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GUÍA Nº1
1. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 60º y radianes. Calcule la medida
4
del tercer ángulo interior en grados sexagesimales y radianes.
2. Si ABCD es un cuadrado y C está unido con E, que es el punto medio de AD, calcule
todas las relaciones trigonométricas del ángulo ECD.
3. Si sec 27 y es un ángulo agudo, calcule el valor de las demás relaciones
7
trigonométricas de .
4. Si tg p 2 q 2 , exprese cos y cos ec en términos de p y q.
2 pq
a sen b cos
5. Si b tg a , calcule el valor de .
a sen b cos
sen cos
6. Si tg demuestre que 2 sen sen cos .
sen cos
7. El seno de un ángulo es a su coseno como 8 es a 15. Calcule el seno y el coseno de
dicho ángulo.
8. Si a cos2 b sen 2 c , demuestre que tg 2 c a .
b c
9. Exprese todas las relaciones trigonométricas en términos de cos .
x sen y sen
10. Si tg y tg , demuestre que sen x .
sen
1 x cos 1 y cos
y
11. Calcule el valor numérico de sen 60 º cos 30 º sen 60 º cos 30 º .
2 2
cot g 2 sen 2 (90 º )
12. Demuestre que tg(90 º ) cos .
cot g cos
13. Demuestre las siguientes identidades:
a) tg cot g sec cosec
b) (tg cos ec ) 2 (sen sec ) 2 1
1 1
c) 2 sec2
1 sen 1 sen
1 1
d) 1
1 sen 1 cosec 2
2
e) (sen cos ec ) 2 (cos sec ) 2 tg 2 cot g 2 7
f) sen 4 (3 2 sen 2 ) cos 4 (3 2 cos 2 ) 1
g) cos ec 2 cot g 6 1 3 cos ec 2 cot g 2
2(sen4 cos4 )
h) (tg cot g ) (tg cot g )
2 2
sen 2 cos2
i) (sen cos cos sen ) 2 (cos cos sen sen ) 2 1
j) sec2 cos ec 2 tg 2 cot g 2 sec2 cot g 2 tg 2 cos ec 2 1
14. Exprese cos(90º ) sen(180º ) sen(180º ) sen( ) en términos de sen .
15. Demuestre que tg tg(180º ) cot(90º ) tg(360º ) .
16. Si es un ángulo del segundo cuadrante tal que cos 17 , calcule el valor de las
8
otras relaciones trigonométricas de .
17. ¿Cuáles son todos los ángulos positivos, menores que 1000º, tales que tg 2 1 ?
18. Sin usar calculadora, calcule el valor numérico de sen870º y de cos1530º .
tg 205 º tg115 º
19. Si tg 25º a . Exprese en términos de a:
tg 245 º tg 335 º
20. Si es un ángulo del segundo cuadrante para el cual tg 2 , demuestre que
3
tg(90º ) cos( º ) 2 13
180
sen(270º ) cot( ) 2 13
21. Calcule el valor numérico de sen15º, sen75º y tg36º.
22. Resuelva las siguientes ecuaciones, donde la incógnita es un ángulo agudo:
a) 2 cos2 x 4 sen 2 x 3
b) (tg x 1)(tg x 3) 2 tg x
c) 4 sen3 x 2 sen 2 x 2 sen x 1 0
d) 2 cos x 2 2 3 sec x
e) tg x cot x cosecx
f) 6 tg x 5 3 sec x 12 cot x 0
23. Desde la cúspide de un faro de 80 m. De altura, se observan hacia el oeste dos botes
según ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los botes.
24. Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado en
el suelo, a 12 m. Del edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de
elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la
altura del edificio y la longitud del asta.
25. Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una
iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se
observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100
m., calcule la altura del campanario.
26. Descendiendo por una colina, inclinada en un ángulo respecto del plano horizontal,
una persona observa una piedra, situada en el plano, según un ángulo de depresión .
