Distribuciones de probabilidad - PowerPoint by 0WE0I46z

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									Distribución normal

  Matemáticas aplicadas
  a las CCSS II

  Ana Pola
  IES Avempace
Variable aleatoria continua
   Puede tomar cualquier valor en un intervalo de tiempo.
   Ejemplo:
    Se han registrado los tiempos que le llevó a una empresa de mensajería entregar
    190 paquetes con destinatarios diferentes dentro de una misma ciudad. Los datos
    se han agrupado en una distribución
              Intervalo   [0,5)    [5,10)   [10,15)   [15,20)   [20,25)   [25,30)
                frec.      115       31       17        12        10         5



        Supongamos que un posible cliente, conociendo esta información, quisiera saber qué
         probabilidad tiene de que su paquete sea entregado en dos días. El problema es que al
         manejar intervalos de cinco días estamos suponiendo que dentro de cada intervalo los
         datos se distribuyen uniformemente, cosa que no es real.
        Una solución es reducir la amplitud de los intervalos.
        Si lo que le interesa al futuro cliente es la probabilidad de que se haga una entrega en un
         cierto tiempo, lo que habría que considerar son las frecuencias relativas.
Del histograma
a la función de densidad 1
   Hemos de tener en cuenta que en un histograma la frecuencia relativa está representada por el
    área del rectángulo y, por tanto, la altura de la barra será lo que llamaremos densidad del
    intervalo
                                                       frecuencia relativa
                           densidad del intervalo =
                                                      amplitud del intervalo




                                                       0,300
       Intervalo   frec.   frec. rel.   densidad
                                                       0,250
         [0,5)     115      0,605        0,121
                                                       0,200
        [5,10)      31      0,163        0,033
                                                       0,150
        [10,15)     17      0,089        0,018
                                                       0,100
        [15,20)     12      0,063        0,013
        [20,25)     10      0,053        0,011         0,050

        [25,30)     5       0,026        0,005         0,000
                                                                [0,5)    [5,10)   [10,15)   [15,20)   [20,25)   [25,30)
        Total      190         1


                                                   Suma de las áreas = 1
Del histograma
a la función de densidad 2

 Intervalo   frec.   frec. rel.   densidad
   [0,3)      93      0,489        0,163
   [3,6)      30      0,158        0,053
   [6,9)      18      0,095        0,032      0,3

  [9,12)      13      0,068        0,023     0,25

  [12,15)     9       0,047        0,016      0,2

  [15,18)     8       0,042        0,014     0,15

  [18,21)     6       0,032        0,011      0,1

  [21,24)     6       0,032        0,011     0,05

  [24,27)     4       0,021        0,007       0
                                                    [0,3)   [3,6)   [6,9)   [9,12) [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30)
  [27,30)     3       0,016        0,005
Del histograma
a la función de densidad 3
 Intervalo   frec.   frec. rel.   densidad
   [0,2)      76        0,4         0,2
   [2,4)      29      0,153        0,076
   [4,6)      18      0,095        0,047
   [6,8)      13      0,068        0,034
                                              0,3
  [8,10)      10      0,053        0,026
                                             0,25
  [10,12)     8       0,042        0,021
                                              0,2
  [12,14)     6       0,032        0,016     0,15

  [14,16)     6       0,032        0,016      0,1

  [16,18)     5       0,026        0,013     0,05

  [18,20)     4       0,021        0,011       0




                                                       0)
                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )



                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )

                                                        )
                                                      ,2

                                                      ,4

                                                      ,6

                                                      ,8



                                                     12

                                                     14

                                                     16

                                                     18

                                                     20

                                                     22

                                                     24

                                                     26

                                                     28

                                                     30
                                                    ,1
  [20,22)     4       0,021        0,011
                                                   [0

                                                   [2

                                                   [4

                                                   [6



                                                  0,

                                                  2,

                                                  4,

                                                  6,

                                                  8,

                                                  0,

                                                  2,

                                                  4,

                                                  6,

                                                  8,
                                                 [8

                                               [1

                                               [1

                                               [1

                                               [1

                                               [1

                                               [2

                                               [2

                                               [2

                                               [2

                                               [2
  [22,24)     4       0,021        0,011
  [24,26)     3       0,016        0,008
  [26,28)     2       0,011        0,005
  [28,30)     2       0,011        0,005
Del histograma
a la función de densidad 4

 Intervalo   frec.   frec. rel.   densidad    0,3
   [0,1)      51      0,268        0,268
                                             0,25
   [1,2)      25      0,132        0,132
   [2,3)      17      0,089        0,089      0,2
   [3,4)      12      0,063        0,063
   [4,5)      10      0,053        0,053     0,15
   [5,6)      8       0,042        0,042
                                              0,1
   [6,7)      7       0,037        0,037
   [7,8)      6       0,032        0,032
                                             0,05
   [8,9)      5       0,026        0,026
  [9,10)      5       0,026        0,026       0
  [10,11)     4       0,021        0,021




                                              [1 )
                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )



                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )
                                                    11
                                                     ,1

