Get documents about "Kinematics and Transformations
Shared by: h2jzO26
-
Stats
- views:
- 52
- posted:
- 6/18/2012
- language:
- pages:
- 55
Document Sample
Kinematics سینماتیک
دکتر سعید شیری قیداری
Introduction to & فصل 1و2و3 کتاب
robotics mechanics and control
Amirkabir University of Technology
Computer Engineering & Information Technology Department
Kinematics سینماتیک
معموال مطالعه سینماتیک نقطه شروع استاندارد درس روباتیک
است.
سینماتیک عالوه بر روباتیک در سایر علوم نظیر گرافیک و انیمیشن
نیز کاربرد دارد.
سینماتیک :
عبارت است از مطالعه تحلیلی هندسه حرکت روبات :
نسبت به یک محور مختصات ثابت
نسبت به نیرو ها و یا گشتاوری که باعث حرکت میشوند
بحث سینماتیک برای روباتهای صنعتی
در بحث سینماتیک مستقیم روباتهای
صنعتی روشی ارائه میشود که موقعیت و
جهت لینک ها و ابزار روبات را
بصورت تابعی از متغیرهای مفصل ها
نسبت به محور مرجع محاسبه میکند.
برای اینکار فریمهای مختصاتی به هر
بخش از مکانیزم روبات وصل شده و
A 3-DOF Manipulator Arm سپس ارتباط بین این محورها بیان میشود.
Manipulators
بازوی روباتیک و یا روبات صنعتی از تعدادی
اتصال صلب ) (linkتشکیل میشودکه توسط
مفاصل ) (jointsبه هم متصل میشوند.
مفصل ها ممکن است چرخشی و یا رفت و بر
گشتی باشند.
برای حرکت دادن مفاصل روبات از موتور و یا
سیستم هیدرولیک استفاده میشود.
در انتهای روبات یک ابزار قرار میگیرد که بر
روی صفحه ای در مچ روبات نصب میشود.
طرح های متداول روباتهای صنعتی
SCARA Cylindrical Articulated
Spherical
Cartesian
Manipulators
Robot Configuration:
Cartesian: PPP Cylindrical: RPP Spherical: RRP
Hand coordinate:
SCARA: RRP n: normal vector; s: sliding vector;
Articulated: RRR (Selective Compliance a: approach vector, normal to the
Assembly Robot Arm)
tool mounting plate
Manipulators
روبات صنعتی با مشخصات زیر شناخته میشود:
تعداد محورها
محورهای اصلی 1-3 : که برای تعیین موقعیت بازو بکار
میروند
محورهای فرعی 4-6 : که برای جهت دادن به ابزار بکار
میروند.
محورهای اضافی 7- : nکه برای پرهیز از موقعیت های
نامطلوب بکار میروند.
درجه آزادی: )Degree of Freedom (DOF
فضای کاری: Workspace
ظرفیت بار : )Payload (load capacity
دقت و تکرارپذیری: Precision v.s. Repeatability
بحث سینماتیک برای روباتهای صنعتی
میخواهیم با در دست داشتن مختصات مفاصل روبات
مشخص کنیم که انتهای روبات در چه نقطه ای از فضا
zقرار میکیرد و چه جهتی پیدا میکند.
Given joint variables
) (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , n
y
) Y ( x, y, z, O, A, T x
?End-effector position and orientation, -Formula
بحث سینماتیک معکوس برای روباتهای
صنعتی
میخواهیم با داشتن نقطه انتهائی روبات ) (Pو
همچنین معلوم بودن جهتی که روبات باید به این
نقطه نزدیک شود) (Rمختصات مفاصل روبات را z
بگونه ای پیدا کنیم که روبات در موقعیت مورد نظر
قرار گیرد.
Position (P) & Orientation (R) of
y
the end-effector
x
) (1 , 2 , n
سینماتیک معکوس
K-1
( 1 … n) (x,y,z,x,y,z)
مثال
Forwardkinematics
y0
x0 l cos y1
x1
y0 l sin
l
Inversekinematics
x0
cos ( x0 / l )
1
بحث سینماتیک معکوس برای روباتهای
صنعتی
بحث سینماتیک معکوس سخت تر از
سینماتیک مستقیم است زیرا:
معادالت حاصله غیر خطی بوده و از اینرو
همیشه راه حل سیستماتیکی برای حل آنها
بصورت closed formوجود ندارد.
