2t ?????? ?????? ????? ??? ??? ????? E1n ? E2n ? D1n ? D2n ????? ???? ??? ?????? ?? ??? ?? by 1Z6o2ZC8

VIEWS: 21 PAGES: 118

									‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                    ‫الباب األول‬
  ‫المصادر والمجاالت الكهربائية والمغناطيسية الثابتة مع‬
                          ‫الزمن‬
                ‫‪Static Sources, Electric and Magnetic Fields‬‬


‫شهدت العقود األخيرة تقدما ً سريعا ً في مسارات الهندسة الكهربائية المختلفة وخاصة مساري‬
‫االتصاالت والحاسبات بحيث إن البيئة العامة أصبحت بحراً من اإلشارات الكهربائية‬
                      ‫والمغناطيسية. ومن هذه اإلشارات على سبيل المثال ال الحصر ما يلي:-‬


‫- المجاالت الناتجة عن خطوط الضغط المنخفض والمتوسط والعالي والتي تغذي المدن‬
                                                        ‫والتجمعات السكانية والمصانع والبيوت .‬
  ‫- اإلشارات الناتجة عن المحطات اإلذاعية والتلفازية وأجهزة االتصاالت المتنقلة والثابتة.‬
‫- اإلشعاعات الناتجة عن أجهزة الحاسوب الشخصية والتي تشهد نموا مطرداً وتزداد‬
                                                                  ‫سرعتها بشكل يكاد يكون قياسيا ً.‬
‫- المجاالت الكهربائية والمغناطيسية التي تولدها أجهزة التلفاز واألجهزة المختلفة األخرى‬
‫التي باتت تمأل البيوت العصرية. وقد يكون مستوى هذه المجاالت الناتجة عن بعض هذه‬
                            ‫األجهزة مرتفعا ً بعض الشيء لدرجة قد يؤثر على صحة اإلنسان.‬
                                           ‫- اإلشعاعات الناتجة عن أنظمة االتصاالت األخرى.‬


‫وهذا يجعل من الضرورة بمكان التعرف على اإلشارات والمجاالت الكهربائية والمغناطيسية‬
‫(الكهرومغناطيسية) وفهم ارتباطها مع بعضها ومع المصادر التي تنتجها. سيتم في هذا‬
‫الكتاب محاولة وضع األسس الضرورية لموضوع الكهرومغناطيسية الهندسية ويكون‬
‫التركيز بشكل رئيسي على المجاالت المتغيرة مع الزمن، إال أنه البد من أن يتم تقديم األساس‬
‫الضروري والالزم لهذا الموضوع في صورة المصادر والمجاالت الكهربائية والمغناطيسية‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫1‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫الثابتة مع الزمن ألنها تعتبر متطلبا ً أساسيا ً لموضوع هذا الكتاب. سيقدم هذا الباب شرحا ً‬
‫مختصراً لكل من المصادر والمجاالت الكهربائية الثابتة مع الزمن وكذلك المصادر‬
‫والمجاالت المغناطيسية الثابتة مع الزمن. ويشكل هذا الباب األساس لألبواب األخرى ويتم‬
‫تقسيمه إلى خمسة أجزاء. يغطي الجزء األول المصادر والمجاالت الكهربائية الثابتة مع‬
‫الزمن ويتم تقديم المصادر الكهربائية (الشحنات) وما ينتج عنها من قوى ومجاالت وجهد‬
‫كهربائي، ويتم كذلك بحث خصائص المواد العازلة واستقطابها وشرح المواسع وطريقة‬
‫إيجاد سعته. أما في الجزء الثاني فإنه يعالج التيار المستمر (الثابت مع الزمن) والخصائص‬
‫الموصيليه لألوساط المختلفة. أما الجزء الثالث فيتم تقديم المصادر المغناطيسية (التيارات)‬
‫وما ينتج عنها من قوى ومجاالت وجهد مغناطيسي وسيتم بحث خصائص المواد‬
‫المغناطيسية وإيجاد المحاثة. و يغطي الجزء الرابع تفاعل الشحنات مع المجاالت الكهربائية‬
                      ‫والمغناطيسية. أما الجزء الخامس فيقدم الصور في المصادر الكهربائية.‬


                ‫1-1:- المصادر والمجاالت الكهربائية الثابتة مع الزمن‬
‫إن المصادر والمجاالت الكهربائية الناتجة عنها ال تكون بالمفهوم المطلق ثابتة مع الزمن (أو‬
‫غير متحركة) وإنما تكون شبه ثابتة. ويسهل افتراض أنها ثابتة مع الزمن التعامل معها في‬
‫هذه المرحلة. وسيتم، الحقا ً في هذا الباب، معالجة خاصة للمصادر المتحركة. ولكن سيتم‬
‫أوالً تعريف المصادر (الشحنات) وبعدها يتم االنتقال إلى إيجاد المجاالت الكهربائية الناتجة‬
                                                           ‫ومن ثم إيجاد اآلليات التي تربط بينهما.‬


                                 ‫‪Electric Charges‬‬             ‫1-1-1:- الشحنات الكهربائية‬
‫تتكون المواد من ذرات وتتكون الذرة من نواة تحوي على نيترونات وهي أجسام غير‬
‫مشحونة وبروتونات، وزن البروتون ‪ ، 1.6710-27 kg‬وهـي أجسام اصطلح علـى‬
‫اعتبار أن شحنتهـا موجبة )+( . ويدور حول النواة مجموعة من اإللكترونات في مدارات‬
‫مختلفة ، وزن اإللكترون ‪ ، 9.1110-31 kg‬وهي أجسام اصطلح على أخذ شحنتها سالبة‬
‫)-(، وتستخدم وحدة الكولومب ‪ C‬للتعبير عن قيمة هذه الشحنات علما ً بأن القيمة العددية‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫2‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫لشحنة البروتون هي نفسها لشحنة اإللكترون أو ‪ .1.67 10 19 C‬وتمثل هذه البروتونات‬
‫واإللكترونات األساس للشحنات الكهربائية (أو المصادر الكهربائية) وتأتي هذه المصادر‬
                                                            ‫(الشحنات) بأشكال مختلفة كما يلي:-‬


‫- شحنة نقطية )‪ -: (Point Charge‬وهي شحنة (أو عدة شحنات) مركزة عند نقطة ( أو‬
                           ‫مجموعة من النقاط) ويرمز لها بالرمز ‪ q‬ووحداتها كولومب ‪.C‬‬
‫- شحنة خطية )‪ -: (Line Charge‬وهي شحنة مقدارها، مثالً، ‪ q C‬موزعة بشكل منتظم‬
‫أو غير منتظم على خط ‪ L‬ويعبر عنها بكثافة الشحنة الخطية ويرمز لها بالرمز ‪L‬‬
                                                                 ‫ووحداتها كولومب/متر أو ‪.C/m‬‬
‫- شحنة سطحية )‪ -: (Surface Charge‬وهي شحنة مقدارها، مثالً، ‪ q C‬موزعة بشكل‬
‫منتظـم أو غـير منتظم على سطح ‪ S‬ويعبر عنها بكثافة الشحنة السطحية ويرمـز لها بالرمز‬
                                                  ‫‪ s‬ووحداتها كولومب/متر مربع أو 2‪.C/m‬‬
‫- شحنة حجمية )‪ -: (Volume Charge‬وهي شحنة مقدارها، ‪ q C‬موزعة بشكل منتظم‬
‫أو غير منتظم في حجم ‪ V‬و يعبر عنها بكثافة الشحنة الحجمية ويرمز لها بالرمز ‪v‬‬
                                                       ‫ووحداتها كولومب/متر مكعب أو 3‪.C/m‬‬
‫ويبين الشكل )1-1( هذه األنماط المختلفة من الشحنات الكهربائية. وتجدر اإلشارة إلى أن‬
‫الشحنات المتشابهة (موجبة وموجبة أو سالبة وسالبة) تتنافر وأن الشحنات المختلفة (موجبة‬
                                                               ‫وسالبة أو سالبة وموجبة) تتجاذب.‬


‫‪Electric Force and Field‬‬              ‫1-1-2:- القوة الكهربائية والمجال الكهربائي‬
‫يمكن أن يتم فعليا ً قياس ما ينتج عن الشحنات الكهربائية وبالتالي فإن معظم القوانين التي‬
‫تضبط العالقة بين الشحنات وما ينتج عنها هي في أساسها تجارب يمكن تصميمها وإجراؤها‬
‫وأولها قانون كولومب )‪ (Coloumb Law‬الذي يحدد القوة الكهربائية )‪(Electric Force‬‬
‫‪ ( F‬سيتم استخدام حرفا ً داكناً لتمثيل الكميات المتجهة ) بين شحنتين ‪ q1 C‬و ‪ q2 C‬تفصل‬
               ‫بينهما مسافة 21‪ ،R‬أنظر الشكل )1-2(، وهذه القوة الكهربائية تكون كما يلي:-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫3‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




           ‫2 ‪q1 q‬‬
‫‪F12 ‬‬                   ‫21‪a R‬‬         ‫‪N‬‬                                                      ‫)1-1(‬
         ‫21 ‪4   R‬‬
                 ‫2‬


‫حيث إن 21‪ F‬هي القوة التي تؤثر بها الشحنة 1‪ q‬على الشحنة 2‪ q‬علما ً بأن‬
‫12‪ ،F12 = - F‬و 1‪ R12  R12  r2  r‬هي المسافة التي تفصل بين الشحنتين 1‪q‬‬
‫و 2‪ r‬يمثالن متجهات موضعية و ‪ ‬هو‬                   ‫و 2‪ q‬و 21‪ aR‬يمثل متجه وحدة طول و 1‪r‬‬
  ‫ثابت الوسط أو سماحيته وتكون قيمته للفراغ (أو للهواء) ‪.  0  10 9 /(36 ) F / m‬‬


                                                               ‫شحنات خطية‬
                                ‫‪q1 C‬‬               ‫‪z‬‬

‫شحنات نقطية‬                                                     ‫‪L C/m‬‬
                         ‫‪q2 C‬‬
                                                                                    ‫خط ‪L‬‬
                      ‫‪q3 C‬‬
                                                                               ‫سطح ‪S‬‬
                                ‫شحنات حجمية‬
‫حجم ‪V‬‬
                                                           ‫2‪s C/m‬‬

                                                                                                  ‫‪y‬‬



        ‫3‪v C/m‬‬                                 ‫شحنات سطحية‬

                 ‫‪x‬‬

‫الشكـل )1-1(:- األشكال المختلفة للشحنات الكهربائية:- الشحنات النقطية ‪ q1 C‬و ‪q2 C‬‬
‫و ‪ q3 C‬والشحنة الخطية ‪ L C/m‬والشحنة السطحية 2‪ s C/m‬والشحنة الحجمية‬
                                                                                        ‫3‪. v C/m‬‬


‫و يمكن من الشكل )1-2( كتابة 1‪ r‬و 2‪ r‬و 21 ‪ R‬و 21‪ a R‬باستخدام اإلحداثيات الكارتيزية‬
                                                                 ‫واألسطوانية والكروية كما يلي:-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫4‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫2,1‪r1,2  x1,2 a x  y1,2 a y  z1,2 a z  r1,2 a r1,2  z1,2 a z  r1,2 a r‬‬
      ‫‪ 1,2 cos 1,2 a x  1,2 sin 1,2 a y  z1,2 a z‬‬
      ‫‪ r1,2 sin 1,2 cos 1,2 a x  r1,2 sin 1,2 sin 1,2 a y  r1,2 cos 1,2 a z‬‬


‫2 ) 1‪R 12  r2  r1  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (z 2  z‬‬


‫21‪a R12  [(x 2  x1 ) a x  (y 2  y1 ) a y  (z 2  z1 ) a z ] / R‬‬


             ‫‪z‬‬     ‫)1‪(r1,1,‬‬                                                   ‫2‪q‬‬             ‫21‪F‬‬
                   ‫)1‪(ρ1 ,1,z‬‬                        ‫21 ‪R‬‬
                   ‫)1‪(x1,y1,z‬‬         ‫1‪q‬‬                                        ‫)2‪(x2,y2,z‬‬
                  ‫12‪F‬‬                                                 ‫2‪r‬‬        ‫)2‪(ρ2 ,2,z‬‬
                                 ‫1‪r‬‬                                             ‫)2‪(r2,2,‬‬



                                               ‫‪y‬‬


‫‪x‬‬
      ‫الشكل )1-2(:- القوة الكهربائيـة 21‪ F‬بين شحنتين 1‪ q‬و 2‪ q‬تفصل بينهما مسافة 21‪.R‬‬



‫ويتكرر هذا‬        ‫بقانون التربيع العكسي‬            ‫وتعرف العالقة المبينة في المعادلة )1-1(‬
‫القانون في المصادر والمجاالت المغناطيسية وقوى الجاذبية ومسائل فيزيائية أخرى.‬
‫هذه‬    ‫(في‬       ‫النقطية 1‪q‬‬       ‫الشحنة‬     ‫في ناتج‬         ‫وتبين هذه العالقة أن هناك تماثالً‬

‫بشكل منتظم على سطح كرة مساحتها 2 ‪4  R 12 m‬‬
      ‫2‬
                                                                    ‫ويتوزع هذا الناتج‬         ‫الحالة)،‬
‫وتؤثر هذه الشحنة بشكل طردي على الشحنة النقطية األخرى 2‪ q‬وذلك كما تبينه‬
                                                                                     ‫العالقة المذكورة.‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫5‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫يتتم اآلن تعريتف المجتال الكهربتائي ‪ (Electric Field) E‬علتى أنته القتوة الكهربائيتة لكتل‬
‫وحدة شحنة أو أن المجـال الكهربتائي 1‪ E‬عنتد النقطتـة ) 2‪ ( x2, y2, z‬النتاتج عتن الشتحنة‬
                                             ‫1‪ q‬الموضوعة عند النقطة )1‪ (x1, y1, z‬هو كما يلي:-‬

         ‫21‪F‬‬    ‫1‪q‬‬
‫‪E1 ‬‬         ‫‪‬‬        ‫‪aR‬‬                      ‫‪V/m‬‬                                              ‫)1-2(‬
         ‫21 21‪q 2 4   R‬‬
‫وتكتون وحداتته ‪ N/C‬أو ‪ .V/m‬وإذا كتان هنتاك شتحنة حجميتة موجتودة فتي الحجتم ' ‪V‬‬
‫وكثافتها هي ‪  V‬كما هو مبين في الشتكل )1-3( فتإن المجتال الكهربتائي النتاتج عنتد النقطتة‬
                                                                           ‫)‪ (x, y, z‬يكون كما يلي:-‬


                   ‫' ‪ V (r ' ) dV‬‬
‫‪E(r) ‬‬
          ‫‪‬‬          ‫2‪4   R‬‬
                                     ‫‪aR‬‬         ‫‪V/m‬‬                                            ‫)1-3(‬
              ‫'‪V‬‬

                                               ‫‪. aR  R / R‬‬            ‫'‪ R  r - r‬و‬            ‫حيث إن‬



                                  ‫'‪dV‬‬
                   ‫‪z‬‬                                                                          ‫)‪E(r‬‬
                                                                            ‫‪R‬‬


         ‫‪V‬‬                             ‫'‪r‬‬                             ‫‪r‬‬

    ‫'‪V‬‬

                                                       ‫‪y‬‬


   ‫‪x‬‬


                            ‫الشكل )1-3(:- المجال الكهربائي الناتج عن شحنة حجمية.‬




                         ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫6‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫مثاال )1-1(:- يبتين الشتكل )1-4( ثتـالث شحنتـات نقطيتـة موضوعـتـة فتـي الفتـراغ، األولتى‬
‫‪ q1 = 1 nC‬عند النقطة )0 ,0 ,1( والثانية ‪ q2 = - 2 nC‬عند النقطة )0 ,0 ,0( والثالثة‬
‫‪ q3 = 1 nC‬عند النقطة )0 ,0 ,1-( :- )‪ (i‬أوجد القوة التتي تتؤثر بهتا الشتحنة األولتى علتى‬
‫كل من الشحنة الثانيتة والثالثتة. )‪ (ii‬أوجتد نتاتج القتوة التتي تتؤثر بهتا الشتحنة الثانيتة والشتحنة‬
‫الثالثتتة علتتى الشتتحنة األولتتى. )‪ (iii‬أوجتتد المجتتال الكهربتتائي النتتاتج عتتن هتتذه الشتتحنات عنتتد‬
                                  ‫النقطة )‪ P1 (x, y, z‬والنقطة )1,0,0( 2‪ P‬والنقطة )0,0,2( 3‪.P‬‬


                                                                                                 ‫الحـــل:-‬
                                    ‫)‪ (i‬القوة التي تؤثر بها الشحنة األولى على الثانية‬
                   ‫9‪‬‬                    ‫9‪‬‬
      ‫) ‪(1  10 ) (2  10 ) ( a x‬‬
‫‪F12 ‬‬                                    ‫‪ 18 a x‬‬        ‫‪nN‬‬
          ‫21 ‪4   (10 9 / 36 ) ‬‬
                                                        ‫القوة التي تؤثر بها الشحنة األولى على الثالثة‬
                   ‫9‪‬‬               ‫9‪‬‬
         ‫) ‪(1  10 ) (1  10 ) ( a x‬‬
‫‪F13 ‬‬                                             ‫‪  2.25 a x‬‬            ‫‪nN‬‬
            ‫2 2 ‪4   (10 9 / 36 ) ‬‬

                                                    ‫‪z‬‬


                   ‫)‪P1 (x, y, z‬‬                    ‫)1 ,0 ,0( 2‪P‬‬
                                                                      ‫‪q3 = 1 n C‬‬

                                                                      ‫)0 ,0 ,1-(‬

                                                                                                  ‫‪y‬‬


      ‫‪q1 = 1 n C‬‬                                        ‫‪q2 = -2 n C‬‬
                                    ‫)0 ,0 ,1(‬



  ‫‪x‬‬
              ‫)0 ,0 ,2( 3‪P‬‬
                                                        ‫الشكل )1-4( :- هندسية المثال )1-1(.‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                             ‫7‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                  ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




 ‫)‪ (ii‬أما ناتج القوة التي تؤثر بها الشحنتين الثانية والثالثة على الشحنة األولى فهي كما يلي :-‬


‫‪F  F21  F31  F12  F13  18 a x  2.25 a x  15.75 a x‬‬                                   ‫‪nN‬‬


‫)‪ (iii‬المجال الكهربائي الكلي عند النقطة 1‪ P‬هو المجموع االتجاهي للمجال الكهربتائي النتاتج‬
                                                                             ‫عن كل شحنة على حدة، أو‬
                                 ‫9‪10 ‬‬   ‫‪ ( x  1) a x  y a y  z a z‬‬
‫‪E ( x , y, z ) ‬‬                         ‫‪‬‬
                                         ‫‪‬‬        ‫‪‬‬
                      ‫2 / 3 2 ‪4  (10 9 / 36 )  ( x  1) 2  y 2  z‬‬      ‫‪‬‬
                   ‫)‪2 (x a x  y a y  z a z‬‬               ‫‪( x  1) a x  y a y  z a z ) ‬‬
               ‫‪‬‬                                       ‫‪‬‬
                      ‫‪(x‬‬    ‫2‬
                                 ‫2‪ y2  z‬‬    ‫‪‬‬‫2 /3‬
                                                           ‫‪‬‬                             ‫‪‬‬‫‪ V/m‬‬
                                                             ‫‪( x  1) 2  y 2  z 2 3 / 2 ‬‬

                                               ‫أما المجال الكهربائي الكلي عند النقطة 2‪ P‬كما يلي:-‬


‫2 2 / ) ‪E (0, 0, 1)  9 (a x  a z ) / (2 2 )  2a z  (a x  a z‬‬                      ‫‪‬‬
              ‫‪ 11.64 a z V / m‬‬
                              ‫ويكون المجال الكهربائي الكلي عند النقطة 3‪ P‬كما يلي:-‬
‫‪E (2, 0, 0)  9 ( a x  0.5 a x  0.11 a x )  5.5 a x‬‬     ‫‪V/m‬‬


‫مثال )1-2(:- يبين الشكل )1-5( سلكا ً موصالً طويالً يحمل شحنة خطية كثافتها ‪L C/m‬‬
‫وموضوع باتجاه المحور ‪ z‬في الهواء، أوجد المجال الكهربائي الناتج عن هذا السلك‬
                                                                                  ‫عند النقطة )0 ,‪.P (0, y‬‬


                                                                       ‫الحـــل :-‬
‫إذا أخذ جتزء صتغير متن الستلك ‪ dz‬والتذي يحمتل شتحنة مقتدارها ‪ L dz C‬فتإن المجتال‬
                       ‫'‬                                              ‫'‬


                                                               ‫الكهربائي ‪ dE‬الناتج يكون كما يلي :-‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫8‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                            ‫‪‬‬

                                             ‫‪z‬‬
                                                  ‫'‪ρL dz‬‬
                             ‫)'‪(0, 0, z‬‬


                                                      ‫‪R‬‬

                                                                                ‫‪dE‬‬
                                                            ‫‪‬‬
                                                                                     ‫‪y‬‬
                                                         ‫‪P‬‬
                                                     ‫)0 ,‪(0, y‬‬
                                                                                ‫‪dE‬‬



 ‫‪x‬‬
                      ‫)'‪(0, 0, -z‬‬                                ‫الشكل )1-5(:- سلك موصل طويل‬
                                                                   ‫مشحون وموضوع على المحور ‪.z‬‬
                                            ‫‪‬‬




                         ‫' ‪ L dz‬‬
‫‪dE (0, y, 0) ‬‬                             ‫‪aR‬‬          ‫‪V/m‬‬
                      ‫2 ‪4  0 R‬‬
                                                       ‫2‬                                 ‫2‬
          ‫2 / 1) ' ‪. a r  ( y a y  z ' a z ) /( y 2  z‬‬           ‫و‬   ‫حيث إن 2 /1) ' ‪R  ( y 2  z‬‬

                                    ‫أو أن المجال الكهربائي الكلي الناتج عن السلك يكون كما يلي :-‬

                                    ‫‪‬‬
               ‫‪‬‬                          ‫) ‪(y a y  z ' a z‬‬
 ‫‪E (0, y, 0)  L‬‬
              ‫0‪4  ‬‬
                                ‫‪‬‬
                                    ‫‪‬‬   ‫) ‪(y  z‬‬
                                            ‫2‬     ‫2 /3 2'‬
                                                                 ‫' ‪dz‬‬    ‫‪V/m‬‬


‫ومن التماثل في هذه المسألة فـإن المجال الكهربائـي سيكون لــــه عنصـر فـي اتجـاه ‪ay‬‬
‫فقــط (يالحظ أن التكامـل الثاني يتـم على دالة مفـردة وبالتالي فإن نتيجته تكون صفراً) أو أن‬
                                                                            ‫‪ E  E y a y‬أو‬




                         ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫9‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                        ‫‪‬‬
                       ‫‪2 L y‬‬                          ‫' ‪dz‬‬
 ‫‪E y (0, y, 0) ‬‬
                       ‫0‪4  ‬‬           ‫‪ (y‬‬
                                        ‫0‬
                                                 ‫2‬        ‫2‬
                                                     ‫2 / 3) ' ‪ z‬‬
‫وتستخدم طريقة التعويض إلجراء هذا التكامل األخير أو باستتخدام ‪ z  y tan ‬وبالتتالي‬
             ‫'‬

                                             ‫2‬
                       ‫فإن ‪ dz '  yd / cos 2 ‬و ‪ ، ( y 2  z ' ) 3 / 2  y 3 / cos 2 ‬أو‬

 ‫‪‬‬                                 ‫2 /‪‬‬
            ‫' ‪dz‬‬
 ‫‪ (y‬‬                               ‫‪ cos  d   1/ y‬‬
                             ‫1‬
                           ‫2 ‪‬‬                                      ‫2‬
                 ‫2 /3 2'‬
 ‫0‬
        ‫2‬
            ‫) ‪z‬‬            ‫‪y‬‬
                                    ‫0‬

                                                 ‫ويصبح المجال الكهربائي عند النقطة )0,‪ (0,y‬كما يلي:-‬


‫‪E y (0, y, 0)  L /(2  0 y) V / m‬‬

‫إذا استخدمت اإلحداثيات األسطوانية في حل هذه المسألة فتإن المجتال الكهربتائي النتاتج يكتون‬
                                                    ‫‪L‬‬
‫‪ E  (r, , z) ‬حيث إن ‪ ρ‬هي المستافة التتي‬                   ‫فقط باتجاه ‪ aρ‬ويكون ‪V / m‬‬
                                                  ‫‪2  0 ‬‬
     ‫تفصل النقطة المراد إيجاد المجال الكهربائي عندها عن السلك في اإلحداثيات األسطوانية.‬


                                            ‫)‪(Electric Potential‬‬         ‫1-1-3:- الجهد الكهربائي‬
‫يعتترف الجهتتد الكهربتتائي بأنتته كميتتة الشتتغل المبتتذول لنقتتل وحتتدة شتتحنة موجبتتة متتن نقطتتة إلتتى‬
‫أخرى بوجود مجال كهربائي. ويبين الشكل )1-6( وجود شحنة نقطية ‪ +q‬وخطوط مجالها‬
                                                           ‫ٍ‬
‫الكهربائي ووحدة شحنة موجبة تقع عند النقطة )1‪ .P1(r‬يالحظ أنته ستيتم بتذل جهتد موجتب‬
‫ٍ‬     ‫ٍ‬
‫إذا ما حركت وحدة الشتحنة الموجبتة متن النقطتة )1‪ P1(r‬إلتى النقطتة )2‪ P2(r‬أي باتجتاه‬
‫معاكس التجتاه خطتوط المجتال الكهربتائي. كتذلك فإنته ستيتم بتذل جهتد ستالب إذا متا حركتت‬
              ‫ٍ‬      ‫ٍ‬
                          ‫' '‬
‫وحدة الشحنة الموجبة من النقطة )1‪ P1(r‬إلتى النقطتة ) 2‪ P2 (r‬أي باتجتاه خطتوط المجتال‬
                                                      ‫الكهربائي. ويعطى الجهد الكهربائي بالعالقة التالية:-‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫01‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                   ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                 ‫2‬

‫‪V12   E  dL‬‬
              ‫‪‬‬‫1‬
                                                   ‫‪V‬‬                                                  ‫)1-4(‬


‫وتتتأتي اإلشتتارة الستتالبة للتعبيتتر عتتن أن بتتذل جهتتد موجتتب ينتتتج متتن تحريتتك وحتتدة‬
‫الشحنة الموجبة باتجاه معاكس التجاه خطوط المجال الكهربتائي ‪ .E‬ويؤكتد الضترب‬
‫و ‪dL‬‬        ‫النقطتتتي )‪ (‬علتتتى أن الجهتتتد ستتتيكون بتتتأعلى قيمتتتة لتتته إذا كانتتتت ‪dE‬‬
‫ويكتتون صتتفراً إذا كانتتت حركتتة وحتتدة الشتتحنة باتجتتاه عمتتودي علتتى‬                           ‫متوازيتتان‬
‫فتمثتتل وحتتدة الطتتول التفاضتتلية أو‬                          ‫‪dL‬‬  ‫خطتتوط المجتتال الكهربتتائي. أمتتا‬
‫‪ dL  dx a x  dy a y  dz az‬لإلحتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتداثيات الكارتيزيتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتة و‬
‫األستتتتتتتتتتتتتتتتتتطوانية و‬     ‫لإلحتتتتتتتتتتتتتتتتتتداثيات‬   ‫‪dL  d a  d a  dz az‬‬
                      ‫لإلحداثيات الكروية.‬                 ‫‪dL  dr a r  rd a  r sin  d a‬‬




                                                                                 ‫وحدة الشحنة‬
                                                                                 ‫الموجبة‬
                                                                                                 ‫) 2‪P2 ' (r‬‬
                                                                                                        ‫'‬
                                                    ‫) 2‪r2 P2 (r‬‬                  ‫)1‪P1(r‬‬
                             ‫‪+q‬‬
                                                                       ‫1‪r‬‬

                                                                             ‫‪r‬‬


                                                            ‫‪E‬‬


  ‫الشكل )1-6(:- شحنة نقطية ‪ +q‬وخطوط مجالها الكهربائي وحركة وحدة الشحنة الموجبة.‬

             ‫‪q‬‬
‫‪E‬‬                   ‫‪ar‬‬          ‫ومن الشتكل )1-6( فتإن ‪ dL = dr ar‬والمجتال الكهربتائي ‪V / m‬‬
        ‫2 ‪40 r‬‬
                                                         ‫وبالتالي فإن الجهد الكهربائي 21‪ V‬يصبح كما يلي :-‬




                            ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫11‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




           ‫2‪r‬‬
                                                  ‫‪ 1 1‬‬
           ‫‪ 4‬‬
                  ‫‪q‬‬                        ‫‪q‬‬
‫‪V12  ‬‬                           ‫‪dr ‬‬            ‫‪  ‬‬
                                                  ‫‪r‬‬     ‫‪‬‬         ‫‪V‬‬
                      ‫0‬   ‫‪r‬‬   ‫2‬
                                         ‫0‪4  ‬‬   ‫‪ 2 r1 ‬‬
           ‫‪r‬‬
            ‫1‬

‫وإذا كانت ‪ r2 = r‬و ‪ r1  ‬فإن الجهد الكهربتائي للنقطتة )‪ P( r‬مقارنتة بنقطتة يكتون‬
                                                                        ‫عندها الجهد مساويا ً لصفر هو‬
              ‫‪q‬‬
‫‪V( r ) ‬‬                                   ‫‪V‬‬                                                     ‫)1-5(‬
           ‫‪4  0 r‬‬
‫وتمثل العالقة األخيترة قيمتة الجهتد عنتد أي نقطتة علتى ستطح كترة نصتف قطرهتا ‪ r‬ويكتون‬
‫جهد أي نقطة على سطحها مستاويا ً ‪ q /( 4   0 r ) V‬ويستمى هتذا بستطح تستاوي الجهتد.‬
‫ويالحظ من الشكل )1-7( أن خطوط المجال الكهربائي تكون عمودية على هذا الستطح وهتذه‬
‫قاعتتدة عامتتة مفادهتتا أن خطتتوط المجتتال الكهربتتائي تكتتون دائم تا ً عموديتتة علتتى أستتطح تستتاوي‬
‫الجهد. ويمكن إعادة كتابة المعادلة )1-5( إذا كانت الشحنة موزعة في حجم ' ‪ dV‬كما يلي:-‬


                                                                            ‫‪E‬‬
                                                                        ‫أسطح تساوي الجهد‬

 ‫خطوط المجال‬
   ‫الكهربائي‬


                                            ‫‪q‬‬


                                                       ‫1‪V‬‬    ‫2‪V‬‬
                                                                  ‫3‪V‬‬
                                                                       ‫4‪V‬‬




 ‫الشكل )1-7(:- تعامد خطوط المجال الكهربائي ‪ E‬عـــــــلى أسطح تساوي الجهد.‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫21‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                             ‫' ‪ v dV‬‬
                  ‫‪‬‬
           ‫1‬
‫‪V(r ) ‬‬                                                                                           ‫)1-6(‬
          ‫0‪4‬‬                  ‫‪R‬‬
                      ‫'‪V‬‬

‫والنقطة التي يتم‬           ‫حيث إن ‪ R‬تمثل المسافة بين النقطة التي يكون عندها ' ‪ v dV‬‬
‫حساب جهدها. ويالحظ أن العالقة التي تحدد الجهد هي أبسط من تلك التي تحدد‬
‫المجال الكهربائي إضافة إلى أن الجهد كميـة قياسية في حين إن المجال كمية‬
‫متجهة وبالتالي قد يكون من السهل، في حاالت عدة وخاصة تلك التي تفتقد إلى‬
‫يتم استنتاج المجال‬           ‫إيجاد الجهد ومن ثم (سيتم بيان ذلك فيما بعد)‬                         ‫التماثل،‬
                                                                                              ‫الكهربائي.‬


‫مثال )1-3(:- في المثال )1-2( أوجد فرق الجهد 21‪ V‬الناتج بتين نقطتتين األولتى‬
‫والثانية تقع على بعد 2‪ ρ‬من الستلك علمتا ً بتأن‬                     ‫1‪ ρ‬من السلك‬          ‫تقع على بعد‬
‫وموضـوع بشكتـل متماثتـل علتى المحتـور ‪z‬‬                       ‫1‪ ρ2 < ρ‬إذا كان طول السلك ‪2L‬‬
‫، بتين ‪ z = - L‬و ‪ ،z = L‬فأوجتد جهتد النقطتة )0 ,‪ (0, y‬إذا كانتت كثافتة‬
                                                ‫الشحنة الخطية له ‪.  L C / m‬‬


                                                                             ‫الحـــل:-‬
‫21‪V‬‬   ‫بمـا أن المجـال الكهربائـي لهـذا السلك هـو )‪ E  L /(2  0 ‬فتـإن فترق الجهتد‬

                                                      ‫بين نقطتين ) 1‪ (ρ = ρ2 ρ = ρ‬هو كما يلي:-‬

                                          ‫‪L‬‬
            ‫‪‬‬
‫‪V12   E  dL  ‬‬
                                   ‫‪‬‬    ‫‪2  0 ‬‬
                                                 ‫) ‪a   (d a   d a   dz a z‬‬
                             ‫2‪r‬‬
              ‫‪L‬‬                  ‫‪d‬‬   ‫‪L‬‬     ‫‪ ‬‬
        ‫‪ ‬‬
            ‫0‪2  ‬‬           ‫‪‬‬
                             ‫1‪r‬‬
                                     ‫‪‬‬
                                  ‫0‪ 2  ‬‬
                                           ‫‪ln  1 ‬‬
                                              ‫‪ ‬‬
                                              ‫‪ 2‬‬
                                                                          ‫‪V‬‬


‫أما في حالة السلك الواقع في المدى ‪  L  z  L‬فقط فسيكون من األسهل إيجتاد الجهتد ‪V‬‬
                                                             ‫عند النقطة )0 ,‪ (0, y‬مباشرة كما يلي:-‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫31‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                   ‫‪L‬‬                          ‫‪L‬‬
                                       ‫' ‪ L dz‬‬    ‫‪‬‬                  ‫' ‪dz‬‬
                                   ‫‪‬‬                          ‫‪‬‬
                 ‫1‬
 ‫‪V (0, y, 0) ‬‬                                  ‫‪ L‬‬
               ‫0‪4  ‬‬                    ‫‪R‬‬       ‫0‪4  ‬‬                       ‫2‬
                                 ‫‪L‬‬                          ‫‪L‬‬    ‫'‪y2  z‬‬
‫يتتتتتتتتتتم إجتتتتتتتتتراء هتتتتتتتتتذا التكامتتتتتتتتتل بطريقتتتتتتتتتة التعتتتتتتتتتويض ‪ z '  y tan ‬أ و‬

                                           ‫2‬
‫وبالتتتالي فتتإن الجهتتد‬           ‫‪y 2  z '  y / cos ‬‬          ‫وكتتذلك‬     ‫‪dz '  y d  / cos2 ‬‬
                                                                                  ‫‪ V‬يصبح كما يلي :-‬
                              ‫1‪‬‬
                     ‫‪L‬‬              ‫‪d‬‬     ‫‪L‬‬       ‫‪ 1  sin 1 ‬‬
 ‫‪V(0,y,0) ‬‬
                   ‫0‪4  ‬‬     ‫‪‬‬
                             ‫1‪‬‬
                                         ‫‪‬‬
                                    ‫0 ‪cos  4  ‬‬
                                                  ‫‪ln ‬‬
                                                     ‫‪ 1  sin  ‬‬
                                                     ‫‪‬‬          ‫‪1‬‬
                                                                  ‫‪‬‬

                                                                                     ‫‪L‬‬
                                                                      ‫حيث إن ‪ 1  tan 1  ‬أو‬
                                                                                     ‫‪y‬‬
                                                                                     ‫‪ ‬‬

                         ‫‪L‬‬      ‫‪ L2  y 2  L ‬‬
     ‫‪V(0, y ,0) ‬‬             ‫‪ln ‬‬              ‫‪ V‬‬
                       ‫‪4  o‬‬    ‫‪ L2  y 2  L ‬‬
                                 ‫‪‬‬              ‫‪‬‬


‫يالحظ مما سبق أن خطوط المجال الكهربائي تكون متعامدة على أسطح تساوي الجهد‬
‫وبالتالي وبالنظر إلى الشكل )1-8( فإن فرق الجهد بين أي نقطة على سطح‬
‫يكون‬      ‫أخرى على سطح تساوي الجهد 2‪V‬‬                             ‫وأى نقطة‬         ‫1‪V‬‬     ‫تساوي الجهد‬
‫1‪ .V2 - V‬وبالتالي فليس لتفاصيل المسار بين نقطتين أثر على‬                                 ‫أو‬     ‫2‪V1 - V‬‬
‫والنهائية. ونظراً ألن‬              ‫فرق الجهد بينهما وإنما فقط جهدي نقطتي البداية‬
‫فإنه سيكون‬         ‫و ‪dL‬‬       ‫فرق الجهد بين نقطتين هو ناتج عن ضرب نقطي بين ‪E‬‬
‫موازيا ً للخط‬         ‫للمجال الكهربائي ‪E‬‬             ‫يكون الخط الممثل‬             ‫بقيمته العظمى عندما‬
‫الجهد.‬     ‫تساوي‬       ‫يكون ‪ dL‬عموديا ً على سطح‬                   ‫‪ dL‬أو عندما‬           ‫للمسار‬      ‫الممثل‬
‫يكون المسار‬           ‫أو عندما‬         ‫ويكون صفراً عندما يكون ‪ E‬عموديا ً على المسار ‪dL‬‬
                                                                ‫‪ dL‬مماسا ً لسطح تساوي الجهد.‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                             ‫41‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                     ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                     ‫خطوط المجال الكهربائي‬                 ‫‪E‬‬
                      ‫‪E‬‬
                                                            ‫سطح تساوي الجهد‬                     ‫‪E‬‬

                                                                      ‫21‪V‬‬

      ‫1‪V‬‬              ‫21‪V‬‬
                                            ‫سطح تساوي الجهد‬
                                                                                              ‫12‪V‬‬



                        ‫2‪V‬‬


                    ‫الشكل )1-8(:- خطوط المجال الكهربائي وأسطح تساوي الجهد.‬


                                                ‫‪Voltage Gradient‬‬                ‫1-1-4:- تدرج الجهد‬
‫إذا كان هناك سطحي تساوي جهد ‪ V‬و ‪ V + V‬تفصل بينهما مسافة ‪ L‬بوجود مجتال‬
       ‫كهربائي ‪ E‬عمودي عليهما كما يبين الشكـل )1-9( فـإن فـرق الجهد يكــون كما يلي:-‬

             ‫2‬

             ‫‪‬‬
‫‪V12   E  dL  V   E L L‬‬
             ‫1‬

                                                     ‫حيث إن ‪ EL‬هو المجال الكهربائي باتجاه ‪ ،L‬أو‬


‫‪E L   V / L‬‬                                                                                        ‫)1 - 7(‬
‫وتبتتتتين العالقتتتتة األخيتتتترة أن المجتتتتال الكهربتتتتائي هتتتتو معتتتتدل تغيتتتتر الجهتتتتد فتتتتي االتجتتتتاه‬
            ‫‪V‬‬
 ‫‪Ex  ‬‬              ‫العمودي على السطح الذي يمثل ذلك الجهتد. فتإذا كتان ‪ dL= dx ax‬فتإن‬
            ‫‪x‬‬
                              ‫‪V‬‬                                                                   ‫‪V‬‬
‫‪ ، E y  ‬أما إذا كان‬                 ‫‪ (E  E x a x  ‬وإذا كانت ‪ dL= dy ay‬فإن‬                           ‫أو ) ‪a x‬‬
                              ‫‪y‬‬                                                                    ‫‪x‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                 ‫51‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                              ‫‪V‬‬
‫‪ E z  ‬وبالتتالي إذا كتان ‪dL = dx ax + dy ay + dz az‬‬                            ‫‪ dL = dz az‬فتإن‬
                                                                              ‫‪z‬‬
                                                        ‫فإن المجال الكهربائي ‪ E‬يكون كما يلي:-‬


