Diskrete Mathematik by HPVVgUjy

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									Diskrete Mathematik



            Angelika Steger
 Institut für Theoretische Informatik

         steger@inf.ethz.ch
Kapitel 2:


      Graphentheorie
                 Hamiltonkreise & Eulertouren

Betrachte einen Graphen G=(V,E):

Hamiltonkreis:
  Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten
  des Graphen genau einmal enthält.

Eulertour:
  Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der
  jede Kante des Graphen genau einmal enthält.
                                                   Hamilton


                                    The Icosian Game :




Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865),
Irischer Mathematiker, Physiker und Astronom.
Hamiltonkreis - Beispiele




          kein Hamiltonkreis …
                              NP-Vollständigkeit

Karp (1972)
Das Problem
  Gegeben ein Graph G=(V,E), enthält G einen
   Hamiltonkreis?
ist NP-vollständig.

P  = effizient entscheidbare Probleme
NP = (einseitig) effizient verifizierbare Probleme
  ?
P = NP     → 1 Million US-$ (Clay-Foundation)
             Hamiltonkreise im Gitter




Gibt es einen Hamiltonkreis?   Nein!
                     Hamiltonkreise im Gitter

Satz: Ein n x m Gitter enthält genau dann einen
Hamiltonkreis, wenn nm gerade ist.
                 Hamiltonkreise & Eulertouren

Betrachte einen Graphen G=(V,E):

Hamiltonkreis:
  Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten
  des Graphen genau einmal enthält.

Eulertour:
  Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der
  jede Kante des Graphen genau einmal enthält.
                                                             Euler




Leonhard Euler (1707 - 1783)   Euler-Gedenktafel in Riehen
              Königsberger Brückenproblem




Gibt es einen Spaziergang, bei dem jede Brücke
genau einmal verwendet wird?
                                         Eulertour

Definition:
Ein Graph G=(V,E) heisst eulersch, wenn es
eine Eulertour gibt, d.h. einen Weg, der jede
Kante des Graphen genau einmal enthält
und dessen Anfangs- und Endknoten
identisch sind.

Satz:
Für einen zsghd. Graph G=(V,E) gilt:
G eulersch ÜÞ       alle Knoten haben
                       geraden Grad
Kapitel 2.5:


Graphen und lineare Algebra,
Gerichtete Graphen
                                        Adjazenzmatrix

Für einen Graphen G=(V,E) ist die
Adjazenzmatrix AG definiert durch:
                                   ½
              n                      1 falls f i ; j g 2 E;
A G = (ai j ) i ;j = 1 mit ai j :=
                                     0 sonst :


                    1       4
                                    0                  1
Beispiel:                             0    1   0   1
                                    B 1    0   1   1   C
                                    B                  C
                        2           B                  C
                                    @0     1   0   0   A
                                      1    1   0   0
                        3
                 Adjazenzmatrix - Eigenschaften

• AG ist symmterisch.
• AG hat Nullen auf der Hauptdiagonalen



Satz:
Der Eintrag aijk der i-ten Zeile und j-ten
Spalte der Matrix AGk zählt genau die
Anzahl Wege der Länge (genau) k in G
von i nach j.              [Annahme: V = {1,…,|V|}.]
                                         Anzahl Wege - Beispiel

                                 1
                                             3              4
                                 2


      0               1           0                   1               0            1
         0   1   1   0               2   1       1   1                   7   6 6 4
       B 1   0   1   0 C           B 1   2       1   1 C               B 6   7 6 4 C
AG   = B
       @1
                       C;   A2   = B                   C;       A4   = B            C:
             1   0   1 A     G     @1    1       3   0 A         G     @6    6 11 2 A
         0   0   1   0               1   1       0   1                   4   4 2 3
                            Gerichtete Graphen

Definition:
Ein gerichteter Graph, auch Digraph, ist ein Tupel
D=(V,A), wobei V eine (endliche) Menge von
Knoten ist und A Í V x V eine Menge von
gerichteten Kanten (engl. arcs).

              a                    e

                    c       d          g

              b                    f
                             Gerichtete Graphen

Definitionen: gerichteter Graph D=(V,A), vV

• Aus-Grad: deg-(v) = | {xV | (v,x)  A } |

• Ein-Grad: deg+(v) = | {xV | (x,v)  A } |

Satz:
Für jeden gerichteten Graphen D=(V,A) gilt:
 X                    X
           ¡                     +
        deg (v) =            deg (v) = jAj
 v2 V                 v2 V
                         Gerichtete Graphen

• gerichteter Weg …
• gerichteter Kreis …
• zugrundeliegender ungerichteter Graph …

• schwach zshgd
  ÜÞ zugrundeliegender Graph zshgd.


• stark zshgd
  ÜÞ " x,y ÎV : $ gerichteter x-y-Pfad
                              Zusammenhang




                 a
schwach zusammenhÄngend                   a
                          st ark zusammenhÄngend
                                                     Beispiel

Betrachten Folgen der Länge n über dem Alphabet
{0,1}, die keine zwei aufeinanderfolgende Einsen
enthalten:
n = 1:   0; 1
n = 2:   00; 01; 10
n = 3:   000; 001; 010; 100; 101
n = 4:   0000; 0001; 0010; 0100; 0101; 1000; 1001; 1010
n = 5:   00000; 00001; 00010; 00100; 00101; 01000; 01001; 01010;
         10000; 10001; 10010; 10100; 10101

								
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