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					                          EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.

                                   ÍNDICE:

0. INTRODUCCIÓN.

1. DEFINICIÓN DE LÓGICA SIMBÓLICA.

2. EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.

 2.1. Conceptos y símbolos lógicos fundamentales.

    2.1.1. Proposiciones y conectores.

    2.1.2. Símbolos proposicionales y verdad.

    2.1.3. Los conectores básicos: Negación (¬), conjunción (^), disyunción (v), condicional (→) y
            bicondicional (↔).

    2.1.4. Todos los conectores monádicos y diádicos.

    2.1.5. Los conectores son funciones.

    2.1.6. La interdefinición de conectores.

    2.1.7. Unos, ceros y consistencias.

    2.1.8. Leyes de la lógica proposicional.

 2.2. La lógica proposicional como sistema formal axiomático.

    2.2.1. Lenguaje artificial, sintaxis y axiomatización.

    2.2.2. El sistema formal axiomático de Principia Mathematica.

    2.2.3. Presentación de teoremas deducidos.

 2.3. Lógica proposicional como sistema de reglas de deducción.

    2.3.1. La argumentación cotidiana.

    2.3.2. Las leyes y las reglas de deducción.

    2.3.3. Comparación entre los dos tipos de deducción.

    2.3.4. El sistema de reglas de deducción.

 2.4. Epílogo.

BIBLIOGRAFÍA.
0. INTRODUCCIÓN.

   0.1. El uso apofántico del lenguaje.

       Empleamos el lenguaje para los propósitos más variados mediante los usos más dispares: preguntar, suplicar,
ordenar, insultar, desear... y también para formular aseveraciones sobre las cosas, es decir, para exponer hechos o
describir relaciones, propiedades y situaciones.
         Preguntas, súplicas, órdenes, insultos y deseos no poseen valor de verdad. En cambio, sí poseen valor de verdad,
obligatoriamente, las aseveraciones que formulamos sobre el mundo. Al uso del lenguaje que consiste en hacer oraciones
verdaderas o falsas lo llamamos uso apofántico del lenguaje. Al discurso cuyas proposiciones tienen forzosamente un
valor de verdad, además de apofántico se le llama también: enunciativo, declarativo, representativo, indicativo,
descriptivo, asertórico, aseverativo, etc.
         A través de las oraciones enunciamos proposiciones. Al producto de ese acto lingüístico le llamamos proposición.
Al hablar de una proposición estamos hablando conjuntamente de una oración y del enunciado que en ella se expresa.
         La Lógica se interesa particularmente por los enunciados apofánticos, es decir, aquellos que formulan
proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas.

       0.2. Uso. mención y paradojas lógicas.

         ¿Qué tienen de común los tres textos siguientes?
         A) "Un famoso poeta es menos inventor que descubridor", dijo Averroes, escribe Jorge Luis Borges.
         B) Dice Hipólito en su obra Refutatio omnium haereseum: la frase "el bien y el mal son uno" fue escrita por
Heráclito.
        C) Es verdad que Valle-Inclán ha escrito: "A bordo de la Dalila, lo recuerdo con orgullo, asesiné a sir Roberto
Yones".

        Tienen de común que en todos ellos se da lo que llamaremos una estratificación del lenguaje, en todos ellos
cabe observar diferentes planos de lenguaje.
        En los tres textos hay una frase que se refiere, o lo pretende, al mundo, a la realidad extralingüística. Hay, en
segundo lugar, expresiones que no se refieren a una realidad ajena al lenguaje, sino a otras expresiones. Y, por último, hay
expresiones que se refieren a las expresiones que se refieren a los objetos.
         En rigor, por respecto a un determinado nivel de lenguaje, todos los niveles inferiores se consideran como un
único nivel.

           "Un famoso poeta es menos inventor que descubridor", dijo Averroes, escribe Jorge Luis Borges.
                            L0                                L1                L2
           Al lenguaje que empleamos para hablar acerca de otro lenguaje le llamamos Metalenguaje de este último: L1, L2,
etc.
         Al lenguaje que empleamos para hablar de los objetos del mundo le llamamos Lenguaje-objeto: L0. Hay
expresiones como: “Es verdadero” o “Es falso” que se refieren siempre a enunciados y no a cosas del mundo externo.
Tales expresiones son, por principio, metalingüísticas.
        Usamos el lenguaje, casi siempre, para referimos a los objetos del mundo, a objetos no lingüísticos. Hay veces, no
obstante, en que empleamos el lenguaje para hablar sobre el lenguaje. Por ejemplo en la Lingüística. Usamos entonces un
metalenguaje para mencionar expresiones de un lenguaje-objeto.

         Los conceptos de uso y mención son paralelos a los de lenguaje y metalenguaje.
         Usamos una palabra cuando nos servimos de ella para aludir a algo distinto de ella misma, a algo externo al
lenguaje. Mencionamos una palabra -además de usarla o usándola con ese fin- cuando nos referimos a la palabra misma,
cuando nos detenemos en ella, sin ir más allá.
         Caben tres posibilidades:
         1) Usar una palabra, es decir, usarla sin mencionarla.
         Por ej.: Las garzas no practican la autocrítica.


                                                             1
         2) Usar una palabra y mencionarla al mismo tiempo, es decir, usarla para mencionarla.
         Por ej.: "Autocrítica" es una palabra que las garzas no emplean.
         3) Mencionar una palabra sin usarla.
         Por ej.: La palabra que sirve para designar la actividad mediante la cual alguien somete a crítica sus propias ideas
o actuaciones, no figura en el vocabulario de las garzas.
        Cada vez que usamos un metalenguaje estamos empleando las expresiones de éste y a la vez mencionando las
expresiones del lenguaje-objeto de que se trate.

   0.3. Aproximación a la Semiótica.

         Llamamos Semiótica a la ciencia que se ocupa del estudio de los signos, o de los lenguajes en tanto que sistemas
de signos. La Semiótica se divide en: sintaxis, semántica y pragmática.
         La sintaxis es el estudio de las relaciones de los signos entre sí. La teoría de la construcción e identificación de
las secuencias de signos bien formadas. Es tarea propia de la sintaxis la construcción de cálculos.
         La semántica está encargada de estudiar las relaciones entre los signos y lo que éstos designan.
         La pragmática estudia las relaciones entre los elementos de un lenguaje y los sujetos que emplean ese lenguaje
como medio de comunicación.

   0.4. Elementos de un cálculo.

          Wittgenstein dijo en las Investigaciones filosóficas que el simbolismo de la química o la notación del cálculo
infinitesimal, son suburbios de nuestro lenguaje.
          Una primera distinción entre lenguajes naturales y lenguajes artificiales podría consistir en señalar que los
primeros los heredamos, mientras que los últimos los construimos. En rigor, los lenguajes naturales han sido también
construidos, sólo que a ritmo lento, a lo largo de la relación hombre- medio: su riqueza, ambigüedad e infinitud de matices
son el reflejo de la complejidad de esa relación.
          Los lenguajes artificiales también son un producto de la relación hombre-medio.
          Los cálculos son artificiales, pero no son, propiamente, lenguajes. Un cálculo es una pura estructura sintáctica,
un sistema de relaciones.

         Un cálculo se compone de lo siguiente:

         1) Un conjunto de elementos primitivos, llamados símbolos elementales. Estos símbolos elementales son las
piezas a manejar dentro del sistema. Es esencial que este conjunto de símbolos primitivos esté definido efectivamente, es
decir, que a la vista de un objeto cualquiera, se pueda decidir si tal objeto es o no miembro del conjunto en cuestión.
         Para definir un conjunto de manera efectiva hay dos modos: a) Enumerar exhaustivamente los elementos de
dicho conjunto, y b) Definir el conjunto por medio de una propiedad lo suficientemente precisa como para permitir una
decisión en el sentido indicado.
         2) Un conjunto de reglas de formación -o de construcción- que establecen cuáles son las combinaciones
correctas posibles de estos símbolos elementales. El conjunto de reglas de formación ha de proporcionar una definición
efectiva de la noción de expresión bien formada del cálculo.
         3) Un conjunto de reglas de transformación. Aplicándolas podremos transformar una combinación bien
construida de símbolos en otra combinación que resultará igualmente bien construida. El concepto de transformación ha
de ser definido efectivamente, de igual modo a como se hace con los conceptos de símbolo primitivo y expresión bien
formada del cálculo.

         Usualmente los lógicos han comparado los cálculos con los juegos, particularmente con el ajedrez. Cálculos y
juegos se parecen en que son autárquicos, en que ni unos ni otros hacen referencia a nada ajeno a ellos mismos, en que
unos y otros carecen de otra finalidad que no sea calcular o jugar. Lo esencial de un cálculo es su carácter exclusivamente
formal, su naturaleza puramente sintáctica. Un cálculo no es, por tanto, un lenguaje, en la medida en que no es un medio
de comunicación, sino un puro armazón sintáctico.



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         Podemos, no obstante, transformar un cálculo en un lenguaje. ¿Cómo?: interpretando sus símbolos, proveyendo a
sus símbolos de un significado. Nosotros entenderemos la lógica como un conjunto de lenguajes formalizados, es decir,
como un conjunto de cálculos a los que se da una interpretación en el campo de la investigación que constituye el objeto
de la lógica.
             0.5. Relaciones entre lenguaje natural (materno) y lenguaje formalizado (artificial).

        ¿Cuáles son las relaciones entre los signos constantes de la lógica y las expresiones del lenguaje ordinario? Ni
cada constante lógica corresponde a una conexión entre enunciados en el lenguaje ordinario, ni tampoco todas las
conjunciones del lenguaje ordinario tienen una traducción al lenguaje lógico. El lenguaje de la lógica es artificial y los
lenguajes artificiales son lenguajes restringidos, lenguajes con un radio de expresión corto.

