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GEOMETRÍA – 5to. Secundaria
RELACIONES MÉTRICAS DC : proy. BC AC
BD : proy. BC AB
Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los
triángulos es necesario tener el concepto de Proyección
Ortogonal. 2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
1. PROYECCIÓN ORTOGONAL Vamos a descubrir ciertas expresiones algébricas que nos
* La Proyección Ortogonal de un punto sobre un plano es el relacionen distintas líneas del triángulo rectángulo.
pié de la perpendicular que va del punto al plano. En la figura B
siguiente N es la proyección de A sobre el plano P.
A a
c
h
C
N
A
m n
P b
* La Proyección Ortogonal de un punto sobre una recta es el a2 = n . b Donde:
pié de la perpendicular que va del punto a la recta. Así, en la c2 = m . b *a y c: Catetos.
figura siguiente N es la proyección de A sobre la recta r. h2 = m . n *b: Hipotenusa.
a.c=b.h *H: Altura relativa a la
a2 + c2 = b2 hipotenusa.
A
*m y n: Proyección de “a” y “c”
sobre la hipotenusa.
3. TEOREMAS FUNDAMENTALES
r
3.1. TEOREMA DE EUCLIDES
N
Como esta perpendicular es única, entonces la proyección es B
única.
* La Proyección Ortogonal de un segmento sobre una recta es BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH
un segmento cuyos extremos son las proyecciones de los
extremos del segmento dado sobre la recta.
A° H C
B
B
A B 3.2. TEOREMA DE STEWART
A
B
A L
N P N P N P x2.b = a2m + c2.n
c a - m.n.b
NP : Proyección de AB sobre la recta L
En general, la proyección de un segmento es otro segmento.
x
* Observación:
A E C
En cualquier triángulo ABC, la altura AD determina sobre el
m n
lado BC dos segmentos: DB y DC, que son las proyecciones b
respectivas de los lados AB y AC sobre BC.
3.3. TEOREMA DE HERÓN
A B
h= 2
p(p a)(p b)(p c )
b
A
Donde:
c a
B D C a b c
p=
2
A H C
b
D B C
2º Bimestre 1 Martín Tello
GEOMETRÍA – 5to. Secundaria
3.4. TEOREMA DE LA MEDIANA 4.3 TEOREMA DE LA TANGENTE
B
A
a2 + c2 = 2m2 + b
2
c a
2 m p
A C B
bM
C
PA2 =PC.PB
3.5. SEGUNDO TEOREMA DE LA BISECTRIZ.
Observación : Los Teoremas de Ptolomeo y Viette se aplica
1) también para cuadriláteros inscriptibles.
B
5. RELACIONES AUXILIARES
B
a BD2 = a.c - m.n * AB2 = AC.AH
c * BH2 = AH.HC
A m D n C
A H C
2) ( AC : Diámetro)NES MÉTRICAS EN CUADRILÁTE
B
c BE2 = m.n – a.c PROBLEMAS RSUELTOS
a
1).- AB, BC y AQ son valores enteros y consecutivos. Halla
AQ.
A C n E Q
m C
4. RELACIONES MÉTRICAS EN LA B
CIRCUNFERENCIA A
Solución :
4.1. TEOREMA DE LAS CUERDAS * Por el teorema de las tangentes:
(a + 2)2 = (2a + 1) (a)
A a2 + 4a + 4 = 2a2 + a Q
D a2 – 3a - 4 = 0 C
p a -4
a 1 2+a
a+1
a=4 B
C B
Nos piden : a
A
AQ = a + 2
AP.PB = CP. PD AQ = 6
2).- Halla BT; si AB = 5 ; BC = 7 ; AC = 6.
4.2. TEOREMA DE LAS SECANTES B
B
A
p
A T C
C B
D
Solución :
PB.PA=PD.PC
* Por propiedad : 5 7
AT = P – BC
AT = 2
TC = 4 A 2 T 4 C
6
2º Bimestre 2 Martín Tello
GEOMETRÍA – 5to. Secundaria
2).- Las diagonales del rectángulo mostrado mide 9, si HC = 5,
* Por el teorema de Stewart: calcula el lado CD.
B C
( BT )2 (6) = (7)2(2) + (5)2(4) – (2)(4)(6)
6( BT )2 = 98 + 100 – 48
6( BT )2 = 150 ( BT )2 = 25
BT = 5
H
3).- En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se traza la A D
altura BH . Calcula HC, Si AH = 7 y BH = 2 14 . a) 6 b) 1 c) 4
d) 3 e) 2
Solución :
B 3).-Halla DE, si: AC = 12 y BD = 4
a) 6 A B C
b) 5
2 14 c) 8 D
d) 3
A x C e) 4
7 H
E
Se sabe: (2 14 )2 = x.7
4).- Halla: BT; si AB = 5 ; BC = 7 ; AC = 6.
