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									                                      Facultad de Ingeniería y Ciencias Exactas
                                     Departamento de Tecnología Industrial y Servicios

Materia: FISICA DEL CONTINUO                              Código: 3.3.005       Revisión: JULIO 2009



 Guía de Actividades de Formación Práctica Nro: 11
 Nombre: ONDAS ELASTICAS

 Unidad (es) a la que corresponde la guía: Unidad 4

             Tipo de Actividad de Formación Práctica                            Ejercicios que contribuyen

 Formación Experimental de Laboratorio

 Formación Experimental en Campo

 Problemas Tipo o Rutinarios                                             x

 Problemas Abiertos de Ingeniería

 Proyecto y Diseño

 Sistematización de aspectos teóricos relacionados                       x
 Bibliografía Bàsica
        Tipler, Paul Allen. Física; 3a ed. Barcelona : Reverté, 1994. Código de Biblioteca: 53/T548.
        Sears, Francis W. y Zemansky, Mark W. y Young, Hugh D.. Física universitaria; 6a ed. en español Delaware:
         Addison Wesley Iberoamericana, 1988. xxi, 1110 p. Código de Biblioteca: 53/S566b.
        Resnick,     Robert      y   Halliday,    David.   Física;    3a   ed.    México,     D.F.:  CECSA,   1993.
         Código de Biblioteca: 53/R442
        Alonso, Marcelo y Finn, Edward J.. Física; Buenos Aires: Addison Wesley Iberoamericana, 1992. 969 p. Código
         de Biblioteca: 53/A459a.

 Complementaria
      Dossi, Jorge Armando. Física II: guía de problemas: Mecánica de los sistemas de partículas, del cuerpo rígido y
       de los medios continuos; Buenos Aires : UADE, 1995. 58 p. Cuadernos UADE n.102. Código de Biblioteca:
       53/D898a.
      Dossi, Jorge Armando. Física III: guía de problemas: Ondas mecánicas y fenómenos acústicos, óptica,
       termodinámica;       Buenos     Aires:     UADE,      1998.      136     p.     Cuadernos      UADE      n.111.
       Código de Biblioteca: 53/D898b.
      Klein, Alberto. Mecánica técnica de los cuerpos rígidos; 8. ed. Buenos Aires: El Ateneo, 1963. 362 p. Código de
       Biblioteca: 531/K62.




 Objetivo de la guía: que los alumnos construyan y comprendan los conceptos centrales y las leyes que rigen la
 mecánica de las ondas elásticas longitudinales y transversales para poder aplicarlas en la resolución de distintas
 situaciones problemáticas.




ONDAS ELASTICAS                                                                                                       1
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Materia: FISICA DEL CONTINUO                               Código: 3.3.005    Revisión: JULIO 2009


         Ondas, tipos de ondas y ondas armónicas. Ondas propagantes y estacionarias
     Ejercicio 1
     Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un lago tranquilo. El bote
     ejecuta 12 oscilaciones en 20 s.; cada oscilación produce una cresta de onda. La cresta
     de la onda tarda 6 s para alcanzar la orilla distante 12 m. Calcular la longitud de onda de
     las ondas de superficie
     Rta.: 3,34 m

     Ejercicio 2
     La ecuación de una cierta onda es: y = 10 sen 2 π (2x – 100t), donde x se mide en
     metros y t en segundos. Determinar a) la amplitud; b) la longitud de onda; c)la
     frecuencia y d) la velocidad de propagación de la onda
     Rta.: a) 10 m ; b) ½ m ; c) 100 Hz ; d) 50 m/s

     Ejercicio 3
     Dada la ecuación y = 2 sen 2π (0,1 x – 5t) donde x se mide en metros y t en segundos.
     Determinar: a) la longitud de onda, b) la frecuencia; c) el período; d) la velocidad de
     propagación; e) la amplitud; f) la dirección y sentido de propagación. Escribir la
     expresión de una onda idéntica a la anterior, pero que se propague en sentido opuesto.
     Rta.: a) 10m ; b) 5 Hz ; c) 0,2 s ; d) 50 m/s ; e) 2m ; f) sobre el eje x en sentido positivo

     Ejercicio 4
     Suponga que las siguientes funciones representan la propagación de ondas planas:

     I.    1 ( x, t )  3 cos2( x  34 t ) 
     II.   2 ( x, t )  2 e  (5 x  20 t )
                                    x
     III. 3 ( x , t )  sen t  
                                    2
                                