         Los lenguajes naturales sirven para todo. Los lenguajes artificiales sirven a un objetivo concreto. Y esa misión
específica la cumplen con mayor exactitud que el lenguaje ordinario, cuya ambigüedad es, por otra parte, algo a celebrar
en muchos casos. La lógica tiene por objeto el estudio de la validez formal de las inferencias. El análisis lógico del
razonamiento acarrea, pues, el análisis lógico del lenguaje.
         En general, el lenguaje de una ciencia procede, por una parte, de un análisis desinteresado (es decir, objetivo, sin
prejuicios, aunque con hipótesis) de un determinado campo de objetos -el de los números, el de las transformaciones
sociales, el de los movimientos de los cuerpos celestes- y, por otra parte, de un análisis del lenguaje natural interesado en
señalar (para subsanarlas) las deficiencias expresivas del lenguaje natural respecto de ese campo de objetos, aquello que el
lenguaje natural no puede decir con la precisión requerida.

         El análisis del lenguaje que la lógica lleva a cabo es, pues, un análisis que busca en el lenguaje aquellos y sólo
aquellos elementos que sean relevantes para la validez formal de los razonamientos. La lógica analizará simplemente los
rasgos lógico-formales del lenguaje ordinario. El lenguaje lógico es, en el sentido literal del término, un lenguaje
abstracto: un lenguaje construido abstrayendo del lenguaje ordinario determinados aspectos, determinados usos,
determinados tipos de expresiones que son relevantes desde el punto de vista lógico-formal.
         En el lenguaje ordinario encontramos, en efecto, argumentaciones, razonamientos, inferencias. Es decir, en el
lenguaje ordinario hallamos expresiones de carácter lógico-formal. Lo que el lógico hace es extraer del lenguaje natural
esas expresiones, aislarlas, e integrarlas en una estructura de cálculo interpretando con ellas los elementos de éste.

         ¿Cuál es la relación entre los signos del lenguaje lógico y los signos paralelos en el lenguaje ordinario? Ya
hemos dicho que no hay una estricta correspondencia entre unos y otros. Del lenguaje natural, en comparación con el
lenguaje lógico, se pueden decir dos cosas: que es demasiado rico o que es demasiado pobre.
         En un cierto sentido se puede decir que e1lenguaje natural es superabundante desde el punto de vista lógico, es
decir, que para expresar una misma relación lógica, el lenguaje natural se permite utilizar distintas expresiones. Varios
giros lingüísticos distintos representan una sola estructura lógica en todos los casos.
         Otras veces, sin embargo, ocurre a la inversa: a un solo signo del lenguaje natural corresponde más de una
constante lógica.

        El análisis, lógico es un análisis reductivo, un análisis que reduce la diversidad lingüística a una unidad lógica. El
análisis lógico revela, en el lenguaje natural, la existencia de una diversidad profunda por debajo de la aparente
uniformidad. Lo lingüísticamente idéntico resulta ser lógicamente diverso.
         Digamos, con Wittgenstein, que el lenguaje, lejos de constituir una unidad, no es sino un repertorio
indefinidamente ampliable de usos o juegos del lenguaje, de sistemas de comunicación distintos entre sí, que engranan
con el mundo de diversos modos y se gobiernan por distintos conjuntos de reglas.
         Hay un juego de lenguaje, una forma de jugar con el lenguaje ordinario, que consiste en razonar, en hacer
inferencias. Por ej.:" Si no estoy amedrentado por esa amenaza, entonces es que no soy un neurótico. Luego, puesto que
soy un neurótico, esa amenaza me amedrenta".
         La traducción del lenguaje ordinario al lógico y viceversa, no es una traducción automática. Exige como toda
traducción, percepción de matices, imaginación, atención, en suma, a un contexto ilimitado: la competencia lingüística.




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1. DEFINICIÓN DE LÓGICA SIMBÓLICA.

         La lógica es la ciencia de los principios de la validez formal de la inferencia.

         Inferencia: Por inferencia, razonamiento o argumento, entendemos un tipo de pensamiento cuyo rasgo
característico es que en él se produce siempre el paso de una o más afirmaciones que tomamos como punto de partida
a una afirmación que se sigue de aquellas. Lo específico de una inferencia, razonamiento o argumentación, es que
consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas.

         Validez formal: Se dice que un razonamiento, argumentación o inferencia es válido cuando, si sus premisas son
verdaderas, necesariamente su conclusión lo es también.
         Hay que distinguir entre verdad y validez: La validez de un razonamiento es independiente de la verdad o
falsedad de sus premisas y su conclusión. Un razonamiento es válido cuando es imposible que, siendo verdaderas sus
premisas, sea falsa su conclusión.
         Estudiar lógica no consiste en estudiar si tales o cuales enunciados -relativos a tal o cual materia- son
efectivamente verdaderos. La noción fundamental, constituyente, de la lógica no es la de verdad material, la de verdad de
hecho, sino la de coherencia.

        A la lógica le importa sólo la forma de los razonamientos. En un razonamiento válido, la verdad de la conclusión
se sigue necesariamente de la verdad de las premisas, en virtud de la sola forma de estas. Lo esencial en todo
razonamiento válido formalmente es la relación de necesidad que se establece entre premisas y conclusión, de tal
modo que la verdad de las primeras acarrea inevitablemente la verdad de la segunda.
        Hay razonamientos formalmente válidos, en los que la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, y hay
razonamientos en los que la verdad de las premisas no conduce fatalmente a la verdad de la conclusión, sino sólo a su
mayor o menor probabilidad. A los del primer tipo, se les llama a menudo: razonamientos deductivos válidos, y a los del
segundo: razonamientos inductivos, probabilísticos o plausibles.

         Principios: La lógica pretende codificar los principios, leyes o reglas que guían el análisis de la validez formal de
los razonamientos, sistematizar un conjunto de leyes o de reglas para el estudio de las condiciones formales en las que
un enunciado se puede inferir válidamente de otro.

          Ciencia: La lógica es una ciencia formal, una ciencia deductiva. El sistema de enunciados que forma la ciencia
llamada lógica, es un sistema en el que los enunciados están deductivamente trabados. Nos encontramos, entonces, con
que la lógica, que es la ciencia de la deducción, es a su vez una ciencia organizada deductivamente, una ciencia cuyas
proposiciones -es decir, las verdades lógicas, cada una de las cuales expresa un modo válido de razonamiento- están
ligadas por deducción, se deducen unas de otras. La lógica, pues, es una ciencia reflexiva, que se vuelve sobre sí
misma. Puesto que cada disciplina estudia una clase de objetos, es natural que lo haga en un lenguaje específico. La
naturaleza del objeto de estudio de la lógica -la forma de los razonamientos- hace necesario para esta ciencia el uso de un
lenguaje especial.
          Una ciencia que se constituye como tal empeñándose en la tarea de abstraer la forma de los razonamientos
prescindiendo de los contenidos a los que ésta se encuentra, en cada caso, incorporada, ha de vencer la resistencia del
pensamiento -y, por ende, del lenguaje- natural, en el que forma y contenido se dan entremezclados, en el que la primera
se encuentra casi siempre oculta o difuminada por el segundo.
          Pero a la lógica no le basta con disponer de un vocabulario propio, artificial. Le es necesario además, y sobre
todo, contar con una sintaxis artificial, artificialmente rigurosa. Le es necesaria la formalización. Formalizar un lenguaje es
trazar su sintaxis, su estructura.
          Con otras palabras: a la lógica le interesa que la sintaxis y la semántica coincidan en lo posible; la lógica
desearía que todos los enunciados bien formados -es decir, sintácticamente correctos- tuvieran sentido -es decir, fueran
semánticamente buenos- y desearía asimismo que la inversa fuera verdadera -es decir, querría que todos los enunciados a
los que quepa reconocer un sentido fueran también sintácticamente impecables. Hoy por hoy, esto no es más que un deseo
piadoso.
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2. EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.

   2.1. Conceptos y símbolos lógicos fundamentales.

      2.1.1. Proposiciones y conectores.

         El apartado más elemental de la lógica formal es la lógica de proposiciones o de enunciados. Hemos dicho que
la lógica se nos presenta en forma de sistema de cálculos, en forma de conjunto sobre-acumulado de cálculos o, si se
prefiere decirlo así, en la forma de un cálculo que se va reconstruyendo para irse haciendo cada vez más potente.
         Pues bien, el cálculo base de la lógica es el cálculo de enunciados. Al hablar de cálculo de enunciados ahora, ya
no estamos hablando de un puro cálculo, sino de un cálculo provisto de una interpretación. Vamos a exponer el análisis
lógico -dispuesto como un cálculo- de las relaciones de inferencia entre proposiciones. Vale decir: expondremos los
resultados formalizados del examen de la validez formal de las inferencias, mediante las cuales deducimos un
enunciado tomado en bloque a partir de otro enunciado tomado también en bloque.
         La tarea de la lógica es el análisis formal de los razonamientos. El análisis del razonamiento supone un análisis
lógico del lenguaje. Hay, como veremos, diversos niveles de análisis lógico y, por tanto, diversos niveles de análisis
lógico del lenguaje. Cada nuevo cálculo lógico es solidario de un nuevo tipo de análisis lógico del lenguaje. Mejor aún,
cada nueva ampliación del cálculo lógico.
         Estamos en el apartado más elemental de la lógica. El análisis del lenguaje en que se basa la lógica de
proposiciones divide el lenguaje en dos tipos de elementos:
1) Oraciones, frases enteras. (Proposiciones o enunciados).
2) Las conexiones entre ellos. (Operadores o conectivas). También llamadas conjunciones, son partículas que sirven
para enlazar oraciones y formar oraciones compuestas a base de oraciones simples.
         Las dos únicas categorías de signos que la lógica de proposiciones considera son: 1) Las proposiciones tomadas
en bloque. 2) Las operaciones entre ellas. La lógica proposicional se ocupa de las relaciones de inferencia entre
enunciados tomados en bloque, sin penetrar en la estructura interna de éstos. El enunciado es la unidad de análisis.
La lógica de enunciados es, por tanto, una lógica de los enunciados sin analizar. Los elementos que componen
internamente un enunciado: términos que designan individuos, términos que designan propiedades, etc., son, por el
momento, irrelevantes desde el punto de vista lógico.
         Todo razonamiento tiene una forma y un contenido, siendo fundamental distinguir perfectamente ambas
cuestiones. Hay dos tipos de signos: los signos constantes que representan una forma invariable y los signos variables
que constituyen el contenido distinto en cada caso.
         La lógica prescinde de los contenidos concretos, no puede prescindir de la idea de contenido en general. La
lógica necesita, pues, encontrar el modo de indicar la presencia de un contenido, sin por ello comprometerse con ningún
contenido concreto.
         Al tipo de signos que se utilizan para dar idea de cualquier contenido se les llama variables. Variables
proposicionales o de enunciado, que pueden ser sustituidas por cualquier enunciado. La lógica es lógica formal,
consideración abstracta de la forma de los razonamientos prescindiendo de su contenido concreto, pero no de la idea de
contenido.
         En la lógica proposicional, como primer nivel del análisis lógico, de lo que se trata es de analizar la validez de
aquellos razonamientos en los que se parte de premisas sin analizar para llegar, como conclusión, a enunciados que
tampoco se analizan.

