Progress�o Geom�trica

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					                   Progressão Geométrica

1-Conceito: Progressão Geométrica é a seqüência de números não nulos, onde qualquer
termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente multiplicado por uma constante. Essa
constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

As progressões geométricas possuem este nome graças à seguinte característica de sua formação:
Tomando-se 3 termos consecutivos de uma P.G. , o termo do meio é a média geométrica dos outros
dois termos

Exemplos simples

(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3

(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3

(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2

(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1

        A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo: q = an / an - 1
                     ou seja: q = a2 / a1 = a3 / a2 = a4 / a3 = an / an-1

2-Classificação:

 Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo: (3, 6, 12, 24, 48, ...)

    q = a2 / a1                    a1 = 3
     q=6/3              onde       a2 = 6 (a2 = a1 . q → a2 = 3 . 2 → a2 = 6)
      q=2                          a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 3 . 22 → a3 = 3 . 4 → a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o
anterior.
  Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo: (48,24,12,6,.., 3)

    q = a2 / a1                    a1 = 48
    q = 24 / 48                    a2 = 24 (a2 = a1 . q → a2 = 48 . 1/2 → a2 = 24)
                         onde
                                   a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 48 . (1/2)2 → a3 = 48 . 1/4 → a3 =
     q=1/2
                                   12)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que
o anterior.
  Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo: (- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

    q = a2 / a1                       a1 = - 5
    q = 10 / -5             onde      a2 = 10 (a2 = a1 . q → a2 = - 5 . - 2 → a2 = 10)
      q=-2                            a3 = - 20 (a3 = a1 . q2 → a3 = - 5 . (-2)2 → a3 = -5 . 4 → a3 = - 20)

Concluindo que toda P.G. Alternante ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância
sucessiva entre termo negativo e positivo.

                                   3- Termo Geral da P.G.

Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de qualquer termo e da razão, em
uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:

a2 / a1 = q → a2 = a1 . q     a3 / a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q . q → a3 = a1 . q2

a4 / a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q2 . q → a4 = a1 . q3 ( e assim por diante)

Uma PG de razão q pode ser escrita assim:
                              PG( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an)
Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma:

                      PG( a1, a1. q, a1. 2q, a1. 3q, a1. 4q, ..., a1.q(n-1)
Portanto, o termo geral será:

                                   an = a1 .q(n-1), para n N               *




                                       n-1
Assim, concluímos que an = a1 . q       é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrando
que, se não tivéssemos o primeiro termo da P.G., mas tivéssemos outro como o terceiro, usaríamos
a seguinte fórmula:
                                              (n-k)
                               a = a .q
                               n       k

Exemplo 1-- Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela
fórmula: dados a1= 2 q = 2 n =10            a10 = ?
           n–1
an = a1 . q                        10-1
                 => a10 = a1 . q => a10 = 2 . 29 => a10 = 2. 512 => a10 = 1024
Exemplo 2- Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a
320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então 16 = q4 = 24 e portanto q = 2.
Exemplo 3 Na PG onde a5=1/32 e razão ¼ , calcule a1

Dados a1= ? q = ¼                 n=5           a5=1/32

an = a1 . qn – 1 => 1/32= a1.(1/4)5-1 => 1/32 = a1.(1/4)4 => 1/32 =a1.(1/256)
a1 = 1/32 : 1/256         a1 = 1/32 . 256/1 => a1 = 8

Exemplo 4 Quantos termos tem na PG (3,6,.....,48)

Dados a1= 3 q = 2                 n=?          an= 48

an = a1 . qn – 1 => 48 = 3.2(n-1) => 48/3 =2(n-1) 16 = 2(n-1) fatorando 16 temos 16 = 24
=> 24 = 2(n-1) da igualdade de expoente temos 4 = n-1                    n=4+1 => n=5

Exemplo 5 Interpolar três termos geométricos entre 3 e 48

(3, ____ , ____ , ____ , 48) Dados a1= 3 q = ?                     n=5      an= 48

        an = a1 . qn – 1 =>                 48 = 3.q(5-1) 48/3 = q4 => q4 = 16 q   4 16 q = +/- 2

escrevendo a PG temos (3,6,12,24,48) ou (3,-6,12,-24,48)

Por exemplo: Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...) determine o seu oitavo termo (a8):

Primeiramente achamos a razão: q = a4 / a3 q = 24 / 12              => q = 2

Agora resolvemos a partir do terceiro termo:

an = ak . qn - k                                an → é o último termo especificamente pedido
a8 = a3 . q8 – 3 a8 = 12 . 25                   ak → é o primeiro termo escolhido
a8 = 12 . 32                                    k → é a posição do termo ak
a8 = 384                                        n → é a posição do termo an

                                (n - 1)
Esta fórmula, an = a1 . q                 permite que se calcule qualquer termo de uma P.G.

