_ZIELONA G�RA, 2 by 6gPcYYW

VIEWS: 35 PAGES: 25

									                      WSPÓŁCZESNE UKŁADY STEROWANIA



                                     Tematy wykładów


1. Wstęp. Podstawowe pojęcia. Klasyfikacja układów sterowania. Regulatory liniowe i
     nieliniowe. Regulatory PID. Korektory wyprzedzająco-opóźniające. Projektowanie
     układów metodami klasycznymi.
2. Opis układu w przestrzeni stanów. Sterowalność, stabilizowalność. Projektowanie układu
     metodą sprzężenia od stanu.
3. Obserwowalność. Projektowanie obserwatora stanu. Projektowanie układu regulacji ze
     sprzężeniem od     stanu obserwowanego. Zasada separowalności estymacji stanu i
     sterowania.
4. Obserwator rzędu zredukowanego.
5. Próbkowanie sygnału ciągłego. Równania różnicowe. Transmitancja dyskretna. Stabilność
     układów dyskretnych. Ekstrapolator rzędu zerowego. Regulacja cyfrowa.
6. Projektowanie układów sterowania optymalnego przy kwadratowym wskaźniku jakości.
     Równania stanu sprzężonego. Zasada maksimum. Równanie Riccatiego. Detektowalność
     systemu.
7. Projektowanie optymalnego obserwatora stanu  filtr Kalmana. Sterowanie optymalne
     systemu liniowego w przypadku zakłóceń gaussowskich.




Literatura

1.   A. Niederliński. Systemy komputerowe automatyki przemysłowej. t. 2, WNT, 1985.
2.   Ackerman. Regulacja impulsowa, WNT,1976.
3.   Mańczak, Z. Nahorski. Komputerowa identyfikacja obiektów dynamicznych, PWN, 1983.
4.   R. Yager, D. P. Filev. podstawy modelowania i sterowania rozmytego, WNT, 1995.
5.   Osowski. Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym, WNT, 1996.
6.   Błachuta (red.). Laboratorium teorii sterowania i podstaw automatyki, Wyd. Pol. Śląskiej,
     1998.




                                               1
                   1. WSTĘP
             PODSTAWOWE POJĘCIA
      KLASYFIKACJA UKŁADÓW STEROWANIA
REGULATORY LINIOWE I NIELINIOWE. REGULATORY PID
    KOREKTORY WYPRZEDZAJĄCO-OPÓŹNIAJĄCE
PROJEKTOWANIE UKŁADÓW METODAMI KLASYCZNYMI



             KLASYFIKACJA UKŁADÓW STEROWANIA




                                       u( t )                                      y(t )
            Urządzenie
                                                                 Obiekt
             sterujące



                        Rys. 1. Otwarty układ sterowania


                                                                       z(t )


 y0 (t )   e( t )                               u(t )                                      y( t )
                         Regulator                                  Obiekt
             -




 Rys. 2. Zamknięty układ sterowania  układ regulacji automatycznej


                                                           z( t )

                          Regulator


                              u( t )                                           y( t )
                                                        Obiekt




                    Rys. 3. Układ automatycznej kompensacji




                                                 2
                                    REGULATORY LINIOWE I NIELINIOWE

   regulatory nieliniowe: dwupołożeniowy, trójpołożeniowy,
   regulatory liniowe: PID, korektor wyprzedzająco-opóźniający.

                                       REGULATOR PID  IDEALNY


            P           I     D
                        Ki
Gr ( s)  K p              Kd s                                                 (1.1)
                        s

                    1         
Gr ( s)  K p  1        Td s                                                  (1.2)
                   Ti s       

Dobór nastaw regulatora PID:

   metoda Zieglera-Nicholsa (metoda testu granicy stabilności)

K p  0.6 K m ,                                                                   (1.3)
       K p m
Ki                 ,                                                             (1.4)
        
       K p
Kd             ,                                                                 (1.5)
       4 m

K m  wzmocnienie krytyczne,
 m  pulsacja drgań nietłumionych.

   metoda testu odpowiedzi skokowej

Uproszczony model obiektu inercyjnego wysokiego rzędu

          ke  T0s
G( s)             ,                                                              (1.6)
          Ts  1

k  współczynnik wzmocnienia,
T0  czas martwy (opóźnienia),
T  stała czasowa.

Nastawy regulatora oblicza się na podstawie parametrów modelu uproszczonego korzystając
z tabel  (Poradnik inżyniera. Automatyka, str. 618-619).




                                                   3
                              KOREKTOR WYPRZEDZAJĄCO-OPÓŹNIAJĄCY

                    sa
K ( s)  K c                                                                                                       (1.7)
                    sb

0  a  b - korektor wyprzedzający (ang. lead),
0  b  a - korektor wyprzedzający (ang. lag).


          Gain dB                                                     Gain dB
    20                                                          60


    10                                                          40


      0                                                         20


    -10 -2             -1            0             1    2
                                                                 0 -2              -1            0             1    2
      10              10           10             10   10        10               10           10             10   10
                            Frequency (rad/sec)                                         Frequency (rad/sec)
          Phase deg                                                   Phase deg
                                                                 0
    90

                                                                -30
    60

                                                                -60
    30

                                                                -90
      0 -2             -1            0             1    2             -2           -1            0             1    2
      10              10           10             10   10        10               10           10             10   10
                            Frequency (rad/sec)                                         Frequency (rad/sec)



Rys. 4. Charakterystyki amplitudowo-fazowe Rys. 5. Charakterystyki amplitudowo-fazowe
        korektora wyprzedzającego                  korektora opóźniającego
                       s  0.2                                     s5
        K c ( s )  10                             K c ( s )  10
                        s5                                       s  0.2

Maksymalne przesunięcie fazowe dla   ab .

Korektor wyprzedzający:
 zwiększa zapas stabilności układu zamkniętego,
 zwiększa uchyb statyczny,
 zmniejsza czas regulacji,
 zwiększa szerokość pasma przenoszenia (może być to niekorzystne ze względu na
  zwiększony wpływ szumów).

Korektor opóźniający:
 zmniejsza zapas stabilności układu zamkniętego (nie należy stosować dla obiektów niesta-
  bilnych lub o małym zapasie stabilności),
 zmniejsza uchyb statyczny,
 zwiększa czas regulacji,
 zmniejsza szerokość pasma przenoszenia (może być to korzystne ze względu na zmniej-
  szony wpływ szumów).

