Einf�hrung in die Logik

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Einf�hrung in die Logik Powered By Docstoc
					Einführung in die Logik


         Scriptum


   Wintersemester 2003
   Thomas Grundmann




          2004/5
    Universität zu Köln
  Institut für Philosophie
1. Einführung: Logik in der Philosophie


Logikveranstaltungen gehören zum Philosophiestudium und der Erwerb eines Logikscheins
ist sogar obligatorisch für das Philosophiestudium. Immer wieder stellen Anfänger die Frage,
was das Rechnen mit Formeln und Symbolen mit Philosophie zu tun hat. Warum gehört die
Logik nicht ausschließlich zur Mathematik oder Informatik (wo Logikeinführungen ebenfalls
stattfinden)?


Antwort: Zu den klassischen Disziplinen der Philosophie gehört die Erkenntnistheorie (als
allgemeine Methodenlehre des Wissenserwerbs) und die Sprachphilosophie. Die Logik leistet
einen wichtigen Beitrag zu beiden.


Erkenntnistheorie
Der Wissenserwerb stützt sich in der Regel auf Argumente oder Begründungen (Ausnahme:
direktes Wissen durch Wahrnehmung etc.). Die Erkenntnistheorie versucht, generelle
Kriterien für die Unterscheidung zwischen guten und schlechten Argumenten aufzustellen.
Dazu gehört auch die Untersuchung, ob die in diesen Argumenten vollzogenen Schlüsse
korrekt oder gültig sind. Die Logik stellt die formalen Mittel bereit, um diese Frage
beantworten zu können. Die Logik gehört also in den Bereich der Argumentationstheorie und
Erkenntnistheorie.


(Natürlich kann man auch ohne Studium der Logik korrekt argumentieren. Aber die Logik
verbessert diese Fähigkeit und gibt uns vor allem in strittigen Fällen ein Kriterium an die
Hand.)


Häufig wird gesagt, dass die Logik die Gesetze unseres Denkens beschreibt. Das ist jedoch
missverständlich. Die Logik beschreibt nämlich keine Naturgesetze (die niemals verletzt
werden), sondern normative Gesetze oder Regeln des richtigen Denkens. Sie geben an, wie
wir denken sollten. Diese Regeln können vom tatsächlichen Denken befolgt oder auch
verletzt werden. Deshalb liefert uns die Psychologie (die nur die Naturgesetze des
tatsächlichen Denkens beschreibt) keinen geeigneten Zugang zu den logischen Gesetzen.


Sprachphilosophie
Die Sprachphilosophie versucht die Bedeutung (die semantischen Eigenschaften) von Sätzen
systematisch zu klären. Dabei fällt auf, dass die Bedeutung (häufig auch als
                                                    2
Wahrheitsbedingung) von Sätzen nicht allein von dem inhaltlichen Bezug (der Referenz) der
in ihnen vorkommenden Ausdrücke abhängt, sondern auch von ihrer logischen Form. Die
Logik kann also helfen, die Bedeutung umgangssprachlicher Sätze transparenter zu machen. 1
Wir nehmen in diesem Fall eine logische Analyse der Umgangssprache vor, um die
Wahrheitsbedingungen expliziter zu machen (das heißt dann formale Semantik)


Bsp.
Die Sätze
(1) Thomas und Peter sind Deutsche
und
(2) Thomas und Peter sind Geschwister
sehen oberflächlich betrachtet sehr ähnlich aus, außer dass den beiden erwähnten Personen
unterschiedliche Eigenschaften zugeschrieben werden. Doch aus (1) lässt sich folgern
(1‘) Thomas ist ein Deutscher,
während aus (2) nicht gefolgert werden kann
(2‘) Thomas ist ein Geschwister.
Das liegt daran, dass wir (1) analysieren können als:
(1‘‘) Thomas ist ein Deutscher und Peter ist ein Deutscher,
während wir (2) so verstehen müssen:
(2‘‘) Thomas und Peter stehen in der Relation des Geschwisterseins zueinander.
Dieser strukturelle Unterschied lässt sich auch formal-logisch ausdrücken. (1) enthält eine
Konjunktion; (2) drückt eine Relation aus.


Grenzen der Logik
Die Logik ist also eine Hilfswissenschaft verschiedener Disziplinen der Philosophie
(Erkenntnistheorie und Sprachphilosophie). Und sie ist nach der logizistischen Wende von
Gottlob Frege auch Grundlage der Mathematik. Aber es ist sicher falsch, wenn man
behauptet, dass die Philosophie sich auf die Logik reduzieren lässt (wie Anhänger des
Logischen Empirismus behauptet haben).




1
 Allerdings ist das unter Logikern umstritten. Frege, Tarski und neuerdings etwa Ansgar Beckermann sind der Auffassung, dass
die Umgangssprache zu vieldeutig, unklar und vage ist, um logisch analysierbar zu sein. Montague, Davidson oder aber
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2. Was ist ein Argument?
Wenn wir argumentieren, dann versuchen wir jemanden (unter Umständen uns selbst) dazu zu
bewegen, eine bestimmte Aussage (These) zu akzeptieren, indem wir andere Aussagen als
gute Gründe für die These anführen.


Unterscheidung Bericht bzw. Beschreibung  Argument
Bsp. Bericht
        „Im Januar 1929 kommt Wittgenstein nach mehr als 15jähriger Abwesenheit, von
        einem kurzen Besuch im Sommer 1925 abgesehen, wieder nach Cambridge, um, wie
        er Ende 1928 an Keynes geschrieben hatte, Urlaub zu machen.“
Bsp. Argument
(1)     Der Tisch, den wir sehen, scheint kleiner zu werden, wenn wir uns von ihm entfernen;
        der wirkliche Tisch dagegen ... erleidet keine Veränderung. Es war daher nur sein
        Bild, das dem Geiste gegenwärtig war. (Hume, Eine Untersuchung über den
        menschlichen Verstand, Hamburg 1993, S. 178)
Dieses klassische Argument Humes für die Sinnesdatentheorie kann man so umformulieren,
dass seine argumentative Struktur durchsichtiger wird:
(1‘)    Der Tisch, den wir sehen, wird kleiner, wenn wir uns von ihm entfernen.
        Der wirkliche Tisch wird nicht kleiner.
        Also:
        Wir sehen (nicht den wirklichen Tisch, sondern) ein geistiges Bild.
Bem.
Bei der Rekonstruktion des Arguments müssen wir zum Teil vom Wortlaut der
ursprünglichen Passage etwas abweichen, um die argumentative Struktur zu verdeutlichen.


Definition: Argument
Ein Argument ist eine Folge von Aussagesätzen, mit denen der Anspruch erfüllt ist, dass ein
Teil dieser Sätze (die Prämissen) einen Satz der Folge (die Konklusion) in dem Sinne stützen,
dass es rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, falls die Prämissen wahr sind.




Tugendhat halten die Logik dagegen für ein geeignetes Mittel, um die Alltagssprache zu durchdringen.
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Bem.
1      Wenn die Logik nach gültigen Argumenten sucht, dann muss sie folglich untersuchen,
       unter welchen Bedingungen es „rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, falls
       die Prämissen wahr sind“.
2      Gute Argumente erfüllen dieses Kriterium.
3      Woran erkennt man die Prämissen und woran die Konklusion eines Arguments? Im
       Beispiel wird die Konklusion durch ein vorangestelltes „daher“ sichtbar gemacht.
       Alternativ: „also“, „deshalb“, „es folgt“, „das beweist, dass“, „das zeigt, dass“, „so
       dass“ usw.
Prämissen werden dagegen kenntlich gemacht durch Ausdrücke wie: „weil“, „da“, „denn“,
„gegeben“, „nehmen wir an, dass“ usw.


Die Normalform eines Arguments
Um die Gültigkeit eines Arguments besser formalisieren und dann bewerten zu können,
versuchen wir das Argument zunächst so umzuformulieren, dass wir es in seine Normalform
bringen, in der die Struktur des Arguments vollkommen durchsichtig ist.


Bedingungen für die Normalform:
A)     Die Prämissen und die Konklusion sind vollständig ausformuliert.
B)     Die Prämissen eines Arguments stehen getrennt voneinander am Anfang des
       Arguments.
C)     Die Konklusion steht – durch eine „Also“ gekennzeichnet – am Ende des Arguments.
D)     Alle Informationen, die für das Argument überflüssig sind, werden weggelassen.
E)     Selbstverständliche Prämissen, die nicht explizit erwähnt werden, werden (in eckigen
       Klammern) hinzugesetzt.
F)     In jedem Argument gibt es nur eine Konklusion.


Ein Argument in seiner Normalform sieht also schematisch so aus:
              Prämissen             (1) .....
                                    (2) .....
                                    ..........
                                    (n) .....
              Also:                 ______
              Konklusion:           (n+1) ......


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Bsp.
(2)     Es kann keine Leere sein, denn was leer ist, das ist nicht, und was nicht ist, kann nicht
        sein. (Melissus)
Normalform (durch Umstellung nach B) und C)):
(2‘)    Was leer ist, das ist nicht.
        Was nicht ist, kann nicht sein.
        Also:
        Es kann keine Leere sein.


(3)     Das Töten von Kindern ist böse. Dennoch wurden in Bosnien Kinder getötet. Jemand
        hat also in Bosnien etwas Böses getan. Wenn jemand etwas Böses tut, dann sollte er
        bestraft werden. Also sollten diejenigen, die in Bosnien Kinder getötet haben, bestraft
        werden.
Normalform (nach F)) entweder:
(3‘)    (i) Das Töten von Kindern ist böse.
        (ii) In Bosnien wurden Kinder getötet.
        Also:
        (iii) Jemand hat in Bosnien etwas Böses getan.
Oder:
(3‘‘)   (i) Das Töten von Kindern ist böse.
        (ii) In Bosnien wurden Kinder getötet.
        (iii) Jemand hat in Bosnien etwas Böses getan.
        (iv) Wenn jemand etwas Böses tut, sollte er bestraft werden.
        Also:
        (v) Diejenigen, die in Bosnien Kinder getötet haben, sollten bestraft werden.


(4)     Wir sehen, dass Dinge, die nicht intelligent sind, wie etwa natürliche Körper, nach
        einem Ziel streben, und das ist daraus ersichtlich, dass sie immer oder fast immer auf
        dieselbe Weise danach streben, das beste Ergebnis zu erreichen (...). Was aber nicht
        intelligent ist kann nicht nach einem Ziel streben, solange es nicht durch ein mit
        Wissen und Intelligenz ausgestattetes Wesen darauf ausgerichtet ist, so wie der Pfeil
        auf sein Ziel durch den Schützen gerichtet wird. Also existiert irgendeine Intelligenz
        durch die alle natürlichen Dinge auf ihr Ziel ausgerichtet sind, und dieses Wesen
        nennen wir Gott. (Thomas von Aquin)
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Normalform (nach D)):
(4‘)   (i) Dinge, die nicht intelligent sind, streben nach einem Ziel.
       (ii) Was nicht intelligent ist, kann nicht nach einem Ziel streben, solange es nicht
       durch ein mit Wissen und Intelligenz ausgestattetes Wesen darauf ausgerichtet wird.
       Also:
       (iii) Es existiert irgendeine Intelligenz.
Bem.
1      Rechtfertigung von (i) gehört nicht in die Normalform.
2      Illustration von (ii) gehört nicht in die Normalform.
3      Die weiteren Folgerungen aus (iii) gehören nicht in dieses Argument.


(5)    Der Raum ist kein empirischer Begriff, der von äußeren Erfahrungen abgezogen
       worden (ist). Denn damit gewisse Empfindungen auf etwas außer mir bezogen
       werden, ... muss die Vorstellung des Raumes schon zu Grunde liegen. (Kant, Kritik
       der reinen Vernunft)
Normalform (nach B), C) und E)):
(5‘)   (i) Damit Erfahrungen auf äußere Gegenstände bezogen werden, muss die Vorstellung
       des Raumes bereits zu Grunde liegen.
       (ii) Wenn eine Vorstellung einer Erfahrung zu Grunde liegt, dann ist sie nicht aus ihr
       abgezogen.
       Also:
       (iii) Die Vorstellung des Raumes ist nicht aus der Erfahrung äußerer Gegenstände
       abgezogen.


Schwierigkeiten bei der Herstellung der Normalform von Argumenten
        Oft sind mehrere Aussagen in einem Satz ausgedrückt.
          Lösung: Auspacken
        Die Reihenfolge ist oft umzukehren, da die Konklusion am Anfang, die Prämissen
          am Ende stehen.
          Lösung: Umstellen
        Ins Argument sind oft die Begründungen der Prämissen oder Zusatzinformationen
          hineingeschrieben.
          Lösung: Selektieren

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 Manchmal fehlen selbstverständliche implizite Annahmen.
   Lösung: Vervollständigen von enthymematischen Schlüssen
   (Hier muss man allerdings extrem zurückhaltend vorgehen. Man kann nämlich aus
   jedem Fehlschluss ein gültiges Argument durch Ergänzung von Prämissen machen.
   Ergänzt werden sollten nur ganz selbstverständliche Annahmen.)
Bsp.:
   New York City liegt im State New York, also liegt Manhattan im Staate New York.
Normalform:
(i) New York City liegt im Staat New York.
(ii) Manhattan liegt in New York City.
Also:
(iii) Manhattan liegt im Staat New York.
Gegenbeispiel:
   Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, also ist „p“ (Name für eine Aussage)
   wahr.
 ungültiger Schluss (es fehlt die Prämisse: „p“ ist nicht falsch)




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3. Aussagesätze und Aussagen
Argumente bestehen aus einer Sequenz von Aussagesätzen (als Prämissen und als
Konklusion). Aussagesätze sind jedoch nur ein Typ von Sätzen, daneben gibt es Ausrufesätze,
Fragesätze, Bitten usw.
Bsp.
(1) Wie heiß war doch dieser Sommer!
(2) Wer wird bei der nächsten Bundestagswahl gewinnen?
(3) Würden Sie bitte an die Tafel kommen.
(4) Zum WS 2003/04 hat Thomas Grundmann seine Lehrtätigkeit an der Universität des
Saarlandes aufgenommen.


Diese Sätze unterscheiden sich nach ihrer Funktion oder ihrem Modus. Aussagesätze sind
dadurch gekennzeichnet, dass sie einen Wahrheitswert (wahr oder falsch) haben können. Nur
um solche Sätze geht es der Logik, wenn sie die Gültigkeit von Argumenten untersucht.
Thema der Logik sind also alleine Aussagesätze.


Definition: Aussagesätze
Aussagesätze sind Sätze, die wahrheitsfähig sind (d.h. wahr oder falsch sein können).


Nicht nur Aussagesätze, sondern auch bestimmte geistige Zustände sind wahrheitsfähig. Dazu
gehören vor allem Gedanken und Meinungen. Alles, was wahrheitsfähig ist, sagt etwas über
die Welt aus (macht eine Behauptung darüber, was der Fall ist). Wenn diese Bedingung erfüllt
ist, dann liegt ein propositionaler Gehalt vor.
Definition: Propositionaler Gehalt und Proposition
Aussagesätze und wahrheitsfähige geistige Zustände (wie Meinungen) sind Träger eines
propositionalen Gehalts; sie drücken eine Proposition (Aussage) aus.


Bsp.
(5) Schnee ist weiß.
(6) Snow is white.
(7) Ich bin der Meinung, dass Schnee weiß ist.
Die in (7) beschriebene Meinung hat denselben propositionalen Gehalt wie die Sätze (5) und
(6).



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Indexikalität
Es gibt Aussagesätze, deren Wahrheitswert nicht unabhängig von den Umständen ihrer
Äußerung (vom Äußerungskontext) ist. Mit dem Kontext ändert sich der Wahrheitswert
dieser Sätze.


Bsp.
(4‘) In diesem Semester hat Thomas Grundmann seine Lehrtätigkeit an der Universität des
Saarlandes aufgenommen.
(4‘‘) Im Wintersemester 2003/4 habe ich meine Lehrtätigkeit an der Universität des
Saarlandes aufgenommen.
(4‘‘‘) Im Wintersemester 2003/4 hat Thomas Grundmann seine Lehrtätigkeit an dieser
Universität aufgenommen.


Bem. (4‘) ist wahr, wenn der Satz im WS 2003/4 geäußert wird, wird er früher oder später
       geäußert, ist er dagegen falsch.
       (4‘‘) ist wahr, wenn der Satz von Thomas Grundmann geäußert wird, er wäre aber
       falsch, wenn er von Oskar Lafontaine geäußert würde.
       (4‘‘‘) ist wahr, wenn er an der Universität des Saarlandes geäußert wird, würde er aber
       beispielsweise an der Universität Tübingen geäußert, wäre er falsch.


