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Transforma��es geom�tricas by b7CWM77

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									PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICA
     PARA PROFESSORES DO 1º E 2º CICLOS




                               Transformações geométricas

1.     Vectores
      1.1. Adição dum ponto com um vector
      1.2. Adição de dois vectores
      1.3. Multiplicação dum número real por um vector


2.     Isometrias
      2.1. Translação associada a um vector
      2.2. Rotação no plano
      2.3. Simetria central
      2.4. Simetria axial
      2.5. Classificação das isometrias no plano


3.     Homotetias
      3.1. Consequências da definição
      3.2. Propriedades das homotetias de razão r  0
      3.3. Classificação das homotetias


4.     Semelhanças
      4.1. Classificação das semelhanças
      4.2. Figuras semelhantes
         4.2.1.     Polígonos semelhantes
      4.3. Semelhança de triângulos
      4.4. Teorema de Thales
      4.5. Consequências da semelhança aplicada aos triângulos rectângulos
                                          1. Vectores



      Definição
      Dois segmentos dizem-se equipolentes se têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento.


      Consideremos um segmento orientado [A,B] e o conjunto de todos os segmentos
orientados equipolentes a ele.
      Este conjunto de segmentos com a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo
comprimento, define um vector (ou vector livre) de que cada um dos segmentos orientados é
um representante.


      Notação
                                                      
      Este vector representa-se por AB ou CD ou MN ou ainda por uma letra minúscula
                            
tendo por cima uma seta: u .




      Definição
                    
      Vector nulo, 0 , é um vector de comprimento igual a zero.


      Observação: A direcção e o sentido do vector nulo são indeterminados.




                            1.1 Adição dum ponto com um vector




      Definição
                                                                                   
      Dados, no plano um vector u , chama-se soma de A com u ao ponto B tal que AB  u
                        
e escreve-se B  A  u .                                                     B
                                                    u
                                                                          
                                                                          u
                                                    
                                                    u         A



                                                                                          1
                            Programa de Formação Contínua em Matemática
                                     1.2 Adição de vectores




Definição
                                                      
Soma dos vectores a e b é o vector a  b , que se obtém da seguinte forma:
                                                 
 - a um ponto O, qualquer, soma-se a e obtém-se um ponto M;
                                    
 - ao ponto M soma-se a e b e obtém-se N.
                               
 Então              a  b  ON



Exemplos
                                                                                     M           
1)                                                                                              b
                                                                             a
                                         
                                         b                                                               N
                    
                    a                                                                       
                                                                     O               a b

Como, num triângulo, qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois, tem-se:
                                  
            a  b  a  b

                                                                                       
                    a                                                a
                                                                         M               b
2)                                                           O                                                   N
                    
                    b                                        O                                                   N
                                                                                
                                                                             a b

 Quando, como neste caso, os vectores têm a mesma direcção e sentido, tem-se:
                                  
            a  b  a  b

                                                                                                     
                                                                                                    a
3)              a
                                                                         N                                      M
                                                                                    b
                    b                                                                        O
                                                                         N                     O
                                                                                 a b

                                                              
     Neste caso tem-se                       a  b  a  b



                                                                                                             2
                         Programa de Formação Contínua em Matemática
     4)
                       
                        a                                      
                                           b                     a    
                                                                          b
                                                                                           
                                                        NO                       a b 0
     (Neste caso, os vectores são simétricos)
                                        
     Também se tem:         a  b  a  b .




     Definição
     Dois vectores dizem-se simétricos se têm a mesma direcção, sentidos opostos e o mesmo
comprimento. (A sua soma é o vector nulo.)




     Conclusão
     Podemos concluir dos exemplos anteriores que, quaisquer que sejam os vectores u e v,
                                        
tem-se sempre:              u  v  u  v .