Projektowanie układów regulacji: metoda przemieszczania biegunów układu zamkniętego
poprzez dodanie dodatkowych zer i biegunów do transmitancji układu otwartego -
odpowiednie kształtowanie wykresu linii pierwiastkowych.




                                                            4
2. PROJEKTOWANIE UKŁADÓW REGULACJI PRZY WYKORZYSTANIU OPISU
                    W PRZESTRZENI STANÓW

Idea metod: Przebiegi przejściowe w układach regulacji są zależne od położenia biegunów
układu zamkniętego. Zadanie regulatora polega na takim przemieszczeniu biegunów, aby
otrzymać pożądane właściwości układu zamkniętego.

  PROJEKTOWANIE UKŁADÓW REGULACJI METODĄ SPRZĘŻENIA OD STANU

Przykład 1. Dany jest niestabilny obiekt regulacji rzędu II opisany równaniami stanu

  3  2      1
x
        x   0 u
  1 0        

Bieguny układu otwartego można obliczyć rozwiązując równanie charakterystyczne układu

det( sI  A)  0                                                                       (2.1)

           s  3 2
sI  A              
            1 s
det( sI  A )  s( s  3)  2  s 2  3s  2  ( s  1)( s  2)

W układach ze sprzężeniem od stanu zakłada się, że sterowanie jest proporcjonalne do
wektora stanu. Reguła sterowania ma następującą postać:

u  kx                                                                                (2.2)

Zadanie polega na takim dobraniu wektora wzmocnień k, aby układ zamknięty był stabilny.
Dla układu II-ego rzędu o jednym wejściu u

                   x 
u  kx  [k1 k1 ] 1   k1 x1  k2 x2
                    x2 

Równanie stanu układu zamkniętego

 x1 
        3  2  x1    k1 x1  k2 x2  3  k1         2  k2   x1 
x     1 0   x           0         1               0   x2 
 2          2                                              

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

                     s  3  k1 2  k2 
det( sI  A )  det 
                     1            s  

det( sI  A )  s( s  3  k1 )  2  k2  s 2  s( k1  3)  2  k2

Załóżmy, że zadane jest położenie biegunów układu zamkniętego


                                                      5
s1   p1 ,
s2   p2 .

Zadane równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać:

M ( s )  ( s  s1 )( s  s2 )  ( s  p1 )( s  p2 )  s 2  s( p1  p2 )  p1 p2

Porównując zadane równanie charakterystyczne z równaniem charakterystycznym układu ze
sprzężeniem od stanu otrzymujemy

k1  3  p1  p2 ,
k2  2  p1 p2 .

Stąd wzmocnienia k1 i k 2

k1  p1  p2  3,
k2  p1 p2  2.

Stosując powyższe zasady można przenosić bieguny układu w dowolne położenie w lewej
półpłaszczyźnie zespolonej dobierając odpowiednio wartości wzmocnień k1 i k 2 .



                                    u                                       x
                                               x  Ax  Bu
                                               



                                                 u   kx



                        Rys. 6. Regulacja w układzie ze sprzężeniem od stanu

Metodę tą można stosować jedynie dla systemów, które spełniają warunek sterowalności.

Liniowy system dynamiczny jest sterowalny  jeżeli rząd macierzy sterowalności S jest
równy rzędowi systemu n (wymiarowi wektora stanu).

S  [B AB A 2 B  A n1B]                                                            (2.3)

Jeżeli system jest sterowalny, to stosując sprzężenie od stanu można ulokować bieguny w
dowolnym miejscu na płaszczyźnie zespolonej.

W praktyce wystarcza spełnienie słabszego warunku stabilizowalności.
Liniowy system dynamiczny jest stabilizowalny, jeżeli jego niestabilne bieguny są
sterowalne.



                                                         6
Przykład 2. Dany jest niestabilny system dynamiczny

  3 0         1
x
         x   0 u
   0  1      

Równanie charakterystyczne systemu ma postać:

det( sI  A)  ( s  3)( s  1)

System ma jeden biegun niestabilny (+3). Macierz sterowalności:

             1 3
S  [B AB]      
              0 0

Rząd macierzy S jest równy 1. System ten nie jest więc sterowalny. Jednakże, niestabilny
biegun systemu jest sterowalny, ponieważ za pomocą sprzężenia zwrotnego można zmienić
jego położenie. Sygnał sterujący u określa zależność:

                   x 
u  kx  [k1 k1 ] 1   k1 x1  k2 x2
                    x2 

Stąd podstawiając sterowanie do równania stanu otrzymujemy równanie stanu dla układu
zamkniętego:

                       3  k            k2 
x  0  1 x  0u   0 1
     3 0        1
    
         
                
                                       1 x
                                            

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać:

                     s  3  k1    k2 
det( sI  A )  det                       ( s  1)( s  3  k1 )
                         0        s  1
                                        

System zamknięty jest stabilny, jeżeli k1  3  0  k1  3 .

Projektowanie układu sterowania ze sprzężeniem od stanu składa się z następujących kroków:
1. Na podstawie znajomości wymaganych wartości pierwiastków równania
   charakterystycznego     układu     zamkniętego     wyznaczamy        zadane    równanie
   charakterystyczne.
2. Przyjmujemy u  kx i wyznaczamy równanie charakterystyczne układu zamkniętego.
3. Porównując zadane równanie charakterystyczne i równanie układu zamkniętego
   zapisujemy układ równań liniowych.
4. Rozwiązując układ równań obliczamy wzmocnienia k1 , k2 , , k n .




                                                      7
                  TRANSMITANCJA RÓWNOWAŻNEGO KOMPENSATORA

Transmitancja równoważnego kompensatora umożliwia porównanie otrzymanych wyników
projektowania z wynikami otrzymanymi podczas projektowania metodami klasycznymi.

