????????????? Coefficient of Variation by HC120607193816

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									第二章
統計學概論
                               結束

2.1資料蒐集
   統計學係將資料蒐集後經過一定程序處理、分析、
   詮釋及比較,並以圖表、曲線或數值等,表現其
   結果的一種科學。基本上統計學之作業方式概分
   為兩大層面:
   1. 演譯統計學:分析及描述一個事件。
   2. 歸納統計學:以有限樣本及機率推估整體之發展
      傾向。
   統計資料是由研究對象之群體 (population) 中依研
   究個體特性採取調查或抽樣方式所獲得相關資料,
   以做為研究基礎。


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                                               結束

2.1.1 調查法
   抽樣調查係針對某項特定對象以直接接觸方式獲得
   資料,如:訪問、觀察或量測等,或以間接接觸的
   方式獲得資料,如:問卷調查。調查範圍可分為普
   查(census) / 百分之百檢驗 (100% inspection) 及抽
   樣 檢 驗       (sampling inspection) 兩 大 類 。




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一、簡單隨機抽樣
 簡單隨機抽樣 (simple random sampling) 係將物件編
 號後以指定亂數表 (附錄A) 位置之方式執行抽樣,
 惟不重複選取。
 如由100件物料中需抽取10件樣本檢驗,可先將100
 件物料編號 (00至99),並指定由亂數表第10列,第
 1行開始取樣,其結果為抽取編號為:81、62、83、
 61、00、29、25、45、68及35等物件。




                                    4
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二、分層隨機抽樣
  分層隨機抽樣 (stratified random sampling) 係將群
  體分為若干層,再由每一層中抽取相同數量樣本。
  1. 分層比例抽樣:
   依各層產品的數量 (Ni) 之比例決定各
    層 之 抽 樣 樣 本 數    (ni) 。

               k         k
          N   Ni , n   ni
     其中         ,N=群體數,Ni = 各
              i 1      i 1

     層產品數量,ni = 各層的本數,n = 樣
     本數,k = 層數。

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紐門抽樣
 2. 紐門抽樣
   依各層產品數量 (Ni) 及其標準差 (σi) 相乘之值 (nNi)
    的比率,決定各層抽樣的樣本數
    (ni)。



    其中 ,nNi= Ni × σi,σi = 各層產品之標準差,Ni =
    各層產品數量,ni = 各層的樣本數,n = 樣本數,k
    = 層數。



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戴明抽樣
 3. 戴明抽樣
   依各層產品數量 (Ni)、標準差 (σi) 與檢驗成本 (Ci),
    決定抽樣數量 (ni)。



             N σ
                  i       i
          nD
    其中     i
              C ,Ci = 各層樣本檢驗成本,σi = 各
                       i


    層產品的標準差,Ni = 各層的產品數量,
    ni = 各層樣本數,n = 樣本數,k = 層數。



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常態抽樣
 三、常態抽樣
  若 量 測 資 料 屬 常 態 分 布 , 其 管 制 上 下 限 範 圍
   (XL至XU) 內發生之機率為 ,如圖2.1所示。




                                           8
                                結束

常態抽樣
 其信賴水準為 1- a,XL 為管制下限,XU 為管制上
 限, (1- a) ×100% 的信賴區間為:中心值 誤差值,
 即



 其中 X為樣本平均數,Z為標準常態分配值, 為群
 體標準差。管制上下限範圍 (XL至XU) 離中心值
 ( X ) 之差距為誤差 (e)。由上式知,雙邊規格之估
 計最大誤差 (精確度) 為:


                                9
                                          結束

常態抽樣

 因此當信賴度達 (1- a) % 時,其最少的樣本數為:




 當管制雙邊規格時,a = 0.05,其 Z1- a/2 = Z0.975 =
 1.96;當管制單邊規格時, a = 0.05,其Z1- a/ =
 Z0.95 = 1.645。


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抽樣
 四、系統抽樣
     系統抽樣 (systematic sampling) 係將物件依一定順序
      排列,每隔一定數量取一件。
 五、群集抽樣
     群集抽樣 (cluster random sampling) 係將群體分為若
      干類 (或族),每類即稱為一個群集,再由整個群集
      中隨機抽取部份群集,並將抽中的群集予以全部檢
      驗。




