PROPOSIZIONI EC ONNETTIVI LOGICI

							                        PROPOSIZIONI E CONNETTIVI LOGICI.


Proposizioni e valori di verità

Quando esprimiamo il nostro pensiero, lo facciamo parlando, pronunciando cioè dei
discorsi. Ogni discorso, semplice o complesso, si compone con un insieme di frasi, alcune
di queste si possono considerare “proposizioni” nel senso della Logica Matematica.
Cerchiamo di definire quest’ultime: sono proposizioni tutte quelle affermazioni per le quali
ha senso chiedersi se sono VERE o FALSE.
Sono esempi di proposizioni:

   1)   il 25 dicembre è Natale
   2)   la Sicilia è un’isola
   3)   il numero 7 è divisibile per 2
   4)   Milano è una città del Piemonte

La prima e la seconda sono proposizioni vere (V ), la terza e la quarta sono false (F ).
Non sono proposizioni le frasi interrogative, le esclamative, le imperative come le seguenti:

       Che ora è?
       Oh, che meraviglia!
       Chiudi la porta!

Nel seguito ci occupiamo solo di proposizioni e gli argomenti trattati rientrano nello studio
della logica a due valori (o binaria) proprio perché, come meglio vedremo, ogni
proposizione sarà vera o falsa e il verificarsi di uno dei due casi escluderà l’altro.
Indicheremo le proposizioni con lettere maiuscole dell’alfabeto, per esempio:

                                  P: il 25 dicembre è Natale
                                Q: il numero 7 è divisibile per 2

Se una proposizione, come la P, è vera scriveremo:

                                                P=V

se è falsa, come la Q, scriveremo:

                                                Q=F

è possibile anche identificare il valore V con la cifra 1 e il valore F con la cifra 0; in tal
modo, per le proposizioni precedenti potremo scrivere:

                                          P=1         Q=0




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Proposizioni semplici e proposizioni composte

Le proposizioni considerate fino ad ora sono semplici (o atomiche ): esse non si possono
scomporre in proposizioni ancora più semplici. In sostanza le proposizioni semplici sono
quelle che presentano un soggetto, un verbo, un complemento (soggetto e complemento
possono anche essere sottointesi). Ecco alcuni esempi:

      Giulio ascolta la musica
      Piove
      4 è dispari

Vi sono poi proposizioni composte che si possono scomporre in proposizioni semplici. Per
esempio:

                                    R: Marisa canta e studia

si compone delle due proposizioni semplici

                           P: Maria canta          Q: Maria studia

legate dalla congiunzione “e”.

Viceversa, date due proposizioni semplici:

                                 P: piove    Q: il mare è calmo

Si possono formare numerose proposizioni composte, ecco alcuni esempi:

      piove e il mare è calmo
      non piove e il mare è calmo
      piove e il mare non è calmo
      non piove e il mare non è calmo
      piove o il mare è calmo
      se piove, allora il mare non è calmo

Consideriamo ora una delle proposizioni precedenti:

                                 R= P e Q: piove e il mare è calmo

Il problema che ci poniamo è stabilire se R è vera o falsa, è evidente che per dare una
risposta occorre:
  - conoscere il valore di verità delle proposizioni semplici P, Q
  - conoscere il significato della parola “e” che collega P con Q.




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Operazioni con le proposizioni: i connettivi logici

Nel paragrafo precedente ci siamo serviti di alcune parole:

                                “non”     “e”       “o”    “se…..allora”

 per collegare le proposizioni semplici P e Q e ottenere un proposizione composta R.
Tali parole sono i “connettivi logici” . In questo lavoro analizziamo i primi tre.

 A) il connettivo NON (negazione)

     Data una proposizione P, premettere il connettivo “non”, ossia passare a:

                                                     non P

     significa invertire il valore di verità di P:

                    (*)     se P è vera non P è falsa, se P è falsa non P è vera.

     Esempio:
                        P: “6 è divisibile per 3”                    (P=V)
                       non P: “6 non è divisibile per 3”           (non P = F )


     Introduciamo il simbolo “ ” per indicare la negazione “ non”, ossia: non P =  P
     e sintetizziamo (*) con uno schema che rappresenta la “tavola di verità” del
     connettivo “non”.


                                                P         P

                                                V         F

                                                F         V


     Nella prima colonna stanno i (due) possibili valori di verità di P, nella seconda i valori
 P che sono opposti a quelli di P. Utilizzando i simboli 0 e 1, la tavola di verità della
negazione diventa:


                                                P         P

                                                1         0

                                                0         1


                                                     3
Stabilito che il simbolo   P significa negazione della negazione, la tavola di verità di  P



                                      P         P       P


                                      V         F         V


                                      F         V         F


Osserviamo che i valori di verità di   P sono gli stessi di P: due negazioni affermano,
se infatti si nega che 6 non sia divisibile per 3, si afferma che 6 è divisibile per 3.
Osserviamo infine che la negazione è una operazione “unaria” ossia opera su una sola
proposizione producendo un’altra proposizione. I prossimi connettivi logici di cui parleremo
Corrispondono ad operazioni “binarie”ossia operano su due proposizioni producendone
una terza.


