Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

MTK

VIEWS: 19 PAGES: 29

									                           BAB I
                 BENTUK AKAR DAN PANGKAT
                             &
                         Logaritma

1.1     Bentuk Akar

      Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang
      hasilnya merupakan bilangan irasional (bukan bilangan
      rasional).

      1.1.1 Menyederhanakan Bentuk Akar
         Untuk setiap a dan b bilangan positif, maka berlakut:
           a . b  a . b dengan a atau b harus dapat dinyatakan
         dalam bentuk akar kuadrat murni.
         Contoh
         Sederhanakan bentuk akar berikut:
         1. 8     2. 12     3. 18   4. 50                 5.   500


         Jawab:
         1. 8  4.2  4 . 2  2 2 4.        50  25.2  25 . 2  5 2
         2. 12  4.3  4 . 3  2 3 5.      500  100.5  100 . 5  10 5
         3. 18  9.2  4 . 2  3 2

      1.1.2 Penjumlahan & Pengurangan Bentuk Akar

         a c  b c  (a  b) c
         a c  b c  (a  b) c



         Contoh :
         Sederhanakan bentuk-bentuk berikut
         1. 5 2  7 2            4.   4 3  12  27


                                 Page 1 of 29

                        SMAN 6 Bandar Lampung
                            TP:2010/2011
   2. 8 3  3 3                   5.     125  20  80
   3. 4 5  8 5  10          5


   Jawab :
   1. 5 2  7 2  (5  7) 2  12 2                  4.   4 3  12  27  4 3  2 3  3 3  5 3

   2. 8 3  3 3  (8  3) 3  5 3                   5.    125  20  80  5 5  2 5  4 5  3 5

   3. 4 5  8 5  10 5  (4  8  10)     5 2 5



1.1.3 Perkalian Bentuk Akar

   a c x b d  ab cd



   Contoh :
   Sederhanakan bentuk-bentuk berikut
   1. 2 x 5 5.               ( 2  3 )( 2  5 3 )         8. ( 7  2 )2
   2. 8 x 20 6.              ( 7  3 )( 7  3 )           9. ( 7  3 )2
   3. 3 5 x 4 2 7.           (3 2  2 5 )(3 2  2 5 )     10. (2 3  4 5)2
   4. 2(4 2  6 )

   Jawab:
   1. 2 x 5  10
   2. 8 x 20  160  4 10
   3. 3 5 x 4 2  12 10
   4. 2(4 2  6)  ( 2 )(4 2 )  ( 2 )( 6)  8  12  8  2     3

   5. ( 2  3 )( 2  5 3 )  2( 2  5 3 )  3( 2  5 3 )
         2  5 6  6  15
         17  6 6

   6. ( 7  3 )( 7  3 )  ( 7 )2  ( 3 )2  7  3  4
   7. (3 2  2 5)(3 2  2 5)  (3 2 )2  (2 5)2  18  20  2
   8. ( 7  2 )2  ( 7 )2  2 7. 2  ( 2 )2  7  2 14  2  9  2 14
   9. ( 7  2 )2  ( 7 )2  2 7. 3  ( 3 )2  7  2 21  3  10  2 21
   10. (2 3  4 5)2  (2 3 )2  2(2 3 )(4 5)  (4 5)2
         12  16 15  80
         92  16 15



                                   Page 2 of 29

                       SMAN 6 Bandar Lampung
                           TP:2010/2011
1.1.4 Menarik Akar

   ( a  b )2  ( a )2  2 a . b  ( b )2
                         a  b  2 ab

   Maka             a  b  2 ab  ( a  b )
   ( a  b )2  ( a )2  2 a . b  ( b )2
                     a  b  2 a. b

   Maka             a  b  2 ab  ( a  b )




   Contoh
   Hitung :
   1. 5  2 6                   2.     8  60        3.     8  2 12        4.     11  120




   Jawab :
   1. 5  2 6           3 2                          3.     8  2 12  6  2

   2. 8  60               8  2 15  5  3           4.     11  120  11  2 30  6  5




1.1.5 Merasionalkan Penyebut Pecahan

        a       a       b       a b
   1.              x       
        b       b       b        b
            a               a         b c       a( b  c )
   2.                            x          
        b c            b c          b c          bc



   Pasangan bilangan                            ( b  c)    dan        ( b  c)   disebut bentuk
   akar sekawan.