                                Propriedades da adição de vectores
                                            
     Para quaisquer vectores do plano a , b , c , tem-se:


     i) Propriedade Comutativa
                  
          a  b  b a
     ii) Propriedade Associativa
                 
           a  b  c  a  b c 
                                
                                
     iii) Existência de elemento neutro
                                        
       a+ 0 = 0 +a=a                      0 é o elemento neutro da adição de vectores.
     iv) Existência de oposto
                                                                    
          a   a    a   a  0
                                      O oposto de a é o seu simétrico  a .
                         




                                                                                                 3
                            Programa de Formação Contínua em Matemática
                      1.3 Multiplicação dum número real por um vector




     Definição
                                                                                     
     Produto dum número real k por um vector u é um vector que se representa por k u
                        
(ou k . u ou k  u ) e:
                                
      Se k  0 e u  0 , tem
                                                                                     
          - o comprimento igual ao produto do valor absoluto de k pelo comprimento de u
                       
              ( | k | . | u |) ;
                                          
          - a direcção do vector u ;
                             
          - o sentido de u se k > 0, e o sentido contrário se k < 0.


                                                               
      Se k = 0 ou u = 0 , então k . u = 0 .




     Exemplos                                                                 
                                                  
                                                                              u
     Consideremos um vector u  0 , (qualquer)


kZ


                                                                       
1) 3 u                               u                       u            u


                                                                 
                                                                 3u



                                                                 
                                        u                      u
2) -2 u

                                                    
                                                  2 u




                                                                                          4
                                 Programa de Formação Contínua em Matemática
kQ

                                                          1
                                                           u
     3                             u                     2
3)     u
     2

                                            3
                                              u
                                            2



                                    1                              
                                     u
    5                              2                 u            u
4)  u
    2
                                                          5
                                                           u
                                                          2



k  { Números irracionais }




       
                                        
5)    2u                            2u                          
                                                                u

                                                  
                                                  u

                                                           
                                                          2u



      Propriedades
                                                  
      Quaisquer que sejam os vectores u e v e os números reais m e p, tem-se:
                                       
           i) m ( p u ) = ( m p) u
                                            
           ii) (m + p) u = m u + p u
                                                   
           iii) m ( u + v ) = m u + m v
                        
           iv) 1 . u = u




                                                                                5
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     Definição
                          
     Dois vectores, u e v , não nulos, são colineares (têm a mesma direcção) se e só se
                                      
existir um número real k tal que u = k v .
                                                                     
                                                                     u
     Ao número k chama-se razão dos vectores u e v e escreve-se: k   .
                                                                     v


     Nota
     O vector nulo é colinear com qualquer outro.
                                                                
     No entanto, só tem sentido falar na razão entre u e v se v  0 .




                                                                                     6
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                                      2. Isometrias

      ISO + METRIA – mesma medida




      Definição
      Uma isometria é uma transformação geométrica que transforma uma figura noutra
geometricamente igual.
      Iremos estudar três tipos diferentes de isometrias no plano: as translacções, as rotações
e as simetrias.




                         2.1 Translação associada a um vector




      Definição
      Translação definida por um vector u é uma aplicação T , do conjunto P, dos pontos do
                                                              u

                                                                           
plano, nele mesmo, que a cada ponto A faz corresponder a sua soma com u .
                  T : P  P
                   u                                                           A’
                                                                    
                   A  A’ = A + u                    u                 u
                                                                                    T
                                                                                     u
                                                                  A

 A’ chama-se o transformado ou imagem de A pela translacção T .
                                                                  u




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                                            Propriedades


1) A translação associada ao vector nulo é a aplicação identidade.
                    T ( A)  A
                     0                                 A
                                                                                    
                                                                           A A 0
                                                            T
                                                             0



2) A imagem de uma recta é:
       a) uma recta estritamente paralela,
       se a direcção do vector associado é diferente da direcção da recta;


                                                                               r’
             
                u                                                                     r // r'
                                      u                 u
                                                                               r




       b) a própria recta
       se o vector associado tem a direcção da recta.