Für die Kontextabhängigkeit des Wahrheitswertes dieser Sätze sind sogenannte indexikalische
Ausdrücke verantwortlich, wie „ich“, „hier“, „jetzt“, „dort“, „morgen“, „hinter mir“, „in
diesem Jahr“, „mein Vater“ usw. Indexikalische Ausdrücke haben keinen eindeutigen Bezug.
Ihr Bezug hängt vom Äußerungskontext ab. Sätze, in denen indexikalische Ausdrücke
vorkommen, nennt man „indexikalische Sätze“. Nichtindexikalische Sätze kann man als
„ewige Sätze“ bezeichnen, da sie einen ewigen Wahrheitswert haben.


 Problem: In Argumenten kommt es auf die Wahrheit an (bzw. darauf, ob die Wahrheit der
Konklusion in der geeigneten Weise von der Wahrheit der Prämissen abhängt). Wie soll man
dann mit indexikalischen Sätzen, deren Wahrheitswert schwankt, in Argumenten umgehen?


Antwort 1: Wir betrachten nicht Satztypen, sondern Einzelvorkommnisse von indexikalischen
Sätzen (Satz-Token), die immer einen bestimmten Wahrheitswert haben.
Einwand: Die Logik möchte Typen von Argumenten nach ihrer Form bewerten und nicht
einzelne Argumente.
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Exkurs: Unterscheidung von Token und Type
        Token:          einzelnes Vorkommen oder Einzelding (nicht wiederholbar)
        Type:           Wiederholbares oder allgemeines Muster (kann mehrfach vorkommen)
Bsp.
(1)     Wie viele Wörter enthält der folgende Satz?
        „Schröder ist der Kanzler der Bundesrepublik“
        6 Token, aber nur 5 Typen (da „der“ zweimal vorkommt).
(2)     Wieviele Buchstaben enthält der folgende Rahmen?

        AA      A
        Antwort: Drei Token vom selben Typ.
        (Die Token müssen qualitativ nicht in allen Eigenschaften identisch sein, um zum
        selben Typ zu gehören. Es genügt, wenn die relevanten Eigenschaften identisch sind.)




Antwort 2: Wir betrachten nicht Sätze, sondern die durch sie ausgedrückten Aussagen
(Propositionen). Wir versuchen also, den propositionalen Gehalt eines in einem bestimmten
Kontext geäußerten indexikalischen Satzes durch einen ewigen Satz anzugeben.
Bsp:
Wenn ich den indexikalischen Satz (4‘‘) äußere, dann können wir seinen propositionalen
Gehalt durch (4) angeben.


Generelle Strategie: In der Logik sollte man indexikalische Sätze vermeiden oder in ewige
Sätze transformieren.


Bem.:
Indexikalische Ausdrücke in unserer Sprache haben eine besondere Funktion. Mit ihrer Hilfe
können wir uns in einem gegebenen Kontext auf Gegenstände beziehen, ohne eine eindeutige
Beschreibung des Gegenstandes zu kennen. Bsp.: In einer Wahrnehmungssituation beziehen
wir uns auf Gegenstände vor uns als „dies“ oder „das dort“. Der Sprecher bezieht sich auf sich
mit „ich“ und auf sein Gegenüber mit „du“. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, können auch
beschreibende Audrücke hinzugefügt werden: „der Tisch dort“, „das Fenster dort hinten“.
Man kann jedoch auch auf andere Gegenstände außerhalb der Wahrnehmungssituation
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bezugnehmen, indem man sie durch deskriptive Relationen mit indexikalisch individuierten
Gegenständen verknüpft: „der Vater von ihm“, „der Vorgänger dieses Kanzlers“.
Raumzeitliche Relationen bieten dafür einen universellen Rahmen: „gestern“, „tausend
Kilometer von hier“ usw. Diese Funktion des raumzeitlichen Rahmens für die Bezugnahme
wurde von Peter Strawson in Individuals (1957) und Ernst Tugendhat in Einführung in die
sprachanalytische Philosophie genauer untersucht.


Verwenden und Erwähnen (use und mention)
Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen dem Gebrauch bzw. der Verwendung eines
Ausdrucks und seiner Erwähnung. Wenn wir sagen, dass Schröder nicht Kohl ist, dann
erwähnen wir zwei verschiedene Kanzler der Bundesrepublik, und wir tun das, indem wir
Namen für sie („Schröder“ und „Kohl“) verwenden. Wir können auch einen Audruck als
Namen verwenden, um auf einen Gegenstand zu referieren oder diesen Ausdruck erwähnen,
indem wir einen Namen für den Ausdruck (der selbst ein Name ist) bilden. Unsere Sprache
stellt    dafür   ein    einfaches   Hilfsmittel   zur   Verfügung   –   die    Verwendung     von
Anführungszeichen.


Bsp.
(i)       (A)     Die „Illias“ ist ein Epos. (F)
          (A‘)    Die Illias ist ein Epos. (W)
(ii)      (B)     2 + 2 = 4 ist eine mathematische Wahrheit. (ungrammatisch, da ein Satz kein
          grammatisches Subjekt sein kann)
          (B‘)    „2 + 2 = 4“ ist eine mathematische Wahrheit. (W, wir beziehen uns mit Hilfe
          des Namens „2 + 2 = 4“ auf einen Satz, dem Wahrheit zugeschrieben wird.)
(iii)     (C)     Tübingen besteht aus acht Buchstaben. (F, die Stadt besteht nicht aus
          Buchstaben)
          (C‘)    „Tübingen“ besteht aus acht Buchstaben. (W, weil sich der Satz auf den
          Ausdruck „Tübingen“ bezieht)


Mit Hilfe von Anführungszeichen können wir uns also auf beliebige Ausdrücke der Sprache
(Wörter oder ganze Sätze) beziehen. Wir können also mit der Sprache über Sprache reden.
Dabei ist es jedoch wichtig, die Ebenen auseinander zu halten. Die Sprache, über die
gesprochen wird, nennt man „Objektsprache“. Die Sprache, in der man über die Ausdrücke
der      Objektsprache    spricht,   nennt   man   „Metasprache“.    Wichtig:    Die   durch   das
Anführungszeichen gebildeten Ausdrücke sind Namen der Metasprache!!!!
                                                          12
Bem.:
Man kann dieselbe Sprache (das Deutsche) als Objekt- und Metasprache verwenden.
Dieselben   Zeichentypen gehören dann beiden Sprachen an. Aber jedes          Token
(Einzelvorkommnis) gehört immer nur einer Sprache an. In einem Satz, in dem über die
Objektsprache gesprochen wird, gehören alle Ausdrücke der Metasprache an.




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4. Wahrheit, Gültigkeit und Schlüssigkeit
Wir haben gelernt, wie man ein umgangssprachlich formuliertes Argument in seine
Normalform bringt und welcher Art die Aussagen sein müssen, die das Argument in dieser
Normalform enthält. In der Folge wird es um die Bewertung von Argumenten gehen. Wir
wollen also herausfinden, ob ein gegebenes Argument gut oder schlecht ist. Hier muss man
grundsätzlich zwei Hinsichten unterscheiden: die Gültigkeit und die Schlüssigkeit. Die Logik
beschäftigt sich allein mit der Gültigkeit von Argumenten.


Wann ist ein Argument gültig? Dafür muss die Wahrheit der Konklusion etwas mit der
Wahrheit der Prämissen zu tun haben. Die Wahrheit der Konklusion muss von der Wahrheit
der Prämissen abhängen. Das folgende Argument ist deshalb offensichtlich schlecht (und
ungültig):
(1)    Im Jahre 79 wurde Pompeji zerstört.
       Also:
       Albert Einstein starb 1955 in Princeton.
Hier sind zwar die Prämisse und die Konklusion wahr. Aber der Wahrheitswert der
Konklusion hat nichts mit dem Wahrheitswert der Prämisse zu tun.
Anders verhält es sich mit dem folgenden Argument:
(2)    Alle Fische fliegen.
       Alles, was fliegt, redet.
       Also:
       Alle Fische reden.
Hier sind zwar Prämissen und Konklusion offensichtlich falsch und das ist natürlich schlecht,
gemessen an dem Ziel von Argumenten, die Wahrheit zu etablieren, aber zwischen dem
Wahrheitswert der Prämissen und dem Wahrheitswert der Konklusion gibt es einen
Zusammenhang der folgenden Art: Wenn die Prämissen wahr wären, dann wäre auch die
Konklusion wahr. Der Übergang von den Prämissen zur Konklusion ist deshalb begründet
oder rational. Und das ist völlig unabhängig von der Tatsachenfrage, ob die Prämissen (und
die Konklusion) tatsächlich wahr sind.


Im Idealfall (wie in (2)) ist der Wahrheitszusammenhang zwischen den Prämissen und der
Konklusion so stark, dass die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion regelrecht
erzwingt. In diesem Fall ist es unmöglich, dass die Prämissen wahr sind und die Konklusion
falsch ist. Es kann jedoch Argumente geben, die – gegeben die Wahrheit der Prämissen – die
Wahrheit der Konklusion nur wahrscheinlich machen. Dennoch empfinden wir auch hier in
                                                     14
vielen Fällen den Übergang von den Prämissen zur Konklusion als zulässig, gerechtfertigt
oder rational. Beispiel:
(3)    Schwäne sind in der Regel weiße Vögel.
       Fritz besitzt einen Schwan.
       Also:
       Fritz besitzt einen weißen Vogel.
In diesem Fall kann es zwar sein, dass die Konklusion falsch ist, selbst wenn die Prämissen
wahr sind. Aber wenn die Prämissen wahr sind, scheint es eindeutig rational zu sein, die
Konklusion für wahr zu halten.


Damit ergibt sich die folgende Definition für ein gültiges Argument:
Definition: Gültiges Argument
Ein Argument ist gültig genau dann, wenn es tatsächlich rational ist, die Konklusion für wahr
zu halten, wenn die Prämissen wahr sind.


Wenn ein Argument als „gültig“ bewertet wird, dann wird damit gesagt, dass es so ist, wie es
sein soll. Ein Argument soll so sein, dass es rational ist, die Konklusion zu glauben, wenn die
Prämissen wahr sind; und bei einem gültigen Argument ist das tatsächlich der Fall. Damit ist
jedoch nur eine notwendige Bedingung dafür erfüllt, dass das Argument gut ist. Ein Argument
kann also nur gut sein, wenn es gültig ist, aber nicht jedes gültige Argument ist deshalb
bereits gut. Das wird deutlich, wenn wir uns gültige Argumente ansehen, die dennoch
kritisierbar sind.


(4)    Alle Wale sind Fische
       Alle Delphine sind Wale.
       Also:
       Alle Delphine sind Fische.
Dieses Argument ist gültig, denn es wäre sicher rational, seine Konklusion zu akzeptieren,
wenn seine Prämissen wahr wären (da die Wahrheit seiner Prämissen die Wahrheit seiner
Konklusion sogar erzwingt). Aber eine der Prämissen (die erste) ist falsch. Deshalb ist das
Argument ungeeignet uns auf rationalem Wege zur Wahrheit zu führen. Wenn man bereits
von etwas Falschem ausgeht, dann kann man – wenn man rational verfährt – bestenfalls noch
zufällig die Wahrheit erreichen. Deshalb ist auch ein Argument, das von falschen Prämissen
ausgeht, in einem bestimmten Sinne schlecht. Aber das betrifft nicht die Gültigkeit eines
Arguments. Es betrifft nur Tatsachenfragen.
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Wenn ein Argument also gültig ist und zusätzlich noch von ausschließlich wahren Prämissen
ausgeht, dann nennen wir es „schlüssig“.
Definition: Schlüssiges Argument
Ein Argument ist schlüssig genau dann, wenn es gültig ist und alle seine Prämissen wahr sind.


Die Frage, ob ein Argument schlüssig ist, kann nicht von der Logik allein beantwortet
werden, weil die Tatsachenfragen, ob die Prämissen wahr sind, (normalerweise) nicht mit
formalen Mitteln beantwortet werden können, sondern empirisch untersucht werden müssen.
In der Logik konzentriert man sich auf die Bewertung der Gültigkeit eines Arguments.


Bem.:
Im Deutschen ist die Unterscheidung zwischen „gültig“ und „schlüssig“ umgangssprachlich
ungebräuchlich. Manchmal wird Gültigkeit sogar mit Wahrheit gleichgesetzt (wenn man etwa
von einer gültigen Annahme oder Prämisse spricht). Wir wollen die Begriffe „Wahrheit“,
„Gültigkeit“ und „Schlüssigkeit“ deshalb immer im streng terminologischen Sinne
verwenden. Im Englischen ist die Unterscheidung zwischen „gültig“ (valid) und „schlüssig“
(sound) umgangssprachlich gebräuchlicher.


Ein gutes Argument ist ein Argument, dass gültig ist und ausschließlich wahre Prämissen hat.
Ein Argument ist also gut genau dann, wenn es schlüssig ist.
Definition: Gutes Argument
Ein Argument ist gut genau dann, wenn es schlüssig ist.




                                                     16
5. Deduktive und nicht-deduktive Gültigkeit
Die Logik untersucht – wie wir gesehen haben – nicht die Wahrheit der Prämissen, sondern
allein die Gültigkeit eines Arguments. Hier gibt es nun eine wichtige Unterscheidung: Es gibt
deduktiv gültige (kurz: deduktive) Argumente und solche, die nicht-deduktiv gültig sind. Im
Falle eines deduktiv gültigen Argumentes muss die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der
Konklusion erzwingen. Es darf also nicht möglich sein, dass die Prämissen wahr sind und die
Konklusion     falsch   ist.   Der   Übergang   von   den   Prämissen   zur   Konklusion   ist
wahrheitswerterhaltend. Man sagt dazu auch: „Die Konklusion folgt logisch aus den
Prämissen“.
Definition: deduktiv gültiges Argument
Ein Argument ist deduktiv gültig genau dann, wenn die Konklusion wahr sein muss (nicht
falsch sein kann), falls alle Prämissen wahr sind (in diesem Fall folgt die Konklusion logisch
aus den Prämissen).


Wenn ein Argument deduktiv gültig ist, dann ist es selbstverständlich ein gültiges Argument
im Sinne der Definition (S. 15), denn natürlich ist es rational die Konklusion zu glauben,
wenn die Prämissen wahr sind, wenn die Prämissen die Wahrheit der Konklusion erzwingen.


Häufig wird die Logik als Untersuchung der deduktiven Gültigkeit von Argumenten
verstanden. Doch das ist eine unnötige Verengung. Argumente in der Philosophie, in den
Wissenschaften und im Alltag sind häufig nicht deduktiv gültig; sie erzwingen nicht die
Wahrheit der Konklusion. Dennoch scheinen sie in der Lage zu sein, ihre Konklusionen
rational zu begründen. Wenn das richtig ist, dann wäre die allgemeine Definition der
Gültigkeit (S. 15) auch von solchen nicht-deduktiven Argumenten erfüllt. Die Logik müsste
dann auch die formalen Gesetze der Gültigkeit solcher nicht-deduktiven Argumente studieren.
Hier ist es jedoch viel schwieriger als im Bereich der deduktiven Argumente, formale Gesetze
der Gültigkeit anzugeben. Intuitiv machen wir den Unterschied auch hier, aber die
Formalisierung bereitet erheblich mehr Probleme.


Bsp.
(1)    Induktive Generalisierung:
       Alle bislang beobachteten Schwäne sind weiß
       Also:
       Alle Schwäne sind weiß.

                                                      17
(2)    Anfänger haben im Allgemeinen Schwierigkeiten mit der Logik.
       Hans ist ein Anfänger
       Also:
       Hans hat Schwierigkeiten mit der Logik.
(3)    Schluss auf die beste Erklärung (SBE)
       Das Barometer fällt.
       Also:
       Ein Sturm kommt
       (weil gilt, dass Ein Sturm kommt & Wenn ein Sturm kommt, dann fällt das Barometer
       die Prämisse nach dem deduktiv-nomologischen Schema erklärt und keine bessere
       Erklärung vorhanden ist)
Exkurs: deduktiv-nomologisches Schema der Erklärung
Die klassische Theorie wissenschaftlicher Erklärungen versteht solche Erklärungen nach dem
folgenden Schema (DN-Schema oder HO-Schema – nach den Erfindern Hempel und
Oppenheimer benannt):
       Ein Sturm kommt. (Antezedenzbedingung oder Randbedingung)
       Wenn ein Sturm kommt, dann fällt das Barometer. (Gesetz)
       Also:
       Das Barometer fällt. (Explanandum)
Bem.: 1        Die wissenschaftliche Erklärung ist ein deduktiv gültiges Argument mit
               besonderen Prämissen. Die Antezedenzbedingungen sind normalerweise
               singuläre Ereignisse. Das Gesetz ist ein genereller Satz, der kausale
               Zusammenhänge bezeichnet.
       2       Während die Erklärung ein deduktives Argument ist, ist der SBE ein nicht-
               deduktiver Schluss vom Explanandum auf die erklärende Ursache.