راه حل منحصر بفرد نیست.
راه حل بستگی به مشخصات روبات دارد
!2 solutions
سینماتیک مستقیم و معکوس
Joint 2
2
1 Joint 3
Joint 1
yt
Tool Coordinate Frame
zt
z11 Link 1
zw
World (Base) Coordinate Frame
xw
Link Space Tool Space
Forward K
n variables 6 variables
Inverse K
( 1 … n) (x,y,z,x,y,z)
سینماتیک روباتهای متحرک
مطالعه سینماتیک روباتهای متحرک در دو زمینه الزم است:
طراحی مناسب روبات برای انجام عمل مورد نظر
نوشتن نرم افزار کنترلی روبات ساخته شده
یک اختالف مهم بین روبات متحرک و روبات صنعتی در
اندازه گیری موقعیت است. روبات صنعتی در یک نقطه ثابت
است لذا میتوان موقعیت آنرا نسبت به این نقطه ثابت اندازه
گرفت.
کنترل موقعیت یک روبات
برای کنترل موقعیت یک روبات الزم است تا موارد زیر را
بدانیم:
مدل سینماتیکی /دینامیکی روبات
مدل تعامل بین چرخ و زمین
تعریفی از حرکت مورد نیاز:
کنترل سرعت -کنترل موقعیت
قانون کنترلی که نیازمندیهای الزم را برآورده میکند.
محور های مختصات
روباتهای صنعتی نیاز به انتقال ابزار یا قطعات در فضا دارند که الزمه
آن داشتن مختصاتی برای نشان داده موقعیت ابزار، قطعات و بدنه روبات
است.
هنگام بررسی موقعیت یک روبات معموال عالقمند هستیم که موقعیت
آنرا نسبت به یک محور مختصات مرجع بسنجیم .
در حالیکه حرکت اجزای یک روبات نظیر چرخها، محل قرار گرفتن
سنسورها، و غیره نسبت به بدنه روبات اندازه گیری میشوند.
از اینرو الزم است تا موقعیت روبات ویا اهداف دیگر را که نسبت به
موقعیت روبات اندازه گیری میشوند نسبت به محور مختصات مرجع بیان
نمود.
برای اینکار نیاز به تبدیل مختصات خواهد بود
محورهای مرجع مختصات
Joint frame
z
y
z x Tool frame
y T P
W
x
R
World frame
نامگذاری محورهای مرجع مختصات
بعلت اینکه ممکن است تعداد زیادی محور مختصات در یک
سیستم وجود داشته باشد، میتوان برای نامگذاری آنها از حروف
استفاده نمود: }{A
در اینصورت برای نشان داده
مختصات یک نقطه میتوان نام فریم
مرجع را نیز ذکر کرد:
A
برای مثال Pمختصات نقطه P
را نسبت به محور Aنشان میدهد.
The Use of Multiple Coordinate
Frames in Robotics
A very simple robot arm with one joint and one gripper. The world, camera, joint, and
gripper coordinate frames are indicated
نامگذاری محورهای مرجع مختصات
روش دیگری که برای نمایش نقاط و محور مختصات مربوطه
z بکار میرود بصورت زیر است:
P
در این روش برای هر محور از یک
y
اسم 4 حرفی استفاده میشود:
w v نام مبدا و هر یک از محورهای
Oxyz
u سه گانه
O’uvw
x
و هر بردار یا نقطه با اسامی
’O, O
محورهای مربوطه مشخص میشود.
Puvw Puvw Pxyz Pxyz
نمایش نقطه و بردار
یک نقطه در فضا با سه مقدار مربوط به تصویر بردار مربوطه در
.محورهای سه گانه مشخص میشود
Point represented in OXYZ:
Pxyz [ px , py , pz ]
T z
P
Vector represented in OXYZ: y
Pxyz px i x p y jy pz k z k
j
i x
O, O’
ضرب داخلی
یاد آوری ضرب داخلی بدلیل کاربرد ان در تبدیل مختصات
.مفید است
Let x and y be arbitrary vectors in R and be
3
the angle from x to y , then
y
x y x y cos
x
Where is the angle between the vectors and
x
is the norm.
