dinamika tekocin ia

							UVOD

• Razumevanje DINAMIKE TEKOČIN predstavlja
  enega največjih napredkov fizike, matematike in
  inženirskih znanosti v zadnjih sto letih.
• Začetne razlage delovanja letalskih kril se danes
  nadaljujejo z matematičnimi opisi turbulentnega toka,
  notranjih in površinskih valov, pojavov kaosa,...
• Tehnologija kot tudi inženirstvo izredno močno
  zavisita od pravilnega razumevanja tekočin: od toka
  tekočin po ceveh, do iztoka odpadne vode v morje; od
  gibanja atmosfere, do toka maziv v motorju.
1676        Robert Hooke        Elastično obnašanje
1687        Issac Newton        Zakon viskoznosti
1745       Leonhard Euler       Matematični vidiki gibanja
                                neviskoznih tekočin
1820    Claude-Louis Navier     Napetosti in deformacije
 do    Augustine Louis Cauchy   Postavitev teorije linearne
1830    Siméon Denis Poisson    elastičnosti
1845       George Stokes        Navier-Stokesove enačbe
1848     William Thomson,
 do        1st Lord Kelvin      Termodinamika
1850     Rudolf J.E. Clausius
1929        E.C. Bingham        Definicija reologije
2.1 MKS-sistem fizikalnih dimenzij
              dolžina, masa , čas, temperatura
    v SI enotah: m, kg, s, K*
    Npr.:
                           hitrost        ms
                                                  1


                            pospešek   m s 2
                           giba ln a kol.  kg m s 1
                           sila            kg m s
                                                      2


                           energija         kg m s
                                                     2 2


                           entropija  kg m 2 s 2 K 1
     * po   Irskem matematiku in fiziku William Thomson Kelvinu [1824-1907]
2.2. Newtonovi zakoni gibanja
     Sir Isaac Newton* je prvi formuliral naslednje zakone mehanike:
I. Telo miruje, ali se giblje s konstantno hitrostjo, če nanj ne deluje sila
     (oz. je rezultanta vseh delujočih sil enaka nič).
II. Ko na telo deluje sila, je hitrost spremembe gibalne količine enaka sili.
III. Kadar dve telesi delujeta s silama eno na drugo, sta sili enaki po velikosti
     in nasprotno usmerjeni.


   Newtonovi trije zakoni zahtevajo razumevanje dveh količin – SILE IN GIBALNE
   KOLIČINE (mv) – kot tudi koncept pozicije in časa. Newtonov II. zakon dejansko
   predstavlja diferencialno enačbo drugega reda, ki povezuje naslednje količine:

                               m    F
                                   r
                               kjer je pospešek
                                   d 2 r dv
                                 2 
                               r            a       *Angleškifizik in matematik
                                   dt    dt          Isaac Newton [1642-1727]
Če na neko telo (objekt), lahko je to “delec” mase m, ki se giblje s
hitrostjo v, deluje sila F, potem Newtonova enačba gibanja:

                 F  p,r           v  p, r 
             dp                  dr
                                                       (2.1)
             dt                  dt

opiše časovno spreminjanje gibalne količine p (ali G) in položaja r
delca. Če je m konstantna, je zveza med p in v: p = m v in je sila
le F = F(r), lahko (2.1) zapišemo ponovno kot:
                              ma  F                  (2.2)


         Za dano silo F lahko rešimo enačbo gibanja delca, ki nam ob
          znanih začetni legi in začetni hitrosti pove, kam se bo delec
          premaknil v nekem času.
Vemo – če so sile, ki delujejo na neko telo v ravnotežju (vsota
vseh delujočih sil oz. rezultanta sil je enaka nič), potem ostane
njegova hitrost nespremenjena; če je njegova začetna hitrost
enaka nič, telo ostane v mirovanju.
   Torej, Newtonovi zakoni gibanja nam dovoljujejo opis tako
    gibanja kot tudi ravnotežnega stanja.

 Fluidna dinamika temelji na empirično potrjenih fizikalnih
 načelih:
 - ohranitev MASE, ENERGIJE in GIBALNE KOLIČINE
    v povezavi z zakoni TERMODINAMIKE.
Če hočemo določiti lego, hitrost in pospešek delca, moramo definirati
KOORDINATNI SISTEM z določenim izhodiščem in orientacijo osi
(referenčni okvir).
- Toda, ali Newtonovi zakoni gibanja veljajo za vse koordinatne sisteme?