In der Philosophie, in den empirischen Wissenschaften und im Alltag spielen nicht-deduktive
Argumente verschiedener Art also eine wichtige Rolle. Und wir gehen davon aus, dass sie
eine rationale Begründung von Thesen ermöglichen. Die Logik müsste die Gesetze der nicht-
deduktiven Gültigkeit dieser Argumente untersuchen. Aber bislang hat ihre Formalisierung
erhebliche Probleme bereitet. Es gibt aber verschiedene Ansätze zu solchen induktiven
Logiken. (Gegenwärtig wird viel vom nicht-monotonen Schließen gesprochen. In nicht-
monotonen Schlüssen können gültige Schlüsse durch Hinzunahme weiterer Prämissen zu
ungültigen Schlüssen werden. Das ist bei deduktiven Argumenten nicht der Fall.)

                                                    18
Weil die Logik nicht-deduktiver Argumente notorische Schwierigkeiten aufwirft, beschränken
wir uns in der Einführung in die Logik auf die Gesetze deduktiver Gültigkeit. Nur diese
werden uns im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen. Das hat aber allein praktische
Gründe. Man sollte daher nicht sagen, dass die Logik sich nur mit deduktiven Argumenten
beschäftigt. Das wäre eine unzulässige Verengung.


Dennoch soll der Vollständigkeit halber auch nicht-deduktive Gültigkeit definiert werden:
Definition: nicht-deduktiv gültiges Argument
Ein Argument ist genau dann nicht-deduktiv gültig, wenn es gültig ist, aber nicht deduktiv
gültig ist, d.h., wenn es rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, wenn alle seine
Prämissen wahr sind, obwohl die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion nicht
erzwingt.




                                                    19
6. Gültigkeit und die logische Form von Argumenten
Die Logik im engeren Sinne, soweit sie uns hier beschäftigt, untersucht die deduktive
Gültigkeit von Argumenten.


 Wie können wir überprüfen, ob ein Argument deduktiv gültig ist?
Antwort: Die logische Form des Arguments muss derart sein, dass es kein Argument der
gleichen Form gibt, dessen Prämissen wahr und dessen Konklusion falsch ist.


Faustregel: Versuchen Sie zunächst die logische Form eines Argumentes in Normalform
dadurch zu bestimmen, dass Sie für Teilsätze Buchstaben wie ‚p‘, ‚q‘ oder ‚r‘ einsetzen und
für Prädikate (Klassenbegriffe) Großbuchstaben wie ‚S‘, ‚M‘ oder ‚P‘. Verfahren Sie dabei
immer so, dass Sie für gleiche Teilsätze oder gleiche Prädikate in einem Argument dieselben
Buchstaben einsetzen. Sie bestimmen so die logische Form eines Arguments.
Bilden Sie sodann (strukturgleiche) Argumente derselben Form, indem Sie für die Buchstaben
andere Teilsätze bzw. Prädikate einsetzen. Wenn ein deduktiv gültiges Argument vorliegt,
wird jede Einsetzung mit wahren Prämissen auch eine wahre Konklusion haben. Wenn Sie
eine Einsetzung finden können, in der die Prämissen wahr, die Konklusion jedoch falsch ist,
ist das Argument dieser logischen Form (deduktiv) ungültig.2


Bsp.   Kein Papagei ist ein Säugetier          W
       Kein Säugetier ist ein Fisch            W
       Also:
       Kein Papagei ist ein Fisch              W
Ist dieses Argument gültig?
Logische Form:
       Kein P ist S
       Kein S ist F
       Also:
       Kein P ist F
Einsetzung:
       Keine Katze (P) ist ein Vogel (S)           W
       Kein Vogel (S) ist ein Säugetier (F)        W
       Also:
       Keine Katze (P) ist ein Säugetier (F)       F


                                                       20
Also ist das Argument (und alle strukturgleichen Argumente) ungültig!


Einige weitere Beispiele
(A)        Wenn der Irakkrieg ein Angriffskrieg war, dann war er völkerrechtswidrig.
           Der Irakkrieg war ein Angriffskrieg.
           Also:
           Der Irakkrieg war völkerrechtswidrig.
Logische Form:
           Wenn p, dann q.
           p
           Also: q
Können Sie eine Einsetzung finden, deren Prämissen offensichtlich wahr und deren
Konklusion offensichtlich falsch ist?
(B)        Wenn die Welt von Gott geschaffen wurde, dann ist sie gesetzmäßig und
           wohlgeordnet.
           Die Welt ist gesetzmäßig und wohlgeordnet.
           Also: Die Welt wurde von Gott geschaffen.
Logische Form:
           Wenn p, dann q.
           q
           Also: p
Einsetzung (Fido ist ein Hund):
           Wenn Fido eine Katze wäre, dann würde er vier Beine und einen Schwanz haben. W
           Fido hat vier Beine und einen Schwanz                                                             W
           Also: Fido ist eine Katze                                                                          F
 Argumente dieser Form sind ungültig!


(C)        Logische Form:
           Wenn p, dann q
           nicht p
           Also: nicht q
Einsetzung:
           Wenn ‚p‘ wahr ist, dann hat ‚p‘ einen Wahrheitswert.                                   W
           ‚p‘ ist nicht wahr                                                                     W

2
    In der Folge meine ich mit „Gültigkeit“ immer „deduktive Gültigkeit“, wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird.
                                                                21
       Also: ‚p‘ hat keinen Wahrheitswert                Kann F sein, wenn ‚p‘ falsch ist


      ungültige Argumentationsform!!!


Problem dieser Methode: Wir können so niemals definitiv zeigen, dass ein Argument (oder
eine Argumentform) gültig ist, denn es bleibt stets offen, ob nicht doch noch irgendwelche
widerlegenden Instanzen gefunden werden können. Andererseits bleibt der Nachweis der
Ungültigkeit auf unsere Phantasie angewiesen. Wir haben bislang kein rein mechanisches
Verfahren, um die Gültigkeit von Argumenten zu prüfen.




                                                   22
7. Aussagenlogik: Syntax
Wir werden nun eine künstliche Sprache einführen, in der wir Aussagesätze und Argumente
formalisieren können. Beim Formalisieren geht es um die Form der Sätze und ihre
Wahrheitswerte, nicht um ihren spezifischen Inhalt. Wir betrachten zunächst die Sprache der
Aussagenlogik (AL).


Jede Sprache ist durch zwei Aspekte charakterisiert: ihre Syntax und ihre Semantik.


In der Syntax geht es um zwei Fragen:
1. Was sind die Grundzeichen (oder Grundausdrücke) der Sprache?
2. Wie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze der Sprache?


In der Semantik geht es dagegen um die folgenden Fragen:
1. Was bedeuten die Grundzeichen der Sprache?
2. Unter welchen Bedingungen sind die Sätze der Sprache wahr?


Die Semantik wird im nächsten Abschnitt behandelt. Hier wollen wir uns zunächst mit der
Syntax beschäftigen.


Die Grundzeichen von AL, der Sprache der Aussagenlogik, gehören drei Klassen an:
       Deskriptive Zeichen
       Logische Zeichen
       Hilfszeichen
1. Deskriptive Zeichen: AL enthält nur einen Typ von Zeichen, nämlich Satzbuchstaben. Das
sind Zeichen für ganze Sätze. Sie stehen für atomare (nicht weiter zerlegbare) Aussagesätze.
Als Satzbuchstaben verwenden wir
       p, q, r, s, t .... (oder p1, p2, p3, ....)


2. Logische Zeichen: AL enthält fünf logische Zeichen, die man auch ‚Junktoren‘ (von lat.
Jungere – verbinden) nennt. Mit ihrer Hilfe kann man aus einfachen Sätzen komplexe Sätze
konstruieren.
       , , , , 
       (umgangssprachlich: nicht, und, oder, wenn-dann, genau-dann-wenn)
3. Hilfszeichen: AL hat als Hilfszeichen die beiden Klammern:
       (, )
                                                     23
Das sind alle Grundzeichen von AL.


Syntax: Grundzeichen von AL
AL enthält als deskriptive Zeichen:
       Die Satzbuchstaben ‚p‘, ‚q‘, ‚r‘, ‚s‘, ‚t‘ ...   ,
als logische Zeichen:
       Die Junktoren ‚‘, ‚‘, ‚‘, ‚‘, ‚‘            ,
und als Hilfszeichen:
       Die beiden Klammern `(`und `)`.


Bem.
1      Es werden in der Literatur auch andere Zeichen verwendet
       für ‚‘ auch: Tilde
       für ‚‘ auch: ‚&‘ oder ‚.‘
       für ‚‘ auch: ‚‘ (horseshoe)


2      Zum besseren Einprägen:
                kommt vom lat. ‚vel‘ und bedeutet ‚oder‘


3      Namen für die Junktoren
                Negationszeichen
                Und-Zeichen                    Konjunktionszeichen
                Oder-Zeichen                   Adjunktionszeichen
                Wenn-dann-Zeichen              Subjunktionszeichen
                Genau-dann-wenn-Zeichen Bisubjunktionszeichen


Wir können also jetzt aus den Grundzeichen die Sätze von AL erzeugen. Zunächst sind alle
Satzzeichen zulässig:
       P, q, r, s, t, ....
Dann können wir weitere Sätze bilden, indem wir das Negationszeichen vor einen
Satzbuchstaben schreiben:
        p,  q,  r,  s,  t ....




                                                            24
Und wir können weitere Sätze bilden, indem wir zwischen                   zwei     Sätze das
Konjunktionszeichen,     das   Adjunktionszeichen,   das   Subjunktionszeichen     bzw.   das
Bisubjunktionszeichen schreiben und das Ganze in Klammern setzen:
       (pq)
       (rs)
       (rs)
       (qt)
       (pq)
       (pq)
       (ps)
       ((pr)q)
       (p(qp))


Definition: Sätze von AL
A ist genau dann ein Satz von AL, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i)    A ist ein Satzbuchstabe von AL;
(ii)   B und C sind Sätze von AL, und A ist gleich
       B, (BC), (BC), (BC) oder (BC).


Die Sätze von AL werden nach den in ihnen vorkommenden Junktoren benannt:
       A              Negation
       (AB)           Konjunktion
       (AB)           Adjunktion
       (AB)           Subjunktion
       (AB)           Bisubjunktion
Beachte: A und B können dabei beliebige atomare oder zusammengesetzte Sätze sein. Die
Sätze werden immer nach ihrer Form, nicht nach der Form ihrer Teilsätze benannt.
Bsp.
       (pq)                  Negation
       (ps)                Negation
       (p(qp))               Adjunktion




                                                     25
Zum Schluss wird noch eine Verabredung zur Klammerersparnis getroffen:
Klammerersparnis-Regel
1. Äußerste Klammern dürfen weggelassen werden.
2. ‚‘ und ‚‘ binden stärker als ‚‘ und ‚‘.


Beispiele:
(pq)                wird abgekürzt als          pq
((pq)r)            wird abgekürzt als          pqr




                                                  26
8. Die Semantik von AL
Wir wollen uns nun mit der Semantik von AL beschäftigen, also mit den Fragen, was die
Grundzeichen bedeuten und wann die Sätze von AL wahr sind.


Da unsere Sätze Aussagesätze sind, deren propositionaler Gehalt beliebig ist und von dem
abgesehen werden kann, bleibt nur noch der Wahrheitswert der Sätze übrig. Dies ist der
einzige Aspekt der Bedeutung, der uns in der Aussagenlogik interessiert. Die Wahrheitswerte
der Sätze von AL werden durch eine Abbildung festgelegt – eine Bewertung V -, die jedem
Satzbuchstaben p, q, r, s, t ... einen der beiden Wahrheitswerte w (wahr) oder f (falsch)
zuordnet.
Definition: Bewertung (Interpretation) V
Eine Bewertung (Interpretation) V ist eine Abbildung, die jedem Satzbuchstaben von AL (p,
q, r, s, t ...) einen der beiden Wahrheitswerte w oder f zuordnet.


Wann ist ein beliebiger Satz von AL „wahr unter V“ bzw. „falsch unter V“?
Definition: Wahrheitsbedingungen bezüglich von V
Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A von AL genau dann wahr bezüglich
V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i)     A ist ein Satzbuchstabe und V(A) = w
(ii)    A ist eine Negation (hat die Form B) und V(B) = f
(iii)   A ist eine Konjunktion (hat die Form BC) und V(B) = w sowie V(C) = w
(iv)    A ist eine Adjunktion (hat die Form BC) und mindestens einer der beiden Sätze B
        und C ist wahr unter V
(v)     A ist eine Subjunktion (hat die Form BC) und es ist nicht der Fall, dass B wahr
        unter V ist und C falsch unter V ist.
(vi)    A ist eine Bisubjunktion (hat die Form BC) und B und C sind beide wahr oder beide
        falsch unter V.


Wesentlich anschaulicher lässt sich die Abhängigkeit des Wahrheitswertes eines
zusammengesetzten Satzes von den Wahrheitswerten seiner Teile mit Hilfe der
„Wahrheitstafeln“ angeben:




                                                       27
(I)     Negation
        p     p
        w     f
        f     w


(II)    Konjunktion
        p     q         pq
        w     w         w
        w     f         f
        f     w         f
        f     f         f


(III)   Adjunktion
        p     q         pq
        w     w         w
        w     f         w
        f     w         w
        f     f         f


(IV)    Subjunktion
        p     q         pq
        w     w         w
        w     f         f
        f     w         w
        f     f         w


(V)     Bisubjunktion
        p     q         pq
        w     w         w
        w     f         f
        f     w         f
        f     f         w




                              28
Beispiel:
Nehmen wir eine beliebigen Bewertung V1:
       V1(p) = w
       V1(q) = f
       V1(r) = f
       V1(s) = f
       V1(t) = w
Dann sind wahr unter V1:
       q
       pq
       rs
       pt
Falsch unter V1 sind:
       pq
       (pq)
       pq




                                           29
9. Übersetzung umgangssprachlicher Sätze in AL
Wir haben die künstliche Sprache AL eingeführt, um ein Hilfsmittel für die Bewertung der
Gültigkeit umgangssprachlicher Argumente bereitzustellen. Dieses Hilfsmittel können wir
jedoch nur verwenden, wenn wir die umgangssprachlichen Argumente, um die es uns geht, in
AL übersetzen können. Einfache (atomare) Sätze bereiten dabei keine Probleme, da wir für
sie einfach Satzbuchstaben einsetzen können. Doch wie sieht es mit der Übersetzung
umgangssprachlicher Ausdrücke in logische Junktoren aus? Dabei muss Folgendes
berücksichtigt werden: Die fünf Junktoren in AL sind rein wahrheitsfunktionale Ausdrücke,
d.h. der Wahrheitswert der durch sie gebildeten komplexen (molekularen) Sätze hängt allein
vom Wahrheitswert ihrer Teilsätze ab.3 Wenn wir nach einer passenden Übersetzung
satzverknüpfender Ausdrücke der Umgangssprache in AL suchen, dann müssen wir in erster
Linie darauf achten, dass die Wahrheitsbedingungen der einander zugeordneten Sätze sich
entsprechen, denn in der Logik geht es uns um die Wahrheit (nicht um rhetorische Elemente
der Sprache). Wenn wir keine wahrheitskonditionalen Entsprechungen finden, dann können
wir auch nach Übersetzungen in AL suchen, die schwächer sind als die Aussagen der
Umgangssprache, so dass gilt: Die Übersetzungen in AL sind immer dann wahr, wenn die
Sätze der Umgangssprache wahr sind (auch wenn das Umgekehrte nicht gilt). Wir dürfen
dieses Verfahren wählen, weil wir in diesem Fall von der Ungültigkeit in AL auf die
Ungültigkeit in der Umgangssprache zurückschließen dürfen.


NEGATION
(1)     Paul ist nicht klug
        V(p) = Paul ist klug
(1‘)    Es ist nicht der Fall, dass Paul klug ist (Paraphrase)
(1‘‘)   p


Merke: Wenn man einen mit Hilfe des Ausdrucks „nicht“ gebildeten Satz A der
        Umgangssprache problemlos mit Hilfe eines „Es ist nicht der Fall, dass ...“ Satzes
        paraphrasieren kann, dann kann man A als Negation übersetzen.


