstitusikan ke ( 3 ), sehingga ( 3 ) menjadi :

                                                      –
                                        y=            –
                                                            ....................... ( 5 )


    Contoh:

    Tentukan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan substitusi :

    i. 4 x + 5 y = 1, 2 x + 3 y = 1
    ii. 2 x – 3 y = 7 , 3 x + y = 5
    Jawab:

    Perhatikan ! Setiap persamaan yang ada diberi nomor




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..               Page 95
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

    i. 4 x + 5 y = 1 , 2 x + 3 y = 1
             4 x + 5 y = 1 ………………………………………. (1)

             2 x + 3 y = 1 ………………………………………. (2)

    Pilih mana yang diubah bentuknya ( petunjuk, sebaiknya variabel dengan
    koefisien terkecil layak jadi pilihan)

              (2)         2x+3y =1

                            2x        =1- 3y

                                          1 3
                            x         =    - y ……………………… (3)
                                          2 2

                                    1 3
              (3)       (1) : 4 (    - y)+5y=1
                                    2 2

                                      2–6y+5y=1

                                                       -y = 1 – 2

                                                   -y = -1

                                                            1
                                                       y=
                                                            1

                                                       y = 1 ………...………. (4)

                                      1 3
              (4)        (3) : x =     - .1
                                      2 2

                                 x = -1

                    jadi ( x , y ) = ( -1 , 1 )

    ii. 2 x – 3 y = 7 , 3 x + y = 5
        2 x – 3 y = 3 …………………………………………. (1)
       3x+ y          = 5 …………………………………………. (2)
       (2)          y = 5 – 3 x ……………………………………. (3)
       (3)          (1) : 2 x – 3 ( 5 – 3 x ) = 7
                         2 x – 15 + 9 x           =7



………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..     Page 96
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                                  2 x + 9 x = 7 + 15
                                           11 x = 22
                                             x =

                                              x = 2 ………….………… (4)

        (4)        (3): y = 5 – 3 ( 2 )

                           =5-6

                           = -1

            Jadi ( x , y ) = ( 2 , - 1 )




 3) Cara Gabungan Eliminasi –Substitusi

    Dimaksud cara ini, nilai salah satu variabel ditentukan dengan eliminasi
    kemudian variabel yang lain digunakan cara subtitusi untuk mencarinya.

    Contoh:

    Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :

    i. 2 x – 3 y = 10 , x + 2 y = -2
    ii. – 3 x + y = 6 , 2 x – 3 y = -11
    Jawab:

    i. 2 x – 3 y = 10       x2             4 x – 6 y = 20
         x + 2 y = -2       x3             3 x + 6 y = -6

                                            7x         = 14

                                                         14
                                                   x =
                                                          7

                                                   x =2

    selanjutnya nilai x = 2 disubtitusikan ke salah satu persamaan (pilih)
    untuk

    mendapatkan nilai pengganti variabel y


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 97
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

        x=2                 2 (2) – 3 y = 10

                                    - 3 y = 10 – 4

                                    -3y=6

                                            6
                                       y=
                                            3

                                       y = -2

                           jadi ( x , y ) = ( 2 , -2 )

    ii. – 3 x + y = 6         x3              -9 x + 3 y = 18
        2 x – 3 y = - 11       x1               2 x - 3 y = - 11
                                                  -7 x     =7
                                                         x =

                                                         x = -1
       nilai x = -1 disubstitusikan ke salah satu persamaan asal, dan diperoleh
       x=-1          -3 ( -1 ) + y = 6
                              3 +y=6
                                     y=6–3
                                     y=3
                        Jadi ( x , y ) = ( -1 , 3 )




    3) Cara Determinan
       Dimaksut         cara determinan (matriks) system persamaan diubah
       bentuknya menjadi matriks koefisien, kemudian ditentukan nilai
       determinan matriksnya.

       Dari system persamaan :

          ax+by=p

          cx+dy=q


       Matriks koefisiennya                                 nilai determinannya adalah




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 98
                     MATEMATIKA DALAM MODUL


                                   D=


       Selanjutnya ditentukan nilai determinan untuk variabel x ( Dx ) dengan
       cara

       mengganti semua koefisien variabel x dengan nilainya terlebih dahulu,
       seperti




        Begitu juga dengan determinan untuk variabel y ( Dy ) .




       Kemudian nilai variabelnya ditentukan dengan rumus :


                                x=      dan y =



       Contoh :

       Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut ini
       dengan determinan :

       i.    2 x + 3 y = 12 , -3 x + 5 y = 1

       ii. 3 x – 5 y = 19 , 4 x + 3 y = 6 !

       Jawab :

       i.    2 x + 3 y = 12
             -3 x + 5 y = 9

             Matriksnya :

             Nilai determinannya : D =

                                                 = 10 + 9
                                                 = 19

            Determinan variabel x :




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 99
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                       = 60 – 3
                                                       = 57

          Determinan variabel y :

                                     = 2 + 36
                                     = 38

                             dan

                 = 3                         = 2

                Jadi ( x , y ) = ( 3 , 2 )

       ii. 3 x – 5 y = 19, 4 x + 3 y = 6

           Matriks koefisiennya adalah :

          Determinanya,

                            = 9 + 20
                            = 29

           Determinan x :

                                             = 57 + 30
                                             = 87

           Determinan y :

                                              = 18 – 76
                                              = - 58

                                              dan

                                   =3                       = -2

                              Jadi ( x , y ) = ( 3 , -2 )




    4) Cara Grafik
       Dimaksut cara ini kedua persamaan linear pendukung sistem
       persamaan linear digambar dalam satu diagram, sehingga diperoleh
       titik potong antara kedua garis. Pasangan koordinat ( x , y ) merupakan
       penyelesaian dari system persamaan linear yang dimaksut.


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 100
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

       Seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini :
                          y                       l                         l:ax+by=p
                                            (x,y)                          g:cx+dy=q
                           O                  g                   x   ( x , y ) : penyelesaian


       Contoh :
       Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut dengan
       grafik
       i.             x-y=1,4x–2y=8
       ii.            3 x + 2 y = 6 , 3 x + 2 y = 12
       Jawab :
       i.             x- y=1
                      x                0                  1
                      y            -1                     0
             (x,y)             (0 , -1        (1,0)
                               )
                      4x–2y=8

                  x                0                  2
                  y                -4                 0
             (x,y)             (0 , -4        (2,0)
                               )



              Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa kedua garis berpotongan di
              titik ( 3 , 2 ). Jadi himpunan penyelesaiannya adalah = { ( 3 , 2 ) }.

       ii.            3x+2y=6                                                            y
                  x                     0                     2
                  y                     3                     0
         (x,y)                 (0,3)              (2,0)
                          3 x + 2 y = 12                                                             x

              x                         0                     4
              y                         6                     0
         (x,y)                 (0,6)              (4,0)




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..                        Page 101
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

                           Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa kedua garis itu
                     sejajar.

                           Jadi himpunan penyelesaiannya adalah = { }, karena tidak
                     ada

                           titik potongnya.

                    Selanjutnya untuk cara determinan akan dibicarakan kembali pada

                      kompetensi matriks sedang cara grafik akan dibahas lebih lanjut
  dalam

                    kompetensi fungsi.




  Uji kompetensi ke 2

  1. Hadi membayar untuk            5 kg jeruk dan 2 kg lansat sebesar Rp 40.000,00.
Ditempat

     sama Ali harus membayar Rp 39.000,00 untuk 4 kg jeruk dan 3 kg lansat.
Hitung

    berapa harga 1 kg jeruk dan harga 1 kg langsat.

