Get documents about "Soal Latihan
Document Sample
LATHAN 2
1. Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing – masing memiliki sisi
angka (A) dan gambar (G). Jika P adalah kejadian muncul 2 angka, tentukan S, P dan P c
2. Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang suatu kejadian muncul bilangan genap
3. Pada pelemparan sebuah uang logam dan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya gambar dan suatu
bilangan genap, dan B adalah kejadian munculnya gambar dan suatu bilangan komposit
4. Didalam sebuak kotak ada 9 tiket yang diberi ni 1-9. Apabila dua tiket diambil secara acak (random)
tentukanlah peluang P bahwa:
a. Kedua-duanya bernomor ganjil
b. Kedua-duanya adalah genap
c. Satu ganjil dan satu genap
5. Pada pelemparan dua buah dadu biru dan kuning, A adalah kejadian mata dadu yang muncul berjumlah 8
dan B adalah kejadian mata dadu yang muncul berjumlah kurang dari 5. Carilah peluang kejadian A dan
peluang kejadian B.
6. Sebuah bola diambil secara random dari sebuah kotak yang berisi 3 bola merah, 2 bola putih dan 4 bola
biru. Tentukanlah peluang P bahwa bola yang diambil itu adalah
a. Merah b. Tidak merah. C. putih
7. Sebuah kantong berisi 6 bola merah, 4 bola putih dan 8 bola biru. Apabila 3 bola diambil secara random,
carilah peluang P bahwa
a. Semua merah c. 2 putih dan 1 merah
b. Semua biru d. paling sedikit 1 merah
8. Diketahui bahwa peluang seorang anak dijangkiti penyakit campak adalah 0,13
a. Berapakah diantara 1200 anak diperkirakan dijangkiti penyakit campak?
b. Berapakah peluang seorang tidak terjangkiti penyakit campak?
c. Berapakah diantara 1200 anak diperkirakan tidak dijangkiti penyakit campak?
C. Peluang Suatu Kejadian Majemuk
1. Gabungan dua kejadian(Kejadian tidak lepas)
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Catatan
P(A B) dibaca “kejadian A atu B” dan P(A B) dibaca “kejadian Adan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian
muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B
Jawab
S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6
A = {4,6}, n(A) = 2 maka P(A) = 2/6 = 1/3
B = {2,4,6} n(B) = 3 maka P(B) = 3/6 =
A B = {4,6} n(A B) = 2, maka P(A B) = 2/6 = 1/3
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 1/3 + – 1/3 =
Cara lain :
S = {1,2,3,45,6} maka n(S) = 6
A = {4,6}, B = {2,4,6}
(A B) = {2,4,6}, n(A B) = 3, maka P(A B) = = =
Jadi peluang kejadan A atau B adalah
2. Kejadian – kejadian Saling Lepas
Jika A B = , maka P(A B) = 0, sehingga P(A B) = P(A) + P(B)
Dalam kasusu ini A dan B disebit kejadian dua saling lepas
Contoh :
Pada peemparan dua dadu biru dan hitam bersama – sama, A adalah kejadian munculnya mata dadu
berjumlah 5 dan B adalh kejadian munculnya mata dadu berjumlah 10. Hitunglah peluang kejadian A
atau B
Jawab
Dadu hitam 1 2 3 4 5 6
Dadu biru
1 (1,4)
2 (2,3)
3 (3,2)
4 (4,1) (4,6)
5 (5,5)
6 (6,4)
S = {(1,1),(1,2), ….,(6,6)} maka n(S) = 36
A = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,2)} maka n(A) = 4
B = {(4,6),(5,5),(6,4)} maka n(B) = 3
Perhatikan bahwa A B = , maka A dan B saling lepas
P(A B) = P(A) + P(B) = + = + =
Jadi peluang kejadian A atau B adalah 7/36
3. Kejadan Bersyarat
Jika P(B) adalah peluang kejadian B, maka P(A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan
syarat B telah terjadi. Jika P(A B) = adalah peluang terjadinya A dan B maka dua kejadian itu disebut
tidak saling bebas. Secara umum dirumuskan
P(A B) = P(B) x P(A|B)
Contoh
Sebuah kantong berisi 6 bola hitam dan 3 bola putih. Diambil secara random dua kali berturut – turut
masing – masing satu tanpa pegambilan. Berapa peluag mendapatkan keduanya bola hitam?
