CAP�TULO I - DOC 7

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					                                         CAPÍTULO V



                INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA RADIAÇÃO SOLAR



1. INTRODUÇÃO

             A radiação solar constitui-se de radiações eletromagnéticas que são caracterizadas pela
velocidade que possuem no vácuo, que é de 2,99774 x 1010 cm s-1, e pelo comprimento de onda , que é
determinado pela expressão (1.1), já descrita no capítulo I. Recomendamos que o leitor reveja o item 2 do
capítulo I.
              A fonte de radiação solar é, logicamente, o Sol. Se fizermos um corte fictício no Sol,
através de um plano passando pelo seu centro, notaremos que ele é formado por diversas camadas, cada
uma delas tendo sua função no esquema de produção da energia que chega até nós. De dentro para fora, a
sequência de camadas formadoras do Sol é a seguinte:
a) Núcleo - é, por assim dizer, a caldeira da locomotiva solar, ou seja, é o local de produção de energia.
   Sua temperatura é da ordem de 14 x 107 C, o que possibilita a ocorrência de reações termonucleares
   geradoras de energia. O principal processo ocorrente é a transformação de hidrogênio (próton) em
   hélio, podendo ser esquematizado conforme a Figura 5.1.
              Este é um processo muito similar ao que ocorre quando da explosão de uma bomba de
hidrogênio, e por meio dele o Sol libera a fantástica quantidade de 4,18 x 10 33 ergs por segundo. Para
isso, é necessário que 6,74 x 108 ton de hidrogênio sejam transformadas em 6,70 x 10 8 ton de hélio,
também por segundo.
             O exposto acima não é, embora seja o principal, o único processo de liberação de energia
ocorrendo o Sol. Devemos também levar em conta a existência do chamado Ciclo do Carbono,
esquematizado na Figura 5.2.
-62-



                                           H                   H                                     H             H


                                                                    
                                                                                                                       
                        neutrino



                                                     D
                                                                                                             D
                                                               H
                                                                                                                   H
                                                                    H



                                                    3He                                                    3He




                                                                         H                      H


                                                                                    4He



                                                             41 H  4 He  2   2   2 neutrinos
                                                              1     2



Figura 5.1 - Esquema mostrando as etapas par conversão de quatro átomos de 1H em um átomo de 4He.



                                                                         H
                                               12C



                                                               13N
                                                                                    

                                       
                                                                                                H
                                                                                   13C


                                                         neutrino


                                                                                         14N




                                                                             H
                                                           neutrino                                      
                                                                                         15O


                                                         H

                                                                             15N                
                                           12C

                                                                    4He




Figura 5.2 - Esquema do ciclo do C-N, havendo no final conversão de quatro átomos de 1H em um átomo
              de 4He.

              Como vemos, o carbono entra na reação como um catalisador; na verdade, a reação é
também a transformação de 4 prótons em um átomo de hélio. Sua contribuição na energia total liberada
pelo Sol é bastante pequena.
b) Zona de “amortecimento” dos raios gama - nas reações termonucleares discutidas acima, vemos que
   a maior parte da energia é liberada pelo núcleo solar na forma de raios gama. Caso não existisse a
                                                                                                   -63-



   camada de “amortecimento” de tais raios, não haveria possibilidades de existência da vida humana na
   terra
                A Zona de “amortecimento” é uma camada espessa, formada por gases muito densos, que
estão sujeitos a severo bombardeamento pelos raios gama que deixam o núcleo. O resultado de tal
bombardeamento é o “amortecimento” dos raios gama que são transformados em raios X e raios
ultravioletas, portanto, de energia menor.
c) Fotosfera - é uma camada turbulenta com uma espessura aproximada de 10 6 km. Seu limite externo
   forma a superfície solar, cuja temperatura é da ordem de 6000K. É a camada onde aparecem as
   manchas solares.
              Os raios X e ultravioletas, proveniente da camada anterior, excitam os elétrons dos átomos
existentes na fotosfera, que ao retornarem às suas órbitas originais, emitem luz visível. É, portanto, a
camada responsável pela maior parte do espectro de emissão solar.
d) Cromosfera - tem uma espessura aproximada de 1,4 x 104 km, constituindo-se principalmente de gás
   hidrogênio. Nesta camada, os gases que escapam da fotosfera causam o aparecimento de jatos gasosos
   brilhantes, chamados espicula, que se elevam a grandes altitudes.
e) Coroa - é a atmosfera externa do Sol. Seu brilho somente é observável próximo ao disco solar, mas
   ela se extende praticamente até Mercúrio (seria uma situação equivalente à atmosfera terrestre indo
   além da Lua).