                                ‫‪ V‬‬      ‫‪V‬‬      ‫‪V ‬‬
‫‪E  E x ax  E y ay  Ez az   ‬‬
                                ‫‪x‬‬  ‫‪ax ‬‬    ‫‪ay ‬‬    ‫‪az ‬‬
                                                        ‫‪‬‬
                                ‫‪‬‬         ‫‪x‬‬      ‫‪z‬‬    ‫‪‬‬

                           ‫‪E‬‬
                                             ‫سطح تساوي الجهد ‪V‬‬
                                                                                               ‫‪E‬‬
                               ‫‪‬‬

                                                                              ‫‪y‬‬
                                             ‫سطح تساوي الجهد‬                              ‫)1‪(x1 ,y‬‬
                                     ‫‪dL‬‬
                      ‫‪L‬‬                         ‫‪V+V‬‬
                                       ‫‪‬‬                                            ‫‪dL‬‬
                                                                 ‫)2‪(x2 ,y‬‬                  ‫‪x‬‬




‫الشكل )1-9(:- سطحا تساوي الجهد ‪ V‬و ‪ V + V‬تفصل بينهما مستافة ‪ L‬بوجتود مجتال‬
                                                                                          ‫كهربائي ‪. E‬‬



                       ‫وعندما تؤول 0 ‪ ΔL  dL ‬فإن العالقة األخيرة تكتب كما يلي:-‬


    ‫‪ V‬‬      ‫‪V‬‬      ‫‪V‬‬       ‫‪‬‬
‫‪E ‬‬
    ‫‪x‬‬  ‫‪ax ‬‬    ‫‪ay ‬‬     ‫‪az ‬‬ ‫‪‬‬
    ‫‪‬‬         ‫‪y‬‬      ‫‪z‬‬       ‫‪‬‬
    ‫‪ ‬‬       ‫‪‬‬       ‫‪‬‬      ‫‪‬‬
  ‫‪‬‬
    ‫‪ x‬‬ ‫‪ax ‬‬    ‫‪ay ‬‬    ‫)‪a z  V( x, y, z‬‬
                             ‫‪‬‬                                                                 ‫)1- ‪(8a‬‬
    ‫‪‬‬         ‫‪y‬‬      ‫‪z‬‬     ‫‪‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫61‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                                                ‫أو‬
‫‪E V‬‬                                                                                     ‫)1-‪(8b‬‬
                                               ‫‪‬‬       ‫‪‬‬       ‫‪‬‬
‫‪  ‬ويدعى بالتدرج )‪ (gradient‬أو‬                   ‫‪ax ‬‬    ‫‪ay ‬‬    ‫‪az‬‬                       ‫حيث إن‬
                                               ‫‪x‬‬      ‫‪y‬‬      ‫‪z‬‬
                                   ‫بمعدل التغير، ويكون في اإلحداثيات األسطوانية كما يلي:-‬

        ‫‪‬‬       ‫‪1 ‬‬      ‫‪‬‬
 ‫‪‬‬        ‫‪a ‬‬     ‫‪a ‬‬    ‫‪az‬‬
        ‫‪‬‬      ‫‪‬‬      ‫‪z‬‬
                                                     ‫أما في اإلحداثيات الكروية فيكون كما يلي:-‬

       ‫‪‬‬        ‫‪‬‬            ‫‪‬‬
‫‪‬‬        ‫‪ar ‬‬     ‫‪a ‬‬             ‫‪a‬‬
       ‫‪r‬‬      ‫‪r‬‬      ‫‪r sin   ‬‬


‫مثال )1-4(:- إذا كان جهد مصدر معين معطى بما يلي:- )‪ V(r, ,) = 50 /r V (i‬أو‬
                        ‫)‪ . V(x,y,z) = 5 x2y V (ii‬أوجد المجال الكهربائي لكل حالة.‬


                                                                                           ‫الحـــل:-‬
                                    ‫)‪ (i‬يتم استخدام العالقة )1-‪ (8a‬في اإلحداثيات الكروية أو‬
                 ‫05‬
‫‪E   V ‬‬            ‫‪ar‬‬       ‫‪V/m‬‬
                 ‫2‪r‬‬
                               ‫)‪ (ii‬يتم استخدام العالقة )1-‪ (8 a‬في اإلحداثيات الكارتيزية أو‬


‫‪E   V   10 x y a x  5 x 2 a y V / m‬‬


                             ‫1-1-5:- كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬وقانون جاوس‬
  ‫تبين المعادلة )1-3( المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية وسيتم كتابتها هنا كما يلي:-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫71‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




        ‫1‬    ‫‪q‬‬
‫‪E ‬‬              ‫‪ar‬‬                              ‫‪V/m‬‬
        ‫2‪ 4  r‬‬
‫ويمكن النظر إليها على أساس أن المجال الكهربائي ينتج عتن شتحنة نقطيتة يتتوزع‬
‫أثرها بشكل منتظم علتى مستاحة كترة نصتف قطرهتا ‪ r‬فتي وستط ستماحيته ‪.‬‬
‫وستتتيتم تعريتتتف الكميتتتة 2‪ (q / 4 r 2 ) C / m‬علتتتى أنهتتتا كثافتتتة الفتتتيض الكهربتتتائي‬
         ‫)‪ ،D (electric flux density‬أو متجه اإلزاحة ‪ ،displacement vector‬أو‬

            ‫‪q‬‬
‫‪D ‬‬                   ‫‪ar‬‬                      ‫2‪C / m‬‬                                            ‫)1-‪(9a‬‬
        ‫‪4r‬‬     ‫2‬


                                                                                            ‫وبالتالي فإن‬
‫‪D  E‬‬                             ‫‪C/ m‬‬   ‫2‬
                                                                                               ‫)1-‪(9b‬‬
‫ويالحتتظ أن خصتتائص الوستتط ‪ ‬لتتم تظهتتر فتتي المعادلتتة )1-‪ .(9a‬أمتتا إذا كتتان المصتتدر‬
             ‫موجودا على شكل شحنات حجمية ‪  v‬في حجم ' ‪ V‬فيمكن كتابة ‪ D‬كما يلي:-‬


             ‫' ‪ v dV‬‬
‫‪D‬‬
      ‫‪ 4  R‬‬        ‫2‬
                            ‫‪ar‬‬         ‫2‪C / m‬‬                                                  ‫)1-01(‬
       ‫'‪V‬‬

‫يمكن النظر إلى المعادلة )1-‪ (9a‬على أن الشحنة النقطيتة ‪ q‬تنتتج آثتاراً علتى شتكل‬
‫كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬تم بيانها على شكل خطوط تخترق ستطح الكترة المقفتل‬
‫وذلك كما يبينه الشكل )1-01(. وإذا مـا تتم حستـاب كتل الفتيض الكهربتائي أو كتل‬
‫فتإن النتاتج ستيكون هتو الشتحنة النقطيتة ‪( q‬مصتدر‬                     ‫اآلثار الناتجة عتن الشتحنة ‪،q‬‬
‫هتتذه اآلثتتار). ويتتتم حستتاب الفتتيض الكهربتتائي متتن ختتالل تجميتتع كتتل الخطتتوط الممثلتتة‬
                              ‫لكثافة الفيض الكهربائي النابع من سطح الكرة المقفل كما يلي :-‬

                    ‫‪ 2‬‬

‫‪‬‬                  ‫‪4r‬‬
                              ‫‪q‬‬
     ‫‪D  dS ‬‬                     ‫2‬
                                      ‫‪a r  r 2 sin  d  d  a r  q‬‬
 ‫‪S‬‬                  ‫0 0‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫81‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                              ‫أو يمكن كتابتها على الشكل التالي:-‬


‫‪ D  dS  q  ‬‬
 ‫‪S‬‬                      ‫‪V‬‬
                               ‫‪v‬‬   ‫‪dV‬‬                                                      ‫)1-11(‬


‫وتربط العالقة )1-11( بين المصدر (الشحنة ‪ )q‬وبين ما ينتج عنه من كثافة فيض كهربائية‬
‫‪ D‬من خالل سطح مقفل ‪( S‬والذي يمكن أن يكون له أي شكل) يحوي بداخلة حجما ً ‪ V‬حيث‬
‫إن المصدر يوجد بداخل هذا الحجم. ويكون المصدر على شكل شحنة (أو شحنات) نقطية أو‬
‫على شكل شحنات حجمية أو على أي شكل آخر. وتعرف العالقة )1-11( بقانون جاوس‬
‫)‪ (Gauss Law‬ويطلق على السطح المقفل ‪ (Closed Surface) S‬بسطح جاوس‬
‫)‪ .(Gauss Surface‬ويربط هذا القانون المصدر بما ينتج عنه وسيتم استخدامه إليجاد‬
‫متجه اإلزاحة ‪ D‬من هذه المعادلة التكاملية والتي لن يكون حلها ميسراً إال في بعض الحاالت‬
                                   ‫الخاصة والتي تتسم بالتماثل الهندسي والكهربائي في طبيعتها.‬

                                         ‫سطح الكرة المقفل ‪S‬‬

                                                    ‫الحجم ‪ V‬الذي يحدده السطح‬
                                                              ‫المقفل ‪S‬‬



                                                      ‫‪D‬‬
                          ‫‪q‬‬
                                                                 ‫الشكل )1-01(:- الشحنة النقطية‬
                                                                 ‫‪ q‬يحيط بها سطح مقفل ‪ S‬وينتج‬
                                                                   ‫عنها كثافـة فيض كهربائية ‪.D‬‬



‫مثال )1-5( :- يبين الشكل )1-11( سلك موصل طويل يحمل كثافة شحنات خطية‬
    ‫‪ ،  L C / m‬أوجد كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬وشدة المجال الكهربائي ‪ E‬الناتجين عنه.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫91‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                                              ‫الحـــل :-‬
‫في ضوء التماثل فإن قانون جاوس سيستخدم لحل هذا المثال حيث يتم اختيار سطح جاوس‬
‫المقفل ليالئم إحداثيات وهندسية المسألة والذي يكون هنا عبارة عن اسطوانة محورها هو‬
‫السلك الموصل بطول ‪ L‬وذلك كما هو مبين في الشكل )1-11(. وباستخدام اإلحداثيات‬
‫األسطوانية ومالحظة انه ومن التماثل في هذا المثال فإن ‪ D‬لن يكون له عنصر إال في‬
‫2 ‪D  D () a  C / m‬‬    ‫اتجاه ‪ a ‬وكذلك فإنه لن يتغير مع ‪ z‬أو ‪ ‬أو أن‬

                                                     ‫وبالتالي فإن قانون جاوس يصبح كما يلي :-‬


              ‫‪‬‬                            ‫‪‬‬
‫‪‬‬   ‫‪D  dS  ‬‬
              ‫‪‬‬   ‫‪   ‬‬
                   ‫‪‬‬                       ‫‪ D  dS  ‬‬
                                           ‫‪‬‬                ‫‪‬‬    ‫‪L‬‬   ‫‪dz‬‬
 ‫‪S‬‬            ‫1‪ S‬‬         ‫2‪S‬‬         ‫3‪S‬‬   ‫‪‬‬                ‫‪L‬‬



                                              ‫‪z‬‬
                        ‫القاعدة العلوية‬                   ‫سلك موصل طويل يحمل‬
                             ‫2‪S‬‬                                        ‫شحنات خطية ‪L‬‬


                                             ‫‪ρ‬‬
                 ‫سطح جاوس‬                                              ‫‪D‬‬
                  ‫المقفل‬


                                                                      ‫السطح الجانبي‬
                                                                           ‫3‪S‬‬
                                                                                          ‫‪y‬‬



                  ‫‪x‬‬
                                                                ‫القاعدة السفلية 1‪S‬‬


‫الشكل )1-11(:- سلك موصل طويل يحمل كثافة شحنات خطية ‪  L C / m‬مبينا ً عليه‬
                                                                                 ‫المقفل. سطح جاوس‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫02‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫فتتي ضتتوء متتا ستتبق يتتؤول التكتتامالن علتتى 1‪ S‬و 2‪ S‬إلتتى الصتتفر ويتبقتتى التكامتتل‬
                                                                              ‫كما يلي:-‬     ‫على 3‪S‬‬

     ‫‪2 L‬‬
                                                                                      ‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
     ‫‪‬‬
     ‫0 ‪‬‬
            ‫‪d dz   L L  2   L D   L L  D ‬‬
                                                                                      ‫‪2 ‬‬
                                                                                           ‫2‪C / m‬‬

‫)‪E  D /  0  L /(2   0 ‬‬                 ‫‪V/ m‬‬                   ‫ويكون المجال الكهربائي‬


                        ‫يالحظ من هذا المثال سهولة الحصول على الناتج مقارنة بالمثال 1-2 .‬


‫مثال )1-6(:- أوجد كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬وشدة المجال الكهربائي ‪ E‬الناتجين عن‬
‫صفيحة من الشحنات السطحية بكثافة 2‪ ، s C / m‬الصفيحة ال نهائية في أبعادها‬
                      ‫وموضوعة في المستوى ‪ xy‬عند 0 = ‪ z‬كما هو مبين في الشكل )1-21(.‬



                                   ‫‪z‬‬                               ‫صفيحة من الشحنات السطحية‬
                                            ‫القاعدة العلوية‬            ‫بكثافة 2‪s C/m‬‬
                                 ‫‪D‬‬                ‫2‪S‬‬


      ‫سطح جاوس‬                                                           ‫الجوانب 3‪ S‬و 4‪ S‬و 5‪ S‬و 6‪S‬‬
       ‫المقفل‬          ‫‪L‬‬                                                                      ‫‪y‬‬




             ‫‪x‬‬                       ‫‪D‬‬     ‫القاعدة السفلية 1‪S‬‬



‫الشكل )1-21(:- صفيحة من الشحنات السطحية بكثافة ‪  s‬مبينا ً عليها سطح جاوس المقفل.‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫12‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                                                ‫الحـــل:-‬
‫في ضوء التماثل فإن كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬ال تتغيتر متع ‪ x‬أو متع ‪ y‬وال يكتون لهتا إال‬
‫عنصر واحد في اتجاه ‪ z‬أو أن ‪ ، D  D z a z‬فإذا تم اختيار سطح جاوس المقفـل على شكـل‬
               ‫مكعب طول ضلعه ‪ L‬كما في الشكل )1-21( فإن قانون جاوس يعطي ما يلي:-‬


              ‫‪‬‬                                           ‫‪‬‬
‫‪‬‬   ‫‪D  dS  ‬‬
              ‫‪‬‬
                   ‫‪‬‬
                      ‫‪ ‬‬         ‫‪‬‬
                                              ‫‪‬‬          ‫‪ (D  dS) ‬‬
                                                          ‫‪‬‬               ‫‪‬‬      ‫‪s‬‬   ‫‪dS‬‬
 ‫‪S‬‬            ‫1‪ S‬‬           ‫2‪S‬‬         ‫‪S3  S4  S5  S6 ‬‬                   ‫‪S‬‬




‫3‪ S‬و 4‪ S‬و 5‪ S‬و 6‪S‬‬                ‫فتتي ضتتوء متتا ستتبق تكتتون نتيجتتة التكامتتل علتتى األستتطح‬
                                                                               ‫صفراً ويبقى ما يلي:-‬


‫2 / ‪Dz L2  Dz L2  s L2  Dz  s‬‬                             ‫2‪C / m‬‬
‫أو إن أثتتر ستتطح الشتتحنات هتتذا ثابتتت ال يتغيتتر. وتجتتدر األشتتارة إلتتى أن كثافتتة‬
‫الفتتيض الكهربتتائي ‪ D‬تتغيتتر متتع مربتتع مقلتتوب المستتافة التتتي تفصتتل بتتين الشتتحنة‬
‫النقطية ونقطة المراقبة ومع مقلوب المسافة التي تفصل خط الشتحنات الطويتل عتن‬
‫نقطة المراقبة، أمتا فتي هتذه الحالتة فتإن كثافتة الفتيض الكهربتائي تكتون ثابتتة. أمتا‬
                                                                              ‫المجال الكهربائي فيكون‬
‫‪E z  s / 2 ‬‬           ‫‪V/m‬‬


‫مثااال )1-7(:- يبتتين الشتتكل )1-31( حجمتتا ً علتتى شتتكل كتترة نصتتف قطرهتتا ‪a‬‬
‫ويوجد داخلها توزيتع متن الشتحنات الحجميتة المنتظمتة بكثافتة 3‪ .  v C / m‬أوجتد‬
‫وكتتتذلك‬   ‫الكتتترة‬   ‫وختتتارج‬     ‫كثافتتتة الفتتتيض الكهربتتتائي والمجتتتال الكهربتتتائي داختتتل‬
‫وختتارج الكتترة، إذا كانتت ستتماحية الوستتط داختتل‬                ‫أوجتتد الجهتتد الكهربتتائي داختتل‬
                                                                          ‫وخارج الكرة هي ‪. ‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫22‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                      ‫‪z‬‬
                                                   ‫سطح جاوس المقفل خارج المنطقة‬
                                           ‫2‪S‬‬                        ‫التي تتواجد فيها ‪v‬‬
          ‫‪v‬‬



                                          ‫1‪S‬‬
                                                   ‫`‪r‬‬
                             ‫‪r‬‬
                  ‫‪a‬‬                                                        ‫‪y‬‬
                                                            ‫سطح جاوس في الداخل‬


                                                           ‫الشكل )1-31(:- شحنات حجمية‬
                                                           ‫بكثافة 3‪  v C / m‬داخل كرة نصف‬
‫‪x‬‬
                                                              ‫قطرها ‪ a‬وأسطح جاوس المقفلة.‬


                                                                                            ‫الحـــل :-‬
‫في هذا المثال وفي ضوء التماثل فإن كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬ال تتغير مع ‪ ‬أو ‪ ‬وال‬
 ‫يكتتون لهتتا إال عنصتتراً واحتتداً فتتي اتجتتاه ‪ r‬أو أن 2 ‪ ، D  D r (r) a r C / m‬أو أن ‪D‬‬
                                                   ‫في المنطقة ‪ 0  r  a‬أو داخل الكرة تكون‬

                       ‫‪2 ‬‬                                 ‫‪2  r‬‬

‫‪‬‬                      ‫‪‬‬                                   ‫‪ ‬‬
                                                                       ‫2‬
     ‫‪D  dS  D r‬‬                ‫‪r sin  d d   v‬‬
                                  ‫2‬
                                                                     ‫‪r ' sin  dr ' d d‬‬
‫1‪S‬‬                     ‫0‪0 ‬‬                               ‫0 0 0‬


                 ‫3 ‪4‬‬                              ‫‪v r‬‬
‫‪4 r 2 D r ‬‬        ‫‪r v‬‬          ‫‪ D r ‬‬                             ‫2‪C / m‬‬                      ‫أو‬
                  ‫3‬                                 ‫3‬

         ‫‪v r‬‬
 ‫‪Er ‬‬         ‫‪V/m‬‬                                                            ‫ويكون المجال الكهربائي‬
         ‫‪3‬‬
                                                        ‫أما في المنطقة خارج الكرة أو ‪ r > a‬فإن‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫32‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                            ‫‪2 ‬‬                                 ‫‪2  a‬‬

   ‫‪‬‬     ‫‪D  dS  D r‬‬
                             ‫‪ r‬‬         ‫‪sin  d  d    v‬‬
                                                                  ‫‪ r‬‬         ‫‪sin  d  d ‬‬
                                      ‫2‬                                     ‫2‬

   ‫2‪S‬‬                        ‫0 0‬                                  ‫0 0 0‬


                        ‫3 ‪4‬‬                                ‫‪a 3 v‬‬
     ‫‪4  r 2 Dr ‬‬          ‫‪a v‬‬                ‫‪ D r ‬‬           ‫2‬
                                                                            ‫2‪C / m‬‬                     ‫أو‬
                         ‫3‬                                   ‫‪3r‬‬
              ‫‪a 3 v‬‬
   ‫‪Er ‬‬                              ‫‪V/m‬‬               ‫ويكون المجال الكهربائي خارج الكرة (‪)r > a‬‬
              ‫‪3 r2 ‬‬


‫إليجتتاد الجهتتد الكهربتتائي، يجتتب أن يكتتون جهتتد نقطتتة البدايتتة معروف تا ً وفتتي هتتذه الحالتتة فه تي‬
‫النقطتة ‪ r  ‬حيتث يكتون جهتدها مستاويا ً للصتفر. فتي المنطقتة ‪   r  a‬يكتون الجهتتد‬
                                                                                              ‫كما يلي:-‬
          ‫‪r‬‬                  ‫‪r‬‬
                                 ‫‪a 3 v‬‬                       ‫‪a 3 v‬‬
          ‫‪‬‬
‫‪V   E  dL  ‬‬
                             ‫‪3 r‬‬             ‫‪a r  dr a r ‬‬
                                                      ‫'‬
                                                                            ‫‪V‬‬
                                          ‫2'‬                   ‫‪3 r‬‬
          ‫‪‬‬                  ‫‪‬‬

                                                                          ‫وفي المنطقة ‪-: 0  r  a‬‬
          ‫‪r‬‬             ‫‪a‬‬                ‫‪r‬‬            ‫‪‬‬
‫‪V‬‬
          ‫‪‬‬
          ‫‪‬‬
               ‫‪E  dL   ‬‬
                        ‫‪‬‬
                        ‫‪‬‬
                              ‫‪ ‬‬         ‫‪a‬‬
                                                ‫‪E  dL ‬‬
                                                       ‫‪‬‬
                                                       ‫‪‬‬
                   ‫‪r‬‬
     ‫‪a 2 v‬‬   ‫' ‪v r‬‬                ‫2 ‪a 2 v v‬‬
   ‫‪‬‬        ‫‪‬‬
                   ‫‪‬‬ ‫‪a r  dr a r ‬‬       ‫‪‬‬    ‫) 2 ‪(a  r‬‬
                             ‫'‬
                                                                                       ‫‪V‬‬
       ‫‪3‬‬      ‫‪3‬‬                     ‫‪3‬‬    ‫‪6‬‬
                   ‫‪a‬‬



                                     ‫)‪(  D‬‬       ‫1-1-6:- تشتت كثافة الفيض الكهربائي‬
‫بالرجوع إلى قانون جاوس المبين في العالقة )1-11( والذي إذا تم تطبيقه على سطح صغير‬
                                 ‫مقفل ‪ S‬يحوي حجما ً صغيراً ‪ V‬فإنه يمكن كتابته كما يلي:-‬


‫‪‬‬
‫‪S‬‬
        ‫‪D  dS ‬‬
                       ‫‪ ‬‬
                       ‫‪V‬‬
                                 ‫‪v‬‬   ‫‪dV   v V‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫42‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫وتصبح العالقة األخيرة صحيحة تماما ً إذا ما آلت ‪ S‬إلى الصفر وعندها فإن ‪ V‬ستؤول‬
                                                         ‫إلى الصفر ويتم الحصول على ما يلي :-‬

                ‫‪ D  dS‬‬
                ‫‪S‬‬
‫‪ v  lim‬‬
       ‫0‪S‬‬           ‫‪V‬‬
‫ويمكن أن يتم تطبيق ذلك على متوازي مستطيالت أطوال أضالعه ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬وإذا‬
                                                 ‫آلت هذه األطوال إلى الصفر فإن هذا يؤدي إلى‬


       ‫‪ Dx  D y  Dz‬‬
‫‪v ‬‬       ‫‪‬‬     ‫‪‬‬     ‫‪  D‬‬
        ‫‪x‬‬   ‫‪y‬‬    ‫‪z‬‬
                                                                                               ‫أو‬
‫‪  D  v‬‬                                                                                ‫)1-21(‬
                                                    ‫‪‬‬       ‫‪‬‬       ‫‪‬‬
‫‪ ،  ‬و تحدد العالقة )1-21( أن التشتت في‬               ‫‪ax ‬‬    ‫‪ay ‬‬    ‫‪az‬‬                  ‫حيث إن‬
                                                    ‫‪x‬‬      ‫‪y‬‬      ‫‪z‬‬
‫‪ (Divergence of D) D‬هو كثافة الشحنات الحجمية. ويبين الملحق )‪ (6-III‬التشتت‬
                                                       ‫في ‪ D‬لإلحداثيات األسطوانية والكروية.‬


                                 ‫مثال )1- 8( :- إذا كانت كثافة الفيض الكهربائي في وسط ما‬
‫‪D  x ax  y a y  z az‬‬         ‫2‪n C / m‬‬

  ‫أوجد الشحنات الحجمية في هذا الوسط وكمية الشحنات الكلية في مكعب طول ضلعه ‪.2 m‬‬


                                                                                           ‫الحـــل:-‬
                           ‫يتم إيجاد كثافة الشحنات الحجمية من المعادلة )1-21( كما يلي :-‬


                  ‫‪ Dx  D y  Dz‬‬
‫‪v    D ‬‬          ‫‪‬‬     ‫‪‬‬     ‫2‪ 1  1  1  3 nC / m‬‬
                   ‫‪x‬‬   ‫‪y‬‬    ‫‪z‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫52‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                           ‫أما الشحنات الكلية في المكعب المذكور فتكون كما يلي :-‬

         ‫2‬     ‫2‬       ‫2‬

‫‪Q ‬‬
       ‫‪  ‬‬
         ‫0‬     ‫0‬       ‫0‬
                             ‫‪3 dx dy dz  24 nC‬‬



                            ‫مثال )1 -9( :- في المثال )1-7( أوجد ‪  D‬في المنطقة ‪. a < r < ‬‬


                                                                                                 ‫الحـــل :-‬
    ‫من المثال )1 - 7( وفي المنطقة ‪ a < r < ‬تكون كثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬كما يلي :-‬


         ‫‪a 3 v‬‬
‫‪Dr ‬‬               ‫2‬
                                  ‫2‪C / m‬‬
             ‫‪3 r‬‬
 ‫من الملحق )‪ (6-III‬يتم إيجاد ‪  D‬في اإلحداثيات الكروية ) ‪ (D  D r a r‬كما يلي :-‬


                           ‫2 ‪1 ‬‬
‫‪v    D ‬‬                      ‫0 ‪(r D r )  0  0 ‬‬              ‫3‪C / m‬‬
                           ‫‪r2  r‬‬
                                ‫وهذا يتفق مع الحقيقة أنه ليس هناك شحنات في المنطقة. ‪a  r  ‬‬


       ‫1-1-7:- معادالت البالس وبوسان ‪Poisson's & Laplace's equations‬‬
‫يمكن أن يتم ربط الجهد الكهربائي ) ‪ V (r‬مع الشحنات الحجمية ) ‪  v (r‬من خالل‬
‫) ‪V (r‬‬        ‫وتدرج الجهد الكهربائي‬               ‫استخدام تشتت كثافة الفيض الكهربائي ) ‪D (r‬‬
                                                ‫‪   D   v‬و ‪ E   V  D / ‬أو أن‬                     ‫أو‬


                 ‫‪ D‬‬
‫‪   (V)     ‬‬
                 ‫‪‬‬




                             ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫62‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                   ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫وإذا كان الوسط متجانسا ً وأحادي االتجتاه أو أن الستماحية هتي كميتة قياستية وليستت دالتة فتي‬
                                         ‫1 ‪ D‬‬
                               ‫‪ r‬أو ) ‪ ،    (r‬فإن ‪        D‬أو أن‬
                                         ‫‪  ‬‬


‫‪ 2 V(r)    v / ‬‬                                                                                      ‫)1-31(‬
                                                                  ‫‪‬‬   ‫2‬
                                                                                  ‫‪‬‬   ‫2‬
                                                                                                  ‫‪‬‬   ‫2‬
‫فتتي اإلحتتداثيات الكارتيزيتتة ويطلتتق عليهتتا أستتم‬    ‫‪2 ‬‬                  ‫‪‬‬               ‫‪‬‬           ‫حيتتث إن‬
                                                                ‫‪x‬‬        ‫2‬
                                                                                  ‫‪y‬‬      ‫2‬
                                                                                                  ‫2‪ z‬‬
 ‫البالسيان )‪ (Laplacian‬ويمكن إيجاد قيمتها في اإلحداثيات األخرى من الملحق )‪.(6-III‬‬
‫تتتتدعى العالقتتتة )1-31( بمعادلتتتة بوستتتان والتتتتي تتتتربط الجهتتتد الكهربتتتائي بكثافتتتة‬
‫الشحنات الحجمية في وسط معتين وهتي معادلتة تفاضتلية جزئيتة متن الدرجتة الثانيتة‬
 ‫وغير متجانسة. وفي غياب الشحنات الحجمية فإن معادلة بوسان تصبح كما يلي:-‬


‫0 ‪2V ‬‬                                                                                                   ‫)1-41(‬
‫وهذه هي معادلة البالس وهي معادلة تفاضلية جزئية متجانسة من الدرجة الثانيتة وستيتم فيمتا‬
                                                         ‫يلي تقديم مثال لتوضيح حل هذه المعادلة.‬


‫مثال )1-01(:- يبين الشكل )1-41( كابل محوري يتكون من موصل داخلي نصف‬
‫قطره ‪ a‬وموصل خارجي نصف قطره ‪ b‬ويفصل بينهما وسط من الهواء خال من‬
   ‫ٍ‬
‫الشحنات، فإذا كان جهد الموصل الداخلي 0‪ V‬وجهد الموصل الخارجي ‪ 0V‬وكان‬
 ‫هذا الكابل يمتد إلى ما النهاية فأوجد الجهد الكهربائي )‪ V (ρ,,z‬بين الموصلين.‬


                                                                                                          ‫الحـــل:-‬
‫بما أن الشكل الهندسي هتو أستطواني فستيكون متن األنستب واألستهل حتل معادلتة البتالس فتي‬
‫اإلحداثيات األسطوانية. ونظراً للتماثل فتي الجهتد الكهربتائي فتي ‪ ‬و ‪ z‬فتإن )‪V (ρ,,z‬‬
               ‫ال يتغير مع ‪ ‬أو ‪ z‬وإنما يعتمد على ‪ ρ‬أو أن معادلة البالس تصبح كما يلي :-‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                     ‫72‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                           ‫‪2 V‬‬          ‫‪1 V‬‬
‫‪ V(, , z)  0 ‬‬
     ‫2‬
                                                     ‫‪‬‬        ‫0‪0‬‬
                                            ‫‪‬‬   ‫2‬
                                                         ‫‪ ‬‬
  ‫‪d2 V‬‬                 ‫‪1 dV‬‬   ‫‪1 d‬‬                        ‫‪ d V‬‬
                   ‫‪‬‬        ‫‪‬‬                            ‫0‪ d ‬‬
                                                         ‫‪‬‬   ‫‪‬‬                                                    ‫أو‬
   ‫2‪d ‬‬                ‫‪ d‬‬   ‫‪ d‬‬                       ‫‪‬‬    ‫‪‬‬


                                                         ‫‪0V‬‬                          ‫الموصل الخارجي‬
                       ‫‪0V‬‬                                                            ‫‪b‬‬
                   ‫‪b‬‬                                                          ‫‪ρ‬‬
                            ‫0‪V‬‬                                                               ‫‪Vo‬‬
                                                                      ‫‪a‬‬              ‫الموصل الداخلي‬               ‫‪z‬‬
                                  ‫‪a‬‬
               ‫‪ρ‬‬
                                 ‫0‪‬‬




  ‫الشكل )1-41(:- كابل محوري موصله التداخلي موصتول بمصتدر فولطيتته ‪Vo V‬‬
                                                                                              ‫والخارجي مؤرض.‬


‫وبمتتتتتا أن‬                ‫يكتتتتتون حتتتتتل المعادلتتتتتة األخيتتتتترة كمتتتتتا يلتتتتتي:- ‪V(r )  A Ln ()  B‬‬
‫وكتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتذلك‬        ‫0‪ V(a )  V‬و 0 ‪ V(b) ‬فتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتإن ‪V0  A Ln (a )  B‬‬
                                                                                  ‫أو أن‬      ‫‪0  A Ln (b)  B‬‬


            ‫)‪V0 Ln (b‬‬
‫‪B ‬‬                                                           ‫و‬                       ‫) ‪A   V0 / Ln (b / a‬‬
            ‫) ‪Ln (b / a‬‬

                   ‫)‪V0 Ln (b / ‬‬
‫‪V( r ) ‬‬                         ‫‪V‬‬                            ‫وبالتالي فإن الجهد في الوسط بين الموصلين يصبح‬
                    ‫) ‪Ln (b / a‬‬




                                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫82‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                              ‫‪Electric Dipole‬‬             ‫1-1-8:- ثنائي القطب الكهربائي‬
‫قبتتل االنتقتتال لبحتتث خصتتائص المتتواد العازلتتة ستتيتم إيجتتاد الجهتتد الكهربتتائي والمجتتال‬
‫الكهربتتائي لثنتتائي القطتتب الكهربتتائي نظتتراً ألهميتتته وخاصتتة فتتي دراستتة هتتذه المتتواد.‬
‫يتكون ثنائي القطب من شحنتين متساويتين إحتداهما موجبتة واألخترى ستالبة يفصتل‬
‫بينهما مسافة ‪ L‬وسيتم إيجاد الجهد والمجال الكهربائي بعيتداً عتن هتذا الثنتائي، عنتد‬
‫النقطة ‪ r‬حيث إن ‪ r >> L‬وذلتك كمتا هتـو مبتين فتي الشتكل )1-51( . يالحتـظ أن‬
‫هنتتاك تماث تـالً هندستتيا ً وكهربائي تـا ً فتتي المتغيتتر ‪ ‬وبالتتتالي فتتإن ك تـال م تـن الجهتتد‬
‫وعليتتته فستتتيتم أوالً إيجتتتاد الجهتتتد‬       ‫والمجتتتال الكهربتتتائي ال يتغيتتتران متتتع تغيتتتر ‪‬‬
                                                    ‫الكهربائي عند النقطة )0 ,‪ (r, ‬كما يلي :-‬


                  ‫‪q‬‬        ‫1‪‬‬   ‫‪1‬‬
‫‪V(r, ) ‬‬
                 ‫‪4 ‬‬
                           ‫‪‬‬
                           ‫‪r  r ‬‬‫‪‬‬               ‫‪V‬‬
                           ‫‪ ‬‬   ‫‪ ‬‬


                                                         ‫‪‬‬                                  ‫‪‬‬
                                                                                                ‫1‬
  ‫.‬     ‫‪r  r  L / 2  rL cos   r 1  L / 2r   L / r  cos ‬‬
                  ‫2‬                ‫2‬                                    ‫2‬                       ‫إن 2‬   ‫حيث‬


                      ‫‪z‬‬

                                                                                                ‫)0,‪(r, ‬‬
                                                   ‫+‪r‬‬

             ‫‪q‬‬
                                           ‫‪r‬‬
  ‫2/‪L‬‬                 ‫‪‬‬                                        ‫-‪r‬‬
           ‫‪y‬‬                                                                            ‫‪x‬‬

  ‫2/‪L‬‬

             ‫‪q‬‬                                 ‫الشكل )1-51(:- ثنائي القطب الكهربائي المكون‬
                                                        ‫من شحنتين ‪ +q‬و ‪ -q‬بينهما مسافة ‪.L‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫92‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫وبما أن ‪ r >> L‬فيمكن إعادة كتابة ‪ r‬باستخدام سلستلة تيلتور )‪(Taylor Series‬‬
                                                                                                   ‫أو‬
‫‪r  r 1  (L / 2r ) cos   ...  r  (L / 2) cos ‬‬


               ‫‪q‬‬        ‫‪L cos ‬‬
‫‪V(r, ) ‬‬
             ‫‪4   r  L / 22 cos 2 ‬‬
                    ‫2‬


                                                                                                   ‫أو‬
                      ‫‪qL‬‬
‫‪V(r, ) ‬‬                    ‫‪cos ‬‬              ‫‪V‬‬                                           ‫)1-51(‬
               ‫2‪4   r‬‬


                 ‫يتم إيجاد المجال الكهربائي ‪ E‬باستخدام تدرج الجهد ‪ E    V‬أو أن‬


‫‪E  E r a r  E a  ‬‬
                                ‫‪qL‬‬
                                         ‫‪2 cos  a r  sin  a θ ‬‬                         ‫)1-61(‬
                             ‫3‪4   r‬‬
   ‫و تعرف الكمية ‪ qL‬على أنها العزم الكهربائي لثنائي القطب واتجاهها باتجاه ‪ +az‬أو‬


‫‪m e  qL  qL a z‬‬               ‫‪Cm‬‬                                                         ‫)1-71(‬
‫)‪ (Electric Dipole Moment‬يؤختذ بالمتجته‬                     ‫حيتث إن اتجتاه عتزم ثنتائي القطتب‬
‫النابع من اإلشارة السالبة ومتجها إلى اإلشارة الموجبة وفي ضوء ذلتك يمكتن إعتادة‬
                                            ‫كتابة المعادلتين )1-51( و )1-61( كما يلي :-‬

             ‫‪me  ar‬‬
‫‪V(r, ) ‬‬                   ‫‪V‬‬                                                           ‫)1-‪(18 a‬‬
             ‫2‪4   r‬‬

        ‫‪me‬‬
‫‪E‬‬                ‫‪2 cos  a r  sin  a  ‬‬           ‫‪V/m‬‬                            ‫)1-‪(18 b‬‬
      ‫3‪4   r‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫03‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ويبين الشكل )1-61( المجاالت الكهربائية الناتجة عن هذا الثنائي الذي استبدل بمتجه ذي‬
                                                                                        ‫العزم ‪. me‬‬




                                             ‫‪q‬‬


           ‫0=‪V‬‬                                   ‫‪me  q L‬‬




                                             ‫‪q‬‬




‫الشكل )1-61(:- خطوط المجال الكهربائي الناتجة عن ثنائي قطب كهربائي بعزم‬
                                                        ‫‪. m e  qL Cm‬‬


                                 ‫‪Dielectric Materials‬‬               ‫1-1-9:- المواد العازلة‬
‫كما سبق ذكره فإن المواد تتكون من ذرات وتتكون الذرة من نواة تحتوي على شتحنات‬
‫موجبة (بروتونات) وأجسام أخرى غير مشحونة وحول هذه النواة هناك شحنات ستالبة‬
‫(الكترونات) تدور في مدارات حول النواة. يمكن النظر إلتى هتذه التذرة (أو مجموعتة متن‬
‫تلتتك التتذرات) المكونتتة متتن مجمتتوعتين متستتاويتين متتن الشتتحنات (موجبتتة وستتالبة) علتتى‬
‫أنها، ومن منظور ختارجي، ثنتائي قطتب كهربتائي وعزمته هتو ‪، m e  qL Cm‬‬
‫حيتتتث إن ‪ L‬يتناستتتب متتتع نصتتتف قطتتتر التتتذرة (أو نصتتتف قطتتتر الفتتتراغ التتتذي تشتتتغله‬
‫مجموعة من التذرات). إذا كتان هنتاك عتدد متن هتذه الثنائيتات يستاوي ‪ N‬فتي حجتم مقتداره‬
                                    ‫3 ‪  V m‬فإن كثافة هذه الثنائيات هي كما يلي :-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫13‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪me N‬‬
     ‫‪P‬‬                         ‫2‪C / m‬‬                                                     ‫)1-91(‬
‫‪V‬‬
‫حيث إن ‪ P‬هو متجه االستقطاب )‪ (polarization vector‬ويمثل كثافة ثنائيات القطب‬
‫لمادة معينة ووحداته تناظر الوحدات الخاصة بكثافة الفيض الكهربائي ‪ D‬أو كثافة الشحنات‬
‫السطحية، وبالتالي إذا كان هناك مادة عازلة بحجم ‪ V‬وكان بها عدد من ثنائيات القطب‬
‫(مقداره ‪ )N‬فإنه إذا تأثرت بمجال كهربائي خارجي فإن هذه الثنائيات تصطف باتجاه المجال‬
‫الكهربائي المؤثر وتضيف مجاالً كهربائياً إضافة إلى المجال الكهربائي الخارجي، أو‬
‫بمنظور آخر، إذا ما تم أخذ الشكل )1-71( والذي يبين لوحين موصلين تفصل بينهما‬
 ‫مسافة ‪ d‬وتم وصلهما ببطارية فولطيتها ‪ ، V0 V‬فإذا كان الوسط بين اللوحين هو الفراغ‬
         ‫)‪ (vacuum‬فإن المجال الكهربائي، الشكل )1-‪ ،(17a‬بين اللوحين يكون كما يلي:-‬

