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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA -1-
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA NUCLEO MERIDA
APUNTES DE FÍSICA III
Profesor: José Fernando Pinto Parra
Dualidad Onda-Partícula
Fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton ofrecen una rigurosa
evidencia de que cuando la luz y la materia interactúan, la luz se comporta como si
estuviera compuesta de partículas con energía hf y momento h/
tiene un comportamiento dual, es una onda y es una partícula. ¿Pero cuál modelo es el
correcto?.
Postulados de De Broglie
Tradicionalmente, los electrones se habían considerado como partículas, y por tanto un haz
de electrones sería algo claramente distinto de una onda.
De Broglie propuso (1923) eliminar esta distinción: un haz de partículas y una onda son
esencialmente el mismo fenómeno; simplemente, dependiendo del experimento que
realicemos, observaremos un haz de partículas u observaremos una onda. Así, el electrón
posee una longitud de onda (que es un parámetro totalmente característico de las ondas).
Esta idea, que en un principio era una simple propuesta teórica, fue confirmada
experimentalmente en 1927, cuando se consiguió que haces de electrones experimentasen
un fenómeno muy característico de las ondas: la distorsión de la onda al atravesar una
rendija muy estrecha (difracción).
Basado en la analogía de los fotones, de Broglie desarrolla un álgebra sencilla para expresar
sus ideas.
Según Planck, la energía correspondiente a un fotón viene dada por la ecuación:
E=hf=h
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Teniendo en cuenta la ecuación de Einstein: E = m c2
Al fotón, considerado como partícula, le correspondería un momento lineal que va a estar
relacionado con su longitud de onda y se puede deducir de las expresiones anteriores:
2
h c/
λ= h / mc
De Broglie, asignó a las partículas una onda asociada cuya longitud de onda viene dada por
la siguiente expresión: = h / mv
Ejemplo: Considere las longitudes de onda de De Broglie de un electrón y de un protón.
Razone cuál es menor si tienen:
a) El mismo módulo de la velocidad.
b) La misma energía cinética.
Suponga velocidades no relativistas.
h h
a) e p
meve mpv p
Si las velocidades son iguales ve = vp , la relación entre las longitudes de onda de Broglie
será:
e m p
p me
Como
e m p
mp me 1 e p
p me
b) La misma energía cinética Ec e= Ec p= Ec
1 1
Ec me v e
2
mpv2p
2 2
2 Ec 2 Ec h h h
2
ve ve e
me me me v e 2 Ec 2 E c me
me
me
2 Ec 2 Ec h h h
v2
p vp p
mp mp mpv p 2 Ec 2 Ec m p
mp
mp
Como
h
e 2 E c me mp
mp me 1 e p
p h me
2 Ec m p
e p
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Difracción de electrones:
La hipótesis de De Broglie se comprobó para los electrones, mediante la observación de la
difracción de electrones en dos experimentos independientes, realizados por Thomson;
Davisson y Germen, quienes hicieron pasar un haz de electrones a través de una rejilla
cristalina, en el llamado experimento de la doble rendija.
La difracción ocurre cuando se hace pasar una onda por una abertura de un tamaño no
mayor que su longitud de onda, con lo que al otro lado de la abertura se produce un patrón
de interferencia — en el caso de la luz, una serie de bandas o anillos de luz y sombra
alternas. En el caso del agua, cuando una ola llega a l a playa y hay una pequeña roca
semisumergida en la orilla, la ola golpea la roca y forma detrás de ella una serie de anillos
concéntricos con la roca.
Ahora, si lo que se hace pasar son “pequeñas bolitas” a través del minúsculo agujero, al
otro lado deberían verse los impactos de las bolitas justo detrás del agujero, pero lo que se
encuentra es algo casi exactamente igual a la difracción de los rayos X. La conclusión era
absolutamente inevitable: los electrones eran ondas. En pocos años se observó lo mismo
con otras partículas subatómicas e incluso con átomos enteros… todos interferían y se
difractaban.
Ahora, la Difracción de electrones es frecuentemente utilizada en física y química de
sólidos para estudiar la estructura cristalina de los sólidos y consiste en la utilización de un
microscopio electrónico por transmisión en el que los electrones son acelerados mediante
electroestática potencial para así obtener la energía deseada e incrementar su longitud de
onda antes de que este interactúe con la muestra en estudio.
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Partiendo de la figura anterior, imaginemos a un solo electrón que produce ondas
secundarias en fase cuando llegan a una de las rendijas, la separación angular αentre el
máximo de probabilidad y el mínimo vecino, se obtiene por la siguiente ecuación:
dsen
2
Aplicando la ecuación de De Broglie, se obtiene que:
h
2dmv
De este modo la naturaleza dual del electrón se muestra claramente, ya que los electrones se
detectan como partículas en un punto localizado en algún instante de tiempo, pero la
probabilidad de llegada a ese punto se determina encontrando la intensidad de las dos ondas
de materia que interfieren.
Ahora, debido a que el fenómeno muestra interferencia, el electrón debe estar presente
simultáneamente en ambas rendijas, por tanto, para detectarlo en cualquier punto particular
de la pantalla debemos considerar que el mismo debe estar en un estado de superposición
dado por la ecuación cuántica de la onda:
1 2
De manera que la probabilidad de detectarlo en la pantalla es 1 2 , dada por la
2
ecuación:
1 2 1 2 2 1 2 cos
2 2 2
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Principio de incertidumbre de Heisenberg
En la búsqueda de una estructura que fuera compatible con la mecánica cuántica
Heisenberg descubrió, cuando intentaba hallarla, el «principio de incertidumbre», según el
cual ciertos pares de variables físicas, como la posición y el momento p de una partícula, no
pueden calcularse simultáneamente con la precisión que se quiera.
