FORMULARIO: disequazioni irrazionali

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					FORMULARIO: disequazioni irrazionali


le soluzioni si ottengono imponendo e   le soluzioni si ottengono imponendo e
risolvendo i due sistemi                risolvendo il sistema




  FORMULARIO: logaritmi
» definizione:                          » cambiamento di base:


                     ,
                                                       ,

» proprietà:

                                ,



                            ,


                    ,

                        ,
 Triangoli




» Calcolo dell'area:




                                  formula di Erone     2p=a+b+c




» Lunghezza delle mediane:


                         ,,
» Teorema della mediana:



» Bisettrici:


                                                  ,,
» Teorema della bisettrice dell'angolo interno:



» Teorema della bisettrice dell'angolo esterno:

                    (se i segmenti esistono)
» Raggio della circonferenza circoscritta:


          ,

                ,             ,
» Raggio della circonferenza inscritta:
      ,                                  ,

                 ,                   ,
» Altezze:


                                             ,
» Teorema dei seni (o di Eulero)

In un triangolo è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto:



» Teorema della corda

In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo opposto è uguale al diametro
della circonferenza circoscritta:

                        = 2r
» Teorema del coseno (o di Carnot)

In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del
prodotto di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:

                              ,                          ,                           .
» Formule di Briggs:



                              ,                          ,


                          ,                          ,
» Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui due cateti.
» Primo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per
dimensioni la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

                  ;
» Secondo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo l'altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti
sull'ipotenusa.
» Proprietà della mediana:


» Calcolo dell'area:


          ,


» Misura dell'altezza noti i lati:


» 1° teorema sui triangoli rettangoli:

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno
dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente

                            ,
» 2° teorema sui triangoli rettangoli:

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente
dell'angolo opposto o per la cotangente dell'angolo adiacente

                      ,
Cerchio
                                           LEGENDA
Lunghezza della circonferenza:
                                           Raggio = r


Area del cerchio:

Lunghezza dell'arco:




Area del settore circolare:


Area del semicerchio:


Area del quadrante:

Area della corona circolare:


Area del segmento circolare: si trova
come differenza fra l'area di un settore
e l'area di un triangolo.
» Teorema della corda: (vedi anche il
terorema dei seni)
                                           Qui sopra puoi sperimentare il Teorema della corda,
                                           variando l'ampiezza dell'angolo α




dove α è uno qualsiasi degli angoli alla
circonferenza inscritti nell'arco
maggiore AB .


» Calcolo dell’area quadrilatero
Solidi

Le figure geometriche solide possono essere suddivise in due gruppi:
quelli la cui superficie è formata da soli poligoni detti poliedri, e quelli la cui superficie è curva
detti solidi rotondi.

Un poliedro è un solido limitato da più poligoni posti su piani diversi e tali che ogni lato è
comune a due soli di essi.




Tra le facce gli spigoli e i vertici di un poligono sussiste la relazione di Eulero: f + v = s + 2

I poliedri possono essere suddivisi in poliedri regolari, prismi e piramidi, come è raffigurato
nello schema.
Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e tutti i
diedri e gli angoloidi sono uguali fra loro.
I poliedri regolari che si possono costruire sono 5, noti anche come solidi platonici.

                            N° N°        N°
                  Pol.                          N° spig.             diagonal   Area della
 poliedro                   fac vert    spigo              altezza                           Volume
                regolare                        vertice                  e      superficie
                            ce   ici      li


Tetraedro       triangolo   4      4     6         3


Cubo o
                quadrato    6      8     12        3
Esaedro


Ottaedro        triangolo   8      6     12        4




Dodecaedro pentagono 12            20    30        3




Icosaedro       triangolo   20     12    30        5




LEGENDA

  = altezza
  = spigolo

  = diagonale
  = Area della superficie totale

   = Volume
Prisma

                                            diagonale             superficie laterale         superficie totale      volume

 prisma retto


 parallelepipedo retto


 parallelepipedo rettangolo


 cubo



 Prismi

 Il prisma è un poliedro limitato da due poligoni uguali e paralleli (basi) e da tanti
 parallelogrammi (facce laterali) quanti sono i lati del poligono di base.


 prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e l’altezza non
 coincide con uno degli spigoli


 prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e l’altezza
 coincide con uno degli spigoli


 prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce laterali sono
 rettangoli uguali fra loro).


