Relaciones metricas - 5

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Relaciones metricas - 5 Powered By Docstoc
					 GEOMETRÍA – 5to. Secundaria

         RELACIONES MÉTRICAS                                                               DC : proy. BC AC
                                                                                           BD : proy. BC AB
 Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los
 triángulos es necesario tener el concepto de Proyección
 Ortogonal.                                                             2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
                                                                          RECTÁNGULO
 1. PROYECCIÓN ORTOGONAL                                                Vamos a descubrir ciertas expresiones algébricas que nos
 * La Proyección Ortogonal de un punto sobre un plano es el             relacionen distintas líneas del triángulo rectángulo.
 pié de la perpendicular que va del punto al plano. En la figura                           B
 siguiente N es la proyección de A sobre el plano P.

                          A                                                                                a
                                                                                c
                                                                                               h
                                                                                                                                C
                                                                                                                       
                          N
                                                                        A
                                                                                   m                            n
          P                                                                                         b
 * La Proyección Ortogonal de un punto sobre una recta es el            a2 = n . b             Donde:
 pié de la perpendicular que va del punto a la recta. Así, en la        c2 = m . b             *a y c: Catetos.
 figura siguiente N es la proyección de A sobre la recta r.             h2 = m . n             *b: Hipotenusa.
                                                                        a.c=b.h                *H: Altura relativa a la
                                                                        a2 + c2 = b2           hipotenusa.
                          A
                                                                                               *m y n: Proyección de “a” y “c”
                                                                                               sobre la hipotenusa.

                                                                        3. TEOREMAS FUNDAMENTALES
                                      r
                                                                        3.1. TEOREMA DE EUCLIDES
                      N
 Como esta perpendicular es única, entonces la proyección es                         B
 única.

 * La Proyección Ortogonal de un segmento sobre una recta es                                            BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH
 un segmento cuyos extremos son las proyecciones de los
 extremos del segmento dado sobre la recta.
                                                                             
                                                                            A° H                         C
                                          B
                              B
   A          B                                                         3.2. TEOREMA DE STEWART
                      A
                                                                                       B
                                A                 L
     N        P       N       P N         P                                                                  x2.b = a2m + c2.n
                                                                               c                    a        - m.n.b
 NP : Proyección de AB sobre la recta L
 En general, la proyección de un segmento es otro segmento.
                                                                                           x

 * Observación:
                                                                         A                      E            C
 En cualquier triángulo ABC, la altura AD determina sobre el
                                                                                   m                    n
 lado BC dos segmentos: DB y DC, que son las proyecciones                                      b
 respectivas de los lados AB y AC sobre BC.

                                                                        3.3. TEOREMA DE HERÓN
                                  A                                                                                         B
                                                                            h=      2
                                                                                      p(p  a)(p  b)(p  c )
                                                                                    b
   A
                                                                          Donde:
                                                                                                                    c               a
                  B               D               C                          a b  c
                                                                          p=
                                                                                 2
                                                                                                             A          H                          C
                                                                                                                                b
    D             B                           C
2º Bimestre                                                         1                                                                   Martín Tello
 GEOMETRÍA – 5to. Secundaria

 3.4. TEOREMA DE LA MEDIANA                                                            4.3 TEOREMA DE LA TANGENTE
                                                           B
                                                                                                            A

      a2 + c2 = 2m2 + b
                              2
                                                      c              a
                       2                                  m                                                                                     p


                                              A                              C                                          B

                                                              bM
                                                                                                C

                                                                                                            PA2 =PC.PB

 3.5. SEGUNDO TEOREMA DE LA BISECTRIZ.
                                                                                     Observación : Los Teoremas de Ptolomeo y Viette se aplica
 1)                                                                                  también para cuadriláteros inscriptibles.
              B
                                                                                     5. RELACIONES AUXILIARES
                                                                                                                          B
                              a                   BD2 = a.c - m.n                    * AB2 = AC.AH
          c                                                                          * BH2 = AH.HC


      A m D                   n       C
                                                                                                        A                   H                               C
 2)                                                                                  ( AC : Diámetro)NES MÉTRICAS EN CUADRILÁTE
                                  B       
                          c                              BE2 = m.n – a.c                           PROBLEMAS RSUELTOS
                                  a
                                                                                     1).- AB, BC y AQ son valores enteros y consecutivos. Halla
                                                                                       AQ.
      A                           C               n            E                                                Q
                                  m                                                                                                             C