X.Y=0 if X is perpendicular to Y.
ضرب داخلی
ویژگی های فریم مختصات متعامد
Mutually perpendicular
Unit vectors
i j 0
| i | 1
i k 0
| j | 1
k j 0
k | k | 1
j
O
i
نمایش جهت
برای اینکه بازوی روبات به نقطه Pدر شکل زیر برسد چند راه وجود
دارد؟
اگر روبات به اندازه کافی درجه
آزادی داشته باشد میتواند از جهات
مختلف به یک نقطه نزدیک شود.
اگر چه یک نقطه را میتوان با
مختصات آن در فضا نشان داد ولی
برای نشان دادن یک جسم در فضا
به جهت آن نیز نیاز داریم.
تبدیل مختصات
جسمی با محور مختصات } {Bچسبده به آن را در نظر بگیرید.
برای اینکه نقطه Pبر روی
این جسم را در مرجع
مختصات } {Aنشان دهیم
الزم است مقدار انتقال و
چرخش مرجع مختصات Bرا
نسبت به Aبدانیم
}Rotation of {B} with respect to {A
}Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A
تبدیل مختصات
حالتی را در نظر بگیرید که یک نقطه در دو
z محور منطبق بر هم نشان داده شده باشد:
P یکی محور مرجع OXYZو دیگری محور
مختصاتی که به جسم متصل شده است O’uvw
y
w
v :Point represented in O’uvw
x
P pu i u pv jv pwk w
uvw
’O, O
u
>== Two frames coincide pu px pv py pw pz
تبدیل مختصات
حال اگر جسم نسبت به محور مرجع دوران
z نماید:
P
Pxyz px i x p y jy pz k z
y
w
P pu i u pv jv pwk w
uvw
v
u
Pxyz RPuvw x
چگونه میتوان مختصات نقاط ایندو محور مختصات را به هم ربط داد؟
حالت دوران ساده
Px , Py , and Pz represent the projections of P onto
OX, OY, OZ axes, respectively
Since
P pu i u pv jv pwk w
p x i x P i x i u pu i x jv pv i x k w pw
p y jy P jy i u pu jy jv pv jy k w pw
p z k z P k z i u pu k z jv pv k z k w pw
ماتریس دوران پایه
px i x i u i x jv i x k w pu
p j i j y jv p
jy k w v
y y u
p z k z i u
k z jv k z k w pw
Pxyz RPuvw
Rotation about x-axis with z
w
1 0 0 P v
Rot( x, ) 0 C S
0 S C
y
u
را میتوان با ماتریس دوران فوق نشان داد به اندازهx دوران نسبت به محور x
ماتریس دوران پایه
Rotation about x axis with
p x 1 0 0 pu
p 0 cos p
sin v
y z
p z 0 sin
cos pw
w
P v
p x pu
p y pv cos pw sin
y
p z pv sin pw cos u
x
ماتریس های دوران پایه
به همین ترتیب میتوان ماتریس دوران نسبت به محورهای دیگر
را بدست آورد
Rotation about x-axis with
1 0 0
Rot( x, ) 0 C
S
0 S
C
Rotation about y-axis with
C 0 S
Rot( y, ) 0
1 0
S
0 C
Rotation about z-axis with
C S 0
Pxyz RPuvw Rot( z, ) S
C 0
0
0 1
ماتریس دوران پایه برای تبدیل در مرجع
مختصات دیگر
ix iu i x jv ix k w به مرجعuvw اگر ماتریس تبدیل از مرجع
R jy i u را داشته باشیم میتوان با توجه بهxyz
j y jv jy k w روابط زیر ماتریس تبدیل معکوس را بدست
k z i u
k z jv k z k w P RP
xyz .آورد
uvw
Obtain the coordinate of Puvw from the coordinate of Pxyz
Dot products are commutative!
