02 Fromas Cuadraticas by 2U3cbl0

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									Formas cuadráticas
Distribución de Chi-Cuadrado
     Distribución Chi-cuadrado central
     Distribución de Y’Y con Y~Nn(0,I)
     Distribución Chi-cuadrado no central
     Distribución de Y’Y con Y~Nn(,I)
     Esperanza de una Chi-cuadrado no central
     Varianza de una Chi-cuadrado no central
     Distribución de la suma de Chi-cuadrado no
      centrales independientes
Distribución 2 central

Función de Densidad

                           u ( n 2) / 2e u / 2
                          
                                   
                            n 2( n / 2)
               (u, n )   2
               2

                          
                           0 para u  0
                          
Función generatriz de momentos

              mu(t )  (1 2t )n / 2 ; con  t  1/ 2
Distribución 2central
Definición a partir de normales

    Sea     z  z1, z2 ,..., zn 

    con     z ~ Nn (0, I)

    y definimos   U  zz
    Entonces      U ~  (n )
                          2
                    t  zz              n /2 1/2 zz
                                                     
mU (t )      e                 2          e              dz 
              Rn


                         n /2 1/2 zz   t  zz 
          2                e                        dz
         Rn



                                   n / 2 (1/ 2t ) zz 
mU (t )             2                 e                    dz
                   Rn
    Teorema 1.10.1
    Graybill F.A. Theory and Application of Linear Models.
    Duxbury Press. (pag. 48)

   Sean
       a0 y b0 constantes,
       a y b vectores nx1,
       A una matriz simétrica nxn de constantes y
       B una matriz definida positiva de constantes.
                

        I      ...  x' Ax  x' a  a  exp x' Bx  x' b  b  dx
                                       o                          o         1   dx 2 ... dx n
                



             1 n / 2 1/ 2
        I                                   
                B exp1 b' B 1 b  bo trAB1  b' B 1 a  1 b' B1 AB1 b  2ao
                           4                                    2                               
             2
                                       n / 2 (1/ 2t ) zz 
             mU (t )        2          e                     dz
                          Rn



        

I      ...  x' Ax  x' a  a  exp x' Bx  x' b  b  dx
                               o                             o         1   dx 2 ... dx n
        




     1 n / 2 1/ 2
I                                    
        B exp1 b' B 1 b  bo trAB1  b' B 1 a  1 b' B1 AB1 b  2ao
                   4                                    2                                  
     2
                                          n / 2 (1/ 2t ) zz 
              mU (t )          2          e                     dz
                          Rn

a0                       B  1/ 2  t  I
A0                       b0

a0   2 
              n / 2
                          b0  0

                1 n/2
       mU (t )  
                2
                                 
                      (1/ 2  t )I
                                   1/ 2
                                                          2 2       n / 2




               1 n/2 n/2
               
               2
                          
                    2 (1  2t ) n / 2                  2  2    n / 2
                                                                              
                                  (1  2t ) n / 2
Distribución 2
Esperanza y varianza



          E (U )  n
          V (U )  2n
Distribución 2 no central
Función de densidad


                   e    j v ( n  2 j 2) / 2e v / 2
                 
                 
  (v , n,  )  
  2                j 0                        
                        j !  n  2 j 2 j ( n / 2)
                                       2

                 
                         0 para v  0
                 

                    ( j =1 para  =0 y j=0 )
Distribución 2 no central
Función generatriz de momentos




                                     2t  
                                              ; con  t  1/ 2 
                       n / 2
 mV (t )  (1  2t )            exp 
                                     1  2t 
   Encontrar esperanza y varianza de una chi-
    cuadrado no central
Distribución 2
Esperanza y varianza



      E (U )  n  2
      V (U )  2(n  4 )
Chi cuadrado no central a partir de normales
independientes con esperanzas distintas de 0


                    y ~ Nn (μ, I)


              V yy; V ~  2 (n,  )


                         1
                            2
                              μμ   
            Ver demostración en notas de clases
Distribución 2
       f ( u)
       0.20