     2.1.2. Símbolos proposicionales y verdad.

          El contenido en general lo representamos mediante variables, mediante signos que sustituyen a enunciados
cualesquiera. Convendremos, siguiendo una práctica ya casi universal, en utilizar las letras "p", "q", "r", "s", "t", etc.,
como variables de enunciado.
          Los enunciados de los que estamos hablando son -como dijimos en el capítulo primero- enunciados descriptivos.
Y los enunciados asertóricos presentan una peculiaridad -ya indicada también- son siempre, o bien verdaderos o bien
falsos, tienen necesariamente un valor de verdad. "1" significa "verdadero", "0" significa "falso".
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         Al considerar conjuntamente dos enunciados cualesquiera nos encontramos con 4 posibilidades, si se trata de
tres enunciados entonces las posibilidades serán ocho.
         En general, dado un número “n” de enunciados el número de combinaciones posibles de sus valores de
verdad será 2n: si n vale 4, es decir, si los enunciados a considerar son en número de 4, entonces la tabla de verdad
presentará dieciséis casos posibles; si n =5 treinta y dos, etc. El segundo tipo de signos son aquellos cuya misión es servir
de enlace, establecer las conexiones entre los enunciados representados en conjunto por las variables. Veamos cuales son
las conexiones lógicas entre enunciados más empleadas normalmente.

        2.1.3. Conectores básicos: Negación (¬), conjunción (^), disyunción (v), condicional (→) y bicondicional
(↔).

         Con un enunciado cualquiera p, lo primero que podemos hacer es negarlo. 1) La negación: La negación de p es
no-p, que se escribe: ¬ p. Los valores de verdad de p y ¬ p serán:    p|¬p
                                                                   1|0
                                                                   0|1
         2) La conjunción: Llamamos conjunción de p y q a la relación que se establece entre ambas variables al unirlas
mediante la partícula "y". Se escribe: p^q. Los valores de verdad de una conjunción de enunciados se explicitan
diciendo que: una conjunción sólo será verdadera cuando lo sean los enunciados por ella unidos y falsa en todos los
demás casos. Tabla de verdad:
   p | q | p ^ q|
   1 | 1 | 1 |= p ^ q
   1 | 0 | 0 |= p ^ ¬ q
   0 | 1 | 0 |= ¬ p ^ q
   0 | 0 | 0 |= ¬ p ^ ¬ q

         3. La disyunción. Llamamos disyunción de p y q a la relación que se establece entre ambas variables al unirlas
mediante la partícula "o". Se escribe: p v q. La disyunción puede interpretarse en dos sentidos: sentido excluyente y no-
excluyente.
         La disyunción es excluyente si se interpreta como diciendo: o p o q, y no ambas a la vez. Si en el lenguaje
ordinario la disyunción por excelencia, la más neta, es la excluyente, desde un punto de vista lógico es mucho mayor la
importancia de la disyunción no-excluyente. Los valores de verdad de la disyunción se definen así: una disyunción (no-
excluyente) es verdadera cuando lo es alguno de sus miembros y si lo son los dos. Una disyunción es falsa cuando lo
son los dos enunciados por ella relacionados. Tabla de verdad:
   p|q |pvq|
   1 | 1 | 1 |= p v q
   1 | 0 | 1 |= p v ¬ q
   0 | 1 | 1 |= ¬ p v q
   0 | 0 | 0 |= ¬ p v ¬ q

         4) El condicional. Llamamos enunciado condicional de p y q a la relación que se establece entre ambas variables
al unirlas mediante la expresión "si...,entonces...". Se escribe: p → q. Al primer miembro del condicional se le llama
antecedente y al segundo consecuente. Cuando antecedente y consecuente son verdaderos es claro que el condicional es
verdadero.
         Cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso el condicional es falso. Decimos que si se da "p",
entonces se dará "q". Estamos afirmando que "p" es condición suficiente, aunque no necesaria, de "q".
         Cuando el antecedente es falso y el consecuente es verdadero, el condicional es verdadero. Lo único que decimos
es que p es condición suficiente de q, pero no que sea condición necesaria también. De modo que puesto que la falsedad
del antecedente no hace falso al condicional, lo hace, por eso mismo verdadero.
         Cuando el antecedente y el consecuente son falsos el condicional es verdadero. El lenguaje ordinario emplea este
caso de condicional para expresar algo así como una conexión entre absurdos. De una falsedad cualquiera puede deducirse
cualquier otra falsedad.

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        Mediante la expresión "si...,entonces..." queremos decir que no se da "p" sin que se de "q".
        Los valores de verdad del condicional se definen afirmando que: un condicional es falso sólo en el caso de que
siendo p verdadero, q sea falso. Tabla de verdad:
                           p | q | p→q |
                           1|1 | 1       |= p → q
                           1|0 | 0       |= p → ¬ q
                           0|1 | 1       |= ¬ p → q
                           0|0 | 1       |= ¬ p→ ¬ q

         5) El bicondicional. Llamamos enunciado bicondicional de p y q a la relación que se establece entre ambas
variables al unirlas mediante la expresión "si y solo si...,entonces...". Se escribe: p ↔ q. Mediante la expresión anterior
queremos decir que p es a la vez condición suficiente y necesaria de q.
         Los valores de verdad del bicondicional se definen afirmando que: una proposición bicondicional será
verdadera en dos casos, cuando son verdaderos sus dos elementos y cuando son falsos, y es falsa en los otros dos
casos. Tabla de verdad:
                             p|q |p↔q |
                             1| 1 | 1      |= p ↔ q
                             1| 0 | 0      |= p ↔ ¬ q
                             0| 1 | 0      |= ¬ p ↔ q
                             0| 0 | 1      |= ¬ p ↔ ¬ q

     2.1.4. Todos los conectores monádicos y diádicos.

         Hemos enumerado, hasta ahora, cinco conectivas: negación(¬), conjunción(^), disyunción(v), condicional(→)
y bicondicional(↔). Hay una diferencia fundamental entre la negación y las otras cuatro conectivas vistas hasta ahora. La
diferencia consiste en que la operación llamada negación se aplica cada vez a una sola proposición, sea esta simple o
compuesta. Por ej.: ¬ p ; ¬ [(p ^ q) →r]
         Cualquiera de las otras conectivas que hemos visto alcanza siempre a dos enunciados, necesita al menos dos
enunciados para poder aplicarse. Conjunción, disyunción, condicional y bicondiconal son conectivas diádicas o binarias,
la negación, en cambio, es una conectiva monádica o singularia.
         Con una sola proposición se pueden llevar a cabo cuatro operaciones. Con dos proposiciones son posibles
dieciséis operaciones. Con tres proposiciones son posibles 256 operaciones. Con cuatro, 65.536. Etcétera. ¿Por qué las
conectivas diádicas son exactamente dieciséis? Dados dos enunciados cualesquiera, son cuatro las combinaciones que
pueden hacerse de sus valores de verdad:
                                         p|q|
                                        1|1|= p^q             = a
                                        1|0|= p^¬q = b
                                        0|1|=¬p^q           = c
                                        0|0|=¬p^¬q = d

         Ahora bien: puesto que la falsedad de un enunciado supone la verdad de su negación (y viceversa, por supuesto)
cabría dar a estas cuatro combinaciones la siguiente forma:
      a          b           c           d
   (p ^ q) v (p ^ ¬ q) v (¬ p ^ q) v (¬ p ^ ¬ q)

          Nos encontramos; pues, con un conjunto de cuatro elementos: (a, b, c, d). ¿Cuántos subconjuntos tiene este
conjunto? Antes de nada: ¿A qué llamamos subconjunto? Llamamos subconjunto de un conjunto dado a todo conjunto
incluido en este. Un conjunto está incluido en otro cuando todos los miembros del primero son miembros del segundo
(aunque no necesariamente a la inversa).
          ¿Cuántos subconjuntos así definidos tendrá ese conjunto de cuatro elementos? Tendrá dieciséis. Son estos:
(a), (b), (c), (d); (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d); (a,b,c), (a,b,d), (a,c,d), (b,c,d).

