???? ?? Bayes� Theorem

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???? ?? Bayes� Theorem Powered By Docstoc
					전주대 경영학부




       통계의 개념과 활용(베이스정리& 확률변수)
                          4주차 강의
오늘
      베이스의 정리
배울     Bayes’ Theorem
내용은
      베이스?

      1루, 2루?

      사람 이름
Thomas    Thomas Bayes was born in London. In 1719 he
           enrolled at the University of Edinburgh to study logic
Bayes      and theology.
          He is known to have published two works in his
           lifetime: Divine Benevolence, or an Attempt to Prove
           That the Principal End of the Divine Providence and
           Government is the Happiness of His Creatures (1731),
           and An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a
           Defence of the Mathematicians Against the Objections
           of the Author of the Analyst (published anonymously
           in 1736), in which he defended the logical foundation
           of Isaac Newton's calculus against the criticism of
           George Berkeley, author of The Analyst.
          Some feel that he became interested in probability
           while reviewing a work written in 1755 by Thomas
           Simpson but others think he learned mathematics and
           probability while reading a book by de Moivre.

             -Wiki
Bayes'     Bayes' solution to a problem of "inverse probability"
            was presented in the Essay Towards Solving a Problem
theorem     in the Doctrine of Chances (1764). This essay contains
            a statement of a special case of Bayes' theorem.
           In the first decades of the eighteenth century, many
            problems concerning the probability of certain events,
            given specified conditions, were solved. For example,
            given a specified number of white and black balls in an
            urn, what is the probability of drawing a black ball?
            These are sometimes called "forward probability"
            problems. Attention soon turned to the converse of such
            a problem: given that one or more balls has been drawn,
            what can be said about the number of white and black
            balls in the urn? The Essay of Bayes contains his
            solution to a similar problem, posed by Abraham de
            Moivre, author of The Doctrine of Chances (1718).

              -Wiki
베이스의 정리
Bayes’ Theorem          정보가


                       들어왔을 때
 Pr(A)   information


                       확률의 보정
베이스의 정리
Bayes’ Theorem      Pr(A)      사전확률
                                +
                 Information   사전정보
                      B
                                II
                  Pr(A|B)      사후확률
교재
53쪽을
보세요    표본공간을 A1, A2,…, An으로 분
        할
         Pr(Ak|B)=Pr(Ak)Pr(B|Ak)/Pr(B)

       외우나요?
         NO! Step by step.
단지
알아야할
것은…
   1. Pr(A∩B)=Pr(A)Pr(B|A)
   2. Pr(A∩B)=Pr(B)Pr(A|B)
   3. Pr(B)=Pr(A1∩B)+Pr(A2∩B)
       (여기서 A1∪A2=S, A1 ∩ A2=φ )
54쪽         H: 간염에 걸림
예제          Hc: 간염에 안걸림

      사전확률       Pr(H) = 0.1
       +              +
      사전정보       양성반응(+)
                      II
       II
                  Pr(H|+) = ?
      사후확률
54쪽 H: 간염에 걸림
예제 Hc: 간염에 안걸림
                  Pr( H  )
     Pr( H | ) 
                    Pr( )

    언제 양성(+) 반응이 나오는가?
      검사해서 모두 양성 아니면 음
       성
      간염이면서 양성, 건강한데도
       양성
칠판   Pr( )  Pr( H  )  Pr( H  )
                                 C

보세
     윗식을 구하기 위해 다음 변환 방법만 알면 됩니다
요
                    Pr( H  )
       Pr( H | ) 
                      Pr( )
       Pr(H  )  Pr(H ) Pr( | H )
       Pr(H  )  Pr(H ) Pr( | H )
            C              C           C
        당신 간염 걸렸습니다 (양성)
답이       라고 판정했는데
1/3 ?
        실제로 간염에 걸려있을 확률
         은

        고작 1/3 ?
그림으                            간염
                     정상인(Hc)
로 볼까                  90명
                                (H)
                               10명
요?
                          검혈
                          사액
                                음성 1명


Pr(+|H)=0.9          음성 72명   양성
Pr(+|Hc)=0.2                  9명
                      양성 18명

                양성반응자 27명 중 간염보균자는 9
                명,
                즉, 9/27=1/3
왜
그리                   Pr( H  )
                           C
        Pr( H | ) 
             C
부정확(?)한                  Pr( )
검사를…
             는 얼마나 될까요?