     IV. 4 ( x , t )  e i x-t
     En donde x se expresa en metros, t en segundos.
     a) En las funciones de onda anteriores, agregue las unidades que faltan en los números
        que allí aparecen.
     b) ¿Qué argumento utiliza para justificar que estas funciones de onda pueden
        representar a una onda en movimiento?.
     c) ¿Las ondas son dispersivas o no-dispersivas (conservan su forma)?. Discuta.
     d) Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso.
        Ayuda: piense en lo que hizo en el ejercicio anterior.
     Resp. I. v  34 m seg , II. v  4 m seg , III v  2 m seg , IV v   m seg




ONDAS ELASTICAS                                                                                      2
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     Ejercicio 5
     Dada la onda: y = 2 sen 2π (0,5 x – 10 t), donde x se mide en metros y t en segundos,
     hacer el gráfico y = f(x), extendido a cuatro longitudes de onda, para a) t= 0s; b) t = 1/40
     s. Repetir el problema para y = 2 sen 2 π (0,5 x + 10 t). Comparar los resultados

     Ejercicio 6
     En el instante t  0 , la forma de un pulso de onda sobre una cuerda viene dada por la
                            0,12m 3
     función: ( x ,0)               , en donde x está en metros.
                           4m 2  x 2
     a) Dibujar ( x,0) en función de x .

     Suponiendo que la onda se propaga sin deformarse,
     b) Hallar la función de onda ( x, t ) para un tiempo t cualquiera si el pulso se está
        moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las x ) con una velocidad de
        10m / seg .
     c) Grafique la perturbación en el instante t  1seg .
     d) Grafique el desplazamiento transversal del segmento de cuerda ubicado en la
        posición x  1m , en función del tiempo.
     e) Hallar la función de onda ( x, t ) para un tiempo t cualquiera si el pulso se mueve
        hacia la izquierda (sentido negativo de las x ) con una velocidad de 10m / seg .
     f) Halle la velocidad y aceleración de una partícula, que forma parte de la cuerda, en la
        posición x  0,1m. Grafique.

     Ejercicio 7
     Dada la ley de movimiento armónico expresada por la función,

                                         ( x, t )  A sen 2 x  3t 

     a) ¿En qué sentido se propaga la onda, hacia la izquierda o hacia la derecha?
     b) Verifique que es posible reescribir a la función de onda armónica como,

                                        ( x, t )  A sen 2 x  3t  

     c)   Halle el número de onda k y la frecuencia angular  .
     d)   Halle la longitud de onda  , el período T y la frecuencia f .
     e)   Halle la velocidad de propagación de la onda (velocidad de fase).
     f)   Exprese ( x, t ) en función de  y T .
     g)   Exprese ( x, t ) en función de v y k .

     Ejercicio 8


ONDAS ELASTICAS                                                                                     3
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     Una onda armónica se propaga por una cuerda infinita. Su función de onda es:
                  ( x , t )  0,1 sen x  10 t  metros

     a) Si x se mide en metros y el tiempo en segundos, agregue las unidades que faltan en la
        función anterior.
     b) Halle el número de onda k y la longitud de onda  .
     c) Halle la frecuencia angular  , la frecuencia f y el período T .
     d) Halle la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Resp. v  10 m seg

     Ejercicio 9
     Las ondas electromagnéticas como la luz, infrarrojo, ultravioleta, microondas etc.,
     pueden descomponerse en ondas armónicas. Sabemos que la velocidad de propagación
     de las ondas electromagnéticas en el vacío es c  3 108 m seg .
     a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para el cual el ojo es sensible abarca
        desde 4. 107 m a 7. 107 m, aproximadamente. ¿Cuáles son las frecuencias
        correspondientes a esas longitudes de onda?.

       En la siguiente tabla se detallan los rangos de longitud de onda y frecuencia para
       distintos colores (Arco Iris),
                                                        -9                         12
                       Color              en nm = 10 m              f en THz = 10 Hz
                       Rojo                 780  622                    384  482
                      Naranja               622  597                    482  503
                      Amarillo              597  577                    503  520
                       Verde                577  492                    520  610
                       Azul                 492  455                    610  659
                      Violeta               455  390                    659  769


     b) Cerca de la luz en el espectro está la región del ultravioleta 8 1014 Hz a 3 1017 Hz ,
        ¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?
     c) La región de infrarrojo se extiende aproximadamente de 3 1011 Hz hasta 4 1014 Hz ,
        ¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?
     d) La región de microondas se extiende de alrededor de 30cm a 1mm . ¿Cuál es el
        intervalo de frecuencias?