Równania systemu o jednym wejściu i jednym wyjściu:

x  Ax  Bu, x( 0)  0 ,
                                                                                  (2.4)
y  Cx  Du .                                                                      (2.5)

Transformaty Laplace’a równania stanu ma postać:

sX( s)  AX( s)  BU ( s),                                                         (2.6)

Stąd

X( s )  ( sI  A ) 1 BU ( s )   ( s )BU ( s ),                                 (2.7)

gdzie

( s )  ( sI  A ) 1 .                                                           (2.8)

Transformata Laplace’a równania wyjścia

Y ( s)  CX( s)  DU ( s)  [C( s)B  D]U ( s)  G( s)U ( s) .                    (2.9)

Stąd transmitancja operatorowa systemu ma postać:

G( s)  C( s)B  D .                                                             (2.10)

Transformatę sygnału sterującego u określa wyrażenie

U ( s)  kX(s) k( s)BU ( s).                                                  (2.11)



                                      U(s)                        X(s)
                                                     ( s )B

                                    

                                                      k


                           Rys. 7. Regulacja w układzie ze sprzężeniem od stanu

Transmitancja układu otwartego ma postać


                                                        8
                                      G0 ( s )  k ( s )B.                    (2.12)

Dla równoważnego układu projektowanego metodą klasyczną

                                  G0 ( s)  G( s) K ( s) ,                     (2.13)

gdzie

K ( s)  transmitancja kompensatora (regulatora),
G( s)  transmitancja systemu (obiektu).

Porównując (2.12) i (2.13) otrzymujemy

                                      k ( s )B    k ( s )B
                           K ( s)                             .              (2.14)
                                       G( s)      C ( s )B  D

Obliczając K(s) można wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe, zapas stabilności,
pasmo przenoszenia, wykres linii pierwiastkowych.


                    3. PROJEKTOWANIE OBSERWATORA STANU

Wady układu regulacji ze sprzężeniem od stanu:
- wymagana znajomość wszystkich zmiennych stanu,
- wymagane są idealne czujniki pomiarowe o nieograniczonym paśmie,
- stosowanie wielu czujników pomiarowych może być technologicznie niemożliwe lub
  kosztowne,
- uszkodzenie nawet jednego czujnika może spowodować niestabilność układu regulacji.

W praktyce stosuje się kompensatory, które wykorzystują jedynie sygnały wejściowe i
wyjściowe obiektu regulacji  układy ze sprzężeniem wyjściowym.

Idea obserwatora stanu polega na wykorzystaniu sygnałów wejściowych i wyjściowych
systemu do estymacji zmiennych stanu (D. Luenberger).
Jeżeli znane są wszystkie parametry systemu (macierze A, B, C, D), to można go
zasymulować analogowo lub cyfrowo. Można w ten sposób odtworzyć wszystkie stany
symulowanego systemu.
Załóżmy, że znany jest opis systemu

                                        x  Ax  Bu,
                                                                               (3.1)

a stan początkowy

                                          x( 0)  x 0                           (3.2)
jest nieznany.
Symulowany system (obserwator stanu) można przedstawić w postaci



                                                   9
                                    
                                    x  Ax  Bu,
                                    ˆ     ˆ                                                 (3.3)
                                    x(0)  x 0 .
                                    ˆ       ˆ                                               (3.4)

gdzie x 0 oznacza znany stan początkowy symulowanego systemu. Błąd odtworzenia stanu
       
definiuje zależność
                                        ~  x  x.
                                        x                                                  (3.5)

Stąd uwzględniając (3.1) i (3.3) otrzymuje się następujące równanie błędu odtworzenia stanu

                                              ~
                                         ~  Ax ,
                                         
                                         x                                                  (3.6)

z warunkiem początkowym
                                     ~( 0)  x  x .
                                     x           0                                         (3.7)
                                              0


Rozwiązanie równania (3.6) ma postać

                                      ~( t )  e At ~ .
                                      x             x0                                      (3.8)

Błąd ~( t ) dąży do zera, jeżeli system jest stabilny ( ~( t )  0 , gdy t   ). Błąd jest równy
      x                                                 x
zero, jeżeli warunek początkowy systemu jest taki sam jak warunek początkowy obserwatora.
Warunek początkowy systemu jest jednak nieznany. W obserwatorze określonym
zależnościami (3.3) i (3.4) nie jest wykorzystywana informacja dostarczana przez sygnał
wyjściowy systemu.
Załóżmy, że równanie wyjścia ma postać

                                         y  Cx .                                           (3.9)

Wprowadzając do równania obserwatora człon korekcyjny, który porównuje sygnał
wyjściowy systemu i obserwatora otrzymuje się

                                    
                                    x  Ax  Bu  L( y  Cx ),
                                    ˆ     ˆ               ˆ                               (3.10)
                                    x(0)  x 0 .
                                    ˆ       ˆ                                             (3.11)

Równanie stanu dla błędu przyjmuje wtedy postać

                                    
                                    ~  ( A  LC ) ~,
                                    x              x                                      (3.12)
                                    ~(0)  x  x  ~ .
                                    x           ˆ 0 x0                                    (3.13)
                                             0



Jeżeli wybierzemy L w taki sposób, aby wartości własne macierzy A  LC były arbitralnie
ulokowane na płaszczyźnie zespolonej, to problem będzie rozwiązany. Błąd obserwatora
będzie dążył do zera przy dowolnych warunkach początkowych.
Ta właściwość układu jest nazywana obserwowalnością.
Obserwowalność oznacza, że dobierając odpowiednio macierz L można ulokować wartości
własne macierzy A  LC w dowolnym miejscu na płaszczyźnie zespolonej.


                                                10
Liniowy układ stacjonarny

                                x  Ax  Bu, x(0)  x0 ,
                                                                                    (3.14)
                                y  Cx  Du .                                        (3.15)

jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy obserwowalności

                                         C 
                                         CA 
                                               
                                    O   CA2                                       (3.16)
                                               
                                          
                                        CAn 1 
                                               

ma rząd równy n.

Funkcja Control System Toolbox L  place(a' , c' , OP) oblicza wartości macierzy L dla
zadanych biegunów obserwatora OP macierzy A  LC.

     Bieguny obserwatora powinny być tak dobierane, aby zapewnić szybką zbieżność błędu
      estymacji ~.
                 x
     Bieguny obserwatora powinny być większe (kilkakrotnie) od biegunów układu
      regulacji (macierzy A  Bk).

Równanie charakterystyczne obserwatora można zapisać w postaci

                                det[sI  ( A  LC)]  0

lub
                          1    1      1     1     
                                s  1 s  1 s  1  0
                               a      a     a     
                      a1a2 an  1     2      n    

Decydujący wpływ na szybkość działania obserwatora ma największa stała czasowa
                                   1
Tm ax  max Ti , i  1,2,, n; Ti  .
          i                        ai

Bieguny obserwatora nie mogą się znajdować zbyt daleko w lewej półpłaszczyźnie
ponieważ:
 wartości k i L będą duże i mogą spowodować wystąpienie nasycenia sygnałów a nawet
   niestabilność układu,
 nastąpi zwiększenie pasma przenoszenia, co utrudni tłumienie zakłóceń o wysokiej
   częstotliwości.