2. LEIS BÁSICAS DA RADIAÇÃO

              Para estudar a radiação solar desde sua produção no Sol até a uma série de definições
básicas. Antes de entrar nas leis das radiações, vejamos estas definições.

   2.1.     Fluxo Radiante F

               É a energia (ou radiação) emitida por uma fonte de ondas eletromagnéticas (como o Sol,
uma lâmpada incandescente, etc.), ou transportadas por um feixe de radiações, ou recebida por uma
superfície, na unidade de tempo.
                                                        dR
                                                 F                                                  (5.1)
                                                        dt
onde R é energia ou algo proporcional a ela, por exemplo, o número de raios de um feixe de radiação; t =
tempo.
              Exemplos: na página 95, dissemos que o sol libera 4,18 x 1033 erg/s. Este é o fluxo radiante
do sol. Note-se que esta energia é emitida em todas as direções, isto é, em 4 esferoradianos.
Outros exemplos:
              Determinado feixe paralelo de raios gama é constituído de 10 5 radiações/s.
              Certa lâmpada incandescente emite 500 cal/min.

   2.2.     Densidade de Fluxo Radiante (E ou I)

              É o fluxo radiante por unidade de área.
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                                                    dF   dR
                                               E                                                   (5.2)
                                                    dA dt . dA
onde A é área, isto é, secção transversal atravessada pelo fluxo. O símbolo E é mais utilizado para fluxos
de emissão e o símbolo I para fluxos incidentes.
Exemplos:
1. O sol tem um fluxo radiante de 4,18 x 1033 erg/s. Qual sua densidade de fluxo em erg/cm2.s em um
   ponto P a 106 km do sol? Como o fluxo radiante é emitido nas 4 direções, este fluxo deve atravessar
   um esfera que contém o ponto P, que tem uma área A = 4R2, sendo R a distância entre o centro do Sol
   e o ponto P.

                            A  4  106   1,26  1013 km2  1,26  1023 cm2
                                           2




portanto:
                                                4,18  1033 erg / s
                                           E
                                                 1,26  1023 cm2

2. O feixe de radiações gama constituído de 105 radiações/s, incide perpendicularmente sobre uma placa
   de alumínio de 100 cm2. Sua densidade de fluxo I é, portanto, 105/102 = 103 radiações/cm2.s.
              Um feixe de radiações as penetrar em dado meio sofre reflexão e/ou absorção, existindo
portanto um fluxo refletido, um fluxo absorvido e um fluxo transmitido.

   2.3.     Absorção, Absortividade ou Poder Absortivo

               É a relação entre a densidade de fluxo radiante absorvido e a densidade de fluxo radiante
total incidente Ii:
                                                         Ia
                                                    a                                               (5.3)
                                                         Ii
o valor de a, para uma mesma superfície, depende do comprimento de onda , e, por isso, muitas vezes é
indicado por a().
Exemplos:
1. Um fluxo incidente de 1,4 cal/cm2.min atinge uma superfície plana e normal aos raios, de tal forma
   que 0,8 cal/cm2.min são absorvidos. Qual a absortância da superfície?
                                           0,8 cal / cm2 .min
                                      a                        0,57
                                           1,4 cal / cm2 . min

Note-se que a é adimensional.