Jawab
Apabila B kejadian mendapatkan bola hitam pada pengambilan pertama, maka kejadian A pada
pengambilan kedua tidak saling bebas terhadap B, sebab tanpa pengambilan. Jadi kejadan A terjadi
dengan syarat kejadian B, sehingga :
P(B) = 6/9 = 2/3 dan P(A|B) = 5/8
P(A B) = P(A) x P(A|B) = 2/3 x 5/8 = 5/12
4. Teorema Bayes
P(A|B) =
Contoh
Diketahui A dan B adalah kartu kejadian pada ruang sampel S, dengan P(A) = 0,25, P(B) = 0,2 Dan
P(A ∩ B) = 0,05. Hitinglah P(A|B) dn P(B|A)
Jawab
P(A|B) = = =0,25 oleh karena A ∩ B = B ∩ A maka P(A ∩ B) = 0,05 sehingga
P(B|A) = = 0,05/0,25 = 0,2
Cara lain: P(B|A) = = = 0,2
5. Kejadian saling bebas stokhastik
a) Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua
kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi
kemunculan kejadian lainnya atau P(A|B) = P(A), sehingga:
P(A ∩ B) = P(A|B) x P(B) P((A ∩ B) = P(A) x P(B)
Contoh:
Pada pelemparan dua buah dadu biru dan hitam, A adalah kejadian mata dadu biru muncul
bilangan komposit dan B adalah kejadian mata dadu hitam muncul bilangan prima. Carilah
peluang kejadian A ∩ B
Jawab
Dadu hitam 1 2 3 4 5 6
Dadu biru
1 (1,2) (1,3) (1,5)
2 (2,2) (2,3) (2,5)
Bilangan komposit
3 (3,2) (3,3) (3,5)
(dadu biru)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,2) (5,3) (5,5)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
bilangan prima (dadu hitam)
S = {(1,1),(1,2), …, (6,6)} maka n(S) = 36
A = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)} maka n(A) = 12
B = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)(5,2)(6,2), (1,3),(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5)(6,5)}
maka n(B) = 18
P(A) = = = =…….. P(B) = = =
Oleh karena A dan B adalah kejadian-kejadian yang saling bebas skohastik maka P(A∩B) = P(A) x
P(B) = 1/3 X ½ = 1/6
CARA LAIN
n(S) = 6
A B = {(4,2)(4,3)(4,5)(6,2)(6,3)(6,5)} maka n(A B) = 6
P(A B) = = =
b) Jiak A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas stokhastik, maka Ac dan Bc juga merupakan
dua kejadian yang saling bebas stokhastik
Contoh
Dinda akan mendirikan perusahaan di dua tempat yaitu A dan B, dengan peluangnya berturut – turut
0,8 dan 0,75. carilah peluang perusahaan jika didirikan :
1. Dua kota itu
2. Tidak kedua – duanya
3. Di kota A tetapi tidak di kota B
Jawab
A = perusahaan A didirikan
Ac = perusahaan A tidak didirikan
B = perusahaan B didirikan
Bc = perusahaan B tidak didirikan
P(A) = 0,8, maka P(Ac) = 1 – 0,8 = 0,2
P(B) = 0,75, maka P(Bc) = 1 – 0,71 = 0,25
1. P(perusahaan didirikan di kota A dan B) = P(A) x P(B) = 0,8 x 0,75 = 0,6
2. P(perusahaan tidak didirikan di kota A dan B) = P(Ac) x P(Bc) = 0,2 x 0,25 = 0,05
3. P(perusahaan didiri di kota A tetapi tidak di kota B) = P(A) x P(Ac) = 0,8 x 0,25 = 0,2
D. SEBARAN PELUANG
1. Pengartian Peubah Acak dan Sebaran Peluang
Peubah acak X adalah peubah acak pada ruang sampel S kebilangan Real R.
Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan X(S) merupakan himpunan berhingga, peubah
acak X dinamakan peubah acak diskrit
Jika X adalah fungsi dari ruang sampel S ke himpunan bilangan Real R, untuk setiap a,b,c R dan
setiap A R, maka
a. P(X = a) merupakan P({x|x S dan X(x) = a)}
b. P(X a) merupakan P({x|x S dan X(x) a)}
c. P(X a) merupakan P({x|x S dan X(x) a)}
d. P(b x c) merupakan P({x|x S dan b X(x) c)}
e. P(X a) merupakan P({x|x S dan X(x) a)}
Misalkan X adalah peubahacak diskrit pada ruang sampel S, fungsi f dari R ke R yang ditentukan
dengan rumus
f(x) = P(X = x), untuk x X(S)
f(x) = 0, untuk x X(S)
Contoh
Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, X menyatakan peubah jumlah mata dadu yang muncul.
Hitunglah :
a. P(X = 4) b. P(X 10) c. P(X 5 ) d. P(7 X 10
Jawab
Dadu hitam 1 2 3 4 5 6
Dadu biru
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Peubah acak X dengan nilai X = 2,3,4,……,12
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X = x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
a). P(X = 4) = = c). P(X 5) =
b). P(X 10) = = d). P(7 X 10) = =
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distrubsi Binomial dinyatakan dengan rumus berikut
f(x) = C(n , x) – untuk x = 0, 1, 2,….,n
f() = 0 , untuk x yang lain
Dengan P sebagai parameter dan 0 P 1.
Rumus ini dinyatakn sebagai
P(X) = C(n , x) – , untuk x = 0, 1, 2,….,n
Dengan : P sebagai parameter dan 0 P 1.
P = peluang sukses
n = banyak peluang
x = muncul sukses
n – x = muncul gagal
contoh :
S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6
Angka prima : A = {2,3,5}, maka n(A) = = n =7
P(X) = C(n , x) –
P(X = 3) = C(7 , 3) – = = 35 x x =
3. Rata – Rata atau Nilai Harapan Suatu Peubah Acak
Jika x1,x2,x3,…,xn adalah nilai – nilai dari peubah acak x dan peluangnya berturut – turut
P1,P2,P3,….,Pn, maka nilai harapan ditulis atau E(X) adalah :
= E(X) = =
Contoh :
Pada pengetosan sebuah mata uang dua kali, x menyatakan banyaknya muncul gambar. Tentukan nilai
harapan peubah acak x.
Jawab
Peubah acak x dengan nilai x = 0,1, dan 2
X 0 1 2
P(X =x) 1/4 2/4 1/4
= 0. + 1. 2/4 + 2. =1
4. Sebarab Seragan
Sebaran seragam adalah sebaran peluang yang tiap nilai peubah acaknya memiliki peluang yang sama
untuk terjadi. Fungsi peluang sebaran seragam adalah
f(x) = P(X = x) = , untuk x = 1,2,3, …. ,n atau
f(x ; k) = , untuk x = x1,x2,x3,….,xk
Catatan
f(x) = P(X = x) adalah notasi fungsi peluang
f(x ; k) adalah untuk menunjukan bahwa sebaran seragam bergantung pada parameter k.