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抽樣
 六、多段群集抽樣
     多段群集抽樣 (multi-stage cluster sampling) 係將群體
      分成若干群集,再由各群集中再分成若干個次群集,
      如此接續分類,最後再由最低群集中隨機抽取部份
      群集做為代表,並將抽到的群集執行100% 檢驗,其
      執行方式類似群集抽樣。




                                               12
                               結束

抽樣檢驗
  抽樣檢驗必須能反應出產品之變異,其中產品製
  程變異概可分為兩類:
  1. 組間變異:係指同一產品於不同層級區間內所生產
     的產品 (如:不同生產線、不同時段、不同廠區、
     不同作業員或不同環境等),該產品間之變異即為
     組間變異;
  2. 組內變異:係指同一產品於相同層級區間內所生產
     的產品,該產品間之變異即為組內變異。
  各類抽樣方式對群體資料之蒐集及其適用狀況,
  如表2.1所示。


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       結束

抽樣設計




       14
         結束

例題 2.1




 解




         15
               結束

例題 2.1




nNi= Ni × σi




               16
         結束

例題 2.2


 解




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                                              結束

2.2 資料描述
    資料蒐集後須進一步整理,以配合作業需求予以分析,
    並以適當圖表、曲線或警戒值表示,方能成為有用資
    訊。一般常用的統計描述方式,如:圓形圖、長條圖、
    曲線圖及體積圖等;另枝葉圖 / 莖葉圖 (stem-and-leaf
    display) 亦為資料描述的方法之一,其繪製方式如下:
   1.   莖:前置數字 (leading letter) 係取量測數據前一、二、
        或多位數,由大至小排成一行,並以垂線區隔,如量
        測數據為三位數,則取前兩位數字為前置數字,其餘
        類推。
   2.   葉:將量測數字除去前置數字所剩下數字,依序排列
        在相對應的橫列上。



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         結束

例題 2.3




         19
         結束

例題 2.3

 解




         20
         結束

例題 2.3




         21
           結束

2.3 資料特性
 一、連續資料




           22
           結束

資料特性
 二、不連續資料




           23
                           結束

2.4 次數分配
  次數分配係將蒐集之資料依其屬性、數量或發生之
  頻率等分類,用以顯示資料分布狀況。




                           24
       結束

次數分配




       25
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2.5 集中趨勢的量數

  統計量之集中趨勢 (central tendency) 係指量測數據
  向中央集中的程度。其代表值可以平均數 (mean)、
  中位數 (median) 或眾數 (mode) 予以量化描述。




                                       26
                           結束

2.5.1 平均數
   平均數之計算分為連續資料與不連續資料兩類:




                           27
                                              結束

2.5.1 平均數
   在有限群體中,不連續資料之平均數計算方式可分
   為算術平均數及加權平均數,
   其中算術平均數視每個量測值的重要程度均相同;
    加權平均數則視量測值的重要性賦予一個權重值
    (weight)。
   平均數的計算方式依量測值的形式分為:未分組數
   據之計算方式 (none-frequency distribution) 及分組
   數據之計算方式 (frequency distribution) 兩種。
   平均數計算會使用所有量測值,所以容易受極端值
   (extreme values) 影響。


                                              28
                                   結束

未分組數據之計算方式
 1. 群體平均數



    其中μ = 群體平均數,Xi = 量測數據,N = 群體
    數。
 2. 樣本平均數



   其中 X = 樣本平均數,Xi = 量測數據,n = 樣本
   數。
                                   29
                                         結束

分組數據之計算方式
 二、分組數據之計算方式




                   k

 其中 X = 樣本平均數,  f j  n (樣本數),fj = 第j
               j1

 組的樣本數,mj = 第j組樣本之中值,k = 組數。




                                         30
                                       結束

加權平均數
 三、加權平均數之計算方式




   其中 X w = 加權平均數,Wi = 權重數,Xi = 量測值,
   n = 樣本數。




                                       31
         結束

例題 2.4




 解




         32
         結束

例題 2.5




 解




         33
         結束

例題 2.6




         34
         結束

例題 2.6


 解




         35
         結束

例題 2.7




         36
         結束

例題 2.7

 解




         37
         結束

例題 2.8




 解




         38
                               結束

2.5.2 中位數
   中位數 (Medium, Md) 係指一系列有次序的量測值,
   依大小順序排列其中間位置的值。中位數係以50%
   處的量測值為代表,不受極端值影響,因此當量測
   值有極端值出現時,以中位數表示量測資料比用平
   均數恰當。




