de Matem�tica Educativa

							         CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS
               DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

               DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA



 Introducción temprana al pensamiento algebraico: una
           experiencia en la escuela primaria


                  Tesis que presenta

           Cristianne María Butto Zarzar

               Para obtener el Grado de

                 Doctor en Ciencias

                 En la especialidad de

               Matemática Educativa

 Directora de tesis: Dra. María Teresa Rojano Ceballos



Sinodales internos:         Sinodales externos:
Dra. Sonia Ursini           Dra. Analúcia Schliemann
Dr. Gonzalo Zubieta         Dra. María Trigueros




             México, D. F., enero de 2005
                                       Resumen

Varios autores han investigado la factibilidad de la introducción temprana a algunas
ideas algebraicas: aritmética generalizada (Mason1985); el significado de las
operaciones (Slavit, 1999); generalización y formalización progresiva (Kaput y Blanton,
2002); el álgebra como una herramienta de representación y la resolución de problemas
(Da Rocha Falcão, 1993); el diseño de tareas para apoyar el pensamiento algebraico en
la escuela primaria (Blanton y Kaput, 2002); operando con lo desconocido (Carraher,
Schliemann y Brizuela, 2001). Nosotros reportamos un estudio sobre la introducción
temprana al pensamiento algebraico, con estudiantes entre 10-11 años de edad. Para
lograr el objetivo del estudio se usaron dos rutas de acceso al álgebra: el razonamiento
proporcional y los procesos de generalización. La selección de la primera ruta
(razonamiento proporcional) se basa en un primer requisito, en la familiaridad que los
estudiantes tenían con ese contenido matemático en 5o año de la escuela primaria. El
segundo requisito examina el hecho de que ese contenido matemático está vinculado
conceptual e históricamente con la idea de variación funcional (Radford 1996). Es
importante aclarar que la mayoría de los estudiantes transitaban del pensamiento aditivo
al multiplicativo. El marco teórico para la elaboración del modelo de enseñanza fue el
Modelo Teórico Local (MTL) de Filloy (1990) que incluye cuatro componentes
interconectados entre sí: 1) Modelo de Enseñanza; 2) Modelo de los Procesos
Cognitivos; 3) Modelo de Competencia Formal y, 4) Modelo de Comunicación. La
investigación incorporó la idea de Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) de la perspectiva
vygotskiana de aprendizaje; con la determinación de la zona de desarrollo actual
mediante la aplicación de un cuestionario y una entrevista ad-hoc. La secuencia de
enseñanza fue desarrollada con la aplicación de una entrevista clínica con enseñanza, el
objetivo fue promover la ZDP. Para evaluar la evolución de las primeras ideas
algebraicas fue aplicado un cuestionario final y una entrevista ah-hoc. El estudio fue
realizado en los últimos años de la escuela primaria en la franja entre el pensamiento
aritmético y el pre-algebraico, donde la sintaxis algebraica no ha sido introducida aún.
En este estudio fueron introducidas las primeras ideas algebraicas en una secuencia de
enseñanza en dos versiones: pre-simbólica (percepción de la idea de variación
proporcional) y simbólica (encontrar y expresar una regla general e incorporarla en el
lenguaje Logo). Los resultados del estudio fueron analizados de acuerdo a dos
componentes del MTL: el modelo conceptual y el didáctico perteneciente a los Modelos
Teóricos Locales propuesto por Filloy y aunado a este modelo, también se hace
referencia a la propuesta de Molyneux-Hodgson, Rojano, Sutherland y Ursini (1999)
pasando del modelo de aprendizaje tradicional a una evolución hacia prácticas
matemáticas. Las dos rutas de acceso, el pensamiento proporcional y los procesos de
generalización proporcionaron la introducción a las primeras ideas algebraicas,
conjuntamente con el diseño de las actividades en ambos ambientes: papel y lápiz y
ambiente Logo. La clave fue la integración de esos dos contextos: numérico y
geométrico. La combinación de las actividades, los materiales y el ambiente y la
estructura de la secuencia didáctica supervisada por la ayuda del profesor promoviendo
la ZDP. Los resultados revelaron que los estudiantes son capaces de comprender las
ideas de variación proporcional, descubren un patrón y formulan una regla general, y
comprenden los problemas que involucra la relación funcional, como consecuencia del
tránsito del pensamiento aditivo al multiplicativo. Por otro lado, el trabajo con un
compañero más experto se mostró significativo para que los niños pudieran expresar
una regla general.
                                          Abstract

A number of authors have investigated the feasibility of introducing young children
algebraic ideas: generalized arithmetic (Mason, 1985); meaning of operations (Slavit,
1999); generalization and progressive formalization (Kaput and Blanton, 2002); algebra
as a representation tool and resolution of problems (Da Rocha Falcặo, 1993); design of
tasks to support algebraic thinking in elementary school (Blanton and Kaput, 2002);
operating with the unknown (Carraher, Schliemann and Brizuela, 2001). We report on
issues from a study on the early introduction algebraic thinking, with 10-11 years old
students. The study aims at using two access routes to algebra: proportional reasoning
and generalization processes. The choice for the first route (proportional reasoning) is
based on a first request, on the familiarity that children have with this mathematical
content at the fifth grade of elementary school. The second request examines the fact
that the mathematical content is linked conceptually and historically (Radford, 1996) to
functional variation. It’s worth noting that at this level most of the students are in transit
from additive to multiplicative thinking. The theoretical framework for the construction
of a teaching model relies on the Theoretical Local Models (TLM) developed by Filloy
(1990) which requires four components linked among each other: 1) A teaching model;
2) A model of cognitive processes; 3) A model of formal competence and, 4) A model
of communication. The present research incorporates the idea of Zone of Proximal
Development (ZDP) of vygotskian perspective of learning; this is achieved by a
determination of the Zone of Current Development through application of a
questionnaire and ad-hoc interviews. A teaching sequence was developed and additional
clinical interviews with teaching, as a mean to promote the ZDP. In order to evaluate
the evolution toward the first algebraic ideas a final questionnaire was applied with ad-
hoc interviews. The study is situated at the end of the elementary school curriculum, in
the fringe of pre-algebraic thinking where algebraic syntaxes have not been introduced
yet. In this study the algebraic ideas are introduced through a teaching sequence in two
versions: pre-symbolic (perception of the idea of proportional variation) and symbolic
(find and express a general rule as well as incorporate it in a LOGO) The results are
analyzed along two components of the LTM: the didactic and the conceptual frames.
Also reference is made to the work by Molyneux-Hodgson, Rojano, Sutherland and
Ursini (1999) of trespassing from traditional model of learning to evolution
mathematical practices. The two access routes, proportional thinking and generalization
processes proved to be useful in the introduction of the first algebraic ideas, jointly with
the design of activities in both environments: pencil and paper, and Logo environment,
the key property of the last is its integration of numerical and geometric contexts. The
combination of activities, materials and environment as well as the structure of the
didactic sequence supervised by the teacher helps in promoting the ZPD. The results
reveal that students are capable to understand the ideas of proportional variation,
discover a pattern and formulate a general rule, as well as understand problems that
involve a functional relationship, as consequence of their transit from additive to
multiplicative thinking. On the other hand, the work with somebody more expert has
shown to be significant so that the children could express these rules.