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					Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les
               propriétés des nombres entiers et rationnels
   I. Nombres entiers :
      1. Diviseur d’un nombre :


Définition :    Soient n et p deux nombres entiers ( p ≠ 0 )
                p divise n si le reste de la division euclidienne
                de n par p est nul.

Exemples :

   • 12 divise 252 car 252 : 12 = 21    on dit que 252 est un multiple de 12

   • 8 divise 40 car 40 = 8 x 5         on dit que 40 est un multiple de 8

   • 13 ne divise pas 161 car 161 = 13 x 12 + 5
       ( le reste de la division de 161 par 13 est égal à 5 )
 2. Diviseur commun :


Définition : Soient a et b deux nombres entiers,
             un diviseur commun à a et b est un entier qui
             divise à la fois a et b.


 Exemple :

 5 divise à la fois 45 et 120 donc 5 est un diviseur commun
 à 45 et 120
 3. Plus Grand Diviseur Commun ( PGCD ):


Définition : Quand deux nombres ont plusieurs diviseurs
             communs positifs, le plus grand de ces
             diviseurs est appelé le PGCD ( Plus Grand
             Commun Diviseur ).

Exemple :
Les diviseurs communs à 24 et 56 sont 1, 2, 4 et 8

Le PGCD de 24 et 56 est 8.     On note PGCD( 24,56) = 8

  Quelques méthodes pour trouver le PGCD de
  deux nombres entiers :
  a. En déterminant tous les diviseurs communs :

Exercice : Trouver le P.G.C.D de 28 et 70.

           Méthode :
                                     28            70
 On cherche tous les diviseurs
 de 28 puis de 70 ( en faisant      1 28      1 70
 un tableau par exemple ).
 On choisit le plus grand parmi     2 14      2 35
 les diviseurs communs, c’est
 le PGCD.                           4    7    5 14

                                              7 10
Donc PGCD ( 28 , 70 ) = 14
b. En utilisant l’algorithme d’ Euclide :

 BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers
 positifs quand ces nombres sont grands.

Exemple : Déterminer PGCD ( 344 , 602 ) :

              Méthode : Algorithme d’Euclide

1ère étape : On effectue la division euclidienne du plus
             grand des deux nombres par le plus petit.

2ème étape : On effectue la division euclidienne du diviseur
             par le reste de la division précédente, jusqu’à
             ce que le reste de la division soit égal à 0.

3ème étape : Le PGCD est le dernier reste non nul.
602    344
                 Donc 602 = 344 x 1 + 258
 258   1


344    258       Donc 344 = 258 x 1 + 86
 86    1

258    86         Donc 258 = 86 x 3 + 0
  0    3
             D’où PGCD ( 602 , 344 ) = 86
 c. Une troisième méthode : la décomposition en produit de
    facteurs premiers




Méthode : On décompose chaque nombre en un produit de
           facteurs premiers. Ensuite on multiplie les
           facteurs premiers communs aux deux nombres.
           Le résultat est le PGCD de ces deux nombres




  Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772
                      Les diviseurs
  840        2        premiers             2772         2
  420       2                               1386     2
  210       2                                693     3
  105       5                                231     3
   21       3                                 77     7
   7        7                                 11    11
   1                                           1
Donc   840 = 23 x 3 x 5 x 7     et    2772 = 22 x 32 x 7 x 11
Ainsi : PGCD ( 840 , 2772 ) =         22 x 3 x 7 = 84
 4. Nombres premiers entre eux :


Définition : Deux nombres sont premiers entre eux si leur
             PGCD est égal à 1.



Exemples :

 • PGCD ( 15, 23 ) = 1 donc 15 et 23 sont premiers entre eux.

 • PGCD ( 12, 18) = 6 donc 12 et 18 ne sont pas premiers
                                              entre eux.
 5. Fractions irréductibles :

Propriété :   Soient deux nombres entiers a et b ( b ≠ 0 ),
              Si a et b sont premiers entre eux alors la
              fraction est irréductible


Exemple :

  783
      est irréductible ( pas simplifiable )
  257
        car PGCD ( 783 ; 257 ) = 1

        ( à vérifier en utilisant l’algorithme d’Euclide )
II. Ensembles de nombres :
II. Ensembles de nombres :

				
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posted:6/23/2012
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