   Contoh
   Rasionalkan penyebut pecahan berikut:
   1. 42  2. 53
                  3. 221 4. 5 5 3 5. 7  2
                                       7
                                           2
                                                                                      6.         3
                                                                                              5 2  3




   Jawab:

                                         Page 3 of 29

                                SMAN 6 Bandar Lampung
                                    TP:2010/2011
                                                                                                     3           3       ( 5 2) 3
               4
                            4
                                  .    2
                                               4 2
                                                           2 2                                                       .
         1.     2             2        2         2                                     6.        5  2  3 ( 5  2 ) 3 ( 5  2) 3


         2.
                5
                         5 3
                           .               15
                                            3
                                                      1
                                                       3
                                                             15                               15  6 3
                                                                                            ( 7 2 10 ) 3
                                                                                                                        15  6 3
                                                                                                                         4 2 10
                3         3 3

                                                                2( 2 1)
         3.
                2
                                     2
                                           . 2 1                2 1
                                                                                          2( 2  1)               15  6 3 2 10
                2 1                  2  1 2 1                                                                            .
                                                                                                                   2 ( 2 10 ) 2 10




         4.
                  5
                5 3
                                5
                                   . 5 3
                               5 3 5 3
                                                   
                                                           5( 5  3)
                                                             5 3
                                                                                            30  150 2 6  60 63 10
                                                                                                       2( 410)

                                                                                        5 2 15  2 (5  15 )
                                                                                                   1


                                                                                        12 (3 10  3 6  6)
                                                                                          1


         5.
                7 2            7 2        7 2           7  2 14  2
                                       .                      72                    1 ( 10  6  2)
                7 2            7 2        7 2                                        4

                                                                                      9  2 14
                                                                                          5
                                                                                                  1 (9  2 14 )
                                                                                                   5



1.2     Eksponen

      1.2.1 Definisi

              an 
                                                       2. a  1 untuk setiap a  0
                             a . a . a .... a                     0
         1.                      
                              
                        sebanyak n faktor




              a : bilangan pokok 3.                                a n          1
                                                                                 an

              n : eksponen                                    4.    a
                                                                        m
                                                                            n
                                                                                 n
                                                                                 am

              n : bilangan asli




                                                 Page 4 of 29

                                      SMAN 6 Bandar Lampung
                                          TP:2010/2011
 1.2.2 Sifat-sifat



          1. a . a  a
                   m            n           m n
                                                        3.   (a )  a   m n                   m.n
                                                                                                            ( a )n 
                                                                                                          5. b
                                                                                                                         an
                                                                                                                         bn

          2.
                   am
                   an
                         a mn                         4. (a .b)  a .b
                                                                             n                n       n




          Contoh
          Hitung nilai dari:
                                                              3
                                                                                                                ( 0,5)  ( 0 ,5)
                                3
                                                    c. (81)
                                                                  4                                   0 ,125
          a.   (16)                 4
                                                                                        e. 16
          b. ( 32)                                  d. ( 243)
                            2                                   4
                                5                                   5




          Jawab :




               (16) 4  (24 ) 4  23  8                                      (81) 5  ( 34 ) 4  33  27
                        3                       3                                        4                 3
          a.                                                            c.
          b. ( 32)  ( 2 )  2  4 d. ( 243)  ( 3 )  3  81
                        25 5       2        2                                                 4                4
                   5                                                5    4                        5                5




             160,125  (0,5) 0,5  (24 ) 8  (21 )  2  2 2  2 2  0
                                         1            1     1     1
          e.

