; Matematika SMK Teknik Kelas XII
Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out
Your Federal Quarterly Tax Payments are due April 15th Get Help Now >>

Matematika SMK Teknik Kelas XII

VIEWS: 4,682 PAGES: 104

Modul Matematika

More Info
  • pg 1
									                                                                MODUL

                                Bab I
                   TEORI PELUANG
                       ( PROBABILITAS )


  Standar Kompetensi
                            Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang


  Kompetensi Dasar
              *     Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi
              *     Menghitung peluang suatu kejadian


                                      Isi Inti Modul
                                      A. Kaidah Pencacahan
                                      B. Permutasi dan Kombinasi
                                      C. Kejadian
                                      D. Peluang
                                      E. Frekuensi Harapan


      Tujuan Pembelajaran

Kriteria kinerja yang diharapkan dapat dicapai usai pengajaran kompetisi
Teori Peluang ini, adalah agar siswa berkemampuan dalam :
1. Mendiskripsikan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi
   dan kombinasi.
2. Menghitung nilai akhir bilangan faKtorial.
 3. Mencari banyaknya cara menyusun r unsur dengan permutasi
4. Mencari banyaknya cara menyusun r unsur dengan kombinasi
5. Membedakan pengertian antara kepastian dan kemustahilan
6. Menghitung besarnya peluang suatu kejadian
7. Menghitung besarnya frekuensi harapan suatu kejadian
8. Menghitung besarnya peluang suatu kejadian saling lepas
9. Menghitung besarnya peluang suatu kejadian saling bebas
10. Menggunakan konsep Teori peluang dalam masalah keseharian.


     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    1
                                                                      MODUL
Berdasarkan unjuk kriteria kinerja di atas konsep teori peluang dirasa
perlu dikaji lebih seksama mengingat hampir setiap saat selalu dijumpai
hal-hal yang berkaitan dengan peluang. Materi dasar sebagai pendukung
diantaranya adalah bilangan real, khususnya operasi perkalian dan
pembagian, juga konsep himpunan seperti pengertian saling lepas dan
saling bebas.



  Kemampuan Prasyarat                     Kemampuan dasar yang harus dimiliki
                                          Siswa sebelum mempelajari modul ini
          adalah : operasi bilangan riil , aljabar , teori himpunan dan fungsi.




   Uji Kompetensi Awal

Sebelum mempelajari bab-bab dalam modul teori peluang ini, kerjakanlah
soal-soal berikut ini :
1. Tentukan hasil perhitungan soa berikut ini :
   a. 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = ….
         12 x 11 x 10 x 9 x 8
   b.                          ...
          6 x5 x4 x3x2

              2 1 5
   c. 3 -         ....
              3 6 9
2. Tentukan P’ jika P = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 } dan S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,
   8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 }
3. Diketahui :
   A = Himpunan bilangan asli kurang dari 15
   B = Himpunan bilangan prima kurang dari 25
   Tentukanlah :
   a.     AB 
   b.     AB 
   c.     A  B ’

        ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                        2
                                                                 MODUL
A. PENDAHULUAN

 Sejak peradaban awal dimulai, manusia sudah terbiasa memakai
 kemungkinan sebagai peruntungan bagi dirinya. Apakah itu menggunakan
 ( bintang ), anak panah, undian dan sebagainya, sebenarnya hanya
 mengolah    dari   sekian   banyak     solusi   masalah   dan   menetapkan
 kemungkinan yang dominan.


 Dalam abad pertengahan dimana matematika sudah mulai berkembang,
 segala yang berkaitan dengan kejadian, harapan terjadi atau tidak terjadi,
 dan peluang dirangkum dalam sebuah disiplin ilmu dengan nama
 probabilitas atau teori kemungkinan.


 Pada kompetensi teori peluang atau          probabilitas yang akan dicapai
 adalah kejadian dan peluangnya dengan materi pengantar bilangan
 faktorial, permutasi dan kombinasi. Pada bagian akhir akan dibahas
 dengan percobaan, kejadian dan peluang serta frekuensi harapan.


B. KAIDAH PENCACAHAN

  Prinsip Dasar Membilang


   1. Kaidah Dasar


       Dalam melakukan suatu operasi, bila terdiri atas dua tahap dimana
       tahap pertama dilakukan dengan n1 cara yang berlainan kemudian
       dilanjutkan dengan tahap kedua dengan n 2 cara yang berlainan,
       maka banyaknya cara yang dapat dilakukan terhadap kedua tahap
       itu adalah n1. n2 cara yang berlainan. Cara pencacahan seperti itu
       disebut kaidah pencacahan.



      ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 3
                                                               MODUL
 Contoh :
 i. Ali berangkat dari rumah ke sekolah melalui terminal. Dari rumah
    ke terminal ada 3 jalan dan dari terminal ke sekolah ada 5 jalan.
    Tentukan banyaknya cara jalan yang dapat ditempuh dari rumah
    ke sekolah dan uraikan.
    Jawab :
    Total cara jalan dari rumah ke sekolah ada 3 . 5 cara = 15 cara.
    Selanjutnya dapat ditunjukkan diagram, sebagai berikut :
                                                       1
                        a
                                                      2
     Rumah                         terminal                          sekolah
                     b
                                                      3
                     c                                4

                                                      5


    Dari rumah ke terminal ada 3 jalan, yaitu a, b dan c. Jika dari
    terminal ke sekolah ada 5 jalan. Jadi dari rumah ke sekolah ada
    3 x 5 jalan = 15 jalan, ke 15 jalan itu masing-masing adalah
    sebagai berikut :
      Jalan a,1 ; jalan a,2 ; jalan a,3 ; jalan a,4 ; jalan a,5
      Jalan b,1 ; jalan b,2 ; jalan b,3; jalan b,4 ; jalan b,5 dan
      Jalan c,1 ; jalan c,2 ; jalan c,3 ; jalan c,4 ; jalan c,5.
    Jadi total jalan yang dapat dilalui ada 15 jalan yang berbeda
    kondisinya.


 ii. Hitung berapa banyak cara untuk membuat angka ratusan kurang
    dari 300 dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 diama boleh ada angka
    kembar!
    Jawab :
    Angka ratusan berarti angka itu terdiri atas 3 angka.
      Bilangan pertama ( ratusan ) ada dua angka yang memenuhi,
      yaitu angka 1 dan angka 2 karena diminta kurang dari 300.
      Bilangan kedua ( puluhan ) ada lima cara, yaitu 1, 2, 3, 4 dan 5
      Bilangan ketiga ( satuan ) ada lima cara yaitu 1, 2, 3, 4 dan 5.


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                        4
                                                                      MODUL
         Jadi bilangan ratusan kurang dari 300 yang adapat disusun dari
         angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah = 2 x 5 x 5 cara
                                                  = 50 cara ( bilangan ).


2. Faktorial


   Bilangan faktorial diberi notasi, n ! adalah perkalian berjenjang atas
   bilangan asli terurut ke bawah dari n hingga satu.
   Jadi n ! = n . ( n - 1 ) . ( n - 2 ) . ( n - 3 ) …        3 . 2 . 1 , dengan
   penetapan bahwa             0 ! = 1 dan
                                1 ! = 1.


   Contoh :
   i. 5 ! = 5. 4. 3. 2. 1
             = 120
   ii. ( 3 + 4) ! = 7 !
                  = 7.6.5.4.3.2.1
                  = 5040
   iii. ( 3 . 4 ) ! = 12 !
                  = 12 . 11. 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
                  = 187 084 800
          10 !           10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
   iv.            =
           8!              8.7.6.5.4.3.2.1
                  = 10 . 9
                  = 90       atau
           10 !          10 .9. 8 !
                     =
            8!               8!
                  = 10 . 9
                  = 90
   v. (7 – 3) ! = 4 !
                     = 4.3.2.1
                     = 24


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                         5
                                                                    MODUL
C. PERMUTASI DAN KOMBINASI


  1. Permutasi, P


     a)   Pengertian :


          Permutasi k unsur dari n unsur yang ada, adalah penempatan
          kembali k unsur ke dalam            n unsur yang ada dengan
          memperhatikan urutannya. Permutasi diberi notasi “ P “. Jadi
          kPn   , dibaca permutasi k unsur dari n unsur yang ada.


          Contoh :
          Dari tiga buah huruf, masing-masing A , B dan C akan disusun dua
          huruf - dua huruf yang berbeda.
          Jawab :
          Pasangan huruf - huruf yang mungkin dapat disusun adalah :
          AB BA AC CA BC            CB.
          Jadi untuk menyusun dua huruf- dua huruf yang berbeda dari
          huruf     A , B , dan C ada sebanyak 6 pasangan huruf yang
          berbeda.


     b) Rumus Permutasi :


          1) Permutasi n Obyek Berbeda


                Permutasi terhadap n obyek yang berbeda diberi notasi nPn,
                adalah penempatan kembali n obyek ke dalam n unsur yang
                berbeda yang banyaknya adalah n !.
                Jadi nPn = n !


                Contoh :
                Berapa banyak susunan huruf yang berbeda dapat dilakukan

      ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  6
                                                                  MODUL
      pada tiga buah abjad A B dan C !
      Jawab :
       Posisi pertama dapat dipilih 3 abjad
       Posisi kedua dapat dipilih 2 abjad ( 1 abjad sudah terpakai )
       Posisi ketiga dapat dipilih 1 abjad ( 2 abjad sudah terpakai )
      Sehingga banyaknya susunan berbeda adalah = 3 . 2 . 1 = 6
      cara, susunan huruf yang ada adalah, sebagai berikut :
                                         B      C :     ABC
                   A
                                         C      B :     ACB
                                         A      C :     BAC
                   B
                                         C      A :     BCA
                                         A      B :     CAB
                   C
                                         B      A :     CBA
      Atau dengan rumus permutasi 3P3 = 3 !
                                                      = 3.2.1
                                                      = 6 cara.


    2). Permutasi r Obyek dari n Obyek Berbeda


      Permutasi k unsur dari n unsur yang berbeda diberi notasi :
      nPk atau P( n,k ) atau Pkn dengan k  n dan dirumuskan,

      sebagai berikut :

                                       n!
                        n Pk   =
                                   ( n  k )!

      Contoh :
      i. Berapa banyak cara memilih 3 orang siswa untuk menjadi
         ketua, sekretaris dan bendahara kelas dari 30 orang siswa.
      ii. Hitunglah :

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   7
                                                                 MODUL
         a.   2P5

         b.   3P5

         c.   5P5

      Jawab :
      i. Tiga orang yang dipilih masing-masing berbeda atau urutan
        diperhatikan, jadi peristiwanya adalah permutasi 3P30 .
                                             30 !
                              3P30   =
                                         ( 30  3 ) !

                                           30 !
                                     =
                                           27 !

                                           30 . 29 . 28 . 27 !
                                     =
                                                  27 !

                                     =     24360
        Jadi untuk memilih 3 orang dari 30 orang yang berbeda ada
        24.360 cara.
                            5!
      ii. a. 2P5 =
                         5  2 !
                        5 x 4 x 3 x 2 x1
                    =
                            3 x 2 x1

                    = 20

         b. 3P5 =

                =

                    = 60
         c. 5P5 =

                    =
                    =
                    = 5!


     3) Permutasi Dengan n Obyek yang Tidak Semua Berbeda
        Bila diantara n unsur ada a, b, c … unsur yang sama, maka
        permutasinya adalah :


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  8
                                                               MODUL

                               n!
                    P =
                             a!b!c!

        Contoh :
        i. Hitunglah berapa banyak susunan huruf berbeda dapat
          disusun dari kata KUPU KUPU !
          Jawab :
          Kata KUPU KUPU berjumlah 8 huruf dengan huruf-huruf
          kembar adalah :
                     K ada 2 huruf
                     U ada 4 huruf
                      P ada 2 huruf
                                                 8!
          Banyaknya permutasi, P =
                                             2 !.4 !. 2 !

                                          8 .7 . 6 . 5 . 4 !
                                      =
                                            2!4!2!

                                      =   420
          Jadi permutasi berbeda yang dapat disusun dari KUPU
          KUPU ada 420 cara, huruf-huruf tersebut adalah KUPU
          KUUP, KUPU UKUP, KUPU PUKU, KUPU UKPU, dan
          seterusnya.


     4) Permutasi Siklis


        Ada kalanya n buah unsur yang disusun akan membentuk
        suatu lingkaran ( siklis ), cara menyusun seperti itu disebut
        permutasi lingkaran. Banyaknya cara menyusun kembali n
        unsur berbeda ke dalam n unsur yang ada dan membentuk
        lingkaran adalah :

                     P = (n-1)!




……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 9
                                                                  MODUL
     Contoh :
       i. Hitunglah berapa banyak cara 4 orang untuk dapat duduk
        pada kursi persidangan yang disusun membentuk lingkaran !
     Jawab :
        Misal anak nomor 1 duduk pada kursi yang tetap, kemudian
        menyusul tiga anak yang lain pada kursi yang berbeda.
        Untuk cara ini dapat dilakukan dalam 3 ! = 3 . 2 . 1 = 6 cara.
        Atau dengan cara lain seperti berikut.
        Perhatikan gambar di bawah ini :


                    2
                                          Jika     keempat        anak   itu
                                          diletakkan posisi 1, 2, 3 dan 4
                                          bergantian searah jarum jam
            1
                                3
                                          dalam sebuah lingkaran, maka
                                          mereka      tetap       membentuk
                    4
                                          susunan yang sama.
        Karena itu, penyusunannya harus mendudukkan seorang
        anak pada kursi yang tetap dan kepada ketiga anak yang lain
        posisinya    bergerak       melingkar.     Penyusunan        tempat
        duduknya, seperti berikut :
  Kursi no.1    Kursi no.2   Kursi no.3      Kursi no.4   Susunan anak


        A               B             C             D         :    ( ABCD )
                                      D             C     :        ( ABDC )
                        C             B             D         :    ( ACBD )
                                      D             B     :        ( ACDB )
                        D             B             C     :        ( ADBC )
                                      C             B         :    ( ADCB )
        banyaknya susuan melingkar = ( 4 – 1 ) !
                                           = 3!
                                           = 6 cara



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                       10
                                                                   MODUL
        Jadi banyaknya cara 4 anak duduk pada kursi yang disusun
        secara melingkar ada 6 cara yang berbeda.


     ii. Diketahui 5 buah bilangan : 4, 5, 6, 7 dan 8 akan disusun
        menjadi suatu angka terdiri dari :
        a. Tiga angka
        b. Empat angka genap
        c. Lima angka
        Dengan syarat tidak boleh ada angka kembar !
     Jawab :
                                                                 5!
        a. Dari 5 angka diambil 3 angka, maka 5P3 =
                                                              (5  3)!
                                                            5 . 4. 3. 2. 1
                                                       =
                                                                 2. 1

                                                       = 160
               Jadi untuk menyusun bilangan terdiri 3 angka dari 5
          angka yang tersedia dengan tidak ada angka kembar ada
          160 cara.
        b. Dari 5 angka diambil 4 angka dan harus genap, berarti
          angka terakhir harus 4, 6 atau 8 terlihat ada tiga cara,
          masing – masing ada tiga tempat kosong untuk empat
          angka tersisa, banyaknya bilangan yang dimaksud, adalah
                                 = 3  4P3
                                           4!
                                 = 3            = 3  24
                                        (4  3)!
                                 = 72
        Jadi ada 72 cara ( macam bilangan berbeda ).
     c. Dari 5 angka berbeda akan disusun secara acak, maka
        banyak cara yang ada adalah :
                                        5!
                        5   P5   =
                                     (5  5)!




