chaotic time series prediction by 2ZyEPZx5

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									                     混沌时间序列局域法多步预报模型
                                         蔡烽 石爱国 周波
                   海军大连舰艇学院航海系,大连 116018                                      vipcaif@tom.com

    摘要:针对混沌时间序列预测中用加权一阶局域法单步预报模型进行多步预报时计算量大且存
    在误差累积效应的不足,本文提出了基于相空间重构技术的局域法多步预报模型,包括加权一
    阶局域法多步预报模型和 RBF 神经网络多步预报模型。对几种典型混沌序列的预测仿真表明,
    两种模型对混沌时间序列的多步预报均较有效。
    关键词:时间序列,相空间重构,混沌,神经网络,预测

1 前言
   对于电力系统短期负荷预测[1][2]、滑坡位移预测[3]及证券市场经济序列[4]等各类混沌时间序列的预测,
以 Takens 嵌入定理为理论基础的局域法预测模型是一种简单、   有效的预测方法。  常用的加权一阶局域法是
一种单步预报模型,对于多步预报问题需将得到的预测值作为新息加入到原时间序列中并再次调用该模
型,显然,这种方式计算量大,且存在误差累积效应。为此,本文提出了一种局域法多步预报模型,包括
加权一阶局域法和 RBFNN 局域法多步预报模型,以提高混沌时间序列多步预报的效率,避免误差累积效
应。
2 加权一阶局域法一步及多步预报模型
2.1 加权一阶局域法一步预报模型[5]

   对于时间序列 x1 、 x 2 、…、 x N , N 是序列的长度。根据 G-P(Grassberger-Procaccia)算法[5]计算出时间

序列的关联维 d ,再由 Takens 定理选取嵌入维数 m  2d  1 ,然后用 FFT 方法对信号进行分析得到平均

轨 道 周 期 mtbp , 根 据 m t b  (m  1) 求 得 时 间 延 迟 
                         p                                                      [6]
                                                                                      ,从而得到重构相空间为:

Yi  xi , xi  ,, xi ( m1)  ,i = 1, 2, …,M,M 是重构相空间中相点的个数, M  N  m  1 。设中心

点 YM 的邻近点为 YMi ,i=1, 2,…,q,并且到 YM 的距离为 d i ,设 d min 是 d i 中的最小值,定义点 Yki 的权

值为:

                                         exp( (d i  d m in ))
                             Pi         q
                                                                          ,                     (1)
                                         exp( (d
                                        i 1
                                                         i    d m in )

   则一阶局域线性拟合为:

                             YMi1  ae  bYMi ,i=1,2,…,q,                                      (2)


   其中,a 、b 为拟合所需的实系数,e 为一 q 维向量,e  1,1,  ,1 ,YMi1 是 YMi 演化一步后的相点。
                                                                                      T



   当嵌入维数 m  1 时,应用加权最小二乘法有
                              q

                              P x                  a  bxMi   min
                                                                   2
                                    i        Mi1                                               (3)
                             i 1



   解上述方程组即可得到系数 a ,b ,将 a ,b 代入一步预测公式 YM 1  ae  bYM ,即可得到演化一步
后的相点预测值 YM 1 :

                                         YM 1  x M 1 , x M 1 ,, x M 1( m1)                                                      (4)

  这里, YM 1 中前(m-1)个元素为原序列中已知值,其第 m 个元素 x M 1( m1) 即为原序列的一步预测

  ˆ
值 x N 1 。此即加权一阶局域法一步预报模型。

    如需进行多步预报,可将预测值作为新息加入原时间序列并重复以上步骤即可实现多步预报,但这种
方式计算量大,且存在误差累积效应。为此,本文提出了一种加权一阶局域法多步预报模型。
2.2 加权一阶局域法多步预报模型
    加权一阶局域法一步预报模型的实质是在重构的相空间中找到与参考点最相似的(m+1)个相点,并
根据这(m+1)个相点演化一步的规律进行一步预报。对于混沌时间序列,相空间中一对最近邻随时间演
                                  t
化遵循的是一种指数规律 e                           ,参数  是最大 Lyapunov 指数,体现了系统初始闭轨道的指数发散速率。