pu i u i x i u jy iu k z px
p j i jv j y jv k z
v v x py
pw k w i x
k w jy k w k z pz
Puvw QPxyz
QR R T R R 1 R I 3 <== 3X3 identity matrix
Pxyz RPuvw
Q R 1 RT
مثال
A point auvw (4,3,2) is attached to a rotating
frame, the frame rotates 60 degree about the
OZ axis of the reference frame. Find the
coordinates of the point relative to the reference
frame after the rotation.
a xyz Rot( z,60)auvw
0.5 0.866 0 4 0.598
0.866
0.5 0 3 4.964
0
0 1 2 2
مثال
A point a xyz (4,3,2) is the coordinate w.r.t. the
reference coordinate system, find the
corresponding point auvw w.r.t. the rotated OU-V-W
coordinate system if it has been rotated 60 degree
about OZ axis.
auvw Rot( z,60)T a xyz
0.5 0.866 0 4 4.598
0.866 0.5 0 3 1.964
0
0 1 2 2
ماتریس دوران ترکیبی
اگر تعدادی دوران بدنبال هم رخ داده باشد میتوان هر دوران را با یک
ماتریس دوران مشخص نمود اما از آنجائیکه دنباله ای محدود از
ماتریس های دوران دارای خاصیت جابجائی نیستند در چنین مواقعی
:از قوانین زیر استفاده میشود
If rotating coordinate O-U-V-W is rotating about principal
axis of OXYZ frame, then pre-multiply the previous
(resultant) rotation matrix with an appropriate basic
rotation matrix
If rotating coordinate OUVW is rotating about its own
principal axes, then post-multiply the previous
(resultant) rotation matrix with an appropriate basic
rotation matrix
مثال
:ماتریس دوران عملیات زیر را بیابید
Rotation about OY axis
Rotation about OW axis
R Rot( y, ) I 3 Rot( w, ) Rot(u, )
Rotation about OU axis
C 0 S C S 0 1 0 0
0 1
0 S
C 0 0 C
S
Answer... - S 0
C 0
0 1 0 S
C
CC SS CSC CSS SC
S
CC CS
SC
SSC CS CC SSS
Pre-multiply if rotate about the OXYZ axes
Post-multiply if rotate about the OUVW axes
انتقال
حالتی که فقط مبدا دو فریم مختصات انتقال داشته باشیم. برای
مثال اگر دو مرجع مختصات } {Bو} {Aبا هم موازی باشند
خواهیمداشت:
r r r
A P B P 'A o
تبدیل مختصات
جسمی با محور مختصات } {Bچسبده به آن را در نظر بگیرید.
برای اینکه نقطه Pبر روی
این جسم را در مرجع
مختصات } {Aنشان دهیم
الزم است مقدار انتقال و
چرخش مرجع مختصات Bرا
نسبت به Aبدانیم
}Rotation of {B} with respect to {A
}Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A
حالت های خاص
Two special cases
r RB r r
A P A B P A o'
1. Translation only
Axes of {B} and {A} are
parallel A
RB 1
2. Rotation only
Origins of {B} and {A} are
coincident
r 0
A o'
نمایش همگن
برای سهولت محاسبات و ایجاد یکنواختی در آن میتوان بجای
انجام یک عمل انتقال و یک دوران مجزا هز دو را با یک
ماتریس همگن نشان داد.
اینکار با افزودن یک بعد
به ماتریس های انتقال و
دوران انجام میشود.