 B) il connettivo “E”

Il suo nome è “congiunzione” e la proposizione R = P e Q si chiama essa stessa
congiunzione.
Il simbolo del connettivo “e” è “” ossia: R = P e Q = P  Q

  Esempio:

                                       P: Maria canta
                                       Q: Maria suona
                               R = P  Q : Maria canta e suona

Come già detto, i valori di R (V-F ) dipendono dai valori che assume la coppia P;Q è
evidente che esistono quattro possibilità:


                                            P        Q

                                            V        V
                P, Q entrambe vere:

                P vera, Q falsa:            V        F

                P falsa, Q vera:
                                            F        V

                P, Q entrambe false:        F        F


                                                4
Diremo che la proposizione P  Q è vera soltanto nel primo caso, quando cioè P; Q sono
entrambe vere.Abbiamo così la seguente tavola di verità:



      P      Q     PQ                                   P     Q    PQ
                            oppure, utilizzando
      V      V      V                                    1     1      1
                              i simboli 0 e 1:

      V      F      F
                                                         1     0      0

      F      V      F
                                                         0     1      0

      F      F      F
                                                         0     0      0



Come esempio consideriamo le proposizioni:

                              P: il numero 6 è pari
                              Q: Roma è la capitale d’Italia
                              R: il Po bagna Firenze

E’ facile concludere che:

                                    P  Q è vera (V)
                                    P  R è falsa (F)
                                    Q  R è falsa (F)


Osservazione: la proposizione P  Q dell’esempio precedente, può giustamente sollevare
delle perplessità perché, in essa, sono collegate due affermazioni senza alcuna relazione
fra di loro. Nella logica matematica ciò non costituisce un problema perché quello che
interessa di una certa proposizione è solo il suo valore di verità. Questa posizione, per
quanto possa sembrare strana, ha il vantaggio di rendere più efficaci e generali le
applicazioni della logica stessa.




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 C) il connettivo “O”

“disgiunzione” è il nome che si dà al connettivo “ o” e alla proposizione = P o Q; il suo
simbolo è “”:
                                     R=PoQ=PQ

Esempio:

                                         P: oggi piove
                                       Q: oggi fa freddo
                            R = P  Q = oggi piove O (oggi) fa freddo

Anche per “” il significato si chiarisce con la tavola di verità:




       P      Q     PQ                                       P      Q      PQ
                             oppure, utilizzando
       V      V       V                                       1       1       1
                                      i simboli 0 e 1:

       V      F       V
                                                              1       0       1

       F      V       V
                                                              0       1       1

       F      F       F
                                                              0       0       0



La proposizione P  Q è falsa solo quando sono falsi P e Q.
Come esempi consideriamo le seguenti proposizioni:

       P: 15 è divisibile per 2                          Q: la Sicilia è un’isola

       R: Leopardi è un poeta italiano                   S: 5 è maggiore di 7

E’ facile verificare che:

                       P  Q è vera                          P  R è vera
                       Q  R è vera                          P  S è falsa

Anche riguardo a questi esempi, teniamo presente l’osservazione fatta alla fine del
paragrafo precedente.




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Connettivi e linguaggio comune

E’ interessante confrontare il significato che abbiamo dato ai connettivi con il significato
che di solito essi hanno nel linguaggio comune.

A) il connettivo NON

Anche nel linguaggio comune la parola “non” esprime una negazione.
Per esempio se vogliamo negare la proposizione:

                               io ho un libro di matematica (P)

diciamo:

                           io non ho un libro di matematica ( P)

Come abbiamo già osservato, in logica due negazioni affermano. Allora se vogliamo
negare il possesso di un libro, la frase “ io non ho nessun libro” non è logicamente
corretta, perché usiamo due negazioni ( non e nessuno ) per negare; sarebbe più corretto
(e elegante) dire “io non ho alcun libro”.


B) il connettivo E

La congiunzione “e” viene usata, nel linguaggio comune, per lo più con lo stesso
significato che ha nella logica. Se diciamo:

                                     Maria canta e suona

Intendiamo affermare che Maria fa le due cose contemporaneamente.
Talvolta però, nel linguaggio comune, la parola “e” viene utilizzata per indicare due azioni
consecutive e non contemporanee, per esempio:

                                       mi vesto ed esco

In logica dobbiamo, evidentemente, escludere questo significato.


 C) il connettivo O

 Per quest’ultimo connettivo le cose sono un po’ più complicate.
 Consideriamo le due proposizioni

                        P: Maria canta                  Q: Maria studia

 E la proposizione composta      P  Q: Maria canta o studia


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 Nel linguaggio comune a quest’ultima frase, si da’, di solito, il seguente significato:

                       o Maria studia e non canta o canta e non studia
 In logica, invece, P  Q: Maria canta o studia, può avere tre significati:

                                     Maria studia e non canta
                                     Maria canta e non studia
                            Maria canta e studia contemporaneamente

In logica quindi la “o” non è esclusiva, nella proposizione P  Q il verificarsi di P non
esclude Q e viceversa.
La distinzione fra “o” esclusivo ed “o” inclusivo era presente nella lingua latina, infatti, in
Latino, si ha:

                        “aut………aut”        per esprimere “o” esclusivo

                              “vel” per esprimere “o” inclusivo.

Il connettivo logico “o” va inteso come il latino “vel” ed è appunto dalla prima lettera di
questa parola che deriva il simbolo “”.




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