     Jawab:

     ________________________________________________________________
     ________________________________________________________________
     ________________________________________________________________
     ________________________________________________________________
     ___________




2. Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut dengan eliminasi .

  a. 4 x – 3y = 5 , 2 x + y = 5

  b. 2 x + 5 y = -1 , -3 x + 2 y = 11



         ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 102
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

  Jawab:

  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  ______

  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  ______




3. Tentukan koordinat titik potong tiap pasangan berikut dengan substitusi.

  a.       y = -2 x + 1

          y=x+2

  b.      -4 x + 5 y = 8

          7x+5y=1

  Jawab:

  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  __________________________________________________________________
  ____________




4. Tentukan penyelesaian tiap sistem persamaan di bawah ini dengan cara gabungan.

  a. 2 x – 3 y = 5

       3x+ y =2

  b. 11 m + 2 n = 37

       5 m + 2 n = 19




         ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 103
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

     Jawab:
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ____________




5. Tentukan himpunan penyeleaian sistem persamaan di bawah ini dengan
determinan.

     a. 8 x + 3 y = 40

      -8 x + 5 y = 16

     b. 2 x + 5 y = 23

       -3 x + 5 y = -17

     Jawab:

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ______

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ______

B.    PERSAMAAN KUADRAT


     1. Pengertian



         Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan derajat atau pangkat tertinggi
        atas variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat yang dibahas di sini adalah
        persamaan kuadrat dengan satu variabel.



          ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 104
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

     Bentuk umum :

                    a x2 + b x + c = 0 ; a, b & c  R, a,  0

     Keterangan :

            x = Peubah ( variabel )

      a, b, c = Konstanta

           a = Koefisien x2  0 ( mengapa ? )

           b = Koefisien x

           c = Konstanta

     Contoh :

     i. - x2 – 4 x + 3 = 0

     ii. 2 x2 – 3 x = 0

     iii. 3 x2 + 5 = 0




2. Penyelesaian



 Perhatikan ilustrasi berikut ini :
  32 = 9 dan ( -3 )2 = 9
        = 3 ( bernilai positif meskipun 9 = 32 = ( -3 )2
  a2 = 9                a =            a =                             a = 3 atau a = -3
 Dari ilustrasi di atas, terlihat bahwa bilangan berpangkat dua ( kuadrat ) akan ada
 mempunyai dua penyelesaian yang didapat dari hasil penarikan akar. Selanjutnya
 menyelesaikan persamaan kuadrat dikatakan juga dengan menentukan akar-akar
 persamaan kuadrat. Untuk              menyelesaikan persamaan kuadrat digunakan
 beberapa cara, antara lain : faktorisasi ,melengkapkan kuadrat, rumus pq , rumus
 abc dan grafik.




       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 105
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

a. Cara Faktorisasi.



 Dimaksud cara ini persamaan kuadrat diubah bentuknya sedemikian hingga
 menjadi perkalian atas faktor– faktor seperti ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0. Dalam hal
 seperti itu berlakulah :                        x - x1 = 0 atau x - x2 = 0

                                       x = x1           x = x2

 x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat dimaksud.




 1) Memfaktorkan Bentuk a x2 + b x + c = 0 , a

    Contoh :

    Tentukan akar – akar persamaan kuadrat berikut dengan eliminasi :

    i.     x2 – 4 x + 3 = 0

    ii. 2 x2 + 3 x – 5 = 0

    Jawab :

    i. x2 - 4 x + 3           =0             ? x ? =3                     -1 x -3 = 3


         ( x …. ) ( x……. ) = 0               ? + ? =4               ( -1 ) + ( -3 ) = -4

         (x–1)(x–3) =0

           x - 1 = 0 atau x - 3 = 0

                 x=1          x=3

         jadi akar – akar dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 1 dan 3.

         Perhatikan faktor – faktor di atas ! -1 dan -3 diperoleh dari suku tengah
         yang          direkayasa sehingga cara ini sering disebut sebagai cara
         memecah suku tengah.

          Jadi    a x2 + b x + c = 0     ? x ? = a .c         dan


  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 106
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

                                        ? + ? =b

  ii. Akar – akar dari persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0 , adalah :

        2 x2 + 3 x – 5 = 0

        (2x+       )(x +      )    =0            diperoleh dari : 2 . ( -5 ) = -10

       2 x2 – 2 x + 5 x – 5        =0                    cari    … x … = -10

       ( 2x2 – 2x ) + ( 5x – 5 ) = 0                     tetapi … + … = 3

       2 x ( x - 1 ) + 5 ( x -1 ) = 0                   didapat -2 x 5 = -10

       (2x+5)( x-1)               =0                  jadi 3 x dipecah menjadi

       2x + 5 = 0 atau x – 1 = 0                        -2 x + 5 x = - 3 x

           2 x = -5               x=1

                   5
             x =
                   2

                                                           5
     Jadi akar – akar dari 2 x2 + 3 x - 5 = 0 adalah          dan 1
                                                           2

2) Memfaktorkan Bentuk a x2 + b x = 0 , a

  Faktor dari persamaan a x2 + b x = 0 adalah sebagai berikut :

                          x ( a x + b ) = 0 dalam hal seperti itu berlakulah

                        x = 0 atau a x + b = 0

                                          a x = -b

  Contoh :

  Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini :

  i. x2 + 4 x = 0

  ii. 3 x2 – 15 x = 0




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..     Page 107
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

          iii. 8 x – 2 x2 = 0

          Jawab :

          i. x2 + 4 x = 0

             x(x+4)=0

             x = 0 atau x + 4 = 0

                                x=-4

             Jadi akar-akar dari x2 + 4 x = 0 adalah x = 0 dan x = -4

          ii. 3 x2 – 15 x = 0

             3 x ( x – 5) = 0

             3 x = 0 atau x – 5 = 0

                x=0              x=5

            Jadi akar-akar dari 3 x2 - 15 x = 0 adalah x = 0 dan x = 5

          iii. 8 x – 2 x2 = 0

              2x(4–x)=0

              2 x = 0 atau 4 – x = 0

                x=0             - x = -4

                                 x=4

            Jadi akar-akar dari 8 x – 2 x2 = 0 adalah x = 0 dan x = 4

           Dari ketiga contoh di atas terlihat bahwa akar-akar dari persamaan kuadrat
           bentuk      a x2 + b x = 0, salah satu akarnya adalah x = 0.




     3) Memfaktorkan Bentuk a x2 + c = 0 , a

          Persamaan kuadrat bentuk a x2 + c = 0 artinya koefisien x = 0, faktornya
adalah


         ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 108
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL

                                       a x2 = -c

                                               x2 =


                                                 x=           didifinisikan bila nilai


           Jadi persamaan kuadrat bentuk a x2 + c = 0 mempunyai akar hanya jika



     Contoh :

    Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini :

    i.   x2 – 4 = 0

    ii. 2 x2 – 18 = 0

    iii. 3 x2 + 6 = 0

    Jawab :

    i. x2 – 4 = 0

           x2 = 4

              x=

              x=        , dipenuhi oleh x = 2 atau x = -2

   Cara lain :

                   x2 - 4 = 0

                   x2 - 22 = 0

                   (x-2)(x+2)=0

               x - 2 = 0 atau x + 2 = 0

                   x =2            x = -2

   Jadi akar-akar dari x2 – 4 = 0 adalah x = 2 atau x = -2

ii. 2 x2 – 18 = 0


         ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 109
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

      2 x2 = 18

          x2 =


            x=

            x=

    Jadi akar-akar dari 2 x2 – 18 = 0 adalah x = 3 atau x = -3

iii. 3 x2 + 6 = 0

        3 x2 = -6

           x2 =     = -2


             x=            , tidak didifinisikan

     Jadi akar-akar dari 3 x2 + 6 = 0 adalah imajiner atau khayal atau tidak ada.




b. Cara Kuadrat Sempurna.

   Dimaksut cara ini persamaan kuadrat diubah bentuknya menjadi kuadrat sempurna

   terlebih dahulu, cara ini biasa disebut juga sebagai melengkapkan kuadrat

   Perhatikan ilustrasi berikut ini :

     * x2 = a  x =       a            x1 =   a

                                         x2 = - a


     *( x – a )2 =  x – a =      b

                         x = a b                  x1 = a  b


                                                   x2 = a  b

                                  2
      * ( x + a )2 = x2 + 2a x + a ……… bentuk kuadrat sempurna




        ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 110
                                      MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                     2
                                2a 
      * ( x + a ) = x + 2a x +  
                 2        2

                                2 

                              2               2
                  a      a
      * x + a x +   = x  
          2

                  2      2

      * x2 + a x +            = (x+           )2 ,       diisi koefisien x , yaitu :   a )2 .