Hilfestellung: „Niemand“ lässt sich als „nicht jemand“, „nichts“ als „nicht etwas“ und „kein“
        als „nicht ein“ verstehen. Sätze, die Ausdrücke mit der Vorsilbe „un“ enthalten, lassen



3
 AL hat außerdem die Besonderheit, dass sie alle Aussagesätze als wahrheitsdefinit betrachtet, also als entweder wahr oder falsch.
Wahrheitswertlücken oder unbestimmte Wahrheitswerte werden von der klassischen Logik nicht berücksichtigt.
                                                              30
         sich nicht immer als Negation analysieren (vgl. „unverschämt“  „nicht verschämt“,
         aber: „unvollkommen“ = „nicht vollkommen“)


KONJUNKTIONEN
Durch die Konjunktion lassen sich sehr viele Sätze übersetzen, die ein „und“ enthalten, und
zwar ganz gleich, ob dieses „und“ zwischen zwei Sätze, zwei Namen oder zwei Prädikaten
steht.
         (1)     Hans ist blond und Hans ist groß
                 V(p) = Hans ist blond
                 V(q) = Hans ist groß
         (1‘)    pq
         (2)     Hans ist blond und groß
         Übers.: (1‘)
         (3)     Hans und Jürgen sind groß
                 V(r) = Jürgen ist groß
         (3‘)    qr


Probleme:
(A)      Manchmal drückt „und“ in der Umgangssprache eine zeitliche Abfolge aus, die das
         Konjunktionszeichen nicht ausdrückt.
         (4)     Hans zieht sich die Schuhe aus und geht ins Bett
         (4‘)    Hans zieht die Schuhe aus und geht danach ins Bett (Paraphrase)
         Lösung: Wenn wir (4) durch (4‘‘) übersetzen:
         (4‘‘)   pq
                 V(p) = Hans zieht die Schuhe aus
                 V(q) = Hans geht ins Bett    ,
         dann ist (4‘‘) zumindest immer wahr, wenn (4) wahr ist.


(B)      Manchmal wird durch „und“ eine Relation ausgedrückt:
         (5)     Hans und Gerda sind befreundet
         (5‘)    Hans ist befreundet und Gerda ist befreundet (keine gute Paraphrase)
         Lösung: Dann lässt sich der umgangssprachliche Satz nicht als Konjunktion
         übersetzen!


(C)      Ausdrücke wie „aber“, „sondern“ und „obwohl“ indizieren auch eine Konjunktion.
                                                        31
       Aber nehmen wir die beiden folgenden Sätze:
       (6)     Hans ist nicht dumm, aber faul
       (7)     Hans ist nicht dumm und Hans ist faul (pq).
       Besagen sie tatsächlich dasselbe?
       Lösung: Vom logischen Standpunkt (bei dem es nur auf die Wahrheitsbedingungen
       ankommt) besagen sie dasselbe. (6) ist wahr dann und nur dann, wenn (7) wahr ist. Sie
       haben jedoch eine unterschiedliche Konnotation (Frege: „Beleuchtung“). (6) deutet
       einen Gegensatz an. Für die Logik ist dieser rhetorische Aspekt irrelevant!


ADJUNKTIONEN
Im Deutschen gibt es zwei verschiedene Arten des „oder“: das ausschließende Oder und das
nicht-ausschließende Oder.
(I)    Das nicht-ausschließende Oder:
       (1)     Hans kommt zur Party oder Helga kommt zur Party
       1. Lesart: (1) ist wahr genau dann, wenn Hans zur Party kommt, Helga zur Party
       kommt oder beide zur Party kommen.
       (1‘)    pq
               V(p) = Hans kommt zur Party
               V(q) = Helga kommt zur Party
(II)   Das ausschließende Oder: entweder – oder
       2. Lesart: (1) ist wahr genau dann, wenn Hans zur Party kommt oder Helga zur Party
       kommt, aber nicht beide zur Party kommen. Der Satz wäre falsch, wenn beide
       Teilsätze wahr sind.
       (1‘‘)   (pq)
               Dieser Satz ist wahr genau dann, wenn es nicht der Fall ist, dass Hans und
               Helga beide kommen oder beide nicht kommen.


SUBJUNKTIONEN
Ein umgangssprachliches „wenn – dann“ ist niemals rein wahrheitsfunktional. Die Wahrheit
des Satzes hängt auch von einem inhaltlichen Zusammenhang zwischen den Teilsätzen ab.
Deshalb ist die Übersetzung durch die wahrheitsfunktionale Subjunktion problematisch und
bereitet erfahrungsgemäß Anfängern besonders große Probleme.


       (1)     Wenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz älter als Paul.

                                                       32
       Wenn wir diesen Satz als Subjunktion verstehen, dann wäre er bereits dann wahr,
       wenn es nicht der Fall ist, dass Fritz der Vater von Paul ist, (also wenn der Vordersatz
       falsch ist) oder wenn Fritz älter als Paul ist (der Hintersatz wahr ist).
       Die folgenden Sätze wären also wahr, wenn sie als Subjunktionen verstanden würden:
       (2)    Wenn der Mond ein Schweizer Käse ist, dann ist Tübingen eine
              Universitätsstadt (Vordersatz falsch)
       (3)    Wenn Paris die Hauptstadt von Frankreich ist, dann ist Meerwasser salzig
              (Hintersatz wahr)
       Intuitiv finden wir das aber ungenügend, weil die in diesen Sätzen beschriebenen
       Tatsachen in keinem inhaltlichen Zusammenhang stehen. Umgangsprachlich ist dieser
       Zusammenhang für die Wahrheit des Satzes erforderlich.


Dennoch:
       Wir übersetzen umgangssprachliche Wenn-dann-Sätze generell als Subjunktionen.
       Dafür gibt es im Wesentlichen zwei Gründe:
       Erstens ist die Subjunktion immer dann wahr, wenn der umgangssprachliche Wenn-
       dann-Satz wahr ist. Damit ist die Subjunktion eine schwache Übersetzung des Wenn-
       dann-Satzes. (Und wenn die Subjunktion falsch ist – weil der Vordersatz wahr und der
       Hintersatz falsch ist -, dann kann auch der umgangssprachliche Wenn-dann-Satz nicht
       wahr sein.)
       Bsp.
       Wenn der Satz (1) „Wenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz älter als Paul“
       wahr ist, dann ist auch die Subjunktion „pq (mit V(p) = Fritz ist der Vater von Paul;
       V(q) = Fritz ist älter als Paul) wahr.
       Beweis: Wenn (1) wahr ist und „p“ wahr ist, dann ist auch q wahr. Damit ist aber die
       Wahrheitsbedingung der Subjunktion erfüllt!
       Zweitens hat die umgangssprachliche Wenn-dann-Verknüpfung sehr unterschiedliche
       Bedeutungen (zeitlicher, kausaler, semantischer Zusammenhang). Die Subjunktion
       könnte den gemeinsamen Kern herausgreifen.
Also: (1) wird in AL als (1‘) übersetzt:
       (1‘)   pq
              Die Bewertung V wie oben.




                                                        33
Andere Anwendungen
       (i)     Nur-dann-wenn –Sätze sollen als Subjunktionen übersetzt werden
               (4)     Hans kommt nur dann zur Party, wenn Helga kommt
               (4‘)    Wenn Helga nicht kommt, dann kommt auch Hans nicht (Paraphrase)
               (4‘‘)   pq
                       V(p) = Helga kommt zur Party
                       V(q) = Hans kommt zur Party
               (4‘‘‘) qp (Kontraposition)
               Merke: Umgangssprachliche Sätze der Form „A nur dann, wenn B“ können wir
                       durch die Subjunktion der Form „BA“ oder durch eine
                       Subjunktion der Form „AB“ übersetzen.
       (ii)    Hinreichende Bedingung
               (5)     A ist eine hinreichende Bedingung für B
               (5‘)    Wenn A, dann B (Paraphrase)
               (5‘‘)   AB
       (iii)   Notwendige Bedingung
               (6)     A ist eine notwendige Bedingung für B
               (6‘)    Wenn nicht A, dann auch nicht B (Paraphrase)
               (6‘‘)   AB
               (6‘‘‘) BA


BISUBJUNKTIONEN
Dieser Junktor entspricht der Subjunktion in beiden Richtungen. „AB“ ist wahr genau
dann, wenn „(AB)(BA)“ wahr ist.


Die Bisubjunktion ist die korrekte Übersetzung für umgangssprachliche Sätze, in denen
Ausdrücke wie „dann und nur dann, wenn“ oder „genau dann, wenn“ auftreten.
Bsp.
       (1)     Hans kommt dann und nur dann zur Party, wenn Paul kommt
       (1‘)    Hans kommt zur Party, wenn Paul kommt, und Hans kommt nicht zur Party,
               wenn Paul nicht kommt (Paraphrase)
               V(p) = Hans kommt zur Party
               V(q) = Paul kommt zur Party
       (1‘‘)   (qp)  (qp)

                                                      34
      (1‘‘‘) (qp)  (pq)
      (1‘‘‘‘) pq


Wie übersetzt man „A es sei denn, B“?
      (2)     Hans kommt zur Party es sei denn, dass Paul kommt
      (2‘)    Wenn Paul zur Party kommt, kommt Hans nicht, und, wenn Paul nicht kommt,
              kommt Hans (Paraphrase)
      (2‘‘)   (qp)  (qp)
              Bewertung (V) wie oben.
      (2‘‘‘) (pq) (qp)
      (2‘‘‘‘) pq


Notwendige und hinreichende Bedingung
      (3)     A ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für B
      (3‘)    AB


BEISPIELE FÜR DIE ÜBERSETZUNG UMGANGSSPRACHLICHER SÄTZE IN AL
      (1)     Hans und Klaus kommen nicht beide
      (1‘)    (pq)
              V(p) = Hans kommt
              V(q) = Klaus kommt


      (2)     Hans und Klaus kommen beide nicht
      (2‘)    pq
              V(p) = Hans kommt
              V(q) = Klaus kommt


      (3)     Hans kommt nur, wenn Klaus kommt
      (3‘)    Hans kommt nicht, wenn Klaus nicht kommt
      (3‘‘)   qp
      (3‘‘‘) pq


      (4)     Wenn die Arbeitslosigkeit weiter steigt, wird die Koalition die Wahl verlieren,
              es sei denn, dass die Opposition versagt

                                                     35
              V(p) = Die Arbeitslosigkeit steigt weiter
              V(q) = Die Koalition wird die Wahl verlieren
              V(r) = Die Opposition versagt
       (4‘)   p (qr)


       (5)    Wenn dieses Haar vom Täter stammt, dann ist Hans entweder nicht der Täter
              oder er hat versucht, eine falsche Spur zu legen, und sich die Haare gefärbt
              V(p) = Dieses Haar stammt vom Täter
              V(q) = Hans ist der Täter
              V(r) = Hans hat versucht, eine falsche Spur zu legen
              V(s) = Hans hat sich die Haare gefärbt
       (5‘)   p (qrs)




Grundregel für die Paraphrasierung normalsprachlicher Sätze
Die logische Struktur eines umgangssprachlichen Satzes wird oft erst durch eine geeignete
Paraphrase sichtbar. Paraphrasieren ist also ein nicht notwendiger, aber hilfreicher erster
Schritt bei der Formalisierung normalsprachlicher Sätze. Dabei gilt die Regel:
       Die Wahrheitsbedingungen der Paraphrase dürfen höchstens schwächer, sollten aber
       möglichst dieselben sein wie die des ursprünglichen Satzes!
Man muss also mindestens sicherstellen, dass die Paraphrase unter den Umständen wahr ist,
unter denen der ursprüngliche Satz wahr ist.




                                                       36
10. Logische Wahrheit
Mit Hilfe der Bewertungen V haben wir semantische Eigenschaften der Sätze in AL
beschrieben. Die Bewertung legt die Wahrheitsbedingungen und die Wahrheitswerte der
Sätze fest. Im Abschnitt 8 stand der Wahrheitswert im Vordergrund. Im Abschnitt 9 (wo es
um die Übersetzung normalsprachlicher Sätze ging) standen die Wahrheitsbedingungen im
Vordergrund. Jetzt soll der Begriff der logischen Wahrheit für AL definiert werden.


Die Grundidee dieser Definition besteht darin, die Bewertungen V variieren zu lassen und
dabei darauf zu achten, ob sich bei einem Satz einmal der Wahrheitswert f ergibt oder ob sich
immer der Wahrheitswert w einstellt. Ergibt sich immer der Wahrheitswert w, dann handelt es
sich um eine logische Wahrheit. Sobald zumindest einmal der Wahrheitswert f vorkommt,
liegt keine logische Wahrheit vor.


Intuitiv betrachtet soll der Begriff der logischen Wahrheit ungefähr das Folgende erfassen:
Ein Satz ist eine logische Wahrheit genau dann, wenn er wahr ist allein kraft seiner Form,
aber unabhängig von seinem sonstigen Gehalt. Die „Form“, um die es hier geht, ist die
sogenannte „logische Form“. Und der sonstige Gehalt, von dem wir absehen wollen, ist eben
der propositionale Gehalt, also das, was der Satz über die Welt aussagt.


Von dem Gehalt eines Satzes haben wir zunächst die Wahrheitsbedingungen und seinen
Wahrheitswert (mittels der Bewertung V) erfasst. Wenn wir vom Gehalt abstrahieren wollen,
dann müssen wir uns auch noch von der Bewertung V des Satzes unabhängig machen. Das
erreichen wir dadurch, dass wir V variieren lassen, d.h. alle Bewertungen durchspielen. Dabei
kommen alle Wahrheitswertbelegungen der atomaren Sätze vor. Dies entspricht einem
hypothetischen Durchlaufen aller Gehalte für alle Sätze. Logische Wahrheit liegt vor, wenn
ein Satz bei diesem Durchlaufen aller möglichen Wahrheitswertbelegungen immer den
Wahrheitswert w zugewiesen bekommt. So haben wir die logische Wahrheit als etwas
bestimmt, was eine Unabhängigkeit vom „sonstigen Gehalt“ aufweist.


Was ist unter der „logischen Form“ zu verstehen? Die logische Form eines Satzes in AL ist
durch die Junktoren und die Art und Weise, wie der Satz aufgebaut ist, festgelegt. Die
Bedeutung der Junktoren ist durch die Definition ihrer Wahrheitsbedingungen festgelegt und
in den Wahrheitstafeln fixiert. Die Bedeutung der logischen Zeichen besteht genau darin, wie
sie die Wahrheitswerte komplexer Sätze in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten ihrer
atomaren Teilsätze festlegen. Ihre Bedeutung besteht also in einer Wahrheitswertfunktion.
                                                      37
Bsp.
          Der Satz „Hans ist blond und groß“ hat die logische Form:
          pq (bzw. AB)
          Die Bedeutung des Junktors „“ wird als konstant behandelt und nicht variiert.
          Junktoren legen ja zusammen mit dem Satzaufbau die logische Form fest.
          Variiert wird nur der propositionale Gehalt (beschrieben durch die Bewertung V).


Wir haben auf diese Weise die Formel „wahr allein kraft logischer Form, aber unabhängig
von der sonstigen Bedeutung“ ausbuchstabiert als eine Wahrheit unter allen Bewertungen V
bei konstant gehaltener Bedeutung der logischen Zeichen (Junktoren) und konstant
gehaltenem Satzaufbau. Logische Wahrheit für AL soll deshalb wie folgt definiert werden:


Definition: logische Wahrheit in AL
Ein Satz der Sprache AL ist genau dann logisch wahr (eine Tautologie), wenn er unter allen
Bewertungen V wahr ist. Für die Aussage, dass A logisch wahr in AL ist, schreiben wir kurz:
AL A.


Diese Definition lässt sich überführen in Beckermanns Definition der logischen Wahrheit
(Def. 12.2), wonach ein Satz A der Sprache AL genau dann logisch wahr ist, wenn sich allein
aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen Ausdrücke ergibt, dass A bezüglich
aller Bewertungen V wahr ist.


Einige weitere Definitionen:
Definition: Kontradiktion
Ein Satz A der Sprache AL ist kontradiktorisch genau dann, wenn A unter keiner Bewertung
V wahr ist.


Definition: kontingente Wahrheit
Ein Satz A der Sprache AL ist kontingent wahr genau dann, wenn A weder logisch wahr
noch eine Kontradiktion ist.
Definition: Konsistenz (1)
Ein Satz A der Sprache AL ist konsistent genau dann, wenn A unter mindestens einer
Bewertung V wahr ist.

                                                       38
Definition: Konsistenz (2)
Eine Menge von Sätzen A, B und C der Sprache AL ist konsistent genau dann, wenn es
mindestens eine Bewertung V gibt, unter der A, B und C wahr sind.