1) Você seria capaz de calcular o nono termo da PG (3, 6, 12, 24, ...) resposta 768

2) qual o primeiro termos da PG de razão 2 e a5 = 48 resposta a1 = 3

3) Quantos termos tem na PG onde a1 =1 , razão 3 e an= 2187 resposta 8 termos

4- Interpole quatro meios geométricos entre 3 e 96 resp. (3,6,12,24,48,96) ou (3,-6,12,-24,48,-96)

5)   Determine o oitavo termo da PG (1/81 ,1/27 , 1/9,......)           resposta a8 = 27

6) Interpole quatro meios geométricos entre 2 e 486 resp (2,6,18,54,162,486)
7) Na Pg 0nde a5= 48 , razão 2 , calcule a9                      resposta a9 = 768

                                  4- P.G. com três termos consecutivos

Para três termos em P.G. (a1, a2, a3 ) vale a propriedade: “o termo do meio é a média geométrica dos
outros dois”. ou, com outras palavras, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos outros
dois termos. Ou seja (a2)2 = a1 . a3

Exemplo1 Escreva a PG onde ( 2, x+1, 8)
(a2)2 = a1 . a3 => (x+1)2 2. 8 => (x+1)2 = 16 => (x+1) =  16 => x =+4-1 => x =3 ou
x=- 4-1 => x = -5     Escrevendo a PG ( 2, 4, 8) ou ( 2, -4, 8)

Exemplo2 Escreva a PG e determine valor de x em (x, x+9, x+45)
(x+9)2 = x . (x+45) => x2+18x+81 = x2+45x resolvendo temos -27x = -81 => x= 3
PG (3, 12, 48)
Exercício Escreva a PG e determine valor de x em (3x+2, x+2, x ) resposta (8,4,2)

Na P.G.(a1,a2,a3) podemos escrever os seus três termos na forma de (x, xq, xq2) ou (x/q ,x , x.q)

Exemplo Calcule três números em PG tais que sua soma seja 7 e seu produto 8

x/q . x . x.q = 8 => x3 = 8 => x = 2 e 2/q + 2 + 2.q = 7 => tirando mmc temos 2q2+2q+2=7q ,
resolvendo essa equação do 2° grau encontramos q =2 ou q = ½ logo PG (1,2,4) ou (4,2,1)

Exercício Calcule      três números em PG tais que sua soma seja 13 e seu produto 27
    5-Produto dos termos de uma PG finita.

   Em uma PG finita de n termos e razão q, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é
igual ao produto dos extremos.
   Com base nessa propriedade, podemos estabelecer uma fórmula para o produto dos n termos da
PG.

                       Pn = (a1 .an)n/2
    Exemplo: Obtenha o produto dos seis primeiros termos da PG (4,8,16,......)
                 5                  5
      a6= a1.q        => a6 = 4.2       => a6 = 128
                     6/2                 3                   3
    P6 =(a1.a6)            P6 =(4.128)       =>   P6 = 512

    6- Soma dos n primeiros termos de uma PG

   Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar
o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q Sn.q-Sn = an.q-a1 => Sn.(q-1)= an.q-a1 => Sn = (an.q-a1)/q-1
soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada pelas seguintes relações:

    a .q  a1                           .q n  1
Sn  n                  ou     Sn  a1.
       q 1                              q 1

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) resposta S10 = 1023

Exemplo: Calcule a soma dos termos da PG (1,2,4,8,...,256) resp 511

Exemplo Em uma PG a soma de 8 termos vale 1530, sua razão é 2. Calcule a1 e a5 resposta 6 e 96

     6-Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada (infinita)

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos            a1
                                                                                            Sn 
                                                                                                   1 q

Exemplo Determine a soma dos termos da PG a) (8,4,2,1,...) b) (4, -2, 1, -1/2,...) resp a)16 b)-32/3

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:




                   Dessa equação encontramos como resposta x = 50.

A soma dos termos da PG infinita (0,3 ; 0,03 ; 0,003 ; ...) é dada por?              resp S=3/9

Obtenha a fração geratriz da dízima 0,232323232323.....

Que pode ser representada por 0,23 + 0,0023 + 0,000023 ...= 23/100 + 23/10000+ 23/1000000+...
cuja razão q = 1/100 , aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos encontramos 23/99

                  Problemas envolvendo PG
1-Observe a seqüência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3 , e assim por diante).




                                                                             (1,4,16,...)

Determine a quantidade dos menores triângulos da figura 7. resposta 4096 triângulos
2-Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas
duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo
primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior.
A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a
proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?resposta R$ 4.095,00.




Referencias
http://www.sosmatematica.com/Progressoes.htm#PG
www.interaula.com/ap1au006_06.html
http://progressao.br.tripod.com/P.G..html
http://br.geocities.com/silvandabr/papg.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica
http://www.somatematica.com.br/emedio/pg.php

Matemática volume único , Antonio Nicolau Youssef , Elizabeth Soares e Vicente Paz
Fernandes, editora Scipione




1-   Na PG de razão 2, a5 = 64 , determine a1 ?
2-   Quantos termos tem na PG ( 4,12,.....,324)
3-   Na PG onde a3 = 12 e a5 = 48 , calcule a1 = ? e a7= ?
4-   Interpole 5 termos geométricos entre 3 e 192
5-   Determine x em ( ¼ , x , 36 ) b) ( x , x+1 , x + 3 )
6-   Calcule a8 na PG ( 128 , 64 ,.....)

				
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posted:6/20/2012
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