Jadi agar persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat yang sempurna maka
koefisien x atau koefisien suku kedua dijadikan patokan untuk penambahan angka
pada suku akhir

Contoh :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat

i.    x2 – 7x + 12 = 0

ii. x2 + x – 2 = 0

iii. x2 + p x + q = 0

iv. a x2 + b x + c = 0

Jawab :

 i.       x2 – 7 x + 12 = 0

           x2 - 7 x                  = -12


       x2 -7x +                  =           – 12 ……. Kedua ruas ditambah


                                      49 48   1
                                 =     -   =
                                      4   4   4

                          7              1
                    x-     = 
                          2              4

                                      7 1                           7 1
                          x       =                         x1 =    +        =4
                                      2 2                           2 2




       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..                Page 111
                                    MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                            7 1
                                                    x2 =     -  3
                                                            2 2

          jadi akar – akar dari x2 – 7x + 12 = 0 adalah 3 dan 4.

       ii. x2 + x – 2 = 0

           x2 + x        =2


         x2 + x +


             ( x + )2 = 2 +


                    x+     =


                    x      =                             x1   =        =1




                         x =                               x2 =         = -2

        Jadi akar-akar dari x2 + x – 2 = 0 adalah 1 dan -2.

iii.    x2 + p x + q = 0
          x2 + p x        =-q

        x2 + p x +




       Jadi akar-akar dari x2 + p x + q = 0 adalah                                     , selanjutnya

akar-
       akar ini dikenal sebagai rumus pq.
       Untuk persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 akar-akarnya ditentukan dengan rumus
       Yang disebut rumus pq, yaitu :




iv. a x2 + b x + c = 0         xa   ………… kedua ruas dikalikan dengan a


           ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 112
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

     x2 +              =0

           x2 +

    x2 +          +




    Jadi akar-akar dari a x2 + b x + c = 0 adalah

   Selanjutnya disebut rumus abc.


c. Cara Rumus abc



Jika x1 dan x2 adalah akar – akar dari persamaan kuadrat             ax2 + bx + c = 0, a
maka

x1 dan x2 dapat dihitung dengan rumus abc :




Keterangan : a = koefisien x2

                  b = koefisien x

                  c = konstanta

Contoh :

Tentukan akar–akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus abc !

i. x2 + 2 x – 8 = 0

ii. 3 x2 – x + 1 = 0

iii. 2 x2 + 4 x + 2 = 0


       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 113
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

jawab :

i. x2 + 2 x – 8 = 0

   a=1,b=2,c=-8


                       b  b 2  4ac
                 =
                            2.a

                     2  2 2  4.1( 8)
                  =
                           2.1

                       2  4  32
                  =
                            2

                       2  36
                  =
                          2

                      26                        26
                  =                        x1 =
                       2                           2

                                              =2

                                                  26
                                          x2 =
                                                   2

                                             =-4

                Jadi akar – akar dari x2 + 2x – 8 = 0 adalah -4 dan 2

            ii. 3 x2 – x + 1 = 0

                a = 3, b = - 1, c = 1


                           ( 1)  ( 1) 2  4.3.1
                      =
                                    2.3

                          1  1  12
                      =
                              6

                          1   11
                      =              11 tidak didifinsikan
                              6


      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 114
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

              Jadi akar–akar dari 3 x2 - x + 1 = 0 adalah imajiner ( tidak ada )




             iii. 2 x2 + 4 x + 2 = 0

                 a = 2, b = 4, c = 2


                          4  4 2  4.2.2
                       =
                               2.2

                           4 0
                       =
                             4

                           4
                      =
                           4

                      = -1

Jadi akar – akar dari 2x2 + 4x + 2 = 0 adalah 1 ( akar sama atau kembar ).




3. Jenis-jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat



  Dari contoh–contoh di atas akar–akar persamaan kuadrat ada atau tidak adanya
  ternyata ditentukan oleh besarnya bilangan yang ditarik akar, yaitu b2 – 4 a c yang
  selanjutnya disebut diskriminan ( pembatas ), dan diberi notasi “ D “.

  Jadi diskriminan ,            D = b2 – 4 a.c


  Dilihat dari besarnya nilai diskriminan, akar-akar persamaan kuadrat dibedakan
  menjadi 3 jenis, yaitu :

  a. Akar-akar Riil dan Berlainan

     Jika diskriminan positif, maka akar-akar persamaan kuadrat riil dan berlainan.
     Atau    jika D        0, maka x1 ≠ x2 .

  b. Akar-akar Riil dan Kembar



       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 115
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

  Jika diskriminan sama dengan nol, maka akar-akar persamaan kuadrat riil dan
  kembar. Atau jika D = 0, maka x1 = x2.

c. Akar-akar Imajiner

  Jika diskriminan negatif, maka akar-akar persamaan kuadrat imajiner/ khayal
  atau tidak ada . Atau jika D < 0, maka x1 dan x2 imajiner/ tidak ada / khayal.




  Contoh :

  Tentukan jenis-jenis akar-akar dari persamaan kuadrat di bawah ini :

  i. 5x2 + x – 1 = 0

  ii. 3x2 + 2x + 4 = 0

  iii. 4 + x2 – 4x =0

  Jawab :

  i.    5 x2 + x – 1 = 0
        a = 5, b = 1, c = 1

            D = b2 - 4 a c

              = 12 - 4.5. ( -1 )

              = 21 > 0, akar-akar real dan berlainan.

  ii. 3x2 + 2x + 4 = 0

       a=3,      b=2, c=4

             D = b2 - 4 a. c

                = 22 - 4. 2. 4

                = -7 < 0, akar-akar imajiner/ khayal

  iii. 4 + x2 – 4 x = 0

         a = 1, b = -4, c = 4



       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 116
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

           D = b2 - 4 a. c

              = ( -4 )2 – 4 . 1. 4

              = 0, akar-akar riil dan kembar/ sama




4. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat



   Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0, maka

                                               b  b 2  4ac           b  b 2  4ac
   dari rumus      abc di atas       x1 =                     dan x2 =
                                                    2.a                      2.a
   berlakulah :

  a. Rumus jumlah dua akar :


                   b  . b 2  4ac    b  b 2  4ac
      x1 + x2 =                     +
                         2.a                2.a

                   2b
              =
                   2a
                                              b
                                x1 + x2 = -
                   Jadi                       a

   b. Rumus Selisih Dua Akar


                   b  . b 2  4ac  b  b 2  4ac
      x1 – x2 =                    -
                         2.a              2.a

                  2 b 2  4ac   2 D
              =               =
                     2.a         a


                    x1 + x2 =    D
          Jadi                  a




      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 117
                                      MATEMATIKA DALAM MODUL

c. Rumus Hasil Kali Akar – Akar


                        b  . b 2  4ac      b  b 2  4ac
      x1 . x2 = (                        ).(                 )
                              2.a                  2.a


                   =
                             
                       b 2  b 2  4ac
                                       =
                                           
                                         4ac
                             4a  2
                                         4a 2


                            x1 . x2 = c
                                       a
           Jadi




 Contoh:

 Jika  dan  adalah akar–akar dari 2 x2 + 5 x – 1 = 0, maka tentukanlah

       1       1                                                      1    1
 i.                ....             ii.  2   2  ....   iii.             .......
                                                                   3  3

 Jawab:

 2 x2 + 5 x – 1 = 0, mempunyai akar-akar  dan 

 a = 2, b = 5 , c = -1

                   b 5
 + =               
                   a   2

               c 1
  .           
               a   2

                5
    1 1  
 i.          2
        .   1
                2

                                 =5

 ii. 2 + 2 = ( + )2 – 2. .