                               39
                          結束

未分組數據之計算方式

 當一組量測數據屬未分組時,先將該組量測數據依
 大小順序排列。若該組量測數據的數量為奇數,則
 中位數為該組量測數據之中間位置之數值;若該組
 量測數據的數量為偶數,則中位數為該組量測數據
 中間兩個數值之平均數。




                          40
                                結束

分組數據之計算方式
  當一系列數據已分組時,則先依據各組數據分布情
   形找出中位數所在之組,再以資料最小值端開始起
   算其近似中位數為:



   其中   Md = 中位數,
        Lm = 中位數所在組的下組界,
        n = 總發生次數,
        cfm = Lm 以前各組之累積發生次數,
        fm = 中位數所在的組之發生次數,
        i = 組距。                 41
         結束

例題 2.9




 解




         42
          結束

例題 2.10




 解




          43
          結束

例題 2.11




          44
          結束

例題 2.11

 解




          45
                             結束

2.5.3 眾數
   眾數(Mode, Mo) 係指一系列有次序的量測數據中,
   發生次數最多的數值。當出現次數愈多時,其所占
   的比重愈大,愈具代表性。
   當眾數出現次數超過量測數據一半以上,則眾數將
   趨近算術平均數,且其分布趨近左右對稱之單峰分
   布。
   眾數不受極端值影響,當量測數據為左偏或右偏時,
   眾數比平均數更具代表性。




                             46
                                  結束

2.5.3 眾數

 一、未分組數據之計算方式
   若量測數據為:11、12、15、14、12、13、12、16,
    其中12出現3次 (最多),所以該組數據僅有單一眾數
    13;
   若量測數據為:11、12、11、14、12、13、12、11,
    其中12出現3次,另11亦出現3次,兩者均為出現最
    多的數,所以該組數據具有雙眾數 (11、12)。




                                  47
                                   結束

分組數據之計算方式
 若數據係以分組形式記錄其量測數據,則眾數將落
 在量測次數最多那一組,該組的中值即為該次數分
 布的眾數,由於量測次數最多的組其前後量測數量
 不完全相同,因此可以內插法求其眾數,其計算方
 式為:



 其中 Mo = 眾數;Lmo = 眾數所在的組之下組界: f1
 = 與眾數組上組界相鄰之發生次數;f-1 = 與眾數組
 下組界相鄰組之發生次數;i = 組距。


                                   48
          結束

例題 2.12




          49
          結束

例題 2.12

 解




          50
                                              結束

2.6 離散趨勢的量數
  統計量之離散趨勢 (dispersion tendency) 係描述所量
  測數據之散布情形或偏離中心兩側的程度。
  一 般 離 散 趨 勢 係 以 量 測 數 據 之 標 準 差 (standard
  deviation)、變異數 (variation)、全距 (range) 及四分
  位差 (quartile deviation) 等描述其離散程度。




                                              51
                                                        結束

2.6.1 變異數與標準差


                 X



                      X
                       n                          n

                      (X i  X) 2   ei2
                      i 1                       i 1
                             n             n

         n                 X  ( X i ) 2
                                  2
                                  i

         (X i  X) 2 
        i 1
                           i 1
                                      n
                                          i 1




                                                        52
                              結束

變異數與標準差
 若量測數據為1、2、3、4、5,其平均數為3,各數
 據與3之差距,如圖2.7所示。
 若僅以誤差 (e) 總和表示其誤差為0,若以平方和
 (SS) 表示,則為10。因此量測值間變異不宜以誤差
 和表示,應以誤差平方和表之。




