BLOCKING AND CONFOUNDING IN THE 2k FACTORIAL DESIGN

Document Sample
BLOCKING AND CONFOUNDING IN THE 2k FACTORIAL DESIGN Powered By Docstoc
					BLOCKING AND CONFOUNDING IN THE 2k FACTORIAL DESIGN

 Oleh :

 Muhammad Ghazali     (1311.201.006)

 Adiba                (1311.201.022)

 Feni Ira Puspita     (1311.201.027)



 Dosen Pengajar :

 Dr. Sutikno




 JURUSAN STATISTIKA
 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
 INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
 SURABAYA
 2011
           BLOCKING AND CONFOUNDING IN THE 2k FACTORIAL DESIGN

                                 M.Ghazali1 Adiba2 Feni Ira Puspita3
                     1,2,3
                             Mahasiswa Pasca Sarjana Statistika ITS Surabaya
                                                 2011



                                              ABSTRAK

       Rancangan percobaan faktorial 2k dapat dilakukan secara lengkap apabila keadaannya
homogen. Jika kondisi tidak memungkinkan untuk melakukan semua kemungkinan perlakuan
misalnya adanya keterbatasan biaya, bahan, dan alat maka dibutukan metode yang lebih baik pada
rancangan awal faktorial. Percobaan yang menggunakan satu kali pengulangan dengan kondisi yang
memungkinkan dapat digunakan metode pengelompokan (blocking). Apabila keadaan tidak
memungkinkan untuk dilakukan satu pengulangan secara lengkap dalam satu blok maka dapat
dilakukan metode pembauran (confounding). Terdapat tiga metode penyusunan pembauran
(confounding) yaitu dengan Plus Minus (Plus Minus Methods), Kombinasi Linear (Linear Combination)
dan the group-theoretic of principal block .

Kata-kata kunci : rancangan faktorial 2k, metode pengelompokan (blocking), metode plus minus,
                    kombinasi linear, the group-theoretic of principal block

1. Pengelompokan Rancangan Faktorial dengan Pengulangan

      Peneliti seringkali dihadapkan pada keadaan yang tidak memungkinkan untuk
melakukan percobaan rancangan faktorial 2k pada kondisi yang homogen.
Ketidakhomogenan ini dapat terjadi karena adanya keterbatasan biaya, bahan, alat sehingga
tidak memungkinkan semua perlakuan dilakukan pada satu alokasi saja (batch). Jika
terdapat k percobaan dengan n kali pengulangan, karena batch yang digunakan tidak cukup
untuk menjalankan semua kemungkinan percobaan, maka dibutuhkan lebih dari satu batch.
Ketidakhomogenan yang mungkin terjadi adalah material percobaan antar batch atau batch-
nya sendiri beda kualitasnya. Sehingga batch dianggap sebagai kelompok/blok dalam
rancangan faktorial 2k. Teknik rancangan yang digunakan dalam situasi ini adalah blocking.

      Percobaan faktorial 2k dengan pengulangan ‘n’ kali dan kondisi lingkungan tidak
homogen, maka dijadikan sebagai kelompok/blok dan setiap pengulangan dijalankan pada
setiap blok/kelompok tersebut. Tabel 1 merupakan contoh rancangan faktorial 22 yang
dilakukan pengulangan sebanyak tiga kali.

                    Tabel 1. Percobaan Rancangan Faktorial 22 dalam Tiga Blok

                               (1) = 28            (1) = 25           (1) = 27
                               a = 36              a = 32             a = 32
                               b = 18              b = 19             b = 23
                               ab = 31             ab = 30            ab = 29
            Total              B1= 113            B2 = 106            B3 = 111




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                      Page 2
                     Tabel 2. Analysis of Variance Rancangan Faktorial vs Rancangan Blok Faktorial
                    Rancangan Faktorial                                           Blocking 2k dalam Rancangan Faktorial


 Source                                                                   Source
            Sum of              Mean                                                 Sum of             Mean
   of                    df                F0     P-value                   of                    df             F0       P-value
            Squares            Square                                                Squares           Square
Variation                                                                Variation