Nun können wir auch den Begriff der logischen Folgerung für AL definieren. Intuitiv liegt
eine logische Folgerung vor, wenn der Fall ausgeschlossen ist, dass die Prämissen wahr und
die Konklusion falsch ist. Die Wahrheit der Prämissen muss also die Wahrheit der
Konklusion erzwingen.


Definition: logische Folgerung
Angenommen A1, ..., An sind Sätze von AL. Dann folgt der Satz An logisch aus den Sätzen
A1, ..., An-1 genau dann, wenn An unter allen Bewertungen V, unter denen die Sätze A1, ..., An
wahr sind, ebenfalls wahr ist.
Das lässt sich symbolisch so ausdrücken: A1, ..., An-1 AL An.


Deduktiv gültige Argumente in AL werden wir im Folgenden gerade als logische
Folgerungen betrachten:


Definition: deduktiv gültiges Argument (in AL)
Ein deduktiv gültiges Argument (in AL) mit Prämissen P1, ..., Pn und Konklusion K ist eine
Folge P1, ..., Pn,, K von Sätzen von AL, so dass der Satz K logisch aus den Sätzen P1, ..., Pn
folgt.
Symbolisch: P1, ..., Pn AL K.


Damit können wir die deduktive Gültigkeit eines normalsprachlichen Argumentes anhand der
deduktiven Gültigkeit der Formalisierung des Argumentes in AL überprüfen – zumindest
können wir von der Ungültigkeit des formalisierten Argumentes in AL auf die Ungültigkeit
des normalsprachlichen Argumentes zurückschließen.


Bem.:
Ab jetzt sei mit der deduktiven Gültigkeit eines Argumentes stets die deduktive Gültigkeit
seiner Formalisierung in AL gemeint.


                                                      39
Wie können wir die logische Wahrheit überprüfen? Eine sehr einfache Methode ist die
Wahrheitstafelmethode, die ursprünglich auf den frühen Wittgenstein (Tractatus) zurückgeht.


Die Wahrheitstafelmethode
Der Wahrheitswert eines komplexen Satzes hängt allein von dem Wahrheitswert seiner
Teilsätze und dem in ihm vorkommenden Junktor ab. Wir müssen nun also einfach alle
(endlich vielen) Möglichkeiten betrachten, wie der Wahrheitswert der atomaren Teilsätze
aussehen kann.


Betrachten wir den Satz:
       (1)     pqp.
Da die atomaren Teilsätze p und q jeweils die Wahrheitswerte w und f annehmen können, gibt
es vier Möglichkeiten der Wahrheitswertverteilung.
       1. Fall: p und q sind beide wahr.
       2. Fall: p ist wahr und q ist falsch.
       3. Fall: p ist falsch und q ist wahr.
       4. Fall: p und q sind beide falsch.


Das halten wir in einer Tafel fest:
       p       q
       w       w
       w       f
       f       w
       f       f
Im nächsten Schritt fügen wir alle komplexen Teilsätze ein, die aus atomaren Teilsätzen
bestehen und bewerten sie:
       p       q       pq
       w       w         w
       w       f         f
       f       w         f
       f       f         f
Im nächsten Schritt fügen wir die komplexen Teilsätze ein, die selber komplexe Teilsätze
enthalten, und wir bewerten sie. Dabei tragen wir die Wahrheitswerte unter dem herrschenden
Junktor ein.

                                                     40
       p          q     pq  p
       w          w       w    w
       w          f       f    w
       f          w       f    w
       f          f       f    w


Ergebnis: Der Satz (1) ist logisch wahr, da in allen Zeilen für die Bewertung der Subjunktion
(ihrem Wahrheitswertverlauf) der Wahrheitswert w auftritt.


Betrachten wir als weiteres Beispiel den Satz:
       (2)        (p  q)   p  q
Erster Schritt:
       p          q
       w          w
       w          f
       f          w
       f          f
Zweiter Schritt: Bewertung aller komplexen Teilsätze, die aus atomaren Sätzen bestehen.
       p          q     (p  q)   p   q
       w          w       w            f         f
       w          f       f            f         w
       f          w       w            w         f
       f          f       w            w         w
Dritter Schritt: Bewertung der nächst-komplexeren Teilsätze. (Da das Konjunktionszeichen
stärker bindet als das Subjunktionszeichen, wird also zunächst die Konjunktion „(pq)p“
bewertet.
       p          q     (p  q)   p   q
       w          w       w        f   f         f
       w          f       f        f   f         w
       f          w       w        w   w         f
       f          f       w        w   w         w
Vierter Schritt: der Wahrheitswertverlauf der Subjunktion (aus Konjunktion und Negation).




                                                     41
       p      q       (p  q)   p   q
       w      w         w       f   f    w       f
       w      f         f       f   f    w       w
       f      w         w       w   w    f       f
       f      f         w       w   w    w       w


Da sich im Wahrheitswertverlauf von (2) ein f findet, liegt keine logische Wahrheit vor,
sondern eine kontingente Wahrheit. Der Satz ist damit auch konsistent.
Betrachten wir nun den Satz:
       (3)    (pq)  q   p
Die Wahrheitstafel sieht folgendermaßen aus:
       p      q       (p  q)               q              p
       w      w         w           f        f       w        f
       w      f         f           f        w       w        f
       f      w         w           f        f       w        w
       f      f         w           w        w       w        w
Bei (3) handelt es sich also um eine Tautologie!


Mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode lassen sich die folgenden Sätze als logische Wahrheiten
beweisen:
Wenn A, B und C Sätze von AL sind, dann gilt:
1.     AL   AA                                    (Satz der Identität)
2.     AL   AA                                   (Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
3.     AL    (A   A)                            (Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch)
4.     AL   (A  A)  A                          (Satz des Clavius)
5.     AL    A  (A  B)                          (Satz des Dun Scotus)
6.     AL   ABA                                  (Satz des Petrus Hispanus)
7.     AL   AAB
8.     AL   A  B  (A  B)
9.     AL   A  (B  A)
10.    AL   ( B  A)  (A  B)
11.    AL   (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C))



                                                         42
Wenn mehr als zwei atomare Teilsätze vorkommen, wird die Sache komplizierter. Für jeden
weiteren atomaren Satz verdoppelt sich die Anzahl der Bewertungsmöglichkeiten. Wir
müssen die Zahl der Zeilen der Wahrheitstafel mit 2 multiplizieren. Bei drei Teilsätzen
ergeben sich also 2 x 2 x 2 = 23 = 8 Zeilen. (Für n atomare Teilsätze ergeben sich 2n Zeilen.)


Betrachten wir den Satz
       (4)     (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r))
Die Wahrheitstafel für (4) sieht so aus:
       p       q      r       (p  (q  r))         ((p  q)  (p  r))
       w       w      w           w    w         w     w      w    w
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(4) ist eine logische Wahrheit!


Die Wahrheitstafelmethode lässt sich ganz einfach auf die Frage anwenden, ob etwas eine
logische Folgerung ist oder nicht. Dazu muss lediglich der folgende Zusammenhang zwischen
logischer Folgerung und Subjunktion eingesehen werden, der offenkundig sehr eng ist:


Satz
Angenommen A1, ..., An und B sind Sätze von AL.
Dann gilt: A1, ..., An AL B genau dann, wenn AL A1  ...  An  B.


Beweis:
„“    Angenommen, es gilt A1, ..., An AL B.
       Angenommen V ist eine Bewertung, so dass A1 ...  An wahr ist.
       Dann ist auch jedes Ai wahr unter V.
       Wegen A1, ..., An AL B (Annahme) folgt aber per definitionem, dass auch B wahr ist
       unter V.
       Der Fall „A1 ... An wahr und B falsch“ kann nicht auftreten.

                                                       43
       Dann ist aber A1 ... An  B eine logische Wahrheit.
„“    Angenommen, es gilt AL A1  ...  An  B.
       Angenommen V ist eine beliebige Bewertung, so dass gilt: alle Ai sind wahr unter V.
       Dann ist auch die Konjunktion A1  ...  An wahr unter V.
       Da unter V auch die Subjunktion A1  ...  An  B wahr ist, muss auch B unter V
       wahr sein (nach der Definition der Subjunktion).


Merke: Wir können also überprüfen, ob eine Konklusion aus einer Reihe von Prämissen
       logisch folgt, indem wir überprüfen, ob die Subjunktion, deren Vordersatz aus der
       Konjunktion aller Prämissen besteht und deren Hintersatz aus der Konklusion besteht,
       logisch wahr ist.


Bsp.: Folgt aus „AB“ und „A“ die Konklusion „B“?
       Test: Ist „(A  B)  A  B“ logisch wahr?


       A      B       (AB)               A              B
       w      w       w             w             w
       w      f       f             f             w
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       f      f       w             f             w
Resultat: AB, A AL B.


Satz
Wenn A, B und C Sätze von AL sind, dann gilt:
1.     A B, A AL B
2.     A  B, B  C AL A  C
3.     A  B, B AL A
4.     A B, B AL  A.




                                                      44
11. Übungsteil
(a)   Welche der folgenden Aussagen sind tautologisch, kontradiktorisch oder kontingent?
      (1)      (AB)  A
      (2)      ( A  B)
      (3)     A  B   (AB)
      (4)     AB   (A  B)
      (5)     AB  (A  B)


      (ad1)
      A       B      (AB)             A
      w       w     f   w         w
      w       f     w   f         w
      f       w     w   f         w
      f       f     w   f         w
      Tautologie!


      (ad2)
      A        (A            A)
      w       f     f       w
      f       f     w       w
      Kontradiktion!


      (ad3)
      A       B     A            B            (AB)
      w       w                                 f    w        w
      w       f                                 w        f    w
      f       w                                 w        f    w
      f       f                                 w        f    w
      Tautologie!




                                                    45
      (ad4)
      A       B     A             B           (A   B)
      w       w            w               w   w        f       f
      w       f            f               w   f        w w
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      f       f            f               w   f        w       w
      Tautologie!


      (ad5)
      A       B     A             B          (A  B)
      w       w            w               w   f        w
      w       f            w               w   f        w
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      f       f            f               w   w        f
      Tautologie!


(b)   Ist die folgende Satzmenge konsistent?
      (NO)  P  O;  N;  O


      N       O     P      (NO)  P  O       N           O
      w       w     w          w   w   w       f            f
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      f       f     w          f   w   f       w            w
      f       f     f          f   f   w       w            w
      Konsistent!




                                                   46
(c)   Welche der folgenden Argumente sind deduktiv gültig (logische Folgerungen)?
      (1)     (AB)  (B  C)
              B
              Also: A C
      (2)     ((D  E)  F)  (D   F)
              DE
              EF
              Also: F  E
      (3)     G   (H  I)  (I  G)
              H  H
              Also: I  I


      (ad1)
      A       B     C        ((A  B)  (B  C))  B        (A  C)
      w       w     w          w     w     w    w     w         w
      w       w     f          w     f     f    f     w         f
      w       f     w          f     w     w    f     w         w
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      f       w     f          w     f     f    f     w         w
      f       f     w          w    w      w    f     w         w
      f       f     f          w    w      w    f     w         w
      Gültiges Argument!




                                                 47
(ad2)
D       E       F     (((DE)  F)  ( D  F))  (D  E)  (E  F)                       (F  E)
w       w       w         w    w         w f       w f              w       w       w     w    w
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Ungültig!




        (ad3)
        G       H     I       (G   ((H  I)  (I  G)))  (H   H)  (I  I)
        w       w     w            f f     w       w       w        f   f       w         w
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(d)     Formalisieren Sie die nachfolgenden Argumente und prüfen Sie auf deduktive
        Gültigkeit!
        (1)     Männer sind Schweine genau dann, wenn sie keine Gefühle haben. Wenn
                Männer keine Gefühle haben, dann fragen sie nicht nach Sonnenschein. Aber
                Männer sind keine Schweine, wenn sie nicht nach Sonnenschein fragen.
                Deshalb sind Männer keine Schweine.
                V(p) = Männer sind Schweine.
                                                               48
      V(q) = Männer haben Gefühle.
      V(r) = Männer fragen nach Sonnenschein.


      p  q
      q  r
      r  p
      Also: p
p     q      r       (p  q)  (q  r)  (r  p)          p
w     w      w         f   f     f   w f        f w f   f   w   f
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f     f      f         f   w     w w w          w w w f     w   w
Gültiges Argument!


(2)   Computer können dann und nur dann denken, wenn sie Emotionen haben
      können. Wenn Computer Emotionen haben können, dann können sie auch
      Wünsche haben. Aber Computer können nicht denken, wenn sie Wünsche
      haben. Deshalb können Computer nicht denken.
V(p) = Computer können denken.
V(q) = Computer können Emotionen haben.
V(r) = Computer können Wünsche haben.


pq
qr
r  p
Also: p




                                           49
p     q      r       (p  q)  (q  r)    (r  p)          p
w     w      w         w          w            f f    f   w   f
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f     f      f        w           w            w w    w   w   w
Gültiges Argument!




                                          50
12. Der Baumkalkül für die Aussagenlogik AL


Neben der Wahrheitstafelmethode gibt es noch andere Verfahren zur Bewertung logischer
Wahrheit in AL. Das sogenannte „Baumverfahren“ hat gegenüber der Wahrheitstafelmethode
zwei wichtige Vorzüge. Erstens kann man mit seiner Hilfe komplexe Sätze mit zahlreichen
Teilsätzen viel effizienter bewerten. Die Wahrheitstafel wird sehr schnell sehr lang. Zur
Bewertung eines Satzes mit sechs Teilsätzen brauchen wir bereits eine Tafel mit 64 Zeilen!
Zweitens lässt sich das Baumverfahren als Kalkül verstehen, d.h. wir können das Verfahren
rechnerisch nach einer feststehenden Zahl von Regeln durchführen, ohne um uns dabei um die
Bedeutung irgendwelcher Zeichen (nicht einmal der Junktoren) kümmern zu müssen. Man
nennt ein solches Verfahren auch „rein syntaktisch“, weil die semantischen Eigenschaften
(die Bedeutungseigenschaften) dabei keinerlei Rolle spielen.


Zunächst kann man das Baumverfahren jedoch anhand der Idee eines indirekten Beweises
plausibilisieren. Bei einem indirekten Beweis (der auch ‚reductio ad absurdum‘ genannt wird)
handelt es sich um einen Beweis der folgenden Form: Man geht von der Annahme aus, dass
die zu beweisende These falsch ist, und zeigt dann, dass aus dieser Annahme ein Widerspruch
folgt – d.h. ein Satz der Form (A  A). Damit ist klar (folgt logisch), dass die Negation der
zu beweisenden These nicht wahr sein kann. Die zu beweisende These muss also wahr sein.
(Allerdings wird dabei der Satz vom ausgeschlossenen Dritten vorausgesetzt, was aber in der
klassischen Logik kein Problem ist.) Es gibt neben dieser strikten Auffassung des indirekten
Beweises noch eine schwächere Auffassung, die hier allerdings nur erwähnt werden soll und
im weiteren keine Rolle spielen wird: Danach genügt es für einen indirekten Beweis bereits,
wenn aus der Annahme der Falschheit (des zu beweisenden Satzes) eine Konklusion folgt, die
von uns für falsch gehalten wird. Aus der Falschheit der Konklusion kann dann indirekt auf
die Wahrheit der Negation der Annahme geschlossen werden. Die zu beweisende These ist
dann jedoch nur unter der Annahme bewiesen worden, dass die Konklusion falsch ist. Man
hat also nur einen bedingten Beweis vorgebracht:
       Wenn nicht-T, dann K
       Nicht –K
       Also: T
Wir werden uns im Folgenden an die strengere Auffassung des indirekten Beweises halten:
       Wenn nicht-T, dann Widerspruch
       Widersprüche sind falsch
       Also: T.
                                                     51
Der Unterschied besteht darin, dass im Falle der strengeren Auffassung die Falschheit der
Konklusion nicht mit Hilfe von unabhängigen Gründen oder Argumenten gezeigt werden
muss, sondern eine logische Wahrheit ist. Beide Argumente haben allerdings die Form eines
modus tollens (lat.: tollens – „aufhebend“ – nicht-T wird aufgehoben).
       Modus tollens:
       AB
       B
       Also:  A
Der indirekte Beweis in der strengen Form eines Widerspruchsbeweises lässt sich nun auch
auf die Frage anwenden, ob ein bestimmter Satz A logisch wahr ist. Wenn ein bestimmter
Satz A logisch wahr ist, dann muss aus der Annahme seiner Falschheit (also der Wahrheit
seiner Negation) ein logischer Widerspruch folgen.
Betrachten wir ein erstes, ganz einfaches Beispiel:
(1)    pp
Wir nehmen nun an, dass es sich bei (1) nicht um eine logische Wahrheit handelt. Das
bedeutet, dass es eine Bewertung V gibt, so dass der Satz (1) falsch wird. (Das folgt aus der
Definition logischer Wahrheit) Wenn (1) relativ zur Bewertung V falsch ist, dann ist die
Negation von (1), d.h. der Satz
(1*)    (p p)
wahr relativ zu V. Wenn der Satz (1*) wahr ist relativ zu V, dann muss aber der Vordersatz
(p) wahr sein und der Hintersatz (p) falsch sein (bzgl. V). (Das ergibt sich aus der Definition
der Junktoren.) Es ergibt sich also, dass p unter V sowohl wahr als auch falsch ist, oder: dass
sowohl p als auch p unter V wahr sind. Ein solches V kann es aber nicht geben. (Vgl. auch
den Satz vom Widerspruch, der ja in AL gilt.) Wir haben einen Widerspruch abgeleitet. Es
gibt also keine mögliche Bewertung V, so dass (1*) wahr ist. Doch wenn (1*) logisch falsch
ist, dann muss (1) eine logische Wahrheit sein.