                              53
          結束

變異數與標準差




          54
                                                          結束

群體與樣本的變異數與標準差之計算方式

一、未分組數據之計算方式
 1.   群體變異數 (V) 與標準差 (σ)
      設群體有N個量測數值 X1, X2, … , XN,群體平均數為μ,
      則Xi 之誤差 (e) =Xi-μ,則平方和、變異數及標準差為:
                                                 
                     n      n
      平方和 (SS) =
                    ei   Xi μ
                        2         2

                   i 1   i 1

                                       Xi μ 
                                       N              2


      群體變異數(V)=               SS
                    σ           
                        2              i 1
                              N               N

                                  X i μ 
                                     N                2

      群體標準差 (σ) =       SS
                                    i 1
                        N                     N


                                                          55
                                                                 結束

群體與樣本的變異數與標準差
 2. 樣本變異數 (S2) 與標準差 (S)
    若由群體 (N)中隨機抽取n個樣本,其量測值為X1,
    X2,…, Xn,其樣本平均數為 X,則該樣本之變異
    數及標準差為:

                             X i  X 
                             n               2

                    SS
                           i 1
   樣本變異數(S2)   =   n 1            n 1


                    X i  X 
                    n                        n
                                           n X i  (  X i )2
                                   2                2    n

                                                        i 1
   樣本標準差(S) =      i 1
                                           i 1
                          n 1                     nn  1


                                                               56
                                                        結束

群體與樣本的變異數與標準差

 二、分組數據之計算方式
  1. 群體變異數 (V) 與標準差 (σ)

    群體變異數 (V) =
                  k

                  f
                  j 1
                                j
                                       X j  μ   2




                                        N


    群體標準差 (σ) =       f
                         k


                         j 1
                                    j
                                           X j  μ
                                                    2




                                            N


    其中 fj = 第j組的量測次數,Xj = 第j組的中值,k
    = 組數。
                                                        57
                                                                                結束

群體與樣本的變異數與標準差
  2. 樣本變異數 (S2) 與標準差 (S)

                          X  X 
           k

           f
                                        2
                      
    S 2=   j 1
                  j

                      n 1



                                                n  f  X  
                                                                            2
                                                                
                          X            
                                                 k               k
                                                                     f j X j
            k                           2                   2

    S=     f                   j X                          j 1        
                                                        j   j
                  j                              j 1
           j 1
                                            
                          n 1                                  nn  1




                                                                                58
          結束

例題 2.13


 解




          59
          結束

例題 2.13




          60
          結束

例題 2.14




 解




          61
          結束

例題 2.14




          62
          結束

例題 2.15




 解




          63
          結束

例題 2.15




          64
                結束

例題 2.16(分組數據)




                65
                結束

例題 2.16(分組數據)

 解




                66
                                            結束

2.6.2 全距
   全距 (Range, R) 係量測數據之最大值與最小值之差
   異,亦可指定某量測範圍之間的最大值與最小值之
   間的差異。
    1.未分組數據之計算方式
      依量測數據大小排列,X1 ≤ X2 ≤ … ≤ Xn,R=Xn-X1
    2.分組數據之計算方式
      R=Uk - L1,其中Uk為最後一組的上限,L1為最初一組
       的下限。




                                            67
          結束

例題 2.17




 解




          68
                                         結束

2.6.3 四分位差
   四分位差係將量測數據依大小排列,分為四等份。
   由最小值算起第一個四分之一的區分點即為第一四
   分位,以Q1表之;類推至第二個四分位,即中位數,
   以Q2表之;
   類推至第三個四分位,以Q3表之。Q3-Q1為四分位
   距 (quartile range),四分位差Q = (Q3-Q1) /2,其表
   示方式以盒 (箱) 形圖表之,如圖2.8所示。




                                         69
       結束

四分位差




       70
                                    結束

四分位
 一、未分組數據之計算方式




  其中 X = 量測值,j = 四分位的位置,n = 樣本數。




                                    71
                                結束

四分位
 二、分組數據之計算方式




  其中Lk在第k組的下組界,fk=Qj在第k組的發生次數,
   h=Qj在第k組的組距,Fk-1=Qj在第k-1組以前的累積
   次數,n = 樣本數。




                                72
          結束

例題 4.18

解




          73
                結束

例題 4.18 (2.3)