……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                          11
                                                                    MODUL
                                          5!
                                    =
                                          0!

                                          5.4.3.2.1
                                    =
                                              1
                                    = 120.
        Jadi ada 120 cara ( angka berbeda ).


2. Kombinasi, C :


  a. Pengertian


     Kombinasi r unsur dari n unsur yang ada adalah peyusunan
     kembali r unsur yang ada ke dalam n unsur yang ada dengan
     tanpa memperhatikan urutanya. Kombinasi ditulis dengan
                          r
     notasi . n Cr atau C n atau C ( n,r ).


  b. Rumus Kombinasi


     Kombinasi r unsur dari n unsur yang ada dirumuskan sebagai
     berikut :

                                n!
                   n Cr =
                            r!(n  r )!                 , r  n




     Contoh :
     Tentukan berapa cara untuk memilih tiga orang wakil kelas
     untuk ikut rapat OSIS dari kelas dengan 30 siswa.
     Jawab :
     Dalam peristiwa seperti ini urutan tak diperhatikan atau peristiwa
     nya merupakan suatu kombinasi, berarti kombinasi 3 dari 30 :
                                                        30 !
                                   30 C3       =
                                                   3 ! (30  3) !


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                     12
                                                                         MODUL
                                                       30 . 29 . 28 . 27 !
                                                  =
                                                         3 . 2 .1 . 27 !

                                                       24360
                                                 =
                                                         6
                                                 =     4060.
       Jadi untuk memilih 3 orang secara acak dari 30 orang, ada 4060
       cara.


3. Hubungan Permutasi dan Kombinasi


  Antara permutasi dan kombinasi terdapat hubungan, sebagai
  berikut :

                                n Pr        n!
                      nCr   =        
                                 r!    r !( n  r )!



  Contoh :
  Selesaikan soal-soal berikut ini :
  i.           Tentukan nilai n , jika nP2 = 56
  ii. Tentukan nilai n , jika nC4 = 30 ( nC3 )
                                                 2nP2
  iii. Tentukan nilai n , jika 2 ( nC2 ) =
                                                   5
  Jawab :
                             n!
  i.           nPr =
                         ( n  r )!

                       n!
       nP2 =
                   ( n  2 )!

                   n.( n  1).( n  2)!
       56      =
                         (n  2)!
       56      = n(n–1)
       56      = n2 – n
        n2 – n – 56 = 0


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                          13
                                                                          MODUL
           (n+7)(n–8)=0
       n + 7 = 0 atau n – 8 = 0
       n           = -7             n = 8 ( memenuhi )
     Jadi nP2 = 56 dipenuhi oleh nilai n = 8
  ii. n C 4 = 30 ( nC3 )
         n!                    n!
                    30 (                )
    4 !( n  4 ) !        3 !( n  3 ) !

                n!                30 . n !
                        
          4 ! ( n  4 ) ! 3 ! (n  3 ).( n  4) !

      3 ! ( n – 3 ) = 30. 4 !
       3 ! ( n – 3 ) = 30. 4. 3 !
           n               = 120 + 3
     Jadi n                  = 123
                           2nP2
  iii. 2 ( nC2 )      =
                             5
                          ( 2 n )!
             n!         ( 2 n  2 )!
     2 (             )
         2!( n  2 )         5
                   n. ( n  1 ) ( n  2 )! 2 n ( 2 n  1 ) ( 2 n  2 )!
      2.5                                
                       2.1.( n  2 )!              ( 2 n  2)!

      5(n–1)                            =2(2n–1)
      5n–5                              =4n–2
      5n–4n                             =5–2
                               n        = 3
     Jadi n = 3
  Perhatikan !
  Dalam hal mengerjakan persamaan seperti di atas sama halnya
  seperti pengerjaan pada operasi bilangan real, jadi semua cara
  dan aturan yang ada juga sama.




……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                           14
                                                               MODUL
  Uji Sub Kompetensi 1


  Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
  1. Hitunglah berapa banyak cara untuk menentukan juara I, juara
     II dan juara III dari 8 orang finalis !
     Jawab
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


  2. Seorang siswa harus tampil dua kali. Pada penampilan
     perdana Dia bebas memilih satu dari selusin pakaiab yang
     tersedia, pada penampilan kedua Dia boleh memilih satu darai
     7 pakaian. Berapa banyak cara yang mungkin dipilih oleh siswa
     dalam kedua penampilannya tersebut !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


  3. Selesaikan permutasi di bawah ini :
     a.   3nP4                                 c. 7P2
     b.   12P4 /   6                           d. 12P5 : 8P3
     Jawab :
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


  4. Hitunglah nilai kombinasi berikut ini :

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                15
                                                             MODUL
     a.   3nC4                           c. 7C2
     b.   12C4   /6                      d.   12C5   : 8C3
     Jawab :
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


  5. Tentukan nilai dari permutasi – kombinasi di bawah ini :
     a.   4P3   . 4C3 = …               c. 2nP3 . 3nC2 = …
     b.   6P3 .9C2    =…                d. 4P3 : 4C3 = …
     Jawab :
     …………………………………………………………………..……
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


  6. Hitung berapa banyak cara 3 orang gadis dan 2 orang pemuda
     dapat disusun dalam satu baris, sehingga :
     a. Pemuda selalu bergandengan.
     b. Gadis dan pemuda berselang-seling.
     Jawab :
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


  7. Berapa banyak cara seorang siswa untuk memilih 10 nomor
     dari 12 nomor soal yang disediakan !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                              16
                                                        MODUL
        …………………………………………………………………………
        …………………………………………………………………………


     8. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut ini :
        a.   7Cn   = 0,7. 6Pn , n = …
        b.   nP3   = 6 . nC7 , n = …
        Jawab :
        …………………………………………………………………………
        …………………………………………………………………………
        …………………………………………………………………………
        …………………………………………………………………………




D. PELUANG SUATU KEJADIAN


 1. Kejadian


   a. Pengertian


       Kejadian adalah suatu peristiwa terjadinya suatu objek akibat
       adanya percobaan.


       Contoh:
       i. Pada pelambungan uang logam satu kali, maka
         A = kejadian munculnya angka
         G = kejadian munculnya gambar
       ii. Pada pelambungan sebuah mata dadu sebanyak satu kali,
         maka kejadian yang mungkin adalah munculnya mata dadu
         atau banyaknya ruang sampel yang mungkin adalah,
         S={1,2,3,4,5,6}.




   ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                            17
                                                       MODUL
  b. Kejadian atau Peristiwa


     Dalam suatu percobaan munculnya suatu obyek disebut kejadian
     Jumlah semua kejadian yang ada disebut populasi dan bagian
     dari populasi adalah sampel.


     Contoh :
     Dalam pelambungan sebuah dadu, ruang sampel atau kejadian
     yang mungkin akan muncul adalah angka-angka 1 , 2 , 3 , 4 ,
     5 , 6.
     Jumlah populasi ada 6 buah, macam-macam kejadian yang
     mungkin ( ruang sampel ) diantaranya, adalah : kejadian muncul
     angka 1, kejadian muncul angka 1 atau 2, kejadian muncul
     angka kurang dari 5 dan sebagainya.


2. Peluang


  a. Pengertian


     Peluang adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dalam
     sekian kali atau n kali percobaan. Jika pada n kali percobaan
     terjadi peristiwa A sebanyak k kali, maka frekuensi relatif
     terjadinya peristiwa A adalah k/n dan ditulis :

                                        k
                           Fr ( A ) =
                                        n


     Fr adalah frekuensi relatif.


     Jika sebuah ruang sampel S mempunyai n titik sampel yang
     masing-masing berpeluang sama untuk muncul, maka setiap titik
     sampel mempunyai peluang 1/n.



 ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                             18
                                                                          MODUL
    Jika kejadian A memuat k titik sampel, maka peluang kejadian A
    adalah k/n.


b. Rumus Peluang


    Jika banyaknya kejadian peristiwa A adalah a buah dan
    banyaknya ruang sampel adalah               n, maka peluang terjadinya
    peristiwa A , ditulis P (A) adalah:

                                     n  A   a
                           P (A) =          =
                                     n S    n

    Keterangan :
                n ( A ) = banyaknya cara terjadinya peristiwa A
                n ( S ) = banyaknya cara ruang sampel S dapat terjadi


    Contoh :
    a. Pada pelambungan sebuah mata dadu, banyaknya ruang
       sampel yang kemungkinan terjadi adalah 1,2,3,4,5,atau 6.
       Peluang muncul angka 1, P( 1 ) =           1
                                                      6


       Peluang muncul angka lebih kecil tiga adalah, P ( < 3 ) =              2
                                                                                  6


       yaitu 1
    b. Pada pelambungan dua buah dadu sekaligus satu kali, maka
       macam ruang sampel yang mungkin adalah:

            D2

       D1
                     1      2        3      4               5       6

            1      (1,1) (1,2)    (1,3)   (1,4)           (1,5)   (1,6)
            2      (2,1) (2,2)    (2,3)   (2,4)           (2,5)   (2,6)
            3      (3,1) (3,2)    (3,3)   (3,4)           (3,5)   (3,6)
            4      (4,1) (4,2)    (4,3)   (4,4)           (4,5)   (4,6)
            5      (5,1) (5,2)    (5,3)   (5,4)           (5,5)   (5,6)
            6      (6,1) (6,2)    (6,3)   (6,4)           (6,5)   (6,6)


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                           19
                                                                        MODUL
        Jadi ada 36 ruang sampel yang semuanya berbeda.
        Jika A adalah peristiwa munculnya jumlah mata dadu lebih
                                                                  n ( A)   26
        dari 5, maka peluangnya adalah P ( A ) =                         =
                                                                  n (S )   36


3. Frekuensi suatu Kejadian


  a. Frekuensi :


     Frekuensi adalah banyaknya kejadian yang terjadi dalam suatu
     percobaan.


     Contoh:
     Dalam pelambungan sebuah uang logam 20 kali diperoleh
     11010011100001101100.
     Keterangan :
     1 = angka dan 0 = gambar.
     Frekuensi 1, atau banyaknya muncul angka = 10
     Frekuensi 0, atau banyaknya muncul gambar = 10
     Dikatakan : * P ( 1 ) =      10
                                       20   =   1
                                                    2   artinya peluang diperolehnya
                     gambar atau munculnya gambar adalah ½ da
                    * P ( 0 ) =   10
                                       20   =   1
                                                    2   artinya peluang diperolehnya
                     angka atau munculnya angka adalah ½.


  b. Frekuensi harapan, FH :


    Frekuensi harapan adalah banyaknya harapan suatu kejadian
    yang kemungkinan terjadi dalam suatu percobaan. Jika suatu
    peristiwa A dengan peluang P (A) dilakukan percobaan sebanyak
    n kali, maka banyaknya peristwa A yang diharapkan terjadi
    adalah besarnya peluang A kali berapa kali percabaan dilakukan.



 ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                              20
                                                          MODUL
     Jadi
                     FH = P ( A ) . n

    Contoh :
    Dalam pelambungan sebuah mata dadu sebanyak 60 kali, maka
    frekuensi harapan munculnya mata dadu genap adalah = 30 kali
                    3 1
    Sebab : P (A ) = = dan n = 6  FH = P( A )  n
                    6 2
                                               1
                                           =     . 60
                                               2
                                           = 30 kali
    Banyaknya muncul ( kejadian ) mata dadu genap pada
    pelambungan sebanyak 60 kali = 30 kali adalah suatu harapan
    atau sesuatu yang diharapkan dapat tercapai. Tetapi pada
    kenyataan yang ada sering tidak sesuai, karena banyaknya
    factor, seperti permukan yang tidak homogeny dan lain-lain.




4. Kejadian Majemuk


  a. Pengertian


    Pada suatu ruang sampel S anggota dari populasi P, jika
    didalamnya terdapat kejadian A dan kejadian B, maka ada
    beberapa kemungkinan, diantaranya adalah :
     Kejadian peristiwa A peristiwa B, atau peristiwa A dan B,
       ditulis “ A  B”.
     Kejadian peristiwa A dan B, ditulis “ A  B “
     Kejadian peristiwa bukan A atau komplemen A, ditulis Ac.
     Kejadian A dan B dua kejadian saling asing atau kejadian A
       dan B tidak bias terjadi bersama-sama sekaligus,
       ditulis “ A  B =  “



 ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               21
                                                                 MODUL
     Contoh :
   i. Pada pelambungan sebuah dadu diketahui :
     A : Kejadian munculnya mata dadu genap dan
     B : Kejadian munculnya mata dadu ganjil,.
     Maka A  B = , sebab pada sebuah pelambungan dadu tidak
     mungkin kejadian mata dadu ganjil dan mata dadu genap
     muncul bersama-sama.
   ii. Pada pelambungan dua buah dadu sekaligus, diketahui :
     S        ={(a,b)a,b{1,2,3,4,5,6}}
     n (S) = 36, yaitu { ( 1 , 1 ), ( 1 , 2 ), ( 1 , 3 ), … … …, ( 6 , 6 ) }
     A       = kejadian mata dadu sama
              ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
     n (A) = 6
                  n ( A)
     P(A) =
                  n (S )

                  6    1
              =      =
                  36   6
     P(Ac) = 1 – P(A)
                      1        5
              = 1-         =
                      6        6


b. Kejadian Saling Lepas:


   Bila A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas, maka A  B
   ≠ 0 sehingga diperoleh P (A  B ) = 0


                                   Jika A dan B saling lepas, maka akan
         A            B            berlaku :

                                    P ( A B ) = P ( A ) + P ( A )



   Contoh :

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                       22
                                                           MODUL
   Pada pelambungan sebuah dadu peluang munculnya angka 3
    atau 5 adalah :
   Misal,   A     =    Kejadian muncul mata dadu 3, maka peluang
                                                               1
                       munculnya ata dadu 3 adalah P(A)    =     dan
                                                               6
              B   =    Kejadian muncul mata dadu 5, maka peluang
                                                                   1
                       munculnya mata dadu 5 adalah P(B)       =
                                                                   6
   Peluang munculnya mata dadu 3 atau 5,
              P(AB) = P(A) + P(B)
                            1   1
                        =     +
                            6   6
                            1
                        =
                            3
    Jadi peluang munculnya mata dadu 3 atau 5 adalah 1/3.


c. Kejadian Bersyarat :


   Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S dimana
   terjadinya A tidak bergantung pada terjadi atau tidak terjadinya B,
   maka peluang bersyarat dari B yang diberikan A didifinisikan,
   sebagai berikut :

                       P ( A B )
        P ( B A ) =                   , dimana P(A) ≠ 0
                         P (A )



   Dibaca : peluang kejadian B jika kejadian A sudah terjadi.


   Contoh :
 i. Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang bahwa
   mata dadu yang muncul adalah kurang dari 4, jika :
   a. Tidak ada syarat lain
   ib. Pelambungan menghasilkan mata dadu ganjil.