      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..           Page 118
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

                            2
                      5      1  25
                   =   - 2   =   1
                      2      2   4

                       29
                   =
                       4

             1     1     3  3              6
    iii.             =                =
             3   3   3   3    .  3     9

                                   5             17
                                     6       
                            =      2         =    2
                               1     5        16
                                3    9
                               2     2

                                 17
                            =-
                                 32




5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru



 Jika x1 dan x2 adalah akar – akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan
 kuadrat di maksud adalah:
                             ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0
                                                            atau



                                x2 – ( x1.x2 ) x - ( x1 .x2 ) = 0




Contoh:

                                                                    1
 i. Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya                    dan -3. !
                                                                    2

                   1
   Jawab: x1 =       , x2 = -3
                   2



       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 119
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

            PK : x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 )        =0

                            1                1
                   x2 – (     + (-3 ) ) x + ( .(-3 ) ) = 0
                            2                2

                            5         3
                  x2 – (-     ) x + (- )                  = 0
                            2         2

                            5     3
                  x2 – -      x -                         = 0        x2
                            2     2

              Jadi PK = 2 x2 + 5 x - 3

ii. Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya tiga lebihnya dari akar – akar

   persamaan kuadrat; 3 x2 – 2 x – 4 = 0

   Jawab: 3x2 – 2x – 4 = 0, akar – akarnya  dan .

             a = 3, b = (-2), c = - 4

                        b   2
             +=-        =
                        a   3

                       c    4
             .=        =-
                       a    3

  persamaan kuadrat yang akar- akarnya 3 lebihnya dari akar - akar persamaan
  kuadrat 3x2 – 2x – 4 = 0, adalah.

  PK : x2 – (  + 3 +  + 3 ) x + (  + 3 ) . (  + 3 )       =0

              x2 – (  +  + 6 ) x + { .  + 3(  +  ) + 9} = 0

                       2             4     2
              x2 – (      6) x + { - + 3 ( ) + 9 }                   =0
                       3             3     3

                                                  20    29
                                           x2 -      x-    =0
                                                  3     3

                                                                     x3


                                                  3 x2 - 20 x - 29    =0



     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 120
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

    iii. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat 3 x2 – 6 x + 1 = 0 maka

         tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2α – 3 dan 2β – 3.

         Jawab :

         3 x2 – 6 x + 1 = 0

         a=3,b=-6,c=1

         α +β=         =                   αx β =

                = 2

         ( 2 α -3 ) + ( 2 β – 3 ) = 2 ( α + β ) – 6

                                 =2(2)–6

                                 = -2

         (2α–3)(2β–3)              = 4αβ–6α–6β+9

                                 = 4αβ–6(α+β)+9

                                     = 4x –6x 2+9


                                     =     -3


                                     =


        Persamaan kuadratnya : x2 - ( -2 ) x +          = 0 dikali 3, menjadi 3x2 + 6x – 5 =

    0

        Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 α – 3 dan 2 β – 3 adalah :

                      3 x2 + 6 x – 5 = 0




 Uji Kompetensi 2

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini dengan faktorisasi :
   a. x2 -5 x – 21 = 0


        ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 121
                            MATEMATIKA DALAM MODUL

  b. 2 x2 + 7 x + 5 = 0

  c. – 3 x2 + 2 x + 1 = 0

Jawab:

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________

___________________________________________________________________
___

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan
   kuadrat:
   a. x2 - 4 x – 12 = 0
   b. 3 x2 + 5 x – 2 = 0
   c. 2 x2 + 7 x + 3 = 0
Jawab :
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________




3. Tentukan akar – akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus abc :

  a. 5 x2 + x – 1    =0

  b. 3 x2 – 5 x + 2 = 0

  c. 2 x2 – 3 x – 6 = 0

Jawab:

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________


      ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 122
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

___________________________________________________________________
_______________




4. Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar – akar persamaan berikut ini :

     a. x2 – 3 x - 4    =0

     b. 2 x2 + 3 x – 5 = 0
Jawab:

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________

___________________________________________________________________
___

5.    Selidiki Jenis – jenis akar persamaan kuadrat di bawah ini :
      a. 5 x2 – 3 x – 4 = 0

      b. 2 x2 + 5 x + 4 = 0

      c. 2 x2 – 8 x + 3 = 0

      d. –x2 + 4 x – 4 = 0

      e. -3 x2 – 5 x + 2 = 0

        Jawab :

        ______________________________________________________________
        ______________________________________________________________
        ______________________________________________________________
        ______________________________________________________________
        _______________




        ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 123
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL

 6.    Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2 + 5x – 4 = 0, maka
       hitunglah
               1 1                                     1      1
       a.            ...                      b.                 ...
               x1 x2                                 x1  5 x2  5
              1    1
       c.      2
                  2  ...                     d. x1  x2  ...
                                                   3    3

              x1 x2

        Jawab :

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 _______________




 8. Akar-akar dari 4x2 + 5x – 1 = 0 adalah  dan . Tentukan persamaan kuadrat
yang

      akar-akarnya adalah  + 5 dan  + 5 !

      Jawab :

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ________

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ________

 9.    Dua bilangan real yang berbeda jumlahnya = 7. Jika hasil kali dua bilangan itu
       adalah -18, maka tentukan kedua bilangan itu !

       Jawab :

 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________


            ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 124
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

___________________________________________________________________
_______________

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini :

    3 x2 + 2 y = 5, 2 x2 – y = 1 !

    Jawab :

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________




                         II. PERTIDAKSAMAAN



A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR



  1. Pertidaksamaan

      a. Pengertian

        Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat tanda
        tidak sama dengan ( “  ” ). Tanda tidak sama dengan dapat berarti :

       > dibaca : lebih dari atau lebih besar dari.
         Contoh :

         i. 3x + 2 > 5 – 2x
         ii. 5x2 + 3x – 1 > 0
       < dibaca : kurang dari atau lebih kecil dari



     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 125
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

   Contoh :

   i. 5 – 3x < 4x + 1 < 2x + 9
   ii. 2x2 – 5x – 1 < 0
 ≥ dibaca : lebih besar dari sama dengan atau minimum atau paling sedikit
atau
  tak kurang dari atau sekurang-kurangnya.

   Contoh :

   i. 2 – 3x ≥ 5x – 3
   ii. 3x2 + 5x + 1 ≥ 0
 ≤ dibaca : kurang dari sama dengan atau maksimal atau paling banyak atau
  sebanyak-banyaknya atau tak lebih dari.

   Contoh :

   i. 7x – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5x – 1
   ii. 5x2 - 4x – 3 ≤ 0



b. Penyelesaian

  Penyelesaian pertidaksamaan berupa suatu daerah yang berada di kanan (
  atas ) atau berada di kiri ( bawah ) dari suatu elemen yang merupakan
  penyelesaian dari persamaan nya. Jika elemen itu lebih dari satu maka
  daerah penyelesaiannya berada di luar atau berada di antara elemen-
  elemen itu.

  Contoh :

  i. Bilangan yang berada di atas 2, dengan lambang ditulis x > 2 . Bilangan
       yang dimaksut jika diperlihatkan dengan garis bilangan adalah, sebagai

                                      2
       berikut

  ii. x > 5 atau x < 1, dengan garis bilangan sebagai berikut               1    5

        dibaca : di atas 5 atau di bawah 1

  iii. 1 < x < 5 , dengan garis bilangan sebagai berikut                    1    5


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 126
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

          dibaca : diantara 1 dan 5




2. Pertidaksamaan Linear

 Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat atau derajat
 tertinggi atas variabel ( peubah ) nya adalah satu.




 a. Pertidaksamaan Linear Satu Peubah



   1). Bentuk Umum

      ax+b≠c

      Contoh:

      i. 2 x – 3 ≥ 13

      ii. 5 x + 1 ≤ 4x – 5 ≤ 2x – 1

   2) Penyelesaian

      Penyelesaian pertidaksamaan linear satu peubah berupa suatu daerah
      yang berada di kanan atau di kiri sebuah bilangan yang memenuhi
      persamaannya. Yang diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan
      linear adalah, sebagai berikut :

          Jika ruas kiri dan ruas kanan ditambah atau dikurang dengan
      bilangan
          yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap ( tidak berubah ).
          Jika ruas kiri dan ruas kanan dikali atau dibagi dengan bilangan positif
          yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap ( tidak berubah )
          Jika ruas kiri dan ruas kanan dikali atau dibagi dengan bilangan
      negatif
          yang sama, maka tanda pertidaksamaan berubah.