因此,当嵌入维数 m  1 ,且需进行 k ( k >1)步预测时,可以类似加权一阶局域法一步预报模型,根据
这(m+1)个相点演化 k 步的规律进行 k 步预报。具体推导如下:

  设中心点 YM 的参考向量集  Mi ,i=1,2,…,q,其演化 k 步后的相点集为  Mi k  ,一阶局域线性拟
                  Y                              Y

合为:

                                               YMi k  a k e  bk YMi ,i=1,2,…,q,                                                           (5)

  根据加权最小二乘法有:

                                                       m j                       
                                                    Pi  xMi k  ak  bk xMi    min
                                                q

                                                j 1                        j 2

                                               i 1                              

  将上式看成是关于未知数 a k , b k 的二元函数,两边求偏导得:

                                              q
                                                                                       
                                                       m

                                                  Pi  xMi k  ak  bk xMi  0
                                                          j                j

                                               i 1 j 1
                                              q                                   ,
                                                                                       
                                                       m
                                               Pi  xMi k  ak  bk xMi xMi  0
                                                          j                j   j

                                               i 1 j 1
                                              
  化简得:

                                   q
                                                                                
                                            m               q      m             q   m

                                  ak  Pi  xMi  bk  Pi  xMi   Pi  xMi k xMi
                                                  j                      j 2             j j

                                   i 1 j 1             i 1    j 1         i 1 j 1
                                              q     m           q      m
                                  ak m  bk  Pi  xMi   Pi  xMi k
                                                         j                   j

                                  
                                            i 1   j 1       i 1    j 1

  写成矩阵形式为:

                                                      coe1 coe2  ak    ek  ,
                                                     m     coe1  bk   f k 
                                                                   


                                                       P  x 
                q         m                             q         m                         q       m                           q     m
  其中: coe1    Px
               i 1
                      i
                          j 1
                                    j
                                    Mi   , coe2 
                                                       i 1
                                                              i
                                                                  j 1
                                                                         j 2
                                                                         Mi    , ek    Px
                                                                                        i 1
                                                                                                i
                                                                                                    j 1
                                                                                                           j
                                                                                                           Mi k   x Mi , f k   Pi  x Mi k ,
                                                                                                                     j

                                                                                                                               i 1
                                                                                                                                         j

                                                                                                                                      j 1
       则:
                                                                                     1
                                            a k    coe1 coe2   ek  。
                                           b   m         coe1   f k 
                                            k                   

                                                     m
       在 编 程 计 算 中 , 系 数 coe1 中 的 项                 x
                                                     j 1
                                                            j
                                                            Mi     是 参 考 向 量 YMi 的 元 素 和 , 系 数 coe2 中 的 项



 x 
m                                  m                                                               m
       j 2
              YMiYMi , e k 中的项  x Mi k x Mi  YMi k YMi , f k 中的项  x Mi k 是参考向量 YMi k 的元素和。
                    T               j       j                           T j
       Mi
j 1                               j 1                                                            j 1



这样,求取 a k , b k 的公式为:

                                                                                          1
                                      q                     q
                                                                                               q               
                                                            PiYMiYMi                          PiYMi k YMiT 
                                            m                                    T

                            a k     Pi  x Mi
                                                j
                            b   i 1 j 1                i 1                               i 1               (6)
                            k
                                                              q             m
                                                                                               q     m
                                                                                                                 
                                     m                     Px    i
                                                                                j
                                                                                Mi              Pi  x Mi k 
                                                                                                            j

                                                           i 1        j 1                   i 1 j 1       

       根据求得的 a k 、b k ,代入 k 步预测公式 YM  k  ak e  bk YM ,即可得到演化 k 步后的相点预测值 YM  k :