2. Um feixe de radiações de 106 radiações/m2.h incide normalmente sobre uma superfície e 3.105
   radiações são absorvidas por m2 e por hora. Qual sua absorvância?
                                                    3  105
                                               a            0,3
                                                      106
                                                                                                -65-



   2.4.     Refletância, Refletividade ou Poder Refletor (r)

              É a relação entre a densidade de fluxo refletida (Ir) e a incidente total (Ii):
                                                            Ir
                                                      r                                          (5.4)
                                                            Ii

Se no exemplo 1 acima, a densidade de fluxo refletido é de 0,2 cal/cm2.min, teremos:
                                                     0,2
                                                r        0,143
                                                     1,4
que também é adimensional e dependendo de , r().
              Em meteorologia, r é geralmente denominado de albedo.

   2.5.     Transmitância, Transmissividade ou Poder Transmissivo (t)

              É a relação entre a densidade de fluxo radiante transmitido através de um corpo (It) e a
densidade de fluxo radiante incidente total (Ii):
                                                            It
                                                      t                                          (5.5)
                                                            Ii

              No exemplo acima, logicamente It = 0,4 cal/cm2.min, pois;
                                                Ii  I a  I r  I t                              (5.6)

ou ainda, de acordo com (5.3), (5.4) e (5.5),
                                            a    r     t     1                        (5.7)

e t = 0,4/1,4 = 0,286.
              Convém frisar novamente que as quantidades a, r e t dependem do comprimento de onda da
radiação considerada, isto é, por exemplo, um corpo poderá ter alto poder refletor para um certo
comprimento de onda  e ser um absorvedor quase perfeito para outro. Isso não nos impede, entretanto,
de definir um valor “global” de a, t e r para um intervalo qualquer 1 a 2.
              Denomina-se de corpo negro (conceito ideal), um corpo capaz de absorver integralmente
toda a energia incidente sobre ela, ou seja, um corpo para o qual,
                                           a  1, r  0 e t  0

               Tal corpo não existe na natureza. Uma boa aproximação de tal corpo será uma esfera oca,
de paredes externas opacas e paredes internas enegrecidas, mantidas à temperatura uniforme, na qual se
faz um furo bastante pequeno com relação às dimensões da esfera (Figura 5.3). Esta cavidade, se
comportará aproximadamente como um corpo negro, posto que toda energia radiante que penetrar por
este orifício, dificilmente retornará, isto é, a absorção será quase completa, sem nenhuma reflexão. De
qualquer forma os corpos de cor negra são os que mais se aproxima da definição ideal, tendo a próximo
da unidade. Como a energia transportada por cada radiação é dada por h.f, muitas vezes é conveniente
definir a densidade de fluxo ou emitância, por unidade de comprimento de onda.
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                                                                         feixe incidente




                                                                              orifício




Figura 5.3 - Esquema de um corpo negro.


   2.6.      Emitância espectral (E)

             É a emitância radiante por intervalo unitário de comprimento de onda. Sua unidade é a
mesma da densidade de fluxo, dividida pelo comprimento de onda. Por exemplo, 0,2 cal/cm2.min.Å.
Logicamente, E = dE/d.
              Vejamos agora as leis das radiações.

   2.7.      Lei de Kirchoff

             Suponha-se vários corpos diferentes, 1, 2, 3, ..., N, todos à mesma temperaturas (T), sendo o
corpo N um corpo negro (Figura 5.4). Medidas efetuadas dos poderes absortivos (a) e densidades de fluxo
de emissão (E) destes corpos, para dado comprimento de onda  nos revelam que:
                                     a1T  a      a     a
                                           2 T  3T  NT  K T  = constante                   (5.8)
                                     E1T E2 T E3T E NT

A equação (5.5) expressa a lei de Kirhoff:
                                         Ii          Ii             Ii                     Ii


                               Ir1             Ir2           Ir3




                                         Ia1         Ia2           Ia3                     IaN

                                         1           2             3                       N



                                        E1            E2           E3                      EN

Figura 5.4

            “Para determinado comprimento de onda , a razão entre aT e ET de diferentes corpos à
mesma temperatura, é constante”. Assim:
                                                           aT
                                                                KT                                 (5.9)
                                                           ET

ou ainda
                                                                                                  -67-