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali, peubah acak x dapat mencapai nilai x =
1, 2, 3, 4, 5, 6,
Carilah :
a. Sebaran peluangnya
b. Nilai harapan peubah acaknya
Jawab
a. Sebaran peluang tiu merupakan sebaran seragam sehingga fungsi peluangnya adalah
f(x;6) = 1/6, untuk x = 1,2,3,4,5,6,
b. = 1. 1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 + 5. 1/6 + 6. 1/6
= 1/6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21/6 = 3
LATIHAN 3
1. Dari 100 orang siswa, 30 orang mengambil kursus computer, 20 orang mengambil kursus bahasa
inggris dan 10 orang mengambil kedua kursus itu. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan
peluang bahwa siswa itu mengambil kursus computer atau bahasa inggris
2. Seorang siswa mengikuti kursus computer dan bahasa inggris. Peluang lulus dalam kursus computer =
0,7 ,dalam bahasa inggris = 0,45 dan lulus kedua mata pelajaran itu = 0,28. Berapakah peluang siswa
itu akan lulus dsalm kursus computer atau bahasa inggris
3. Selama 1 minggu , TVRI memiliki 20 macam mata acara, dimana 8 mata acara berisi pendidikan, 9
mata acara yang cukup menarik untuk ditonton dan 5 mata acara berisi pendidikan dan sekaligus cukup
menarik ditonton. Anda sebagai salah seorang pemirsa akan memilih salah satu program diatas secara
acak maka berapakah peluang anda mendapatkan program acara
a. Yang tidak menarik untuk ditonton
b. Yang berisi pendidikan atau cukup menarik untuk ditonton atau kedua – duanya
4. Sebuah kartu diambil satu pak remi (bridge). Jika A peluang muncul As dan B muncul king. Berapa
peluang terambil satu karu As atau king
5. Sebuah dadu dilempar satu kali dan diketahui bahwa mata dadu yang muncul adalah genap. Hitunglah
peluang akan diperoleh muncuk mata dadu yang lebih dari 3.
6. Diketahui 4 buah lampu yang rusak dicampur dengan 6 bola lampu lainnya yang baik. Jika dipilih
secara acak 2 buah lampu untuk dipasang, maka berapakah peluang bola lampu yang diambil pertama
dan kedua dalam keadaan baik.
7. Diketahui P(A) = dan P(A B) = 2/3. Carilah peluang
a. P(B) b. P(A|B) c. P(B|A) d. P(B c|A)
8. Seorang siswa mengambil kursus keterampilan akutansi dan computer. Peluang siswa itu lulus ujian
akutansi = 0,6 dan computer = 0,75. Carilah peluang
a. Siswa itu lulus keduanya
b. Siswa itu lulus mata pelajaran akutansi tetapitidak lulus dalam mata pelajaran komputert
c. Siswa tidak lulus keduanya
9. Peluang seorang laki – laki hidup 25 tahun dari sekarang adalh 3/7 dan peluang isterinya akan hidup 25
tahun dari sekarang adalah 4/5. Tentukan peluang dari sekarang
a. Keduanya hidup
b. Paling sedikit satu dari mereka masih hidup
c. Hanya laki – laki
10. Sebuah kantong berisi 6 bola putih dan 8 bola biru diambil satu bola dua kali berturut – turut tanpa
pengambilan. Tentukan peluang bola yang diambil berlainan warna
11. Ada 3 calon A, B, dan C untuk menjadi pimpinan sebuah kantor. Perimbangan A akan menang adalah
7 lawan 5, dan perimbangan B akan menang adalah 1 lawan 3.
a. Berapakah peluang salah satu A atau B akan menang
b. Berapakah perimbangan bagi C?
12. Pada suatu perlombaan renang, peluang A akan menang dalah 2 banding 3 dan peluang B akan menang
adalah 1 dibanding 4. Tentukan peluang A atau B akan menang dan perbandingan peluang A atau B
akan menang
13. Pada pengetosan uang logam tiga kali, peubah acak x menunjukan banyaknya sisi angka yang muncul
dan x menunjukan peluang nilai peubah acak. Tentukan
a. P(x = 0) b. P(x ) c. P(x 3) d. P(1 x 3)
14. Dari 12 disket, terkena virus 20%. Carilah peluang :
a. Satu disket terkena virus
b. Dua disket terkena virus
c. Paling banyak dua disket terkena virus
15. Dari 18 calon pelamar kerja yang berpeluang sama akan dipilih 3 orang secara acak, carilah sebaran
seragamnya.
16. Sebuah koin yang seimbang dilempar 3 kali, x menyatakan munculnya angka. Carilah nilai harapan
peubah acak x.