                                YM  k  x M  k , x M  k  ,, x M  k ( m 1)                                (7)

                                                             ˆ
       这里, YM  k 中的第 m 个元素 x M  k  ( m 1) 即为原序列的 k 步预测值 x N  k 。

3 RBFNN 局域法预报模型
  加权一阶局域法预报模型是用最小二乘法的思想进行预报。同样,可以采用神经网络技术进行预报。
这里,我们选用 RBF 神经网络代替前述的加权一阶模型构成 RBFNN 局域法预报模型,具体模型如下:
(1) 对原始时间序列进行归一化(可用最大最小法实现)        ;
(2) 重构相空间,寻找(m+1)个最近邻点(同加权一阶局域法)       ;
(3) k  1 ,构造 RBFNN 并进行训练;
  将(m+1)个最近邻点的加权和作为输入样本,相应的演化一步后的相点的加权和作为样本的期望输
出,调用 MATLAB 中的 NEWRBE 函数以设计一精确 RBF 神经网络(net)并训练。
(4) 进行预测;

       将相点 YM 作为参考点,调用 MATLAB 中的 SIM(net, YMi )函数,输出即为一步预测值。

(5) k  1 ,重复步骤(2)(3)
                 、 。
  即将(m+1)个最近邻点的加权和作为输入样本,相应的演化 k 步后的相点的加权和作为样本的 k 步

期望值,调用 NEWRBE 函数以设计一精确 RBF 神经网络并训练。            调用函数 SIM(net,
                                   将相点 YM 作为参考点,

YM ),输出即为第 k 步的预测值。

4 误差修正
  加权一阶局域法预报模型和 RBFNN 局域法预报模型都是根据参考相点预报下一个相点,对于一步预
报而言,所得到的预测相点中前(m-1)个元素实际上都是已知时间序列中的点,只有第 m 个元素才是未
知的,这样,可以将前(m-1)个元素与已知时间序列中的相应点进行比较,得出(m-1)个误差数据构成
误差序列,将误差序列的一步平滑外推值(可用最小二乘法实现)作为预测相点第 m 个元素的误差并进行
修正,即可得到精度更高的预测值。对于多步预报,需将得到的预测值添加到已知时间序列中,然后按上
述思路进行误差修正即可。
5 仿真
5.1 Chen’s 混沌序列
     Chen’s 混沌吸引子由如下三维自治系统所产生[7]:
                                   x  a y  x 
                                    
                                  
                                   y  c  a x  xz  cy
                                                                               (8)
                                   z  y  bz
                                  

  其中参数 a  35, b  3, c  28 。


  取初值 x0  0 ,y 0  1 ,z 0  0 ;积分时间步长 h  0.001 。用四阶 Runge-Kutta 法积分方程组(8),

除去前面 1000 个过渡点,用后面 9000 个点作为训练样本,5000 个点作为测试样本,分别用加权一阶局域
法和 RBFNN 局域法多步预报模型进行预报。重构相空间的参数选取为:嵌入维 m  8 ,时间延迟   10 。
图 1、图 2 是两种预报模型对 Chen’s 混沌序列的预报结果(实线为实际值,虚线为预测值),其中 RBFNN
局域法预报结果是归一化后的序列。结果前 2100 个点的预测误差很小。
5.2 Lorenz 混沌序列




   图 1 RBFNN 局域法预报 chen’s 混沌序列                          图 2 加权一阶局域法预报 chen’s 混沌序列

  对于如下 Lorenz 混沌系统:
                             x  16.0   y  x 
                              
                            
                             y  45.92  z   x  y
                                                                               (9)
                             z  xy  4.0  z
                            

