Welkom bij deze Wiskunde presentatie over hfst 2 by x0lwx2AK

VIEWS: 26 PAGES: 69

									      Welkom bij deze Wiskunde
      presentatie over hfst 2




•   Deze presentatie is van:
•   Raymond Weyermars, Peter van
    Leuteren, Sander Koekkoek en Nick
    Lulof
Hoofdstuk 2:
Exponenten en logaritmen
• Overal om je heen zie je groei: bij mensen, dieren en planten, bij
   bevolkingsaantallen en bij radioactief verval.In dit hoofdstuk gaan we
   dieper in op verschillende soorten van groei. Vooral exponentiele groei
   krijgt de nodige aandacht. Je hebt met exponentiele groei te maken als een
   hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde percentage toeneemt. Je leert
   hoe het zit met groeipercentages en groeifactoren voor verschillende
   tijdseenheden. Verder spelen exponentiele functies in dit hoofdstuk een
   belangrijke rol. Je zult zien hoe je uit een exponentiele standaardfunctie y =
   g^x allerlei andere functies kunt krijgen. Ook komt de functie aan de orde
   die bij het omkeerschema van y = g^x hoort. Hierbij komt het begrip
   ‘logaritme’ te voorschijn. Ook leer je in dit hoofdstuk rekenen met machten.
   Je krijgt een aantal nieuwe rekenregels voor machten. Je leert de betekenis
   van een macht met een negatieve of een gebroken exponent. Zo is y =
   x^3,12 een voorbeeld van een machtsfunctie met een exponent die zowel
   gebroken als negatief is.

• Uit het boek: Getal & Ruimte Havo NG/NT 2
    Hier kun je je paragraaf kiezen

• Paragraaf 1 Soorten groei
• Paragraaf 2 Machten met gehele
    exponenten
•   Paragraaf 3 Machten met gebroken
    exponenten
•   Paragraaf 4 Exponentiele functies
•   Paragraaf 5 Logaritmische functies
•   Logboek
Paragraaf 1 Soorten groei

•   Van deze sommen hebben wij uitwerkingen:
•   2
•   Info bij som 2
•   7
•   Info bij som 7
•   11
                                    Hier kun je terug naar het
                                    paragrafen overzicht
    Som 2
    • Tussen de tweede en de twaalfde verjaardag is de lengtegroei bij de
         meeste jongens lineair. Bij de groei van Michiel in deze periode hoort de
         formule L = 5t + 70. Hier is L de lengte in cm en t de leeftijd in jaren.

    • A.)      Hoeveel cm per jaar groeit Michiel in deze periode?
    • B.)      Hoeveel procent is Michiel in deze tien jaar langer geworden?
    • C.)      Welke lengte heeft Michiel volgens de formule bij een leeftijd van 6
         jaar en 9 maanden?
    •    D.) Met hoeveel procent neemt Michiels lengte toe tussen zijn tweede en
         derde verjaardag? En met hoeveel procent tussen zijn elfde en twaalfde
         verjaardag?


    • Extra info bij deze som: Procentuele toename = (Nieuw - oud / oud) *
         100%
                                                                       Naar de uitwerking van Som 2
Terug naar het Sommenoverzicht                            Extra info
          Uitwerking van Som 2
•   A.)       Hoeveel cm per jaar groeit Michiel in deze periode?

                      –   Je kunt uit de formule afleiden dat Michiel al 70 cm lang is als hij 2 jaar is. Elk jaar na zijn 2 e levensjaar
                          komt er 5 cm bij.
                      –   Dus hij groeit 5 cm per jaar

•   B.)       Hoeveel procent is Michiel in deze tien jaar langer geworden?
              •      Procentuele toename = Nieuw – oud : oud*100%

              •   De periode betekent van zijn 2e t/m zijn 12e levensjaar.
              •   Dus; 12-2 = 10
              •   10*5= 50 + 70 = 120
              •   120 –70 : 70 = 0,7142
              •   0,7142 * 100% = 71,4 %

•   C.)       Welke lengte heeft Michiel volgens de formule bij een leeftijd van 6 jaar en 9        maanden?

      –    6 jaar en 9 maanden = 6,75 en dit getal kun je dan in de formule invullen. (9: 12maanden = 0.75)
•   6,75 . 5 + 70 = 103,75

•   D.)       Met hoeveel procent neemt Michiels lengte toe tussen zijn tweede en derde verjaardag? En met hoeveel procent tussen
    zijn elfde en twaalfde verjaardag?
•
•   2e jaar = 2 . 5 + 70 = 80
•   3e jaar = 3 . 5 + 70 = 85   Procentuele toename = 85 – 80 : 80 * 100%= 6.25%

•   11e jaar = 11 . 5 + 70 = 125
•   12e jaar =12 . 5 + 70 = 130 Procentuele toename = 130 – 125 : 125 *100%= 4%                Hier ga je terug naar de som           Hier extra info
             Hier de informatie bij som2:
                 •    Als je een hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde absolute aantal toeneemt, dan heb je
                      te maken met een lineaire groei.

                 •    Lineare groei:
                        - de hoeveelheid N neemt per tijdseenheid met hetzelfde getal toe\ af.
                 -    De formule is van de vorm
                        – N = at + b
                 -    De grafiek is een rechte lijn.
                 •
                                        N = at + b
                         N




                                              t




                 •    Procentuele toename = Nieuw – oud : oud *100%


                                                                               Terug naar som 2   Terug naar uitwerking Som 2
Terug naar het sommen overzicht
         Som 7
                      • Opdr. 7
                      • A)
        •    Groeipercentage per jaar 17,5%   0,6%   120%

        •    Groeifactor per jaar                                 1,093        1,0025         2,35




                      • B)


        •    AfnamAfname in % per jaar 9,4%   0,5%   51,5%

        •    Groeifactor per jaar                                   0,856            0,983       0,901