 4.     RELACIONES   MÉTRICAS                                       EN      LA                                              B
      CIRCUNFERENCIA                                                                                    A
                                                                                     Solución :
   4.1. TEOREMA DE LAS CUERDAS                                                       * Por el teorema de las tangentes:

                                                                                     (a + 2)2 = (2a + 1) (a)
                      A                                                               a2 + 4a + 4 = 2a2 + a                    Q
                                               D                                      a2 – 3a - 4 = 0                                                  C
                                  p                                                     a         -4
                                                                                        a          1         2+a
                                                                                                                                            a+1
                                                                                     a=4                                           B
                  C                        B
                                                                                     Nos piden :                                a
                                                                                                             A
                                                                                     AQ = a + 2
                          AP.PB = CP. PD                                                                                         AQ = 6


                                                                                     2).- Halla BT; si AB = 5 ; BC = 7 ; AC = 6.

   4.2. TEOREMA DE LAS SECANTES                                                                                 B


                  B
                                      A

                                                          p
                                                                                                    A               T               C
                                      C                                                                                             B
                  D
                                                                                     Solución :
                          PB.PA=PD.PC
                                                                                     * Por propiedad :                      5                   7
                                                                                     AT = P – BC
                                                                                      AT = 2
                                                                                      TC = 4                           A       2       T   4       C
                                                                                                                                        6

2º Bimestre                                                                      2                                                                              Martín Tello
 GEOMETRÍA – 5to. Secundaria

                                                                    2).- Las diagonales del rectángulo mostrado mide 9, si HC = 5,
 * Por el teorema de Stewart:                                         calcula el lado CD.
                                                                              B                                          C
 ( BT )2 (6) = (7)2(2) + (5)2(4) – (2)(4)(6)
  6( BT )2 = 98 + 100 – 48
  6( BT )2 = 150  ( BT )2 = 25
                        BT = 5
                                                                                       H
 3).- En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se traza la                  A                                          D
   altura BH . Calcula HC, Si AH = 7 y BH = 2 14 .                   a) 6              b) 1                       c) 4
                                                                     d) 3              e) 2
 Solución :
                            B                                       3).-Halla DE, si: AC = 12 y BD = 4

                                                                      a) 6                    A           B   C
                                                                      b) 5
                            2    14                                   c) 8                            D
                                                                      d) 3
          A                                x            C             e) 4
                      7    H
                                                                                                      E
 Se sabe: (2 14 )2 = x.7
                                                                    4).- Halla: BT; si AB = 5 ; BC = 7 ; AC = 6.
         56 = 7x                           x=8
                                                                      a) 6                        B
                                                                      b) 5
 4).- Calcula “x”
                                                                      c) 8
                      x2                       40                     d) 3
                                                                      e) 4

 Solución:                           41
 Por Pitágoras                                                                    A               T               C
 (x2) 2 = 412 -402
 (x2) 2 = 81              x2 9                                    5).- Calcula el valor de PQ, sabiendo QC = 5cm, CD = 4cm;
                                          x = 3                      EF = 2cm, MF = 4cm
 5).- Indica la proyección de un cateto que mide 6u sobre la
   hipotenusa que mide 9u.                                          a) 2                  P               Q                C
                                                                    b) 2
 Solución:                                                          c) 1          M
                                                                    d) 3                                      D
              6                                                     e) 4
                                                                                              E
                                                                                   F
                  x          9
                                                                    6).- En el gráfico: AB, BC, AQ y FE                  son valores enteros
 Se sabe:                                                             consecutivos. Halla QE.
            62 = 9x                       x = 4
                                                                    a) 6
                                                                    b) 10                         C           F
                                                                    c) 7
              PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 04                               d) 5
                                                                    e) 12
                                                                                      B
 NIVEL I                                                                                              Q
                                                                                  A                                          E
 1).- Según la figura AB = 3 y BC = 2, calcula CN (N es punto
   de tangencia).
                                 F                                  7).- AB, BC y AQ son valores enteros y consecutivos. Hallar
                                                                      AB.
   a) 5                                    N
   b) 1
   c) 4                                                             a) 8                      Q
   d) 3                                                             b) 6
                                 A             B    C               c) 7                                          C
   e) 2
                                                                    d) 5
                                                                    e) 4
                                                                                                  B
                                                                                  A
2º Bimestre                                                     3                                                                 Martín Tello
 GEOMETRÍA – 5to. Secundaria

