CTF_Droites_2MS

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					           Ld   31/05/2012   2M05   La droite

                                        Corrigé : Droites

 Exercice 1
 Relativement à un repère (O ; E1 ; E2 ) du plan, on donne une droite d par les points A(2 ; −1)
 et B(3 ; 1). Déterminer :
  a) Un vecteur directeur de d,
  b) sa pente m,
   c) une équation paramétrique de d,
  d) une équation cartésienne de d,
   e) une équation de la parallèle s à d passant par le point S(−1 ; 3)
   f) une équation de la perpendiculaire t à d passant par le point T(1 ; −3)




Solution




    −→             3−2              1
 a) AB =                      =
                 1 − (−1)           2




            2
 b) m =       =2
            1




        x            2              1
 c)             =            +k·
        y           −1              2




 d) d : 2x − y + k = 0         A ∈ d ⇒ 2.2 − 1.(−1) + k = 0 ⇒ k = −5          d : 2x − y − 5 = 0




 e) s : 2x − y + k = 0         S ∈ s ⇒ 2.(−1) − 3 + k = 0 ⇒ k = 5         s : 2x − y + 5 = 0




 f) t : x + 2y + k = 0         T ∈ t ⇒ 1.1 + 2(−3) + k = 0 ⇒ k = 5         s : x + 2y + 5 = 0
Corrigé : Droites                               Ld, 31/05/2012                                        2




 Exercice 2
 D’un triangle ABC, on donne les points A(4; 0) et C(0; 1), ainsi que deux droites : la hauteur
 issue de A hA : x + y − 4 = 0, et la droite d : 3x + 2y − 17 = 0, qui est parallèle au côté
 AB.
    a) Déterminer les équations cartésiennes des côtés du triangle, ainsi que les coordonnées du
       point B.
                                                            19 7
    b) La médiane mB issue de B passe-t-elle par le point     ;−      ?
                                                            10 6
    c) Donner les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC, ainsi que son
       rayon.


Solution
                                                        a) Soit ax + by + c = 0 l’équ. de la droite (AC)
           4                                            En exprimant que les points A et C ∈ (AC) ⇒
                                                           4a + c = 0
                           B                                             En choisissant a = 1
           3
                                                            b+c = 0
                                                         ⇒ c = −4 et b = 4 ⇒ (AC) : x + 4y − 4 = 0
           2                                            Comme (AB) // 3x + 2y − 17 = 0
                                                        ⇒ (AB) : 3x + 2y + k = 0
           C
           1                                            A ∈ (AB) ⇒ 3.4 + k = 0 ⇒ k = −12
                                                        (AB) : 3x + 2y − 12 = 0
                                            A
    −1              1      2      3     4       5       (BC) ⊥ hA ⇒ (BC) : x − y + k = 0
                                                        C ∈ (BC) ⇒ −1 + k = 0 ⇒ k = 1
         −1
                                                        (BC) : x − y + 1 = 0
                                x−y+1=0                     y =x+1              y=3
B = (BC) ∩ (AB) ⇒                                   ⇒                     ⇒             ⇒ B(2 ; 3)
                               3x + 2y − 12 = 0            5x − 10 = 0          x=2

                                            4+0 0+1
b) Coordonnées de B le milieu de [AC] : B       ;        ⇒ B (2 ; 0, 5)
                                             2     2
Comme les 1ère coordonnées de B et de B’ sont toutes deux égales à 2, l’équ. de mB : x = 2.
                                       19 7
Cette droite ne passe pas par le point   ;−
                                       10 6

c) Soient O(x ; y) le centre du cercle circonscrit.
          →
         − 2          →
                    − 2
On a : OA = OC              ⇔ (x − 4)2 + y 2 = x2 + (y − 1)2
⇔ x2 − 8x + 16 + y 2 = x2 + y 2 − 2y + 1 ⇔ 8x − 2y − 15 = 0
              →
             − 2        →
                       − 2
mais aussi : OB = OC           ⇔ (x − 2)2 + (y − 3)2 = x2 + (y − 1)2
⇔ x2 − 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 = x2 + y 2 − 2y + 1 ⇔ 4x + 4y − 12 = 0 ⇔ x + y − 3 = 0
  8x − 2y − 15 = 0                10x − 21 = 0            x = 10/21           21 9
                          ⇔                         ⇒                  ⇒ O      ;
   2x + 2y − 6 = 0                   y = 3−x              y = 9/10            10 10
                                          √
        −→                                  442
Rayon = OC =              21 2      1 2
                        ( 10 ) + ( 10 ) =
                                           10
Corrigé : Droites                            Ld, 31/05/2012                                         3



 Exercice 3
     a) Calculer l’angle aigu déterminé par les droites d1 : 5x − 3y = 7 et d2 : 4x + 3y + 10 = 0
     b) Calculer la distance du point P(−4 ; 2) à la droite d : 3x + 4y − 10 = 0




Solution




               4              5                  −4 − 5     27
 a) m2 = −             m1 =           tan(φ) =     3   3
                                                          =    ⇒ φ ∼ 67, 8◦
                                                                   =
               3              3                  1− 4 · 5
                                                     3 3
                                                            11



                   |3(−4) + 4.2 − 10|   14
 b) δ(P; d) =          √              =    = 2, 8
                         32 + 42         5




 Exercice 4
 Déterminer l’équation cartésienne de la bissectrice de l’angle aigu déterminé par les droites
 d’équation x = 3y − 7 et 2y = 6x + 25




Solution
 x − 3y + 7     6x − 2y + 25   x − 3y + 7    6x − 2y + 25
             =±              ⇔    √       =±     √
  12 + (−3)2      62 + (−2)2        10          2 10
⇔ 2x − 6y + 14 = ± (6x − 2y + 25) ⇒ 4x + 4y + 11 = 0 ou 8x − 8y + 39 = 0


     6x-2y+25=0           4
                           x-3y+7=0
                                                 La bissectrice de l’angle aigu doit avoir une pente
                          2                      positive, c’est donc la droite 8x − 8y + 39 = 0


−8      −6    −4     −2           2

				
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posted:6/10/2012
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