                                                            7
        Nos faltan todavía dos subconjuntos de ese conjunto, que parecen requerir algún comentario, son estos: (a,b,c,d)
y (Ø). Podría tenerse por paradójica la afirmación de que un conjunto es un subconjunto de sí mismo, pues lo es, todo
conjunto es un subconjunto (impropio) de sí mismo.
        El símbolo Ø designa el conjunto vacío. Conjunto vacío es aquel que carece de miembros. En rigor hay un
único conjunto vacío, porque los conjuntos que tienen los mismos miembros son iguales, son el mismo conjunto. El
conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.

        Tenemos ya, pues, los dieciséis subconjuntos, cada uno de los cuales representa un caso de los dieciséis en que
pueden presentarse los cuatro pares de enunciados de los que partimos:

P. M.      ^    ¬→     ¬←     ¬v       P     Q      ↔      ¬q       ¬↔      ¬p    v      ←      →         ¬^         T       C
p    Q     I    II     III    IV       V     VI     VII    VIII      IX     X     XI     XII    XIII      XIV      XV        XVI
1    1     1    0      0      0        1     1       1      0          0     0    1      1       1         0        1         0
1    0     0    1      0      0        1     0       0      1          1     0    1      1       0         1        1         0
0    1     0    0      1      0        0     1       0      0          1     1    1      0       1         1        1         0
0    0     0    0      0      1        0     0       1      1          0     1    0      1       1         1        1         0
Polaca     K    L      M      X        p     Q       E     Nq         J     Np    A      B       C        D         V         F

           Por el mismo procedimiento podemos llegar a establecer las cuatro conectivas monádicas. Dado un enunciado,
dos pueden ser sus valores de verdad:          p | Es decir:         a        b
                                             1 |                (p) v (¬p)
                                             0 |
           Tenemos, pues un conjunto de dos miembros: ( a, b ). Este conjunto tendrá 22 , es decir, 4 subconjuntos: ( a ),
( b ), ( a, b ), ( Ø ). A los que corresponderán las cuatro conectivas siguientes:

                                     P. M.     p     ¬p            T        C
                                       p       I      II           III      IV
                                       1       1      0            1        0
                                       0       0      1            1        0
                                              p^p    ¬p^¬p        pv¬p     p^¬p

         En general, y como fórmula, si un conjunto tiene n miembros sus subconjuntos serán en número de 2n. Así, pues,
si el conjunto que nos ocupa tiene, como de hecho tiene, dos elementos, tendrá 22, es decir, cuatro subconjuntos. Si tiene
cuatro elementos, tendrá 16 subconjuntos, etcétera.

    2.1.5. Los conectores son funciones.
         Disponemos ya, por tanto, de veinte signos constantes (conectores) en total. ¿Cómo podríamos caracterizarlos
con más precisión? ¿Cuál es, en rigor, su naturaleza? Son funciones. Funciones de verdad. ¿Qué es una función? Una
función es un tipo especial de relación. La función se compone de una variable independiente, que es aquella a la que le
asignamos un valor cualquiera de entre los que constituyen su campo de valores, y de una variable dependiente, que es
aquella cuyo valor queda automáticamente determinado al asignarle un valor a la variable independiente.
         Una función es, por tanto, una relación entre dos campos: el campo de los valores que se pueden asignar a la
variable independiente -a los que llamaremos: argumentos de la función- y el campo de los valores que, en
correspondencia con aquellos, toma la variable dependiente -a los que llamaremos: valores de la función.

         Cada una de las conectivas constituye una operación, que aplicada -en el caso de las conectivas diádicas- a dos
enunciados poseedores de unos determinados valores de verdad, da lugar a nuevos valores de verdad. Dicho de otro modo:
el valor de verdad de un enunciado compuesto con una conectiva es una función de los valores de verdad de los
enunciados que lo componen. Estos serán los argumentos de la función, y aquel el valor de ésta. La conjunción podría
representarse así: f1 (1,1) = 1; f1 (1,0) = 0; f1 (0,1) = 0; f1 (0,0) = 0.

                                                            8
        Las conectivas pueden, por tanto, interpretarse como funciones de verdad. En efecto, los argumentos de estas
funciones son valores de verdad -valores: 0 o 1 de los enunciados simples-; y los valores de la función son también valores
de verdad -valores: 0 o 1 del enunciado compuesto de la conectiva.

         2.1.6. La interdefinición de conectores.

        No vamos a exponer ahora las tres funciones monádicas y las 12 diádicas que aún no conocemos. Y ello, porque
no hay ninguna necesidad lógica de hacerlo. Todas las demás funciones son reductibles a las cinco que conocemos:
¬,^,v, →,↔.

         Definir contextualmente un símbolo no es otra cosa que definir un contexto, en que aparece el símbolo de
que se trate, en términos de otro contexto en el que el símbolo en cuestión ya no aparece. Se trata, obviamente, de
definiciones sintácticas, en las que no se hace alusión alguna al significado de los términos, sino tan solo a sus relaciones.
No es necesario utilizar las dieciséis funciones diádicas. Nos basta con cuatro de ellas más la negación.

         Pero aún podemos ir más lejos y afirmar que todas las funciones diádicas son reductibles a dos:
         A) La ¬ y la ^; B) La ¬ y la v; C) La ¬ y el →.

        Los contextos en que aparezca cualquiera de las restantes funciones diádicas pueden ser definidos en términos de
contextos en que intervengan, bien sólo ¬ e ^, bien tan solo ¬ y v, bien tan solo ¬ y →.

         Al mostrar, ahora, cómo unas conectivas pueden ser definidas en términos de otras, vamos a utilizar, no ya
variables, sino variables de variables: METAVARIABLES. Estas metavariables, X, Y, Z, etc., podrán ser sustituidas por
cualesquiera expresiones compuestas de variables de enunciado. Estas metavariables son, pues, variables
METALÓGICAS, y señaladamente sintácticas, pues en las expresiones en que aparecen sólo se hace referencia a las
relaciones entre secuencias de signos, y no también -por ejemplo- al significado de éstos.

         Vamos a definir los cinco conectores que conocemos en función de solo dos de ellos:

         [A] Definamos: ^ , → y ↔ , en función de: ¬ y v.
    1) ( X ^ Y ) = def. ¬ ( ¬ X v ¬ Y ). Es decir, una conjunción de enunciados cualesquiera es equivalente a la negación
de la disyunción de esos enunciados negados a su vez.
    2) ( X → Y ) = def. ¬ X v Y. En efecto, un condicional de enunciados cualesquiera es equivalente a la disyunción de
esos mismos enunciados con el primero de ellos negado.
    3) ( X ↔ Y ) = def. ¬ [ ¬ (¬X v Y ) v ¬( ¬Y v X )]. Ciertamente, comencemos definiendo el bicondicional como una
conjunción de condicionales: ( X ↔ Y ) = def. ( X → Y ) ^ ( Y → X ). Definiendo los condicionales internos a los
paréntesis: (X → Y) ^ (Y → X) = def.            (¬X v Y) ^ (¬Y v X). Sólo nos queda por eliminar la conjunción:
(¬X v Y) ^ (¬Y v X) = ¬ [ ¬ (¬X v Y) v ¬ (¬Y v X) ]

         [B] Definamos: v , → y ↔, en función de: ¬ e ^. He aquí esas definiciones:
   1) ( X v Y )    = ¬(¬X^¬Y)
   2) ( X → Y ) = ¬ ( X ^ ¬ Y )
   3) ( X ↔ Y ) = ¬ ( X ^ ¬ Y ) ^ ¬ ( Y ^ ¬ X ). En efecto: ( X ↔ Y ) = ( X → Y ) ^ ( Y → X ) =
      ¬ ( X ^ ¬ Y ) ^ ¬ ( Y ^ ¬ X ).

         [C] Definamos: ^ , v y ↔, en función de: ¬ y →. He aquí esas definiciones:
   1) ( X v Y ) = ¬ X → Y
   2) ( X ^ Y ) = ¬ ( X → ¬ Y )
   3) ( X ↔ Y ) = ¬ [ ( X → Y ) → ¬ ( Y → X ) ]. En efecto: ( X ↔ Y ) = ( X → Y ) ^ ( Y → X ) =
      ¬ [ ( X → Y ) → ¬ ( Y → X ) ].


                                                              9
        Pero aún hay más. Podemos definir todos los conectores diádicos que conocemos en función de un solo
conector. Hay dos conectores diádicos, en términos de cada uno de los cuales se pueden definir todos los demás:

     1) El operador que en la tabla anterior ocupa el número 14, conocido con los nombres de: NEGACIÓN DE LA
CONJUNCIÓN, negación alternativa, incompatibilidad o función barra de Sheffer.