                                                       Hier ga je naar de uitwerking van
Hier ga je terug sommen overzicht                                                          Hier extra info
                                                       som 7
            Uitwerking van Som 7
                         •    Opdr. 7
                         •     A).
        •     Groeipercentage per jaar       17,5%              0,6%             120%
        •     Groeifactor per jaar                                                         1,093   1,0025   2,35



                         •    Groeifactor = 17,5% geeft 100% + 17,5% = 117,5%, dus 1,175
                         •    Groeifactor= 0,6% geeft 100% + 0,6% = 100,6%, dus 1,006%
                         •    Groeifactor= 120% geeft 100% + 120% = 220%, dus 2,2%
                         •    Groeipercentage = 1,093 = 109,3 – 100% = 9,3%
                         •    Groeipercentage = 1.0025 = 100,25 – 100% = 0,25%
                         •    Groeipercentage = 2,35 = 235 – 100% = 135%




        •     Groeipercentage per jaar       17,5%              0,6%             120%       9,3%    0,25%   135%
        •     Groeifactor per jaar           1,175              1,006            2,2       1,093   1,0025   2,35

                         • B)
        •     AfnamAfname in % per jaar      9,4%               0,5%             51,5%
        •     Groeifactor per jaar                                                         0,856    0,983   0,901

                         •    Afname = 9,4% = 100% - 9,4% = 90,6%, dus 0.906
                         •    Afname = 0,5% = 100% - 0,5% = 99,5%, dus 0,995
                         •    Afname = 51,5% = 100% - 51,5% = 48,5%, dus 0,485
                         •    Groeifactor = 0,856 = 85,6% - 100%= 14,4%
                         •    Groeifactor = 0,983 = 98,3% - 100% = 1,7%
                         •    Groeifactor = 0,901 = 90,1% - 100% = 9,9%

        •     AfnamAfname in % per jaar      9,4%               0,5%             51,5%     14,%    1,7%     9,9%
        •     Groeifactor per jaar           0,906             0,995             0,485     0,856   0,983    0,901


                                                                                                                    Hier extra info
Hier ga je terug naar som 7
          Hier de informatie bij som 7
                        • Exponentiële groei:
                                  - De hoeveelheid N wordt per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal
                                    vermenigvuldigd.
                                  - Dat getal is de groeifactor per tijdseenheid.
                                  - De formule geeft de vorm N = b * gt
                                  – Hierin is de g de groeifactor per tijdseenheid en b de beginhoeveelheid.
                                  – - De grafiek is een kromme.
                                  –                      N = b * g^t
                                       N




                                                               t


                        • Bij een toename van P% per tijdseenheid hoort de groeifactor g = 1 + (P : 100)
                        • Vb. 8 % erbij geeft 100 % + 8% = 108%, dus 1,08

                        • Bij een afname van P% per tijdseenheid hoort de groeifactor g = 1 – (P : 100)
                        • Vb. 4,8% eraf geeft 100% - 4,8% = 95,2%, dus 0.952

Terug naar het sommen overzicht                                                    Terug naar de uitwerking van   Terug naar som 7
                                                                                   som 7
         Som 11

                 • Een hoeveelheid neemt per kwartier met 20% toe
                 • A.) Hoeveel procent is de toename per uur?

                 • B.)            Hoeveel is de procentuele toename per minuut?

                 • Extra informatie bij som 11
                 • Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid is de
                    groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn




Terug naar het sommen overzicht                                        Hier ga je naar de uitwerking van som 11
      Uitwerking bij som 11
                    • Een hoeveelheid neemt per kwartier met 20% toe
                    • A.)    Hoeveel procent is de toename per uur?
                           – 1uur = 1,20 tot de macht 4 geeft 2.0736
                           – 2.0736 - 100% = 1.0736 = 107.4%
                    •   B.)    Hoeveel is de procentuele toename per minuut?
                           –    Per minuut = 1,20 tot de macht 1:15 geeft 1,01222894 . 100% =
                             101,222894 – 100% = 1,2%




Terug naar het sommen overzicht                                               Hier ga je terug naar som 11
Paragraaf 2 Machten met
gehele exponenten
• Wij hebben uitwerkingen van deze sommen:

• 26              info som 26
• 32              info som 32
• 36              info som 36

                                     Terug naar het
                                     paragrafen overzicht
              Som 26

          •     a.)      2a3 * 4a7 =
          •     b.)      2a3 + 4a7 =
          •     c.)      (2a3)7 =
          •     d.)      5a3 * 2b5 =
          •     e.)      (3ab2)4 =
          •     f.)      (5a3)3 * 2b73 =
          •     g.)      15a18 =
          •               3a6
          •     h.)      (-2a)3 * 3a3 =
          •     i.)      (-2a)2 + 3a2 =


                                             Hier uitwerkingen som 26   Hier extra info
Hier ga je terug naar het sommen overzicht
      Uitwerkingen som 26
      •    a.)     2a3 * 4a7 = 8a3+7 = 8a10
      •    b.)     2a3 + 4a7 = kan niet
      •    c.)     (2a3)7 = 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 = 128a21
      •    d.)     5a3 * 2b5 = 10a3b5
      •    e.)     (3ab2)4 = 3ab2 * 3ab2 * 3ab2 * 3ab2 = 81a4b8
      •    f.)     (5a3)3 * 2b73 = 125a9 * 2b7 = 250a3b3
      •    g.)     15a18 = 5a18 = 5a12
      •             3a6      a6
      •    h.)     (-2a)3 * 3a3 = -2a * -2a * -2a * 3a3 = -24a6
      •    i.)     (-2a)2 + 3a2 = -2a * -2a +3a2 = 7a2




Terug naar sommen overzicht                                    Terug naar info som 26   Hier ga je terug naar som 26
      Hier informatie bij som 26
      •    Je weet dat x^5 een macht is. In de macht is x het grondtal en is 5 de exponent.
      •    X^5 is een korte schrijfwijze voor x*x*x*x*x
      •    Hier volgen enkele regels voor het rekenen met machten.