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    23
                                                         MODUL
   Jawab :
   a. Misal A = Kejadian muncul mata dadu  4
              A= {1,2,3)
                                         1
     P (1)         = P (2) = P ( 3 ) =     ( karena setiap mata dadu
                                         6
     mempunyai kans sama )
     P (A)     = P (1) + P (2) + P (3)
                   1 1 1
               =     
                   6 6 6
                   3   1
               =     =
                   6   2


   b. Misal B = Kejadian muncul mata dadu ganjil


              B= {1,3,5}
                                    1
      P (1)    = P (3) = P ( 5) =
                                    6
      P (B) = P (1) + P (3) + P (5)
                   1 1 1
               =     
                   6 6 6
                   3 1
               =    
                   6 2
     Kejadian B  A adalah peristiwa munculnya mata dadu ganjil
     yang  4, maka :
     BA ={1,3}
     P ( B  A ) = P (1) + P (3)
                       1 1
                   =    
                       6 6
                       2 1
                   =    
                       6 3
     Sehingga :
                    P ( B  A)
     P { AB } =
                       P( B)


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               24
                                                                 MODUL
                           1
                     =     3
                           1
                           2
                           2
                     =
                           3


   Contoh :
 ii. Dalam seperangkat kartu bridge akan diambil secara acak dua
   lembar satu persatu.
   Hitunglah berapa peluang bahwa terambilnya keduanya kartu
   King, dengan ketentuan :
   a. Dengan pengembalian.
   b. Dengan tanpa pengembalian.


   Jawab :
   a. A       = Kejadian terambilnya satu kartu King pada pengambilan
                pertama

                     K            K       K       K
          =                    ,        ,        ,


                                     4   1
     n(A) = 4, maka P(A) =             
                                    52 13
     B  A          = Kejadian terambilnya satu King pada pengambilan
                      kedua setelah penambilan                 kartu pertama
                      dikembalikan.
     n (B  A) = 4, pengambilan kartu pertama dikembalikan berarti
                      jumlah kartu King tetap             empat lembar, maka
                                     4   1
                      P(BA) =         
                                    52 13
     Jadi :
     P(AB) = P(A) . P(BA)
                     1 1   1
                =     . 
                    13 13 169

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                       25
                                                               MODUL

   b. A     = Kejadian pengambilan kartu pertama satu kartu King
     n(A) = 4
     BA = Kejadian terambilnya satu lembar kartu King setelah
                  pengambilan kartu pertama disimpan.
     n(BA) = 3
                   4   1                  3
     P(A)     =         dan P( B  A ) =
                  52 13                   51
     Sehingga :
     P( A  B ) = P(A) . P( B  A )
                        1 3   3
                   =     . 
                       13 51 663
                        1
                   =
                       221


d. Kejadian Saling Bebas ( Stokastik ) :


   Kejadian A dan kejadian B dikatakan dua kejadian yang saling
   bebas bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidak
   terjadinya B atau sebaliknya.




                                Jadi jika A dan B saling bebas, maka
                                akan berlaku :
          A       B
                                      ( A B ) = P ( A ) P ( B )
                                                                            P

                                                                            (
   Jika kejadian A mempengaruhi terjadinya B, maka
                                                   P( A  B)                A
                                   P(BA) =                  atau           
                                                     P ( A)                 B
                                   P ( A B ) = P ( A ) P ( B  A )
                                                                            )

                                                                            =

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    26
                                                                            P

                                                                            (

                                                                            A
                                                         MODUL
    Dimana P ( B  A )        = peluang terjadinya B yang dipengaruhi
    oleh A.


    Contoh :
    Diketahui peluang bebas dari pengejaran aparat dua orang
    residivis dalam waktu 2 tahun masing-masing adalah 0,1 dan 0,2.
    Hitunglah besarnya peluang bahwa 2 tahun lagi, sekurang-
    kurangnya satu diantaranya tertangkap !
    Jawab :
    Kalimat sekurang-kurangnya satu orang, berarti tidak kedua-
    duanya tertangkap.
    A    = Kejadian kedua penjahat tertangkap
    P(A) =     P ( penjahat pertama tertangkap dan penjahat kedua
    tertangkap )
          = P ( penjahat pertama tertangkap ) . P ( penjahat kedua
               tertangkap )
          = ( 1 – 0,1 ) . ( 1 – 0,2 )
          = 0,8 . 0,9
          = 0,72
    B    = Kejadian tidak kedua-duanya tertangkap
    P(B) = P(Ac)
          = 1 - P(A)
          = 1 – 0,72
          = 0,28




5. PENERAPAN TEORI PELUANG


 Peluang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, terutama
 dalam kasus untuk memecahkan suatu masalah atau dalam hal
 sesuatu itu memiliki banyak alternative. Maka pengetahuan tentang



 ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               27
                                                           MODUL
peluang akan sangat membantu dalam mempengaruhi pola pikir
orang yang sedang menghadapi masalah.
Berikut ini beberapa kasus pilihan pada masalah elekrik.


Contoh :
i. Dengan berapa carakah 5 buah lampu yang warnanya berbeda
  dapat di susun seri dalam satu baris?
  Jawab:
  Misalnya lampu itu berwarna Merah, Putih, Hijau, Biru, dan Orange




   5 cara     4 cara         3 cara        2 cara    1 cara
   Semuanya ada 5 x 4 x 3 x 2 x 1 cara = 120 cara.
ii. Hitung berapa banyak cara empat buah resistor dan tiga buah
   kapasitor dapat disusun seri dalam suatu rangkaian seperti pada
   gambar di bawah ini :
              R1        R2        R3         R4      C1    C2   C3




      S


                                       V


   Jawab :
   Setiap resistor R sejenis, begitu juga dengan kapasitor C.
   Komponen yang disusun seri semuanya ada 7 buah, maka
   banyaknya susunan adalah :
            nCr = 3C7



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  28
                                                           MODUL
                              7!
                  =
                        3! ( 7  3 ) !

                        7 .6.5.4!
                  =
                          3! 4!

                  =     35
     Jadi ada 35 susunan yang mungkin dilakukan.


Uji Sub Kompetensi 2


Kerjakan soal-soal berikut dengan singkat dan benar !
1. Hitung berapa banyak cara seorang tukang cat dapat mencampur 3
   buah dari 8 buah cat yang tersedia.
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


2. Diketahui di dalam suatu ruangan terdapat 10 buah titik yang tidak
   segaris. Tentukan berapa banyak segitiga dapat diduat dalam
   ruangan tersebut !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


3. Hitunglah berapa banyak cara dapat dilakukan untuk menyusun 10
   buah resistor dengan jenis yang berbeda dapat dipasang secara
   parallel !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   29
                                                           MODUL
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


4. Untuk membuat lampu flip flop dipasang 100 lampu melingkar.
   Tentukan berapa banyak cara dapat dilakukan untuk menyusun
   lampu-lampu tersebut !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


5. Dalam sebuah ruangan ada 10 titik, dengan 7 titik diantaranya tidak
   sebidang. Hitunglah berapa banyak cara untuk membuat bidang
   empat dari titik-titik tersebut !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………




  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                30
                                                                  MODUL

                               Rangkuman

 Dalam proses membilang ada             Peluang terjadinya suatu peristi-
 salah cara untuk melalukannya          wa A terhadap semua kejadian
 yaitu kaidah pencacahan yang           yang mungkin S dinyatakan de-
 meliputi aturan penjumlahan,           ngan : P(A) =
 aturan perkalian dan factorial.
 Faktorial adalah perkalian atas        Frekuensi Harapan adalah ba-
 asli tersusun urut ke bawah. Fak       nyaknya suatu peristiwa yang di
 torial    diberi     notasi     “!”.   harapkan dapat terjadi ( terpenuhi )
 Jadi n ! = n.(n-1).(n-2)… 3. 2 . 1     dalam sekian kali perco baan yang
 Dalam suatu kegiatan, jika suatu       dilakukan. Besarnya frekuensi
 hal kondisi pertama dapat disusun      harapan peristiwa A dalam N kali
 dengan n1 cara berbeda, kondisi        percobaan adalah :
 kedua dengan n2 cara berbeda dan           FH = P(A) x N
 seterusnya, maka kegiatan itu          Kejadian salin lepas. Kejadian A
 dapat disusun sebanyak :               dan kejadian B dikatakan saling
 n1 x n2 x n3 x … cara berbeda.         lepas hanya jika irisan keduanya
 Permutasi adalah susunan kemba-        adalah himpunan kosong atau di-
 li unsur-unsur dengan memperha         tulis :             . Besarnya pelu
 tikan urutannya.                       ang kejadian yang saling lepas :
 Permutasi k unsur dari n unsur
 yang ada dinotasikan “ nPk” , di       Kejadian saling bebas. Kejadian A
 nyatakan dengan formula :              dan kejadian B dikatakan saling be
                                        bas jika terjadinya suatu peristiwa
 nPk   =                                A tidak mempengaruhi terjadi atau
 nPn =n!                                tidak terjadinya peristiwa B. Besar
 Jika didalam suatu unsur terda-        nya peluang dua kejadian yang sa
 pat unsur-unsur yang sama ma           ling bebas adalah :
 ka bentuk permutasinya adalah
                                        Kejadian bersyarat. Jika terjadinya
 nPa.b.c… =            , dimana         peristiwa A mempengaruhi terjadi
 a+b+c +… =n                            nya peristiwa B, dituliskan :
 Bila susunan dari n unsur              P( B A ) =
 berbeda membentuk lingkaran,           Jika terjadinya peristiwa B mem
 disebut permutasi siklis maka          pengaruhi terjadinya peristiwa A
 banyaknya susunan : ( n – 1 ) !        atau A syaratnya B, peluangnya :
 Kombinasi adalah susunan               P( A B ) =
 kembali unsur-unsur dengan ti
 dak memperhatikan urutannya.
 Kombinasi k unsur dari n un
 sur yang ada dinotasikan “nCk”
 dinyatakan dengan formula :
 nCk =           , k ≤ n.




……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                            31
                                                                           MODUL

Peta Konsep
                                        Peluang




          Kaidah                        Penempatan                Peluang Suatu
        Pencacahan                     Kembali unsur                Kejadian




  Aturan                   Kombinasi                  Permutasi          Pengertian
Penjumlahan                nCk   =                   nPk =




                                                                          Frekuensi
    Aturan                        Permutasi k
                                  unsur dari n                            Harapan
   perkalian
                                 unsur berbeda
                                                                          Kejadian
                                                                           Saling
                                                                           Lepas
       Faktorial                      Permutasi n
                                      unsur dari n
*n!= n.(n-1) … 3 . 2 . 1
                                     unsur berbeda
*1 ! = 1 dan 0 ! = 1
                                                                          Kejadian
                                                                           Saling
                                                                           Bebas
                                      Permutasi de
                                     ngan beberapa
                                       unsur sama


                                       Permutasi Siklis           Kejadian Bersyarat




  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                  32
                                                         MODUL
UJI KOMPETENSI
Kompetensi           : Teori Peluang
Program               : Bisnis dan Teknologi
Kelas / Semester : XII / Semester 5
Waktu               : 90 menit


Soal Penilaian       :
1. Selembar kartu akan diambil secara acak dari seperangkat kartu
   bridge. Tentukan berapa banyak peluang agar kartu yang terambil
   adalah kartu As atau King !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


2. Hitung berapa banyak cara dapat dilakukan untuk membuat
   bilangan ratusan yang kurang dari 500 dari angka-angka 2, 3, 4, 5,
   6 dan 7 jika bilangan tersebut :
   a. Tidak ada angka kembar.
   b. Boleh ada angka kembar.
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


3. Dari 100 peserta lomba atletik, 50 orang mengikuti lari gawang, 25
   mengikuti lompat tinggi, 15 orang mengikuti lomba lari gawang dan
   lompat tinggi. Jika diambil 1 orang secara acak, tentukan peluang
   bahwa yang diambil adalah peserta lari gawang atau peserta lompat

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                              33
                                                                MODUL
   tinggi.
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


4. Dua buah dadu dilambungkan sebanyak 100 kali. Tentukan peluang
   bahwa :
   a. Jumlah mata dadu selalu ganjil
   b. Jumlah mata dadu kurang dari 10
   c. Frekuensi harapan munculnya jumalah mata dadu 5 atau 9.
    Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


5. Sebuah sampel 250 orang siswa kelas XII dari sebuah SMK,
   menurut program adalah sebagai berikut :
                           KELAMIN
                                           Laki-laki   Perempuan
               PROGRAM
               Akuntansi                      28           35
               Administrasi Kantor            14           48
               Penjualan                      30           22
               Teknologi                      55           17
   Jika seorang siswa mau diambil secara acak, tentukan peluang
   bahwa :
   a. Terpilih laki-laki dari penjualan.
   b. Terpilih perempuan dari akuntansi atau administrasi kantor.
   c. Terpilih laki-laki ternologi atau bukan akuntansi.
   Jawab :


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               34
                                                           MODUL
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


6. Tiga mesin masing-masing A, B dan C berturut-turut memproduksi
   30 %, 45 % dan 25 % dari semua hasil pabrikan. Barang yang rusak
   dari produksi tersebut prosentase masing-masing adalah 3 %, 5 %
   dan 1 %. Jika sebuah barang dipilih secara acak, hitung berapa
   presen bahwa yang terambil adalah barang yang rusak !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


7. Sebuah kantong berisi 30 butir kelereng, dengan 10 butir warna
   merah, 15 butir biru dan 5 butir warna hijau. Dua buah kelereng
   akan diambil secara acak satu persatu. Tentukan peluang bahwa
   kelereng yang diambil adalah berwarna merah dan berwarna bukan
   hijau, bila pengambilan dilakukan dengan cara :
   a. Tanpa pengembalian.
   b. Dengan pengembalian.
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


8. Tentukan nilai dari soal berikut :
   a.   4P6   : 3P5 = … … …             c. 3C7 : 2C5 = … … …
   b.   5P7 : 5C7 =   ………               d. 4C7: 3P5 = … … …


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                            35
                                                         MODUL
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


9. Hitung nilai n dari soal di bawah ini :
   a.   2nP3   = 120
   b.   3nC5 =   24 ( 2nC4)
   c. 5 (2nC3) = 2nP4
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


10. Tiga orang akan diambil untuk mewakili kelas dengan 30 orang
   siswa. Hitung peluang bahwa tiga orang tersebut akan menjadi :
   a. Perwakilan kelas dalam OSIS.
   b. Ketua, sekretaris dan bendahara kelas.
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………




  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               36
                                                                     MODUL

                                 Bab II
                         STATISTIKA
   Standar Kompetensi
         Menerapkan aturan konsep statistika dalam pemecahan masalah




    Kompetensi Dasar

        Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi dan
         sampel
        Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram
        Menentukan ukuran pemusatan data
        Menentukan ukuran penyebaran data
        Penerapan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran



                                     Isi Inti Materi

                             A. Penyajian Data
                             B. Ukuran Pemusatan Data
                             C. Ukuran Penyebaran Data
                             D. Nilai Letak Data




                        PENYAJIAN DATA

TUJUAN

  Melatih   berfikir   dan     menalar     secara     logis   dan    kritis   serta
  mengembangkan aktivitas,         kreativitas dalam memecahkan masalah
  dan mengkomunasikan ide atau gagasannya.


     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                         37
                                                               MODUL


TUJUAN PEMBELAJARAN


   Siwa memiliki kecakapan dan keterampilan dalam
   1. Memperoleh dan mengumpulkan data
   2. Mengolah, menganalisa dan menarik kesimpulan
   3. Menyajikan data berbentuk tabel distribusi frekuensi komulatif atau
        relatif.
   4. Menyajikan data dalam bentuk diagram gambar dan diagram batang
   5. Menyajikan data dalam bentuk diagram garis dan ogive
   6. Menyajikan data dalam bentuk diagram lingkaran
   7. Membaca tabel distribusi dan grafik


A. PENDAHULUAN


  Statiska merupakan suatu kegiatan keseharian yang akrab dengan
  manusia terutama sebagai makhluk sosial yang tentu akan memerlukan
  pengorganisasian dan manajemen yang baik serta benar dalam setiap
  melakukan kegiatan-kegiatannya. Statistika adalah suatu bentuk kegiatan
  mengumpulkan data , mengolah , menganalisa, menyajikan serta
  memberikan penafsiran yang akurat tentang data yang akan dan telah
  dikumpulkan.