                                                                r
                      u
                                                                 r’                 r  r'

                                      
                                      u



3)   A imagem de uma semi-recta é uma semi-recta directamente paralela (isto é, com o
     mesmo sentido)

                                       A’             B’

            
            u                                                                    
                                                                          T  A B   A' B'
                                                                                    
                             u                 u                             u      

                             A                B




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4) A imagem de um segmento orientado é um segmento orientado equipolente.
                                                                 A’
                                                      u
                                            A
                                                                                     ( A, B)  ( A' , B' )
                      u
                                                                                     ( A, B) ~ ( A' , B' )
                                             
                                             u
                                                      B’
                                    B


5) A imagem dum ângulo é um ângulo de lados directamente paralelos (mesma amplitude e
mesmo sentido).                                                       B’
                                                                                C’
                                             A’                   
                                                                  u         
                                        
              u                                                             u
                                         u                                                  ABC  A' B' C'
                                                  B
                                                              C
                            A
                                                                                                                   
6) A composta de duas translações associadas, respectivamente, aos vectores u e v é a
                                        
translação definida pelo vector u  v

                                                     A’
              u                          
                                         u                                               
                                                                                 T  T ( A)  A' '  T  ( A)
                                                                                v     u                uv
                                    A                         v
                  
                                                 
                  v                      u v
                                                                      A’’

                                                                                                       
7) A inversa da translacção definida pelo vector u é a translação associada a  u :

                                T               A’
                                    u
          
          u                                                                 T ( A)  A' e T                   A
                                                                                                     ( A' )
                                                                                u                  u
                                                      T
                                A                         u




Nota
Toda a translação é uma isometria : transforma uma figura noutra geometricamente igual.




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                                2.1.1. Aplicações das translações


1) Ângulos de lados paralelos


    Ângulos de lados directamente paralelos são geometricamente iguais.




                                    B
                                                                                          
                                                                       A B // N M e A C // N Q
                        C                                      A
                                                                             directamente


                                                                   
                                    M
                                                                   u



                         Q                                    N

     Como MNQ  BAC então MNQ  BAC
                        T
                         NA



Observação
Duas semi-rectas dizem-se directamente paralelas se são paralelas e têm o mesmo sentido.




    Ângulos de lados inversamente paralelos são geometricamente iguais.



                                            
                                            u

             
                               '                                      




                ˆ ˆ
                  '   , já que os ângulos ’ e  são ângulos de lados directamente paralelos

                  ' , já que  e ’ são ângulos verticalmente opostos.
                 ˆ ˆ

     ˆ ˆ
Logo   




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2) Ângulos definidos por duas rectas paralelas e uma secante

                                                          s

                                                  2       1             r
                                              3       4

                                                  
                                                  u
                              6           5                            p
                             7        8


   Ângulos alternos internos: os ângulos (3,5) e (4,6)
   Ângulos alternos externos: os ângulos (1,7) e (2,8).
   Ângulos externos do mesmo lado da secante: Pares de ângulos (1,8) e (2,7)
   Ângulos internos do mesmo lado da secante: Pares de ângulos (3,6) e (4,5)




      Os ângulos alternos (internos ou externos) são geometricamente iguais.
      Os ângulos do mesmo lado da secante (internos ou externos) são suplementares.




3) Soma dos ângulos internos de um triângulo


               E                          A                                 D
                                  3                   1
                                              2



                              3                               1
                       C                                               B

     Consideremos um triângulo [ABC] e seja ED a paralela a BC conduzida pelo ponto A.
                       ˆ
                DÂB  CBA , já que  DAB e  CBA são ângulos alternos internos.
                       ˆ
                EÂC  BCA , já que  EAC e  BCA são ângulos alternos internos.
     Então
                                                          ˆ ˆ ˆ
                ABC  CAB  BCA  ângulo raso , isto é 1  2  3  180 º




A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual à de um ângulo raso.




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4) Ângulo externo de um triângulo

                      A
                                                                E
                       2



                                                      2
              1                                            1                  D
         C
                                                       B

                           ˆ     ˆ     ˆ
     Na figura BE // AC e ABD  ABE  EBD .
           ˆ     ˆ
     Como EBD  ACB , já que  EBD e  ACB são ângulos correspondentes
   ˆ
e ABE  CÂB , já que  ABE e  CAB são ângulos alternos internos, então
                ˆ     ˆ     ˆ
               ABD  ACB  BCA .




 Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.




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                                     2.2 Rotações do plano




     Definições                  Ângulo orientado


      Ângulo positivo é o ângulo gerado no sentido contrário ao movimento dos ponteiros
do relógio, por uma semi-recta rodando em torno da origem.

                                         A
                                                              
             Lado extremidade
                                                             O A – lado origem
                                                              
                                     +                       O B – lado extremidade
       O

              Lado origem            B


                                                
               O ângulo representa-se por  O A, O B  .
                                                    
                                                    


      Ângulo negativo é o ângulo gerado no sentido do movimento dos ponteiros do relógio,
por uma semi-recta rodando em torno da origem.

                                         D
              Lado origem                                     
                                                             C D – lado origem
                                                              
       C
                                     -                       C E – lado extremidade


              Lado extremidade       E


                                                
               O ângulo representa-se por  C D, C E  .
                                                    
                                                    




     Definição
     Rotação de centro O e amplitude  é a aplicação que a cada ponto M do plano faz
corresponder um ponto M’ tal que:
                                                   ^
                                                       
                 OM  OM '       e            O M , O M '     e escreve-se R (O, ) (M) = M’.
                                                         
                                                         




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                                           Propriedades


1) A rotação de amplitude 0º é a aplicação identidade.
                R (C, 0º) (A) = A.


2) A imagem do centro da rotação é o próprio centro.


3) A imagem de uma recta é outra recta. r  r ' .
                                                R



                                                                 
4) A imagem de uma semi-recta é outra semi-recta. A B  A' B' .
                                                              R



5) A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual.
                AB A' B'
                      R



6) A imagem de um ângulo orientado é outro ângulo orientado equipolente (geometricamente
igual e do mesmo sentido).
                                                                      ^                ^
                                                                                 
                 N P, N M   N ' P' , N ' M '    e        N P, N M    N ' P ' , N ' M ' 
                           R                                                             
                                                                                         


7) A composta de duas rotações com o mesmo centro
                R (C, )  R (C, )
é uma rotação com o mesmo centro e amplitude igual à soma  + :
                R (C, )  R (C, ) = R (C, +)


8) A rotação inversa da rotação de centro C e amplitude  é a aplicação R (C, -):
                [R (C, -)  R (C, )] (A) = A




 Nota
 Toda a rotação é uma isometria : transforma uma figura noutra geometricamente igual.




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                                  2.3 Simetria central




       Definição
       Simetria central ou simetria em relação a um ponto M, é a rotação de centro em M e
amplitude 180º (SM).




                                                      MB  MB'


                                                      S M ( B )  B'       S M ( B' )  B




     Terminologia
     M é o centro da simetria e os pontos B e B’ dizem-se simétricos relativamente a M.




     Observação
     Todo o ponto B se transforma em outro ponto B’ a igual distância de M e pertenceÀ
                    
semi-recta oposta a M B .




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                         Figuras simétricas em relação a um ponto




      Definição
      Uma figura diz-se simétrica em relação a um ponto C quando coincide consigo própria
na simetria que tem por centro C. C é o centro da simetria dessa figura.


      Exemplos
      Figuras simétricas em relação a C




                               Não é uma figura simétrica em relação a C




      Propriedades
      As simetrias centrais têm todas as propriedades das rotações (são rotações) e
consequentemente são isometrias.




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                                           2.4 Simetria axial



        Definições
        Simetria em relação a uma recta r, Sr, é a aplicação do plano nele mesmo em que:
                i)a imagem de um ponto A não pertencente a r é um ponto A’ tal que r é
        perpendicular ao meio de [AA’];
                ii) a imagem de um ponto de r é o próprio ponto.


        Os pontos A e A’ dizem-se simétricos relativamente a r:
                Sr (A) = A’ e Sr (A’) = A.


        A simetria em relação a uma recta r também se chama simetria axial de eixo r.