                                              aT  KT ET                                        (5.10)

A equação (5.10) também nos diz que um corpo é bom absorvedor é um bom emissor, e vice-versa. Da
equação (5.8), sabendo-se que o corpo N é um corpo negro (a = 1) podemos generalizar:
                                               aT   1
                                                   
                                               E T E NT

ou ainda
                                               E T
                                                      aT                                         (5.11)
                                               E NT

              A equação (5.11) nos diz que a relação entre a densidade de fluxo de emissão de um corpo
qualquer à determinada temperatura e dado comprimento de onda  (ET) e a de um corpo negro à mesma
T e  (ENT) é igual ao poder absortivo do corpo não negro. Tal relação é também chamada de
emissividade (e).
                                                   ET
                                            aT           eT                                     (5.12)
                                                   E NT

              A emissividade de um corpo qualquer para determinado comprimento de onda é a relação
da emissão de um corpo qualquer a uma determinada temperatura pela emissão do corpo negro à mesma
temperatura e comprimento de onda, e é igual ao poder absortivo. Por isto, dissemos acima que todo bom
absorvedor é necessariamente um bom emissor. A emissividade de um corpo negro também é igual a 1.

   2.8.     Leis de Planck e Wien

              Veremos adiante, através da lei de Stefan-Boltzman, que qualquer corpo a uma temperatura
absoluta T, diferente de zero, emite radiações e, portanto tem uma densidade de fluxo de emissão E.
Quando o feixe de radiações por ele emitido é decomposto em seus diferentes comprimentos de onda,
obtém-se um espectro.
               Max Planck, em 1990, encontrou uma equação empírica que representa satisfatoriamente
distribuição de energias no espectro emitido por um corpo negro. Depois de várias tentativas inúteis para
justificar essa equação por raciocínios baseados nas leis da Física Clássica, Planck chegou a conclusão
que tais leis não eram aplicáveis às transformações de energia em escala atômica. Propôs, então, um
postulado: “Um corpo radiante consiste em um número elevadíssimo de osciladores elementares, vibrando
em todas as frequências possíveis. Esses osciladores constituem a fonte da energia radiante emitida pelo
corpo. A energia Eo de cada oscilador só pode ter valores bem determinados, proporcionais a múltiplos
inteiros quaisquer da frequência f do oscilador”. A expressão matemática deste postulado é;
                                                Eo  nhf                                           (5.13)

onde n é um número inteiro e h é a constante de Planck, à qual já foram feitas referências anteriores. A
partir desse postulado, um dos marcos mais importantes e espetaculares da história da Física Teórica,
desenvolveram-se muitas das modernas teorias sobre os fenômenos atômicos.
             Se bem que Einstein desenvolvesse sua teoria sobre o efeito fotoelétrico baseando-se no
conceito do “quantum” inicialmente proposto por Planck, convém notar que introduziu uma importante
modificação ou extensão na teoria original. Planck considera que, embora a energia dos osciladores
-68-



elementares pudesse tomar apenas certos valores, a energia por eles radiada se propagava no espaço de
acordo com a teoria eletromagnética clássica. Coube a Einstein a iniciativa de afirmar as condições do
“quantum” eram aplicáveis, também, à energia radiante, e que aquele só podia ter existência sob a forma
de corpúsculos ou fótons, de energia hf. Isto é, Planck aplicava os “quanta” apenas aos osciladores dos
corpos radiantes; Einstein avançou um passo mais, aplicando-os à energia radiante emitida por esses
osciladores.
             A dedução da fórmula a partir de sua hipótese sobre a energia dos osciladores elementares é
demasiado longa e complicada e foge à finalidade deste curso. Consideremos unicamente a fórmula, sem
procurar deduzi-la.
              A relação entre a emitância espectral de um corpo negro para um determinado comprimento
de onda, em função da temperatura e do comprimento de onda deduzida por Planck é:
                                                 2hc 2               1
                                          E                                                        (5.14)
                                                      5         hc