A            208.33       1    208.33     53.15   0.0001                 Blocks          6.5      2     3.25
B              75         1      75       19.13   0.0024                 A            208.33      1    208.33   50.32     0.0004
AB            8.33        1     8.33      2.13    0.1826                 B               75       1     75      18.12     0.0053
Error        31.34        8     3.92                                     AB              8.33     1     8.33    2.01      0.206
Total         323        11                                              Error           4.14     6     4.14
                                                                         Total           323      11



               Tabel 2 menunjukkan bahwa akibat yang hasilkan dari pengelompokan/blok terhadap
        rancangan 22 faktorial sangat signifikan. SSE semakin kecil karena pengurangan hasil dari
        pengelompokkan/blok. Nilai F0 untuk blok tidak dihitung, karena sudah dipastikan
        signifikasinya menyebabkan variabilitas data. Derajat bebas dari tiga blok rancangan 22
        faktorial pada Tabel 2 adalah dua. Berdasarkan Tabel 2, perhitungan blok menghasilkan nilai
        efek dari blok yang relatif kecil.
                                                             2          2
                                                        3 ��������       ���� …
                                          SSBlok =      1 4      −   12

                                                      (113)2 + (106)2 + (111)2           (330)2
                                                  =                                  −
                                                                     4                    12

                                                  = 6.50

        2. CONFOUNDING

              Pada rancangan kelompok/blok faktorial 2k jika blok tidak cukup menampung semua
        kemungkinan pengulangan dalam satu kelompok/blok, maka diperlukan metode rancangan
        percobaan khusus. Tujuannya untuk menyusun percobaan faktorial secara lengkap dengan
        ukuran blok lebih kecil daripada ukuran kombinasi perlakuan dalam satu kali pengulangan,
        metode ini biasa disebut pembauran (confounding). Metode pembauran menyebabkan
        informasi tentang efek pasti perlakuan (biasanya yang memiliki interaksi paling besar) tidak
        dibedakan dari kelompok/blok. Terdapat tiga metode menyusun confounding yaitu metode
        plus minus (Plus Minus Methods), kombinasi linear (Linear Combination) dan the group-
        theoretic of Principal Block.

        2.1 CONFOUNDING DALAM DUA PENGELOMPOKAN/BLOK
        2.1.1 Tabel Plus Minus

              Jika pada percobaan rancangan 22 faktorial akan dibagi menjadi 2 blok, maka 4
        perlakuan yang mungkin terjadi akan dibagi menjadi 2 blok dengan masing-masing berisi 2


        M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                                    Page 3
perlakuan, dan confounding-nya adalah interaksi AB. Efek faktorial yang memiliki tanda
sama akan bergabung ke dalam blok yang sama.

       Seluruh perlakuan bisa menjadi confounding, namun biasanya yang menjadi
confounding adalah yang memiliki order interaksi terbesar, karena tidak mungkin seorang
peneliti melakukan percobaan dengan confounding yang berbeda-beda untuk mendapatkan
hasil terbaik. Misalnya pada rancangan faktorial 22, yang dijadikan confounding-nya adalah
perlakuan AB dan pada rancangan faktorial 23, confounding-nya adalah ABC. Namun tidak
dapat dipungkiri apabila yang dijadikan confounding yaitu efek yang lain. Misalnya untuk
rancangan faktorial 22 menggunakan confound A dan B, sedangkan pada rancangan
faktorial 23 menggunakan confound A,B, C. AB, AC, BC.

      Rancangan faktorial 22 pada Tabel 3 ditunjukkan bahwa pengelompokan dilihat dari
tanda plus minus perlakuan dibawah sel faktorial efek yang menjadi confounding AB.
Perlakuan yang memiliki tanda yang sama plus (+) dimasukkan pada kelompok/blok yang
sama blok I ((1), ab) sedangkan perlakuan yang memiliki tanda yang lain minus (-)
dimasukkan dalam kelompok/blok II (a, b).

