RESISTANCE DES MATERIAUX (RDM) by 2E1tf76

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									   Nom :                                                 Résistance des Matériaux (RDM)                                   pj


1. Hypothèses de RDM
La modélisation des solides en Résistance des Matériaux, nécessite certaines hypothèses :
 Les matériaux sont homogènes (tous les cristaux ont même constitution et même structure) et isotropes (mêmes
   caractéristiques mécaniques dans toutes les directions),
 Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenues dans le plan de symétrie,
 Hypothèse de Navier Bernoulli : les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes
   et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformations. Il n’y a pas de gauchissement des sections droites.
 Le solide reste dans le domaine des petites déformations : les déformations restent faibles comparativement aux
   dimensions de la poutre.

           Remarques :
                     Empiriquement (par l’expérience), l’on vérifie que l’écart entre le modèle et la réalité est faible ;
                      l’hypothèse 1 est vérifiée,
                     Compte tenu des hypothèses 3 et 4, on peut admettre que les forces extérieures conservent une
                      direction fixe avant et après déformation.

                                                             F                                                        F




                            Avant déformation                                                 Après déformation

                        0       1         2        3     4                               0     1        2
                                                                                                              3   4



2. Solide soumis à la traction
Les relations établies en RdM permettront de prévoir le comportement d’un corps solide de formes diverses, sous l’effet
d’actions mécaniques. L’essai de traction, définit les caractéristiques mécaniques courantes utilisées en RdM. La seule
connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en
cisaillement, torsion, flexion.

        Une poutre droite est sollicitée en traction chaque fois que les actions aux extrémités (A et B) se
        réduisent à deux forces égales et opposées (F et –F).

                       -F                                                                      F

                            A                                                             B


    2.1. Effort normal
Pour la poutre considérée, faisons une coupe fictive entre les deux extrémités A et B pour faire apparaître les efforts
intérieurs dans la poutre. La section coupée S est soumise à un effort normal N.

         -F                                                                      F                                             f1
                                         G
              A                                                             B                                     G
                                                                                                                                fn
         -F                                    N
                                         G                                                                                f2
              A

En fait, la section S est soumise à un ensemble de forces f dont la
somme est l’effort normal N.                                                              N = f1 + f2 + … + fn = F
On écrit que :                                                                            N=F



                                    abb75c10-a09e-4a10-a9c4-6f371cd7e772.doc http://joho.monsite.orange.fr/                           1/3
   Nom :                                                   Résistance des Matériaux (RDM)                                pj

    2.2. Contrainte normale  (sigma)

Divisons la coupure S précédente en n petites surfaces élémentaires Sn. Chaque élément de surface (S) supporte
un effort de traction f1, f2, …, fn.
                                                                                                                         N
                                                                                                                   =
                M1       f1                                       M1         1                                         S
       S1
                Mn
       Sn                                                         Mn             n
                              fn
       S2      M2                                                M2
                        f2                                                  2


  Contrainte normale uniforme :
  Dans le cas général on admettra que toutes les contraintes sont identiques :
                                                                                                       Dans certains cas de concentration
                                      = 1 = 2 = … = n                                              de contraintes, l'hypothèse d'une
  Il en résulte :                                                                                      contrainte uniforme n'est plus
                                     : contrainte normale en MPa ou N.mm
                                                                                       -2              valable. Ex. :          
                N                   N : effort normal en N
           =
                S                   S : aire de la section droite en mm²
    2.3. Condition de résistance
Lors de la conception d’un système, il est nécessaire de respecter la condition suivante :

                                                            Rpe : résistance pratique à l'extension en MPa
                          N                        Re       Re : limite élastique du matériaux
             maxi =                  Rpe =                s : coefficient de sécurité (varie entre 1 et 10
                          S                          s      suivant la connaissance des charges réelles)

