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Exercice Corrigé

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Exercice Corrigé Powered By Docstoc
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        Universit´ Paris 7 — Master 1 Informatique — Intelligence Artificielle
                                                        e
                       Partiel du 22 novembre 2006 — Dur´e : 1 heure et demie
                                              e         e           e a                           e
Informations : Tous les documents sont autoris´s. Le bar`me est donn´ ` titre indicatif et pourra ˆtre
     e
modifi´.

Exercice 1 Jeux (5 points)
      e
Consid´rez l’arbre de jeu suivant. La racine est un nœud max.




                               a
                 max

                       b               c
                 min
                       2
                           d                   e
                 max
                           3
                                   f                   g
                 min
                                   5
                                           h                   i
                 max
                                           3
                                                   j                   k
                 min
                                                   5
                                                           l               m
                 max
                                                           1
                                                                   n               o
                 min
                                                                   4           8


   • Appliquez l’algorithme minimax sur cet arbre.

   • Appliquez l’algorithme α-β sur cet arbre en le parcourant de gauche ` droite et en commen¸ant avec
                                                                         a                    c
     les valeurs initiales α = −∞, β = +∞.




                                                                               1
• Est-ce qu’on peut donner un arbre de jeu (pas forc´ment avec toutes les feuilles au mˆme niveau) avec
                                                      e                                e
  1000 feuilles, pour lequel l’algorithme α-β (avec valeurs initiales: α = −∞, β = +∞) ne consid`re que
                                                                                                e
                          e
  2 feuilles ? Donnez sch´matiquement un tel arbre ou montrez que ce n’est pas possible.
  Oui.




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Exercice 2 Algorithme de recherche (6 points)
             e                                                                             e
Nous consid´rons un monde avec 4 pions (A,B,C,D) non superposables. Ils peuvent ˆtre arrang´s danse
                                              e        a
n’importe quel ordre, sauf A qui ne peut pas ˆtre plus ` droite que D. Par exemple, ABCD et CBAD sont
      e
deux ´tats possibles du monde, tandis que DCBA et CDAB ne sont pas possibles. Le monde peut ˆtre      e
        e                                              e
manipul´ par une action de la forme echange(x, y) qui ´change les pions des positions x et y. Par exemple
echange(1, 2) transforme BCAD dans CBAD. Seules les actions echange(1, 2), echange(2, 3) et echange(2, 4)
            e
sont autoris´es. Ils donnent un successeur uniquement si la situation atteinte est possible.

   • Dessinez le graphe d’´tats.
                          e




                                                   3
• On suppose que l’´tat de d´part est ADBC et l’´tat que l’on veut atteindre est CBAD. On suppose
                    e         e                   e
                      u                                                                     e
  que chaque action coˆte 1. Donnez une “bonne” heuristique h admissible (mais aussi diff´rente de
                                             e                                       e
  0 pour les nœuds non-finaux) pour ce probl`me. Le principe de l’heuristique devrait ˆtre suffisamment
   e e                             a          e
  g´n´ral pour pouvoir s’appliquer ` des probl`mes similaires.

• Appliquez la recherche gloutonne avec votre heuristique. Si vous n’avez pas trouv´ d’heuristique, utilisez
                                                                                   e
                                e                    ea e e       e             e    e
  l’heuristique h = 0. Ne consid´rez pas les nœuds d´j` d´v´lopp´s. En cas d’´galit´ choissisez un nœud
  a e e
  ` d´v´lopper au hasard.




                                                   4
• Appliquez la recherche A∗ avec votre heuristique. Si vous n’avez pas trouv´ d’heuristique, utilisez
                                                                               e
                                e                   ea e e      e            e     e
  l’heuristique h = 0. Ne consid´rez pas les nœuds d´j` d´v´lopp´s. En cas d’´galit´ choissisez un nœud
  a e e
  ` d´v´lopper au hasard.




                                                 5
Exercice 3 Algorithme α-β (5 points)
         e
  Consid´rez l’arbre de jeu suivant:




                                       6
   max


   min


   max


   min



         a   b   c   d   e   f g   h   i   j k   l m   n   o   p

   Donnez des valeurs aux feuilles a ` p de sorte que l’algorithme α-β (avec valeurs initiales: α = −∞, β =
                                     a
                                                             a                                       e
+∞) ne coupe aucune branche avec un parcours de gauche ` droite. Utilisez le moins de valeurs diff´rentes
que possible !
   a=b=e=f=1,c=d=g=h=2, i=j=m=n=3, k=l=o=p=4

Exercice 4 Algorithme de recherche (4 points)
    On consid`re l’algorithme de recherche ` faisceau. Cet algorithme est bas´ sur A∗ . Il utilise la mˆme
              e                               a                                  e                       e
                                                                                                      a
valeur f = g + h. La difference est que dans chaque pas on met uniquement les k meilleurs enfants (c-`-d. les
                                                                 ee                                 a
enfants avec les k plus petites valeurs f = g + h) du nœud consid´r´ dans la liste des nœuds encore ` traiter.

   • Donnez un example d’un espace d’´tats fini (et une valeur de k ≥ 2) avec heuristique admissible o` cet
                                        e                                                            u
     algorithme ne trouve pas la solution alors que A∗ la trouve.

   • Donnez un example d’un espace d’´tats fini (et une valeur de k ≥ 2) avec heuristique admissible o` cet
                                        e                                                            u
     algorithme ne trouve pas la solution optimale.




                                                                   7
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