Wir können diese Überlegungen in Form eines „Baumes“ notieren:


       1.      (p  p)              (A)
       2.     p                      (1)
       3.     p                     (1)
              3x2



                                                      52
Diese Notation soll wie folgt gelesen werden: In der ersten Zeile handelt es sich um eine
Annahme „(A)“, aus der ein Widerspruch abgeleitet werden soll. Am Ende der zweiten und
dritten Zeile steht „(1)“, das bedeutet, dass diese Zeilen aus der ersten Zeile gewonnen
wurden. In Zeile zwei und drei stehen die Bedingungen, die wahr sein müssen, damit das, was
in Zeile eins steht, wahr ist. „x“ steht für Widerspruch, wobei durch die Zahlen links und
rechts angegeben wird, zwischen welchen Zeilen der Widerspruch besteht.
In unserem Beispiel handelt es sich um die einfachste Form eines Baumes, bei dem es nur
einen Zweig gibt. Da am Ende dieses einzigen Zweiges ein „x“ steht, ergibt sich aus der
Annahme ein logischer Widerspruch, d.h. (1) ist eine logische Wahrheit, was man intuitiv ja
auch schon geahnt hat.


Nun betrachten wir ein zweites Beispiel, bei dem es sich nicht um eine logische Wahrheit
handelt:
(2)     pq
Wieder verfahren wir ganz analog. Aus der Annahme, dass es sich nicht um eine logische
Wahrheit handelt, lässt sich ableiten, dass es eine Bewertung gibt, die p wahr macht und q
falsch. Doch eine solche Bewertung gibt es bestimmt. Also ist nicht gezeigt worden, dass die
Annahme, dass (2) keine logische Wahrheit ist, falsch ist. Es handelt sich bei (2) um keine
logische Wahrheit. Den zugehörigen Baum notieren wir so:
        1.     (p  q)              (A)
        2.    p                      (1)
        3.    q                     (1)
              -
Der Strich in der letzten Zeile bedeutet, dass kein Widerspruch in diesem (einzigen) Zweig
des Baumes vorliegt.


Sehen wir uns jetzt ein Beispiel für einen Baum an, in dem eine Verzweigung in zwei Äste
auftritt:
(3)     ppq
Wenn wir annehmen, dass (3) falsch sein kann, dann nehmen wir an, dass es eine Bewertung
V gibt, so dass die Negation von (3) wahr ist:
(3*)     (p  p  q)
Wenn (3*) wahr ist, dann muss ‚p‘ wahr sein und ‚pq‘ falsch sein (unter V). Notieren wir
den Baum, soweit er bislang entwickelt wurde:

                                                    53
        1.       (p  p  q)                (A)
        2.      p                            (1)
        3.      (pq)                       (1)
Der Satz in der dritten Zeile hat nun keine eindeutigen Wahrheitsbedingungen mehr. Dass
„pq“ falsch ist bzw. „(pq)“ wahr ist, kann nämlich auf verschiedene Weise realisiert
werden. Das macht eine Fallunterscheidung notwendig. Der erste Fall: ‚p‘ ist falsch (oder
p). Der zweite Fall: ‚q‘ ist falsch (oder q). Eine Konjunktion ist nämlich genau dann falsch
(oder ihre Negation wahr), wenn einer ihrer Teilsätze falsch ist, und dafür gibt es hier genau
zwei Fälle. Wir können also nur sagen, dass der erste oder der zweite Fall vorliegen muss,
damit die dritte Zeile wahr ist. Mehr lässt sich nicht sagen. Für diese beiden Fälle müssen wir
nun jeweils einen Zweig eintragen. Im Folgenden müssen beide Zweige gesondert betrachtet
werden.


1. Fall: ‚p‘ ist falsch, d.h. p (unter V)
2. Fall: ‚q‘ ist falsch, d.h. q (unter V)


Wie sieht der Baum aus?
        1.       (p  p  q)                (A)
        2.      p                            (1)
        3.      (pq)                       (1)


        4.   p         5.      q           (3)


Wir haben nun offensichtlich alles ‚ausgeschöpft‘ – alle Zeichen voll entwickelt, wie man
sagt -, was man daran sieht, dass wir in jedem Zweig nur noch einen (negierten) atomaren
Satz stehen haben und alle weiter oben stehenden Sätze vollständig ausgenutzt wurden in dem
Sinne, dass alle Konsequenzen aus ihnen abgeleitet wurden. Im linken Zweig ergibt sich ein
Widerspruch zwischen der vierten und der zweiten Zeile (in der zweiten Zeile steht ‚p‘ und in
der vierten ‚p‘.). Im rechten Zweig ergibt sich kein Widerspruch. Es kommt ‚q‘ vor, aber
weiter oben steht nirgends ein ‚q‘. Wir haben also nicht in jedem Zweig einen Widerspruch
abgeleitet. Das bedeutet, dass es eine Bewertung V gibt, so dass die erste Zeile wahr ist und
der ursprüngliche Satz (3) falsch ist. Das heißt, es handelt sich nicht um eine logische
Wahrheit.


                                                     54
Der Gesamtbaum sieht also folgendermaßen aus:


       1.       (p  p  q)                 (A)
       2.      p                             (1)
       3.      (pq)                        (1)


       4.   p        5.       q            (3)
            4X2                


Betrachten wir nun einen weiteren Satz:
(4)    (p  q)  ((q  r)  (p  r))


Hier verläuft zunächst alles wie gehabt, wobei wir zunächst die Zeile 3 weiterentwickeln,
dann die Zeile 5 – was zu folgendem Baum führt:
       1.       ((p  q)  ((q r)  (p  r)))                      (A)
       2.      pq                                                   (1)
       3.      ((q r)  (p  r))                                   (1)
       4.      qr                                                   (3)
       5.      (p  r)                                              (3)
       6.      p                                                     (5)
       7.      r                                                    (5)


Wenn wir nun die Konsequenzen von Zeile (2) weiterentwickeln, verzweigt sich der Baum
das erste Mal, da aus (p  q) nur folgt, dass  p oder q wahr ist.


       8.      p              9.    q                               (2)
               8x6


Der linke Zweig kann also mit einem „x“ geschlossen werden. Im rechten Zweig kommt es zu
einer weiteren Verzweigung, die wir aus (4) entwickeln. Aus (4) folgt nämlich q oder r.
Damit ergibt sich nun folgender Baum:




                                                      55
       1.      ((p  q)  ((q r)  (p  r)))                 (A)
       2.     pq                                              (1)
       3.     ((q r)  (p  r))                              (1)
       4.     qr                                              (3)
       5.     (p  r)                                         (3)
       6.     p                                                (5)
       7.     r                                               (5)


       8.     p             9.     q                          (2)
              8x6
                     10.     q     11.   r                    (4)
                             10x9         11x7


Damit ist gezeigt, dass alle Zweige in einen Widerspruch führen. (4) ist ein logisch wahrer
Satz bzw. eine Tautologie.


Bislang haben wir das Baumverfahren so praktiziert, dass wir versucht haben einen
Widerspruch abzuleiten. Das Verfahren lässt sich jedoch auch so verstehen, dass man nach
bestimmten Regeln vorgeht und durch ihre Anwendung zu einem „x“ kommt, ohne dabei an
die Verteilung von Wahrheitswerten zu denken. Wir haben schon des Öfteren Ableitungen
nach der Regel (NS) = (negierte Subjunktion) durchgeführt:
(NS)           (A  B)
              A
              B
Es stellt sich nun heraus, dass man in der Tat das Baumverfahren als rein syntaktisches
Verfahren (Kalkül) verwenden kann. Man wendet also lediglich ganz bestimmte Regeln auf
die Zeichen an, ohne dabei die Bedeutung und die Wahrheitswerte zu berücksichtigen. (Die
Regeln sind dabei so gewählt, dass sie sich aus den Definitionen der Junktoren ergeben.)
Insgesamt gibt es neun Regeln:




                                                   56
(DN)          A
              A
An eine Zeile, die  A enthält, darf man eine anhängen, die lediglich A enthält.
(K)           AB
              A
              B
(A)           AB


       A              B
(S)           AB


       A             B
(B)           AB


       A              A
       B              B
(NK)          (AB)


       A             B
(NA)          (AB)
              A
              B
(NS)           (A  B)
              A
              B
(NB)          (AB)


       A                     A
       B                    B




                                                     57
Dass die genannten neun Regeln geeignet sind, die logisch wahren Sätze in AL zu ermitteln,
wird durch den folgenden Satz ausgedrückt:


Satz: Baumkalkül für AL
Ein Satz in AL ist genau dann eine logische Wahrheit (Tautologie), wenn sich bei der
Entwicklung des Baumes nach den neun Regeln des Baumkalküls in jedem Zweig ein
Widerspruch ergibt (d.h. der Zweig durch ein ‚x‘ abgeschlossen wird, da in ihm ein Satz von
AL in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt).


Unser Vorgehen lässt sich noch einmal schematisch angeben:


Baumkalkül für AL:
Gegeben ein Satz aus AL.
1. Grundannahme (A): die Negation des Satzes ist wahr (1. Zeile).
2. Entwickle die 1. Zeile nach den neun Regeln (2. bis letzte Zeile, endlich viele Zweige).
3. Ergebnis: Der ursprüngliche Satz ist eine Tautologie genau dann, wenn in jedem Zweig ein
Widerspruch auftritt.


Einige Tips für die Entwicklung des Baumes:
1.     Unverzweigende Regeln zunächst anwenden!
2.     Zweige, in denen ein Widerspruch aufgetreten ist, müssen nicht weiterentwickelt
       werden.
3.     Notieren Sie die Zeilen, zwischen denen der Widerspruch auftritt (8x6).
4.     Haken Sie die Zeilen ab, die vollständig entwickelt wurden (1.)
5.     Schreiben Sie hinter die Angabe der Zeile, aus der die gegebene Zeile entwickelt
       wurde, auch die verwendete Regel.


Der Baumkalkül kann auch verwendet werden um zu prüfen, ob eine logische Folgerung
vorliegt.
Logische Folgerungen im Baumkalkül
Sind A1, ..., An-1, An Sätze der Sprache AL, dann folgt der Satz An logisch aus den Sätzen A1,
..., An-1, wenn jeder Zweig eines Wahrheitsbaumes, dessen Stamm aus den Sätzen A1, ..., An-1
und der Negation des Satzes An gebildet wird und der nur mit Hilfe der neun Regeln des
Baumkalküls entwickelt wurde, mit einem ‚x‘ abgeschlossen werden kann.

                                                      58
Ein Beispiel: Ist der folgende Schluss eine logische Folgerung?
       p  (qr)
       pq
       Also: p  r


Der zugehörige Baum sieht so aus:
       1.            p (q  r)                          A
       2.            pq                                 A
       3.            (p  r)                            A
       4.             p                                   (3)     (NS)
       5.             r                                  (3)     (NS)


       6.     p      7.     q                            (2)     (S)
              6x4
              8.      p     9.     qr                  (1)     (S)
                      8x4


                      10.    q        11.     r           (9)    (S)
                             10x7             11x5


Es liegt also eine logische Folgerung vor!!




                                                     59
14. Die Sprache der Prädikatenlogik (PL) – Einführung


Wir wollen jetzt eine weitere formale Sprache neben der der Aussagenlogik (AL) einführen,
um weitere logische Eigenschaften umgangssprachlicher Sätze erfassen zu können. Die neue
Sprache ist die Sprache der Prädikatenlogik (PL). Sie ist komplexer als die Sprache AL und
deshalb leistungsfähiger, aber dafür auch komplizierter.


Was soll die neue Formalisierung leisten bzw. was können wir mit Hilfe der AL an logischen
Eigenschaften nicht erfassen? Offenbar gibt es intuitiv gültige Argumente, deren Gültigkeit
sich durch die AL nicht darstellen lässt. Ein Beispiel:
(1)    Alle Menschen sind sterblich
       Sokrates ist ein Mensch
       Also: Sokrates ist sterblich


Wenn wir die Sätze dieses Arguments mit Hilfe der AL formalisieren, dann erhalten wir
folgende Bewertung:
       V(p) = Alle Menschen sind sterblich
       V(q) = Sokrates ist ein Mensch
       V(r) = Sokrates ist sterblich
Mit anderen Worten: wir bekommen drei atomare Sätze, die nichts miteinander zu tun haben;
deshalb lässt sich (1) in der AL nicht als gültiger Schluss verstehen. Die Form lautet:
(1‘)   p
       q
       Also: r
Wir haben also kein deduktiv gültiges Argument. Um (1) als gültiges Argument verstehen zu
können, müssen wir die atomaren Sätze „aufbrechen“ und ihre innere logische Struktur
verstehen. Das geschieht zum Beispiel, indem wir in Sätzen so etwas wie „Subjekt“ und
„Prädikat“ identifizieren und dann überprüfen, ob dasselbe Subjekt und dasselbe Prädikat in
anderen Sätzen wieder auftauchen. In unserem Beispiel ist im zweiten Satz das Subjekt
„Sokrates“, und Sokrates wird das Prädikat „ist ein Mensch“ zugeschrieben. Es wird also
einer Person eine Eigenschaft zugeschrieben.


Dasselbe Subjekt kommt nun in der Konklusion wieder vor, dort wird ihm allerdings ein
anderes    Prädikat   zugeschrieben    („ist   sterblich“).    Wir   können   also   bereits   eine
Teilformalisierung von (1) vornehmen:
                                                          60
        a:      Sokrates         (wobei „a“ ein Subjektausdruck oder eine Individuenkonstante
                                 ist)
        F:      ist ein Mensch
        G:      ist sterblich


(1‘‘)   ...
        Fa
        Also: Ga


Wir haben immer noch nicht vollständig verstanden, warum (1) gültig ist. Dazu fehlt uns
immer noch das Instrumentarium, um die erste Prämisse zu formalisieren. Aber ein erster
Schritt ist getan.


Um weiter zu kommen, müssen wir auch noch Ausdrücke wie „alle“, „einer“, „keiner“,
„manche“ usw. in unserer neuen Sprache erfassen. Ausdrücke dieser Art nennt man
‚Quantoren’. In PL stehen uns nur zwei Quantoren zur Verfügung, um alle diese Ausdrücke
zu erfassen: der „Existenzquantor“ und der „Allquantor“. In PL werden wir sehen, dass
Quantoren aus zwei Zeichen zusammengesetzt sind: dem Quantorenzeichen und einer
Individuenvariablen. Als Quantorenzeichen werden die folgenden Zeichen verwendet:
               Existenzquantorzeichen
               Allquantorzeichen
Die Einführung von Quantoren und Individuenvariablen bilden den Kern unserer neuen
Sprache PL. PL lässt sich als Erweiterung der Sprache AL verstehen.


Jetzt können wir (1) vollständig formalisieren:
(1‘‘‘) x (Fx  Gx)              (lies: Für alle x gilt, wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich)
        Fa
        Also: Ga
So lässt sich die Gültigkeit des Argumentes zumindest erahnen. Um sie beweisen zu können,
müssen wir noch genauer verstehen, wie die Semantik quantifizierter Aussagen wie der ersten
Prämisse aussieht. Das wird in der Folge ausführlich erklärt werden.