Zasada separacji estymacji stanu i sterowania

Projektowanie układu regulacji ze sprzężeniem od stanu i projektowanie obserwatora stanu są
separowalne.


                                             11
Oznacza to, że można zaprojektować układ regulacji przyjmując, że stan układu jest
obserwowalny, a następnie zaprojektować obserwator stanu estymujący stan układu i
wykorzystać oceny stanu zamiast stanu.

Równania stanu i obserwatora

Łącząc równania stanu obiektu i obserwatora otrzymuje się

                             x  A  Bk
                                           Bk   x 
                            ~   0
                                         A  LC ~
                                                                                  (3.17)
                            x                 x 

Ponieważ

                          x  Ax  Bu, u  kˆ , x  x  ~ ,
                                            x ˆ         x

Stąd

                        x  Ax  B( kx)  Ax  B[k(x  ~)],
                                     ˆ                  x

                                 x  ( A  Bk )x  Bk~,
                                                     x
                                    
                                    ~  ( A  LC ) ~,
                                    x              x

Analiza transmitancji

Równanie kompensatora szeregowego otrzymuje się jako połączenie równań opisujących
sprzężenie od stanu i równań obserwatora

                              
                              x  Ax  Bu  L( y  Cx ),
                                                  
                                      u  kˆ
                                            x

                              
                              x  ( A  Bk  LC )x  Ly .
                              ˆ                  ˆ                                (3.18)

Transformując (3.18) otrzymuje się równanie operatorowe

                                               ˆ
                          ( sI  A  Bk  LC ) X ( s )  LY ( s ),                (3.19)

Transmitancja operatorowa korektora

                            K ( s )  ( sI  A  Bk  LC ) 1 L .                 (3.20)
   Pomimo tego, że zarówno macierz regulatora ( A  Bk ) jak macierz kompensatora
    ( A  LC) będą stabilne, to macierz kompensatora ( A  Bk  LC) może być niestabilna
    (może mieć bieguny w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej).
   Regulatory zbudowane z zastosowaniem obserwatorów nie mają cechy odporności -
    wykazują dużą czułość na zakłócenia i zmiany parametrów)
   Regulatory zbudowane z zastosowaniem obserwatorów mają mniejszy zapas stabilności w
    porównaniu z regulatorami ze sprzężeniem od stanu



                                                12
Układ zamknięty otrzymuje się łącząc szeregowo obiekt i kompensator.
Wielkość zadaną można uwzględnić przyjmując

                                         u  kx  Nv
                                               ˆ

N – wzmocnienie statyczne wejścia wielkości zadanej dobrane tak, aby błąd statyczny dla
   wymuszenia skokowego był równy zero.



                  v                        u            x  Ax  Bu
                                                                           y
                          N
                                     -                  y  Cx




                                                    
                                                    x  Ax  Bu L(y Cx)
                                                    ˆ    ˆ             ˆ


                                               kx




           Rys. 8. Regulacja w układzie ze sprzężeniem od stanu obserwowanego



                  1. OBSERWATOR RZĘDU ZREDUKOWANEGO

Obserwator rzędu pełnego ma rząd taki sam jak rząd systemu. Jeżeli rząd systemu jest równy
n, a m zmiennych stanu jest dostępnych pomiarowo (mierzalnych), to odtwarzanie wszystkich
zmiennych stanu nie jest konieczne. Można wtedy odtwarzać jedynie n  m nieznanych
zmiennych stanu systemu. Obserwator taki został po raz pierwszy zaproponowany przez D.
Luenbergera.
Aby wyprowadzić równanie obserwatora rzędu zredukowanego, definiuje się liniową
transformację stanu

                                   y  Cx,                                           (4.1)
                                   z  Tx ,                                          (4.2)

gdzie: z jest wektorem o wymiarze (n  m)  1,
       T jest dowolną macierzą o wymiarach (n  m)  n, która spełnia warunek, że macierz
            C
       E    jest nieosobliwa.
            T 
Macierz E1  [P M] istnieje, jeżeli rząd (C)  m . Łącząc wektory y i z otrzymujemy

                                     y  C
                                     z   Tx.                                    (4.3)
                                       
Stąd


                                               13
                                    1
                              C  y       y
                          x       P M   Py  Mz .
                              T  z       z 

Załóżmy, że konstruujemy obserwator rzędu pełnego

                                           x  Py  Mz,
                                           ˆ         ˆ                                  (4.4)

      ˆ
gdzie z jest oceną z. Z (4.4) wynika, że aby estymować x, należy jedynie zaprojektować
estymator z. W tym celu należy jedynie wyznaczyć równanie różniczkowe opisujące stan
zredukowany z. Mnożąc lewostronnie równanie stanu przez E otrzymujemy

                                         Ex  EAx  EBu
                                          

                   C    C      C     C        y  C
              Ex   x    Ax   Bu    AP M    Bu .
                       
                    T    T      T     T       z   T

Z (4.3) otrzymujemy
                                              C    y
                                                      
                                         Ex   x    .
                                                  
                                               T    
                                                     z
Stąd
              y  CAP CAM  y  CB
                                                   A11 A12   y   B1 
              z    TAP TAM   z    TB u  A                
                                                         A 22   z  B2 
                                                                            u.          (4.5)
                                            21          

Z (4.5) wynika, że
                                  z  A 22 z  ( A 21y  B2 u).
                                                                                       (4.6)

Obserwator rzędu pełnego dla z

                           
                           z  A 22 z  ( A 21y  B 2 u)  L( y  Cx )
                           ˆ        ˆ                              ˆ                    (4.7)

( A 21y  B2u) - sygnał wejściowy obserwatora,
L( y  Cx)ˆ    - człon korekcyjny, którego zadaniem jest stabilizowanie błędu obserwatora.
Ponieważ [P M] jest macierzą odwrotną E, to CP  I i CM  0 .

y  Cx  y  C(Py  Mz)  y  CPy  CMz  y  y  0 .
     ˆ               ˆ                ˆ

Człon korekcyjny nie zapewnia więc żadnej korekcji, ponieważ zawsze jest równy 0. Dlatego
w członie korekcyjnym wykorzystywana jest pochodna y zamiast y.