  Pengantar ke statistika merupakan bahasan awal, yang meliputi : metode
  mencari data , mengumpulkan data dan menyajikannya baik itu dalam
  bentuk tabel distribusi frekuensi ataupun dalam bentuk diagram atau
  grafik.


  Ada dua macam tabel distribusi, yaitu tabel distribusi frekuensi komulatif
  dan tabel distribusi frekuensi relatif. Macam-macam diagram diantaranya :
  diagram gambar, diagram batang, diagram garis, ogive dan diagram
  lingkaran.

        ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               38
                                                              MODUL

  Sebagai proses lanjutan kegiatan statistika antara lain meliputi : ukuran
  pemusatan, ukuran penyebaran , kemencengan kurva , keruncingan
  kurva, regresi, angka indeks dan angka baku serta prediksi atau
  penafsiran / penarikan kesimpulan atas data yang sudah diperoleh serta
  memprediksi kemungkinan yang akan terjadi kemudian.


B. PENYAJIAN DATA


  1. Data Statistik


    a. Pengertian


       Data statistik adalah keterangan tentang suatu obyek, berupa
       tentang sifat, kualitas maupun kuantitas yang secara umum biasanya
       ditulis dalam bentuk angka.
       Contoh :
       i. Keadaan cuaca di Makassar sepanjang pecan sedikit berawan.
       ii. Banyaknya penduduk Makassar pada awal tahun 2008.
       iii. Nilai matematika Amir dari bulan ke bulan terus mengalami
       kenaikan yang cukup menggembirakan.


    b. Metode Pencarian Data


       Data dapat diperoleh dengan antara lain dengan cara : wawancara,
       angket, brosur , studi pustaka dan lain-lain. Akuarasi data yang
       didapat selain dipengaruhi oleh metode pencarian data juga
       dipengaruhi oleh sifat data, situasi kondisi saat pencarian dan
       pengumpulan data serta macam data yang akan dikumpulkan.




       ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               39
                                                                   MODUL
2. Tabel Distribusi Frekuensi


  Data statistik yang telah dikumpulkan agar dapat dibaca dengan mudah
  oleh semua orang , maka harus disajikan dalam bentuk yang sederhana
  dan akurat salah satunya adalah dengan tabel. Tabel dibuat dalam
  bentuk lajur dan baris yang didalamnya memuat banyaknya data atau
  frekuensi. Secara umum tabel distribusi frekuensi ada 2 macam, yaitu :
  tabel distribusi frekuensi kumulatif dan tabel frekuensi distribusi relatif.


  a. Tabel Distribusi Frekuensi Komulatif


    1) Langkah Membuat Tabel
       Untuk membuat tabel yang baik perlu diperhatikan hal-hal berikut :


     Rentang/ Range, R :


       Rentang adalah selisih antara nilai data tertinggi dan nilai data
       terendah.
       R = Xmax - Xmin


     Kelas, K :
       Banyaknya kelas dalam suatu tabel distribusi frekuensi dapat
       dipilih / ditetapkan oleh sipembuat tabel sesuai yang dikehendaki.
       Kelas yang baik adalah yang tidak terlalu besar ( banyak ) dan
       tidak pula terlalu kecil ( sedikit ), yang perlu diingat bahwa tidak
       boleh ada kelas yang kosong atau tidak beranggota atau
       frekuensinya nol. Untuk data yang jumlahnya relatif banyak (besar)
       dapat digunakan aturan Sturgess, sebagai berikut :
       K = 1 + 3,3 Log n ,
       Keterangan : n = banyaknya data
                       K = banyaknya kelas / interval kelas
               K       dengan pembulatan ke atas berapapun desimalnya.

    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                          40
                                                                       MODUL
 Interval Kelas, i :
  Panjang interval kelas biasa diberi notasi k atau ci. Panjang tiap
  interval kelas jangan terlalu lebar ( besar ) dan jangan pula terlalu
  sempit ( kecil ). Panjang interval kelas dapat dihitung dengan
  formula

  i =        , dengan untuk nilai i adalah pembulatan ke atas.
 Turus
  Untuk mengisi kolom frekuensi, jika datanya tunggal, acak dan
  relatif besar maka               dapat dibantu dengan turus terlebih dahulu.
  Turus atau turun lurus dibuat dengan cara coretan lurus yang
  menyatakan jumlah atau skore.
 Tabel Distribusi Frekuensi
  Tabel dibuat dalam bentuk, sebagai berikut :
        Interval                      Turus               Frekuensi
   a         -        b        IIII IIII                     9
   c         -        d        IIII IIII II                  12
    Batas bawah Batas atas


Contoh :
Buatlah tabel distribusi frekuensi data nilai matematika 100 orang
siswa berikut ini :


        45       75       90      35       66   75   35      95   80   76
       93        35       75     60        30   40   70     36    79   48
       54        68       43     72        65   85   84     72    70   63
       59        63       84     73        57   82   76     39    42   54
       75        81       61     59        51   41   73     84    59   93
       72        92       83     46        75   77   75     81    63   90
       83        89       70     73        61   45   43     77    56   67
       54        73       62     85        33   45   74     36    75   81
       38        53       76     57        36   72   85     71    90   84
       90        75       45     73        47   63   82     74    88   85

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                         41
                                                                                         MODUL
  Untuk membuat tabel dengan cepat data diurutkan terlebih dahulu
  menjadi


   30 33 35 35 35 36                36 36 38 39 40             41 42 43 43 45 45 45 45 46
   47   48   51    53   54     54   54     56   57   57   59    59   59   60   61   61    61   62   63   63
   63   63    65   66   67     68   70     70   70   71   72   72    72   72   73   73    73   73   73   74
   74   75    75   75   75     75   75     75   75   76   76   76    77   77   79   80    81   81   81   82
   82   83    83   84   84     84   84     85   85   85   85   88    89   90   90   90    90   92   93   95

  selanjutnya hitung range , banyak kelas dan panjang intervalnya.
  Range, R = 95 – 30
                   = 65


  Banyak kelas , K = 1 + 3,3 Log 100
                               = 7,6  8
  Jadi banyaknya kelas ada 8 buah ( interval )
  Panjang/ lebar interval kelas ; i =

                                                     = 7, 925  8
  Jadi panjang tiap interval kelas adalah 8.
   *) Tabel Distribusi Frekuensinya adalah :
               Interval                              Turus                      Frekuensi
             30 -         37             IIII III                                    8
             38 -         45         IIII IIII I                                    11
             46 -         53         IIII                                            5
             54 -         61         IIII IIII III                                  13
             62 -         69         IIII IIII                                       9
             70 -         77         IIII IIII IIII IIII IIII III                   28
             78 -         85         IIII IIII IIII II                              17
             86 -         93         IIII IIII
                                                                                     9

                                    Jumlah                                          100
Ada kalanya diperlukan bentuk lain seperti distribusi frekuensi komulatif
dan bentuk distribusi frekuensi relatif.



  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                                    42
                                                            MODUL
2) Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Komulatif.


     Frekuensi komulatif adalah jumlah frekuensi yang yang
     didasarkan pada jumlah dari masing-masing          frekuensi kelas
     terhadap nilai tepi kelasnya. Frekuensi komulatif ada dua, yaitu
     komulatif kurang dari dan komulatif lebih dari sama dengan,
     komulatif artinya jumlah frekuensi sampai dengan angka tertentu.
     Dari data di atas tabel distribusi frekuensinya adalah :


                                         Frekuensi Komulatif
      Interval
                  Frekuensi
                              Kurang                  Lebih
                                        Frekuensi            Frekuensi
                               dari                    dari
      30 - 37         8          29,5         0         29,5    100
      38 - 45         11        37,5           8        37,5     92
      46 - 53         5         45,5         19         45,5     81
      54 - 61         13        53,5         24         53,5     76
      62 - 69         9         61,5         37         61,5     63
      70 - 77         28        69,5         46         69,5     54
      78 - 85         17        77,5         74         77,5     26
      86 - 93         9         85,5         91         85,5      9

                                93,5         100        93,5      0


b.    Tabel Distribusi Frekuensi Relatif


     Frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi dari
     setiap      masing-masing kelas interval dan jumlah frekuensi
     seluruhnya yang dinyatakan dengan persen dimana jumlah
     frekuensinya = 100 % atau dengan derajat dimana jumlah
     frekuensinya = 3600.
     Frekuensi dari tiap interval kelasnya dihitung dengan rumus :

                                      FR =

     Contoh :

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   43
                                                                         MODUL
             Tabel distribusi relatif dari data di atas adalah, sebagai berikut :
                Interval   Frekuensi                 Frekuensi Relatif
                30 - 37           8         8/100 x 100 % = 8 %          0,08
                38 - 45          11        11/100 x 100 % = 11 %         0,11
                46 - 53           5         5/100 x 100 % = 5 %          0,05
                54 - 61          13        13/100 x 100 % = 13 %         0,13
                62 - 69           9         9/100 x 100 % = 9 %          0,09
                70 - 77          28        28/100 x 100 % = 28 %         0,28
                78 - 85          17        17/100 x 100 % = 17 %         0,17
                86 - 93           9         9/100 x 100 % = 9 %          0,09
             Jumlah              100                            100 %     1,00


             Frekuensi relatif biasanya dalam persen atau dalam derajat.


C. Diagram Atau Grafik


   Selain bentuk tabel data yang sudah dikumpulkan biasa disajikan dalam
   bentuk diagram atau grafik. Diagram ada beberapa macam , yaitu :
   diagram lambang, diagram batang, diagram garis, ogive dan diagram
   lingkaran.


 1. Diagram Lambang / Pictogram


    Diagram lambang atau pictogram adalah penyajian data statistika
    dalam bentuk gambar-gambar. Setiap gambar yang dibuat mewakili data
    dengan       bentuk    dan    ukuran    dibuat     secara    proporsional,   yang
    menunjukkan nilai dari masing-masing data.


    Contoh :
    Banyaknya ternak kelinci pada peternakan               selama triwulan I 2008,
    sebagai berikut :


        ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                         44
                                                                MODUL
       Bulan           Jumlah Ternak
       Januari           2.500 ekor
       Pebruari          3.000 ekor
       Maret             5.000 ekor


   Diagram gambarnya adalah sebagai berikut :

                                         : Januari 2008

                                        : Pebruari 2008

                                       : Maret 2008

             Keterangan :       dibuat untuk mewakili 500 ekor kelinci.


2. Diagram Batang / Histogram


  Diagram batang atau Histogram adalah penyajian data statistika
  berupa persegi panjang–persegi panjang tegak berjejer terurut dengan
  tinggi batang menunjukkan frekuensi tiap interval kelas sedang lebar
  batang menunjukkan panjang interval kelas.
  Secara umum ada dua macam diagram batang, yaitu diagram batang
  yang menggunakan tabel distribusi frekuensi dengan interval kelasnya
  adalah batas-batas ( batas atas dan batas bawah ) kelas grafiknya
  terdapat jarak antara persegi panjang yang satu dan persegi panjang
  berikutnya. Dan diagram batang yang menggunakan tabel frekuensi
  dengan interval kelanya adalah tepi-tepi kelas ( tepi bawah kelas dan
  tepi atas kelas ) grafiknya batang-batangnya terlihat rapat tidak bercelah
  bentuk ini lebih mudah disajikan.


  Contoh :


  Buatlah diagram batang dari tabel distribusi frekuensi, di bawah ini :


     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   45
                                                                                                           MODUL
        i. Tabel dengan batas kelas                                         ii. Tabel dengan tepi kelas
               Interval               Frekuensi                                   Interval            Frekuensi
               15 - 19                        4                                   40 - 50                      10
               20 - 24                       11                                   50 - 6-                       7
               25 - 29                       17                                   60 - 70                      15
               30 - 34                        8                                   70 - 80                       5
               35 - 39                       10                                   80 - 90                       8


        Jawab :
        i.                                                                  ii.
            Frek                             17                              Frek
                                                                                                          15
                                11
                                                                                       10
                            11                        8           10                                                         8
                                                                                                 7
8                                                                                                                   5


                        4
                   15   19 20        24 25    29 30       34 35        39         40        50       60    70           80       90
    Nilai



    3. Diagram Garis / Poligon


       Diagram garis atau poligon adalah garis yang menghubungkan antara
       titik-titik tengah setiap kelas interval dan frekuensinya. Diagram garis
       dibuat dengan langkah, sebagai berikut :
        Pertama, setiap interval kelas dicari titik tengahnya terlebih dahulu
        Kedua agar grafik tampak bagus maka ditambah satu kelas sebelum
             kelas pertama dan satu kelas sesudah kelas terakhir masing-masing
             dengan frekuensi kelas sama dengan nol.
       Poligon dapat juga dengan cara menghubungkan titik-titik tengah puncak
       dari setiap kelas pada histogram dan ditambah satu kelas sebelum kelas
       pertama dan satu kelas sesudah kelas interval terakhir dengan frekuensi
       adalah nol.

              ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                                                46
                                                                       MODUL
 Contoh :


 Buatlah diagram garis dari data pada contoh tabel distribusi frekuensi di
 atas.
  Jawab :


              Fre      Titik        30
   Interval          Tengah
               k
                                    25
                0     25,5
   30 – 37      8     33,5          20
   38 – 45     11     41,5
   46 – 53      5     49,5          15

   54 – 61     13     57,5
                                    10
   62 – 69      9     65,5
   70 – 77     28     73,5           5

   78 – 85     17     81,5
                                     0
   86 - 93      9     89,5               25,5 33,5 41,5 49,5 57,5 65,5 73,5 81,5 89,5 97,5
                0     97,5


4. Ogive


 Ogive adalah suatu diagram              berupa garis yang dibuat dengan
 menggunakan sebaran tabel distribusi frekuensi komulatif ( total sampai
 dengan ) tepi bawahnya.
 Ogive ada dua macam, yaitu : ogive kurang dari menggunakan tabel
 frekuensi komulatif kurang dari dan ogive lebih dari yang dibuat dengan
 tabel distribusi frekuensi komulatif lebih dari.


 Contoh :
 Buatlah “ogive kurang dari” dan “ogive lebih dari” dari tabel distribusi
 frekuensi pada contoh di atas.



     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                           47
                                                                        MODUL
Jawab :
Tabel frekuensi komulatifnya adalah, sebagai berikut :
                                              Frekuensi Komulatif
 Interval      Frekuensi          Kurang     Frekuensi Lebih Dari Frekuensi
                                   Dari
                                   29,5            0
 30 – 37            8              37,5            8            29,5           100
 38 – 45           11              45,5           19            37,5           92
 46 – 53            5              53,5           24            45,5           81
 54 – 61           13              61,5           37            53,5           76
 62 – 69            9              69,5           46            61,5           63
 70 – 77           28              77,5           74            69,5           54
 78 – 85           17              85,5           91            77,5           26
 86 - 93            9              93,5           100           85,5            9
                                                                93,5            0
 Jumlah            100


Diagram ogivenya adalah, sebagai berikut :

   120


   100
                                                                                     Ogive <

    80


    60


    40


    20                                                                               Ogive >


     0
            29,5   37,5    45,5     53,5   61,5   69,5   77,5    85,5   93,5




    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                48
                                                                MODUL


5. Diagram Lingkaran


 Diagram lingkaran atau piechart adalah suatu bentuk relatif dari setiap
 interval kelasnya. Tabel yang digunakan untuk membuat diagram
 lingkaran adalah tabel distribusi frekuensi relatif.
 Lingkaran dibagi-bagi menjadi juring-juring lingkaran. Setiap juring
 lingkaran mewakili interval kelasnya dengan luas juring bersesuaian
 dengan sudut pusat untuk setiap intervalnya.