      •    A^3*a^4 = (a*a*a)*(a*a*a*a) = a^7 Bij vermenigvuldiging van machten met hetzelfde
           grondtal tel je de exponenten op.
      •    A^7/a^3 = a*a*a*a*a*a*a = a^4       Bij delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de
           exponenten af.
      •                       a*a*a
      •    (a^3)^4 = a^3*a^3*a^3*a^3 = a^12 Bij de macht van een macht vermenigvuldig je de
           exponenten.
      •    (ab)^3 = ab*ab*ab = a*a*a*b*b*b = a^3b^3        Bij de macht van een product neem je van
           elke factor die macht

      •    Rekenregels voor machten

      •    a^p*a^q = a^p+q                                    a^p = a^p-q
      •                                                             a^q
      •    (a^p)^q = a^pq                           (ab)^p = a^pb^p


Terug naar sommen overzicht                            Hier ga je terug naar de uitwerkingen van   Hier ga je terug naar som 26
                                                       som 26
      Som 32
      •    A.)      10^3 / 5a^-2 =
      •    b.)      10a^3 / (5a)^-2 =
      •    c.)      (10a)^3 / 5a^-2 =
      •    d.)      a^5b^-2 / 2a^-1 =
      •    e.)      3a^-1b^5 / (3a)^-1b^5 =
      •    f.)      2a^2b^-3 / 4(ab)^-2 =




Terug naar sommen overzicht                   Hier naar de uitwerkingen van som 32   Hier extra info van som 32
      Uitwerking bij Som 32

          •    A.)     10^3 / 5a^-2 = 2a^5
          •    b.)     10a^3 / (5a)^-2 = 250a^5
          •    c.)     (10a)^3 / 5a^-2 = 200a^5
          •    d.)     a^5b^-2 / 2a^-1 = a^6 / 2b^2
          •    e.)     3a^-1b^5 / (3a)^-1b^5 = 9
          •    f.)     2a^2b^-3 / 4(ab)^-2 = a^4 / 2b




Terug naar sommen overzicht                             Hier terug naar som   Hier extra info bij som
                                                        32                    32
      Informatie bij som 32
      •    In het algemeen geldt a^0 = 1. Dit is in overeenstemming met de rekenregels voor machten.
      •    Kies je voor q = 0 in de regel a^p * a^q = a^p+q, dan krijg je a^p * a^0 = a^p+0, ofwel a^p * a^0 = a^p
      •    dit klopt alleen als afgesproken wordt dat a^0 = 1
      •    Afspraak: a^0 = 1

      •    Kies je p = 0 in de regel a^p / a^q = a^p-q, dan krijg je a^0 / a^q = a^0-q, ofwel a^0 / a^q = a^-q en omdat
           zojuist is afgesproken dat a^0 = 1 staat hier 1 / a^q = a^-q
      •    Afspraak: a^-p = 1 / a^p

      •    deze regels gelden ook voor negatieven!       En onthoud dat: 1 / a^-n = a^n




Terug naar sommen overzicht                                       Hier terug uitwerking van som 32   Hier terug naar som 32
      Som 36
      • Op het scherm hiernaast is 4*10^5 x 2,6 * 10^-3 berekend.
      • Bereken op dezelfde manier.

      •    A.)      3,7 *10^-5 x 9,2 * 10^8 =
      •    b.)      1,12 * 10^4 + 5,8 * 10^3 =
      •    c.)      7,5 * 10^-15 / 3,75 * 10^-19 =
      •    d.)      (5,2 * 10^-4)^3 =




Terug naar sommen overzicht                          Hier de uitwerkingen van som 36   Hier extra info van som 36
      Uitwerking van som 36


            •    A.)     3,7 *10^-5 x 9,2 * 10^8 = 34040
            •    b.)     1,12 * 10^4 + 5,8 * 10^3 = 17000
            •    c.)     7,5 * 10^-15 / 3,75 * 10^-19 = 20000
            •    d.)     (5,2 * 10^-4)^3 = 1,41 * 10^-10




Terug naar sommen overzicht                                     Hier terug naar som   Hier extra info bij som
                                                                36                    36
      Informatie bij som 36
      •    Bij de berekening van 3^-13 geeft de GR 6.272254744E-7
      •    Dit betekent 6,272254744E-7, ofwel 0,000000627
      •    In deze wetenschappelijke notatie gebruikt de GR dus een macht van 10 met een negatieve exponent
      •    De wetenschappelijke notatie van een getal heeft altijd de vorm:
      •    a*10^n met a in het interval [1,10> en n een geheel getal

      •    Met de toets [EXP] of [EE] (op de TI-83 [2nd] [,]) kun je de wetenschappelijke notatie van een getal
           rechtstreeks intikken op de GR

      •    8,36*10^5 tik je als volgt in 8.36 [EXP] 5 [EXE] op het scherm komt 836000.

      •    3,45*10^-11 tik je als volgt in 3.45 [EXP] [(-)] 11 [EXE] op het scherm verschijnt de wetenschappelijke notatie
           3,45E-11

      •    Ook 812*10^-9 kun je op deze manier intikken: 812 [EXP] [(-)] 9 [EXE] je krijgt 8.12E-7 ofwel 8,12*10^-7.