                                 BLOK 1                  BLOK 2

                                   (1)                      a

                                   ab                       b

                        Gambar 1. Rancangan Faktorial 22 dalam Dua Blok

            Tabel 3. Tabel Plus Minus Gambar 1 Rancangan Faktorial 22 dalam Dua Blok
               Treatment                        Factorial Effect
              Combination          I            A             B            AB
                  (1)              +             -             -           +
                   a               +            +              -            -
                   b               +             -            +             -
                  ab               +            +             +            +


     Sedangkan pada rancangan faktorial 23 perlakuan yang memiliki tanda yang sama
pada sel di bawah efek faktorial yang menjadi confounding ABC dimasukkan pada
kelompok/blok yang sama. Perlakuan yang memiliki tanda yang sama minus (-) dimasukkan
pada kelompok/blok yang sama blok I ((1), ab, ac, bc) sedangkan perlakuan yang memiliki
tanda plus (+) dimasukkan dalam kelompok/blok II (a, b, c, abc).



                                   BLOK 1          BLOK 2
                                     (1)             a
                                     ab              b
                                     ac              c
                                     bc             abc
                          Gambar 2. Rancangan Faktorial 23 dalam 2 Blok


M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                   Page 4
                  Tabel 4 Tabel Plus Minus Rancangan Faktorial 23 dalam Dua Blok
 Treatment                                              Factorial effect
combination       I        A           B           AB         C         AC        BC     ABC
    (1)           +        -           -           +           -         +        +       -      blok   1
      a           +        +           -            -          -         -        +       +      blok   2
      b           +        -           +            -          -         +         -      +      blok   2
     ab           +        +           +           +           -         -         -      -      blok   1
      c           +        -           -           +          +          -         -      +      blok   2
     ac           +        +           -            -         +          +         -      -      blok   1
     bc           +        -           +            -         +          -        +       -      blok   1
    abc           +        +           +           +          +          +        +       +      blok   2

2.1.2    Kombinasi Linear / Defining contrast

      Metode lain yang dapat digunakan dalam membentuk blok pada rancangan percobaain
ini adalah metode kombinasi linear (defining contrast). Misalnya, pada rancangan faktorial 23
dimana xi adalah level dari faktor ke-i pada kombinasi perlakuan. αi adalah eksponen dari
faktor ke-i dalam efek yang dibaurkan.

                                  L = α1x1 + α2x2 + . . . + αkxk

      Jika x1 merujuk pada A, x2 merujuk pada B dan x3 merujuk pada C dan α1 = α2 = α3 =
1. Sehingga kombinasi linear/defining contrastnya sebagai berikut.

                                               L = x1 + x2 +x3

        Untuk perlakuan (1)  (000) :               L = 1(0) + 1(0) + 1(0) = 0

        Untuk perlakuan a  (100)          :        L = 1(1) + 1(0) + 1(0) = 1

        Untuk perlakuan b  (010)          :        L = 1(0) + 1(1) + 1(0) = 1, dan seterusnya.

      Perlakuan (1) dan a akan berada pada blok berbeda karena memiliki nilai berbeda.
Setiap perlakuan yang memiliki nilai L (mod 2) yang sama akan ditempatkan pada blok yang
sama. Hasil blok yang didapatkan adalah :
                                 BLOK I     : (1), ab, ac, bc
                                 BLOK II : a, b, c, abc

2.1.3 The Group-Theoretic Of Principal Block

      Metode ketiga adalah the group-theoretic of Principal Block. Metode pembentukan
blok ini didasarkan pada blok yang memuat perlakuan (1). Kemudian perlakuan dalam blok
tersebut membentuk sebuah group yang berkenaan dengan perkalian mod 2. Sebagai
contoh desain principal block dari rancangan faktorial 23 dengan ABC confounded, maka :

                                    ab.ac           = a2bc = bc              BLOK I + (1)
                                    ab.bc           = ab2c = ac              hasilnya digunakan untuk
                                    ac.bc           = abc2 = ab               mendapatkan blok II




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                             Page 5
                                   b. (1)     =b
                                   b. ab      =a                BLOK II
                                   b. ac      = abc
                                   b. bc      =c

2.2 CONFOUNDING 2k FAKTORIAL DALAM EMPAT PENGELOMPOKAN

     Dalam penelitian yang melibatkan jumlah faktor besar , k ≥ 4 dan ukuran blok kecil,
maka rancangan faktorial 2k dapat dibentuk menjadi confounding dalam 4 blok dengan 2k-2
observasi dalam setiap bloknya. Misalkan kita memiliki rancangan faktorial 25 dan setiap blok
hanya mampu menampung 8 perlakuan, maka 4 blok disusun. Metode penyusunan blok
dengan metode plus minus tidak dapat berlaku. Yang memungkinkan hanya metode
kombinasi linear/defining contras dan the group-theoretic of principal block.