             높아야 될텐데…
또
칠판   Pr( )  Pr( H  )  Pr( H  )
                                  C


보세   윗식을 구하기 위해 다음 변환 방법만 알면 됩니다
요
                     Pr( H  )
        Pr( H | ) 
                       Pr( )
        Pr(H  )  Pr(H ) Pr( | H )
        Pr(H  )  Pr(H ) Pr( | H )
             C              C           C
          당신 간염 안걸렸습니다 (음
답이         성)라고 판정했는데
72/73 ?
          실제로 간염에 안걸려있을
           (건강할) 확률은

          무려 72/73 ?
그림으
로 볼까                 정상인(Hc)
                                 간염
                                  (H)
                      90명
요?                               10명

                        검혈
                        사액
                                   음성 1명


Pr(-|H)=0.1         음성 72명       양성
Pr(-|Hc)=0.8                     9명
                     양성 18명

                음성반응자 73명 중 간염보균자는 1
                명,
                즉, 건강할 확률은 72/73=0.99
확률변수       확률변수
             Random Variable
교재 56쪽으로

           사건의 결과를 수로 표현한 것
             흔히 X, Y, Z 등

           예> 동전을 세번 던지는 실험에
            서 앞면의 수 X를 확률변수라
            한다
확률변수의
정의보다는   변수다(상수의 반대)
개념을
        취하는 범위가 있다

        각 범위에서 확률이 존
         재
동전을     X=0,1,2,3
세번 던져   실제로 정확한 표현은
앞면의 수    x=0,1,2,3

X       Pr(X=x)
           Pr(X=0)=1/8
           Pr(X=1)=3/8
           Pr(X=2)=3/8
           Pr(X=3)=1/8
동전을
세번 던                     확률분포표
져 앞면             x       0       1       2         3
의수           Pr(X=x) 1/8         3/8     3/8       1/8
X
          f(x)
 확률분포그림



            0        1       2       3         x
 연습
두 주사위 눈의 합을 X

X의 확률분포표와 그림을 그리시오

확률의 합은?

X가 10이상일 확률은?
기대값(Expectation)
다음 게임 상금의 기
 대값은?
                    등수   1등     2등
500원
                    상금   1000   0
어떻게?
                    확률   1/2    1/2
1000x1/2 + 0x1/2
한번 더

다음 게임 상금의 기
 대값은?
                  등수 1등   2등   3등
500원
                  상금 100 500   0
어떻게?                 0
                  확률 1/4 1/2   1/4
1000x1/4 +
 500x1/2 +0x1/4
         기대값 구하는 방법
유레카!!!
         (변수x확률)의 합


         E( X )   x  f ( x)
X의 기대값
과
                 X     60     70    80     90       계
평균은 같다?
                도       1      3     4      2       10
                수

  • 평균은        (60 1  70  3  80  4  90  2)
                              10

                1      3      4       2
           60   70   80   90 
  •   기대값은     10     10     10      10
              이익표
교재            우산    빙과
65쪽      비    10    3
         맑음    0    8


• 내일 난 우산을 팔까? 빙과를 팔까?
• 비가 올 거 같으면 우산, 맑을 거 같으면
  빙과
• 비가 올 거 같기도 하고
• 비올 확률이 0.4라는데…
                    이익표
교재                  우산    빙과
65쪽          비      10    3
            맑음      0     8

• 우산을 팔 때 기대 이익
 = 10x0.4+0x0.6=4
• 빙과를 팔 때 기대 이익
 = 3x0.4+8x0.6=6
• 빙과를 팔 때 기대이익이 더 높다
전주대 경영학부




      수고하셨습니다. 다음 시간 과제물 잊지
                       마세요

				
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posted:6/21/2012
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