Terug naar sommen overzicht                                          Hier terug naar uitwerking van       Hier terug naar som 36
                                                                     som 36
    Paragraaf 3 Machten met
    gebroken exponenten
• Wij hebben uitwerkingen van deze sommen:

•   43       Info som 43,45,48
•   45
•   48
•   56       Info som 56
                                      Terug naar het
                                      paragrafen overzicht
    Som 43
    • Regel: a^p/q= q*√a^p
    •    A: 7^1/3 =
    •    B: a^2/3=
    •    C: 7^-1/3=
    •    D: a^-1/2=
    •    E: 2a^1/4=
    •    F: (2a)^1/4=




Hier terug sommen overzicht   Hier uitwerking som   Hier extra info
                              43
    Uitwerking som 43
    •    A: 7^1/3 = 3 *√ 7

    •    B: a^2/3= 3 *√a^2

    •    C: 7^-1/3= 1 : 3*√7

    •    D: a^-1/2 = 1 : √a

    •    E: 2a^1/4 = 2.4*√a

    •    F: (2a)^1/4 = 2^1/4 . a^1/4 = 4*√2 . 4*√a =4*√2a




Hier terug sommen overzicht                                 Hier som 43   Hier extra info
    Extra informatie bij alle sommen


    • Let op als ik X^(1/5) plot dan is dat hetzelfde als 5^√X
    • Je ziet dus dat een macht met een gebroken exponent geschreven
         kan worden als een hogere machtswortel. Dit kun je begrijpen met
         de regel (x^p)^q = x^pq




Terug naar sommen overzicht          Terug naar som 48   Terug naar som 45   Terug naar som 43
      Uitwerkingen Som 45

          •    45. schrijf als macht van X , het is eigenlijk het omgekeerde van wat je bij soms 43 deed.

          •    A: X . √X = X^1 . X^1/2 = X^1,5

          •    B : X^4 . √X = X^4 . X^1/2 = X^4,5

          •    C : 3*√x : √X = x^1/3 : X^1/2 = x^-1/6

          •    D : √1 : X^3 = √x^-3




Hier terug sommen overzicht
                                                                                    Hier terug som 45       Hier extra info
    Som 45
    •    45. schrijf als macht van X , het is eigenlijk het omgekeerde van wat je bij soms 43 deed.

    •    A: X . √X = X^1 . X^1/2 =
    •    B : X^4 . √X = X^4 . X^1/2 =
    •    C : 3*√x : √X = x^1/3 : X^1/2 =
    •    D : √1 : X^3 =




Hier terug sommen overzicht                                           Hier uitwerking som 45     Hier extra info
    Som 48
    •    1,08^a+9 kun je schrijven als 1,08^9 . 1,08^a =2,0 . 1,08^a
    •    schrijf in de vorm van c .g^a

    •    a:1,18^a+5 =
    •    b:1,31^a-2 =
    •    c:0,78^a+0,6 =
    •    d:1,15^2a+1 =




Hier terug sommen overzicht                                            Hier uitwerking som 48   Hier extra info
    Uitwerking Som 48

          •    1,08^a+9 kun je schrijven als 1,08^9 . 1,08^a =2,0 . 1,08^a
          •    schrijf in de vorm van c .g^a

          •    a:1,18^a+5 = 1,18^5 . 1,18^a = 2,3 . 1.18^a

          •    b:1,31^a-2 = 1,31^-2 . 1.31^a = 0.6 . 1.31^a

          •    c:0,78^a+0,6 = 0,78^0,6 . 0,78^a = 0,9 . 0,78^a

          •    d:1,15^2a+1 =(1,15^2)^a .1,15^1 = 1,2 . 1,32^




Hier terug sommen overzicht                                                  Hier terug naar som48   Hier extra info
    Som 56
    • De planeet Saturnus heeft vele manen. In grafiek van figuur 2.7 is
      voor vier van de manen het verband tussen de omlooptijd T en de
      straal R van de baan in 10^5 km af te lezen. Strrenkundigen
      hebben aangetoond dat T evenredig is met R^1,5
    • A: Bereken de evenredigheidsconstante in twee decimalen
      nauwkeurig.

    • B: De baan van de maan Iapetus heeft een straal van 35,6 x
         10^5 km. Hoeveel dagen is de omlooptijd?
    •
    • C:     In 1980 heeft een ruimtesonde Voyager enkele tot dan toe
         onbekende manen waargenomen. Van een van deze manen, de
         1980S.27 is de omlooptijd 15 uur. Bereken de straal van de baan.
    •
Hier terug sommen overzicht                         uitwerking som 56   Hier extra info
             Uitwerking som 56
        •    De planeet Saturnus heeft vele manen. In grafiek van figuur 2.7 is voor vier van de manen het verband tussen
             de omlooptijd T en de straal R van de baan in 10^5 km af te lezen. Strrenkundigen hebben aangetoond dat T
             evenredig is met R^1,5
        •    A:        Bereken de evenredigheidsconstante in twee decimalen nauwkeurig.
        •    Als je bij Titan kijkt zie je dat bij een omlooptijd in dagen 15,9 hoort en een baanstraal van 12,20.
        •    T = a x R^1,5
        •    15,9 = a x 12,20^1,5
        •    15,9 = a x 42.61276804
        •    15,9 = 0,37 x 42,61
        •    De evenredigheidsconstante is dus 0,37
        •    B:        De baan van de maan Iapetus heeft een straal van 35,6 x 10^5 km. Hoeveel dagen is de omlooptijd?
        •              T = 0,37 x R^1,5
        •              T = 0,37 x 35,6^1,5
        •              T = 78,59
        •              De omlooptijd van Iapetus is dus ongeveer 79 dagen.
        •
        •    C:      In 1980 heeft een ruimtesonde Voyager enkele tot dan toe onbekende manen waargenomen. Van een
             van deze manen, de 1980S.27 is de omlooptijd 15 uur. Bereken de straal van de baan.
        •                   T = 0,37 x R^1,5
        •                   T is 15 uur dat is dus 15 : 24 = 0,625 dagen
        •                   0,625 = 0,37 x R^1,5
        •                   0,625 : 0,37 = R^1,5
        •                    1,689 = R^1,5
        •                   R = 1,5√1,689
        •                   R = 1,42 x 10^5 km
Hier terug sommen overzicht                                                        Hier terug naar som 56      Hier extra info
      Extra info som 56

      • Bij A moet je de evenredigheidsconstante
        berekenen. Dat doe je als volgt:
      • Is P evenredig met Q, dan bestaat er een
        getal a ( de evenredigheidsconstante) zo,
        dat P = a x Q


Hier terug sommen overzicht        Hier terug naar som 56   uitwerking som 56
Paragraaf 4 Exponentiele
functies
• Wij hebben uitwerkingen van deze sommen:

•   59               info   som   59
•   60               info   som   60
•   62               info   som   62
•   63               info   som   63
•   64               info   som   64
•   66               info   som   66
•   71               info   som   71
                                             Terug naar het
                                             paragrafen overzicht
    Som 59

    • A.) Plot de grafiek van f`(x)= 2^x
    • B.) Is de grafiek van f dalend of stijgend?
    • C.) Wat kun je zeggen van de y-coordinaat
      van een punt op de grafiek als je steeds
      verder naar links gaat?
    • D.) Schrijf het bereik van f als interval
Hier terug sommen overzicht         Hier uitwerkingen   Hier extra info
        Uitwerking som 59
         •    A:        Plot de grafiek van f(x)= 2^x
         •    - Als je de grafiek plot ziet hij er als volg uit:
         •    B:        Is de grafiek van f dalend of stijgend:
         •              - Als je naar de geplotte grafiek kijkt zie je
              dat de grafiek f stijgend is.