       0.18           n=4; =0
       0.16

       0.14

       0.12

       0.10                 n=4; =1

       0.08
                                        n=4; =5
       0.06

       0.04

       0.02

       0.00
                0.0   5.0        10.0     15.0     20.0   25.0   30.0
                                           u
Distribución de la suma de chi-
cuadrados independientes
y1 ~ Nn1 (μ1, I)         
                   U1  y1y1
                                            Cov( y1, y2 )  0
y2 ~ Nn2 (μ2, I)   U 2  y y2
                          2



                   U1  U2  y1y1  y2y2  yy

                            2
                   y  [ y1 | y ]    y ~ Nn1n2 (μ, I)

                           2
                   μ  [μ1 | μ ]

                   U1  U2 ~  2  n;  

                   n  n1  n2          2 μμ  2 (μ1μ1  μ μ2 )  1  2
                                          1       1
                                                            2
    Distribución de
formas cuadráticas
Distribución de formas
cuadráticas

   Distribución de Y’AY, Y~Nn(0,I), A idempotente simétrica
   Distribución de Y’AY, Y~Nn(,I), A idempotente simétrica
   Distribución de Y’AY, Y~Nn(,),A simétrica A idempotente
   Condiciones equivalente a A idempotente
   Distribución (n-1)S2/2
   Independencia de Formas Cuadráticas y Lineales
   Prueba T para una muestra
   Independencia de formas cuadráticas
   Esperanza de formas cuadráticas
Distribución con y ~ N 0, I
A nxn
Simétrica e idempotente de rango k

Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que



                       PAP  D
                      Teorema 1.2.50 Grabill, 1975



         LOS ELEMENTOS DE D SON CERO O UNOS. ¿Por qué?
z  Py
yAy  yPDPy
yAy  zDz
z ~ N 0, I 
   Si A tiene rango k, entonces sólo
    existen k elementos diagonales de D
    iguales a 1 siendo el resto iguales a 0
    (¿por qué?)

                   z1   z1 
                                 
    yAy  zDz    D    z1z1
                  z2  z2 

    z1 ~ Nk (0, I)

    yAy ~     2
                     k     rango(A)
                           2
Distribución con y ~ N μ, I 
A nxn
Simétrica e idempotente de rango k               Ik   0
                                         PAP  
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
                                                0     0
                                                        

P  [P1 | P2 ]                   
                               P1AP1  I k
z  Py
                    
                  P1      
                          P1y   z1 
           Py    y         z   z
                    
                 P2       
                         P2 y  2 
           yAy  Pz  A Pz  


                    z1  Ik   0  z1 
 zPAPz  zDz               z  
                   z2   0     0  2 


                        
            z1I k z1  z1z1
z1 ~ Nk (Pμ,PIP )  Nk (Pμ, I)
          1   1 1          1


z1z1 ~ 
            2
                    rango( A), 2 μPPμ
                                1
                                       
                                     1 1             
              
PDP  A  PP1  A
            1


                       Ik           
                               0  P1 
A  PDP  [P1 | P2 ]           P   PP1
                                           1
                                             
                      0       0  2 


yAy ~       2
                        rango( A), 2 μAμ
                                    1
                                                 
Distribución con y ~ N μ,  
A idempotente                                     
A, simétrica de rango k

                          z  1  y  μ  y  z  μ


                                           
                                                           
  yAy   z  μ A  z  μ  z  1μ A z  1μ  vBv


         
  v ~ Nn 1μ, I   
                          si B idempotente 

                                                      
                                           
                                             
             yAy ~  2  rango(B), 2 μ 1 B 1 μ 
                        
                                    1

                                                       
1
2
  μ      
                                          
        1  B 1 μ  2 μ 1  A 1 μ  2 μAμ
                         1                         1



                              
                     yAy ~  2 rango(B), 2 μAμ
                                          1
                                                   

BB  AA  AA

B  A

B idempotente                    AA  A

  Para probar que BB=B tenemos que usar Lema 2 pag. 16 en Searle
Lema 2 pag. 16 en Searle

QXX  PXX  QX  PX


(QXX  PXX )(Q  P)  QXXQ  QXXP  PXXQ  PXXP


PX  QXPX  QX   PXXP  PXXQ  QXXP  QXXQ

(QXX  PXX )(Q  P)  PX  QX PX  QX   0  PX  QX   0
Si post multiplicamos ….