                                                     ,3

                                                     ,5

                                                     ,7

                                                     ,9



                                                   13

                                                   15

                                                   17

                                                   19

                                                   21

                                                   23

                                                   25

                                                   27

                                                   29
                                                  [0

                                                  [2

                                                  [4

                                                  [6

                                                  [8
  [11,12)     4       0,021        0,021




                                                 0,

                                                 2,

                                                 4,

                                                 6,

                                                 8,

                                                 0,

                                                 2,

                                                 4,

                                                 6,

                                                 8,
                                              [1



                                              [1

                                              [1

                                              [1

                                              [2

                                              [2

                                              [2

                                              [2

                                              [2
  [12,13)     3       0,016        0,016
  [13,14)     3       0,016        0,016
  [14,15)     3       0,016        0,016
  [15,16)     3       0,016        0,016
  [16,17)     3       0,016        0,016       0,3
  [17,18)     2       0,011        0,011
  [18,19)     2       0,011        0,011     0,25
  [19,20)     2       0,011        0,011
                                               0,2
  [20,21)     2       0,011        0,011
  [21,22)     2       0,011        0,011
                                             0,15
  [22,23)     2       0,011        0,011
  [23,24)     2       0,011        0,011       0,1
  [24,25)     2       0,011        0,011
  [25,26)     1       0,005        0,005
                                             0,05
  [26,27)     1       0,005        0,005
                                                0
  [27,28)     1       0,005        0,005
                                                        )
                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )




                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )

                                                       )
                                                    11
                                                     ,1

                                                     ,3

                                                     ,5

                                                     ,7

                                                     ,9



                                                   13

                                                   15

                                                   17

                                                   19

                                                   21

                                                   23

                                                   25

                                                   27

                                                   29
  [28,29)     1       0,005        0,005
                                                  [0

                                                  [2

                                                  [4

                                                  [6

                                                  [8

                                                 0,

                                                 2,

                                                 4,

                                                 6,

                                                 8,

                                                 0,

                                                 2,

                                                 4,

                                                 6,

                                                 8,
                                              [1




  [29,30)     1       0,005        0,005
                                              [1

                                              [1

                                              [1

                                              [1

                                              [2

                                              [2

                                              [2

                                              [2

                                              [2
Función de densidad
                                      Como
Si la amplitud del intervalo  0
                                                                     frecuencia relativa
Tamaño de la muestra N  ∞               densidad del intervalo =
                                                                    amplitud del intervalo

                                       podemos decir que

                                                    probabilidad del evento =
                                           densidad del intervalo  amplitud del intervalo



                                      La probabilidad de que un evento
                                       ocurra en un intervalo (a,b) es el área
                                       bajo la curva de la función en ese
                                       intervalo:



                                       Además
Definición
   Si X es una variable aleatoria continua,
    llamaremos función de densidad de esa
    variable a una función f cuyo dominio son
    todos los valores de la variable aleatoria y tal
    que:
                                                           1
         el área comprendida entre la gráfica de la
          función f, el eje X es 1:




         La probabilidad de que la variable esté
          comprendida entre dos valores a y b,
          P(a ≤ X ≤ b), es el área comprendida entre la
          función de densidad y el eje X, desde el valor
          a hasta el valor b.
Ejemplo 1
   Los autobuses pasan cada 15 minutos. Nos dirigimos a la parada sin
    preocuparnos de la hora. Calcula la probabilidad de esperar:
        Exactamente 8,5 minutos.
        No más de 10 minutos.
        Entre 8 y 13 minutos.

La variable aleatoria es T = “tiempo de espera” y puede tomar los infinitos valores entre 0 y 15.
Las probabilidades de todos los tiempos de espera entre 0 y 15 son iguales. Pero hay infinitos
valores, la probabilidad de cada tiempo de espera puntual es 0. Por tanto, P(T = 8,5) = 0
Ejemplo 2
   Los autobuses pasan por nuestra parada aproximadamente cada 8
    minutos. Sabemos el horario e intentamos llegar a la parada
    ajustando el tiempo y así esperar lo menos posible.
    Supongamos que la función de densidad es




    Calcula la probabilidad de que:
        Tengamos que esperar 1 minuto como máximo.
        La espera esté entre 4 y 5 minutos.
        Tengamos que esperar más de 7 minutos
Solución
   En los tres casos tendremos que
    hallar el área de un trapecio:
La distribución normal
   Es el modelo de distribución de
    probabilidad más importante para
    variables continuas.

   Su función de densidad es:




                                       La gráfica de esta función es
                                       una curva en forma de campana
    que depende de los parámetros     que se suele denominar
    y . Abreviadamente: N(, ).      campana de Gauss.
Características
   El dominio son todos los números reales.
   Cuanto mayor es , más achatada es la distribución.
   Un cambio en el valor de  supone un desplazamiento horizontal
    de la curva.
   Es simétrica respecto de su
    media .
   Tiene un máximo absoluto en x =
    , que coincide con la moda y la
    mediana.
   En los puntos x = + y x = -
    tiene dos puntos de inflexión.
   El eje de abscisas es una
    asíntota de la curva.
Una importante propiedad
La distribución N(0,1)
   A la distribución normal de media
    μ=0 y desviación típica σ=1 la
    denominaremos distribución
    normal estándar, N(0, 1).
   Designaremos como Z a la
    variable aleatoria correspondiente
    a esta distribución normal.
   Las diferentes áreas que pueden
    calcularse bajo la curva normal
    estándar y, por tanto, las
    probabilidades de Z, están
    calculadas y expuestas en una
    tabla.
Manejo de tablas 1


              =
Manejo de tablas 2


        =            -
Manejo de tablas 3


              =
Manejo de tablas 4

        =            -
Tipificación 1
Tipificación 2

								
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