A mitad del descenso, el ángulo de depresión es . Demuestre que:
cot 2 cot cot
27. Demuestre la siguientes identidades:
a) sen sen( ) cos cos( ) cos
b) cos( ) cos( ) cos sen 2
2
c) cos 2 sen 2 sen 2
4 4
d) sen 2 sen 2 (120 º ) sen 2 (120 º ) 3
2
sen( ) sen( ) sen( )
e) 0
cos cos cos cos cos cos
f) cos4 cos sen 4 sen cos3 cos2 sen 3 sen 2
g) cos 6 sen 6 cos 2 (1 1 sen 2 2 )
4
h) sen 2 18 º cos 2 36 º 3
4
n sen cos
i) Si tg , demuestre que tg( ) (1 n) tg
1 n sen 2
sen 2 sen 3
j) cot
cos 2 cos3 2
sen( ) sen 4 3
k) tg
cos( ) cos 4 2
l) cos 20 º cos 40 º cos 80 º 8 1
m) sen 2 sen 2 sen 2 sen 2( ) 4 sen( ) sen( ) sen( )
n) sen10º sen 20º sen 40º sen 50º sen 70º sen80º
o) sen 2 5 sen 2 2 sen 7 sen 3
p) tg 3 tg 2 tg tg 3 tg 2 tg
1 1
q) cot 4
tg 3 tg cot 3 cot
sen 23 sen 3
r) Si 19 calcule el valor de
sen16 sen 4
s) Si , demuestre que: sen sen sen 4 sen sen cos 2
2 2
t) Si , demuestre que: sen 2 sen 2 sen 2 4 cos sen cos
28. Demuestre las siguientes identidades:
a) cos2 cos2 cos2 4 cos cos cos 1 0
cos cos cos 1
b) tg tg .
cos cos cos 1 2 2
c) sen 2 sen 2 sen 2 2 1 2 sen sen sen 2 .
2 2 2 2
d) tg tg tg tg tg tg .
e) Si , demuestre que: sen 2 sen 2 sen 2 2 sen sen cos 1
2
f) Si demuestre que:
sen( ) sen( ) sen( ) 4 sen cos cos .
g) Si tg( ) 3 tg demuestre que: sen(2 2 ) sen 2 2 sen 2 .
3
h) Calcule el valor de sen(arccos 5 ) y de cos(arctg 12 ) . 5
i) Demuestre que: arctg 4 arctg 12 arctg 43 .
1 5 32
j) Demuestre que: arctg 5 arctg 5 arctg 11 .
3 3 27
k) Demuestre que: 2 arctg 1 arctg 1 2 arctg 1 .
8 7 5 4
29. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) sen(6 x ) sen(2 x ) .
4 4
b) sen(3x ) cos(x ) .
6 3
c) cos x cos3x cos5x cos7 x 0 .
d) cos x sen x 22 .
e) tg 4 x 4 tg 2 x 3 0 .
f) sen 4 x cos 4 x 8 .
5
g) arccos x arcsen x arccos x 3 .
h) arctg x 1 arctg x 1 .
x
2
x
2 4
30. En un triángulo se conocen 45º , 105º y c 2 . Determine sus lados y sus
ángulos.
31. En un triángulo se conocen a 2 , b 1 3 y 60º . Determine sus lados y sus
ángulos.
32. Dos lados de un paralelógramo miden 5 m. Y 8 m., formando un ángulo de 40º.
¿Cuánto miden las diagonales?
33. Demuestre que el área de un triángulo está dada por: A 1 ab sen .
2
5
34. Un ángulo de un triángulo mide 45º y otro 8 radianes. Calcule la medida del tercer
ángulo en grados sexagesimales y en radianes.
35. Sea ABCD un cuadrado, y sea E el punto medio de AD. Si se unen C y D, se forma un
ECD. Calcule todas las relaciones trigonométricas de dicho ángulo.
1
36. Demuestre que, si cot x entonces x sec cosec .
x
37. Si es un ángulo del segundo cuadrante tal que sen 5 , determine las otras
3
relaciones trigonométricas de .
38. Sin usar calculadora, calcule el valor numérico del seno y el coseno de:
a) 43 b) 74 c) 173 d) 25
6
tan 41 tan 23
39. Si tan 36 a . Exprese en términos de a:
5 36 36
tan 36 tan 36
49 31
40. Exprese todas las relaciones trigonométricas de en términos de cos .
41. Calcule el valor numérico de (sen cos ) 2 (sen cos ) 2 .
3 6 3 6
42. Exprese cos( 2 ) sen( ) sen( ) sen( ) en términos de sen .
43. Demuestre que tan tan( ) ctan( ) tan(2 ) .
2
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