MATEM�TICAS A. CS II

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					       MATEMÁTICAS A. CS II



    Tema 11 * PROBABILIDADES

@ Angel Prieto Benito   Matemáticas 2º Bachillerato CS   1
            Teorema de bayes



                Tema 11.5 *                       2º B CS

@ Angel Prieto Benito   Matemáticas 2º Bachillerato CS      2
           TEOREMA DE BAYES

•         Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso
    cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las
    probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión:
•                                               P(Ai).P(B / Ai)
•         P(Ai / B) = -------------------------------------------------------------------------
•                       P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An)
•
•          Donde                  P(Ai) son las probabilidades a priori.
•                                 P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori.
•                                 P(B / Ai) son las verosimilitudes.

• Ejemplo_1:

•         En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que
    el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo
    este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta
    que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?.
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                                     Resolución
•   Probabilidades a priori:

•                     P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica.
•                     P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico.

•   Probabilidades a posteriori:

•          P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85  Sea chica y viva en la loc.
•          P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7  Sea chico y viva en la loc.

•   Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes

•                    P(O).P(L / O)                              0,4 . 0,7                0,28
•   P(O / L) = --------------------------------------- = ---------------------------- = -------- =
•               P(A).P(L / A) + P(O).P(L / O) 0,6 . 0,85 + 0,4 . 0,7                     0,79
•
•                                                                                 = 0,3544
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                    Resolución gráfica

                                                     P(A).P(L/A) = 0,6.0,85 = 0,51

      P(A) = 0,6


                        P(NL / A)=0,15               P(A).P(NL/A) = 0,6.0,15 = 0,09


                        P(L / O) = 0,7
                                                     P(O).P(L/O) = 0,4 . 0,7 = 0,28

      P(O)=0,4


                        P(NL / O) = 0,3
                                                     P(O).P(NL/O) = 0,4.0,3 = 0,12



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• Ejemplo_2:

•         En una casa hay tres llaveros, A, B y C, con 5, 7 y 8 llaves
    respectivamente. Sólo una llave de cada llavero abre el trastero. Se
    escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el
    trastero.

•   a)    ¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave?.
•   b)     ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la
    llave no abra?.
•   c)     Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de
    que pertenezca al primer llavero A?.
•   d)     Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de
    que pertenezca al tercer llavero C?.

•   RESOLUCIÓN

•   Probabilidades a priori:

•                       P(A) = 1/3 = 0,3333        Sea el primer llavero.
•                       P(B) = 1/3 = 0,3333        Sea el segundo llavero.
•                       P(C) = 1/3 = 0,3333        Sea el tercer llavero.
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•    Probabilidades a posteriori:

•           P(A / L) = 1/5 = 0,20      Abra la llave del llavero A.
•           P(B / L) = 1/7 = 0,1428    Abra la llave del llavero B.
•           P(C / L) = 1/8 = 0,125     Abra la llave del llavero C.
•           P(A / NL) = 4/5 = 0,80     No abra la llave del llavero A.
•           P(B / NL) = 6/7 = 0,8572  No abra la llave del llavero B.
•           P(C / NL) = 7/8 = 0,875  No abra la llave del llavero C.


•    a)     Probabilidad de acertar con la llave:

•    P(L) = P(A).P(L/A) + P(B).P(L/B) + P(C).P(L/C) =
•         = 0,3333.0,20 + 0,3333.0,1428 + 0,3333.0,125 =
•         = 0,066667 + 0,047619 + 0,041667 = 0,155953

•    b)      Probabilidad de que el llavero sea el C y la llave no abra:

•    P(C / NL) = P(C) . P(NL/C) = 0,3333. 0,875 = 0,291667
•
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•    c)       Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero A:

•    Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes

•                                 P(A).P(L / A)
•    P(A / L) = ---------------------------------------------------------- =
•                 P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C)

•                      0,3333. 0,20
•    = -------------------------------------------------------------------------- =
•             0,3333. 0,20 + 0,3333. 0,1428 + 0,3333. 0,125

•    = 0,066667 / ( 0,066667 + 0,047427 + 0,041667) =

•    = 0,066667 / 0,155953 = 0,427479

•    d)     Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero C:
•                                 P(C).P(L / C)
•    P(C / L) = ---------------------------------------------------------- =
•                 P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C)

•    = 0,041667 / 0,155953 = 0,267176
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                         Resolución gráfica
                           P(L)=1/5  P(A).P(L/A) = 1/3. 1/5 = 0,0667


                           P(NL)=4/5  P(A).P(NL/A) = 1/3.4/5 = 0,2667
 P(A)=1/3

                           P(L)=1/7  P(B).P(L/B) = 1/3. 1/7   = 0,0476
    P(B)=1/3
                           P(NL)=6/7  P(B).P(NL/B) = 1/3.6/7 = 0,2856


P(C)=1/3                   P(L)=1/8  P(C).P(L/C) = 1/3. 1/8   = 0,0416


                           P(NL)=7/8  P(C).P(NL/C) = 1/3. 7/8 = 0,2912
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               Problemas propuestos
•   APLICACIÓN 1

•   Un grupo de 7 amigos se juegan a los dados quien conducirá tras una tarde-
    noche de fiesta, y por tanto quien no deberá beber de cara al viaje de regreso
    sin accidente por medio. El que primero saque un siete no bebe y por tanto
    conduce.
•   ¿Tiene ventaja quien empiece?.
•   Halla la probabilidad de cada uno.
•   Realiza una tabla de doble entrada y luego ayúdate con un diagrama de árbol.

•   APLICACIÓN 2

•   En una urna opaca hay cuatro bolas blancas y una negra. Cuatro amigos, Ana,
    Bea, Carlos y Diego, deben sacar al azar una bola, sin reinsertarla en la urna
    después. El que saque la bola negra paga la consumición de todos.
•   ¿Tiene ventaja quien empiece?.
•   Halla la probabilidad de cada uno.
•   Ayúdate con un diagrama de árbol.

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