         •    C:       Wat kun je zeggen van de y-coördinaat
              van een punt op de grafiek als je steeds verder
              naar links gaat?
         •             - Je ziet in de geplotte grafiek dat y daalt
              naar 0.
         •    D:       Schrijf het bereik van f als interval.
         •    - De interval is: (0,→)




Hier terug sommen overzicht                                              Terug naar som 59   Hier extra info
    Som 60

    • Gegeven is de functie f(x) = 1^x

    • A.) Onderzoek voor welke positieve
      waarden van grondtal g de grafiek van f
      dalend is.
    • B.) Schrijf voor die waarden van g het
      bereik van f als interval.
Hier terug sommen overzicht        Hier uitwerkingen   Hier extra info
    Uitwerking som 60
    • Gegeven is de functie f(x) = g^x
    • A: Onderzoek voor welke positieve waarden van het grondtal g de grafiek van f
         dalend is.
    •          Na even onderzoeken is f dalend als g kleiner is dan 1 of groter dan 0. Anders
         gezegd tussen de 0 en de 1 bijvoorbeeld 0,5 of 0,25.
    •    B:    Schrijf voor die waarden g het bereik f als interval.
    •          - De interval is: (0,→)




Hier terug sommen overzicht                                         Terug naar som 60   Hier extra info
    Extra info som 59 en 60
    • De functie f(x) = 6^x is een voorbeeld van een
         exponentiële functie. Aan de linkerkant komt de
         grafiek van f steeds dichter bij de x-as. De x-as is een
         asymptoot. Een asymptoot is een lijn waar de grafiek
         op den duur vrijwel mee samenvalt. De functies f(x) =
         g^x zijn standaardfuncties. De grafieken die daarbij
         horen heten standaardgrafieken.




Hier terug sommen overzicht                       Terug naar som 59   Terug naar som 60
    Som 62
    • Gegeven zijn de formules y1= 2^x, y2= 3
      * 2^x en y3= 6^x
    • A.) Plot de grafieken in een figuur. Neem
      het venster [-5,5] * [0,10].
    • B.) Bekijk de grafieken van y2 en van y3.
      Welke van deze twee is ontstaan uit de
      grafiek van y1 bij een vermenigvuldiging?
      Geef de bijbehorende factor.
Hier terug sommen overzicht
                                   Hier uitwerkingen   Hier extra info
    Uitwerking van som 62
    •    Gegeven zijn de formules y1 = 2^x, y2 = 3۰2^x en y3 = 6^x
    •    a: Plot de grafieken in één figuur.
    •    Na het intoetsen van de formules zie je als je de formules plot het volgende scherm.




    •    b: Bekijk de grafiek van y2 en y3. Welke van deze twee is ontstaan uit de grafiek van
         y1 bij een vermenigvuldiging. Geef de bijbehorende factor.
    •    Als je kijkt naar de formules van y1 en y2 dan staat daar in allebei de formules 2^x. Alleen is de
         formule van y2 vermenigvuldigd met 3.
    •    De formule van y2 is dus ontstaan uit de formule van y1 bij een vermenigvuldiging. De
         vermenigvuldigingsfactor is 3


Hier terug sommen overzicht                                                  Hier naar som 62    Hier extra info
    Informatie bij som 62


      • De functie f(x) = 6^x is een voorbeeld van een exponentiële
            functie. Aan de linkerkant komt de grafiek van f steeds dichter
            bij de x-as. De x-as is een asymptoot. Een asymptoot is een
            lijn waar de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt.




Hier terug sommen overzicht
                                                         Hier naar som 62   Hier uitwerking som 62
    Som 63

    • Gegeven is de formule y= 2^x + c
    • A.) Plot in het venster [-5,5] * [5,15] in
      een figuur de grafieken voor c= -3, -2, -1,
      0, 1, 2 en 3.
    • B.) Hoe ontstaat de grafiek van y= 2^x+5
      ui die van y= 2^x?

Hier terug sommen overzicht           Hier uitwerkingen   Hier extra info
    Uitwerking van Som 63

          • A:       Plot in het venster (-5,5)x(-5,15) in één
               figuur de grafieken voor c= -3, -2, -1, 0, 1, 2 en
               3.
          •          Als je deze grafieken plot zie je het
               volgende.
          •




          • B:       Hoe ontstaat de grafiek van y = 2^x +5
               uit de grafiek van y = 2^x
          •          Door de grafiek 5 omhoog te schuiven.
Hier terug sommen overzicht                                         Terug naar som 63   Hier extra info
    Som 64
    • A.) Plot in het venster [-5,5] * [0,10] in een
         figuur de grafieken van y1= 2^x y2= 2^x-3.
    •    Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y2
         uit die van y1?
    •    B.) Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek
         van y= 2^x+4 uit die van y= 2^x?
    •    C.) Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek
         van y= 2^x?
Hier terug sommen overzicht                Hier uitwerkingen   Hier extra info
      Uitwerking van som 64
     • A: Plot in het venster(-5,5)x(0,10) in één figuur de grafieken van y1 = 2^x en
     • y2 = 2^(x-3). Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y2 uit die van y1.
     • Als je de grafieken plot zie je het volgende:




     • Je ziet dat y2 ontstaat door de grafiek 3 naar rechts te verschuiven.
     • B:     Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y = 2^(x+4) uit die van y =
          2^x.
     •             Het antwoord is door de grafiek 4 naar links te verschuiven.
     • C:          Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y = 2^(x-b) uit de grafiek y =
          2^x.
     •             Het antwoord is door de grafiek b naar rechts te verschuiven.