BB  AA
y

B  A
por


tenemos      BB  AA  AA  A
             B  A  A
      AA  A  AA  A
                            B2     B
Ejemplo: Distribución de

     n  1 S   2
                     /   2
                                                             n
                            S   n  1                      yi  y 
                                 2                      1                 2

                                                             i 1
y1, y2,..., yn                 
                            Nn μ, I     2
                                             
proposición
                                            11 
                    n  1 S /   2 y
                             2       2
                                         I  Jn  y
                                            n 
demostración

 n                    n                             n                      n
  yi  y           y i2  2y i y  y 2   y i2 2ny 2  ny 2   y i2 ny 2
               2
                                            
i 1                 i 1                           i 1                   i 1
 n
                                                             1 1     1
 y i2  yy  yIy                                          1 1
i 1                                                                  1
                                                 J n  11           
ny 2  y n Jn y
          1                                                           
                                                                      
                                                             1 1     1
                                            y1 
                                            
  1          1 n       n            n
                                          y2  1  n                n                 n
                                                                                            
    yJ n y   y i ,  y i ,...,  y i           y1 y i  y 2  y i  ...  y n  y i 
  n          n  i 1 i 1         i 1     n  i 1             i 1              i 1  
                                            
                                           yn 


 1                                 1    n
                                               1 2 2
  y1ny  y 2ny  ...  y n ny   ny  y i   n y   ny 2
 n                                 n  i 1  n       


                                      1     1 
                                y       I  Jn  y
                                     2  n 
                                             A



                                  1     1                1 
             A  A 2 I =           I  J n   2I =  I  J n 
                                 2  n                   n 


                                            1 
Luego lo que tenemos que mostrar es que  I  Jn                        es idempotente
                                            n 
      1        1 
   I  J n  I  J n  
   n        n       

      1     1     1
=I-     Jn  Jn  2 Jn Jn 
      n     n    n

             1      1
      =I-2     Jn    Jn 
             n      n

             1 
            I- J n 
             n      
Síntesis
       n  1 S2 /  2  yAy
          1     1 
      A  2  I  Jn 
           n 
      A    idempotente

                            1       
      yAy ~  2  rango( A), μ ' Aμ 
                            2       
                1                 1 
      rango  I  J n   traza  I  J n  ¿ porqué ?
             n                 n 
Síntesis
   Además…
           1         1          1          1          1        n    
            μ  I  J n  μ        μIμ  μJ nμ    2 
                                                               μμ  μμ   0
          2 2       n         2 2        n        2         n    

   Luego…

                          yAy ~  2  n  1
  Independencia de formas
cuadráticas y lineales de un
        vector aleatorio con
        distribución Normal
Caso 1. El vector aleatorio con tiene
matriz de covarianzas identidad

             y ~ N μ, I 
              Bq n       A n n   ( simétrica )


 BA  0  independencia de
                  By
                      y

                 yAy
   simétrica de A

   garantiza la existencia de P ortogonal
    tal que (Teorema 1.2.50 Grabill, 1975).

                               PAP  D

   Reordenando los elementos de y, las filas y
    columnas de A y de P

                            D11 0
                     PAP  
                             0 0
                 D11  k k  de rango completo    rango ( A )
BA  0  BPPAP  0 ¿ porqué ?


         C11 C12  D11 0
BPPAP                  0  C11  0 , C21  0
 C  D    C21 C22   0 0 
                                      (¿Por qué?)




Cqn  0qk ,C2 q( n k ) 
                               
Si definimos

z  Py


entonces

                    D11 0
yAy  zPAPz  z             
                           z  z1D11z1
                     0 0

By  BPz  Cz  0,C2  z  C2z2
z  Py ~ Nn P PIP 

      Nn P I 

         z1         z2
     Independientes ¿Por qué?