Z równania (4.5) mamy
                                   y  A11y  A12 z  B1u).
                                                                                       (4.8)
Równanie obserwatora

                  
                  z  A 22 z  ( A 21y  B 2 u)  L( y  A11y  B 2 u  A12 z ).
                  ˆ        ˆ                                                           (4.9)




                                                  14
Aby wykazać poprawność pracy obserwatora, należy udowodnić, że błędy estymacji są
asymptotycznie zbieżne do zera. Inaczej można powiedzieć że, układ równań różniczkowych
                                                                   ˆ
opisujących błąd powinien być asymptotycznie stabilny. Odejmując z od z, (4.9) od (4.6),
otrzymujemy
                                 
                                 ~  ( A  LA ) ~ .
                                 z      22    12 z                                 (4.10)

W równaniu błędu (4.10) występuje nieznana macierz L. Problem polega na tym, czy można
dobrać L w taki sposób, aby rozmieścić wartości własne (bieguny) macierzy A 22  LA 12 w
dowolny sposób lub przynajmniej tak, aby zapewnić stabilność układu (4.10).
Luenberger wykazał, że obserwowalność pary (C,A) jest równoważna obserwowalności pary
( A12 , A 22 ). Dlatego można dobrać taką macierz L, aby przemieścić wartości własne macierzy
A 22  LA 12 w dowolne miejsce na płaszczyźnie zespolonej.
Wprowadźmy zmienną w
                                        w  z  Ly.
                                            ˆ                                          (4.11)

Obserwator rzędu zredukowanego można zapisać w następującej postaci:

                                 w  Fw  Dy  Gu,                                                (4.12)
                                   x  Mw  Ny ,
                                   ˆ                                                              (4.13)
gdzie:

F  A 22  LA 12 ,
D  FL  A 21  LA 11 ,
G  B2  LB 1 ,
N  P  ML.

W przypadku szczególnym, jeżeli       C  I m    0 m , n  m  , można wybrać T  0 n  m , m   I n  m .
Otrzymuje się wtedy E  I n i żadna transformacja nie jest potrzebna. Macierze A i B mogą
być wtedy podzielone w bezpośredni sposób, aby otrzymać A12 i A 22 .




                                             15
                               5. DYSKRETNY FILTR KALMANA

5.1. Sformułowanie problemu

Niestacjonarny dyskretny system dynamiczny:

                                          xi 1  Ai xi  Bi ui  vi ,                  (5.1)
                                          y i Ci xi  wi .                             (5.2)

Cel: wyznaczyć ocenę stanu x i .
Założenia:
 macierze A i , Bi , Ci znane,
 v i  szum systemowy (błędy modelowania, niedoskonałość elementów wykonawczych,
   zakłócenia wewnętrzne),
 w i  szum pomiarowy (niedoskonałość czujników pomiarowych),
 xi 1  Ai xi  Bi ui  vi
 E[ v i ]  0 ,
 E[ w i ]  0 ,
                                   0 dla        ik
   E[ v i v T ]  Vi ik ,  ik                    delta Kroneckera,
                                                 ik
             k
                                   1 dla
   E[ w i w k ]  Wi ik ,
               T


 E[ v i wT ]  0
          k
Zakłócenia vi i wi mają właściwości dyskretnego białego szumu (nieskorelowane, o zerowej
wartości oczekiwanej).
 Vi , Wi  znane dodatnio określone macierze
 stan początkowy x 0 jest nieznany, x 0 jest zmienną losową o znanej wartości oczekiwanej
    m0 i macierzy kowariancji X 0 .
Niektóre z tych założeń można zastąpić przez mniej restrykcyjne, np.
- niezerowe wartości oczekiwane szumów vi i wi ,
- skorelowane vi i wi ,
- osobliwa macierz Wi ,
- wzajemnie skorelowane vi i wi .

5.2. Identyfikacja parametrów systemu o wielu wyjściach metodą rekurencyjną
     najmniejszych kwadratów

Równanie regresji (model) systemu o ny wyjściach ma postać
                                                    ˆ        ˆ
                                  y i 1  y i 1 ( b)  R T b ,
                                  ˆ        ˆ                                            (5.3)
                                                           i
ˆ
b  (np1)  wektor parametrów,
Ri  (np ny)  macierz regresji,
Minimalizowany wskaźnik  ważona suma regresji
                                           N
                               J ( b)     (y
                                          i 1
                                                  i
                                                             ˆ                   ˆ
                                                       R T1b)T Qi ( y i  R T1b) ,
                                                          i                   i         (5.4)

Qi  (ny ny) macierz symetryczna, dodatnio określona.]


                                                               16
       ˆ
Wektor b można obliczyć w podobny sposób jak dla systemu o jednym wyjściu
                                  ˆ       ˆ                          ˆ
                                  bi 1  bi  K i 1[ y i 1  R T1bi ]                (5.5)
                                                                  i

                                K i 1  Pi R i (Qi1  R T Pi R i ) 1
                                                    1
                                                           i                             (5.6)
                                       Pi 1  Pi  K i 1R i Pi
                                                             T
                                                                                         (5.7)
Nawet, jeżeli macierz Q i11 jest znana z góry (a priori), w każdej iteracji należy obliczać
macierz odwrotną (Qi1  R T Pi R i ) 1 . Macierz Pi może być interpretowana jako macierz
                       1
                              i
                                             ˆ         ˆ
kowariancji błędu estymacji E[( b  bi )( b  bi )T ] pod warunkiem, że Qi jest macierzą
odwrotną kowariancji szumu pomiarowego.