  取初值 x0  1.0 , y0  0 , z 0  0.1 ;积分时间步长 h  0.01 。用四阶 Runge-Kutta 法积分方程

组(9)得一长度为 10000 点的混沌序列,用加权一阶局域法多步预报模型进行预报的结果如图 3 所示(嵌
入维 m  3 ,时间延迟   11 ),表明前 550 个点的预测误差很小,多步预测的效果优于文献[8][9]的结果。
5.3 Logistic 混沌序列
     对于如下 Logistic 系统:

                                 xi 1  4.0  xi 1  xi                     (10)

  取初值 x0  0.3 ,时间步长 h  1s 对式(10)进行迭代,得一长度为 10000 点的混沌序列,用加权一

阶局域法多步预报模型进行预报的结果如图 4 所示(嵌入维 m  2 ,时间延迟   5 ),表明前 10s 的预测
误差很小,优于文献[10]的结果。
    由于篇幅所限,没有列出用 RBFNN 局域法对 Lorenz 系统和 Logistic 系统的多步预报仿真结果,其结




         图3     Lorenz 混沌序列预测结果                                 图4    Logistic 混沌序列预测结果

果与加权一阶局域法多步预报模型的结果基本一致。
6 结束语
  通过对几种典型的混沌系统,包括 Chen’s 系统、Lorenz 系统和 Logistic 等系统的多步预报仿真,表明
本文提出的局域法多步预报模型对于混沌时间序列的多步预报是有效的。

参考文献
1 李天云,刘自发. 电力系统负荷的混沌特性及预测. 中国电机工程学报,2000,Vol.20(11):36~40
2 吕金虎,张锁春. 加权一阶局域法在电力系统短期负荷预测中的应用. 控制理论与应用,2002, 19(5):
767~770
3 刘华明,齐欢,蔡志强. 滑坡预测的非线性混沌模型. 岩石力学与工程学报,2003, 22(3):434~437
4 GU Yuqiao, CHEN Tianlun, HUANG Wuqun. Forecasting of hang sheng index futures based on neural
networks based on chaotic algorithm. 南开大学学报(自然科学),2000,33(1):119~123
5 吕金虎,陆君安,陈士华. 混沌时间序列分析及其应用. 武汉:武汉大学出版社,2002.
6 杨绍清,贾传荧. 重构相空间的两种新方法[J]. 物理学报, 2002, 51(2): 2452~2458
7 陆君安,吕金虎,陈士华. Chen’s 混沌吸引子及其特征量. 控制理论与应用,2002, 19(2):308~310
8 刘明言,胡宗定. 气液两相单孔鼓泡流体动力学行为混沌预测. 化工学报,2000,51(4):475~479
9 Tim Sauer. Time series prediction by using delay coordinate embedding. In: Coping with chaos: analysis of
chaotic data and the exploitation of chaotic systems, A Wiley-Interscience Publication, 1994: 241~260
10 江亚东,申江涛,杨炳儒. 基于小波神经网络的混沌时间序列预测. 微机发展,2001,37(3):37~39


    Local-region multi-steps forecasting model for chaotic time series
                                     CAI Feng, SHI Aiguo, ZHOU Bo
                 Dept. of Navigation, Dalian Naval Academy, Dalian 116018   vipcaif@tom.com

     Abstract:Large computational quantity and cumulative error are main shortcomings of add-
     weighted one-rank local-region single-step method for multi-steps prediction of chaotic time series.
     A local-region multi-steps forecasting model based on phase reconstruction is presented for chaotic
     time series prediction, including add-weighted one-rank local-region multi-steps forecasting model
     and RBF neural network multi-steps forecasting model. Simulation results from several typical
     chaotic time series demonstrates that both of these two models are effective for multi-steps
     prediction of chaotic time series.
     Keywords:time series, phase-space reconstruction,chaos,neural network,prediction

            :男,汉族,江苏海门人,海军大连舰艇学院交通信息工程及控制学科博士生。
    蔡烽(1973-)
    通讯地址:海军大连舰艇学院 115 号,邮编:116018。Tel:0411-5855783。
    Email: VIPCaif@tom.com

								
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