       ‫0‪V‬‬
‫‪E ‬‬       ‫‪ax‬‬                    ‫‪V/m‬‬                                                       ‫)1-‪(20a‬‬
       ‫‪d‬‬
‫وذلتتك بإهمتتال انحرافتتات (شتتراريب ‪ )fringing‬المجتتال الكهربتتائي بتتين اللتتوحين، وتكتتون‬
                                                             ‫كثافة الفيض الكهربائي في هذه الحالة‬

            ‫0‪V‬‬
‫0 ‪D0  ‬‬       ‫‪a x  0 E‬‬                 ‫‪V/m‬‬                                             ‫)1-‪(20b‬‬
            ‫‪d‬‬
‫أما إذا كان الوسط بين اللوحين هو مادة عازلة فإن المجال الكهربائي يعمل على‬
‫اصطفاف ثنائيات القطب الكهربائية لهذه المادة كما هو مبين في الشكل )1-‪.(17b‬‬
‫ويخلق هذا االصطفاف شحنات مقيدة )‪ ،(bounded charges‬أو متجه االستقطاب،‬
‫(فمثالً إذا وقف عند‬            ‫حيث يمكن للمراقب مالحظتها من أحد أطراف المادة‬
‫المستوى 1-1 ونظر إلى األسفل فإنه يرى شحنات سالبة). وتدعى بالشحنات المقيدة‬
‫ألنها تظهر كزوج (أو ثنائي) من الشحنات موجبة وسالبة ويصعب فصلها عن‬
‫بعضها. وتجتذب هذه الثنائيات أو الشحنات المقيدة شحنات حرة إضافية من المصدر.‬
‫في هذه‬     ‫تزداد‬      ‫وبالتالي فإن الشحنات التي تتواجد على اللوح العلوي (أو السفلي)‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫23‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫الحالة مقارنة بالحالة السابقة. وتكون كثافة الفيض الكهربائي لهذه الحالة مساوية‬
‫لكمية أخرى تنتج عن استقطاب المادة‬                  ‫السابقة إضافة‬        ‫الكهربائي‬        ‫لكثافة الفيض‬

                      ‫أو أن ‪ D  D 0  P‬أو‬              ‫العازلة على شكل متجه االستقطاب ‪P‬‬


‫‪D   0 E  P =  E   V0 / d‬‬                                                                  ‫)1-12(‬
‫وتمثل ‪ ‬سماحية المادة العازلة أو قدرة المادة على االستقطاب أو كثافة ثنائيات القطب للمتادة‬
                                                                              ‫وتعطى قيمتها بما يلي :-‬


‫‪  D/E   0  P / E‬‬                                                                          ‫)1-22(‬



       ‫‪V0 V‬‬                            ‫شحنات مقيدة‬                                    ‫‪V0 V‬‬



                                                            ‫1‬                                          ‫1‬
                                                  ‫المادة‬
  ‫الفراغ‬               ‫‪E‬‬              ‫0‪‬‬        ‫العازلة ‪d‬‬                     ‫‪E‬‬




                                ‫)‪(a‬‬                         ‫شحنات حرة‬
                                                                                              ‫)‪(b‬‬




‫الشااكل )1-71(:- لوحتتان موصتتالن موصتتوالن ببطاريتتة فولطيتهتتا 0‪ (a) V‬عنتتدما يكتتون‬
                            ‫الفراغ فاصالً بينهما )‪ (b‬عندما تستخدم مادة عازلة لتفصل بينهما.‬


                                                   ‫ويمكن إعادة كتابة المعادلة )1-22( كما يلي :-‬


‫‪   r  0   0 1  P/D ‬‬                                                                    ‫)1-32(‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫33‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫وتمثل ‪  r‬قيمة الستماحية النستبية للمتادة ويبتين الجتدول )1-1( قيمتة ‪  r‬لمتواد مختلفتة. ومتن‬
                                     ‫المعادالت السابقة فإن متجه االستقطاب ‪ P‬يعطى بما يلي :-‬


‫‪P  (   0 ) E  ( r  1)  0 E  ( r  1) D‬‬                                          ‫)1-42(‬
‫وتجتدر اإلشتارة إلتى أن المتجته ‪ D‬مترتبط متع كثافتة الشتحنات الحترة، أمتا المتجته ‪ P‬فهتو‬
‫مرتبط مع كثافتة الشتحنات المقيتدة (ثنائيتات القطتب)، وستيتم ربتط هتذه الكميتات ببعضتها عنتد‬
                                                                             ‫معالجة شروط الحدود.‬


                      ‫الجدول )1-1(:- قيمة ‪  r‬لعدد من المواد المختلفة.‬
                          ‫قيمة ‪ r‬‬                       ‫اسم المادة‬

                             ‫1‬                              ‫الفراغ‬

                         ‫6000.1‬                 ‫الهواء (ضغط جوي واحد)‬

                            ‫1.2‬                        ‫الخشب الجاف‬

                             ‫3‬                             ‫المطاط‬

                             ‫4‬                            ‫الكوارتز‬

                             ‫6‬                             ‫الزجاج‬

                            ‫18‬                          ‫الماء المقطر‬


                              ‫‪Boundary Conditions‬‬                 ‫1-1-01:- شروط الحدود‬
‫إذا كان هناك وسطان وخصائصهما كما هو مبين على الشتكل )1-81( وكتان المجتال‬
‫الكهربائي وكثافة الفيض الكهربائي في الوسط العلوي 1‪ E‬و 1‪ D‬وفي ا لوسط السفلي‬
‫2‪ E‬و 2‪ ، D‬فتتإن الستتؤال التتذي يمكتتن طرحتته هتتو كيتتف تتترتبط هتتذه الكميتتات متتع‬
‫بعضها عند السطح الفاصل بتين الوستطين ولإلجابتة علتى هتذا الستؤال يتتم تصتنيف‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫43‬
 ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫المجاالت الكهربائية إلى نوعين: األول مماس للسطح الفاصتل بتين الوستطين ‪ E1t‬و‬
‫‪ E2t‬و 1‪ Dt‬و ‪ D2t‬والنوع الثاني عمودي على هذا السطح ‪ E1n‬و ‪ E2n‬و ‪ D1n‬و‬
                 ‫‪ ،D2n‬وسيتم فيما يلي معالجة كل صنف من هذه المجاالت الكهربائية.‬


‫-كثافة الفيض الكهربائي العمودي ‪ -: Dn‬يتم في هذه الحالة اعتماد أسطوانة صغيرة‬
 ‫(سطح جاوس المقفل) بارتفاع ‪ h‬ومساحة كل من القاعدتين 2 ,1‪ S‬كما يبين‬
‫لتكون عمودية على السطح الفاصل بين الوسطين. يطبق‬                          ‫الشكل )1-81(، وتؤخذ‬
                                                                         ‫قانون جاوس كما يلي:-‬
                ‫‪‬‬                              ‫‪‬‬
 ‫‪‬‬    ‫‪D  dS  ‬‬
                ‫‪‬‬
                     ‫‪‬‬
                       ‫‪  ‬‬
                           ‫‪‬‬                   ‫‪ D  dS‬‬
                                               ‫‪‬‬
  ‫‪S‬‬             ‫1‪S‬‬   ‫2‪S‬‬  ‫3‪S‬‬                ‫‪‬‬


                 ‫‪‬‬
                       ‫‪ ‬‬
                       ‫‪V‬‬
                               ‫‪v‬‬   ‫‪dV ‬‬
                                          ‫‪ dS ‬‬
                                          ‫‪S‬‬         ‫‪h‬‬
                                                          ‫‪ v dh‬‬                          ‫)1-52(‬


‫وللتركيز على المجاالت العمودية على السطح الفاصل بين الوسطين يتم جعل‬
‫تؤول إلى الصفر وبالتالي فإن التكامل على 3‪( S‬السطح الجانبي‬        ‫‪h‬‬
‫يؤول إلى‬
                ‫‪‬‬
                ‫‪h‬‬
                       ‫‪v‬‬   ‫لالسطوانة) يؤول إلى الصفر وكذلك فإن التكامل الداخلي ‪dh‬‬


‫وفي هذه الحالة فإن‬             ‫سطحية‬       ‫كثافة شحنات‬          ‫كان هناك‬        ‫إذا‬    ‫الصفر إال‬

‫وبالتالي فإن المعادلة )1-52( تصبح‬                      ‫‪Lim‬‬
                                                          ‫0 ‪h ‬‬    ‫‪‬‬
                                                                    ‫‪h‬‬
                                                                          ‫2 ‪ v dh  s C / m‬‬


                                                                                       ‫كما يلي:-‬
 ‫‪Dn1 S1  Dn 2 DS2  s S‬‬
‫وتتحول عالقة التساوي بالتقريب إلى تساوي عندما تؤول كل من 1‪ S‬و 2 ‪S‬‬
‫إلتتى الصتتفر (وبالتتتالي تتتؤول ‪ S‬إلتتى الصتتفر )، وعنتتدها فتتإن العالقتتة األخيتترة‬
                                                                               ‫تصبح كما يلي :-‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫53‬
 ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                     ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




 ‫‪Dn1  Dn 2  s‬‬                    ‫2‪C / m‬‬                                                          ‫)1-‪(26a‬‬
‫أي أن عتتتدم االستتتتمرارية فتتتي قتتتيم كثافتتتة الفتتتيض الكهربتتتائي العمتتتودي ‪Dn‬‬
‫يعزى إلى وجود كثافة شحنات سطحية عند السطح الفاصل بتين الوستطين وينتتج‬
‫عتتن غيتتاب هتتذه الشتتحنات الستتطحية استتتمرارية فتتي قتتيم كثافتتة الفتتيض الكهربتتائي‬
                                                                                                  ‫العمودي أو‬


 ‫2 ‪D n1  D n‬‬                                                                                        ‫)1-‪(26b‬‬



        ‫‪En , Dn‬‬              ‫1‪E1 , D‬‬                ‫‪an‬‬          ‫1‪S‬‬
                                                                      ‫2‪S‬‬
                                                                            ‫1‪Dn‬‬
               ‫1‬         ‫1‬

                                                                                    ‫‪S‬‬
                                                                                               ‫الوسط األول 1‪‬‬
                     ‫1‪‬‬           ‫‪E t , Dt‬‬               ‫‪at‬‬
                                        ‫1‬       ‫1‬
                                                              ‫‪h‬‬
                                                                                    ‫‪h‬‬      ‫‪‬‬       ‫1‪E t‬‬
                                            ‫الوسط الثاني 2‪‬‬                                ‫‪‬‬              ‫‪‬‬
       ‫‪E t , Dt‬‬                                                ‫3‪S‬‬                                ‫2‪Et‬‬
           ‫2‬         ‫2‬                                                                                  ‫‪‬‬
                                ‫‪Dn , E n‬‬                              ‫2 ‪Dn‬‬                   ‫‪L‬‬
                   ‫2‪E2 , D‬‬          ‫2‬       ‫2‬




‫الشكل )1-81(:- المجاالت الكهربائية ‪ E‬و ‪ D‬في الوسطين األول وسماحيته 1‪ ‬والثاني‬
                                                                                                ‫وسماحيته 2 ‪. ‬‬


                     ‫أو أن المجاالت الكهربائية العمودية على السطح ترتبط مع بعضها كما يلي:-‬


‫‪1 E n1   2 E n 2  s‬‬                                   ‫2‪C / m‬‬                                    ‫)1-‪(27a‬‬
                                                                       ‫بوجود كثافة الشحنات السطحية، و‬


‫2 ‪1 E n1   2 E n‬‬                                                                                     ‫)1-‪(27b‬‬
                                                                       ‫في غياب كثافة الشحنات السطحية.‬




                             ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                             ‫63‬
 ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫1-2-3-4-1 كمتتا‬         ‫- المجاااالت الكهربائيااة الماسااة ل سااط ‪ -: Et‬يتتتـم اعتمتتـاد المستطيتتـل‬
                               ‫2‬                   ‫1‬

                               ‫‪‬‬                   ‫‪‬‬
‫يبين الشكل )1-81(، مع مالحظة أن ‪ ، E  dL   E  dL‬وتصبح مساهمة تكامتل‬
                               ‫1‬                   ‫2‬

                                               ‫‪ E  dL‬حول هذا المسار المقفل مساوية للصفر أو‬
              ‫2‪‬‬           ‫3‬           ‫4‬       ‫1‬   ‫‪‬‬
 ‫‪‬‬   ‫‪E  dL   ‬‬
              ‫‪‬‬
              ‫1‪‬‬
                   ‫‪ ‬‬     ‫2‬
                                   ‫‪‬‬
                                       ‫‪ ‬‬
                                       ‫3‬
                                           ‫‪‬‬
                                               ‫4‬
                                                   ‫0 ‪ E  dL ‬‬
                                                   ‫‪‬‬
                                                   ‫‪‬‬
‫وللتركيز على المجاالت الكهربائية الماسة للسطح ‪ Et‬يتم جعل ‪ h‬تؤول إلى الصتفر وفتي‬
                                                            ‫1‬      ‫3‬

       ‫إلى الصفر ويتبقى من العالقة األخيرة ما يلي:-‬
                                                           ‫‪‬و ‪‬‬
                                                            ‫4‬      ‫2‬
                                                                       ‫هذه الحالة يؤول التكاملين‬

 ‫0 ‪E t 2 L  E t1 L ‬‬
                                   ‫وعندما تؤول ‪ L‬إلى الصفر يتم الحصول على العالقة التالية:-‬


 ‫2 ‪E t1  E t‬‬                                                                               ‫)1-82(‬
‫أو أن المجاالت الكهربائية الماسة للستطح الفاصتل بتين الوستطين تكتون مستتمرة عنتد االنتقتال‬
‫متتن الوستتط الستتفلي إلتتى الوستتط العلتتوي (فتتي حتتدود ستتمك صتتغيرة يتتؤول إلتتى الصتتفر). أمتتا‬
                         ‫كثافات الفيض الكهربائي الماسة للسطح فترتبط مع بعضها كما يلي:-‬


 ‫2 ‪D t1 / 1  D t 2 / ‬‬                                                                    ‫)1-92(‬
‫وبالتالي فإن خطوط‬          ‫وفي ضوء المعادلتين )1-‪ (27b‬و)1-82( يالحظ أن 2 ‪1  ‬‬
                           ‫المجال الكهربائي تبدو وكأنها مكسورة عند االنتقال من وسط آلخر.‬


‫تم في المعادلة )1-‪ (26a‬ربط كثافة الفيض الكهربائي بكثافة الشحنات السطحية الحرة ‪ s‬‬
‫والتي تكون في العادة متوفرة لألوساط الموصلة. أما في األوساط العازلة حيث تتواجد‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫73‬
 ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫الشحنات المقيدة فيمكن ربطها مع متجه االستقطاب. فإذا كان هناك وسطين عازلين‬
                 ‫متالمسين فإن كثافة الشحنات السطحية المقيدة ‪  sb‬تصبح كما يلي :-‬


 ‫‪Pn1  Pn 2    sb‬‬                                                                      ‫)1-‪(30a‬‬
‫حيث إن 1‪ Pn‬و 2 ‪ Pn‬هما متجها االستقطاب للوسط األول والثاني على التوالي، وإذا كان‬
                                                         ‫الوسط الثاني فراغا ً ‪ Pn 2  0‬فإن:-‬
‫‪Pn1    sb‬‬                                                                              ‫)1-‪(30b‬‬


‫مثال )1-11(:- إذا كان الوسط العلوي في الشكل )1-81( هو الهواء ‪  0 F / m‬والوسط‬
‫السفلي هو مادة موصلة جيدة التوصيل، أوجد المجاالت الكهربائية في الوسطين إذا كانت‬
            ‫كثافة الشحنات السطحية على السطح الفاصل بين الوسطين 2‪. (1/ ) nC / m‬‬


                                                                                             ‫الحـــل:-‬
‫متتن المعلتتوم أن األوستتاط الموصتتلة متستتاوية الجهتتد وبالتتتالي فتتإن المجتتاالت الكهربائيتتة‬
‫بداخلها تساوي صفراً أو أن 0 ‪ D ‬و 0 ‪ E ‬داخل الوسط الستفلي. فتي ضتوء ذلتك‬
‫فتتتإن 1‪ E t 2  0  E t‬و 1‪ D t 2  0  D t‬وكتتتذلك فتتتإن ‪ D n1  D n 2   s‬وحيتتتث إن‬
              ‫1‬
‫0 ‪ D n 2 ‬فتتإن المجتتتال الكهربتتائي فتتتي الوستتط العلتتتوي هتتتو 2 ‪ D n1  nC / m‬و‬
              ‫‪‬‬
‫‪ . E n1  D n1 /  0  36 V / m‬ويبين الشتكل )1-91( المجتاالت الكهربائيتة لهتذا المثتال‬
                                                                                   ‫في كال الوسطين.‬
                                   ‫‪En‬‬             ‫‪Dn‬‬
                         ‫الوسط‬
                 ‫0‪‬‬      ‫العلوي‬

                                  ‫2‪s=1/π nC/m‬‬
                                                                     ‫‪E0D‬‬
                             ‫الوسط السفلي موصل جيد التوصيل‬


     ‫الشكل )1-91(:- المجاالت الكهربائية داخل وخارج وسط موصل جيد التوصيل.‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫83‬
 ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪Capacitor and Electric Energy‬‬                      ‫1-1-01:- المواسع والطاقة الكهربائية‬
‫المواسع أو المكثف )‪ (capacitor‬هو النبيطة التي تقوم بختزن الطاقتة الكهربائيتة أو أنته ومتن‬
‫خالله يتم ربط الدارات الكهربائية مع بعضها كهربائيا ً (عبر خطوط المجال الكهربائي أو عبتر‬
‫ما يسمى في بعض األحيان بالمواستعات الشتاردة )‪ .)stray capacitors‬ويتكتون المواستع‬
‫من موصلين على أحدهما شحنة موجبة ‪ +q‬وعلتى اآلختر شتحنة ستالبة ‪ -q‬وبينهمتا فترق جهتد‬
                                                             ‫‪ V‬وتعّرف سعة المواسع ‪ C‬بما يلي :-‬

         ‫‪q‬‬
                  ‫‪‬‬   ‫‪S‬‬   ‫‪dS‬‬
‫‪C ‬‬        ‫‪ S‬‬                                                                               ‫)1-03(‬
                  ‫‪‬‬
         ‫‪V  E  dL‬‬
                  ‫‪L‬‬

                                                              ‫وتعطى وحداته بالفاراد )‪.(Farad, F‬‬


‫مثال )1-21(:- يبين الشتكل )1-02( مواستعا ً ذا صتفيحتين متتوازيتين )‪ (parallel plate‬فتإذا‬
‫كانتتت مستتاحة كتتل صتتفيحة 2‪ A m‬والمستتافة بينهمتتا ‪ d‬وكتتان جهتتد الصتتفيحة الستتفلية ‪0 V‬‬
‫والعلويتتة ‪ V0 V‬وستتماحية الوستتط العتتازل بتتين الصتتفيحتين ‪ .  r  0 F / m‬أوجتتد كثافتتة‬
‫الشتتحنات الستتطحية الحتترة علتتى كتتل متتن الوجتته الستتفلي والعلتتوي للصتتفيحتين العلويتتة والستتفلية‬
‫وذلك على التوالي. أوجد كذلك كثافة الشحنات الستطحية المقيتـدة علتى الوجته العلتوي والستفلي‬
‫للمتادة العازلتتة. أوجتتد كتتذلك ستتعة هتتذا المواستتع. أهمتتل االنحنتتاءات (الشتتراريب) فتتي خطتتوط‬
                                                                                   ‫المجال الكهربائي.‬
     ‫‪z‬‬                           ‫مساحة الصفيحة‬
                                            ‫2‬
                                         ‫‪Am‬‬
         ‫)‪V0 (V‬‬



                        ‫‪P‬‬                                        ‫االشاااكل )1-02(:- المواستتتع ذو‬
              ‫‪E‬‬                                ‫‪d‬‬
                  ‫‪‬‬                                                       ‫االصفيحتين المتوازيتين.‬

                                                             ‫‪y‬‬
         ‫‪0V‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫93‬
 ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                                      ‫الحـــل:-‬
‫‪E z   V0 / d‬‬            ‫‪V/m‬‬                      ‫يكون المجال الكهربائي بين اللوحين كما يلي:-‬
‫‪D z   V0  r  0 / d‬‬           ‫2‪C / m‬‬                                       ‫وكثافة الفيض الكهربائي‬
‫‪P  ( r  1) 0 E‬‬                                          ‫أما متجه االستقطاب فيكون كما يلي:-‬
‫‪Pz  ( r  1) 0 V / d‬‬              ‫2‪C / m‬‬                                                          ‫أو‬
                                     ‫وبالتالي فإن كثافة الشحنات السطحية الحرة تكون كما يلي:-‬
‫‪s  V0  r  0 / d C / m‬‬        ‫2‬


                                                                 ‫للسطح السفلي للصفيحة العلوية، و‬
‫‪s   V0  r 0 / d C / m‬‬           ‫2‬


           ‫للسطح العلوي للصفيحة السفلية. أما كثافة الشحنات السطحية المقيدة فهي كما يلي:-‬


‫‪sb   ( r  1) 0 V0 / d‬‬                ‫2‪C / m‬‬
                                                                      ‫للوجه العلوي للمادة العازلة، و‬
‫2‪sb  ( r  1) 0 V0 / d C / m‬‬
                                ‫للوجه السفلي للمادة العازلة. أما سعة المواسع ‪ C‬فهي كما يلي :-‬

       ‫‪q‬‬   ‫‪ A‬‬  ‫‪V   A‬‬   ‫‪  A‬‬
 ‫‪C‬‬       ‫‪ s‬‬  ‫0 ‪ 0 r‬‬  ‫0 ‪ r‬‬   ‫‪F‬‬
       ‫0‪V‬‬   ‫0‪V‬‬    ‫‪V0 d‬‬      ‫‪d‬‬
‫وبالتالي فإن سعة المواسع ال تعتمد على الشحنات المخزنة أو فرق الجهد بين الصفيحتين وإنما‬
‫على خصائص الوسط ‪ ‬ومساحة الصفيحتين ‪ A‬والمسافة بينهما ‪ ،d‬وبالتالي فإن قيمتها‬
                                                                         ‫يجب أن تكون دائما ً موجبة.‬


‫مثال )1-31(:- يبين الشكل )1-12( الكابل المحوري الذي يتكون من موصل داخلي نصف‬
‫قطره ‪ a‬وموصل خارجي نصف قطره ‪ b‬يفصل بينهما في المنطقة ‪ 0    ‬مادة عازلة‬
‫سماحيتها ‪ 1 F / m‬وأما المنطقة ‪     2 ‬فإن سماحية مادتها ‪ ،  2 F / m‬في ضوء‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫04‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ذلك )‪ (i‬أوجد مواسعة هذا الكابل ‪ C‬لكل وحدة طول ‪ (ii) . F/m‬إذا كان فرق الجهد بين‬
‫الموصلين هو ‪ 100 V‬وكانت ‪ a = 2 mm‬و ‪ b = 10 mm‬و 0 ‪ 1  ‬و 0 ‪ 2  2‬‬
‫فأوجد كثافة الشحنات السطحية على سطح الموصل الداخلي ‪ ρ = a‬وعلى سطح الموصل‬
                                    ‫الخارجي ‪ ρ = b‬وأوجد سعة الكابل لكل وحدة طول في هذه الحالة.‬


                                          ‫الموصل الخارجي‬
             ‫‪E1r , D1r‬‬
                                         ‫1‪‬‬                                             ‫1‪‬‬

              ‫1‪s‬‬                                  ‫‪‬‬
                                ‫‪a‬‬                                                   ‫الموصل الداخلي ‪a‬‬
                                     ‫‪ρ‬‬
                                              ‫2‪‬‬
                    ‫2‪s‬‬

           ‫‪E2r , D2r‬‬
                                              ‫‪b‬‬
                                                                             ‫‪b‬‬          ‫2‪‬‬


                          ‫)‪(b‬‬                                                 ‫)‪(a‬‬


‫الشكل)1-12(:- الكابل المحوري بمادتين عازلتين تفصالن الموصل الداخلي عن الخارجي‬
                                                                ‫)‪ (a‬مقطع طولي )‪ (b‬مقطع أمامي.‬


                                                                    ‫الحـــل:-‬
‫)‪ (i‬إذا كان جهد الموصل الداخلي ‪ V0 V‬وجهد الموصل الختارجى ‪ 0 V‬وكتذلك إذا كانتت‬
‫كثافة الشحنات السطحية على الموصل الداخلي في المنطقتة ‪ 0    ‬هتي 2 ‪S1 C / m‬‬
‫(أو كثافتتتتتتتة الشتتتتتتتحنات الخطيتتتتتتتة ‪ )  L1 C / m‬وفتتتتتتتي المنطقتتتتتتتة ‪     2 ‬هتتتتتتتي‬
‫2 ‪( S2 C / m‬أو كثافة الشحنات الخطية ‪ ،)  L1 C / m‬وبتطبيق قانون جاوس على‬
 ‫أسطوانة نصف قطرهتـا ‪ a < ρ < b‬بطتول ‪ L‬ومتن التماثتل (لتن يكتون هنتاك ستوى‬
                                                                             ‫‪ Dρ‬أو ‪ ) Eρ‬ينتج ما يلي :-‬
‫‪(D1  D2 )   L  (S1  S2 ) aL‬‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫14‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




               ‫‪a‬‬
 ‫‪D1  D2 ‬‬      ‫2 ‪(S1  S2 ) C / m‬‬                                           ‫أو‬
               ‫‪‬‬
‫وبمتتتتتتتتتتا أن 1‪ D1  1 E ‬و 2‪ D2   2 E‬وحيتتتتتتتتتتث إن ) ‪E1  E2 ( E‬‬
‫(المجتتتاالت الكهربائيتتتة الماستتتة للستتتطح الفاصتتتل بتتتين الوستتتطين 1‪ ‬و 2 ‪ ‬عنتتتد 0 ‪  ‬أو‬
                                       ‫‪   ‬مستمرة) فيمكن كتابة العالقة األخيرة كما يلي :-‬
                      ‫‪a‬‬
‫‪E  (1   2 ) ‬‬       ‫) 2‪(S1  S‬‬
                      ‫‪‬‬
‫أو أن‬
               ‫‪a‬‬
‫‪E ‬‬                   ‫) 2‪S1  S‬‬
         ‫) 2 ‪ (1  ‬‬
    ‫يتم الحصول من العالقة التي تربط المجال الكهربائي مع فرق الجهد بين الموصلين على‬

              ‫‪b‬‬
                                 ‫) 2‪a (S1  S‬‬
              ‫‪‬‬
‫‪ V0   E  dL  ‬‬
              ‫‪a‬‬
                                   ‫) 2 ‪(1  ‬‬
                                                ‫) ‪Ln (b / a‬‬

                            ‫) ‪Ln (b / a‬‬                    ‫) ‪Ln (b / a‬‬
‫) 2‪V0  a (S1  S‬‬                      ‫) 2‪ ( L1   L‬‬                                   ‫أو أن‬
                            ‫) 2 ‪ (1  ‬‬                  ‫) 2 ‪ (1  ‬‬


                                                     ‫وبالتالي فإن سعة الكابل لكل وحدة طول هي‬

        ‫) 2 ‪( L1   L 2 )  (1  ‬‬
‫‪C‬‬                     ‫‪‬‬                        ‫‪F/ m‬‬
             ‫0‪V‬‬          ‫) ‪Ln (b / a‬‬
‫وتبتتين العالقتتة األخيتترة أن ستتعة الكابتتل لكتتل وحتتدة طتتول تكتتون مكونتتة متتن جتتزأين‬
                                ‫1‪ ‬‬
‫يمثتتل الستتعة للمنطقتتة‬                   ‫حيتتث يمثتتل كتتل جتتزء منطقتتة. فتتالجزء ‪F / m‬‬
                          ‫) ‪Ln (b / a‬‬
                                                  ‫2‪ ‬‬
‫يمثتتتتتل الستتتتتعة للمنطقتتتتتة ‪    2 ‬‬               ‫‪ 0    ‬والجتتتتتزء ‪F / m‬‬
                                                ‫) ‪Ln (b / a‬‬
‫وحيتتث أنهمتتا متصتتالن علتتى التتتوازي فتتإن مجموعهتتا يشتتابه وصتتل مقتتاومتين علتتى‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫24‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫فتتإن ستتعة الكابتتل المحتتوري‬        ‫التتتوالي (كمتتا هتتو معتتروف). وإذا كانتتت ‪1   2  ‬‬
                                   ‫) ‪. C  2  / Ln (b / a‬‬         ‫لكل وحدة طول تصبح ‪F / m‬‬


                              ‫من شروط الحدود وعلى السطح الداخلي ‪ ρ = a‬فإن‬ ‫(‪)ii‬‬
‫أو أن‬         ‫2‪D‬‬     ‫‪ D1  1 E1  s1  1 E‬و ‪  2 E2  s2   2 E‬‬
                                                                     ‫1‪S1 ‬‬    ‫1‪D 1 ‬‬
                                                     ‫وبالتالي فإن‬       ‫‪‬‬    ‫و‬     ‫‪‬‬
                                                                     ‫2 ‪S2 ‬‬   ‫2 ‪D 2 ‬‬


                ‫2‪‬‬       ‫1‪Ln (b / a ) a S‬‬
‫‪V0  a (1 ‬‬        ‫1‪) S‬‬             ‫‪‬‬     ‫‪Ln (b / a ) V‬‬
                ‫1‪‬‬       ‫) 2 ‪(1  ‬‬   ‫1‪‬‬
         ‫2‪a S‬‬
 ‫‪V0 ‬‬          ‫) ‪Ln (b / a‬‬              ‫‪V‬‬                                                          ‫أو‬
           ‫2‪‬‬


                 ‫0‪1 V‬‬                        ‫0‪ 2 V‬‬
    ‫‪S1 ‬‬                   ‫‪ S2 ‬و 2 ‪C / m‬‬               ‫2‪C / m‬‬                        ‫وبالتالي فإن‬
              ‫) ‪a Ln (b / a‬‬                 ‫) ‪a Ln (b / a‬‬
                                   ‫وعند السطح الداخلي للموصل الخارجي ‪ ρ = b‬فهي كما يلي:-‬

               ‫0‪ 2 V‬‬                                                     ‫0‪1 V‬‬
 ‫‪S2 ‬‬                     ‫2‪C / m‬‬               ‫و‬             ‫‪S1 ‬‬                   ‫2‪C / m‬‬
             ‫) ‪b Ln (b / a‬‬                                              ‫) ‪b Ln (b / a‬‬
        ‫وللقيم المعطاة في هذا المثال فإن كثافة الشحنات السطحية عند ‪ ρ = a‬تكون كما يلي:-‬


                                                            ‫4‪10 ‬‬
‫55.0 ‪S2 ‬‬            ‫‪C / m‬‬   ‫2‬
                                            ‫و‬       ‫‪S1 ‬‬           ‫572.0 ‪‬‬              ‫2 ‪C / m‬‬
                                                          ‫5 ‪72  Ln‬‬
                                      ‫أما على السطح الداخلي للموصل الخارجي ‪ ρ = b‬فتكون:-‬


 ‫11.0 ‪S2 ‬‬           ‫2‪C / m‬‬               ‫و‬                          ‫55.0 ‪S1 ‬‬         ‫2 ‪C / m‬‬
               ‫ولهذه القيم فإن سعة هذا الكابل لكل وحدة طول تصبح ‪C  51.8 pF / m‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫34‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




 ‫-الطاقة الكهربائية:- يمثل وجود الشحنات على موصلي المواسع طاقة كهربائية مخزنتة فتي‬
 ‫هذا المواسع (في الوستط الفاصتل بتين الموصتلين ) وتتكتون هتذه الطاقتة نتيجتة للطاقتة التتي‬
 ‫بتتذلت لشتتحن المواستتع. وكمتتا هتتو معتتروف فتتإن الجهتتد ‪ V‬يمثتتل كميتتة الشتتغل المبتتذول لنقتتل‬
                                        ‫وحدة شحنة من نقطة إلى أخرى ويمكن كتابته كما يلي:-‬

  ‫‪dWe‬‬
‫‪V‬‬                         ‫‪V‬‬                                                                  ‫)1-23(‬
   ‫‪dq‬‬
  ‫‪q dWe‬‬
‫‪V ‬‬                    ‫حيث إن ‪ dWe‬يمثل الشغل الكهربائي المبذول على شحنة ‪ ،dq‬أو أن‬
  ‫‪C‬‬   ‫‪dq‬‬
                                                                          ‫1‬
                      ‫‪ ، d We ‬وبمكاملة الطرفين ينتج ما يلي:-‬               ‫وبالتالي فإن ‪q d q‬‬
                                                                          ‫‪C‬‬


     ‫1 2‪q‬‬      ‫1‬
‫‪We ‬‬   ‫‪ CV 2  qV‬‬                                  ‫‪J‬‬                                       ‫)1-‪(33a‬‬
     ‫2 ‪2C‬‬      ‫2‬
                                                                                                      ‫أو‬

             ‫‪ E  D‬‬
         ‫1‬
‫‪We ‬‬                           ‫‪dV‬‬                  ‫‪J‬‬                                       ‫)1 -‪(33b‬‬
         ‫2‬
              ‫‪V‬‬

‫وتمثل العالقة )1-33( كمية الطاقة الكهربائية المخزنة في مواسع أو كمية الشغل المبذول في‬
‫شتتتحن هتتتذا المواستتتع. وإذا أعتبتتتر حيتتتزاً صتتتغيراً أو حجمتتتا ً صتتتغيراً علتتتى شتتتكل متتتتوازي‬
‫مستتتطيالت فتتي وستتط ستتماحيته ‪  F / m‬ومستتاحة قاعتتدة هتتذا المتتتوازي ‪ S‬وارتفاعتته ‪d‬‬
‫بحيتتث إن 3‪ V  Sd m‬تمثتتل الحجتتم المحصتتور بتتين لتتوحي المواستتع فتتإن كثافتتة الطاقتتة‬
                                                                                     ‫تصبح كما يلي :-‬

‫‪We‬‬       ‫1‬
   ‫2‪ we   E‬‬        ‫3‪J / m‬‬                                                                  ‫1-‪(34a‬‬
‫‪V‬‬        ‫2‬
    ‫1‬
‫‪we  E  D‬‬     ‫3‪J / m‬‬                                                                       ‫)1-‪(34b‬‬
    ‫2‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫44‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫مثال )1-41(:- يبين الشكل )1-22( كرة موصلة جيدة التوصيل نصف قطرها ‪a‬‬
‫وموضوعة في الفراغ الحر، فإذا كانت الشحنات التي تحملها هي ‪ q C‬فأوجد:- )‪ (i‬المجال‬
‫الكهربائي وكثافة الفيض الكهربائي الناتج عن هذه الكرة في المنطقة ‪ (ii) . 0  r  ‬جهد‬
                   ‫هذه الكرة . )‪ (iii‬الطاقة الكهربائية المخزنة في الفراغ الحر حول هذه الكرة.‬


                                                           ‫‪Er‬‬
                                                          ‫‪Dr‬‬



                                                            ‫0‪‬‬
                            ‫كرة موصلة‬


               ‫‪r‬‬                 ‫‪a‬‬
                                               ‫‪qC‬‬




                                         ‫الشكل )1-22(:- كرة موصلة تحمل شحنة مقدارها ‪q‬‬
                                                                   ‫‪ C‬وموضوعة في الفراغ الحر.‬



                                                                                            ‫الحـــل:-‬
‫تتتتتوزع الشتتتحنة ‪ q‬علتتتى ستتتطح الكتتترة بشتتتكل منتتتتظم علتتتى شتتتكل كثافتتتة شتتتحنات ستتتطحية‬
                                                                   ‫2‪. S  q /(4  a 2 ) C / m‬‬


‫)‪ (i‬في هتذه الحالتة ومتن التماثتل يكتون كتل متن المجتال الكهربتائي ‪ E‬وكثافتة الفتيض‬
‫الكهربتائي ‪ D‬باتجتاه ‪ ar‬فقتط وال يتغيتران متع ‪ ‬و ‪ ، ‬أو أن ‪D  D r (r ) a r‬‬
‫‪ E  E r (r ) a r‬وإذا ما تم اختيار سطح جاوس المقفل علتى شتكل ستطح كترة‬                              ‫و‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫54‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫نصف قطرها ‪ 0  r  ‬فإنه وبعد تطبيق قانون جاوس وفتي ضتوء متا ستبق يتتم‬
                                                                             ‫الحصول على ما يلي:-‬
                                            ‫‪q‬‬
‫‪Dr 4  r 2  q  Dr ‬‬                               ‫2‪C / m‬‬
                                        ‫‪4r‬‬     ‫2‬

                                                                             ‫‪q‬‬
‫أمتتا ‪ E‬و ‪ D‬للمنطقتتة ‪ r  a‬فتتإن كالهمتتا يكتتون‬               ‫‪، Er ‬‬               ‫‪V/m‬‬         ‫أو أن‬
                                                                         ‫2 ‪4  0r‬‬
                                                                                      ‫مساويا ً للصفر.‬

                                                       ‫‪r‬‬

                                                       ‫‪‬‬
‫)‪ (ii‬إليجاد الجهد يتم استخدام العالقة ‪ V   E  dL‬أو أن الجهتد للمنطقتة ‪a  r  ‬‬
                                                       ‫‪‬‬

                                                                                          ‫هو كما يلي:-‬
         ‫‪r‬‬

         ‫‪4‬‬
                 ‫‪q‬‬                             ‫‪q‬‬
‫‪V‬‬                                ‫‪dr ' ‬‬                     ‫‪V‬‬
                          ‫‪r‬‬   ‫2'‬            ‫‪4  0 r‬‬
         ‫‪‬‬            ‫0‬

                                                             ‫أما في المنطقة ‪ 0  r  a‬فهو كما يلي:-‬


   ‫‪a‬‬                 ‫‪r‬‬                   ‫‪‬‬
             ‫‪ ‬‬
                                               ‫‪q‬‬
‫‪V ‬‬                             ‫‪E  dL  ‬‬                        ‫‪V‬‬
   ‫‪‬‬                                      ‫‪ 4  0 a‬‬
   ‫‪‬‬                 ‫‪a‬‬                   ‫‪‬‬
‫يالحتتظ أن الكتترة ستتطح ووس تط متستتاوي الجهتتد ألن المجتتال الكهربتتائي فيهتتا يكتتون مستتاويا ً‬
                                                                                                ‫للصفر.‬


   ‫‪C  q / V  4  0 a F‬‬                                          ‫تكون سعة الكرة كما يلي:-‬        ‫(‪)iii‬‬
                      ‫وبالتالي فإن الطاقة المخزنة في الفراغ الحر المحيط بالكرة هي كما يلي :-‬