2. Sederhanakan :                                                       3. Jadikan pangkatnya positif
   :
               2

   a 2 .b 3  3
      1
                                                                             a 2 b 3  a 1b 2
   1  23 
   a .b                                                                    a 3b 1  a 1b 4


  Jawab :                                                                    Jawab:
   a 2b 3  a 1b 2
   a 3b 1  a 1b 4
                                                             
                                        a 2b 3  a 1b 2 a 3b 4
                                        a 3b 1  a 1b 4 a 3b 4
                                                                                    ab  a 2b 2
                                                                                     b3  a 2



                                                        Page 5 of 29

                                           SMAN 6 Bandar Lampung
                                               TP:2010/2011
                          
                    2

     a 2 .b 3  3
        1                                   2
                    3
                        3 3     1
     1  23   a 2 .b 2  a .b  a
     a .b                         b




4. Tulislah sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan
   pokok 2 :
   a. 3 32   b. 81
                      c. 16 2
                          1
                               d. 16 5 16
                                   1




   Jawab:
                                                                                               3 2
   a.                                                    c.              2  24 .2 2  2
                                                                                     1            1
                                                 5                 1
            3
                32       3
                               25  2 3                           16
                                                                                              3 1
                                                                         16  24 .2 5  2
                                                                                    4
                                                                   1 5
   b.                         3            2
                                                         d.
                                             3
                     2            2
                1                                                                                5
                8                                                 16



5. Tentukan nilai x dari persamaan :
   a. 3x 1  81  b. 52 x 1  125
                                1
                                   c.  8 2 x 1  5 4x 1
                                        1



   Jawab :
            x 1                        x 1
   a. 3  81  3  3  x  1  4  x  5
                                                     4

       2 x 1    2 x 1 3
   b. 5  125  5  5  2 x  1  3
              1


        2x  4  x  2

                                               
                                                      2 x 1
            1 2 x 1
   c.       8            5 4 x 1  23                        5 (22 )( x 1)
                                   2 x 2
             26 x  3  2 5  6x  3  2 x5 2
             30x  15  2x  2  32x  13                                    x    13
                                                                                         32




                                                                 Page 6 of 29

                                                 SMAN 6 Bandar Lampung
                                                     TP:2010/2011
B . LOGARITMA



Logaritma merupakan fungsi invers dari eksponen.




Dengan a = bilangan pokok ,                       yang merupakan
invers (cerminan dari f(x) terhadap garis y = b) dari fungsi eksponen

         , sehingga            mempunyai invers                 .


I. Sifat-sifat Logaritma

a. Sifat Perkalian Logaritma

Perkalian logaritma samadengan penjumlahan logaritma dengan basis

tetap.




b.Sifat Pembagian Logaritma

Jika hasil logaritma merupakan pembagian,hasilnya dapat diuraikan

     menjadi operasi pengurangan bilangan logaritma dengan basis

     tetap.


                         .




                             Page 7 of 29

                      SMAN 6 Bandar Lampung
                          TP:2010/2011
c. Sifat Perpangkatan Logaritma

Hasil operasi berupa bilangan logaritma berpangkat, dapat diuraikan

sbb:



d. Sifat Penarikan Akar

Jika ada hasil operasi logaritma yang berbentuk akar, ubahlah

terlebih   dahulu   menjadi   bentuk   pangkat   untuk   mempermudah

penyelesaianya.




Beberapa Sifat Logaritma yang lain:




                              Page 8 of 29

                      SMAN 6 Bandar Lampung
                          TP:2010/2011
II. Persamaan Logaritma




III. Pertidaksamaan Logaritma




                          Page 9 of 29

                   SMAN 6 Bandar Lampung
                       TP:2010/2011
BAB II



FUNGSI PERSAMAAN &

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT



A. Persamaan Kuadrat

1) Bentuk Umum Persamaan Kuadrat :


                     ,        dan a, b, c,

Dimana :

x adalah variabel persamaan kuadrat
a adalah koefisien
b adalah koefisien x
c adalah konstanta

2) Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
a. Memfaktorkan



diuraikan menjadi

b. Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc




                               Page 10 of 29

                         SMAN 6 Bandar Lampung
                             TP:2010/2011
c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah :

               dengan q > 0

3) Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan :



a. D > 0

Kedua akar nyata dan berlainan,

b. D = 0

Kedua akar nyata dan sama,

c. D <>
Kedua akar tidak nyata (imaginer)


d.           dengan
bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional.
Untuk menghitung jumlah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ,
dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.