Von der Prädikatenlogik sollen neben der Subjekt-Prädikatstruktur und der Quantifikation
auch Relationen erfasst werden. Im folgenden Satz wird intuitiv das Vorliegen einer Relation
zwischen zwei Gegenständen ausgedrückt:
                                                          61
(2)    4 ist größer als 2
Hier taucht das Relationszeichen „_ ist größer als _“ auf, das links und rechts noch einen
Namen erfordert, um einen vollständigen Satz zu ergeben. Da hier nur zwei Gegenstände im
Spiel sind, spricht man von einer ‚zweistelligen Relation‘. Es gibt auch dreistellige,
vierstellige,..., n-stellige Relationen. (2) wird also folgendermaßen formalisiert:
       a:      4
       b:      2
       F2xy: x ist größer als y       (die hochgestellte Zahl hinter F indiziert die
                                      Zweistelligkeit)
         2
(2‘)   F ab




                                                         62
15. Prädikatenlogik: die Syntax
Analog zur AL müssen wir zwei Fragen beantworten:
       1. Aus welchen Grundzeichen sind die Sätze von PL aufgebaut?
       2. Wie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze von PL?


Zunächst zu den Grundzeichen von PL:


Die Grundzeichen von PL
1.     deskriptive Zeichen:
1.1.   Individuenkonstanten (Namen):
       a1, a2, a3 ... (oder: a, b, c, ...)
1.2.   Prädikatsbuchstaben
       1-stellige: F1, G1, H1...
       2-stellige: R2, S2, S2 ...
       3-stellige:


2.     logische Zeichen
2.1.   Junktoren: , , , , 
2.2.   Quantorenzeichen:  (Allquantorzeichen),  (Existenzquantorzeichen)
2.3.   Individuenvariablen: x1, x2, x3 .... (oder: x, y, z ...)


3.     Hilfszeichen:
       Klammern: (, )


Wie baut man nun aus diesen Grundzeichen Sätze von PL auf? Zunächst eine informelle
Beschreibung der Bildungsregeln:


1. Atomare Sätze:
sie werden aus Individuenkonstanten (Namen) und Prädikaten gebildet:
Bsp.: Fa                 Rab                 F4a1a2a3a4


2. Komplexe Sätze:
Diese Sätze werden durch die Anwendung der Junktoren auf die atomaren Sätze gewonnen.
Bsp:   Fa               Rab  Tba

                                                           63
3. Quantifizierte Sätze:
Im ersten Schritt bilden wir Satzfunktionen: Durch Ersetzen eines oder mehrerer
Vorkommnisse von Individuenkonstanten durch Variablen in Sätzen (atomare, komplexe oder
quantifizierte) erhält man Satzfunktionen.
Bsp:   Fa       wird zu      Fx
         2
       F ab     wird zu      F2ax
                             F2yx
                             F2xx


Im zweiten Schritt bilden wir dann quantifizierte Sätze:
Wir bilden aus einer Satzfunktion durch Voranstellen eines Quantors mit derselben
Individuenvariablen einen quantifizierten Satz (wenn nur diese eine Individuenvariable in der
Satzfunktion frei war – in einem quantifizierten Satz müssen alle Variablen gebunden sein!)
Bsp.: xFx
       xF2ax
       xyF2xy
Negativbsp.:
       xFyx          (kein vollständiger Satz, da eine Variable frei bleibt!)


Für die genauere Definition des Satzaufbaus in PL benötigen wir noch einige zusätzliche
Begriffe:
Definition: Bereich (Skopus) eines Quantors
Der Bereich eines Quantors ist die Satzfunktion, die unmittelbar auf den Quantor folgt.


Definition: gebundenes Vorkommnis, freies Vorkommnis einer Individuenvariablen
Wenn A eine Satzfunktion ist, in der die Variable  vorkommt, dann gilt:
Ein Token (Vorkommnis) von  in A ist gebunden genau dann, wenn es in einem Quantor
oder im Bereich eines Quantors mit derselben Variablen vorkommt.
Ein Token von  in A ist frei gdw es nicht gebunden ist.


Beispiele:
(1)    x(FxGx)                     alle Vorkommnisse von ‚x‘ sind gebunden
(2)    yF2ay                        alle Vorkommnisse von ‚y‘ sind gebunden


                                                      64
(3)        (xFx  Gx)                 die ersten beiden Vorkommnisse von ‚x‘ sind gebunden,
                                       das dritte ist frei (kein Satz von PL)
(4)        x (Fx  Gx)                alle drei Vorkommnisse von ‚x‘ gebunden


In (3) hat der Allquantor einen engen Skopus, in (4) einen weiten Skopus.


Definition: gebundene Variable, freie Variable
Eine Variable  kommt in einer Satzfunktion A genau dann gebunden vor, wenn wenigstens
ein Token von  in A gebunden ist.
Eine Variable  kommt in einer Satzfunktion frei vor genau dann, wenn wenigstens ein
Token von  in A frei ist.


Deshalb kann eine Variable in einem Satz sowohl gebunden als auch frei vorkommen.


Somit lässt sich jetzt genauer sagen, wie Sätze in PL aus den Grundzeichen gebildet werden:


Satzfunktion
A ist eine Satzfunktion der Sprache PL genau dann, wenn A eine der folgenden Bedingungen
erfüllt:
(i)        A ist eine atomare Satzfunktion: A ist gleich n 1 ...n, wo n eine n-stellige
           Prädikatskonstante   von   PL      und   1   ...n   n   Individuenkonstanten   oder
           Individuenvariablen von PL sind;
(ii)       A ist eine komplexe Satzfunktion: B und C sind Satzfunktionen von PL, und A ist
           gleich B, (BC), (BC), (BC) oder (BC);
(iii)      A ist eine quantifizierte Satzfunktion: A ist gleich B oder B, wo B eine
           Satzfunktion von PL ist und  eine Individuenvariable von PL ist, die in B frei
           vorkommt.


Satz
A ist genau dann ein Satz von PL, wenn A eine Satzfunktion von PL ist, in der keine Variable
frei vorkommt.




                                                         65
Beispiele für Satzfunktionen
(1)     G1a
(2)     (FaGb)
(3)     F2xy
(4)     (H1a  F2xy)
(5)     yGy, yG2ay
(6)     zF2zb
(7)     (zF2za  yG1y)
(8)     xy (F2xy  F2yx)
(9)     zF2zy


Davon sind Beispiele für Sätze:
(1), (2), (5), (6), (7), (8)
Keine Sätze von PL sind:
(3), (4), (9)


Keine Satzfunktionen sind die folgenden Zeichenkombinationen:
(10)    F2a
(11)    abx
(12)    aF1a
(13)    F1(F1a)


Im Übrigen gelten dieselben Klammerersparnisregeln wie in AL.


Ersetzung:
Definition:
Seien  und  Individuenvariablen sowie  und  Individuenkonstanten. A sei eine
Satzfunktion. Dann bezeichnen die folgenden Ausdrücke links die durch die rechts
angegebenen Ersetzungen entstehenden Satzfunktionen:
A            alle freien Token von  durch  ersetzt
A            alle freien Token von  durch  ersetzt
A            alle Token von  durch  ersetzt




                                                           66
16. Prädikatenlogik: Semantik


In der Semantik der Prädikatenlogik wenden wir uns der Frage zu, was die Zeichen von PL
bedeuten und wann die Sätze von PL wahr sind. Das ist etwas schwieriger als in der
Aussagenlogik, da wir ja in die Binnenstruktur von Sätzen hineingegangen sind und uns
deshalb nicht mehr damit begnügen können, den Sätzen Wahrheitswerte zuzuweisen. Wir
müssen auch sagen, was die Ausdrücke unterhalb der Satzebene bedeuten. Die Bedeutung der
deskriptiven Zeichen wird dabei durch die Interpretation I festgelegt. Sie nimmt in der PL
eine analoge Rolle zu dem ein, was in AL die Bewertung V geleistet hat.


Interpretationen


Der Semantik von PL liegen im Wesentlichen zwei Ideen zugrunde:
1. Die Grundidee, dass durch eine Interpretation den verschiedenen (syntaktischen) Arten von
Ausdrücken verschiedene ganz bestimmte Arten von Entitäten zugeordnet werden sollen –
und    zwar      den   Individuenkonstanten     einzelne    Gegenstände,   den   einstelligen
Prädikatsbuchstaben Eigenschaften und den mehrstelligen Prädikatsbuchstaben Relationen.
2. Die Grundidee der Extensionalität: Wir beschreiben diese verschiedenen Arten von
Entitäten (einzelne Gegenstände, Eigenschaften, Relationen) nur über ihre Extension (ihren
Umfang), d.h. Mengen von einzelnen Gegenständen, die unter sie fallen.


1. Grundidee
Interpretation
Zu jeder Interpretation gehört:
1. Ein Bereich D (domain) von Gegenständen
2. Eine Zuordnung V:


       Individuenkonstanten                  Elemente von D (Gegenstände des Diskurses)
       1-stellige Prädikatsbuchst.           Eigenschaften bzgl. D
       mehrstellige Präd.buchst.             Relationen bzgl. D




                                                      67
Bem. zu Individuenkonstanten und Bereich D
Was sollen die deskriptiven Zeichen grob gesprochen bedeuten? Beginnen wir mit den
Individuenkonstanten.   Die   Individuenkonstanten        sollen   Individuen,   also   einzelne
Gegenstände bezeichnen. Als solche „Gegenstände“ kommen ganz verschiedene Dinge in
Frage: Es können abstrakte Gegenstände wie Zahlen oder Mengen sein, konkrete
Gegenstände wie Tische, Häuser und Planeten oder auch Personen. Jede Interpretation sollte
den Individuenkonstanten Gegenstände zuweisen, also jeder Individuenkonstante genau einen
Gegenstand. Dabei muss aber noch festgelegt werden, welche Gegenstände überhaupt in
Frage kommen. Also müssen wir einen Grundbereich von Gegenständen festlegen, dessen
Elemente als Kandidaten für die Zuweisung zu Individuenkonstanten betrachtet werden
können. Dieser Grundbereich – oder kurz: Bereich – kann dann zugleich als das gelten,
worauf sich die Quantoren beziehen. Denn wenn wir „für alle“ oder „etwas“ sagen, dann
meinen wir ja eine bestimmte Menge von Gegenständen, über die wir sprechen wollen. „Alle
x“ soll eben über einen bestimmten Bereich von Gegenständen rangieren. Wenn das, was von
allen x ausgesagt wird, auf jeden dieser Gegenstände zutrifft, dann ist die Allaussage wahr
bezüglich dieses Bereichs von Gegenständen. (Da wir letztlich vor allem wieder die logische
Wahrheit von Sätzen überprüfen wollen, müssen wir alle verschiedenen Interpretationen
betrachten und ‚durchlaufen‘ lassen. Das bedeutet dann auch, dass wir die verschiedensten
Bereiche von Gegenständen betrachten müssen. Wir müssen die Sätze somit auf ihre
Wahrheit bezüglich aller verschiedener Bereiche von Gegenständen überprüfen.)


2. Grundidee: extensionale Beschreibungsweise


Bem. zu einstelligen Prädikatsbuchstaben
Was ist mit den Prädikatsbuchstaben? Intuitiv gesprochen sollen sie ja für Eigenschaften und
Relationen stehen. Für jeden Prädikatsbuchstaben möchten wir also eine Angabe derjenigen
Eigenschaft bzw. Relation bekommen, die er ‚bedeutet‘. Wie beschreiben wir das aber
formal? Hier hat sich die sogenannte ‚extensionale‘ Beschreibungsweise durchgesetzt. Eine
Eigenschaft wird im Rahmen einer extensionalen Beschreibungsweise schlichtweg
gleichgesetzt mit einer bestimmten Menge. Welcher Menge? – Intuitiv gesprochen natürlich
genau der Menge derjenigen Gegenstände, die die betreffende Eigenschaft besitzen. Eine
Interpretation sollte also für jeden einstelligen Prädikatsbuchstaben genau eine Menge von
Gegenständen angeben, die Menge von Gegenständen, die von dem Prädikat – in dieser
Interpretation – bezeichnet wird. Als Elemente dieser Menge kommen dabei wiederum die
Gegenstände aus dem jeweiligen Bereich in Frage. (Wenn wir später wieder verschiedene
                                                     68
Interpretationen ‚durchlaufen‘ lassen – variieren -, dann variieren wir die Mengen, die einem
bestimmten Prädikat zugeordnet werden über alle Teilmengen dieses Bereichs.)


Bem. zu mehrstelligen Prädikatsbuchstaben
Wie steht es mit mehrstelligen Prädikatsbuchstaben, die für Relationen stehen sollen? Hier
benutzen wir einen technischen Trick: Relationen zwischen zwei Gegenständen – x und y –
lassen sich extensional ganz analog behandeln, indem man ihre Extension als n-Tupel von
Gegenständen auffasst. Einem n-stelligen Prädikat wird wiederum eine Menge zugewiesen,
aber diesmal keine Menge von Gegenständen, sondern eine Menge von n-Tupeln von
Gegenständen. Ein n-Tupel ist dabei ganz einfach eine nach einer Reihenfolge geordnete
Menge von Gegenständen. Wenn zum Beispiel zu unserem Bereich Hans und Helga gehören,
dann können wir das geordnete Paar bilden, das an erster Stelle Helga und an zweiter Stelle
Hans hat. Wir schreiben dafür:
Hans, Helga
Dies ist dann ein 2-Tupel. Es ist verschieden von dem 2-Tupel Helga, Hans, da in diesem
die Reihenfolge umgekehrt ist. n-Tupel sind also geordnete Mengen, Mengen von
Gegenständen, die in eine bestimmte Anordnung oder Reihenfolge gebracht worden sind.
(Durch die Ordnung werden wir natürlich der Tatsache gerecht, dass Relationen gerichtet,
oder wie man auch sagt: asymmetrisch, sein können.) Wenn auch noch Michael zu unserem
Bereich gehört, dann ist
Hans, Michael, Helga
z.B. das geordnete 3-Tupel, an dessen erster Stelle Hans, an dessen zweiter Stelle Michael
und an dessen dritter Stelle Helga steht. Und analog lassen sich noch längere Tupel, eben n-
Tupel, wobei n eine natürliche Zahl ist, bilden. Eine Relation, z.B. die zweistellige Relation,
die von ‚x ist größer als y‘ bezeichnet wird, wird nun identifiziert mit der Menge von 2-
Tupeln, die jeweils in der angegebenen Reihenfolge in der betreffenden Relation zueinander
stehen. Das Prädikat ‚x ist größer als y‘ bekommt somit die Menge derjenigen 2-Tupel x, y
zugewiesen, für die gilt, dass x größer als y ist. Wenn unser Bereich Hans, Helga und Michael
umfasst, dann könnte diese Menge z.B. aus den Paaren
Hans, Helga, Helga, Michael, Hans, Michael
bestehen. D.h. die Interpretation I würde dem Prädikat ‚Rxy‘ (für ‚ x ist größer als y‘) die
Menge
Hans, Helga, Helga, Michael, Hans, Michael
zuweisen.

                                                     69
Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze


Die richtige Festlegung der Wahrheit von quantifizierten Sätzen bzgl. einer Interpretation I
kann man sich intuitiv anhand der folgenden Beobachtungen plausibilisieren:


Beispiel:          (2) x Rxc


Beobachtungen:
B1         (2) ist wahr in I gdw
           Für alle Elemente x  D ist das Tupel x, Michael in der Menge V(R) =
           Hans, Helga, Helga, Michael, Hans, Michael enthalten.


B2         (2) ist wahr in I gdw
           Die Tupel Hans, Michael, Helga, Michael und Michael, Michael sind in der
           Menge V(R) = Hans, Helga, Helga, Michael, Hans, Michael enthalten.


B3         (2) ist wahr in I gdw
           Jede Interpretation I‘, die sich von I höchstens in dem Gegenstand unterscheidet, den
           sie dem Namen ‚a‘ zuordnet, macht den aus (2) durch Streichen des Quantors und
           Einsetzen von ‚a‘ für die Variable ‚x‘ gewonnenen Satz
           (2‘)    Rac
           wahr.


Intuitiv tun wir das Folgende: Wir wandeln die Wahrheit eines quantifizierten Satzes in I um
in die Wahrheit eines nichtquantifizierten Satzes bzgl. geeigneter Alternativ-Interpretationen
I‘ zu I.


Für eine präzisere Definition benötigen wir den Begriff einer -Variante:




                                                        70
Definition: -Variante der Interpretation I
Seien I = D, V und I‘ = D‘, V‘ Interpretationen und  eine Individuenkonstante von PL.
Dann ist I‘ eine -Variante von I gdw I‘ sich von I höchstens bezüglich der Interpretation von
 unterscheidet, d.h. gdw. gilt:
       (a)       D = D‘
       (b)       V‘ ordnet allen Prädikatsbuchstaben dieselben Werte zu wie V und
       (c)       V‘ ordnet allen Individuenkonstanten – außer möglicherweise  - dieselben
       Werte zu wie V.
Schreibe: I‘ = I


Damit können wir die Beobachtungen für das vorliegende Beispiel fortsetzen:
B4     (2) ist wahr gdw
       Jede a-Variante I‘ von I macht den Satz
       (2‘) Rac
       wahr.