 Contoh :
 Buatlah diagram lingkaran dari tabel distribusi di atas.


 Jawab :
 Tabel distribusi relatif dan diagram lingkarannya adalah, sebagai berikut :
                         Frekuensi relatif
  Interval    Frekue
                              o
                nsi       …         … %
  30 – 37         8      28,8o          8%
                                                                               30 - 37
  38 – 45       11       39,6o      11 %
                                                                               38 - 45
                                o
  46 – 53         5      18,0           5%                                     46 - 53
                                o
  54 – 61       13       46,8       13 %                                       54 - 61

  62 – 69         9      32,4o          9%                                     62 - 69
                                                                               70 - 77
  70 – 77       28      100,8o      28 %
                                                                               78 - 85
  78 – 85       17       61,2o      17 %                                       86 - 93
                                o
   86 –           9      32,4           9%
  93
  Jumlah       100       360 0      100
                                    %




       ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                49
                                                                  MODUL
Uji Kompetensi 1


Untuk soal nomor 1 sampai nomor 7
Data jarak dari rumah ke sekolah 100 orang siswa dalam kilometer
adalah, sebagai berikut :
6    10   *    18 10 15     1    12   8    2    19   9   6   *   10 14    7     9   12   5
1    12 15 21       1   3   5    24 21     9    10 25 18     2   22   7   11    *   14   2
7     *   1    12   *   6   15   3    25   9    6    10 25   9   8    12 18 25      9    7
15    5   19   *    10 25 32 18       *    5    30   *   18 30 18 21 14 22 12 14
 2 13 9 15 1 6 * 24 1 28 4 6 30 5 13 2                                    *     2   11   5
Keterangan : Tanda * adalah nomor urut daftar hadir saudara.
1. Buatlah tabel distribusi frekuensi
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………


2. Buatlah diagram batang dan histogram
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………


3. Buatlah diagram garis / polygon
     Jawab :
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………………


4. Buatlah tabel distribusi frekuensi relatif

     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                       50
                                                                              MODUL
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………


5. Buatlah diagram lingkaran / piecahart
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………


6. Susunlah tabel ditribusi frekuensi komulatif dan distribusi frekuensi
   relatif.
   Jawab                                                                                     :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   ……………………...................................................................................


7. Buatlah diagram ogive kurang dari dan diagram ogive lebih dari
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………


8. Dari 240 orang siswa kelas XII terdapat 30 orang yang orang tuanya
   TNI, 60 orang yang orang tuanya PNS dan 80 orang yang orang
   tuanya petani serta sisanya orang                      tuanya adalah wiraswasta.
   Sajikan data tersebut kedalam diagram lingkaran dan hitung besar


    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                     51
                                                               MODUL
   sudut pusat jaring lingkaran untuk siswa yang orang tuanya petani.
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………


9. Nilai matematika dan nilai bahasa Inggris dari 100 orang siswa,
   sebagai berikut :
                                  Frekuensi
      Interval nilai
                        Matematika        Bhs. Inggris
         31 – 40            15                13
         41 – 50              9               17
         51 – 60            21                30
         61 – 70            26                20
         71 – 80            15                12
         81 – 90              7                 5
        91 – 100              5                 3
       Jumlah               100               100
   Buatlah diagram poligonnya
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
10. Dari soal nomor 9 di atas, buatlah tabel distribusi frekuensi komulatif,
   dan gambar ogivenya.
   Jawab :
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………
   …………………………………………………………………………………

    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   52
                                                            MODUL
                             STATISTIKA
                  UKURAN PEMUSATAN

TUJUAN


   Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta dapat
   mengembangkan aktifitas, kreatifitas dalam memecahkan masalah
   dan mengkomunikasikan ide dan gagasannya.


TUJUAN PEMELAJARAN


   Kecakapan dan keterampilan dapat dimiliki msiswa dengan cara :
   1. Mendifinisikan   dengan    bahasa   sendiri   pengertian   ukuran
     pemusatan
   2. Mengidentifikasikan dan membedakan arti antara mean, median
     dan modus.
   3. Menentukan besarnya nilai rata-rata hitung ( mean ) suatu data
     tersaji.
   4. Terhadap data yangsama dapat menghitung besarnya nilai median.
   5. Mencari besarnya nilai modus pada data tersaji baik tunggal
     maupun kelompok
   6. Memberikan penafsiran terhadap perbedaan nilai mean, median
     dan modus dari suatu kumpulan data yang sama.
   7. Menentukan besarnya rata-rata hitung dan rata-rata ukur data.
   8. Menunjukkan besarnya nilai rata-rata harmonis baik data tunggal
     maupun data kelompok.


 A. PENDAHULUAN


   Data yang diperoleh dari suatu proses pengumpulan, setelah dicatat,
   dianalisa dan diamati secara seksama ternyata bahwa terhadap data-

    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               53
                                                                 MODUL
   data tersebut terdapat kecenderungan bahwa data-data tersebut
   menunjuk ke nilai tertentu atau berada disekitar nilai tertentu.


   Bila kepada siswa ditanyakan berapa besarnya nilai rata-rata dari
   sekumpulan data yang ada, maka siswa akan cenderung menjawab
   sebuah nilai yang merupakan perbandingan antara jumlah nilai data
   dan jumlah ( banyaknya ) data yang dikenal sebagai mean. Ada
   kalanya yang disebut adalah sebuah nilai data yang berada tepat di
   tengah dari kumpulan data ( median ), dan sering pula disebut suatu
   nilai data yang sering terlihat ( muncul ) yang dikenal sebagai modus.


   Ukuran pemusatan atau tendensi sentral akan menunjuk ke : mean,
   median, modus, rata-rata harmonis, rata-rata ukur dan lain-lain.
   Semua ukuran pemusatan itu sah adanya dan dianggap sudah
   mewakili   atau   sudah    menjawab     pertanyaan     yang   ada   pada
   sekumpulan data.




B. NILAI SENTRAL


  1. Rata-rata Hitung / Mean,          :


    a. Pengertian


        Rata-rata hitung atau mean diberi notasi          ( baca : X bar ),
        adalah suatu nilai pemusatan yang besarnya merupakan
        perbandingan antara jumlah nilai data dan jumlah atau
        banyaknya data.
        Secara matematis ditulis :

                     =        , dengan     i = 1,2,3, …,n
                                           n = banyaknya data dan

    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  54
                                                               MODUL
                                             = jumlah nilai data


b. Nilai Mean


   1) Data Tunggal
      Untuk data tunggal atau tidak berkelompok rata-rata hitung
      dihitung dengan rumus

                      =
      Contoh :
      Tentukan rata-rata dari data-data berikut ini :
         49       8           7       6    6      5      9         7   4
      Jawab :
      Banyaknya data , n = 10
                      =

                      =       = 6,5

      Jadi mean       = 6,5


   2) Data Berkelompok
      Untuk data berkelompok baik dalam bentuk tabel distribusi
      frekuensi maupun            bentuk grafik, besarnya rata-rata hitung
      adalah perbandingan antara jumlah hasil kali antara titik
      tengah interval kelas dan frekuensinya dengan banyaknya
      data.
      Secara matematis ditulis :

                          =           , i = 1,2,3,…



                      = frekuensi kelas ke i
                      = titik tengah kelas ke i
                = n = jumlah frekuensi
                      = banyaknya data

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                        55
                                                                                MODUL
   Contoh :
   Tentukan nilai rata-rata hitung dari data-data di bawah ini :
   i.                                    ii.
        Nilai         Frekuensi
            15 -         9                                  14        16

        21               12
                                                                                         10
        21 - 28          16                        8                            8
                                                        8
        29 - 35          8                                                               8
                                                                                                   4
        36 - 42          5
        43 -49
                                               0       10        20        30       40        50       60
        jumlah           50
        Jawab :
                       Frekuensi   Titi Tengah                         .
            Nilai
            15 – 21           9         18                            162
         22 – 28          12           25                             300
         29 – 35          16           32                             512
         36 – 42              8        39                             312
         43 – 49              5        46                             230
        J u m l a         60                                      1516
        h

              =

   i. Jadi rata-rata hitung atau mean = 30,52
                       Frekuensi   Titik Tengah                        .
         Interval
             0 – 10           8          5                                 40
        10 – 20           14           15                             210
        20 – 30           16           25                             400
        30 – 40               8        35                             280
        40 – 50           10           45                             450
        50 – 60               4        55                             220
        Jumla             60                                          1600
              h

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                                    56
                                                                     MODUL
      ii.         =             . Jadi rata-rata hitung atau mean = 25


2. Median, Me :


  a. Pengertian :


     Median diberi notasi Me, merupakan nilai data yang telah
     tersusun terurut yang             berada paling tengah. Median sering
     disebut juga sebagai nilai tengah suatu data atau nilai tepat
     dimana data ini terbagi dua sama banyak dengan masing-masing
     bagian adalah 50 %.
     Jadi median, Me = nilai tengah.


  b. Nilai Median, Me :


     1) Data Tunggal


            Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok nilai
            mediannya tinggal menunjuk sebuah data telah terurut yang
            letaknya tepat di tengah-tengah.
            Jadi letak Median berada pada

                                           Data ke

            Contoh :
            Tentukan nilai median dari data-data berikut ini :
            i.        5     3   7      4    6    8   9   4       7
            ii.       17 15 19 20 21 25 16 19 21 18
                  Jawab :
            i. Data terurut : 3 4 4 5 6 7 7 8 9
                  banyak data, n = 9
                  Letak median pada data ke          = data ke


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    57
                                                            MODUL
                                            = data nomor urut 5
                        3 4 4 5 6 7 7 8 9
         Jadi nilai median dari data di atas adalah, Me = 6.
      ii. Data terurut : 15 16 17 18 19 19 20 21 21 25
         banyak data, n =10
         Letak median pada data ke         = data ke

                                           = data nomor 5,5
                        15 16 17 18 19 19 20 21 21 25
         Nilai median, Me = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 - data ke-5)
                            = 19 + 0,5 ( 19 – 19 )
                            = 19
          Jadi nilai median = 19


   2) Data Berkelompok


      Untuk data yang berkelompok nilai median agar lebih mudah
      ditentukan    dengan langkah-langkah :
          Tentukan dahulu letak median.
          Letak median berada pada data ke           , tepat berada di

          tengah.
          Tentukan nilai median.
          Nilai median ditentukan dengan rumus,


                                                       .i


       Keterangan :
                      b = tepi bawah kelas median
                      f = frekuensi kelas median
                      n = banyak data = jumlah frekuensi
                       = jumlah frekuensi sebelum kelas median
                      i = panjang kelas interval


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 58
                                                                              MODUL

      Contoh :
      Tentukan nilai median dari data-data di bawah ini :
      i.                              ii.
       Nilai       Frekuensi
      15 – 21          9
                                                      14        16
      22 – 28          12
      23 – 35          16
                                                                                   10
      36 – 42          8                     8                            8
      43 – 49          5
                                                                                         4
       Jumlah          50
                                       0         10        20        30       40    50   60
      Jawab :
      i. Letak median pada data ke               = data ke 25,

           *berada di kelas ke 3; f = 16
           *tepi bawah kelas median, b = 28,5
           *jumlah frekuensi sebelum kelas median,                             = 12 + 9 =
           21
           *anjang interval kelas, i = 7

            Nilai median, Me = b +                        .i

                                 = 28,5 +                       .7

                                 = 28,5 + 1,75
                                 = 30,25
           Jadi nilai median, Me = 30,25
      ii. Banyaknya data, n = 8 + 14 + 16 + 8 + 10 + 4 = 60
           Letak median pada data ke             = data ke 30,

           *berada di kelas ke 3; f = 16
           *tepi bawah kelas median, b = 20
           *jumlah frekuensi sebelum kelas median,                        = 14 + 8= 22
           *panjang interval kelas, i = 10


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                      59
                                                           MODUL

                Nilai median, Me = b +          .i

                                 = 20 +          . 10

                               = 20 + 5
                               = 25
               Jadi median, Me = 25


3. Modus, Mo :


  a. Pengertian


     Modus atau mode adalah nilai suatu data yang paling sering
     dipakai atau paling sering muncul atau data dengan frekuensi
     terbesar. Modus diberi notasi Mo. Dengan pengertian ini maka
     ada kalanya sekumpulan data akan punya modus tepat satu,
     lebih dari satu atau tidak punya modus sama sekali.


  b. Nilai Modus


     1) Data Tunggal


        Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok, modus
        adalah nilai data yang paling sering muncul ( dipakai ).
        Contoh :
        Tentukan modus dari data-data berikut ini :
        i.        5 3 4 8 4 7 4 9 8
        ii.       15 13 12 14 17 20 16 21 25 24
        iii.      53 59 53 57 53 54 56 54 56
        Jawab :
        i.        3 4 4 4 5 7 7 8 8 9 , jadi modus, Mo = 4
        ii.       12 13 14 15 16 17 20 21 24 25 , modus tidak
                  ada.

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                              60
                                                                                MODUL
      iii.     53 53 53 54 54 54 56 56 57 59 , jadi modus,
               ada 2 , yaitu : Mo = 53 dan 54


   2) Data Berkelompok


      Untuk data berkelompok nilai modus berada pada kelas
      dengan frekuensi terbesar, letak modus dapat diperlihatkan
      dengan histogram, sebagai berikut :
                            Nilai modus :
                        f
                 d1                                 Keterangan :
                       d1     d2            b = tepi bawah kelas median
                                            d1 = selisih antara frekuensi kelas
                                                   modus dan frekuensi sebelum
                                                   kelas modus
                  b Mo                      d2 = selisih antara frekuensi kelas
                                                   modus dan frekuensi sesudah
                                                   frekuensi kelas modus.
                                            i = panjang interval kelas
                                            f = frekuensi kelas modus


     Contoh :
     Tentukan modus dari data-data berkelompok di bawah ini :
     i.                                      ii.
             Nilai                 Frek.
             15 – 21                9                                           16
                                                                      14
             22 – 28                12                                          14
                                                            10                                     10
             29 – 35                16                                                    8
             36 – 42                    8                    8                                 8
                                                                                                             4
             43 – 49                    5
             Jumlah                 50                  0        10        20        30       40        50       60



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                                61
                                                       MODUL
     Jawab :
     i. Letak modus pada kelas ke 3 dengan frekuensi, f = 16
        tepi bawah kelas modus, b = 28,5
                      d1 = 16 – 12
                          = 4
                      d2 = 16 – 8
                          = 8
        interval kelas, i = 7

        Nilai modus, Mo = b +             .i

                         = 28,5 +              .7

                         = 28,5 + 2,3
                         = 30,8
        Jadi modus, Mo = 30,8
     ii. Letak modus pada kelas ke 3 dengan frekuensi, f = 16
        tepi bawah kelas modus , b = 20
                      d1 = 16 – 12
                          = 4
                      d2 = 16 - 8
                          = 6
         interval kelas, i = 10

         Nilai modus, Mo = b +

                           = 20 +         . 10

                            = 20 + 2
                            = 22
         Jadi nilai modus, Mo = 22




Uji Kompetensi 2


Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                             62
                                                          MODUL
1. Hitunglah nilai mean dari data-data berikut ini :
   a. 25, 37, 29, 33, 36, 26, 31, 27
   b.
         Nilai       35 47 49 55         61 70
         Frekuensi     9 11     8     17 3    2
   Jawab
   ……………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………
2. Nilai median dan odus dari soal nomor 1 di atas adalah …..
    Jawab
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
3. Hitunglah nilai tengah dari data-data di bawah ini :
    a. 50, 46, 73, 64, 55, 63, 73, 60, 59
    b.
           Nilai       Frekuensi
         15 – 25           12
         25 – 35           23
         35 – 45           11
         45 – 55            7
         55 – 65            7
         Jumlah            60
   Jawab
   ……………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………
4. Tentukan nilai modus dari soal nomor 3 di atas !