5.3. System statyczny bez szumu systemowego

                                     xi 1  xi ,                                        (5.8)
                                     y i Ci xi  wi .                                   (5.9)

Załóżmy że:
    ˆ
 bi  x i ,
        ˆ
 Qi  Wi1 ,
 R i  Ci 1
Stosując przy powyższych oznaczeniach algorytm rekurencyjny najmniejszych kwadratów
otrzymujemy
                             xi 1  xi  K i 1[ y i 1  y i 1 (xi )] ,
                             ˆ          ˆ                  ˆ       ˆ          (5.10)
                             y i 1 (x i )  Ci 1xi ,
                             ˆ       ˆ            ˆ                           (5.11)
                                                                           1
                             K i 1  Pi Ci 1 ( Wi 1  Ci 1Pi Ci 1 ) ,
                                             T              T        T
                                                                              (5.12)
                             Pi 1  Pi  K i 1Ci 1Pi .                     (5.13)

Pi jest macierzą kowariancji błędu estymacji stanu E[( x  x i )( x  x i )T ] .
                                                           ˆ          ˆ

5.5. System dynamiczny z szumem systemowym

                                     xi 1  Ai xi  Bi ui  vi ,                      (5.14)
                                     y i Ci xi  wi .                                 (5.15)

Stan systemu zmienia się (ewoluuje) w czasie ze względu na dynamikę systemu. Szum
systemowy powoduje jednak, że pomimo znajomości macierzy A i , Bi , Ci nie można
dokładnie obliczyć przyszłych wartości wektora stanu. Wprowadzimy dlatego następujące
rozróżnienie ocen wektora stanu:
- predykcja x i P w chwili i  1 na podstawie informacji dostępnej w chwili i (wartości a
                   ˆ
    priori) ˆ
            x i 1 i , Pi  1 i ,
-   aktualizacja x i P w chwili i  1 po uwzględnieniu pomiarów zebranych w chwili i  1
                 ˆ
    (wartości a posteriori) x i 1 i 1 , Pi 1 i 1 .
                            ˆ




                                                       17
          ˆ
Predykcja x i P

Szum systemowy vi jest ciągiem niezależnych wektorów losowych o zerowej wartości
oczekiwanej. Dlatego obliczając predykcję x i 1 i można zastąpić vi jego wartością oczekiwaną
                                          ˆ


                                       x i 1 i  A i x i i  B i ui .
                                       ˆ              ˆ                                                  (5.16)

Jeżeli predykcja jest nieobciążona, E [x i 1  x i 1 i ]  0 , co jest spełnione, jeżeli E [x i  x i i ]  0 ,
                                                ˆ                                                   ˆ
to macierz błędu predykcji
                                       Pi 1 i  E[( x i 1  x i 1 i )( x i 1  x i 1 i )T ] 
                                                              ˆ                    ˆ

                                        E[ A i ( x i  x i i )( x i  x i i )T A T ]  E[ v i v T ] 
                                                        ˆ              ˆ          i              i       (5.17)
                                        A i Pi i A T  Vi .
                                                    i

Błąd predykcji
                                       x i 1  x i 1 i  A i ( x i  x i i )  v i .
                                                ˆ                      ˆ                                 (5.18)

             ˆ
Aktualizacja x i P

Oceny wartości x i i Pi można ulepszyć uwzględniając wyniki pomiarów w chwili i  1 . W
                ˆ
tym celu zastępujemy x i 1 i przez x i 1 i 1 , a Pi 1 i przez Pi 1 i 1 . Odpowiada to wykonaniu
                        ˆ           ˆ
jednego kroku dla problemu statycznego, ponieważ prawdziwa wartość x i 1 nie zmienia się
podczas aktualizacji oceny.
Równania dla systemu statycznego mogą być wtedy wykorzystane pod warunkiem dokonania
zmian oznaczeń dla odróżnienia wartości a priori i a posteriori x i 1 i Pi 1
                                                                ˆ
- x i 1 i 1  x i 1 ,
    ˆ           ˆ
-   ˆ
    x i 1 i    xi ,
                 ˆ
-   Pi 1 i 1    Pi 1 ,
-   Pi  1 i    Pi .

Załóżmy, że x i i i Pi i są znane.
            ˆ
Następujący algorytm umożliwia obliczanie ocen x i 1 i 1 i Pi 1 i 1 :
                                               ˆ
   Predykcja stanu i macierzy kowariancji błędu predykcji
                              x i 1 i  A i x i i  B i ui ,
                              ˆ              ˆ                                                           (5.19)
                                       Pi 1 i  Ai Pi i AT  Vi .
                                                          i                                              (5.20)
   Obliczenie wzmocnienia (macierzy) filtru
                                       Ki 1  Pi 1 i CT1 ( Wi 1  Ci 1Pi 1 i CT1 )1 .
                                                        i                           i                    (5.21)
   Aktualizacja oceny stanu
                                       x i 1 i 1  x i 1 i  K i 1[ y i 1  Ci 1x i 1 i ] .
                                       ˆ             ˆ                                ˆ                  (5.22)
   Aktualizacja oceny macierzy kowariancji
                                       Pi 1 i 1  Pi 1 i  K i 1Ci 1Pi 1 i .                       (5.23)




                                                            18
Można sprawdzić, że podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów Pi 1 i 1  Pi 1 i .
Powyższe równania umożliwiające obliczanie x i 1 i 1 na podstawie x i i są nazywane filtrem
                                           ˆ                        ˆ
estymującym.

Uwagi.
1. Aby obliczyć K i 1 należy obliczyć ( Wi 1  Ci 1Pi 1 i CT1 )1 , co jest zawsze możliwe, jeżeli
                                                               i

     macierz Wi 1 jest nieosobliwa. W przypadku braku szumu pomiarowego Wi 1  0 ,
     pojawiają się trudności wymagające specjalnych rozwiązań.
2.   Filtr estymujący można transformować w filtr predykcyjny, który oblicza x i 1 i z x i i 1 .
                                                                             ˆ          ˆ
     Ponieważ
                                    x i 1 i  A i x i i  B i ui ,
                                    ˆ              ˆ
                                    x i i  x i i 1  K i [ y i  Ci x i i 1 ] ,
                                    ˆ       ˆ                         ˆ
     to filtr predykcyjny określa wyrażenie

                                                             ~
                              xi 1 i  Ai xi i 1  Bi ui  K i [yi  Ci xi i 1 ] ,
                              ˆ            ˆ                              ˆ                     (5.24)
                              ~
                              K i  AiK i                                                       (5.25)

3.   Istotną zaletą filtru Kalmana jest jego rekurencyjna postać, która umożliwia obliczenia
     metodą on-line. Aby zmniejszyć nakład pracy obliczeniowej on-line, można obliczać
     metodą off-line wszystkie wielkości, które nie są zależne od pomiarów.