2.3.1   Metode Kombinasi Linear

     Sebagai contoh ambil dua effect confounded dengan block, misalkan ADE dan BCE.
Maka akan terbentuk defining contrastnya sebagai berikut :

                                       L1 = x 1 + x 4 + x 5
                                       L2 = x 2 + x 3 + x 5

      Kita akan memiliki 4 kombinasi yang nantinya menjadi penentuan blok antara L1 dan
L2, yakni (0,0)/blok 1, (1,0)/blok 2, (0,1)/blok 3 dan (1,1)/blok 4.

                                (1): (L1,L2) = (0,0) -----> blok 1
                               a : (L1,L2) = (1,0) -----> blok 2
                               b : (L1,L2) = (0,1) -----> blok 3
                               c : (L1,L2) = (0,1) -----> blok 3
                                                ...
                              abcde : (L1,L2) = (1,1) -----> blok 4

      Dibutuhkan satu efek lagi yang confounded dalam blok, karena jika blok yang ingin
dibentuk sebanyak empat, maka akan didapatkan tiga derajat bebas. Sedangkan
confounding yang dimiliki ADE dan BCE masing-masing hanya memiliki satu derajat bebas,
satu lagi efek dengan satu derajat bebas harus dibaurkan. Untuk mendapatkan confounded
tambahan dapat dilakukan dengan cara Generelized Interaction antara dua confounded
yang sudah ada, yaitu ADE dan BCE dengan melakukan perkalian diantara keduanya, maka
efek ABCD juga confounded dalam kelompok/blok. Sehingga sekarang dimiliki 3 confounded
with Block, yakni ADE, BCE dan ABCD.

                                (ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                  Page 6
                      Blok 1           Blok 2         Blok 3          Blok 4

                       (1)                a             b                e
                        ad              be            abce            abcde
                        bc               d            abd              ade
                      abcd             abde            ae              bd
                      abe               abc             c              bce
                       ace               ce           bcde              ac
                       cde              bcd            acd              ab
                      bde              acde            de               cd

             Gambar 3 Rancangan Faktorial 25 dalam Empat Blok ADE, BCE, ABCD Confounded



2.3.2   Metode The Group Theoretic Principal Block

     Metode The Group Theoretic Principal Block juga dapat digunakan pada contoh
rancangan faktorial 25. Berdasarkan Gambar 3, principal block (1) masuk pada
kelompok/blok I dan produk kombinasi dua perlakuan menghasilkan perlakuan yang lain.
                                ad . bc = abcd
                                abe . bde = ab2de2 = ad ; dan seterusnya

      Blok yang lain dicari dengan mengalikan anggota principal block dengan salah satu
perlakuan bukan anggota principal block.
                              b . (1)= b   ;
                              b . abc = ac ;
                              b . bde=de ; dan seterusnya

2.3 CONFOUNDING 2k FAKTORIAL DALAM 2p KELOMPOK/BLOK

      Pada bab sebelumnya, semua kemungkinan observasi perlakuan rancangan faktorial
 k
2 confounded dalam 2-4 kelompok/blok. Saat ini dapat diperluas dengan menggunakan 2p
kelompok/blok (p<k), sehingga setiap kelompok/blok berisi 2k-p observasi.
Langkah yang dapat dilakukan dengan memilih sebanyak p confounded effect yang
independen. Indepenen disini artinya tidak ada efek terpilih merupakan hasil interaksi
generalis dari lainnya. Kelompok/blok dapat dibangkitkan dengan menggunakan p defining
contrasts L1, L2, …, Lp asosiasi dengan efek tersebut.
      Jika penelitian dengan rancangan (2k)= 26 dan confounding dalam (2p)= 23
kelompok/blok, maka masing-masing blok terdiri diri (2k-p) = 23 perlakuan. Dengan p = 3
independen confounding dipilih untuk mengeneralisir efek tambahan, yang dirumuskan
dengan 2p - p-1 = 4. Sebagai tambahan untuk mendapatkan jumlah efek yang sama dengan
jumlah derajat bebas blok (df blok = 8-1=7). Ketiga efek tersebut adalah : ABEF, ABCD dan
ACE. Ketiganya dapat digunakan untuk mengeneralisir efek lainnya sejumlah 2p - p-1 =4.
Sehingga total ada 7 confounding dengan blok, jumlahnya sesuai dengan derajat bebas dari
blok (8-1=7).
                            (ABEF)(ABCD)             = CDEF
                            (ABEF)(ACE)              = BCF
                            (ABCD)(ACE)              = BED
                            (ABEF)(ABCD)(ACE)        = ADF