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                             63
                                                                                      MODUL
    Jawab
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
5. Hitunglah nilai mean, median dan modus dari data dalam
    diagram di bawah ini !
                                    16
                                                        15        14
                          12                                                13
                                              10
                                                                       12




                     35        45        55        65        75        85        95

    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
6. Tentukan nilai mean, median dan modus dari diagram lingkaran
    di bawah ini :



                                                                       15 - 21 = 12
                                                                       22 - 28 = 15
                                                                       29 - 35 = 25
                                                                       36 - 42 = 15
                                                                       43 - 49 = 10
                                                                       50 - 56 = 14
                                                                       57 - 63 = 9



    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
7. Nilai matematika dari 50 orang siswa adalah sebagai berikut :

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                       64
                                                          MODUL
     35    40       75    55      60       45   60   85   45    50
     80    35       40    45      75       43   59   38   64    73
     38    40       43    72      67       59   37   75   45    60
     45    54       63    42      71       69   65   42   39    62
     38    54       67    72      75       67   38   69   46    48
8.   Hitunglah nilai mean, median dan modusnya !
     Jawab :
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
9. Hitung modus dari tabel berikut ini !
               Interval        Frekuensi
            15 - 24               8
            25 - 34               17
            35 - 44               10
            45 - 54               8
            55 - 64               17
           Jumlah                 60
     Jawab:
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
10. Hitung besarnya mean dan median dari soal no. 9 di atas !
     Bandingkan hasil yang diperoleh !
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     …………………………………………………………………………
     ………………………………………………………………………….



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                              65
                                                                MODUL
                                 STATISTIKA
                   UKURAN PENYEBARAN

TUJUAN


  Melatih berfikir dan belajar secara logis dan kritis serta mengembangkan
  aktifitas,     kreatifitas   dalam   memecahkan   masalah   serta   mampu
  mengkomunikasikan ide dan gagasan yang dimilikinya.


TUJUAN PEMELAJARAN


  Setelah pemelajaran materi ini diharapkan siswa memiliki kecakapan
  dalam :
  1. Mengidentifikasikan pengertian penyebaran suatu data.
  2. Menentukan arti dan besarnya suatu simpangan atau penyebaran.
  3. Menghitung besarnya simpangan rata-rata suatu data tersaji.
  4. Menghitung besarnya simpangan baku.
  5. Menentukan besarnya angka baku atau z skore.
  6. Mengubah data statistika dari nilai mentah menjadi nilai baku
  7. Menggunakan simpang baku dan simpang rata-rata pada masalah lain
      terkait.


A. PENDAHULUAN


   Data statistika yang telah dikumpulkan, disajikan, jika dianalisa secara
   seksama ternyata bahwa data-data tersebut terkonsentrasi pada daerah
   sebaran tertentu yang sama. Menyebar berarti ada penyimpangan atau
   menyimpang dari sebuah acuan sebuah patokan atau yang dijadikan
   standar.




        ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                              66
                                                                 MODUL
  Penyebaran adalah suatu nilai yang menunjukkan kearah mana nilai-
  nilai data statistika itu menyimpang dari suatu acuan yang dijadikan
  patokan dan masih dapat diterima. Konsentrasi penyimpangan data
  terhadap suatu acuan patokan ada yang membagi data : menjadi empat
  sama banyak disebut kuartil, menjadi sepuluh sama banyak disebut desil,
  menjadi seratus sama banyak disebut persentil, dan sebagainya.


  Bentuk penyimpangan terhadap suatu acuan patokan nilai yang
  digunakan ada kalanya adalah nilai rata-rata disebut simpang rata-rata
  dan jika berdasarkan nilai baku disebut simpang baku.


  Besarnya nilai simpangan yang diperoleh selanjutnya dapat digunakan
  untuk menetapkan sebuah patokan lain yang dikenal sebagai angka
  baku, yaitu dalam bentuk z skore. Angka baku diperoleh dari angka
  mentah    yang   diolah     dengan      cara   mengubahnya    menggunakan
  simpangan baku sebagai angka patokannya.


B. UKURAN PENYEBA AN


 1. Range/ Jangkauan, R :


   a. Pengertian
      Range atau daerah jangkauan adalah selisih antara nilai data
      terbesar dan nilai data terkecil.      R = Xmaks - Xmin


   b. Nilai Jangkauan


      1) Data tunggal
           Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok, range dihitung
           dengan formula :
                   R = Xmaks - Xmin


     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 67
                                                           MODUL

    Contoh :
    Tentukan range dari data berikut ini :
           5 7 9 4 3 9 10 6 4 7 9 5
    Jawab :
           3 4 4 5 5 6 7 7 9 9 9 10
         R = Xmaks - Xmin
               = 10 - 3
               = 7
    Jadi rang dari data di atas adalah 7.


2) Data Berkelompok
    Range untuk data berkelompok adalah selisih antara titik tengah
    interval terakhir dan titik tengah interval kelas pertama.


    Contoh :
    Tentukan jangkauan dari data berikut ini :
           Interval        Frekuensi
           24 – 30            13
           31 – 37            17
           38 – 44            10
           45 – 51             5
           52 - 58            15


    Jawab :
           Inetrval       Titik Tengah       Range = Xi maks – Xi min
           24 – 30            27                    = 55 – 27
           31 – 37            34                    = 28
           38 – 44            41             Jadi jangkauan = 28
           45 – 51            48
           52 - 58            55



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                     68
                                                                     MODUL
2. Simpangan Rata-rata , SR :


  a. Pengertian


     Simpangan rata-rata adalah suatu simpangan nilai observasi hasil
     penelitian terhadap nilai rata-rata hitungnya.


  b. Nilai Simpangan Rata-rata


     1) Data Tunggal
        Untuk data tunggal nilai simpangan rata-rata dihitung dengan
        formula :

                              n

                             x
                             i 1
                                    i   x
                SR =
                                    n



        Contoh :
        Tentukan        simpangan            rata-rata   dari   da       ta
        berikut ini :
            5 7 9 4 3 9 10 6 4 7 9 5
        Jawab :
        Rata-rata,       =

                         =

                         = 7

        Nilai SR         =

                         =

                         = 1,2
        Jadi simpang rata-rata, SR = 1,2




    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  69
                                                                MODUL
2) Data Berkelompok
    Untuk data berkelompok nilai simpangan rata-rata dihitung
    dengan rumus :

                          –
          SR =                             i = 1, 2, 3, … , n
                                            = titik tengah kelas interval ke i


    Contoh :
    Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut ini :
           Nilai          Frekuensi
          52 – 58              2
          59 – 65              6
          66 – 72              7
          73 – 79              20
          80 – 86              8
          87 – 93              4
          94 – 100             3
        Jumlah                 50
    Jawab :
                                                              .         
           55        2               110             21              42
           62        6               372             14              84
           69        7               483             7               49
           76        20             1520             0               0
           83        8               664             7               56
           90        4               360             14              56
           97        3               291             21              63
        Jumlah       50             3800                             350
    Rata-rata,   =            = 76

    Simpang rata-rata , SR =               = 7

    Jadi simpangan rata-rata = 7


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                            70
                                                           MODUL


3. Simpangan Baku, S :


   a. Pengertian


      Simpangan baku atau deviasi standar adalah suatusimpangan
      yang besarnya sama dengan akar pangkat dua dari kuadrat
      variansinya,    dimana    varians     merupakan   suatu   bilangan
      perbandingan antara jumlah selisih nilai data dengan rata-
      ratanya dan jumlah atau banyaknya data.
      Jadi, S =        , S2 adalah varians.


   b. Besar Simpang Baku


      1) Data Tunggal


      Untuk data tunggal besarnya simpangan baku dihitung dengan
      rumus:


        S=                    , dengan S2 =


                                          S2 =
                                atau
      Keterangan :
               S = Simpang Baku
               S2 = Varians
                  = Nilai rata-rata
               n = Banyaknya data
      Contoh :
      Data 7 bulan terakhir penderita DBD sebuah Puskesmas di
      Makassar adalah, sebagai berikut : 15 17 12 16 12 15 18
      Hitunglah simpang bakunya !

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 71
                                                                    MODUL
    Jawab :
                   =                                         = 15


              Xi                    Xi -
              15                        0                      0
              17                        2                      4
              12                        -3                     9
              16                        1                      1
              12                        -3                     9
              15                        0                      0
              18                        3                      9
                       Jumlah                                  32

                                       
                          n

                          xi  x
                                            2


                         i 1
    Varians , S2 =                              =
                                    n
                       = 4,571
    Simpangan baku, S =
                                    = 2,318
    Jadi simpangan baku dari data di atas adalah 2,138.


    Selain dengan formula di atas, simpangan baku dapat pula dicari
    dengan formula :



    S2 =                                            dimana


    S =

    Keterangan :
        x0 = rata-rata sementara ( nilai dipilih berdasarkan dugaan )


    Contoh :
    Dari contoh soal di atas, misalkan diambil x0 = 16. Selanjutnya ;


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                     72
                                                        MODUL
                xi              xi - xo
                15                -1           1
                17                1            1
                12                -4          16
                16                0            0
                12                -4          16
                15                -1           1
                18                2            4
           Jumlah                 -7          39

    S =                 =         = 2,138

    2) Data Berkelompok


    Untuk data berkelompok simpangan baku dihitung dengan
    formula :
                 S=                             , xi = titik tengah
                                                       kelas interval
    Contoh :
    Tentukan simpangan baku dari data di bawah ini !
          Nilai         Frekuensi
          52 – 58           2
          59 – 65           6
          66 – 72           7
          73 – 79           20
          80 – 86           8
          87 – 93           4
          94 – 100          3
        Jumlah              50


    Jawab :
    Untuk memudahkan menghitung dapat digunakan bantuan tabel,
    sebagai berikut :

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   73
                                                           MODUL
     Nilai         fi        xi       fi . xi                fi .
    52 – 58        2       55         110       3025          6050
    59 – 65        6       62         372       3844         23064
    66 – 72        7       69         483       4761         33327
    73 – 79        20      76         1520      5776         115530
    80 – 86        8       83         664       6889         55112
    87 – 93        4       90         360       8100         32400
    94 -100        3       97         291       9409         28227
   Jumlah          50                 3800                   293700



    S=


      =


      =

      =
      = 10
    Jadi simpangan baku dari data di atas adalah 10.


    Selain dengan rumus di atas, simpangan baku dapat pula
    dihitung dengan rumus metode singkat ( short method ),
    sebagai berikut :

             S=                            .p


                        S=

    Keterangan :
           p = banyaknya interval kelas
           d = dugaan sementara simpangan
           n = jumlah ( banyaknya ) data
           fi = frekuensi kelas ke i , dengan i = 1 , 2 , 3 , … , n

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                   74
                                                            MODUL
      Contoh :
      Tentukan simpangan baku soal di atas dengan metode singkat.
      Jawab :
      Simpangan baku dari contoh di atas dengan formula metode
      singkat adalah :
            Nilai        fi   xi    d      d2      d . fi    d2. fi
            52 – 58      2    55    -3     9        -6        18
            59 – 65      6    62    -2     4       -12        24
            66 – 72      7    69    -1     1        -7         7
            73 – 79      20   76    0      0         0         0
            80 – 86      8    83    1      1         8         8
            87 – 93      4    90    2      4         8        16
         94 – 100        3    97    3      9         9        27
        Jumlah           50                          0        100


      S =

        =

        =

        =      . 70,71

        = 9,9
      Jadi simpangan bakunya adalah 9,9.


4. Angka Baku

  a. Pengertian


      Angka baku atau nilai standar adalah suatu pengubahan nilai
      dari nilai mentah menjadi nilai yang baku. Angka baku digunakan
      untuk membandingkan dua atau lebih keadaan yang berbeada.
      Angka baku yang lazim digunakan adalan z skore.


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 75
                                                          MODUL
b. Nilai Angka Baku / Standar


    Untuk menghitung angka naku atau z skore digunakan formula,
    sebagai berikut :




    Keterangan :
               x = nilai mentah
                    =   nilai rata-rata/ mean
               S = Simpangan baku
    Angka baku dapat digunakan untuk membandingkan atau
    menentukan mana yang mempunyai nilai atau bobotnya paling
    baik dari dua atau lebih keadaan.


    Contoh :
    Ali mendapatkan nilai matematika 73 dengan rata-rata 67 dan
    simpangan bakunya 10, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata-rata
    70 dan simpangan bakunya 12. Bandingkan mana dari dua nilai
    mata pelajaran itu yang lebih baik bobotnya !
    Jawab :
    Angka baku matematika                                 Angka baku
    Bahasa Inggris
    Z =                                             Z =

       =                                              =

       =                                              =

       = 0,6                                          = 0,83
    Jadi nilai Bahasa Inggris lebih baik dibanding nilai matematika,
    atau lebih berbobot karena mempunyai nilai angka baku yang
    lebih tinggi.



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                               76
                                                            MODUL



Uji Kompetensi 3


1. Hitunglah simpangan rata-rata dari data berikut ini :
         Interval Nilai        Frekuensi
          140 – 149               13
          150 – 159               23
          160 – 169               14
          170 – 179               30
          180 – 189               12
          190 - 199               8
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
2. Hitunglah simpangan baku dari data nomor 1 di atas !
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
3. Tentukan besarnya jangkauan dari data di bawah ini !
        Nilai tengah      32    41     50   59   68   77   86
        Frekuensi          2    18     30   21   19   12    8
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                             77
                                                                MODUL
4. Hitunglah besarnya simpang baku dan simpang rata-rata dari
    soal nomor 3 di atas!
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
5. Berat paket yang diterima sebuah usaha cargo selama sepekan
    adalah, sebagai berikut :
       Hari ke                   1         2   3   4        5   6   7
       Berat paket ( … kg )     50 75 80 105 95 135 150
    Hitunglah simpangan rata-rata darai data di atas !
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
6. Nilai Amir untuk mata pealajran KKPI, PKnS dan Penjaskes ,
    sebagai berikut :
                  Nilai         Rata-rata Simpangan             Nilai Yang
     Mata Pelajaran              Hitung            Baku         Diperoleh
               KKPI                   72               13           70
               P Kn S                 85               12           80
              Penjaskes               75               10           73
    Bandingkan ketiga nilai tersebut dengan z skore !
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
7. Jika angka baku nilai matematika Budi 0,5 dan rata-rata nilainya
    adalah 65, maka hitunglah nilai yang diperoleh Budi tersebut !