Inicjalizacja filtru

Jeżeli wartość oczekiwana m0 i macierz kowariancji X 0 stanu początkowego x 0 są znane, to
można przyjąć
                               x 0 0  m0 ,
                               ˆ
                                    P0 0  X 0 .
Można również przez analogię z metodą najmniejszych kwadratów przyjmować
                               x0 0  0 ,
                               ˆ
                                    P0 0  I;    1 ,
jeżeli nie mamy zaufania do oceny stanu początkowego.

5.6. Filtr stacjonarny

Załóżmy, że system jest stacjonarny (macierze A, B i C stałe) oraz, że szumy vi i wi mają
stacjonarne statystyki (V i W stałe).
Jeżeli para (C, A) jest detektowalna (nieobserwowalne bieguny A są stabilne), to Pi i dąży do
stałej macierzy P, gdy i  
                                    P  lim Pi i ,
                                          i 
                                      
                                    P  lim Pi 1 i .
                                            i 

Z zależności na Pi 1 i otrzymujemy
                                    P  APAT  V.                                              (5.26)


                                                          19
Uwzględniając wyrażenia określające K i 1 i Pi 1 i 1 można napisać
                                  P  P  PCT ( W  CPCT )1 CP .                     (5.27)
Mnożąc (5.27) lewostronnie przez A i prawostronnie przez AT i zastępując APAT przez
P  V otrzymuje się równanie Riccati’ego

                           P   V  AP  AT  AP  CT ( W  CP  CT ) 1 CP  AT .       (5.28)

Macierz P  może być obliczana:
- poprzez rozwiązanie równania macierzowego (5.28),
- symulując zależność (5.20) określającą Pi 1 i , aż macierz kowariancji ustali się.
Wzmocnienie stacjonarnego filtru Kalmana

                                  K  P  CT ( W  CP  CT ) 1 .                         (5.29)

Realizacja filtru stacjonarnego jest szczególnie prosta, ponieważ predykcję stanu i
aktualizację jego estymaty można połączyć w jedno równanie
                           x i 1 i 1  Ax i i  Bu i  K[ y i 1  C( Ax i i  Bu i )] .
                           ˆ              ˆ                              ˆ                 (5.30)
Stąd otrzymuje się

                           x i 1 i 1  ( A  KCA )x i i  ( B  KCB )ui  Ky i 1 .
                           ˆ                        ˆ                                     (5.31)




                                                   20
PROJEKTOWANIE UKŁADÓW    STEROWNIA                              OPTYMALNEGO      PRZY
KWADRATOWYM WSKAŹNIKU JAKOŚCI

Rozwój metod sterowania przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR) rozpoczął się w
latach sześćdziesiątych. Zakłada się, że obiekt jest liniowy i znany jest jego opis w
przestrzeni stanów. Zadanie polega na wyznaczeniu sterowania minimalizującego
kwadratowy wskaźnik jakości.
Zakłada się ponadto, że system znajduje się w stanie równowagi. Celem sterowania jest
utrzymanie systemu w stanie równowagi lub w zadanym punkcie pracy pomimo
oddziałujących zakłóceń. Zadania regulacji typu nadążnego mogą być przekształcone do
problemu regulacji stałowartościowej.
Założenie stanu ustalonego umożliwia rozszerzenie horyzontu optymalizacji do
nieskończoności. Przyjęcie horyzontu skończonego prowadzi do rozwiązań regulatorów typu
niestacjonarnego, które są trudniejsze do analizy i implementacji.

5.1. Problem sterowania optymalnego przy kwadratowym wskaźniku jakości

Równania systemu
                               x  Ax  Bu, x(0)  x 0 ,
                                                                                  (6.1)
                               y  Cx .                                            (6.2)
Kwadratowym wskaźnik jakości
                                      
                                    1
                                    2
                               J       (x T Qx  u T Ru)dt .                      (6.3)
                                      0

Q – macierz symetryczna dodatnio półokreślona,
R – macierz symetryczna dodatnio określona,
 – horyzont optymalizacji.
Zadanie polega na wyznaczeniu u  u(t ) minimalizującego wskaźnik jakości (6.3).
Dla systemu rzędu pierwszego wskaźnik jakości przyjmuje postać
                                          
                                        1
                                    J   ( qx 2  ru 2 )dt .                      (6.4)
                                        20
Wskaźnik reprezentuje ważoną sumę energii sterowania i stanu (dokładności sterowania).
Jeżeli r jest bardzo duże, energia sterowania musi być niewielka, aby zapewnić niewielką
wartość wskaźnika. Można wtedy stosować mniejsze silniki, elementy wykonawcze,
wzmacniacze, itp. Jeżeli q jest większe od r, otrzymuje się układ zamknięty o dużym
tłumieniu (bez wielkich zmian i przeregulowań).

6.2. Rozwiązanie zadania starowania optymalnego przy wykorzystaniu zasady minimum
     Pontriagina

Zadania sterowania optymalnego mogą być rozwiązywane przy wykorzystywaniu różnych
metod, między innymi:
- równań Eulera-Lagrange’a,
- teorii Hamiltona-Jacobi-Bellmana,
- zasady minimum Pontriagina.
Hamiltonian
                                        1
                     H  H (x,  , t )  (x TQx  uT Ru)  λ T ( Ax  Bu)    (6.5)
                                        2


                                             21
Zasada minimum mówi, że sterowanie optymalne i trajektoria stanu muszą spełniać
następujące równania:
1. Równania stanu
                                        H
                                    x
                                          , x(0)  x 0                    (6.6)
                                        
2. Równania stanu sprzężonego
                                       H ,  ( )  0 ,
                                                                        (6.7)
                                         x
3. Warunek minimum
                                         H
                                             0                            (6.8)
                                         u
Uwzględniając zasady różniczkowania zależności (6.1) (6.3) otrzymuje się
                                x  Ax  Bu, x(0)  x 0 ,
                                                                          (6.9)
                                  
                                  Qx  AT , ()  0,                 (6.10)
                                    u*  R 1BT  ,                              (6.11)
 *
 u - sterowanie optymalne
Równania (6.9) i (6.10) są sprzężonymi liniowymi równaniami różniczkowymi. Tworzą
one dwupunktowy problem graniczny ze względu na różne warunki graniczne początkowe
i końcowe. Problem ten jest trudny do rozwiązania numerycznego.
Podstawiając sterowanie optymalne do równań stanu (6.1) i stanu sprzężonego (6.7)
                              x   A  BR 1BT   x 
                                                           x 
                                
                                                      H  ,                 (6.12)
                                Q      A            
                                               T