Dari rumus                              dan

Dapat ditunjukkan bahwa:

Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat Yang Lain:




4). Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

                                  Page 11 of 29

                         SMAN 6 Bandar Lampung
                             TP:2010/2011
Jika        dan       adalah akar-akar persamaan kuadrat

                    dengan
maka berlaku sifat-sifat berikut ini :
a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif




b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif




c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda




d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan



e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan




5). Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya         dan     adalah :




                                 Page 12 of 29

                          SMAN 6 Bandar Lampung
                              TP:2010/2011
BAB III



SISTEM PERSAMAAN LINEAR & PERTIDAKSAMAAN
SATU VARIABEL



1. Menentukan Nilai Optimum

Hal yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan soal dengan program
   linier :

a. Tentukan model matematikanya
b. Gambar grafik dari model tersebut
c. Tentukan daerah himpunan penyelesaian
   d. Tentukan titik-titik verteks (pojok)


2. Persamaan Garis

a. Persamaan dengan gradien m melalui P (x1, y1) adalah y - y1 = m (x -

   x1)

b. Persamaan garis yang melalui dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2)

   adalah :




                               Page 13 of 29

                        SMAN 6 Bandar Lampung
                            TP:2010/2011
     c. Garis Yang Membagi Bidang Menjadi Dua Bagian




3. Program Linear

Di dalam program linier kita akan menemukan sebuah fungsi linier

   yang disebut fungsi tujuan atau


                           Page 14 of 29

                     SMAN 6 Bandar Lampung
                         TP:2010/2011
fungsi objektif dan sebuah sistem pertidaksamaan linier yang disebut kendala
atau batasan.




Program linier untuk dua variabel dapat ditulis dengan :




Maksimum                          , dengan batasan :

, Atau




Minimun                         , dengan batasan :



Persoalan yang ada adalah bagaimana menentukan nilai x dan y yang
terdapat pada kendala yang membuat fungsi tujuan f (x,y) menjadi
optimum (maksimum/minimum).

Contoh :

Tentukan nilai maksimum :                     , dengan batasan :




Jawab :
Himpunan Penyelesaian dari sistem Pertidaksamaan :
                                    adalah daerah yang diarsir pada
grafik dibawah ini :




                              Page 15 of 29

                        SMAN 6 Bandar Lampung
                            TP:2010/2011
Titik-titik ekstrim dari himpunan penyelesaian (HP) adalah :

O (0,0); A (2,0); C (0,2) dan

Titik A merupakan titik potong garis 3x + y = 6 dengan sumbu x, yaitu:
y = 0 --> 3x + 0 = 6

    x=2

    Jadi A (2,0)

Titik C merupakan titik potong garis x + 2y = 4 dengan sumbu y, yaitu :
    x = 0 0 + 2y = 4

    y=2

    Jadi C (0,2)




                                Page 16 of 29

                          SMAN 6 Bandar Lampung
                              TP:2010/2011
Titik B merupakan titik potong garis 3x + y = 6, dengan garis x + 2y =
4, yaitu :




Titik O merupakan titik potong garis x = 0 dengan y = 0 
Nilai f (x,y ) = 4x + y pada setiap titik ekstrim adalah :
    f (o) = f (0,0) = 4 (0) + 0 = 0

   f (A) = f (2,0) = 4 (2) + 0 = 8




 f (C) = f (0,2) = 4 (0) + 2 = 2



 Nilai f (x, y) paling besar adalah 8, yang diperoleh pada titik ekstrim

   A (2,0)




                              Page 17 of 29

                       SMAN 6 Bandar Lampung
                           TP:2010/2011
BAB IV
 PERTIDAKSAMAAN


Pengertian:
  Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri
dan kanannya dihubungkan dengan tanda
pertidaksamaan “>” (lebih dari), “<” (kurang dari) ,
“ ≥ ” (lebih besar dari dan sama dengan” atau “ ≤”
(lebih kecil dari dan sama dengan).