M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                  Page 7
2.5 PARTIAL CONFOUNDING

      Subbab sebelumnya digunakan untuk rancangan faktorial 23 dengan 2 blok dimana
ABC dijadikan confounded dengan replikasi n =4. Informasi pada interaksi ABC tidak dapat
diperoleh kembali/diabaikan karena menjadi blok pada setiap pengulangannya (completely
confounded). Berdasarkan pembahasan Confounding 2k faktorial dalam 2p kelompok/blok
dimana effect confounding lebih dari satu, maka dapat dilakukan perbedaan confounded
pada setiap pengulangan, sehingga informasi confounded tidak diabaikan. Contoh
confounding 23 faktorial dalam 2 kelompok/blok dan pengulangan n=4 kali, pada setiap
pengulangan confounded dengan sebuah confounded berbeda-beda/partially confounded.
Replikasi 1 Conf. ABC        Replikasi 2 Conf. AB     Replikasi 3 Conf. BC     Replikasi 4 Conf. AC

     (1)          a            (1)         a            (1)         b            (1)           a
     ab           b             c          b             b          c             b            c
     ac           c            ab         ac            bc         ab             ac          ab
     bc          abc           abc        bc            abc        ac            abc          bc
                        Gambar 4. Confounding Berbeda dalam Rancangan 23

      Gambar 4 menunjukkan bahwa rancangan 23 dengan pengulangan n = 4 kali dengan
confounded berbeda-beda pada setiap pengulangannya. Hal ini menyebabkan elemen-
elemen perlakuan pada setiap kelompok menjadi berbeda. Pada pengulangan I, ABC
menjadi confounded; pengulangan II, AB sebagai confounded; pada pengulangan III, BC
sebagai confounded; pada pengulangan IV, AC sebagai confounded.
      Perhitungan sum square interaksi adalah hanya data pengulangan yang tidak
confounded yang digunakan. Misalkan interaksi ABC hanya dihitung pada pengulangan II,
III dan IV, karena pada pengulangan I sebagai confounded. Demikian juga AB hanya
diperhitungkan pada pengulangan I, III dan IV, karena pada pengulangan II sebagai
confounded dan seterusnya.

3.       Kelebihan dan Kelemahan Confounding

         Berikut ini adalah kelebihan dari metode confounding :
     •    Dapat mengurangi kesalahan eksperimental cukup dengan stratifikasi bahan
          percobaan dalam homogen subset atau subkelompok.
     •    Variasi yang dibuang dari blok tak lengkap dengan replikasi menghasilkan Mean
          Square Error yang lebih kecil jika dibandingkan Randomized Completely Block
          Design .
         Kekurangan dari metode confounding adalah sebagai berikut :
     •    Peningkatan ketepatan diperoleh pada biaya pengorbanan informasi (parsial atau
          lengkap) pada interaksi relatif tidak penting tertentu.
     •    Kontras confounded direplikasi lebih sedikit daripada kontras lainnya, maka informasi
          yang seharusnya dapat tersampaikan akan hilang karena jumlah replikasinya
          dikurangi.
     •    Perhitungan aljabar biasanya lebih sulit dan analisis statistik yang kompleks,
          terutama ketika beberapa unit (pengamatan) yang hilang.
     •    Sejumlah masalah muncul jika perlakuan berinteraksi dengan blok.