      Implica independencia de


     yAy                 By
Caso 2. Generalización al caso en que el la
matriz de covarianzas es definida positiva

              y ~ N μ,  
              Bq n        A n n   ( simétrica )


 BA  0  independencia de
                      By
                      y

                   yAy
           z  1y                        


                                          
        z ~ N 1 1     1  N 1 I   
                           y  z

yAy   z  A  z   zAz             By  Bz

                    BA ?  0           Por hipótesis

                   B A  BA         BA  0

                            luego

                       B A  0
yAy   z  A  z   zAz

By  Bz

z~N  
     1 I   
B A  0
Independencia de formas
 cuadráticas de un vector
aleatorio con distribución
                   Normal
          y ~ N μ,  
     B n n        A n n   ( simétrica )


BA  0  independencia de

              y ' By
              y

              yAy
  
    

AB  AB
         

    AB  AB
                  por hipótesis

AB  A B                  0
       C    K
                  por hipótesis

AB  A B                  0
       C    K
z  P ' 1y

                                          
z ~ N P ' 1 P ' 1     1P  N P ' 1 I   
        
  z ~ N P ' 1 I   
yAy   Pz  A  Pz       yBy   Pz  B  Pz  


 zP A Pz  zPCPz          zP B Pz  zPKPz 
        C                                  K


            P A PP B P  P A B P  0
                 C         K         C     K


      D11 0                          0 0 
  z              
              z  z1D11z1         z         z  z D22 z 2
                                                      2
       0 0                            0 D22 
Distribución T de
         Student
   Si Z es una variable aleatoria normal
    estándar y

   U es una Chi-cuadrado con  grados de
    libertad y

   y Z y U son variables independientes,
    entonces

     Z
         se distribuye como una T de Student
     U
    con  grados de libertad.
   Estadístico T
   Demostrar que tiene distribución T bajo Ho



               T   
                      y   
                           2
                         S n
   y                   Normal estándar

      n
                               (bajo H0)
         2
                           
 n  1 S / 
             2         2


      n  1
  Raíz cuadrada de una Chi-cuadrado
  dividida sus grados de libertad
   y   
     n
      2
                     
 n  1 S / 
          2      2


      n  1
     y   
       n  2
                  
     S /
       2       2

      y          
     n S /
     2      2     2

           y                   
     n  S
      2           2
                       /   2
                                

           y                   
      n  S
      2           2
                       /   2
                                

     y            
     S   2
              /n   
   Para demostrar independencia del numerador
    y del denominador

   Tenemos que escribir el numerador y
    denominador de:


                   
                        y             
                         S   2
                                  /n   
    como una forma lineal y una cuadrática
    respectivamente y mostrar que son
    independientes
         y    

 [1 n ,1 n ,...,1 n ] y  


  B  [1 n ,1 n ,...,1 n]
           S   2
                      
                    /n 


           1           1 
 y              In  n J n   y
      n  n  1             
                                


        1           1 
A             In  n J n  
   n  n  1             
                             
                        BA 


                                  1           1 
 [1 n ,1 n ,...,1 n ]  In 
                        2
                                          In  n J n   
                             n  n  1             
                            


              2
                                            1 
                 [1 n ,1 n ,...,1 n ]  In  Jn 
       n  n  1                           n 
                          1 
[1 n ,1 n ,...,1 n ]  In  Jn  
                          n 
                                            1 1     1
                                            1 1      
                                                     1
                      1
[1 n ,1 n ,...,1 n ]  [1 n ,1 n ,...,1 n ]            
                      n                     1 1     1
                                                     
                                            1 1 1   1
                      1
[1 n ,1 n ,...,1 n ]  [n n , n n ,..., n n ]  0
                      n
Distribución F (no central)

   U1 una chi-cuadrado no central con parámetros n1 y ,


   U2 una chi-cuadrado central con n2 grados de libertad


   U1 y U2 independientes


   W=(U1/n1)/(U2/n2) es una F-no central
Distribución F (no central)


                                                        
                               j 2 j  n1  n2 n1 ( n1  2 ) / 2 ( 2 j  n1  2 ) / 2
                            e                                    w
                            j!
                                                                   
                                           2           n2
                                                              n1 w ( 2 j  n1  n 2 ) / 2
F   ( w : n1 , n 2 ,  )   j  0    2  2
                                       n2         n1  2 j
                                                           1
                                                               n2
                           
                           
                                       0 para w  0




                          ( j =1 para  =0 y j=0 )
Distribución F (no central)
                0.6




                0.5
                         F(8,4,0)
     Densidad




                0.3




                0.2

                                       F(8,4,10)


                0.0
                  0.00          4.14          8.29      12.43   16.57
                                           Variable F

								
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