56 = 7x x=8
a) 6 B
b) 5
4).- Calcula “x”
c) 8
x2 40 d) 3
e) 4
Solución: 41
Por Pitágoras A T C
(x2) 2 = 412 -402
(x2) 2 = 81 x2 9 5).- Calcula el valor de PQ, sabiendo QC = 5cm, CD = 4cm;
x = 3 EF = 2cm, MF = 4cm
5).- Indica la proyección de un cateto que mide 6u sobre la
hipotenusa que mide 9u. a) 2 P Q C
b) 2
Solución: c) 1 M
d) 3 D
6 e) 4
E
F
x 9
6).- En el gráfico: AB, BC, AQ y FE son valores enteros
Se sabe: consecutivos. Halla QE.
62 = 9x x = 4
a) 6
b) 10 C F
c) 7
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 04 d) 5
e) 12
B
NIVEL I Q
A E
1).- Según la figura AB = 3 y BC = 2, calcula CN (N es punto
de tangencia).
F 7).- AB, BC y AQ son valores enteros y consecutivos. Hallar
AB.
a) 5 N
b) 1
c) 4 a) 8 Q
d) 3 b) 6
A B C c) 7 C
e) 2
d) 5
e) 4
B
A
2º Bimestre 3 Martín Tello
GEOMETRÍA – 5to. Secundaria
8).- En la figura “C” es centro. Calcula el radio de la 4).- Halla la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un
circunferencia. Si: CE = 10 y EB = 2. rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm., respectivamente.
C a) 4,8 b) 4,5 c) 4
a) 20 d) 5,5 e) 5
b) 24
c) 18 5).- En la figura, O es centro. AB // CD ; AB = 12 y CD = 10.
d) 26
r
e) 16 B Halla r, sabiendo además que AB y CD , distán 1 unidad, entre
A O
E sí.
a) 60
r
b) 61
F o
c) 25
9).- EF biseca a AB, si: EQ = 4 y QF = 9. Halla la cuerda AB. d) 65 A B
e) 61 C D
a) 8 E
b) 9 B
c) 10 6).- Calcula “x”. Si R = 12, r = 3 y QR = 24
d) 12 Q R
e) 14
A
x°
F P
Q
10).- Siendo: AF = 10cm; FM = 5cm; además AP y PQ están en
la relación de 3 a 2. Halla AQ R r
a) 3 M
b) 10 F
c) 3 10 A a) 53° b) 45° c) 37°
d) 2 10 d) 60° e) 30°
P
e) 5 10 7).- Calcula “R”. Si : AB = 3 y CD = 12
Q
A B
NIVEL II
1).- Halla el valor de AB, siendo BC = 2m; EM = 6m; ED = 4m. a) 2
A b) 4
R
a) 2 c) 6
b) 4 B d) 8
c) 5 e) 10 C D
d) 10 M C
e) 14 . 8).- Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16 que longitud se
D debe restar a cada lado que el triángulo resultante sea un
E triángulo rectángulo.
a) 1 b) 2 c) 3
2).- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura d) 4 e) 5
BH . Calcula HC, si AH = 7 y BH = 2 14 .
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 14 9).- En el gráfico, se tienen dos circunferencias ortogonales de
radios (r = 2) y (R = 4). M y N son puntos de tangencia. Halla
MN.
3).- A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a
la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, es de R
20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de r
cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros
descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre O P
las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron con la misma
velocidad y alcanzaron al pez al mismo tiempo. ¿A qué N
distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez? M
a) 10 b) 15 c) 20 a) 4 b) 2R c) 3 r
d) 25 e) 30 d) 2Rr e) 3Rr
2º Bimestre 4 Martín Tello
GEOMETRÍA – 5to. Secundaria
10).- En la figura, O es centro del cuarto de circunferencia y T
punto de tangencia. AH = 2; BE = 9. Halla la longitud del
radio.
H
A
T
E
o B
a) 15 b) 17 c) 19
d) 21 e) 18
CLAVES DE RESPUESTAS
NIVEL I NIVEL II
1) c 2) a 1) e 2) c
3) a 4) b 3) c 4) a
5) d 6) c 5) b 6) e
7) e 8) b 7) c 8) c
9) d 10) e 9) a 10) b
2º Bimestre 5 Martín Tello