 ‫1 ‪‬‬    ‫1 ‪‬‬       ‫1‬          ‫2‪q‬‬        ‫2‪q‬‬
‫‪W  qV   CV 2  40 a‬‬            ‫‪‬‬       ‫‪J‬‬
 ‫2 ‪ 2 ‬‬          ‫2‬       ‫‪(40 a ) 2 80 a‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫64‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




    ‫1-2:- التيار المستمر )‪ (Direct Current DC‬وموص ية األوساط‬
‫إذا تركت شحنة كهربائية حترة فتي مجتال كهربتائي فإنهتا ستتتحرك تبعتا ً للقتوى التتي‬
‫تتؤثر عليهتا وتمثتل حركتهتا التيتار الكهربتائي ‪( I‬أو ‪ )i‬ووحداتته ‪ C/s‬أو أمبيتر ‪.A‬‬
‫ويمكتتن تعريتتف التيتتار الكهربتتائي متتن ختتالل تحديتتد الشتتحنات التتتي تمتتر متتثالً عبتتر‬
‫مساحة معينة فتي فتترة زمنيتة معينتة أو أنته يمثتل معتدل تغيتر الشتحنات متع التزمن‬
                                                                                         ‫كما يلي:-‬

         ‫‪dq‬‬
‫‪i ‬‬                     ‫‪A‬‬                                                                  ‫)1-53(‬
         ‫‪dt‬‬
‫تتكون المواد ، كما سبق ذكره، من ذرات وتتكون الذرة متن نتواة بهتا شتحنات موجبتة‬
‫وأجسام غيتر مشتحونة ويتدور حولهتا فتي متدارات مختلفتة عتدد متن الشتحنات الستالبة‬
‫والتتتي تكتتون مستتاوية للشتتحنات الموجبتتة. ومتتن البتتديهي أن تتتتأثر الشتتحنات الستتالبة‬
‫الواقعتتة فتتي أبعتتد المتتدارات عتتن النتتواة ألدنتتى قتتوة جتتذب تربطهتتا بتتالنواة. يمكتتن أن‬
‫تكون هذه القوة متدنية في قيمتهتا بحيتث إنهتا تكتون أقتل متن أو تستاوي علتى وجته‬
‫التقريتتب القتتوة التنافريتتة بتتين الشتتحنات الستتالبة والقتتوة العشتتوائية الناتجتتة عتتن الطاقتتة‬
‫الحراريتتة التتتي تكتستتبها الشتتحنات الستتالبة. وفتتي هتتذه الحالتتة فتتإن الشتتحنات الستتالبة‬
‫الواقعة في ابعتد المتدارات تنفصتل عتن ذراتهتا وتصتبح حترة فتي حركتهتا وتجوالهتا‬
‫وينتج عن ذلك عدد هائل من الشحنات الحرة التي يمكتن أن تتحترك بشتكل منتتظم‬
‫إذا ما تأثرت بمجال كهربائي خارجي. ويطلتق علتى المتادة فتي هتذه الحالتة بأنهتا‬
‫مادة موصلة (جيدة التوصيل). أما إذا كانت القوة التجاذبية المشار إليها أعتاله أكبتر‬
‫بكثير من القوة التنافريتة والعشتوائية فتإن فرصتة انتتزاع هتذه الشتحنات متن ذراتهتا‬
‫بمجاالت كهربائية خارجية تصتبح ضتئيلة إال إذا وصتلت شتدة هتذه المجتاالت إلتى‬
‫قيم عالية جداً تدعى بقيم االنهيار كما يحدث مثالً في حالة البترق وأنابيتب اإلنتارة‬
                                                                              ‫ٍ‬
‫التفريغيتتتة. ويطلتتتق علتتتى المتتتادة فتتتي هتتتذه الحالتتتة بالمتتتادة العازلتتتة حيتتتث إن عتتتدد‬
‫اإللكترونات (الشحنات السالبة) الحرة يكون متدنيا ً. ومتا بتين المتواد األولتى والثانيتة‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫74‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫تقع المواد شبه الموصلة. فمثالً يتوفر فتي المتواد الموصتلة عتدد كبيتر متن الشتحنات‬
‫السالبة الحرة التي تركتت ذراتهتا وهتي صتغيرة فتي حجمهتا ووزنهتا وقتادرة علتى‬
‫الحركة في أي اتجاه تقريبتا ً تبعتا ً للقتوى المتؤثرة عليهتا. أمتا التذرات المتروكتة فإنهتا‬
‫تمثتتل شتتحنات موجبتتة غيتتر أنهتتا كبيتترة فتتي حجمهتتا وثقيلتتة جتتداً (مقارنتتة بالشتتحنات‬
‫الستتالبة) ويصتتعب عليهتتا الحركتتة فعلي تا ً. تتحتترك الش تحنات الستتالبة التتتي تركتتت ذراتهتتا‬
‫نتيجتتة لعتتدة قتتوى تتتؤثر عليهتتا منهتتا التنتتافر متتع شتتحنات ستتالبة أختترى وتجاذبهتتا متتع‬
‫شحنات موجبة إضتافة ألثتر الطاقتة الحراريتة التتي تكتستبها متن المحتيط التتي تتواجتد‬
‫فيتته، ويمكتتن أن تصتتطدم هتتذه الشتتحنات الستتالبة أثنتتاء حركتهتتا بأجستتام غيتتر مشتتحونة‬
‫تتواجتتد فتتي طريتتق حركتهتتا. إذا متتا أثتتر علتتى الوستتط التتذي بتته هتتذه الشتتحنات الستتالبة‬
‫مجتتال كهربتتائي ختتارجي فإنتته يحتترك هتتذه الشتتحنات باتجاهتته. فمتتثالً يمكتتن أن تبتتدأ‬
‫الشتتحنة متتن ستترعة ابتدائيتتة تستتاوي الصتتفر ثتتم تبتتدأ بالتستتارع نتيجتتة هتتذا المجتتال‬
‫المؤثر وتصل سرعتها إلى قيمة عظمى تؤول بعدها إلى الصتفر وذلتك إمتا لكونهتا‬
‫اقتربتتتت متتتن شتتتحنة ستتتالبة أختتترى أو ألنهتتتا اجتتتتذبت إلتتتى شتتتحنة موجبتتتة أو ألنهتتتا‬
‫اصطدمت مع جسم أخر غير مشحون. ثتم تبتدأ تستارعها متن جديتد لتقطتع فتي كتل مترة‬
‫مسافة قد تختلف عن سابقتها وتنتهي بسرعة قصوى تختلف عما قبلها. ولكن إذا متا‬
‫تم اختيار نقطتين متباعدتين مثالً 1‪ x‬و 2‪ x‬والمستافة متا بينهمتا ‪( x‬أكبتر بكثيتر‬
‫وتم توقيت الزمن الالزم لشحنة أو مجموعتة متن الشتحنات لتنتقتل‬                         ‫من قطر الذرة)‬
‫من النقطة 1‪ x‬إلى النقطة 2‪ x‬تحت تأثير مجال كهربائي ختارجي ‪ ،E‬ووجتد أنته‬
‫يساوي ‪  t‬فإنه يمكتن تعريتف الكميتة ‪  x /  t ‬علتى أنهتا سترعة جريتان‬
‫ويمكتن القتول‬         ‫وهتي ال تستاوي سترعتها اللحظيتة.‬             ‫الشحنة (أو مجموعة الشتحنات)‬
‫وتستمى بسترعة الجريتان‬            ‫معتدل سترعة الشتحنة الستالبة‬             ‫أن هذه السترعة تمثتل‬
                                                                        ‫(‪ vd )Drift Velocity‬أو‬
‫‪vd   E‬‬                                                                               ‫)1-73(‬
‫حيتتث إن ‪ ‬تمثتتل ستتهولة تنقتتل الشتتحنات الستتالبة فتتي الوستتط ويطلتتق عليتته أستتم التنقليتتة‬
‫)‪ (Mobility‬وتكون وحتداتها )‪ . (m 2 / sV‬فتإذا كانتت كثافتة هتذه الشتحنات الحجميتة‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫84‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫عتتابرة متتثالً‬   ‫‪  v‬وتستتير بستترعة جريتتان ‪v d m / s‬‬                ‫فتتي وستتط متتا هتتي 3‪C / m‬‬
                       ‫مساحة مقطع 2 ‪ A m‬فإنه يمكن تعريف ذلك على انه التيار أو‬


‫‪i  v vd‬‬                                                                                 ‫)1-‪(38a‬‬
                                                       ‫أو أن كثافة التيار السطحية تكون كما يلي:-‬


‫‪J  i / A  v vd‬‬                                                                         ‫)1-‪(38b‬‬
‫وتكتتون كثافتتة التيتتار ‪ J‬متجهتتا )‪ (J‬يحتتدد متتن متجتته المستتاحة ‪ A‬أو متتن ختتالل اتجتتاه‬
‫سرعة الجريان ‪ vd‬ومن قانـون أوم )‪ (Ohm's Law‬الذي يتربط الجهتد بالتيتار عبتر‬
‫المقاومتة )‪ (V = IR‬وحيتث إن ‪ V = EL‬و ‪ I = JA‬و )‪ ،R = L/( A‬علمتا ً بتأن ‪L‬‬
                         ‫يمثل مسار التيار (طول على الخط الممثل للمجال الكهربائي) فإن‬


‫‪J  E‬‬                ‫2‪A / m‬‬                                                               ‫)1-93(‬
‫حيث إن ‪ ‬هي موصلية )‪ (Conductivity‬الوستط. وتمثتل المعادلتة )1-93( قتانون‬
‫أوم عنتتد أي نقطتتة لوستتط لتته موصتتلية 1‪  ( m) ‬ويبتتين هتتذا القتتانون أن كثافتتة‬
‫التيتتار الستتطحية 2 ‪( J A / m‬والتتتي تمثتتل حركتتة الشتتحنات ) تتناستتب متتع المجتتال‬
‫الكهربائي الخارجي ‪ E‬الذي ينتج هذا التيتار عبتر ثابتت الوستط (الموصتلية ‪.) ‬‬
‫وتعتبتتتتتتر الموصتتتتتتلية ‪ ‬مقلتتتتتتوب المقاوميتتتتتتة )‪.   1 m (Resistively‬‬
‫وت عكتس المقاومتتة المشتتار إليهتا أعتتاله أنتته لتحريتك شتتحنة متتن نقطتة إلتتى أختترى فتتي‬
‫وسط ما فالبد من بذل شغل للتغلب على القوى العديدة التي تؤثر على هذه الشتحنة‬
‫مثتتتل القتتتوى التنافريتتتة والتجاذبيتتتة والتصتتتادمية والعشتتتوائية الناجمتتتة عتتتن الطاقتتتة‬
‫الحراريتتة والتتتي فتتي مجملهتتا تشتتكل مقاومتتة لحركتتة الشتتحنات متتن نقطتتة إلتتى أختترى.‬
‫وتقل موصلية معظم المواد (أو تزداد مقاومتها) مع زيتادة درجتة الحترارة نظتراً الن‬
‫ذلتتك يرفتتع متتن القتتوى العشتتوائية الناجمتتة عتتن الطاقتتة الحراريتتة. ويبتتين الجتتدول )1-2(‬
                       ‫عدداً من المواد وموصليتها عند درجة حرارة الغرفة ‪. 20 C‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫94‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                      ‫الجدول )1-2(:- موصلية عدد من المواد 1‪.  (m) ‬‬
     ‫موص يتها 1‪ (m) ‬‬                        ‫تصنيف المادة‬                              ‫اسم المادة‬


                          ‫71-01‬                          ‫عازل‬                              ‫الكوارتز‬
                          ‫51-01‬                          ‫عازل‬                                ‫المطاط‬
                          ‫21-01‬                          ‫عازل‬                                ‫الزجاج‬
                            ‫4-01‬                ‫عازل ضعيف‬                                 ‫ماء مقطر‬
                            ‫3-01‬                ‫عازل ضعيف‬                      ‫التربة الرملية الجافة‬
                             ‫2.0‬               ‫موصل ضعيف‬                              ‫جسم الحيوان‬
                               ‫2‬               ‫موصل ضعيف‬                                  ‫جرمانيوم‬

                               ‫4‬               ‫موصل متوسط‬                                 ‫ماء البحر‬
                            ‫301‬                        ‫موصل‬                                ‫السليكون‬
                       ‫401 ‪3 ‬‬                         ‫موصل‬                                 ‫الكربون‬
                            ‫601‬                    ‫موصل جيد‬                            ‫الحديد الزهر‬
                       ‫601 ‪5 ‬‬                     ‫موصل جيد‬                                ‫القصدير‬
                      ‫701 ‪3.5 ‬‬                    ‫موصل جيد‬                                ‫األلمنيوم‬

                      ‫701 ‪4.1 ‬‬                    ‫موصل جيد‬                                   ‫الذهب‬
                      ‫701 ‪5.7 ‬‬                    ‫موصل جيد‬                                  ‫النحاس‬


  ‫يمكن كتابة العالقة التي تحدد المقاومة ‪ R‬أو المواصلة ‪ (Conductance) G‬كما يلي:-‬


      ‫‪‬‬         ‫‪‬‬
‫)‪R  dR  dL / ( A‬‬
                 ‫‪L‬‬
                                           ‫‪‬‬                                                 ‫)1-‪(39a‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫05‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




      ‫‪‬‬
‫‪G  dG   dA / L‬‬
                 ‫‪‬‬
                 ‫‪A‬‬
                                        ‫1‪() ‬‬                                           ‫)1-‪(39b‬‬

       ‫ويتم من العالقات )1-73( - )1-93( استنتاج أن ‪ J   E   v v d   v  E‬أو‬


‫‪  v ‬‬          ‫1‪(m) ‬‬                                                                ‫)1-‪(40a‬‬


‫‪   / v‬‬        ‫‪m 2 / sV‬‬                                                              ‫)1-‪(40b‬‬

‫وتبين العالقة )1-‪ )40a‬أن موصلية الوستط تتزداد بازديتاد كثافتة الشتحنات والتنقليتة.‬
‫وتبين العالقة )1-‪ (40b‬أن التنقلية أو سهولة حركة الشحنات تتنتاقص بازديتاد كثافتة‬
‫الشحنات نظراً الن تزايد الشحنات يزيد من تنافرها مع بعضها ويتؤدي إلتى ازدحتام‬
‫الوستتط بهتتذه الشتتحنات. ومتتن الجتتدير بالتتذكر أن التيتتار المستتتمر )‪ (DC‬ينتتتج عتتن‬
‫حركة الشحنات الحجمية التي تسير بسرعة ثابتة تمثل سرعة الجريان. وفي الواقتع إن‬
‫كمية الشحنات في أي حجم من المادة يبقى مستاويا ً للصتفر ستواء أكتان هنتاك تيتار‬
                  ‫ً‬
‫أم لتتم يكتتن (مجمتتوع الشتتحنات الموجبتتة والشتتحنات الستتالبة متستتاويان وبالتتتالي فتتإن‬
‫مجمتتوع الشتتحنات يكتتون صتتفراً). فتتي ضتتوء ذلتتك إذا تتتم تطبيتتق قتتانون جتتاوس علتتى‬
‫كثافتتة التيتتار المبتتين فتتي العالقتتة )1-‪ (38a‬فإنتته يتتتم استتتنتاج قتتانون كيرشتتوف للتيتتار‬
                                       ‫لسطح مقفل ‪ (  I  0 ) S‬أو عند نقطة كما يلي:-‬


‫‪ J  dS‬‬     ‫0‪‬‬                                                                         ‫)1-‪(41a‬‬
 ‫‪S‬‬

                                                                                           ‫وبالتالي‬
‫0 ‪ J ‬‬                                                                                 ‫)1-‪(41b‬‬


‫مثال )1-51(:- يبين الشكل )1-32( اسطوانة نحاسية مفرغتة وموصتولة بمصتدر فتي ثالثتة‬
‫أوضتتاع ، فتتإذا كتتان طولهتتا ‪ L‬ونصتتفا قطريهتتا التتداخلي والختتارجي همتتا ‪ a‬و ‪ b‬علتتى التتتوالي‬
                                                                        ‫فأوجد مقاومتها لكل وضع.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫15‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                        ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




             ‫‪z‬‬                                   ‫‪z‬‬                                         ‫‪z‬‬


        ‫‪b‬‬                                                                             ‫‪b‬‬
                                            ‫‪b‬‬
         ‫‪a‬‬            ‫‪ρ‬‬                      ‫‪a‬‬       ‫‪ρ‬‬                                 ‫‪a‬‬         ‫‪ρ‬‬
                                                                                                              ‫0‪V‬‬
                                                                 ‫0‪V‬‬

                                                         ‫‪I‬‬              ‫‪L‬‬                            ‫‪I‬‬
                          ‫‪I‬‬




                              ‫)‪(c‬‬                    ‫)‪(b‬‬                      ‫)‪(a‬‬
                 ‫0‪V‬‬

‫الشكل )1-32(:- اسطوانة نحاستية مفرغتة وموصتولة متع مصتدر يصتدر تيتاراً باتجتاه )‪(a‬‬
                                        ‫)‪ (c‬باتجاه التفافي.‬      ‫)‪ (b‬قطر االسطوانة‬                ‫محور االسطوانة‬


                                                                                                         ‫الحـــل:-‬
‫عندما يكون التيار باتجاه محور االسطوانة، الشكل )1-‪ ، (23a‬تكون المقاومة ‪ dR‬كما يلي:-‬

               ‫‪dz‬‬
‫‪dR ‬‬                                ‫‪‬‬
            ‫‪  d d‬‬
                      ‫‪b‬‬
    ‫‪2‬‬        ‫) 2 ‪  (b 2  a‬‬
 ‫‪G‬‬
     ‫‪L‬‬
        ‫‪ d ‬‬
                     ‫‪L‬‬‫‪‬‬
                      ‫‪a‬‬
                                ‫1‪() ‬‬                                                                          ‫أو‬

                 ‫‪‬‬
 ‫) 2 ‪R  L /   (b 2  a‬‬               ‫‪‬‬        ‫‪‬‬                                             ‫أو أن المقاومة تكون‬


       ‫وعندما يكون التيار باتجاه قطري، الشكل )1-‪ ، (23b‬تكون المقاومة ‪ dR‬كما يلي :-‬

                                                     ‫‪b‬‬
        ‫‪d‬‬             ‫‪d‬‬
                                                     ‫‪‬‬
                    ‫1‬            ‫) ‪Ln (b / a‬‬
‫‪dR ‬‬          ‫‪R‬‬         ‫‪ R ‬‬                                                                   ‫‪‬‬
     ‫‪ d dz‬‬     ‫‪2L ‬‬          ‫‪2L‬‬
                                                     ‫‪a‬‬




                               ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                             ‫25‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




 ‫أما عندما يكون التيار باتجاه التفافي، الشكل )1-‪ ، (23c‬فإن المقاومة ‪ dR‬تكون كما يلي :-‬

                                               ‫‪b‬‬
      ‫‪ d‬‬                     ‫‪ L d  L‬‬
‫‪dR ‬‬
     ‫‪ d dz‬‬
                        ‫‪ G ‬‬
                               ‫‪2 ‬‬
                                     ‫‪‬‬
                                       ‫‪2‬‬      ‫‪‬‬
                                          ‫) ‪Ln (b / a‬‬
                                               ‫‪a‬‬

 ‫‪R  2  / L Ln(b / a )‬‬              ‫‪‬‬                         ‫أو أن المقاومة في هذه الحالة تكون‬


            ‫1-3:- المصادر والمجاالت المغناطيسية الثابتة مع الزمن‬
‫يبحث هذا البتاب فتي المصتادر والمجتاالت الكهرومغناطيستية )‪ (Magnetic Fields‬الثابتة‬
‫مع الزمن، هذا وقد ستبق وتتم تقتديم المصتادر والمجتاالت الكهربائيتة الثابتة متع التزمن والتتي‬
‫تمثل النصف األول وسيتم هنتا تقتديم النصتف الثتاني وهتي المصتادر والمجتاالت المغناطيستية‬
‫الثابة مع الزمن. سيتم أوالً تقديم المصادر المغناطيستية (التيتارات الكهربائيتة) وبعتد ذلتك يتتم‬
‫االنتقتتال إلتتى إيجتتاد المجتتاالت المغناطيستتية المختلفتتة الناتجتتة متتن هتتذه المصتتادر وكتتذلك إيجتتاد‬
                                                   ‫اآلليات التي تربط بين هذه المصادر والمجاالت.‬


                            ‫‪Magnetic Sources‬‬               ‫1- 3-1:- المصادر المغناطيسية‬
‫تعرف اإلنسان على المصادر المغناطيسية منذ زمن بعيد وذلك على شكل حجر أسود (مكتون‬
‫من الحديد) كتان موجتوداً فتي الطبيعتة وكانتت لته خصتائص جتذب المتواد الحديديتة األخترى.‬
‫وسيتم بحث هذا النوع من المصادر عند معالجة المواد المغناطيسية في الفصول القادمتة. أمتا‬
‫المصادر التي سيتم التركيز عليها هنا فهي التيارات الكهربائية وهنا فإن الحتديث ستيكون عتن‬
‫التيار المستمر الذي سبق وتم تقديمه في الفصل السابق. وتتأتي هتذه التيتارات بأشتكال مختلفتة‬
                                                                                        ‫وذلك كما يلي :-‬


‫- تيااار ال ا )‪ (Line Current‬أو التيااار :- وهتتو تيتتار يستتري فتتي ستتلك موصتتل رفيتتع‬
                                                              ‫ويرمز له بالرمز ‪ I‬ووحدته األمبير ‪.A‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫35‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫- تيار خطي )‪ -: (Linear Current‬وهو تيار مقتداره متثالً ‪ I A‬يستري بشتكل منتتظم أو‬
‫غير منتظم في صفيحة معدنية رقيقة جداً عرضتها ‪( L‬قتد ال يكتون ثابتتا ً) ويعبتر عنته بكثافتة‬
                                       ‫التيار الخطي ويرمز له بالرمز ‪. K  I / L A / m ، K‬‬


‫- تيار سطحي )‪ -: (Surface Current‬وهو تيار مقداره ‪ I A‬يسري فتي ستلك منتتظم أو‬
‫غير منتظم في موصل مساحة مقطعه (ثابتتة أو متغيترة) ‪ S‬ويعبتر عنته عتادة بكثافتة التيتار‬
                                                   ‫ويرمز له بالرمز 2 ‪. J ( I / S) A / m‬‬
                                                       ‫ويبين الشكل )1-42( هذه التيارات المختلفة.‬
                                       ‫‪z‬‬


              ‫تيار سطحي‬

      ‫‪I‬‬
                               ‫‪J‬‬


                                ‫2‪S m‬‬
                                                                                          ‫‪y‬‬
                                             ‫‪L‬‬                        ‫‪I‬‬

                                       ‫‪K‬‬
                                                                     ‫تيار الخط‬
  ‫‪x‬‬                                         ‫تيار خطي‬
                         ‫‪I‬‬


‫الشكل )1-42(:- األشكال المختلفة للتيارات الكهربائية، تيار الخط ‪ I A‬وكثافة التيتارالخطي‬
                                                                  ‫‪ K A/m‬وكثافة التيار 2‪.J A/m‬‬


                      ‫1-3-2:- كثافة الفيض المغناطيسي وقانون بيوت- سافارت‬
                 ‫'‬
‫‪ S‬وكانت كثافة‬          ‫إذا كان المصدر عبارة عن تيار يمر في موصل مساحة مقطعه 2 ‪m‬‬
‫التيار التي تمر في هذا الموصل هي 2‪ J A / m‬كما هو مبين في الشكل )1-52( فإن‬
‫قانون بيوت - سافارت )‪ (Biot-Savart Law‬يربط بين كثافة الفيض المغناطيسي‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫45‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫)‪ (Magnetic Flux density‬وهذا التيار. فإذا أخذ حجم صغير من هذا‬                                          ‫‪B‬‬
‫أو‬    ‫) ' ‪(x ' , y' , z‬‬   ‫مقطع '‪ dS‬وطول '‪ dL‬عند النقطة‬                    ‫بمساحة‬        ‫الموصل ' ‪dV‬‬
‫) '‪ (r ' , ' , ‬فإن كثافة الفيض المغناطيسي الناتج عن هذا الجزء من المصدر عند‬
‫أو )‪ P (r, , ‬هي ‪ .dB‬يمكن اعتبار هذا الجزء الصغير‬                               ‫النقطة )‪P (x, y, z‬‬
‫من المصدر على أنه مصدر نقطي وبالتالي فإن ناتجه يكون متماثالً وتكون العالقة‬
                                                                         ‫بين ‪ dB‬و ‪ J‬كما يلي :-‬


          ‫‪ J (r ' ) dV '  a R‬‬
‫‪dB ‬‬                                      ‫2 ‪Wb / m‬‬                                             ‫)1-24(‬
                 ‫‪4 R‬‬      ‫2‬


‫حيتتث إن ‪ ‬هتتي الخاصتتية المغناطيستتية للوستتط أو ثابتتت الوستتط وتتتدعى بالنفاذيتتة ووحتتداتها‬
                                                                     ‫‪R‬‬      ‫'‪r  r‬‬
                              ‫‪ a R ‬متجه وحدة يؤخذ باتجاه ‪.R‬‬            ‫‪‬‬               ‫‪ ،H/m‬و‬
                                                                   ‫| '‪| R | | r  r‬‬


                                                                                               ‫)‪(r,,‬‬
                                                                                           ‫‪P‬‬
                                                  ‫‪z‬‬                                            ‫)‪(x,y,z‬‬
                                                            ‫'‪dV‬‬
                                                                         ‫‪R‬‬                 ‫?‪B‬‬
                                                           ‫‪J‬‬
                                                       ‫)'‪(r',',‬‬
                                 ‫'‬
                                ‫‪S‬‬                      ‫)'‪(x',y',z‬‬
 ‫الموصل‬
‫الذي يحمل‬                                             ‫'‪r‬‬        ‫‪r‬‬
 ‫التيار ‪I‬‬
                                                                                                   ‫‪y‬‬
           ‫‪I‬‬




      ‫‪x‬‬
                           ‫الشكل )1-52(:- موصل يحمل تياراً ‪ I A‬وينتتج عنته كثافتة‬
                                                           ‫فيض مغناطيسي ‪ B‬عند النقطة ‪.P‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫55‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫يالحتتظ متتن العالقتتة )1-24( قتتانون التربيتتع العكستتي إضتتافة إلتتى أن اتجتتاه ‪ dB‬متترتبط‬
‫باتجتتاه ‪ J‬وذلتتك تبعتا ً لقاعتتدة اليتتد اليمنتتى. أي أنتته إذا متتا تتتم تجهيتتز اليتتد اليمنتتى بحيتتث‬
‫تكون أصابعها باتجاه ‪ J‬ويتم ثنتي األصتابع باتجتاه ‪ aR‬فتإن اإلبهتام يكتون محتدداً التجتاه‬
                                  ‫‪ .dB‬وبالتالي فإن قيمة ‪ B‬عند النقطة ‪ P‬تصبح كما يلي :-‬


       ‫‪‬‬                    ‫‪J (r ' )  a R‬‬
‫‪B(r) ‬‬
       ‫‪4‬‬          ‫‪‬‬           ‫‪R‬‬   ‫2‬
                                             ‫' ‪dV‬‬                                                 ‫)1-34(‬
                      ‫'‪V‬‬



‫مثال )1-61(: - يبين الشتكل )1-62( ستلكا ً موصتالً طتويالً يمتتد إلتى متا النهايتة فتي اتجتاه ‪z‬‬
‫ويحمل تياراً مقداره ‪ . I A‬أوجد كثافة الفيض المغناطيسي ‪ B‬الناتجتة عتن هتذا الستلك عنتد‬
                                                                   ‫النقطة )0 ,‪. (, ‬‬
                                                       ‫‪z‬‬

                                         ‫)'‪(0, 0 ,z‬‬
                                                       ‫‪I‬‬       ‫‪dL'  dz ' a z‬‬

                                              ‫‪z' az‬‬

                                                               ‫‪R‬‬


                                                                                          ‫‪y‬‬

                                                           ‫‪ρ‬‬             ‫)0, ‪ρ, ‬‬

                  ‫‪x‬‬
                                                           ‫الشااكل )1-62(:- ستتلك موصتتل‬
                                                           ‫طويل يحمل تياراً مقداره ‪.I A‬‬

                                                                                          ‫الحـــل:-‬
‫نظتتراً للتماثتتل فتتإن كثافتتة الفتتيض المغناطيستتي ‪ B‬لتتن تعتمتتد علتتى ‪ z‬و ‪ ‬وإنمتتا فقتتط علتتى ‪ρ‬‬
     ‫وبتطبيق العالقة )1-34( علما ً بان التكامل الحجمي يتم استبداله بتكامل خطي كما يلي:-‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫65‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




             ‫‪ I dL'  a R‬‬
‫‪B() ‬‬
             ‫‪4‬‬    ‫‪‬‬‫2‪R‬‬
                   ‫'‪L‬‬
                                                  ‫2‬
‫‪ dL'  dz 'a z‬و ‪ R   a   z 'a z‬و ' ‪ | R |  2  z‬و ‪. a R  R/ R‬‬                                          ‫حيتتتث إن‬

                                                                                                               ‫وبالتالي‬
                         ‫‪‬‬                                           ‫‪‬‬
               ‫‪I‬‬                     ‫' ‪dz‬‬                ‫‪I‬‬                   ‫' ‪dz‬‬
‫‪B () ‬‬
               ‫‪4‬‬        ‫‪‬‬
                         ‫‪‬‬
                                              ‫2‬
                               ‫2 / 3 ) ' ‪( 2  z‬‬
                                                       ‫‪‬‬
                                                           ‫‪2‬‬        ‫‪ (‬‬
                                                                     ‫0‬
                                                                            ‫2‬        ‫2‬
                                                                                ‫2 /3) ' ‪ z‬‬

‫يتتتتتتتتتتم إجتتتتتتتتتراء التكامتتتتتتتتتل األخيتتتتتتتتتر عتتتتتتتتتن طريتتتتتتتتتق التعتتتتتتتتتويض أو ‪ z '   tan ‬و‬

                                                                                         ‫2‬
‫‪ ( 2  z ' ) 3 / 2  3 / cos3 ‬و ‪ dz '   d  / cos 2 ‬وعنتدما تكتون 0 = ‪z‬‬

                                          ‫فإن 0 ‪  ‬وعندما تكون ‪ z  ‬فإن 2 / ‪ ،   ‬أو‬

                            ‫2 /‪‬‬
           ‫‪I‬‬                                        ‫‪I‬‬
‫‪B  () ‬‬
          ‫2‪2  ‬‬              ‫‪ cos  d  2  ‬‬
                              ‫0‬
                                                                      ‫2 ‪Wb / m‬‬


‫مثال )1-71(:- يبين الشكل )1-72( حلقة مكونة من سلك موصل يسري فيها تيتار‬
‫وموضتوعة فتـي المستتوى ‪ xy‬ومركزهتـا‬                              ‫‪ .I A‬إذا كتان نصتـف قطتر الحلقتة ‪a‬‬
‫عنـد نقطـة األصل فأوجد كثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة )‪ (0, 0, z‬وكذلك‬
                                                                                                ‫عند مركز الحلقة.‬


                                                                                                              ‫الحـــل:-‬
‫من التماثل، يتوقع أن تكون كثافة الفيض المغناطيسي على محور الحلقتة فتي اتجتاه‬
‫وال تعتمتتد علتتى ‪( ‬يتغيتتر ذلتتك إذا كانتتت النقطتتة المتتراد‬                              ‫هتتو اتجتتاه ‪z‬‬       ‫واحتتد‬
‫إيجاد ‪ B‬عندها تقع بعيداً عن المحور). بتطبيق العالقة )1-34( بعد استتبدال التكامتل‬
                                                                                ‫الحجمي بتكامل خطي، أو أن‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                       ‫75‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                  ‫‪ I dL'  a R‬‬
‫‪B(0, 0, z) ‬‬
                  ‫‪4‬‬
                     ‫'‬
                      ‫‪‬‬‫2‪R‬‬
                      ‫‪L‬‬

  ‫حيث إن ‪ dL  a d  a‬و ‪ R  z a z  a a‬و 2 ‪ R  z 2  a‬و ‪. a R  R/ R‬‬

                                                     ‫‪z‬‬
                                    ‫)‪(0,0,z‬‬


                                            ‫‪z az‬‬

                                                                 ‫‪R‬‬




                                        ‫‪a‬‬
                                                                                                     ‫‪y‬‬

                                                   ‫'‪d‬‬          ‫‪a a‬‬
                                                     ‫`‪‬‬                        ‫'‬      ‫' '‬
                                                                             ‫‪dL  a d a‬‬
                                                                                         ‫‪‬‬
                                                            ‫‪I‬‬
              ‫‪x‬‬



     ‫الشكل )1-72(:- حلقة موصلة تحمل تياراً ‪ I A‬وموضوعة في المستوى ‪.x y‬‬


                                                                 ‫وبالتالي يتم الحصول على ما يلي :-‬

                           ‫‪2‬‬                                                ‫‪2‬‬
               ‫‪I a‬‬               ‫) ‪d ' a 'φ  (z a z  a a ‬‬      ‫‪Ia‬‬           ‫) ‪(z a   a a z‬‬
  ‫‪B(0, 0, z) ‬‬
                ‫‪4‬‬         ‫‪‬‬           ‫) ‪(z  a‬‬
                                            ‫2‬      ‫2 /3 2‬
                                                                  ‫‪‬‬
                                                                    ‫‪4‬‬       ‫‪ (z‬‬    ‫2‬
                                                                                         ‫) ‪a‬‬
                                                                                            ‫2 /3 2‬
                                                                                                         ‫' ‪d‬‬
                          ‫0‪' ‬‬                                              ‫0‬

‫وفي ضوء التماثل فإن ‪ Bρ‬يصبح صفراً (‪ aρ‬تتغير مع تغير ' ‪ ‬بحيتث إن مجمتوع‬
‫عناصر ‪ Bρ‬لكل المدى تؤول إلى الصتفر) ويتتم استتنتاج كثافتة الفتيض المغناطيستي‬
                                                                                         ‫‪ B‬كما يلي :-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                 ‫85‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                             ‫2‪ I a‬‬
‫‪B z (0, 0, z) ‬‬                                ‫2 ‪Wb / m‬‬
               ‫) ‪2 (z  a‬‬    ‫2‬      ‫2 /3 2‬

               ‫‪I‬‬
‫‪Bz (0, 0, 0) ‬‬      ‫2 ‪Wb / m‬‬                                   ‫وعند مركز الحلقة فإن قيمة ‪ B‬تصبح‬
               ‫‪2a‬‬


                                                                  ‫1-3-3:- القوة المغناطيسية‬
‫تعتبتتر القتتوة المغناطيستتية )‪ (magnetic force‬ذات أهميتتة قصتتوى فتتي تطبيقتتات متعتتددة‬
‫أهمها اآلالت الكهربائية وسيتم هنا معالجة الموضوع بصورة مبسطة. إذا كانتت هنتاك‬
                 ‫ٍ‬
‫دارة كهربائية (مثالً على شكل سلك موصل طويل) تحمل تياراً كهربائيا ً ‪ I1 A‬وتقتع‬
‫هذه الدارة ضمن المجال المغناطيستي لمصتدر مغناطيستي مجتاور (متثالً ستلك موصتل‬
‫أخر يحمل تياراً كهربائياًًً ‪ )I2 A‬فإن القوة المغناطيسية من هذا المصدر علتى طتول‬
                                             ‫صغير ‪ dL‬من الدارة الكهربائية تكون كما يلي :-‬


‫2 ‪d F  I1 dL1  B‬‬                       ‫‪N‬‬                                                     ‫)1-44(‬
‫حيتتث إن 1‪ dL‬يمثتتل طتتوالً تفاضتتليا ً متتن التتدارة الكهربائيتتة التتتي تقتتع تحتتت تتتأثير المجتتال‬
‫المغناطيستتي الختتارجي و 2‪ B‬هتتي كثافتتة الفتتيض المغناطيستتي الناتجتتة عتتن المصتتدر المجتتاور‬
                                           ‫للدارة الكهربائية. وبالتالي فإن القوة الكلية هي كما يلي:-‬

      ‫2 ‪ I1 I‬‬            ‫) ‪dL1  (dL 2  a R‬‬
‫‪F‬‬
        ‫‪4‬‬       ‫‪‬‬
                 ‫1‪L 2 L‬‬
                                    ‫2‪R‬‬
                                                                                           ‫)1-54(‬



‫حيث تم استخدام قانون بيوت- سافارت لكتابة 2‪ B‬علما ً بتأن ‪ R‬تمثتل المستافة بتين‬
‫الطتتولين التفاضتتليين 1‪ dL‬و 2‪ .dL‬إذا كانتتت التتدارة الكهربائيتتة محتتدودة فتتي أبعادهتتا‬
‫وكان المصدر المجاور عبارة عن دارة كهربائية محدودة األطوال، كما هو مبين في‬
‫الشتتتكل )1-82(، فتتتيمكن استتتتبدال التكتتتاملين علتتتى 1‪ L‬و 2‪ L‬بتكتتتاملين مقفلتتتين يتتتتم‬
                                                            ‫أجراؤهما على 1‪ L‬و 2‪ L‬كما يلي :-‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫95‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




      ‫2 ‪ I1 I‬‬               ‫) ‪dL1  (dL 2  a R‬‬
‫‪F‬‬
        ‫‪4‬‬        ‫‪‬‬
                  ‫2‪L1 L‬‬
                                         ‫2‪R‬‬
                                                                                              ‫)1-64(‬



                 ‫1‪I‬‬




                 ‫الدارة الواقعة‬ ‫1‪dL‬‬
         ‫1‪L‬‬                                         ‫‪R‬‬                          ‫المصدر‬
                  ‫2 ‪ B‬تحت تأثير‬
                    ‫المجال‬                                            ‫2‪dL‬‬
                  ‫المغناطيسي‬
                                                                                              ‫2‪I‬‬
                   ‫الخارجي‬

                                                                                         ‫2‪L‬‬




‫الشكل )1-82(:- دارتان متجاوتان األولى يمر بها تيار 1‪ I‬وتتتأثر متن الثانيتة التتي يمتر فيهتا‬
                                                                                                   ‫تيار 2‪.I‬‬


‫مثال )1-81(:- يبين الشكل )1-92( حلقة مستطيلة 2‪ L1×L‬مكونة من سلك موصل يمر‬
‫فيها تيار مقداره ‪ I A‬وتقع تحت تأثير كثافة فيض مغناطيسي 2 ‪ . B Wb / m‬أوجد القوة‬
‫المؤثرة على هذه الحلقة في الحالتين التاليتين:- )‪ (i‬إذا كانت 2 ‪. B  B1a z Wb / m‬‬
                                                          ‫)‪ (ii‬إذا كانت 2 ‪. B  B2 a y Wb / m‬‬

                      ‫افترض أن الحلقة واقعة في المستوى ‪ xy‬ويقع مركزها عند نقطة األصل.‬


                                                                          ‫الحـــل:-‬
          ‫)‪ (i‬إذا كانت ‪ B  B1 a z‬فإن القوة المؤثرة على أضالع الحلقة هي كما يلي :-‬
       ‫‪F1bc  I L1 B1 a y‬‬                     ‫‪N‬‬           ‫و‬      ‫‪F1ab  I L 2 B1 a x‬‬                    ‫‪N‬‬
       ‫‪F1da   I L1 B1 a y‬‬                   ‫‪N‬‬           ‫و‬     ‫‪F1cd   I L 2 B1 a x‬‬                   ‫‪N‬‬