           Se escribe así: p¬^q = ¬ (p^q)                              p |q    | p¬^q|
           Y tiene esta tabla de verdad como ya sabemos:                1 |1    | 0 |
                                                                     1 |0 |    1 |
                                                                     0 | 1 |    1 |
                                                                     0 | 0 |    1 |

         2) El conector que en nuestra tabla ocupa el número 4, conocido con los nombres de: NEGACIÓN DE LA
DISYUNCIÓN, negación conjunta, función flecha o función de Peirce.
         Se escribe así: p ¬v q = ¬ ( p v q ). Y tiene esta tabla de verdad como hemos señalado en la página 13:
   p | q |p¬v q|
   1|1| 0 |
   1|0| 0 |
   0|1| 0 |
   0|0| 1 |

          Veamos como pueden reducirse a la negación de la conjunción las conectivas diádicas que conocemos:
1)   X v Y = def. (X¬^X) ¬^ (Y¬^Y)                    =      ¬ [¬(p^p) ^¬(q^q)]
2)   X * Y = def. (X¬^Y) ¬^ (X¬^Y)                    =      ¬ [¬(p^q) ^ ¬(p^q)]
3)   X→Y = def. [(X¬^X)¬^(X¬^X)]¬^(Y¬^Y)              =      ¬{¬[¬(p^p)^¬(p^p)]^ ¬(q^q)}
4)   ¬ X = def. (X ¬^ X)                              =     ¬ (p^p)
5)   X↔Y = def. (X→Y)^(Y→X)                  =    ¬{¬[¬(p^p)^¬(p^p)]^¬(q^q)} ^¬{¬[¬(q^q)^¬(q^q)]^¬(p^p)}                             =
     ¬ «¬{¬[¬(p^p) ^ ¬(p^p)]^¬(q^q)} ^ ¬{¬[¬(q^q) ^ ¬(q^q)]^¬(p^p)}» ^ ¬ «¬{¬[¬(p^p) ^ ¬(p^p)]^¬(q^q)} ^ ¬{¬[¬(q^q) ^ ¬(q^q)]^¬(p^p)}»


       2.1.7. Unos, ceros y consistencias.
         Estamos en condiciones de emplear todos los recursos de la lógica de enunciados, ya sea para analizar
expresiones del lenguaje natural y traducirlas al lenguaje lógico reduciéndolas a su forma. Ejemplos:
         si se escuchan enloquecen = p → q, no se escuchan o enloquecen = ¬p v q,
ya sea para componer directamente esquemas de enunciado que, provistos en cada caso de un contenido distinto, pueden
dar lugar a infinitos enunciados concretos. Ejemplos:
         [ (p ^ q) →r ] →[ p → (q →r) ]; [ (p →q) ^ (q →r) ] →(p →r).

         Ahora bien: no todos los esquemas de enunciado son esquemas de inferencia. Para que un esquema de
enunciado sea además un esquema de inferencia debe tener unas premisas y una conclusión que se infiere de ellas.
Sustituyendo las variables por determinados enunciados simples obtendríamos un razonamiento, un enunciado compuesto
en el que se expresa un razonamiento.
         Es este tipo de esquemas de enunciado el que sobre todo interesa a la lógica, como ya se ha dicho. Y, puesto que
la lógica se ocupa del razonamiento desde el punto de vista de su forma, lo que sus enunciados expresarán serán formas de
razonar. Los enunciados de la lógica representarán, en general, formas de inferencia y, señaladamente, formas
válidas de inferencia.
         Hay tres tipos distintos de esquemas de inferencia:
     1) Aquellos cuya tabla de verdad arroja unos en todos los casos. Se llaman Tautologías y son válidos formalmente.
     2) Aquellos cuya tabla de verdad arroja ceros en todos los casos. Se llaman Contradicciones y son falsos
formalmente.
     3) Aquellos cuya tabla de verdad arroja unos y ceros conjuntamente. Se laman Consistencias y son válidos y falsos
formalmente.

                                                                  10
        2.1.8. Leyes de la lógica proposicional.

1)   DOBLE NEGACIÓN                    :            ¬¬p→p
2)   LEY DE CLAVIUS                    :            (¬ p → p) → p
3)   REFLEXIVIDAD →                    :            p→p
4)   CONTRAPOSICIÓN →                   :           (p → q) → (¬ q → ¬ p)

5) SIMPLIFICACIÓN 1                    :            (p ^ q) → p
6) SIMPLIFICACIÓN 2                    :            p → (p v q)

7) CONMUTATIVIDAD ^                    :            (p ^q) → (q ^p)
8) CONMUTATIVIDAD v                    :            (p v q) → (q v p)
9) CONMUTATIVIDAD ↔                    :            (p ↔ q) → (q ↔ p)

10) ASOCIATIVIDAD ^                     :           [(p ^ q) ^ r] → [(p ^ (q ^ r)]
11) ASOCIATIVIDAD v                     :           [(p v q) v r] → [(p v (q v r)]
12) ASOCIATIVIDAD ↔                     :           [(p ↔ q) ↔ r)] → [(p ↔ (q ↔ r)]

13) DISTRIBUTIVIDAD ^, v                :            [(p ^ (q v r)] → [(p ^ q) v (p ^ r)]
14) DISTRIBUTIVIDAD v, ^                :            [(p v (q ^ r)] → [(p v q) ^ (p v r)]
15) DISTRIBUTIVIDAD →, ^                :            [(p → (q ^ r)] → [(p → q) ^ (p → r)]
16) DISTRIBUTIVIDAD →, v                :            [(p → (q v r)] → [(p → q) v (p → r)]

17) TRANSITIVIDAD →                    :            [(p → q) ^ (q → r)] → (p → r)
18) TRANSITIVIDAD ↔                    :            [(p ↔ q) ^ (q ↔ r)] → (p ↔ r)

19) EXPORTACIÓN                         :           [(p ^ q) → r] →[p → (q → r)]
20) IMPORTACIÓN                         :           [p → (q → r)] → [(p ^ q) → r]

21) DILEMA CONSTRUCTIVO 1                   :        [(p v q) ^ (p → r) ^ (q → r)] → r
22) DILEMA CONSTRUCTIVO 2                   :        [(p v q) ^ (p → r) ^ (q → s)] → (r v s)
23) DILEMA DESTRUCTIVO 1                    :        [(¬p v ¬q) ^ (r → p) ^ (r → q)] → ¬r
24) DILEMA DESTRUCTIVO 2                    :        [(¬p v ¬q) ^ (r → p) ^ (s → q)] → (¬r v ¬s)

25) DE MORGAN    1                          :       ¬ ( p ^ q ) → (¬ p v ¬ q )
26) DE MORGAN    2                          :       ¬ ( p v q ) → (¬ p ^ ¬ q )
27) INFERENCIA v 1                          :        [(p v q) ^ ¬ p] → q
28) INFERENCIA v 2                          :        [(p v q) ^ ¬ q] → p

29) PONENDO PONENS                          :        [(p → q) ^ p] → q
30) TOLLENDO TOLLENS                        :        [(p → q) ^ ¬ q] →¬ p

31) IDEMPOTENCIA ^                          :         (p^p)→p
32) IDEMPOTENCIA v                          :         (pvp)→p

33) INTRODUCCIÓN ↔                              :     [(p → q) ^ (q → p)] → (p ↔ q)
34) DEBILITACIÓN ↔                              :     (p ↔ q) → (q → p)
35) ELIMINACIÓN ↔ 1                             :     [(p ↔ q) ^ p ] → q
36) ELIMINACIÓN ↔ 2                             :     [(p ↔ q) ^ ¬ q ] → ¬ p
37) ELIMINACIÓN ↔ 3                             :     [(p ↔ q) ^ q ] → p
38) ELIMINACIÓN ↔ 4                             :     [(p ↔ q) ^ ¬ p ] → ¬ q
                                                             11
 2.2. La lógica proposicional como sistema formal axiomático.

         2.2.1. Lenguaje artificial, sintaxis y axiomatización.

         Hasta ahora nos hemos limitado a representar por medio de símbolos las nociones pertenecientes a la lógica de
enunciados, el apartado más elemental de la lógica. Formalizar un lenguaje es mucho más que simbolizarlo: simbolizar un
lenguaje consiste simplemente en sustituir cada signo de ese lenguaje por un símbolo. Hay casos en los que de la
simbolización se derivan notables ventajas, como puede ser la evitación de la sinonimia y la homonimia.
         La simbolización es útil a veces para eliminar algunas fuentes lingüísticas de confusión, en la medida en que
gracias a ella podríamos conseguir que el conjunto de los nombres y el conjunto de los objetos nombrados fueran
equivalentes, de tal modo que a cada objeto correspondiera uno y un solo nombre, y viceversa.

          Formalizar un lenguaje no consiste tan sólo en dotarlo de un vocabulario artificial, sino también, y sobre todo,
en reconstruir su sintaxis: en hacer que las reglas de su sintaxis, en lugar de implícitas y vagas, como las de los
lenguajes naturales, sean explícitas y precisas. Un lenguaje está formalizado cuando su sintaxis no tiene secretos.
          Tres son los elementos básicos de un cálculo:
          1) Los símbolos primitivos. 2) Las reglas de formación. 3) Las reglas de transformación.
          Hemos hablado de expresiones verdaderas formalmente, e incluso hemos enumerado algunas, no obstante, nos
hemos limitado a mostrar que efectivamente se trataba de expresiones verdaderas, por ej., mediante las tablas de verdad,
sin llegar a demostrarlo. Demostrar como verdadero un enunciado consiste en hacer ver, que se sigue válidamente de
otros enunciados verdaderos, en presentar ese enunciado como el resultado de una transformación válida -es decir,
conforme a las reglas- de otros enunciados ya demostrados o que, como veremos, no se demuestran.
          La forma clásica de formalización es la forma axiomática. Presentamos a continuación la lógica de enunciados
como sistema axiomático. Una teoría es un conjunto de enunciados verdaderos relativos a un determinado campo de
problemas.

         Axiomatizar una teoría no es otra cosa que organizar ese conjunto de enunciados de tal forma que,
partiendo de algunos de sus miembros (axiomas), mediante una serie de reglas de transformación se puedan derivar
los restantes enunciados de la teoría, a los que llamaremos teoremas.
         Axiomas y teoremas son expresiones del cálculo, formulas redactadas en el lenguaje del cálculo. Las reglas de
transformación son, en cambio, parte del metalenguaje del cálculo.
         Demostrar un enunciado en un sistema axiomático, demostrar que es un teorema del sistema, consiste en
derivarlo válidamente, es decir, usando en la derivación, sólo los recursos explícitamente admitidos a tal efecto dentro
del cálculo, a partir de los axiomas, o de otros teoremas ya demostrados, en fundamentar su verdad en la de otros
enunciados cuya verdad consta.
         Sabemos, a través de las tablas de verdad, que determinados enunciados son verdaderos, al demostrarlos en un
sistema axiomático podemos alcanzar a saber cómo y por qué son verdaderos.
         Veremos que las TAUTOLOGÍAS derivadas como teoremas no son otra cosa que transformaciones válidamente
efectuadas de las tautologías elegidas como axiomas.