                                   r


         A                    B B'


                     M                        Se A  r então AA'  r        e   MA  MA'

                              A'
                                              Se B  r então S r ( B)  B




                                              Propriedades


1) Numa simetria axial de eixo r, Sr, os pontos de r são invariantes.

                                       r


                     P  P'                                  Se P  r então Sr (P) = P.




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2) A imagem duma recta é uma recta:
                       m

                             P



                                                Q
          r                                                              Sr (m) = m’.


                                                 Q'



                            P'

                  m'



Nota
Basta determinar os simétricos de dois quaisquer pontos P e Q da recta: Sr (P) = P’, Sr (Q) = Q’




3) A imagem duma semi-recta é uma semi-recta:

                                 B


                                                          A


                                                                               
                                                                         S r  A B   A ' B' .
              r
                                                                                  
                                                                                  

                                                          A'



                             B'



Nota
Basta determinar os pontos simétricos de dois pontos da semi-recta: a sua origem A e um outro
qualquer ponto B: Sr (A) = A’ e Sr (B) = B’.




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4) A imagem dum segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual.

                          r
              A



                                                    S r [ AB ]  [ A ' B ' ]
                                           A'
                                                                                 em que [ AB ]  [ A' B' ]


              B
                                  B'




Nota
Basta determinar os pontos simétricos dos extremos A e B do segmento de recta: Sr (A) = A’ e
Sr (B) = B’




5) A imagem dum ângulo orientado é outro ângulo orientado geometricamente igual e de
sentido contrário:
                                                                                            
                                                                 C D, C E    C ' D ' , C ' E ' 
                                       A                                   S                    
                                                                           r                    

                     C                                     B


   r




                     C'
                                                           B'


                                    A'




Nota
Aqui temos de determinar os simétricos de três pontos do ângulo: o vértice B e dois quaisquer
pontos A e C situados em lados distintos do ângulo: Sr (B) = B’, Sr (A) = A’ e Sr (C) = C’.




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      Nota
      A simetria axial é uma isometria, transforma uma figura noutra geometricamente igual
mas inverte o sentido dos ângulos orientados.




                        Figuras simétricas em relação a uma recta



        Definição
        Uma figura diz-se simétrica em relação a uma recta r se coincide com a sua imagem na
simetria de eixo r (eixo de simetria da figura).




        Exemplos




                          Programa de Formação Contínua em Matemática
             2.5 Classificação das isometrias do plano




                                      Translações
               Positivas ou           Rotações
               Deslocamentos          Composições de rotações e translações
                                      Simetrias axiais


Isometrias
                  Negativas           Composições duma simetria axial
                                              com deslocamentos




                Programa de Formação Contínua em Matemática
                                             3. Homotetias



       Definição
       Dados um ponto O e um número real r, chama-se homotetia de centro O e razão r, e
escreve-se H (O,r), à aplicação do plano em si mesmo, que faz corresponder a cada ponto M
um ponto M’ tal que:
                                   
                      OM '  r  OM


      Se r > 0, a homotetia diz-se positiva.
      Se r < 0, a homotetia diz-se negativa.
      Se r = 0, a imagem de qualquer ponto é o centro da homotetia.


       Exemplos
1)

                               P'                                 Se r > 0        H (A,2)


                       P
                                                                  AP' = 2 AP      P é homotético de P'


         A




2)
               P

                      A                                        Se r < 0        H (A,-2)


                                                               AP' = -2 AP      P é homotético de P'



                                        P'




3)                                                               Se r = 0        H (A,0)

                                    P
                                                                 AP' = 0 AP       P'  A
             A  P'
                                                                 P é homotético de P'




                                             ESEV, 2005/2006
                          3.1 Consequências da definição

      1) A imagem do centro da homotetia é o próprio centro.


      2) Numa homotetia de centro A que transforma P em P’, os pontos A, P e P’ são pontos
colineares.


      3) Dados um ponto M, o seu transformado M’ e o centro da homotetia A, é possível
determinar a razão da homotetia.


      4) Dados um ponto e o seu transformado numa homotetia de razão dada, é possível
determinar o centro da homotetia.