                                     ‫وكما يالحظ فإن القوى المؤثرة على الحلقة تحاول توسعتها .‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫06‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




            ‫إذا كانت ‪ B  B2 a y‬فإن القوة المؤثرة على اإلضالع هي كما يلي :-‬                    ‫)‪(ii‬‬
 ‫‪F 2 bc   I L1 B 2 a z‬‬               ‫‪N‬‬                         ‫و‬            ‫0 ‪F 2ab ‬‬          ‫‪N‬‬
‫‪F 2da   I L1 B 2 a z‬‬                 ‫‪N‬‬                         ‫و‬                ‫0 ‪F 2cd ‬‬      ‫‪N‬‬
‫يالحظ هنا أن القوى المؤثرة محصورة في الضلع ‪ bc‬و ‪ da‬وإذا كان هناك محور‬
‫للحلقة باتجاه المحور ‪ x‬فإن للقوى المؤثرة على الحلقة عزم دوران مقداره‬
‫‪ ، T  I L1L 2 B 2 a x Nm‬وإذا ما تم تعريف عزم هذه الحلقة ‪m  I L1L 2 a z‬‬
‫فإن عزم الدوران لها يساوي ‪ T  m  B Nm‬ومما سبق فإن عزم الدوران للحلقة‬
              ‫يتناسب مع مساحتها والتيار المار بها وكثافة الفيض المغناطيسي المؤثر عليها.‬

                                       ‫‪z‬‬




                              ‫1‪B‬‬
                                                               ‫2‪L‬‬
                                       ‫‪d‬‬
                                                                         ‫‪c‬‬

                                                                        ‫1‪L‬‬
                                                               ‫2‪B‬‬
                                                                              ‫‪y‬‬

                                              ‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
                                   ‫‪b‬‬
    ‫‪x‬‬                                       ‫الشكل )1-92(:- حلقة مستطيلة 2‪ L1×L‬يمر فيها‬
                                                  ‫تيار ‪ I A‬تحت تأثير كثافة فيض مغناطيسي ‪.B‬‬



                                           ‫1-4-3:- المجال المغناطيسي وقانون أمبير‬
      ‫تكتب العالقة )1-24( لتيار خط يسري في سلك بعد أخـذ طول تفاضلي '‪ dL‬كما يلي:-‬


            ‫‪I dL'  a R‬‬
‫‪dB  ‬‬                         ‫2 ‪Wb / m‬‬
               ‫‪4 R‬‬   ‫2‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫16‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                     ‫‪I dL'  a R‬‬
‫وحتدات كثافتة‬                            ‫فإذا تم استثناء ثابت الوسط المغناطيستي ‪ ‬فتإن للكميتة‬
                       ‫2 ‪4 R‬‬
‫التيار السطحية )‪ (A / m‬وال تعتمد على خصائص الوسط المغناطيسية وستيتم تعريفهتا علتى‬
‫أنهتا تمثتل شتدة المجتال المغناطيستي )‪ (magnetic field intensity‬أو ببستاطة المجتال‬
‫المغناطيستي ‪ dH‬وبشتكل عتام فتإن هتذا المجتال المغناطيستي ‪ H‬يترتبط متع كثافتة الفتيض‬
                                                                           ‫المغناطيسي ‪ B‬كما يلي:-‬
‫‪B   H‬‬                                                                                 ‫)1-‪(47a‬‬
                                     ‫علما ً بأنه يمكن التعبير عن المجال المغناطيسي ‪ H‬كما يلي :-‬


                        ‫‪J (r ' )  a R‬‬
                ‫‪‬‬
         ‫1‬
‫‪H ‬‬                                       ‫' ‪dV‬‬                                             ‫)1-‪(47b‬‬
        ‫‪4‬‬                   ‫‪R‬‬   ‫2‬
                 ‫'‪V‬‬

‫ويكون هذا المجتال المغناطيستي عنتد النقطتة )0 ,‪ (r, ‬لستلك موصتل طويتل موضتوع علتى‬
                                     ‫محور ‪ z‬يحمل تياراً ‪ ، I A‬أنظر المثال )1-61( ، كما يلي:-‬
          ‫‪I‬‬
‫‪H ‬‬
         ‫‪2‬‬
                     ‫فإذا تم أخذ طول تفاضلي على الدارة التي تمثل ‪ H‬أو ‪ dL   d a ‬فإن‬


                                         ‫‪2‬‬

‫‪‬‬               ‫‪‬‬                         ‫‪‬‬
              ‫‪I‬‬                                 ‫‪I‬‬
    ‫‪H  dL ‬‬     ‫‪ d ‬‬                           ‫‪d  I‬‬
             ‫‪2‬‬                               ‫‪2‬‬
‫‪L‬‬                ‫‪‬‬                       ‫0‪‬‬

                                                            ‫ويمكن إعادة العالقة األخيرة كما يلي :-‬


‫‪ H  dL  I  ‬‬
‫‪L‬‬                        ‫‪S‬‬
                              ‫‪J  dS‬‬                                                         ‫)1-84(‬


‫وتمثل العالقة األخيرة قانون أمبير )‪ (Amper's Law‬الذي يربط المصدر ‪( I‬أو ‪)J‬‬
‫بالناتج ‪ H‬وهو يناظر قانون جاوس في المجاالت الكهربائية الثابتة في الزمن. ويتم استخدام‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫26‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫هذا القانون إليجاد المجاالت المغناطيسية إذا توافرت شروط التماثل وعدم تغير المجال‬
                                              ‫المغناطيسي أثناء إجراء التكامل على المسار المقفل ‪.L‬‬


‫مثال )1-91(:- يبين الشكل )1-03( موصالً طويالً نصتف قطتره ‪ a‬ويحمتل تيتار ختط ‪I A‬‬
‫موضتتوع ومحتتوره منطبتتق علتتى المحتتور ‪ .z‬أوجتتد المجتتال المغناطيستتي ‪ H‬وكثافتتة الفتتيض‬
                                                ‫المغناطيسية ‪ B‬في المنطقة ‪. 0    ‬‬
                                   ‫‪z‬‬
                               ‫‪‬‬       ‫‪‬‬


                                                          ‫الشكل )1-03(:- موصل طويتل بنصتف‬
                                                          ‫قطتر ‪ a‬ويحمتل تيتار ‪ I A‬مبتين عليته‬
                                       ‫‪ρi‬‬                   ‫المسار المقفل داخل الموصل وخارجه.‬
                  ‫0‪ρ‬‬

                                                            ‫‪y‬‬
                                   ‫‪I‬‬

     ‫‪x‬‬

                               ‫‪‬‬       ‫‪‬‬
                                                                                ‫الحـــل:-‬
‫نظراً للتماثل في هذه المسألة فإن ‪ H‬سوف لن يتغيتر متع ‪ ‬أو ‪ z‬وبمتا أن المستار التذي ستيتم‬
‫إجراء التكامل عليه (باستخدام قانون أمبير) هو باتجاه ‪ a ‬فتإن تطبيتق العالقتة )1-84( علتى‬
                                        ‫المسار الذي يكون نصف قطره ‪ 0   i  a‬يعطي ما يلي:-‬


                       ‫‪I‬‬                                     ‫‪I i‬‬
‫‪H  2  i ‬‬                   ‫2‪ i‬‬        ‫‪ H  ‬‬                      ‫‪A/m‬‬
                  ‫‪a‬‬       ‫2‬
                                                           ‫2‪2  a‬‬
  ‫) 2 ‪B   I i /(2  a‬‬                     ‫2 ‪Wb / m‬‬                              ‫ويكون ‪ B‬كما يلي:-‬
‫أما في المنطقة ‪   a‬فإن المسار الذي يكون نصف قطره ‪  0  a‬قتد تتم اختيتاره و يتتم‬
                                                                                  ‫الحصول على ما يلي :-‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫36‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫) 0‪H 2  0  I  H  I /(2  ‬‬                       ‫‪A/ m‬‬


                              ‫) 0‪B   I /( 2  ‬‬                ‫ويكون ‪ B‬كما يلي :- 2 ‪Wb / m‬‬


‫مثال )1-02( :- يبين الشكل )1-13( صفيحة معدنية رقيقة موضوعة في المستوى ‪xy‬‬
‫وتمتد في اتجاه ‪ x‬و ‪ y‬إلى ما النهاية. إذا كانت كثافة التيار الخطي في هذه الصفيحة‬
‫‪ K  K 0 a x A / m‬فأوجد المجال المغناطيسي ‪ H‬وكثافة الفيض المغناطيسي فوق‬
                                                                             ‫وتحت الصفيحة مباشرة.‬
                                            ‫‪z‬‬

                                                                                             ‫‪-‬‬



                                  ‫2‪H‬‬                             ‫‪K0 A/m‬‬
                                                                                       ‫‪‬‬
                      ‫‪‬‬                     ‫‪‬‬
                               ‫‪L‬‬                                                  ‫‪y‬‬
                                                ‫المسارالمقفل ‪L‬‬
      ‫‪‬‬
                                     ‫1‪H‬‬
                      ‫‪‬‬                     ‫‪‬‬
                ‫0‪K‬‬

        ‫‪x‬‬                        ‫+‬
                                 ‫‪‬‬


‫الشكل )1-13( :- صفيحة معدنيتة رقيقتة موضتوعة فتي المستتوى ‪ ، xy‬عنتد 0 = ‪ ،z‬وتحمتل‬
                                           ‫تياراً خطيا ً كثافته ‪. K  K 0 a x A / m‬‬


                                                                                             ‫الحـــل:-‬
‫من التماثل في هذا المثتال فتإن ‪ H‬ال تتغيتر متع ‪ x‬أو متع ‪ y‬وبالتتالي إذا متا أختذنا المستار‬
‫المقفل المبين على الشكل )1-13( وهو عبارة عن مستتطيل طتول ضتلعه المتوازي لمحتور ‪y‬‬
                                                        ‫هو ‪ ،L‬فإن قانون أمبير يعطي ما يلي :-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫46‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




           ‫2‪‬‬                 ‫3‬          ‫4‬         ‫1‬    ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪H  dL   ‬‬
           ‫‪‬‬        ‫‪   ‬‬                           ‫‪ H  dL  K L‬‬
                                                        ‫‪‬‬           ‫0‬
‫‪L‬‬          ‫1‪‬‬                 ‫2‬          ‫3‬         ‫4‬    ‫‪‬‬
‫وبما أنه لن يكون هناك عناصر للمجال المغناطيسي في اتجاه ‪ az‬فإن كال متن التكامتل الثتاني‬
                                       ‫واألخير يؤوالن إلى الصفر ويالحظ كذلك أن |2‪ ،|H1| = |H‬أو‬

 ‫2 / ‪L‬‬                               ‫2 / ‪ L‬‬

    ‫‪H‬‬
‫2 / ‪L‬‬
          ‫1‪y‬‬   ‫‪ay  dy ay ‬‬
                                        ‫‪ H‬‬
                                      ‫2 / ‪L‬‬
                                                   ‫2‪y‬‬   ‫‪a y  d y a y  K 0 L‬‬



                                                               ‫2 / 0‪H y1  H y2  K‬‬      ‫أو أن ‪A / m‬‬
     ‫2 / 0 ‪B y1  B y 2   K‬‬                    ‫2 ‪Wb / m‬‬                                  ‫وبالتالي فإن‬


               ‫‪The Curl & Stock’s Theory‬‬                        ‫1-3-5:- االلتفاف ونظرية ستوك‬
‫تبتين العالقتة )1-84( ارتبتاط المجتال المغناطيستي ‪ H‬متع المصتدر ‪ J‬عبتر إيجتاد حصتيلة‬
‫األول على مسار مقفل ‪ L‬وإيجاد الثاني المار في مساحة مفتوحة ‪ S‬محددة بالمستار المقفتل‬
 ‫‪ .L‬وإذا متا آل المستار المقفتل ‪ L‬إلتى ‪ L‬وبالتتالي إلتى الصتفر فتإن ‪ S‬تتؤول إلتى ‪S‬‬
                        ‫وبالتالي إلى الصفر وفي ضوء ذلك يمكن كتابة المعادلة )1-84( كما يلي:-‬


‫‪‬‬
‫‪L‬‬
      ‫‪H  dL  J  ΔS‬‬


                                                                                                      ‫أو‬

                         ‫‪ H  dL‬‬
                         ‫‪L‬‬
‫‪J . a n  Lim‬‬                                    ‫‪ (  H ) . a n‬‬                              ‫)1-94(‬
               ‫0 ‪L ‬‬         ‫‪ΔS‬‬
               ‫0 ‪S ‬‬

‫وتمثتل المعادلتة )1-94(‬           ‫،‬   ‫حيث إن ‪ a n‬هو متجه وحدة طول ويكون عموديا ً على ‪ΔS‬‬
‫عالقتة كثافتة التيتار الستطحي ‪ J‬متع المجتال المغناطيستي عبتر عالقتة االلتفتاف. يبتين‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫56‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                  ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫الشتتتتتتكل )1-23( مقطعتتتتتتا ً فتتتتتتي موصتتتتتتل أو فتتتتتتي وستتتتتتط يحمتتتتتتل تيتتتتتتاراً مقتتتتتتداره‬
‫‪ (J A / m 2 ) I A‬تتتم تجزئتتته إلتتى مستتارات مقفلتتة صتتغيرة ويعطتتي تطبيتتق قتتانون‬
‫أمبير على أي جزء من هذه األجزاء عندما يتؤول طتول المستار إلتى الصتفر العالقتة‬
‫)1-94( المبينتتتة أعتتتاله. يالحتتتظ أن أجتتتزاء المستتتارات المتالصتتتقة تكتتتون باتجاهتتتات‬
                            ‫متعاكسة وبالتالي فإنها تلغي بعضها البعض عند إيجاد محصلتها.‬

                                                                       ‫المساحة المفتوحة ‪S‬‬
     ‫المسار المقفل ‪L‬‬              ‫‪L‬‬

                                                                       ‫الشاااااااااكل )1-23(:- مقطتتتتتتتتتع‬
                                                     ‫‪J‬‬                 ‫لموصتتتل يحمتتتل كثافتتتة تيتتتار ‪J‬‬
                                                                       ‫ومبتتين عليتته المستتار المقفتتل ‪L‬‬

     ‫‪J‬‬           ‫‪an‬‬                            ‫‪ΔL‬‬                      ‫وتتتتم تجزئتتتة هتتتذا المستتتار إلتتتى‬
                                                                                   ‫مسارات أصغر ‪. ΔL‬‬


                        ‫في ضوء المعادلة )1-94( يمكن أن يتم إعادة كتابة قانون أمبير كما يلي :-‬


‫‪ H  dL   J  dS    H  dS‬‬
‫‪L‬‬                   ‫‪S‬‬                  ‫‪S‬‬
                                                                                                    ‫)1-05(‬


‫وتمثل العالقة األخيرة نظرية ستوك والتتي تحتول التكامتل علتى مستار مقفتل إلتى تكامتل علتى‬
             ‫مساحة مفتوحة لنفس الكمية (المتجه) وهي في هذه الحالة المجال المغناطيسي ‪.H‬‬


‫لقتتتد أصتتتبح واضتتتحا ً حتتتتى اآلن أن التيتتتار المستتتتمر بحاجتتتة إلتتتى مستتتار مقفتتتل أو أن‬
‫الشحنات تبدأ حركتها مثالً من نقطة معينة وينتهي بها المطاف إلى نفس النقطتة. كتذلك‬
‫فتتإن المجتتاالت المغناطيستتية بشتتكل عتتام هتتي خطتتوط مقفلتتة بحيتتث إن الختتط الممثتتل‬
‫للمجال المغناطيسي ‪ H‬أو لكثافة الفيض المغناطيستي ‪ B‬لتيس لته بدايتة أو نهايتة. وفتي‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                              ‫66‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ضوء ذلك فإنه إذا ما تم تطبيتق قتانون جتاوس علتى التيتار نحصتل علتى قتانون كيرشتوف‬
‫للتيتتار وكتتذلك إذا تتتم تطبيتتق قتتانون جتتاوس علتتى المجتتاالت المغناطيستتية فتتإن النتتاتج‬
                                                    ‫يصبح صفراً وكذلك الحال بالنسبة للتشتت أو‬


‫‪B  dS  ‬‬
 ‫‪S‬‬
                      ‫‪m‬‬    ‫0‪‬‬                                                                  ‫)1-‪(51a‬‬

‫0‪B‬‬                                                                                         ‫)1-‪(51b‬‬
‫حيتتث إن ‪ m‬هتتي كميتتة الفتتيض المغناطيستتية الكليتتة التتتي تختترج متتن ستتطح مقفتتل (وتستتاوي‬
‫صفراً). وهذا يعني غياب الشحنات المغناطيستية أو عتدم وجتود مثتل هتذه الشتحنات فيزيائيتا ً .‬
     ‫وسيتم معالجة هذا األمر مرة أخرى عند النظر في أمر المواد المغناطيسية وخصائصها.‬


      ‫‪Magnetic Vector Potential‬‬                       ‫1-3-6:- الجهد االتجاهي المغناطيسي‬
‫تتتم فتتي الفصتتول الستتابقة الحصتتول علتتى المجتتاالت المغناطيستتية الناتجتتة عتتن مصتتدر‬
‫مغناطيستتي باستتتخدام قتتانون بيتتوت - ستتافارت عبتتر عمليتتة تكامليتتة. أمتتا هنتتا فإنتته ستتيتم‬
‫الحصول على المجال المغناطيسي الناتج من مصدر مغناطيسي عبتر عمليتتين األولتى متن‬
‫ختتتالل إجتتتراء عمليتتتة تكامليتتتة للتيتتتار للحصتتتول علتتتى متتتا يعتتترف بالجهتتتد االتجتتتاهي‬
‫المغناطيسي ‪ A‬والثانية تفاضتلية حيتث تتتم مفاضتلة هتذا الجهتد االتجتاهي المغناطيستي‬
             ‫عبر عالقة االلتفاف للحصول على كثافة الفيض المغناطيسي ‪ B‬كما يلي:-‬


            ‫‪‬‬                ‫) ' ‪J (r‬‬
‫‪A (r) ‬‬
            ‫‪4‬‬    ‫‪‬‬          ‫‪R‬‬
                                      ‫' ‪dV‬‬                                                    ‫)1-‪(52a‬‬
                      ‫'‪V‬‬

‫)‪B (r)    A (r‬‬                                                                             ‫)1-‪(52b‬‬
‫ويالحظ أن اتجاه ‪ A‬يحدد مباشرة من اتجاه ‪ J‬إضافة إلى أن التكامل المبين في المعادلتة‬
‫)1-‪ (52a‬ابسط بكثير متن ذلتك المعطتى فتي المعادلتة )1-34(. وإلثبتات أن نتيجتة المعادلتة‬
     ‫)1-25( تؤدي إلى المعادلة )1-34( يتم التعويض بالمعادلة )1-‪ (52a‬في )1-‪ (52 b‬أو‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫76‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




      ‫‪‬‬                     ‫‪J (r ) dV ‬‬
‫‪B‬‬
      ‫‪4‬‬
         ‫‪‬‬
                      ‫‪‬‬
                       ‫‪V‬‬
                                 ‫‪R‬‬

‫وحيتث إن ‪ ‬تعمتل علتى ‪ r‬ولتيس علتى ' ‪ ( r‬علتى ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬ولتيس علتى ' ‪ x‬و ' ‪y‬‬
                                                         ‫و ' ‪ ) z‬فإنه يمكن إدخالها داخل التكامل أو أن‬
   ‫‪‬‬                 ‫) ' ‪ J (r‬‬       ‫' ‪‬‬
‫‪B‬‬
   ‫‪4‬‬      ‫‪‬‬    ‫‪ ‬‬
                     ‫‪ R‬‬
                     ‫‪‬‬
                                      ‫‪dV‬‬
                                      ‫‪‬‬
                                      ‫‪‬‬
                                                                                              ‫)1-35(‬
             ‫'‪V‬‬

        ‫ومن الملحق ‪ III‬العالقة )‪ (21h-III‬يتم كتابة الكمية )‪   (J(r' ) / R‬كما يلي :-‬


   ‫) ' ‪ J (r‬‬
‫‪ ‬‬
   ‫‪ R‬‬
                      ‫1 ‪‬‬
                      ‫‪‬‬                 ‫‪1‬‬
                                                ‫‪‬‬
                      ‫‪ R   J (r )    R   J‬‬
                                  ‫'‬
                                      ‫‪‬‬
   ‫‪‬‬                  ‫‪‬‬                  ‫‪ ‬‬
                                                                                 ‫‪‬‬
‫ولكن 0 ‪   J (r' ) ‬الن التفاضل هنا يكون بالنسبة للمتغيتر ‪ r‬ولتيس ' ‪ r‬وكتـذلك فـتـإن‬     ‫‪‬‬
                            ‫2 ‪  1/ R    a R / R‬أو أن المعادلة )1-35( تصبح كما يلي:-‬


                       ‫‪‬‬
                             ‫‪ R‬‬
                                      ‫‪aR‬‬
‫‪B A  ‬‬                                    ‫' ‪ J (r ' ) dV‬‬
                       ‫‪4‬‬                 ‫2‬
                                 ‫'‪V‬‬

                                                                                                    ‫أو‬
                  ‫‪‬‬               ‫‪ J (r ' )  a R‬‬     ‫‪‬‬
‫‪B A ‬‬
                  ‫‪4‬‬     ‫‪‬‬      ‫‪‬‬
                                  ‫‪‬‬
                                  ‫‪‬‬        ‫2‪R‬‬
                                                       ‫' ‪ dV‬‬
                                                       ‫‪‬‬
                                                       ‫‪‬‬
                                                                                              ‫)1-45(‬
                            ‫'‪V‬‬

                                                                        ‫وهي نفس المعادلة )1-34(.‬


‫مثال )1-12(:- يبين الشكـل )1-33( سلكا ً موصالً صغيراً بطول ‪ L‬يحمل تياراً‬
‫(يمكن اعتماد هذا المثال من الناحية النظرية أو الرياضية فقط وسيتم‬                     ‫مستمــــراً ‪I A‬‬
‫توضيح إمكانية وجوده في الواقع في الباب السابع) والسلك موضوع بشكل متماثل على‬
‫المحور ‪( z‬هذا ما يدعى بثنائي القطب الكهربائي). أوجد الجهد االتجاهي المغناطيسي ‪A‬‬
                 ‫وكثافة الفيض المغناطيسي عند النقطة )‪ P (r, , ‬علما ً بأن ‪.r>> L‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫86‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                     ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                                           ‫الحـــل:-‬
               ‫'‬          ‫'‬
‫يتتم إيجتتاد ‪ A‬متتن العالقتتة )1-‪ (52a‬إال أنتته يتتم فتتي هتتذه الحالتتة استتتبدال ‪ J (r ) dV‬بالكميتتة‬
                                                                                     ‫‪ ، I dL'  I dz ' a z‬أو‬
                   ‫2/‪L‬‬
     ‫‪I‬‬                       ‫' ‪dz‬‬
‫‪Az ‬‬
     ‫‪4‬‬            ‫‪‬‬
               ‫2 / ‪L‬‬
                               ‫‪R‬‬
                                                                             ‫2‬
‫علمتا ً بتأن ‪ R  r 2  z '  2rz ' cos ‬وبمتا أن ‪ r >> L‬فإنته يمكتن تقريتب ‪ R‬أو‬
                                                                        ‫‪ R ~ r‬وبالتالي فإن ‪ Az‬تصبح‬
        ‫‪I L‬‬
‫‪Az ‬‬                   ‫‪Wb / m‬‬
        ‫‪4r‬‬
‫‪A  A z cos  a r  A z sin  a ‬‬                                                                          ‫أو‬
    ‫‪IL‬‬
‫‪A‬‬       ‫) ‪(cos  a r  sin  a ‬‬                                                                          ‫أو‬
    ‫‪4r‬‬
                    ‫‪ ، B    A‬أو‬                    ‫ومن الملحق ‪ III‬العالقة )‪ (19c-III‬يتم إيجاد‬


            ‫‪1  Ar‬‬   ‫‪IL‬‬
‫‪B  a‬‬             ‫‪‬‬       ‫2 ‪sin  a  Wb / m‬‬
            ‫‪r ‬‬     ‫‪4r‬‬ ‫2‬



                                       ‫‪z‬‬                                                    ‫)‪P ( r,,‬‬


                                                        ‫‪R‬‬



                                  ‫'‬                         ‫‪r‬‬
                                ‫‪dL‬‬
                                           ‫‪‬‬
                    ‫2/‪L‬‬
                              ‫‪z' a z‬‬
                                                                                       ‫‪y‬‬
                    ‫2/‪L‬‬                ‫‪I‬‬
                                                               ‫الشاااااكل )1-33(:- ثنتتتتتائي القطتتتتتب‬
    ‫‪x‬‬
                                                                  ‫الكهربائي الذي يمر فيه تيار ‪.I A‬‬




                              ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫96‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫مثال )1-22(:- يبين الشكل )1-43( حلقة موصلة (يمكتن أن تكتون دائريتة أو قطتع نتاقص أو‬
‫مربعة أو مستطيلة أو أي شكل أخر) ومساحتها 2‪ S m‬ويمتر فيهتا التيتار ‪ I A‬وموضتوعة‬
‫في المستوى ‪ .xy‬أوجد الجهتد االتجتاهي المغناطيستي ‪ A‬وكثافتة الفتيض المغناطيستي ‪B‬‬
‫عنتد النقطتة )‪ P (r, , ‬علمتا ً بتأن ‪ r >> D‬حيتث إن ‪ D‬يمثتل أكبتر أتستاع لهتذه الحلقتة‬
                                                ‫(يطلق على هذه الحلقة أسم ثنائي القطب المغناطيسي).‬


                                                                    ‫)‪P (r,,‬‬
                                ‫‪z‬‬


                                                     ‫‪r‬‬
         ‫الحلقة ومساحتها‬
              ‫2‪S m‬‬                      ‫‪‬‬                 ‫‪R‬‬




                                                     ‫‪‬‬                 ‫‪y‬‬


                                            ‫‪D‬‬
   ‫‪x‬‬                                                          ‫'‪dL‬‬

                                    ‫‪I‬‬
                                            ‫الشكل )1-43(:- حلقة موصتلة موضتوعة فتي المستتوى‬
                                             ‫‪ xy‬ويمر فيها تيار ‪( I‬ثنائي القطب المغناطيسي).‬


                                                                                              ‫الحـــل:-‬
‫يمكن إيجاد الجهد االتجاهي المغناطيسي ‪ A‬من العالقة )1-‪ (52a‬علما ً بأن‬
                                                    ‫'‪ J dV '  I dL‬أو‬
   ‫‪‬‬             ‫'‪I dL‬‬
‫‪A‬‬
   ‫‪4‬‬       ‫‪‬‬      ‫‪R‬‬
            ‫'‪L‬‬




                         ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫07‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫تتتم كتابتتة التكامتتل علتتى المستتار المقفتتل (التتذي يمثتتل الستتلك الحامتتل للتيتتار) فتتي‬
‫يمكن أن يعاد كتابتة‬           ‫المعادلة أعاله. بالرجوع إلى الملحق ‪ III‬العالقة )‪(22e-III‬‬
                                                                           ‫العالقة األخيرة كما يلي:-‬


       ‫‪I‬‬                    ‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
       ‫‪4‬‬     ‫‪‬‬
               ‫‪S‬‬
                   ‫‪a n   '   dS‬‬
                             ‫‪R‬‬
‫علتتتتتتى مستتتتتتتوى الحلقتتتتتتة، و‬       ‫يمثتتتتتتل العمتتتتتتودي‬    ‫إن ‪( a n‬أو ‪) a z‬‬            ‫حيتتتتتتث‬

                                                            ‫‪‬‬        ‫‪‬‬        ‫‪‬‬
‫‪  ' ‬؛ علمتتتتتا ً بتتتتتان النقطتتتتتة ) ' ‪(x ' , y ' , z‬‬     ‫‪ax ‬‬     ‫‪ay ‬‬     ‫‪az‬‬
                                                              ‫'‬
                                                               ‫‪x‬‬      ‫'‬        ‫'‬
                                                                                 ‫‪y‬‬             ‫‪z‬‬

        ‫فتإن ‪. '    3  R‬‬
              ‫1‬   ‫‪R‬‬   ‫‪a‬‬
‫وإذا‬         ‫‪ ‬‬                                           ‫علتى المصتدر وبالتتالي‬             ‫تمثتل نقطتة‬
             ‫‪R R‬‬    ‫2‪R‬‬
‫وبالتتالي فتـإن الجهتـد االتجتاهي‬          ‫‪aR ~ ar‬‬         ‫و‬      ‫‪R ~ r‬‬          ‫فتإن‬   ‫كانتت ‪r >> D‬‬
                                                                 ‫المغناطيسي ‪ A‬يصبح كما يلي :-‬

       ‫‪ IS‬‬          ‫‪IS‬‬
‫‪A‬‬          ‫‪a  ar ‬‬
           ‫‪2 z‬‬
                            ‫‪sin  a ‬‬
       ‫‪4r‬‬           ‫2‪4  r‬‬
‫لهتتذه الحلقتتة (التتتي‬      ‫‪ IS‬بأنهتتا العتتزم المغناطيستتي ‪m m‬‬           ‫وإذا تتتم تعريتتف الكميتتة‬

‫تمثتتتتتل ثنتتتتتائي القطتتتتتب المغناطيستتتتتي) أو أن 2 ‪( m m  IS Am‬فتتتتتي هتتتتتـذه الحالتتتتتة‬
                               ‫‪ ) m m  I S a z‬وبالتالي يمكن إعادة كتابة ‪ A‬كما يلي :-‬


         ‫‪‬‬
‫‪A‬‬            ‫‪m m ar‬‬
       ‫2‪4  r‬‬
                            ‫أما كثافة الفيض المغناطيسي ‪ B‬فيتم إيجادها من ‪ B    A‬أو‬


          ‫1‬     ‫‪‬‬                    ‫‪1 ‬‬
‫‪B‬‬                 ‫‪(A  sin ) a r ‬‬      ‫‪(A  r ) a ‬‬
       ‫‪r sin   ‬‬                   ‫‪r r‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫17‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




       ‫‪I S‬‬
‫‪B‬‬               ‫‪2 cos  a r  sin  a  ‬‬       ‫2 ‪Wb / m‬‬                                     ‫أو أن‬
      ‫‪4r‬‬    ‫3‬


‫إذا كتتان عتتدد لفتتات الحلقتتة ‪ N‬لفتتة فإن ته يتتتم ضتترب الكميتتات الستتالفة التتذكر بالعتتدد ‪N‬‬
                                                                              ‫إليجاد القيمة الكلية.‬


‫سبق وتتم تقتديم العالقتتين التتاليتين ‪   H  J‬و ‪   A  B   H‬ويمكتن إعتادة‬
                                                                                 ‫كتابتهما كما يلي:-‬
‫‪  (  A)    B    ( H)   J‬‬
‫وإذا كتتتان الوستتتط متجانستتتا ً وأحتتتادي الخصتتتائص (أي أن ‪ ‬ال تتغيتتتر متتتع المستتتافة) فإنتتته‬
                 ‫يتم استنتاج العالقة التالية‬     ‫وباستخدام العالقة )‪ (21L-III‬من الملحق ‪III‬‬


‫‪ (  A)   2 A   J‬‬                                                                   ‫)1-‪(55a‬‬
                          ‫فيمكن أختيار 0 ‪ ،   A ‬أي أن‬            ‫وحيث أن ‪ A‬تتناسب مع التيار‬


‫‪2 A    J‬‬                                                                             ‫)1-‪(55b‬‬
                  ‫وهي عالقة تفاضلية تربط ‪ A‬مع ‪ J‬وتستخدم في حل مسائل الهوائيات.‬


                           ‫‪Magnetic Materials‬‬               ‫1-3-7:- المواد المغناطيسية‬
‫تتكون المواد عامة من ذرات وتتكون الذرة من نواة تحوي شتحنات موجبتة وأجستام‬
‫أخرى غير مشحونة. ويدور حول هذه الذرة شحنات سالبة (إلكترونات) في متدارات‬
‫وتقتوم كتذلك أثنتاء دورانهتتا بتالغزل )‪ (spinning‬أو االلتفتاف حتتول نفستها تمامتا ً كمتتا‬
‫يحتتدث فتتي حركتتة األرض حتتول الشتتمس وكتتذلك حتتول نفستتها فتتي آن واحتتد. ويمكتتن‬
‫التعبير عن مجمل حركة هذه الشحنات، لذرة واحدة مثالً أو مجموعة من التذرات،‬
‫باستخدام حلقة من لفة واحدة أو عدد من اللفات مساحتها 2‪ S m‬ويمتر فيهتا تيتار‬
‫2‪( m m  I S Am‬أو ثنتتائي القطتتب المغناطيستتتي).‬                 ‫‪ I A‬وعزمهتتا المغناطيستتي‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫27‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ويتم تحديد هذا العزم المغناطيسي متن قيتاس ومشتاهدة المجتاالت المغناطيستية الناتجتة‬
‫عن حركتة شتحنات التذرة أو مجموعتة التذرات ومستاواتها بتلتك الناتجتة عتن الحلقتة.‬
‫ويمكتن النظتر إلتتى ثنتائي القطتب المغناطيستتي علتى أنته مغنتتاطيس صتغير ذي قطبتتين‬
‫أحدهما القطب الشمالي )‪ (N‬واألخر القطب الجنوبي )‪ (S‬أو على أنه مكتون متن‬
‫وليستت فيزيائيتة)‬       ‫(هذه كميتات رياضتية‬            ‫‪qm‬‬     ‫‪ -qm‬و‬          ‫مغناطيسيتين‬     ‫شحنتين‬
‫وبالتالي فإن عزم هتذا المغنتاطيس‬                ‫‪L‬‬     ‫تفصل بينهما مسافة‬            ‫‪Wb‬‬       ‫ووحداتها‬
‫ويمكتتن النظتر لهتذا الثنتتائي علتى انته منتتاظر لثنتائي القطتتب‬             ‫‪.qmL‬‬     ‫المنتاظر هتو‬
‫ولكتتتن الحتتتديث هنتتتا عتتتن تيتتتار‬      ‫الكهربتتتائي التتتذي ورد فتتتي المثتتتال )1-12(‬
‫فتي ستلك طولته‬       ‫مغناطيسي ‪ ( Im‬هذا تيار رياضي وغيتر موجتود فيزيائيتا ً)‬
                                  ‫ٍ‬
               ‫‪ L‬بحيث يكون عزمه مساويا ً ‪ Im L‬وفي جميع الحاالت السابقة فإن‬


‫‪I S  ImL  q mL‬‬                                                                            ‫)1-65(‬
 ‫ويبين الشكل )1-53( الوضع الفعلي لذرة بها مجموعة من الشحنات والتتي تتحترك‬
 ‫وتغتتزل فتتي نفتتس الوقتتت ومتتا يناظرهتتا متتن حلقتتة (متتن مجموعتتة متتن اللفتتات) أو‬
 ‫وتتتتأثر ثنائيتتات القطتتب‬    ‫مغنتتاطيس صتتغير أو ثنتتائي قطتتب مغناطيستتي بتيتتار ‪.Im‬‬
 ‫لمتتادة متتا بقتتوى التجتتاذب والتنتتافر فيمتتا بينهمتتا داخليتا ً إضتتافة إلتتى القتتوى العشتتوائية‬
 ‫التي تكتسبها من الطاقة الحراريتة لمحيطهتا الختارجي. يصتطف كتل ثنتائي باتجتاه‬
 ‫قتتتد يختلتتتف عتتتن اتجتتتاه الثنتتتائي اآلختتتر بحيتتتث أن مجمتتتل األثتتتر الختتتارجي لهتتتذه‬
 ‫وهذا ناتج عن االصطفاف العشوائي لهذه الثنائيات. إذا متا‬                  ‫الثنائيات يصبح صفراً‬
 ‫تم التأثير على هذه المادة بمجال مغناطيسي خارجي فإن هذا المجال يحاول تنظتيم‬
 ‫وإذا متا نجتح فتي ذلتك فينتتج عتن ذلتك مجتال‬               ‫اصطفاف هذه الثنائيت ات باتجاهته،‬
 ‫مغناطيسي داخلي إضافة للمجال الخارجي. ويعتمتد ذلتك علتى خاصتية المتادة حيتث‬
 ‫إن هناك مواداً تكون فيهتا هتذه القتوى الداخليتة والعشتوائية الخارجيتة أكبتر بكثيتر‬
 ‫متتن المجتتاالت المغناطيستتية الخارجيتتة التتتي تحتتاول تنظتتيم اصتتطفافها وبالتتتالي فتتإن‬
 ‫مجمتتل المجتتاالت المغناطيستتية الداخليتتة والكليتتة الناتجتتة عتتن هتتذه الثنائيتتات تبقتتى‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫37‬
   ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




   ‫مساوية للصفر وتدعى هذه المواد بأنها مواد غيتر مغناطيستية ويكتون ثابتت الوستط‬
   ‫لها أو نفاذيتها هو ‪ 0  4 10 7 H / m‬ويرتبط المجال المغناطيسي ‪H‬‬
                                         ‫داخلها كما يلي :-‬          ‫بكثافة الفيض المغناطيسي ‪B‬‬


    ‫‪B  0 H‬‬                     ‫2‪Wb / m‬‬                                                             ‫)1-75(‬


  ‫أمتتا إذا اصتتطفت هتتذه الثنائيتتات نتيجتتة تأثرهتتا بمجتتال مغناطيستتي ختتارجي لمتتواد‬
  ‫أخرى فإنه وفي حجم مقداره ‪ V‬مثالً يمكتن وجتود ‪ N‬متن هتذه الثنائيتات‬
  ‫والتتتي يكتتون مجمتتل عزومهتتا هتتو 2‪ ، N m m Am‬وعليتته فتتإن كثافتتة هتتذه‬
  ‫ويالحتظ أن وحتداتها تشتابه وحتدات‬                      ‫‪N m m / V‬‬          ‫‪A/m‬‬             ‫تصبح‬    ‫الثنائيات‬
  ‫كثافتة التيتار الخطتي وتتدعى هتذه الكميتة‬               ‫أو وحتدات‬           ‫المجتال المغناطيستي ‪H‬‬
  ‫بأنهتتتا متجتتته المغنطتتتة )‪ (magnetization vector‬أو متجتتتـه االستقطتتتـاب المغناطيستتتي‬
                                                                    ‫)‪ M (magnetic polarization‬أو‬


   ‫‪M  N m m / V‬‬                ‫‪A/m‬‬                                                                 ‫)1-85(‬


                                                 ‫شحنة سالبة تتحرك في‬
                         ‫‪B‬‬                    ‫مدارها وتغزل حول محورها‬




                                                                                        ‫النواة‬

                             ‫‪I‬‬
                                                                                    ‫مدار 1‬
‫المساحة = ‪S‬‬                                                                                         ‫مدار 2‬
                   ‫)‪(b‬‬                                        ‫)‪(a‬‬




                             ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫47‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                ‫‪B‬‬                                    ‫‪B‬‬                               ‫‪B‬‬



                                                   ‫‪+q m‬‬                             ‫‪N‬‬
                                                                                    ‫‪N‬‬

        ‫‪ℓ‬‬             ‫‪Im‬‬


                                                   ‫‪-q m‬‬                             ‫‪S‬‬

               ‫)‪(e‬‬                                                                  ‫)‪(c‬‬
                                                    ‫)‪(d‬‬



‫الشكل )1-53(:- حركة الشحنات داخل الذرة ومكافئاتها )‪ (a‬الشتحنات الستالبة المتحركتة فتي‬
‫مداراتها والتي تغزل حول محورها )‪ (b‬حلقة منتاظرة تحمتل تيتاراً ‪ I A‬ومستاحتها ‪(c) S‬‬
‫مغناطيس صغير )‪ (d‬ثنتائي قطتب مكتون متن شتحنتين مغناطيستيتين )‪ (e‬تيتار مغناطيستي‬
                                                                                   ‫يمر في سلك صغير.‬