Oder
B5     (2) ist wahr in I gdw
       Jede a-Variante I‘ von I macht den Satz
       Rxcax
       wahr (wobei ‚a‘ in (2) nicht vorkommt).
Der Zusatz „wobei ‚a‘ in (2) nicht vorkommt“ ist wichtig, da die Einführung einer
Individuenkonstante , die in dem betrachteten Satz bereits vorkommt, dazu führen würde,
dass die Referenten von Ausdrücken (bei der Variation der -Variante) mitvariieren würden,
die eigentlich konstant gehalten werden sollen – was unerwünschte ‚zusätzliche
Quantifikationen‘ bedeuten würde.


Allgemeiner lauten somit die Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze:


      Ein Satz der Form A ist genau dann wahr in I, wenn der Satz A
       wahr ist in jeder _variante I‘ von I, wobei  eine Individuenkonstante ist, die in A nicht
       vorkommt.
      Ein Satz der Form A ist genau dann wahr in I, wenn der Satz A

                                                       71
         wahr ist in mindestens einer -Variante I‘ von I, wobei  eine Individuenkonstante ist,
         die in A nicht vorkommt.


Alle Wahrheitsbedingungen im Überblick:


Definition: Wahrheitsbedingungen bzgl. einer Interpretation I
Sei I = D, V eine Interpretation der Sprache PL.
Dann ist ein Satz A von PL wahr bzgl. I genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen
erfüllt ist:
(i)      (atomarer Satz) A hat die Form n1...n und V(1), ..., V(n)   V (n), wo i
         Individuenkonstanten von PL sind;
(ii)     (Negation) A hat die Form B und B ist falsch bzgl. von I;
(iii)    (Konjunktion) A hat die Form (BC) und sowohl B als auch C ist wahr bzgl. I;
(iv)     (Adjunktion) A hat die Form (BC) und von B und C ist mindestens eines wahr bzgl.
         I;
(v)      (Subjunktion) A hat die Form (BC) und es ist nicht der Fall, dass B wahr und C
         falsch ist;
(vi)     (Bisubjunktion) A hat die Form (BC) und B und C sind beide wahr oder beide
         falsch bzgl. I;


(vii)    (Allsatz) A hat die Form B, wo B eine Satzfunktion ist, in der nur die Variable 
         frei ist, und B ist wahr bzgl. jeder -Variante I‘ von I, wo  eine
         Individuenkonstante ist, die in B nicht vorkommt.
(vii)    (Existenzsatz) A hat die Form B, wo B eine Satzfunktion ist, in der nur die Variable
          frei ist, und B ist wahr bzgl. mindestens einer -Variante I‘ von I, wo  eine
         Individuenkonstante ist, die in B nicht vorkommt.


Beispiel:
Sei unsere Interpretation I1 folgendermaßen festgelegt:
D1 =     1, 2, 3, 4
V1:      V(a) = 1;
         V(b) = 2;
         V(c) = 3
         V(d) = 4;
                                                       72
       V(F) = x  Dx ist gerade;
       V(G) = x  D x hat nicht die Zahl 10 als Teiler;
       V(R) = x, y, x, y  D x ist größer oder gleich y;
       Beliebig für den Rest.
Dann sind folgende Sätze wahr in I1:
(1)    Fb
(2)    Rcc
(3)    xGx
(4)    xRax




                                                    73
17. Übersetzung umgangssprachlicher Sätze in PL
Schema: Zu einer Übersetzung eines umgangssprachlichen Satzes A in einen formalen Satz
A‘ der Sprache PL gehört:
(i)     die Angabe des Satzes A‘ in PL;
(ii)    die Angabe des Bereichs D und
(iii)   die Angabe der Gegenstände aus D, die V den Individuenkonstanten und
        Prädikatsbuchstaben zuordnet.


ATOMARE SÄTZE
(1)     Hans ist blond.
(1‘)    F1a
        D = die Menge aller Menschen;
        V(a) = Hans;
        V(F1) = xx ist ein blonder Mensch


(2)     Hans ist der Bruder von Klaus.
(2‘)    F2ab
        D = die Menge aller Menschen;
        V(a) = Hans; V(b) = Klaus;
        V(F2) = x, yx ist ein Bruder von y
Alternativen, die genauso adäquat sind:
(2‘‘)   F1a
        D = die Menge aller Menschen;
        V(a) = Hans;
        V(F1) = xx ist ein Bruder von Klaus
Oder:
(2‘‘‘) F1a
        D = die Menge aller Menschen;
        V(a) = Klaus;
        V(F1) = xx ist ein Bruder von Hans
(2‘), (2‘‘) und (2‘‘‘) haben dieselben Wahrheitsbedingungen, aber (2‘) ist die natürliche
Übersetzung, da sie die logische Struktur vollständig transparent macht.


(3)     Kiel liegt zwischen Flensburg und Hamburg.
(3‘)    F3abc
                                                     74
         D = die Menge aller Städte;
         V(a) = Kiel, V(b) = Flensburg; V(c) = Hamburg;
         V(F3) = x, y, zx liegt zwischen y und z


KOMPLEXE SÄTZE
Werden ganz analog zu den Übersetzungshinweisen von AL übersetzt. (Siehe dort!)


Wir können jetzt endlich den Satz
(1)      Hans und Gerda sind befreundet.
adäquat übersetzen. Im Rahmen von AL lässt sich (1) nur als Konjunktion verstehen (dann
wird gesagt, dass Hans irgendeinen Freund hat und Gerda irgendeinen Freund hat) oder (1)
muss als atomarer Satz verstanden werden. PL kann den natürlichen Sinn von (1) erfassen
(wonach Hans und Gerda miteinander befreundet sind). Dann kann (1) jedoch nicht (!) als
Konjunktion verstanden werden:
(1‘)     F2ab
         D = die Menge aller Menschen;
         V(a) = Hans; V(b) = Gerda;
         V(F2) = x, yx ist befreundet mit y


QUANTIFIZIERTE SÄTZE
Die Übersetzung umgangssprachlicher Sätze, die Ausdrücke wie „alle“, „jeder“, „es gibt“,
„ein“ oder „kein“ enthalten, ist schwieriger. Auch wenn die deutsche Sprache quantifizierende
Ausdrücke enthält, so verfügt sie nicht über Individuenvariablen. Deshalb gibt es mitunter
starke    Abweichungen      der   Formalisierung      von    der   grammatischen   Struktur   der
umgangssprachlichen Sätze.


(1)      Alle Menschen sind sterblich
(1‘)     xF1x
         D = die Menge aller Menschen;
         V(F1) = xx ist sterblich


(2)      Es gibt jemanden, der größer als Hans ist.
(2‘)     xF2xa
         D = die Menge aller Menschen;

                                                        75
         V(a) = Hans
         V(F2) = x, yx ist größer als y


Was ist der Unterschied zwischen den beiden folgenden Formalisierungen?
(3‘)     xF1x
(4‘)     xF1x
Sie sind auf jeden Fall nicht äquivalent.
Das lässt sich unter der Zugrundelegung folgender Interpretation I zeigen:
D = die Menge aller Menschen
V(F1) = xx ist vollkommen
Dann lautet die umgangssprachliche Übersetzung von (3‘)
(3)      Nicht alle Menschen sind vollkommen.
Während die Übersetzung von (4‘) lautet:
(4)      Alle Menschen sind unvollkommen
bzw.     Kein Mensch ist vollkommen.


Es kommt also sehr darauf an, ob die Negation (der Junktor) vor oder hinter dem Quantor
steht!


In umgangssprachlichen Sätzen mit quantifizierenden Ausdrücken beziehen sich diese nicht
immer auf alle Gegenstände des relevanten Bereichs, sondern oft nur auf Teilbereiche. Das
muss in der Formalisierung in PL korrigiert werden.


(5)      Alle geraden Zahlen sind größer als 3.             f
(6)      Einige gerade Zahlen sind größer als 3.            w
(7)      Keine gerade Zahl ist durch 3 teilbar.             f
(8)      Einige gerade Zahlen sind nicht durch 3 teilbar.   w


Deshalb sind die folgenden Übersetzungsvorschläge falsch:
(5a‘)    xF2xa
         D = die Menge der geraden Zahlen;
         V(a) = 3
         V(F2) = x, yx ist größer als y
(6a‘)    xF2xa

                                                       76
        Dieselbe Interpretation wie unter (5a‘)
(7a‘)   xF2xa
        D = Menge der geraden Zahlen;
        V(a) = 3
        V(F2) = x, yx ist durch y teilbar
(8a‘)   xF2xa
        Dieselbe Interpretation wie unter (7a‘)


Fehler:
Die Funktion V muss allen Individuenkonstanten Gegenstände zuordnen, die zum Bereich D
gehören. Die Zahl 3 gehört aber nicht zur Menge der geraden Zahlen. Deshalb muss der
Bereich die ungeraden Zahlen mit umfassen. Eine bessere Wahl ist der Bereich der
natürlichen Zahlen!


Die Erweiterung des Bereiches (D) der gewählten Interpretation hat aber Auswirkungen auf
die Übersetzung der Sätze (5) – (8), denn die jeweiligen Beschränkungen der Aussagen auf
den Teilbereich der geraden Zahlen muss durch ein zusätzliches Prädikat erfasst werden.
Dadurch verändert sich auch die Struktur des formalisierten Satzes (im Vergleich zu (5a) –
(8a)). Diese veränderte Struktur kann man durch geeignete Paraphrasen ((5b) – (8b)) sichtbar
machen. Die richtigen Formalisierungen sind dann (5’) – (8’). Sie sind aus den
paraphrasierten Sätzen relativ leicht abzulesen:


        (5)      Alle geraden Zahlen sind größer als 3.
(5) hat die gleichen Wahrheitsbedingungen wie
        (5b)     Wenn eine natürliche Zahl gerade ist, dann ist sie größer als 3.


        (5‘)     x (F1x  F2xa)
        D = Menge der natürlichen Zahlen
        V(a) = 3
        V(F1) = xx ist eine gerade Zahl
        V(F2) = x, yx ist größer als y


        (6)      Einige gerade Zahlen sind größer als 3.
(6) hat die gleichen Wahrheitsbedingungen wie
                                                          77
       (6a)    Mindestens eine gerade Zahl ist größer als 3.
       (6‘)    x(F1x  F2xa)
       D = Menge der natürlichen Zahlen
       V(a) = 3
       V(F1) = xx ist eine gerade Zahl
       V(F2) = x, yx ist größer als y


Frage: Warum wird in dieser Formalisierung die Konjunktion verwendet und nicht die
       Subjunktion wie in (5‘)?
       Alternativer Vorschlag würde also lauten:
       (6‘‘)   x (F1x  F2xa)
Antwort: (6‘‘) ist viel zu schwach, um die Bedeutung von (6) wiederzugeben. Dieser Satz ist
       bereits wahr, wenn wenigstens eine natürliche Zahl nicht gerade ist oder wenigstens
       eine natürliche Zahl größer als 3 ist. Deshalb kommt (6‘‘) als Übersetzung von (6)
       nicht in Frage.


       (7)     Keine gerade Zahl ist durch 3 teilbar.
(7) hat dieselben Wahrheitsbedingungen wie
       (7a)    Wenn eine natürliche Zahl gerade ist, dann ist sie nicht durch 3 teilbar.


       (7‘)    x (F1x  F2xa)
       D = die Menge der natürlichen Zahlen
       V(a) = 3
       V(F1) = xx ist eine gerade Zahl
       V(F2) = x, yx ist durch y teilbar


Aber (7) hat auch dieselben Wahrheitsbedingungen wie
       (7b)    Es gibt keine gerade Zahl, die durch 3 teilbar ist
       bzw.    Es ist nicht der Fall, dass es eine gerade Zahl gibt, die durch 3 teilbar ist.


       (7‘‘)   x(F1x  F2xa)
       mit derselben Interpretation wie (7‘)




                                                        78
(7‘) und (7‘‘) sind als Übersetzungen von (7) gleich gut geeignet, weil sie dieselben
Wahrheitsbedingungen haben.


        (8)     Einige gerade Zahlen sind nicht durch 3 teilbar.
(8) hat dieselben Wahrheitsbedingungen wie:
        (8a)    Es gibt wenigstens eine gerade Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist.


        (8‘)    x (F1x  F2xa)
        Interpretation wie unter (7‘)
        Oder:
        (8‘‘)   x (F1x  F2xa)


Mehrfache Quantifikation
Die    Formalisierung    ermöglicht     eine   relativ   einfache   Rekonstruktion      schwieriger
umgangssprachlicher Formulierungen (weil die Individuenvariable fehlt).
(9)     Sind zwei Dinge einem dritten gleich, so sind sie auch untereinander gleich.
(9‘)    xyz (F2xz  F2yz  F2xy)
        D = die Menge der natürlichen Zahlen;
        V(F2) = x, yx ist gleich y


Mehrfache, gemischte Quantifikation
Beachte: Hier ist die Reihenfolge von entscheidender Bedeutung!


Beispiel:
(10‘) xyF2xy
(11‘) yxF2xy
        D = Menge aller natürlichen Zahlen
        V(F2) = x, y x ist größer als y
(10)    Es gibt eine natürliche Zahl, die größer als alle natürlichen Zahlen ist. (f)
(11)    Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die größer ist als sie. (w)


Mehrfach quantifizierte Sätze, die sich nur auf Elemente eines Teilbereichs beziehen
Merke: Der Teilbereich, über dessen Elemente etwas ausgesagt werden soll, wird im Fall von
        Allquantoren im Vorderglied einer Subjunktion kenntlich gemacht und im Fall von

                                                         79
        Existenzquantoren im ersten Glied einer Konjunktion (wobei im letzteren Fall die
        Reihenfolge der Konjunktionsglieder auch vertauscht werden kann)!
Bsp.:
(12)    Alle Schweden haben einen Vater.
(12‘) x(F1x yF2yx)
        D = Menge aller Menschen
        V(F1) = xx ist ein Schwede
        V(F2) = x, yx ist der Vater von y


(13)    Jemand liebt alle Hunde.
(13‘) x(F1x y(G1yF2xy))
        D = die Menge der Lebewesen
        V(F1) = xx ist ein Mensch
        V(G1) = xx ist ein Hund
        V(F2) = x, yx liebt y


Im Unterschied dazu:
(14)    Jeder Hund wird von einem Menschen geliebt.
(14‘) y(G1y  x(F1x F2xy)
        mit derselben Interpretation wie (13‘)


Einige Übungsbeispiele
(15)    Hans liebt alle Menschen.
        D = Menge aller Menschen
        V(a) = Hans
        V (F2) = x, yx liebt y
(15‘) xF2ax


(16)    Alle Menschen lieben Hans.
        Interpretation wie (15‘)
(16‘) xF2xa


(17)    Es ist nicht alles Gold, was glänzt.
        D = die Menge aller materiellen Dinge
                                                   80
       V(F1) = xx glänzt
       V(G1) = xx ist Gold
(17‘) x (F1x  G1x)


(18)   Jeder mag kleine Hunde.
       D = die Menge aller Lebewesen
       V(F1) = xx ist ein Mensch
       V(G1) = xx ist ein Hund
       V(H1) = xx ist klein
       V(F2) = x, yx mag y
(18‘) x(F1x  y(G1y  H1y  F2xy))




(19)   Jeder kennt alle seine Freunde
       D = die Menge aller Menschen
       V(F2) = x, yx ist mit y befreundet
       V(G2) = x, yx kennt y
(19‘) xy(F2xy  G2xy)


(20)   Jede Primzahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar.
       D = Menge aller natürlichen Zahlen
       V(a) = 1
       V(F1) = xx ist eine Primzahl
       V(F2) = x, yx ist durch y teilbar
(20‘) x(F1x  F2xa  F2xx)


(21)   Jede Primzahl größer als 2 ist ungerade.
       D = Menge der natürlichen Zahlen
       V(a) = 2
       V(F1) = xx ist eine Primzahl
       V(G1) = xx ist ungerade
       V(F2) = x, y x ist größer als y
(21‘) x(F1x  F2xa G1x)

                                                      81
(22)   Hans ist Eigentümer eines Hauses, um das ihn alle seine Nachbarn beneiden.
       D = Menge aller Menschen und aller materiellen Gegenstände
       V(a) = Hans
       V(F1) = xx ist ein Haus
       V(F2) = x, y x ist Eigentümer von y
       V(G2) = x, y x ist ein Nachbar von y
       V(F3) = x, y, z x beneidet y um z
(22‘) x(F1x  F2ax  y(G2ya  F3yax))




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