Hier terug sommen overzicht                                            Terug naar som 64   Hier extra info
    Som 66
    • Geef van de grafieken van de volgende functies aan hoe ze uit een standaardgrafiek
         ontstaan. Vermeld ook de vergelijking van de asymptoot.

    •    A.)      f(x)= 3^(x+2) -1
    •    B.)      g(x)= 3^(x-1) + 5
    •    C.)      h(x)= -(V3)^^x
    •    D.)      k(x)= (V3)^x + 5
    •    E.)      l(x)= 2 * 0,5^x + 3
    •    F.)      m(x)= -3 * 0,7^x + 5




Hier terug sommen overzicht                                   Hier uitwerking som 66   Hier extra info
             Uitwerking van Som 66
         •    Geef van de grafiek van de volgende functies aan hoe ze uit een standaardgrafiek ontstaan.
              Vermeld ook de vergelijking van de asympoot.
         •    A:      f(x)= 3^(x+2) – 1
         •    Eerst verschuif je de grafiek 2 naar links en daarna 1 omlaag. De vergelijking van de amplitude is
              y = -1.
         •    B:      g(x)= 3^(x-1) + 5
         •            Eerst verschuif je de grafiek 1 naar rechts en daarna 5 omhoog. De vergelijking van de
              amplitude is y = 5.
         •    C:      h(x)= -(√3)^x
         •            Je spiegelt de lijn in de x-as. De vergelijking van de amplitude is y = 0
         •    D:      k(x)= -(√3)^x + 5
         •    Je spiegelt de lijn weer in de x-as, daarna verschuif je de grafiek 5 omhoog. De vergelijking van
              de amplitude is y = 5
         •    E:      l(x)= 2 ۰ 0,5^x + 5
         •            Eerst vermenigvuldig je de grafiek met 2. Daarna verschuif je de grafiek 3 omhoog.
         •    De vergelijking van de amplitude is y = 3.
         •    F:      m(x)= -3 ۰ 0,7^x + 5
         •
         •    Eerst is de standaardformulier met –3 vermenigvuldigd en daarna is de grafiek 5 omhoog
              verschoven.



Hier terug sommen overzicht                                                       Terug naar som 66   Hier extra info
   Extra info bij Som 63, 64, 66
   • Door de standaardformulier van y =g^x te verschuiven
        of te vermenigvuldigen, ontstaan andere grafieken.
   •    y = g^x vermenigvuldigen met bijv 3 wordt: y = 3۰g^x
   •    y = g^x 3 omhoog verschuiven wordt:                y=
        g^x + 3
   •    y = g^x 5 naar rechts verschuiven wordt:           y=
        g^(x – 5)
   • Voorbeeld:
   • De grafiek van y = a ۰ g^(x - b) + c ontstaat door de
        standaardgrafiek y = g^x met a te vermenigvuldigen
        gevolgd door de verschuiving van b naar rechts en
        daarna c omhoog

Hier terug sommen overzicht           Terug naar som 63   Terug naar som 64   Terug naar som 66
    Som 71
    • Los op:

    •    A.)      2^(x+1) = 64
    •    B.)      2^(x-3) = 1/8
    •    C.)      2^(2x) = 2
    •    D.)      2^x = 1
    •    E.)      2^x = ¼ * V2
    •    F.)      2^(x+5) = 16V2
    •    G.)      5^(x+6) = 1/5
    •    H.)      3^(2x+1) = 27V3
    •    I.)      10^(2x+1) = 0,01



Hier terug sommen overzicht          Hier uitwerkingen   Hier extra info
     Uitwerking van Som 71
     •             Los op
     •    A:       2^(x+10) = 64         B:   2^(x – 3) = 0,125
     •             2^(x + 1) = 2^6            2^(x - 3) = 2^ -3
     •               x+1 =6                   x–3 =-3
     •                    x =5                x=0

     •    C:       2^(2x) = 2            D:   2^x = 1
     •             2^(2x) = 2^1               2^x = 2^0
     •                2x = 1                  x=0
     •                  x = 0,5

     •    E:       2^x = 0,25√2          F:   2^(x + 5) = 16√2
     •             2^x = 2^ - 1,5             2^(x + 5) = 2^4,5
     •               x = - 1,5                x + 5 = 4,5
     •                                        x = - 0,5

     •    G:       5^(x + 6) = 0,2       H:   3^( 2x + 1) = 27√3
     •             5^(x + 6) = 5^-1           3^ (2x + 1) = 3^3,5
     •                x + 6 = -1              2x + 1 = 3,5
     •                     x = -7             x   = 1,25

     •    I:       10^(2x + 1) = 0,01
     •             10^(2x + 1) = 10^-2
     •                 2x + 1 = - 2
     •                    x    = - 1,5




                                                                    Terug naar som 71   Hier extra info
Hier terug sommen overzicht
   Extra info Som 71
   • Uitlegopgave 71 en verder:
   • Sommige exponentiële vergelijkingen moet je algebraïsch kunnen oplossen,
      bijvoorbeeld 2^(x – 3) = √2. Bij het oplossen van zo’n vergelijking maak je
      gebruik van g^A = g^B geeft A = B je streept de grondgetallen dus weg
      als ze aan elkaar gelijk zijn.
     • Voorbeeld:
     • 2^(x + 1) = 64
     • 2^(x + 1) = 2^6
     •         x+1 =6
     •               x =5
     • Voorbeeldopgave uit het boek:
     • Los op:              10 ۰ 3^x = 270
     •                           3^x = 27
     •                           3^x = 3^3
     •
Hier terug sommen overzicht
                                    x=3
Paragraaf 5 Logaritmische
functies
• Wij hebben uitwerkingen van deze sommen:

