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La teoria di portafoglio: cap.7-9
• Funzioni matrice Cap.28.
• Passare dalla serie storica dei prezzi ai rendimenti:
Pt
P
rt ln
t 1
• Calcolare il rendimento medio, la varianza, usando
le funzioni di Excel: MEDIA, VAR.POP,
DEV.ST.POP, VAR, DEV.ST
COVARIANZA
• Rappresenta una misura della propensione
dei rendimenti di due attività a muoversi
insieme.
1
Cov(ra , rb )
M
t
[rat E (ra )][ rbt E (rb )]
• T=1,…M
• COVARIANZA(Matrice1;Matrice2)
CORRELAZIONE
• E’compreso tra –1 e 1.
• Correlazione(Matrice1;Matrice2)
Cov(ra , rb )
a ,b R2
a b
• Aggiungi linea di tendenza
PORTAFOGLIO
• MEDIA:
E (rP ) E (ra ) (1 ) E (rb )
• VARIANZA:
p 2 a (1 2 ) b 2 (1 )a,b a b
2 2 2
L’insieme dei portafogli
ammissibili con due titoli
• Esaminiamo il caso di correlazione = -1, 0,
1
Rendimenti Portafoglio e Correlazione tra le attività
Rendimento medio Portafoglio
5,50%
5,00%
4,50%
corr = +1
4,00%
corr = 0
3,50%
corr = -1
3,00%
2,50%
2,00%
0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00%
Sigma Portafoglio
Media e varianza di un
portafoglio con più titoli
n
• Media: E (rP ) i E (ri ) T E (r )
i 1
• Varianza: p i j ij T S
2
i j
S = matrice varianze-covarianze
• Covarianza
Cov(1,2) S2
T
portafoglio 1 e 2: 1
Matrice varianze-covarianze
• Costruire la matrice dei rendimenti addizionali:
N = titoli r11 r 1 . . . r1n r n
M = n. osservazioni . .
A . . .
. . .
r r 1 rmn r n
m1 . . .
• La matrice var-cov: AT A
S [ i , j ]
M
Cap. 9 La determinazione dei portafogli
efficienti in assenza di vendite allo
scoperto
PORTAFOGLI FATTIBILI
Portafoglio
11% NON fattibile
Rendimento medio
10% Efficiente e
envelope
portafoglio
9%
8%
7%
Fattibili, ma
6% NON efficienti
5%
Envelope , ma NON
4% efficiente
10% 30% 50% 70% 90%
Deviazione standard portafoglio
Il calcolo di due portafogli sulla
envelope
• E’ sufficiente trovare due portafogli sulla envelope
per identificare l’intera envelope.
• Tutti i portafogli sulla envelope sono dati da:
• R–c=S*z
• R = vettore E(Ri)
• c = costante arbitraria
• S = matrice varianza covarianze
• z = vettore componenti
Il calcolo di due portafogli sulla
envelope
• x = vettore componenti normalizzate
zi
xi
zi
• Scegliendo due valori differenti per c, risolviamo
i
per z e troviamo due vettori x corrispondenti a due
portafogli sulla envelope.
• z = S-1 * ( R – c )
• Calcoliamo le corrispondenti proporzioni
normalizzate xi
Il calcolo della envelope
• Calcoliamo media e sqm dei due portafogli
ottenuti.
• Costruiamo un nuovo portafoglio con pesi
e 1- nei due portafogli sulla envelope.
• Creiamo una tabella dati al variare di
della media e dello sqm del portafoglio
• Facciamo il grafico di tipo “dispersione”
La Envelope
11%
10%
w
9% y
Media
8% z
7%
x
6%
5%
q
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Sigma
Il calcolo del portafoglio di mercato:
quello per cui c = tasso risk free
La Frontiera Efficiente con la RMC
Retta del mercato dei capitali, RMC
Rendimento medio portafoglio
Portafoglio di
mercato, M
Tasso privo di rischio, rf
Deviazione standard portafoglio
Test del CAPM
• Dato un insieme di attività finanziarie (tra cui il
portafoglio di mercato), calcolare i rendimenti.