  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 127
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

        Contoh :

        Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini

        i.    3x–5>4

        ii. 2 x + 3 < 5 – 3 x

        iii. 7x – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5x – 1

        iv. 5 – 3 x < 4 x + 1 < 2 x + 9

        Jawab :

        i.    3x–5 > 4

              3x      > 4+5

                   x >

                    x>3

        ii.   2x+3       < 5–3x

              2x+3x< 5–3

                    5x< 2

                      x<

       iii.   7 x – 5 ≤ 3 x + 2 ≤ 5 x – 1, dikerjakan secara simultan, sebagai berikut
:

              7x–5≤3x+2                       3x+2 ≤5x-1

              7x – 3x ≤ 2 + 5                  3x – 5x ≤ -1 – 2

                   4x ≤ 7                        - 2x ≤ -3

                         7                                3
                    x≤                              x≥       … tanda berubah, pembagi
                         4                                2
        negatif




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 128
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                  3
                                             x≥
                                                  2

                                 3       7
                    HP = { x /     ≤ x ≤   }
                                 2       4

     iv. 5 – 3 x  4 x + 1  2 x + 9

          5–3x4x+1                          4x+12x+9

          -4x - 3x  1 - 5                   4x - 2x  9 - 1

              -7 x  -4                           2x8

                       4                                  8
                 x >                                  x
                       7                                  2

                       4
                 x >                                  x4
                       7

                HP = {x                  }




b. Pertidaksamaan Linear dua Peubah



  1) Bentuk Umum

        a x + b y ≠ c ; a b dan c




     Contoh:

    i. 2 x + 5 y  10

     ii. 3 x – 2 y ≤ 8

     iii. 5 x + 3 y < 15

     iv. x – 5 y ≥ 0


 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 129
                          MATEMATIKA DALAM MODUL




 2) Penyelesaian

    Penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah berupa suatu daerah
    (bidang ) yang berada atas ( di kanan ) atau di bawah ( di kiri ) suatu garis
    yang merupakan grafik dari persamaannya. Jadi untuk menentukan
    himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear a x + b y               , maka
    terlebih dahulu digambar garis untuk persamaan : a x + b y = c. Kemudian
    baru ditetapkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaannya yaitu
    daerah bagian kanan garis untuk “lebih besar dari” atau daerah bagian kiri
    garis untuk “lebih kecil dari” dengan cara mengarsirnya.

    Perhatiakan gambar berikut ini, daerah di kanan garis adalah untuk lebih
    besar dari dan daerah di kiri garis untuk lebih kecil dari.

                      y

                                 ax + by = c


       ax + by < c
                                    ax + by > c




                           O                        x




    Contoh:

    Tentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut
    ini :

    i. 2 x – 5 y ≥ 10

    ii. 3 x + y < 6




    Jawab:


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 130
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

      i. 2 x – 5 y ≥ 10

          Gambar dulu persamaannya, yaitu garis 2x – 5y = 10

          Titik potong depan sumbu x → y = 0                          y
          2 x - 0 = 10

                      10
                 x=      = 5 didapat titik ( 5 , 0 )                                      2x – 5y
                       2
      = 10

          Titik potong dengan sumbu y → x = 0                     O                   5          x
             0 – 5 y = 10                                             -2                  DP

                       10
                  y=      = -2 didapat titik ( 0.-2 )
                       5

             Gambar kedua titik pada kooordinat kartesius
             Arsir bagian kanan ( atas ) grafik sebagai daerah penyelesaian
      ii. 3 x + y < 6

           Gambar dulu persamaannya, yaitu garis 3 x + y = 6                  y

             Titik potong dengan sumbu x
                 3x+0=6                                                    6

                       x=          didapat titik ( 2 , 0 )

             Titik potong dengan sumbu y                                                  DP
             0 + y = 6 didapat titik ( 0 , 6 )
             Gambar kedua titik pada pada koordinat kartesius                     O              2
      x
             Arsir bagian kiri ( bawah ) garis sebagai daerah penyelesaian                     3x +
      y=6




3. Pertidaksamaan Kuadrat




  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..           Page 131
                          MATEMATIKA DALAM MODUL

a. Pengertian:

  Pertidaksaman kuadrat adalah pertidaksaman dengan pangkat (derajat )
  atas variabel atau peubahnya tertinggi adalah dua.

  Bentuk Umum : a x2 + b x + c ≠ 0

  Contoh:

  i. 2 x2 – 3 x - 1 ≥ 0

  ii. 3 x2 + 5 x + 1  0

  iii. x2 – 4 x + 3 > 0

  iv. 4 x – 3 ≤ x2




b) Penyelesaian

  Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berupa suatu daerah yang berada
  diluar atau diantara dua buah titik yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat.
  Dua buah titik dimaksut adalah titik potong dengan sumbu x atau akar-akar
  dari persamaan kuadratnya.

  Langkah - langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebagai
  berikut:

  1) Ubah pertidaksamaan kuadrat ke bentuk umum : ax2 + bx + c ≠ 0 ,
      tentukan akar-akar            persamaan kuadratnya ( jika ada ), kemudian
      letakkan pada garis bilangan seperti berikut :

                                               x1         x2

 2) Tentukan tanda - tanda pada daerah intervalnya, dengan ketentuan
     sebagai
     berikut:

      i.   ++        --        ++     , untuk bentuk soal dimana a > 0 ( positif )

                x1        x2



………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 132
                           MATEMATIKA DALAM MODUL

          ii.   ++       ---   ++     , untuk bentuk soal dimana a < 0 ( negatif )

     3) Tentukan daerah penyelesaiannya, yaitu daerah interval yang bertanda
         positif untuk soal lebih besar dari atau daerah interval yang bertanda
         negatif untuk soal kurang dari.

     4) Tuliskan himpunan penyelesaiannya, dengan ketentuan sebagai berikut:

            HP = { x / x > x2 atau x < x1 } , untuk                                      dan
            HP = { x / x , < x < x2 }, untuk
                                                                      x1        x2

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaiannya dari pertidaksamaan kuadrat di bawah
ini:

i.     x2 – 2 x – 3 ≥ 0

ii. -2 x2 + 3 x + 5 < 0

iii. 2 x2 + 3 x – 5 ≤ 0

Jawab:

i.     x2 – 2 x – 3 ≥ 0

            x2 – 2x – 3 ≥ 0, cari akar – akar dari x2 – 2x – 3 = 0
          (x+1)(x–3)=0

          x + 1 = 0 atau x – 3 = 0                    -1          3

                x = -1         x=3

            Tentukan tanda–tanda pada daerah interval
       karena a = 1 > 0 intervalnya adalah :          ++    ---            ++
            Tentukan daerah penyelesaiannya                     -1             3
       karena soalnya ≥ 0 ( lebih besar dari )

       penyelesaian pada interval bertanda positif         -1              3

            Tuliskan himpunan penyelesaiannya, sebagai berikut :
                               HP = { x / x ≤ -1 atau x ≥ 3 }


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..            Page 133
                              MATEMATIKA DALAM MODUL

       ii. -2x2 + 3x = 5 < 0

               Akar – akar dari persamaan -2 x2 + 3 x + 5 = 0 , adalah :
                                      ( -2 x + 5 ) ( x + 1 ) = 0

                                   -2x + 5 = 0 atau x + 1 = 0

                                       2x=5                 x = -1

                                              5
               --        ++   --      x=
                                              2

                              5
                    -1
                              2

                                            5
               HP = { x / x < -1 atau x >     }
                                            2
       iii. 2 x2 + 3 x – 5 ≤ 0

               Akar – akar dari persamaan 2 x2 + 3 x – 5 = 0
                                       (2x+5)(x–1)=0

                                    2x + 5 = 0 atau x – 1 = 0

                                                  5
                                         x=-                x=1
                                                  2

                                                  5
                                              -         1
                                                  2

                              5
               HP = { x / -     ≤ x ≤1}
                              2



Uji Kompetensi 3

1. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini :
    a. 5 – 3 x < -4
    b. 7x + 3 ≤ 9x – 11
    c. 5x – 7 < 6x 3 + < 9x – 2
    Jawab:


       ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 134
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     ___________




2. Tentukan himpunan penyelesaian dari petidaksamaan berikut ini :
     a.


     b.