M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                    Page 8
                                       Tabel 5 Susunan Kelompok/Blok untuk Rancangan Faktorial 25

 Number         Number
                                   Block             Effect Chosen
of Factor,      of Block,                                                             Interaction Confounded With Block
                                 Size 2k-p       to Generate the Block
    k              2p
3              2            4                  ABC                       ABC
               4            2                  AB, AC                    AB, AC, BC
4              2            8                  ABCD                      ABCD
               4            4                  ABC, ACD                  ABC, ACD, BD
               8            2                  AB, BC, CD                AB, BC, CD, AC, BD, AD, ABCD
5              2            16                 ABCDE                     ABCDE
               4            8                  ABC, CDE                  ABC, CDE, ABDE
               8            4                  ABE, BCE, CDE             ABE, BCE, CDE, AC, ABCD, BD, ADE
               16           2                  AB, AC, CD, DE            Semua interaksi 2 dan 4 faktor (15 efek)
6              2            32                 ABCDEF                    ABCDEF
               4            16                 ABCF, CDEF                ABCF, CDEF, ABDE
               8            8                  ABEF, ABCD, ACE           ABEF, ABCD, ACE, BCF, BDE, CDEF, ADF
               16           4                  ABF, ACF, BDF, DEF        ABF, ACF, BDF, DEF, BC, ABCD, ABDE, AD, ACDE, CE, BDF,
                                                                         BCDEF, ABCEF, AEF, BE
               32           2                  AB, BC, CD, DE, EF        Semua interaksi 2, 4 dan 6 faktor (31 efek)
7              2            64                 ABCDEFG                   ABCDEFG
               4            32                 ABCFG, CDEFG              ABCFG, CDEFG, ABDE
               8            16                 ABC, DEF, AFG             ABC, DEF, AFG, ABCDEF, BCFG, ADEG, BCDEG
               16           8                  ABCD, EFG, CDE, ADG       ABCD, EFG, CDE, ADG, ABCDEFG, ABE, BCG, CDFG, ADEF,
                                                                         ACEG, ABFG, BCEF, BDEG, ACF, BDF
               32           4                  ABG, BCG, CDG, DEG,       ABG, BCG, CDG, DEG, EFG, AC, BD, CE, DF, AE, BE, ABCD,
                                               EFG                       ABDE, ABEF, BCDE, BCEF, CDEF, ABCDEFG, ADG, ACDEG,
                                                                         ACEFG, ABDFG, ABCEG, BEG, BDEFG, CFG, ADEF, ACDF,
                                                                         ABCF, AFG
               64           2                  AB, BC, CD, DE, EF, FG    Semua interaksi 2, 4, 6 faktor (63 efek)




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                                                      Page 9
CONTOH :

Diketahui : Penelitian dengan rancangan faktorial 23 untuk mengetahui dampak tinggi isian
minuman bersoda. Tiga faktor persentase karbonasi (A), tekanan (B) dan kecepatan lini (C)
digunakan untuk mengetahui tinggi isian tersebut. Apabila setiap batch hanya mampu untuk
mengukur empat tes perlakuan, sehingga setiap pengulangan rancangan 23 harus dijalankan
dalam dua kelompok/blok. Jika dilakukan percobaan dengan dua pengulangan, dengan ABC
sebagai confounded pada pengulangan I dan AB sebagai confounded ada pengulangan II. Data
yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

                       Replikasi 1 Conf. ABC          Replikasi 2 Conf. AB

                       (1)= -3          a =0          (1)= -1      a=1
                       ab = 2           b = -1        c=0          b=0
                       ac =2            c = -1        ab = 3       ac =1
                       bc = 1           abc = 6       abc = 5      bc = 1



                                 Tabel 6 Tabel Plus Minus dan Data hasil Contoh
                                                  Factorial effect
         A         B              AB        C         AC         BC          ABC   Replikasi Replikasi
                                                                                       I        II
(1)       -        -              +         -          +         +           -        -3        -1
 a        +        -              -         -          -         +           +        0         1
 b        -        +              -         -          +         -           +        -1        0
ab        +        +              +         -          -         -           -        2         3
 c        -        -              +         +          -         -           +        -1        0
 ac       +        -              -         +          +         -           -        2         1
bc        -        +              -         +          -         +           -        1         1
abc       +        +              +         +          +         +           +        6         5