                                                            e KT  1
onde: h = constante de Planck, 6,625 x 10-34 joule.seg
     c = velocidade da luz, 3 x 108 m
     K = constante de Boltsmann, 1,37 x 10-23 joule/mol.K
     T = temperatura do corpo (K)
              Fazendo 2hc2 = c1
                                                  hc
                                                      c2
                                                  K
a expressão (5.14) ficará:
                                                  c1            1
                                           E         .
                                                   e
                                                   5       c 2 / T
                                                                       1
Os valores das constantes são:
c1 = 3,740 x 10-16 joule.m2/s
c2 = 1,4385 x 10-2 joule.m2/s
quando  é medido em metros e E em watts/m2.m
              Se medirmos  em       como é às vezes conveniente, e E em watts/m2, então ficarão:
c1 = 3,740 x 1020
c2 = 1,4385 x 107
              A grandeza E igual a dE/d é a emissão radiante de um corpo negro por intervalo unitário
de comprimento de onda, denominada emitância espectral. A Figura 5.5 é um gráfico de emitância
espectral de um corpo negro, à temperatura de 773K (500C), em função do comprimento de onda. A
linha cheia da Figura 5.5 é descrita pela equação 5.14, que é a Lei de Planck. Esta curva é o espectro do
corpo em questão. Esta curva passa por um máximo, correspondente a um comprimento de onda m. O
comprimento de onda m, para o qual a emitância espectral E é máxima, em uma dada temperatura, pode
ser obtido diferenciando-se E em relação a  e igualando a zero a derivada. Isto envolve algumas
operações algébricas que levam a
                                            c2
                                                51  e c        2   / mT
                                                                                                    (5.15)
                                           mT
                                                                                                 -69-



que é uma equação onde m é implícito. Por tentativas, chega-se à seguinte solução da equação acima:
                                             c2
                                                 4,965114
                                            mT
que pode se verificada substituindo-se na equação (5.15) o valor achado. Com c2 é igual a 1,4385 x 107,
sendo  expresso em nanometros e T em graus Kelvin, tem-se:
                                       mT  2,940  106 nm.o K                                   (5.16)

             Portanto, o comprimento de onda para o qual a emitância espectral é máxima é
inversamente proporcional à temperatura, em graus Kelvin; à medida que a temperatura aumenta, o
máximo de emitância espectral se desloca para a região das ondas mais curtas. É a lei do deslocamento de
Wien.
              A Figura 5.6 mostra uma série de curvas da emitância espectral de um corpo negro, para
diversas temperaturas absolutas. A escala adotada é logarítmica, devido à extensa gama de comprimentos
de onda e de emitâncias que nela figuram. Acham-se indicados por linhas interrompidas os limites do
espectro visível. O deslocamento progressivo do máximo para a região azul do espectro explica porque a
cor de um corpo aquecido passa de vermelho a branco, após, ao azul, à medida que sua temperatura
aumenta. Na Figura 5.7 estão representados os espectros de emissão do Sol e os espectros teóricos
calculados pela Lei de Planck, tomando o Sol como um corpo negro a 5700K e 6000K.




Figura 5.5 - Emitância espectral de um corpo negro ou radiador integral à temperatura de 500 C. Uma
              pequena área, semelhante à achuriada, para um comprimento de onda qualquer ,
              representa a energia radiante emitida por unidade de área e por unidade de tempo na
              faixa compreendida entre  e  + d.
-70-




Figura 5.6 - Emitância espectral de um corpo negro para diferentes temperaturas. As duas linhas
             interrompidas delimitam o espectro visível.