     Jawab:

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     ___________




3.   Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksaman berikut ini :
     a.
     b. 3 x2 + x – 5 ≥ 2 x2 + 4 x + 1
     Jawab :

     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     _________________________________________________________________
     ___________




4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
     a.    -3x2 – 4x + 4 ≥ 0
     b. 5x2 – 3x – 2 > 0



          ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 135
                              MATEMATIKA DALAM MODUL


    c.

    Jawab:

    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    ___________




5. Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat di bawah ini adalah….
    a. 2x2 + 4x ≤ 3
    b. 5 – 2x2 > 3x

    c.

    Jawab:

    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    ___________




                                  III. PENERAPAN



A. APLIKASI PERSAMAAN



    1. Pengertian


         ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 136
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

        Persamaan linear baik yang tunggal maupun yang jamak dan membentuk
        system biasa digunakan pada masalah-masalah verbal. Pada pembahasan
        kali ini masalah verbal yang dimaksut adalah yang berkaitan dengan program
        bidang studi.




        Contoh :

        i.     Aku sebuah bilangan riil yang dapat disederhanakan menjadi 3/4 .Bila
        penyebut

             ku ditambah dengan 6 dan pembilangku dikurangi 3 maka nilaiku menjadi
        1/3 .

              Berapakah sebenarnya aku ?

        ii. Jika dua kali umur Ali ditambah empat kali umur Budi sama dengan 70
        tahun.

             Tetapi jika 5 kali umur Budi dikurangi 3 kali umur Ali sama dengan 27 tahun.

              Berapakah umur Ali dan umur Budi ?

        iii. Harga 5 buah pinsil dan 3 buah penggaris adalah Rp 12.700,00. Adapun
harga

              3 buah pinsil dan 7 buah penggaris adalah Rp 14.900,00. Berapakah
harga

              untuk 2 buah pinsil dan 4 buah penggaris ?




   2. Penyelesaian

             Untuk menyelesaikan masalah verbal, akan lebih mudah bila soal yang ada
             diubah ke model matematika yaitu dengan memisalkan komponen utamanya
             dengan menggunakan lamban-lambang, biasanya adalah x dan y yang
             selanjutnya disebut variabel. Sehingga soal verbal yang ada menjadi sebuah
             persamaan linear atau system persamaan linear yang berbentuk aljabar.



        ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 137
                     MATEMATIKA DALAM MODUL




 Contoh :

 Tentukan penyelesaian dari contoh-contoh soal di atas !

 Jawab :

 i. Misal bilangan itu adalah bilangan rasional




        Karena keduanya berupa system maka dikerjakan dengan cara berikut
    :

                     4x–3y=0                x   1           4x–3y=0

                     3x–y        = 15       x   3           9 x – 3 y = 45

                                                            -5 x     = -45

                                                                   x =

                                                                   x = 9 jadi pembilangnya
    =9

                     x=9        3 ( 9 ) – y = 15

                                            - y = 15 – 27

                                                y=

                                                y = 12 jadi penyebutnya = 12

        Jadi bilangan rasional dimak sut adalah

 ii. Misal umur Ali = x dan umur Budi = y, maka didapat system persamaan
    linear

                2 x + 4 y = 70      x   5            10 x + 20 y = 350

                -3x + 5 y = 27      x   4            -12 x + 20 y = 108


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..        Page 138
                             MATEMATIKA DALAM MODUL

                                                          22 x       = 242

                                                                  x =

                                                                  x = 11 jadi umur Ali 11
tahun

                         x = 11    2 ( 11 ) + 4 y = 70

                                                  4 y = 70 – 22

                                                   y=      = 12 jadi umur Budi 12 tahun

         iii. Misal : harga 1 buah pinsil = x dan harga 1 buah penggaris = y

                 5 x + 3 y = 12700        x   7          35 x + 21 y = 88900

                 3 x + 7 y = 14900        x   3           9 x + 21 y = 44700

                                                          26 x       = 44200

                                                                  x =

                                                                   x = 1700

                 x = 1700         5( 1700 ) + 3 y = 12700

                                                  3 y = 12700 - 8500

                                                    y=

                                                    y = 1400

                2 x + 4 y = 2( 1700 ) + 4( 1400 )

                            = 3400 + 5600

                            = 9000

            Jadi harga 2 buah pinsil dan 4 buah penggaris adalah Rp 9.000,00




        ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 139
                         MATEMATIKA DALAM MODUL




3. Sistem Persamaan Satu Linear dan Satu Kuadrat

 a. Bentuk Umum :

    y=mx+n                   ………….. bagian linear

    y = a x2 + b x + c      ………….. bagian kuadrat, a ,b , c , p , q




   Contoh :

   i.    Tentukan penyelesaian dari system persamaan berikut :
         y = x2 – 5 x + 4

         x=4y+1

    ii. Selesaiakan system persamaan berikut ini ;

          3 x + 2 y = 4 , y = - x2 + x + 1




  b. Penyelesaian
        Untuk menyelesaikan system persamaan berbentuk satu linear satu
        kuadrat secara umum dapat dilakukan dua langkah, sebagai berikut :
        1) Langkah 1
           Substitusikan bagian linear y = m x + n ke bagian kuadrat y = ax2 + bx
           +c
           diperoleh :    a x2 + b x + c                =mx+n
                          a x2 + b x + c – m x – n      =0
                          a x2 + ( b – m ) x + ( c – n ) = 0
           persamaan kuadrat dalam x.
        2) Langkah 2
           Nilai-nilai variabel x yang diperoleh pada langkah 1 (jika ada)
           selanjutnya disubstitusikan ke persamaan linear y = m x + n untuk
           mendapatkan y.

        Contoh :


  ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 140
                       MATEMATIKA DALAM MODUL

   Tentukan penyelesaian dari system persamaan berikut ini :

   i. y = x2 + 2 x – 5 , x = 3 y + 7

   ii. 3 x + 2 y = 4

        y = - x2 + x + 1

   Jawab ;

  i. y = x2 + 2 x – 5 ………………………………………………. ( 1 )

        x = 3 y + 7 ……………………………………………………. ( 2 )

  (2)     (1) : y = ( 3 y + 7 )2 + 2 ( 3 y + 7 ) – 5

                y = 9 y2 + 42 y + 49 + 6 y + 14 -5

                y = 9 y2 + 48 y + 58

                9 y2 + 47 y + 58        =0

                ( 9y + 29 )( y + 2 ) = 0

                9 y + 29 = 0 atau y + 2 = 0

                9y          = -29           y = -2

                         y =


  Untuk y =


                            =

                            =       diperoleh ( x , y ) = (       )

  Untuk y = -2         x = 3 .( -2 ) + 7
                           = -6 + 7
                           = 1 diperoleh ( x , y ) = ( -2 , 1 )

  Jadi himpunan penyelesaian adalah, HP = { ( -2 , 1 ) , (                  }

  ii. 3 x + 2 y = 4 ……………………………………. ( 1 )
        y = - x2 + x + 1 …………………………………. ( 2 )
  (1)      3x+2y=4


………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..       Page 141
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

               3x         =4–2y

                        x =            ………………………. ( 3 )

      (3)      (2): y=-(                )2 + (            )+1

                       y=

                       y=                             …. ( dikalikan dengan 9 )

                       4 y2 + 9 y – 10 y – 5 = 0
                       4 y2 – y – 5              =0
                       ( 4 y - 5 ) .( y + 1 )    =0
                        4 y – 5 = 0 atau y + 1 = 0
                        4y      = -5             y = -1

                              y =

      Untuk y =                            )




       Untuk y = - 1

                              = 2 , diperoleh ( x , y ) = ( 2 , -1 )

       Jadi himpunan penyelesaiannya, HP =




B. APLIKASI PERTIDAKSAMAAN



  1. Pengertian
    Pertidaksamaan biasanya diaplikasikan untuk masalah-masalah verbal
    ekonomi, khususnya pada program linear dan yang semacamnya. Dalam hal
    semacam itu pertidaksamaan difungsikan untuk menentukan nilai optimum
    dari fungsi sasaran yang tidak lain adalah terjemahan dari tujuan masalah
    verbal ekonomi yang dihadapinya, misalnya untuk memaksimumkan
    keuntungan atau meminimumkan biaya.