     Ejercicio 10
     A lo largo de una cuerda de 20m de longitud y 0,06 kg de masa y que está sometida a
     una tensión de 50N se desplazan ondas de 200 Hz de frecuencia y 1cm de amplitud.
     Determinar: a) Cuál es la energía total de la onda en la cuerda; b) Cuál es la potencia
     transmitida en un punto cuálquiera de la cuerda
     Rta.: a) 4,74 . 10 -2 J ; b) 0,306 N.


ONDAS ELASTICAS                                                                                       4
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     Ejercicio 11
     Cómo varia la velocidad de propagación de una onda transversal a lo largo de una
     cuerda si la tensión: a) se duplica; b) se reduce a la mitad y en cuanto debe reducirse la
     tensión de la cuerda para : c) para duplicar y d) para reducir a la mitad la velocidad de
     propagación
     Rta.: a) √2. √F/μ ; b) √1/2 √F/μ ; c) √4F/μ ; d) √F/4μ.

     Ejercicio 12
     Una cuerda de 2 m de largo tiene una masa de 0,1 kg. y está sometida a una tensión de
     60 N. Una fuente de potencia situada en uno de sus extremos envía una onda armónica
     de amplitud 1 cm a través de la cuerda. La onda llega al otro extremo y abandona la
     cuerda sin experimentar reflexión alguna. Determinar cuál es la frecuencia de la fuente
     si la potencia transmitida es de 100 W.
     Rta.: 171 Hz

     Ejercicio13
     Un extremo de una cuerda horizontal está sujeto a uno de los brazos de un diapasón de
     frecuencia 240 Hz. El otro extremo pasa por una polea y soporta una masa de 3 kg. La
     densidad lineal de la cuerda es de 0,02 kg/m. Determinar: a) la velocidad de la onda
     transversal en la cuerda ; b) la longitud de onda
     Rta.: a) 38,7 m/s ; b) 0,16 m.

     Ejercicio 14
     Supongamos que una fuente de potencia (diapasón) emite una onda armónica
     transversal de frecuencia f  200Hz y amplitud 1mm , por uno de los extremos de una
     cuerda de 10 metros de largo, 0,06kg de masa y 60N de tensión de equilibrio.
     Suponiendo que la onda se extrae del otro extremo sin ninguna reflexión,
     a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v 100m / seg
     b) Halle el tiempo durante el cual la fuente de potencia estuvo emitiendo, hasta que la
        onda llegó al otro extremo. Resp. t  0,1seg .
                                                                          1
     c) Halle la potencia media entregada por la fuente. Ayuda: P(t )    2 A 2 v
                                                                          2
     d) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda.
     e) Halle la energía total entregada por la fuente hasta el momento en que la onda llega al
        otro extremo.

     Ejercicio 15



ONDAS ELASTICAS                                                                                   5
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     Para pensar…En el año 1997, debido a problemas técnicos detectados en el puente de
     Salto Grande, los ingenieros midieron la tensión a que estaban sometidos los tensores
     que sostienen al puente. Proponga un método simple para medir la tensión.




     Ondas estacionarias
     Ejercicio 16
     Una onda estacionaria resulta de la superposición de dos ondas armónicas propagándose
     en sentido contrario. Para ver esto grafique la siguiente función,


                        Total  x, t       senkx  t   sen kx  t  
                                            A                A
                                            2                2

     obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la
     izquierda (desfasada en  al reflejarse).

     Ejercicio 17
     Un hilo de acero de 5 g y 1,4m está fijo por ambos extremos y tiene una tensión de
     968N .
     a) Hallar la velocidad de fase de las ondas transversales. Resp. v  520m / seg .
     b) Hallar la longitud de onda y la frecuencia del modo fundamental de oscilación.
        Resp.  1  2,8m y f1  185 ,93 Hz .
     c) Sabiendo que la amplitud de oscilación del primer modo es de 0,001m y que en el
        instante inicial ( t  0 ) la cuerda justo está pasando por la posición de equilibrio,
        halle la función de onda correspondiente (determine la fase).
     d) Importante. Dibujar la posición de la cuerda en los instantes t  0 , t  T / 4 ,
        t  T / 2 donde T  1 / f es el período de vibración.
     e) Hallar las frecuencias del segundo y tercer armónicos. Haga un esquema del modo de
        oscilación. Resp. f 2  371,86 Hz y f 3  557 ,79 Hz .
     f) Importante. La función de onda estacionaria puede formarse como la suma de dos
        ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando
        hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones
        de onda viajeras para la onda estacionaria fundamental.