 8).- En la figura “C” es centro. Calcula el radio de la                  4).- Halla la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un
   circunferencia. Si: CE = 10 y EB = 2.                                    rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm., respectivamente.
                                                  C                         a) 4,8             b) 4,5               c) 4
 a) 20                                                                      d) 5,5             e) 5
 b) 24
 c) 18                                                                    5).- En la figura, O es centro. AB // CD ; AB = 12 y CD = 10.
 d) 26
                                  r
 e) 16                                                        B             Halla r, sabiendo además que AB y CD , distán 1 unidad, entre
                  A                   O
                                                  E                         sí.

                                                                            a) 60
                                                                                                         r
                                                                            b) 61
                                              F                                                               o
                                                                            c) 25
 9).- EF biseca a AB, si: EQ = 4 y QF = 9. Halla la cuerda AB.              d) 65           A                                     B
                                                                            e) 61                C                            D
 a) 8                                 E
 b) 9                                         B
 c) 10                                                                    6).- Calcula “x”. Si R = 12, r = 3 y QR = 24
 d) 12                                Q                                                                 R
 e) 14
                  A
                                                                                                         x°
                                  F                                                              P
                                                                                                                      Q
 10).- Siendo: AF = 10cm; FM = 5cm; además AP y PQ están en
   la relación de 3 a 2. Halla AQ                                                                R                    r
 a) 3                  M
 b) 10                                        F
 c) 3 10                                                      A             a) 53°              b) 45°                            c) 37°
 d) 2 10                                                                    d) 60°              e) 30°
                                              P
 e) 5 10                                                                  7).- Calcula “R”. Si : AB = 3 y CD = 12
                          Q
                                                                                             A         B

 NIVEL II

 1).- Halla el valor de AB, siendo BC = 2m; EM = 6m; ED = 4m.               a) 2
                                          A                                 b) 4
                                                                                                         R
   a) 2                                                                     c) 6
   b) 4                                                   B                 d) 8
   c) 5                                                                     e) 10            C                                D
   d) 10              M                               C
   e) 14 .                                                                8).- Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16 que longitud se
                                  D                                         debe restar a cada lado que el triángulo resultante sea un
                      E                                                     triángulo rectángulo.

                                                                            a) 1                b) 2                              c) 3
 2).- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura         d) 4                e) 5
   BH . Calcula HC, si     AH = 7 y BH = 2 14 .

 a) 4      b) 6           c) 8        d) 10           e) 14               9).- En el gráfico, se tienen dos circunferencias ortogonales de
                                                                            radios (r = 2) y (R = 4). M y N son puntos de tangencia. Halla
                                                                            MN.
 3).- A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a
   la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, es de                          R
   20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de                                                    r
   cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros
   descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre                             O                    P
   las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron con la misma
   velocidad y alcanzaron al pez al mismo tiempo. ¿A qué                                                                  N
   distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?                                     M

   a) 10                  b) 15                       c) 20                 a) 4                b) 2R                             c) 3 r
   d) 25                  e) 30                                             d) 2Rr              e) 3Rr



2º Bimestre                                                           4                                                                    Martín Tello
 GEOMETRÍA – 5to. Secundaria

 10).- En la figura, O es centro del cuarto de circunferencia y T
   punto de tangencia.     AH = 2; BE = 9. Halla la longitud del
   radio.
                       H
               A
                               T


                                          E


                o                  B

   a) 15               b) 17                  c) 19
   d) 21               e) 18




              CLAVES DE RESPUESTAS

     NIVEL I                       NIVEL II
     1) c    2) a                  1) e     2) c
     3) a      4) b                3) c           4) a
     5) d      6) c                5) b           6) e
     7) e      8) b                7) c           8) c
     9) d      10) e               9) a           10) b




2º Bimestre                                                         5   Martín Tello

				
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