Es decir, si repetimos el cálculo de la posición y el momento de una partícula cuántica
determinada (por ejemplo, un electrón), encontraremos con que dichos cálculos fluctúan en
torno a valores medíos.
Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no
puede reducirse a cero. Si el electrón obedeciese las leyes de la mecánica newtoniana, las
incertidumbres podrían reducirse a cero y la posición y el momento del electrón podrían
determinarse con toda precisión. Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la newtoniana,
sólo nos permite conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, es
intrínsecamente estadística.
Heisenberg postuló, que en la mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un
instante dado, los valores de dos variables canónicas conjugadas (posición-impulso,
energía-tiempo,…, etc.) de forma que una medición precisa de una de ellas implica una
total indeterminación en el valor de la otra.
Matemáticamente, se expresa para la posición y el impulso en la siguiente forma:
xp
2
donde x, corresponde a la incertidumbre en la medida de la posición; y p, a la medida
del impulso; para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene:
Et
2
en ambas relaciones el límite de precisión posible viene dado por la constante de Planck, h,
donde:
h
2
Postulados de Bohr
El modelo de Rutherford plantea que las órbitas del átomo eran similares a las del sistema
planetario, pero este modelo no permitía explicar, por medio de las leyes clásicas de la
mecánica y el electromagnetismo, los espectros emitidos por los átomos incandescentes.
Bohr valiéndose de los trabajos de Planck y Einstein encontró una respuesta a esta duda,
modificando el modelo de Rutherford y concibió una nueva imagen del átomo, bajo el
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concepto de que estos responden a los postulados de la mecánica cuántica, introduciendo el
concepto de cuanto de Planck.
En éste modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo; ocupando la
órbita de menor energía posible, o sea la órbita más cercana posible al núcleo. Bohr para
desarrollar su modelo atómico utilizó el átomo de hidrógeno. Describió el átomo de
hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón.
En el modelo, cada órbita electrónica está caracterizada por un número cuántico, siendo la
más próxima al núcleo aquélla con un cuanto, la órbita K, seguida por la de dos quantum ,
llamada L, y así sucesivamente. Si el electrón salta de una de las órbitas exteriores a la
órbita L, el átomo irradia las líneas espectrales de la serie Balmer, que cruzan la parte
visible del espectro del hidrógeno.
Según la proveniencia del electrón saltarín, las cantidades de energía irradiadas, y con ellas
la frecuencia (color) de la línea, serán diferentes: la línea roja de esta serie es el producto de
un salto procedente de la órbita M; la línea azul, de uno desde la órbita N, y así
sucesivamente. De manera análoga, otras series reciben también su explicación: la de
Lyman, en el ultravioleta, corresponde a saltos electrónicos a la órbita K; la de Parchen , en
el infrarrojo, a saltos a la órbita M. En todos los casos, las series están determinadas por la
órbita de llegada; las líneas dentro de una serie, por la órbita de partida del electrón saltarín.
Entonces, según el modelo, cada órbita se corresponde con un nivel energético que recibe el
nombre de «número cuántico principal», se representa con la letra "n"; y toma valores
desde 1 hasta 7. De acuerdo al número cuántico principal calculó las distancias a las cuales
se hallaba cada una de las órbitas permitidas en el átomo de hidrógeno, respecto del
núcleo.
Representación de las órbitas n distancia
1 0,53 Å
2 2,12 Å
3 4,76 Å
4 8,46 Å
5 13,22 Å
6 19,05 Å
7 25,93 Å
Los postulados de Bohr se resumen en los siguientes:
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1.Los electrones orbitan el átomo en niveles discretos y cuantizados de energía, es decir,
no todas las órbitas están permitidas, tan sólo un número finito de éstas.
2.Los electrones pueden saltar de un nivel electrónico a otro sin pasar por estados
intermedios.
3.El salto de un electrón de un nivel cuántico a otro implica la emisión o absorción de un
único fotón cuya energía corresponde a la diferencia de energía entre ambas órbitas.
4.Las órbitas permitidas tienen valores discretos o cuantizados del momento angular
orbital p de acuerdo con la siguiente ecuación:
h
p n. n.
2
En el átomo más simple, el hidrógeno, solamente orbita un electrón, siendo la orbita de
menor radio o radio de Bohr:
4 0 2
ao
me e 2
Generalizando la ecuación del radio de Bohr, obtenemos:
4 0 n 2 2 r n 2. a
rn o n 0
me e 2
La cuantización del radio de órbita, permitió la cuantización de la energía
e2
En
8 0 a0 n 2
Y arrancando del tercer postulado de Bohr podemos obtener la frecuencia del fotón
emitido:
Ei E f e2 1 1
f
h 8 0 a0 h n 2 ni2
f
Y como la cantidad medida es la longitud de onda, se obtiene:
1 f e2 1 1
2
c 8 0 a0 hc n f ni
2
Donde
e2
RH 1,0973732 107 m1
8 0 a0 hc
Que se conoce como la constante de Rayberg, de esta forma queda la ecuación:
1 1 1
Rh 2 2
n
f ni
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