• 79           info som 79
• 81           info som 81
• 82           Info som 82
• 83           info som 83
• 84           info som 84
                                      Terug naar het
                                      paragrafen overzicht
    Som 79
    • Schets van elke functie de grafiek van F en F’

    •    A) F(x)=1/3X-1
    •    B) F(x)=(x+1)^3
    •    C) F(x)=(X^3+5):10
    •    D) F(x)=2/3X^5+2/3




Hier terug sommen overzicht                       Uitwerking van som 79   Extra info som 79
    Uitwerking som 79
    •    Schets van elk van de volgende functies de
         grafieken van f en f inv in één figuur en
         geef de formule f inv.
    •    A:      f(x) = ⅓x –1
    •    Eerst moet de van deze formule f inv
         berekenen. Hoe je dat doet staat in de
         uitleg bij deze som.
    •
         f(x) = ⅓x –1                              x
         ۰⅓       ⅓x     -1    ⅓x –1
    •           f inv(x) = (x+1): ⅓
                (x+1): ⅓       :⅓    x+1
                +1          x
    •
    •    f inv (x) = wordt als je de formule ۰3 doet   Volgende
         uiteindelijk 3x +3
    •            Als je deze twee formules in 1
         grafiek zet zie je het volgende:


Hier terug sommen overzicht
                                                          Terug naar som 79   Extra info som 79
    Vervolg uitwerking som 79

     •     B:      f(x) = (x +1)^3
     •
     •             Als je f inv berekent net zoals bij A volgt dat f
           inv = 3√x –1
     •             Als je deze twee formules in 1 grafiek zet zie
           je het volgende:



           C:           f(x) = (x^3 +5) : 10
                 f inv wordt: f inv(x) = 3√(10x -5)

                                                                                  Volgende
                  Als je deze twee formules in 1
            grafiek zet zie je het volgende

Hier terug sommen overzicht
                                                                       Terug naar som 79     Extra info som 79
    Vervolg uitwerking som 79
    • D:       f(x) = ⅔x^5 + ⅔
    •          f inv wordt:        f inv(x) =
         5√(1,5x -1)
    •          Als je deze twee formules in
         1 grafiek zet zie je het volgende:




Hier terug sommen overzicht
                                                Terug naar som 79   Extra info som 79
    Extra uitleg som 79
    •    Uitleg opdracht 79:
    •    De functie die bij het omkeerschema van de functie f hoort heet de inverse van f. Notatie finv.
         De grafiek van f en finv zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x
    •    Voorbeeld:
    •    f(x)= ⅓x –1           Het machientjes schema wat daar bij hoor is x ۰ ⅓       ⅓x     -1
         ⅓x –1
    •
                                Het omkeerschema wat daar bij hoort is (x+1): ⅓       :⅓           x+1
                  +1            x
    •    De formule van f is dus ⅓x –1 en die van f inv is dan (x+1): ⅓
    •    Als je deze tekent zien ze er zo uit:




Hier terug sommen overzicht
                                                                                     Terug naar som 79     Uitwerking van som 79
    Som 81
    •    Bereken:

                  • A:        2 log 8
    •                 B:      2 log 2
    •
                  • C:        2 log 0,5
    •                 D:      2 log √2
    •
                  • E:        2 log 0,25
    •                 F:      2 log 1
    •




Hier terug sommen overzicht                Uitwerking van som 81   Info som 81
    Uitwerking Som 81
        •    Bereken:

                     • A:           2 log 8
        •            2 log 8 = 3                 want 2^3 = 8

                     • B:           2 log 2
        •            2 log 2 = 1                 want 2^1 = 2

                     • C:           2 log 0,5
        •            2 log 0,5 = -1                          want 2^-1 = 0,5

                     • D:           2 log √2
        •            2 log √2 = 0,5                          want 2^0,5 = √2

                     • E:           2 log 0,25
        •            2 log 0,25 = -2             want 2^-2 = 0,25

              –             F:      2 log 1
         •           2 log
Hier terug sommen overzicht 1 = 0                want 2^0 = 1
                                                                               Terug naar som 81   Info som 81
        Informatie som 81t/m84
    •    § 2.5 Logaritmische functies

    •    Uitleg:

    •    De functie die bij het omkeerschema van de functie f hoort heet de inverse van f. Notatie finv. De grafiek van f
         en finv zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x

    •    Voorbeeld:

    •    f(x)= ⅓x –1     Het machientjes schema wat daar bij hoor is x ۰ ⅓      ⅓x     -1     ⅓x –1

    •                     Het omkeerschema wat daar bij hoort is (x+1): ⅓             :⅓           x+1           +1
                   x

    •    De formule van f is dus ⅓x –1 en die van f inv is dan (x+1): ⅓

    •    Als je deze tekent zien ze er zo uit:

Hier terug sommen overzicht                                                                                   vervolg
        Uitwerking som 82

    •    Bereken:
    •    A:       3 log 27
    •             3 log 27 = 3           want 3^3 = 27
    •    B:       7 log 49
    •             7 log 49 = 2           want 7^2 = 49
    •    C:       3 log 1/81
    •             3 log 1/81 = -4        want 3^-4 =1/81
    •    D:       10 log 1000
    •             10 log 1000 = 3        want 10^3 = 1000
    •    E:       10 log 0,01
    •             10 log 0,01 = -2       want 10^-2 = 0,01
    •    F:       10 log 0,1√10
    •             10 log 0,1√10 = -0,5   want 10^-0,5 = 0,1√10
    •    G:       7 log 1
    •             7 log 1 = 0            want 7^0 = 1
    •    H:       23 log 23
    •             23 log 23 = 1                      want 23^1 = 23
Hier terug sommen overzicht                                           Hier terug naar som 82
    Som 82
    •    Bereken:
    •              A:            3 log 27
    •             B:          7 log 49
    •             C:          3 log 1/81
    •             D:          10 log 1000
    •             E:          10 log 0,01
    •             F:          10 log 0,1√10
    •             G:          7 log 1
    •             H:          23 log 23
    •