      5) Uma homotetia de razão igual a 1 é a aplicação identidade.


      6) Uma homotetia de razão igual a -1 é a simetria de centro A.




                                       ESEV, 2005/2006
                                         Figuras homotéticas




    Definição
    Duas figuras são homotéticas se existe uma homotetia que aplica uma na outra.


    Exemplos
                                                                                               A'
    1) H (O,2)

                                           A



O

                                 B             C

                             E                 D           H                 B'                 C'



                                     F                 G           E'                           D'        H'




                                                                                  F'                 G'


    Note que as figuras têm a mesma forma e diferem apenas no tamanho e na posição.


    2) Dado o  [ABC] e o segmento [DE] // [BC], construir o triângulo homotético ao dado.

                                           D



                     B




             A


                         C                         E

                                                                                       D
             Resolução
                                                               B



                                                                        A'
                                                           A

                      O
                                                                   C                       E




                                           ESEV, 2005/2006
                3.2 Propriedades das homotetias de razão r  0



                                                                         1
      1) A aplicação inversa da homotetia H(O, r) é a homotetia H  O,  .
                                                                         r
      2) Imagem dum segmento orientado
       Numa homotetia, o transformado de um segmento orientado é um segmento orientado
paralelo e do mesmo sentido se a razão for positiva e de sentido contrário se a razão for
negativa.
       A razão entre o comprimento da imagem e o comprimento do segmento é igual ao valor
absoluto da razão da homotetia.


      3) Imagem duma recta
         Se o centro da homotetia não pertence à recta, a imagem é uma recta estritamente
paralela.
         Se o centro pertence à recta, a imagem é a própria recta.


      4) Imagem dum ângulo orientado
        Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado equipolente.




Aplicação à resolução de problemas


    Conhecido o centro duma homotetia O, um ponto A e o seu homotético A’, determinar a
                                           
     imagem de qualquer outro ponto B  O A .


    Dados dois segmentos [AB] e [CD] com a mesma direcção (mas não pertencentes à
     mesma recta), definir uma homotetia que aplique um no outro.




                                       ESEV, 2005/2006
                   3.3. Classificação das homotetias



Quanto ao sinal da razão:
 Positivas se r > 0              Negativas se r < 0


Quanto ao valor absoluto da razão:
 Ampliações se | r | > 1         Isometrias se | r | = 1                 Reduções se | r | < 1




Exemplos
1)


                                                               H (O,2)
                                                               Positiva; ampliação




                                                               H (O, ½ )
                                                               Positiva; redução


     O




2)

                                                       A



                                                                                H (O,-1)
                                               B       C                        Negativa
                                 O         E               D         H      (homotetia inversa)
                                                           E'


                                                   F            G




                                ESEV, 2005/2006
     3)



                              O




                 1
          H  O,     Negativa; redução
                 3
       H (O, -3)       Negativa; ampliação




                   3.4. Consequências métricas das homotetias

   Um feixe de rectas concorrentes determina em duas transversais segmentos
    correspondentes directamente proporcionais.

                                      O



                                  A             B            r




                                                                 s
                             C                               D




                                      OC       OD       CD
                                                   
                                      OA       OB       AB




                                          ESEV, 2005/2006
                                                4. Semelhanças



      Definições
      Chama-se semelhança a uma aplicação do plano em si mesmo, que transforma ângulos em ângulos
geometricamente iguais e segmentos de recta em segmentos de recta de comprimentos directamente proporcionais.
      Razão de semelhança é o quociente entre o comprimento de um segmento de recta transformado e o
comprimento do correspondente segmento original. (Evidentemente será um número positivo)




      Aplicação inversa de uma semelhança
      A aplicação inversa de uma semelhança, S, de razão r é ainda uma transformação de semelhança, cuja razão é o
                              1
inverso aritmético da de S,     .
                              r


      Composição de semelhanças
      A composta de duas transformações de semelhança é ainda uma transformação de semelhança, cuja razão é
valor absoluto do produto das razões das componentes.