• Calcolare la media dei rendimenti ed il beta di
ciascuna attività.
• Regredire le medie sui beta:
• E(Ri)=rf+bi(E(RM)-rf)
• Si trovano così le quantità in grassetto, che
sommate devono essere uguali al rendimento
atteso del portafoglio di mercato.
Funzioni statistiche
• INTERCETTA(y_nota;x_nota)
Calcola il punto in cui una retta inteseca l'asse y
utilizzando i valori x e y esistenti. Tale punto è
basato su una retta di regressione lineare ottimale
tracciata attraverso i valori x_nota e y_nota.
• PENDENZA(y_nota;x_nota)
Restituisce la pendenza della retta di regressione
lineare tramite i valori in y_nota e x_nota.
• RQ(y_nota;x_nota)
Restituisce il quadrato del coefficiente r della retta di
regressione lineare tramite i valori in y_nota e
x_nota.
VaR
• Il VaR è la perdita che ci si aspetta venga
ecceduta con una probabilità del x% su un
periodo di T giorni
• T = orizzonte temporale
• x% = probabilità
• y = quantile = P(Yy) = x%
Distribuzione del valore Il quantile corrispondente
del portafoglio all’1% è 50,20974, quindi il
VaR all’1% è 49,79026
Distribuzione Normale Cumulata
Distribuzione di Probabilità Normale
(rappresentazione parziale per poter vedere il
Funzione di Densità
quantile corrispondente all'1%)
0,014
0,012 0,03
0,01 0,025
Probabilità
0,008 Probabilità 0,02
0,006 0,015
0,004 0,01
0,002
0,005
0
0
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270
-40 -20 0 20 40 60 80
Valori del Portafoglio
Valore del portafoglio (milioni di $)
Funzione Distrib.norm
• DISTRIB.NORM(x;media;dev_standard;cumul
ativo)
• X è il valore per il quale si desidera la
distribuzione.
• Media è la media aritmetica della distribuzione.
• Dev_standard è la deviazione standard della
distribuzione.
• Cumulativo è un valore logico che determina la
forma assunta dalla funzione. Se cumulativo è
VERO, DISTRIB.NORM restituirà la funzione di
distribuzione cumulativa, se è FALSO restituirà la
funzione massa di probabilità.
INV.NORM
• Restituisce l'inversa della distribuzione normale
cumulativa per la media e la deviazione standard
specificate.
• INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)
• Probabilità è la probabilità corrispondente alla
distribuzione normale.
• Media è la media aritmetica della distribuzione.
• Dev_standard è la deviazione standard della
distribuzione
VaR di un portafoglio
• Se disponiamo delle medie e della matrice
var-cov per le attività in portafoglio,
possiamo calcolare media e varianza del
portafoglio.
• Assumendo che i rendimenti delle attività
siano distribuiti normalmente, possiamo
calcolare il VaR del portafoglio.
Simulazione dei dati: il
bootstrapping
• Senza imporre nessuna restrizione sulla
distribuzione di probabilità dei rendimenti.
• Si supponga di disporre delle serie storiche
relative alle attività in portafoglio.
• Il bootstrapping è una tecnica di “rimpasto”
casuale dei dati: per ogni iterazione le serie
storiche vengono riordinate e viene
calcolato il rendimento di portafoglio.
CASUALE
• Restituisce un numero casuale distribuito in
maniera uniforme maggiore o uguale a 0 e
minore di 1. Ogni volta che si calcola un
nuovo foglio di lavoro viene restituito un
nuovo numero casuale.
• Sintassi: CASUALE( )
CASUALE.TRA
• Sintassi: CASUALE.TRA(minore,
maggiore)
• Minore è l'intero più piccolo restituito da
CASUALE.TRA.
• Maggiore è l'intero più grande restituito da
CASUALE.TRA.
