CTF-Trigo1MR

					           Ld   05/06/2012   1MR01    Test formatif

                                Corrigé : Trigonométrie

 Exercice 1
 Une équipe de géomètres veut mesurer l’altitude du sommet S d’une montagne. Pour ce faire, un
 groupe place un théodolite dans un village V, sur le versant de la vallée opposée à la montagne,
 en un point situé à 1236 m d’altitude. Avec l’appareil, on vise d’abord S. On mesure un angle
 d’élévation de 37,42◦ . Un deuxième groupe installe un second théodolite aux mayens M du village,
 qui sont sur le même versant de la vallée que ce dernier, à 1720 m d’altitude. La même visée de
 S donne un angle d’élévation de 27,13◦ . Le premier groupe vise ensuite le théodolite du second,
 et trouve un angle d’élévation de 46,93◦ . Calculer l’altitude du sommet S de la montagne.


Solution
        MA        1720 − 1236
MV =            =             = 662, 54                                                       S
     sin 46, 93    sin 46, 93
m
                                                                                         γ
δ = 180 − 37, 32 − 46, 93 = 95, 65◦
β = 46, 93◦ (angle alterne interne)
γ = 180 − 27, 13 − 46, 93 − 95, 65 = 10, 29◦
   MV                  SV                        1720
                                                     M              27,13◦                        .
           =                                                    β
sin 10, 29   sin (27, 13 + 46, 93)
           662, 54 · sin 74, 06 ∼
⇒ SV =                          = 3566 m
               sin 10, 29                             484
BS = SV · sin 37, 42 = 3566 · sin 37, 42 =
2167 m                                                          46,93◦ δ     37,42◦           B
                                                 1236
Altitude de S : 1236 + 2167 = 3403 m                        A            V




 Exercice 2
                                3
   a) Sachant que tan(β) = − , et que β appartient au quadrant IV, calculer sans déterminer
                                4
      β, les valeurs de sin(β) et de cos(β).
   b) Calculer à l’aide des rapports trigonométriques de t :

                                sin(−90◦ + t) + cos(540◦ − t) − sin(90◦ + t)



Solution

                       1                       1             1     16              4
 a) 1 + tan2 (β) =     2 (β)
                             ⇒ cos2 (β) =         2 (β) =      9 = 25 ⇒ cos(β) = ± 5
                   cos                    1 + tan         1 + 16
                                                         4
     Comme β appartient au quadrant IV ⇒ cos(β) =
                                                         5
     sin(β)                                             3 4              3
            = tan(β) ⇒ sin(β) = tan(β) · cos(β) = − · ⇒ sin(β) = −
     cos(β)                                             4 5              5


 b) sin(−90◦ + t) + cos(540◦ − t) − sin(90◦ + t) = − sin(90◦ − t) + cos(180◦ − t) − cos(t)
    = − cos(t) − cos(t) − cos(t) = −3 cos(t)
Corrigé : Trigonométrie                    Ld, 05/06/2012                                      2



 Exercice 3
 Dans le parallélogramme ABCD, on connaît AB = 30, BC = 20 et on sait que l’angle en B vaut
 60◦ . Calculer la longueur des diagonales de ce parallélogramme ainsi que l’angle déterminé par
 celles-ci. Trouver enfin l’aire du quadrilatère ABCD.

Solution
   2       2      2
AC = AB + BC − 2 · AB · BC · cos β
= 302 + 202 − 2 · 30 · 20 · cos 60 = 700
⇒ AC ∼ 26, 46cm
       =
   2       2     2
BD = CD +BC −2·CD·BC·cos (180−β)                                                C
= 302 + 202 − 2 · 30 · 20 · cos 120 = 1900       D
                                                                   γ = 120◦
⇒ BD ∼ 43, 59cm
       =                                                                              20
                                                                   E
                      2     2      2                                                           .
                     AE + BE − AB
cos α       =                              =                       α        β = 60◦
                       2 · AE · BE
13, 232 + 21, 82 − 302                                      A                              B
                           = −0, 4329      ⇒                           30
    2 · 13, 23 · 21, 8
α ∼ 115, 6◦
  =

Aire ABCD =AB · BC · sin β = 30 · 20 ·
sin 60 = 519, 62 cm2



 Exercice 4
 Résoudre les équations suivantes en donnant les solutions en radians :
          t    π    1
   a) cos( − ) =
          2    6    2
          4x        x
   b) sin( ) + cos( ) = 0
           3        2


Solution

       1       π          1        π
  a)     = cos( + k.2π) ou = cos(− + k.2π) avec k ∈ Z ⇒
       2       3          2        3
         t   π   π          t   π
       • − = + k.2π ⇒         = + k.2π ⇒ t1 = π + k.4π
         2   6   3          2    2
         t   π     π          t     π                π
       • − = − + k.2π ⇒         = − + k.2π ⇒ t2 = − + k.4π
         2   6     3          2     6                3


                               π                  3π            4x         x
  b) Comme sin(α) = − cos( + α) ou − cos(            − α)   sin( ) = − cos( ) ⇔
                               2                   2             3         2
              π 4x               x      π 4x         x
     • − cos( +        ) = − cos( ) ⇒     +        = + k.2π
              2     3            2      2      3     2
       5x       π                    3π        12π
          = − + k.2π ⇒ x1 = −            + k.
        6       2                     5          5
              3π 4x               x      3π 4x         x
     • − cos(     −     ) = − cos( ) ⇒       −       = + k.2π
               2      3           2       2       3    2
       11x     3π                   9π       12π
           =       + k.2π ⇒ x2 =        + k.
        6       2                   11        11

				
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