                                               Tipos de semelhanças


 São semelhanças:
     As isometrias (translacções, rotações e simetrias)      Razão de semelhança: 1
     As homotetias      Razão de semelhança: razão da homotetia
     As aplicações compostas de duas ou mais homotetias:
        Razão de semelhança: valor absoluto do produto das razões das homotetias
     As aplicações compostas de uma homotetia com uma isometria:
        Razão de semelhança: valor absoluto da razão da homotetia




                                                  ESE VIISEU
                                                  ESE V SEU
                                  4.1. Classificação de semelhanças



   Quanto ao valor da razão:
       Ampliações se r > 1
       Isometrias se r = 1
       Reduções se r < 1


   Quanto à conservação ou não do sentido dos ângulos orientados:
       Positivas se conservam o sentido
       Negativas se invertem o sentido




                                          4.2. Figuras semelhantes



     Definição
     Duas figuras A e B são semelhantes se existir, pelo menos, uma semelhança que transforme uma na outra




     Nota
     Duas figuras semelhantes têm, afinal, a mesma forma, podendo diferir na posição e no tamanho.




                                                ESE VIISEU
                                                ESE V SEU
                                            4.2.1 Polígonos semelhantes




        Definição
        Dois polígonos P e P’ são semelhantes se têm de um para o outro:
         os ângulos iguais;
         lados correspondentes directamente proporcionais.




        Notação Escreve-se P ~ P’.




        Observações


     Os pares de lados proporcionais de polígonos semelhantes dizem-se homólogos.


                                                                                            P
     A razão dos perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança:      r.
                                                                                            P'


         A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança:
          A
              r2 .
          A'


     Como consequência da definição de semelhança de polígonos, pode afirmar-se que dois polígonos regulares
com o mesmo número de lados são semelhantes.




                                                   ESE VIISEU
                                                   ESE V SEU
                                      4.3. Semelhança de triângulos

      Para concluir que dois triângulos são semelhantes, é suficiente que se verifique uma das três condições
seguintes (casos de semelhança de triângulos).




                                        Casos de semelhança de triângulos


 1) (AAA) Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais.




 2) (LAL) Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo igual e os comprimentos dos lados que os formam
directamente proporcionais.




 3) (LLL) Dois triângulos são semelhantes se têm os comprimentos dos três lados proporcionais.




                                                 ESE VIISEU
                                                 ESE V SEU
                                                 4.4. Teorema de Thales

      Consideremos várias rectas paralelas a, b, c e d, intersectadas pelas duas secantes r e s.


      Os segmentos [AB] e [MN], contidos nas rectas secantes e compreendidos entre duas paralelas dizem-se
correspondentes.


      Também são correspondentes os segmentos [AC] e [MP]; [BC] e [NP]; [CD] e [PQ];...




      Teorema de Thales
      Um feixe de rectas paralelas determina em duas transversais segmentos correspondentes directamente
proporcionais.

                 AB       BC       CD       AC
                                               ...
                 MN       NP       PQ       MP




                                                         ESE VIISEU
                                                         ESE V SEU
           4.5. Consequências da semelhança aplicada aos triângulos rectângulos




                                      Projecção ortogonal sobre uma recta


      Projecção ortogonal de um ponto P sobre uma recta r é o ponto P’, pé da perpendicular baixada de P sobre
r.




      Projecção ortogonal de um segmento de recta sobre uma recta r é o segmento cujos extremos são as
projecções ortogonais dos extremos do segmento sobre a recta.




                                                 ESE VIISEU
                                                 ESE V SEU
                                     A semelhança nos triângulos rectângulos


1) Em qualquer triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triângulos rectângulos
semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado.




        [ABH] ~  [BCH] ~  [ABC]




 2) Teorema do cateto
 Num triângulo rectângulo, um cateto é meio proporcional entre a hipotenusa e a sua projecção sobre ela.


                                                        b a       b c
                                                             e    
                                                        a n       c m




3) Teorema da altura
 Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre os segmentos que ela determina.
                m h
                 
                h n




                                                  ESE VIISEU
                                                  ESE V SEU

								
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