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                         78
                                                                             MODUL
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
8. Tentukan besarnya simpangan baku dan simpangan rata-rata
    dari data berikut ini :
                                 21        23



                       13                       14
                  11                                      10

                                                                    8




              0        10   20        30        40   50        60       70

    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
9. Dalam suatu kelas dengan 20 siswa putri dan 10 siswa putra,
    nilai rata-rata matematika untuk putra 65 dengan simpangan
    baku 12 . Nilai rata-rata untuk siswa putra 69 dengan simpangan
    baku 13. Tentukan mana yang lebih berbobot antara siswa putri
    dan siswa putra.
    Jawab :
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………
    …………………………………………………………………………




……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                              79
                                                                   MODUL


                                STATISTIKA
                          UKURAN LETAK

TUJUAN


    Melatih    berfikir   dan    bernalar   secara   logis   dan   kritis   serta
    mengembangkan aktifitas, kreatifitas dalam memecahkan masalah
    serta mampu mengkomunikasikan ide dan gagasannya dalam tujuan
    pemelajaran.


TUJUAN PEMELAJARAN


    Setelah usainya pemelajaran materi ini diharapkan siswa mampu :
    1. Mendifinisikan pengertian nilai letak.
    2. Membedakan perbedaan dari masing-masing nilai letak.
    3. Menentukan besarnya kuartil dari sebarisan data.
    4. Menghitung besarnya nilai desil dari data tersaji.
    5. Mencari besarnya ukuran persentil dari data yang sama yang
         disajikan.
    6. Menunjukkan penggunaan kuartil, desil dan persentil.
    7. Menghitung besarnya jangkauan inter antar kuartil.
    8. Mencari besarnya nilai varians atau variabilitas.


 A. PENDAHULUAN

   Dengan memperhatikan secara seksama data-data statistika yang telah
   dikumpulkan ternyata bahwa ada beberapa nilai data yang berciri
   khusus yang dapat disisipkan ke dalamnya atau diantara bilangan yang
   satu dan bilangan lainnya. Nilai atau ukuran khusus itu selanjutnya lebih
   dikenal sebagai nilai letak.

     ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                       80
                                                                 MODUL

   Ukuran letak yang ada ternyata dapat membagi sebarisan terurut data
   menjadi empat sama banyak disebut kuartil, atau membagi menjadi
   sepuluh sama banyak disebut desil dan membagi seratus sama banyak
   disebut persentil dan sebagainya.


   Ada pula bentuk nilai atau ukuran nilai yang menunjukkan letaknya
   sebagai inter antar kuartil biasa disebut jangkauan kuartil ada juga
   jangkauan persentil dari sekumpulan data-data statistika yang tersaji
   dan seterusnya.



B. NILAI LETAK

    1. Kuartil, Q


      a. Pengertian


        Kuartil adalah suatu nilai letak yang membagi data statistika
        menjadi empat bagian yang sama banyak, masing-masing bagian
        adalah dua puluh lima persen atau memuat
           seperempat data. Jadi dalam sebarisan data ada tiga
        kuartilnya. Selanjutnya dapat        diperlihatkan dengan gambar,
        sebagai berikut :
             25 %           25 %         25 %         25 %
                                                                  nilai data
                     Q1            Q2           Q3
      b. Nilai Kuartil, Qi :


      1) Data Tunggal
          Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok nilai kuartil
          dihitung setelah data diurutkan terlebih dahulu. Letak kuartil

      ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  81
                                                                                    MODUL

    ditentukan dengan formula :

    Letak Qi pada data ke                                      , i = 1, 2 , 3 dan n = banyak

    data.


    Contoh :
    Tentukan nilai-nilai kuartil dari data-data berikut ini :
    i.         5 3 7 8 5 2 6 9 2 7 5
    ii.        7       5       9       4       6       7
    Jawab :
    i. Data diurutkan dahulu, menjadi :
          2 2 3 5 5 5 6 7 7 8 9 , banyaknya data, n = 11
    buah

          Kuartil 1, Q1 : letak Q1 pada data ke                                data ke 3

          Kuartil 2, Q2 : letak Q2 pada data ke                                data ke 6

          Kuartil 3, Q3 : letak Q3 pada data ke                                data ke 9

          Selanjutnya nilai kuartil tinggal menunjuk, sebagai berikut :
           2       2       3       5       5       5   6   7   7    8   9


                           Q1                  Q2              Q3
          Jadi nilai Q1 = 3 , nilai Q2 = 5 , dan nilai Q3 = 7
    ii. Data diurutkan, menjadi :
          4 5 6 7 7 9 , banyaknya data n = 6 buah

          Q1 , letak Q1 pada data ke                                = pada data ke 1,75

                   Nilai Q1 = data ke-1 + 0,75 ( data ke -2 – data ke -1 )
                                   = 4 + 0,75 ( 5 – 4 )
                                   = 4,75

          Q2 , letak Q2 pada data ke                                = data ke 3,5

                   Nilai Q2 = 6 + 0,5 ( 7 – 6 )
                                   = 6,5


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                        82
                                                                 MODUL
        Q3 , letak Q3 pada data ke              = data ke 5,25

               Nilai Q3 = 7 + 0,25 ( 9 – 7 )
                         = 7 + 0,5
                         = 7,5
        Jadi nilai Q1 = 4,75 , nilai Q2 = 6,5 dan nilai Q3 = 7,5


2) Data Berkelompok
    Untuk menentukan basarnya nilai kuartil data berkrlompok
    digunakan rumus :


                                          . p


    Keterangan :
              Qi = kuartil ke i. i = 1, 2 , 3
               b   = tepi bawah kuartil ke i
               F   = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke i
               f   = frekuensi kelas kuartil ke i
               p   = panjang interval kelas
               n   = banyaknya ( jumlah ) data


    Contoh :
    Tentukan nilai kuartil dari data berkelompok di bawah ini :
        Interval Nilai     Frekuensi
          35 – 41                 6
          42 – 48                16
          49 – 55                25
          56 – 62                21
          63 – 69                 9
         Jumlah                  80
    Jawab :
    Kuartil ke 1, letak Q1 pada data ke         data ke 20 berada dikelas


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    83
                                                                MODUL
      ke 2. F = 9, f = 16, b = 41,5 dan p = 7
                              –
      Nilai Q1     = b +           p

                   = 41,5 +         .7

                   = 41,5 + 4,812
                   = 46,312
      Jadi kuartil ke 1 = 46,312
      Kuartil ke 2, letak Q2 pada data ke 40 berada dikelas ke 3
                                  F = 16 + 9 = 25, f = 25, b = 48,5
      Nilai Q2 = 48,5 +

                  = 48,5 + 4,2
                  = 52,7
      Jadi kuartil ke 2 = 52,7
      Kuartil ke 3, Letak Q3 pada data ke 60 berasa dikelas ke 4
                                  F = 25 + 16 + 9 = 50, f = 21, b = 55,5
      Nilai Q3 = 55,5 +

                  = 55,5 + 3,33
                  = 58,83
      Jadi kuartil ke 3 = 58,83


2. Desil , D :


   a. Pengertian


      Desil adalah suatu nilai letak yang membagi data statistika
      terurut menjadi sepuluh bagian sama banyak. Masing-masing
      bagian memuat sepuluh persen data atau sepersepuluh data.
      Jadi dalam sebarisan data statistika terurut ada sembilan desil.
      Desil diberi notasi Di , i = 1, 2 , 3 , … , 9.
      Selanjutnya secara matematika           dapat digambarkan, sebagai
      berikut :

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                      84
                                                            MODUL
   10%     10%      10%      10% 10% 10%       10% 10%       10%      10%
         D1      D2     D3     D4     D5     D6     D7    D8         D9


b. Nilai Desil


    1) Data Tunggal


         Seperti halnya kuartil, letak desil dicari setelah data diurutkan
         terlebih dahulu.

         Letak desil, Di pada data ke

         Contoh :
         Tentukan nilai D1, D5 dan D9 dari data-data berikut ini :
         24 27 30 31 37 28 36 28 36 34 29 30
         Jawab :
         Data diurutkan menjadi :
         24 27 28 29 30 30 31 34 36 36 37 banyaknya
         data, n = 12

         Letak D1 pada data ke             , berada pada data ke 1,33

         Nilai D1 = data ke 1 + 0,33 ( data ke 2 – data ke 1 )
                    = 24 + 0,33 ( 27 – 14 )
                    = 24,9

         Letak D5 pada data ke             , berada pada data ke 6,5

         Nilai D5 = data ke 6 + 0,5 ( data ke 7 – data ke 6 )
                    = 30 + 0,5 ( 31 – 30 )
                    = 30,5

         Letak D9 pada data ke             , berada pada data ke 10,8

         Nilai D9 = data ke 10 + 0,8 ( data ke 11 – data ke 10 )
                    = 36 + 0,8 ( 36 – 36 )
                    = 36
         Jadi D1 = 24,9 ; D5 = 30,5 dan D9 = 36


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                       85
                                                                      MODUL

    2) Data Berkelompok


      Untuk data berkelompok nilai adalah :




      Keterangan :
                  f     = frekuensi kelas desil ke i
                  F = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke i
                  b = tepi bawah kelas desil ke i
                  Di = desil ke i , i = 1, 2, 3 , … , 9
                      p = panjang interval kelas


      Contoh :
      Hitunglah besarnya D1, D5 dan D9 dari data di bawah ini :
      Interval            40 - 47   48 - 55    56 - 63   64 - 71   72 - 79   80 - 87

      Nilai
      Frekuensi             12        23         16        32        13         4
      Jawab :
      Letak D1 pada data ke                   = data ke 10, ada di kelas ke- 1

                        F = 0, f = 12, p = 8 dan b = 40,5
      Nilai D1 = 40,5 +                .8

                      = 40,5 + 6,67
                      = 47,17
      Letak D5 pada data ke                   = data ke 50 , ada dikelas ke- 3

                        F = 23 + 12 = 35, f = 26 , b = 63,5
      Nilai D5 = 63,5 +                  .8

                 = 63,5 + 7,69
                 = 71,19

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                 86
                                                                      MODUL
      Letak D9 pada data ke                = data ke 90 , ada dikelas ke- 5

                      F = 32 + 16 + 23 + 12 = 83 , f = 13 , b = 71,5
      Nilai D9      = 71, 5 +             .8

                    = 71,5 + 4,15
                    = 75,65
      Jadi D1 = 47,17 ; D5 = 71,19 dan D9 = 75,65


3. Persentil, P :


  a. Pengertian


      Persentil adalah suatu ukuran nilai letak suatu data terurut yang
      membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak.
      Masing-masing bagian memuat satu persen atau seperseratus
      dari data. Jadi dalam sebarisan data statistika terurut akan
      mempunyai sembilanpuluh sembilan persentil. Persentil diberi
      notasi Pi, dengan i = 1, 2, 3, … , 99
      Selanjutnya secara matematika dalam digambarkan, sebagai
      berikut
         1      %                              1   %                        1     %
  1%             P1           P2          P3                                    P99


  b. Nilai Persentil


      1) Data Tunggal
          Letak persentil          data   tunggal      atau   tidak   berkelompok
          ditentukan dengan formula :

                 Pi berada pada data ke


          Contoh :


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                             87
                                                                MODUL
         Tentukan nilai P10 , P50 dan P90 dari data beriktu ini :
           16 13 21 20 17 21 13 15 17 23 27 15 28 14
         Jawab :
         Data diurutkan menjadi :
         13 14 15 15 15 16 17 17 20 21 21 23 27 28 ,
         banyak data, n = 14

         Letak P10 pada data ke                  data ke 1,5

         Nilai P10 = data ke 1 + 0,5 ( data ke 2 – data ke 1 )
                    = 13 + 0,5 ( 14 – 13 )
                    = 13,5

         Letak P50 pada data ke                  data ke 7,5

         Nilai P50 = data ke 7 + 0,5 ( data ke 8 – data ke 7 )
                    = 17 + 0,5 ( 17 – 17 )
                    = 17

         Letak P90 pada data ke                  data ke 13,5

         Nilai P90 = data ke 13 + 0,5 ( data ke 14 – data ke 13 )
                    = 27 + 0,5 ( 28 – 27 )
                    = 27,5
         Jadi nilai P10 = 13,5 , P 50 = 17 dan P90 = 27,5.
         Selanjutnya nilai-nilai persentil tersebut dapat diperlihatkan
         dengan gambar, sebagai berikut :
    13    14   15   15   15   16   17     17    20   21   21   23   27   28
         P10                        P50                                  P90


    2) Data Berkelompok


         Nilai persentil dihitung dengan formula :


                                   . p
                                                 dengan i = 1, 2, 3, … , 99
                                          dan         = letak persentil ke i

……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                            88
                                                                    MODUL

        Contoh :
        Hitunglah nilai P10 , P50 dan P90 dari data berikut ini :
                    Interval         Frekuens
                   Nilai                  i
                    20 – 25                    9
                    26 – 31                   16
                    32 – 38                   24
                    39 – 44                   20
                    45 – 50                   18
                    51 - 56                   13
                   Jumlah                 100
        Jawab :
        Letak P10 pada data ke                     = data ke 10, ada dikelas ke2

                           b = 25,5 ; F = 9 ; f = 16 ; p = 6
        Nilai P10 = 25,5 +           .6

                   = 25,5 + 0,375
                   = 25,875
        Letak P50 pada data ke                 = data ke 50, ada dikelas ke 4

        Nilai P50 = 32,5 +            .6

                   = 32,5 + 0,331
                   = 32,831
        Letak P90 pada data ke                 = data ke 90, ada dikelas ke 5

        Nilai P90 = 44,5 +            .6

                   = 44,5 + 1
                   = 45,5
        Jadi nilai P10 = 25,9 , nilai P50 = 32,8 dan nilai P90 = 45,5.




……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                           89
                                                               MODUL
4. Jangkauan Semi Inter Kuartil / Simpangan Kuartil , SK

  a. Pengertian


      Jangkauan semi inter kuartil atau jangkauan kuartil adalah
      suatu jangkauan data statistika terurut yang besarnya setengah
      dari rentangan atau jangkauan antar kuartil. Simpangan semiinter
      kuartil atau simpangan kuartil diberi notasi SK, dan dihitung
      dengan rumus
             SK =      ( Q3 – Q1 )


  b. Nilai Simpangan Kuartil


      1) Data Tunggal
        Untuk menentukan besarnya jangkauan kuartil haruslah dicari
        dahulu nilai kuaril atas ( Q3 ) dan nilai kuartil bawah ( Q1 ).


        Contoh :
        Tentukan besarnya jangkauan semi inter kuartil dari data di
        bawah ini :
        5 2 4 7 2 9 3 8 4 9 6 4
        Jawab :
        Data diurutkan menjadi : 2 2 3 4 4 4 5 6 7 8 9 9
        banyak data n = 12

        Q1 letaknya pada data ke                = data ke 4,25

        nilai Q1 = data ke-4 + 0,25 ( data ke-5 – data ke-4 )
                  = 4 + 0,25 ( 4 – 4 )
                  =4

        Q3 letaknya pada data ke                = data ke 9,75

        nilai Q3 = data ke-9 + 0,75 ( data ke-10 – data ke-9 )


  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                     90
                                                             MODUL
            = 7 + 0,75 ( 8 – 7 )
            = 7 + 0,75 = 7,75
      Simpangan Kuartil, SK =         ( Q 3 – Q1 )

                               =      ( 7,75 – 4 )

                               = 1,875
      Jadi jangkauan semi inter kuartil = 1,875.
    2) Data Berkelompok


      Contoh :
      Tentukan besarnya jangkauan semi inter kuartil dari data di
      bawah ini :
                    Interval   Frekuensi
                     Nilai
                    20 – 24           8
                    25 – 29        12
                    30 – 34        15
                    35 – 39        10
                    40 - 44           5
                  Jumlah           50
      Jawab :
      Dihitung dahulu nilai kuartil bawah ( Q1 ) dan kuartil atas ( Q3 )
      Q1 , berada pada data ke            = data ke 12,5 di kelas ke-2

      Nilai Q1 = 24,5 +            .5

                 = 24,5 + 1,87
                 = 26,37
      Q3 , berada pada data ke            = data ke 37,5 di kelas ke-4

      Nilai Q3 = 34,5 +            .5

                 = 34,5 + 1,25
                 = 35,75



……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                      91
                                                             MODUL
        Simpangan kuartil atau jangkauan semi inter kuartil , SK =
        seperdua kali selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.
        SK = ½ ( Q3 – Q1 )
            =    ( 35,75 – 26,37 )

             = 4,69
        Jadi jangkauan semi inter kuartilnya adalah 4,69.