Figura 5.7 - Espectro solar observado (linha sólida) e espectros teóricos calculados admitindo-se o sal
              como um corpo a 6000K e 5700K (linhas pontilhadas).
                                                                                                  -71-



   2.9.     Lei de Stefan-Boltzmann

              Se quisermos determinar a energia total emitida por um corpo basta integrar a curva da
Figura 5.5. Assim, obteremos a densidade de fluxo de emissão:
                                                           


                                                           
                                                    E N  E  d
                                                           0


Esta integração nos leva a
                                                      E N  T 4                                  (5.17)

              Usamos o índice N por se tratar de densidade de fluxo de corpo negro. A constante  é dada
por:
                                                           4 c1
                                                     
                                                           15 c24

denominada de Constante de Stefan-Boltzmann. Os valores de c1 e c2 são conhecidos, o que nos permite
obter

                        5,672  108 watt / m2 K4  0,817 . 1010 cal / min o K4 cm2
                                                      o




para T expresso em graus Kelvin e E em watt/m2 ou cal/min.cm2.
              A equação (5.17) estabelece que a emitância radiante de um corpo negro ou a energia
radiante emitida por unidade de tempo e por unidade de área é proporcional à quarta potência da
temperatura absoluta. É interessante saber que essa equação foi proposta por Josef Stefan em 1879, como
fórmula empírica, antes do aparecimento da lei de Planck. Mais tarde, entretanto, Boltzmann a deduziu
matematicamente; por essa razão, é geralmente conhecida como equação de Stefan-Boltzmann e a
constante  como constante de Stefan-Boltzmann.
             Combinando a equação (5.17) com a (5.12), temos a lei de Stefan-Boltzmann aplicada a um
corpo qualquer (não negro):
                                                      E  eT 4                                   (5.18)
onde e é a emissividade do corpo.

Exemplo 1:
O sol é considerado um corpo negro de temperatura próxima à 6000ok. Qual sua densidade de fluxo?
                                       0,817  1010
                     E sol  Tsol 
                                4
                                              2 o
                                                           o
                                                    4 . 6000 K
                                                                4  1,059  105 cal / cm2 .min
                                       min.cm . K

              Qual é o comprimento de onda máximo m emitido pelo sol?
                                                m . T  2,940 nm.o K

                     2940
              m          0,49  (correspondendo ao verde no espectro visível) = 490 nm.
                     6000
-72-




Exemplo 2:
A Terra (superfície do solo), quanto à uma temperatura de 27 oC, emite que luxo? Considerar sua
emissividade e = 0,95.
                                             0,817  1010 cal
                  Eterra  eTterra  0,95
                               4
                                                                300o K 4  0,628 cal / cm2 .min
                                              min.cm2 .o K 4
Qual é o comprimento de onda máximo m emitido pela Terra nas condições acima?

   2.10.    Lei de Lambert

              No início deste capítulo, mostramos que para passar de um fluxo radiante i para uma
densidade de fluxo E ou I, basta dividir o primeiro pela área, perpendicular ao fluxo (Figura 5.8).
               Na maioria dos casos, o fluxo F não incide perpendicularmente sobre a superfície e, assim,
a área, que recebe o mesmo fluxo é maior. Como consequência, a quantidade que atinge a unidade de área
é menor (Figura 5.9).
                                        F (cal/min)

                                                                        F
                                                                  I      cal / cm2 .min
                                                                        A



                                                                       90o


                                                                             superfície receptora

                                        A (cm2)

Figura 5.8 - Esquema de cálculo da densidade de fluxo radiante.
                                                 F


                                                                  90o

                                                                             Posição da superfície receptora
                                                                            depois de uma rotação 
                                               A


                                                                


                                                                    90o
                                        A’


                                                                             superfície receptora

Figura 5.9 - Lei dos co-senos
                                                                                                    -73-



              Isto pode ser verificado pela Figura 5.9 onde se nota claramente que A’  A e que, por isso,
’
I  I, pois
                                                     F        F
                                              I       e I 
                                                     A       A
A relação entre as áreas é A = A' cos  e assim:
                                            F
                                   I             I  cos        I   I .cos                    (5.19)
                                         A cos

              Esta é a lei de Lambert, ou dos co-senos. Ela trata apenas da correção do ângulo de
incidência, pois as densidades de fluxo I sempre são determinadas para superfícies perpendiculares ao
fluxo.
              Esta lei é de grande importância em estudos de radiação solar, uma vez que raramente a
radiação solar incide perpendicularmente sobre as superfícies na crosta terrestre. A perpendicular ao plano
horizontal de uma localidade é denominada de linha zenital e o ângulo que a direção da radiação solar faz
com esta linha denomina-se ângulo zenital (z): A Figura 5.10, abaixo, mostra a situação
esquematicamente.