       2.2.2. El Sistema Formal Axiomático de Principia Mathematica.

        A) Símbolos primitivos.
1) Variables proposicionales: p, q, r, p', q', r', p'', q'', r''.
2) Conectivas u operadores: ¬ , v.
3) Signos de puntuación: " (,) ", " [,] ", " {,} ".

        B) Símbolos definidos.
1) X ^ Y = def. ¬ ( ¬ X v ¬ Y )
2) X → Y = def. ¬ X v Y
3) X↔Y = def. ¬ [ ¬ (¬X v Y) v ¬ (¬Y v X) ]
                                                                    12
         C) Reglas de formación.
Rf.1) Una variable proposicional sola es una expresión bien formada del cálculo = Ebf.
Rf.2) Si X es una Ebf., entonces ¬ X también lo es.
Rf.3) Si X e Y son EEbbff., entonces X → Y también lo es.
Rf.4) Estas son todas las reglas de formación del cálculo.

         D) Axiomas.
A.1) (p v p) → p
A.2) q → (p v q)
A.3) (p v q) → (q v p)
A.4) [p v (q v r)] → [q v (p v r)]
A.5) (q → r) → [(p v q) → (p v r)]

         E) Reglas de transformación.
Rt.1) Regla de sustitución: El resultado de sustituir alguna o todas las variables de enunciado que aparecen en una
tesis por EEbbff. del cálculo, será también una tesis del cálculo.
Rt.2) Regla de separación: Si X es una tesis del sistema, y lo es también la expresión X → Y, entonces Y es una tesis
del sistema.

    2.2.3. Presentación de teoremas deducidos.

        Partiendo de esta base es posible -porque el cálculo que estamos presentando es completo- demostrar como
teoremas todas las expresiones formalmente verdaderas construibles en el lenguaje del cálculo.

         Comencemos con algunas demostraciones fáciles:
   Teorema 1: p → ( p v p )
   Demostración:
   1. q → ( p v q )                Axioma 2
   2. p → ( p v p )                Rs. (q/p), 1
         La expresión p → (p v p) se obtiene a partir del axioma 2, mediante la correcta aplicación de la regla de
sustitución. Es pues un teorema.

   Teorema 2: [p → (q → r)] → [q → (p → r)]
   Demostración:
   1. [p v (qvr)] → [q v (pvr)]                                         Axioma 4
   2. [¬p v (¬qvr)] → [¬q v (¬pvr)]                                     Rs. (p/¬ p; q/¬ q), 1
   3. [p → (q→ r)] → [q → (p→ r)]                                       Def.→, 2

   Teorema 3: (q → r)→ [(p → q) → (p → r)]
   Demostración:
   1. (q→r)→ [(pvq)→ (pvr)]                                            Axioma 5
   2. (q→r)→ [(¬pvq)→ (¬pvr)]                                          Rs. (p/¬ p), 1
   3. (q→r)→ [(p→q)→(p→r)]                                             Def. →, 2

   Teorema 4: (p→q)→[(q→r)→(p→r)]
   Demostración:
   1. [p→(q→r)]→[q→(p→r)]                                            Teorema 2
   2. {(q→r)→[(p→q)→(p→r)]}→{(p→q)→[(q→r)→(p→r)]}                      Rs.[p/(q→r);q/(p→q);r/(p→r)],1
   3. (q→r)→[(p→q)→(p→r)]                                            Teorema 3
   4. (p→q)→[(q→r)→(p→r)]                                            Rd. 2,3


                                                         13
   Teorema 5: p → p
   1. p →(p v p)                                                          Teorema 1
   2. (p v p) →p                                                          Axioma 1
   3. p →p                                                                Tr. →1,2
         En 1926 BERNAYS demostró que el 4º axioma no es independiente de los restantes, es decir, que puede ser
demostrado a partir de los otros, desde esta fecha los axiomas se han reducido a cuatro.
         LUKASIEWICZ mostró que tomando como funciones primitivas la negación y el condicional, los cuatro
axiomas de P. M. podían ser sustituidos por estos otros tres:
   A.1 (p → q) → [(q→r) → (p →r)]
   A.2 (¬ p → p) → p
   A.3 p → (¬ p → q)
         Jean NICOD mostró que los axiomas podían reducirse a uno, no hizo sino extraer las consecuencias axiomáticas
de los resultados de Sheffer relativos a la reducción de todos los operadores diádicos y monádicos a uno.
         Así, pues, cuando hablamos de "el cálculo de enunciados" lo hacemos por abreviar. Porque hay distintos cálculos
de enunciados, distintas posibilidades de presentar axiomáticamente la teoría de las relaciones de inferencia entre
proposiciones sin analizar.

 2.3. Lógica proposicional como sistema de reglas de deducción.
    2.3.1. La argumentación cotidiana.

         La generalidad de los sujetos tiene gran dificultad para aislar la forma del contenido y hacer consideraciones
formales. Por otra parte, los sujetos se limitan a realizar razonamientos que de hecho tienen una determinada forma. En
general, comienzan por sentar unas premisas y extraen luego una conclusión que se apoya en ellas, que tiene a aquellas
como fundamento.
         Representar el razonamiento del sujeto mediante el simbolismo lógico supone poner en limpio, a posteriori, la
forma implícita del razonamiento. Al obrar así hemos realizado una especie de radiografía del razonamiento, un retrato de
su osamenta.
         La obligatoriedad del paso de las premisas a la conclusión la imprime una regla de inferencia, un dispositivo
lógico que, a partir de unas premisas con una forma determinada, arrastra a una determinada conclusión.

    2.3.2. Las leyes y las reglas de deducción.

         Hagamos el intento de presentar la lógica como sistema de reglas de inferencia. ¿Qué es una regla de inferencia?
Una ley y una regla son lo mismo, sólo que dicho de dos maneras distintas. Una ley es el enunciado de un esquema
válido de inferencia, mientras que una regla es el enunciado de una instrucción para realizar una inferencia válida.
         ¿Cuántas reglas de inferencia hay? Del mismo modo que hay infinitas leyes, hay infinitas reglas de inferencia,
y ello por la sencilla razón de que a cada ley corresponde una regla y viceversa.
         Veamos esto con un ejemplo: Ley: [(p → q) ^ ¬ q ] → ¬ p
         Regla de inferencia correspondiente a la ley anterior: " Si tomamos como premisas un condicional: X → Y y
la negación de su consecuente: ¬ Y, podemos inferir como conclusión una expresión de la forma ¬ X”.
         Es evidente que las leyes están escritas en el lenguaje del cálculo, y es evidente que las reglas lo están en el
metalenguaje, para enunciar éstas hemos de utilizar, pues, variables metalingüísticas.
         Formalización de la anterior regla de inferencia:                    X→Y
                                                                               ¬Y
                                                                            ¬X
         Veamos otros ejemplos:
               LEY:                                   REGLA DE INFERENCIA:
   1) [(p → q) ^p ] →q                                 X →Y
                                                         X
                                                         Y


                                                           14
   2) [(p→q) ^ (p→¬ q)]→ ¬ p                                               X→Y
                                                                         X →¬ Y
                                                                          ¬X
   3) [(p v q) ^ ¬ p] →q                              Xv Y
                                                       ¬X
                                                        Y
   4) [(p→q) ^ (q→r)]→(p→r)                                                  X→Y
                                                                           Y→Z
                                                                           X→Z
         Así, pues, podemos presentar los modos válidos de razonar indiferentemente en la forma de leyes o en la
forma de reglas. Se trata, sin embargo, de una indiferencia tan sólo en la teoría. Hemos presentado la lógica como sistema
formal axiomático, ahora toca presentarla como sistema de reglas de inferencia.
         Presentaremos la casi totalidad de las reglas de inferencia como reglas derivadas a partir de un pequeño número
de reglas primitivas. Cuando derivamos un enunciado dentro de un sistema lo hacemos de acuerdo con determinadas
reglas de inferencia. Cuando lo que se deriva son justamente reglas de inferencia, es decir, expresiones que son
metalingüísticas por respecto a los enunciados en cuya derivación intervienen, las reglas de inferencia que permiten
derivarlas serán en cuanto metarreglas de inferencia, meta-metalingüísticas.
         Examinemos los niveles de lenguaje con un ejemplo:
         Nivel 0: Razonamiento: (en castellano = lenguaje-objeto): "Si Dios no existe y todo está permitido, entonces
vamos inexorablemente hacia el caos. Ahora bien: no vamos hacia el caos. Por otra parte, Dios no existe. Luego no todo
está permitido".
         Nivel 1: Ley: Formalización: (variables y conectivas): {[(¬ p^q) → r] ^ ¬ r ^ ¬ p} →¬ q
         Nivel 2: Regla de inferencia: (metavariables):         (¬ X ^ Y)→Z
                                                                       ¬Z
                                                                        ¬X
                                                                   ¬Y
         Nivel 3: Derivación de esta regla de inferencia a partir de las reglas primitivas: Admitamos cuatro reglas
primitivas como hipótesis:
             X→Y                   XvY                    ¬ (X ^ Y)                    ¬¬X
                ¬Y                   ¬X                   ¬ X v ¬Y                       X
               ¬X                       Y
         Derivemos nuestra regla con ayuda de estas cuatro:
   1. (¬ X ^ Y) → Z                   Premisa.
   2. ¬ Z                             Premisa.
   3. ¬ (¬ X ^ Y)                     MT.; 1,2
   4. ¬ ¬ X v ¬ Y                     De M.; 3
   5. X v ¬ Y                         D. N.; 4
   6. ¬ X                             Premisa.
   7. ¬ Y                             IA.; 5,6
         Presentar la lógica de enunciados como un sistema de reglas de inferencia significa, entonces, elegir un conjunto
de reglas básicas y derivar (o mostrar la posibilidad de derivar) de él el conjunto, potencialmente infinito, de las restantes.
         Buscamos llevar a cabo un análisis lógico más fiel de la inferencia natural, por eso este sistema recibe
también el nombre de: "Cálculo de deducción natural".