‫تستتم ى مثتتل هتتذه المتتواد بأنهتتا متتواد مغناطيستتية استتتقطبت نتيجتتة تأثرهتتا بمجتتال‬
‫مغناطيسي خارجي ويكون المجتال المغناطيستي الكلتي داخلهتا هتو مجمتوع التداخلي‬
‫والختتارجي أو ‪ H  M A / m‬وتكتتون كثافتتة الفتتيض المغناطيستتي ‪ B‬داختتل‬
                                                                         ‫مثل هذه المواد كما يلي :-‬


 ‫‪B   0 (H  M )   H‬‬                                                                        ‫)1-‪(59a‬‬
            ‫حيث إن ‪ ‬هو ثابت الوسط المغناطيسي أو نفاذية الوسط وتعطى قيمته بما يلي:-‬


‫) ‪   r  0   0 (1  M/H‬‬                  ‫‪H/m‬‬                                             ‫)1-‪(59b‬‬
  ‫ويمكن النظر إلى ‪ ‬على أنه يمثل مقدرة الوسط على االستقطاب المغناطيسي‬
 ‫وتعرف الكمية ‪  r‬على أنها قيمة النفاذية النسبية للمواد وتكون قيمتها للمواد‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫57‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫المغناطيسية اكبر من الواحد الصحيح وقد تصل إلى بضعة آالف وهناك ثالث مواد‬
‫لها خاصية المغنطة وهي الحديد والكوبالت والنيكل أو أي خليط به هذه المواد. ويبين‬
 ‫الشكل )1-63( مادة مغناطيسية على شكل قضيب تم وضعه تحت تأثير مجال‬
‫مغناطيسي خارجي وقد تم توضيح االستقطاب المغناطيسي عليه وذلك على شكل عدد‬
‫من ثنائيات القطب المغناطيسية (مغناطيسيات صغيرة). ويالحظ أنه إذا ما تم قطعه إلى‬
‫نصفين فإن كل نصف سيحوي على نصف هذه الثنائيات. وإذا ما استمرت عملية القطع‬
‫هذه حتى الوصول إلى ثنائي واحد فإننا نحصل في كل مرة على قطب شمالي يرافقه‬
‫دائما ً قطب جنوبي وال يمكن الحصول على أقل من ذلك (إال نظريا ً) إذا تم تجميد الشحنات‬
‫وعدم السماح لها بالتحرك أو الغزل وفي هذه الحالة فإن مجالها المغناطيسي سيتالشى‬
‫تبعا ً لغياب حركة الشحنات (غياب التيار). أي أن القطب الشمالي والقطب الجنوبي ينتجان‬
‫معا ً ومن غير الممكن الحصول على قطب واحد معزول وبالتالي فإن هذا يعني غياب‬
                                                                       ‫الشحنات المغناطيسية أو أن‬


  ‫‪ B  0 ‬‬
                      ‫0 ‪ B  dS ‬‬
                      ‫‪S‬‬
                                                                                               ‫)1-06(‬


                                     ‫المادة المغناطيسية‬
 ‫‪H‬‬                                                        ‫‪H‬‬
        ‫‪N‬‬     ‫‪S N‬‬      ‫‪S N‬‬       ‫‪S‬‬
        ‫‪N‬‬     ‫‪S N‬‬      ‫‪S‬‬
        ‫‪N‬‬     ‫‪S‬‬

       ‫)‪(a‬‬
                            ‫‪H‬‬                              ‫‪H‬‬
 ‫المجال المغناطيسي‬               ‫‪N‬‬    ‫‪S N‬‬       ‫‪S‬‬
    ‫الخارجي‬                      ‫‪N‬‬    ‫‪S N‬‬       ‫‪S‬‬                 ‫الشااااااااااكل )1-63(:- متتتتتتتتتتادة‬
                                 ‫‪N‬‬    ‫‪S‬‬
                                                                  ‫مغناطيستتية تحتتت تتتأثير مجتتال‬
                           ‫)‪(b‬‬
                                                                  ‫مغناطيستتتتتتي ختتتتتتارجي )‪(a‬‬
                                          ‫‪H‬‬               ‫‪H‬‬       ‫كامتتتتتل المتتتتتادة )‪ (b‬نصتتتتتفها‬
     ‫ثنائي قطب مغناطيس واحد‬                   ‫‪N‬‬     ‫‪S‬‬
                                       ‫)‪(c‬‬                                   ‫)‪ (c‬أصغر جزء فيها.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                              ‫67‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ويمكن تقسيم المواد المغناطيسية بشكل عام ولغرض هذا الكتاب إلتى متواد مغناطيستية‬
‫حديدية والفرايت )‪ (Ferromagnetic and Ferrite‬وكتال المتادتين لهمتا نفاذيتة نستبية‬
‫1 ‪  r ‬قد تصتل إلتى بضتعة آالف إال أن موصتلية المتادة األولتى عاليتة وقتد‬
‫أما موصلية المادة الثانية فهي متدنية وقد تصل إلتى‬                     ‫تصل إلى 1‪10 6 (m) ‬‬
                                                                                  ‫1‪.10 6 (m) ‬‬


                                 ‫‪Boundary Conditions‬‬                ‫1-3-8:- شروط الحدود‬
‫إذا كتتان هنتتاك وستتطان وخصائصتتهما كمتتا هتتو مبتتين علتتى الشتتكل )1-73( وكتتان‬
‫و 1‪B‬‬      ‫1‪H‬‬     ‫المجتتتال المغناطيستتتي وكثافتتتة الفتتتيض المغناطيستتتي فتتتي الوستتتط األول‬
‫متتع‬   ‫والمطلتتوب هتتو ربتتط هتتذه المجتتاالت‬             ‫و 2‪B‬‬       ‫2‪H‬‬       ‫وفتتي الوستتط الثتتاني‬
‫ومن خالل خصتائص الوستطين. ستيتم تصتنيف هتذه المجتاالت، كمتا ورد‬                                ‫بعضها‬
‫فتتي حالتتة المجتتاالت الكهربائيتتة، إلتتى عمتتودي علتتى الستتطح الفاصتتل بتتين الوستتطين‬

‫0 ‪ B  dS ‬‬
 ‫‪S‬‬
                        ‫ومماس لهذا الستطح. ويتتم ربتط 1‪ Bn‬و 2‪ Bn‬عبتر استتخدام العالقتة‬


‫ويستخدم سطح األسطوانة المقفل لهذه الغاية ويتم ربط 1‪ Ht‬و 2‪ Ht‬عبتر استتخدام مستار‬
                                                      ‫مقفل، وتم بيان ذلك على الشكل )1-73(.‬


‫- كثافااة الفاايض المغناطيسااي العمااودي ‪ -: Bn‬باعتمتتاد استتطوانة مستتاحة قاعتتدتيها 2 ,1‪S‬‬

                                                                      ‫وارتفاعها ‪ h‬وبالتالي فإن‬
                   ‫‪‬‬                   ‫‪‬‬
‫‪‬‬    ‫‪B  dS ‬‬     ‫‪‬‬
                   ‫‪‬‬  ‫‪  ‬‬
                         ‫‪‬‬     ‫‪‬‬       ‫0 ‪ B  dS  ‬‬
                                       ‫‪‬‬
   ‫‪S‬‬               ‫1‪ S‬‬     ‫2‪S‬‬    ‫‪S3 ‬‬

‫وإذا آلتت 0 ‪ h ‬فتإن 0 ‪ S3 ‬وعنتدما تتؤول كتل متن 0 ‪ S1, 2 ‬فتإن نتاتج العالقتتة‬
                                                                                          ‫األخيرة هو‬
‫2 ‪B n1  B n‬‬                                                                               ‫)1-‪(61a‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫77‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫أي أن كثافة الفيض المغناطيسي العمودية مستمرة وذلك نظتراً لغيتاب الشتحنات المغناطيستية،‬
                           ‫وهذه العالقة تناظر العالقة الواردة في المعادلة )1-82(، وبالتالي فإن‬


‫2 ‪1 H n1   2 H n‬‬                                                                              ‫)1-‪(61b‬‬

                                             ‫الوسط األول 1‪‬‬
                                                     ‫‪an‬‬         ‫3‪S‬‬
                                                                      ‫1‪S‬‬
                                                                            ‫1‪B n‬‬
          ‫1‪H n1 , B n‬‬      ‫1‪H1 , B‬‬
                                                                                   ‫‪S‬‬
                      ‫1‪‬‬           ‫1‪H t1 , B t‬‬            ‫‪at‬‬   ‫‪h‬‬
                                                                                   ‫‪h‬‬    ‫‪‬‬
                                                                                                 ‫1‪H t‬‬
                                                                                        ‫‪‬‬               ‫‪‬‬
      ‫‪H t 2 , Bt 2 ‬‬                                           ‫2‪S‬‬
                    ‫2‬
                                                                                             ‫2‪H t‬‬   ‫‪‬‬
                              ‫2 ‪H n 2 , Bn‬‬                            ‫2‪B n‬‬                  ‫‪L‬‬
           ‫2 ‪H 2 ,B‬‬
                                             ‫2‪‬‬       ‫الوسط الثاني‬

‫الشااكل )1-73(:- المجتتاالت المغناطيستتية ‪ H‬و ‪ B‬فتتي وستتطين األول ونفاذيتتته 1‪ ‬والثتتاني‬
                                                                                             ‫ونفاذيته 2 ‪. ‬‬


‫- المجاالت المغناطيسية الماسة ل سط ‪ -: Ht‬يتم تنفيتذ قتانون أمبيتر علتى المستتطيل المبتين‬
                                                          ‫في الشكل )1-73( ، على 1-2-3-4، أو أن‬


              ‫2‪‬‬               ‫3‬       ‫4‬         ‫1‬    ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪H  dL    ‬‬
              ‫‪‬‬       ‫‪   ‬‬                       ‫‪ H  dL  ‬‬
                                                      ‫‪‬‬                 ‫‪ J  dS‬‬
‫‪L‬‬             ‫1‪‬‬        ‫2‬  ‫3‬  ‫4‬                       ‫‪‬‬                  ‫‪S‬‬

‫وإذا آلت ‪ h‬إلتى الصتفر فتإن التكامتل الثتاني والرابتع يتؤوالن إلتى الصتفر إضتافة‬
‫إلى أن الطرف األيمن من المعادلة األخيترة ستيؤول إلتى الصتفر إال إذا كتان هنتاك‬
‫تيار خطي ‪ K‬على السطح الفاصل بين الوستطين (هتذا فتي واقتع الحتال ال يحتدث‬
‫إال إذا كتتان أحتتد الوستتطين موص تالً جيتتد التوصتتيل) وفتتي هتتذه الحالتتة تصتتبح المعادلتتة‬
                                                                                    ‫األخيرة كما يلي:-‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                 ‫87‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪H t 2  L  H t1 L  K L‬‬
         ‫وعندما تؤول ‪ L‬إلى الصفر (بعد أن يتم القسمة عليها) يتم الحصول على ما يلي:-‬


‫‪H t 2  H t1  K‬‬                                                                          ‫)1-‪(62a‬‬
                               ‫وأما كثافة الفيض المغناطيسي الماسة للسطح فترتبط كما يلي:-‬


‫‪B t 2 /  2  B t1 / 1  K‬‬                                                              ‫)1-‪(62b‬‬
‫أي أن عدم االستمرارية في قيم المجال المغناطيسي الماس للسطح الفاصل بتين الوستطين (إن‬
‫وجدت) تساوي كثافة التيار الخطية ‪ .K‬ونظتراً لالرتبتاط التعامتدي بتين المجتال المغناطيستي‬
                                            ‫وكثافة التيار فيتم كتابة المعادلة )1-‪ (62a‬كما يلي:-‬


‫‪a n  ( H1  H 2 )  K‬‬                                                                     ‫)1-36(‬
‫يتم تنفيذ العالقة األخيترة عنتد الستطح الفاصتل بتين الوستطين علمتا ً بتأن ‪ a n‬هتو متجته وحتدة‬
                             ‫طول عمودي على السطح الفاصل كما هو مبين في الشكل أعاله.‬


                                                ‫1-3-9:- المحث والطاقة المغناطيسية‬
‫يعتبتتر المحتتث )‪ (Inductor‬بأنتته النبيطتتة التتتي تقتتوم بختتزن الطاقتتة المغناطيستتية‬
‫)‪ (magnetic energy‬أو أنه ومن خالله يتم ربتط التدارات الكهربائيتة متع بعضتها‬
‫مغناطيستتيا ً عبتتر خطتتوط المجتتال المغناطيستتي أو الفتتيض المغناطيستتي ‪ . m‬وتعتترف‬
                                                ‫محاثة )‪ (Inductance‬المحث ‪ L‬كما يلي:-‬


‫‪L  mL / I‬‬            ‫‪H‬‬                                                                   ‫)1-46(‬
‫هو التيار المنتج لهذا‬      ‫حيث إن ‪ mL‬هي كمية الفيض المغناطيسي الترابطي، و ‪I‬‬
‫الفيض. وبما أن المحث هو نبيط ة لتخزين الطاقة المغناطيسية فإن المحاثة تتناسب مع هذه‬
‫الطاقة المخزنة وتمثل الطاقة المخزنة أو الشغل المبذول لخزن هذه الطاقة في حجم ‪V‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫97‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ويمكن االستفادة من العالقات التي تم اشتقاقها للمواسع ، المعادلة )1-33(، وتطبيقها على‬
                                                                                  ‫المحث كما يلي:-‬

                            ‫‪B  H dV‬‬
            ‫1‬        ‫1‬
‫‪Wm ‬‬          ‫‪L I2 ‬‬                                                                     ‫)1-‪(65a‬‬
            ‫2‬        ‫2‬
                               ‫‪V‬‬

                                               ‫أو أن الطاقة المغناطيسية المخزنة ‪ Wm‬هي كما يلي:-‬

                     ‫‪‬‬
                          ‫‪‬‬
            ‫1‬                          ‫2‬
‫‪Wm ‬‬          ‫‪L I2 ‬‬               ‫‪H‬‬           ‫‪dV‬‬    ‫‪J‬‬                                   ‫)1-‪(65b‬‬
            ‫2‬        ‫2‬
                           ‫‪V‬‬

                           ‫ويمكن من المعادلة )1-‪ (65a‬إيجاد صيغة أخرى للمحاثة كما يلي:-‬



            ‫‪ B  H‬‬
       ‫1‬
‫‪L‬‬                             ‫‪dV‬‬          ‫‪H‬‬                                               ‫)1-66(‬
       ‫2‪I‬‬
             ‫‪V‬‬

                                                               ‫ّ‬
‫حيتتث إن ‪ V‬يمثتتل الحجتتم التتذي يختتزن فيتته الطاقتتة المغناطيستتية. كتتذلك متتن العالقتتة )1-56(‬
                                                ‫يمكن إيجاد كثافة هذه الطاقة المغناطيسية المخزنة أو‬

         ‫1‬        ‫1‬
‫‪wm ‬‬       ‫2| ‪B  H   | H‬‬                      ‫3‪J / m‬‬                                    ‫)1-76(‬
         ‫2‬        ‫2‬
‫ولتوضيـح المحاثة سواء كان ذلك عبر العالقة )1-46( أو )1-66( فقد تتم أختذ الشتكل‬
                                                          ‫ً‬
‫)1-83( الذي يبين دارتين متجاورتين مبينا ً عليهما خطوط ‪ B‬الناتجة عن الدارة التتي‬
‫تحمتل تيتاراً مقتداره 1‪ . I‬ويالحتظ أن هنتاك أربعتة خطتوط 1‪ B‬و 2‪ B‬وهتي خطتوط‬
 ‫محصتورة فتي التدارة األولتى وحولهتا، أمتا 3‪ B‬و 4‪ B‬فهتي خطتوط تتربط التدارة‬
‫األولى متع التدارة الثانيتة. وبالتتالي فتإن الخطتوط 1‪ B‬و 2‪ B‬يمتثالن محاثتة ذاتيتـة 1‪L‬‬
 ‫للتدارة األولتى أمتا 3‪ B‬و 4‪ B‬فيمتثالن محاثتة تبادليتة 21‪ L‬وستيتم تقتديم عتدد متن‬
     ‫ٍ‬
‫األمثلتة لتوضتيح كتل متن المحاثتة الذاتيتة والمحاثتة التبادليتة والطاقتة المغناطيستية‬
                                                                                           ‫المخزنة.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫08‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                          ‫4‪B‬‬
                                               ‫3‪B‬‬
                                                     ‫2‪B‬‬

                                                       ‫1‪B‬‬




                                                                                           ‫1‪I‬‬


                               ‫2‪I‬‬


‫الشكل )1-83(:- دارتان متجاورتان األولى تحمتل تيتاراً 1‪ I‬والثانيتة تحمتل تيتاراً 2‪ I‬وخطتوط‬
                                       ‫‪ B‬الناتجة من الدارة األولى التي تربط الدارة األولى بالثانية.‬


‫مثال )1 32(:- يبين الشكل )1-93( كابل محوري مكون من موصل داخلي نصف قطره ‪a‬‬
‫ونفاذيتته ‪  0 H / m‬ويحمتل تيتاراً ‪ I‬وموصتل ختارجي رقيتق نصتف قطتره ‪ b‬ونفاذيتته‬
‫‪  0 H / m‬ويحمل تيتاراً ‪ . -I‬إذا كتان الوستط بتين الموصتلين غيتر مغناطيستي ونفاذيتته‬
‫‪  0 H / m‬فأوجتتد الطاقتتة المغناطيستتية المخزنتتة فتتي الموصتتل التتداخلي وفتتي المنطقتتة بتتين‬
           ‫الموصلين لكل وحدة طول وكذلك أوجد المحاثة الكلية لهذا الكابل لكل وحدة طول.‬


                                                                                                ‫الحـــل:-‬
‫يتم إيجاد المجاالت المغناطيسية في المناطق المختلفة ومنهتا يستتنتج متا هتو مطلتوب فتي هتذا‬
‫المثال. يالحظ أنه وبسبب التماثل في الكابل المحوري فتإن المجتال المغناطيستي ال يتغيتر متع‬
‫‪ ‬أو ‪ z‬وليس له إال عنصراً واحتداً باتجتاه ‪ . a ‬وتكتون المجتاالت المغناطيستية فتي المنطقتة‬
                                                                                 ‫‪ 0    a‬كما يلي:-‬
                                                               ‫2‪I ‬‬
 ‫‪H‬‬
 ‫‪L‬‬
      ‫1‬   ‫‪ dL ‬‬
                      ‫‪ J  dS  2   H‬‬
                      ‫‪S‬‬
                                                      ‫1‪‬‬   ‫‪‬‬
                                                               ‫2‪a‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫18‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                  ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




               ‫‪0 I ‬‬                                                                     ‫‪I‬‬
  ‫‪B‬‬   ‫1‪‬‬   ‫‪‬‬                       ‫2 ‪Wb / m‬‬             ‫و‬                   ‫‪H‬‬   ‫1‪‬‬   ‫‪‬‬          ‫أو ‪A / m‬‬
               ‫‪2 a‬‬   ‫2‬
                                                                                         ‫2 ‪2 a‬‬
                   ‫وبالتالي فإن الطاقة المغناطيسية لكل وحدة طول لهذا الموصل هي كما يلي:-‬

               ‫1 ‪2 a‬‬

               ‫‪ B  H  d  d dz‬‬
     ‫1‬
‫‪Wm ‬‬
     ‫2‬
               ‫0 0 0‬
               ‫1 ‪2 a‬‬          ‫2‬
     ‫‪‬‬                       ‫3‪I ‬‬               ‫‪ I 2 4 a‬‬   ‫2‪ I‬‬
    ‫0 ‪‬‬
      ‫2‬        ‫‪‬‬
               ‫0 0 0‬
                            ‫4 ‪4 2 a‬‬
                                     ‫4 0 ‪d  d dz ‬‬
                                                ‫‪4a‬‬    ‫0 4‬
                                                          ‫0 ‪| ‬‬
                                                             ‫‪16 ‬‬
                                                                  ‫‪J/m‬‬




                        ‫‪I‬‬                                      ‫الموصل الخارجي‬            ‫‪I‬‬

                                                    ‫‪b‬‬                         ‫0‪‬‬
                        ‫‪I‬‬          ‫2‪B2 , H‬‬
                                                        ‫‪a‬‬     ‫‪I‬‬                      ‫الموصل الداخلي 0‪‬‬
                        ‫‪a‬‬
      ‫‪b‬‬
                            ‫1 ‪B 1 ,H‬‬

                                                                              ‫0‪‬‬

                                                                                         ‫‪I‬‬


‫الشااكل)1-91(:- الكابتتل المحتتوري بنصتتفي قطتتر داخلتتي وختتارجي للموصتتلين ‪ a‬و ‪ b‬علتتى‬
                                                                                                    ‫التوالي.‬


                         ‫أما المحاثة لهذا الموصل فهي المحاثة الذاتية له وتساوي‬
‫1‬               ‫‪ I‬‬         ‫‪‬‬          ‫2‬
  ‫0 ‪L i I 2  Wm ‬‬   ‫0 ‪ Li ‬‬       ‫‪H/m‬‬
‫2‬               ‫‪16 ‬‬        ‫‪8‬‬
                                                                                    ‫في المنطقة ‪a    b‬‬




                             ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫28‬
     ‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                      ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                               ‫‪ I‬‬
‫‪‬‬
                                                             ‫‪I‬‬
    ‫‪H 2  dL  2  H 2  I  H 2 ‬‬                           ‫2 ‪A / m  B 2  0 Wb / m‬‬
                                                           ‫‪2 ‬‬                ‫‪2 ‬‬
‫‪L‬‬

                                          ‫وتصبح الطاقة المغناطيسية المخزنة لكل وحدة طول كما يلي:-‬

                   ‫1 ‪2 b‬‬

                   ‫‪ B  H  d  d dz‬‬
          ‫1‬
     ‫‪Wm ‬‬
          ‫2‬
                  ‫0 ‪0 a‬‬

                ‫2‪0 I‬‬                               ‫) ‪ 0 I 2 Ln (b / a‬‬
            ‫‪‬‬                    ‫‪Ln (b / a ) 2 1 ‬‬                     ‫‪J/m‬‬
                 ‫2‪2 4 ‬‬                                     ‫‪4‬‬


                                                                        ‫أما المحاثة التبادلية بين الموصلين فهي‬


     ‫1‬        ‫) ‪ 0 I 2 Ln (b / a‬‬       ‫‪‬‬
       ‫‪L0 I ‬‬
           ‫2‬
                                  ‫0 ‪ L0 ‬‬                                ‫) ‪Ln (b / a‬‬             ‫‪H/m‬‬
     ‫2‬                ‫‪4‬‬                 ‫‪2‬‬
                                                ‫وبالتالي فإن المحاثة الكلية لهذا الكابل لكل وحدة طول هي‬

     ‫) ‪L  L i  L 0   0 / 8   ( 0 / 2 ) Ln (b / a‬‬                                  ‫‪H/m‬‬


    ‫مثال )1-42(:- يبين الشكل )1-04( ملفا ً لولبيا ً )‪ (Solenoid‬عدد لفاته ‪( N‬اللفات متالحقتة‬
    ‫مع بعضها ) طوله ‪ L‬ونصف قطره ‪ a‬وقلبه من الهواء. إذا كان التيار المتار فيته ‪ I‬فأوجتد‬
    ‫محاثة هذا الملف. (مالحظة :- أوجد كثافة الفيض المغناطيسي في وسط الملف وأفترض أن‬
                                                                                                            ‫‪.)L >> a‬‬


                                                                                        ‫الحـــل:-‬
      ‫إذا كانتت اللفتات متالحقتة بمتا فيتته الكفايتة فتيمكن أن يتتم تعريتف الكميتتة ‪N I / L A / m‬‬
    ‫علتتتتتى أنهتتتتتا كثافتتتتتة التيتتتتتار الخطتتتتتي وذلتتتتتك منتتتتتاظراً لصتتتتتفيحة تحمتتتتتل هتتتتتذا التيتتتتتار‬




                              ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                    ‫38‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪ . K  N I / L A / m‬وبالتالي فإذا ما استخدمت نتيجة المثال )1-71( حيتث إن التيتار‬
‫فتتي ذلتتك المثتتال يستتتبدل بالكميتتة ‪ Kdz  N I dz / L‬وبالتتتالي فتتإن كثافتتة الفتتيض‬
                                ‫المغناطيسي لهذا الجزء من الملف اللولبي تكون كما يلي:-‬


             ‫‪ a 2 N I dz‬‬
‫‪dB z ‬‬                                       ‫2 ‪Wb / m‬‬
          ‫) ‪2 L (z  a‬‬
                  ‫2‬       ‫2 /3 2‬

                                                   ‫‪y‬‬

                                                             ‫‪L‬‬
           ‫‪N - turns‬‬


      ‫‪a‬‬
                              ‫)‪(0,0,z‬‬


  ‫‪z‬‬                                            ‫‪B‬‬         ‫‪x‬‬




                                        ‫‪dz‬‬                                                     ‫‪I‬‬
            ‫‪I‬‬
                                                   ‫)‪(a‬‬



                                                       ‫‪K=NI/L‬‬




                                                   ‫)‪(b‬‬


‫الشاكل )1-04(:- )‪ (a‬ملتتف لتتولبي بطتول ‪ L‬ونصتتف قطتتر ‪ a‬وعتدد لفاتتته ‪ N‬ويستتري فيتته‬
               ‫تيار ‪ (b) I‬مقطع في الملف مبين عليه كثافة التيار الخطي ‪. K  N I / L‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫48‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                         ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                    ‫وبالتالي فإن كثافة الفيض المغناطيسي للملف عند نقطة األصل تكون كما يلي:-‬

        ‫2/‪L‬‬
                      ‫‪ a 2 NI dz‬‬            ‫‪ a2 N I L‬‬                                     ‫2/‪L‬‬

            ‫‪‬‬
                                                                               ‫‪z‬‬
‫‪Bz ‬‬                                       ‫‪‬‬                                                    ‫|‬
                    ‫2 / 3 ) 2 ‪2L ( z 2  a‬‬     ‫‪2L‬‬     ‫2‪a‬‬               ‫‪z‬‬   ‫2‬
                                                                                   ‫‪‬‬   ‫2 / ‪a 2 L‬‬
        ‫2 / ‪L‬‬



            ‫‪ NI‬‬
‫‪Bz ‬‬                                   ‫2 ‪Wb / m‬‬                                                                  ‫أو‬
            ‫‪L 4a‬‬
                ‫2‬             ‫2‬


‫أو أن كثافتة الفتيض المغناطيستي فتي مركتز‬                     ‫وإذا كانت ‪ L >> a‬فتإن ‪L2  4 a 2  L‬‬

                                                                                                     ‫الملف تصبح‬
‫‪Bz   N I / L‬‬                        ‫‪Wb / m‬‬      ‫2‬


   ‫أما إذا كان المطلوب إيجاد كثافة الفيض المغناطيسي عند أحذ طرفيه فإنها تكون كما يلي:-‬

        ‫‪L‬‬
                    ‫‪ a2 N I dz‬‬                        ‫‪ NI L‬‬                               ‫‪L‬‬

       ‫‪‬‬
                                                                               ‫‪z‬‬
‫‪Bz ‬‬                                              ‫‪‬‬                                         ‫|‬
                ‫2 / 3 ) 2 ‪2 L (z 2  a‬‬                  ‫‪2L‬‬  ‫2‪a‬‬         ‫‪z‬‬   ‫2‬
                                                                               ‫‪a‬‬       ‫2‬   ‫0‬
        ‫0‬



                    ‫‪ NI‬‬                      ‫‪ NI‬‬
‫‪Bz ‬‬                                      ‫~‬                        ‫2 ‪Wb / m‬‬                                     ‫أو‬
            ‫‪2 L a‬‬    ‫2‬           ‫2‬            ‫‪2L‬‬


‫ويمكن إيجاد المحاثة لهذا الملف من العالقة )1-46( حيث إن الفيض المغناطيسي الذي يربط‬
                                                                                                        ‫كل لفه هو‬
‫‪mL  ( N I / L)  a‬‬                     ‫2‬
                                                  ‫‪Wb‬‬
                                                        ‫وحيث إن هناك ‪ N‬لفه فإن كل الفيض الترابطي هو‬
‫‪mt  ( N I / L)  a‬‬     ‫2‬                   ‫2‬
                                                      ‫‪Wb‬‬
                                                                               ‫وتكون محاثة الملف كما يلي:-‬
‫‪L  mt / I  ( N / L)  a‬‬           ‫2‬                 ‫2‬
                                                               ‫‪H‬‬




                              ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                               ‫58‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫مثال )1-52(:- يبتين الشتكل )1-14( ملفتـا ً حلقيـتـا ً )‪ (toroidal coil‬عــتـدد لفاتـتـه ‪N‬‬
‫لفــه ونصف قطر الحلقة 0‪ ρ‬ونصف قطر الملف ‪ ،a‬فإذا كتان قلتب هتذا الملتف هتو‬
                          ‫من مادة حديدية نفاذيتها 0 ‪  r ‬فأوجد حاثية هذا الملف.‬


                                                                                                    ‫الحـــل:-‬
‫يمكتن القتول أن الملتتف الحلقتي هتتو ملتف لتتولبي تتم ثنيته ليصتتبح كمتا هتتو مبتين فتتي‬
‫الشتتكل )1-14( وطولتته 0 ‪ L  2  ‬وبالتتتالي فتتإن المحاثتتة لهتتذا الملتتف الحلقتتي‬
                                                                                            ‫تكون كما يلي:-‬


   ‫2‪ N‬‬      ‫2‪ N‬‬        ‫2 ‪ N2 a‬‬
‫‪L‬‬      ‫‪a ‬‬
          ‫2‬
                    ‫‪a ‬‬
                      ‫2‬
                                                                           ‫‪H‬‬
     ‫‪L‬‬       ‫0‪2  ‬‬        ‫0‪2 ‬‬


              ‫القلب ونفاذيته 0‪r ‬‬                   ‫‪B‬‬




                                           ‫0‪ρ‬‬
          ‫‪ N‬لفة‬




                                                                                        ‫‪I‬‬

                                                                                        ‫‪I‬‬
                                                                ‫‪a‬‬




‫الشااااكل )1-14(:- ملتتتتف حلقتتتتي مكتتتتون متتتتن ‪ N‬لفتتتته وقلبتتتته متتتتن متتتتادة حديديتتتتة نفاذيتهتتتتا‬
                                                                                             ‫‪. r 0 H / m‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                               ‫68‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




          ‫‪Hysteresis loop‬‬            ‫1-3-01:- منحنى ‪ B-H‬أو األنشوطة الت فية‬
 ‫والمجتال المغناطيستي ‪H‬‬            ‫تم سابقا ً اقتراح العالقة بين كثافة الفيض المغناطيسي ‪B‬‬
‫لمادة ما (أو لوسط ما ) وذلتك علتى الشتكل ‪ B   H‬حيتث إن ‪ ‬يمكتن أن ينظتر‬
‫لهتتا علتتى أنهتتا كميتتة تتناستتب متتع عتتدد ثنائيتتات القطتتب المغناطيستتية للمتتادة. وهتتذه‬
‫العالقة تبين أن ‪ B‬و ‪ H‬يرتبطان بعالقة خطية وهذا ينطبق فقط علتى المتواد‬
‫غيتتر المغناطيستتي ة حيتتث إن 0 ‪   ‬وينظتتر إلتتى 0 ‪ ‬علتتى أنهتتا ثابتتت الوستتط‬
‫المغناطيستي. أمتا فتي حالتة المتواد المغناطيستية فتإن العالقتة بتين ‪ B‬و ‪ H‬ليستت‬
‫خطيتتة ويمكتتن فتتي الواقتتع قيتتاس هتتذه العالقتتة وذلتتك متتن ختتالل استتتخدام ملتتف‬
‫حلقتتي قلبتته متتن متتادة مغناطيستتية. ويتتتم استتتخدام ملتتف آختتر ألجتتل قيتتاس الفتتيض‬
‫المغناطيستتي داختتل القلتتب النتتاتج عتتن التيتتار التتذي يمتتر فتتي الملتتف األصتتلي والتتذي‬
‫يمثتل 0 ‪. 2  ‬‬      ‫ينتتج مجتاالً مغناطيستيا ً داختل قلبته ‪ H  IN / L‬حيتث إن ‪L‬‬
‫ويبتين الشتكل )1-24( التفاصتيل المستتخدمة لقيتاس العالقتة بتين ‪ B‬و ‪ H‬حيتث يتتم‬
                                      ‫قياس ‪ B‬باستخدام جهاز قياس الفيض المغناطيسي.‬


                                                                                ‫ملف جهاز قياس‬
                                                                               ‫الفيض المغناطيسي‬


                                                             ‫0‪ρ‬‬
                             ‫‪I‬‬

              ‫‪R‬‬


                                                         ‫‪B‬‬
                       ‫0‪V‬‬

                                                                     ‫الملف الحلقي بقلب‬
                                                                        ‫مغناطيسي‬
                      ‫الملف الحامل للتيار ‪ I‬وعدد لفاته‬
                                     ‫‪N‬‬


                            ‫الشكل )1-24(:- الملف الحلقي المستخدم لقياس العالقة بين ‪ B‬و ‪.H‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫78‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫يتتتم افتتتتراض أن القلتتتب المغناطيستتتي لتتتم يتعتترض قبتتتل ذلتتتك ألي مجتتتاالت مغناطيستتتية‬
‫وبالتالي فإنه ال يحوي إي اصطفاف لثنائيات القطب المغناطيسية. فتي ضتوء ذلتك إذا‬
‫وبعد هذا إذا ما تم زيتادة‬        ‫وبالتالي فإن 0 = ‪B‬‬            ‫كان التيار 0 = ‪ I‬فإن 0 = ‪H‬‬
‫بعض الشيء فتإن القتوى الداخليتة والعشتوائية الخارجيتة تكتون عاليتة وعليته‬                            ‫‪H‬‬
‫إلتى قيمتة معتبترة‬      ‫‪ H‬يكتون بطيئتا ً حتتى تصتل ‪H‬‬                   ‫فتإن تغيتر ‪ B‬متع ازديتاد‬
‫متتع ازديتتاد ‪ H‬يصتتبح‬        ‫وعنتتدها فتتإن تغيتتر ‪B‬‬        ‫تكتتون اعلتتى متتن القتتوى األختترى‬
‫أوضح وبشكل متسارع، و يدعى هذا الجتزء بالمنطقتة ستهلة المغنطتة. وعنتدما يتزداد‬
‫قتتد تبتتاطو وبشتتكل واضتتح وهتتذا متترده أن‬             ‫‪ H‬بعتتد ذلتتك نتترى أن التغيتتر فتتي ‪B‬‬
‫هنتتاك عتتدداً قلتتيالً متتن ثنائيتتات القطتتب المتبقيتتة والتتتي لتتم تصتتطف باتجتتتاه ‪H‬‬
‫ولكن وبوصول ‪ H‬إلتى ‪( Hmax‬أعلتى قيمتة الزمتة‬                       ‫ولذلك يصعب تغيير موقعها.‬
‫لجعتتتل كتتتل ثنائيتتتات القطتتتب المغناطيستتتي داختتتل القلتتتب تصتتتطف باتجتتتاه ‪ )H‬فتتتإن‬
‫‪ B  Bmax‬وبعتتد ذلتتك فإنتته لتتن يكتتون هنتتاك ثنائيتتات قطتتب إضتتافية لالصتتطفاف‬
‫‪ H  H max‬فتإن ‪ B‬تتزداد تبعتا ً لثابتت الوستط 0 ‪( ‬ختط‬                       ‫وعليته فإنته ولكتل القتيم‬
‫مستتتقيم)، ويبتتين الشتتكل )1-34( منحنتتى ‪ (B-H Curve) B-H‬أو األنشتتوطة التخلفيتتة‬
‫متن ‪Hmax‬‬       ‫)‪ .(hysteresis loop‬يالحظ أنه إذا ما تم تخفيض ‪ H‬إلى قيم أقل‬
‫وإنمتا‬   ‫و ‪ H‬ال ترجتع إلتى المنحنتى الموستوم 1-2-3-4‬                  ‫فإن مسار العالقة بين ‪B‬‬
‫إلتى الصتفر، يالحتظ أن ‪ B‬لتن‬             ‫‪H‬‬     ‫يرجتع بمستار أختر هتو 4-5. وعنتدما تصتل‬
‫تكون صفراً وإنما تأخذ قيمة يطلق عليها استم كثافتة الفتيض المغناطيستي المتخلفتة أو‬
‫المتبقيتة )‪ . Br (residual‬وللتتخلص متن ثنائيتات القطتب المغناطيستية المتبقيتة )‪(Br‬‬
‫فإنه البد من تخفيض قيمة ‪ H‬فتي االتجتاه األختر حتتى تصتل إلتى قيمتة ستالبة يطلتق‬
 ‫‪ H‬إلتى‬      ‫عندما تصل‬         ‫عليها اسم المجال المغناطيسي القهري )‪.-Hc (coersive‬‬
‫صتفراً أو بالتتالي فتإن ثنائيتات القطتب المغناطيستية تكتون‬                   ‫تصبح‬     ‫فإن ‪B‬‬         ‫‪-Hc‬‬
‫وإذا متتتتا استتتتتمرت عمليتتتتة تخفتتتتيض المجتتتتال‬       ‫قتتتتد اختفتتتتت كليتتتتا ً فتتتتي المتتتتادة.‬
‫قيمتة‬    ‫حتتى تصتل‬       ‫تأختذ المستار 5-6-7‬           ‫و‪H‬‬      ‫المغناطيسي فتإن العالقتة بتين ‪B‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫88‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫وتكتتون كتتل ثنائيتتات القطتتب‬      ‫إلتتى ‪ .-Hmax‬عنتتد هتتذه القيمتتة فتتإن ‪B  B max‬‬                 ‫‪H‬‬
‫من ‪ -Hmax‬إلتى‬         ‫المغناطيسية قد اصطفت في االتجاه المعاكس وإذا ما تم زيادة ‪H‬‬
‫وإذا ما استمرت بالزيتادة‬           ‫تأخذ المسار 7-8‬          ‫الصفر فإن العالقة بين ‪ B‬و ‪H‬‬
‫فتتإن العالقتتة تأختتذ المستتار 8-9-01 . وبالتتتالي فتتإن المستتار متتن 4-5-6-7-8-9-01‬
                                          ‫تمثل منحنى ‪ B-H‬أو اإلنشوطة التخلفية المغناطيسية.‬

                                          ‫‪B‬‬

                                                                               ‫‪‬‬            ‫`‪‬‬
                                      ‫‪Bmax‬‬
                                          ‫‪h‬‬                                        ‫‪‬‬      ‫خط مستقيم‬
                                          ‫‪r‬‬                       ‫‪‬‬
                                         ‫‪Br‬‬
                                              ‫‪‬‬
                                                       ‫منحنى المغنطة‬
                                                               ‫البدائي‬
                                                      ‫‪‬‬
       ‫‪-Hmax‬‬           ‫‪-Hc‬‬                ‫‪‬‬
                               ‫‪‬‬                           ‫‪‬‬      ‫‪Hc‬‬            ‫‪Hmax‬‬
                                                                                                  ‫‪H‬‬
       ‫‪hr‬‬              ‫‪hr‬‬
                                                                  ‫‪hr‬‬         ‫منحنى‪B-Hh‬‬
                                         ‫‪‬‬                                       ‫‪r‬‬

                                                ‫‪-Br‬‬                                               ‫‪h‬‬
                                                                                                  ‫‪r‬‬