                                                                       zênite
                    Sol




                                                     Iz                   IN    observador
                                                                   z




Figura 5.10 - Esquema do ângulo zenital

              A lei dos co-senos, aplicada a esta situação, pode ser escrita na forma
                                                 I N  I Z cos z

onde IN é a densidade de fluxo incidente em uma superfície perpendicular aos raios quando Iz faz um
ângulo z com a normal à superfície horizontal. A intensidade Iz não muda com as horas do dia, mas sua
componente normal ao solo IN aumenta desde o nascer do sol até o meio dia, diminuindo depois até o por
do sol. Os radiômetros geralmente medem IN.
Exemplo:
              Em dada situação, uma densidade de fluxo solar radiante Iz de 0,8 cal/min.cm2 incide sobre
uma superfície de poder absortivo 0,85, sendo que os raios formam um ângulo 30 o com a superfície.
Quantas calorias são absorvidas por unidade de área da superfície?
-74-



                                                 0,8 cal
                           I N  I Z cos z               0,87  0,7 cal / cm2 .min
                                                cm2 .min

                                I a  I N  a  0,7  0,85  0,6 cal / cm2 .min


     2.11.   Lei de Beer

               No início deste capítulo, quando definimos termos ligados às radiações, falamos em poderes
absortivo, transmissivo e refletivo. A lei de Beer expressa matematicamente a relação entre um feixe
incidente Ii em dado meio e o feixe emergente Ie, levando em consideração os fenômenos de transmissão e
absorção das radiações.
             Quando um feixe I atravessa um meio qualquer de espessura infinitesimal dx (medida
perpendicularmente ao feixe), o decréscimo na densidade de fluxo dl, é dado por:
                                                        dI  kpI dx                                 (5.20)

onde k é uma constante de proporcionalidade que é uma medida do poder de absorção do meio, muitas
vezes denominada de coeficiente de absorção, e  a densidade do meio.
              Se quisermos saber a absorção total de uma camada finita da espessura L, basta integrar a
equação (5.20). Surgem, porém, dois casos distintos: 1) o meio tem densidade constante, e 2) o meio tem
densidade variável. No primeiro caso, separando as variáveis:
                                                   Ie                  L
                                                     dI
                                                    I   k  dx
                                                   Ii         0


e, então:
                                                  ln I II   k x 0L
                                                            e

                                                            i




ou
                                                  ln Ii / I e    kL

ou ainda
                                                         I e  Ii e  kL                            (5.21)

onde e é a base dos logarítimos neperianos.
Exemplo:
              Um feixe de radiações gama de 105 radiações/cm2.h atravessa uma placa de alumínio de
densidade 2,7 g/cm3 e de espessura 5 cm. Sendo o coeficiente de absorção desta radiação no aluminio k =
0,05 cm2/g, qual a intensidade do feixe emergente?

                           I e  105 . e  0,05 2 ,7  5  105 .e0,68  5,1  104 rad / cm2 .h

No segundo caso, quando  é variável, como é o caso da atmosfera ao absorver a radiação solar que nela
penetra, temos:
                                                                                                    -75-


                                                Ie                  L
                                                  dI
                                                 I   k   dx
                                                Ii        0
                                                                                                    (5.22)

que, integrada apenas no primeiro membro, nos dá:
                                                                        L

                                            I e  Ii . e  k  dx       
                                                                        0
                                                                                                    (5.23)

É fácil verificar que a integral do expoente da equação (5.23) é uma quantidade de matéria, pois  é
densidade (g/m3) e dx, espessura (cm), resultando g/cm3 x cm = g/cm2. Trata-se, portanto, de matéria por
unidade de área. No caso da atmosfera, se L é a espessura da atmosfera como um todo, a integral é
denominada de massa ótica m.
              Se o sol estiver a pino, o feixe de radiação solar atravessa perpendicularmente a atmosfera e
essa massa ótica é denominada de unitária mo e assume o valor relativo igual a 1. Quando o sol não estiver
a pino, seus raios formarão um ângulo z com a normal e uma massa ótica maior m é atravessada pelos
raios.