     Ejercicio 18
     La función de onda  ( x, t ) correspondiente a una onda estacionaria de una cuerda fija
     en ambos extremos viene dada por:

                                    ( x , t )  0,3 sen0,2 x  cos300t  ,


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     con  y x en centímetros y t en segundos.
     a) ¿Cuál es la longitud de onda y cuál la frecuencia?
     b) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales?.
     c) Si la función de onda dada es la correspondiente al cuarto armónico, ¿cuál es la
        longitud de la cuerda?
     d) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes t  0 , t  T / 4 , t  T / 2 donde
        T  1 / f es el período de vibración.
         Halle la energía de la onda.
     Ejercicio 19
     Un generador mecánico pone en movimiento una cuerda por el extremo con una
     frecuencia de 120 Hz. La cuerda tiene una longitud de L = 1,2 m y su densidad de masa
     lineal es de 1,6 g/m. Determinar a que valor debe ajustarse la tensión para obtener un
     patrón definido de 4 vientres

     Ejercicio 20
     Una cuerda de piano de acero de 50 cm de longitud y 5 g de masa se tensa con una
     tensión de 400 N. Determinar: a) cuál es la frecuencia de su modo fundamental de
     vibración
     Rta.: 200 Hz

     Ejercicio 21
     La función de onda y (x,t) para una cierta onda estacionaria sobre una cuerda fija por
     ambos extremos es
                 y(x,t) = 0,30 sen (0,20x) cos (300t)
        Donde x e y se expresan en cm y t en segundos
        Determinar: a) La longitud y frecuencia de la onda ; b) Cuál es la velocidad de las
        ondas transversales en la cuerda ; c) La longitud de la cuerda si está vibrando en su
        4to. armónico
     Rta.: a) 31,4 cm; 47,75 Hz ; b) 15 m/s ; c) 62,8 cm

     Ejercicio 22
     Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremos está vibrando en su tercer
     armónico. El desplazamiento máximo de los puntos de la cuerda es de 4 mm.La
     velocidad de las ondas transversales en la cuerda es de 50 m/s. Determinar: a) La
     longitud y la frecuencia de la onda; b) escribir la función de onda correspondiente
     Rta.: a) 2m, 25 Hz ; b) y = 0,004 cos (157 t) sen (3,14 x)

     Ejercicio 23
     Un tubo de órgano abierto en ambos extremos está vibrando en su tercer armónico con
     una frecuencia de 748 Hz. La longitud de la tubería es de 0,70 m. Determinar la
     velocidad del sonido en el aire dentro del tubo


ONDAS ELASTICAS                                                                                 7
                                Facultad de Ingeniería y Ciencias Exactas
                               Departamento de Tecnología Industrial y Servicios

Materia: FISICA DEL CONTINUO                      Código: 3.3.005    Revisión: JULIO 2009


     Rta.: 349 m/s

     Ejercicio 24
     Calcular la longitud de una tubería que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hz si
     está : a) cerrada en un extremo y b) abierta en ambos extremos
     Rta.: a) 35,8 cm b) 71,7 cm

     Acertijo: Suponga que dentro de una caja se halla una cuerda que usted no puede ver. Le
     piden que adivine si la cuerda está fija en ambos extremos o si tiene un extremo libre.
     Como ayuda le informan el valor de tres frecuencias de resonancia sucesivas de la
     cuerda 75 , 125 y 175Hz , donde la frecuencia de 75Hz no necesariamente corresponde
     al modo fundamental.
     a) ¿Cómo podría saberse si estas frecuencias corresponden a una cuerda fija por ambos
        extremos o por un sólo extremo?. Ayuda: Hallar los cocientes entre cada par de
        frecuencias sucesivas de resonancia.
     b) ¿Cuál es la frecuencia correspondiente al fundamental?. Resp. 25Hz .
     c) ¿A qué armónicos pertenecen las tres frecuencias dadas?.
     d) Si la velocidad de propagación en esta cuerda es de 400m / seg. , halle la longitud de
        la cuerda. Resp. 4m .




ONDAS ELASTICAS                                                                                  8

								
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