‫‪` ‬‬                                           ‫‪-Bmax‬‬

         ‫خط مستقيم‬


                            ‫الشكل )1-34(:- منحنى ‪ B - H‬أو األنشوطة التخلفية المغناطيسية.‬


‫و تمثل المساحة المحددة داختل هتذه اإلنشتوطة كميتة الشتغل المبتذول الصتطفاف ثنائيتات‬
‫القطتتب المغناطيستتية وإعتتادة اصتتطفافها وتتتدعى بالطاقتتة المهتتدورة فتتي مغنطتتة وإعتتادة‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫98‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫مغنطتتة المتتادة أو ببستتاطة فتتإن هتتذه المستتاحة تتتدعى بفقتتدان التخلفيتتة )‪.(hysteresis loss‬‬
‫وتتغيتتتر تفاصتتتيل هتتتذا المنحنتتتى متتتن متتتادة ألختتترى ويمثتتتل الثنتتتائي ‪ Br‬و ‪ Hc‬معيتتتاراً‬
‫لخاصية المادة المغناطيسية. فإذا كانت ‪ Hc‬صغيرة فإن المتادة تعتبتر متادة مغناطيستية‬
‫ضعيفة أي أنها التحافظ على اصطفاف ثنائيتات القطتب المغناطيستية تحتت تتأثير قتوة‬
‫خارجية متدنية. أمتا إذا كانتت قتيم ‪ Br‬مرتفعتة نستبيا ً وكتذلك ‪ Hc‬فتإن هتذا يعكتس‬
‫خصائص مغناطيسية قوية للمادة أي أنته إذا تتم مغنطتة المتادة أو اصتطفاف عتدد متن‬
‫ثنائيتات القطتب المغناطيستية فتإن هتذه المغنطتة أو هتذا االصتطفاف ستيبقى حتتى بعتد‬
‫زوال المجتتال المغناطيستتي المتتؤثر ولتتن يتغيتتر الوضتتع تحتتت قتتوى خارجيتتة متدنيتتة أو‬
‫متوستتطة . ويستتتخدم النتتوع األخيتتر متتن المتتواد لتصتتنيع المغنتتاطيس التتدائم أو أوستتاط‬
‫تستجيل البيانتات والمعلومتتات مغناطيستيا ً مثتل األشتترطة المغناطيستية لتستجيل الصتتوت‬
‫وكذلك الصور وأقراص الحاسوب الممغنطة. وتجدر اإلشارة إلى أن منحنتى ‪B-H‬‬
‫يعطي قيما ً للنفاذية ‪ ‬تجعلها تفقد معناها الذي تم تقديمته ستابقا ً. فمتثال تكتون‬
‫وكتذلك فإنهتا تكتون ‪   ‬‬                ‫0 ‪   ‬عنتد كتل متن النقطتة 6 والنقطتة 9‬
‫يبتتتين منحنتتتى ‪ B-H‬أن قتتتيم ‪ ‬تتتتتراوح متتتا بتتتين ‪ ‬‬                   ‫عنتتتد النقطتتتتين 5 و 8.‬
‫4-5-6-7-8-9-01 التتذي يطلتتق‬             ‫و ‪  ‬متتروراً فتتي الصتتفر وذلتتك علتتى المنحنتتى‬
‫' 4 ‪ 4 ‬و ' 7 ‪ 7 ‬مستاوية‬         ‫عليه بأنه منحنى ‪ .B-H‬وتكون قيم ‪ ‬فتي المنطقتة‬
‫بأنــتتـه منحنتتى المغنطتتة‬    ‫1-2-3-4‬        ‫لنفاذيـتتـة الهتتواء 0 ‪ . ‬ويطلتتق علـتتـى المنحنتتى‬
                                                                                   ‫البدائي أو األولي.‬


                         ‫‪Magnetic Circuits‬‬             ‫1-3- 11:- الدارات المغناطيسية‬
‫تتكون الدارات الكهربائية للتيار المستمر من مصدر جهده ‪( Vb‬بطارية) يتتم وصتله‬
‫إلى مقاومة ‪ R‬أو مجموعة من المقاومات … ,2‪( R1 , R‬موصولتـة بشكتـل معتـين)‬
‫وذلتتك كمتتا هتتو مبتتين فتتي الشتتكل )1-‪ .(44a‬ويتتتم استتتخدام قتتوانين التتدارات الكهربائيتتة‬
‫(متتثال قتتانون أوم وقتتانوني كيرشتتوف للفولطيتتة والتيتتار ... ال ت ) لتحليتتل هتتذه التتدارات.‬
  ‫ويبين هتذا الشتكل أن المصتدر الكهربتائي ‪ Vb‬يتغلتب علتى المقاومتة الكهربائيتة ‪R‬‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫09‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪ I‬فيها. أما الشكل )1-‪ (44b‬فإنته يبتين ملفتا ً حلقيتا ً عتدد لفاتته‬               ‫لتسيير تيار كهربائي‬
‫‪ N‬بقلب من مادة مغناطيستية حيتث ينتتج عتن التيتار ‪ I‬المتار فتي هتذا الملتف فتيض‬
‫مغناطيستتتتي مقتتتتداره ‪ . m ( BA ) Wb‬ويمكتتتتن القتتتتول هنتتتتا أن هتتتتذا المصتتتتدر‬
 ‫المغناطيسي ‪ N I‬يتغلب على المقاومة المغناطيسية أو المقاصرة )‪ (Reluctance‬‬
‫للقلتتب الحلقتتي لتستتيير فتتيض مغناطيستتي ‪  m‬فتتي هتتذا القلتتب، ويبتتين الشتتكل )1-‪(44c‬‬
        ‫تمثيالً لهذه الدارة المغناطيسية المكافئة. وتحكم الدارة الكهربائية العالقات التالية:-‬


‫‪R  Vb / I‬‬       ‫‪  L /(A) ‬‬           ‫‪‬‬      ‫و‬      ‫و ‪I  Vb / R A‬‬                ‫‪Vb  I R V‬‬

‫أما العالقات التي تحكم عمل الدارة المغناطيسية فيمكن كتابتها اعتمادا علتى العالقتات الستابقة‬
                                                     ‫والدارة المبينة في الشكل )1-‪ (44c‬كما يلي :-‬


‫‪N I  m ‬‬                               ‫‪A‬‬                                                     ‫)1-‪(67a‬‬
‫‪m  NI / ‬‬                              ‫‪Wb‬‬                                                    ‫)1-‪(67b‬‬
‫1‪  N I / m  HL /( H A)  L /( A) H ‬‬                                                   ‫)1-‪(67c‬‬

                                                                 ‫مساحة المقطع‬
                                                                      ‫‪A‬‬
       ‫‪m‬‬                                                                                  ‫‪I‬‬


                             ‫‪I‬‬

                                                            ‫0‪ρ‬‬
      ‫‪NI‬‬              ‫‪‬‬          ‫‪ N‬لفة‬                                                   ‫‪Vb‬‬           ‫‪R‬‬

                                                                      ‫‪B‬‬


                                                                        ‫القلب‬
         ‫)‪(c‬‬                                         ‫)‪(b‬‬                                ‫)‪(a‬‬

‫)‪ (b‬ملتتف حلقتتي بعتتدد لفتتات ‪ N‬لفتته )‪ (c‬التتدارة‬        ‫الشااكل )1-44(:- )‪ (a‬التتدارة الكهربائيتتة‬
                                                                                 ‫المغناطيسية المكافئة.‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫19‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ونظراً للتشابه بين التدارة المغناطيستية والكهربائيتة ( ‪ m  I‬و ‪ N I  Vb‬و‬
‫‪ )   R‬فإنه يتم استخدام القتوانين والنظريتات المستتخدمة فتي التدارات الكهربائيتة‬
‫لتحليتتتل التتتدارات المغناطيستتتية. ولهتتتذه التتتدارات المغناطيستتتية أهميتهتتتا فتتتي دراستتتة‬
‫المحتتوالت الكهربائيتتة واآلالت الكهربائيتتة، وستتيتم فيمتتا يلتتي تقتتديم مثتتالين لتوضتتيح‬
                                                                        ‫فكرة تحليل هذه الدارات.‬


‫مثال )1-62(:- يبين الشكل )1-45( ملفا ً حلقيا ً نصف قطره ‪ 10 cm‬بفجوة أو ثغترة‬
‫)‪ (air gap‬سمكها ‪ ،2 mm‬فتإذا كانتت مستاحة مقطعته تستاوي 2‪10 cm‬‬     ‫هوائية‬
‫وكانت نفاذية مادتته هتي ‪ 1000  0 H / m‬وعتدد لفاتته 001 لفتة ويمتر فيته‬
‫تيتتتار يستتتاوي ‪ 10 A‬فأوجتتتد الفتتتيض المغناطيستتتي ‪  m‬وكثافتتتة ‪ B‬فتتتي الفجتتتوة‬
‫الهوائيتتة (يستتتخدم مثتتل هتتذا الملتتف الحلقتتي فتتي القتتراءة متتن والكتابتتة علتتى شتتريط‬
   ‫مغناطيسي يمر من خالل هذه الفجوة). أهمل تسريب خطوط المجال عند الفجوة.‬


                                                                             ‫مساحة المقطع‬
          ‫‪c‬‬                                                                   ‫2‪10 cm‬‬
‫‪m‬‬                                                               ‫‪B‬‬
                                      ‫‪10 A‬‬                                                   ‫يتم إهماال‬
                                                                                                ‫هذه‬
                                                                                              ‫الخطوط‬

       ‫0001‬
       ‫‪A-Turn‬‬              ‫001 لفة ‪g‬‬                                  ‫‪2 mm‬‬
       ‫أمبير- لفة‬
                                                                  ‫‪10 cm‬‬
                                                                                              ‫الفجوة‬
                                                                                              ‫الهوائية‬




          ‫)‪(b‬‬                                                        ‫)‪(a‬‬


             ‫الشكل )1-54(:- )‪ (a‬ملف حلقي بفجوة هوائية )‪ (b‬الدارة المغناطيسية المكافئة.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                               ‫29‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                                                                           ‫الحـــل:-‬
‫يتكون مستار الفتيض المغناطيستي متن مقاصترتين ‪ c‬للقلتب الحلقتي المغناطيستي و ‪g‬‬
                  ‫للفجوة الهوائية ويبين الشكل )1-‪ (45b‬الدارة المغناطيسية المناظرة حيث إن‬


         ‫‪L‬‬   ‫3‪2   10  10 2  2  10 ‬‬
‫‪c ‬‬       ‫‪‬‬                 ‫7‪‬‬         ‫4‪‬‬
                                           ‫5 01 ‪ 4.98 ‬‬                          ‫1‪H ‬‬
        ‫01 ‪ A 1000  4   10  10 ‬‬

                  ‫3‪2  10 ‬‬
‫‪g ‬‬                  ‫7‪‬‬               ‫4‪‬‬
                                            ‫501 ‪ 15.92 ‬‬           ‫1‪H ‬‬
           ‫01 ‪4  ‬‬        ‫01 ‪ 10 ‬‬
‫يالحظ أن المقاومة المغناطيسية للفـجوة (بطول ‪ )2 mm‬تزيتد علتى ثالثتة إضعتـاف المقاومتة‬
‫المغناطيسية للقلــب المغناطيستي التـذي يبلـتـو طولته ‪ .62.63 mm‬وبالتتالي فتـإن خطـتـوط‬
‫المجـتتـال المغناطيستتي المتستتربة متتن القلتتب الحديتتدي (المغناطيستتي) تكتتون قليلتتة (الخطتتوط‬
‫المعنية هنا ليست المبينة عند الفجوة الهوائية). في ضوء ما سبق فإن الفيض المغناطيسي فتي‬
                                                               ‫الفجوة أو في القلب يكون كما يلي:-‬
          ‫01 ‪N I 100 ‬‬
‫‪m ‬‬         ‫‪‬‬         ‫‪ 0.48 mWb‬‬
          ‫‪‬‬    ‫‪g  c‬‬
                ‫‪m‬‬
      ‫‪Bg ‬‬         ‫84.0 ‪‬‬            ‫2 ‪Wb / m‬‬                ‫أما كثافة الفيض في الفجوة ‪ B g‬فهي‬
                ‫‪A‬‬


‫مثال )1-72(:- فتي المثتال )1-62( إذا كتان المطلتوب تتوفير كثافتة فتيض مغناطيستية‬
‫فتتي الفجتتوة الهوائيتتة بمقتتدار 2 ‪ 10 m Wb / m‬فأوجتتد التيتتار المتتار فتتي الملتتف الحلقتتي‬
                                                        ‫المذكور أعاله لتوفير مثل هذه القيمة.‬


                                                                               ‫الحـــل:-‬
                                            ‫من قيم ‪ c‬و ‪ g‬والفيض المطلوب في الفجوة ‪ m‬‬
‫5‪m  10  10 3  10 3  10 ‬‬                        ‫‪Wb‬‬
  ‫يمكن استنتاج التيار من العالقة التالية ‪m  NI /   I   m / N  0.21 A‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫39‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




      ‫1-4:- تفاعل الشحنات مع المجاالت الكهربائية والمغناطيسية‬
‫تتم فتتي الفصتتول الستابقة تقتتديم القتتوة الكهربائيتة بتتين مجتتال كهربتائي ختتارجي ‪ E‬وشتتحنة ‪ q‬أو‬
                                                                 ‫جسم مشحون بشحنة ‪ q‬كما يلي :-‬
‫‪FqE‬‬              ‫‪N‬‬
‫ينتج عن هذه القوة حركة أو إزاحة للشحنة أو الجسم المشحون والذي تبلو كتلته مثالً ‪m kg‬‬
‫ويتحترك الجستم المشتتحون، متثالً، بتستتارع مقتداره 2 ‪ a m / s‬وبالتتالي فإنتته، حستب قتتانون‬
                                                 ‫نيوتن، يتم إعادة كتابة العالقة السابقة كما يلي:-‬


                ‫‪dv‬‬    ‫‪d2 x‬‬
     ‫‪FqE mam‬‬    ‫‪m‬‬                                                                        ‫)1-86(‬
                ‫‪dt‬‬    ‫2‪d t‬‬
‫حيث إن ‪ a‬هو تستارع الشتحنة 2‪ ، m/s‬و ‪ v‬هتي سترعة الشتحنة ‪ ، m/s‬و ‪ x‬هتي إزاحتة‬
                                                                   ‫الشحنة (في اتجاه ‪ x‬مثالً) ‪. m‬‬
‫ويبتتين الشتتكل )1-64( توضتتيحا ً لهتتذه الكميتتات ويمكتتن متتن العالقتتات المبينتتـة فتتي‬
‫المعادلتتـة )1-86( استتتنتاج تستتارع وستترعة وإزاحتتة الشتتحنة أو المجتتال الكهربتتائي.‬
‫ولهذا التفاعل بين الشتحنة والمجتال الكهربتائي تطبيقاتته فتي الحيتاة العمليتة فمتثالً فتي‬
‫راستتم الموجتتة )‪ (oscilloscope‬تكتتون الشتتتحنة (الشتتحنات) إلكتتترون ينطلتتق متتتن‬
‫المهتتبط )‪ (cathode‬يتتتم جتتره بوستتاطة مجتتال كهربتتائي بتتين المهتتبط والمصتتعد‬
‫وبالتالي فتإن العالقتة )1-86(‬         ‫)‪ .(anode‬ويرمز عادة لشحنة االلكترون بالرمز ‪e‬‬
                                                                                                ‫تعطي‬
‫‪eE ma‬‬


                                                             ‫‪F‬‬        ‫الشاااااكل )1-64(:- شتتتتتحنة‬
              ‫‪q‬‬
                                                  ‫‪v‬‬          ‫‪x‬‬        ‫كتلتها ‪ m‬وشتحنتها ‪ q‬تحتت‬
 ‫0‬           ‫‪m‬‬                                               ‫‪E‬‬               ‫تأثير مجال خارجي ‪.E‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫49‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫ويمكن من العالقة األخيرة استنتاج الطاقة الالزمة لجر هذا اإللكترون من 1‪ x‬إلى 2‪ x‬كمتا‬
                                                                                                  ‫يلي:-‬
           ‫2‪x‬‬                       ‫2‪x‬‬

‫‪Wm‬‬
           ‫‪‬‬
           ‫1‪x‬‬
                ‫‪a  dx a x  e‬‬
                                    ‫‪‬‬
                                    ‫1‪x‬‬
                                         ‫21‪E  dx  e V‬‬

                ‫2‪x‬‬

                ‫‪‬‬
                      ‫‪dv‬‬
 ‫‪W  m‬‬                   ‫21‪ dx a x  e V‬‬                                                            ‫أو‬
                      ‫‪dt‬‬
                ‫‪x‬‬‫1‬
    ‫2‪v‬‬
                  ‫1‬                                                                 ‫‪dx‬‬
    ‫‪ v  dv  2 m ( v‬‬         ‫21‪ v1 )  e V‬‬               ‫أو أن‬              ‫‪v‬‬                ‫ولكن‬
                           ‫2‬      ‫2‬
‫‪m‬‬                          ‫2‬
    ‫1‪v‬‬                                                                              ‫‪dt‬‬

‫فإذا كانت السرعة االبتدائية لإللكترون مساوية للصفر وكان فرق الجهد بين النقطتين‬
                                 ‫يساوي 0‪ V‬فإن السرعة األخيرة لهذه الشحنة تصبح كما يلي:-‬


         ‫0‪2 e V‬‬
‫‪v‬‬              ‫5 01 ‪ 5.9 ‬‬             ‫‪V0 m / S‬‬
           ‫‪m‬‬
‫كتتذلك تتتم فتتي الستتابق تقتتديم القتتوة بتتين المجتتال المغناطيستتي وطتتول تفاضتتلي ‪ ، dL‬كجتتزء متتن‬
                               ‫دارة، يحمل تيار ‪( I‬وهو عبارة عن شحنات متحركة) كما يلي:-‬


‫‪dF  I dL  B  J dV  B‬‬

 ‫‪J  v v‬‬                          ‫وبما أن التيار مرتبط مع كثافة الشحنات والسرعة كما يلي :-‬
‫‪d F   v dV  v  B  dq v  B‬‬                                             ‫فإن القوة تعطي بما يلي:-‬
                                                                ‫أو أن القوة الكلية تصبح كما يلي:-‬
‫‪Fq vB‬‬                                                                                      ‫)1-96(‬
‫إذا كانت كتلة الشحنة ‪ m kg‬فيمكن، باستخدام قانون نيوتن، إعادة كتابتة المعادلتة )1-96(‬
                                                                                             ‫كما يلي:-‬
                                   ‫‪dv‬‬
 ‫‪F q vBmam‬‬                                                                                ‫)1-07(‬
                                   ‫‪dt‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                           ‫59‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪ v‬تمثتتل ستترعتها، وبالتتتالي فإنتته يتتتم تحديتتد‬        ‫حيتث إن ‪ a‬تمثتتل تستتارع الشتتحنة و‬
‫القوة الم ؤثرة على شحنة متحركة في مجال مغناطيسي من خالل قاعتدة اليتد اليمنتى،‬
‫ويبتتتين الشتتتكل )1-74( كتتتل متتتن الشتتتحنة المتحركتتتة وكثافتتتة الفتتتيض المغناطيستتتي ‪B‬‬
‫والقتتوة الناتجتتة. فتتإذا افتتترض أن هنتتاك شتتحنة دخلتتت منطقتتة المجتتال المغناطيستتي‬
‫بستترعة ‪ v  v 0 a x‬عنتتد التتزمن 0 = ‪ t‬وكانتتت كثافتتة الفتتيض المغناطيستتي‬
‫فتتتإن حتتتل المعادلتتتة )1-07( يمكتتتن أن يبتتتين متتتا التتتذي‬       ‫2 ‪B  B0 a z Wb / m‬‬
‫سيحدث لهذه الشحنة (على افتراض أن شحنتها ‪ q C‬وكتلتها ‪ )m kg‬بعد دخولهتا.‬
                                                ‫يتم كتابة المعادلة )1-07( وذلك كما يلي :-‬


‫‪a x a y‬‬          ‫‪az ‬‬       ‫‪v x a x‬‬                 ‫‪‬‬
‫‪‬‬                    ‫‪‬‬  ‫‪m d ‬‬                         ‫‪‬‬
‫‪v x v y‬‬         ‫‪vz  ‬‬        ‫‪vy ay‬‬
                        ‫‪q dt ‬‬                        ‫‪‬‬                                     ‫)1-17(‬
‫0‪‬‬              ‫‪ Bo ‬‬       ‫‪v a‬‬                     ‫‪‬‬
‫‪‬‬     ‫0‬              ‫‪‬‬       ‫‪ z z‬‬                    ‫‪‬‬


         ‫‪y‬‬                             ‫‪B‬‬


                                                                ‫مسار الشحنة‬


                           ‫‪R‬‬


                                                                    ‫الشاااكل )1-74(:- شتتتحنة ‪q‬‬
                                                                    ‫كتلتهتتتا ‪ m‬تتتتدخل منطقتتتة‬
                                                                    ‫مجتتال مغناطيستتي بستترعة‬
            ‫‪F‬‬
                                                                    ‫‪ v  v 0 a x‬عنتتد التتزمن‬
                                                                                           ‫0=‪.t‬‬
            ‫‪q‬‬                  ‫‪v  v 0a x‬‬
                                                                               ‫‪x‬‬

        ‫‪z‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                         ‫69‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫وكتلتهتا‬      ‫تحتدد هتذه المعادلتة العالقتة بتين سترعة الشتحنة ‪( v‬أو تستارعها ‪) dv/dt‬‬
‫‪ (B  B0 a z ) B‬المتتتؤثر عليهتتتا‬        ‫‪ m‬وشتتتحنتها ‪ q‬وكثافتتتة الفتتتيض المغناطيستتتي‬
                                                                        ‫ويمكن كتابتها كما يلي:-‬

           ‫‪m dv x‬‬
‫‪ B0 v y ‬‬                                                                               ‫)1-‪(72a‬‬
           ‫‪q dt‬‬
           ‫‪m dv y‬‬
  ‫‪B0 v x ‬‬                                                                               ‫)1-‪(72b‬‬
           ‫‪q dt‬‬
           ‫‪m dv z‬‬
  ‫0‬      ‫‪‬‬                                                                               ‫)1-‪(72c‬‬
           ‫‪q dt‬‬
                                                   ‫ومن المعادلة )1-‪ (72c‬يمكن استنتاج التالي:-‬


‫‪v z  v 0z‬‬         ‫‪m/ s‬‬                                                                    ‫)1-37(‬
‫حيث إن ‪ v 0 z‬هو ثابت ويعني انه إذا دخلت شتحنة فتي مجتال مغناطيستي باتجتاه ‪ a z‬بسترعة‬
‫معينة في اتجاه ‪ a z‬فستبقى محافظة على تلتك السترعة. ويمكتن متن المعتادلتين )1-‪ (72a‬و‬
    ‫)1-‪ (72b‬استنتاج ‪ vx‬و ‪ vy‬وذلك من خالل مفاضلة أحدهما والتعويض فيها باألخرى أو‬

            ‫‪dv y‬‬       ‫‪ qB ‬‬    ‫‪m d2vx‬‬
‫0‪ B‬‬            ‫‪  B0  0  v x‬‬
             ‫‪dt‬‬        ‫‪ m ‬‬     ‫2 ‪q dt‬‬
                                                                                               ‫أو أن‬
    ‫2‬
  ‫‪d vx‬‬
        ‫2‬
              ‫0 ‪ 2 v x ‬‬                                                               ‫)1-‪(73a‬‬
   ‫‪dt‬‬
  ‫‪d2vy‬‬
        ‫2‬
              ‫0 ‪ 2 v y ‬‬                                                               ‫)1-‪(73b‬‬
   ‫‪dt‬‬
                                                               ‫0‪q B‬‬      ‫0‪q B‬‬
  ‫‪ f ‬يمثل التردد الجيروسكوبي (أو التردد الدوراني).‬                 ‫‪ ‬و‬      ‫حيث إن‬
                                                               ‫‪2m‬‬        ‫‪m‬‬
                                 ‫وبالتالي فإن السرعة في اتجاه ‪( x‬أو اتجاه ‪ )y‬تكون كما يلي:-‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫79‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫‪v x  A cos t  B sin t‬‬                                                                                    ‫)1-‪(74a‬‬
                                            ‫وأما السرعة في اتجاه ‪ y‬فيمكن اشتقاقها من العالقة )1-‪ (72a‬أو‬


‫‪v y  A sin t  B cos t‬‬                                                                                    ‫)1-‪(74b‬‬

‫يتتتتم إيجتتتاد ‪ A‬و ‪ B‬متتتن الشتتتروط االبتدائيتتتة أو األوليتتتـة )‪ (initial conditions‬حيتتتث‬
‫إن 0 ‪ v x  v‬و 0 ‪ v y ‬عند 0 = ‪ t‬أو أن 0‪ A  V‬و 0 = ‪ B‬وبالتالي فإن السترعة فتي‬
                                                                                  ‫اتجاه ‪ x‬و ‪ y‬تصبح كما يلي:-‬


‫) ‪v xy  v0 ( cos t a x  sin t a y‬‬                                       ‫‪m/ s‬‬                               ‫)1-57(‬
‫ويالحظ أن قيمة السرعة | ‪ | v‬هتي كميتة ثابتتة وتستاوي 0 ‪ v‬وبالتتالي فتإن حركتة‬
                                                                                   ‫‪xy‬‬

‫) 0 ‪. R  v 0 /   v 0 m /(qB‬‬                              ‫الشتتتتحنة ستتتتتكون فتتتتي دائتتتترة نصتتتتف قطرهتتتتا ‪m‬‬
‫ويمكتتن استتتنتاج نصتتف القطتتر هتتذا متتن التتتوازن التتذي يحتتدث للشتتحنة بعتتد دخولهتتا‬
‫وبتتين القتتوة‬           ‫المغناطيستتي العمتتودي علتتى اتجتتاه حركتهتتا بتتين ‪F  q vB‬‬                             ‫المجتتال‬
‫الطتتتتتتتاردة المركزيتتتتتتتة ‪ F  m v 2 /(R )  q v B‬أو انتتتتتتته فتتتتتتتي هتتتتتتتذه الحالتتتتتتتة‬
‫) 0 ‪ . R  v 0 m /(qB‬فتتي ضتتوء متتا ستتبق فإنتته إذا دخلتتت شتتحنة كتلتهتتا ‪m kg‬‬
‫في مجال مغناطيسي كثافة فيضته متثالً ‪ B  B0 a z‬بسترعة‬                                               ‫‪qC‬‬          ‫وشحنتها‬
‫مقتتدارها متتثالً ‪ v  v 0 a x‬فإنهتتا ستتتتحرك فتتي دائتترة نصتتف‬                              ‫عموديتتة علتتى ‪B‬‬
‫بتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتردد جيروستتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتكوبي‬   ‫) 0 ‪R  v 0 m /(qB‬‬       ‫قطرهتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتتا ‪m‬‬
‫‪ . f  v 0 /   q B0 /( 2m) Hz‬أما إذا كانت سرعة هذه الشحنة عند دخولها‬
‫المجتتال المتتذكور هتتي ‪ v  v 0 a x  v 0z a z m / s‬فتتإن حركتهتتا ستصتتبح لولبيتتة‬
‫وذلك كما هتو مبتين فتي الشتكل )1-84(. ومتن الجتدير بالتذكر أن هنتاك فوائتد جتـمة‬
‫لالنحراف الدائري الذي يحدثه المجال المغناطيسي لشحنة تدخلته. فتي شاشتة التلفتاز،‬
‫يتم استخدام ملف بطول محدود إلنتاج مجال مغناطيسي متن اجتل التتحكم فتي مستار‬
‫الشعاع اإللكترونى الصادر من مهبط الشاشة وإدخال انحراف كبير في هتذا الشتعاع.‬




                                ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                     ‫89‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫فتتي هتتذه الحالتتة، يكتتون طتتول الشاشتتة (متتن المصتتعد إلتتى المهتتبط) قلتتيالً جتتداً إذا متتا‬
‫باستتتخدام المجتتاالت الكهربائيتتة إلدختتال االنحتتراف فتتي الشتتعاع اإللكترونتتى‬                   ‫قتتورن‬
‫كمتتا هتتو الحتتال فتتي راستتم الموجتتة وذلتتك متتا اختتذ فتتي االعتبتتار فتتي نفتتس أبعتتاد‬
                                                                                      ‫الشاشة المرئية.‬

                                           ‫‪x‬‬
                                                    ‫مسار حركة الشحنة : دائرة‬
                                                         ‫نصف قطرها ‪R‬‬

                                                                 ‫‪B  B0a z‬‬
                                                                                                          ‫‪z‬‬
                                           ‫‪R‬‬



                                                                                                    ‫)‪(a‬‬
‫‪y‬‬
               ‫تدخل الشحنة إلى المجال المغناطيسي بسرعة ‪v 0 a x‬‬


                                ‫‪x‬‬

                                                                             ‫مسار حركة الشحنة : لولبية‬




                                                                                                ‫‪z‬‬


                                    ‫‪R‬‬                                 ‫‪B   B0a z‬‬
    ‫‪y‬‬     ‫تدخل الشحنة إلى المجال المغناطيسي بسرعة‬
               ‫‪v 0a x  v 0z a z‬‬                                                          ‫)‪(b‬‬




‫الشكل )1-84(:- دخول شحنة إلى مجال مغناطيستي كثافتة فيضته 2‪B  B0 a z Wb / m‬‬
‫)‪ (a‬سرعة دخولها 2 ‪ (b) v  v 0 a x Wb / m‬سرعة دخولها ‪. v  v 0 a x  v 0 z a z‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                                ‫99‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                 ‫1-5:- نظرية الصور في المصادر الكهربائية‬
‫تم فيما سبق معالجة ثنائي القطب الكهربائي المكون من شحنتين ‪ +q‬و ‪ -q‬يفصتل‬
‫وتتتم بيتتان خطتتوط المجتتال الكهربتتائي وأستتطح تستتاوي الجهتتد‬                   ‫بينهمتتا مستتافة ‪2h‬‬
‫للثنائي في الشكـل )1-‪ .(49a‬يالحظ أن جهـد السطـح 0 = ‪ z‬يسـاوي صفتـراً وبالتتالي‬
‫مستتتوى ارضتتي.‬         ‫يمكتتـن استبدالتتـه بستتطح موصتتل جيتتد التوصتتيل أو اعتبتتاره‬
‫يالحتتظ تماثتتل خطتتوط المجتتال الكهربتتائي وأستتطح تستتاوي الجهتتد فتتي الحتتالتين‬
   ‫المبينتين في الشكل )1-94( للمنطقة 0 ‪ ، z ‬أو أن هناك تناظراً بين الحالتين.‬

                                   ‫‪Z‬‬
 ‫1‪V3>V2>V‬‬

   ‫3‪V‬‬                 ‫2‪V‬‬
                              ‫1‪V‬‬
                                   ‫‪q‬‬
                                                   ‫‪ h‬خطوط المجال‬
 ‫0=‪V‬‬                         ‫‪x‬‬                       ‫الكهربائي‬                ‫‪y‬‬

‫)‪(a‬‬                                                              ‫‪h‬‬
             ‫3‪-V‬‬
                      ‫2‪-V‬‬              ‫‪q‬‬
                             ‫1‪-V‬‬
                                                                  ‫خطوط‬            ‫الشكل)1-94(:- )‪(a‬‬
                                              ‫أسطح تساوي‬
                                                 ‫الجهد‬            ‫وأسطح‬           ‫الكهربائي‬      ‫المجال‬
                                                                  ‫تساوي الجهد لثنائي القطب )‪(b‬‬

                                   ‫‪z‬‬                              ‫الكهربائي‬         ‫المجال‬       ‫خطوط‬

                       ‫2‪V‬‬
                                                                  ‫وأسطح تساوي الجهد لشحنة‬
                                                                  ‫من سطح‬              ‫على ارتفاع ‪h‬‬
                              ‫1‪V‬‬
‫)‪(b‬‬
                                   ‫‪q‬‬
                                                                                                ‫موصل.‬
                ‫3‪V‬‬
                                                                 ‫‪h‬‬
 ‫0=‪V‬‬                      ‫‪x‬‬                                                   ‫‪y‬‬
             ‫وسط موصل جيد التوصيل أو‬
                  ‫المستوى األرضي‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫001‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                               ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫متن ستطح‬        ‫موضتوعة علتى ارتفتاع ‪z = h‬‬                     ‫وبالتالي إذا كان هناك شحنة ‪+q‬‬
‫موصل (السطح الموصل متساوي الجهد وجهتده يستاوي صتفراً إذا كتان مؤرضتا ً)‬
‫والذي يكون فيه المجال الكهربائي مستاويا ً للصتفر كمتا يبتين الشتكل )1-‪ (50a‬فتإن‬
‫ويطلق على الشتحنة‬               ‫لهذا الوضع مبينة في الشكل )1-‪.(50b‬‬                    ‫المسألة المناظرة‬
‫للشتتحنة العلويتتة‬        ‫بأنهتتا صتتورة )‪(image‬‬             ‫التتتي وضتتعت عنتتد النقطتتة ‪z = h‬‬
‫ونظتتراً للتنتاظر بتين المستتألتين فتي المنطقتتة‬               ‫‪.z = h‬‬         ‫الموضتوعة عنتد النقطتتة‬
‫فإن إيجاد المجاالت الكهربائية وأسطح تساوي الجهد الناتجتة عتن المستألة‬                             ‫0‪z‬‬

‫المنتتاظرة والمكونتتة متتن الشتتحنة وصتتورتها تكتتون أستتهل بكثيتتر متتن إيجادهتتا للمستتألة‬
‫حيث إنه قد تم إيجاد المجاالت الكهربائية وأسطح تستاوي الجهتد للمستألة‬                            ‫األصلية،‬
                                                                          ‫المناظرة في فصول سابقة.‬

                      ‫‪z‬‬                                                           ‫‪z‬‬

                 ‫‪+ q‬‬                                                        ‫+ ‪q‬‬



            ‫‪h‬‬                                                                         ‫‪h‬‬



                                                 ‫‪x‬‬
                                                                      ‫سطح موصل ‪ ‬سطح تساوي الجهد‬


            ‫‪h‬‬                                                          ‫0‪E‬‬
                                   ‫)‪(b‬‬                      ‫)‪(a‬‬
                          ‫‪q‬‬




‫الشااكل )1-05(:- )‪ (a‬شتتحنة ‪ +q‬موضتتوعة فتتوق ستتطح موصتتل وعلتتى ارتفتتاع ‪h‬‬
                          ‫)‪ (b‬المسألة المناظرة والمكونة من الشحنة األصلية وصورتها ‪. -q‬‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫101‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                   ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫يبين الشكل )1-‪ (51a‬شحنتين إحداهما موجبة واألخرى سالبة حيث تم وضتع هتاتين‬
‫الشتحنتين فتوق ستطح موصتتل وتتم افتتراض وضتعين مختلفتتين لهتاتين الشتحنتين. هتتذا‬
‫ويبين الشكل )1-‪ (51b‬المسألة المناظرة حيث تتم استتبدال الستطح الموصتل بمجموعتة‬
‫من صور هذه الشحنات وذلك حسب ما تم توضيحه وتصبح المسألتان متناظرتين فتي‬
‫المنطقة 0 ‪ . z ‬ومن المعروف أن التيار إذا نشأ فإنه يبدأ من نقطة الجهتد المرتفتع‬
‫متجها ً إلى نقطـة الجهـد المنخفض وبالتالي فإنه يمكتن استتبدال الشتحنات التواردة فتي‬
                                                                         ‫الشكل )1-15( بتيارات كهربائية.‬
                                                         ‫‪z‬‬
               ‫‪z‬‬                                     ‫‪q‬‬
   ‫‪q‬‬                   ‫‪q‬‬
       ‫+‬                                                             ‫‪ℓ‬‬
           ‫‪ℓ‬‬                                     ‫‪h‬‬       ‫+‬       ‫‪q‬‬
                           ‫‪h‬‬

 ‫سطح موصل أو وسط موصل‬                    ‫سطح موصل أو وسط موصل‬                   ‫الشااااااااااكل )1-15(:- )‪(a‬‬
                                   ‫)‪(a‬‬                                          ‫شتتتتتتحنتان فتتتتتتي وضتتتتتتعين‬
                                                             ‫‪z‬‬                  ‫مختلفتتتتتتين فتتتتتتوق ستتتتتتطح‬

   ‫‪q‬‬
                       ‫‪z‬‬                             ‫‪q‬‬                          ‫موصتتتتتتل )‪ (b‬المستتتتتتألة‬
       ‫+‬
                       ‫‪q‬‬                                             ‫‪ℓ‬‬          ‫المناظرة حيتث تتم استتبدال‬
                           ‫‪h‬‬                             ‫+‬       ‫‪q‬‬              ‫الستتتطح الموصتتتل بصتتتور‬
                                                 ‫‪h‬‬
                                  ‫‪x‬‬                                       ‫‪x‬‬                    ‫هذه الشحنات.‬

                           ‫‪h‬‬                    ‫‪h‬‬
   ‫‪q‬‬                   ‫‪q‬‬                             ‫‪q‬‬
           ‫‪ℓ‬‬
                   ‫+‬               ‫)‪(b‬‬                           ‫‪q ℓ‬‬
                                                         ‫+‬



‫فتتي ضتتوء ذلتتك فتتإن الشتتكل )1-25( يبتتين ستتلكين صتتغيرين يحمتتالن تيتتاراً كهربائي تا ً‬
‫وموضوعين فوق سطح موصل وكذلك المسألة المناظرة حيث إنه قد تم استتبدال‬




                           ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                             ‫201‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                  ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫الستتطح الموصتتل بصتتورة للتيتتارات الكهربائيتتة المشتتار إليهتتا أعتتاله. يالحتتظ أن تيتتار‬
‫صتتورة الستتتلك األفقتتتي المتتتوازي للسطـتتتـح الموصتتتـل يكتتتـون باتجتتتـاه معتتتـاكس للتيتتتـار‬
‫األصلـي. أمـا تيـار صتـورة الستلك العمتودي علتى الستطح الموصتل فيكتون فتي نفتس‬
‫اتجاه التيتار األصتلي. ويستتفاد متن هتذا عنتد دراستة الهوائيتات التتي تكتون موضتوعة‬
‫فتتوق ستتطح موصتتل حيتتث إن معالجتتة المستتألة المنتتاظرة (باستتتخدام نظريتتة الصتتور)‬
                                                 ‫تكون أسهل بكثير من معالجة المسألة األصلية.‬
                                                                                 ‫‪z‬‬
                              ‫‪z‬‬

                      ‫‪I‬‬                                                          ‫‪I‬‬
                                                                         ‫‪ℓ‬‬

                       ‫‪ℓ‬‬
                                     ‫‪h‬‬                                               ‫‪h‬‬
                                                       ‫‪x‬‬                                                ‫‪x‬‬
                      ‫سطح موصل‬                                       ‫سطح موصل‬

                                                     ‫)‪(a‬‬                         ‫‪z‬‬
                              ‫‪z‬‬

                      ‫‪I‬‬                                                          ‫‪I‬‬
                                                                         ‫‪ℓ‬‬


           ‫‪h‬‬           ‫‪ℓ‬‬                                                             ‫‪h‬‬

                                                 ‫‪x‬‬                                                      ‫‪x‬‬

           ‫‪h‬‬                                                                         ‫‪h‬‬
                          ‫‪I‬‬
                                                                         ‫‪ℓ‬‬
                                                                                 ‫‪I‬‬
                                                     ‫)‪(b‬‬