         Veamos otro ejemplo:
         Nivel 0: Razonamiento: (en castellano = lenguaje-objeto): "Los matrimonios podrían ser buenos, al menos
durante un cierto tiempo, si hubiera armonía y satisfacción sexual. Pero para que eso ocurriera haría falta una educación
que favoreciera la sexualidad, una experiencia sexual prenupcial y una emancipación con respecto a la moral
convencional. Ahora bien: estos mismos factores, que son los que permitirían realizar buenos matrimonios, significan al
propio tiempo la condena de esta institución. Luego en los matrimonios no hay armonía ni satisfacción sexual".
         Nivel 1: Ley: Formalización: (variables y conectivas): {(p→q)^[(r^s^t)↔p]^[(r^s^t)→(q^¬ q)]}→¬ p
                                                             15
        Nivel 2: Regla de inferencia: (metavariables):                           X →Y
                                                                             W↔X
                                                                           W→(Y^¬ Y)
                                                                                 ¬Y
         Nivel 3: Derivación de esta regla de inferencia a partir de estas tres reglas primitivas:
            X→Y                         X → (Y^¬ Y)                       X↔Y
                ¬Y                         ¬X                         X→Y/Y→X
                ¬X
         Derivemos nuestra regla con ayuda de estas tres:
   1. (p → q)                           Premisa.
   2. (r^s^t) ↔ p                       Premisa.
   3. (r^s^t) →(q^¬ q)                  Premisa.
   4. ¬ (r^s^t)                         R. A.; 3
   5. p → (r^s^t)                       Df.↔,2
   6. ¬ p                               MT.; 4,5
         Nos basta con unas pocas reglas primitivas y unas pocas reglas derivadas, aquellas cuya función de abreviación
de las deducciones se haga necesaria con mayor frecuencia.

        2.3.3. Comparación entre los dos tipos de deducción.

          La diferencia fundamental entre el modo axiomático y el modo natural de hacer inferencias deductivas es que en
el modo axiomático se parte de proposiciones formalmente verdaderas y a proposiciones idénticas se llega al cabo de la
deducción; mientras que en el modo natural se puede partir -y eso es lo más frecuente- de proposiciones indeterminadas
en su valor de verdad o declaradamente falsas, llegándose a proposiciones que tampoco son tautológicas.
          Dicho de otro modo: las expresiones que obtenemos al finalizar las deducciones en un sistema axiomático
son verdaderas por sí mismas, por razón de su propia estructura.
          Veamos con un ejemplo las semejanzas y diferencias. Las diferencias son diferencias en el modo de presentar las
cosas, y no en el modo de ser de éstas.
          Razonamiento: "La felicidad amigo mío es imposible. En todo caso, si no es imposible, al menos está muy lejos.
Verá usted por qué: Si intenta usted seriamente contribuir a hacer la revolución, tarde o temprano le introducirán en la
cárcel, lo cual prácticamente nunca resulta grato. Ahora bien: ¿Qué otra cosa puede hacer usted? ¿Integrarse en el sistema
planetario de explotación? Puede usted hacerlo, por supuesto, pero entonces -siendo, como es usted, lúcido- pronto hará
presa en usted la mala conciencia. Triste es, pues, su destino: la mazmorra o el remordimiento”.
          Ley: [(p ¬↔ q) ^ (p →r) ^ (q →s)] →(r v s)
          Regla de inferencia:
          X¬↔ Y
          X →Z
          Y →W
          Z v W
   Derivación:
   1. p ¬↔ q                       Premisa.
   2. p → r                        Premisa.
   3. q → s                        Premisa.
   4. p                            Df.¬↔,1
   5. r                             MP.; 2,4
   6. q                            Df.¬↔,1
   7. s                            MP.; 3,6
   8. r v s                        RI.v; 5,7

         ¿Cuál es la diferencia entre una demostración por el método axiomático y otra por el método de las reglas de
inferencia?
                                                           16
          Siguiendo el método de las reglas de inferencia, hemos mostrado, no que "r v s" sea verdadera, sino que lo
es si lo son las premisas de que hemos partido para llegar a ella. Siguiendo el método del sistema axiomático, en
cambio, demostramos que la fórmula entera es verdadera, que es tautológica en virtud de su forma.
          Por tanto, la diferencia entre un sistema de axiomas y un cálculo de deducción natural es una diferencia en el
valor de verdad de las conclusiones a que en uno y otro podemos llegar. El de las conclusiones obtenidas en las
demostraciones hechas dentro del primero es siempre el valor verdad. El de las obtenidas en el segundo puede no serlo.
          Señalemos ahora las semejanzas: Puesto que se trataba de una demostración bajo premisas -es decir, una
demostración en la que lo enunciado en cada paso sólo es verdadero si son verdaderas las premisas que nos han permitido
darlo- indicaremos, en el margen izquierdo de cada línea y entre paréntesis, el número de la premisa o premisas de cuya
verdad depende la del enunciado que figura en esa línea.
     (1) 1. p ¬↔ q                  Premisa.
     (2) 2. p → r                   Premisa.
     (3) 3. q → s                   Premisa.
     (1) 4. p                       Df.¬↔,1
   (1,2) 5. r                       MP.; 2,4
     (1) 6. q                       Df.¬↔,1
   (1,3) 7. s                       MP.; 3,6
 (1,2,3) 8. r v s                   RI.v;5,7
          Ahora bien: decir que cuando una expresión es deducible de otra, el condicional formado por ésta como
antecedente y la primera como consecuente es lógicamente verdadero, equivale a decir, que al poner como antecedente
de una expresión una de las premisas que han servido para deducirla hemos eliminado esa premisa, la hemos
convertido en parte de la conclusión.
          Entonces podemos dar un paso más y decir:
  (1,2) 9. (q → s) → (r v s)
    (1)10. (p → r) → [(q →s) → (r v s )]
    (0)11. (p ¬↔ q) → {(p →r)→[(q →s)→(r v s)]}
          Nos queda, sin embargo, antes de presentar el cálculo y comenzar a manejarlo, algo todavía por decir, unos
últimos conceptos por precisar. Podemos introducir cuantas premisas queramos siempre que luego las eliminemos.
          A esas premisas que introduciremos en el curso de la deducción para luego eliminarlas construyendo el
condicional correspondiente, las llamaremos premisas auxiliares, a diferencia de las que llamaremos premisas básicas,
las que se nos dan al principio y permanecen al final como tales.

         Veamos un ejemplo:
   [ (p → q) ^ (q →r)] →(p →r)
    (1) 1. p → q                     P. básica.
    (2) 2. q → r                     P. básica.
    (3) 3. ¬ (p → r)                 P. auxiliar.
    (3) 4. p ^ ¬ r                   Df. →, 3
    (3) 5. p                         Df. ^, 4
  (1,3) 6. q                         M.P.; 1,5
    (3) 7. ¬ r                       Df. ^, 4
  (2,3) 8. ¬ q                       M.T.; 2,7
(1,2,3) 9. q ^ ¬ q                   R.I. ^; 6,8
 (1,2)10. ¬ (p → r) →(q ^ ¬ q)       R.I. →; 3,9
 (1,2)11. p → r                      R.A. , 10

         Hemos adoptado una premisa auxiliar y, después de un cierto proceso deductivo, la hemos eliminado. Ese
proceso, que en esta derivación va de la línea 3 a la línea 11, es una especie de derivación dentro de la derivación, una
especie de subderivación o digresión que consiste en desviarse por un momento del curso principal de la deducción,
siguiendo el curso secundario a que nos conduce esa premisa auxiliar, para, eliminando esa premisa, volver al camino real.


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        Esta particularidad la representaremos tipográficamente así:      1. p → q
                                                                     2. q → r
                                                                       --- 3. ¬ (p → r)
                                                                       | 4. p ^ ¬ r
                                                                   | 5. p
                                                                        | 6. q
                                                                    | 7. ¬ r
                                                                    | 8. ¬ q
                                                                    | 9. q ^ ¬ q
                                                                      10. p → r
         En las deducciones que a partir de este momento realicemos aparecerán, por tanto, tres tipos de expresiones: Las
premisas básicas. Las representaremos como P. Las premisas auxiliares. Que señalaremos con el recurso tipográfico
visto. Las expresiones que se siguen de cualesquiera expresiones de tipo 1 y 2 en virtud de reglas de inferencia. A su
derecha se especificará cuál es la regla de inferencia a que se ha recurrido para deducirla y cuáles son las premisas que
han servido para dar ese paso.

     2.3.4. El sistema de reglas de deducción.
         En 1934, GENTZEN y JASKOWSKI, propusieron un sistema de inferencia natural. Este sistema se basa en
ocho reglas. Hay dos reglas para la negación, conjunción, disyunción y el condicional. La primera de ellas será una regla
de introducción de la conectiva, la segunda una regla de eliminación.