Hier terug sommen overzicht
                                              Uitwerking van som 82
    Som 83
    •    Bereken:
    •    A:   5 log 0,2
    •    B:       3 log 3√3
    •    C:       0,5 log 8
    •    D:       0,25 log 0,5
    •    E:       0,25 log 4
    •    F:       4 log 0,25
    •    G:       1/7 log 7
    •    H:       1/7 log 1




Hier terug sommen overzicht
                                 Uitwerking van som 82
    Uitwerking som 83
    •    Bereken:
    •    A:       5 log 0,2
    •             5 log 0,2 = -1                   want 5^-1 = 0,2
    •    B:       3 log 3√3
    •             3 log 3√3 = 1,5      want 3^1,5 = 3√3
    •    C:       0,5 log 8
    •             0,5 log 8 = -3                   want 0,5^-3 = 8
    •    D:       0,25 log 0,5
    •             0,25 log 0,5 = 0,5   want 0,25^0,5 = 0,5
    •    E:       0,25 log 4
    •             0,25 log 4 = -1      want 0,25^-1 = 4
    •    F:       4 log 0,25
    •             4 log 0,25 = -1      want 4^-1 = 0,25
    •    G:       1/7 log 7
    •             1/7 log 7 = -1                   want 1/7^-1 = 7
    •    H:       1/7 log 1
    •             1/7 log 1 = 0        want 1/7^0 = 1

Hier terug sommen overzicht                                          Naar som 83
            Som 84
        •    Bereken:
        •    A:      2 log x = 8
        •    B:      x log 2 = 8
        •    C:      2 log 8 = x
        •    D:      8 log 2 = x
        •    E:      3 log x = 1
        •    F:      3 log 1 = x
        •    G:      x log 1 = 3
        •    H:      x log 3 = 1
        •    I:      2 log (x + 3) = -1
        •    J:      0,5 log (x – 0,5) =-1
        •    K:      x log 9 = 2
        •    L:      3 log x^2 = 2


Hier terug sommen overzicht
                                             Uitwerking van som 84
         Uitwerking bij som 84
     •    Bereken:
     •    A:      2 log x = 8
     •            2 log x = 8 2^8 = x     x = 256                                  want 2^8 is 256
     •    B:      x log 2 = 8
     •            x log 2 = 8 x^8 = 2     x = 8√2      x = 1,09                    want 1,09^8 = 2
     •    C:      2 log 8 = x
     •            2 log 8 = x 2^x = 8     x=3                                      want 2^3 is 8
     •    D:      8 log 2 = x
     •            8 log 2 = x 8^x = 2           8^x = 8^0,33             x= 0,33   want 8^0,33 = 2
     •    E:      3 log x = 1
     •            3 log x = 1 3^1 = x     x=3                                      want 3^1 = 3
     •    F:      3 log 1 = x
     •            3 log 1 = x 3^x = 1     x=0                                      want 3^0 = 1
     •    G:      x log 1 = 3
     •            x log 1 = 3 x^3 = 1     voor geen enkele x is      x^3 =1
     •    H:      x log 3 = 1
     •            x log 3 = 1 x^1 = 3     x=3                                      want 3^1 = 3
     •    I:      2 log (x + 3) = -1
     •            2 log (x + 3) = -1      2^-1 = (x + 3)                 2^-1 = 0,5 x = -2,5
     •    J:      0,5 log (x – 0,5) =-1
     •            0,5 log (x – 0,5) =-1     0,5^-1= (x - 0,5)        0,5^-1= 2     x = 2,5
     •    K:      x log 9 = 2
     •            x log 9 = 2 x^2 = 9     x=3                                      want 3^2 = 9
     •    L:      3 log x^2 = 2
     •    3 log x^2 = 2            3^2    = x^2            x = 3 of -3             want 3^2 = 3^2 of –3^2

                                                                                                      Naar som 84
Hier terug sommen overzicht
    Uitwerking Som 81 t/m 84
    •    Uitleg opdracht 81 t/m 84:
    •    g log x = y betekent g^y = x. Dit soort functies worden logaritmische functies genoemd. Bij 2 log x is 2 het
         grondgetal van de logaritme.
    •    Voorbeeld:
    •    Bereken: 2 log 8 = x
    •                2 log 8 = x is hetzelfde als 2^x = 8. Als je 8 wilt krijgen door 2^x te doen dan moet er op de plaats
         van x, 3 staan want 2^3 = 8
    •                2 log 8 is dus 3
    •    Voorbeeld uit het boek:             opgave 81: g
    •    Bereken: 2 log 4√2 = x
    •      wordt 2^x = 4√2
    •     2^x = 2^2 ۰2^0,5 (4 is namelijk hetzelfde als 2^2 en √2 is hetzelfde als 2^0,5)
    •                         2^x = 2^2,5
    •                           x = 2,5 (grondgetallen aan beide kanten wegstrepen omdat ze hetzelfde zijn)




                                                                                                              Terug
Hier terug sommen overzicht
                                      Logboek
    •     Paragraaf 1: Sander Koekkoek
    •     Sommen en uitleg getypt en opgestuurd.
    •     Paragraaf 2: Nick Lulof
    •     Sommen en uitleg getypt en opgestuurd.
    •     Paragraaf 3: Raymond Weyermars
    •     Sommen en uitleg getypt en opgestuurd.
    •     Paragraaf 4, 5: Peter van Leuteren
    •     Sommen en uitleg getypt en opgestuurd.

    • Raymond en Nick hebben alle paragrafen en uitleg samengevoegd en
          verwerkt in deze presentatie.
    •     We hebben eerst een dag bij Nick (helemaal in Borne) en toen bij Raymond
          (omdat hij te lui was om nog een keer naar Borne te fietsen) gewerkt.


Terug naar het paragrafen overzicht

								
To top