                74
                結束

例題 4.19(分組數據)




 解




                75
          結束

例題 4.19




          76
          結束

例題 2.20




          77
          結束

例題 2.20

 解




          78
                                              結束

2.7 聚中與離散趨勢之探討


                 平均數 > 中位數 > 眾數




平均數 = 中位數 = 眾數

                                  平均數 < 中位數 < 眾數




                                              79
                                 結束

聚中與離散趨勢
 1. 對稱分布:平均數 = 中位數 = 眾數。
 2. 右偏分布 (正偏) :平均數 > 中位數 > 眾數。
 3. 左偏分布 (負偏) :平均數 < 中位數 < 眾數。




                                 80
                                   結束

2.7.1 偏度
   偏度 (skewness) 係指一個分配以其平均數為中心的
   不對稱程度,亦即量測次數分布之偏移方向與偏斜
   程度之值。




                                   81
                                結束

偏度
 偏度對量測數據之影響,如圖2.10所示:




     SK = 0,表示數據分布為對稱性之常態分布;
     SK > 0,表示數據分布為右偏;
     SK < 0,表示數據分布為左偏;
     SK絕對值愈大表示不對稱程度愈大。


                                82
          結束

例題 2.21



 解




          83
          結束

例題 2.22




 解




          84
          結束

例題 2.22




          85
                               結束

2.7.2 峰度
   峰度 (kurtosis) 係指一個分布與常態分布相比較時,
   其資料相對尖峰集中或平坦分布的程度。正峰度值
   表示分布較為集中,而負峰度值則表示分布較為平
   坦。




                               86
                                   結束

峰度
 常態分布之KU = 3。若該量測數據 KU < 3,則該量
 測數據分布屬低潤 (platy) 的峰態。若該量測數據
 KU > 3,則該量測數據分布屬高狹 (lepto) 的峰態,
 如圖2.11所示。




                                   87
     結束

峰度




     88
          結束

例題 2.23




 解




          89
          結束

例題 2.23




          90
                                        結束

2.7.3   相對離散趨勢
    當衡量數據之離散程度時必須在相同衡量單位,且
    平均數相近情況下,其比較才具有意義。
    常 用 的 相 對 離 散 量 為 變 異 係 數 (Coefficient
    of Variation, CV) 係同時考量標準差與平均數之比,
    以評估品質差異。

    變異係數愈大表示資料愈分散,其平均數代表性愈
    低;反之,表示資料愈集中,其平均數代表性愈高。




                                        91
          結束

例題 2.24




 解




          92
                                     結束

2.8 中央極限定理

 1. 群體為常態分配,不論n取多少,其樣本平均數
    ( X j ) 的分布一定為常態分配。
 2. 群體近似常態分配,不論n取多少,其樣本平均
    數 ( X j ) 的分布將近似常態分配。
 3. 群體非常態分配,當n ≥ 30,其樣本平均數 ( X j )
    的分布將近似常態分配。




                                     93
                                      結束

中央極限定理

 不論每次抽取多少個樣本 (一般大於3),其樣本平
 均數 ( X j ),或其標準差的平均數 ( S j ) 之分布將趨
 近常態分配,且樣本平均數 ( X j ) 的平均數 ( X ) 將
 趨近於群體平均數 (μ) ;
 樣本平均數 ( X j ) 的標準差 ( σX ) (亦稱為標準誤)
 與群體標準差 (σ) 之間差倍,即:




                                      94
          結束

例題 2.25




          95
          結束

例題 2.25

 解




          96
          結束

例題 2.25




          97
          結束

例題 2.26




          98
          結束

例題 2.26
解




          99
           結束

例題 2.27



 解




          100
                                   結束

2.9柴比雪夫定理
  柴比雪夫 (Chebyshev) 定理為:一群體量測值 X1,
  X2, … , XN,其平均數及標準差為μ及σ,則其量測
  值落在 (μ-kσ, μ+kσ) 之間的比例至少有1-(1/k2),
  k ≥ 1。




                                  101
           結束

例題 2.28



解




          102
           結束

例題 2.28




          103
           結束

例題 2.29




解




          104

								
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