Sifat-sifat Pertidaksamaan:

1. a < b ⇔b > a
2. Jika a >b maka :
a. a ± b > b ± c
b. ac > bc apabila c >0
c. ac < bc apabila c < 0
d. a 3 > b 3
3. Jika a > b dan b > c ⇔a > c
4. Jika a > b dan c > d ⇔a + c > b + d
5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 ⇔ac > bd



Pertidaksamaan Bentuk Akar:
Langkahnya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
agar bentuk akarnya hilang




                             Page 18 of 29

                       SMAN 6 Bandar Lampung
                           TP:2010/2011
BAB V

LOGIKA MATEMATIKA



A. Pernyataan

       Yang dimaksud dengan kalimat atau pernyataan adalah kalimat

  yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar

  dan salah.


  Ada dua jenis kalimat matematika, yaitu :


  Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya

                 sudah pasti.




Contoh :


           a) 3 x 4 = 12 (pernyataan tertutup yang benar)


           b) 3 + 4 = 12 (pernyataan tertutup yang salah)


  Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum

     pasti.




                                Page 19 of 29

                         SMAN 6 Bandar Lampung
                             TP:2010/2011
  Contoh :


  a : Ada daun yang berwarna hijau


  b : Gula putih rasanya manis




B. Ingkaran Pernyataan


Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang

  menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan

  dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan

  pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.




Contoh :


Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin.


Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau

  mengandung nikotin.


                           Page 20 of 29

                     SMAN 6 Bandar Lampung
                         TP:2010/2011
Tabel kebenaran dari ingkaran




C. Pernyataan Majemuk

(i) Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan”
sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi.
Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan




(ii) Disjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau”
sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi.
Disjungsi p atau q dilambangkan dengan      .



                              Page 21 of 29

                        SMAN 6 Bandar Lampung
                            TP:2010/2011
(iii) Implikasi
Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan          .




(iv) Biimplikasi

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan   .




                               Page 22 of 29

                        SMAN 6 Bandar Lampung
                            TP:2010/2011
D. Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk




E. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

 Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut

 konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.




                           Page 23 of 29

                     SMAN 6 Bandar Lampung
                         TP:2010/2011
BAB VI
TRIGONOMETRI



A. Pengertian Trigonometri
Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan),
cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri
merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat
kartesius atau segitiga siku-siku.
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka
definisinya adalah sebagai berikut:




B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa




                             Page 24 of 29

                       SMAN 6 Bandar Lampung
                           TP:2010/2011
C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri




                          Page 25 of 29

                    SMAN 6 Bandar Lampung
                        TP:2010/2011
D. Rumus- Rumus Trigonometri




E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga




                         Page 26 of 29

                    SMAN 6 Bandar Lampung
                        TP:2010/2011
B. Fungsi Trigonometri

Bentuk dasar
Bentuk dasar fungsi trigonometri memiliki kurva seperti berikut




                           Page 27 of 29

                     SMAN 6 Bandar Lampung
                         TP:2010/2011
       REMEDIAL MATEMATIKA



                       D
                       I
                       S
                       U
                       S
                       U
                       N

                  OLEH :




1. A.KI ASMORO SANTO
2. HATAM PRATAMA
3. IRFAN HERWANTO


                 Page 28 of 29

            SMAN 6 Bandar Lampung
                TP:2010/2011
4. NOVRIAPRIANSYAH
5. TRIPANDI FERNANDO
6. WIDYA EKA




        SMAN 6 Bandar Lampung
           TP:2010/2011




                Page 29 of 29

            SMAN 6 Bandar Lampung
                TP:2010/2011

								
To top