نمایش همگن
• Coordinate transformation from {B} to {A}
r ARB B r P Ar o '
A P
یک بعد به ماتریس ها اضافه میشود
A r P A RB r Br P
A o'
1 013 1 1 نتیجه را میتوان فقط با یک
ماتریس نشان داد
• Homogeneous transformation matrix
RB r R33 P31
A A o' Rotation
TB
A matrix
013 1 0 1 Position
vector
Scaling
نمایش همگن
حاالت خاص
1. Translation
I 33 r
A o'
A
TB
013 1
2. Rotation
A RB 031
A
TB
013 1
مثال
Translation along z-axis with h:
1 0 0 0 x 1 0 0 0 pu pu
0 1 0 0 y 0
Trans( z , h) 1 0 0 pv p v
0 0 1 h z 0 0 1 h pw pw h
0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 1
z z P
P
w y
y
w v
v
x u
h O, x
u
O, O’
O’
مثال
Rotation about the x-axis by
1 0 0 0 x 1 0 0 0 pu
0 C 0 y 0 C
S S 0 pv
Rot( x, )
0 S C 0 z 0 S C 0 p w
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
z
w
P v
y
u
x
نمایش همگن
اگر چند انتقال متوالی داشته باشیم میتوان با استفاده از قانون
زیر ماتریس های همگن انتقال مربوط به هر انتقال مجزا را در
:هم ضرب نموده و ماتریس کلی را بدست آورد
Rules:
Transformation (rotation/translation) w.r.t (X,Y,Z)
(OLD FRAME), using pre-multiplication
Transformation (rotation/translation) w.r.t (U,V,W)
(NEW FRAME), using post-multiplication
مثال
Find the homogeneous transformation matrix (T)
for the following operation:
Rotation about OX axis
Translation of a along OX axis
Translation of d along OZ axis
Rotation of about OZ axis
T Tz , Tz ,d Tx ,aTx , I 44
Answer : C S 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0
S C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 C S 0
0 0 1 0 0 0 1 d 0 0 1 0 0 S C 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
مثال
For the figure shown below, find the 4x4 homogeneous transformation
matrices i 1 Ai and 0 Ai for i=1, 2, 3, 4, 5
1 0 0 0
c nx s x a x p x 0 0 1 e c
n s a p y 0 A1
z3
F y y y 0 1 0 a d
b y3 x
3
nz s z a z p z
z5 d 0 0 0 1
0 0 0 1
x5 0 1 0 b
y5 z4 0 0 1 a d
A2
e 1
x4 y4 z2 1 0 0 0
a
x2
0 0 0 1
z1 x1 y2
z0 0 1 0 b
y1 1 0 0 e c
x0
y0
Can you find the answer by observation
0
A2
0 0 1 0
based on the geometric interpretation of
homogeneous transformation matrix? 0 0 0 1
نمایش جهت
3 R3 P31
F
0 1
ماتریس چرخش برای نمایش چرخش کامل یک جسم صلب نیاز به 9
پارامتر دارد.آیا روش ساده تری برای اینکار وجود دارد؟
? Any easy way
Euler Angles Representation
Orientation Representation
Euler Angles Representation ( , , )
Many different types
Description of Euler angle representations
Euler Angle I Euler Angle II Roll-Pitch-Yaw
Sequence about OZ axis about OZ axis about OX axis
of about OU axis about OV axis about OY axis
Rotations about OW axis about OW axis about OZ axis
Euler Angle I
w'= z
w'"= w"
v'"
v"
v'
y
u'"
u' =u"
x
Orientation Representation
Euler Angle I
cos sin 0 1 0 0
Rz sin cos 0 , Ru ' 0 cos sin ,
0 1 0 sin cos
0
cos sin 0
Rw'' sin cos 0
0 1
0
Euler Angle I
Resultant eulerian rotation matrix:
R Rz Ru ' Rw''
cos cos cos sin
sin sin
sin sin cos sin cos cos
sin cos sin sin cos sin
cos sin cos cos cos cos
sin sin cos sin cos
Euler Angle II
w'= z
w"'= w"
v"'
v' =v"
y
u"'
u"
Note the opposite u'
(clockwise) sense of the x
third rotation, .
Orientation Representation
Matrix with Euler Angle II
sin sin sin cos
cos sin
cos cos cos sin cos cos
cos sin cos cos sin sin
sin cos cos sin cos cos
cos
cos sin sin sin
Orientation Representation
Description of Roll Pitch Yaw
Related docs
Other docs by h2jzO26
haga un balance entre el grado de bondad de ajuste del modelo verosimilitud con su grado de parsimonia menor cantidad de par�metros y suficientes grados de libertad
Views: 8 | Downloads: 0
Mai 1950 Ich bin mit Robert Schuman oft zu vertraulichen Gespr�chen und bei Konferenzen der verschiedensten Arten zusammengetroffen und habe ihn kennen und sch�tzen
Views: 0 | Downloads: 0
???20????????? ????? ?????? ???????? ???? ?????? Microsoft Robotics Developer Studio
Views: 96 | Downloads: 0