Zamislimo si eksperiment: vesoljsko plovilo v vesolju in naj bo izhodišče koord.
sistema fiksirano na plovilo. V plovilu lebdi žoga v stanju mirovanja... in nato vžimo
motorje – žoga se bo začela pospešeno gibati v –x2 smeri, čeprav nanjo ne deluje
nobena sila!


  Sisteme v katerih veljajo Newtonovi zakoni gibanja imenujemo inercijske (inertial frames).
   Recimo, da imamo takšen koord. sistem, kjer Newtonovi zakoni delujejo,
    in sedaj kreirajmo še drugega, ki se giblje s konstantno hitrostjo glede na
    prvi koord. sistem.
   In naj bo r lega delca v originalnem koord. sistemu in r’ lega istega delca v
    drugem.

                                             Zapišimo sedaj hitrost             in   pospešek
                                              objekta v obeg sistemih

                                                       vr
                                                                            
                                                                      v  r'  r  
                                                       a  v  
                                                            r               r 
                                                                      a'  v'    
                                          - ker se oba koord. sistema gibljeta s konst.
                                             hitrostima drug na drugega, velja
                                                   
                                                     0
                                                                 a'    a
                                                                      r
    Torej, Newtonovi zakoni veljajo tako v drugem kot tudi v izhodiščnem koord. sistemu. Vsak
    sistem, ki se giblje s konst. hitrostjo glede na inercijski sistem, je tudi inercijski sistem.
 Sedaj lahko za posamezen delec uporabimo Newtonove zakone
  gibanja. Če je sila, ki deluje na delec konstantna, je enačba gibanja:


       v tem primeru lahko vedno izberemo eno od osi, npr. x1, ki leži v
        smeri pospeška

                            dif. enačbo enostavno rešimo z integriranjem

        dodatno integriranje nam
        daje lego kot funkcijo časa




                                         v1,0 in x1,0 sta konstanti
                                         določeni z začetnimi pogoji
   Zamislimo si N običajnih delcev, omejenih v prostoru s prostornino V. Delci imajo
    končno kinetično energijo in so zato v konstantnem gibanju kot posledica
    medsebojnega delovanja sil (tudi zunanje sile so lahko prisotne).
   V nekem danem trenutku je lega delcev v pravokotnem (kartezičnem) koordinatnem
    sistemu r1(t), r2(t), ...,rN(t). Časovni razvoj lege je podan z II. Newtonovim zakonom
    gibanja:                                            dr          
                        dri pi                                  i  vi                
                              ,                                dt                    
                        dt mi                                          2
                                                                       d ri            
                                                                  2
                                                                 ri                    
                        dpi                                           dt              
                             Fi ,     i  1,..., N             m  Fi r1 ,...,rN 
                                                                    ri
                        dt                                                            
                                                                                      

    kjer so F1,..., FN sile vsakega od N delcev glede na ostale delce v sistemu – Fi je sila na
    i-ti delec kot posledica medmolekularnih interakcij in možnih zunanjih polj
    (gravitacijsko, magnetno,...)
   Tako dobimo sistem 3N dif. enačb drugega reda (ri ≡ ri(x,y,z), kjer so x,y in z
    koordinate posameznega delca) z robnimi pogoji:
                                         r1 0 ,..., rN 0 , r1 0 ,..., rN 0 ,
                                                                            

   ... in N je na splošno reda Avogadrovega števila – Av  1023!
 Vzemimo delec mase m, ki se giblje v prostoru. Njegova lega je v
  vsakem trenutku določena s položajem vektorja r v koordinatnem
  sistemu.




                                                                r t   r t  r
   Njegova povprečna hitrost med časom t in t’ je   v povp                    
                                                                    t  t        t
    Oris vektorja kot “puščice”, pooseblja koncept vektorja kot ga
    potrebujemo – velikost in smer. Matematična obravnava sloni na
    komponentah vektorja.