    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..     Page 142
                     MATEMATIKA DALAM MODUL

Contoh :
1. Seorang aquarium ikan hias menggunakan gerobak kecil untuk
    menawarkan dagangannya. Ikan mas kecil dijual seharga Rp 3.000,00 /
    ekor dan ukuran sedang dijual seharga Rp 5.000,00/ekor. Dengan modal
    sebesar Rp. 800.000 dan aquariumnya cuma mampu menampung 200
    ekor. Jika keuntungan tiap ekor ikan mas kecir Rp 750,00 dan ikan mas
    sedang Rp 1.000,00 maka buat model matematikanya dan hitung
    keuntungan yang kemungkinan dapat diperolehnya.
  ii. Suatu romongan darmawisata terdiri tak kurang dari 40 orang siswa akan

    mengadakan kunjungan ke suatu daerah wisata. Di tempat tersebut siswa
    menginap di dua penginapan berbeda sedikitnya 9 kamar. Kamar jenis I
    dapat menampung 3 orang dan kamar jenis II dapat menampung 5 orang.
    Jika sewa kamar jenis I Rp 75.000,00 dan kamar jenis II Rp 100.000,00
    semalam maka hitunglah berapa banyak kamar masing-masing harus
    disewa agar biaya yang dikeluarkan adalah seminimal mungkin.




2. Penyelesaian
    Untuk menyelesaikan masalah verbal dilakukan dengan cara mengubah
    terlebih dahulu soal ke bentuk model matematika yang biasanya berupa
    system pertidaksamaan. Kemudian menggambar semua pertidaksamaan
    yang ada dalam satu diagram, sehingga dapat ditentukan daerah
    penyelesaiannya.
    Contoh :
    i. Harga tiket Makassar Bone menggunakan angkot Rp 25.000,00 sedang
       untuk bus Rp 20.000,00 per penumpang. Jika dari 200 lembar tiket
       terjual diperoleh uang tak kurang dari Rp 4.600.000,00 maka tentukan
       berapa banyaknya tiket angkot dan tiket bus yang terjual pada hari itu.
    ii. Harga 2 kg lengkeng, dan 1 kg langsat tak kurang Rp 70.000,00 sedang
       harga 2 kg lengkeng dan 3 kg langsat tak lebih dari             Rp 130.000,00 .
       Jika harga 1 kg lengkeng dan 3 Kg langsat tak kurang dari                   Rp
       90.000,00 maka hitunglah harga 1 kg langsat !
    Jawab :




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 143
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

       i. Misal banyaknya tiket angkot = x lembar dan tiket bus = y lembar, maka
         :
         petidaksamaannya adalah :
          25000 x + 20000 y ≥ 4600000                   5 x + 4 y ≥ 920…………..( 1 )
          x + y = 200           x = 200 – y .....………………………………….. ( 2 )

             (2)    ( 1 ) : 5 ( 200 – y ) + 4 y ≥ 920

                                1000 – 5 y + 4 y ≥ 920

                                           -y      ≥ 920 – 1000
                                              - y ≥ -80 ………………………… ( 3 )
                                                y ≤ 80 (banyaknya tiket bus maksimal 80
lbr)
             (3)    ( 2 ) : x = 200 – 80
                             x = 80 ( banyaknya tiket anggkot 120 lembar )
                     Jadi       banyaknya tiket anggkot terjual adalah        120 lembar
                     sedang banyaknya tiket bus maksimal 80 lembar.
       ii. Model pertidaksamaannya :
             2 x + y ≥ 70000 …………………………………………… ( 1 )
             2 x + 3 y ≤ 120000 ……………………………………………( 2 )

              x + 3 y ≥ 90000 ……………………………………………..( 3 )

             digambar pada diagram cartesius, sebagai berikut :

                                 y

                    70000

                                                            Koordinat HP :

                     40000                    HP              A ( 30000 , 20000 )

                   30000                  B                        B ( 22500 , 45000 )

                                     C      A                  C ( 24000 , 22000 )




                            0            35000      60000         90000




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..           Page 144
                            MATEMATIKA DALAM MODUL




                  Jadi harga 1 kg langsat antara Rp 20.000,00 dan Rp 22.000,00




Uji Kompetensi 4

  1. Umur Amir 5 tahun yang lalu tak lebih 3 tahun lebihnya dari umur Budi. Jika
     umur Budi sekarang 15 tahun maka hitung berapa umur Amir sekarang !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
  2. Harga 2 batang pinsil dan 3 buah buku tak lebih dari Rp 10.200,00 sedang
     untuk 5 batang pinsil dan 4 buah buku tak kurang dari Rp 17.100,00. Hitunglah
     berapa perkiraan harga 1 batang pinsil dan harga I buah buku !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………………
  3. Tentukan himpunan penyelesaian dari system berikut ini :
     a. 3 x + y = 15 , y = - x2 + 4 x + 3
     b. 2 x – y = 4 , y = 2 x2 + x – 5
     c. x + 5 y = 3 , y = x2 + 2 x + 1
     Jawab ;

     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………………

  4. Tentukan koordinat titik potong dari pertidaksamaan berikut ini :
     a. 5 x – y = 4
         y = x2 - 2 x + 2
     b. 2 x + y = - 3
         y = - x2 – x + 3


     ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 145
                         MATEMATIKA DALAM MODUL

   c. x – y = 3
       y = 2 x2 – 3 x – 3

   Jawab :

   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………….……
   ……………………………………………………………………………..




5. Seorang aquarium ikan hias menggunakan gerobak kecil untuk menawarkan
   dagangannya. Ikan mas kecil dijual seharga Rp 3.000,00 / ekor dan ukuran
   sedang dijual seharga Rp 5.000,00/ekor. Dengan modal sebesar Rp. 800.000
   dan aquariumnya cuma mampu menampung 200 ekor. Jika keuntungan tiap
   ekor ikan mas kecir Rp 750,00 dan ikan mas sedang Rp 1.000,00 maka buat
   model matematikanya dan hitung keuntungan yang kemungkinan dapat
   diperolehnya.
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………………




6. Suatu romongan darmawisata terdiri tak kurang dari 40 orang siswa akan

   mengadakan kunjungan ke suatu daerah wisata. Di tempat tersebut siswa
   menginap di dua penginapan berbeda sedikitnya 9 kamar. Kamar jenis I dapat
   menampung 3 orang dan kamar jenis II dapat menampung 5 orang. Jika sewa
   kamar jenis I Rp 75.000,00 dan kamar jenis II Rp 100.000,00 semalam maka
   hitunglah berapa banyak kamar masing-masing harus disewa agar biaya yang
   dikeluarkan adalah seminimal mungkin.

   Jawab :




    ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 146
                        MATEMATIKA DALAM MODUL

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………



                                    RANGKUMAN
Persamaan adalah kalimat matematika             Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
terbuka yang menggunakan tanda “ = “            Ada tidaknya akar-akar persamaan
                                                kuadrat ditentukan oleh besarnya nilai
                                                                   2
Persamaan linear adalah persamaan               diskriminan, D = b – 4.a .c . Dilihat dari
dengan derajat atau pangkat tertinggi           besarnya nilai diskriminan D jenis-jenis
atas peubah ( variabel ) nya adalah satu.
                                                akar-akar persamaan kuadrat, adalah :
a. Persamaan Linear Satu Peubah
     ax+b=c
                                                a.   Jika D>0 maka akar-akar riil dan
b. Persamaan Linear Dua Peubah                       berlainan, x1 x2
    a x + b y = c ….. bentuk implisit           b.   Jika D = 0 maka akar-akar riil dan
                                                     kembar ( sama ) , x1 = x2
     y = m x + n …… bentuk eksplisit            c.   Jika D < 0 maka akar-akar imajiner
                                                     atau khayal, x1 dan x2 tidak ada.