          Reglas primitivas del cálculo de proposiciones:
   1. Introducción de la negación:             --- X
           ( R. I. ¬ )                       | Y^¬Y
                                            --------------
                                                 ¬X
   2. Eliminación de la negación:                                         ¬¬X
           ( R. E. ¬ )                                                     X

   3. Introducción de la disyunción:          X          o    __Y__
           ( R. I. v )                      XvY               XvY
   4. Eliminación de la disyunción:                                                              XvY
           ( R. E. v )                                                                            ---X
                                                                                                  | Z
                                                                                                  ---Y
                                                                                                  | Z
                                                                                               ------------
                                                                                                    Z
   5. Introducción de la conjunción:         X                 Y
            (R. I. ^ )                      Y        o        X__
                                           X^Y               Y^X
   6. Eliminación de la conjunción:
           ( R. E. ^ )                                                        X^Y          o         X^Y
                                                                               X                      Y
   7. Introducción del condicional:               ---X
            ( R. I. )                         | Y
                                              ----------
                                               XY
   8. Eliminación del condicional:                                                XY
           ( R. E.  )                                                            X
                                                                                   Y

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          Comentario a propósito de cada una de estas reglas:
         1) (R. I. ¬). (Reducción al absurdo): Cuando de una hipótesis se siguen consecuencias contradictorias, entonces
podemos inferir que esa hipótesis es falsa.
         2) (R. E. ¬). Está autorizado el paso de cualquier expresión doblemente negada a su afirmación.
         3) (R. I. v). Si tomamos un enunciado como premisa podemos inferir como conclusión la disyunción de ese
enunciado con cualquier otro, sea cual fuere el valor de verdad de éste.
         4) (R. E. v). Presentadas dos alternativas, si afirmamos que de la primera se sigue lo expresado por un
determinado enunciado, y otro cierto enunciado se sigue de lo expresado por la segunda, podemos inferir la disyunción de
esos dos enunciados que se siguen respectivamente de los miembros de la alternativa.
         5) (R. I. ^). Si tenemos en una línea cualquiera de una derivación el enunciado p, y en otra línea el enunciado q,
podemos pasar en una tercera línea a la conjunción de esos dos enunciados. Puesto que estamos dándolos por verdaderos,
su conjunción lo será también.
         6) (R. E. ^). Tomando como verdadera una conjunción, podemos pasar a la afirmación aislada de uno cualquiera
de sus componentes.
         7) (R. I. →). Si de un enunciado se sigue otro, entonces podemos unirlos mediante un condicional.
         Por una parte, cada vez que se nos pida que derivemos como conclusión una expresión que tiene la forma de un
condicional, nuestra estrategia consistirá en tomar como premisa auxiliar el antecedente de dicho condicional; si al hacerlo
así conseguimos derivar el consecuente, podremos unir ambos mediante el condicional y obtener así la expresión buscada.
         Por otra parte, la R. I. → desempeña un papel decisivo en lógica. El llamado Teorema de la deducción dice que
si en el cálculo existe una demostración del enunciado Y a partir del enunciado X, entonces existe también en él una
demostración de la fórmula "X →Y". Si hemos demostrado que de X se sigue Y, podemos dar por demostrado que
X →Y.
         8) (R. E. →). En el sistema axiomático de P. M. la hemos conocido como Regla de separación. Es una versión
metalingüística de la ley llamada Modus ponendo ponens.

          Reglas derivadas del cálculo de enunciados:
1) Transitividad → :       X →Y
    (Tr. →)               Y→Z
                          X→Z
2) Modus tollens       :                    X →Y
    (M. T.)                                  ¬Y
                                             ¬X
3) Importación       :                                        X→(Y→Z)
    (Imp. )                                                   (X^Y)→Z
4) Exportación       :                                                                   (X^Y)→Z
    (Exp. )                                                                              X→(Y→Z)
5) Contraposición → :       X →Y o ¬Y→¬X
    (Contr. →)           ¬Y→¬X          X →Y
6) Reflexividad → :                                            X
    (Refle. →)                                                  X
7) Conmutatividad ^ :                                                       X^Y
    (Conmu. ^)                                                               Y^X
8) Idempotencia ^ :                                                                         X^X
    (Idemp. ^)                                                                               X
9) Conmutatividad v :       XvY
    (Conmu. v)              YvX
10) Idempotencia v :                          XvX
    (Idemp. v)                                  X
11) Inferencia v 1 :                                          XvY
    (Inf. v, 1)                                                ¬X
                                                               Y

                                                            19
12) Inferencia     v2 :                                                XvY
    (Inf. v, 2)                                                         ¬Y
                                                                        X
13) Dilema constructivo 1:            XvY
    (D. C. 1)                        X →Z
                                     Y →Z
                                      Z
14) Dilema constructivo 2:                        XvY
    (D. C. 2)                                    X →Z
                                                 Y →W
                                                 ZvW

15) Dilema destructivo 1 :                                     ¬Xv¬Y
    (D. D. 1)                                                  Z→X
                                                                Z→Y
                                                                 ¬Z

16) Dilema destructivo 2 :                                                    ¬X v ¬Y
    (D. D. 2)                                                                  Z →X
                                                                               W →Y
                                                                              ¬Zv¬W
17) Distribución ^ por v :          X^(YvZ)
    (Dist. ^,v)                    (X^Y)v(X^Z)
18) Distribución v por ^ :                       Xv(Y^Z)
    (Dist. v.^)                                  (XvY)^(XvZ)
19) Introducción ↔ :                                                   X→Y
    (Int. ↔)                                                           Y→X
                                                                       X↔Y
20) Debilitación    ↔ :                                                             X↔Y
    (Deb. ↔)                                                                        Y→X

21) Eliminación ↔1 :                X↔Y
    (Eli.↔,1)                         X
                                    Y
22) Eliminación ↔ 2 :                            X↔Y
    (Eli.↔,2)                                      ¬X
                                                  ¬Y
23) Eliminación ↔3 :                                              X↔Y
    (Eli.↔,3)                                                       Y
                                                                    X
24) Eliminación ↔4 :                                                                    X↔Y
    (Eli.↔,4)                                                                             ¬Y
                                                                                         ¬X
25) Transitividad ↔ :               X↔Y
    (Tran. ↔)                       Y↔Z
                                    X↔Z
26) Introducción    ¬¬ :                            X__
    (Int. ¬ ¬)                                     ¬¬X

27) Ex contradictione quodlibet:                                       X^¬X
    (E.c.q.)                                                            Y

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          De lo falso se sigue cualquier cosa. Por tanto, si tomamos una contradicción como premisa, podemos inferir
cualquier enunciado como conclusión. Llevada demasiado lejos, esta regla introduciría en el sistema una especie de
libertarismo deductivo. Podría deducirse casi todo. La regla, sin embargo, ha de entenderse en un sentido más
restringido. De hecho sólo se aplicará en el seno de una subderivación.
          Algunos autores recogen todas las posibles reglas derivadas en una única regla (de inferencia tautológica),
(R.I.T.). Esta regla nos permite escribir en una línea de una derivación una expresión que se infiere tautológicamente de
alguna o algunas líneas escritas con anterioridad.
          Inferir tautológicamente es saber que es formalmente verdadero el condicional formado por un antecedente de
alguna o algunas líneas unidas por conjunciones y un consecuente formado por la expresión que escribimos en la línea de
la derivación al aplicar la R.I.T.. Cuestión que podemos comprobar mediante tabla de verdad.

 2.4. Epílogo.

         Acabamos de iniciarnos en la lógica de proposiciones. Se exponga como sistema axiomático o como cálculo de
deducción natural, la lógica de proposiciones es la misma.
         Su poder de análisis formal de la validez de las inferencias tendrá siempre el mismo alcance, identificar como
formalmente válidos aquellos razonamientos en que la conclusión se siga necesariamente de las premisas y detectar como
no válidos aquellos otros en que esto no ocurra.
         La exigencia de que en un cálculo sólo puedan ser obtenidos por derivación los enunciados verdaderos
construibles con sus símbolos, es la exigencia de que ese cálculo sea consistente. La exigencia de que en él sea posible
deducir todos los enunciados verdaderos relativos a la teoría que con ese cálculo se pretende formalizar, es la exigencia de
que ese cálculo sea completo. Cuando estudiamos un cálculo por ver si cumple estos requisitos estamos haciendo la
metateoría de ese cálculo.

         Un determinado sistema es "consistente" cuando en él es imposible demostrar a la vez un enunciado y su
negación. Quiere ello decir, entonces, que si un sistema es inconsistente son demostrables en él todas las expresiones bien
formadas en él construibles. Esto a su vez, quiere decir, que si no todas las fórmulas bien formadas de un sistema son
demostrables, entonces es que el sistema es "consistente".
         Un sistema es "completo" cuando puede demostrar todos los enunciados verdaderos de la teoría en
cuestión, cuando toda expresión verdadera construible con sus símbolos es una tesis del sistema. Dos son las
definiciones de la noción de complección:
         1) La primera, en sentido débil, es la que acabamos de enunciar.
         2) La segunda, en sentido fuerte, dice: un sistema es "completo", cuando si se amplia su base axiomática, se
vuelve inconsistente.
         El cálculo de la lógica de enunciados es consistente y completo. A la lógica de enunciados se le puede dar la
forma de un cálculo que reúna los requisitos de consistencia y complección.
         El dictamen de la lógica de enunciados no es inapelable en algunos casos, sino que podemos apelar a una
instancia lógica superior, a un cálculo lógico de mayor capacidad analítica.




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BIBLIOGRAFÍA.



Deaño, Alfredo. Introducción a la lógica formal. Alianza Editorial. Madrid. 1980.

Garrido, Manuel. Lógica simbólica. Tecnos. Madrid. 1983.

Manzano, María y Mata Aitor. Lógica para principiantes. Alianza. Madrid. 2004.

Mosterín, Jesús. Lógica de primer orden. Ariel. Barcelona. 1983.

Sacristán, Manuel. Introducción a la lógica y al análisis formal. Ariel. Barcelona. 1973.




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