Movimiento relativo de la Tierra - PowerPoint by H6CnsdK

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									Movimiento relativo de la
        Tierra


 Sistema de referencia
      no inercial
    Ecuaciones de Movimiento
   Las ecuaciones de Newton para un sistema de
    partículas deben ser formuladas respecto a un
    sistema inercial de referencia. De ser necesario
    utilizar un sistema no inercial, ya sea porque esté
    acelerado o tenga rotaciones respecto al inercial.

    Podemos establecer las relaciones entre el
    movimiento absoluto, respecto al sistema inercial, y
    el movimiento relativo respecto al sistema no
    inercial en uso, como se explica a continuación.
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    Respecto a la figura (1): se indica el
     vector posición absoluto y se indica el
     vector posición relativo de una de las
     partículas del sistema, tenemos que:

                        r  rA  r '
    Para relacionar velocidades y
     aceleraciones, debemos considerar que
     la velocidad relativa y



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    aceleración relativas son las derivadas
    del vector posición relativo con vectores
    unitarios    considerados     constantes,
    entonces si:

              r '  x'x' y 'y ' z 'z '
                    ˆ     ˆ       ˆ


 la velocidad y aceleración relativas son:


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                    dx'      dy '      dz '
    v   rel
                x'
                 ˆ       y'
                          ˆ        z'
                                    ˆ
                    dt       dt        dt

                            2   2      2
                  d x'    d y'    d z'
    a   rel
               x' 2  y ' 2  z ' 2
                ˆ      ˆ       ˆ
                  dt      dt      dt


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Fig. (1): SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL




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    La existencia del denominado vector
     velocidad angular del sistema móvil, será
     justificada en el capítulo sobre rotaciones
     de cualquier texto de Mecánica, por ahora
     bastará aceptar que las derivadas de los
     vectores unitarios móviles están dadas por
     el respectivo vector unitario, de modo que
     se puede obtener:


      v  v A   r ' v               rel



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y
a  aA   r ' 2 v     r '  a
                                        rel                         rel


           Esta expresión es conocida como teorema de Coriolis

    • Aquí    representa la aceleración angular o sea la
    derivada respecto al tiempo de la velocidad angular.
    En esta expresión los términos:
                                                          d
                                                       
                                                          dt

     En esta expresión los términos:

        2 v          rel es conocido como la aceleración de Coriolis



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              aA   r '    r '
 y

  es conocido como la aceleración de arrastre de la partícula .


  Considerando lo anterior, la Segunda Ley de Newton
     en el sistema no inercial de referencia tiene la
                       expresión:


ma   rel
            F  m  aA   r ' 2 v     r ' 
                                          rel




                               Ec.(1)


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    que puede interpretarse diciendo que la
    partícula obedece la segunda Ley en un
    sistema no inercial, pero a la fuerza real
    hay que agregarle fuerzas ficticias dadas
    por:

   F   arrastre
                       aA   r '    r ' 



     F      coriolis
                             2 v         rel


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   MOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRA


Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no inercial de
referencia lo constituye la Tierra.
Su no inercialidad se debe principalmente a la rotación
terrestre respecto a su eje, que es muy aproximadamente
constante y equiva-lente a una vuelta completa en 24
horas. Su valor en consecuencia es bastante pequeño:

                     2                   5 1
                           7, 2722  10 s
                  24  3600

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 Ello justifica la denominada aproximación,  2  0
 donde se desprecian los términos en .2
 Si consideramos como modelo de la Tierra,como
  perfectamente esférica de masa M y radio R,

   Podemos elegir como sistema no inercial, un sistema
    fijo en la tierra con origen en la superficie terrestre en
    una latitud que denominaremos λ.

   El eje z se elige vertical -no necesariamente radial-.
   El eje x perpendicular a z dirigido hacia el Sur.
   el eje y perpendicular a los anteriores, o sea hacia el
    Este, como se indica en la figura (2).

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       Fig. (2). Sistema de referencia fijo a la Tierra




La desviación entre la vertical del lugar y la dirección
radial ε está exagerada en la figura.
Su estimación la veremos luego.
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. Vertical y aceleración de gravedad del lugar

  Un primer efecto de la no inercialidad del
    sistema de referencia terrestre es que:
   la vertical del lugar se desvía de la
    dirección radial terrestre y que,
   la aceleración de gravedad depende de la
    latitud.
   En efecto, la definición de peso y de vertical
    se hacen de acuerdo a una plomada de
    masa m en situación estacionaria en la
    Tierra.
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 Así la vertical es la dirección de la plomada y el
peso es de magnitud definida como la tensión en
                         el hilo de la plomada.


     Para esa situación estacionaria, la
      aceleración y velocidad relativas son cero,
      por lo tanto una aplicación de la Ec.(1) a
      esta situación, implica:

                           Mm
                  0  T  G 2 r  ma A
                              ˆ
                            r
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   donde se ha considerado que además de la fuerza
    gravitacional actúa la tensión del hilo, la r'  0
    velocidad angular es constante y

   De acuerdo a lo explicado:

 la dirección de T es el eje z y su magnitud
  se define como mg, el peso del cuerpo.
   y g la aceleración local de gravedad.
Entonces tenemos que:
                             Mm
                      mgz  G 2 r  ma A
                        ˆ       ˆ
                             R
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    Además la aceleración del origen A está
     dada por:
        ˆ o  zo rR   R2  zosen  r 
   aA  z       ˆ    ˆ            ˆ        ˆ

Tomando el módulo de la Ec.2, tenemos:
                        2
    GM  2GM
g  2       R cos   R  cos 
                 2   2     2 4   2

    R 
             2
           R
                            2
     GM   2GM    2 2 2
g   2        R    cos 
                              2