Sistem Persamaan Linear, bentuk umum            Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat
a. a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 atau
                                                a. Rumus jumlah akar : x1 + x2 =
b. a1 x + b1 y = c1
     a2 x + b 2 y = c 2                         b.   Rumus hasil kali akar : x1. x2 =


Penyelesian Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear diselesaikan            Jika α dan β Akar-akar Pk, maka :
                                                a.         ( x – α ).( x – β ) = 0 atau
dengan 5 cara , yaitu :                                    2
                                                b. PK x – ( α + β ) x + ( α . β ) = 0
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
                                                Pertidaksamaan Linier
c. Metode Gabungan Eliminasi-Substit
                                                Bentuk Umum :
d. Metode Determinan
e. Metode Grafik                                a. a x + b c , satu peubah
                                                b. a x + b y c, dua peubah
Persamaan Kuadrat adalah persamaan
dengan derajat tertinggi peubahnya dua.
                                                Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Bentuk Umum :
   2
                                                Yang perlu diperhatikan dalam
a x + b x + c = 0; a , b & c ,a
                                                menyelesaikan pertidaksamaan linear :
                                                a. Jika kedua ruas ditambah atau diku
Penyelesaian Persamaan Kuadrat                      rang bilangan yang sama tanda
Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan              tetap
dengan 5 cara, yaitu :                          b. Jika kedua ruas dikali atau dibagi de
a. Faktorisasi , ( x – x1) ( x – x2 ) = 0           ngan bilangan positif tanda tetap
b. Melengkapkan kuadrat                         c. Bila kedua ruas dikali atau dibagi de
                          2
c. Rumus pq , untuk x + p x + q = 0                 ngan bilangan negarif maka tanda
                                                    pertidaksamaan berubah
     akar-akarnya :
                         2
d.   Rumus abc, untuk a x + b x + c = 0,
                                                 Pertidaksamaan Kuadrat
   akar-akarnya : ……..……….….. matematika kelas x a x2 + b x + SMK 0, Penyelesaiannya :Page 147
………………. …. ERMAN                                 ……………..….. c     ……………………..
e. Metode Grafik                                 a. HP = { x / x< x1 atau x > x2 } atau
                                                 b. HP = { x / x1 < x < x2 , x R }
                               MATEMATIKA DALAM MODUL




  Peta Konsep
   PETA KONSEP


                              PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN




                          Persamaan                                   Pertidaksamaan




             Linear                  Kuadrat                     Linear             Kuadrat




                                                                               Penyelesaiann
*Menggunakan garis bilangan
        Penyelesaian        Akar-akar                                                n
     Sistem Persamaan

*Menggunakan sketsa grafik :
     2
                                                                              *Menggunakan
y = ax + bx + c
                                                                              garis bilangan



                                                                              *Menggunakan
         Metode Eliminasi        Faktorisasi            Jenis Akar-akar       sketsa grafik :
         Metode                  Kuadrat                *D > 0, x1 x2
                                                                                    2
         Substitusi              Sempurna               *D = 0 , x1 = x2      y = ax + bx + c
                                 Rumus pq               *D < 0 , Khayal
         Gabungan Elimi-
                                 Rumus abc
         nasi Substitusi                                Sifat-sifat Akar
                                 Cara Grafik
          ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas *x1 + x2 =
         Cara Determinan                                x ……………..….. SMK ……………………..        Page 148
         Metode Grafik                                  *x1 . x2 =
                                                      PK Baru :
                                                    (x – x1)(x – x2) = 0
                                 MATEMATIKA DALAM MODUL




PENILAIAN KOMPETENSI



Program            : Semua Program

Kelas/ Semester : X / 1

Waktu              : 120 menit




Soal Penilaian :

1.    Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini :
           3    3      3
      a.     x   4x  , x = …
           2    5      7
            1
      b.    2  5     , x=…
             2      5
         3  x 2x 
             3      3
      Jawab:




           ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 149
                                   MATEMATIKA DALAM MODUL

          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          ________________




2.        Cari penyelesaian dari persamaan sistem persamaan berikut ini:
          a. 5x – 2y = 16 ,       3x + 5y = -9
          b. 2x – 3y = 2      ,   2x2 + 2y = 20
          Jawab:

          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          ________________




     3.      Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan berikut ini:
          3x – 2y + z = 12 , 2x + 3y + 2z = 9 , -x + 5y – 3z = 19

          Jawab:

          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          _________________________________________________________________
          ________________




     4.     Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat di bawah ini :
          a. 7x2 + 5x – 2 = 0
          b. 3x2 – 11x – 4 = 0
          Jawab:




              ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 150
                                        MATEMATIKA DALAM MODUL

          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          ____________



                                    2
5.        Jika x1 dan x2 akar           dari persaman kuadrat 4x2 + x – 5 = 0, maka tentukan
          persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3x1 + 2 dan 3x2 – 2 !
          Jawab:

          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          ____________




     6.        Jika  dan  akar – akar dari persaman kuadrat 6x2 + 7x – 3 = 0, maka hitunglah
          :
                  1    1
          a.              ......          b.  2   2  ......     c.  3   3  ......
                 2  2

          Jawab:

          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          __________________________________________________________________
          ____________




                                                                      3      2
7.        Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya                dan - !
                                                                      5      3
          Jawab:




                 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..    Page 151
                                MATEMATIKA DALAM MODUL

      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      ____________




8.    Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya tiga kali akar-akar persaman
      kuadrat    3x2 - 20x - 7 = 0 !
      Jawab:

      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      ____________




                                     19                            6
9.    Dua bilangan jumlahnya            dan hasil kalinnya adalah    . Tentukan kedua
                                     15                           15
      bilangan itu !
      Jawab:

      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      __________________________________________________________________
      ____________




10.   Untuk memproduksi meubel diperlukan biaya Rp. 450.000,00 perunitnya dengan
      biaya tetap sebesar Rp. 7.500.000,00 sebulan. Meubel dijual seharga Rp.
      950.000,00 perunit. Hitunglah banyaknya meubel yang harus dibuat dan laku
      terjual perbulannya, agar:
      a. Memperoleh laba minimal Rp. 3.000.000,00 sebulan.
      b. Mnderita rugi tak lebih Rp. 150.000,00 sebulan.


           ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 152
                               MATEMATIKA DALAM MODUL

     Jawab:

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ____________

11. Nita, Yuni, dan Ida berbelanja di swalayan. Nita membeli 12 kg jeruk , 4 kg anggur,
     dan 7 kg apel harus membayar Rp 111.000,00. Yuni membeli 5 kg jeruk , 3 kg
     anggur dan 8 kg apel seharga Rp 73.500,00. Ida membeli 12 kg jeruk, 6 kg anggur,
     dan 10 kg apel harus membayar Rp 138.000,00.

     a. Berapakah harga setiap kg untuk jeruk, anggur, dan apel

     b. Jika Nita membeli 3 kg jeruik, 4 kg anggur, dan 7 kg apel, berapakah jumlah
     uang

        yang harus di bayarkan ?

     Jawab :

     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     __________________________________________________________________
     ____________




12. Adi membeli 5 buku dan 3 pensil, dia membayar tak kurang dari Rp. 14.500,00. Jika
     harga buku Rp. 2.000,00 per buahnya, maka hitung harga 5 buah pensil !

     Jawab:




          ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 153
                      MATEMATIKA DALAM MODUL




                       DAFTAR PUSTAKA




                               Daftar Pustaka


Bambang, SP Drs, . 2007 . Modul Matematika untuk SMK Kelas 1 .
Surakarta . Cahaya Mentari.


Sumadi, dkk, 1994 . Matematika SMU . Surakarta . Tiga Serangkai.


Depdiknas . 2006 . Silabus Mata Pelajaran Matematika Kelompok
Teknologi . Jakarta. Ditjen Managemen Dikdasmen Ditna SMK.


Gunawan, K. Adi , Drs, . 2002 . Tangkas Matematika untuk SMU .
Surabaya . Kartika.




 ………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 154
                     MATEMATIKA DALAM MODUL




………………. …. ERMAN ……..……….….. matematika kelas x ……………..….. SMK ……………………..   Page 155

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:505
posted:6/29/2012
language:Malay
pages:155
Description: Modul Matematika