‫الشاااكل )1-25(:- )‪ (a‬تيتتتارات كهربائيتتتة موضتتتوعة فتتتوق ستتتطح موصتتتل )‪ (b‬المستتتائل‬
                                  ‫المناظرة حيث تم استبدال السطح الموصل بصورة لهذه التيارات.‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫301‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫من الجتدير بالتذكر أن نظريتة الصتور المتذكورة أعتاله ال تختلتف عمتا هتو معتروف‬
‫في موضوع المرايتا فتي علتم الضتوء. فتي ضتوء ذلتك فإنته يمكتن اعتبتار األستطح‬
‫الموصلة كأنها مرايا كهربائية أو بمعنى أعم هي مرايا كهرومغناطيستية. والبتد متن‬
‫التتتذكير بتتأن الضتتوء مكتتون متتن مجتتاالت كهربائيتتة ومغناطيستتية (كهرومغناطيستتية).‬
‫ويمكن استخدام هتذا التنتاظر بتين صتور المصتادر الكهربائيتة والمرايتا فتي حالتة إذا‬
‫كان المصدر موضوعا ً أمام سطحين موصلين مستويين يشكالن مع بعضهما زاويتة‬
‫مقتتتدارها ‪ ‬وهتتتذا متتتا يتتتدعى بالعتتتاكس التتتزاوي )‪ .(corner reflector‬ويعتبتتتـر‬
‫العتاكس المستتـوي حالتتـة خاصـتـة متتـن هتـذا النتتـوع حيتـث إن الزاويتتة ‪ ‬لته تكتتون‬
‫مستتاوية ‪ .180 ‬ويتتتم عتتادة اختيتتار الزاويتتة ‪ ‬ليكتتون ختتارج قستتمة ‪ 360 ‬عليهتتا‬
‫‪360 ‬‬
      ‫مساويا ً لعدد صحيح ويكون عدد الصتور الناتجتة فتي هتذه الحالتة مستاويا ً 1 ‪‬‬
 ‫‪‬‬
‫ويكون عدد المصتادر فتي المستألة المنتاظرة هتو ‪ . 360  / ‬ويتتم عتادة فتي الهوائيتات‬
                      ‫اختيار ‪ ‬لتكون ‪ 90 ‬أو ‪ 60 ‬ويبين المثال التالي العاكس الزاوي.‬


‫مثال )1-82(:- يبين الشكل )1-35( سطحين موصلين مستويين يعمالن متع بعضتهما‬
‫زاويتتة ‪(   90‬تستتمى هتتـذه الزاويتتة بزاويتتـة القمتتـة ‪ )Apex Angle‬فتتـإذا كتتان‬
‫في المستوى المنصف للزاويتة وعلتـى بعـتـد‬                   ‫هناك شحنة موجبة ‪ +q‬موضوعة‬
‫‪ x = a‬من الخط الممثل لتقاطتـع الستطحين (محتور ‪ ،)z‬فأوجتد المجتال الكهربتائي‬
                          ‫‪ E‬في كل مكان (افترض أن السطحين يمتدان إلى ما النهاية).‬


                                                                                             ‫الحـــل:-‬
‫متتتن المعلتتتوم أن ‪ E‬ستتتيكون (فتتتي المستتتألة األصتتتلية) مستتتاويا ً للصتتتفر فتتتي المنطقتتتة‬
‫‪ 45     45‬حيث إن األسطح الموصلة ستعمل على حجب آثتار ‪ q‬فتي هتذه‬
‫المنطقة، وسيكون من السهل معالجتة هتذه المستألة بحتل المستألة المنتاظرة والتتي تتم‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫401‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫يقتع علتى‬   ‫استنتاجها باستخدام نظرية الصور حيث أن هناك دائرة نصف قطرهتا ‪a‬‬
‫محيطهتتتتا أربعتتتتة مصتتتتادر كمتتتتا هتتتتو مبتتتتين فتتتتي الشتتتتكل )1-‪ (53b‬عنتتتتد 0 ‪ ‬‬
        ‫‪o‬‬


‫و ‪   90‬و ‪   180 ‬و ‪ .   270 ‬يتتتتم إيجتتتاد المجتتتال الكهربتتتائي عنتتتد أى‬
‫نقطتتة عبتتر استتتخدام المجمتتوع االتجتتاهي للمجتتاالت الكهربائيتتة الناتجتتة متتن الشتتحنات‬
                                                                               ‫األربع وذلك كما يلي:-‬

                                          ‫)‪(r,,‬‬                        ‫‪z‬‬

                      ‫4‪z r‬‬
                                                             ‫‪‬‬                          ‫‪‬‬
                                          ‫2‪r‬‬
                        ‫1‪r‬‬           ‫3‪r‬‬
                                                                                                   ‫السطحين‬
                                 ‫+‬
                                     ‫‪q‬‬                                                             ‫الموصلين‬
 ‫‪q‬‬                      ‫‪r‬‬
                                               ‫‪y‬‬                                                              ‫‪y‬‬
                             ‫‪a‬‬             ‫‪q‬‬
                                                                                ‫‪=90o‬‬
            ‫+‬                                      ‫‪‬‬
            ‫‪q‬‬                                                            ‫‪a‬‬
                                                                        ‫‪+q‬‬                           ‫‪‬‬
       ‫‪x‬‬
                                                                                            ‫‪‬‬
                                                        ‫‪‬‬
                                                                               ‫‪‬‬
                                                                        ‫‪x‬‬


                  ‫)‪(b‬‬                                                    ‫)‪(a‬‬


‫الشكل )1-35(:- العاكس الزاوي لزاوية قمة ‪   90 ‬بوجود شحنة موجبة ‪ q C‬على بعتد‬
        ‫‪ a‬من محور ‪ (a) z‬المسألة األصلية )‪ (b‬المسألة المناظرة باستخدام نظرية الصور.‬


        ‫‪q‬‬       ‫‪r‬‬    ‫‪r‬‬  ‫‪r‬‬   ‫‪r ‬‬
‫‪E‬‬              ‫‪ 1  2  3  4‬‬
      ‫0‪4  ‬‬        ‫3‬  ‫3‬  ‫3‬   ‫3‬
                ‫‪ r1 r2 r3 r 4 ‬‬
                ‫‪‬‬               ‫‪‬‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                          ‫501‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




        ‫‪q‬‬      ‫‪‬‬         ‫‪r ar  a ax‬‬
  ‫‪‬‬            ‫2 ‪‬‬
      ‫0‪4  ‬‬   ‫)‪ (r  a  2 r a sin  cos ‬‬
                       ‫2‬                     ‫2 /3‬


                      ‫‪r ar  a a y‬‬                                  ‫‪r ar  a ax‬‬
    ‫‪‬‬                                                ‫‪‬‬
        ‫)‪(r  a  2 r a sin  sin ‬‬
          ‫2‬      ‫2‬                            ‫2 /3‬
                                                         ‫2 / 3 )‪(r  a  2 r a sin  cos ‬‬
                                                           ‫2‬    ‫2‬


                      ‫‪r ar  a ax‬‬
    ‫‪‬‬
        ‫2 / 3 )‪(r 2  a 2  2 ra sin  cos ‬‬

                      ‫‪r ar  a ay‬‬             ‫‪‬‬
    ‫‪‬‬                                         ‫‪‬‬                ‫‪V/m‬‬
        ‫‪(r 2  a 2  2 r a sin  sin ) 3 / 2 ‬‬

‫يتتتتم تطبيتتتق العالقتتتة األخيتتترة فتتتي المتتتدى ‪ 0    ‬و ‪  45    45‬فقتتتط.‬
‫ويمكن إيجاد المجال الكهربائي العمودي علتى الستطحين ‪    45‬وبالتتالي إيجتاد‬
                                                                    ‫الكثافة السطحية للشحنات ‪.  s‬‬


‫تتم فيمتا ستبق اعتبتار األستطح المستتوية، أمتتا فتي حالتة األستطح غيتر المستتوية فيتتتم‬
‫إيجتتاد المجتتال الكهربتتائي‬      ‫تطبيتق نظريتتة الصتتور كمتتا يبتتين المثتتال التتالي التتذي ينتتاق‬
‫‪ a‬علمتا ً بتان‬       ‫لشحنة كهربائيتة ‪ +q‬واقعتة متثالً أمتام كترة موصتلة نصتف قطرهتا‬
‫هتتذه الكتتترة مؤرضتتة. ويبتتتين الشتتتكل )1-45( كتتالً متتتن المستتألة األصتتتلية والمستتتألة‬
‫كتذلك‬     ‫وإنمتا 1‪q‬‬      ‫المناظرة ويالحتظ هنتا أن صتورة الشتحنة لتن تكتون مستاوية ‪q‬‬
‫فتتإن بعتتدها عتتن ستتطح الكتترة ال يستتاوي بعتتد المصتتدر األصتتلي عتتن ستتطح الكتترة‬
‫الموصتتل. ومتتن المرايتتا والعدستتات المحدبتتة فتتي علتتم الضتتوء فتتإن صتتورة المصتتدر‬
‫ستكون في مركز الكرة إذا كان هذا المصدر موضوعا ً في الالنهاية (بعيداً جداً عن‬
‫الكتترة) أمتتا إذا كتتان المصتتدر يالصتتق ستتطح الكتترة فتتإن صتتورته ستتتكون أمامتته‬
‫مباشرة. بالتالي فإن مواقتع المصتدر فتي المتدى ‪ a  r  ‬ستتتحول إلتى مواقتع‬
‫للصورة في المدى 0 ‪ . a  r ‬وبما أن جهد الكرة يساوي صتفراً فإنته يتتم اعتبتار‬
                         ‫النقطتين 1 و 2 حيث إن 2‪ ، V1  0  V‬فمن النقطة )1(‬




                        ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫601‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                    ‫‪q‬‬                ‫1‪q‬‬
‫‪V1  0 ‬‬                     ‫‪‬‬
             ‫)‪4   0 (b  a ) 4   0 (a  d‬‬
                                                                               ‫‪q‬‬      ‫‪q‬‬
                                                 ‫، ومن النقطة )2(‬                 ‫أو 1 ‪ ‬‬
                                                                              ‫‪ba‬‬    ‫‪a d‬‬
                      ‫‪q‬‬                 ‫1‪q‬‬
‫‪V2  0 ‬‬                        ‫‪‬‬
               ‫) ‪4   0 ( b  a ) 4   0 (a  d‬‬
                                                                           ‫‪q‬‬     ‫‪q‬‬
                       ‫، وبالتالي يمكن إيجاد ‪ d‬و 1‪ q‬كما يلي:-‬                 ‫1 ‪‬‬                  ‫أو‬
                                                                          ‫‪ba‬‬   ‫‪ad‬‬
   ‫2‪a‬‬
‫‪d‬‬             ‫‪m‬‬                                                                            ‫)1-‪(76a‬‬
   ‫‪b‬‬
          ‫‪qa‬‬
‫‪q1  ‬‬             ‫‪C‬‬                                                                       ‫)1-‪(76b‬‬
           ‫‪b‬‬
                                                                       ‫0=‪V‬‬



                          ‫‪b‬‬
                                                                 ‫‪d‬‬

     ‫+‬
                                             ‫1‬                                                 ‫2‬
     ‫‪q‬‬                                                      ‫1‪q‬‬


                                                                 ‫‪a‬‬




‫الشكل )1-45(:- شحنة ‪ +q‬موضوعة أمام كرة موصلة مؤرضتة وعلتى بعتد ‪ b‬متن‬
‫المركتتز وتتتم بيتتان المستتألة المنتتاظرة متتن ختتالل صتتورة الشتتحنة ‪ q‬وهتتي 1‪( q‬غيتتر‬
                                 ‫معروف) ومكانها على بعد ‪( d‬غير معروفة) من المركز.‬




                       ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫701‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                                            ‫المسائل‬
‫‪ 1 n C‬و ‪ 2 n C‬و ‪ 3 n C‬موضتوعة‬                        ‫1-1 :- إذا كتان هنتاك ثتالث شتحنات‬
‫علتى المحتور ‪ x‬عنتد النقتاط التاليتة )0 ,0 ,1( و )0 ,0 ,2( و )0 ,0 ,3( علتى‬
‫التوالي:- )‪ (i‬أوجد المجال الكهربائي الناتج عن هـذه الشحنات عنتـد النقطتـة )0 ,0 ,0( ‪. p‬‬
‫)‪ (ii‬أوجتتد الجهتتد الكهربتتائي عنتتد النقطتتة ‪ (iii) .p‬أوجتتد النقطتتة التتتي يكتتون عنتتدها المجتتال‬
‫الكهربتتائي يستتاوي صتتفراً. )‪ (iv‬أوجتتـد القتتوة المتتؤثرة علتتى الشتتحنة ‪ 4 n C‬إذا كانتتت‬
‫موضوعة عند النقطة )0 ,0 ,0( وإذا كانتت موضتوعة عنتد النقطتـة )0 ,0 ,4( متن ترتيتب‬
                                                                      ‫الشحنات المشار إليها أعاله.‬


‫1-2 :- تم ربط شحنتين متساويتين وشحنة كل منها تساوي ‪ q C‬بخيطين طول كل خيط‬
‫‪ L‬من نقطة واحدة. فإذا كان وزن كل شحنة ‪( m kg‬أهمل وزن الخيطين) فأوجد الزاوية‬
                                               ‫التي يشكلها الخيطان بين بعضهما عند االستقرار.‬


‫1-3 :- إذا وضتعت ستت شتحنات متستاوية ‪ q C‬عنتد كتل حافتة متن حتواف مكعتب طتول‬
‫ضتلعه ‪ .L m‬أوجتد القتوة المتؤثرة علتى كتل شتحنة متن هتذه الشتحنات والقتوة المتؤثرة علتى‬
                                                      ‫شحنة ‪ q1 C‬الموضوعة في مركز المكعب.‬


‫1-4 :- وضع سلك ، طتول ‪ ،L‬مشتحون بكثافتة شتحنة خطيتة ‪  L C / m‬علتى المحتور ‪z‬‬
‫متتن النقطتتة )0 ,0 ,0( وحتتتى النقطتتة )‪ .(0, 0, L‬أوجتتد المجتتال الكهربتتائي ‪ E‬والجهتتد‬
                                ‫الكهربائي ‪ V‬عند النقطة )0 ,‪ (0, d‬أو عند النقطة )0 ,‪.(r, ‬‬


‫وكانتت كثافتة الشتحنات الخطيتة عليهتا‬     ‫‪a‬‬       ‫1-5:- إذا كانتت هنتاك حلقتة نصتف قطرهتا‬
‫‪ .  L C / m‬وإذا كانتتت الحلقتتة موضتتوعة فتتي المستتتوى ‪ xy‬ومركزهتتا عنتتد نقطتتة األصتتل‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                       ‫801‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                            ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫فأوجتد المجتال الكهربتائي ‪ E‬والجهتد الكهربتائي ‪ V‬عنتد نقطتة ‪ z‬علتى المحتور )‪(0, 0, z‬‬
                                                                             ‫وكذلك عند نقطة األصل.‬


‫1-6:- إذا كتتان هنتتاك قتترص نصتتف قطتتره ‪ a‬مشتتحون بكثافتتة شتتحنة ستتطحية 2‪S C / m‬‬
‫وموضوع في المستوى ‪ xy‬ومركزه عند نقطة األصل. أوجد المجال الكهربائي ‪ E‬والجهد‬
                                                             ‫الكهربائي ‪ V‬عند النقطة ) ‪.(0, 0, z‬‬


‫1-7:- إذا كانت كثافة ا لشحنات الحجمية في وسط سماحيته ‪  0 F / m‬ومحدد بتالكرة‬
‫‪ r  a‬هي 3‪ 0 C / m‬فأوجد المجال الكهربائي ‪ E‬وكثافة الفتيض الكهربتائي ‪ D‬والجهتد‬
                                                        ‫الكهربائي ‪ V‬في كل مكان ‪. 0  r  ‬‬


‫1-8: - إذا كانت كثافتة الشتحنات الحجميتة فتي كترة نصتف قطرهتا ‪ a‬وستماحيتها ‪ o F / m‬‬
‫هو 3‪ ، K r C / m‬فأوجد المجال الكهربائي ‪ E‬وكثافتة الفتيض الكهربتائي ‪ D‬والجهتد‬
                                                        ‫الكهربائي ‪ V‬في كل مكان ‪. 0  r  ‬‬


‫1-9:- إذا كـان هنـاك غالف كروي موصل نصف قطـره ‪ a‬وتتـم شحنتـه بشحنتـة كليـتـة ‪q C‬‬
‫ووضع في الفراغ الحر فأوجد ‪ E‬و ‪ D‬و ‪ V‬في كل مكان ‪ . 0  r  ‬كذلك أوجتد مواستعة‬
                                                                             ‫هذه الغالف الكروي ‪.C‬‬


‫1-01: - إذا تم وضع الغالف المشتحون المشتار إليته فتي المستألة 1-9 فتي غتالف كتروي‬
‫موصـل وغيـر مشحون ونصــف قطــره ‪ b > a‬فأوجد ‪ E‬و ‪ D‬و ‪ V‬فـي كتـل مكتـان‬
‫‪ . 0  r  ‬كتتذلك أوجتتد ‪ C‬لهتتذا الترتيتتب. أعتتد حتتل المستتألة )1-01( عنتتدما يتتتم تتتأريض‬
                                                                        ‫الغالف الكروي الخارجي.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫901‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                           ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫1-11 :- إذا كان هناك مواسع ذو اللوحين المتوازيين ومساحة كل لوح 2‪A m‬‬
‫والمسافة بين اللوحين ‪ d‬وتم استخدام مادة (أو مواد عازلة) لفصل اللوحين عن‬
‫بعضهما وذلك كما هو مبين في الشكل )1-55( وذلك كما يلي:- )‪ (a‬استخدام الهواء‬
‫(سماحية ‪ (b) .)  0 F / m‬استخدام مادتين عازلتين يتم وضعهما جنبا ً إلى جنب.‬
‫)‪ (c‬استخدام مادتين عازلتين يتم وضعهما فوق بعضهما البعض. )‪ (d‬استخدام مادتين‬
 ‫عازلتين موضوعتان فوق بعضهما البعض بشكل انزالقي كما هو مبين في الشكل.‬
‫إذا كانت فولطية اللوح العلوي ‪ V0 V‬وتم تأريض اللوح السفلي، فأوجد في كل‬
                                                                                      ‫حالة ما يلي:-‬
‫)‪ (ii‬إيجاد كثافة الشحنات السطحية الحرة على كل لوح من‬                    ‫)‪ (i‬مواسعة هذا المواسع.‬
‫لوحي المواسع. )‪ (iii‬إيجاد كثافة الشحنات السطحية المقيدة على كل سطح من أسطح المواد‬
‫العازلة (الموازية أللواح المواسع) المذكور في البندين ‪ b‬و ‪ c‬أعاله. (أهمل االنحناءات في‬
                                                                        ‫خطوط المجال الكهربائي).‬

                 ‫2‪A‬‬         ‫1‪A‬‬                                                  ‫مساحة اللوح ‪A‬‬
     ‫0‪V‬‬                                                   ‫0‪V‬‬
     ‫‪V‬‬                                                    ‫‪V‬‬

            ‫2‪‬‬               ‫1‪‬‬                                         ‫‪o‬‬                    ‫‪d‬‬

                 ‫‪0V‬‬                                                ‫‪0V‬‬
                      ‫)‪(b‬‬         ‫مساحة ‪A‬‬                               ‫)‪(a‬‬         ‫مساحة ‪A‬‬
     ‫0‪V‬‬                                                  ‫0‪V‬‬
     ‫‪V‬‬                                  ‫2‪d‬‬               ‫‪V‬‬
                                                                        ‫2‪‬‬
           ‫2‪‬‬                                        ‫‪d‬‬
                                             ‫‪d‬‬                                                ‫‪d‬‬
                             ‫1‪‬‬                      ‫2‬
                                                                        ‫1‪‬‬
   ‫1‪d‬‬
                                                     ‫‪d‬‬
                                                     ‫1‬
                  ‫‪0V‬‬                                                 ‫‪0V‬‬
                    ‫‪L‬‬
                     ‫)‪(d‬‬                                                      ‫)‪(c‬‬


‫الشكل )1-55(:- مواسع اللوحين المتوازيين )‪ (a‬باستخدام الهواء كمادة عازلة )‪ (b‬مادتين‬
                ‫بجانب بعضهما )‪ (c‬مادتين فوق بعضهما )‪ (d‬مادتين منزلقتان فوق بعضهما.‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫011‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫1-21:- فتتي المستتألة )1-01( إذا كانتتت شتتحنة الغتتالف التتداخلي ‪ 10 nC‬ونصتتف‬
‫فأوجتد أقتل نصتف قطتر للغتالف التداخلي‬                ‫قطر الغتالف الختارجي ‪b = 10 cm‬‬
‫قبتتل ان يحتتدث انهيتتار للوستتط بتتين الغالفتتين (الوستتط هتتو الهتتواء ويحتتدث انهيتتاره‬
‫عنتتدما يكتتون ‪ ) E  30 K V / cm‬؛ أوجتتد كثافتتة الشتتحنات الستتطحية علتتى كتتل متتن‬
                                                                         ‫الغالفين في هذه الحالة.‬


‫1-31:- إذا كتان هنتاك كرتتان موصتلتان نصتف قطتـر أحتدهما ‪ a‬ونصتف قطتـر‬
 ‫‪ 10a‬فتإذا وضتعتا بعيتداً عتن بعضتهما ووصتلتا بستلك طويتل ورفيتع‬                           ‫األخترى‬
‫وتتم وضتع شتحنة مقتدارا ‪q C‬‬               ‫وموصتل بحيتث ال تتتأثر الكرتتان ببعضتهما،‬
‫علتى الستطح‬      ‫وأوجتد ‪D‬‬       ‫على أحـد هاتيـن الكرتيتـن فأوجتـد شحنـتـة كـتـل كترة‬
                                                                              ‫الخارجي لكل كرة.‬


‫1-41 :- يبين الشكل )1-65( خط نقل طويل على شكل كابل محتوري نصتف قطتر‬
‫حيتتث ‪ c > b‬فتتإذا‬       ‫موصتتله التتداخلي ‪ a‬ونصتتف قطتتر موصتتله الختتارجي ‪ b‬و ‪c‬‬
‫كانت المتادة (أو المتواد) العازلتة التتي تفصتل بتين الموصتلين هتي كمتا يلتي :-‬
‫)‪ (a‬الهتتتواء )‪ (b‬متتتادتين عتتتازلتين األولتتتى بستتتماحية ‪ 1 F / m‬للمتتتدى ‪0    ‬‬
‫)‪ (c‬متتادتين عتتازلتين األولتتى بستتماحية‬         ‫والثانيتتة ‪  2 F / m‬للمتتدى ‪    2 ‬‬
‫‪ 1 F / m‬للمتتدى ‪ 0    d‬والثانيتتة بستتماحية ‪  2 F / m‬للمتتدى ‪. d    b‬‬
            ‫إذا كان جهد الموصل الداخلي ‪ V0 V‬وجهد الموصل الخارجي صفراً فأوجد:-‬
‫)‪ (i‬مواستتعة هتتذا الكابتتل ‪ C‬لكتتل وحتتدة طتتول لكتتل واحتتدة متتن الترتيبتتات الستتابقة.‬
‫كثافة الشحنات الخطيتة الحترة علتى ستطح الموصتل التداخلي والختارجي.‬                              ‫)‪(ii‬‬
‫إذا تم، في الفترع ‪ a‬أعتاله، تثبيتت نصتف قطتر الموصتل الختارجي فأوجتد‬                           ‫)‪(iii‬‬
‫قيمتة نصتف قطتر الموصتل التداخلي التتي تجعتل قيمتة المجتال الكهربتائي عنتد ستتطح‬
‫الموصل الداخلي أدنى ما يمكن (فرق الجهد بتين الموصتل التداخلي والختارجي ثابتتة‬
                                                            ‫وتساوي ‪.) V0 V‬‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫111‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                            ‫الموصل الخارجي‬                         ‫الموصل الخارجي‬

              ‫2‪‬‬
                                                   ‫1‪‬‬
                       ‫1‪‬‬                                          ‫‪‬‬
                 ‫‪a‬‬          ‫‪d‬‬                           ‫‪a‬‬                                ‫‪a‬‬

                                               ‫‪b‬‬
                                                              ‫2‪‬‬
                                                                                    ‫‪b‬‬         ‫0‪‬‬
                                                        ‫‪c‬‬                                 ‫‪c‬‬
             ‫‪b‬‬

                 ‫)‪(c‬‬                                    ‫)‪(b‬‬                             ‫)‪(a‬‬


‫الشكل )1-65(:- الكابتل المحتوري بترتيبتات مختلفتة للوستط بتين الموصتلين )‪(a‬‬
‫باستتتتتتتخدام الهتتتتتتواء )‪ (b‬باستتتتتتتخدام متتتتتتادتين عتتتتتتازلتين للمتتتتتتدى ‪ 0    ‬و‬
   ‫‪ (c)     2 ‬باستخدام مادتين عازلتين للمدى ‪ 0    d‬و ‪. d    b‬‬


‫1-51:- أوجد مقاومة التسريب ، لكل وحدة طول، بين الموصل الداخلي والختارجي‬
‫لكابل محوري نصف قطره التداخلي ‪ a‬ونصتف قطتر موصتله الختارجي ‪ b‬علمتا ً‬
  ‫بتتتأن الوستتتط العتتتازل بتتتين الموصتتتلين لتتته موصتتتلية 1‪( d ( m) ‬إهمتتتل مقاومتتتة‬
                                                                         ‫الموصلين الداخي والخارجي) .‬


‫1-61:- أوجتتتد المقاومتتتة بتتتين غالفتتتين كتتترويين موصتتتلين التتتداخلي بنصتتتف قطتتتر ‪a‬‬
‫والختتتتارجي بنصتتتتف قطتتتتر ‪ b‬إذا كانتتتتت موصتتتتلية المتتتتادة العازلتتتتة بينهمتتتتا هتتتتي‬
                                                                                   ‫1‪.  ( m) ‬‬


‫1-71:- أوجتتد مقاومتتة ستتلك موصتتل نصتتـف قطـتتـره ‪ 1 mm‬لكتتل وحتتدة طتتول إذا كتتان‬
‫مصتتتنوعا ً متتتن المتتتواد التاليتتتة:- )‪ (a‬نحتتتاس وموصتتتليته 1‪(b) .   5.7  10 7 ( m) ‬‬
‫ألومنيتتتتتتتتتتوم وموصتتتتتتتتتتليته 1‪ (c) .   3.5  10 7 ( m) ‬جرمتتتتتتتتتتانيوم وموصتتتتتتتتتتليته‬
   ‫1‪ (d).   2.3 ( m) ‬مادة عازلة مثل الزجاج وموصليتها 1‪.   10 12 ( m) ‬‬




                            ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                       ‫211‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫1-81:- أوجد القوة لكل وحدة طول بين سلكين موصلين كتل بنصتف قطتر ‪ ، a‬صتغير جتداً ،‬
‫يحمالن تيارين متساويين ومتعاكسين ويسريان بنفس االتجاه علما ً بان المسافة بين الموصتلين‬
                                                   ‫هي ‪ d‬ونفاذية الوسط هي ‪.  0 H / m‬‬


‫1-91:- أوجتتد المجتتال المغناطيستتي ‪ H‬وكثافتتة الفتتيض المغناطيستتي ‪ B‬الناتجتتة عتتن‬
‫حلقـتتـة مستطيلـتتـة ‪ a  b‬يمتتر فيهتتا تيتتار ‪ I A‬بعكتتس اتجتتاه دروان عقتتارب‬
‫الستتتاعة ‪ ، CCW‬علمتتتا ً بتتتأن هـتتتـذه الحلقـتتتـة موضوعـتتتـة فتتتـي المستتتتـوى ‪x y‬‬
 ‫ومركزها عــند نقطة األصل وذلـك عنـد نقطــة )‪ (0, 0, z‬تقع على محور ‪.z‬‬


‫1-02 :- إذا كانتتتت كثافتتتة التيتتتار المتتتار فتتتي موصتتتل أستتتطواني طويتتتل هتتتي‬
‫اتجتتتاه محتتتوره. أوجتتتد المجتتتال‬ ‫2 ‪ J z    A / m‬للمتتتدى ‪ 0    a‬فتتتي‬
                                                        ‫و ‪ B‬في كل مكان.‬            ‫المغناطيسي ‪H‬‬


‫1-12:- يسري تيار ‪ I A‬في مثلث متستاوي اإلضتالع طتول ضتلعه ‪ 2a‬أوجتد ‪H‬‬
                                                                               ‫و ‪ B‬في مركزه.‬


‫في مركز‬        ‫وكثافة الفيض المغناطيسي ‪B‬‬               ‫1-22:- أوجد المجال المغناطيسي ‪H‬‬
‫حلقة مربعة مساحتها‬          ‫2‪(ii) .A m‬‬         ‫الحلقات التالية:- )‪ (i‬حلقة دائرية مساحتها‬
‫2‪ (iii) .A m‬حلقة مستطيلة أطوال أضالعه هي ‪ b‬و ‪ 2 b‬ومساحتها 2‪ .A m‬علما ً‬
     ‫بأن هذه الحلقات تحمل تياراً في اتجاه دوران عقارب الساعة ‪ CW‬مقداره ‪.I A‬‬


‫1-32:- يبين الشكل )1-75( سلك موصل طويل موضوع على طول المحور ‪ z‬ويحمل‬
‫تياراً مقداره ‪ I1 A‬وتم وضع حلقة مستطيلة ) 2 ‪ ( L1  L‬أمـام هذا السلك يمر فيها تيار‬
‫مقداره ‪ I2 A‬ويبعد مركزها عن السلك مسافة 2 / 1‪ d  L‬وبالتالي أوجد:- )‪ (i‬القوة ما‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫311‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                                 ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫بين السلك والحلقة. )‪ (ii‬كمية الفيض المغناطيسي الناتج من التيار 1‪ I‬والذي يمر في الحلقة‬
                                      ‫المذكورة أعاله. )‪ (iii‬الحاثية التبادلية 21‪ L‬بين هاتين الدارتين.‬
            ‫‪z‬‬


                                      ‫1‪L‬‬

                                                           ‫الشكل )1–75(:- سلك يحمل تياراً‬
       ‫1‪I‬‬                  ‫2‪I‬‬                   ‫2‪L‬‬
                                                                    ‫1‪ I‬أمام حلقة تحمل تياراً 2‪.I‬‬

   ‫‪x‬‬                                                       ‫‪y‬‬

                  ‫‪d‬‬




‫1-42:- يبين الشكل )1-85( موصل أسطوانى نصف قطره ‪ a‬وعمل به ثقب بعيداً عن‬
‫محوره وموازياً لمحور الموصل بنصف قطر ) ‪ . b ( a‬فإذا كانت كثافة التيار السطحي‬
‫المار في هذا الموصل هو 2‪ . J z  J 0 A / m‬أوجد المجال المغناطيسي ‪ H‬وكثافة الفيض‬
                                           ‫المغناطيسي ‪ B‬عند أي نقطة داخل الثقب وعند النقطة ‪.p‬‬

                                  ‫‪y‬‬




                      ‫‪J‬‬
                                            ‫‪b‬‬
                                                                         ‫‪x‬‬
                      ‫‪z‬‬
                                                                   ‫‪P‬‬

                                                           ‫الشااكل )1-85(:- موصتتل إستتطواني بتته‬
                      ‫‪a‬‬
                                                           ‫ثقتتتب ويستتتري فيتتته تيتتتار باتجتتتاه االمحتتتور‬
                                                                                              ‫‪. J  J0 az‬‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫411‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                             ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




‫1-52:- أوجد محاثة ملف حلزوني عدد لفاته 001 لفه ونصف قطتره ‪ 10 mm‬وطولته 06‬
                                                                        ‫‪ cm‬علما ً بأن قلبه من الهواء.‬


‫1-62:- أوجتـد محاثتة ملتف حلقتي عتدد لفاتتته 001 لفته ونصتف قطتر حلقتته ‪10 cm‬‬
‫ومستتاحة مقطعتته 2‪ 5 cm‬علم تا ً بتتأن قلبتته متتن متتادة حديدي تة نفاذيتهتتا النستتبية 0001 ‪ r ‬‬
                                     ‫(الحظ الفرق بين محاثة هذا الملف ومحاثة الملف الحلزوني).‬


‫1-72:- أوجتتد محاثتتة كابتتل محتتوري طويتتل لكتتل وحتتدة طتتول إذا كتتان نصتتف قطتتر‬
‫موصله الداخلي ‪ a‬أما موصله الخارجي فإن نصف قطره الداخلي ‪ b‬ونصف قطتره‬
‫الخارجي ‪ c‬علما ً بأن ‪ . c  b‬افترض أن نفاذية الموصلين والوسط الفاصل بينهما‬
                                                                                 ‫هي ‪.  0 H / m‬‬


‫1-82:- إذا كان هناك حلقتان موصلتان إحتداهما بنصتف قطتر ‪ a‬موضتوعة فتي‬
‫المستوى ‪ xy‬ومركزها عنتد نقطتة األصتل والثانيتة موضتوعة موازيتة للمستتوى‬
‫‪ xy‬ومركزها على محور ‪ z‬عند النقطة )‪ (0, 0, h‬فإذا كان نصف قطتر‬
‫الحلقة الثانية ‪ b‬وكانت ‪ a > b‬وكذلك ‪ h  a‬فأوجد المحاثة التبادلية بتين‬
                                                                                      ‫هاتين الحلقتين.‬


‫1-92:- يبتتين الشتتكل )1-95( ملتتف عتتدد لفاتتته 001 لفتته ملفتتوف علتتى قلتتب‬
‫حديدي مستاحة مقطعته 2‪ 5 cm‬ونفاذيتته ‪   1000  0 H / m‬وبته فجتوة‬
‫كثافتتتة فتتتيض‬       ‫التتتالزم إلنتتتتاج‬   ‫‪I‬‬    ‫أوجتتتد التيتتتار‬   ‫طولهتتتا ‪. 2.5 mm‬‬         ‫هوائيتتتة‬
‫فتتي هتتذه الفجتتوة. أهمتتل انحتتراف خطتتوط‬                 ‫مغناطيستتي مقتتدارها 2 ‪0.5 Wb / m‬‬
                                                                     ‫المجال المغناطيسي في الفجوة.‬




                         ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫511‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                              ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




            ‫‪I‬‬

                                         ‫001‬




                                                                                              ‫‪15 cm‬‬
                                          ‫لفة‬                   ‫‪2.5 mm‬‬



  ‫مساحة مقطعه 2‪5 cm‬‬



                                         ‫‪10 cm‬‬                        ‫‪10 cm‬‬

                ‫الشكل )1-95(:- ملف عدد لفاته 001 لفه حول قلب حديدي به فجوة حديدية.‬


‫1-03:- إذا دختتتل إلكتتتترون بستتترعة ابتدائيتتتة مقتتتدارها ‪ v 0  10 7 a x m / s‬بتتتين لتتتوحي‬
‫مواسع فرق الجهد بين لوحيه هو ‪ 100 V‬كما هو مبتين فتي الشتكل )1-06(. فتإذا كتان لوحتا‬
‫المواسع على شكل مربع ‪ 5 cm  5 cm‬وكانتت المستافة بتين اللتوحين ‪ 1 cm‬فحتدد مستار‬
                               ‫هذا اإللكترون وبالتالي انحرافه في اتجاه ‪ z‬عند النقطة ‪. x  60 cm‬‬

                                                                                                  ‫‪z‬‬
                          ‫‪z‬‬                                                                       ‫1‬

                                                   ‫مسار اإللكترون‬
                              ‫‪100 V‬‬

                                                                                                      ‫‪x‬‬
     ‫‪1 cm‬‬




                      ‫7‬
                 ‫‪10 m/s‬‬

                                 ‫‪0V‬‬
                                 ‫‪5 cm‬‬                               ‫‪55 cm‬‬
                ‫0=‪x‬‬                      ‫‪x =5 cm‬‬                                        ‫01=‪x‬‬
                                                                                        ‫‪cm‬‬

‫الشااكل )1-06(:- دختتول إلكتتترون بستترعة ابتدائيتتة ‪ v 0 a x‬فتتي مجتتال كهربتتائي محتتدد بتتين‬
                                                                                         ‫لوحي مواسع.‬




                          ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                            ‫611‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




 ‫1-13:- في المسألة السابقة إذا تتم استتبدال المواستع بملفتين ينتجتان كثافتة فتيض‬
‫مغناطيستي 2 ‪ B y  1 mWb / m‬فأوجتد مستار اإللكتترون فتي هتذه الحالتة وحتدد‬
            ‫‪ z‬عند النقطة ‪ ، x  60 cm‬أنظر الشكل )1-16(.‬                        ‫انحرافه في اتجاه‬


                                                                                                   ‫1‪z‬‬
                  ‫‪z‬‬


                       ‫‪5 cm‬‬




                                                                        ‫‪‬‬
             ‫‪y‬‬                                                                                     ‫‪x‬‬
‫‪1 cm‬‬




                                                                         ‫‪‬‬
       ‫‪107 m/s‬‬                                                                            ‫06 = ‪x‬‬
                                                                                             ‫‪cm‬‬

                 ‫‪x=0 cm‬‬           ‫2 ‪B  1 a y mWb/m‬‬



‫الشاااكل )1-16(:- دختتتول إلكتتتترون بستتترعة ابتدائيتتتة مقتتتدارها ‪ v 0  10 7 a x m / s‬فتتتي‬
                                       ‫مجال مغناطيسي كثافة فيضه 2 ‪. B  1a y m Wb / m‬‬


‫‪L‬‬      ‫ومشحون بكثافتة شتحنة خطيتة ‪C / m‬‬               ‫1-23:- إذا وضع سلك موصل رفيع‬
‫متتتن ستتتطح موصتتتل جيتتتد التوصتتتيل فأوجتتتد المجتتتال الكهربتتتائي ‪E‬‬        ‫علتتتى ارتفتتتاع ‪h‬‬
                                                                      ‫والجهد ‪ V‬في كل مكان.‬


‫1-33 : - يبتتين الشتتكل )1-26( غالفتتين مختتروطين موصتتلين، فتتإذا كانتتت زاويتتة‬
‫الداخلي 1‪ ‬و زاوية الخارجي 2 ‪ ( 2  1 ) ‬وكان جهد الخارجي صفراً والتداخلي‬
‫‪ V0 V‬فأوجتتد المجتتال الكهربتتائي ‪ E‬والجهتتد ‪ V‬بتتين هتتذين الغالفتتين (افتتترض أن‬
                                                               ‫الغالفين يمتدان إلى ما النهاية).‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                        ‫711‬
‫عبد العزيز و الكنهل‬                                                          ‫الكهرومغناطيسية اهلندسية‬




                            ‫2‪‬‬

                                     ‫1‪‬‬
                                                                    ‫‪V0 V‬‬
                          ‫هواء‬


                                                                               ‫‪0V‬‬




‫الشكل )1-26(:- غالفان مخروطتان موصتالن غيتر متصتلين جهتد أحتدهما ‪ 0 V‬واآلختر‬
                                                                                         ‫‪. V0 V‬‬


‫1-43:- يبين الشكل )1-36( شحنة موجبة ‪ +q‬موضوعة أمام سطح موصل به جزء مستو‬
‫ٍ‬
  ‫وآخر كروي أوجد المجال الكهربائي ‪ E‬والجهد الكهربائي في كل مكان في المستوى ‪.x y‬‬

                                               ‫‪y‬‬

                                                 ‫‪q‬‬


          ‫‪h>a‬‬
                                                   ‫‪a‬‬
                                                                                               ‫‪x‬‬
                                                             ‫سطح موصل‬




         ‫الشكل )1-26(:- شحنة موجبة ‪ + q‬أمام سطح موصل به جزء مستو وآخر كروي.‬
                    ‫ٍ‬




                      ‫جامعة امللك سعود ، الرياض ، اململكة العربية السعودية‬                      ‫811‬

								
To top