                                             Sum                      Mean
           Source of Variance                              DF                Fo        P-Value
                                            Square                   Square
          Replicates                         1.00          1          1.00
          Block Within replicates            2.50          2          1.25
          A                                  36.00         1          36.00 48.00       0.0001
          B                                  20.25         1          20.25 27.00       0.0035
          C                                  12.25         1          12.25 16.33       0.0099
          AB (rep I only)                    0.50          1          0.50  0.67        0.4503
          AC                                 0.25          1          0.25  0.33        0.5905
          BC                                 1.00          1          1.00  1.33        0.3009
          ABC (rep II only)                  0.50          1          0.50  0.67        0.4503
          Error                              3.75          5          0.75
          Total                              78.00         15

M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                              Page 10
Perhitungan Sum Square

SS Replikasi   = [rep. 1]2 /2k + [rep. 2]2 /2k – (total)2 /n.2k

               = [(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc]2/2k + [(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc]2/2k -
                 y...2/N

               = (-3+2+2+1+0+-1+-1+6) 2 /8 +(-1+0+3+5+1+0+1+1) 2 /8 – (16) 2 /16

               = [6]2 /8 + [10]2 /8 – [16]2 /16

               =17-16

                =1

SS blok        = ABC [rep 1] + AB [rep 2]

               = [(a+b+c+abc)- ((1)+ab+ac+bc)]2/2k + [((1)+ab+c+abc) – (a+b+ac+bc)]2/2k

               = [-(-3)+0+(-1)- 2 +(-1) -2-1+6] 2 /8+ [+(-1) - 1- 0+3+0-1-1+5] 2 /8

               = [2]2 /8 +[4]2 /8

                = 2.5

SSA            = A [rep.1] + A [rep.2]

               = [(a+ab+ac+abc) – ((1) + b+c+bc)]2/n.2k + [(a+ab+ac+abc) – ((1) +
                 b+c+bc)]2/n.2k

               = [24]2 /16

                = 36



SSB            = B [rep.1] + B [rep.2]

               = [(b+ab+bc+abc) – ((1)+a+c+ac)]2/n.22 + [(b+ab+bc+abc) –
                 ((1)+a+c+ac)]2/n.22

               = [18]2 /16

               = 20.25

SSC            = C [rep.1] + C [rep.2]

               = [(c+ac+bc+abc) – ((1)+a+b+ab)]2/n.2k + [(c+ac+bc+abc) –
                 ((1)+a+b+ab)]2/n.2k


M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                  Page 11
               = [14]2 /16

               = 12.25

SS AB          = AB [dalam rep.1, dalam rep.2 confounded]

               = [((1)+ab+c+abc – (a+b+ac+bc)]2/2k

               = [2]2 /8

               = 0.5

SS AC          = AC [rep.1] + AC [rep.2]

               = [((1)+b+ac+abc) – (a+c+ab+bc)]2/n.2k + [((1)+b+ac+abc) –
                  (a+c+ab+bc)]2/n.2k

               = [2]2 /16]

               = 0.25

SS BC          = BC [rep.1] + BC [rep.2]

               = [((1)+a+bc+abc) – (b+c+ab+ac)]2/n.2k + [((1)+a+bc+abc) –
                 (b+c+ab+ac)]2/n.2k
               = [4]2 /16

               =1

SS ABC         = ABC [rep.2, dalam rep. 1 confounded)

               = [(a+b+c+abc) – ((1)+ab+ac+bc)]2/2k

               = 22 /8 = 0.5
                                                                   2
                                                                 ����…
                    ����     ����      ����     ����      2
SST            =    ����=1   ���� =1   ����=1   ����=1 ��������������������   −   ����.2����

               = 94- (162/16)

               = 78




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                        Page 12
Perhitungan Minitab

Misalnya terdapat percobaan faktorial 22, dengan 4 poin desain ((1), a, b, ab) dan dilakukan
pada masing-masing poin desain dalam 3 blok.




Hasil penelitian diperoleh sebagai berikut .




Perhitungan dalam Minitab:

                Step 1: Specify a 22 design        Step 2: Select 3 replicates in 3 blocks




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                         Page 13
The Design Setup in Minitab




Hasil dari struktur desain dari Minitab




Berikut hasil respons dari perhitungan Minitab




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita             Page 14
The normal probability plot




The Least Square Means




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita   Page 15
Residual Plot




Interaction Plot, Main Effect Plots, Surface Plot, dan Contour Plot




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                  Page 16
Contoh: Jika k > 2



Consider a 23 experiment in 2 blocks. We want to confound the ABC interaction effect with
blocks in this example.The easiest way to do this is to write out the design matrix with the +1’s
and -1’s, as shown below.