5. Koefisien Variansi / Varians, KV :


  a. Pengertian


      Koefisien variansi atau variabilitas adalah perbandingan
      antara simpangan baku dan nilai rata-rata hitungnya yang
      dinyatakan dengan prosentase. Variabilitas dapat digunakan
      untuk menyelidiki keragaman data, apakah data itu heterogen
      atau homogen. Jika koefisien variansi suatu data bernilai rendah
      ( kecil ) dikatakan data itu semakin seragam ( homogen )
      sebaliknya jika variabilitas data tinggi maka dikatakan data
      statistika yang ada adalah heterogen ( bervariasi ).


  b. Nilai Koefisien Variansi


      Untuk data statistika besarnya koefisien variansi dihitung dengan
      rumus :
                                        Keterangan :
             KV =     . 100 %                  KV = koefisien variansi
                                              S   = simpangan baku
                                                  = rata-rata hitung


      Contoh :
      Tentukan besarnya koefisien variansi dari data di bawah ini :

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    92
                                                                MODUL
              Interval Nilai        Frekuensi
                16 – 20                    8
                21 – 25                    6
                26 – 30                    4
                31 – 35                12
                36 – 40                10
               Jumlah                  40


    Jawab :
    Dicari dahulu nilai rata-rata hitung dengan cara, sebagai berikut :
              Interval
                               fi     xi       fi . xi
                Nilai
              16 – 20           8    18         144       324    2592
              21 – 25           6    23        138        529    3174
              26 – 30           4    28        112        784    3136
              31 – 35          12    33        396       1089   13068
              36 – 40          10    38        380       1444   14440
              Jumlah           40              1170             36410


        =

        = 29,25
    Jadi rata-rata hitung,
    Nilai simpangan bakunya adalah :


    S   =


        =


        =


        =


……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                     93
                                                              MODUL
           = 7,49
      Jadi simpangan baku, S = 7,49
      KV =

           =        . 100 %

           = 25,61 %
      Jadi koevfisien variabilitasnya adalah 25,61 %




Uji Kompetensi 4


Selesaikan soal-soal berikut ini dengan singkat dan benar !
1. Hitunglah besarnya kuartil dari data berikut ini :
   15 23 20 19 26 30 19 24 25 19 26 21
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


2. Hitunglah nilai D1 , D5 dan D9 dari data berikut ini :
   55 52 47 56 48 50 62 39 41 37
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ……………………`…………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


3. Hitunglah nilai P10 , P30 , P50 dan P90 dari data di bawah ini :
   117 120 115 123 119 117 121 125 113 120
   Jawab :




  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 94
                                                            MODUL
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


4. Tentukan besarnya simpangan semi inter kuartil dari data di bawah
   ini :
           Interval Nilai   Frekuensi
             50 – 59             7
             60 - 69           13
             70 – 79           18
             80 – 89             8
              90 - 99            4
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


5. Hitunglah besarnya koevisien variabilitas dari datya nomor 4 di atas !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
6. Hitunglah nilai D1 , D5 dan D9 dari data berikut ini :
           Interval Nilai   Frekuensi
             25 – 30           15
             30 – 35           10
             35 – 40           10
             40 – 45             9
              45 - 50            6

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                  95
                                                             MODUL
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


7. Hitunglah nilai P10 , P30 , P50 dan P90 dari data nomor 6 di atas !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


8. Suatu data statistika simpangan bakunya 12 dan rata-rata hitung =
   65.        Hitunglah koefisien variabilitasnya !
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


9. Selidikilah data statistika berikut, heterogen ataukah homogeny !
           Interval nilai       Frekuensi
             110 – 119                7
             120 – 129              13
             130 – 139              21
             140 – 149              14
             150 – 159                5
             Jumlah                 60
   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………

  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    96
                                                            MODUL
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………


10. Tunjukkan bahwa nilai Q2 , D5 dan P50 dari data berikut ini sama !

                        Nilai matematika 60 siswa
                                                       45 - 52 = 5
                                                       53 - 60 = 15
                                                       61 - 68 = 21
                                                       69 - 76 = 12
                                                       77 - 84 = 7


   Jawab :
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………
   ………………………………………………………………………………




  ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                 97
                                                                                 MODUL

                                          RANGKUMAN
                                              N
 Statistik sesuatu yang dapat menyatakan kum           besar ( banyak ). Modus dibei notasi Mo. Di
 pulan data, bilangan maupun sifat atau ketera-         hitung dengan rumus : Mo = b +
 ngan atas bilangan yang disusun dalam tabel a-
 tau diagram yang menunjukkan suatu masalah.            Ukuran penyebaran adalah suatu nilai yg
 Statistika adalah suatu pengetahuan yang ber          dapat menunjukkan berapa besarnya nilai-
 Kaitan dengan cara mencari, mengumpulkan ,             nilai data itu menyebar terhadap patokan.
 mengolah dan menanalisa data serta menarik             Simpangan rata-rata atau deviasi rata-ra
 kesimpulan berdasarkan aturan yang sahih.              ta adalah besarnya nilai peyimpangan data
 Populasi adalah total semua nilai yang mung-          terhadap nilai rata-ratanya. Notasi SR dicari
 kin dari hasil kegiatan mengukur, menghitung           dengan rumus : SR =                 dimana xi
 baik kuantitatif maupun kualitatif tentang karak       adalah nilai data untuk data tunggal & titik
 teristik tertentu dari semua anggota yang ada.         tengah interval untuk data berkelompok.
 Jika hanya sebagian anggota disebut sampel.            Simpangan baku atau standar deviasi
 Data adalah suatu keterangan atas obyek pe-           adalah besarnya penyimpangan data yang
 nelitian yang berupa kategori maupun bilangan.         dapat ditolerir, notasi S. dihitung dengan
 Data kuantitatif adalah data yang berbentuk
 kategori sedang yang berbentuk bilangan diberi         rumus : S =                       atau dengan
 nama data kuantitatif.                                 rumus pendek : S =
 Tabel , untuk menyajikan data dalam bentuk
 tabel digunakan langkah-langkah :                      d adalah dugaan sementara.
 *Range/ Rentang selisih antara nilai data              Varians kuadrat dari simpangan baku. S2.
 tertinggi dan nilai data terendah, R = xmax – xmin.    Nilai letak yang termasuk didalamnya se
 *Kelas, banyak kelas jangan terlalu kecil jangan       perti : kuartil , desil dan persentil.
 pula terlalu besar. Untuk data yang relatif besar      Kuartil adalah suatu ukuran nilai letak yg
 dapat dipakai rumus sturgess, K = 1 + 3,3.Log          membagi sebarisan data terurut menjadi 4
                                                        bagian yang sama besar, masing-masing ¼.
 n.
 *Interval, panjang interval kelas , I = . Untuk        Dihitung dengan rumus Ki = b +
 banyak kelas dan interval pembulatan ke atas.          Jangkauan atau range selisih antara nilai
 Diagram atau grafik, selain dengan tabel data         data tertinggi dan nilai data terendah. Jadi R
 dapat pula disajikan dalam bentuk diagram atau         = Xmax – Xmin.
 grafik, seperti : diagram gambar, batang, garis,       Jangkauan inter kuartil adalah selisih an-
 ogive dan diagram lingkaran.                           tara kuartil atas dan kuartil bawah. Jangka
 Ukuran pemusatan adalah suatu nilai yang              uan semiinterkuartil atau jangkauan kuar-
 menunjukkan kea rah mana data-data statistika          til , JK = ½ ( Q3 – Q1 ).
 itu menuju, seperti : mean, median dan modus.          Desil membagi data menjadi sepuluh dan
 Mean atau rata-rata hitung adalah nilai per-          Persentil membagi data menjadi seratus. Ru
 bandingan antara jumlah nilai dan banyak data.         mus yang dipakai sama dengan kuartil
 Mean diberi notasi                             dan     hanya dengan mengganti nilai n nya saja.
                                                        Angka baku adalah suatu nilai yang dipe-
            , untuk data berkelompok.                   roleh dengan cara mengolah nilai mentah,
 Median adalah nilai data statistika terurut           rumusnya adalah : Z =           , dikenal seba-
 yang berada tepat di tengah-tengah. Notasi Mo.
 Untuk data berkelompok median dihitung                 gai Z skore.
                                                        Koefisien variasi adalah prosentase nilai
 dengan rumus : Me = b +           .p                   perbandingan antara simpangan baku dan
 Modus atau mode adalah nilai data statistika          rata-rata , KV =
 yang paling sering muncul atau frekuensi paling




    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                        98
                                                                          MODUL

Peta Konsep
                                      STATISTIKA
                                                Materi   Bahasan



                                                                        Hasil Analisa   Data
          Pengelompokan Data
  Pengumpula              Penyajian                                 Pengolahan
    n Data                  Data                                       Data




      Tabel             Diagram        Pemusatan             Penyebaran                 Nilai
                                                                                        Letak




      Tabel            Diagram         Mean                 Range                 Jangkauan
    Kontigensi         Gambar



                       Diagram
                       Batang                              Simpangan                Kuartil
                                                            Rata-rata

                                       Median
    Tabel Distrbu
     si Frekuensi
                       Diagram                                                   Jangkauan
                        Garis                                                      Kuartil
                                                           Simpangan
                                                             Baku


                        Ogive                                                       Desil
  *Tabel distribusi
                                       Modus
   Frekuensi
    komulatif
                                                            Angka
  *Tabel distribusi                                         Baku
    frekuensi                                                                     Persentil
    relatif

                       Diagram                                                    Koefisie
                       Lingkara                                                   n
                       n                                                          Variansi




      ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                99
                                                                  MODUL
PENILAIAN KOMPETENSI

Kompetensi : Statistika
Program       : Bisnis dan Teknologi
Kelas         : XII
Waktu         : 120 Menit


Kerjakan soa-soal berikut ini dengan jelas dan benar !
1. Buatlah tabel distribusi frekuensi nilai matematika 100 orang siswa di
    bawah :
    73 64 38 47 82 35 75 56 70 85 48 92 45 78 66 75 93 88 40 65
   90 37 65 53 76 54 88 67 90 76 55 46 76 86 80 81 36 74 65 50
   87 38 67 56 65 56 50 90 80 76 76 89 92 46 77 85 68 70 85 43
   56 76 87 89 90 89 87 67 56 65 45 43 35 45 64 47 66 58 90 88
   67 87 89 90 90 88 78 76 56 76 45 53 50 60 90 45 37 48 65 77
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………


2. Buatlah ogive kurang dari untuk data nomor 1 di atas !
   Jawab :
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………
   ……………………………………………………………………………………


3. Tentukan nilai jangkauan kuartil dari data berikut ini !
    Usia ( … tahun ) 16,8 17,2 17,6 18,0 18,4 18,8 19,2 19,6
    Banyak siswa            8   22   15   12    13    10      7   3
    Jawab :
    ……………………………………………………………………………………

        ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                           100
                                                                                    MODUL
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………


 4. Hitunglah mean dari data di bawah ini :
                 Interval Nilai            Frekuensi
                  145 – 149                     11
                  150 – 154                     29
                  155 – 159                     35
                  160 – 164                     20
                  165 – 169                         5
                  Jumlah                        100
    Jawab :
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………


5. Hitunglah modus dari nomor 3 di atas !
    Jawab :
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………………………………
    ……………………………………………………………….……………………
6. Hitunglah nilai median dari data di bawah ini !

                                      18
                      15
                                                         14

                            10                                     9
             8
                                                6




        25       35        45    55        65       75        85       95   Nilai matematika

        ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                                    101
                                                                     MODUL
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………


7.    Nilai Amir untuk mata pelajaran PKnS , Penjaskes dan KKPI sebagai
     berikut :
                             Kondisi                 Simpangan       Nilai yang
                                              mean
         Mata Pelajaran                                 Baku         Diperoleh
         PKnS                                  75         12             79
         Penjaskes                             72         10             75
         KKPI                                  85         13             80
     Selidikilah manakah dari ketiga nilai di atas yang berbobot lebih baik !
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………


8. Hitunglah nilai- nilai : P10 , P50 dan P90 dari data di bawah ini !
                 Interval Nilai   Frekuensi
                   30 – 40             18
                   40 – 50             12
                   50 – 60             20
                   60 – 70             17
                   70 – 80             13
                   80 – 90             20
                  Jumlah               100


     Jawab :



         ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                                    102
                                                              MODUL
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………


9.    Pada ujian matematika Ali mendapat nilai 71. Jika besarnya rata-rata
     adalah 77 dan nilai simpang bakunya adalah 10 maka hitunglah nilai
     baku untuk nilai matematika Ali tersebut !
     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………


10. Tentukan besarnya kuartil dari data berikut ini :
               25



               20

                                                               145 - 149 = 15
               15                                              150 - 154 = 10
                                                               155 - 159 = 20
               10                                              160 - 164 = 13
                                                               165 - 169 = 12
                                                               170 - 174 = 5
                5



                0
                                    Tinggi Badan


     Jawab :
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………
     ……………………………………………………………………………………

         ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                             103
                                                           MODUL

                      DAFTAR PUSTAKA

Suranto, Edy , S.Pd, . 2004 . Matematika SMK Jilid 3 . Yudhistira .
Wonogiri.
Budiyuwono , Nugroho , Drs . 1994 . Pelajaran Statistik Untuk Guru
SMEA . Yogyakarta . BPFE.
Chiang , Alpha C . 1986 . Dasar-dasar Matematika Ekonomi Jilid 1 .
Jakarta . Erlangga.
Depdiknas . 2006 . Silabus Mata Pelajaran Matematika Kelompok Non
Teknologi . Jakarta . Dirjen Pendidikan Dasar dan Menengah Ditna SMK
Suparman , I , A , M.Sc . 1988 . Statistika Sosial . Jakarta . Proyek
Peningkatan Pendidikan Kejuruan Non Teknik.
Gunawan , K Adi , Drs . 2004 . Tangkas Matematika SMU . Surabaya .
Kartika.
Harno , Drs . 2005 . LKS Matematika SMK Jilid 3 . Jakarta . Mediatama.
Yusuf      ,   Muhammad   ,   2008   .   Matematika   Kelompok   Sosial,
Administrasi Perkantoran dan Akuntansi untuk SMK Jilid 3. Bandung
. Grafindo Media Pratama
Gawatri, U R , Dra. Dkk . 2002 . Matematika SMK Jilid 1 . Jakarta .
Yudhistira.
Nasution , Andi Hakim , dkk . 1999 . Matematika SMU Jilid 1 . Jakarta .
Departeman Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia.
Abdurahman ,Maman Drs. 1999 . Matematika Teknik Jilid 2. Bandung .
Armico.




    ……… ERMAN ……… SMK ……… KELAS XII ………                              104

								
To top