 Prismi particolari

 Parallelepipedo
 Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono dei parallelogrammi.
 Un parallelepipedo può essere:


 retto: se tutte le sue facce sono perpendicolari alle basi (le facce sono dei rettangoli e
 le basi dei parallelogrammi)


 rettangolo: se è retto e le sue basi sono dei rettangoli (tutte e sei le facce sono
 rettangoli uguali e paralleli a due a due)


 Cubo
 Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni uguali tra loro.
 Il cubo è un poliedro regolare limitato da sei facce quadrate (esaedro).




                                 superficie laterale               superficie totale                        Volume


piramide qualsiasi



piramide retta




tronco di piramide
Piramide

La piramide è un poliedro limitato da un poligono qualsiasi e da tanti triangoli quanti sono i lati di questo poligono, aventi tutti
un vertice in comune.


                                                                      LEGENDA


                                                                      V vertice
                                                                      ABCDEF base (poligono di base)
                                                                      VAB faccia laterale (triangolo)
                                                                      VH altezza (distanza tra il vertice e la base)
                                                                      VM apotema
                                                                      H piede dell’altezza
                                                                      VB spigolo laterale
                                                                      AB spigolo di base




Una piramide si dice retta se il poligono di base è circoscrittibile a una circonferenza e il piede
dell’altezza coincide con il centro di questa circonferenza.


L’apotema di una piramide retta è l’altezza di una delle sue facce.


Una piramide si dice regolare se è retta ed il poligono di base è un poligono regolare.




Tronco di piramide

Tagliando una piramide con un piano parallelo alla base si ottengono due solidi: uno è ancora
una piramide , l’altro è un tronco di piramide. I due poligoni che lo delimitano costituiscono
le basi del tronco di piramide, e le facce laterali sono dei trapezi. La distanza tra le basi è
l’altezza del solido.


Un tronco di piramide si dice retto se è stato ottenuto da una piramide retta.


Un tronco di piramide si dice regolare se è stato ottenuto da una piramide regolare.
Le facce laterali di un tronco di piramide regolare sono tutti trapezi isosceli congruenti.
L’altezza di uno qualsiasi di questi trapezi è l’apotema del tronco di piramide.
Solidi di rotazione
Sono solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta (asse di rotazione).


                                           superficie laterale          superficie totale            volume

Cilindro



Cono




Tronco di cono


                                                         superficie sferica                          volume


Sfera




Cilindro
Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un
suo lato.


Cilindro equilatero
È un cilindro in cui l’altezza è lunga quanto il diametro della base.


L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della
circonferenza di base per la misura dell’altezza:




L’area della superficie totale di un cilindro si ottiene sommando la superficie laterale e
l’area delle due basi:




Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza:


Cono
Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto.


Cono equilatero
È un cono in cui l’apotema è lungo quanto il diametro della base.


L’area della superficie laterale di un cono si ottiene moltiplicando la lunghezza della
circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due:




L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e
l’area della base:




Proprietà. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente base ed altezza
congruenti rispettivamente alla base e all’altezza del cono.


Il volume di un cono si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e
dividendo tale prodotto per tre:
Tronco di cono

Consideriamo un cono e tagliamolo con un piano parallelo al piano della base: otteniamo
due figure, una è ancora un cono, l’altra è un tronco di cono.


Il tronco di cono è un solido attenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno al
lato perpendicolare alle basi.


Proprietà. La superficie laterale di un tronco di cono è equivalente a un trapezio avente
per basi le due circonferenze di base del tronco e per altezza il suo apotema.


L’area della superficie laterale di un tronco di cono si ottiene moltiplicando la somma
delle misure delle lunghezze delle due circonferenze di base per la misura dell’apotema e
dividendo tale prodotto per due:




L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e
l’area delle due basi:




Proprietà. Per il principio di Cavalieri, un tronco di cono e un tronco di piramide aventi
basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.


Il volume di un cono si ottiene moltiplicando ,l’area di una base più l’altra base + la
radice quadrata del prodotto delle due basi, per la misura dell’altezza e dividendo tale
prodotto per tre:




Sfera e superficie sferica

La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al
proprio diametro, il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.


La superficie sferica è l’insieme di tutti e solo i punti dello spazio che hanno la stessa
distanza da un punto interno detto centro.


Proprietà. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero
circoscritto ad essa.


L’area della superficie sferica si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio
massimo:




Proprietà. Una sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per
raggio di base il diametro della sfera.




Il volume della sfera si ottiene moltiplicando        per il cubo del suo raggio:

				
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posted:6/6/2012
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