   2-D primer




                                         x in y osi si lahko izberemo,
                                         kakor nam je prav
 3-D primer
   1. Izberimo eno od osi in poiščimo kot med vektorjem in to osjo –(tipično
      izberemo z kot in ga imenujemo kot q.
   2. Vektor in izbrana os tvorita ploskev. Poiščemo kot med to ploskvijo in
      ostalima osema –(tipično izberemo x kot in ga imenujemo kot f.
   3. 3D vektor lahko sedaj zapišemo




                                    V  V sinq cosf i  sinq sin f j  cosq k 
 Zveze med komponentami vektorja
      Velikost vektorja

                             V  vx  v y  vz2
                                  2     2




      Smer je prav tako izključno določena s komponentami

                                vy 
                      f  tan1 
                                   
                                    
                                vx 
                                 v2  v2   
                      q  tan1            ; 0  q  180o
                                   x    y
                                 v         
                                    z
                                            
 Seštevanje vektorjev
      Pravimo, da je V vsota njegovih komponent
                                   V  Vx  V y

           kaj “+” pomeni pri vektorjih
           grafična predstavitev
                                                   Intuitivno
                                                   Če nekdo hodi vzdolž
                                                   A in nato še vzdolž B,
                                                   prispe na pozicijo A+B


                                                    Logično
                                                    A+B=B+A
                                                    A + (-A) = A – A = 0

      Rezultat je zopet vektor.
 Množenje vektorja s skalarjem
                          cA  cAx i  cAy j  cAz k
      Rezultat je zopet vektor.

 Množenje dveh vektorjev

      SKALARNI PRODUKT

                          A B     Ak Bk    A B cos q
                                   k



           Rezultat je skalar.
           Priročen način, kako določiti kot q med obema vektorjema.
 Vektorski račun

      Odvajanje vektorja glede na skalar (s)

                         dA dA1     dA2    dA3
                                i     j     k
                         ds   ds     ds     ds

           rezultat je ponovno vektor
           zelo pogosto v fiziki

                               dr        dv d 2r
                            v    ;   a     2
                               dt        dt  dt

                              dA        d2A          Okrajšavo s piko je
                                  A;             A
                              dt         dt   2         prvi uvedel Newton
 Drugi koordinatni sistemi
      Pogosto srečamo probleme pri katerih je bolj primerno uporabljati
       nekartezične koordinate (npr. simetrični problemi). Vendar pa zapisi
       vektorjev npr. hitrosti in pospeška v drugih koordinatnih sistemih
       zahteva precej matematičnih manipulacij.
         Primer zapisa vektorja hitrosti v sferičnih koordinatah:
                          v  r er  rq eq  r sin q e
                                                  
 Vzemimo delec mase m, ki se giblje v prostoru. Njegova lega je v
  vsakem trenutku določena s položajem vektorja r v koordinatnem
  sistemu.




                                                                r t   r t  r
   Njegova povprečna hitrost med časom t in t’ je   v povp                    
                                                                    t  t        t
   Na osnovi definicije seševanja vektorjev lahko zapišemo:

                        r  rx t'   rx t  i  ry t'   ry t  j  rz t'   rz t  k
                              rxi  ry j  rzk
   in
                                           r rx    r   r
                                                  i y j z k
                                           t   t   t   t
   Ponavadi želimo poznati tudi hitrost
                                                  dr  dr   dr   dr
                                        vt         x i y j z k
                                                  dt  dt   dt   dt

   podobno je pospešek podan kot
                  dv t  dvx t   dv y t   dvz t   d 2 rx t   d ry t   d 2 rz t   
                                                                          2
                                                                                                     
         a t                   i          y        k       2
                                                                        i    2
                                                                                    y      2
                                                                                                  k  r t 
                   dt      dt         dt          dt          dt           dt           dt


         Povzetek – vsaka od komponent 3D kinematičnega vektorja sledi pravilom
         1D gibanja
   PRIMER
      Delec najprej miruje pri r = 0 in je nato podvržen pospešku, ki ga
       opisuje naslednja zveza
                                   a  At i  B cosCt j

        Kje bo delec v času t?

        Iščemo r(t) in prvi korak je poiskati v(t):

                         vt   at dt
                                At i  B sinCt j dt
                                1               B              
                                At 2  c1  i   sinCt   c2  j
                                2               C              

        Začetni pogoji nam dajo c1 = c2 = 0
   PRIMER
      Dodatno integriranje nam daje                     r t      vt dt
                                                                  1 2     B         
                                                                  At  i   sinCt  j dt
                                                                 2   C
                                                                                       
                                                               1          B             B 
                                                               At 3 i   2 cos Ct   2  j
       A = 1 m/s3, B = 100 m/s2 in C = 1/s                     6         C             C 

                        200


                        150
                 y(m)
                        100


                          50


                           0
                               0    25       50   75        100       125       150
                                                  x(m)