Next, sort the ABC column by the -1’s and the +1’s as follows. Then, all the -1’s constitute block
1 and the +1’s constitute block 2.




Bagaimana menghitung confounding secara umum ?

pada rancangan faktorial 23 dimana xi adalah level dari faktor ke-i pada kombinasi perlakuan. αi
adalah eksponen dari faktor ke-i dalam efek yang dibaurkan.

                                     L = α1x1 + α2x2 + . . . + αkxk

Jika x1 merujuk pada A, x2 merujuk pada B dan x3 merujuk pada C dan α1 = α2 = α3 = 1.
Sehingga kombinasi linear/defining contrastnya sebagai berikut.

                                           L = x1 + x2 +x3

M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                       Page 17
Contoh: Lebih dari dua blok

Contoh ambil dua effect confounded dengan block, misalkan ADE dan BCE. Maka akan
terbentuk defining contrastnya sebagai berikut :
                                          L1 = x 1 + x 4 + x 5
                                          L2 = x 2 + x 3 + x 5
Kita akan memiliki 4 kombinasi yang nantinya menjadi penentuan blok antara L1 dan L2, yakni
(0,0)/blok 1, (1,0)/blok 2, (0,1)/blok 3 dan (1,1)/blok 4.

                                       L1   L2   Pair    Block
                                       0    0    (0,0)    1
                                       1    0    (1,0)    2
                                       0    1    (0,1)    3
                                       1    1    (1,1)    4




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                               Page 18
Untuk mengetahui anggota dalam blok dapat menggunakan “filter” dalam perhitungan excel.




Hasil struktur blocking




Generalized Interactions

Dibutuhkan satu efek lagi yang confounded dalam blok, karena jika blok yang ingin dibentuk
sebanyak empat, maka akan didapatkan tiga derajat bebas. Sedangkan confounding yang
dimiliki ADE dan BCE masing-masing hanya memiliki satu derajat bebas, satu lagi efek dengan
satu derajat bebas harus dibaurkan. Untuk mendapatkan confounded tambahan dapat
dilakukan dengan cara Generelized Interaction antara dua confounded yang sudah ada, yaitu
ADE dan BCE dengan melakukan perkalian diantara keduanya, maka efek ABCD juga
confounded dalam kelompok/blok. Sehingga sekarang dimiliki 3 confounded with Block, yakni
ADE, BCE dan ABCD.
                              (ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                               Page 19
Desain Minitab:




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita   Page 20
Spesifikasi pembangkit untuk blocking




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita    Page 21
M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita   Page 22
Analisis dengan SAS




Output SAS :




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita   Page 23
DAFTAR PUSTAKA

Montgomery, C.D. 1997. Design and Analysis of Experiments. New York : John Wiley & Sons, Inc.
Suwanda. 2011. Desain Eksperimen untuk Penelitian Ilmiah. Bandung : Alfabeta.
Jaggi, S. et all. Confounding in Factorial Experiments and Fractional Factorials. New Delhi: Library
   Avenue Indian Agricultural Statistics Research Institute.




M.Ghazali – Adiba – Feni Ira Puspita                                                        Page 24

				
DOCUMENT INFO
Description: Rancangan percobaan faktorial 2k dapat dilakukan secara lengkap apabila keadaannya homogen. Jika kondisi tidak memungkinkan untuk melakukan semua kemungkinan perlakuan misalnya adanya keterbatasan biaya, bahan, dan alat maka dibutukan metode yang lebih baik pada rancangan awal faktorial. Percobaan yang menggunakan satu kali pengulangan dengan kondisi yang memungkinkan dapat digunakan metode pengelompokan (blocking). Apabila keadaan tidak memungkinkan untuk dilakukan satu pengulangan secara lengkap dalam satu blok maka dapat dilakukan metode pembauran (confounding). Terdapat tiga metode penyusunan pembauran (confounding) yaitu dengan Plus Minus (Plus Minus Methods), Kombinasi Linear (Linear Combination) dan the group-theoretic of principal block.