H  macierz Hamiltonianu.
Aby wyznaczyć sterowanie optymalne w ogóle nie trzeba rozwiązywać dwupunktowego
problemu granicznego. Można to wykazać podstawiając
                                            Px .                               (6.13)
Różniczkując obie strony (6.13) względem czasu i uwzględniając (6.12)
                                                   
                Px  Px  Px  P( Ax  BR 1BT  )  Px  PAx  PBR 1B T Px . (6.14)
Z (6.12) mamy także
                                
                                  Qx  A T   Qx  A T Px .                 (6.15)
Stąd na podstawie (6.14) i (6.15) można napisać
                            
                         P  A T P  PA  Q  PBR 1BT P, P( )  0 .           (6.16)
Równanie Riccatiego (6.16)  nieliniowe macierzowe równanie różniczkowe, musi być
rozwiązywane wstecznie w czasie ze względu na warunki końcowe. Rozwiązując równanie
Riccatiego unika się rozwiązywania dwupunktowego problemu granicznego.
Powyższe sformułowanie problemu LQR jest znane jako problem o horyzoncie
skończonym. Jako wynik otrzymuje się regulator niestacjonarny
                                       u(t )  K (t )x(t ) ,                    (6.17)
                                                 1 T
                                       K (t )  R B P(t ) .                      (6.18)
W problemie o horyzoncie nieskończonym    . Wskaźnik jakości musi być zbieżny, aby
istniał regulator optymalny.
Jeżeli istnieje sterowanie optymalne, to układ zamknięty może być niestabilny.
Macierz P(t) dąży do stałej macierzy P, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. System jest stabilizowalny. Niestabilne bieguny macierzy A są sterowalne.


                                          22
   Warunek sterowalności:
                        S  [B AB A 2 B  A n 1B] , rząd(S)  n
2. Macierz R jest dodatnio-określona
3. Macierz Q może być sfaktoryzowana w następujący sposób: Q  CTCq , przy czym para
                                                                 q

    (Cq , A) jest detektowalna.
System jest detektowalny, jeżeli jego niestabilne bieguny są obserwowalne lub,
równoważnie, nieobserwowalne bieguny są stabilne.
Ponieważ dP / dt  0 , równanie Riccatiego staje się wtedy nieliniowym macierzowym
równaniem algebraicznym
                               A T P  PA  PBR 1BT P  Q  0                (6.19)
i układ zamknięty jest asymptotycznie stabilny.

6.3. Uogólnienie problemu LQR

Uwzględnienie mieszanych iloczynów we wskaźniku jakości
                         T                        
               1 x          Q     N  x     1
          J                NT     u dt  2  ( x Qx  x Nu  u N x  u Ru)dt .
                                                        T      T      T T     T
                                                                                         (6.20)
               2 0  u             R          0
Równanie Riccatiego
                          A T P  PA  ( PB  N)R 1 ( PB  N)T  Q  0 .                (6.21)
Sterowanie optymalne
                                            u(t )  Kx (t ) ,                           (6.22)
                                          K  R 1 ( B T P  N T ) .                     (6.23)

6.4. Regulatory o zadanym stopniu stabilności

Regulator można zaprojektować tak, aby bieguny były umieszczone  jednostek na lewo od
osi urojonej (im dalej na lewo tym szybsze działanie układu). Można to osiągnąć przyjmując
jako wskaźnik jakości
                                        
                                      1
                                 J   e2 t (x TQx  uT Ru)dt .                     (6.24)
                                      20
Równanie Riccatiego
                        ( A  I)T P  P( A  I)  PBR 1BT P  Q  0 .             (6.25)
Sterowanie optymalne
                                          u(t )  Kx (t ) ,                         (6.26)
                                                   1 T
                                           K  R B P.                                (6.27)

6.5. Funkcje MATLABa

[K,P,ev] = lqr(A,B,Q,R,N)
[K,P,ev] = lqry(A,B,C,D,Q,R)
ev  wartości własne macierzy układu zamkniętego.
Funkcja lqry służy do rozwiązywania szczególnego przypadku, gdy funkcja kosztu jest równa
y T Qy  uT Ru .
X = are(A,B,C)  służy do rozwiązywania algebraicznego równania Riccatiego.
                                AT X  XA  XBX  C  0


                                                     23
                                              7. REGULACJA CYFROWA



y 0 ( t ) e( t )                                                                        u( t )           y(t )
                                 ADC               Komputer                      DAC              G(s)
            -




                                        Rys. 9. Schemat układu regulacji cyfrowej

Równanie różnicowe

                                    y(k  2)  0.7 y(k  1)  0.1y(k )  10u(k  1) ,
                                    y(k )  0.7 y(k  1)  0.1y(k  2)  10u(k  1) .

Równanie różniczkowe

                                                   y (t )  5 y(t )  u(t ) .                           (7.1)

Najprostsza metoda aproksymacji pochodnej y (t )

                                               dy(t ) y (k  1)  y (k )
                                                                                                        (7.2)
                                                dt            T

gdzie y (k )  y (kT ) , T oznacza okres próbkowania. Podstawiając (7.2) do (7.1) otrzymujemy

                                           y (k  1)  y (k )
                                                               5 y (k )  u(k ),
                                                   T
                                                       1                 T
                                        y (k  1)           y (k )         u(k ).
                                                    5T  1            5T  1

Widmo sygnału spróbkowanego

                                   1



                                 0.5
                   f(t), f*(t)




                                   0



                                 -0.5



                                  -1
                                    0          5            10             15          20        25
                                                                   t, k

                                           Rys. 10. Sygnał ciągły i próbkowany


                                                                  24
                    f * (t )  f (kT )  f ( k ), k    2,1, 0, 1, 2, 

Sygnał dyskretny można modelować jako iloczyn ciągu przesuniętych impulsów Dirac’a i
sygnału ciągłego
                                                
                               f * (t )  f (t )   (t  kT ) .               (7.3)
                                              n  


Ciąg impulsów Dirac’a można przedstawić w postaci szeregu Fouriera

                                                          2n 
                                              1  j           t
                                (t  kT )  T n e 
                             n                 
                                                             T 
                                                                    .          (7.4)


Transformatę Fouriera sygnału dyskretnego można wyrazić za pomocą wzoru

                                         1            2n 
                          F * ( j )        F  j    T  .
                                         T n            
                                                                               (7.5)




                                                 25

								
To top