Second degre Cours

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					                                    Equation du second degré


                                             Définition :
          Une équation du second degré a pour forme générale :
                                        a x2 + b x + c = 0 avec a 0.
          Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points
  d'intersection :
              de la parabole d'équation P d’équation y = a x2
              et de la droite D d’équation y = - b x – c


                     Résolution graphique d'une équation du second degré

  Cas 1 : (figure I page 3)
          La droite (D) coupe la parabole (P) en deux points A et B.
          Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d'intersection.

EXEMPLE

          Résoudre graphiquement x2 + x - 6 = 0.
          Pour cela :
     1. On trace une parabole (P) d'équation y = x2.
     2. On trace une droite (D) d'équation y = - x + 6.
     3. Les points d'intersection A et B ont pour coordonnées respectives
          (- 3; 9) et (2; 4).


          Les abscisses xA = - 3 et xB = 2 sont solutions de l'équation x2 + x - 6 = 0.
          Vérification :
              (-3)2 + ( -3) – 6 = 0,


              22 + 2 – 6 = 0.




                                                  1
                                 Equation du second degré

                 Résolution graphique d'une équation du second degré
Cas 2 : (figure II page 3)

      La droite (D) est tangente à la parabole (P) au point I.

      La solution est l'abscisse du point de tangence de la droite à la parabole.

Exemple

      Résoudre graphiquement Error! x2 - x + 1 = 0.

    Tracer une parabole (P) d'équation y = x2.

    Tracer une droite (D) d'équation y = 4 x - 4.

    Le point d'intersection I a pour coordonnées : (2 ; 4)

      Son abscisse x = 2 est solution de l'équation : Error! x2 – x + 1 = 0



Cas 3 : (figure III page 3)

      La droite (D) ne coupe pas la parabole (P). L'équation n'a pas de solution dans ce cas

Exemple

      Résoudre graphiquement l’équation - x2 - x - 2 = 0.

      Pour cela :

           Tracer une parabole (P) d'équation y = x2.

           Tracer une droite (D) d'équation y = - x - 2.

           Il n'y a pas de point commun aux deux tracés. Il n'existe donc pas de réel x

             pour lequel - x2 - x - 2 = 0 .

                 Résolution graphique d’une équation du second degré


                                              2
I.      x2 + x – 6 = 0                          II.           2
                                                      Error! x – x + 1 = 0




III.    – x2 – x – 2 = 0                        IV.   Soit à résoudre graphiquement
                                                      l’équation: 2 x2 + x – 6 = 0




     La parabole (P) d’équation y = x2 et la droite (D) sont tracées dans le repère (IV)
     ci-dessus.
         a. Déterminer l’équation de la droite(D) sécante à la parabole(P).
         b. Lire les coordonnées des points d’intersection et en déduire les solutions de
            l’équation 2 x² + x – 6 = 0.




                     Résolution d’une inéquation du second degré :
I.      Signe du trinôme a x2 + b x + c = 0, a  0 :
                                            3
         a. Cas où  > 0 :
            Recherche graphique du signe de f(x) = x2 – 4 x + 3 :
                   a = 1;             b=-4;              c=3
             = b – 4 ac = 4 > 0;
                 2

            donc le trinôme f(x) = x2 – 4 x + 3 admet 2 racines x1 = 3 et x2 = 1




     y>0
                                                                    y>0




    y<0                                                   y<0
Par lecture graphique :
    Pour x < 1 ou x > 3, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0
    Pour 1 < x < 3, f(x) = x² - 4 x + 3 < 0

   Ceci peut se résumer par le tableau suivant :
   a=1>0

               x               -2           1              3            6


          x² - 4 x +3                       0              0



                        Résolution d’une inéquation du second degré :

                                                4
            Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x2 – x + 6 :
                   a = - 2;           b=-1;              c=6
             = b – 4 ac = 49 > 0;
                 2

            donc le trinôme f(x) = - 2 x2 – x + 6 admet 2 racines x1 = 1,5 et x2 = - 2




       y>0
                                                                       y>0
          x=-2
          y=0                                             x = 1,5
                                                          y=0




      y<0                                                     y<0


Par lecture graphique :
    Pour x < - 2 ou x > 1,5, f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0
    Pour – 2 < x < 1,5, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0

  Ceci peut se résumer par le tableau suivant :
a =-2 <0


               x                   -6              -2                  1,5               7


        - 2 x² - x + 6                              0                    0


                      Résolution d’une inéquation du second degré :


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D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du
coefficient a de la façon suivante :
a.    Cas où  > 0 :

                             x                                  x1                        x2

                  Signe de a x² + b x + c          Signe de a   0         Signe de - a     0       Signe de a




b.         Cas où  = 0 :
           Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que:
                 x1 = x2 = x0 = Error! et se factorise comme suit :
                 a x² + b x + c = a (x – x0)2
                 Tableau de signes :

                     x                                               x0

                Signe de a                       Signe de a                              Signe de a

             Signe de (x – x0)2                      +                                         +
                                                 Signe de a                              Signe de a
Signe de a x² + b x + c = a (x – x0)2


c.         Cas où  < 0 :
           La factorisation du trinôme a x ² + b x + c est impossible.
           Le trinôme a x ² + b x + c, dans ce cas, est toujours du signe de a.

     II.       Solution d’une inéquation du second degré :
           Résoudre une telle inéquation revient à étudier le signe du trinôme a x ² + b x + c
           (a  0).
           Trois cas sont possibles :
           1.     Si  > 0 ; a x ² + b x + c = a (x – x1)(x – x2) et
                       a)      a (x – x1)(x – x2) est du signe de a à l’extérieur de x1 et x2
                       b)      a (x – x1)(x – x2) est du signe contraire de a à l’intérieur de x1 et x2
           2.     Si  = 0 ; a x² + b x + c = a (x – x0)2 est toujours du signe de a
           3.     Si  < 0 ; le trinôme a x ² + b x + c est toujours du signe de a.



                         Résolution algébrique d’une inéquation du second degré :
                 Recherche graphique du signe de f(x) = x2 – 4 x + 3 :


                                                     6
Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x2 – x + 6 :




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posted:6/7/2012
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