    2.4. Allongement relatif  (epsilon)

L’expérience montre que les allongements sont proportionnels aux longueurs initiales. L’allongement relatif Ɛ traduit
cette propriété :
                                                        L0 : longueur initiale de la poutre
                             L      L – L0             L : longueur finale de la poutre
                     Ɛ =          =
                             L0        L0                : allongement relatif

    2.5. Relation contrainte-déformation – Loi de Hook
Pour un grand nombre de matériaux, l’essai de traction montre qu’il existe une zone élastique pour laquelle l’effort F de
traction est proportionnel à l’allongement L.
                                                                                       Nuance         Re (Mpa)          E (Mpa)
  Loi de Hook
                        : contrainte normale en Pa ou N.m
                                                                        -2             Acier E295     295               200000
     =EƐ              Ɛ : allongement relatif                                         Acier S235     235               190000
                       E : module d'élasticité longitudinale Pa                        Acier C55      730               210000
                                                                                       Alu. 2017      240               70000
                                                                                       Cuivre         300               126000
3. Solide soumis au cisaillement
Un solide soumis au                      Lame 1                 Section cisaillée           A
cisaillement, peut être
modélisé de la façon
suivante :
                                            Lame 2                                              B




                                      abb75c10-a09e-4a10-a9c4-6f371cd7e772.doc http://joho.monsite.orange.fr/                       2/3
   Nom :                                           Résistance des Matériaux (RDM)                                   pj

    3.1. Effort tranchant
L’effort tranchant correspond à la somme d’une infinité de
                                                                                       A                             A
petites forces f agissant sur les surfaces élémentaires S.
                                                                            f1
                                                                                        fn                 T
                                                                                    G                           G
         T = f1 + f2 + … + fn = -A
                                                                          f2      G                            G

    3.2. Contrainte de cisaillement  (tho)
La contrainte de cisaillement est une contrainte tangentielle, parallèle à la section. Dans l’effort normal de l’essai de
traction, la contrainte est perpendiculaire à la section.

     Contrainte tangentielle uniforme  :
     Dans le cas du cisaillement, on suppose que toutes les contraintes
     tangentielles sont identiques ( = 1 = 2 = … = n) :
     Il en résulte :
                               : contrainte tangentielle en MPa ou N.mm
                                                                         -2

                   T          N : effort normal en N
             = S             S : aire de la section droite en mm²

    3.3. Condition de résistance
Lors de la conception d’un système, il est nécessaire de respecter la condition suivante :

                                                    Rpg : résistance pratique au cisaillement en MPa
                       T                   Reg      Reg : limite élastique au cisaillement
            maxi =           Rpg =                s : coefficient de sécurité (varie entre 1 et 10 suivant la
                       S                    s       connaissance des charges réelles)

La limite élastique au cisaillement peut être obtenue à partir des relations suivantes :

                        Acier doux (e < 270Mpa), alliages d’aluminium                        e = 0,5 e
                        Aciers mi-durs (320 < e < 500MPa)                                    e = 0,7 e
                        Aciers durs (e > 270Mpa)                                             e = 0,8 e

4. Application
Etude de la traction dans l’élingue 2 ( 60 – matériau S235) :
A partir des conditions énoncées sur le schéma ci-contre :
a) déterminer l’effort normal et la contrainte normale dans
    l’élingue,
b) vérifier la condition de résistance (coef. de sécurité s=8),
c) calculer l’allongement de l’élingue (DB = 3450mm)

Etude de l’axe de chape 3 au cisaillement (point B) :
Données :        d = 40,
                 Résistance admissible au cisaillement = 90Mpa
d) calculer l’effort tranchant dans chaque section cisaillée,
e) calculer la contrainte tangentielle dans ces sections,
f) vérifier la condition de résistance.
g) indiquer si le mécanisme cassera à la traction ou au cisaillement dans
   le cas d’une utilisation extrême.




                              abb75c10-a09e-4a10-a9c4-6f371cd7e772.doc http://joho.monsite.orange.fr/                    3/3

								
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