                                                                                              x=L
                                           L

                                      mo   dx                                      dx
                                                                                  L

                      Atmosfera                                              mo  
                                            0                  z                  0
                                                                                      cos z


                                                                                              x=0
Figura 5.11 - Massa ótica em função do ângulo zenital z.
Logicamente: mo = m cos z
ou
                                                     m = mo sec z
e, como mo = 1, tem-se m = sec z.
              Assim, para qualquer hora do dia, conhecido o valor de z, a equação (5.23) fica:
                                                     I e  Ii . e k sec z

               O fator e-k é também denominado de transmissividade atmosférica e simbolizado por . Um
valor típico é  = 0,6.
Exemplo:
              A quantidade de radiação solar que atinge uma superfície normal aos raios colocada no topo
da atmosfera, é denominada constante solar e vale 2 cal/cm2.min. Em dado instante, quando z vale 10o e 
= 0,6, qual a energia realmente disponível ao nível do solo?
              Seja Ie a quantidade que chega ao nível do solo; então:
                                                      2 cal
                                          Ie 
                                                                             o

                                                              .0,6sec 10
                                                     cm2 .min

                                          I e  119 cal / cm2 .min
                                                 ,
-76-



                Pela lei dos Co-Senos, a quantidade realmente disponível Id será:
                              I d  I e .cos 10o  119  0,985  117 cal / cm2 .min
                                                    ,             ,

               Considerando ainda que o solo tem um poder absortivo a = 0,9. a quantidade realmente
absorvida Ia é:
                                   I a  aI d  0,9  117  1,05 cal / cm2 .min
                                                       ,




                                              EXERCÍCIOS

5.1. Sabendo-se que a temperatura da cromosfera solar é de cerca de 6000K, e que o Sol irradia
     aproximadamente como um corpo negro, calcule o fluxo total de energia emitido em cal/seg. Dados:
     raio do Sol = 6.953 x 105 km;  = 0,817 x 10-10 cal/cm2.min.K4.
5.2. Uma superfície opaca de um certo corpo recebe radiação na taxa de 50 watts/m2. A superfície
     absorve 20 watts por metro quadrado. Determinar:
       (a) a refletância da superfície; (b) a absortância; (c) o fluxo radiante total incidente na superfície do
       corpo, sendo de 100 cm2 a área dessa superfície; (d) a emitância radiante da superfície, achando-se o
       corpo em equilíbrio térmico e só podendo ceder ou receber energia de outros corpos mediante
       emissão ou absorção de energia radiante; (e) a emitância radiante de um corpo negro mantido à
       mesma temperatura que o corpo considerado.
5.3. A temperatura de um corpo negro é de 3000 oK. Determinar a relação entre a sua emitância espectral
     para um comprimento de onda de 1000 nm. (na região infravermelha) e a emitância espectral a 500
     nm (dentro do espectro visível).
5.4. Determinar o comprimento de onda para o qual a emitância espectral de um corpo negro é máxima à
     temperatura de:
       (a) 500K; (b) 5000K; (c) determinar a temperatura em que a emitância espectral é máxima para o
       comprimento de onda de 555 nm para o qual a vista humana é mais visível.
5.5. A emissividade do tungstênio é 0,35. Uma esfera de tungstênio de 1 cm de raio é mantida suspensa
     no interior de um grande receptáculo no qual se fez o vácuo e cujas paredes se acham a 300K.
     Determinar qual a potência consumida para manter a esfera a 3000K. Desprezar a condução de
     calor ao longo do suporte da esfera.

				
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