     R   R          
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   Que se reduce en el Polo a:              GM
                                         gp  2
                                             R

   y en el Ecuador a:                 GM 
                                g e   2   R 2
                                       R 

La razón entre la aceleración centrípeta en el
ecuadorestá dada por: R2


 y la aceleración de gravedad en el Polo,
               
usualmente designada por

                                                     18
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                         R   2
                                                3
                             2
                                  3, 4257  10
                        GM / R
    De modo que: g e  g p (1   )
    Para el caso de nuestro planeta (Serway I), los
    valores numéricos,
     para el radio promedio terrestreR  6, 37  10 m
                                           ,           6


                         M  5,98  1024Kg
    masa de la Tierra ,
                                             2
                                                  s 1
  G  6,67259  1011  Nm2 Kg 2 
                                        24  3600

    permiten estimar gp y ge


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         gp  9,833[m / s ]     2
                                    g e  9, 8[m / s 2 ]


                            2
        GM  2GM
    g  2      R2 cos 2   R 24 cos 2 
        R    R2


           GM    2R2 cos 2  R 24 cos 2 
        g  2 1             
           R       GM            G 2M 2
                    R2            R4



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    g  gP 1  2 cos    cos 
                            2      2      2



     g  g P  1   cos2   ge  1  sen2 


       g  9,8  1  0,0034257  sen 2  2


 Sin embardo la Tierra no es esférica y de acuerdo a la
  Unión Internacional de Geodesia y Geofísica de 1967,
 el valor de g al nivel del mar varía con la latitud, de
 acuerdo a la expresión:

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               1  0, 00530238sen 2  0, 000005850sen 2 2  
g  9, 780309 
               0, 0000032sen 2sen 2 2                       
                                                               
                                                              




                Fig.(3) Gravedad local. Tierra esférica (a) y real (b)

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   Ambas expresiones (*) y (**)están graficadas
    en función de 
                                                            
                                 var ía :  de 0   1, 5708 
                                                  2          
    Para propósitos prácticos las antiguas
    fórmulas todavía se usan, la llamada fórmula
    de Cassinis se cita como referencia:

g  9,780490  1  0,0052884sen   0,0000059sen 2 
                                             2                    2



Los errores obtenidos con esta fórmula alcanzan los 1µm/s2 ó
0.1(mal).


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La Asociación Internacional de Geodesia propuso en 1980
la fórmula para el cálculo de la gravedad teórica g basada
en un elipsoide de revolución:


              1  0.0052790414sen 2   0.0000232718sen 4  
g  978032.7 
              0.0000001262sen6                             mgal
                                                             
                                                            

Esta fórmula reproduce valores de medidas absolutas de
gravedad a nivel del mar dentro de un margen de error de
0.01µm/s2 ó 0.001(mgal).




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Desviación de la vertical.
Una estimación del ángulo ε, entre la vertical y la dirección
 radial, puede obtenerse de las Ec(2) y de la Ec(3)

                     Mm
              mgz  G 2 r  ma A
                ˆ       ˆ
                     R
                aA  R2  zosen  r 
                           ˆ        ˆ
          Mm
     ˆ  G 2 r  mR2  z o sen  r  / r
   mgz       ˆ          ˆ          ˆ      ˆ
          R

                            r  r   mR2   z o  r  sen   r  r  
                       Mm
mg  z  r   G
     ˆ ˆ                 2
                             ˆ ˆ                ˆ ˆ                ˆ ˆ
                       R

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   mgsen  mR  sen(90   ) sen
                                2



     mgsen  mR cos sen         2


                   R       2
            sen     cos  sen
                    g




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   En el Ecuador desviación cero.
   En los Polos desviación cero.
   En latitud 45º desviación máxima, del orden 0,1º

     De acuerdo a los valores señalados, la última
     expresión:

               0,003sen cos 


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              Corrección por Latitud.
    La corrección por latitud se hace en la
     fórmula del g Teórico, reemplazando y
     transformando [rad] a Km.
                                g  C1 1  asen 2  bsen 2 2 
         g
            ;
         

      g                              d                              
          C1  a  2  sen  cos       2  b  sen2  cos 2  2 
                                    d                              
                                       mgal 
       g lat   5172,3sen2   2 
                                       rad 

                                   mgal 
          g lat  0,0816679sen2        x
                                   100m 
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1rad  57  57  111.111,00m  6333327m 
                    63.333,27 100m
      Estos Km. Son en la dirección N-S
       corresponde a una latitud conocida (base para el
       trabajo que se hace, Estación considerada).
      En la fórmula de la anomalía de Bouguer:

        A Boug  g obs  g h  g B  g Teo

          gTeo corregido      
                               gTeo g lat   
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  En el hemisferio Sur:
  para mayor latitud se usa el signo (+), es
   decir cuando el lugar considerado está
   más al sur de la estación de referencia.
  Para menor latitud se usa el signo menos ,
   es decir cuando el lugar considerado está
   más al norte de la estación de referencia.




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   En el hemisferio Norte:
   para mayor latitud se usa el signo (+), es decir,
    cuando el lugar considerado está más al norte de
    la estación de referencia.
   Para menor latitud se usa el signo menos, es
    decir, cuando el lugar considerado está más al
    sur de la estación de referencia.
   Si el lugar de observación está mas cercano a los
    polos que la estación de referencia se suma al
    gTeo.. Esto es válido tanto en el hemisferio
    norte como en el Sur.


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   ABoug  gobs  gh  gB   gTeo  glat 
     Lugar considerado se ubica más hacia los polos que la Estación.




ABoug  gobs  gh  gB   gTeo  glat 
   Lugar considerado se ubica más hacia el Ecuador que la Estación.




Depto. Física - USACH/mrm

								
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